Dạng chuẩn của một đơn thức có nghĩa là gì. Định nghĩa đơn thức, các khái niệm liên quan, ví dụ

Khái niệm đơn thức

Định nghĩa của một đơn thức: một đơn thức là biểu thức đại số, chỉ sử dụng phép nhân.

Dạng chuẩn của một đơn thức

Gì chế độ xem tiêu chuẩnđơn thức? Đơn thức được viết dưới dạng chuẩn, nếu nó có một nhân tử ở vị trí đầu tiên và nhân tử này, nó được gọi là hệ số của đơn thức, trong đơn thức chỉ có một, các chữ cái của đơn thức được sắp xếp theo thứ tự bảng chữ cái và mỗi chữ cái chỉ xảy ra một lần.

Một ví dụ về đơn thức ở dạng chuẩn:

ở đây trước tiên là số, hệ số của đơn thức, và số này chỉ là một trong đơn thức của chúng ta, mỗi chữ cái chỉ xuất hiện một lần và các chữ cái được sắp xếp theo thứ tự bảng chữ cái, trong trường hợp này là bảng chữ cái Latinh.

Một ví dụ khác về đơn thức ở dạng chuẩn:

mỗi chữ cái chỉ xuất hiện một lần, chúng được sắp xếp theo thứ tự bảng chữ cái Latinh, nhưng đâu là hệ số của đơn thức, tức là yếu tố số nên đến đầu tiên? Anh ấy ở đây bằng một: 1adm.

Hệ số đơn thức có thể âm không? Có, có thể, ví dụ: -5a.

Một hệ số đơn thức có thể là phân số? Có, có thể, ví dụ: 5.2a.

Nếu đơn thức chỉ bao gồm một số, tức là không có chữ thì làm sao đưa về dạng chuẩn? Mọi đơn thức là số đều đã ở dạng chuẩn tắc, chẳng hạn: số 5 là đơn thức chuẩn tắc.

Rút gọn đơn thức về dạng chuẩn

Làm thế nào để đưa đơn thức về dạng chuẩn? Hãy xem xét các ví dụ.

Để đơn thức 2a4b đã cho ta cần đưa về dạng chuẩn tắc. Chúng tôi nhân hai thừa số của nó và nhận được 8ab. Bây giờ đơn thức được viết ở dạng chuẩn, tức là chỉ có một thừa số, được viết ở vị trí đầu tiên, mỗi chữ cái trong đơn thức chỉ xuất hiện một lần và các chữ cái này được sắp xếp theo thứ tự bảng chữ cái. Vậy 2a4b = 8ab.

Cho: đơn thức 2a4a, đưa đơn thức về dạng chuẩn. Ta nhân hai số 2 và 4, tích aa được thay bằng lũy ​​thừa bậc hai a 2 . Ta được: 8a 2 . Đây là dạng chuẩn của đơn thức này. Vì vậy, 2a4a = 8a 2 .

đơn thức đồng dạng

Thế nào là các đơn thức đồng dạng? Nếu các đơn thức chỉ khác nhau về hệ số hoặc bằng nhau thì chúng được gọi là đồng dạng.

Ví dụ về các đơn thức đồng dạng: 5a và 2a. Các đơn thức này chỉ khác nhau về hệ số, nghĩa là chúng bằng nhau.

Các đơn thức 5abc và 10cba có đồng dạng không? Đưa đơn thức bậc hai về dạng chuẩn ta được 10abc. Bây giờ rõ ràng là các đơn thức 5abc và 10abc chỉ khác nhau về hệ số của chúng, nghĩa là chúng giống nhau.

Phép cộng các đơn thức

Tổng của các đơn thức là gì? Ta chỉ có thể tính tổng các đơn thức đồng dạng. Xét ví dụ về phép cộng các đơn thức. Tổng của các đơn thức 5a và 2a là bao nhiêu? Tổng của các đơn thức này sẽ là một đơn thức đồng dạng với chúng, hệ số của nó bằng tổng hệ số của các số hạng. Vậy tổng các đơn thức là 5a + 2a = 7a.

