Приватні похідні функції двох змінних.
Поняття та приклади рішень

На цьому уроці ми продовжимо знайомство з функцією двох змінних і розглянемо, мабуть, найпоширеніше тематичне завдання – знаходження приватних похідних першого та другого порядку, а також повного диференціалу функції. Студенти-заочники, як правило, стикаються з приватними похідними на 1 курсі у 2 семестрі. Причому, за моїми спостереженнями, завдання перебування приватних похідних практично завжди зустрічається на іспиті.

Для ефективного вивчення нижченаведеного матеріалу вам необхідновміти більш менш впевнено знаходити «звичайні» похідні функції однієї змінної. Навчитися правильно поводитися з похідними можна під час уроків Як знайти похідну?і Похідна складної функції. Також нам знадобиться таблиця похідних елементарних функцій та правил диференціювання, найзручніше, якщо вона буде під рукою в роздрукованому вигляді. Здобути довідковий матеріал можна на сторінці Математичні формули та таблиці.

Швиденько повторимо поняття функції двох змінних, я постараюся обмежитися найменшим. Функція двох змінних зазвичай записується як , у своїй змінні , називаються незалежними зміннимиабо аргументами.

Приклад: - Функція двох змінних.

Іноді використовують запис. Також зустрічаються завдання, де замість букви використовується буква .

З геометричної точки зору функція двох змінних найчастіше є поверхнею тривимірного простору (площина, циліндр, куля, параболоїд, гіперболоїд і т. д.). Але, власне, це вже більше аналітична геометрія, а у нас на порядку денному математичний аналіз, який ніколи не давав списувати мій викладач вузу є моїм «ковзаном».

Переходимо до питання перебування приватних похідних першого та другого порядків. Повинен повідомити хорошу новину для тих, хто випив кілька чашок кави і налаштувався на неймовірно важкий матеріал: приватні похідні – це майже те саме, що й «звичайні» похідні функції однієї змінної.

Для приватних похідних справедливі всі правила диференціювання та таблиця похідних елементарних функцій. Є тільки кілька невеликих відмінностей, з якими ми познайомимося прямо зараз:

…так, до речі, для цієї теми я таки створив маленьку pdf-книжку, яка дозволить "набити руку" буквально за пару годин. Але, користуючись сайтом, ви, безумовно, теж отримаєте результат - тільки може трохи повільніше:

Приклад 1

Знайти приватні похідні першого та другого порядку функції

Спочатку знайдемо приватні похідні першого порядку. Їх дві.

Позначення:
або - приватна похідна по "ікс"
або – приватна похідна за «ігроком»

Почнемо з . Коли ми знаходимо приватну похідну по «ікс», то змінна вважається константою (постійним числом).

Коментарі до виконаних дій:

(1) Перше, що ми робимо під час перебування приватної похідної – укладаємо всюфункцію в дужки під штрих з підрядковим індексом.

Увага, важливо!Підрядкові індекси НЕ ВТРАЮЄМО по ходу рішення. В даному випадку, якщо ви десь намалюєте «штрих» без , то викладач, як мінімум, може поставити поруч із завданням (відразу відкусити частину бала за неуважність).

(2) Використовуємо правила диференціювання , . Для простого прикладу, як цей, обидва правила можна застосувати на одному кроці. Зверніть увагу на перший доданок: оскільки вважається константою, а будь-яку константу можна винести за знак похідної, то ми виносимо за дужки. Тобто в цій ситуації нічим не краще за звичайне число. Тепер подивимося на третій доданок: тут, навпаки, нічого не виносити. Оскільки константа, то – теж константа, і в цьому сенсі вона нічим не краща за останній доданок – «сімки».

(3) Використовуємо табличні похідні та .

(4) Спрощуємо, або, як я люблю говорити, «зачісуємо» відповідь.

Тепер. Коли ми знаходимо приватну похідну за «ігроком», то зміннавважається константою (постійним числом).

(1) Використовуємо самі правила диференціювання , . У першому доданку виносимо константу за знак похідної, у другому доданку нічого винести не можна оскільки – вже константа.

(2) Використовуємо таблицю похідних функцій. Уявно поміняємо в таблиці всі «ікси» на «ігреки». Тобто дана таблиця рівно справедлива і для (та й взагалі майже для будь-якої літери). Зокрема, формули, які ми використовуємо, виглядають так: і .

