Với sự trợ giúp của một liên kết logic hoặc, các phán đoán được kết nối. Liên kết logic cơ bản

NHƯNG TẠI

(NHƯNG TẠI) (Ā  )

Để đặt nền móng cho logic mờ, cần phải mở rộng nội dung của các phép toán logic như phủ định, phân ly, kết hợp và hàm ý trong mối quan hệ với các mệnh đề không có giá trị chân lý số mà là ngôn ngữ. Nói cách khác, chúng ta phải có khả năng tính toán giá trị thực của một mệnh đề và, biết ý nghĩa ngôn ngữ sự thật của tuyên bố và . Khi xem xét vấn đề này, cần lưu ý rằng nếu là tập con mờ của tập phổ quát và , thì hai mệnh đề sau là tương đương:

Như vậy, câu hỏi “ Đâu là giá trị chân lý của mệnh đề và, nếu các giá trị chân lý ngôn ngữ và ?” tương tự như câu hỏi mà chúng ta đã đặt ra trong § 3: “Bậc thuộc của một phần tử trong tập hợp là bao nhiêu nếu biết bậc thuộc của một phần tử trong tập hợp?”

Để trả lời câu hỏi cuối cùng, chúng tôi đã sử dụng nguyên tắc tổng quát hóa. Chúng ta sẽ làm theo quy trình tương tự để khái quát hóa ý nghĩa của phủ định không phải, cũng như các liên kết và, hoặc và đòi hỏi trong mối quan hệ với các giá trị chân lý ngôn ngữ.

Cụ thể, nếu là một điểm biểu diễn giá trị chân lý của câu lệnh "" (hoặc đơn giản là ), ở đâu là một phần tử của tập phổ quát, thì giá trị chân lý của câu lệnh không phải(hoặc) được xác định bởi biểu thức

. (6.7)

Giả sử bây giờ đó không phải là một điểm trong , mà là một tập con mờ của khoảng , được biểu diễn dưới dạng

đâu là điểm trong , và là mức độ thành viên của họ trong tập hợp . Sau đó, áp dụng nguyên lý tổng quát hóa (3.80) cho (6.7), ta thu được các biểu thức cho dưới dạng tập con mờ của khoảng , tức là

Đặc biệt, nếu giá trị thật là thật, I E.

, (6.10)

thì giá trị chân lý sai có thể được viết dưới dạng

. (6.11)

Ví dụ, nếu

thì giá trị chân lý của mệnh đề không phải có hình thức

Nhận xét 6.1. Cần lưu ý rằng nếu

thì theo (3.33) ta có

Tuy nhiên, nếu

Điều tương tự cũng áp dụng cho sự mơ hồ về ngôn ngữ. Ví dụ, theo định nghĩa về độ không đảm bảo rất(xem (5.38)),

Mặt khác, giá trị chân lý của mệnh đề rất bằng

Hãy chuyển sang các liên kết nhị phân. Đặt và lần lượt là các giá trị ngôn ngữ của chân lý của các câu lệnh và tương ứng. Để đơn giản, chúng ta sẽ sử dụng ký hiệu tương tự như trong trường hợp khi và là điểm trong:

lưu ý rằng trong trường hợp khi và là các điểm trong , các phép toán , và lần lượt được rút gọn thành các phép toán min (liên hợp), max (liên từ) và phép trừ đơn vị.

ở đâu và là các điểm trong , và và là các mức độ thuộc về các tập hợp và , sau đó, áp dụng nguyên tắc tổng quát hóa cho , chúng ta thu được

Như vậy, giá trị chân lý của mệnh đề và là một tập con mờ của khoảng có hỗ trợ bao gồm các điểm có dạng

với các cấp độ thành viên tương ứng. Chú ý rằng biểu thức (6.25) tương đương với biểu thức (3.107) đối với hàm thuộc của giao các tập mờ với hàm thuộc mờ.

Ví dụ 6.2. Hãy giả vờ rằng

Sau đó, sử dụng (6.25), chúng tôi thu được

(6.28)

Tương tự, đối với giá trị chân lý của mệnh đề hoặc chúng tôi nhận được

(6.29)

Giá trị chân lý của một mệnh đề phụ thuộc vào cách xác định liên kết cho các giá trị chân lý số. Như vậy, nếu đối với trường hợp khi và là các điểm thuộc , ta đặt (xem (8.24))

sau đó, áp dụng nguyên lý tổng quát hóa, ta thu được (xem Ghi chú 3.20)

(6.31)

đối với trường hợp khi và là các tập con mờ của khoảng .

Nhận xét 6.3. Điều quan trọng là phải hiểu rõ sự khác biệt giữa và trong thuật ngữ, nói, thật và không đúng lắm và một biểu tượng trong một câu đúng không đúng. Trong trường hợp đầu tiên, chúng tôi quan tâm đến ý nghĩa của thuật ngữ đúng và không đúng, và một liên kết vàđược xác định bởi quan hệ

(6.32)

ý nghĩa của thuật ngữ ở đâu (xem Định nghĩa 5.1). Ngược lại, trong trường hợp thuật ngữ đúng không đúng chúng tôi chủ yếu quan tâm đến giá trị thực của mệnh đề đúng không đúng, nhận được từ đẳng thức (xem (6.19))

Như vậy, trong (6.32) ký hiệu biểu thị phép toán giao của các tập mờ và trong (6.33) ký hiệu biểu thị phép toán hợp. Chúng tôi minh họa sự khác biệt này với ví dụ đơn giản. Cho , và và là các tập con mờ của tập xác định như sau:

trong khi

Lưu ý rằng sự khác biệt tương tự diễn ra trong trường hợp phủ định không phải và hoạt động , như đã đề cập trong Ghi chú 6.1.

