Симметрия в математике. Вот ее вид

Понятие материи как неуничтожимой и несотворимой основы всего сущего сложилось еще во времена античности. С другой стороны, наблюдение постоянных изменений в природе приводило к представлению о вечном движении материи как важнейшем ее свойстве. Идея «сохранения» появилась в науке как чисто философская догадка о наличии чего-то стабильного в вечно меняющемся мире. Единство изменения и сохранения находит выражение в понятии «симметрия». Симметрия – инвариантность (неизменность) объекта по отношению к наложенным на него преобразованиям. Преобразования, дающие симметричный объект, называются симметричными. Уровень симметрии определяется количеством (спектром) возможных симметричных преобразований. Чем однородней, равновесней система, т.е. чем соразмерней ее части, тем больше число возможных для нее симметричных преобразований, т.е. тем она более симметрична. Поэтому представление о симметрии связывают с равновесностью и соразмерностью частей системы. Симметрия физических систем проявляется в существовании законов сохранения. Сначала законы сохранения, как и принцип относительности, были установлены опытным путем, обобщением огромного количества экспериментальных фактов. Значительно позднее пришло понимание глубокой взаимосвязи этих законов со свойствами симметрии физических систем, что позволило осмыслить их всеобщность. При этом симметрия понимается как инвариантность законов, входящих в них величин и описываемых ими свойств природных объектов относительно некоторой группы преобразований при переходе от одной системы отсчета к другой. Например, в специальной теории относительности для всех инерциальных систем отсчета, движущихся с разными скоростями, инвариантны скорость света в вакууме, электрический заряд, законы природы.

Наличие симметрии приводит к тому, что для данной системы существует сохраняющаяся величина. Таким образом, если известны свойства симметрии системы, можно определить для нее законы сохранения и наоборот.

Связь между симметрией пространства-времени и фундаментальными законами сохранения установила в начале XX в. Э. Нётер (1882 – 1935). Пространство и время однородны, а следовательно, симметричны относительно произвольных сдвигов начала отсчета. Изотропность пространства делает его симметричным относительно поворота координатных осей.

Важнейшая симметрия природы была выявлена в релятивистской теории: все явления природы инвариантны относительно сдвигов, поворотов и отражений в едином четырехмерном пространстве-времени . Данные симметрии по своей сути являются «глобальными», охватывающими все пространство-время. Законы сохранения, обусловленные глобальной симметрией, являются фундаментальнейшими законами природы. К ним относятся:

закон сохранения импульса , связанный с однородностью пространства ;

закон сохранения момента импульса , связанный с изотропностью пространства ;

закон сохранения энергии , связанный с однородностью времени .

Таким образом, каждому преобразованию глобальной симметрии пространства-времени соответствует закон сохранения определенной величины. Данные законы выполняются для замкнутых систем, тела которых взаимодействуют между собой, а внешние воздействия скомпенсированы.

В классической физике немало величин (таких, как импульс, энергия и момент количества движения) сохраняется. Теоремы о сохранении соответствующих величин существуют и в квантовой механике. Самое прекрасное в квантовой механике это то, что теоремы сохранения в определенном смысле удается в ней вывести из чего-то другого; в классической же механике они сами практически являются исходными для других законов. (Можно, правда, и в классической механике поступать так же, как в квантовой, но это удается только на очень высоком уровне.) В квантовой механике, однако, законы сохранения очень тесно связаны с принципом суперпозиции амплитуд и с симметрией физических систем относительно различных изменений. Это и есть тема настоящей лекции. Хотя идеи эти мы будем применять главным образом к сохранению момента количества движения, но существенно здесь то, что все теоремы о сохранении каких угодно величин всегда связаны - в квантовой механике - с симметриями системы.

Начнем поэтому с изучения вопроса о симметриях систем. Очень простым примером служат молекулярные ионы водорода (впрочем, в равной степени подошли бы и молекулы аммиака), у которых имеется по два состояния. У молекулярного иона водорода за одно базисное состояние мы принимали такое состояние, когда электрон расположен возле протона №1, а за другое базисное состояние то, в котором электрон располагался возле протона №2. Эти два состояния (мы их называли и ) мы снова показываем на фиг. 15.1,а. И вот, поскольку оба ядра в точности одинаковы, в этой физической системе имеется определенная симметрия. Иначе сказать, если бы нам пришлось отразить систему в плоскости, поставленной посредине между двумя протонами (имеется в виду, если бы все находящееся с одной стороны плоскости симметрично перешло на другую сторону), то возникла бы картина, представленная на фиг. 15.1,б. А коль скоро протоны тождественны, операция отражения переводит в , а в . Обозначим эту операцию отражения и напишем

. (15.1)

Значит, наше - это оператор, в том смысле, что он «что-то делает» с состоянием, чтобы вышло новое состояние. Интересно здесь то, что , действуя на любое состояние, создает какое-то другое состояние системы.

Фиг. 15.1. Если состояния и отразить в плоскости , они перейдут соответственно в состояния и .