У чому сенс приватних похідних?

По суті приватні похідні 1-го порядку нагадують «звичайну» похідну:

– це функції, які характеризують швидкість змінифункції у напрямку осей та відповідно. Так, наприклад, функція характеризує крутість «підйомів» та «схилів» поверхніу напрямку осі абсцис, а функція повідомляє нам про «рельєф» цієї ж поверхні у напрямку осі ординат.

! Примітка : тут маються на увазі напрямки, які паралельнікоординатним осям.

З метою кращого розуміння розглянемо конкретну точку площини та обчислимо в ній значення функції (висоту):
– а тепер уявіть, що ви тут знаходитесь (НА САМІЙ поверхні).

Обчислимо приватну похідну по «ікс» у цій точці:

Негативний знак «іксової» похідної повідомляє про спаданняфункції в точці за напрямом осі абсцис. Іншими словами, якщо ми зробимо маленький-маленький (Безмежно малий)крок у бік вістря осі (паралельно даної осі), то спустимося вниз схилом поверхні.

Тепер дізнаємося характер «місцевості» у напрямку осі ординат:

Похідна за «ігроком» позитивна, отже, в точці за напрямком осі функція зростає. Якщо дуже просто, то тут нас чекає підйом у гору.

Крім того, приватна похідна в точці характеризує швидкість змінифункції за відповідним напрямом. Чим набуте значення більше за модулем– тим поверхня крутіша, і навпаки, чим вона ближче до нуля – тим поверхня більш полога. Так, у нашому прикладі «схил» у напрямку осі абсцис крутіший, ніж «гора» у напрямку осі ординат.

Але то були два приватні шляхи. Цілком зрозуміло, що з точки, в якій ми знаходимося, (і взагалі з будь-якої точки даної поверхні)ми можемо зрушити і в якомусь іншому напрямку. Таким чином, виникає інтерес скласти загальну «навігаційну карту», ​​яка повідомляла б нам про «ландшафт» поверхні по можливостіу кожній точці області визначення цієї функціїпо всіх доступних шляхах. Про це та інші цікаві речі я розповім на одному з наступних уроків, а поки що повернемося до технічного боку питання.

Систематизуємо елементарні прикладні правила:

1) Коли ми диференціюємо по , то змінна вважається константою.

2) Коли ж диференціювання здійснюється зато константою вважається.

3) Правила та таблиця похідних елементарних функцій справедливі і застосовні для будь-якої змінної (або будь-якої іншої), за якою ведеться диференціювання.

Крок другий. Знаходимо приватні похідні другого порядку. Їх чотири.

Позначення:
або – друга похідна з «ікс»
або – друга похідна за «ігроком»
або – змішанапохідна «ікс із ігрок»
або – змішанапохідна «ігрок з ікс»

З другої похідної немає жодних проблем. Говорячи простою мовою, друга похідна – це похідна від першої похідної.

Для зручності я перепишу вже знайдені приватні похідні першого порядку:

Спочатку знайдемо змішані похідні:

Як бачите, все просто: беремо приватну похідну та диференціюємо її ще раз, але в даному випадку – вже за «ігроком».

Аналогічно:

У практичних прикладах можна орієнтуватися на таку рівність:

Таким чином, через змішані похідні другого порядку дуже зручно перевірити, чи правильно ми знайшли приватні похідні першого порядку.

Знаходимо другу похідну по «ікс».
Жодних винаходів, беремо і диференціюємо її по «ікс» ще раз:

Аналогічно:

Слід зазначити, що при знаходженні потрібно проявити підвищена увага, оскільки жодних чудових рівностей для їхньої перевірки не існує.

Другі похідні також знаходять широке практичне застосування, зокрема вони використовуються в задачі відшукання екстремумів функції двох змінних. Але всьому свій час:

Приклад 2

Обчислити приватні похідні першого порядку функції у точці. Знайти похідні другого порядку.

Це приклад самостійного рішення (відповіді наприкінці уроку). Якщо виникли труднощі з диференціюванням коріння, поверніться до уроку Як знайти похідну?А взагалі, незабаром ви навчитеся знаходити подібні похідні «з льоту».

Набиваємо руку на складніших прикладах:

Приклад 3

Перевірити, що . Записати повний диференціал першого порядку.

