Як вирішити систему лінійних рівнянь матричним способом. Вирішення систем лінійних рівнянь матричним методом

Система такого виду називається нормальною системою диференціальних рівнянь (СНДВ). Для нормальної системи диференціальних рівнянь можна сформулювати теорему існування і єдиності таку ж, як й у диференціального рівняння.

Теорема. Якщо функції визначені і безперервні на відкритій множині, а відповідні приватні похідні теж безперервні, то тоді у системи (1) буде існувати рішення (2)

а за наявності початкових умов (3)

це рішення буде єдиним.

Цю систему можна представити у вигляді:

Системи лінійних диференціальних рівнянь

Визначення. Система диференціальних рівнянь називається лінійної якщо вона лінійна щодо всіх невідомих функцій та їх похідних.

(5)

Загальний вигляд системи диференціальних рівнянь

Якщо встановлено початкову умову: , (7)

то рішення буде єдиним, за умови, що вектор-функція безперервна наи коефіцієнти матриці: теж безперервні функції.

Введемо лінійний оператор , тоді (6) можна переписати у вигляді:

якщо то операторне рівняння (8) називається однорідним і має вигляд:

Оскільки оператор лінійний, то для нього виконуються такі властивості:

розв'язком рівняння (9).

Наслідок.Лінійна комбінація, рішення (9).

Якщо дані рішень (9) і вони лінійно незалежні, всі лінійні комбінації виду:(10) лише за умови, що це. Це означає, що визначник, складений із рішень (10):

. Цей визначник називається визначником Вронського для системи векторів.

Теорема 1. Якщо визначник Вронського для лінійної однорідної системи (9) з безперервними на відрізку коефіцієнтами, дорівнює нулю хоча б в одній точці, то рішення лінійно залежні на цьому відрізку і, отже, визначник Вронського дорівнює нулю на всьому відрізку.

Доведення: Оскільки безперервні, то система (9) задовольняє умову Теореми про існування та єдиність, Отже, початкова умова визначає єдине рішення системи (9). Визначник Вронського в точкеравен нулю, отже, існує така нетривіальна система, на яку виконується:. Відповідна лінійна комбінація для іншої точки матиме вигляд, причому задовольняє однорідним початковим умовам, отже, збігається з тривіальним рішенням, тобто лінійно залежні і визначник Вронського дорівнює нулю.

Визначення. Сукупність рішень системи (9) називається фундаментальною системою рішень якщо визначник Вронського не звертається в нуль в жодній точці.

Визначення. Якщо для однорідної системи (9) початкові умови визначені в такий спосіб - , то система рішень називається нормальної фундаментальної системою рішень .

Зауваження.Якщо - фундаментальна система чи нормальна фундаментальна система, то лінійна комбінація- загальне рішення (9).

Теорема 2. Лінійна комбінація лінійно незалежних рішень, однорідної системи (9) з безперервними на відрізку коефіцієнтами буде загальним рішенням (9) на цьому ж відрізку.

Доведення: Оскільки коефіцієнти безперервні, то система задовольняє умовам теореми про існування і єдиності. Отже, на підтвердження теореми досить показати, що підбором постійних, можна задовольнити деякому довільно обраному початковому умові (7). Тобто. можна задовольнити векторне рівняння:. Оскільки- загальне рішення (9), то система можна розв'язати щодо, оскільки вселінійно незалежні і. Однозначно визначаємо, а оскільки лінійно незалежні, то.

Теорема 3. Якщо це рішення системи (8), а рішення системи (9), тоді + буде теж рішення (8).

Доведення: За властивостями лінійного оператора: 

Теорема 4. Загальне рішення (8) на відрізку з безперервними на цьому відрізку коефіцієнтами правими частинами дорівнює сумі загального рішення відповідної однорідної системи (9) і приватного рішення неоднорідної системи (8).

Доведення: Оскільки умови теореми про існування та єдиність виконані, отже, залишається довести, що задовольнятиме довільно заданим початковим значенням (7), тобто . (11)

Для системи (11) можна визначити значення . Це можна зробити так як - фундаментальна система рішень.

Завдання Коші для диференціального рівняння першого порядку

Постановка задачі.Нагадаємо, що рішенням звичайного диференціального рівняння першого порядку

y"(t)=f(t, y(t)) (5.1)

називається диференційована функція (t), яка при підстановці в рівняння (5.1) звертає його в тотожність. Графік розв'язання диференціального рівняння називають інтегральною кривою. Процес знаходження рішень диференціального рівняння називається інтегруванням цього рівняння.