суть матричные элементы, которые получаются, если и умножить слева на . Согласно уравнению (15.1), они равны

(15.2)

Таким же путем можно получить и , и . Матрица относительно базисной системы и есть

Мы снова убеждаемся, что слова оператор и матрица в квантовой механике практически взаимозаменяемы. Есть, конечно, легкие технические различия, как между словами «числительное» и «число», но мы не такие педанты, чтобы забивать себе этим голову. Так что будем именовать то оператором, то матрицей, независимо от того, определяет ли оно операцию или реально использовано для получения численной матрицы.

Теперь мы хотели бы кое на что обратить ваше внимание. Предположим, что физика всей системы молекулярного иона водорода сама по себе симметрична. Этого могло бы и не быть - это зависит, например, от того, что находится с нею рядом. Но если система симметрична, то с необходимостью должна быть справедлива следующая идея. Предположим, что вначале, при , система находится в состоянии , а через промежуток времени мы обнаруживаем, что система оказалась в более сложном положении - в какой-то линейкой комбинации обоих базисных состояний. Вспомните, что в гл. 6 (вып. 8) мы привыкли представлять «эволюцию во времени» умножением на оператор . Это означает, что система через мгновение (скажем для определенности, через 15 сек) окажется в каком-то ином состоянии. Например, это состояние на может состоять из состояния и на из состояния , и мы бы написали

Теперь спросим: что же произойдет, если вначале мы запустим систему в симметричном состоянии и при тех же условиях подождем 15 сек? Ясно, что если мир симметричен (что мы и предполагаем), то обязательно получится состояние, симметричное с (15.4):

Те же идеи схематично изображены на фиг. 15.2. Итак, если физика системы симметрична относительно некоторой плоскости и мы рассчитали поведение того или иного состояния, то нам также известно поведение состояния, которое получилось бы после отражения исходного состояния в плоскости симметрии.

Фиг. 15.2. Если в симметричной системе чистое состояние развивается во времени так, как показано в части (а), то чистое состояние будет во времени развиваться так, как показано в части (б).

То же самое можно высказать чуть более общо, т. е. чуть более отвлеченно. Пусть - любая из множества операций, которые вы можете произвести над системой, не меняя физики. К примеру, за мы можем принять операцию отражения в плоскости, расположенной посредине между двумя атомами молекулы водорода. Или в системе с двумя электронами можно было бы под подразумевать операцию обмена двумя электронами. Третьей возможностью явилась бы в сферически симметричной системе операция поворота всей системы на конечный угол вокруг некоторой оси; от этого физика не изменится. Конечно, в каждом отдельном случае мы бы обозначали по-своему. В частности, через мы обычно будем обозначать операцию «поверни систему вокруг оси на угол ». Под мы просто понимаем один из названных операторов или любой другой, который оставляет всю физическую ситуацию неизменной. Оператор мы будем называть оператором симметрии для системы.

Вот вам еще примеры операторов симметрии. Если у нас имеется атом, а внешнее магнитное или внешнее электрическое поле отсутствует, то после поворота системы координат вокруг любой оси физическая система остается той же самой. Опять-таки молекула аммиака симметрична относительно отражения в плоскости, параллельной той, в которой лежат три атома водорода (пока нет электрического поля). Если есть электрическое поле, то при отражении надо было бы обратить и поле, а это меняет всю физическую задачу. Но пока внешнего поля нет, молекула симметрична.

Теперь рассмотрим общий случай. Положим, мы начали с состояния , а через некоторое время или под влиянием других физических условий оно превратилось в состояние . Напишем

[Посмотрите на формулу (15.4).] Теперь вообразите, что над всей системой мы проводим операцию . Состояние преобразится в состояние , которое также записывается в виде . А состояние превращается в . И вот, если физика симметрична относительно (не забывайте про это, если это отнюдь не общее свойство системы), тогда, подождав в тех же условиях то же время, мы должны получить

[Как в (45.5).] Но вместо можно написать , а вместо написать , так что (15.7) переписывается в виде, выполняется и для матриц и .]

Кстати, поскольку для бесконечно малого времени мы имеем , где - обычный гамильтониан [см. гл. 6 (вып. 8)], то легко видеть, что когда (15.10) выполнено, то выполнено и

Так что (15.11) есть математическая формулировка условий на симметричность физической ситуации относительно оператора . Она определяет симметрию.

Симметрия I Симме́трия (от греч. symmetria - соразмерность)

в математике,

1) симметрия (в узком смысле), или отражение (зеркальное) относительно плоскости α в пространстве (относительно прямой а на плоскости), - преобразование пространства (плоскости), при котором каждая точка М переходит в точку M" такую, что отрезок MM" перпендикулярен плоскости α (прямой а ) и делится ею пополам. Плоскость α (прямая а ) называется плоскостью (осью) С.

Отражение - пример ортогонального преобразования (См. Ортогональное преобразование), изменяющего ориентацию (См. Ориентация) (в отличие от собственного движения). Любое ортогональное преобразование можно осуществить последовательным выполнением конечного числа отражений - этот факт играет существенную роль в исследовании С. геометрических фигур.