Рішення: Знаходимо приватні похідні першого порядку:

Зверніть увагу на підрядковий індекс: , поряд з «іксом» можна в дужках записувати, що - константа. Ця позначка може бути дуже корисною для початківців, щоб легше було орієнтуватися у вирішенні.

Подальші коментарі:

(1) Виносимо всі константи за знак похідної. У разі і , отже, та його твір вважається постійним числом.

(2) Не забуваємо, як правильно диференціювати коріння.

(1) Виносимо всі константи за знак похідної, у разі константою є .

(2) Під штрихом у нас залишився добуток двох функцій, отже, потрібно використовувати правило диференціювання твору .

(3) Не забуваємо, що це складна функція (хоча і найпростіша зі складних). Використовуємо відповідне правило: .

Тепер знаходимо змішані похідні другого порядку:

Отже, всі обчислення виконані правильно.

Запишемо повний диференціал. У контексті завдання не має сенсу розповідати, що таке повний диференціал функції двох змінних. Важливо, що цей диференціал дуже часто потрібно записати в практичних завданнях.

Повний диференціал першого порядкуфункції двох змінних має вигляд:

В даному випадку:

Тобто, у формулу треба тупо просто підставити вже знайдені похідні приватні першого порядку. Значки диференціалів і в цій та схожих ситуаціях по можливості краще записувати в чисельниках:

І на неодноразові прохання читачів, повний диференціал другого порядку.

Він виглядає так:

УВАЖНО знайдемо «однолітерні» похідні 2-го порядку:

і запишемо «монстра», акуратно «прикріпивши» квадрати, твір і не забувши подвоїти змішану похідну:

Нічого страшного, якщо щось здалося важким, до похідних завжди можна повернутися пізніше, після того, як підніміть техніку диференціювання:

Приклад 4

Знайти приватні похідні першого порядку функції . Перевірити, що . Записати повний диференціал першого порядку.

Розглянемо серію прикладів зі складними функціями:

Приклад 5

Знайти приватні похідні першого порядку функції.

Рішення:

Приклад 6

Знайти приватні похідні першого порядку функції .
Записати повний диференціал.

Це приклад самостійного рішення (відповідь наприкінці уроку). Повне рішення не наводжу, оскільки воно досить просте

Досить часто всі вищерозглянуті правила застосовують у комбінації.

Приклад 7

Знайти приватні похідні першого порядку функції .

(1) Використовуємо правило диференціювання суми

(2) Перше доданок у разі вважається константою, оскільки у виразі немає нічого, залежить від «ікс» – лише «ігреки». Знаєте, завжди приємно, коли дріб вдається перетворити на нуль). Для другого доданку застосовуємо правило диференціювання твору. До речі, у цьому сенсі нічого б не змінилося, якби натомість була дана функція – важливо, що тут добуток двох функцій, КОЖНА з яких залежить від «ікс», А тому потрібно використовувати правило диференціювання твору. Для третього доданку застосовуємо правило диференціювання складної функції.

(1) У першому доданку і в чисельнику і в знаменнику міститься «гравець», отже потрібно використовувати правило диференціювання приватного: . Другий доданок залежить ТІЛЬКИ від «ікс», значить, вважається константою і перетворюється на нуль. Для третього доданку використовуємо правило диференціювання складної функції.

Для тих читачів, які мужньо дісталися майже кінця уроку, розповім старий мехматовский анекдот для разрядки:

Одного разу в просторі функцій з'явилася зла похідна і як пішла всіх диференціювати. Усі функції розбігаються хто куди, нікому не хочеться перетворюватися! І лише одна функція нікуди не тікає. Підходить до неї похідна і запитує:

– А чому це ти від мене нікуди не тікаєш?

– Ха. А мені все одно, адже я «е в ступені ікс», і ти зі мною нічого не вдієш!

На що зла похідна з підступною посмішкою відповідає:

- Ось тут ти помиляєшся, я тебе продиференціюю по "ігрок", так що тобі бути нулем.

Хто зрозумів анекдот, той освоїв похідні щонайменше на «трійку»).

Приклад 8

Знайти приватні похідні першого порядку функції .

Це приклад самостійного рішення. Повне рішення та зразок оформлення завдання – наприкінці уроку.

Ну ось майже все. Насамкінець не можу не порадувати любителів математики ще одним прикладом. Справа навіть не в любителях, у всіх різний рівень математичної підготовки - зустрічаються люди (і не так вже й рідко), які люблять потягатися із завданнями складніше. Хоча, останній цьому уроці приклад не так складний, скільки громіздкий з погляду обчислень.

