1 dấu bằng nhau của tam giác được gọi là. Dấu hiệu thứ ba của sự bằng nhau của tam giác

Giữa lượng lớnđa giác, về cơ bản là một đa giác khép kín không giao nhau, một tam giác là hình có ít góc nhất. Nói cách khác, đây là đa giác đơn giản nhất. Tuy nhiên, bất chấp tất cả sự đơn giản của nó, con số này ẩn chứa nhiều bí ẩn và khám phá thú vịđược chiếu sáng Phần đặc biệt toán học - hình học. Bộ môn này trong trường học bắt đầu được dạy từ lớp bảy, và chủ đề "Tam giác" được đưa ra tại đây Đặc biệt chú ý. Trẻ em không chỉ học các quy tắc về chính hình đó, mà còn so sánh chúng, nghiên cứu dấu hiệu 1, 2 và 3 của sự bằng nhau của hình tam giác.

Buổi gặp gỡ đầu tiên

Một trong những quy tắc đầu tiên mà học sinh học là một cái gì đó như thế này: tổng các giá trị của tất cả các góc của một tam giác là 180 độ. Để xác nhận điều này, chỉ cần đo từng đỉnh với sự trợ giúp của thước đo góc và cộng tất cả các giá trị kết quả. Dựa trên điều này, với hai giá trị đã biết, rất dễ dàng xác định giá trị thứ ba. Ví dụ: Trong một tam giác, một trong các góc là 70 ° và góc kia là 85 °, giá trị của góc thứ ba là bao nhiêu?

180 - 85 - 70 = 25.

Trả lời: 25 °.

Các nhiệm vụ có thể phức tạp hơn nếu chỉ có một giá trị của góc được chỉ ra và giá trị thứ hai chỉ được cho biết bằng bao nhiêu hoặc bao nhiêu lần nó lớn hơn hoặc nhỏ hơn.

Trong một hình tam giác, để xác định một hoặc một trong các đối tượng địa lý của nó, có thể vẽ các đường đặc biệt, mỗi đường có tên riêng:

chiều cao - một đường vuông góc được vẽ từ phía trên sang phía đối diện;
cả ba chiều cao được vẽ đồng thời cắt nhau ở tâm của hình, tạo thành trực tâm, tùy thuộc vào loại tam giác, có thể ở cả trong và ngoài;
trung tuyến - đường nối đỉnh với giữa của phía đối diện;
giao điểm của các trung tuyến là điểm trọng lực của nó, nằm bên trong hình;
đường phân giác - đường thẳng đi từ đỉnh tới giao điểm của cạnh đối diện, giao điểm của ba đường phân giác là tâm của đường tròn nội tiếp.

Sự thật đơn giản về hình tam giác

Trên thực tế, hình tam giác, giống như tất cả các hình dạng, đều có những đặc điểm và tính chất riêng. Như đã đề cập, hình này là hình đa giác đơn giản nhất, nhưng có các tính năng đặc trưng riêng của nó:

đối diện với cạnh dài nhất luôn có một góc có giá trị lớn hơn và ngược lại;
các góc bằng nhau nằm so với các cạnh bằng nhau, một ví dụ về điều này là một tam giác cân;
tổng các góc bên trong luôn là 180 °, điều này đã được chứng minh bằng một ví dụ;
Khi một cạnh của tam giác được kéo dài ra ngoài giới hạn của nó, một góc bên ngoài sẽ được hình thành, góc này sẽ luôn là bằng tổng các góc không tiếp giáp với nó;
một trong hai bên luôn nhỏ hơn tổng của hai bên còn lại, nhưng lớn hơn hiệu của chúng.

Các loại hình tam giác

Giai đoạn tiếp theo của việc làm quen là xác định nhóm mà tam giác đã trình bày thuộc về. Thuộc về một loài cụ thể phụ thuộc vào độ lớn của các góc của tam giác.

Hình cân - với hai cạnh bằng nhau, được gọi là hình bên, hình thứ ba trong trường hợp này đóng vai trò là cơ sở của hình. Các góc ở đáy của một tam giác bằng nhau, và đường trung tuyến được vẽ từ đỉnh là đường phân giác và đường cao.
đúng, hoặc Tam giác đều, là một trong đó tất cả các cạnh của nó bằng nhau.
Hình chữ nhật: một trong các góc của nó là 90 °. Trong trường hợp này, cạnh đối diện với góc này được gọi là cạnh huyền, và hai cạnh kia là chân.
Hình tam giác nhọn - tất cả các góc đều nhỏ hơn 90 °.
Obtuse - một trong các góc lớn hơn 90 °.