2) Симметрия (в широком смысле) - свойство геометрической фигуры Ф , характеризующее некоторую правильность формы Ф , неизменность её при действии движений и отражений. Точнее, фигура Ф обладает С. (симметрична), если существует нетождественное ортогональное преобразование, переводящее эту фигуру в себя. Совокупность всех ортогональных преобразований, совмещающих фигуру Ф с самой собой, является группой (См. Группа), называемой группой симметрии этой фигуры (иногда сами эти преобразования называются симметриями).

Так, плоская фигура, преобразующаяся в себя при отражении, симметрична относительно прямой - оси С. (рис. 1 ); здесь группа симметрии состоит из двух элементов. Если фигура Ф на плоскости такова, что повороты относительно какой-либо точки О на угол 360°/n , n - целое число ≥ 2, переводят её в себя, то Ф обладает С. n -го порядка относительно точки О - центра С. Примером таких фигур являются правильные многоугольники (рис. 2 ); группа С. здесь - т. н. циклическая группа n -го порядка. Окружность обладает С. бесконечного порядка (поскольку совмещается с собой поворотом на любой угол).

Простейшими видами пространственной С., помимо С., порожденной отражениями, являются центральная С., осевая С. и С. переноса.

а) В случае центральной симметрии (инверсии) относительно точки О фигура Ф совмещается сама с собой после последовательных отражений от трёх взаимно перпендикулярных плоскостей, другими словами, точка О - середина отрезка, соединяющего симметричные точки Ф (рис. 3 ). б) В случае осевой симметрии, или С. относительно прямой n -го порядка, фигура накладывается на себя вращением вокруг некоторой прямой (оси С.) на угол 360°/n . Например, куб имеет прямую AB осью С. третьего порядка, а прямую CD - осью С. четвёртого порядка (рис. 3 ); вообще, правильные и полуправильные многогранники симметричны относительно ряда прямых. Расположение, количество и порядок осей С. играют важную роль в кристаллографии (см. Симметрия кристаллов), в) Фигура, накладывающаяся на себя последовательным вращением на угол 360°/2k вокруг прямой AB и отражением в плоскости, перпендикулярной к ней, имеет зеркально-осевую С. Прямая AB , называется зеркально-поворотной осью С. порядка 2k , является осью С. порядка k (рис. 4 ). Зеркально-осевая С. порядка 2 равносильна центральной С. г) В случае симметрии переноса фигура накладывается на себя переносом вдоль некоторой прямой (оси переноса) на какой-либо отрезок. Например, фигура с единственной осью переноса обладает бесконечным множеством плоскостей С. (поскольку любой перенос можно осуществить двумя последовательными отражениями от плоскостей, перпендикулярных оси переноса) (рис. 5 ). Фигуры, имеющие несколько осей переноса, играют важную роль при исследовании кристаллических решёток (См. Кристаллическая решётка).

В искусстве С. получила распространение как один из видов гармоничной композиции (См. Композиция). Она свойственна произведениям архитектуры (являясь непременным качеством если не всего сооружения в целом, то его частей и деталей - плана, фасада, колонн, капителей и т. д.) и декоративно-прикладного искусства. С. используется также в качестве основного приёма построения бордюров и Орнамент ов (плоских фигур, обладающих соответственно одной или несколькими С. переноса в сочетании с отражениями) (рис. 6 , 7 ).

Комбинации С., порожденные отражениями и вращениями (исчерпывающие все виды С. геометрических фигур), а также переносами, представляют интерес и являются предметом исследования в различных областях естествознания. Например, винтовая С., осуществляемая поворотом на некоторый угол вокруг оси, дополненным переносом вдоль той же оси, наблюдается в расположении листьев у растений (рис. 8 ) (подробнее см. в ст. Симметрия в биологии). С. конфигурации молекул, сказывающаяся на их физических и химических характеристиках, имеет значение при теоретическом анализе строения соединений, их свойств и поведения в различных реакциях (см. Симметрия в химии). Наконец, в физических науках вообще, помимо уже указанной геометрической С. кристаллов и решёток, приобретают важное значение представления о С. в общем смысле (см. ниже). Так, симметричность физического пространства-времени, выражающаяся в его однородности и изотропности (см. Относительности теория), позволяет установить т. н. Сохранения законы ; обобщённая С. играет существенную роль в образовании атомных спектров и в классификации элементарных частиц (см. Симметрия в физике).

3) Симметрия (в общем смысле) означает инвариантность структуры математического (или физического) объекта относительно его преобразований. Например, С. законов теории относительности определяется инвариантностью их относительно Лоренца преобразований (См. Лоренца преобразования). Определение совокупности преобразований, оставляющих без изменения все структурные соотношения объекта, т. е. определение группы G его автоморфизмов, стало руководящим принципом современной математики и физики, позволяющим глубоко проникнуть во внутреннее строение объекта в целом и его частей.

Поскольку такой объект можно представить элементами некоторого пространства Р , наделённого соответствующей характерной для него структурой, постольку преобразования объекта являются преобразованиями Р . Т. о. получается представление группы G в группе преобразований Р (или просто в Р ), а исследование С. объекта сводится к исследованию действия G на Р и отысканию инвариантов этого действия. Точно так же С. физических законов, управляющих исследуемым объектом и обычно описывающихся уравнениями, которым удовлетворяют элементы пространства Р , определяется действием G на такие уравнения.