Nhận xét 6.4. Cần lưu ý rằng, khi áp dụng nguyên lý tổng quát hóa (3.96) để tính toán các giá trị , và , chúng ta đã mặc nhiên giả định rằng và là các biến mờ không tương tác theo nghĩa của Nhận xét 3.20. Nếu và là các biến tương tác thì cần áp dụng nguyên lý suy rộng không ở dạng (3.96) mà ở dạng (3.97). Thật thú vị khi lưu ý rằng câu hỏi về khả năng tương tác giữa và phát sinh ngay cả khi và là các điểm trong các biến mờ.

Nhận xét 6.5. Áp dụng nguyên lý tổng quát hóa để xác định các phép toán , , và trong quan hệ với các giá trị chân lý ngôn ngữ, về cơ bản chúng ta coi logic mờ là một tổng quát hóa của logic nhiều trị. Theo nghĩa tương tự, người ta có thể coi logic ba giá trị cổ điển là sự tổng quát hóa của logic hai giá trị (xem (6.64)), từ 0 đến 1. true và sai, chúng ta có thể kết luận rằng

phù hợp với (6.25).

Một mệnh đề phức tạp là một mệnh đề chứa các liên kết logic và bao gồm một số mệnh đề đơn giản.

Trong phần tiếp theo, các phán đoán đơn giản sẽ được coi là chắc chắn nguyên tử không thể chia cắt, thế nào

các yếu tố từ sự kết hợp của chúng phát sinh cấu trúc phức tạp.

Các phán đoán đơn giản sẽ được ký hiệu bằng các ký hiệu riêng với các chữ cái Latinh: a, b, c, d, ... Mỗi chữ cái như vậy biểu diễn một mệnh đề đơn giản nào đó. Điều này có thể nhìn thấy ở đâu? Đánh lạc hướng khỏi cấu trúc bên trong phức tạp của một phán đoán đơn giản, khỏi số lượng và chất lượng của nó, quên rằng nó có chủ ngữ và vị ngữ, chúng ta chỉ giữ một thuộc tính của phán đoán - đó là nó có thể đúng hoặc sai. Mọi thứ khác không quan tâm đến chúng tôi ở đây. Và khi chúng ta nói rằng chữ cái "a" đại diện cho một mệnh đề, không phải là một khái niệm, không phải là một con số, không phải là một chức năng, chúng ta chỉ muốn nói một điều: chữ "a" này đại diện cho sự thật hay sự giả dối. Nếu với "a", chúng tôi muốn nói đến mệnh đề "Kanguru sống ở Úc", chúng tôi muốn nói đến sự thật; nếu với "a" chúng ta muốn nói đến mệnh đề "Kanguru sống ở Siberia", chúng ta có nghĩa là một lời nói dối. Do đó, các chữ cái "a", "b", "c", v.v. là các biến có thể được thay thế bằng true hoặc false.

Các liên kết hợp lý là các dạng tương tự chính thức của các liên từ trong ngôn ngữ tự nhiên bản địa của chúng ta. Làm sao câu phứcđược xây dựng từ những cái đơn giản với sự trợ giúp của các liên từ “tuy nhiên”, “kể từ”, “hoặc”, v.v., vì vậy những phán đoán phức tạp được hình thành từ những phán đoán đơn giản với sự trợ giúp của liên kết logic. Ở đây nó cảm thấy nhiều kết nối lớn suy nghĩ với ngôn ngữ, do đó, trong tương lai, thay vì từ “phán đoán” biểu thị một suy nghĩ thuần túy, chúng ta sẽ thường dùng từ “phát biểu”, biểu thị một suy nghĩ trong cách diễn đạt ngôn ngữ của nó. Vì vậy, hãy làm quen với các kết nối logic phổ biến nhất.

phủ định. TẠI ngôn ngữ tự nhiên nó tương ứng với biểu thức "Không đúng là ...". Phủ định thường được biểu thị bằng dấu “-” trước một chữ cái đại diện cho một phán đoán nào đó: “-a” đọc là “Không đúng là a”. Ví dụ: "Trái đất là hình cầu là không đúng."

Một tình huống tinh tế cần được lưu ý. Ở trên chúng ta đã nói về những phán đoán tiêu cực đơn giản. Làm thế nào để phân biệt chúng với những phán đoán phức tạp có phủ định? Logic phân biệt hai loại phủ định - bên trong và bên ngoài. Khi phủ định đứng bên trong một mệnh đề đơn giản trước liên kết “là”, thì trong trường hợp này chúng ta đang xử lý một mệnh đề phủ định đơn giản, chẳng hạn: “Trái đất không phải là một quả bóng”. Nếu từ chối bề ngoài tham gia một phán đoán, chẳng hạn: “Không đúng Trái đất là hình cầu”, thì một phủ định như vậy được coi là một liên kết logic biến một phán đoán đơn giản thành một phán đoán phức tạp.

Kết hợp. Trong ngôn ngữ tự nhiên, các liên từ “và”, “a”, “nhưng”, “tuy nhiên”, v.v. tương ứng với gói này.

Thông thường, sự kết hợp được biểu thị bằng dấu “&”. Bây giờ biểu tượng này thường được tìm thấy trong tên của các công ty và doanh nghiệp khác nhau. Một phán đoán với một liên kết như vậy được gọi là liên từ, hoặc đơn giản là liên từ, và có dạng như sau:

một & b. Ví dụ: “Trong giỏ của ông nội là boletus và bướm.” nó phán đoán phức tạp là sự kết hợp của hai mệnh đề đơn giản: -“Trong giỏ của ông nội là boletus boletus” và “Trong giỏ của ông nội là những con bướm”.

