Cơ sở lý thuyết xác suất và thống kê toán học. Các khái niệm cơ bản của lý thuyết xác suất và thống kê toán học

Lý thuyết xác suất và thống kê toán học

• Agekyan T.A. Nguyên tắc cơ bản của lý thuyết sai số dành cho các nhà thiên văn học và nhà vật lý học (tái bản lần thứ 2). M.: Nauka, 1972 (djvu, 2,44 M)
• Agekyan T.A. Lý thuyết xác suất cho các nhà thiên văn học và vật lý học. M.: Nauka, 1974 (djvu, 2.59M)
• Anderson T. Phân tích thống kê chuỗi thời gian. M.: Mir, 1976 (djvu, 14M)
• Bakelman I.Ya. Werner A.L. Kantor B.E. Giới thiệu về hình học vi phân “nói chung”. M.: Nauka, 1973 (djvu, 5,71 M)
• Bernstein S.N. Lý thuyết xác suất. M.-L.: GI, 1927 (djvu, 4,51 M)
• Billingsley P. Sự hội tụ của các thước đo xác suất. M.: Nauka, 1977 (djvu, 3,96 M)
• Box J. Jenkins G. Phân tích chuỗi thời gian: dự báo và quản lý. Số 1. M.: Mir, 1974 (djvu, 3,38M)
• Box J. Jenkins G. Phân tích chuỗi thời gian: dự báo và quản lý. Số 2. M.: Mir, 1974 (djvu, 1,72 M)
• Borel E. Xác suất và độ tin cậy. M.: Nauka, 1969 (djvu, 1,19M)
• Van der Waerden B.L. Thống kê toán học. M.: IL, 1960 (djvu, 6,90 M)
• Vapnik V.N. Khôi phục sự phụ thuộc dựa trên dữ liệu thực nghiệm. M.: Nauka, 1979 (djvu, 6,18 M)
• Ventzel E.S. Giới thiệu về Nghiên cứu Hoạt động. M.: Đài phát thanh Liên Xô, 1964 (djvu, 8,43 M)
• Ventzel E.S. Các yếu tố của lý thuyết trò chơi (tái bản lần thứ 2). Series: Những bài giảng phổ biến về toán học. Số 32. M.: Nauka, 1961 (djvu, 648K)
• Ventstel E.S. Lý thuyết xác suất (tái bản lần thứ 4). M.: Nauka, 1969 (djvu, 8,05 M)
• Ventstel E.S., Ovcharov L.A. Lý thuyết xác suất. Nhiệm vụ và bài tập. M.: Nauka, 1969 (djvu, 7,71 M)
• Vilenkin N.Ya., Potapov V.G. Một cuốn sách bài tập thực hành về lý thuyết xác suất với các yếu tố tổ hợp và thống kê toán học. M.: Giáo dục, 1979 (djvu, 1.12M)
• Gmurman V.E. Hướng dẫn giải các bài toán lý thuyết xác suất và thống kê toán học (tái bản lần thứ 3). M.: Cao hơn. trường học, 1979 (djvu, 4,24 M)
• Gmurman V.E. Lý thuyết xác suất và thống kê toán học (tái bản lần thứ 4). M.: Trường Cao Đẳng, 1972 (djvu, 3,75M)
• Gnedenko B.V., Kolmogorov A.N. Giới hạn phân phối cho tổng các biến ngẫu nhiên độc lập. M.-L.: GITTL, 1949 (djvu, 6,26M)
• Gnedenko B.V., Khinchin A.Ya. Giới thiệu cơ bản về lý thuyết xác suất (tái bản lần thứ 7). M.: Nauka, 1970 (djvu, 2,48 M)
• Oak J.L. Các quá trình xác suất M.: IL, 1956 (djvu, 8,48M)
• David G. Thống kê thứ tự. M.: Nauka, 1979 (djvu, 2.87M)
• Ibragimov I.A., Linnik Yu.V. Các đại lượng liên quan độc lập và cố định. M.: Nauka, 1965 (djvu, 6.05M)
• Idier V., Dryard D., James F., Rus M., Sadoulet B. Phương pháp thống kê trong vật lý thực nghiệm. M.: Atomizdat, 1976 (djvu, 5.95M)
• Kamalov M.K. Phân phối dạng bậc hai trong các mẫu từ một dân số bình thường. Tashkent: Viện Hàn lâm Khoa học UzSSR, 1958 (djvu, 6,29M)
• Kassandra O.N., Lebedev V.V. Xử lý kết quả quan sát M.: Nauka, 1970 (djvu, 867 K)
• Katz M. Xác suất và các vấn đề liên quan trong vật lý. M.: Mir, 1965 (djvu, 3,67 M)
• Katz M. Một số vấn đề xác suất của vật lý và toán học. M.: Nauka, 1967 (djvu, 1,50 M)
• Katz M. Độc lập thống kê trong lý thuyết xác suất, phân tích và lý thuyết số. M.: IL, 1963 (djvu, 964K)
• Kendall M., Moran P. Xác suất hình học. M.: Nauka, 1972 (djvu, 1,40 M)
• Kendall M., Stewart A. Tập 2. Suy luận và kết nối thống kê. M.: Nauka, 1973 (djvu, 10 triệu)
• Kendall M., Stewart A. Tập 3. Phân tích thống kê đa biến và chuỗi thời gian. M.: Nauka, 1976 (djvu, 7,96 M)
• Kendall M., Stewart A. Tập. 1. Lý thuyết phân phối. M.: Nauka, 1965 (djvu, 6,02 M)
• Kolmogorov A.N. Các khái niệm cơ bản của lý thuyết xác suất (tái bản lần 2) M.: Nauka, 1974 (djvu, 2.14M)
• Kolchin V.F., Sevastyanov B.A., Chistykov V.P. Vị trí ngẫu nhiên. M.: Nauka, 1976 (djvu, 2,96 M)
• Kramer G. Phương pháp thống kê toán học (tái bản lần thứ 2). M.: Mir, 1976 (djvu, 9,63M)
• Leman E. Kiểm tra các giả thuyết thống kê. M.: Khoa học. 1979 (djvu, 5,18M)
• Linnik Yu.V., Ostrovsky I.V. Sự phân rã của các biến và vectơ ngẫu nhiên. M.: Nauka, 1972 (djvu, 4,86M)
• Likholetov I.I., Matskevich I.P. Hướng dẫn giải các bài toán cao cấp, lý thuyết xác suất và thống kê toán học (tái bản lần 2). Mn.: Vysh. trường học, 1969 (djvu, 4,99M)
• Loev M. Lý thuyết xác suất. M.: IL, 1962 (djvu, 7,38M)
• Malakhov A.N. Phân tích tích lũy các quá trình phi Gaussian ngẫu nhiên và các phép biến đổi của chúng. M.: Sov. đài phát thanh, 1978 (djvu, 6,72 M)
• Meshalkin L.D. Tuyển tập các bài toán về lý thuyết xác suất. M.: MSU, 1963 (djvu, 1 004 K)
• Mitropolsky A.K. Lý thuyết về khoảnh khắc M.-L.: GIKSL, 1933 (djvu, 4.49M)
• Mitropolsky A.K. Kỹ thuật tính toán thống kê (tái bản lần thứ 2). M.: Nauka, 1971 (djvu, 8,35 M)
• Mosteller F., Rurke R., Thomas J. Xác suất. M.: Mir, 1969 (djvu, 4,82 M)
• Nalimov V.V. Ứng dụng thống kê toán học trong phân tích vật chất. M.: GIFML, 1960 (djvu, 4.11M)
• Neveu J. Cơ sở toán học của lý thuyết xác suất. M.: Mir, 1969 (djvu, 3,62M)
• Preston K. Toán học. Tính mới của khoa học nước ngoài số 7. Trạng thái Gibbs trên các tập hợp đếm được. M.: Mir, 1977 (djvu, 2,15 M)
• Savelyev L.Ya. Lý thuyết xác suất cơ bản. Phần 1. Novosibirsk: NSU, 2005 (

Nhiều người khi đối mặt với khái niệm “lý thuyết xác suất” sẽ cảm thấy sợ hãi và nghĩ rằng đó là một điều gì đó quá sức tưởng tượng, rất phức tạp. Nhưng thực ra mọi chuyện không quá bi thảm. Hôm nay chúng ta sẽ xem xét khái niệm cơ bản của lý thuyết xác suất và tìm hiểu cách giải quyết vấn đề bằng các ví dụ cụ thể.

Khoa học

Một nhánh của toán học như “lý thuyết xác suất” nghiên cứu điều gì? Cô ghi chú các mẫu và số lượng. Các nhà khoa học lần đầu tiên quan tâm đến vấn đề này vào thế kỷ 18, khi họ nghiên cứu về cờ bạc. Khái niệm cơ bản của lý thuyết xác suất là một sự kiện. Đó là bất kỳ thực tế nào được thiết lập bằng kinh nghiệm hoặc quan sát. Nhưng kinh nghiệm là gì? Một khái niệm cơ bản khác của lý thuyết xác suất. Nó có nghĩa là tình huống này được tạo ra không phải ngẫu nhiên mà nhằm một mục đích cụ thể. Về quan sát, ở đây bản thân nhà nghiên cứu không tham gia thí nghiệm mà chỉ đơn giản là nhân chứng cho những sự kiện này, anh ta không ảnh hưởng đến những gì đang xảy ra.

Sự kiện

Chúng ta đã biết rằng khái niệm cơ bản của lý thuyết xác suất là một sự kiện, nhưng chúng ta chưa xem xét đến việc phân loại. Tất cả chúng được chia thành các loại sau:

• Đáng tin cậy.
• Không thể nào.
• Ngẫu nhiên.

Bất kể chúng là loại sự kiện nào, được quan sát hay tạo ra trong quá trình trải nghiệm, chúng đều phải tuân theo sự phân loại này. Chúng tôi mời bạn làm quen với từng loại riêng biệt.

Sự kiện đáng tin cậy

Đây là tình huống mà các biện pháp cần thiết đã được thực hiện. Để hiểu rõ hơn về bản chất, tốt hơn là đưa ra một vài ví dụ. Vật lý, hóa học, kinh tế và toán học cao hơn phải tuân theo định luật này. Lý thuyết xác suất bao gồm một khái niệm quan trọng như một sự kiện đáng tin cậy. Dưới đây là một số ví dụ:

• Chúng tôi làm việc và nhận thù lao dưới hình thức tiền lương.
• Chúng tôi đã vượt qua các kỳ thi tốt, vượt qua cuộc thi và vì điều này, chúng tôi nhận được phần thưởng dưới hình thức được nhận vào một cơ sở giáo dục.
• Chúng tôi đã đầu tư tiền vào ngân hàng và nếu cần, chúng tôi sẽ lấy lại được.

Những sự kiện như vậy là đáng tin cậy. Nếu đáp ứng đủ các điều kiện cần thiết thì chắc chắn chúng ta sẽ nhận được kết quả như mong đợi.

Sự kiện không thể xảy ra

Bây giờ chúng ta đang xem xét các yếu tố của lý thuyết xác suất. Chúng tôi đề xuất chuyển sang giải thích loại sự kiện tiếp theo, cụ thể là điều không thể xảy ra. Đầu tiên, hãy nêu quy tắc quan trọng nhất - xác suất xảy ra một sự kiện không thể xảy ra là bằng không.

Người ta không thể đi chệch khỏi công thức này khi giải quyết vấn đề. Để làm rõ, đây là ví dụ về các sự kiện như vậy:

• Nước đóng băng ở nhiệt độ cộng thêm mười (điều này là không thể).
• Việc thiếu điện không ảnh hưởng đến sản xuất dưới bất kỳ hình thức nào (điều này không thể xảy ra như trong ví dụ trước).

Không cần thiết phải đưa thêm ví dụ nữa, vì những ví dụ được mô tả ở trên phản ánh rất rõ ràng bản chất của phạm trù này. Một sự kiện không thể xảy ra sẽ không bao giờ xảy ra trong quá trình thử nghiệm trong bất kỳ trường hợp nào.