Так, например, если некоторое уравнение линейно на линейном же пространстве Р и остаётся инвариантным при преобразованиях некоторой группы G , то каждому элементу g из G соответствует линейное преобразование T g в линейном пространстве R решений этого уравнения. Соответствие g → T g является линейным представлением G и знание всех таких её представлений позволяет устанавливать различные свойства решений, а также помогает находить во многих случаях (из «соображений симметрии») и сами решения. Этим, в частности, объясняется необходимость для математики и физики развитой теории линейных представлений групп. Конкретные примеры см. в ст. Симметрия в физике.

Лит.: Шубников А. В., Симметрия. (Законы симметрии и их применение в науке, технике и прикладном искусстве), М. - Л., 1940; Кокстер Г. С. М., Введение в геометрию, пер. с англ., М., 1966; Вейль Г., Симметрия, пер. с англ., М., 1968; Вигнер Е., Этюды о симметрии, пер. с англ., М., 1971.

М. И. Войцеховский.

Рис. 3. Куб, имеющий прямую AB осью симметрии третьего порядка, прямую CD - осью симметрии четвёртого порядка, точку О - центром симметрии. Точки М и M" куба симметричны как относительно осей AB и CD, так и относительно центра О.

II Симметри́я

в физике. Если законы, устанавливающие соотношения между величинами, характеризующими физическую систему, или определяющие изменение этих величин со временем, не меняются при определённых операциях (преобразованиях), которым может быть подвергнута система, то говорят, что эти законы обладают С. (или инвариантны) относительно данных преобразований. В математическом отношении преобразования С. составляют группу (См. Группа).

Опыт показывает, что физические законы симметричны относительно следующих наиболее общих преобразований.

Непрерывные преобразования

1) Перенос (сдвиг) системы как целого в пространстве. Это и последующие пространственно-временные преобразования можно понимать в двух смыслах: как активное преобразование - реальный перенос физической системы относительно выбранной системы отсчёта или как пассивное преобразование - параллельный перенос системы отсчёта. С. физических законов относительно сдвигов в пространстве означает эквивалентность всех точек пространства, т. е. отсутствие в пространстве каких-либо выделенных точек (однородность пространства).

2) Поворот системы как целого в пространстве. С. физических законов относительно этого преобразования означает эквивалентность всех направлений в пространстве (изотропию пространства).

3) Изменение начала отсчёта времени (сдвиг во времени). С. относительно этого преобразования означает, что физические законы не меняются со временем.

4) Переход к системе отсчёта, движущейся относительно данной системы с постоянной (по направлению и величине) скоростью. С. относительно этого преобразования означает, в частности, эквивалентность всех инерциальных систем отсчёта (См. Инерциальная система отсчёта) (см. Относительности теория).

5) Калибровочные преобразования. Законы, описывающие взаимодействия частиц, обладающих каким-либо зарядом (электрическим зарядом (См. Электрический заряд), барионным зарядом (См. Барионный заряд), лептонным зарядом (См. Лептонный заряд), Гиперзаряд ом), симметричны относительно калибровочных преобразований 1-го рода. Эти преобразования заключаются в том, что волновые функции (См. Волновая функция) всех частиц могут быть одновременно умножены на произвольный фазовый множитель:

где ψ j - волновая функция частицы j , z j - соответствующий частице заряд, выраженный в единицах элементарного заряда (например, элементарного электрического заряда е ), β - произвольный числовой множитель.

А → А + grad f, , (2)

где f (x , у , z, t ) - произвольная функция координат (х , у , z ) и времени (t ), с - скорость света. Чтобы преобразования (1) и (2) в случае электромагнитных полей выполнялись одновременно, следует обобщить калибровочные преобразования 1-го рода: необходимо потребовать, чтобы законы взаимодействия были симметричны относительно преобразований (1) с величиной β, являющейся произвольной функцией координат и времени: η - Планка постоянная. Связь калибровочных преобразований 1-го и 2-го рода для электромагнитных взаимодействий обусловлена двоякой ролью электрического заряда: с одной стороны, электрический заряд является сохраняющейся величиной, а с другой - он выступает как константа взаимодействия, характеризующая связь электромагнитного поля с заряженными частицами.

Преобразования (1) отвечают законам сохранения различных зарядов (см. ниже), а также некоторым внутренним С. взаимодействия. Если заряды являются не только сохраняющимися величинами, но и источниками полей (как электрический заряд), то соответствующие им поля должны быть также калибровочными полями (аналогично электромагнитным полям), а преобразования (1) обобщаются на случай, когда величины β являются произвольными функциями координат и времени (и даже операторами (См. Операторы), преобразующими состояния внутренней С.). Такой подход в теории взаимодействующих полей приводит к различным калибровочным теориям сильных и слабых взаимодействий (т. н. Янга - Милса теория).

Дискретные преобразования

Перечисленные выше типы С. характеризуются параметрами, которые могут непрерывно изменяться в некоторой области значений (например, сдвиг в пространстве характеризуется тремя параметрами смещения вдоль каждой из координатных осей, поворот - тремя углами вращения вокруг этих осей и т. д.). Наряду с непрерывными С. большое значение в физике имеют дискретные С. Основные из них следующие.