Phân ly. Trong ngôn ngữ tự nhiên, liên kết này tương ứng với liên từ “hoặc”. Nó thường được ký hiệu bằng chữ "v". Một phán đoán với một liên kết như vậy được gọi là phân biệt, hoặc đơn giản là phân tách, và có dạng như sau: a v b.

Liên từ “hoặc” trong ngôn ngữ tự nhiên được sử dụng trong hai những nghĩa khác nhau: không nghiêm ngặt “hoặc” - khi các thành viên của phân tách không loại trừ lẫn nhau, tức là có thể vừa đúng, vừa là "hoặc" nghiêm ngặt (thường được thay thế bằng một cặp liên từ "hoặc ... hoặc ...") - khi các thành viên của phân từ loại trừ lẫn nhau. Theo điều này, hai loại phân tách được phân biệt - nghiêm ngặt và không nghiêm ngặt.

ngụ ý. Trong ngôn ngữ tự nhiên, nó tương ứng với sự kết hợp “nếu ... thì”. Nó được biểu thị bằng dấu “->”. Một phán đoán có liên kết như vậy được gọi là hàm ý, hay đơn giản là hàm ý, và có dạng như sau: a -> b. Ví dụ: “Nếu người soát vé đi qua điện lực, thì vật dẫn nóng lên. Thuật ngữ đầu tiên của hàm ý được gọi là tiền đề, hoặc cơ sở; thứ hai là hậu quả, hoặc hậu quả. TẠI Ngôn ngữ hàng ngày liên minh “nếu ... thì” thường kết nối các câu thể hiện mối quan hệ nhân quả của các hiện tượng, với câu thứ nhất xác định nguyên nhân, câu thứ hai - kết quả. Do đó tên của các thành viên của hàm ý.

Biểu diễn các câu lệnh của ngôn ngữ tự nhiên ở dạng ký hiệu với sự trợ giúp của các ký hiệu trên có nghĩa là sự chính thức hóa của chúng, trong nhiều trường hợp hóa ra lại hữu ích. 4) Một hòn đảo xinh đẹp nằm giữa đại dương ấm áp. Và mọi thứ sẽ ổn, nhưng những người lạ có thói quen định cư trên hòn đảo này. Họ đến và đi từ khắp nơi trên thế giới, họ bắt đầu khiến người dân bản địa phải xấu hổ. Để ngăn chặn sự xâm lược của những người lạ, người cai trị hòn đảo đã ban hành một sắc lệnh: “Mọi du khách muốn định cư trên hòn đảo may mắn của chúng tôi đều có nghĩa vụ phải đưa ra một số phán quyết. Nếu phán đoán là đúng, kẻ lạ mặt nên bị bắn; nếu bản án là sai, anh ta nên bị treo cổ. Nếu bạn sợ - thì hãy im lặng và quay về nhà!

Câu hỏi đặt ra là: phải đưa ra phán quyết nào để có thể sống sót và vẫn định cư trên đảo?

hợp lý phép nhân hoặc kết hợp là một phép toán được thể hiện bằng một chùm chữ "và" và được biểu thị bằng dấu chấm "" (hoặc dấu & hoặc  ). Tuyên bố A  B đúng khi và chỉ khi cả hai mệnh đề A và B đều đúng.

Bảng chân trị của hàm logic nhân

		f=NHƯNG TẠI

hợp lý phép cộng hoặc phân ly là phép toán được biểu thị bằng liên kết “hoặc” (theo nghĩa không tách rời của từ) và được ký hiệu là “+” (hoặc dấu  ). Tuyên bố A  B sai khi và chỉ khi cả hai mệnh đề A và B đều sai.

Bảng chân trị của hàm cộng logic

		f=NHƯNG TẠI

ngụ ý được gọi là một phép toán được biểu thị bằng các liên từ “nếu ..., thì”, “từ ... theo sau”. Tuyên bố A  B sai khi và chỉ khi A đúng và B sai.

Bảng chân lý của hàm logic "hàm ý"

		f=NHƯNG TẠI

Trong lời nói thông thường, liên từ “nếu…, thì” diễn tả mối quan hệ nhân quả giữa các câu. Nhưng trong các phép toán logic, ý nghĩa của các câu lệnh không được tính đến. Câu lệnh A và B tạo thành câu lệnh ghép A  B, có thể hoàn toàn không liên quan đến nội dung. Chỉ sự thật hay giả của họ được xem xét.

hợp lý bình đẳng hoặc tương đương (hoặc kép ngụ ý ) là phép toán được biểu thị bằng các liên từ “nếu và chỉ thì”, “cần và đủ”, “... tương đương với…”, và được biểu thị bằng dấu  hoặc ~ . Phát biểu AB đúng khi và chỉ khi giá trị của A và B giống nhau.

Bảng chân lý của hàm logic "tương đương"

		f=NHƯNG TẠI

Hàm ý có thể được thể hiện thông qua sự phân biệt và phủ định:

NHƯNG  B = Ā  TẠI.

Sự tương đương có thể được thể hiện thông qua phủ định, phân tách và kết hợp:

A  B = (Ā  TẠI)  ( NHƯNG).

Như vậy, các phép toán phủ định, tách rời và kết hợp là đủ để mô tả và xử lý các mệnh đề logic.

Cho tất cả mọi người Tuyên bố phức hợp có thể xây dựng một bảng chân lý sẽ xác định tính đúng hay sai của nó đối với các kết hợp khác nhau của các giá trị ban đầu của các câu lệnh đơn giản. Ví dụ, xét bảng chân trị của một biểu thức logic (NHƯNG TẠI) (Ā  )

bảng sự thật

Thí dụ . Xác định kết quả của phép toán logic F = (A  b)  (C  Đ) khi nào thiết lập các điểm các biến logic A, B, C - true, D - false.