Виходячи з геометричного сенсу похідної у" зауважимо, що рівняння (5.1) задає в кожній точці (t, у) площині змінних t, значення f(t, у) тангенса кута aнаклону (до осі 0t) дотичної до графіка рішення, що проходить через цю точку Величину k=tga=f(t,у) далі називатимемо кутовим коефіцієнтом (рис. 5.1) Якщо тепер у кожній точці (t, у) задати за допомогою деякого вектора напрям дотичної, що визначається значенням f(t, у ), то вийде так зване поле напрямків (рис.5.2, а).Таким чином, геометрично завдання інтегрування диференціальних рівнянь полягає у знаходженні інтегральних кривих, які в кожній своїй точці мають заданий напрям дотичної (рис. 5.2, б). щоб виділити із сімейства рішень диференціального рівняння (5.1) одне конкретне рішення, задають початкову умову

y(t 0)=y 0 (5.2)

Тут t 0 - деяке фіксоване значення аргументу t, а 0 величина, звана початковим значенням. Геометрична інтерпретація використання початкової умови полягає у виборі із сімейства інтегральних кривих тієї кривої, яка проходить через фіксовану точку (t 0, 0).

Завдання знаходження при t>t 0 рішення у (t) диференціального рівняння (5.1), що задовольняє початковій умові (5.2), називатимемо завданням Коші. У деяких випадках цікава поведінка рішення при всіх t>t 0 . Проте найчастіше обмежуються визначенням рішення на кінцевому відрізку.

Інтегрування нормальних систем

одним з основних методів інтегрування нормальної системи ДК є метод зведення системи до одного ДК вищого порядку. (Зворотне завдання - перехід від ДУ до системи - розглянуто вище на прикладі.) Техніка цього заснована на таких міркуваннях.

Нехай задано нормальну систему (6.1). Продиференціюємо по х будь-яке, наприклад, перше, рівняння:

Підставивши в цю рівність значення похідних із системи (6.1), отримаємо

або, коротко,

Продиференціювавши отриману рівність ще раз і замінивши значення похідних із системи (6.1), отримаємо

Продовжуючи цей процес (диференціюємо – підставляємо – отримуємо), знаходимо:

Зберемо отримані рівняння до системи:

З перших (n-1) рівнянь системи (6.3) висловимо функції у 2, у 3, ..., y n через х, функцію y 1 і її похідні у "1, у" 1, ..., у 1 (n -1). Отримаємо:

Знайдені значення у 2, у 3,..., у n підставимо останнє рівняння системи (6.3). Отримаємо одне ДУ n-го порядку щодо шуканої функції. Нехай його спільне рішення є

Продиференціювавши його (n-1) раз і підставивши значення похідних у рівняння системи (6.4), знайдемо функції у 2, у 3,..., у n.

Приклад 6.1. Розв'язати систему рівнянь

Рішення: Продиференціюємо перше рівняння: у"=4у"-3z". Підставляємо z"=2у-3z в отриману рівність: у"=4у"-3(2у-3z), у"-4у"+6у=9z. Складаємо систему рівнянь:

З першого рівняння системи виражаємо z через у та у":

Підставляємо значення z у друге рівняння останньої системи:

т. е. у ""-у"-6у = 0. Отримали одне ЛОДУ другого порядку. Вирішуємо його: k 2 -k-6 = 0, k 1 = -2, k 2 = 3 і - загальне рішення

рівняння. Знаходимо функцію z. Значення у і підставляємо у вираз z через у і у (формула (6.5)). Отримаємо:

Таким чином, загальне вирішення даної системи рівнянь має вигляд

Зауваження. Систему рівнянь (6.1) можна вирішувати методом комбінацій, що інтегруються. Суть методу у тому, що з арифметичних операцій із рівнянь даної системи утворюють звані інтегровані комбінації, т. е. легко інтегровані рівняння щодо нової невідомої функції.

Проілюструємо техніку цього на наступному прикладі.