Лекція 3 ФНП, приватні похідні, диференціал

Що головне ми дізналися на минулій лекції

Ми дізналися, що таке функція кількох змінних з аргументом з евклідового простору. Вивчили, що таке межа та безперервність для такої функції

Що ми дізнаємось на цій лекції

Продовжуючи вивчення ФНП, ми вивчимо приватні похідні та диференціали для цих функцій. Дізнаємося, як написати рівняння дотичної площини та нормалі до поверхні.

Приватна похідна повний диференціал ФНП. Зв'язок диференційованості функції із існуванням приватних похідних

Для функції однієї речової змінної після вивчення тем «Межі» та «Безперервність» (Вступ до математичного аналізу) вивчалися похідні та диференціали функції. Перейдемо до розгляду аналогічних питань функції декількох змінних. Зауважимо, що якщо у ФНП зафіксувати всі аргументи, крім одного, то ФНП породжує функцію одного аргументу, для якої можна розглядати збільшення, диференціал та похідну. Їх ми називатимемо відповідно приватним збільшенням, приватним диференціалом та приватною похідною. Перейдемо до точним визначенням.

Визначення 10. Нехай задана функція змінних де - Елемент евклідова простору і відповідні збільшення аргументів , , ..., . При величині називаються приватними прирощеннями функція. Повне збільшення функції - це величина.

Наприклад, для функції двох змінних , де - точка на площині і , відповідні збільшення аргументів, приватними будуть збільшення , . При цьому величина є повним збільшенням функції двох змінних.

Визначення 11. Приватної похідної функції змінних за змінною називається межа відношення приватного збільшення функції за цією змінною до збільшення відповідного аргументу , коли прагне до 0.

Запишемо визначення 11 у вигляді формули або у розгорнутому вигляді. (2) Для функції двох змінних визначення 11 запишеться як формул , . З практичної точки зору це визначення означає, що при обчисленні приватної похідної по одній змінній решта всіх змінних фіксуються і ми розглядаємо цю функцію як функцію однієї обраної змінної. За цією змінною і береться звичайна похідна.

Приклад 4. Для функції , де знайдіть приватні похідні та точку, де обидві приватні похідні дорівнюють 0.

Рішення . Обчислимо приватні похідні і систему запишемо у вигляді Рішенням цієї системи є дві точки та .

Розглянемо тепер, як поняття диференціала узагальнюється ФНП. Згадаємо, що функція однієї змінної називається диференційованою, якщо її збільшення представляється у вигляді , при цьому величина є головною частиною збільшення функції і називається її диференціалом. Величина є функцією від , має ту властивість, що , тобто є функцією, нескінченно малою в порівнянні з . Функція однієї змінної диференційована в точці і тоді, коли має похідну в цій точці. У цьому константа і дорівнює цієї похідної, т. е. для диференціала справедлива формула .

Якщо розглядається приватне збільшення ФНП, то змінюється лише один з аргументів, і це приватне збільшення можна розглядати як збільшення функції однієї змінної, тобто працює та ж теорія. Отже, умова диференційності виконано тоді і лише тоді, коли існує приватна похідна , і в цьому випадку приватний диференціал визначається формулою .

А що таке повний диференціал функції кількох змінних?

Визначення 12. Функція змінних називається диференційованою в точці , якщо її збільшення представляється як . У цьому головна частина збільшення називається диференціалом ФНП.

Отже, диференціалом ФНП є величина . Уточнимо, що ми розуміємо під величиною , яку ми називатимемо нескінченно малою в порівнянні з приростами аргументів . Це функція, яка має ту властивість, що якщо всі прирощення, крім одного , дорівнюють 0, то справедлива рівність . По суті це означає, що = = + +…+ .

А як пов'язані між собою умова диференційності ФНП та умови існування приватних похідних цієї функції?

Теорема 1. Якщо функція змінних диференційована у точці , то в неї існують приватні похідні за всіма змінними в цій точці і при цьому .

Доведення. Рівність запишемо при та у вигляді та розділи обидві частини отриманої рівності на . В отриманій рівності перейдемо до межі при . У результаті ми й отримаємо необхідну рівність. Теорему доведено.