Dung dịch .

						(MỘT  b)  (C  Đ)

Từ bảng chân lý đã xây dựng, suy ra F=1

Hãy để chúng tôi xây dựng các quy tắc cơ bản để hình thành câu mới từ câu gốc bằng cách sử dụng các liên kết và liên từ chính thông thường ngôn ngư noi. Chỉ riêng các quy tắc của ngôn ngữ Nga là không đủ, bởi vì đôi khi chúng ta đưa các nghĩa khác nhau vào cùng một câu được xây dựng bằng tiếng Nga. Ví dụ: hãy xem xét lượt lời nói "Nếu, thì", với sự giúp đỡ của chúng tôi hình thành hai câu:

1) "Nếu Misha vượt qua kỳ thi một cách xuất sắc, anh ấy sẽ đến vũ trường."
2) "Nếu Misha không vượt qua kỳ thi một cách hoàn hảo, thì anh ấy sẽ không đến vũ trường."

Câu hỏi: những câu này nói giống nhau hay có tình huống một trong các câu đúng và câu kia sai? Nói cách khác, câu hỏi đặt ra là liệu những câu này có tương đương nhau hay không.

Cho đến khi chúng tôi xác định rõ ràng các quy tắc để xây dựng các cụm từ như vậy, câu hỏi không thể được trả lời rõ ràng. Một mặt, khi xây dựng câu đầu tiên, chúng ta cũng thường ám chỉ câu thứ hai. Tuy nhiên, hãy xem xét những đề xuất này từ phía bên kia.

Đầu tiên, chúng ta hãy viết các sơ đồ câu. Để làm điều này, câu "Misha sẽ vượt qua kỳ thi với số điểm xuất sắc" sẽ được biểu thị bằng chữ cái NHƯNG, và câu "Misha sẽ đi vũ trường" - kèm theo chữ cái TẠI. Sau đó, những đề xuất này có thể được viết dưới dạng sơ đồ như sau:

tôi) “Nếu NHƯNG, sau đó TẠI", 2) "Nếu không NHƯNG, Không TẠI".

Bây giờ hãy thay thế NHƯNG và TẠI dự đoán khác. Thay vì NHƯNG lấy: "Cái bàn được làm bằng gỗ sồi", thay vì TẠI"Cái bàn bằng gỗ." Sau đó, chúng tôi nhận được một cặp câu khác:

1) “Nếu cái bàn là gỗ sồi, thì nó là gỗ”,
2) "Nếu cái bàn không phải là gỗ sồi, thì nó không phải là gỗ."

Vì những câu này được xây dựng theo cùng một sơ đồ như hai câu đầu tiên, điều đó có nghĩa là sự tương đương của cặp câu đầu tiên phải có nghĩa là sự tương đương của cặp câu thứ hai. Tuy nhiên, câu đầu tiên trong lời nói thông thường rõ ràng là một câu đúng, vì sồi là một loại cây, và câu thứ hai là sai theo nghĩa thông thường, vì cái bàn có thể được làm bằng một loại cây khác, chẳng hạn như cây thông.

Do đó trong trường hợp chung câu được xây dựng theo sơ đồ "Nếu NHƯNG, sau đó TẠI" và nếu không NHƯNG, Không TẠI, không thể được coi là giống nhau về mặt logic.

Vì vậy, để loại bỏ sự mơ hồ trong việc xây dựng câu, cần có các quy tắc rõ ràng để xác định tính đúng hay sai của câu kết quả, tùy thuộc vào tính đúng hay sai của câu gốc. NHƯNG và TẠI.

Chúng ta hãy cung cấp cho các công đoàn "và", "hoặc", cũng như các lược đồ "nếu, thì", "nếu và chỉ thì", "điều đó không đúng" một ý nghĩa logic rõ ràng.

Hãy để các chữ cái A và B biểu diễn câu tùy ý. Hãy bắt đầu với những tình huống đơn giản.

1. Dấu âm~| (-i) hoặc. Biểu hiện ~li(-L, NHƯNG) đọc: "không phải A" hoặc "không đúng là A".

Giá trị ưu đãi ~Một xác định một bảng mà từ đó có thể thấy rằng đề xuất ~ tôiđúng chính xác khi câu gốc NHƯNG sai:

Khi tạo câu có cấu trúc đơn giản, trợ từ “không” đôi khi có thể được “mang bên trong” câu. Ví dụ, một đề xuất

"Số V6 không phải là số nguyên" có thể được diễn đạt như sau: "Số n/6 không phải là số nguyên." Còn câu “Không phải trực tiếp mà một và b cắt nhau” có công thức: “Trực tiếp một và b ns psrssskayut".

Thông thường, một đối tượng không có thuộc tính nào đó được gọi là thuật ngữ có hạt “không”. Ví dụ, một số nguyên không chẵn được gọi là số lẻ. Do đó, việc nói "Số nguyên lẻ" và "Số nguyên không chẵn" đều đúng như nhau. Nhưng không có quy định rằng số là một số nguyên, chúng ta có những câu khác nhau về nghĩa. Ví dụ: "Số 0,2 không phải là số chẵn" là đúng và câu "Số 0,2 là số lẻ" là sai.

Hãy xem xét cụm từ " chức năng lẻ“. Ở đây ta có một thuật ngữ độc lập và từ “lẻ” không thể viết và phát âm riêng biệt, tức là câu “Hàm số chẵn” không phải là phủ định của câu “Hàm số chẵn”. Thật vậy, có một ví dụ về hàm mà cả hai câu đều sai. Ví dụ, chức năng )m=x+ không chẵn cũng không lẻ (thử giải thích điều này).