Những sự kiện ngẫu nhiên

Khi nghiên cứu các yếu tố, cần đặc biệt chú ý đến loại sự kiện đặc biệt này. Đây là những gì khoa học nghiên cứu. Kết quả của trải nghiệm là điều gì đó có thể xảy ra hoặc không. Ngoài ra, bài kiểm tra có thể được thực hiện không giới hạn số lần. Các ví dụ sinh động bao gồm:

• Việc tung đồng xu là một trải nghiệm hoặc một bài kiểm tra, việc ngửa mặt là một sự kiện.
• Rút một quả bóng ra khỏi túi một cách mù quáng là một bài kiểm tra; lấy được quả bóng màu đỏ là một sự kiện, v.v.

Có thể có vô số ví dụ như vậy, nhưng nhìn chung, bản chất phải rõ ràng. Để tóm tắt và hệ thống hóa kiến ​​​​thức thu được về các sự kiện, một bảng được cung cấp. Lý thuyết xác suất chỉ nghiên cứu loại cuối cùng được trình bày.

Tên	sự định nghĩa
Đáng tin cậy	Các sự kiện xảy ra với sự đảm bảo 100% nếu đáp ứng một số điều kiện nhất định.	Được nhận vào một cơ sở giáo dục khi vượt qua kỳ thi tuyển sinh tốt.
Không thể nào	Những sự kiện sẽ không bao giờ xảy ra trong bất kỳ trường hợp nào.	Trời đang có tuyết ở nhiệt độ không khí cộng thêm ba mươi độ C.
Ngẫu nhiên	Một sự kiện có thể xảy ra hoặc không xảy ra trong quá trình thử nghiệm/thử nghiệm.	Đánh trúng hoặc trượt khi ném bóng rổ vào vòng.

Luật

Lý thuyết xác suất là một khoa học nghiên cứu khả năng xảy ra một sự kiện. Giống như những người khác, nó có một số quy tắc. Các định luật sau đây của lý thuyết xác suất tồn tại:

• Sự hội tụ của chuỗi các biến ngẫu nhiên.
• Luật số lớn.

Khi tính toán khả năng xảy ra điều gì đó phức tạp, bạn có thể sử dụng một tập hợp các sự kiện đơn giản để đạt được kết quả một cách dễ dàng và nhanh chóng hơn. Lưu ý rằng các định luật của lý thuyết xác suất có thể dễ dàng được chứng minh bằng cách sử dụng các định lý nhất định. Chúng tôi khuyên bạn trước tiên nên làm quen với định luật đầu tiên.

Sự hội tụ của chuỗi các biến ngẫu nhiên

Lưu ý rằng có một số loại hội tụ:

• Chuỗi các biến ngẫu nhiên hội tụ về xác suất.
• Hầu như không thể.
• Hội tụ bình phương trung bình.
• Sự hội tụ phân phối.

Vì vậy, ngay lập tức, rất khó để hiểu được bản chất. Dưới đây là các định nghĩa sẽ giúp bạn hiểu chủ đề này. Hãy bắt đầu với góc nhìn đầu tiên. Trình tự được gọi là hội tụ về xác suất, nếu điều kiện sau được đáp ứng: n tiến tới vô cùng, số mà dãy tiến tới lớn hơn 0 và gần bằng một.

Hãy chuyển sang chế độ xem tiếp theo, gần như chắc chắn. Dãy số được gọi là hội tụ gần như chắc chắn cho một biến ngẫu nhiên với n tiến tới vô cùng và P tiến tới một giá trị gần bằng đơn vị.

Loại tiếp theo là hội tụ bình phương trung bình. Khi sử dụng phương pháp hội tụ SC, việc nghiên cứu các quá trình vectơ ngẫu nhiên được rút gọn thành nghiên cứu các quá trình ngẫu nhiên tọa độ của chúng.

Loại cuối cùng còn lại, chúng ta hãy xem xét ngắn gọn để có thể chuyển trực tiếp sang giải quyết vấn đề. Sự hội tụ trong phân phối có một tên khác - "yếu" và chúng tôi sẽ giải thích lý do tại sao sau. Hội tụ yếu là sự hội tụ của các hàm phân phối tại mọi điểm liên tục của hàm phân phối giới hạn.

Chúng tôi chắc chắn sẽ giữ lời hứa của mình: sự hội tụ yếu khác với tất cả những điều trên ở chỗ biến ngẫu nhiên không được xác định trong không gian xác suất. Điều này có thể thực hiện được vì điều kiện được hình thành chỉ bằng cách sử dụng các hàm phân phối.

Luật số lớn

Các định lý của lý thuyết xác suất, chẳng hạn như:

• Bất đẳng thức Chebyshev.
• Định lý Chebyshev.
• Định lý Chebyshev tổng quát.
• Định lý Markov.

Nếu chúng ta xem xét tất cả các định lý này, thì câu hỏi này có thể kéo dài tới vài chục tờ. Nhiệm vụ chính của chúng ta là áp dụng lý thuyết xác suất vào thực tế. Chúng tôi khuyên bạn nên làm điều này ngay bây giờ. Nhưng trước đó, chúng ta hãy xem xét các tiên đề của lý thuyết xác suất, chúng sẽ là trợ thủ chính trong việc giải quyết vấn đề.

tiên đề

Chúng ta đã gặp người đầu tiên khi nói về một sự kiện không thể xảy ra. Hãy nhớ: xác suất xảy ra một sự kiện không thể xảy ra là bằng không. Chúng tôi đã đưa ra một ví dụ rất sinh động và đáng nhớ: tuyết rơi ở nhiệt độ không khí ba mươi độ C.

Thứ hai như sau: một sự kiện đáng tin cậy xảy ra với xác suất bằng một. Bây giờ chúng ta sẽ chỉ ra cách viết cái này bằng ngôn ngữ toán học: P(B)=1.

Thứ ba: Một sự kiện ngẫu nhiên có thể xảy ra hoặc không xảy ra, nhưng khả năng xảy ra luôn nằm trong khoảng từ 0 đến 1. Giá trị càng gần 1 thì cơ hội càng lớn; nếu giá trị tiến tới 0 thì xác suất là rất thấp. Hãy viết điều này bằng ngôn ngữ toán học: 0<Р(С)<1.

Chúng ta hãy xem xét tiên đề cuối cùng, thứ tư, nghe như thế này: xác suất tổng của hai sự kiện bằng tổng xác suất của chúng. Chúng ta viết nó bằng ngôn ngữ toán học: P(A+B)=P(A)+P(B).

Các tiên đề của lý thuyết xác suất là những quy luật đơn giản nhất, không khó nhớ. Hãy thử giải một số vấn đề dựa trên kiến ​​​​thức chúng ta đã có được.

Vé số

Đầu tiên, hãy xem ví dụ đơn giản nhất - xổ số. Hãy tưởng tượng rằng bạn đã mua một tờ vé số để cầu may. Xác suất bạn sẽ giành được ít nhất hai mươi rúp là bao nhiêu? Tổng cộng có một nghìn vé đang tham gia phát hành, một trong số đó có giải thưởng năm trăm rúp, mười trong số đó có một trăm rúp mỗi vé, năm mươi có giải thưởng là hai mươi rúp và một trăm có giải thưởng là năm. Các vấn đề về xác suất đều dựa trên việc tìm kiếm khả năng may mắn. Bây giờ chúng ta cùng nhau phân tích giải pháp cho nhiệm vụ trên.

Nếu chúng ta sử dụng chữ A để biểu thị số tiền thắng năm trăm rúp thì xác suất nhận được A sẽ bằng 0,001. Làm thế nào chúng tôi có được điều này? Bạn chỉ cần chia số vé “may mắn” cho tổng số của chúng (trong trường hợp này là 1/1000).

B là thắng một trăm rúp, xác suất sẽ là 0,01. Bây giờ chúng tôi đã hành động theo nguyên tắc giống như hành động trước (10/1000)

C - số tiền thắng là hai mươi rúp. Chúng tôi tìm thấy xác suất, nó bằng 0,05.

Chúng tôi không quan tâm đến số vé còn lại vì quỹ giải thưởng của chúng ít hơn số tiền quy định trong điều kiện. Hãy áp dụng tiên đề thứ tư: Xác suất thắng ít nhất hai mươi rúp là P(A)+P(B)+P(C). Chữ P biểu thị xác suất xảy ra một sự kiện nhất định, chúng ta đã tìm thấy chúng trong các hành động trước đó. Tất cả những gì còn lại là cộng các dữ liệu cần thiết và câu trả lời chúng tôi nhận được là 0,061. Con số này sẽ là câu trả lời cho câu hỏi nhiệm vụ.

bộ bài

Các vấn đề trong lý thuyết xác suất có thể phức tạp hơn; ví dụ: hãy thực hiện nhiệm vụ sau. Trước mặt bạn là một bộ bài gồm ba mươi sáu lá bài. Nhiệm vụ của bạn là rút liên tiếp hai quân bài mà không xáo trộn chồng bài, quân bài thứ nhất và thứ hai phải là quân Át, chất bài không quan trọng.

Đầu tiên, chúng ta hãy tìm xác suất để lá bài đầu tiên là quân át, vì điều này chúng ta chia bốn cho ba mươi sáu. Họ đặt nó sang một bên. Chúng ta lấy quân bài thứ hai ra, đó sẽ là quân Át với xác suất là ba phần năm mươi. Xác suất xảy ra sự kiện thứ hai phụ thuộc vào lá bài mà chúng ta rút được đầu tiên, chúng ta tự hỏi liệu đó có phải là quân Át hay không. Từ đó suy ra rằng sự kiện B phụ thuộc vào sự kiện A.

Bước tiếp theo là tìm xác suất xảy ra đồng thời, nghĩa là chúng ta nhân A và B. Tích của chúng được tìm như sau: chúng ta nhân xác suất của một sự kiện với xác suất có điều kiện của một sự kiện khác mà chúng ta tính toán, giả sử rằng sự kiện đầu tiên sự kiện xảy ra, tức là chúng ta rút được quân Át với lá bài đầu tiên.

Để làm cho mọi thứ rõ ràng, hãy đặt tên cho một phần tử như sự kiện. Nó được tính toán với giả định rằng sự kiện A đã xảy ra. Nó được tính như sau: P(B/A).

Hãy tiếp tục giải bài toán của chúng ta: P(A * B) = P(A) * P(B/A) hoặc P(A * B) = P(B) * P(A/B). Xác suất bằng (4/36) * ((3/35)/(4/36). Ta tính bằng cách làm tròn đến hàng trăm gần nhất. Ta có: 0,11 * (0,09/0,11) = 0,11 * 0, 82 = 0,09. Xác suất để chúng ta rút được hai con át liên tiếp là chín phần trăm, giá trị rất nhỏ nên xác suất xảy ra sự kiện đó là cực kỳ nhỏ.

số bị quên

Chúng tôi đề xuất phân tích thêm một số biến thể của nhiệm vụ được nghiên cứu bằng lý thuyết xác suất. Bạn đã xem các ví dụ giải quyết một số trong số chúng trong bài viết này. Hãy thử giải vấn đề sau: cậu bé quên chữ số cuối cùng trong số điện thoại của bạn mình, nhưng vì cuộc gọi rất quan trọng nên cậu bắt đầu quay số từng cái một. . Chúng ta cần tính xác suất để anh ta gọi không quá ba lần. Lời giải của bài toán sẽ đơn giản nhất nếu biết các quy tắc, định luật và tiên đề của lý thuyết xác suất.

Trước khi nhìn vào giải pháp, hãy thử tự giải quyết nó. Chúng ta biết rằng chữ số cuối cùng có thể từ 0 đến 9, tức là có tổng cộng 10 giá trị. Xác suất chọn đúng là 1/10.

Tiếp theo, chúng ta cần xét các phương án về nguồn gốc của sự kiện, giả sử cậu bé đoán đúng và gõ ngay đúng thì xác suất xảy ra sự việc như vậy là 1/10. Tùy chọn thứ hai: cuộc gọi đầu tiên bị nhỡ và cuộc gọi thứ hai đã đạt mục tiêu. Hãy tính xác suất của một sự kiện như vậy: nhân 9/10 với 1/9 và kết quả là chúng ta cũng nhận được 1/10. Lựa chọn thứ ba: cuộc gọi thứ nhất và thứ hai hóa ra lại sai địa chỉ, chỉ đến lần thứ ba, cậu bé mới đến được nơi mình muốn. Chúng tôi tính xác suất của sự kiện như vậy: 9/10 nhân với 8/9 và 1/8, thu được 1/10. Chúng ta không quan tâm đến các phương án khác tùy theo điều kiện của bài toán nên chỉ cần cộng các kết quả thu được thì cuối cùng chúng ta có 3/10. Trả lời: xác suất để cậu bé gọi không quá ba lần là 0,3.

