يوجد العديد من جداول الدرجات الأعداد الطبيعية. لا يمكن سردها جميعًا. نقدم هنا أمثلة لبعض هذه الجداول والمهام للعثور على القيم من هذه الجداول.

جدول قوى الأعداد الطبيعية الأولى

لنبدأ بجدول لإيجاد قوى الأعداد الطبيعية من $ 2 $ إلى $ 12 $ بواسطة قوى من $ 1 $ إلى $ 10 $ (الجدول 1). لاحظ أننا لا نعطي قوى قدرها 1 دولار ، لأن الواحد سيكون مساويًا لنفسه لأي قوة.

من الضروري العثور على القيم من هذا الجدول على النحو التالي: في العمود الأول نجد الرقم الذي نهتم بدرجته. تذكر رقم هذا الخط. ثم ، في المصطلح الأول ، نجد الأس ونتذكر العمود الذي تم العثور عليه. سيعطينا تقاطع الصف والعمود اللذين تم العثور عليهما الإجابة.

مثال 1

ابحث عن $ 8 ^ 7 $

نجد الرقم 8 دولارات في العمود الأول: نحصل على السطر الثامن.

نرى أن الرقم $ 2097152 $ يقع عند تقاطعهم. بالتالي

جداول قوى الأعداد الطبيعية من 1 دولار إلى 100 دولار

جداول الدرجات من $ 1 $ إلى $ 100 $ هي أيضًا شائعة جدًا. من المستحيل إعطاء كل منهم ، لذلك سنقدم كمثال مثل هذه الجداول للمربعات والمكعبات من هذه الأرقام الطبيعية (الجدول 2 والجدول 3).

تذكرنا هذه الجداول بجداول الضرب المعروفة ، لذلك نعتقد أن القارئ لن يجد صعوبة في استخدام هذه الجداول.

مثال 2

أ) القيمة المعطاةنجد في الجدول 2 دولار في 8 دولارات لوحة:

ب) نجد هذه القيمة في الجدول 3 دولارات في لوحة 3 دولارات:

جدول مربعات الأعداد الطبيعية من $ 10 $ إلى $ 99 $

جدول شائع آخر هو جدول مربعات الأرقام من 10 دولارات إلى 99 دولارًا (الجدول 4) ، أي جميع الأرقام العشرية.

من الضروري إيجاد القيم من هذا الجدول على النحو التالي: في العمود الأول نجد عدد عشرات العدد الذي يهمنا. تذكر رقم هذا الخط. ثم ، في المصطلح الأول ، نجد عدد وحدات عدد الاهتمام ونتذكر العمود الذي تم العثور عليه. سيعطينا تقاطع الصف والعمود اللذين تم العثور عليهما الإجابة.

مثال 3

ابحث عن $ 37 ^ 2 $

نجد الرقم 3 دولارات في العمود الأول: نحصل على السطر الرابع.

نجد الرقم 7 دولارات في الصف الأول: نحصل على العمود الثامن.

نرى أنه عند تقاطعهم يوجد الرقم 1369 دولارًا. بالتالي

استمرارًا للحديث حول درجة الرقم ، من المنطقي التعامل مع إيجاد قيمة الدرجة. تم تسمية هذه العملية الأس. في هذه المقالة ، سوف ندرس فقط كيفية تنفيذ الأس ، بينما نتطرق إلى جميع الأسس الممكنة - الطبيعية ، والأعداد الصحيحة ، والعقلانية ، وغير المنطقية. ووفقًا للتقاليد ، سننظر بالتفصيل في الحلول لأمثلة لزيادة الأرقام إلى درجات مختلفة.

التنقل في الصفحة.

ماذا يعني "الأس"؟

لنبدأ بشرح ما يسمى الأس. هنا هو التعريف المناسب.

تعريف.

الأسهو إيجاد قيمة قوة الرقم.

وبالتالي ، فإن إيجاد قيمة قوة a مع الأس r ورفع الرقم a إلى أس r هما نفس الشيء. على سبيل المثال ، إذا كانت المهمة هي "حساب قيمة القدرة (0.5) 5" ، فيمكن إعادة صياغتها على النحو التالي: "ارفع الرقم 0.5 إلى أس 5".

يمكنك الآن الانتقال مباشرة إلى القواعد التي يتم بها تنفيذ الأس.

رفع رقم إلى قوة طبيعية

في الممارسة العملية ، عادة ما يتم تطبيق المساواة القائمة على الشكل. أي عند رفع الرقم a إلى قوة كسرية m / n ، يتم أولاً استخراج جذر الدرجة n من الرقم a ، وبعد ذلك يتم رفع النتيجة إلى عدد صحيح قوة m.

ضع في اعتبارك حلول لأمثلة رفع إلى قوة كسرية.

مثال.

احسب قيمة الدرجة.

المحلول.

نعرض حلين.

اول طريق. من خلال تعريف الدرجة مع الأس الكسري. نحسب قيمة الدرجة تحت علامة الجذر ، وبعد ذلك نستخرج الجذر التكعيبي: .

الطريقة الثانية. من خلال تعريف الدرجة ذات الأس الكسري وعلى أساس خصائص الجذور ، تكون المساواة صحيحة . الآن استخراج الجذر أخيرًا ، نرفع إلى قوة عددية .

من الواضح أن النتائج التي تم الحصول عليها من الرفع إلى قوة كسرية تتطابق.

إجابه:

لاحظ أنه يمكن كتابة الأس الكسري في صورة عدد عشري أو عدد كسري، في هذه الحالات يجب استبداله بالكسر العادي المقابل ، وبعد ذلك يجب إجراء الأس.

مثال.

احسب (44.89) 2.5.

المحلول.

نكتب الأس في الصورة جزء مشترك(إذا لزم الأمر ، راجع المقال): . الآن نقوم بالرفع إلى قوة كسرية:

إجابه:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

يجب أن يقال أيضًا أن رفع الأرقام إلى قوى عقلانية هو عملية شاقة إلى حد ما (خاصة عند البسط والمقام مؤشر كسريالدرجات هي أعداد كبيرة بما فيه الكفاية) ، والتي يتم إجراؤها عادةً باستخدام تكنولوجيا الكمبيوتر.

في ختام هذه الفقرة ، سنتطرق إلى بناء الرقم صفر إلى قوة كسرية. أعطينا المعنى التالي لدرجة كسور الصفر من الشكل: لدينا ، بينما لم يتم تعريف صفر إلى القوة m / n. إذن ، صفر في الكسر درجة ايجابيةيساوي الصفر ، على سبيل المثال ، . وصفر في كسور درجة سلبيةلا معنى له ، على سبيل المثال ، التعبيرات و0 -4.3 لا معنى لها.

الارتقاء إلى قوة غير عقلانية

في بعض الأحيان يصبح من الضروري معرفة قيمة درجة الرقم مع الأس غير المنطقي. في نفس الوقت ، في اهداف عمليةعادة ما يكون كافياً للحصول على قيمة الدرجة حتى علامة ما. نلاحظ على الفور أنه في الممارسة العملية يتم حساب هذه القيمة باستخدام تقنية الحوسبة الإلكترونية ، منذ رفعها إلى الأشعة تحت الحمراء درجة عقلانيةيتطلب يدويا عدد كبيرحسابات مرهقة. ومع ذلك ، سوف نصف بعبارات عامةجوهر العمل.

للحصول على قيمة تقريبية لقوة رقم a مع ir مؤشر منطقي، يتم أخذ بعض التقريب العشري للأس ، ويتم حساب قيمة الأس. هذه القيمة هي القيمة التقريبية لدرجة الرقم أ مع الأس غير المنطقي. كلما زادت دقة التقريب العشري للرقم في البداية ، زادت دقة قيمة الدرجة في النهاية.

كمثال ، دعنا نحسب القيمة التقريبية للأس 2 1.174367 .... لنأخذ التقريب العشري التالي لمؤشر غير منطقي:. الآن نرفع 2 إلى قوة عقلانية تساوي 1.17 (وصفنا جوهر هذه العملية في الفقرة السابقة) ، نحصل على 2 1.17 ≈ 2.250116. في هذا الطريق، 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . إذا أخذنا تقديرًا عشريًا أكثر دقة لأس غير منطقي ، على سبيل المثال ، فسنحصل على قيمة أكثر دقة للدرجة الأصلية: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

فهرس.

• فيلينكين نيا ، جوخوف ف.إ. ، تشيسنوكوف أ.س. ، شفارتسبورد س. كتاب الرياضيات Zh ل 5 خلايا. المؤسسات التعليمية.
• ماكاريشيف يو إن ، مينديوك نج ، نيشكوف كي ، سوفوروفا إس بي. الجبر: كتاب مدرسي لسبع خلايا. المؤسسات التعليمية.
• ماكاريشيف يو إن ، مينديوك نج ، نيشكوف كي ، سوفوروفا إس بي. الجبر: كتاب مدرسي لثماني خلايا. المؤسسات التعليمية.
• ماكاريشيف يو إن ، مينديوك نج ، نيشكوف كي ، سوفوروفا إس بي. الجبر: كتاب مدرسي من 9 خلايا. المؤسسات التعليمية.
• كولموغوروف إيه إن ، أبراموف إيه إم ، دودنيتسين يو. الجبر وبدايات التحليل: كتاب مدرسي للصفوف 10-11 من مؤسسات التعليم العام.
• Gusev V.A.، Mordkovich A.G. الرياضيات (دليل للمتقدمين للمدارس الفنية).

مستوى اول

الدرجة وخصائصها. دليل شامل (2019)

لماذا الدرجات العلمية مطلوبة؟ أين تريدهم؟ لماذا تحتاج لقضاء الوقت في دراستها؟

لتتعلم كل شيء عن الدرجات العلمية ، وما الغرض منها ، وكيفية استخدام معرفتك فيها الحياة اليوميةاقرأ هذه المقالة.

وبالطبع ، فإن معرفة الدرجات العلمية سيقربك منها تسليم ناجح OGE أو USE ودخول جامعة أحلامك.

هيا بنا هيا بنا!)

ملاحظة مهمة! إذا رأيت هراءًا بدلاً من الصيغ ، فقم بمسح ذاكرة التخزين المؤقت. للقيام بذلك ، اضغط على CTRL + F5 (في نظام Windows) أو Cmd + R (في أنظمة تشغيل Mac).