Симметрия и законы сохранения

Согласно Нётер теореме (См. Нётер теорема), каждому преобразованию С., характеризуемому одним непрерывно изменяющимся параметром, соответствует величина, которая сохраняется (не меняется со временем) для системы, обладающей этой С. Из С. физических законов относительно сдвига замкнутой системы в пространстве, поворота её как целого и изменения начала отсчёта времени следуют соответственно законы сохранения импульса, момента количества движения и энергии. Из С. относительно калибровочных преобразований 1-го рода - законы сохранения зарядов (электрического, барионного и др.), из изотопической инвариантности - сохранение изотопического спина (См. Изотопический спин) в процессах сильного взаимодействия. Что касается дискретных С., то в классической механике они не приводят к каким-либо законам сохранения. Однако в квантовой механике, в которой состояние системы описывается волновой функцией, или для волновых полей (например, электромагнитного поля), где справедлив Суперпозиции принцип , из существования дискретных С. следуют законы сохранения некоторых специфических величин, не имеющих аналогов в классической механике. Существование таких величин можно продемонстрировать на примере пространственной чётности (См. Чётность), сохранение которой вытекает из С. относительно пространственной инверсии. Действительно, пусть ψ 1 - волновая функция, описывающая какое-либо состояние системы, а ψ 2 - волновая функция системы, получающаяся в результате пространств. инверсии (символически: ψ 2 = Р ψ 1 , где Р - оператор пространств. инверсии). Тогда, если существует С. относительно пространственной инверсии, ψ 2 является одним из возможных состояний системы и, согласно принципу суперпозиции, возможными состояниями системы являются суперпозиции ψ 1 и ψ 2: симметричная комбинация ψ s = ψ 1 + ψ 2 и антисимметричная ψ а = ψ 1 - ψ 2 . При преобразованиях инверсии состояние ψ 2 не меняется (т. к. P ψ s = P ψ 1 + P ψ 2 = ψ 2 + ψ 1 = ψ s), а состояние ψ a меняет знак (P ψ a = P ψ 1 - P ψ 2 = ψ 2 - ψ 1 = - ψ a). В первом случае говорят, что пространственная чётность системы положительна (+1), во втором - отрицательна (-1). Если волновая функция системы задаётся с помощью величин, которые не меняются при пространственной инверсии (таких, например, как момент количества движения и энергия), то вполне определённое значение будет иметь и чётность системы. Система будет находиться в состоянии либо с положительной, либо с отрицательной чётностью (причём переходы из одного состояния в другое под действием сил, симметричных относительно пространственной инверсии, абсолютно запрещены).

Симметрия квантово-механических систем и стационарные состояния. Вырождение

Сохранение величин, отвечающих различным С. квантово-механические системы, является следствием того, что соответствующие им операторы коммутируют с гамильтонианом системы, если он не зависит явно от времени (см. Квантовая механика , Перестановочные соотношения). Это означает, что указанные величины измеримы одновременно с энергией системы, т. е. могут принимать вполне определённые значения при заданном значении энергии. Поэтому из них можно составить т. н. полный набор величин, определяющих состояние системы. Т. о., стационарные состояния (См. Стационарное состояние) (состояния с заданной энергией) системы определяются величинами, отвечающими С. рассматриваемой системы.

Наличие С. приводит к тому, что различные состояния движения квантовомеханической системы, которые получаются друг из друга преобразованием С., обладают одинаковыми значениями физических величин, не меняющихся при этих преобразованиях. Т. о., С. системы, как правило, ведёт к вырождению (См. Вырождение). Например, определённому значению энергии системы может отвечать несколько различных состояний, преобразующихся друг через друга при преобразованиях С. В математическом отношении эти состояния представляют базис неприводимого представления группы С. системы (см. Группа). Это обусловливает плодотворность применения методов теории групп в квантовой механике.

Помимо вырождения уровней энергии, связанного с явной С. системы (например, относительно поворотов системы как целого), в ряде задач существует дополнительное вырождение, связанное с т. н. скрытой С. взаимодействия. Такие скрытые С. существуют, например, для кулоновского взаимодействия и для изотропного Осциллятор а.

Если система, обладающая какой-либо С., находится в поле сил, нарушающих эту С. (но достаточно слабых, чтобы их можно было рассматривать как малое возмущение), происходит расщепление вырожденных уровней энергии исходной системы: различные состояния, которые в силу С. системы имели одинаковую энергию, под действием «несимметричного» возмущения приобретают различные энергетические смещения. В случаях, когда возмущающее поле обладает некоторой С., составляющей часть С. исходной системы, вырождение уровней энергии снимается не полностью: часть уровней остаётся вырожденной в соответствии с С. взаимодействия, «включающего» возмущающее поле.