Thẻ có số

Trước mặt bạn có chín tấm thẻ, trên mỗi tấm thẻ có ghi một số từ một đến chín, các số không lặp lại. Chúng được cho vào hộp và trộn kỹ. Bạn cần tính xác suất để

• một số chẵn sẽ xuất hiện;
• hai chữ số.

Trước khi chuyển sang giải pháp, hãy giả sử m là số trường hợp thành công và n là tổng số phương án. Hãy tìm xác suất để số đó là số chẵn. Sẽ không khó để tính toán rằng có bốn số chẵn, đây sẽ là m của chúng ta, tổng cộng có chín phương án khả thi, tức là m=9. Khi đó xác suất là 0,44 hoặc 4/9.

Hãy xem xét trường hợp thứ hai: số lượng lựa chọn là chín và không thể có kết quả thành công nào cả, nghĩa là m bằng 0. Xác suất để lá bài rút ra chứa số có hai chữ số cũng bằng không.

GIỚI THIỆU

Nhiều điều chúng ta không thể hiểu được không phải vì khái niệm của chúng ta yếu;
mà bởi vì những thứ này không nằm trong phạm vi khái niệm của chúng ta.
Kozma Prutkov

Mục tiêu chính của việc học toán ở cơ sở giáo dục trung học chuyên là trang bị cho học sinh một bộ kiến ​​thức và kỹ năng toán cần thiết để học các môn chương trình khác có sử dụng toán ở mức độ này hay mức độ khác, khả năng thực hiện các phép tính thực tế, hình thành và phát triển. của tư duy logic.

Trong tác phẩm này, tất cả các khái niệm cơ bản của phần toán học “Cơ sở của lý thuyết xác suất và thống kê toán học”, được cung cấp bởi chương trình và Tiêu chuẩn giáo dục nhà nước về giáo dục trung học nghề (Bộ Giáo dục Liên bang Nga. M., 2002) ), được giới thiệu một cách nhất quán, các định lý chính được xây dựng nhưng phần lớn chưa được chứng minh. Các vấn đề chính và phương pháp giải quyết chúng cũng như công nghệ áp dụng các phương pháp này để giải quyết các vấn đề thực tế sẽ được xem xét. Bài trình bày đi kèm với các nhận xét chi tiết và nhiều ví dụ.

Hướng dẫn phương pháp có thể được sử dụng để làm quen ban đầu với tài liệu đang được nghiên cứu, khi ghi chép bài giảng, chuẩn bị cho các lớp thực hành, củng cố kiến ​​thức, kỹ năng và khả năng đã học. Ngoài ra, cuốn sổ tay này cũng sẽ hữu ích cho sinh viên đại học như một công cụ tham khảo, giúp họ nhanh chóng nhớ lại những gì đã học trước đó.

Cuối bài có các ví dụ và nhiệm vụ mà học sinh có thể thực hiện ở chế độ tự chủ.

Các hướng dẫn này dành cho sinh viên bán thời gian và toàn thời gian.

CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN

Lý thuyết xác suất nghiên cứu các mô hình khách quan của các sự kiện ngẫu nhiên hàng loạt. Nó là cơ sở lý thuyết cho thống kê toán học, liên quan đến việc phát triển các phương pháp thu thập, mô tả và xử lý các kết quả quan sát. Thông qua quan sát (thử nghiệm, thí nghiệm), tức là. trải nghiệm theo nghĩa rộng của từ này sẽ xuất hiện kiến ​​thức về các hiện tượng của thế giới thực.

Trong hoạt động thực tiễn, chúng ta thường gặp những hiện tượng mà kết quả của nó không thể đoán trước được mà kết quả của nó phụ thuộc vào sự ngẫu nhiên.

Một hiện tượng ngẫu nhiên có thể được đặc trưng bằng tỷ lệ giữa số lần xuất hiện của nó với số lần thử, trong đó mỗi lần, trong cùng điều kiện của tất cả các lần thử, nó có thể xảy ra hoặc không xảy ra.

Lý thuyết xác suất là một nhánh của toán học trong đó các hiện tượng (sự kiện) ngẫu nhiên được nghiên cứu và các mô hình được xác định khi chúng được lặp lại hàng loạt.

Thống kê toán học là một nhánh của toán học nghiên cứu các phương pháp thu thập, hệ thống hóa, xử lý và sử dụng dữ liệu thống kê để đưa ra kết luận và đưa ra quyết định dựa trên cơ sở khoa học.

Trong trường hợp này, dữ liệu thống kê được hiểu là tập hợp các con số biểu thị những đặc điểm định lượng về đặc điểm của đối tượng đang nghiên cứu mà chúng ta quan tâm. Dữ liệu thống kê thu được là kết quả của các thí nghiệm và quan sát được thiết kế đặc biệt.

Dữ liệu thống kê về bản chất phụ thuộc vào nhiều yếu tố ngẫu nhiên, do đó thống kê toán học có liên quan chặt chẽ với lý thuyết xác suất, là cơ sở lý thuyết của nó.

I. XÁC SUẤT. CÁC ĐỊA LÝ CỘNG VÀ NHÂN XÁC SUẤT

1.1. Các khái niệm cơ bản của tổ hợp

Trong nhánh toán học, được gọi là tổ hợp, một số vấn đề liên quan đến việc xem xét các tập hợp và thành phần của các tổ hợp khác nhau của các phần tử của các tập hợp này đã được giải quyết. Ví dụ: nếu lấy 10 số khác nhau 0, 1, 2, 3,: , 9 và ghép chúng lại thì chúng ta sẽ được các số khác nhau, ví dụ 143, 431, 5671, 1207, 43, v.v.

Chúng tôi thấy rằng một số kết hợp này chỉ khác nhau về thứ tự các chữ số (ví dụ: 143 và 431), những kết hợp khác - về các chữ số có trong chúng (ví dụ: 5671 và 1207) và những kết hợp khác cũng khác nhau về số chữ số (ví dụ: 143 và 43).

Vì vậy, sự kết hợp thu được đáp ứng các điều kiện khác nhau.

Tùy thuộc vào quy tắc sáng tác, có thể phân biệt ba loại kết hợp: hoán vị, vị trí, kết hợp.

Đầu tiên chúng ta làm quen với khái niệm yếu tố.

Tích của tất cả các số tự nhiên từ 1 đến n được gọi là giai thừa n và viết.

Tính: a) ; b) ; V) .

Giải pháp. MỘT) .

b) Vì , thì chúng ta có thể đặt nó ra khỏi ngoặc

Sau đó chúng tôi nhận được

V) .

Sắp xếp lại.

Sự kết hợp của n phần tử chỉ khác nhau về thứ tự các phần tử được gọi là một hoán vị.

Hoán vị được biểu thị bằng ký hiệu P n , trong đó n là số phần tử có trong mỗi hoán vị. ( R- chữ cái đầu tiên của một từ tiếng Pháp hoán vị- sắp xếp lại).

Số lượng hoán vị có thể được tính bằng công thức

hoặc sử dụng giai thừa:

Chúng ta hãy nhớ điều đó 0!=1 và 1!=1.

Ví dụ 2. Có bao nhiêu cách xếp sáu cuốn sách khác nhau vào một giá?

Giải pháp. Số cách yêu cầu bằng số hoán vị của 6 phần tử, tức là

Vị trí.

Bài đăng từ tôi các yếu tố trong N trong mỗi loại, các hợp chất như vậy được gọi là khác nhau bởi chính các nguyên tố (ít nhất một) hoặc theo thứ tự sắp xếp của chúng.

Các vị trí được biểu thị bằng ký hiệu, trong đó tôi- số lượng tất cả các phần tử có sẵn, N- số phần tử trong mỗi tổ hợp. ( MỘT- chữ cái đầu tiên của một từ tiếng Pháp sắp xếp, có nghĩa là “sắp xếp, sắp xếp”).

Đồng thời, người ta tin rằng nm.

Số lượng vị trí có thể được tính bằng công thức

,

những thứ kia. số lượng tất cả các vị trí có thể từ tôi các yếu tố bởi N tương đương với sản phẩm N số nguyên liên tiếp, trong đó số lớn nhất là tôi.

Hãy viết công thức này ở dạng giai thừa:

Ví dụ 3. Có thể tổng hợp bao nhiêu phương án phân phát ba phiếu thưởng đến các viện điều dưỡng thuộc nhiều loại hồ sơ khác nhau cho năm người nộp đơn?

Giải pháp. Số lượng tùy chọn cần thiết bằng số lượng vị trí của 5 phần tử của 3 phần tử, tức là.

.

Sự kết hợp.

Sự kết hợp là tất cả những sự kết hợp có thể có của tôi các yếu tố bởi N, khác nhau ít nhất một phần tử (ở đây tôi Và N- số tự nhiên và n m).

Số lượng kết hợp của tôi các yếu tố bởi Nđược ký hiệu là ( VỚI-chữ cái đầu tiên của một từ tiếng Pháp sự kết hợp- sự kết hợp).

Nhìn chung, số lượng tôi các yếu tố bởi N bằng với số lượng vị trí từ tôi các yếu tố bởi N, chia cho số hoán vị từ N các yếu tố:

Sử dụng các công thức giai thừa cho số vị trí và hoán vị, chúng ta thu được:

Ví dụ 4. Trong một nhóm gồm 25 người, bạn cần phân bổ bốn người để làm việc trong một khu vực nhất định. Có bao nhiêu cách có thể thực hiện được điều này?

Giải pháp. Vì thứ tự của bốn người được chọn không quan trọng nên có nhiều cách để thực hiện việc này.

Chúng tôi tìm thấy bằng cách sử dụng công thức đầu tiên

.

Ngoài ra, khi giải bài toán, người ta sử dụng các công thức sau thể hiện tính chất cơ bản của tổ hợp:

(theo định nghĩa họ giả định và);

.

1.2. Giải các bài toán tổ hợp

Nhiệm vụ 1. Khoa có 16 môn học. Bạn cần đưa 3 môn học vào lịch trình của mình vào thứ Hai. Có bao nhiêu cách có thể thực hiện được điều này?

Giải pháp. Có nhiều cách để sắp xếp ba mục trong số 16 mục cũng như bạn có thể sắp xếp vị trí của 16 mục theo 3.

Nhiệm vụ 2. Trong số 15 đối tượng, bạn cần chọn 10 đối tượng. Có bao nhiêu cách có thể thực hiện được điều này?

Nhiệm vụ 3. Bốn đội tham gia cuộc thi. Có thể có bao nhiêu phương án phân bổ chỗ ngồi giữa chúng?

.

Bài 4. Có bao nhiêu cách lập một đội tuần tra gồm 3 binh sĩ và một sĩ quan nếu có 80 quân nhân và 3 sĩ quan?

Giải pháp. Bạn có thể chọn một người lính đi tuần tra

cách, và sĩ quan theo cách. Vì sĩ quan nào cũng có thể đi theo từng đội quân nên chỉ có bấy nhiêu cách thôi.

Bài 5. Tìm , nếu biết rằng .

Vì , chúng tôi nhận được

,

,

Theo định nghĩa của sự kết hợp, nó tuân theo , . Cái đó. .

1.3. Khái niệm sự kiện ngẫu nhiên Các loại sự kiện. Xác suất của sự kiện

Bất kỳ hành động, hiện tượng, quan sát nào có nhiều kết quả khác nhau, được thực hiện trong một tập hợp điều kiện nhất định, sẽ được gọi là Bài kiểm tra.

Kết quả của hành động hoặc quan sát này được gọi là sự kiện .

Nếu một sự kiện trong những điều kiện nhất định có thể xảy ra hoặc không xảy ra thì nó được gọi là ngẫu nhiên . Khi một sự kiện chắc chắn xảy ra, nó được gọi là đáng tin cậy , và trong trường hợp điều đó rõ ràng là không thể xảy ra, - không thể nào.