مستوى اول

الأُس هو نفسه عملية حسابيةمثل الجمع والطرح والضرب والقسمة.

الآن سأشرح كل شيء لغة بشريةجداً أمثلة بسيطة. كن حذرا. الأمثلة أولية ، لكنها تشرح أشياء مهمة.

لنبدأ بالجمع.

لا يوجد شيء يمكن شرحه هنا. أنت تعرف كل شيء بالفعل: هناك ثمانية منا. تحتوي كل زجاجة على زجاجتين من الكولا. كم كولا؟ هذا صحيح - 16 زجاجة.

الآن الضرب.

يمكن كتابة نفس المثال مع الكولا بطريقة مختلفة:. علماء الرياضيات أناس ماكرون وكسولون. يلاحظون أولاً بعض الأنماط ، ثم يتوصلون إلى طريقة "لعدها" بشكل أسرع. في حالتنا ، لاحظوا أن كل فرد من الأشخاص الثمانية لديه نفس عدد زجاجات الكولا وابتكروا تقنية تسمى الضرب. موافق ، يعتبر أسهل وأسرع من.

لذلك ، للعد بشكل أسرع وأسهل وبدون أخطاء ، ما عليك سوى أن تتذكر جدول الضرب. بالطبع ، يمكنك أن تفعل كل شيء بشكل أبطأ وأصعب ومع وجود أخطاء! ولكن…

هنا جدول الضرب. يكرر.

وآخر أجمل:

وما هي حيل العد الصعبة الأخرى التي توصل إليها علماء الرياضيات الكسالى؟ بشكل صحيح - رفع رقم إلى قوة.

رفع رقم إلى قوة

إذا كنت بحاجة إلى ضرب رقم في نفسه خمس مرات ، فإن علماء الرياضيات يقولون إنك تحتاج إلى رفع هذا الرقم إلى الأس الخامس. فمثلا، . يتذكر علماء الرياضيات أن اثنين أس الخامس هو. وهم يحلون مثل هذه المشاكل في أذهانهم - بشكل أسرع وأسهل وبدون أخطاء.

للقيام بذلك ، ما عليك سوى تذكر ما تم تمييزه بالألوان في جدول قوى الأعداد. صدقني ، ستجعل حياتك أسهل بكثير.

بالمناسبة ، لماذا تسمى الدرجة الثانية ميدانالأرقام ، والثالث مكعب؟ ماذا يعني ذلك؟ جدا سؤال جيد. الآن سيكون لديك كل من المربعات والمكعبات.

مثال من الحياة الواقعية # 1

لنبدأ بمربع أو القوة الثانية لعدد.

تخيل بركة مربعة قياسها متر في متر. المجمع في الفناء الخلفي الخاص بك. الجو حار وأريد السباحة حقًا. لكن ... بركة بلا قاع! من الضروري تغطية قاع البركة بالبلاط. كم عدد البلاط الذي تحتاجه؟ لتحديد ذلك ، تحتاج إلى معرفة مساحة قاع البركة.

يمكنك ببساطة العد عن طريق نقر إصبعك على أن قاع البركة يتكون من مكعبات مترًا في المتر. إذا كان البلاط الخاص بك مترًا بعد متر ، فستحتاج إلى قطع. إنه سهل ... لكن أين رأيت مثل هذا البلاط؟ يفضل أن تكون البلاطة سم × سم ، وبعد ذلك سوف تتعذب من خلال "العد بإصبعك". ثم عليك أن تتكاثر. لذلك ، على جانب واحد من قاع البركة ، سنقوم بتركيب البلاط (القطع) وعلى الجانب الآخر أيضًا ، البلاط. بالضرب ، تحصل على مربعات ().

هل لاحظت أننا ضربنا نفس العدد في نفسه لتحديد مساحة قاع البركة؟ ماذا يعني ذلك؟ بما أن العدد نفسه مضروبًا ، فيمكننا استخدام تقنية الأُس. (بالطبع ، عندما يكون لديك رقمان فقط ، فما زلت بحاجة إلى ضربهما أو رفعهما إلى قوة. ولكن إذا كان لديك الكثير منهم ، فإن الارتقاء إلى قوة يكون أسهل بكثير ، كما أن هناك أخطاء أقل في الحسابات بالنسبة للامتحان هذا مهم جدا).
إذن ، ثلاثون درجة إلى الدرجة الثانية ستكون (). أو يمكنك القول أن ثلاثين تربيع ستكون. بعبارة أخرى ، يمكن دائمًا تمثيل القوة الثانية لرقم ما على شكل مربع. والعكس صحيح ، إذا رأيت مربعًا ، فهو دائمًا القوة الثانية لبعض الأرقام. المربع هو صورة للقوة الثانية لعدد.

مثال من الحياة الواقعية # 2

هذه مهمة لك ، احسب عدد المربعات الموجودة على رقعة الشطرنج باستخدام مربع الرقم ... على جانب واحد من الخلايا وعلى الجانب الآخر أيضًا. لحساب عددهم ، عليك أن تضرب ثمانية في ثمانية ، أو ... إذا لاحظت أن رقعة الشطرنج هي مربع به جانب ، فيمكنك تربيع ثمانية. احصل على الخلايا. () لذا؟

مثال من الحياة الواقعية # 3

الآن المكعب أو القوة الثالثة لعدد. نفس البركة. لكنك الآن بحاجة إلى معرفة كمية المياه التي يجب سكبها في هذا البركة. تحتاج إلى حساب الحجم. (بالمناسبة ، الأحجام والسوائل تقاس بـ متر مكعب. بشكل غير متوقع ، أليس كذلك؟) ارسم حوضًا: قاع يبلغ حجمه مترًا واحدًا وعمقه مترًا واحدًا وحاول حساب عدد المكعبات مترًا بمتر في المجموع التي ستدخل إلى حمام السباحة الخاص بك.

فقط أشر بإصبعك وعد! واحد ، اثنان ، ثلاثة ، أربعة ... اثنان وعشرون ، ثلاثة وعشرون ... ما مقدار ما حدث؟ لم تضيع؟ هل من الصعب العد بإصبعك؟ لهذا السبب! خذ مثالا من علماء الرياضيات. إنهم كسالى ، لذلك لاحظوا أنه من أجل حساب حجم البركة ، تحتاج إلى ضرب طولها وعرضها وارتفاعها ببعضها البعض. في حالتنا ، سيكون حجم البركة مساويًا للمكعبات ... أسهل ، أليس كذلك؟

تخيل الآن كيف أن علماء الرياضيات كسالى وماكرون إذا جعلوا ذلك سهلاً للغاية. اختزل كل شيء لعمل واحد. لاحظوا أن الطول والعرض والارتفاع متساويون وأن نفس العدد يضرب في نفسه ... وماذا يعني هذا؟ هذا يعني أنه يمكنك استخدام الدرجة. إذن ، ما عدته بإصبع مرة ، يفعلونه في إجراء واحد: ثلاثة في مكعب متساوية. إنه مكتوب على هذا النحو:

يبقى فقط احفظ جدول الدرجات. ما لم تكن ، بالطبع ، كسولًا وماكرًا مثل علماء الرياضيات. إذا كنت ترغب في العمل الجاد وارتكاب الأخطاء ، يمكنك الاستمرار في العد بإصبعك.

حسنًا ، من أجل إقناعك أخيرًا أن الدرجات اخترعها المتسكعون والأشخاص الماكرة لحل مشكلتهم مشاكل الحياة، وليس لخلق مشاكل لك ، إليك بعض الأمثلة من الحياة.

مثال من الحياة الواقعية # 4

لديك مليون روبل. في بداية كل عام ، تكسب مليونًا آخر مقابل كل مليون. أي أن كل مليون في بداية كل عام يتضاعف. كم من المال سيكون لديك في السنوات؟ إذا كنت جالسًا الآن و "تعد بإصبعك" ، فأنت شخص مجتهد جدًا و .. غبي. لكن على الأرجح ستقدم إجابة في غضون بضع ثوانٍ ، لأنك ذكي! إذن ، في السنة الأولى - مرتين مرتين ... في السنة الثانية - ما حدث ، مرتين أخريين ، في السنة الثالثة ... توقف! لقد لاحظت أن الرقم مضروب في نفسه مرة واحدة. إذن اثنان أس الخامس يساوي مليون! تخيل الآن أن لديك منافسة والشخص الذي يحسب أسرع سيحصل على هذه الملايين ... هل يستحق تذكر درجات الأرقام ، ما رأيك؟

مثال من الحياة الواقعية # 5

لديك مليون. في بداية كل عام ، تكسب اثنين آخرين مقابل كل مليون. إنه شيء رائع ، أليس كذلك؟ كل مليون يتضاعف ثلاث مرات. كم من المال سيكون لديك في السنة؟ لنعد. السنة الأولى - اضرب في ، ثم النتيجة في أخرى ... إنها ممل بالفعل ، لأنك فهمت بالفعل كل شيء: ثلاثة مضروبة في نفسها مرات. إذن القوة الرابعة هي مليون. عليك فقط أن تتذكر أن ثلاثة مرفوعًا للقوة الرابعة يساوي أو.

أنت تعلم الآن أنه من خلال رفع رقم إلى قوة ، ستجعل حياتك أسهل كثيرًا. دعنا نلقي نظرة إضافية على ما يمكنك فعله بالدرجات وما تحتاج إلى معرفته عنها.

المصطلحات والمفاهيم ... حتى لا يتم الخلط

لذا ، أولاً ، دعنا نحدد المفاهيم. ما رأيك، ما هو الأس؟ إنه بسيط للغاية - هذا هو الرقم "في أعلى" قوة الرقم. ليس علميًا ولكنه واضح وسهل التذكر ...

حسنًا ، في نفس الوقت ، ماذا هذه القاعدة من الدرجة؟ أبسط من ذلك هو الرقم الموجود في الأسفل ، في القاعدة.

إليك صورة لتتأكد منها.