Приклад 6.2. Розв'язати систему рівнянь:

Рішення: Складемо почленно дані рівняння: х"+у"=х+у+2, або (х+у)"=(х+у)+2. Позначимо х+у=z. Тоді маємо z"=z+2 . Розв'язуємо отримане рівняння:

Отримали так званий Перший інтеграл системи. З нього можна висловити одну з функцій через іншу, тим самим зменшити на одиницю число шуканих функцій. Наприклад, Тоді перше рівняння системи набуде вигляду

Знайшовши із нього х (наприклад, за допомогою підстановки х=uv), знайдемо і у.

Зауваження.Ця система «дозволяє» утворити ще одну інтегровану комбінацію: Поклавши х - у=р, маємо:, або Маючи два перші інтеграли системи, тобто. і легко знайти (складаючи та віднімаючи перші інтеграли), що

Лінійний оператор, характеристики. Лінійна залежність та незалежність векторів. Визначник Вронського для ЛДУ.

Лінійний диференціальний оператор та його властивості.Багато функцій, що мають на інтервалі ( a , b ) не менше n похідних, утворює лінійний простір. Розглянемо оператор L n (y ), який відображає функцію y (x ), що має похідних, у функцію, що має k - n похідних:

За допомогою оператора L n (y ) неоднорідне рівняння (20) можна записати так:

L n (y ) = f (x );

однорідне рівняння (21) набуде вигляду

L n (y ) = 0);

Теорема 14.5.2. Диференціальний оператор L n (y ) є лінійним оператором. Док-вобезпосередньо випливає з властивостей похідних: 1. Якщо C = const, то 2.Наші подальші дії: спочатку вивчити, як влаштовано загальне рішення лінійного однорідного рівняння (25), потім неоднорідного рівняння (24), а потім навчитися вирішувати ці рівняння. Почнемо з понять лінійної залежності та незалежності функцій на інтервалі та визначимо найважливіший у теорії лінійних рівнянь та систем об'єкт – визначник Вронського.

Визначник Вронського. Лінійна залежність та незалежність системи функцій.Опр. 14.5.3.1.Система функцій y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) називається лінійно залежноюна інтервалі ( a , b ), якщо існує набір постійних коефіцієнтів , не рівних нулю одночасно, таких, що лінійна комбінація цих функцій тотожно дорівнює нулю на ( a , b ): для.Якщо рівністьможлива тільки при, система функцій y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) називається лінійно незалежноїна інтервалі ( a , b ). Іншими словами, функції y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) лінійно залежніна інтервалі ( a , b ), якщо існує рівна нулю на ( a , b ) їхня нетривіальна лінійна комбінація. Функції y 1 (x ),y 2 (x ), …, y n (x ) лінійно незалежніна інтервалі ( a , b ), якщо тільки тривіальна їхня лінійна комбінація тотожно дорівнює нулю на ( a , b ). Приклади: 1. Функції 1, x , x 2 , x 3 лінійно незалежні на будь-якому інтервалі ( a , b ). Їхня лінійна комбінація - багаточлен ступеня- не може мати на ( a , b )більше трьох коренів, тому рівність = 0 для можливо тільки при. Приклад 1 легко узагальнюється на систему функцій 1, x , x 2 , x 3 , …, x n . Їхня лінійна комбінація - багаточлен ступеня - не може мати на ( a , b ) більше n коріння. 3. Функції лінійно незалежні на будь-якому інтервалі ( a , b ), якщо . Справді, якщо, наприклад, то рівність має місце в єдиній точці .4. Система функцій також лінійно незалежна, якщо числа k i (i = 1, 2, …, n ) попарно різні, проте прямий доказ цього факту досить громіздкий. Як показують наведені приклади, у деяких випадках лінійна залежність або незалежність функцій доводиться просто, в інших випадках цей доказ складніший. Тому необхідний простий універсальний інструмент, що дає відповідь на питання лінійної залежності функцій. Такий інструмент - визначник Вронського.

Опр. 14.5.3.2. Визначником Вронського (Вронскіаном)системи n - 1 раз функцій, що диференціюються y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) називається визначник

.

14.5.3.3.Теорема про вронскіане лінійно залежної системи функцій. Якщо система функцій y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) лінійно залежнана інтервалі ( a , b ), то вронскіан цієї системи тотожно дорівнює нулю у цьому інтервалі. Док-во. Якщо функції y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) лінійно залежні на інтервалі ( a , b ), то знайдуться числа , у тому числі хоча б одне від нуля, такі що

Продиференціюємо по x рівність (27) n - 1 раз і складемо систему рівнянь Розглянемо цю систему як однорідну лінійну систему алгебраїчних рівнянь щодо. Визначник цієї системи – визначник Вронського (26). При цьому система має нетривіальне рішення, отже, у кожному точці її визначник дорівнює нулю. Отже, W (x ) = 0 при , тобто на ( a , b ).