Наличие в системе вырожденных по энергии состояний, в свою очередь, указывает на существование С. взаимодействия и позволяет в принципе найти эту С., когда она заранее не известна. Последнее обстоятельство играет важнейшую роль, например, в физике элементарных частиц. Существование групп частиц с близкими массами и одинаковыми др. характеристиками, но различными электрическими зарядами (т. н. изотопических мультиплетов) позволило установить изотопическую инвариантность сильных взаимодействий, а возможность объединения частиц с одинаковыми свойствами в более широкие группы привело к открытию SU (3)-C . сильного взаимодействия и взаимодействий, нарушающих эту С. (см. Сильные взаимодействия). Существуют указания, что сильное взаимодействие обладает ещё более широкой группой С.

Весьма плодотворно понятие т. н. динамической С. системы, которое возникает, когда рассматриваются преобразования, включающие переходы между состояниями системы с различными энергиями. Неприводимым представлением группы динамической С. будет весь спектр стационарных состояний системы. Понятие динамической С. можно распространить и на случаи, когда гамильтониан системы зависит явно от времени, причём в одно неприводимое представление динамической группы С. объединяются в этом случае все состояния квантово-механической системы, не являющиеся стационарными (т. е. не обладающие заданной энергией).

Лит.: Вигнер Е., Этюды о симметрии, пер. с англ., М., 1971.

С. С. Герштейн.

III Симметри́я

в химии проявляется в геометрической конфигурации молекул, что сказывается на специфике физических и химических свойств молекул в изолированном состоянии, во внешнем поле и при взаимодействии с другими атомами и молекулами.

Большинство простых молекул обладает элементами пространственной симметрии равновесной конфигурации: осями симметрии, плоскостями симметрии и т. д. (см. Симметрия в математике). Так, молекула аммиака NH 3 обладает симметрией правильной треугольной пирамиды, молекула метана CH 4 - симметрией тетраэдра. У сложных молекул симметрия равновесной конфигурации в целом, как правило, отсутствует, однако приближённо сохраняется симметрия отдельных её фрагментов (локальная симметрия). Наиболее полное описание симметрии как равновесных, так и неравновесных конфигураций молекул достигается на основе представлений о т. н. динамических группах симметрии - группах, включающих не только операции пространственной симметрии ядерной конфигурации, но и операции перестановки тождественных ядер в различных конфигурациях. Например, динамическая группа симметрии для молекулы NH 3 включает также и операцию инверсии этой молекулы: переход атома N с одной стороны плоскости, образованной атомами Н, на другую её сторону.

Симметрия равновесной конфигурации ядер в молекуле влечёт за собой определённую симметрию волновых функций (См. Волновая функция) различных состояний этой молекулы, что позволяет проводить классификацию состояний по типам симметрии. Переход между двумя состояниями, связанный с поглощением или испусканием света, в зависимости от типов симметрии состояний может либо проявляться в молекулярном спектре (См. Молекулярные спектры), либо быть запрещенным, так что соответствующая этому переходу линия или полоса будет отсутствовать в спектре. Типы симметрии состояний, между которыми возможны переходы, влияют на интенсивность линий и полос, а также и на их поляризацию. Например, у гомоядерных двухатомных молекул запрещены и не проявляются в спектрах переходы между электронными состояниями одинаковой чётности, электронные волновые функции которых ведут себя одинаковым образом при операции инверсии; у молекул бензола и аналогичных соединений запрещены переходы между невырожденными электронными состояниями одного и того же типа симметрии и т. п. Правила отбора по симметрии дополняются для переходов между различными состояниями правилами отбора, связанными со Спин ом этих состояний.

У молекул с парамагнитными центрами симметрия окружения этих центров приводит к определённому типу анизотропии g -фактора (Ланде множитель), что сказывается на структуре спектров электронного парамагнитного резонанса (См. Электронный парамагнитный резонанс), тогда как у молекул, ядра атомов которых обладают ненулевым спином, симметрия отдельных локальных фрагментов ведёт к определённому типу расщепления по энергии состояний с различными проекциями ядерного спина, что сказывается на структуре спектров ядерного магнитного резонанса (См. Ядерный магнитный резонанс).

В приближённых подходах квантовой химии, использующих представление о молекулярных орбиталях, классификация по симметрии возможна не только для волновой функции молекулы в целом, но и для отдельных орбиталей. Если у равновесной конфигурации молекулы имеется плоскость симметрии, в которой лежат ядра, то все орбитали этой молекулы разбиваются на два класса: симметричные (σ) и антисимметричные (π) относительно операции отражения в этой плоскости. Молекулы, у которых верхними (по энергии) занятыми орбиталями являются π-орбитали, образуют специфические классы ненасыщенных и сопряжённых соединений с характерными для них свойствами. Знание локальной симметрии отдельных фрагментов молекул и локализованных на этих фрагментах молекулярных орбиталей позволяет судить о том, какие фрагменты легче подвергаются возбуждению и сильнее меняются в ходе химических превращений, например при фотохимических реакциях.

Представления о симметрии имеют важное значение при теоретическом анализе строения комплексных соединений, их свойств и поведения в различных реакциях. Теория кристаллического поля и теория поля лигандов устанавливают взаимное расположение занятых и вакантных орбиталей комплексного соединения на основе данных о его симметрии, характер и степень расщепления энергетических уровней при изменении симметрии поля лигандов. Знание одной лишь симметрии комплекса очень часто позволяет качественно судить о его свойствах.