Sự bằng nhau và sự đồng dạng của các tam giác

Trong quá trình học, các em không chỉ xét một hình đơn thuần mà còn có thể so sánh hai hình tam giác. Và điều này, có vẻ như, chủ đề đơn giản có rất nhiều quy tắc và định lý mà bạn có thể chứng minh rằng các hình đang xét là các tam giác bằng nhau. Các tam giác bằng nhau nếu các cạnh và góc tương ứng của chúng bằng nhau. Với đẳng thức này, nếu bạn đặt hai hình này chồng lên nhau thì tất cả các đường thẳng của chúng sẽ hội tụ. Ngoài ra, các số liệu có thể tương tự, đặc biệt, điều này áp dụng trong thực tế những con số giống hệt nhau, chỉ khác nhau về độ lớn. Để đưa ra kết luận như vậy về các tam giác đã trình bày, cần đáp ứng một trong các điều kiện sau:

hai góc của một hình này bằng hai góc của hình khác;
hai cạnh của một tỉ lệ với hai cạnh của tam giác thứ hai và các góc tạo bởi các cạnh đó bằng nhau;
ba cạnh của hình thứ hai giống như ba cạnh của hình thứ nhất.

Tất nhiên, để có sự bình đẳng không thể chối cãi, điều này sẽ không gây ra một chút nghi ngờ nào, cần phải có các giá trị giống nhau \ u200b \ u200 đối với tất cả các phần tử của cả hai hình, tuy nhiên, sử dụng các định lý, nhiệm vụ được đơn giản hóa rất nhiều và chỉ có một Một vài điều kiện cho phép để chứng minh sự bằng nhau của các tam giác.

Dấu hiệu đầu tiên của sự bằng nhau của tam giác

Các bài toán thuộc chủ đề này được giải quyết trên cơ sở chứng minh của định lý, nghe có vẻ như sau: "Nếu hai cạnh của một tam giác và góc mà chúng tạo thành bằng hai cạnh và một góc của tam giác khác thì các hình là cũng bình đẳng với nhau. "

Làm thế nào để chứng minh định lý về tiêu chí đầu tiên cho sự bằng nhau của các tam giác? Mọi người đều biết rằng hai đoạn thẳng bằng nhau nếu chúng có cùng độ dài, hoặc các đường tròn bằng nhau nếu chúng có cùng bán kính. Và trong trường hợp hình tam giác, có một số dấu hiệu, có dấu hiệu này, chúng ta có thể cho rằng các hình là giống hệt nhau, điều này rất thuận tiện để sử dụng khi giải các bài toán hình học khác nhau.

Định lý "Dấu đầu tiên của đẳng thức của tam giác" được mô tả ở trên như thế nào, nhưng đây là bằng chứng của nó:

Giả sử các tam giác ABC và A 1 B 1 C 1 có các cạnh AB và A 1 B 1 bằng nhau và theo đó, BC và B 1 C 1, và các góc tạo thành bởi các cạnh này có cùng giá trị, nghĩa là bình đẳng. Khi đó, bằng cách chồng △ ABC trên △ A 1 B 1 C 1, ta nhận được điểm trùng hợp của tất cả các đường và đỉnh. Do đó, các tam giác này hoàn toàn giống hệt nhau, có nghĩa là chúng bằng nhau.

Định lý "Tiêu chuẩn đầu tiên cho sự bằng nhau của tam giác" còn được gọi là "Bằng hai cạnh và một góc." Thực ra, đây là bản chất của nó.

Định lý tính năng thứ hai

Dấu hiệu đẳng thức thứ hai được chứng minh tương tự, việc chứng minh dựa trên thực tế là khi chồng các hình lên nhau, chúng hoàn toàn trùng nhau về tất cả các đỉnh và các cạnh. Và định lý nghe như thế này: "Nếu một cạnh và hai góc trong sự hình thành mà nó tham gia tương ứng với cạnh và hai góc của tam giác thứ hai, thì những hình này giống hệt nhau, nghĩa là bằng nhau."

Dấu hiệu và Bằng chứng thứ ba

Nếu cả 2 và 1 dấu bằng nhau của tam giác liên quan đến cả cạnh và góc của hình, thì dấu thứ 3 chỉ áp dụng cho các cạnh. Vì vậy, định lý có công thức sau: "Nếu tất cả các cạnh của một tam giác bằng ba cạnh của tam giác thứ hai, thì các hình đó đồng dạng."