Các sự kiện được gọi không tương thích , nếu chỉ một trong số chúng có thể xuất hiện mỗi lần.

Các sự kiện được gọi chung , nếu trong các điều kiện đã cho, việc xảy ra một trong các sự kiện này không loại trừ việc xảy ra sự kiện khác trong cùng một thử nghiệm.

Các sự kiện được gọi đối diện , nếu trong các điều kiện thử nghiệm, chúng là kết quả duy nhất, không tương thích.

Các sự kiện thường được biểu thị bằng chữ in hoa của bảng chữ cái Latinh: A B C D, : .

Một hệ thống hoàn chỉnh các sự kiện A 1 , A 2 , A 3 , : , An là một tập hợp các sự kiện không tương thích, việc xuất hiện ít nhất một trong số đó là bắt buộc trong một thử nghiệm nhất định.

Nếu một hệ thống hoàn chỉnh bao gồm hai sự kiện không tương thích thì các sự kiện đó được gọi là ngược nhau và được ký hiệu là A và .

Ví dụ. Hộp có 30 quả bóng được đánh số. Xác định sự kiện nào sau đây là không thể, đáng tin cậy hoặc trái ngược:

lấy ra một quả bóng được đánh số (MỘT);

có một quả bóng có số chẵn (TRONG);

có một quả bóng với số lẻ (VỚI);

có một quả bóng không có số (D).

Ai trong số họ tạo thành một nhóm hoàn chỉnh?

Giải pháp . MỘT- sự kiện đáng tin cậy; D- sự kiện không thể xảy ra;

Trong va VỚI- sự việc trái ngược nhau

Nhóm sự kiện đầy đủ bao gồm MỘT Và D, V Và VỚI.

Xác suất của một sự kiện được coi là thước đo khả năng khách quan của việc xảy ra một sự kiện ngẫu nhiên.

1.4. Định nghĩa cổ điển về xác suất

Con số biểu thị thước đo khả năng khách quan của một sự kiện có thể xảy ra được gọi là xác suất sự kiện này và được biểu thị bằng ký hiệu R(A).

Sự định nghĩa. Xác suất của sự kiện MỘT là tỷ lệ của số kết quả m thuận lợi cho sự xuất hiện của một sự kiện nhất định MỘT, theo số N tất cả các kết quả (không nhất quán, chỉ có thể xảy ra và có thể xảy ra như nhau), tức là .

Do đó, để tìm xác suất của một sự kiện, cần phải xem xét các kết quả khác nhau của thử nghiệm để tính toán tất cả các kết quả không nhất quán có thể xảy ra. N, chọn số kết quả m mà chúng ta quan tâm và tính tỷ lệ tôiĐẾN N.

Các thuộc tính sau đây tuân theo định nghĩa này:

Xác suất của bất kỳ thử nghiệm nào là một số không âm không vượt quá một.

Thật vậy, số m của các sự kiện bắt buộc nằm trong . Chia cả hai phần thành N, chúng tôi nhận được

2. Xác suất của một sự kiện đáng tin cậy là bằng một, bởi vì .

3. Xác suất của một sự kiện không thể xảy ra là bằng 0, vì .

Bài toán 1. Trong xổ số 1000 vé thì có 200 vé trúng thưởng. Một vé được lấy ngẫu nhiên. Xác suất để vé này trúng thưởng là bao nhiêu?

Giải pháp. Tổng số kết quả khác nhau là N= 1000. Số kết quả thuận lợi để thắng là m=200. Theo công thức, chúng ta nhận được

.

Bài 2. Trong một lô 18 chi tiết có 4 chi tiết bị lỗi. 5 phần được chọn ngẫu nhiên. Tìm xác suất để có 2 trong số 5 bộ phận này bị lỗi.

Giải pháp. Số lượng tất cả các kết quả độc lập có thể xảy ra như nhau N bằng số lượng kết hợp 18 x 5 tức là

Hãy đếm số m ủng hộ sự kiện A. Trong 5 phần được lấy ngẫu nhiên có 3 phần tốt và 2 phần kém. Số cách chọn 2 bộ phận bị lỗi từ 4 bộ phận bị lỗi hiện có bằng số cách kết hợp 4 x 2:

Số cách chọn 3 bộ phận chất lượng từ 14 bộ phận chất lượng sẵn có là:

.

Bất kỳ nhóm bộ phận tốt nào cũng có thể được kết hợp với bất kỳ nhóm bộ phận bị lỗi nào, do đó tổng số cách kết hợp tôi lên tới

Xác suất cần thiết của sự kiện A bằng tỷ lệ giữa số kết quả m thuận lợi cho sự kiện này với số n của tất cả các kết quả độc lập có thể xảy ra như nhau:

.

Tổng của một số hữu hạn các sự kiện là một sự kiện bao gồm sự xuất hiện của ít nhất một trong các sự kiện đó.

Tổng của hai sự kiện được ký hiệu bằng ký hiệu A+B và tổng N sự kiện có ký hiệu A 1 +A 2 + : +A n.

Định lý cộng xác suất.

Xác suất của tổng hai sự kiện không tương thích bằng tổng xác suất của các sự kiện này.

Hệ quả 1. Nếu biến cố A 1, A 2, :,An tạo thành một hệ hoàn chỉnh thì tổng xác suất của các biến cố này bằng một.

Hệ quả 2. Tổng xác suất của các biến cố trái ngược nhau và bằng một.

.

Bài toán 1. Có 100 tờ vé số. Được biết, 5 vé trúng 20.000 rúp, 10 vé trúng 15.000 rúp, 15 vé trúng 10.000 rúp, 25 vé trúng 2.000 rúp. và không có gì cho phần còn lại. Tìm xác suất để chiếc vé đã mua sẽ nhận được ít nhất 10.000 rúp.

Giải pháp. Giả sử A, B và C là các sự kiện trong đó vé đã mua nhận được số tiền thắng tương ứng là 20.000, 15.000 và 10.000 rúp. vì các sự kiện A, B và C không tương thích với nhau nên

Nhiệm vụ 2. Khoa văn thư trường kỹ thuật tiếp nhận bài thi môn toán của các thành phố A, B Và VỚI. Xác suất nhận được bài kiểm tra từ thành phố MỘT bằng 0,6, từ thành phố TRONG- 0,1. Tìm xác suất để bài kiểm tra tiếp theo sẽ đến từ thành phố VỚI.

Mẹ đã rửa khung

Kết thúc kỳ nghỉ hè dài, đã đến lúc bạn từ từ quay trở lại với môn toán cao hơn và trịnh trọng mở tệp Verdov trống để bắt đầu tạo một phần mới - . Tôi thừa nhận, những dòng đầu tiên không hề dễ dàng, nhưng bước đầu tiên đã đi được một nửa chặng đường nên tôi khuyên mọi người nên nghiên cứu kỹ bài giới thiệu, sau đó nắm vững chủ đề sẽ dễ dàng hơn gấp 2 lần! Tôi không phóng đại chút nào. …Đêm ngày 1 tháng 9 sắp tới, tôi nhớ đến lớp một và lớp sơ cấp…. Chữ tạo thành âm tiết, âm tiết tạo thành từ, từ tạo thành câu ngắn - Mẹ rửa khung. Nắm vững số liệu thống kê toán học và lật ngược cũng dễ như học đọc! Tuy nhiên, để làm được điều này, bạn cần phải biết các thuật ngữ, khái niệm và ký hiệu chính cũng như một số quy tắc cụ thể là chủ đề của bài học này.

Nhưng trước hết, hãy nhận lời chúc mừng của tôi vào ngày khai giảng (tiếp tục, hoàn thành, đánh dấu nếu phù hợp) của năm học và nhận món quà. Món quà tốt nhất là một cuốn sách, và đối với công việc độc lập, tôi giới thiệu những tài liệu sau:

1) Gmurman V.E. Lý thuyết xác suất và thống kê toán học

Một cuốn sách giáo khoa huyền thoại đã trải qua hơn mười lần tái bản. Nó nổi bật bởi tính dễ hiểu và cách trình bày tài liệu cực kỳ đơn giản, và tôi nghĩ rằng các chương đầu tiên hoàn toàn có thể tiếp cận được đối với học sinh lớp 6-7.

2) Gmurman V.E. Hướng dẫn giải các bài toán lý thuyết xác suất và thống kê toán học

Một cuốn sách giải pháp của cùng Vladimir Efimovich với các ví dụ và vấn đề chi tiết.

CẦN THIẾT tải xuống cả hai cuốn sách từ Internet hoặc lấy bản gốc giấy của chúng! Phiên bản từ những năm 60 và 70 cũng sẽ hoạt động, điều này thậm chí còn tốt hơn cho những người chưa có hình nộm. Mặc dù cụm từ “lý thuyết xác suất dành cho người giả” nghe có vẻ khá nực cười, vì hầu hết mọi thứ chỉ giới hạn ở các phép tính số học cơ bản. Tuy nhiên, họ bỏ qua ở những nơi các dẫn xuất Và tích phân, nhưng điều này chỉ xảy ra ở một số nơi.

Tôi sẽ cố gắng đạt được sự trình bày rõ ràng như vậy, nhưng tôi phải cảnh báo rằng khóa học của tôi nhằm vào giải quyết vấn đề và tính toán lý thuyết được giữ ở mức tối thiểu. Vì vậy, nếu bạn cần lý thuyết chi tiết, chứng minh các định lý (theorems-theorems!), hãy tham khảo sách giáo khoa. Vâng, ai muốn học cách giải quyết vấn đề trong lý thuyết xác suất và thống kê toán học trong thời gian ngắn nhất có thể, theo tôi!

Bắt đầu thế là đủ rồi =))

Khi bạn đọc các bài viết, bạn nên làm quen (ít nhất là ngắn gọn) với các nhiệm vụ bổ sung thuộc loại được xem xét. Trên trang Các giải pháp làm sẵn cho toán cao hơn Các tệp pdf tương ứng với các ví dụ về giải pháp sẽ được đăng. Hỗ trợ đáng kể cũng sẽ được cung cấp IDZ 18.1 Ryabushko(đơn giản hơn) và giải quyết IDZ theo bộ sưu tập của Chudesenko(khó hơn).

1) Số lượng hai sự kiện và sự kiện được gọi là nó sẽ xảy ra hoặc sự kiện hoặc sự kiện hoặc cả hai sự kiện cùng một lúc. Trong trường hợp sự kiện đó không tương thích, tùy chọn cuối cùng biến mất, nghĩa là nó có thể xảy ra hoặc sự kiện hoặc sự kiện .

Quy tắc này cũng áp dụng cho số lượng lớn hơn các thuật ngữ, ví dụ: sự kiện là điều gì sẽ xảy ra ít nhất một từ các sự kiện , MỘT nếu các sự kiện không tương thích – thì một điều và chỉ một điều thôi sự kiện từ số tiền này: hoặc sự kiện , hoặc sự kiện , hoặc sự kiện , hoặc sự kiện , hoặc sự kiện .

Có rất nhiều ví dụ:

Sự kiện (khi ném xúc xắc sẽ không xuất hiện 5 điểm) là những gì sẽ xuất hiện hoặc 1, hoặc 2, hoặc 3, hoặc 4, hoặc 6 điểm.

Sự kiện (sẽ giảm không còn nữa hai điểm) là 1 sẽ xuất hiện hoặc 2điểm.

Sự kiện (sẽ có số điểm chẵn) là kết quả xuất hiện hoặc 2 hoặc 4 hoặc 6 điểm.

Sự kiện là một thẻ đỏ (trái tim) sẽ được rút ra từ bộ bài hoặc tambourine), và sự kiện – rằng “hình ảnh” sẽ được trích xuất (jack hoặc quý bà hoặc nhà vua hoặcát chủ).

Thú vị hơn một chút là trường hợp với các sự kiện chung:

Sự kiện là một câu lạc bộ sẽ được rút ra từ bộ bài hoặc bảy hoặc bảy câu lạc bộ Theo định nghĩa nêu trên, ít nhất một cái gì đó- hoặc bất kỳ câu lạc bộ nào hoặc bảy câu lạc bộ bất kỳ hoặc “giao điểm” của họ - bảy câu lạc bộ. Dễ dàng tính toán rằng sự kiện này tương ứng với 12 kết quả cơ bản (9 quân bài + 3 quân bảy còn lại).