Слідство. Диференціал функції змінних обчислюється за формулою . (3)

У прикладі 4 диференціал функції дорівнював. Зауважимо, що цей же диференціал у точці дорівнює . А от якщо ми його обчислимо в точці з приростами, то диференціал дорівнюватиме. Зауважимо, що , точне значення заданої функції в точці дорівнює , а ось це значення, приблизно обчислене за допомогою 1-го диференціала, дорівнює . Ми бачимо, що, замінюючи збільшення функції її диференціалом, ми можемо приблизно обчислювати значення функції.

А чи буде функція кількох змінних диференційована у точці, якщо вона має приватні похідні у цій точці. На відміну від функції однієї змінної у відповідь це питання негативний. Точне формулювання взаємозв'язку дає така теорема.

Теорема 2. Якщо у функції змінних у точці існують безперервні похідні приватні по всіх змінних, то функція диференційована в цій точці.

у вигляді . У кожній дужці змінюється лише одна змінна, тому ми можемо і там і там застосувати формулу кінцевих приростів Лагранжа. Суть цієї формули в тому, що для безперервно диференційованої функції однієї змінної різниця значень функції у двох точках дорівнює значенню похідної в деякій проміжній точці, помноженому на відстань між точками. Застосовуючи цю формулу кожної з дужок, отримаємо . Через безперервність приватних похідних похідна в точці і похідна в точці відрізняються від похідних і в точці на величини і , що прагнуть 0 при , що прагнуть 0. Але тоді і, очевидно, . Теорему доведено. , А координата. Перевірте, чи ця точка належить поверхні. Напишіть рівняння дотичної площини та рівняння нормалі до поверхні у зазначеній точці.

Рішення. Справді, . Ми вже обчислювали у минулій лекції диференціал цієї функції у довільній точці, у заданій точці він дорівнює . Отже, рівняння дотичної площини запишеться як або , а рівняння нормалі - як .

Розглянемо зміну функції при заданні збільшення лише одному з її аргументів – х iі назвемо його.

Визначення 1.7.Приватна похіднафункції за аргументом х iназивається .

Позначення: .

Таким чином, приватна похідна функції кількох змінних визначається фактично як похідна функції однією змінною – х i. Тому для неї справедливі всі властивості похідних, доведені для функції однієї змінної.

Зауваження. При практичному обчисленні приватних похідних користуємося звичайними правилами диференціювання функції однієї змінної, вважаючи аргумент, яким ведеться диференціювання, змінним, інші аргументи – постійними.

1. z = 2x² + 3 xy –12y² + 5 x – 4y +2,

2. z = x y ,

Геометрична інтерпретація окремих похідних функції двох змінних.

Розглянемо рівняння поверхні z = f(x, y)і проведемо площину х = const. Виберемо на лінії перетину площини з поверхнею крапку М (х,у). Якщо задати аргумент уприріст Δ ута розглянути точку Т на кривій з координатами ( х, у+Δ у, z+Δ y z), то тангенс кута, утвореного січною МТ з позитивним напрямом осі у, дорівнюватиме . Переходячи до межі при отримаємо, що приватна похідна дорівнює тангенсу кута, утвореного дотичної до отриманої кривої в точці Мз позитивним напрямом осі у.Відповідно приватна похідна дорівнює тангенсу кута з віссю хдотичної до кривої, отриманої в результаті перерізу поверхні z = f(x, y)площиною y = const.

Визначення 2.1. Повним збільшенням функції u = f(x, y, z) називається

Визначення 2.2. Якщо збільшення функції u = f (x, y, z) у точці (x 0 , y 0 , z 0) можна подати у вигляді (2.3), (2.4), то функція називається диференційованою в цій точці, а вираз - головною лінійною частиною збільшення чи повним диференціалом аналізованої функції.

Позначення: du, df (x 0, y 0, z 0).

Так само, як у випадку функції однієї змінної, диференціалами незалежних змінних вважаються їх довільні прирости, тому

Зауваження 1. Отже, твердження «функція диференційована» не рівнозначно твердженню «функція має приватні похідні» - для диференційності потрібна ще й безперервність цих похідних у точці, що розглядається.

4. Дотична площина та нормаль до поверхні. Геометричний зміст диференціала.