Thêm các ví dụ về cộng các đơn thức:

2a 2 + 3a 2 = 5a 2
2a 2 b 3 c 4 + 3a 2 b 3 c 4 = 5a 2 b 3 c 4

Lại. Bạn chỉ có thể thêm các đơn thức tương tự; phép cộng được rút gọn thành phép cộng các hệ số của chúng.

Phép trừ các đơn thức

Sự khác biệt của các đơn thức là gì? Ta chỉ trừ được các đơn thức đồng dạng. Xét một ví dụ về phép trừ các đơn thức. Sự khác biệt giữa các đơn thức 5a và 2a là gì? Hiệu của các đơn thức này sẽ là một đơn thức đồng dạng với chúng, hệ số của nó bằng hiệu các hệ số của các đơn thức đó. Vậy hiệu của các đơn thức bằng 5a - 2a = 3a.

Thêm ví dụ về phép trừ đơn thức:

10a2 - 3a2 = 7a2
5a 2 b 3 c 4 - 3a 2 b 3 c 4 = 2a 2 b 3 c 4

Nhân đơn thức

Sản phẩm của các đơn thức là gì? Hãy xem xét một ví dụ:

những thứ kia. tích của các đơn thức bằng tích của đơn thức có nhân tử bằng các thừa số của đơn thức ban đầu.

Một vi dụ khac:

2a 2 b 3 * a 5 b 9 = 2a 7 b 12 .

Làm thế nào mà kết quả này xảy ra? Mỗi yếu tố có “a” ở cấp độ: ở yếu tố thứ nhất - “a” ở cấp độ 2 và ở yếu tố thứ hai - “a” ở cấp độ 5. Điều này có nghĩa là sản phẩm sẽ có “a” ở cấp độ 7, bởi vì khi nhân các chữ cái giống nhau, số mũ của chúng sẽ cộng lại:

A 2 * a 5 = a 7 .

Điều tương tự cũng áp dụng cho yếu tố "b".

Hệ số của yếu tố đầu tiên bằng hai và yếu tố thứ hai bằng một, vì vậy chúng tôi nhận được kết quả là 2 * 1 = 2.

Đây là cách tính kết quả 2a 7 b 12.

Từ những ví dụ này, có thể thấy rằng các hệ số của đơn thức được nhân lên và các chữ cái giống nhau được thay thế bằng tổng các bậc của chúng trong tích.

Đơn thức là tích của các số, các biến và lũy thừa của chúng. Số, biến và bậc của chúng cũng được coi là đơn thức. Ví dụ: 12ac, -33, a^2b, a, c^9. Đơn thức 5aa2b2b có thể rút gọn về dạng 20a^2b^2. Dạng này được gọi là dạng chuẩn của đơn thức. Tức là dạng chuẩn của đơn thức là tích của hệ số (xảy ra trước) và lũy thừa của các biến. Các hệ số 1 và -1 không được viết, nhưng chúng giữ lại dấu trừ từ -1. Đơn thức và dạng chuẩn của nó

Các biểu thức 5a2x, 2a3(-3)x2, b2x là tích của các số, biến và lũy thừa của chúng. Những biểu thức như vậy được gọi là đơn thức. Đơn thức cũng được coi là số, biến và lũy thừa của chúng.

Ví dụ, các biểu thức - 8, 35, y và y2 là các đơn thức.

Dạng chuẩn của một đơn thức là một đơn thức ở dạng tích của một thừa số ở vị trí đầu tiên và lũy thừa của các biến khác nhau. Bất kỳ đơn thức nào cũng có thể được đưa về dạng tiêu chuẩn bằng cách nhân tất cả các biến và số có trong nó. Đây là một ví dụ về việc đưa một đơn thức về dạng chuẩn:

4x2y4(-5)yx3 = 4(-5)x2x3y4y = -20x5y5

Nhân tử của một đơn thức viết dưới dạng chuẩn được gọi là hệ số của đơn thức. Ví dụ, hệ số của đơn thức -7x2y2 là -7. Các hệ số của đơn thức x3 và -xy được coi là bằng 1 và -1, vì x3 = 1x3 và -xy = -1xy

Bậc của một đơn thức là tổng các số mũ của tất cả các biến chứa trong nó. Nếu đơn thức không chứa biến, nghĩa là nó là một số, thì bậc của nó được coi là bằng không.