Sự kiện là 12h ngày mai sẽ đến ÍT NHẤT MỘT trong các sự kiện chung có thể tóm tắt, cụ thể là:

– hoặc sẽ chỉ có mưa/chỉ có giông bão/chỉ có nắng;
– hoặc chỉ một số cặp sự kiện sẽ xảy ra (mưa + giông / mưa + nắng / giông + nắng);
– hoặc cả ba sự kiện sẽ xuất hiện đồng thời.

Nghĩa là, sự kiện bao gồm 7 kết quả có thể xảy ra.

Trụ cột thứ hai của đại số các sự kiện:

2) Công việc hai sự kiện và gọi một sự kiện bao gồm sự xuất hiện chung của các sự kiện này, nói cách khác, phép nhân có nghĩa là trong một số trường hợp sẽ có Và sự kiện , Và sự kiện . Một tuyên bố tương tự cũng đúng đối với một số lượng lớn các sự kiện, ví dụ, một tác phẩm hàm ý rằng trong những điều kiện nhất định nó sẽ xảy ra. Và sự kiện , Và sự kiện , Và sự kiện , …, Và sự kiện .

Hãy xem xét một phép thử trong đó hai đồng xu được tung và các sự kiện sau:

– mặt ngửa sẽ xuất hiện trên đồng xu thứ nhất;
– đồng xu thứ nhất sẽ hạ cánh;
– đầu sẽ xuất hiện trên đồng xu thứ 2;
– đồng xu thứ 2 sẽ hạ cánh.

Sau đó:
Và vào ngày thứ 2) những cái đầu sẽ xuất hiện;
– sự kiện xảy ra trên cả hai đồng xu (vào ngày 1 Và vào ngày thứ 2) sẽ là mặt ngửa;
– sự kiện là đồng xu thứ 1 sẽ hạ cánh Vàđồng xu thứ 2 là mặt sấp;
– sự kiện là đồng xu thứ 1 sẽ hạ cánh Và trên đồng xu thứ 2 có hình một con đại bàng.

Dễ dàng nhận thấy sự kiện đó không tương thích (vì chẳng hạn không thể có 2 đầu và 2 đuôi cùng một lúc) và hình thức nhóm đầy đủ (vì đã tính đến Tất cả kết quả có thể xảy ra của việc tung hai đồng xu). Hãy tóm tắt những sự kiện này: . Làm thế nào để giải thích mục này? Rất đơn giản - phép nhân có nghĩa là một liên kết logic VÀ, và phép cộng – HOẶC. Như vậy, số tiền rất dễ đọc bằng ngôn ngữ dễ hiểu của con người: “hai cái đầu sẽ xuất hiện hoặc hai cái đầu hoặcđồng xu đầu tiên sẽ hạ cánh Vàở đuôi thứ 2 hoặcđồng xu đầu tiên sẽ hạ cánh Và trên đồng xu thứ 2 có hình một con đại bàng"

Đây là một ví dụ khi trong một bài kiểm tra có nhiều đồ vật liên quan, trong trường hợp này là hai đồng xu. Một sơ đồ phổ biến khác trong các bài toán thực tế là kiểm tra lại , chẳng hạn như khi cùng một con súc sắc được tung 3 lần liên tiếp. Để chứng minh, hãy xem xét các sự kiện sau:

– ở lần ném đầu tiên bạn sẽ được 4 điểm;
– ở lần ném thứ 2 bạn sẽ được 5 điểm;
– ở lần ném thứ 3 bạn sẽ được 6 điểm.

Sau đó sự kiện đó là ở lần ném đầu tiên bạn sẽ được 4 điểm Vàở lần ném thứ 2 bạn sẽ được 5 điểm Vàở lần quay thứ 3 bạn sẽ nhận được 6 điểm. Rõ ràng, trong trường hợp khối lập phương sẽ có nhiều sự kết hợp (kết quả) hơn đáng kể so với khi chúng ta tung đồng xu.

...Tôi hiểu rằng có lẽ những ví dụ đang được phân tích không mấy thú vị, nhưng đây là những điều thường gặp trong các bài toán và không thể thoát khỏi chúng. Ngoài một đồng xu, một khối lập phương và một bộ bài, những chiếc bình đựng những quả bóng nhiều màu, một số người ẩn danh đang bắn vào mục tiêu và một người lao động không mệt mỏi không ngừng mài giũa một số chi tiết đang chờ đợi bạn =)

Xác suất của sự kiện

Xác suất của sự kiện là khái niệm trung tâm của lý thuyết xác suất. ...Một điều hợp lý chết người, nhưng chúng ta phải bắt đầu từ đâu đó =) Có một số cách tiếp cận định nghĩa của nó:

;
Định nghĩa hình học của xác suất ;
Định nghĩa thống kê về xác suất .

Trong bài viết này tôi sẽ tập trung vào định nghĩa cổ điển về xác suất, định nghĩa được sử dụng rộng rãi nhất trong các nhiệm vụ giáo dục.

Chỉ định. Xác suất của một sự kiện nhất định được biểu thị bằng chữ cái Latinh viết hoa và bản thân sự kiện đó được đặt trong ngoặc, đóng vai trò như một loại đối số. Ví dụ:

Ngoài ra, chữ cái nhỏ được sử dụng rộng rãi để biểu thị xác suất. Đặc biệt, bạn có thể bỏ đi những ký hiệu rườm rà về các sự kiện và xác suất của chúng. ủng hộ phong cách sau::

– xác suất việc tung đồng xu sẽ dẫn đến mặt ngửa;
– xác suất tung xúc xắc sẽ được 5 điểm;
– xác suất để một lá bài thuộc bộ câu lạc bộ được rút ra từ bộ bài.

Tùy chọn này phổ biến khi giải các bài toán thực tế vì nó cho phép bạn giảm đáng kể việc ghi lại lời giải. Như trong trường hợp đầu tiên, sẽ thuận tiện hơn khi sử dụng chỉ số dưới/chỉ số trên “nói” ở đây.

Mọi người đã đoán từ lâu những con số mà tôi vừa viết ở trên, và bây giờ chúng ta cùng tìm hiểu xem chúng diễn ra như thế nào:

Định nghĩa cổ điển về xác suất:

Xác suất của một sự kiện xảy ra trong một thử nghiệm nhất định được gọi là tỷ lệ, trong đó:

- tổng số tất cả đều có thể, tiểu học kết quả của bài kiểm tra này, hình thành nhóm sự kiện đầy đủ;

- Số lượng tiểu học kết quả, thuận lợi sự kiện.

Khi tung đồng xu, mặt ngửa hoặc mặt sấp có thể rơi ra - những sự kiện này hình thành nhóm đầy đủ, do đó, tổng số kết quả; đồng thời, mỗi người trong số họ tiểu học Và đều có thể. Sự kiện được ưa chuộng bởi kết quả (ngửa). Theo định nghĩa cổ điển về xác suất: .

Tương tự, do ném xúc xắc, các kết quả cơ bản có thể xảy ra như nhau có thể xuất hiện, tạo thành một nhóm hoàn chỉnh và sự kiện được ưu tiên bởi một kết quả duy nhất (lắc năm). Đó là lý do tại sao: ĐIỀU NÀY KHÔNG ĐƯỢC CHẤP NHẬN LÀM (mặc dù không cấm bạn ước tính tỷ lệ phần trăm trong đầu).

Người ta thường sử dụng phân số của một đơn vị và rõ ràng là xác suất có thể thay đổi trong phạm vi . Hơn nữa, nếu , thì sự kiện đó là không thể nào, Nếu như - đáng tin cậy, và nếu , thì chúng ta đang nói về ngẫu nhiên sự kiện.

! Nếu, trong khi giải bất kỳ bài toán nào, bạn nhận được một số giá trị xác suất khác, hãy tìm lỗi!

Theo cách tiếp cận cổ điển để xác định xác suất, các giá trị cực trị (không và một) thu được thông qua lý luận giống hệt nhau. Lấy ngẫu nhiên 1 quả bóng từ một chiếc bình chứa 10 quả bóng màu đỏ. Hãy xem xét các sự kiện sau:

trong một lần thử duy nhất, một sự kiện có khả năng xảy ra thấp sẽ không xảy ra.

Đây là lý do tại sao bạn sẽ không trúng giải độc đắc trong xổ số nếu xác suất của sự kiện này là 0,00000001. Vâng, vâng, chính là bạn – với tấm vé duy nhất được phát hành cụ thể. Tuy nhiên, số lượng vé lớn hơn và số lượng bản vẽ lớn hơn sẽ không giúp ích gì nhiều cho bạn. ...Khi tôi nói với người khác về điều này, tôi hầu như luôn nghe thấy câu trả lời: “nhưng ai đó sẽ thắng.” Được rồi, chúng ta hãy làm thí nghiệm sau: vui lòng mua một vé xổ số bất kỳ hôm nay hoặc ngày mai (đừng trì hoãn!). Và nếu bạn thắng... à, ít nhất hơn 10 kilorub, hãy nhớ đăng ký - tôi sẽ giải thích lý do tại sao điều này xảy ra. Tất nhiên là theo tỷ lệ phần trăm =))

Nhưng không cần phải buồn, vì có một nguyên tắc ngược lại: nếu xác suất của một sự kiện nào đó rất gần bằng một thì chỉ trong một lần thử nó sẽ xảy ra. gần như chắc chắn sẽ xảy ra. Vì vậy, trước khi nhảy dù, bạn không cần phải sợ hãi mà hãy mỉm cười! Rốt cuộc, phải có những tình huống hoàn toàn không thể tưởng tượng được và tuyệt vời mới khiến cả hai chiếc dù đều thất bại.

Mặc dù tất cả những điều này đều là chất trữ tình, vì tùy thuộc vào nội dung của sự kiện, nguyên tắc đầu tiên có thể trở nên vui vẻ và nguyên tắc thứ hai có thể trở nên buồn bã; hoặc thậm chí cả hai đều song song.

Có lẽ thế là đủ rồi, trong lớp Các bài toán xác suất cổ điển chúng ta sẽ tận dụng tối đa công thức. Trong phần cuối cùng của bài viết này, chúng ta sẽ xem xét một định lý quan trọng:

Tổng xác suất của các sự kiện tạo thành một nhóm hoàn chỉnh bằng một. Nói một cách đại khái, nếu các sự kiện tạo thành một nhóm hoàn chỉnh thì với xác suất 100%, một trong số chúng sẽ xảy ra. Trong trường hợp đơn giản nhất, một nhóm hoàn chỉnh được hình thành bởi các sự kiện trái ngược nhau, ví dụ:

– do việc tung đồng xu, mặt ngửa sẽ xuất hiện;
– kết quả của việc tung đồng xu sẽ là mặt ngửa.

Theo định lý:

Hoàn toàn rõ ràng rằng những sự kiện này đều có thể xảy ra như nhau và xác suất của chúng là như nhau .

Do xác suất bằng nhau nên các biến cố có khả năng xảy ra như nhau thường được gọi là có thể xảy ra như nhau . Và đây là xoắn lưỡi để xác định mức độ say =))

Ví dụ với khối lập phương: do đó các sự kiện xảy ra ngược nhau .

Định lý đang được xem xét thuận tiện ở chỗ nó cho phép bạn nhanh chóng tìm ra xác suất của sự kiện ngược lại. Vì vậy, nếu biết xác suất để con số 5 được tung ra thì có thể dễ dàng tính được xác suất để nó không được tung ra:

Việc này đơn giản hơn nhiều so với việc tính tổng xác suất của năm kết quả cơ bản. Nhân tiện, đối với các kết quả cơ bản, định lý này cũng đúng:
. Ví dụ, nếu xác suất để người bắn bắn trúng mục tiêu là xác suất để anh ta bắn trượt.

! Trong lý thuyết xác suất, việc sử dụng các chữ cái cho bất kỳ mục đích nào khác là điều không mong muốn.