حسنا وداخل نظرة عامةللتعميم والتذكر بشكل أفضل ... تُقرأ الدرجة التي تحتوي على أساس "" والأس "" على أنها "إلى الدرجة" وتتم كتابتها على النحو التالي:

قوة الرقم مع مؤشر طبيعي

ربما خمنت بالفعل: لأن الأس عدد طبيعي. نعم ، ولكن ما هو عدد طبيعي؟ ابتدائي! الأرقام الطبيعية هي تلك التي تُستخدم في العد عند سرد العناصر: واحد ، اثنان ، ثلاثة ... عندما نحسب العناصر ، لا نقول: "ناقص خمسة" ، "ناقص ستة" ، "ناقص سبعة". لا نقول "ثلث" أو "صفر فاصلة خمسة أعشار" أيضًا. هذه ليست أرقام طبيعية. ما رأيك في هذه الأرقام؟

تشير الأرقام مثل "ناقص خمسة" و "ناقص ستة" و "ناقص سبعة" الأعداد الكلية.بشكل عام ، تتضمن الأعداد الصحيحة جميع الأعداد الطبيعية والأرقام المقابلة للأرقام الطبيعية (أي مأخوذة بعلامة ناقص) ورقم. من السهل فهم الصفر - يحدث هذا عندما لا يكون هناك شيء. وماذا تعني الأرقام السالبة ("ناقص")؟ لكن تم اختراعها في المقام الأول للدلالة على الديون: إذا كان لديك رصيد على هاتفك بالروبل ، فهذا يعني أنك مدين للمشغل بالروبل.

جميع الكسور أرقام نسبية. كيف جاءوا ، في رأيك؟ بسيط جدا. منذ عدة آلاف من السنين ، اكتشف أسلافنا أنه ليس لديهم أعداد طبيعية كافية لقياس الطول والوزن والمساحة وما إلى ذلك. وقد توصلوا إلى أرقام نسبية... مثيرة للاهتمام ، أليس كذلك؟

هل هناك المزيد أرقام غير منطقية. ما هي هذه الأرقام؟ باختصار ، لا نهاية لها عدد عشري. على سبيل المثال ، إذا قسمت محيط الدائرة على قطرها ، فستحصل على رقم غير نسبي.

ملخص:

دعنا نحدد مفهوم الدرجة ، الأس هو عدد طبيعي (أي عدد صحيح وموجب).

1. أي عدد للقوة الأولى يساوي نفسه:
2. لتربيع رقم هو ضربه في نفسه:
3. لتكعيب رقم هو ضربه بنفسه ثلاث مرات:

تعريف.ارفع رقمًا إلى درجة طبيعيةيعني ضرب عدد في نفسه مرات:
.

خصائص الدرجة

من أين أتت هذه الخصائص؟ سأريك الآن.

دعونا نرى ما هو و ?

حسب التعريف:

كم عدد المضاعفات هناك في المجموع؟

الأمر بسيط للغاية: أضفنا العوامل إلى العوامل ، والنتيجة هي العوامل.

لكن بحكم التعريف ، هذه هي درجة الرقم مع الأس ، أي: ، التي كان مطلوبًا إثباتها.

مثال: تبسيط التعبير.

المحلول:

مثال:تبسيط التعبير.

المحلول:من المهم أن نلاحظ ذلك في حكمنا بالضرورةلا بد وأن نفس الأسباب!
لذلك ، نجمع الدرجات مع القاعدة ، لكننا نبقى عاملاً منفصلاً:

فقط لمنتجات القوى!

تحت أي ظرف من الظروف لا يجب أن تكتب ذلك.

2. هذا هو - القوة رقم

تمامًا كما هو الحال مع الخاصية السابقة ، دعنا ننتقل إلى تعريف الدرجة:

اتضح أن التعبير يضرب في نفسه مرة واحدة ، أي وفقًا للتعريف ، هذه هي القوة ال رقم:

في الواقع ، يمكن أن يسمى هذا "تصحيح المؤشر". لكن لا يمكنك القيام بذلك إجمالاً:

لنتذكر معادلات الضرب المختصر: كم مرة أردنا أن نكتب؟

لكن هذا ليس صحيحًا حقًا.

درجة مع قاعدة سلبية

حتى هذه النقطة ، ناقشنا فقط ما يجب أن يكون عليه الأس.

لكن ماذا يجب أن يكون الأساس؟

بدرجات من مؤشر طبيعيقد يكون الأساس أي رقم. في الواقع ، يمكننا ضرب أي رقم في بعضنا البعض ، سواء كانت موجبة أو سالبة أو زوجية.

دعونا نفكر في العلامات ("" أو "") التي سيكون لها درجات إيجابية و أرقام سالبة?

على سبيل المثال ، هل سيكون الرقم موجبًا أم سالبًا؟ لكن؟ ؟ في الحالة الأولى ، يكون كل شيء واضحًا: بغض النظر عن عدد الأرقام الموجبة التي نضربها مع بعضنا البعض ، ستكون النتيجة موجبة.

لكن السلبية أكثر إثارة للاهتمام. بعد كل شيء ، نتذكر قاعدة بسيطة من الصف السادس: "سالب في سالب يعطي زائد". هذا هو ، أو. لكن إذا ضربنا في ، يتبين.

حدد لنفسك العلامة التي ستحملها التعبيرات التالية:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

هل تستطيع فعلها؟

إليكم الإجابات: في الأمثلة الأربعة الأولى ، آمل أن يكون كل شيء واضحًا؟ نحن ببساطة ننظر إلى الأساس والأس ، ونطبق القاعدة المناسبة.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

في المثال 5) ، كل شيء ليس مخيفًا كما يبدو: لا يهم ما تساوي القاعدة - الدرجة متساوية ، مما يعني أن النتيجة ستكون دائمًا إيجابية.

حسنًا ، إلا عندما تكون القاعدة صفرًا. القاعدة ليست هي نفسها ، أليس كذلك؟ من الواضح لا ، منذ (لأن).

المثال 6) لم يعد بهذه البساطة!

6 أمثلة على الممارسة

تحليل الحل 6 أمثلة

إذا لم ننتبه إلى الدرجة الثامنة فماذا نرى هنا؟ دعونا نلقي نظرة على برنامج الصف السابع. لذلك تذكر؟ هذه هي صيغة الضرب المختصرة ، وهي فرق المربعات! نحن نحصل:

نحن ننظر بعناية إلى المقام. يشبه إلى حد كبير أحد عوامل البسط ، لكن ما الخطأ؟ ترتيب خاطئ للشروط. إذا تم تبديلها ، يمكن تطبيق القاعدة.

ولكن كيف نفعل ذلك؟ اتضح أنه سهل للغاية: الدرجة المتساوية للمقام تساعدنا هنا.

لقد غيرت المصطلحات أماكنها بطريقة سحرية. تنطبق هذه "الظاهرة" على أي تعبير بدرجة متساوية: يمكننا تغيير الإشارات الموجودة بين قوسين بحرية.

لكن من المهم أن تتذكر: كل العلامات تتغير في نفس الوقت!

دعنا نعود إلى المثال:

ومرة أخرى الصيغة:

كاملنقوم بتسمية الأعداد الطبيعية وأضدادها (أي مأخوذة بعلامة "") والرقم.

كامل رقم موجب، عدد إيجابي ، ولا يختلف عن الطبيعي ، فكل شيء يبدو تمامًا كما في القسم السابق.

الآن دعونا نلقي نظرة على الحالات الجديدة. لنبدأ بمؤشر يساوي.

أي عدد أس صفر يساوي واحدًا:

كالعادة نسأل أنفسنا: لماذا هذا؟

ضع في اعتبارك بعض القوة مع القاعدة. خذ على سبيل المثال واضرب في:

لذلك ، قمنا بضرب الرقم في ، وحصلنا على نفس الرقم كما كان -. ما هو الرقم الذي يجب ضربه حتى لا يتغير شيء؟ هذا صحيح ، على. وسائل.

يمكننا أن نفعل الشيء نفسه مع رقم عشوائي:

لنكرر القاعدة:

أي عدد أس صفر يساوي واحدًا.

لكن هناك استثناءات للعديد من القواعد. وهنا يوجد أيضًا - هذا رقم (كأساس).

من ناحية ، يجب أن تكون مساوية لأي درجة - بغض النظر عن مقدار ضرب الصفر في نفسه ، لا يزال بإمكانك الحصول على صفر ، وهذا واضح. لكن من ناحية أخرى ، مثل أي رقم لدرجة الصفر ، يجب أن يكون متساويًا. إذن ما هي حقيقة هذا؟ قرر علماء الرياضيات عدم التورط ورفضوا رفع الصفر إلى الصفر. أي أنه لا يمكننا الآن القسمة على الصفر فحسب ، بل نرفعها أيضًا إلى أس صفر.

لنذهب أبعد من ذلك. بالإضافة إلى الأعداد والأرقام الطبيعية ، تتضمن الأعداد الصحيحة أرقامًا سالبة. لفهم ما هو الأس السالب ، دعنا نفعل كما في آخر مرة: اضرب بعض الأعداد العادية بنفس الدرجة السالبة:

من هنا ، من السهل بالفعل التعبير عن المطلوب:

الآن نوسع القاعدة الناتجة إلى درجة تعسفية:

لذلك ، دعونا نصيغ القاعدة:

الرقم إلى أس سالب هو معكوس نفس العدد إلى أس موجب. و لكن في نفس الوقت لا يمكن أن تكون القاعدة فارغة:(لأنه من المستحيل القسمة).

دعونا نلخص:

أنا لم يتم تعريف التعبير في حالة. اذا ثم.

ثانيًا. أي عدد أس صفر يساوي واحدًا:.

ثالثا. الرقم الذي لا يساوي صفرًا إلى أس سالب هو معكوس نفس العدد لقوة موجبة:.

مهام الحل المستقل:

حسنا ، كالعادة ، أمثلة ل حل مستقل:

تحليل المهام للحل المستقل:

أعلم ، أعلم ، الأرقام مخيفة ، لكن في الامتحان عليك أن تكون مستعدًا لأي شيء! حل هذه الأمثلة أو حلل حلها إذا لم تتمكن من حلها وستتعلم كيفية التعامل معها بسهولة في الامتحان!

دعنا نواصل توسيع نطاق الأعداد "المناسبة" كأسس.

فكر الآن أرقام نسبية.ما تسمى الأرقام المنطقية؟

الجواب: كل ما يمكن تمثيله في صورة كسر ، وأين وأعداد صحيحة ، علاوة على ذلك.

لفهم ما هو "درجة جزئية"لنفكر في كسر:

دعنا نرفع كلا طرفي المعادلة إلى قوة:

الآن تذكر القاعدة "درجة إلى درجة":

ما هو الرقم الذي يجب رفعه إلى قوة للحصول عليه؟

هذه الصيغة هي تعريف جذر الدرجة.