Để chứng minh định lý này, chúng ta cần đi sâu vào định nghĩa của đẳng thức một cách chi tiết hơn. Trong thực tế, biểu thức "các tam giác bằng nhau" có nghĩa là gì? Identity nói rằng nếu bạn chồng một hình lên một hình khác, tất cả các phần tử của chúng sẽ trùng nhau, điều này chỉ có thể xảy ra khi các cạnh và góc của chúng bằng nhau. Đồng thời, góc đối diện với một trong các cạnh của tam giác kia sẽ bằng đỉnh tương ứng của hình thứ hai. Cần lưu ý rằng tại thời điểm này, phép chứng minh có thể dễ dàng chuyển thành 1 tiêu chí cho sự bằng nhau của các tam giác. Trong trường hợp không quan sát được một chuỗi như vậy, thì sự bằng nhau của các tam giác đơn giản là không thể, ngoại trừ trường hợp hình gương phản chiếuĐầu tiên.

tam giác vuông

Trong cấu trúc của các tam giác như vậy luôn có các đỉnh có góc là 90 °. Do đó, các câu sau đây là đúng:

tam giác có một góc vuông bằng nhau nếu chân của một cái trùng với chân của thứ hai;
các hình bằng nhau nếu cạnh huyền và một trong các chân của chúng bằng nhau;
các tam giác như vậy đồng dư nếu các chân của chúng và góc nhọn là giống hệt nhau.

Dấu hiệu này đề cập đến Để chứng minh định lý, các hình được áp dụng cho nhau, kết quả là các tam giác được gấp với chân sao cho hai đường thẳng đi ra với các cạnh CA và CA 1.

Công dụng thực tế

Trong hầu hết các trường hợp, trong thực tế, dấu hiệu đầu tiên của sự bằng nhau của các tam giác được sử dụng. Trên thực tế, một chủ đề tưởng chừng đơn giản như vậy của lớp 7 về hình học và phép đo phẳng cũng được sử dụng để tính chiều dài, ví dụ, của một sợi cáp điện thoại mà không cần đo địa hình mà nó sẽ đi qua. Sử dụng định lý này, có thể dễ dàng thực hiện các phép tính cần thiết để xác định độ dài của một hòn đảo ở giữa sông mà không cần bơi qua nó. Tăng cường hàng rào bằng cách đặt thanh theo nhịp sao cho nó chia nó thành hai hình tam giác bằng nhau hoặc tính toán các yếu tố phức tạp làm nghề mộc, hoặc khi tính toán hệ thống giàn mái trong quá trình thi công.

Dấu hiệu đầu tiên của sự bằng nhau của tam giác được sử dụng rộng rãi trong cuộc sống "người lớn" thực tế. Mặc dù trong những năm họcĐó là chủ đề này có vẻ nhàm chán và hoàn toàn không cần thiết đối với nhiều người.

Tiêu chuẩn thứ ba cho sự bằng nhau của tam giác trên ba cạnh được hình thành dưới dạng một định lý.

Định lý : Nếu ba cạnh của một tam giác tương ứng bằng ba cạnh của tam giác khác thì các tam giác đó đồng dạng.

Bằng chứng. Xét ΔABC và ΔA 1 B 1 C 1 trong đó AB = A 1 B 1, AC = A 1 C 1, BC = B 1 C 1. Hãy chứng minh rằng ΔABC = ΔA 1 B 1 C 1

Cho ABC và A 1 B 1 C 1 là các tam giác có AB = A 1 B 1, AC = A 1 C 1, BC = B 1 C 1. Ta đặt ∆ABC lên ∆A 1 B 1 C 1 sao cho đỉnh A thẳng hàng với A 1, đỉnh B và B 1, đỉnh C và C 1 thẳng hàng các mặt khác nhau kẻ từ đường thẳng A 1 B 1. Ba trường hợp có thể xảy ra: 1) chùm tia C 1 C đi vào bên trong góc A 1 C 1 B 1 (Hình a)); 2) tia C 1 C trùng với một trong các cạnh của góc này (Hình b)); tia C 1 C đi ra ngoài góc A 1 C 1 B 1 (Hình c)). Hãy xem xét trường hợp đầu tiên. Vì theo điều kiện của định lí, các cạnh AC và A 1 C 1, BC và B 1 C 1 bằng nhau nên các tam giác A 1 C 1 C và B 1 C 1 C là các tam giác cân. Theo định lý về tính chất các góc của tam giác cân, l = l2, l3 = l4, do đó lA 1 CB 1 = = lA 1 C 1 B 1. Vậy, AC = A 1 C 1, BC = B 1 C 1, РС = РС 1. Do đó, các tam giác ABC và A 1 B 1 C 1 bằng nhau theo tiêu chí đầu tiên về sự bằng nhau của các tam giác.