2. dấu hiệu liên kết l. Biểu hiện cấp độđọc: "A và B".Đôi khi một liên từ được biểu thị bằng &.

Giá trị ưu đãi AlV tùy thuộc vào các thành phần của nó A và Bđược xác định bởi bảng:

Như vậy đề xuất AlV chỉ đúng trong một trường hợp khi cả hai câu NHƯNG và TẠI thật. Mặt khác, câu này là sai. Khi xây dựng một đề xuất AlV thay vì liên kết "và", bạn có thể sử dụng các liên kết khác có cùng ý nghĩa logic của việc thực hiện đồng thời từng câu: "a", "nhưng".

Ví dụ 1.3.1. Câu “Số 111 ns chia hết cho 2, nhưng chia hết cho 3 "- về mặt ký hiệu, bạn có thể viết 1 AlV,ở đâu NHƯNG= "111 chia hết cho 2", B = " 111 chia hết cho 3".

3. dấu phân cách v. Biểu thức trung bìnhđọc: "A hoặc B".

Giá trị ưu đãi trung bìnhđược xác định bởi bảng:

Có thể thấy từ bảng rằng ưu đãi "NHƯNG hoặc TẠI"đúng nếu ít nhất một trong các câu NHƯNG hoặc TẠIđúng, và trong trường hợp khi cả hai câu NHƯNG và TẠI sai, gợi ý trung bình nhận một giá trị sai.

Đôi khi từ nội dung của câu NHƯNG và TẠI Theo đó, các câu không thể vừa đúng cùng một lúc. Trong trường hợp này, câu được xây dựng bằng cách sử dụng liên kết "hoặc". Ví dụ: câu "Một số là số dương hoặc số âm" cũng có dạng "NHƯNG hoặc TẠI”, nhưng đồng thời nó có một ý nghĩa vừa tích cực vừa số âm no không thể.

Rõ ràng, các quy tắc được xây dựng ở trên không đặt ra câu hỏi. Hãy chuyển sang sơ đồ được xem xét ở đầu đoạn "Nếu NHƯNG, sau đó TẠI".

4. dấu hiệu hàm ý-Biểu hiện A->Bđọc: "Nếu A, thì B."Đôi khi một ký hiệu khác cho mũi tên => được sử dụng để biểu thị gói này, cũng như ký hiệu z>. Cùng với câu “Nếu NHƯNG, sau đó TẠI" sử dụng những thứ khác tương tự như nó: "B khi A», "A chỉ khi B."

Chúng tôi thúc đẩy định nghĩa về giá trị câu A->B. Khó khăn chính nảy sinh ở đây là việc gán nghĩa cho câu A-»# đối với những trường hợp NHƯNG sai. Để xác định hợp lý các giá trị, hãy nhớ lại cuộc thảo luận ở trên Câu đúng: "Nếu cái bàn là gỗ sồi, thì nó là gỗ." Nơi đây NHƯNG= "Bàn gỗ sồi", B ="Bàn gỗ". Hãy để bàn được làm bằng gỗ thông. sau đó NHƯNG sai, TẠI thật. Hãy để bàn là sắt. sau đó NHƯNG sai và TẠI sai. Trong cả hai trường hợp, ưu đãi NHƯNG là sai, và câu kết quả "Nếu NHƯNG, sau đó TẠI" thật. Tuy nhiên, cả hai trường hợp này đều có thể xảy ra trên thực tế. Tất nhiên, có thể chúng ta có một chiếc bàn gỗ sồi, sau đó Aw Bđúng cùng một lúc. Đây là một ví dụ về một câu đúng A->B, khi nào A=u> B=l, không tồn tại.

Như vậy, những trường hợp A=u, B=u, hoặc A=l y B=u, hoặc A=l, V=l, phải xác định câu đúng Và chỉ một trường hợp, khi

cái mà A=u, V-l, có nghĩa là đề xuất A->B sai.

Vì vậy, trong logic toán học các giá trị của câu T được cho bởi bảng sau:

Xuyên suốt phần sau, câu “Nếu NHƯNG, sau đó TẠI" sẽ được hiểu theo cách này. Đây là một gợi ý NHƯNG gọi là Bưu kiện, hoặc tình trạng, một B - kết luận.

Ví dụ 13.2. Cha mẹ đã hứa với con trai Petya của họ: nếu anh ấy tốt nghiệp đại học thành công, họ sẽ mua cho anh ấy một chiếc ô tô. Được biết, con trai không đỗ đại học nhưng bố mẹ vẫn mua cho con một chiếc ô tô. Có thể cho rằng những lời của cha mẹ là một lời nói dối?

Để trả lời câu hỏi, hãy xem xét các câu: NHƯNG= "Con trai tôi sắp tốt nghiệp đại học", B ="Họ mua cho anh ta một chiếc xe hơi." trong đó A=l, B=u. Lời hứa của cha mẹ là A^>B. Theo định nghĩa, câu này cho các giá trị nhất định NHƯNG và TẠIđúng (hàng thứ ba của bảng). Vì vậy, xét từ góc độ logic, lời nói của cha mẹ là đúng. Nhưng nếu con trai họ tốt nghiệp học viện, nhưng họ không mua ô tô cho con, thì trong trường hợp này (và không có trường hợp nào khác), lời hứa sẽ không được thực hiện.