اسمحوا لي أن أذكرك: جذر القوة ال () لرقم () هو الرقم الذي ، عند رفعه إلى أس ، يكون مساويًا.

أي أن جذر الدرجة هو العملية العكسية للأس:.

لقد أتضح أن. من الواضح هذا حالة خاصةيمكن تمديدها:.

الآن أضف البسط: ما هو؟ من السهل الحصول على الإجابة من خلال قاعدة القوة إلى السلطة:

لكن هل يمكن أن تكون القاعدة أي رقم؟ بعد كل شيء ، لا يمكن استخراج الجذر من جميع الأرقام.

لا أحد!

تذكر القاعدة: أي رقم مرفوع إليه حتى درجةهو رقم موجب. أي أنه من المستحيل استخلاص جذور الدرجة الزوجية من الأعداد السالبة!

وهذا يعني أن مثل هذه الأعداد لا يمكن رفعها إلى قوة كسرية ذات مقام زوجي ، أي أن التعبير لا معنى له.

ماذا عن التعبير؟

ولكن هنا تنشأ مشكلة.

يمكن تمثيل الرقم ككسور أخرى ، على سبيل المثال ، أو.

واتضح أنه موجود ولكنه غير موجود ، وهذان مجرد سجلين مختلفين من نفس الرقم.

أو مثال آخر: مرة واحدة ، يمكنك كتابته. ولكن بمجرد أن نكتب المؤشر بطريقة مختلفة ، فإننا نواجه مشكلة مرة أخرى: (أي ، حصلنا على نتيجة مختلفة تمامًا!).

لتجنب مثل هذه المفارقات ، خذ بعين الاعتبار فقط الأس الأساسي الموجب مع الأس الكسري.

حتى إذا:

• - عدد طبيعي؛
• هو عدد صحيح

أمثلة:

تعتبر القوى ذات الأس المنطقي مفيدة جدًا في تحويل التعبيرات ذات الجذور ، على سبيل المثال:

5 أمثلة على الممارسة

تحليل 5 أمثلة للتدريب

حسنًا ، الآن - الأصعب. الآن سوف نحلل درجة مع الأس غير المنطقي.

جميع قواعد وخصائص الدرجات هنا هي نفسها تمامًا مثل الدرجات ذات الأس المنطقي ، باستثناء

في الواقع ، بحكم التعريف ، الأعداد غير المنطقية هي أرقام لا يمكن تمثيلها ككسر ، حيث تكون أعدادًا صحيحة (أي أن الأعداد غير المنطقية كلها أرقام حقيقية باستثناء الأرقام المنطقية).

عند دراسة الدرجات العلمية بمؤشر طبيعي وعدد صحيح ومنطقي ، في كل مرة نكوّن "صورة" معينة أو "تشبيه" أو وصف بمصطلحات مألوفة أكثر.

على سبيل المثال ، الأس الطبيعي هو عدد مضروب في نفسه عدة مرات ؛

...صفر قوة- هذا ، كما كان ، رقم مضروب في نفسه مرة واحدة ، أي أنه لم يبدأ بعد في التكاثر ، مما يعني أن الرقم نفسه لم يظهر حتى الآن - وبالتالي فإن النتيجة ليست سوى "رقم فارغ" معين وهو الرقم ؛

...درجة مع عدد صحيح مؤشر سلبي - يبدو الأمر كما لو حدثت "عملية عكسية" معينة ، أي أن الرقم لم يضرب بنفسه ، بل تم تقسيمه.

بالمناسبة ، في العلم ، غالبًا ما يتم استخدام درجة ذات مؤشر معقد ، أي أن المؤشر ليس متساويًا عدد حقيقي.

لكن في المدرسة ، لا نفكر في مثل هذه الصعوبات ؛ ستتاح لك الفرصة لفهم هذه المفاهيم الجديدة في المعهد.

أين نحن متأكدون من أنك ستذهب! (إذا تعلمت كيفية حل مثل هذه الأمثلة :))

فمثلا:

تقرر لنفسك:

تحليل الحلول:

1. لنبدأ بالقاعدة المعتادة بالفعل لرفع درجة إلى درجة ما:

الآن انظر إلى النتيجة. هل يذكرك بأي شيء؟ نتذكر معادلة الضرب المختصر لفرق المربعات:

في هذه القضية,

لقد أتضح أن:

إجابه: .

2. نعطي الكسور في الأس k نفس النوع: إما كلا الكسور العشرية أو كلاهما عادي. نحصل على سبيل المثال:

الجواب: 16

3. لا يوجد شيء خاص ، فنحن نطبق الخصائص المعتادة للدرجات:

مستوى متقدم

تعريف الدرجة

الدرجة هي تعبير عن النموذج: حيث:

• — قاعدة الدرجة
• - الأس.

الدرجة مع الأس الطبيعي (ن = 1 ، 2 ، 3 ، ...)

رفع رقم إلى القوة الطبيعية n يعني ضرب الرقم في نفسه مرات:

قوة مع الأس الصحيح (0 ، ± 1 ، ± 2 ، ...)

إذا كان الأس عدد صحيح موجبرقم:

الانتصاب إلى الصفر السلطة:

التعبير غير محدد ، لأنه ، من ناحية ، هو هذا إلى أي درجة ، ومن ناحية أخرى ، أي رقم إلى الدرجة ال هو هذا.

إذا كان الأس عدد صحيح سلبيرقم:

(لأنه من المستحيل القسمة).

مرة أخرى حول القيم الخالية: لم يتم تعريف التعبير في الحالة. اذا ثم.

أمثلة:

درجة مع الأس المنطقي

• - عدد طبيعي؛
• هو عدد صحيح

أمثلة:

خصائص الدرجة

لتسهيل حل المشكلات ، دعنا نحاول أن نفهم: من أين أتت هذه الخصائص؟ دعنا نثبتهم.

دعونا نرى: ما هو و؟

حسب التعريف:

لذلك ، على الجانب الأيمن من هذا التعبير ، يتم الحصول على المنتج التالي:

لكن بحكم التعريف ، هذه قوة لرقم له أس ، أي:

Q.E.D.

مثال : تبسيط التعبير.

المحلول : .

مثال : تبسيط التعبير.

المحلول : من المهم أن نلاحظ ذلك في حكمنا بالضرورةيجب أن يكون لها نفس الأساس. لذلك ، نجمع الدرجات مع القاعدة ، لكننا نبقى عاملاً منفصلاً:

اخر ملاحظة مهمة: هذه القاعدة - فقط لمنتجات القوى!

لا يجب أن أكتب ذلك تحت أي ظرف من الظروف.

تمامًا كما هو الحال مع الخاصية السابقة ، دعنا ننتقل إلى تعريف الدرجة:

دعنا نعيد ترتيبه هكذا:

اتضح أن التعبير يضرب في نفسه مرة واحدة ، أي وفقًا للتعريف ، هذه هي القوة رقم -th:

في الواقع ، يمكن أن يسمى هذا "تصحيح المؤشر". لكن لا يمكنك القيام بذلك إجمالاً:!

لنتذكر معادلات الضرب المختصر: كم مرة أردنا أن نكتب؟ لكن هذا ليس صحيحًا حقًا.

قوة ذات قاعدة سالبة.

حتى هذه النقطة ، ناقشنا فقط ما يجب أن يكون فهرسالدرجة العلمية. لكن ماذا يجب أن يكون الأساس؟ بدرجات من طبيعي مؤشر قد يكون الأساس أي رقم .

في الواقع ، يمكننا ضرب أي رقم في بعضنا البعض ، سواء كانت موجبة أو سالبة أو زوجية. دعونا نفكر في أي علامات ("" أو "") سيكون لها درجات من الأرقام الموجبة والسالبة؟

على سبيل المثال ، هل سيكون الرقم موجبًا أم سالبًا؟ لكن؟ ؟

في الحالة الأولى ، يكون كل شيء واضحًا: بغض النظر عن عدد الأرقام الموجبة التي نضربها مع بعضنا البعض ، ستكون النتيجة موجبة.

لكن السلبية أكثر إثارة للاهتمام. بعد كل شيء ، نتذكر قاعدة بسيطة من الصف السادس: "سالب في سالب يعطي زائد". هذا هو ، أو. لكن إذا ضربنا في () ، نحصل على -.

وهكذا إلى ما لا نهاية: مع كل عملية ضرب لاحقة ، ستتغير العلامة. من الممكن صياغة مثل هذا قواعد بسيطة:

1. حتىدرجة - رقم إيجابي.
2. رفع الرقم السالب إلى الفرديةدرجة - رقم نفي.
3. الرقم الموجب لأي قوة هو رقم موجب.
4. صفر إلى أي قوة يساوي صفرًا.

حدد لنفسك العلامة التي ستحملها التعبيرات التالية:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

هل تستطيع فعلها؟ ها هي الإجابات:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

في الأمثلة الأربعة الأولى ، آمل أن يكون كل شيء واضحًا؟ نحن ببساطة ننظر إلى الأساس والأس ، ونطبق القاعدة المناسبة.

في المثال 5) ، كل شيء ليس مخيفًا كما يبدو: لا يهم ما تساوي القاعدة - الدرجة متساوية ، مما يعني أن النتيجة ستكون دائمًا إيجابية. حسنًا ، إلا عندما تكون القاعدة صفرًا. القاعدة ليست هي نفسها ، أليس كذلك؟ من الواضح لا ، منذ (لأن).

المثال 6) لم يعد بهذه البساطة. هنا تحتاج إلى معرفة أيهما أقل: أو؟ إذا تذكرت ذلك ، يتضح ذلك ، مما يعني أن القاعدة أقل من الصفر. أي أننا نطبق القاعدة 2: ستكون النتيجة سلبية.

ومرة أخرى نستخدم تعريف الدرجة:

كل شيء كالمعتاد - نكتب تعريف الدرجات ونقسمها إلى بعضها البعض ، ونقسمها إلى أزواج ونحصل على:

قبل التفكيك آخر حكمدعنا نلقي نظرة على بعض الأمثلة.