Viết bảng:

Được:ΔABC, ΔA 1 B 1 C 1, AB = A 1 B 1, AC = A 1 C 1, BC = B 1 C 1

Chứng tỏ:∆ABC = ∆A 1 B 1 C 1

Bằng chứng. Hãy đặt ∆ABC trên ∆A 1 B 1 C 1 sao cho A → A 1, và B → B 1, và C và C 1 nằm trên các cạnh đối diện của đường thẳng A 1 B 1. Hãy xem xét một trường hợp. tia C 1 C đi vào bên trong RA 1 C 1 B 1 (Hình a)).

AC \ u003d A 1 C 1, BC \ u003d B 1 C 1 √> ΔA 1 C 1 C và ΔB 1 C 1 C - bằng nhau. Ω> Ðl \ u003d Ð2, Ð3 \ u003d Ð4 (theo tính chất của các góc đều Δ), ω> ÐA 1 CB 1 \ u003d ÐA 1 C 1 B 1 Feat> AC \ u003d A 1 C 1, BC \ u003d B 1 C 1, ÐС = РС 1 ửa>

ΔABC = ΔA 1 B 1 C 1 theo dấu đẳng thức bậc nhất của tam giác.

2. hình thoi. Định nghĩa, tính chất, dấu hiệu.

Hình thoi là một loại tứ giác.

Sự định nghĩa: Hình thoi là hình bình hành có tất cả các cạnh bằng nhau.

Hình bên là hình bình hành ABCD có AB = BC = CD = DA. Theo định nghĩa, hình bình hành này là một hình thoi. AC và BD là hai đường chéo của hình thoi. Vì hình thoi là hình bình hành nên tất cả các tính chất và dấu hiệu của hình bình hành đều có giá trị đối với nó.

Đặc tính:

1) Trong một hình thoi, các góc đối diện bằng nhau (ÐA = ÐC, ÐB = ÐD)

2) Các đường chéo của hình thoi được phân giác bởi giao điểm. (BO = OD, AO = OC)

3) Các đường chéo của hình thoi vuông góc với nhau và các góc của nó bị chia đôi. (AC DВ, ‌‌РАBO = РОВС, РАДО = РОDC, ‌‌ÐBСО = РDСО, РDАО = РВАО) ( tài sản đặc biệt)

4) Tổng các góc kề một cạnh là 180 0 (ÐA + ÐB = ÐC + ÐD = ÐB + ÐC = ÐA + ÐD = 180 0)

dấu hiệu hình thoi:

1) Nếu các đường chéo của hình bình hành vuông góc với nhau thì hình bình hành này là hình thoi.

2) Nếu đường chéo của một hình bình hành chia đôi các góc của nó thì hình bình hành đó là hình thoi.

3) Nếu tất cả các cạnh của hình bình hành bằng nhau thì nó là hình thoi.

Viết trên bảng.

Đặc tính:

1) ÐA = ÐC, ÐB = ÐD 2) BO = OD, AO = OC

3) AC DВ, ‌‌РАBO = РОВС, RADO = РОDC, ‌‌ÐBСО = РDСО, РDАО = РВАО

4) ÐA + ÐB = ÐC + ÐD = ÐB + ÐC = ÐA + ÐD = 180 0

Các câu lệnh nghịch đảo là dấu hiệu hình thoi:

1 ) Nếu ABCD là hình bình hành và AC DB thì - ABCD là hình thoi.

2) Nếu ABCD là hình bình hành và AC và DB là các tia phân giác thì ABCD là hình thoi.

3) Nếu ABCD là hình bình hành và AC \ u003d DB và BC \ u003d AD thì - ABCD là hình thoi.

Một nhiệm vụ.