У першій частині ми розглянули трохи теоретичного матеріалу, метод підстановки, і навіть метод почленного складання рівнянь системи. Усім, хто зайшов на сайт через цю сторінку, рекомендую ознайомитися з першою частиною. Можливо, деяким відвідувачам здасться матеріал надто простим, але під час вирішення систем лінійних рівнянь я зробив ряд дуже важливих зауважень та висновків щодо вирішення математичних завдань у цілому.

Нині ж ми розберемо правило Крамера, і навіть рішення системи лінійних рівнянь з допомогою зворотної матриці (матричний метод). Всі матеріали викладені просто, докладно і зрозуміло, практично всі читачі зможуть навчитися вирішувати системи вказаними вище способами.

Спочатку ми докладно розглянемо правило Крамера для системи двох лінійних рівнянь із двома невідомими. Навіщо? – Найпростішу систему можна вирішити шкільним методом, методом почленного складання!

Справа в тому, що нехай іноді, але зустрічається таке завдання – вирішити систему двох лінійних рівнянь із двома невідомими за формулами Крамера. По-друге, простіший приклад допоможе зрозуміти, як використовувати правило Крамера для складнішого випадку – системи трьох рівнянь із трьома невідомими.

Крім того, існують системи лінійних рівнянь із двома змінними, які доцільно вирішувати саме за правилом Крамера!

Розглянемо систему рівнянь

На першому кроці обчислимо визначник, його називають головним визначником системи.

метод Гауса.

Якщо , то система має єдине рішення, і для знаходження коріння ми повинні обчислити ще два визначники:
і

На практиці вищезазначені визначники також можуть позначатися латинською літерою.

Коріння рівняння знаходимо за формулами:
,

Приклад 7

Розв'язати систему лінійних рівнянь

Рішення: Ми бачимо, що коефіцієнти рівняння досить великі, у правій частині присутні десяткові дроби з комою. Кома - досить рідкісний гість у практичних завданнях з математики, цю систему я взяв з економетричного завдання.

Як вирішити таку систему? Можна спробувати висловити одну змінну через іншу, але в цьому випадку, напевно, вийдуть страшні накручені дроби, з якими вкрай незручно працювати, та й оформлення рішення виглядатиме просто жахливо. Можна помножити друге рівняння на 6 і провести почленное віднімання, але й тут виникнуть ті самі дроби.

Що робити? У таких випадках і приходять на допомогу формули Крамера.

;

;

Відповідь: ,

Обидва корені мають нескінченні хвости, і знайдені приблизно, що цілком прийнятно (і навіть буденно) для завдань економетрики.

Коментарі тут не потрібні, оскільки завдання вирішується за готовими формулами, однак є один нюанс. Коли використовуєте цей метод, обов'язковимфрагментом оформлення завдання є наступний фрагмент: «Отже, система має єдине рішення». В іншому випадку, рецензент може Вас покарати за неповагу до теореми Крамера.

Зовсім не зайвою буде перевірка, яку зручно провести на калькуляторі: підставляємо наближені значення у ліву частину кожного рівняння системи. В результаті з невеликою похибкою повинні вийти числа, що знаходяться у правих частинах.

Приклад 8

Відповідь подати у звичайних неправильних дробах. Зробити перевірку.

Це приклад самостійного рішення (приклад чистового оформлення і у кінці уроку).

Переходимо до розгляду правила Крамера для системи трьох рівнянь із трьома невідомими:

Знаходимо головний визначник системи:

Якщо , то система має безліч рішень або несумісна (не має рішень). В цьому випадку правило Крамера не допоможе, потрібно використовувати метод Гауса.

Якщо , то система має єдине рішення і для знаходження коріння ми повинні обчислити ще три визначники:
, ,

І, нарешті, відповідь розраховується за формулами:

Як бачите, випадок «три на три» принципово нічим не відрізняється від випадку «два на два», стовпець вільних членів послідовно «прогулюється» зліва направо стовпцями головного визначника.

Приклад 9

Вирішити систему за формулами Крамера.

Рішення: Вирішимо систему за формулами Крамера

Отже, система має єдине рішення.