احسب قيم التعبيرات:

حلول :

إذا لم ننتبه إلى الدرجة الثامنة فماذا نرى هنا؟ دعونا نلقي نظرة على برنامج الصف السابع. لذلك تذكر؟ هذه هي صيغة الضرب المختصرة ، وهي فرق المربعات!

نحن نحصل:

نحن ننظر بعناية إلى المقام. يشبه إلى حد كبير أحد عوامل البسط ، لكن ما الخطأ؟ ترتيب خاطئ للشروط. إذا تم عكسها ، يمكن تطبيق القاعدة 3. ولكن كيف نفعل ذلك؟ اتضح أنه سهل للغاية: الدرجة المتساوية للمقام تساعدنا هنا.

إذا قمت بضربها ، فلن يتغير شيء ، أليس كذلك؟ لكن الآن يبدو كالتالي:

لقد غيرت المصطلحات أماكنها بطريقة سحرية. تنطبق هذه "الظاهرة" على أي تعبير بدرجة متساوية: يمكننا تغيير الإشارات الموجودة بين قوسين بحرية. لكن من المهم أن تتذكر: كل العلامات تتغير في نفس الوقت!لا يمكن استبداله بتغيير واحد فقط مرفوض لنا!

دعنا نعود إلى المثال:

ومرة أخرى الصيغة:

حتى الآن القاعدة الأخيرة:

كيف سنثبت ذلك؟ بالطبع كالعادة: لنوسع مفهوم الدرجة ونبسط:

حسنًا ، لنفتح الأقواس الآن. كم عدد الحروف سيكون هناك؟ مرات بالمضاعفات - كيف تبدو؟ هذا ليس سوى تعريف العملية عمليه الضرب: المجموع تبين أن هناك مضاعفات. أي ، بحكم التعريف ، قوة رقم مع أس:

مثال:

درجة مع الأس غير المنطقي

بالإضافة إلى المعلومات حول درجات المستوى المتوسط ​​، سنقوم بتحليل الدرجة بمؤشر غير منطقي. جميع قواعد وخصائص الدرجات هنا هي نفسها تمامًا بالنسبة لدرجة ذات أس عقلاني ، باستثناء - بعد كل شيء ، بحكم التعريف ، الأرقام غير المنطقية هي أرقام لا يمكن تمثيلها ككسر ، أين وأعداد صحيحة (أي ، الأرقام غير المنطقية كلها أرقام حقيقية باستثناء الأرقام المنطقية).

عند دراسة الدرجات العلمية بمؤشر طبيعي وعدد صحيح ومنطقي ، في كل مرة نكوّن "صورة" معينة أو "تشبيه" أو وصف بمصطلحات مألوفة أكثر. على سبيل المثال ، الأس الطبيعي هو عدد مضروب في نفسه عدة مرات ؛ الرقم إلى درجة الصفر هو ، كما كان ، عددًا مضروبًا في نفسه مرة واحدة ، أي أنه لم يبدأ بعد في التكاثر ، مما يعني أن الرقم نفسه لم يظهر حتى الآن - وبالتالي ، فإن النتيجة ليست سوى بعض "إعداد رقم" ، أي رقم ؛ درجة ذات مؤشر سلبي صحيح - يبدو الأمر كما لو حدثت "عملية عكسية" معينة ، أي أن الرقم لم يضرب بنفسه ، بل تم تقسيمه.

من الصعب للغاية تخيل درجة ذات أس غير منطقي (تمامًا كما يصعب تخيل مساحة رباعية الأبعاد). بدلاً من ذلك ، هو كائن رياضي بحت ابتكره علماء الرياضيات لتوسيع مفهوم الدرجة ليشمل مساحة الأرقام بأكملها.

بالمناسبة ، غالبًا ما يستخدم العلم درجة ذات أس معقد ، أي أن الأس ليس حتى عددًا حقيقيًا. لكن في المدرسة ، لا نفكر في مثل هذه الصعوبات ؛ ستتاح لك الفرصة لفهم هذه المفاهيم الجديدة في المعهد.

إذن ماذا سنفعل إذا رأينا أسًا غير منطقي؟ نحن نبذل قصارى جهدنا للتخلص منه! :)

فمثلا:

تقرر لنفسك:

1)

2)

3)

الإجابات:

1. تذكر الفرق في صيغة المربعات. إجابه: .
2. نحضر الكسور إلى نفس الشكل: إما كلا الكسور العشرية أو كلاهما عادي. نحصل على سبيل المثال:.
3. لا يوجد شيء مميز ، فنحن نطبق الخصائص المعتادة للدرجات:

ملخص القسم والصيغة الأساسية

درجةيسمى تعبير عن النموذج: ، حيث:

الدرجة مع الأس الصحيح

الدرجة ، الأس هو عدد طبيعي (أي عدد صحيح وموجب).

درجة مع الأس المنطقي

الدرجة التي يكون مؤشرها أرقامًا سالبة وجزئية.

درجة مع الأس غير المنطقي

الأس الذي يكون أسه كسرًا عشريًا لا نهائيًا أو جذرًا.

خصائص الدرجة

ميزات الدرجات.

• رفع الرقم السالب إلى حتىدرجة - رقم إيجابي.
• رفع الرقم السالب إلى الفرديةدرجة - رقم نفي.
• الرقم الموجب لأي قوة هو رقم موجب.
• الصفر يساوي أي قوة.
• أي عدد أس صفر يساوي.

الآن لديك كلمة ...

كيف تحب المقال؟ اسمحوا لي أن أعرف في التعليقات أدناه إذا كنت تحب ذلك أم لا.

أخبرنا عن تجربتك مع خصائص الطاقة.

ربما لديك أسئلة. او اقتراحات.

اكتب في التعليقات.

ونتمنى لك التوفيق في امتحاناتك!

لنفكر في سلسلة من الأرقام ، أولها هو 1 ، وكل رقم لاحق هو ضعف الحجم: 1 ، 2 ، 4 ، 8 ، 16 ، ... باستخدام الأس ، يمكن كتابتها بالصيغة المكافئة: 2 0 ، 2 1 ، 2 2. 2 3 ، 2 4 ، ... يطلق عليه بشكل متوقع تمامًا: تسلسل قوى من اثنين.يبدو أنه لا يوجد شيء مميز فيه - التسلسل كتسلسل ، ليس أفضل ولا أسوأ من الآخرين. ومع ذلك ، فإنه يحتوي على بعض الخصائص الرائعة للغاية.

مما لا شك فيه أن العديد من القراء التقوا بها في التاريخ الكلاسيكيعن مخترع الشطرنج ، الذي سأل الحاكم كمكافأة للخلية الأولى من رقعة الشطرنج حبة قمح واحدة ، للخلية الثانية - اثنان ، للثالث - أربعة ، وهكذا ، مضاعفة عدد الحبوب طوال الوقت. من الواضح أن عددهم الإجمالي يساوي

س= 2 0 + 2 1 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + ... + 2 63 . (1)

ولكن نظرًا لأن هذه الكمية كبيرة بشكل لا يصدق وتتجاوز عدة مرات الحصاد السنوي للحبوب حول العالم ، فقد اتضح أن الحكيم قد جلد المسطرة مثل اللزوجة.

ومع ذلك ، دعونا الآن نسأل أنفسنا سؤالاً آخر: كيف نحسب قيمة س؟ يمكن لمالكي الآلة الحاسبة (أو ، علاوة على ذلك ، الكمبيوتر) إجراء عمليات الضرب بسهولة في الوقت المنظور ، ثم إضافة الأرقام الناتجة 64 ، والحصول على الإجابة: 18،446،744،073،709،551،615. وبما أن كمية الحسابات كبيرة ، فإن احتمال الخطأ كبير جدًا عالي.

من هو الأكثر مكرا يمكن أن يرى في هذا التسلسل المتوالية الهندسية. أولئك الذين ليسوا على دراية بهذا المفهوم (أو أولئك الذين نسوا ببساطة الصيغة القياسيةكميات المتوالية الهندسية) يمكن استخدام المنطق التالي. دعونا نضرب طرفي المساواة (1) في 2. منذ مضاعفة قوة اثنين ، يزيد الأس بمقدار 1 ، نحصل على

2س = 2 1 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + ... + 2 64 . (2)

الآن من (2) اطرح (1). على الجانب الأيسر ، بالطبع ، اتضح 2 س – س = س. على الجانب الأيمن ، سيكون هناك تدمير جماعي متبادل لجميع قوى اثنين تقريبًا - من 2 1 إلى 2 63 ضمناً ، وسيبقى فقط 2 64 - 2 0 \ u003d 2 64 - 1. لذلك:

S = 2 64 – 1.

حسنًا ، لقد تم تبسيط التعبير بشكل ملحوظ ، والآن ، مع وجود آلة حاسبة تسمح لك بالرفع إلى أس ، يمكنك العثور على قيمة هذه الكمية دون أدنى مشكلة.

وإذا لم يكن هناك آلة حاسبة - ماذا تفعل؟ اضرب في عمود 64 تعادل؟ ما الذي كان مفقودًا أيضًا! مهندس ذو خبرة أو عالم رياضيات تطبيقي بالنسبة له العامل الرئيسي- الوقت يمكن بسرعة تقديرالاستجابة ، أي تجده بدقة مقبولة تقريبًا. كقاعدة عامة ، في الحياة اليومية (وفي معظم الأحيان علوم طبيعية) خطأ بنسبة 2-3٪ مقبول تمامًا ، وإذا لم يتجاوز 1٪ ، فهذا أمر رائع! اتضح أنه من الممكن حساب الحبوب بمثل هذا الخطأ بدون آلة حاسبة على الإطلاق ، وفي دقائق قليلة فقط. كيف؟ الآن سترى.

لذلك ، من الضروري العثور على حاصل ضرب 64 اثنين بأكبر قدر ممكن من الدقة (سوف نتجاهل الوحدة على الفور بسبب عدم أهميتها). دعنا نقسمهم إلى مجموعة منفصلة من 4 أزواج و 6 مجموعات أخرى من 10 ثنائيات. نتاج twos in مجموعة منفصلةيساوي 2 4 = 16. وحاصل ضرب 10 ثنائيات في كل مجموعة من المجموعات الأخرى هو 2 10 = 1024 (تأكد من الشك!). لكن 1024 حوالي 1000 ، أي 10 3. لهذا سيجب أن يكون قريبًا من حاصل ضرب الرقم 16 في 6 أرقام ، كل منها يساوي 10 3 ، أي S ≈ 16 10 18 (لأن 18 = 3 6). صحيح أن الخطأ هنا لا يزال كبيرًا جدًا: بعد كل شيء ، 6 مرات عند استبدال 1024 بـ 1000 ، أخطأنا بمقدار 1.024 مرة ، وإجمالاً كنا مخطئين ، كما يسهل رؤيته ، بمقدار 1.024 6 مرات. الآن - هل ستضرب 1.024 ست مرات في نفسها أيضًا؟ لا ، دعنا نذهب! من المعروف أن للرقم X، وهو عدد مرات أقل من 1 ، مع دقة عاليةالصيغة التقريبية التالية صالحة: (1 + x) ن ≈ 1 + xn.