В 1965 P. Вудворд и Р. Хоффман выдвинули принцип сохранения орбитальной симметрии при химических реакциях, подтвержденный впоследствии обширным экспериментальным материалом и оказавший большое влияние на развитие препаративной органической химии. Этот принцип (правило Вудворда - Хоффмана) утверждает, что отдельные элементарные акты химических реакций проходят с сохранением симметрии молекулярных орбиталей, или орбитальной симметрии. Чем больше нарушается симметрия орбиталей при элементарном акте, тем труднее проходит реакция.

Учёт симметрии молекул важен при поиске и отборе веществ, используемых при создании химических лазеров и молекулярных выпрямителей, при построении моделей органических сверхпроводников, при анализе канцерогенных и фармакологически активных веществ и т. д.

Лит.: Хохштрассер Р., Молекулярные аспекты симметрии, пер. с англ., М., 1968; Болотин А. Б., Степанов Н. ф.. Теория групп и ее применения в квантовой механике молекул, М., 1973; Вудворд Р., Хоффман Р., Сохранение орбитальной симметрии, пер. с англ., М., 1971.

Н. Ф. Степанов.

IV Симметри́я

в биологии (биосимметрия). На явление С. в живой природе обратили внимание ещё в Древней Греции пифагорейцы (5 в. до н. э.) в связи с развитием ими учения о гармонии. В 19 в. появились единичные работы, посвященные С. растений (французские учёные О. П. Декандоль, О. Браво), животных (немецкий - Э. Геккель), биогенных молекул (французские - А. Вешан, Л. Пастер и др.). В 20 в. биообъекты изучали с позиций общей теории С. (советские учёные Ю. В. Вульф, В. Н. Беклемишев, Б. К. Вайнштейн, голландский физикохимик Ф. М. Егер, английский кристаллографы во главе с Дж. Берналом) и учения о правизне и левизне (советские учёные В. И. Вернадский, В. В. Алпатов, Г. Ф. Гаузе и др.; немецкий учёный В. Людвиг). Эти работы привели к выделению в 1961 особого направления в учении о С. - биосимметрики.

Наиболее интенсивно изучалась структурная С. биообъектов. Исследование С. биоструктур - молекулярных и надмолекулярных - с позиций структурной С. позволяет заранее выявить возможные для них виды С., а тем самым число и вид возможных модификаций, строго описывать внешнюю форму и внутреннее строение любых пространственных биообъектов. Это привело к широкому использованию представлений структурной С. в зоологии, ботанике, молекулярной биологии. Структурная С. проявляется прежде всего в виде того или иного закономерного повторения. В классической теории структурной С., развитой немецким учёным И. Ф. Гесселем, Е. С. Федоровым (См. Фёдоров) и другими, вид С. объекта может быть описан совокупностью элементов его С., т. е. таких геометрических элементов (точек, линий, плоскостей), относительно которых упорядочены одинаковые части объекта (см. Симметрия в математике). Например, вид С. цветка флокса (рис. 1 , в) - одна ось 5-го порядка, проходящая через центр цветка; производимые посредством её операции - 5 поворотов (на 72, 144, 216, 288 и 360°), при каждом из которых цветок совпадает с самим собой. Вид С. фигуры бабочки (рис. 2 , б) - одна плоскость, делящая её на 2 половины - левую и правую; производимая посредством плоскости операция - зеркальное отражение, «делающее» левую половинку правой, правую - левой, а фигуру бабочки совмещающей с самой собой. Вид С. радиолярии Lithocubus geometricus (рис. 3 , б), помимо осей вращения и плоскостей отражения содержит ещё и центр С. Любая проведённая через такую единственную точку внутри радиолярии прямая по обе стороны от неё и на равных расстояниях встречает одинаковые (соответственные) точки фигуры. Операции, производимые посредством центра С., - отражения в точке, после которых фигура радиолярии также совмещается сама с собой.

В живой природе (как и в неживой) из-за различных ограничений обычно встречается значительно меньшее число видов С., чем возможно теоретически. Например, на низших этапах развития живой природы встречаются представители всех классов точечной С. - вплоть до организмов, характеризующихся С. правильных многогранников и шара (см. рис. 3 ). Однако на более высоких ступенях эволюции встречаются растения и животные в основном т. н. аксиальной (вида n ) и актиноморфной (вида n (m ) С . (в обоих случаях n может принимать значения от 1 до ∞). Биообъекты с аксиальной С. (см. рис. 1 ) характеризуются лишь осью С. порядка n . Биообъекты сактиноморфной С. (см. рис. 2 ) характеризуются одной осью порядка n и пересекающимися по этой оси плоскостями m . В живой природе наиболее распространены С. вида n = 1 и 1․m = m , называется соответственно асимметрией (См. Асимметрия) и двусторонней, или билатеральной, С. Асимметрия характерна для листьев большинства видов растений, двусторонняя С. - до известной степени для внешней формы тела человека, позвоночных животных и многих беспозвоночных. У подвижных организмов такая С., по-видимому, связана с различиями их движении вверх-вниз и вперёд-назад, тогда как их движения направо-налево одинаковы. Нарушение у них билатеральной С. неизбежно привело бы к торможению движения одной из сторон и превращению поступательного движения в круговое. В 50-70-х гг. 20 в. интенсивному изучению (прежде всего в СССР) подверглись т. н. диссимметрические биообъекты (рис. 4 ). Последние могут существовать по крайней мере в двух модификациях - в форме оригинала и его зеркального отражения (антипода). При этом одна из этих форм (неважно какая) называется правой или D (от лат. dextro), другая - левой или L (от лат. laevo). При изучении формы и строения D- и L-биообъектов была развита теория диссимметризующих факторов, доказывающая возможность для любого D- или L-объекта двух и более (до бесконечного числа) модификаций (см. также рис. 5 ); одновременно в ней содержались и формулы для определения числа и вида последних. Эта теория привела к открытию т. н. биологической изомерии (См. Изомерия) (разных биообъектов одного состава; на рис. 5 изображены 16 изомеров листа липы).