Відповідь: .

Власне, тут знову коментувати особливо нічого, зважаючи на те, що рішення проходить за готовими формулами. Але є кілька зауважень.

Буває так, що в результаті обчислень виходять погані нескоротні дроби, наприклад: .
Я рекомендую наступний алгоритм лікування. Якщо під рукою немає комп'ютера, робимо так:

1) Можливо, припущено помилку у обчисленнях. Як тільки Ви зіткнулися з «поганим» дробом, відразу необхідно перевірити, чи правильно переписано умову. Якщо умову переписано без помилок, потрібно перерахувати визначники, використовуючи розкладання по іншому рядку (стовпцю).

2) Якщо в результаті перевірки помилок не виявлено, то найімовірніше, допущена помилка за умови завдання. У цьому випадку спокійно та уважно вирішуємо завдання до кінця, а потім обов'язково робимо перевіркута оформляємо її на чистовику після рішення. Звичайно, перевірка дробової відповіді – заняття неприємне, зате буде обеззброюючий аргумент для викладача, який дуже любить ставити мінус за всяку бяку начебто. Як керуватися дробами, детально розписано у відповіді для Прикладу 8.

Якщо під рукою є комп'ютер, то для перевірки використовуйте автоматизовану програму, яку можна безкоштовно завантажити на початку уроку. До речі, найвигідніше відразу скористатися програмою (ще до початку рішення), Ви відразу бачитимете проміжний крок, на якому припустилися помилки! Цей калькулятор автоматично розраховує рішення системи матричним методом.

Зауваження друге. Іноді зустрічаються системи у рівняннях яких відсутні деякі змінні, наприклад:

Тут у першому рівнянні відсутня змінна, у другому – змінна. У таких випадках дуже важливо правильно та УВАЖНО записати головний визначник:
- На місці відсутніх змінних ставляться нулі.
До речі визначники з нулями раціонально розкривати за тим рядком (стовпцем), в якому знаходиться нуль, тому що обчислень виходить помітно менше.

Приклад 10

Вирішити систему за формулами Крамера.

Це приклад самостійного рішення (зразок чистового оформлення і у кінці уроку).

Для випадку системи 4 рівнянь із 4 невідомими формули Крамера записуються за аналогічними принципами. Живий приклад можна переглянути на уроці Властивості визначника. Зниження порядку визначника- П'ять визначників 4-го порядку цілком вирішальні. Хоча завдання вже дуже нагадує черевики професора на грудях у студента-щасливчика.

Рішення системи за допомогою зворотної матриці

Метод зворотної матриці - це, по суті, окремий випадок матричного рівняння (Див. Приклад №3 зазначеного уроку).

Для вивчення даного параграфа необхідно вміти розкривати визначники, знаходити зворотну матрицю та виконувати матричне множення. Відповідні посилання будуть дані по ходу пояснень.

Приклад 11

Вирішити систему з матричним методом

Рішення: Запишемо систему в матричній формі:
, де

Будь ласка, подивіться на систему рівнянь та на матриці. За яким принципом записуємо елементи у матриці, думаю, всім зрозуміло. Єдиний коментар: якби у рівняннях були відсутні деякі змінні, то на відповідних місцях у матриці потрібно було б поставити нулі.

Зворотню матрицю знайдемо за формулою:
де - транспонована матриця алгебраїчних доповнень відповідних елементів матриці .

Спочатку знаємося з визначником:

Тут визначник розкритий по першому рядку.

Увага! Якщо , то зворотної матриці немає, і вирішити систему матричним методом неможливо. І тут система вирішується методом виключення невідомих (методом Гауса).

Тепер потрібно обчислити 9 мінорів та записати їх у матрицю мінорів

Довідка:Корисно знати сенс подвійних підрядкових індексів у лінійній алгебрі. Перша цифра – це номер рядка, в якому знаходиться цей елемент. Друга цифра – це номер стовпця, в якому знаходиться цей елемент:

Тобто, подвійний підрядковий індекс вказує, що елемент знаходиться в першому рядку, третьому стовпці, а, наприклад, елемент знаходиться в 3 рядку, 2 стовпці

Тема 2. СИСТЕМИ ЛІНІЙНИХ АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ.

Основні поняття.

Визначення 1. Системою mлінійних рівнянь з nневідомими називається система виду:

де і - Числа.