Nhân dịp Ngày Tri thức, tôi sẽ không giao bài tập về nhà =), nhưng điều rất quan trọng là bạn có thể trả lời các câu hỏi sau:

- Có những loại sự kiện nào?
– Cơ hội và khả năng ngang nhau của một sự kiện là gì?
– Bạn hiểu thuật ngữ tương thích/không tương thích của các sự kiện như thế nào?
– Thế nào là một nhóm đầy đủ các sự kiện, sự kiện trái ngược nhau?
– Phép cộng và phép nhân các sự kiện có ý nghĩa gì?
– Bản chất của định nghĩa cổ điển về xác suất là gì?
– Tại sao định lý cộng xác suất của các sự kiện tạo thành một nhóm hoàn chỉnh lại hữu ích?

Không, bạn không cần phải nhồi nhét bất cứ thứ gì, đây chỉ là những điều cơ bản của lý thuyết xác suất - một loại kiến ​​thức cơ bản sẽ nhanh chóng lọt vào đầu bạn. Và để điều này xảy ra càng sớm càng tốt, tôi khuyên bạn nên làm quen với các bài học

Lý thuyết xác suất và thống kê toán học

1. PHẦN LÝ THUYẾT

1 Sự hội tụ của chuỗi biến ngẫu nhiên và phân bố xác suất

Trong lý thuyết xác suất, người ta phải giải quyết các dạng hội tụ khác nhau của các biến ngẫu nhiên. Chúng ta hãy xem xét các loại hội tụ chính sau đây: theo xác suất, với xác suất bằng một, theo bậc p, theo phân phối.

Giả sử,... là các biến ngẫu nhiên được xác định trên một không gian xác suất (, Ф, P nào đó).

Định nghĩa 1. Dãy các biến ngẫu nhiên, ... được gọi là hội tụ về xác suất về một biến ngẫu nhiên (ký hiệu:), nếu với bất kỳ > 0

Định nghĩa 2. Một dãy các biến ngẫu nhiên, ... được gọi là hội tụ với xác suất một (gần như chắc chắn, gần như ở mọi nơi) về một biến ngẫu nhiên nếu

những thứ kia. nếu tập hợp các kết quả mà () không hội tụ về () có xác suất bằng 0.

Kiểu hội tụ này được ký hiệu như sau: , hoặc, hoặc.

Định nghĩa 3. Dãy số ngẫu nhiên… được gọi là hội tụ trung bình bậc p, 0< p < , если

Định nghĩa 4. Dãy các biến ngẫu nhiên... được gọi là hội tụ về phân phối thành một biến ngẫu nhiên (ký hiệu:) nếu với hàm liên tục bị chặn bất kỳ

Sự hội tụ trong phân phối của các biến ngẫu nhiên chỉ được xác định theo sự hội tụ của các hàm phân phối của chúng. Do đó, sẽ hợp lý khi nói về kiểu hội tụ này ngay cả khi các biến ngẫu nhiên được xác định trong các không gian xác suất khác nhau.

Định lý 1.

a) Để có (P-a.s.), điều cần và đủ là với mọi > 0

) Dãy số () là cơ bản với xác suất bằng 1 khi và chỉ nếu với bất kỳ > 0.

Bằng chứng.

a) Cho A = (: |- | ), A = A. Khi đó

Do đó, câu a) là kết quả của chuỗi hàm ý sau:

P(: )= 0 P() = 0 = 0 P(A) = 0, m 1 P(A) = 0, > 0 P() 0, n 0, > 0 P( ) 0,

n 0, > 0.) Ta ký hiệu = (: ), = . Khi đó (: (()) không cơ bản ) = và theo cách tương tự như trong a) cho thấy rằng (: (()) không cơ bản ) = 0 P( ) 0, n.

Định lý được chứng minh

Định lý 2. (Tiêu chuẩn Cauchy cho sự hội tụ gần như chắc chắn)

Để một chuỗi các biến ngẫu nhiên () hội tụ với xác suất một (với một biến ngẫu nhiên nào đó), điều cần và đủ là nó cơ bản với xác suất một.

Bằng chứng.

Nếu thì +

từ đó suy ra sự cần thiết của các điều kiện của định lý.

Bây giờ hãy để chuỗi () là cơ bản với xác suất bằng một. Hãy ký hiệu L = (: (()) không cơ bản). Khi đó với mọi dãy số () là dãy cơ bản và theo tiêu chuẩn Cauchy cho dãy số, () tồn tại. Chúng ta hãy đặt

Hàm được xác định này là một biến ngẫu nhiên và.

Định lý đã được chứng minh.

2 Phương pháp hàm đặc trưng

Phương pháp hàm đặc trưng là một trong những công cụ chính của bộ máy phân tích lý thuyết xác suất. Cùng với các biến ngẫu nhiên (lấy giá trị thực), lý thuyết hàm đặc trưng yêu cầu sử dụng các biến ngẫu nhiên có giá trị phức.

Nhiều định nghĩa và tính chất liên quan đến biến ngẫu nhiên có thể dễ dàng chuyển sang trường hợp phức tạp. Vì vậy, kỳ vọng toán học M ?biến ngẫu nhiên có giá trị phức tạp ?=?+?? được coi là chắc chắn nếu kỳ vọng toán học M được xác định ?họ ?. Trong trường hợp này, theo định nghĩa, chúng ta giả sử M ?= M ? + ?M ?. Từ định nghĩa về tính độc lập của các phần tử ngẫu nhiên, suy ra rằng các đại lượng có giá trị phức ?1 =?1+??1 , ?2=?2+??2độc lập khi và chỉ khi các cặp biến ngẫu nhiên độc lập ( ?1 , ?1) Và ( ?2 , ?2), hoặc, tương tự, độc lập ?-đại số F ?1, ?1 và F ?2, ?2.

Cùng với không gian L 2các biến ngẫu nhiên thực với mô men thứ hai hữu hạn, chúng ta có thể đưa vào không gian Hilbert của các biến ngẫu nhiên có giá trị phức ?=?+?? với M | ?|2?|2= ?2+?2, và tích vô hướng ( ?1 , ?2)= M ?1?2¯ , Ở đâu ?2¯ - biến ngẫu nhiên liên hợp phức tạp.

Trong các phép toán đại số, vectơ Rn được coi là các cột đại số,

Là vectơ hàng, a* - (a1,a2,…,an). Nếu Rn thì tích vô hướng (a,b) của chúng sẽ được hiểu là một đại lượng. Rõ ràng là

Nếu aRn và R=||rij|| là ma trận cấp nхn thì

Định nghĩa 1. Cho F = F(x1,....,xn) - hàm phân bố n chiều trong (, ()). Hàm đặc trưng của nó được gọi là hàm

Định nghĩa 2 . Nếu như? = (?1,…,?n) là một vectơ ngẫu nhiên xác định trên không gian xác suất có các giá trị trong thì hàm đặc trưng của nó gọi là hàm

F ở đâu? = F?(х1,….,хn) - hàm phân bố vectơ?=(?1,…, ?n).

Nếu hàm phân phối F(x) có mật độ f = f(x), thì

Trong trường hợp này, hàm đặc tính không gì khác hơn là biến đổi Fourier của hàm f(x).

Từ (3) suy ra hàm đặc trưng ??(t) của một vectơ ngẫu nhiên cũng có thể được xác định bằng đẳng thức

Tính chất cơ bản của hàm đặc trưng (trong trường hợp n=1).

Để cho được? = ?(?) - biến ngẫu nhiên, F? = F? (x) là hàm phân phối của nó và là hàm đặc trưng.

Cần lưu ý rằng nếu thì.

Thực vậy,

trong đó chúng tôi đã lợi dụng thực tế là kỳ vọng toán học của tích các biến ngẫu nhiên độc lập (giới hạn) bằng tích của các kỳ vọng toán học của chúng.

Tính chất (6) là mấu chốt khi chứng minh các định lý giới hạn cho tổng các biến ngẫu nhiên độc lập bằng phương pháp hàm đặc trưng. Về vấn đề này, hàm phân phối được thể hiện thông qua hàm phân phối của các số hạng riêng lẻ theo cách phức tạp hơn nhiều, cụ thể là, trong đó dấu * có nghĩa là tích chập của các phân bố.

Mỗi hàm phân phối có thể được liên kết với một biến ngẫu nhiên có hàm này là hàm phân phối. Vì vậy, khi trình bày tính chất của các hàm đặc trưng, ​​chúng ta có thể hạn chế xem xét các hàm đặc trưng của các biến ngẫu nhiên.

Định lý 1.Để cho được? - một biến ngẫu nhiên có hàm phân phối F=F(x) và - hàm đặc trưng của nó.

Các thuộc tính sau đây xảy ra:

) liên tục đều trong;

) là hàm có giá trị thực khi và chỉ khi phân bố của F là đối xứng

) nếu với một số n? 1 thì với mọi đều có đạo hàm và

) Nếu tồn tại và hữu hạn thì

) Cho tất cả n ? 1 và

thì với tất cả |t|

Định lý sau đây cho thấy hàm đặc tính xác định duy nhất hàm phân phối.

Định lý 2 (tính duy nhất). Cho F và G là hai hàm phân phối có cùng hàm đặc tính, nghĩa là với mọi

Định lý nói rằng hàm phân phối F = F(x) có thể được khôi phục duy nhất từ ​​hàm đặc trưng của nó. Định lý sau đây biểu diễn rõ ràng hàm F theo.

Định lý 3 (công thức tổng quát hóa). Đặt F = F(x) là hàm phân phối và là hàm đặc trưng của nó.

a) Với hai điểm bất kỳ a, b (a< b), где функция F = F(х) непрерывна,

) Nếu khi đó hàm phân bố F(x) có mật độ f(x),

Định lý 4. Để các thành phần của một vectơ ngẫu nhiên độc lập thì điều cần và đủ là hàm đặc trưng của nó phải là tích các hàm đặc trưng của các thành phần:

Định lý Bochner-Khichinchin . Cho là một hàm liên tục, để nó là hàm đặc trưng thì điều cần và đủ là nó phải là xác định không âm, nghĩa là với mọi số thực t1, ​​... , tn và mọi số phức

Định lý 5. Gọi là hàm đặc trưng của một biến ngẫu nhiên.

a) Nếu đối với một số người, thì biến ngẫu nhiên là mạng có một bước, nghĩa là

) Nếu ở hai điểm khác nhau, đâu là số vô tỷ thì đó có phải là biến ngẫu nhiên không? bị thoái hóa:

trong đó a là một hằng số nào đó.

c) Nếu thì đó có phải là biến ngẫu nhiên không? thoái hóa.

1.3 Định lý giới hạn trung tâm cho các biến ngẫu nhiên phân bố giống hệt nhau độc lập

Cho () là một dãy các biến ngẫu nhiên độc lập, có phân bố giống hệt nhau. Kỳ vọng M= a, phương sai D= , S = , và Ф(х) là hàm phân phối của luật chuẩn tắc với tham số (0,1). Hãy để chúng tôi giới thiệu một chuỗi các biến ngẫu nhiên khác

Định lý. Nếu 0<<, то при n P(< x) Ф(х) равномерно относительно х ().

Trong trường hợp này, dãy () được gọi là tiệm cận chuẩn tắc.

Từ thực tế M = 1 và từ các định lý liên tục suy ra rằng, cùng với sự hội tụ yếu, FM f() Mf() với mọi giới hạn liên tục f, cũng có sự hội tụ M f() Mf() với mọi liên tục f, sao cho |f(x)|< c(1+|x|) при каком-нибудь.

Bằng chứng.

Sự hội tụ đều ở đây là hệ quả của sự hội tụ yếu và tính liên tục của Ф(x). Hơn nữa, không mất tính tổng quát, chúng ta có thể giả sử a = 0, vì nếu không thì chúng ta có thể coi dãy () và dãy () sẽ không thay đổi. Do đó, để chứng minh sự hội tụ cần thiết chỉ cần chứng minh (t) e khi a = 0. Ta có

(t) = , trong đó =(t).

Vì M tồn tại nên phân tách tồn tại và hợp lệ

Vì vậy, đối với n

Định lý đã được chứng minh.

1.4 Nhiệm vụ chính của thống kê toán học, mô tả ngắn gọn về chúng

Việc thiết lập các mô hình chi phối các hiện tượng ngẫu nhiên hàng loạt dựa trên việc nghiên cứu dữ liệu thống kê - kết quả quan sát. Nhiệm vụ đầu tiên của thống kê toán học là chỉ ra cách thu thập và nhóm thông tin thống kê. Nhiệm vụ thứ hai của thống kê toán là phát triển các phương pháp phân tích dữ liệu thống kê, tùy thuộc vào mục tiêu nghiên cứu.