Bây giờ chúng ta hãy xem xét một liên kết hợp lý khác thường được dùng khi mọi người nói các từ "nếu, thì". Ví dụ: nếu trong điều kiện của Ví dụ 1.3.2, cha mẹ cho rằng nếu con trai Petya của họ không tốt nghiệp học viện, họ sẽ không mua cho con một chiếc ô tô, thì sẽ đúng khi nói: “Chiếc ô tô sẽ được mua nếu và chỉ khi Petya tốt nghiệp học viện."

5. Dấu hiệu tương đương hoặc. Biểu hiện Và nó đọc: “A nếu và chỉ khi B.” Các từ khác là có thể: “Và nếu và chỉ nếu B», "A chính xác khi B" vân vân.

Giá trị ưu đãi AB cho bởi bảng:

Trong trường hợp NHƯNG và TẠI lấy các giá trị giống nhau, câu ABđúng, nếu không thì câu sai.

Dễ dàng nhận thấy rằng cụm từ "NHƯNG nếu và chỉ nếu TẠI" gồm hai cụm từ: "NHƯNG sau đó khi nào TẠI" và "NHƯNG chỉ khi TẠI". Câu đầu tiên được viết B->A, va thu hai A^>B. Hai câu này đồng thời đúng trong hai trường hợp: A=u, B=u, cũng như A=l, B=l.

Vì vậy, chúng tôi đã xác định năm dấu hiệu: l (liên từ), v (phân biệt), -> (hàm ý), (tương đương), 1 (phủ định), được gọi là

người gieo hạt hợp lý. Những dấu hiệu này cho phép từ những ưu đãi này NHƯNG và TẠI nhận ưu đãi mới. Trong trường hợp này, giá trị (đúng hoặc sai) của câu mới được xác định duy nhất bởi giá trị của các câu NHƯNG và TẠI. Quy tắc để có được một câu mới từ các câu ban đầu được gọi là thao tác logic. Do đó, mỗi liên kết logic xác định hoạt động logic, có cùng tên với gói tương ứng của nó.

Các hoạt động được xem xét có thể được sử dụng cho cả câu lệnh và vị ngữ. Ví dụ: bằng cách nối hai vị từ một chỗ " Số, t hơn 3" và "Số Xâm" bằng dấu tách, ta được vị từ một chỗ: "Số X hơn 3 hoặc đồ lót yêu tinh. Điều duy nhất là để kết nối hai vị từ với một liên kết logic, cần phải đưa ra một số khu vực chung D các đối tượng hợp lệ có thể được thay thế vào các vị từ này thay vì các biến.

Chúng tôi xác định hai kết nối hợp lý hơn, được gọi là bỏra.mi, cho phép chúng tôi có được các câu lệnh từ các vị từ một nơi. Thuật ngữ "quantifier" được dịch từ Latin có nghĩa là "bao nhiêu". Do đó, những dấu hiệu này được sử dụng để trả lời câu hỏi có bao nhiêu đối tượng thỏa mãn đề xuất. Và tại- tất cả hoặc ít nhất một.

Hãy lấy một vị từ tùy ý, từ đó chúng ta chọn một biến mà giá trị của nó phụ thuộc vào. Hãy biểu thị nó Ồ).

6. định lượng chung V. Dấu hiệu này đến từ từ tiếng anh MỘT và là chữ viết tắt của các từ sau: "trọng lượng", "từng", "bất kỳ", "bất kỳ".

Biểu thức Vj&4(y) có nghĩa là vị từ Ồ) chạy cho tất cả các đối tượng hợp lệ x. Nó viết: "Với mọi x a từ x".

7. Định lượng tồn tại 3. Dấu hiệu này xuất phát từ từ tiếng Anh Hiện hữu và là chữ viết tắt của các từ sau: “tồn tại”, “có”, “ít nhất một”, “một số”.

Biểu thức 3x4(*) có nghĩa là vị từ Ồ)được thực hiện cho ít nhất một trong các đối tượng hợp lệ.v. Nó viết: "Có X và từ X."

Ví dụ 1.3.3. Hãy để biến X biểu thị một sinh viên đại học. Xem xét lời đề nghị Ồ)= "Sinh viên l: có ô tô." sau đó VxA(x) nghĩa là tất cả sinh viên đại học đều có ô tô. Đây là một tuyên bố sai. Kết án ƠA(x) có nghĩa là một số học sinh có một chiếc xe hơi, đó là một tuyên bố đúng.

Như vậy, ban đầu chúng ta có một vị từ có giá trị phụ thuộc vào giá trị của biến dr. Sau khi thực hiện các thao tác, đó là các câu lệnh thu được, các giá trị không còn phụ thuộc vào biến x.

Để có một công thức L(x), chứa một biến miễn phí x. Sau đó, tuyên bố rằng công thức Ồ) là hoàn toàn đúng, sẽ được viết ngắn gọn Vj&4(jc).

Hoạt động để có được một câu sử dụng lượng từ được gọi là định lượng. Khi sử dụng biểu thức Ôi(x) và 3 xA(x) Cũng nói: "Một định lượng được treo trên biến x" hoặc "Biến x bị ràng buộc bởi một bộ định lượng."

Lưu ý rằng các hoạt động định lượng không chỉ được áp dụng cho các vị từ một nơi. Nếu một vị từ hai vị trí được đưa ra Một (hu) sau đó bạn có thể liên kết biến l - bộ định lượng và tạo thành một câu /xA(xy), sự thật của nó sẽ chỉ phụ thuộc vào một biến y, và chúng ta sẽ có một vị từ một nơi. Trong mục này, biến X gọi là được liên kết bởi bộ định lượng, và biến y - miễn phí. Trong trường hợp chung, áp dụng phép toán định lượng cho bất kỳ biến nào của vị từ /7 vị trí, chúng ta sẽ có một vị từ (n-1) vị trí.