Визначення 2. Рішенням системи (I) називається такий набір невідомих , у якому кожне рівняння цієї системи перетворюється на тотожність.

Визначення 3. Система (I) називається спільноїякщо вона має хоча б одне рішення і несуміснийякщо вона не має рішень. Спільна система називається певною, якщо вона має єдине рішення, та невизначеноюв іншому випадку.

Визначення 4. Рівняння виду

називається нульовим, а рівняння виду

називається несумісним. Очевидно, що система рівнянь, що містить несумісне рівняння, є несумісною.

Визначення 5. Дві системи лінійних рівнянь називаються рівносильними, якщо кожне рішення однієї системи є рішенням інший і, навпаки, будь-яке рішення другої системи є рішенням першої.

Матричний запис системи лінійних рівнянь.

Розглянемо систему (I) (див. §1).

Позначимо:

Матриця коефіцієнтів при невідомих

,

Матриця – стовпець вільних членів

Матриця – стовпець невідомих

.

Визначення 1.Матриця називається основною матрицею системи(I), а матриця – розширеною матрицею системи (I).

За визначенням рівності матриць системі (I) відповідає матрична рівність:

.

Праву частину цієї рівності щодо визначення твору матриць ( див. визначення 3 § 5 глави 1) можна розкласти на множники:

, тобто.

Рівність (2) називається матричним записом системи (I).

Вирішення системи лінійних рівнянь методом Крамера.

Нехай у системі (I) (див. §1) m=n, тобто. число рівнянь дорівнює кількості невідомих, і основна матриця системи невироджена, тобто. . Тоді система (I) §1 має єдине рішення

де Δ = det Aназивається головним визначником системи(I), Δ iвиходить із визначника Δ заміною i-го стовпця на стовпець із вільних членів системи (I)

Вирішити систему методом Крамера:

.

За формулами (3) .

Обчислюємо визначники системи:

,

,

,

.

Щоб отримати визначник, ми замінили у визначнику перший стовпець на стовпець із вільних членів; замінюючи в визначнику другий стовпець на стовпець з вільних членів, отримуємо; аналогічно, замінюючи в визначнику третій стовпець на стовпець з вільних членів, отримуємо . Рішення системи:

Вирішення систем лінійних рівнянь за допомогою зворотної матриці.

Нехай у системі(I) (див. §1) m=nі основна матриця системи невироджена. Запишемо систему (I) у матричному вигляді ( див. §2):

т.к. матриця Aневироджена, вона має зворотну матрицю ( див. теорему 1 §6 глави 1). Помножимо обидві частини рівності (2) на матрицю , тоді

. (3)

За визначенням зворотної матриці. З рівності (3) маємо

Вирішити систему за допомогою зворотної матриці

.

Позначимо

; ; .

У прикладі (§ 3) ми обчислили визначник , отже, матриця Aмає зворотну матрицю. Тоді в силу (4) , тобто.

. (5)

Знайдемо матрицю ( див. §6 глави 1)

, , ,

, , ,

, , ,

,

.

Метод Гауса.

Нехай задана система лінійних рівнянь:

. (I)

Потрібно знайти всі рішення системи (I) або переконатися, що система несовместна.

Визначення 1.Назвемо елементарним перетворенням системи(I) будь-яка з трьох дій:

1) креслення нульового рівняння;

2) додавання до обох частин рівняння відповідних частин іншого рівняння, помножених на число l;

3) зміна місцями доданків у рівняннях системи те щоб невідомі з однаковими номерами переважають у всіх рівняннях займали однакові місця, тобто. якщо, наприклад, у першому рівнянні ми змінили друге і третє доданки, тоді те саме потрібно зробити у всіх рівняннях системи.

Метод Гаусса у тому, що система (I) з допомогою елементарних перетворень наводиться до рівносильної системі, вирішення якої перебуває безпосередньо чи встановлюється нерозв'язність.

Як було описано в §2 система (I) однозначно визначається своєю розширеною матрицею і будь-яке елементарне перетворення системи (I) відповідає елементарному перетворенню розширеної матриці:

.

Перетворення 1) відповідає викресленню нульового рядка в матриці, перетворення 2) рівносильне доданню до відповідного рядка матриці іншого її рядка, помноженого на число l, перетворення 3) еквівалентно перестановці стовпців у матриці.

Легко бачити, що, навпаки, кожному елементарне перетворення матриці відповідає елементарне перетворення системи (I). В силу сказаного, замість операцій із системою (I) ми працюватимемо з розширеною матрицею цієї системи.