Khi giải bất kỳ bài toán thống kê toán học nào, có hai nguồn thông tin. Đầu tiên và rõ ràng nhất (rõ ràng) là kết quả của các quan sát (thí nghiệm) dưới dạng mẫu từ một số tổng thể chung của biến ngẫu nhiên vô hướng hoặc vectơ. Trong trường hợp này, cỡ mẫu n có thể được cố định hoặc có thể tăng lên trong quá trình thử nghiệm (tức là có thể sử dụng cái gọi là quy trình phân tích thống kê tuần tự).

Nguồn thứ hai là tất cả các thông tin tiên nghiệm về các đặc tính quan tâm của đối tượng đang được nghiên cứu, đã được tích lũy cho đến thời điểm hiện tại. Về mặt hình thức, lượng thông tin tiên nghiệm được phản ánh trong mô hình thống kê ban đầu được chọn khi giải quyết vấn đề. Tuy nhiên, không cần phải nói đến việc xác định gần đúng theo nghĩa thông thường về xác suất của một sự kiện dựa trên kết quả thí nghiệm. Bằng cách xác định gần đúng đại lượng bất kỳ, điều này thường có nghĩa là có thể chỉ ra các giới hạn sai số trong đó sai số sẽ không xảy ra. Tần suất của sự kiện là ngẫu nhiên đối với bất kỳ số lượng thí nghiệm nào do tính ngẫu nhiên của kết quả của từng thí nghiệm. Do kết quả của các thí nghiệm riêng lẻ là ngẫu nhiên nên tần suất có thể sai lệch đáng kể so với xác suất của sự kiện. Do đó, bằng cách xác định xác suất chưa biết của một sự kiện là tần suất của sự kiện này qua một số lượng lớn thử nghiệm, chúng tôi không thể chỉ ra các giới hạn sai số và đảm bảo rằng sai số sẽ không vượt quá các giới hạn này. Do đó, trong thống kê toán học, chúng ta thường không nói về giá trị gần đúng của các đại lượng chưa biết mà nói về các giá trị, ước tính phù hợp của chúng.

Vấn đề ước lượng các tham số chưa biết phát sinh trong trường hợp hàm phân bố tổng thể được biết tới một tham số. Trong trường hợp này, cần phải tìm một thống kê có giá trị mẫu cho việc triển khai được xem xét xn của một mẫu ngẫu nhiên có thể được coi là giá trị gần đúng của tham số. Một thống kê có giá trị mẫu cho bất kỳ cách thực hiện xn nào được lấy làm giá trị gần đúng của một tham số chưa biết được gọi là ước tính điểm hoặc đơn giản là ước tính và là giá trị của ước tính điểm. Ước tính điểm phải đáp ứng các yêu cầu rất cụ thể để giá trị mẫu của nó tương ứng với giá trị thực của tham số.

Cũng có thể thực hiện được một cách tiếp cận khác để giải quyết vấn đề đang được xem xét: tìm số liệu thống kê như vậy và với xác suất? bất đẳng thức sau xảy ra:

Trong trường hợp này chúng ta nói về ước tính khoảng thời gian cho. Khoảng thời gian

được gọi là khoảng tin cậy của hệ số tin cậy?.

Sau khi đánh giá đặc tính thống kê này hoặc đặc tính thống kê khác dựa trên kết quả thí nghiệm, câu hỏi đặt ra là: giả định (giả thuyết) rằng đặc tính chưa biết có giá trị chính xác thu được do đánh giá nó với dữ liệu thực nghiệm có nhất quán đến mức nào không? Đây là cách phát sinh loại vấn đề quan trọng thứ hai trong thống kê toán học - các vấn đề kiểm tra các giả thuyết.

Theo một nghĩa nào đó, bài toán kiểm tra một giả thuyết thống kê là nghịch đảo của bài toán ước lượng tham số. Khi ước tính một tham số, chúng ta không biết gì về giá trị thực của nó. Khi kiểm định một giả thuyết thống kê, vì lý do nào đó giá trị của nó được coi là đã biết và cần phải kiểm chứng giả định này dựa trên kết quả của thí nghiệm.

Trong nhiều bài toán thống kê toán học, chuỗi các biến ngẫu nhiên được xem xét, hội tụ theo nghĩa này hay nghĩa khác đến một giới hạn nào đó (biến ngẫu nhiên hoặc hằng số), khi nào.

Vì vậy, nhiệm vụ chính của thống kê toán học là phát triển các phương pháp tìm ước tính và nghiên cứu tính chính xác của phép tính gần đúng của chúng với các đặc điểm được đánh giá và phát triển các phương pháp kiểm tra các giả thuyết.

5 Kiểm định các giả thuyết thống kê: các khái niệm cơ bản

Nhiệm vụ phát triển các phương pháp hợp lý để kiểm tra các giả thuyết thống kê là một trong những nhiệm vụ chính của thống kê toán học. Giả thuyết thống kê (hoặc đơn giản là giả thuyết) là bất kỳ tuyên bố nào về loại hoặc tính chất của sự phân bố các biến ngẫu nhiên được quan sát trong một thử nghiệm.

Giả sử có một mẫu là sự hiện thực hóa của một mẫu ngẫu nhiên từ một tổng thể chung, mật độ phân bố của mẫu đó phụ thuộc vào một tham số chưa biết.

Các giả thuyết thống kê liên quan đến giá trị thực chưa biết của một tham số được gọi là giả thuyết tham số. Hơn nữa, nếu là vô hướng thì chúng ta đang nói về các giả thuyết một tham số, và nếu nó là một vectơ thì chúng ta đang nói về các giả thuyết đa tham số.

Một giả thuyết thống kê được gọi là đơn giản nếu nó có dạng

đâu là một số giá trị tham số được chỉ định.

Một giả thuyết thống kê được gọi là phức tạp nếu nó có dạng

ở đâu là tập hợp các giá trị tham số bao gồm nhiều hơn một phần tử.

Trong trường hợp kiểm định hai giả thuyết thống kê đơn giản có dạng

trong đó có hai giá trị nhất định (khác nhau) của tham số, giả thuyết đầu tiên thường được gọi là giả thuyết chính và giả thuyết thứ hai được gọi là giả thuyết thay thế hoặc cạnh tranh.

Tiêu chí hoặc tiêu chí thống kê để kiểm tra các giả thuyết là quy tắc dựa trên dữ liệu mẫu để đưa ra quyết định về tính hợp lệ của giả thuyết thứ nhất hoặc thứ hai.

Tiêu chí này được chỉ định bằng cách sử dụng một tập quan trọng, là tập hợp con của không gian mẫu của một mẫu ngẫu nhiên. Quyết định được đưa ra như sau:

) nếu mẫu thuộc tập tới hạn thì bác bỏ giả thuyết chính và chấp nhận giả thuyết thay thế;

) nếu mẫu không thuộc tập quan trọng (tức là nó thuộc phần bù của tập hợp trong không gian mẫu), thì giả thuyết thay thế bị bác bỏ và giả thuyết chính được chấp nhận.

Khi sử dụng bất kỳ tiêu chí nào, có thể xảy ra các loại lỗi sau:

1) chấp nhận một giả thuyết khi nó đúng - sai lầm loại một;

) việc chấp nhận một giả thuyết khi nó đúng là sai lầm loại II.

Xác suất phạm lỗi loại thứ nhất và loại thứ hai được biểu thị bằng:

đâu là xác suất của một sự kiện với điều kiện giả thuyết là đúng. Các xác suất được chỉ ra được tính toán bằng cách sử dụng hàm mật độ phân phối của một mẫu ngẫu nhiên:

Xác suất phạm lỗi loại I còn được gọi là mức ý nghĩa tiêu chí.

Giá trị bằng xác suất bác bỏ giả thuyết chính khi nó đúng được gọi là độ mạnh của phép thử.

1.6 Tiêu chí độc lập

Có một mẫu ((XY), ..., (XY)) từ phân bố hai chiều

L với hàm phân phối chưa biết nên cần kiểm tra giả thuyết H: , trong đó có một số hàm phân phối một chiều.

Một bài kiểm tra mức độ phù hợp đơn giản cho giả thuyết H có thể được xây dựng dựa trên phương pháp luận này. Kỹ thuật này được sử dụng cho các mô hình rời rạc với số lượng kết quả hữu hạn, vì vậy chúng tôi đồng ý rằng biến ngẫu nhiên có số lượng hữu hạn s của một số giá trị mà chúng tôi sẽ biểu thị bằng các chữ cái và thành phần thứ hai - giá trị k. Nếu mô hình ban đầu có cấu trúc khác thì các giá trị có thể có của các biến ngẫu nhiên được nhóm sơ bộ riêng biệt thành thành phần thứ nhất và thứ hai. Trong trường hợp này, tập hợp được chia thành các khoảng s, giá trị được đặt thành k khoảng và giá trị được đặt thành các hình chữ nhật N=sk.

Chúng ta hãy biểu thị bằng số lượng quan sát của cặp (số phần tử mẫu thuộc hình chữ nhật, nếu dữ liệu được nhóm lại), sao cho. Thuận tiện là sắp xếp kết quả quan trắc dưới dạng bảng dự phòng gồm hai dấu (Bảng 1.1). Trong các ứng dụng và thường có nghĩa là hai tiêu chí mà kết quả quan sát được phân loại.

Cho P, i=1,…,s, j=1,…,k. Khi đó giả thuyết độc lập có nghĩa là có các hằng số s+k sao cho và, tức là

Bảng 1.1

Tổng . . .. . .. . . . . .. . .. . . . . . . . . . . . . . .Tổng . . .N

Do đó, giả thuyết H đưa ra nhận định rằng tần số (số của chúng là N = sk) được phân phối theo quy luật đa thức với xác suất các kết quả có cấu trúc cụ thể được chỉ định (vectơ xác suất của các kết quả p được xác định bởi các giá trị r = s + k-2 của các tham số chưa biết.

Để kiểm tra giả thuyết này, chúng tôi sẽ tìm ước tính khả năng tối đa cho các tham số chưa biết xác định sơ đồ đang được xem xét. Nếu giả thuyết khống là đúng thì hàm khả năng có dạng L(p)= trong đó số nhân c không phụ thuộc vào các tham số chưa biết. Từ đây, bằng cách sử dụng phương pháp Lagrange của số nhân không xác định, chúng ta thu được rằng các ước lượng cần thiết có dạng

Vì vậy, thống kê

L() tại, vì số bậc tự do trong phân bố giới hạn bằng N-1-r=sk-1-(s+k-2)=(s-1)(k-1).

Vì vậy, với n đủ lớn, có thể sử dụng quy tắc kiểm tra giả thuyết sau: giả thuyết H bị bác bỏ khi và chỉ khi giá trị thống kê t được tính từ dữ liệu thực tế thỏa mãn bất đẳng thức

Tiêu chí này có mức ý nghĩa tiệm cận (tại) cho trước và được gọi là tiêu chí độc lập.

2. PHẦN THỰC HÀNH

1 Giải bài toán về các dạng hội tụ

1. Chứng minh rằng sự hội tụ gần như chắc chắn kéo theo sự hội tụ về xác suất. Hãy đưa ra một ví dụ kiểm tra để chứng minh điều ngược lại là không đúng.

Giải pháp. Giả sử một chuỗi các biến ngẫu nhiên hội tụ về một biến ngẫu nhiên x gần như chắc chắn. Vì vậy, đối với bất cứ ai? > 0

Kể từ đó

và từ sự hội tụ của xn đến x gần như chắc chắn rằng xn hội tụ về x theo xác suất, vì trong trường hợp này

Nhưng tuyên bố ngược lại là không đúng sự thật. Cho là một chuỗi các biến ngẫu nhiên độc lập có cùng hàm phân phối F(x), bằng 0 tại x? 0 và bằng với x > 0. Xét dãy

Chuỗi này hội tụ về xác suất bằng 0, vì

có xu hướng bằng 0 đối với bất kỳ cố định nào? Và. Tuy nhiên, sự hội tụ về 0 gần như chắc chắn sẽ không xảy ra. Thật sự

có xu hướng thống nhất, nghĩa là, với xác suất 1 cho bất kỳ và n sẽ có những thực hiện theo trình tự vượt quá ?.