При изучении встречаемости биообъектов было установлено, что в одних случаях преобладают D-, в других L-формы, в третьих они представлены одинаково часто. Бешаном и Пастером (40-е гг. 19 в.), а в 30-х гг. 20 в. советским учёным Г. Ф. Гаузе и другими было показано, что клетки организмов построены только или преимущественно из L-amинокислот, L-белков, D-дезоксирибонуклеиновых кислот, D-сахаров, L-алкалоидов, D- и L-терпенов и т. д. Столь фундаментальная и характерная черта живых клеток, названная Пастером диссимметрией протоплазмы, обеспечивает клетке, как было установлено в 20 в., более активный обмен веществ и поддерживается посредством сложных биологических и физико-химических механизмов, возникших в процессе эволюции. Сов. учёный В. В. Алпатов в 1952 на 204 видах сосудистых растений установил, что 93,2% видов растений относятся к типу с L-, 1,5% - с D-ходом винтообразных утолщений стенок сосудов, 5,3% видов - к типу рацемическому (число D-сосудов примерно равно числу L-сосудов).

При изучении D- и L-биообъектов было установлено, что равноправие между D-и L-формами в ряде случаев нарушено из-за различия их физиологических, биохимических и др. свойств. Подобная особенность живой природы была названа диссимметрией жизни. Так, возбуждающее влияние L-amинокислот на движение плазмы в растительных клетках в десятки и сотни раз превосходит такое же действие их D-форм. Многие антибиотики (пенициллин, грамицидин и др.), содержащие D-amинокислоты, обладают большей бактерицидностью, чем их формы c L-amинокислотами. Чаще встречающиеся винтообразные L-kopнеплоды сахарной свёклы на 8-44% (в зависимости от сорта) тяжелее и содержат на 0,5-1% больше сахара, чем D-kopнеплоды.

Симметричная (несимметричная) многофазная система электрических токов по ГОСТ Р 52002-2003

В которой равны (не равны) по амплитуде и (или) сдвинуты друг относительно друга по на одинаковые (неодинаковые) углы. Примечания:

У симметричной многофазной системы электрических токов сдвиг электрических токов друг относительно друга по фазе составляет угол, равный 2 p /m, где m - число фаз.
Аналогично определяют симметричные (несимметричные) многофазные системы, и т.д.

[из п. 162 ГОСТ Р 52002-2003]

Симметричная система обратной последовательности (токов) по ГОСТ Р 52002-2003

Порядок следования которых обратен основному. Примечания:

При обратном порядке следования фаз сдвиги по фазе каждой из фаз симметричной многофазной системы электрических токов относительно фазы, принятой за первую, уменьшаются или увеличиваются на одинаковую величину, равную 2 p (1-k)/m, где m - число фаз; k= 1, 2, ..., m - номер фазы.
Аналогично определяют симметричные системы обратных последовательностей, и т.д.

[из п. 165 ГОСТ Р 52002-2003]

Симметричная система прямой последовательности (токов) по ГОСТ Р 52002-2003

Порядок следования которых принят в качестве основного. Примечания:

При основном порядке следования фаз сдвиги по фазе каждой из фаз симметричной многофазной системы электрических токов относительно фазы, принятой за первую, увеличиваются или уменьшаются на одинаковую величину, равную 2 p (1-k)/m, где m - число фаз; k= 1, 2, ..., m - номер фазы.
Аналогично определяют симметричные системы прямой последовательности, и т.д.

[из п. 164 ГОСТ Р 52002-2003]

Симметричные составляющие (несимметричной -фазной системы электрических токов) по ГОСТ Р 52002-2003

Симметричные m-фазные последовательности, на которые данная несимметричная m-фазная система электрических токов может быть разложена, а именно последовательностей с индексами n=0, 1, …, m-1, фазные сдвиги в каждой из которых относительно первой фазы равны 2 p (1-k)n/m, где k= 1, 2, ... , m- номер фазы. Примечания:

Для обозначениям фаз А, В и С соответствуют значения k=1, 2 и 3, а названиям последовательностей как нулевой, прямой и обратной - значения n= 0, 1 и 2.
Аналогично определяют симметричные составляющие несимметричных m-фазных систем, и т.д.

[из п. 166 ГОСТ Р 52002-2003]