Нехай функція z = f(x, y)є диференційованої на околиці точки М (х 0, у 0). Тоді її приватні похідні і є кутовими коефіцієнтами, що стосуються ліній перетину поверхні. z = f(x, y)з площинами у = у 0і х = х 0, які будуть дотичні і до самої поверхні z = f(x, y).Складемо рівняння площини, що проходить через ці прямі. Напрямні вектори дотичних мають вигляд (1; 0;) і (0; 1;), тому нормаль до площини можна представити у вигляді їх векторного твору: n = (-, -, 1). Отже, рівняння площини можна записати так:

де z 0 = .

Визначення 4.1.Площина, що визначається рівнянням (4.1), називається дотичною площиноюдо графіку функції z = f(x, y)у точці з координатами (х 0, у 0, z 0).

З формули (2.3) для двох змінних випливає, що збільшення функції fна околиці точки Мможна уявити у вигляді:

Отже, різниця між аплікатами графіка функції та дотичної площини є нескінченно малою вищого порядку, ніж ρ, при ρ→ 0.

При цьому диференціал функції fмає вигляд:

що відповідає прирощенню аплікати дотичної площини до графіка функції. У цьому полягає геометричне значення диференціала.

Визначення 4.2.Ненульовий вектор перпендикулярний дотичній площині в точці. М (х 0, у 0)поверхні z = f(x, y), називається нормаллюдо поверхні у цій точці.

В якості нормалі до розглянутої поверхні зручно прийняти вектор - n = { , ,-1}.

Нехай функція визначена у певній (відкритій) області D точок
мірного простору, та
– точка у цій галузі, тобто.
D.

Приватним збільшенням функціїбагатьох змінних за якою-небудь змінною називається те збільшення, яке отримає функція, якщо ми дамо збільшення цієї змінної, вважаючи, що всі інші змінні мають постійні значення.

Наприклад, приватне збільшення функції змінної буде

Приватної похідної незалежної змінної у точці
від функції називається межа (якщо існує) відносини приватного збільшення
функції до збільшення
змінної при прагненні
до нуля:

Приватну похідну позначають одним із символів:

;
.

Зауваження.Індекс внизу в цих позначеннях лише вказує, за якою зі змінних береться похідна, і не пов'язана з тим, у якій точці
ця похідна обчислюється.

Обчислення приватних похідних не представляє нічого нового в порівнянні з обчисленням звичайної похідної, необхідно тільки пам'ятати, що при диференціюванні функції будь-якої змінної всі інші змінні приймаються за постійні. Покажемо на прикладах.

приклад 1.Знайти приватні похідні функції
.

Рішення. При обчисленні приватної похідної функції
за аргументом розглядаємо функцію як функцію лише однієї змінної , тобто. вважаємо, що має фіксоване значення. При фіксованому функція
є статечною функцією аргументу . За формулою диференціювання статечної функції отримуємо:

Аналогічно при обчисленні приватної похідної вважаємо, що фіксоване значення , і розглядаємо функцію
як показову функцію аргументу . У результаті отримуємо:

Приклад 2. Найті приватні похідні і функції
.

Рішення.При обчисленні приватної похідної за задану функцію ми розглядатимемо як функцію однієї змінної , а вирази, що містять , Будуть постійними множниками, тобто.
виступає у ролі постійного коефіцієнта при статечній функції (
). Диференціюючи цей вираз по , Отримаємо:

.

Тепер, навпаки, функцію розглядаємо як функцію однієї змінної , в той час як вирази, що містять , виступають у ролі коефіцієнта
(
).Диференціюючи за правилами диференціювання тригонометричних функцій, отримуємо:

приклад 3. Обчислити приватні похідні функції
у точці
.

Рішення.Знаходимо спочатку приватні похідні цієї функції у довільній точці
її області визначення. При обчисленні приватної похідної за вважаємо, що
є незмінними.

при диференціюванні по постійними будуть
:

а при обчисленні приватних похідних за і по , аналогічно, постійними будуть, відповідно,
і
, тобто:

Тепер обчислимо значення цих похідних у точці
, підставляючи у тому висловлювання конкретні значення змінних. У результаті отримуємо:

11. Приватні та повні диференціали функції

Якщо тепер до приватного збільшення
застосувати теорему Лагранжа про кінцеві збільшення змінної , то, вважаючи безперервною, отримаємо такі співвідношення:

де
,
- Безмежно мала величина.

Приватним диференціалом функціїпо змінній називається головна лінійна частина приватного збільшення
, рівна добутку приватної похідної за цією змінною на збільшення цієї змінної, і позначається

Очевидно, приватний диференціал відрізняється від приватного збільшення на нескінченно малу вищого порядку.