إذن 1.024 6 = (1 + 0.24) 6 ≈ 1 + 0.24 6 = 1.144. لذلك ، نحتاج إلى ضرب الرقم 16 10 18 الذي وجدناه في الرقم 1.144 ، فيحصل على 18304.000.000.000.000.000 ، وهذا يختلف عن الإجابة الصحيحة بأقل من 1٪. ما كنا نبحث عنه!

في هذه الحالة ، كنا محظوظين جدًا: تبين أن إحدى قوى العدد اثنين (أي العاشرة) قريبة جدًا من واحدة من قوى العشرة (أي الثالثة). هذا يسمح لنا بالتقييم السريع لقيمة أي قوة لاثنين ، وليس بالضرورة 64. من بين قوى الأرقام الأخرى ، هذا ليس شائعًا. على سبيل المثال ، يختلف 5 10 عن 10 7 أيضًا بمقدار 1.024 مرة ، ولكن ... في اتجاه أصغر. ومع ذلك ، هذا توت من نفس الحقل: منذ 2 10 5 10 \ u003d 10 10 ، ثم كم مرة 2 10 يفوق 10 3 ، نفس العدد ضرب 5 10 أقلمن 10 7.

آخر ميزة مثيرة للاهتماممن التسلسل قيد النظر هو أنه يمكن تكوين أي رقم طبيعي من مختلفقوى اثنين ، و الطريقة الوحيدة. على سبيل المثال ، للرقم السنة الحاليةنملك

2012 = 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 6 + 2 7 + 2 8 + 2 9 + 2 10 .

ليس من الصعب إثبات هذا الاحتمال والتفرد. دعنا نبدء ب قدرات.افترض أننا بحاجة إلى التمثيل في شكل مجموع بدرجات مختلفةاثنان هو عدد طبيعي ن. أولاً ، نكتبه كمجموع نالوحدات. بما أن الوحدة هي 2 0 ، إذن في البداية نهناك مبلغ مطابققوى اثنين. ثم سنبدأ في الاقتران بينهما. مجموع عددين يساوي 2 0 هو 2 1 ، فالنتيجة هي من الواضح أنه أقلعدد الحدود يساوي 2 1 ، وربما رقم واحد 2 0 إذا لم يتم العثور على زوج. بعد ذلك ، نقوم بدمج نفس الحدود 2 1 في أزواج ، للحصول على عدد أصغر من الأعداد 2 2 (هنا ، من الممكن أيضًا ظهور قوة غير مقترنة لاثنين 2 1). ثم نجمع مرة أخرى الحدود المتساوية في أزواج ، وهكذا. عاجلاً أم آجلاً ، ستنتهي العملية ، لأن عدد القوى المتطابقة لاثنين يتناقص بعد كل اتحاد. عندما تصبح مساوية لـ 1 - ينتهي. يبقى جمع كل القوى الناتجة غير المزاوجة من اثنين - والتمثيل جاهز.

أما الإثبات التفردالتمثيلات ، إذن الطريقة "بالتناقض" مناسبة تمامًا هنا. دع نفس الرقم نكان قادرًا على تقديمه في النموذج اثنينمجموعات من قوى مختلفة لـ 2 لا تتطابق تمامًا (على سبيل المثال ، هناك قوى 2 موجودة في مجموعة واحدة ولكن ليست في مجموعة أخرى ، والعكس صحيح). أولاً ، دعنا نتجاهل جميع القوى المطابقة لاثنين من كلتا المجموعتين (إن وجدت). تحصل على تمثيلين من نفس العدد (أقل من أو يساوي ن) كمجموع قوى مختلفة لاثنين ، و الكلدرجات في التقديمات مختلف. في كل تمثيل ، حدد أعظمالدرجة العلمية. بحكم ما سبق ، لاثنين من تمثيل هذه الدرجات مختلف. يتم استدعاء التمثيل الذي تكون هذه الدرجة أكبر أول، آخر - ثانيا. لنفترض في التمثيل الأول أن أكبر قوة هي 2 م، ثم في الثانية من الواضح أنه لا يتجاوز 2 م-واحد . ولكن منذ ذلك الحين (وقد واجهنا هذا بالفعل أعلاه ، عد الحبوب على رقعة الشطرنج) ، المساواة

2م = (2م –1 + 2م –2 + ... + 2 0) + 1,

ثم 2 م بدقة أكثرمبالغ جميع القوى لا تزيد عن 2 م-واحد . لهذا السبب ، من المحتمل أن تكون القوة الأكبر للاثنين المدرجة في التمثيل الأول أكبر من المجموع الكلتم تضمين قوى اثنين في التمثيل الثاني. تناقض!

في الواقع ، لقد بررنا للتو إمكانية كتابة الأرقام الثنائيةنظام رقم. كما تعلم ، فإنه يستخدم رقمين فقط - صفر وواحد ، ويتم كتابة كل رقم طبيعي في النظام الثنائي بطريقة فريدة (على سبيل المثال ، 2012 المذكورة أعلاه - مثل 11111011100). إذا قمنا بترقيم الأرقام (الأرقام الثنائية) من اليمين إلى اليسار ، بدءًا من الصفر ، فإن أعداد تلك الأرقام التي توجد بها ستكون فقط الأسس لقوى الأثنين المضمنة في التمثيل.

أقل شهرة العقار التاليمجموعات من القوى الصحيحة غير السالبة لاثنين. دعنا نحدد بشكل تعسفي علامة ناقص لبعضها ، أي من الإيجابية التي سنجعلها سالبة. الشرط الوحيد هو أن تكون نتيجة كل من الأرقام الموجبة والسالبة عدد لانهائي.على سبيل المثال ، يمكنك تعيين علامة ناقص لكل خمسة أس لاثنين ، أو ، على سبيل المثال ، ترك الأرقام موجبة فقط 2 10 و 2 100 و 2 1000 وهكذا - هناك العديد من الخيارات كما تريد.

من المستغرب أن أي كامليمكن أن يكون الرقم (وعلاوة على ذلك ، بطريقة فريدة) يمثل مجموع المصطلحات المختلفة لتسلسلنا "الموجب-السلبي". وليس من الصعب جدًا إثبات ذلك (على سبيل المثال ، عن طريق الاستقراء على الأس اثنين). الفكرة الرئيسيةدليل - وجود تعسفي كبير قيمه مطلقهكلا المصطلحات الإيجابية والسلبية. حاول القيام بالإثبات بنفسك.

من المثير للاهتمام ملاحظة الأرقام الأخيرة لأعضاء تسلسل القوى المكونة من اثنين. نظرًا لأنه يتم الحصول على كل رقم لاحق في التسلسل عن طريق مضاعفة الرقم السابق ، يتم تحديد الرقم الأخير لكل منهم تمامًا بواسطة الرقم الأخير التاريخ السابق. ومنذ ذلك الحين أعداد مختلفةعدد محدود ، تسلسل الأرقام الأخيرة من قوى اثنين هو ببساطة ملزمةكن دوري! لا يتجاوز طول الفترة بالطبع 10 (حيث أن هذا هو عدد الأرقام التي نستخدمها) ، ولكن هذه قيمة مبالغ فيها للغاية. دعنا نحاول تقييمها دون كتابة التسلسل نفسه بعد. من الواضح أن الأرقام الأخيرة من جميع قوى العدد اثنين ، بدءًا من 2 1 ، حتى. بالإضافة إلى ذلك ، لا يمكن أن يكون الصفر بينهم - لأن الرقم المنتهي بصفر يقبل القسمة على 5 ، وهو ما لا يمكن الشك فيه بوجود قوة اثنين. ونظرًا لوجود أربعة أرقام زوجية فقط بدون صفر ، فإن طول الفترة لا يتجاوز 4.

يُظهر التحقق أن هذا هو الحال ، ويظهر التكرار على الفور تقريبًا: 1 ​​، 2 ، 4 ، 8 ، 6 ، 2 ، 4 ، 8 ، 6 ، ... - بما يتوافق تمامًا مع النظرية!

لا يقل نجاحًا عن تقدير طول فترة آخر زوج من الأرقام في تسلسل قوى من اثنين. نظرًا لأن جميع قوى العدد اثنين ، بدءًا من 2 2 ، قابلة للقسمة على 4 ، فإن الأرقام المكونة من آخر رقمين قابلة للقسمة أيضًا على 4. ليس أكثر من أرقام من رقمين، قابلة للقسمة على 4 ، يوجد 25 فقط (للأرقام المكونة من رقم واحد ، نعتبر الصفر هو الرقم قبل الأخير) ، ولكن يجب التخلص من خمسة أعداد تنتهي بصفر: 00 ، 20 ، 40 ، 60 و 80. إذن لا يمكن أن تحتوي النقطة على أكثر من 25-5 = 20 رقمًا. يظهر الشيك أن الفترة تبدأ بالرقم 2 2 وتحتوي على أزواج من الأرقام: 04 ، 08 ، 16 ، 32 ، 64 ، 28 ، 56 ، 12 ، 24 ، 48 ، 96 ، 92 ، 84 ، 68 ، 36 ، 72 ، 44 ، 88 ، 76 ، 52 ، ثم مرة أخرى 04 وهكذا.

وبالمثل ، يمكن للمرء أن يثبت أن طول الفترة الماضية ملا تتجاوز أرقام تسلسل قوى العدد اثنين 4 5 م-1 (علاوة على ذلك ، في الواقع ، هي مساوي ل 4 5 م–1 ، لكن إثبات ذلك أصعب بكثير).