Hai tam giác được cho là đồng dư nếu chúng có thể được chồng lên nhau. Hình 1 cho thấy các tam giác ABC và A 1 B 1 C 1 bằng nhau. Mỗi tam giác này có thể được chồng lên một tam giác khác để chúng hoàn toàn tương thích, tức là các đỉnh và các cạnh của chúng được ghép nối với nhau. Rõ ràng là trong trường hợp này, các góc của các tam giác này sẽ được kết hợp thành từng cặp.

Do đó, nếu hai tam giác bằng nhau, thì các yếu tố (tức là các cạnh và góc) của một tam giác tương ứng bằng các yếu tố của tam giác kia. Lưu ý rằng Trong tam giác bằng nhau chống lại các cạnh tương ứng bằng nhau(tức là chồng chéo khi chồng lên nhau) nằm các góc bằng nhau và quay lại: đối diện tương ứng các góc bằng nhau nói dối hai bên bằng nhau.

Vì vậy, ví dụ, trong các tam giác ABC và A 1 B 1 C 1 bằng nhau, được hiển thị trong hình 1, các góc bằng nhau C và C 1 lần lượt nằm đối với các cạnh bằng nhau AB và A 1 B 1. Đẳng thức của tam giác ABC và A 1 B 1 C 1 sẽ được ký hiệu như sau: Δ ABC = Δ A 1 B 1 C 1. Nó chỉ ra rằng bằng nhau của hai tam giác có thể được thiết lập bằng cách so sánh một số yếu tố của chúng.

Định lý 1. Dấu hiệu đầu tiên của sự bằng nhau của tam giác. Nếu hai cạnh và góc giữa chúng của một tam giác tương ứng bằng hai cạnh và góc giữa chúng của một tam giác khác thì các tam giác đó bằng nhau (Hình 2).

Bằng chứng. Xét các tam giác ABC và A 1 B 1 C 1, trong đó AB \ u003d A 1 B 1, AC \ u003d A 1 C 1 ∠ A \ u003d ∠ A 1 (xem Hình 2). Hãy chứng minh rằng Δ ABC = Δ A 1 B 1 C 1.

Vì ∠ A \ u003d ∠ A 1 nên tam giác ABC có thể chồng lên tam giác A 1 B 1 C 1 sao cho đỉnh A thẳng hàng với đỉnh A 1, các cạnh AB và AC lần lượt trùng nhau trên tia A 1 B 1 và A 1 C một. Vì AB \ u003d A 1 B 1, AC \ u003d A 1 C 1 nên cạnh AB sẽ kết hợp với cạnh A 1 B 1 và cạnh AC - với cạnh A 1 C 1; trong đó, điểm B và B 1, C và C 1 sẽ trùng nhau. Do đó, các cạnh BC và B 1 C 1 sẽ thẳng hàng. Vì vậy, tam giác ABC và A 1 B 1 C 1 hoàn toàn tương thích, nghĩa là chúng bằng nhau.

Định lý 2 được chứng minh tương tự bằng phương pháp chồng chất.

Định lý 2. Dấu hiệu thứ hai về đẳng thức của tam giác. Nếu cạnh bên và hai góc kề nó của một tam giác tương ứng bằng cạnh và hai góc kề nó của một tam giác khác thì các tam giác đó bằng nhau (Hình 34).

Bình luận. Dựa trên Định lý 2, Định lý 3 được thành lập.

Định lý 3. Tổng hai góc trong của tam giác nhỏ hơn 180 °.

Định lý 4 tiếp theo từ định lý cuối cùng.

Định lý 4. Góc ngoài của tam giác lớn hơn bất kỳ góc bên trong, không liền kề với nó.

Định lý 5. Dấu hiệu thứ ba về đẳng thức của tam giác. Nếu ba cạnh của một tam giác tương ứng bằng ba cạnh của tam giác khác thì các tam giác đó bằng ().

ví dụ 1 Trong các tam giác ABC và DEF (Hình 4)

∠ A = ∠ E, AB = 20 cm, AC = 18 cm, DE = 18 cm, EF = 20 cm So sánh các tam giác ABC và DEF. Góc trong tam giác DEF là gì bằng góc TẠI?

Dung dịch. Các tam giác này bằng nhau ở dấu hiệu đầu tiên. Góc F của tam giác DEF bằng góc B tam giác ABC, vì các góc này nằm đối diện tương ứng với các cạnh DE và AC.

Ví dụ 2Đoạn thẳng AB và CD (Hình 5) cắt nhau tại điểm O, là trung điểm của chúng. Đoạn BD bằng bao nhiêu nếu đoạn AC là 6 m?