Повним збільшенням функціїбагатьох змінних називається її приріст, яке вона отримає, коли всім незалежним змінним дамо приріст, тобто.

де всі
, залежать ті разом із нею прагнуть нулю.

Під диференціалами незалежних змінних домовилися мати на увазі довільніприрощення
і позначати їх
. Таким чином, вираз приватного диференціала набуде вигляду:

Наприклад, приватний диференціал по визначається так:

.

Повним диференціалом
функції багатьох зміннихназивається головна лінійна частина повного збільшення
, Рівна, тобто. сумі всіх її приватних диференціалів:

Якщо функція
має безперервні приватні похідні

у точці
, то вона диференційована в даній точці.

При досить малому для функції, що диференціюється
мають місце наближені рівності

,

за допомогою яких можна робити наближені обчислення.

приклад 4.Знайти повний диференціал функції
трьох змінних
.

Рішення.Насамперед, знаходимо приватні похідні:

Помітивши, що вони безперервні за всіх значень
, знаходимо:

Для диференціалів функцій багатьох змінних вірні всі теореми про властивості диференціалів, доведені для випадку функції однієї змінної, наприклад: якщо і - Безперервні функції змінних
, що мають безперервні приватні похідні по всіх змінних, а і - довільні постійні, то:

(6)

Приватними похідними функції у разі, якщо вони існують над одній точці, але в деякому безлічі, є функції, визначені цьому множині. Ці функції можуть бути безперервними і в деяких випадках можуть мати приватні похідні в різних точках області визначення.

Приватні похідні цих функцій називаються приватними похідними другого порядку чи іншими приватними похідними.

Приватні похідні другого порядку розбиваються на дві групи:

· другі приватні похідні від змінної;

· Змішані приватні похідні від змінних і.

При подальшому диференціювання можна визначити окремі похідні третього порядку і т.д. Аналогічними міркуваннями визначаються та записуються приватні похідні вищих порядків.

Теорема.Якщо всі вхідні обчислення приватні похідні, що розглядаються як функції своїх незалежних змінних, безперервні, то результат приватного диференціювання не залежить від послідовності диференціювання.

Часто виникає потреба вирішення зворотної задачі, яка полягає у визначенні того, чи є повним диференціалом функції вираз виду, де безперервні функції з безперервними похідними першого порядку.

Необхідна умова повного диференціала можна сформулювати як теореми, яку приймемо без докази.

Теорема.Для того, щоб диференціальний вираз був в області повним диференціалом функції, визначеної та диференційованої в цій галузі, необхідно, щоб у цій галузі тотожно було виконано умову для будь-якої пари незалежних змінних і.

Завдання обчислення повного диференціалу другого порядку функції можна вирішити так. Якщо вираз повного диференціалу також диференціюється, то другим повним диференціалом (або повним диференціалом другого порядку) можна вважати вираз, отриманий в результаті застосування операції диференціювання до першого повного диференціалу, тобто. . Аналітичний вираз другого повного диференціала має вид:

З урахуванням того, що змішані похідні не залежать від порядку диференціювання, формулу можна згрупувати та уявити у вигляді квадратичної форми:

Матриця квадратичної форми дорівнює:

Нехай задана суперпозиція функцій, визначеної в і

Певних ст. При цьому. Тоді, якщо мають безперервні приватні похідні до другого порядку в точках і, то існує другий повний диференціал складної функції наступного виду:

Як видно, другий повний диференціал не має властивості інваріантності форми. У вираз другого диференціалу складної функції входять доданки, які відсутні у формулі другого диференціалу простої функції.

Побудова приватних похідних функції вищих порядків можна продовжувати, виконуючи послідовне диференціювання цієї функції:

Де індекси набувають значення від до, тобто. похідна порядку розглядається як приватна похідна першого порядку від похідної порядку. Аналогічно можна запровадити і поняття повного диференціалу порядку функції, як повного диференціалу першого порядку від диференціалу порядку: .

У разі простої функції двох змінних формула для обчислення повного диференціалу порядку функції має вигляд

Застосування оператора диференціювання дозволяє отримати компактну форму запису, що легко запам'ятовується, для обчислення повного диференціала порядку функції, аналогічну формулі бінома Ньютона. У двовимірному випадку вона має вигляд.