Lưu ý rằng khi có một số điều kiện bổ sung áp đặt cho các đại lượng xn, sự hội tụ về xác suất hàm ý sự hội tụ gần như chắc chắn.

Cho xn là một dãy đơn điệu. Chứng minh rằng trong trường hợp này sự hội tụ của xn đến x theo xác suất kéo theo sự hội tụ của xn đến x với xác suất 1.

Giải pháp. Giả sử xn là một dãy giảm đơn điệu. Để đơn giản hóa lý luận, chúng ta sẽ giả sử rằng x 0, xn ³ 0 với mọi n. Giả sử xn hội tụ về x theo xác suất, nhưng sự hội tụ gần như chắc chắn không xảy ra. Vậy nó có tồn tại không? > 0 sao cho với mọi n

Nhưng điều đã nói cũng có nghĩa là với mọi n

mâu thuẫn với sự hội tụ của xn đến x về mặt xác suất. Do đó, đối với dãy đơn điệu xn hội tụ về xác suất x cũng hội tụ với xác suất 1 (gần như chắc chắn).

Cho dãy xn hội tụ về x theo xác suất. Chứng minh rằng từ dãy này có thể cô lập được dãy hội tụ về x với xác suất 1 tại.

Giải pháp. Giả sử là một dãy số dương nào đó, và gọi và là các số dương sao cho chuỗi đó. Hãy xây dựng một chuỗi các chỉ số n1

Sau đó loạt phim

Vì chuỗi hội tụ thì đối với cái nào? > 0 phần còn lại của chuỗi có xu hướng bằng 0. Nhưng sau đó nó có xu hướng về 0 và

Chứng minh rằng sự hội tụ ở mức trung bình của mọi bậc dương hàm ý sự hội tụ về xác suất. Hãy cho ví dụ chứng minh điều ngược lại là không đúng.

Giải pháp. Cho dãy xn hội tụ về giá trị trung bình x cấp p > 0, tức là

Chúng ta hãy sử dụng bất đẳng thức Chebyshev tổng quát: cho tùy ý? > 0 và p > 0

Chỉ đạo và tính đến điều đó, chúng tôi có được điều đó

nghĩa là, xn hội tụ về x theo xác suất.

Tuy nhiên, sự hội tụ trong xác suất không đòi hỏi sự hội tụ ở mức trung bình p > 0. Điều này được minh họa bằng ví dụ sau. Xét không gian xác suất áW, F, Rñ, trong đó F = B là đại số Borel, R là độ đo Lebesgue.

Hãy xác định một chuỗi các biến ngẫu nhiên như sau:

Dãy số xn có xác suất hội tụ về 0, vì

nhưng với mọi p > 0

nghĩa là nó sẽ không hội tụ ở mức trung bình.

Hãy để, cái gì cho tất cả n . Chứng minh rằng trong trường hợp này xn hội tụ về x trong bình phương trung bình.

Giải pháp. Lưu ý rằng... Chúng ta hãy ước tính cho. Hãy xem xét một biến ngẫu nhiên. Để cho được? - một số dương tùy ý. Sau đó tại và tại.

Nếu thì và. Kể từ đây, . Và bởi vì? nhỏ tùy ý và sau đó tại, tức là trong bình phương trung bình.

Chứng minh rằng nếu xn hội tụ về x theo xác suất thì xảy ra hiện tượng hội tụ yếu. Hãy đưa ra một ví dụ kiểm tra để chứng minh điều ngược lại là không đúng.

Giải pháp. Hãy chứng minh rằng nếu tại mỗi điểm x là điểm liên tục (đây là điều kiện cần và đủ để hội tụ yếu) là hàm phân bố của giá trị xn và - giá trị của x.

Cho x là điểm liên tục của hàm F. Nếu thì ít nhất một trong các bất đẳng thức hoặc đúng. Sau đó

Tương tự, với ít nhất một trong các bất đẳng thức hoặc và

Nếu thì cho nhỏ như mong muốn? > 0 tồn tại N sao cho mọi n > N

Mặt khác, nếu x là một điểm liên tục thì liệu có thể tìm được cái gì đó như thế này không? > 0, nhỏ tùy ý

Vì vậy, cho nhỏ như bạn muốn? và tồn tại N sao cho n >N

hoặc, cái gì giống nhau,

Điều này có nghĩa là sự hội tụ và diễn ra ở mọi điểm liên tục. Do đó, sự hội tụ yếu xuất phát từ sự hội tụ về xác suất.

Tuyên bố ngược lại, nói chung, không đúng. Để xác minh điều này, chúng ta hãy lấy một chuỗi các biến ngẫu nhiên không bằng hằng số có xác suất 1 và có cùng hàm phân phối F(x). Chúng ta giả sử rằng với mọi n là đại lượng và độc lập. Rõ ràng, sự hội tụ yếu xảy ra vì tất cả các thành viên của dãy đều có cùng hàm phân phối. Coi như:

|Từ tính độc lập và phân phối đồng nhất của các giá trị, suy ra rằng

Chúng ta hãy chọn trong số tất cả các hàm phân phối của các biến ngẫu nhiên không suy biến như F(x) khác 0 với mọi ?. Khi đó nó không có xu hướng tiến về 0 với sự tăng trưởng vô hạn của n và sự hội tụ về xác suất sẽ không xảy ra.

7. Giả sử có sự hội tụ yếu, với xác suất 1 là một hằng số. Chứng minh rằng trong trường hợp này nó sẽ hội tụ về xác suất.

Giải pháp. Giả sử xác suất 1 bằng a. Khi đó hội tụ yếu có nghĩa là hội tụ với bất kỳ. Vì, rồi tại và tại. Đó là, tại và tại. Nó tuân theo điều đó cho bất cứ ai? > 0 xác suất

có xu hướng về 0 tại. Nó có nghĩa là

có xu hướng về 0 tại, nghĩa là hội tụ về xác suất.

2.2 Giải quyết vấn đề trên trung tâm sưởi ấm trung tâm

Giá trị của hàm gamma Г(x) tại x= được tính bằng phương pháp Monte Carlo. Chúng ta hãy tìm số phép thử tối thiểu cần thiết để với xác suất 0,95, chúng ta có thể hy vọng rằng sai số tương đối của các phép tính sẽ nhỏ hơn một phần trăm.

Để đạt được độ chính xác cao nhất chúng ta có

Người ta biết rằng

Sau khi thực hiện thay đổi trong (1), chúng ta thu được tích phân trong một khoảng hữu hạn:

Vì thế với chúng tôi

Có thể thấy, nó có thể được biểu diễn dưới dạng ở đâu và được phân bố đều trên đó. Hãy để các bài kiểm tra thống kê được thực hiện. Sau đó, tương tự thống kê là số lượng

trong đó là các biến ngẫu nhiên độc lập có phân bố đều. trong đó

Từ CLT suy ra rằng nó tiệm cận chuẩn tắc với các tham số.

Điều này có nghĩa là số lượng thử nghiệm tối thiểu đảm bảo xác suất sai số tương đối của phép tính không lớn hơn bằng nhau.

Chúng tôi xem xét một chuỗi gồm 2000 biến ngẫu nhiên được phân phối giống hệt độc lập với kỳ vọng toán học là 4 và phương sai là 1,8. Giá trị trung bình số học của các đại lượng này là một biến ngẫu nhiên. Xác định xác suất để biến ngẫu nhiên nhận một giá trị trong khoảng (3,94; 4,12).

Giả sử, …,… là một dãy các biến ngẫu nhiên độc lập có cùng phân phối với M=a=4 và D==1,8. Khi đó CLT được áp dụng cho dãy (). Giá trị ngẫu nhiên

Xác suất để nó nhận một giá trị trong khoảng ():

Với n=2000, 3,94 và 4,12 chúng ta nhận được

3 Kiểm định giả thuyết sử dụng tiêu chí độc lập

Kết quả nghiên cứu cho thấy 782 ông bố mắt sáng cũng có con trai mắt sáng và 89 ông bố mắt sáng cũng có con trai mắt đen. 50 ông bố mắt đen cũng có con trai mắt đen và 79 ông bố mắt đen cũng có con trai mắt sáng. Có mối liên hệ nào giữa màu mắt của người cha và màu mắt của con trai họ không? Lấy mức độ tin cậy là 0,99.

Bảng 2.1

Trẻ emChaSumMắt sángMắt đenMắt sáng78279861Mắt đen8950139Sum8711291000

H: Không có mối liên hệ nào giữa màu mắt của con và bố.

H: Có mối liên hệ giữa màu mắt của con cái và của người cha.

s=k=2 =90,6052 với 1 bậc tự do

Các phép tính được thực hiện trong Mathematica 6.

Vì > , nên giả thuyết H về sự không có mối quan hệ giữa màu mắt của cha và con ở mức độ ý nghĩa nên bị bác bỏ và giả thuyết H thay thế nên được chấp nhận.

Người ta nói rằng tác dụng của thuốc phụ thuộc vào phương pháp áp dụng. Kiểm tra tuyên bố này bằng cách sử dụng dữ liệu được trình bày trong bảng. 2.2 Lấy độ tin cậy là 0,95.

Bảng 2.2

Kết quả Phương pháp áp dụng ABC Không thuận lợi 111716 Thuận lợi 202319

Giải pháp.

Để giải quyết vấn đề này, chúng ta sẽ sử dụng bảng dự phòng gồm hai đặc điểm.

Bảng 2.3

Kết quả Phương pháp áp dụng Số tiền ABC Không thuận lợi 11171644 Thuận lợi 20231962 Số tiền 314035106

H: tác dụng của thuốc không phụ thuộc vào cách dùng thuốc

H: tác dụng của thuốc phụ thuộc vào phương pháp bôi

Thống kê được tính bằng công thức sau

s=2, k=3, =0,734626 với 2 bậc tự do.

Các phép tính trong Mathematica 6

Từ các bảng phân phối, chúng tôi tìm thấy điều đó.

Bởi vì< , то гипотезу H, про отсутствия зависимости действия лекарств от способа применения, при уровне значимости, следует принять.

Phần kết luận

Bài báo này trình bày các tính toán lý thuyết từ phần “Tiêu chí độc lập”, cũng như “Định lý giới hạn của lý thuyết xác suất”, môn học “Lý thuyết xác suất và thống kê toán học”. Trong quá trình làm việc, tiêu chí tính độc lập đã được thử nghiệm trên thực tế; Ngoài ra, đối với các chuỗi biến ngẫu nhiên độc lập đã cho, việc đáp ứng định lý giới hạn trung tâm đã được kiểm tra.

Công việc này đã giúp tôi nâng cao kiến ​​thức về các phần lý thuyết xác suất, làm việc với các nguồn văn học và nắm vững kỹ thuật kiểm tra tiêu chí độc lập.

định lý giả thuyết thống kê xác suất

Danh sách liên kết

1. Tập hợp các bài toán từ lý thuyết xác suất có lời giải. Ờ. trợ cấp / Ed. V.V. Tinh dịch. - Kharkov: KhTURE, 2000. - 320 tr.

Gikhman I.I., Skorokhod A.V., Yadrenko M.I. Lý thuyết xác suất và thống kê toán học. - K.: Trường Vishcha, 1979. - 408 tr.

Ivchenko G.I., Medvedev Yu.I., Thống kê toán học: Sách giáo khoa. trợ cấp cho các trường đại học. - M.: Cao hơn. trường, 1984. - 248 tr., .

Thống kê toán học: Sách giáo khoa. cho các trường đại học / V.B. Goryainov, I.V. Pavlov, G.M. Tsvetkova và những người khác; Ed. V.S. Zarubina, A.P. Krischenko. - M.: Nhà xuất bản MSTU im. N.E. Bauman, 2001. - 424 tr.

Dạy kèm

Cần giúp đỡ nghiên cứu một chủ đề?

Các chuyên gia của chúng tôi sẽ tư vấn hoặc cung cấp dịch vụ dạy kèm về các chủ đề mà bạn quan tâm.
Gửi đơn đăng ký của bạn chỉ ra chủ đề ngay bây giờ để tìm hiểu về khả năng nhận được tư vấn.