Ví dụ, bậc của đơn thức 8x3yz2 là 6, đơn thức 6x là 1 và đơn thức -10 là 0.

Nhân các đơn thức. Nâng đơn thức thành luỹ thừa

Khi nhân các đơn thức và nâng các đơn thức lên một lũy thừa ta sử dụng quy tắc nhân các lũy thừa cùng cơ số và quy tắc nâng một lũy thừa lên một lũy thừa. Trong trường hợp này, một đơn thức thu được, thường được biểu diễn ở dạng chuẩn.

Ví dụ

4x3y2(-3)x2y = 4(-3)x3x2y2y = -12x5y3

((-5)x3y2)3 = (-5)3x3*3y2*3 = -125x9y6

Trong bài học này, chúng tôi sẽ đưa ra một định nghĩa chặt chẽ về một đơn thức, xem xét ví dụ khác nhau từ sách giáo khoa. Nhắc lại quy tắc nhân lũy thừa với cùng một căn cứ. Hãy nêu định nghĩa dạng chuẩn của đơn thức, hệ số của đơn thức và phần chữ của nó. Ta xét hai phép toán cơ bản điển hình trên đơn thức là rút gọn về mẫu chuẩn và tính giá trị số cụ thể của đơn thức cho thiết lập các điểm các biến theo nghĩa đen của nó. Hãy lập quy tắc rút gọn đơn thức về mẫu chuẩn. Hãy học cách quyết định nhiệm vụ điển hình với bất kỳ đơn thức nào.

Chủ đề:đơn thức. Các phép toán số học trên đơn thức

Bài học:Khái niệm đơn thức. Dạng chuẩn của một đơn thức

Hãy xem xét một số ví dụ:

3. ;

Hãy tìm đặc điểm chung cho các biểu thức đã cho. Trong cả ba trường hợp, biểu thức là tích của các số và các biến được nâng lên một lũy thừa. Dựa trên điều này, chúng tôi đưa ra định nghĩa đơn thức : một đơn thức là một biểu thức đại số bao gồm tích của các lũy thừa và số.

Bây giờ chúng tôi đưa ra các ví dụ về các biểu thức không phải là đơn thức:

Hãy để chúng tôi tìm sự khác biệt giữa các biểu thức này và các biểu thức trước đó. Nó bao gồm thực tế là trong các ví dụ 4-7 có các phép toán cộng, trừ hoặc chia, trong khi ở các ví dụ 1-3, là các đơn thức, thì không có các phép toán này.

Dưới đây là một vài ví dụ khác:

Biểu thức số 8 là một đơn thức, vì nó là tích của một lũy thừa và một số, trong khi ví dụ 9 không phải là một đơn thức.

Bây giờ chúng ta hãy tìm hiểu hành động trên đơn thức .

1. Đơn giản hóa. Xem xét ví dụ #3 ;và ví dụ #2/

Trong ví dụ thứ hai, chúng ta chỉ thấy một hệ số - , mỗi biến chỉ xuất hiện một lần, tức là biến " một” được biểu diễn trong một trường hợp duy nhất, như “”, tương tự, các biến “” và “” chỉ xuất hiện một lần.

Ở ví dụ số 3, ngược lại, có hai hệ số khác nhau - và , ta thấy biến "" hai lần - là "" và là "", tương tự, biến "" xảy ra hai lần. Đó là, biểu thức này nên được đơn giản hóa, do đó, chúng ta đi đến thao tác đầu tiên thực hiện trên đơn thức là đưa đơn thức về dạng chuẩn . Để làm được điều này, ta đưa biểu thức ở ví dụ 3 về dạng chuẩn, sau đó ta xác định phép toán này và tìm hiểu cách đưa một đơn thức bất kỳ về dạng chuẩn.

Vì vậy, hãy xem xét một ví dụ:

Bước đầu tiên trong hoạt động tiêu chuẩn hóa là luôn nhân tất cả các thừa số:

;

Kết quả hành động này sẽ được gọi hệ số đơn thức .