Bất kỳ số lượng biến nào cũng có thể được liên kết với các bộ định lượng. Nếu chúng ta có một vị từ hai vị trí Một (hu) sau đó chính thức bạn có thể nhận được 8 báo cáo.

ràng buộc từng biến với một số bộ định lượng: Vjc fyA(xy), VyVxA(xy), Vx3yA(xy), 3yVxA(xy), 3xVyA(xy), /yExA(xy), ZxZuA(xy), ZuZxA(xy). Một số câu có nghĩa giống nhau, chẳng hạn như câu thứ nhất và câu thứ hai (vị ngữ NHƯNG phải lấy giá trị thựcđối với bất kỳ giá trị nào của * và y), cũng như thứ bảy và thứ tám. Các biểu thức còn lại trong trường hợp chung đưa ra các tuyên bố về sự thật khác nhau.

Ví dụ 1.3.4. Hãy để chỉ có hai cậu bé trong lớp - Petya và Kolya. Vì giải pháp độc lập ba bài toán đã cho, biểu thị chúng bằng các số 1, 2, 3. Petya giải bài toán 1 và 2, còn Kolya giải một bài toán bằng số 3. Hãy giới thiệu vị ngữ Một (hu) có nghĩa là cậu bé * đã giải quyết vấn đề y.Ở đây biến X là viết tắt của tên cậu bé, và biến tại- số nhiệm vụ. Hãy xem xét các tuyên bố sau đây.

Vx3yA(xy)= "Mỗi cậu bé giải được ít nhất một bài toán" - tuyên bố đúng, vì Petya cũng giải được hai bài toán và Kolya giải được ít nhất một bài toán.

3_yVx4(.*,y) = “Có một bài toán mà tất cả các bạn nam trong lớp đã giải được” - sai, vì không có bài toán nào như vậy (chỉ Petya giải được bài toán thứ 1 và thứ 2, và chỉ có Kolya giải được bài toán thứ 3) .
3xVyA(x,y) = “Ít nhất một cậu bé đã giải quyết được tất cả các vấn đề” là một tuyên bố sai lầm.

V_yEx,4(;c,y) = "Mỗi bài toán đã được giải bởi ít nhất một học sinh" - đúng, vậy bài toán số 1 đã được giải bởi Petya, bài toán số 2 cũng đã được giải bởi Petya, và bài toán số 3 đã được giải bởi Kolya.

Từ ví dụ được xem xét, chúng ta có thể kết luận rằng thứ tự viết các từ định lượng ảnh hưởng đến ý nghĩa logic của câu. Do đó, một công thức rõ ràng của câu phải giả định rõ ràng về thứ tự mà các lượng hóa của tính tổng quát và sự tồn tại diễn ra.

Một bài tập. Tự mình phân tích ý nghĩa của các câu trong ví dụ 1.3.4, giả sử rằng Petya đã giải được các bài toán với số 2 và số 3.

Nói chung, từ vị ngữ Ồ) bạn có thể nhận được hai câu lệnh - /xA(x) và 3x4(x). Tuy nhiên, công thức viết thường rất Ồ)được hiểu chính xác là câu lệnh Vx4(.x), mặc dù bộ định lượng chung được bỏ qua bằng văn bản hoặc tuyên bố. Ví dụ, bằng cách viết q-2 > 0, chúng có nghĩa là bình phương của bất kỳ số thực là không âm. Bản ghi đầy đủ của câu lệnh như sau: Ulg(dg? 0). ghi âm (4x + 6y): 2,ở đâu*, y - số nguyên, giả sử rằng số tiền đã chỉ định luôn chia hết cho 2, tức là số chẵn. Để nhấn mạnh điều này, chúng ta nên viết V*Vy((4.x + 6jy):2).

Được xác định trong hai đoạn cuối dấu hiệu toán học và các dấu hiệu của các liên kết logic tạo nên bảng chữ cái của ngôn ngữ toán học.

Một mệnh đề phức tạp là một mệnh đề chứa các liên kết logic và bao gồm một số mệnh đề đơn giản.

Trong tương lai, chúng ta sẽ coi các phán đoán đơn giản như một số nguyên tử không thể chia cắt, như các nguyên tố từ sự kết hợp của chúng mà các cấu trúc phức tạp phát sinh. Các phán đoán đơn giản sẽ được kí hiệu bằng các chữ cái Latinh riêng biệt: a, b, c, d,... Mỗi chữ cái như vậy biểu thị một số phán đoán đơn giản. Điều này có thể nhìn thấy ở đâu? Trừu tượng khỏi cấu trúc bên trong phức tạp của một phán đoán đơn giản, khỏi số lượng và chất lượng của nó, mà quên rằng nó có chủ ngữ và vị ngữ, chúng ta chỉ giữ lại một thuộc tính của phán đoán - đó là nó có thể đúng hoặc sai. Mọi thứ khác không quan tâm đến chúng tôi ở đây. Và khi chúng ta nói rằng chữ cái "a" đại diện cho một mệnh đề, không phải là một khái niệm, không phải là một con số, không phải là một chức năng, chúng ta chỉ muốn nói một điều: chữ "a" này đại diện cho đúng hoặc sai. Nếu với "a", chúng tôi muốn nói đến mệnh đề "Kanguru sống ở Úc", chúng tôi muốn nói đến sự thật; nếu với "a" chúng ta muốn nói đến mệnh đề "Kanguru sống ở Siberia", chúng ta có nghĩa là một lời nói dối. Do đó, các chữ cái "a", "b", "c", v.v. là các biến có thể được thay thế bằng true hoặc false.