У матриці перший стовпець складається з коефіцієнтів при х 1, другий стовпець - з коефіцієнтів при х 2і т.д. У разі перестановки стовпців слід враховувати, що ця умова порушується. Наприклад, якщо ми поміняємо перший і другий стовпці місцями, то тепер в першому стовпці будуть коефіцієнти при х 2, а у 2-му стовпці - коефіцієнти при х 1.

Розв'язуватимемо систему (I) методом Гауса.

1. Викреслимо у матриці всі нульові рядки, якщо такі є (тобто викреслимо в системі (I) усі нульові рівняння).

2. Перевіримо, чи є серед рядків матриці рядок, у якому всі елементи, крім останнього, дорівнюють нулю (назвемо такий рядок несумісним). Очевидно, що такому рядку відповідає несумісне рівняння в системі (I), отже система (I) рішень не має і на цьому процес закінчується.

3. Нехай матриця не містить несумісних рядків (система (I) не містить несумісних рівнянь). Якщо a 11 = 0, то знаходимо в 1-му рядку якийсь елемент (крім останнього) відмінний від нуля і переставляємо стовпці так, щоб у 1-му рядку на 1-му місці не було нуля. Тепер вважатимемо, що (тобто поміняємо місцями відповідні доданки в рівняннях системи (I)).

4. Помножимо 1-ий рядок на і складемо результат з 2-им рядком, потім помножимо 1-ий рядок на і складемо результат з 3-м рядком і т.д. Очевидно, що цей процес еквівалентний виключенню невідомого x 1із усіх рівнянь системи (I), крім одного. У новій матриці отримуємо нулі в 1-му стовпці під елементом a 11:

.

5. Викреслимо в матриці всі нульові рядки, якщо вони є, перевіримо, чи немає несумісного рядка (якщо вона є, система несумісна і на цьому рішення закінчується). Перевіримо, чи буде a 22/=0Якщо так, то знаходимо у другому рядку елемент, відмінний від нуля і переставляємо стовпці так, щоб . Далі множимо елементи 2-го рядка на і складаємо з відповідними елементами 3-го рядка, потім - елементи 2-го рядка на і складаємо з відповідними елементами 4-го рядка і т.д., доки не отримаємо нулі під a 22 /

.

Зроблені дії еквівалентні виключенню невідомого х 2з усіх рівнянь системи (I), крім 1-го та 2-ого. Так як число рядків звичайно, тому через кінцеве число кроків ми отримаємо, що система несумісна, або ми прийдемо до ступінчастої матриці ( див. визначення 2 §7 глави 1) :

,

Випишемо систему рівнянь, що відповідає матриці . Ця система рівносильна системі (I)

.

З останнього рівняння виражаємо; підставляємо в попереднє рівняння, знаходимо і т.д., доки не отримаємо .

Примітка 1.Таким чином, при вирішенні системи (I) методом Гауса ми приходимо до одного з таких випадків.

1. Система (I) несумісна.

2. Система (I) має єдине рішення, якщо в матриці число рядків дорівнює кількості невідомих ().

3. Система (I) має безліч рішень, якщо число рядків у матриці менше числа невідомих ().

Звідси має місце така теорема.

Теорема.Система лінійних рівнянь або несумісна, або має єдине рішення, або - безліч рішень.

приклади. Вирішити систему рівнянь методом Гауса або довести її несумісність:

а) ;

б) ;

в) .

а) Перепишемо задану систему у вигляді:

.

Ми поміняли місцями 1-е та 2-е рівняння вихідної системи, щоб спростити обчислення (замість дробів ми за допомогою такої перестановки оперуватимемо тільки цілими числами).

Складаємо розширену матрицю:

.

Нульових рядків немає; несумісних рядків немає; виключимо перше невідоме з усіх рівнянь системи, крім одного. Для цього помножимо елементи 1-го рядка матриці на «-2» і складемо з відповідними елементами 2-го рядка, що дорівнює множенню 1-го рівняння на «-2» і додавання з 2-им рівнянням. Потім помножимо елементи 1-го рядка на -3 і складемо з відповідними елементами третього рядка, тобто. помножимо 2-е рівняння заданої системи на «-3» і складемо з 3-м рівнянням. Отримаємо

.

Матриці відповідає система рівнянь