Tiếp theo, bạn cần nhân các độ. Chúng tôi nhân các mức độ của biến " X”theo quy tắc nhân các lũy thừa cùng cơ số, trong đó nêu rõ rằng khi nhân lên, các số mũ sẽ cộng lại:

Bây giờ chúng ta hãy nhân sức mạnh tại»:

;

Vì vậy, đây là một biểu thức đơn giản hóa:

;

Mọi đơn thức đều có thể rút gọn về dạng chuẩn tắc. Hãy lập công thức quy tắc tiêu chuẩn hóa :

Nhân tất cả các thừa số;

Đặt hệ số kết quả ở vị trí đầu tiên;

Nhân tất cả độ tức là lấy phần chữ;

Đó là, bất kỳ đơn thức được đặc trưng bởi một hệ số và một phần chữ cái. Nhìn về phía trước, chúng tôi lưu ý rằng các đơn thức có phần chữ cái giống nhau được gọi là tương tự.

Bây giờ bạn cần phải kiếm được phương pháp rút gọn đơn thức về dạng chuẩn . Xem xét các ví dụ từ sách giáo khoa:

Nhiệm vụ: đưa đơn thức về dạng chuẩn, đặt tên hệ số và phần chữ.

Để hoàn thành nhiệm vụ, ta sử dụng quy tắc đưa đơn thức về dạng chuẩn và tính chất của bậc.

1. ;

3. ;

Nhận xét về ví dụ đầu tiên: Để bắt đầu, hãy xác định xem biểu thức này có thực sự là một đơn thức hay không, đối với điều này, chúng ta kiểm tra xem nó có chứa các phép toán nhân các số và lũy thừa hay không và liệu nó có chứa các phép toán cộng, trừ hay chia hay không. Chúng ta có thể nói rằng biểu thức này là một đơn thức, vì điều kiện trên được thỏa mãn. Hơn nữa, theo quy tắc đưa đơn thức về dạng chuẩn, ta nhân các thừa số:

- ta đã tìm được hệ số của đơn thức đã cho;

; ; ; nghĩa là phần chữ của biểu thức được nhận: ;

viết ra câu trả lời: ;

Nhận xét về ví dụ thứ hai: Theo quy tắc, chúng tôi thực hiện:

1) nhân các thừa số:

2) nhân các lũy thừa:

Các biến và được trình bày trong một bản duy nhất, nghĩa là chúng không thể được nhân với bất kỳ thứ gì, chúng được viết lại mà không thay đổi, mức độ được nhân lên:

viết ra câu trả lời:

;

TẠI ví dụ này hệ số của đơn thức bằng một, và phần chữ là .

Nhận xét về ví dụ thứ ba: a tương tự như các ví dụ trước, chúng tôi thực hiện các hành động sau:

1) nhân các thừa số:

;

2) nhân các lũy thừa:

;

viết ra câu trả lời: ;

Trong trường hợp này, hệ số của đơn thức bằng "", và phần chữ .

Bây giờ xem xét hoạt động tiêu chuẩn thứ hai trên đơn thức . Vì một đơn thức là một biểu thức đại số bao gồm các biến theo nghĩa đen có thể nhận các giá trị cụ thể Giá trị kiểu số, sau đó chúng ta có số học biểu thức số, cần được tính toán. Đó là, hoạt động sau đây trên đa thức là tính giá trị số cụ thể của chúng .

Hãy xem xét một ví dụ. Đơn thức đã cho:

đơn thức này đã được rút gọn về dạng chuẩn, hệ số của nó bằng một và phần chữ

Trước đó chúng ta đã nói rằng không phải lúc nào một biểu thức đại số cũng có thể tính được, nghĩa là các biến nhập vào biểu thức đó có thể không nhận bất kỳ giá trị nào. Trong trường hợp của một đơn thức, các biến có trong nó có thể là bất kỳ, đây là một đặc điểm của đơn thức.

Vì vậy, trong ví dụ đã cho yêu cầu tính giá trị của đơn thức tại , , , .