Dung dịch. Các tam giác AOC và BOD bằng nhau (theo tiêu chí thứ nhất): ∠ AOC = ∠ BOD (thẳng đứng), AO = OB, CO = OD (theo điều kiện).
Từ đẳng thức của các tam giác này theo đẳng thức của các cạnh của chúng, tức là AC = BD. Nhưng vì theo điều kiện AC = 6 m thì BD = 6 m.

Dấu hiệu thứ hai của sự bằng nhau của tam giác

Nếu một cạnh và hai góc kề của một tam giác tương ứng bằng một cạnh và hai góc kề của tam giác khác thì các tam giác đó đồng dạng.

MN = PR N = R M = P

Như trong phần chứng minh dấu hiệu đầu tiên, bạn cần chắc chắn rằng điều này là đủ để các tam giác bằng nhau, chúng có thể kết hợp hoàn toàn không?

1. Vì MN = PR, nên các đoạn này được kết hợp nếu điểm cuối của chúng được kết hợp với nhau.

2. Vì N = R và M = P nên các tia \ (MK \) và \ (NK \) lần lượt trùng các tia \ (PT \) và \ (RT \).

3. Nếu các tia trùng nhau thì giao điểm \ (K \) và \ (T \) của chúng trùng nhau.

4. Tất cả các đỉnh của tam giác được kết hợp, nghĩa là, Δ MNK và Δ PRT hoàn toàn tương thích, có nghĩa là chúng bằng nhau.

Dấu hiệu thứ ba của sự bằng nhau của tam giác

Nếu ba cạnh của một tam giác tương ứng bằng ba cạnh của tam giác khác thì các tam giác đó đồng dạng.

MN = PR KN = TR MK = PT

Một lần nữa, hãy thử kết hợp các tam giác Δ MNK và Δ PRT bằng cách chồng lên nhau và đảm bảo rằng các cạnh tương ứng bằng nhau đảm bảo bằng nhau về các góc tương ứng của các tam giác này và chúng hoàn toàn trùng nhau.

Ví dụ, hãy kết hợp các phân đoạn giống hệt nhau \ (MK \) và \ (PT \). Giả sử rằng các điểm \ (N \) và \ (R \) không trùng nhau trong trường hợp này.

Gọi \ (O \) là trung điểm của đoạn \ (NR \). Theo thông tin này MN = PR, KN = TR. Các tam giác \ (MNR \) và \ (KNR \) là cân với mặt bằng chung\ (NR \).

Do đó, trung tuyến \ (MO \) và \ (KO \) là chiều cao, do đó chúng vuông góc với \ (NR \). Các đường \ (MO \) và \ (KO \) không trùng nhau, vì các điểm \ (M \), \ (K \), \ (O \) không nằm trên cùng một đường thẳng. Nhưng thông qua điểm \ (O \) của đường \ (NR \), chỉ có thể vẽ một đường vuông góc với nó. Chúng tôi đã đi đến một mâu thuẫn.

Chứng minh rằng các đỉnh \ (N \) và \ (R \) cũng phải trùng nhau.

Dấu hiệu thứ ba cho phép chúng ta gọi hình tam giác là một hình rất mạnh mẽ, ổn định, đôi khi họ nói rằng hình tam giác - hình cứng . Nếu độ dài của các cạnh không thay đổi thì các góc cũng không thay đổi. Ví dụ, một tứ giác không có tính chất này. Do đó, các giá đỡ và công sự khác nhau được tạo thành hình tam giác.

Nhưng một loại sự ổn định, ổn định và hoàn hảo của con số mà lâu nay người ta vẫn đánh giá và làm nổi bật.

Truyện cổ tích nói về nó.

Ở đó chúng ta gặp "Ba chú gấu", "Ba gió", "Ba chú heo con", "Ba đồng chí", "Ba anh em", "Ba người đàn ông may mắn", "Ba thợ thủ công", "Ba hoàng tử", "Ba người bạn", "Ba anh hùng", v.v.

Có “ba lần thử”, “ba lời khuyên”, “ba chỉ dẫn”, “ba cuộc gặp gỡ”, “ba điều ước” được thực hiện, bạn cần phải chịu đựng “ba ngày”, “ba đêm”, “ba năm”, đi qua “ba bang”, “ba vương quốc dưới lòng đất”, chịu đựng “ba thử thách”, bơi qua “ba biển”.