Các liên kết hợp lý là các dạng tương tự chính thức của các liên từ trong ngôn ngữ tự nhiên bản địa của chúng ta. Giống như các câu phức tạp được xây dựng từ những câu đơn giản với sự trợ giúp của các liên từ “tuy nhiên”, “vì”, “hoặc”, v.v., các phán đoán phức tạp cũng được hình thành từ những câu đơn giản với sự trợ giúp của các liên kết logic. Ở đây, chúng ta cảm thấy có mối liên hệ lớn hơn nhiều giữa suy nghĩ và ngôn ngữ, vì vậy trong phần tiếp theo, thay vì từ "phán đoán", biểu thị một suy nghĩ thuần túy, chúng ta sẽ thường sử dụng từ "tuyên bố", biểu thị một suy nghĩ trong biểu thức ngôn ngữ của nó. Vì vậy, hãy làm quen với các kết nối logic phổ biến nhất.

phủ định. Trong ngôn ngữ tự nhiên, nó tương ứng với biểu thức "Không đúng là ...". Phủ định thường được biểu thị bằng dấu "¬" trước chữ cái đại diện cho một số phán đoán: "¬a" đọc là "Không đúng là a." Ví dụ: "Trái đất là hình cầu là không đúng."

Một tình huống tinh tế cần được lưu ý. Ở trên chúng ta đã nói về những phán đoán tiêu cực đơn giản. Làm thế nào để phân biệt chúng với những phán đoán phức tạp có phủ định? Logic phân biệt giữa hai loại phủ định - bên trong và bên ngoài. Khi phủ định nằm trong một mệnh đề đơn giản trước liên kết "is", thì trong trường hợp này chúng ta đang xử lý một mệnh đề phủ định đơn giản, ví dụ: "Trái đất không phải là một quả bóng." Nếu phủ định được gắn bên ngoài với phán đoán, chẳng hạn: “Trái đất hình cầu là không đúng”, thì phủ định đó được coi là một liên kết logic biến một phán đoán đơn giản thành một phán đoán phức tạp.

Kết hợp. Trong ngôn ngữ tự nhiên, gói này tương ứng với các liên từ “và”, “a”, “nhưng”, “tuy nhiên”, v.v. Thông thường, liên kết được biểu thị bằng dấu "&". Bây giờ biểu tượng này thường được tìm thấy trong tên của các công ty và doanh nghiệp khác nhau. Một phán đoán với một liên kết như vậy được gọi là liên từ, hoặc đơn giản là liên từ, và có dạng như sau:

a&b. Ví dụ: "Trong giỏ của ông nội là boletus và bướm." Mệnh đề phức tạp này là sự kết hợp của hai mệnh đề đơn giản: - “Ông nội có boletus trong giỏ của mình” và “Ông nội có boletus trong giỏ của mình”.

Phân ly. Trong ngôn ngữ tự nhiên, liên kết này tương ứng với liên kết "hoặc". Thông thường nó được biểu thị bằng dấu "v". Một phán đoán với một liên kết như vậy được gọi là phân biệt, hoặc đơn giản là phân tách, và có dạng như sau: a v b.

Liên kết "hoặc" trong ngôn ngữ tự nhiên được sử dụng theo hai nghĩa khác nhau: "hoặc" không nghiêm ngặt - khi các thành viên của phân tách không loại trừ lẫn nhau, tức là có thể vừa đúng, vừa là "hoặc" nghiêm ngặt (thường được thay thế bằng một cặp liên từ "hoặc ... hoặc ...") - khi các thành viên của phân từ loại trừ lẫn nhau. Theo điều này, hai loại phân tách được phân biệt - nghiêm ngặt và không nghiêm ngặt.

ngụ ý. Trong ngôn ngữ tự nhiên, nó tương ứng với sự kết hợp "nếu ... thì." Nó được biểu thị bằng dấu "->". Một phán đoán có liên kết như vậy được gọi là hàm ý, hay đơn giản là hàm ý, và có dạng như sau: a -> b. Ví dụ: “Nếu có dòng điện chạy qua vật dẫn thì vật dẫn nóng lên”. Thuật ngữ đầu tiên của hàm ý được gọi là tiền đề, hoặc cơ sở; thứ hai là hậu quả, hoặc hậu quả. Trong ngôn ngữ hàng ngày, liên từ "nếu ... thì" thường kết nối các câu thể hiện mối quan hệ nhân quả của các hiện tượng, với câu thứ nhất xác định nguyên nhân và câu thứ hai - kết quả. Do đó tên của các thành viên của hàm ý.

Biểu diễn các câu lệnh của ngôn ngữ tự nhiên ở dạng ký hiệu với sự trợ giúp của các ký hiệu trên có nghĩa là sự chính thức hóa của chúng, trong nhiều trường hợp hóa ra lại hữu ích.

4) Một hòn đảo xinh đẹp nằm giữa đại dương ấm áp. Và mọi thứ sẽ ổn, nhưng những người lạ có thói quen định cư trên hòn đảo này. Họ đến và đi từ khắp nơi trên thế giới, họ bắt đầu khiến người dân bản địa phải xấu hổ. Để ngăn chặn sự xâm lược của những người lạ, người cai trị hòn đảo đã ban hành một sắc lệnh: “Mọi du khách muốn định cư trên hòn đảo may mắn của chúng tôi đều có nghĩa vụ phải đưa ra một số phán quyết. Nếu phán đoán là đúng, kẻ lạ mặt nên bị bắn; nếu bản án là sai, anh ta nên bị treo cổ. Nếu bạn sợ - thì hãy im lặng và quay về nhà!

Câu hỏi đặt ra là: phải đưa ra phán quyết nào để có thể sống sót và vẫn định cư trên đảo?

| |