لذلك ، يتم فرض قيود صارمة للغاية على الأرقام الأخيرة من قوى الرقمين. ماذا عن أولأعداد؟ هنا الوضع هو عكس ذلك تقريبا. اتضح أن ل أيمجموعة من الأرقام (أولها ليس صفرًا) هناك قوة من اثنين تبدأ بهذه المجموعة من الأرقام. وهذه القوى لاثنين كثير بلا حدود!على سبيل المثال ، هناك عدد لا حصر له من القوى لاثنين بدءًا من الأرقام 2012 أو ، على سبيل المثال ، 3،333،333،333،333،333،333،333.

وإذا أخذنا في الاعتبار رقمًا واحدًا أولًا فقط من قوى مختلفة لاثنين - ما هي القيم التي يمكن أن يأخذها؟ من السهل التأكد من أن أيًا - من 1 إلى 9 شامل (بالطبع ، لا يوجد صفر بينهم). ولكن أيها أكثر شيوعًا وأيها أقل شيوعًا؟ بطريقة ما ، ليس من الواضح على الفور سبب ظهور رقم واحد أكثر من الآخر. ومع ذلك ، تظهر انعكاسات أعمق أنه لا يمكن توقع حدوث نفس الأرقام. في الواقع ، إذا كان الرقم الأول من أي قوة اثنين هو 5 أو 6 أو 7 أو 8 أو 9 ، فسيكون الرقم الأول من الأس اثنين بعده بالضرورة وحدة!لذلك ، يجب أن يكون هناك "انحراف" ، على الأقل نحو الوحدة. لذلك ، من غير المحتمل أن تكون بقية الأرقام "ممثلة بالتساوي".

الممارسة (أي الحساب الحاسوبي المباشر للعشرات الأولى من عشرات الآلاف من القوى المكونة من اثنين) تؤكد شكوكنا. هذه هي النسبة النسبية للأرقام الأولى من قوى العدد اثنين ، مقربة إلى 4 منازل عشرية:

1 - 0,3010
2 - 0,1761
3 - 0,1249
4 - 0,0969
5 - 0,0792
6 - 0,0669
7 - 0,0580
8 - 0,0512
9 - 0,0458

كما ترى ، تتناقص هذه القيمة مع نمو الأرقام (وبالتالي فإن احتمالية أن تكون نفس الوحدة هي الرقم الأول لقوى اثنين على تسعة أكثر بحوالي 6.5 مرة). قد يبدو الأمر غريبًا ، ولكن من الناحية العملية ، ستحدث نفس النسبة من عدد الأرقام الأولى تقريبًا لأي تسلسل من الدرجات - ليس فقط اثنين ، ولكن ، على سبيل المثال ، ثلاثة وخمسة وثمانية وبشكل عام تقريبا أيالأرقام ، بما في ذلك الأرقام غير الصحيحة (الاستثناءات الوحيدة هي بعض الأرقام "الخاصة"). أسباب ذلك عميقة ومعقدة للغاية ، ولفهمها يجب على المرء أن يعرف اللوغاريتمات. لأولئك الذين هم على دراية بها ، دعنا نرفع الحجاب: اتضح أن الكسر النسبي للقوى لاثنين ، العشريالتي تبدأ برقم F(إلى عن على F= 1، 2، ...، 9) تساوي lg ( F+ 1) - إل جي ( F) ، حيث lg هو ما يسمى ب اللوغاريتم العشرييساوي الأس الذي يجب رفع الرقم 10 إليه للحصول على الرقم تحت علامة اللوغاريتم.

باستخدام الارتباط بين قوى اثنين وخمسة المذكورة أعلاه ، اكتشف A. Kanel ظاهرة مثيرة للاهتمام. دعنا نختار بضعة أرقام من تسلسل الأرقام الأولى لقوى اثنين (1 ، 2 ، 4 ، 8 ، 1 ، 3 ، 6 ، 1 ، 2 ، 5 ، ...) عقدواكتبها ترتيب عكسي. اتضح أن هذه الأرقام ستلتقي بالتأكيد أيضا على التوالي، بدءًا من مكان ما ، في تسلسل الأرقام الأولى للقوى الخمسة.

قوتان هي أيضًا نوع من "المولد" لإنتاج المشهور أعداد كاملة، والتي تساوي مجموع كل مقسوماتها ، باستثناء نفسها. على سبيل المثال ، يحتوي الرقم 6 على أربعة قواسم: 1 و 2 و 3 و 6. دعونا نتجاهل المقسوم الذي يساوي الرقم 6 نفسه. هناك ثلاثة قواسم متبقية ، مجموعها يساوي بالضبط 1 + 2 + 3 = 6. لذلك ، 6 هو رقم مثالي.

للحصول على رقم مثالي ، خذ قوتين متتاليتين من اثنين: 2 ن-1 و 2 ن. قلل أكبرها بمقدار 1 ، نحصل على 2 ن- 1. اتضح أنه إذا كان هذا عددًا أوليًا ، ثم نضربه في القوة السابقة لاثنين ، فإننا نشكل عددًا مثاليًا 2 ن –1 (2ن- واحد). على سبيل المثال ، متى ص= 3 نحصل على الأعداد الأصلية 4 و 8. بما أن 8-1 = 7 عدد أولي ، إذن 4 7 = 28 هو عدد مثالي. علاوة على ذلك ، أثبت ليونهارد أويلر ذات مرة أن كل شيء حتىتبدو الأرقام المثالية هكذا. لم يتم اكتشاف الأعداد المثالية الفردية بعد (وقليل من الناس يؤمنون بوجودها).

ترتبط سلطات اثنين ارتباطا وثيقا بما يسمى ب الأرقام الكاتالونية، التي يكون تسلسلها على الشكل 1 ، 1 ، 2 ، 5 ، 14 ، 42 ، 132 ، 429 ... غالبًا ما تظهر عند حل العديد من مشاكل اندماجية. على سبيل المثال ، في عدد الطرق التي يمكن أن يكون محدب ن- هل دخلت في مثلثات بأقطار غير متقاطعة؟ اكتشف أويلر نفسه أن هذه القيمة تساوي ( ن- 1) العدد الرابع للكتالونية (نشير إليه ك ن-1) ووجد ذلك ك ن = ك ن-أربعة عشرة ن – 6)/ن. يحتوي التسلسل الرقمي الكتالوني على العديد من الخصائص المثيرة للاهتمام ، وأحدها (يتعلق فقط بموضوع هذه المقالة) هو ذلك أرقام التسلسلكل الأرقام الفردية الكاتالونية هي قوى لاثنين!

غالبًا ما توجد صلاحيات اثنين في مشاكل مختلفة ، ليس فقط في الظروف ، ولكن أيضًا في الإجابات. خذ ، على سبيل المثال ، الشعبية مرة واحدة (والتي لا تزال غير منسية) برج هانوي. كان هذا هو اسم لعبة الألغاز التي تم اختراعها في القرن التاسع عشر. عالم رياضيات فرنسيإي لوكا. تحتوي على ثلاثة قضبان ، أحدها مهترئ نأقراص بها فتحة في منتصف كل منها. تختلف أقطار جميع الأقراص ، ويتم ترتيبها تنازليًا من أسفل إلى أعلى ، أي يكون القرص الأكبر في الأسفل (انظر الشكل). اتضح وكأنه برج من الأقراص.

يلزم نقل هذا البرج إلى قضيب آخر ، مع مراعاة القواعد التالية: تبديل الأقراص واحدًا تلو الآخر (إزالة القرص العلوي من أي قضيب) ودائمًا وضع القرص الأصغر فقط على القرص الأكبر ، ولكن ليس العكس. والسؤال هو: ما هو أقل عدد من الحركات المطلوبة لهذا؟ (نسمي الحركة إزالة قرص من قضيب ووضعه على قضيب آخر.) الإجابة: إنها تساوي 2 ن- 1 ، والتي يمكن إثباتها بسهولة عن طريق الاستقراء.

اسمحوا ل نالأقراص ، الحد الأدنى المطلوب لعدد الحركات هو X ن. لنجد X ن+1. في عملية العمل ، عاجلاً أم آجلاً ، سيكون من الضروري إزالة أكبر قرص من القضيب ، حيث تم وضع جميع الأقراص في الأصل. نظرًا لأنه لا يمكن وضع هذا القرص إلا على قضيب فارغ (وإلا فسوف "يضغط" لأسفل "على قرص أصغر ، وهو أمر محظور) ، فكل ما في الجزء العلوي نيجب نقل الأقراص إلى القضيب الثالث أولاً. هذا لن يتطلب أقل من ذلك X نالتحركات. بعد ذلك ، نقوم بنقل أكبر قرص إلى قضيب فارغ - وهذه حركة أخرى. أخيرًا ، من أجل "الضغط عليه" من أعلى مع أصغر نالأقراص ، مرة أخرى لن يستغرق الأمر أقل من ذلك X نالتحركات. لذا، X ن +1 ≥Xn + 1 + Xn = 2X ن+ 1. من ناحية أخرى ، توضح الإجراءات الموضحة أعلاه كيف يمكنك التعامل مع المهمة بالضبط 2 X ن+ 1 حركات. لذلك أخيرًا X ن +1 =2X ن+ 1. وردت علاقة تكرارية، ولكن من أجل جعلها في شكل "عادي" ، يجب أن نجد أيضًا Xواحد . حسنًا ، الأمر بهذه البساطة: X 1 = 1 (ببساطة لا يمكن أن يكون هناك أقل!). ليس من الصعب ، بناءً على هذه البيانات ، معرفة ذلك X ن = 2ن– 1.

إليكم تحدٍ آخر مثير للاهتمام:

ابحث عن جميع الأعداد الطبيعية التي لا يمكن تمثيلها كمجموع لعدة أعداد طبيعية متتالية (على الأقل اثنين).

دعنا نتحقق أولاً أصغر الأعداد. من الواضح أن الرقم 1 في شكل محددلا يمكن تصوره. لكن يمكن بالطبع تمثيل كل العناصر الفردية الأكبر من 1. في الواقع ، أي رقم زوجييمكن كتابة أكبر من 1 في صورة 2 ك + 1 (ك- طبيعي) ، وهو مجموع عددين طبيعيين متتاليين: 2 ك + 1 = ك + (ك + 1).