Bậc của một đơn thức

Đối với một đơn thức có khái niệm về bậc của nó. Hãy tìm hiểu nó là gì.

Sự định nghĩa.

Bậc của một đơn thức dạng chuẩn là tổng số mũ của tất cả các biến có trong bản ghi của nó; nếu không có biến nào trong mục đơn thức và nó khác 0, thì bậc của nó được coi là bằng 0; số không được coi là một đơn thức, mức độ của nó không được xác định.

Định nghĩa về mức độ của một đơn thức cho phép chúng tôi đưa ra các ví dụ. Bậc của đơn thức a bằng một, vì a là a 1 . Bậc của đơn thức 5 bằng 0, vì nó khác 0 và kí hiệu của nó không chứa biến. Và tích 7·a 2 ·x·y 3 ·a 2 là một đơn thức bậc tám, vì tổng các số mũ của tất cả các biến a, x và y là 2+1+3+2=8.

Bậc của một đơn thức không viết ở dạng chuẩn bằng bậc của đơn thức chuẩn tương ứng. Để minh họa cho điều đã nói, ta tính bậc của đơn thức 3 x 2 y 3 x (−2) x 5 y. Đơn thức này ở dạng chuẩn có dạng −6·x 8 ·y 4 , bậc của nó là 8+4=12 . Vậy bậc của đơn thức ban đầu là 12 .

hệ số đơn thức

Một đơn thức ở dạng chuẩn, có ít nhất một biến trong ký hiệu của nó, là một tích có một thừa số - một hệ số. Hệ số này được gọi là hệ số đơn thức. Hãy để chúng tôi chính thức hóa lý do trên dưới dạng một định nghĩa.

Sự định nghĩa.

hệ số đơn thức là nhân tử của đơn thức viết ở dạng chuẩn.

Bây giờ chúng ta có thể đưa ra các ví dụ về các hệ số của các đơn thức khác nhau. Số 5 là hệ số của đơn thức 5 a 3 theo định nghĩa, tương tự đơn thức (−2,3) x y z có hệ số −2,3 .

Các hệ số của đơn thức bằng 1 và −1 đáng được quan tâm đặc biệt. Vấn đề ở đây là chúng thường không hiện diện rõ ràng trong hồ sơ. Người ta tin rằng hệ số của các đơn thức ở dạng chuẩn, không có thừa số trong ký hiệu của chúng, bằng một. Ví dụ, các đơn thức a , x z 3 , a t x , v.v. có hệ số 1, vì a có thể được coi là 1 a, x z 3 là 1 x z 3, v.v.

Tương tự, hệ số của các đơn thức, có các mục ở dạng chuẩn không có thừa số và bắt đầu bằng dấu trừ, được coi là trừ một. Ví dụ, các đơn thức −x , −x 3 y z 3, v.v. có hệ số −1 , vì −x=(−1) x , −x 3 y z 3 =(−1) x 3 y z 3 vân vân.

Nhân tiện, khái niệm hệ số của đơn thức thường được gọi là đơn thức có dạng chuẩn, là những số không có thừa số chữ cái. Các hệ số của các số đơn thức như vậy được coi là các số này. Vì vậy, ví dụ, hệ số của đơn thức 7 được coi là bằng 7.

Thư mục.

• Đại số học: sách giáo khoa cho 7 ô. giáo dục phổ thông tổ chức / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; biên tập S. A. Telyakovsky. - tái bản lần thứ 17. - M. : Giáo dục, 2008. - 240 tr. : tôi sẽ. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Mordkovich A. G.Đại số học. Lớp 7. Lúc 2 giờ chiều Phần 1. Sách giáo khoa của học sinh cơ sở giáo dục/ A. G. Mordkovich. - Tái bản lần thứ 17, bổ sung. - M.: Mnemozina, 2013. - 175 tr.: bị bệnh. ISBN 978-5-346-02432-3.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Toán học (sách hướng dẫn cho các ứng viên vào các trường kỹ thuật): Proc. trợ cấp.- M.; cao hơn trường học, 1984.-351 p., bệnh.