ماذا عن الأرقام الزوجية؟ من السهل ملاحظة أنه لا يمكن تمثيل الرقمين 2 و 4 بالشكل المطلوب. ربما هو نفسه بالنسبة لجميع الأرقام الزوجية؟ للأسف ، الرقم الزوجي التالي يدحض افتراضنا: 6 \ u003d 1 + 2 + 3. لكن الرقم 8 مرة أخرى لا يصلح. حقيقة، الأرقام القادمةمرة أخرى استسلم للهجوم: 10 = 1 + 2 + 3 + 4 ، 12 = 3 + 4 + 5 ، 14 = 2 + 3 + 4 + 5 ، لكن 16 مرة أخرى لا يمكن تصورها.

حسنًا ، تسمح لنا المعلومات المتراكمة باستخلاص استنتاجات أولية. يرجى ملاحظة: لا يمكن تقديمها في النموذج المحدد فقط قوى اثنين. هل هذا صحيح بالنسبة لبقية الأرقام؟ اتضح نعم! في الواقع ، ضع في اعتبارك مجموع كل الأعداد الطبيعية من مقبل نشاملة. نظرًا لوجود اثنين منهم على الأقل في المجموع ، إذن ن > م. كما هو معروف ، مجموع المصطلحات المتتالية المتوالية العددية(وهذا ما نتعامل معه!) يساوي حاصل ضرب نصف مجموع الحدين الأول والأخير وعددهما. نصف المجموع هو ( ن + م) / 2 ، وعدد الأعداد ن – م+ 1. إذن ، المجموع هو ( ن + م)(ن – م+ 1) / 2. لاحظ أن البسط يحتوي على عاملين ، كل منهما بدقة أكثر 1 ، وتكافؤهم مختلف. اتضح أن مجموع كل الأعداد الطبيعية من مقبل نالشامل يقبل القسمة على عدد فردي أكبر من 1 ، وبالتالي لا يمكن أن يكون قوة اثنين. من الواضح الآن لماذا لم يكن من الممكن تمثيل قوى العدد اثنين في الشكل الصحيح.

يبقى للتأكد من ذلك لا قوة اثنينيمكن تخيله. بالنسبة للأرقام الفردية ، فقد تعاملنا معها بالفعل أعلاه. خذ أي عدد زوجي ليس من أس اثنين. دع أكبر قوة 2 قابلة للقسمة على 2 أ (أ- طبيعي). ثم إذا كان الرقم مقسومًا على 2 أ، سوف تفعل ذلك بالفعل الفرديةعدد أكبر من 1 ، والذي سنكتبه بصيغة مألوفة - مثل 2 ك+ 1 (ك- طبيعي أيضًا). إذن ، بشكل عام ، العدد الزوجي ، الذي لا يساوي أس اثنين ، هو 2 أ (2ك+ 1). لنلقِ نظرة الآن على خيارين:

1. 2 أ+1 > 2ك+ 1. خذ المجموع 2 ك+ 1 عدد طبيعي متتالي ، معدلمنها يساوي 2 أ. من السهل رؤية ذلك بعد ذلك الأقلمنها يساوي 2 أ-ك، والأكبر هو 2 أ + ك، والأصغر (وبالتالي ، كل الآخرين) إيجابي ، أي طبيعي حقًا. حسنًا ، من الواضح أن المجموع هو 2 فقط أ(2ك + 1).
2. 2 أ+1 < 2ك+ 1. خذ المجموع 2 أ+1 أعداد طبيعية متتالية. لا يمكن تحديدها هنا. معدلالرقم ، لأن عدد الأرقام زوجي ، لكن أشر زوجان من المتوسطيمكنك أن تكون أرقامًا: اجعلها أرقامًا كو ك+ 1. بعد ذلك الأقلمن كل الأرقام ك+ 1 – 2أ(وأيضًا موجب!) والأكبر يساوي ك+ 2أ. مجموعهم أيضًا 2 أ(2ك + 1).

هذا كل شئ. إذن ، الجواب هو: الأعداد غير القابلة للتمثيل هي قوى لاثنين ، وهم فقط.

وهنا مشكلة أخرى (تم اقتراحها لأول مرة من قبل V. Proizvolov ، ولكن بصيغة مختلفة قليلاً):

قطعة أرض الحديقة محاطة بسياج صلب من ألواح N. بأمر من العمة بولي ، توم سوير يبيض السياج ، لكن النظام الخاص: التحرك في اتجاه عقارب الساعة طوال الوقت ، أولاً يبيض لوحًا عشوائيًا ، ثم يتخطى أحد الألواح ويبيض اللوح التالي ، ثم يتخطى لوحين ويبيض اللوح التالي ، ثم يتخطى ثلاثة ألواح ويبيض اللوح التالي ، وهكذا ، في كل مرة يتم تخطي لوح آخر (مع بعض الألواح يمكن تبييضها عدة مرات - هذا لا يزعج توم).

يعتقد توم أنه بموجب مثل هذا المخطط ، سيتم تبييض جميع الألواح عاجلاً أم آجلاً ، وتأكد العمة بولي من أن لوحة واحدة على الأقل ستبقى غير بيضاء ، بغض النظر عن مقدار عمل توم. تحت أي N هو توم على حق ، وتحت ما هي العمة بولي؟

يبدو نظام التبييض الموصوف فوضويًا إلى حد ما ، لذلك قد يبدو في البداية أنه لأي (أو تقريباأي) نسيحصل كل لوح في يوم من الأيام على نصيبه من الجير ، أي خاصة، صحيح توم. لكن الانطباع الأول خادع ، لأن توم في الحقيقة مناسب فقط للقيم ن، وهي قوى لاثنين. للاخرين نهناك لوحة ستبقى غير بيضاء إلى الأبد. إن إثبات هذه الحقيقة مرهق إلى حد ما (على الرغم من أنه ليس صعبًا من حيث المبدأ). ندعو القارئ للقيام بذلك بنفسه.

هذا ما هم عليه - قوى لاثنين. يبدو أبسط من بسيط ، لكن أثناء الحفر ... وهنا لم نتطرق إلى جميع الخصائص المذهلة والغامضة لهذا التسلسل ، ولكن فقط تلك التي لفتت انتباهنا. حسنًا ، يُمنح القارئ الحق في مواصلة البحث بشكل مستقل في هذا المجال. لا شك أنها ستكون مثمرة.

رقم صفر).
وليس فقط التعادل ، كما أشرنا سابقاً!
متعطشًا لمزيد من التفاصيل ، يمكنك قراءة مقال ف. Boltyansky "هل غالبًا ما تبدأ قوى الاثنين بواحد؟" ("Quantum" رقم 5 ، 1978) ، بالإضافة إلى مقال بقلم V.
انظر المشكلة M1599 من كتاب مشاكل "Kvant" ("Kvant" رقم 6 لعام 1997).
حاليًا ، يُعرف 43 رقمًا مثاليًا ، أكبرها هو 2 30402456 (2 30402457 - 1). يحتوي على أكثر من 18 مليونأرقام.

جدول القوى 2 (اثنان) من 0 إلى 32

يوضح الجدول أعلاه ، بالإضافة إلى قوة اثنين ، الحد الأقصى للأرقام التي يمكن لجهاز الكمبيوتر تخزينها لعدد معين من البتات. وكلاهما للأعداد الصحيحة والأرقام مع علامة.

تاريخيا ، استخدمت أجهزة الكمبيوتر نظام الأرقام الثنائية ، وبالتالي تخزين البيانات. وبالتالي ، يمكن تمثيل أي رقم كسلسلة من الأصفار والآحاد (أجزاء من المعلومات). هناك عدة طرق لتمثيل الأرقام كتسلسل ثنائي.

فكر في أبسطها - هذا عدد صحيح موجب. ثم ماذا رقم أكثرنحتاج إلى الكتابة ، كلما زاد طول تسلسل البتات الذي نحتاجه.

في الأسفل يكون جدول القوى رقم 2. سيعطينا تمثيلاً للعدد المطلوب من البتات التي نحتاجها لتخزين الأرقام.

كيف تستعمل جدول قوى اثنين?

العمود الأول هو طاقة اثنين، والتي تشير في نفس الوقت إلى عدد البتات التي تمثل الرقم.

العمود الثاني - القيمة اثنان للقوة المقابلة (ن).

مثال على إيجاد قوة الرقم 2. نجد الرقم 7 في العمود الأول ، وننظر على طول الخط إلى اليمين ونوجد القيمة اثنان الى القوة السابعة(2 7) هي 128

العمود الثالث - العدد الأقصى الذي يمكن تمثيله بعدد معين من البتات(في العمود الأول).

مثال على تحديد الحد الأقصى لعدد صحيح بدون إشارة. باستخدام البيانات من المثال السابق ، نعلم أن 2 7 = 128. هذا صحيح إذا أردنا أن نفهم ماذا كمية الأرقام، يمكن تمثيلها باستخدام سبع بتات. لكن منذ الرقم الأول هو صفر، فإن أقصى عدد يمكن تمثيله باستخدام سبع بتات هو 128-1 = 127. هذه هي قيمة العمود الثالث.

قوة اثنين (ن)	قوة من قيمة اثنين 2 ن	أقصى عدد غير موقع ، مكتوب مع ن بت	العدد الأقصى الموقّع ، مكتوب مع ن بت
0	1	-	-
1	2	1	-
2	4	3	1
3	8	7	3
4	16	15	7
5	32	31	15
6	64	63	31
7	128	127	63
8	256	255	127
9	512	511	255
10	1 024	1 023	511
11	2 048	2 047	1023
12	40 96	4 095	2047
13	8 192	8 191	4095
14	16 384	16 383	8191
15	32 768	32 767	16383
16	65 536	65 535	32767
17	131 072	131 071	65 535
18	262 144	262 143	131 071
19	524 288	524 287	262 143
20	1 048 576	1 048 575	524 287
21	2 097 152	2 097 151	1 048 575
22	4 194 304	4 194 303	2 097 151
23	8 388 608	8 388 607	4 194 303
24	16 777 216	16 777 215	8 388 607
25	33 554 432	33 554 431	16 777 215
26	67 108 864	67 108 863	33 554 431
27	134 217 728	134 217 727	67 108 863
28	268 435 456	268 435 455	134 217 727
29	536 870 912	536 870 911	268 435 455
30	1 073 741 824	1 073 741 823	536 870 911
31	2 147 483 648	2 147 483 647	1 073 741 823
32	4 294 967 296	4 294 967 295	2 147 483 647