Ta lưu ý rằng mọi đơn thức đều có thể đưa về form chuẩn. Trong bài viết này, chúng ta sẽ hiểu thế nào là rút gọn một đơn thức thành dạng chuẩn, những thao tác nào cho phép thực hiện quá trình này và xem xét lời giải của các ví dụ kèm theo lời giải chi tiết.

Điều hướng trang.

Nêu ý nghĩa của việc đưa đơn thức về dạng chuẩn?

Sẽ thuận tiện khi làm việc với các đơn thức khi chúng được viết ở dạng chuẩn. Tuy nhiên, các đơn thức thường được đưa ra ở dạng khác với dạng chuẩn. Trong những trường hợp này, người ta luôn có thể chuyển từ đơn thức ban đầu sang đơn thức chuẩn bằng cách thực hiện các phép biến đổi đồng nhất. Quá trình thực hiện các phép biến đổi đó gọi là đưa đơn thức về dạng chuẩn tắc.

Hãy khái quát hóa lập luận trên. Đưa đơn thức về dạng chuẩn- điều này có nghĩa là biểu diễn với anh ấy như vậy phép biến hình đồng dạngđể làm cho nó trông chuẩn.

Làm thế nào để đưa đơn thức về dạng chuẩn?

Đã đến lúc tìm cách đưa đơn thức về dạng chuẩn.

Như đã biết từ định nghĩa, các đơn thức có dạng không chuẩn là tích của các số, biến và lũy thừa của chúng, và có thể là các tích lặp lại. Và đơn thức của dạng tiêu chuẩn chỉ có thể chứa một số và các biến không lặp lại hoặc bậc của chúng trong bản ghi của nó. Bây giờ vẫn còn phải hiểu làm thế nào các sản phẩm của loại thứ nhất có thể được giảm xuống dạng thứ hai?

Để làm điều này, bạn cần sử dụng như sau quy tắc rút gọn đơn thức về dạng chuẩn gồm hai bước:

• Đầu tiên, nhóm các yếu tố số được thực hiện, cũng như các biến giống hệt nhau và mức độ của chúng;
• Thứ hai, tích của các số được tính và áp dụng.

Do áp dụng quy tắc đã nêu, mọi đơn thức sẽ được rút gọn về dạng chuẩn.

Ví dụ, Giải pháp

Vẫn còn phải học cách áp dụng quy tắc từ đoạn trước khi giải các ví dụ.

Thí dụ.

Đưa đơn thức 3·x·2·x 2 về dạng chuẩn.

Dung dịch.

Hãy nhóm các thừa số bằng số và các thừa số có biến x . Sau khi nhóm, đơn thức ban đầu sẽ có dạng (3 2) (x x 2) . Tích của các số trong ngoặc thứ nhất là 6, và quy tắc nhân lũy thừa cùng cơ số cho phép biểu diễn biểu thức trong ngoặc thứ hai dưới dạng x 1 +2=x 3. Kết quả là, chúng ta thu được một đa thức có dạng chuẩn 6·x 3 .

Hãy mang theo ghi chú ngắn các giải pháp: 3 x 2 x 2 \u003d (3 2) (x x 2) \u003d 6 x 3.

Câu trả lời:

3 x 2 x 2 =6 x 3 .

Vì vậy, để đưa một đơn thức về dạng chuẩn, cần phải có khả năng nhóm các thừa số, thực hiện phép nhân các số và làm việc với lũy thừa.

Để củng cố tài liệu, hãy giải quyết một ví dụ khác.

Thí dụ.

Biểu diễn đơn thức dưới dạng chuẩn và cho biết hệ số của nó.

Dung dịch.

Đơn thức ban đầu có một thừa số duy nhất −1 trong ký hiệu của nó, hãy chuyển nó về đầu. Sau đó, ta nhóm riêng các thừa số với biến a , riêng - với biến b , không có gì để nhóm biến m cả, cứ để nguyên như vậy ta có . Sau khi thực hiện các phép toán với độ trong ngoặc, đơn thức sẽ có dạng chuẩn mà chúng ta cần, từ đó bạn có thể thấy hệ số của đơn thức, bằng −1. Dấu trừ một có thể được thay thế bằng dấu trừ: .