نظرية الحد المركزي للدمى. نموذج إحصائي لعملية الوحدة

بالإضافة إلى النظريات المتعلقة بقانون الأعداد الكبيرة ، هناك مجموعة أخرى من النظريات التي تشكل ما يسمى بنظرية الحد المركزي. تحدد مجموعة النظريات هذه الظروف التي ينشأ بموجبها قانون التوزيع الطبيعي. مثل هذه الشروط شائعة جدًا في الممارسة ، والتي ، في الواقع ، هي التفسير لحقيقة أن القانون العادي يستخدم غالبًا في الظواهر العشوائية في الممارسة. يتمثل الاختلاف بين أشكال نظرية الحد المركزي في صياغة شروط مختلفة مفروضة على مجموع المتغيرات العشوائية المدروسة. المكان الأكثر أهمية بين كل هذه الأشكال ينتمي إلى نظرية Lyapunov.

نظرية ليابونوف.اذا كان X 1 , X 2 , … , X n هي متغيرات عشوائية مستقلة ذات توقعات وتباينات رياضية محدودة ، بينما لا تختلف أي من القيم بشكل حاد عن جميع القيم الأخرى في قيمتها ، أي له تأثير ضئيل على مجموع هذه الكميات ، ثم مع زيادة غير محدودة في عدد المتغيرات العشوائية ن، فإن قانون توزيع مجموعها إلى أجل غير مسمى يقترب من المعدل الطبيعي.

عاقبة.إذا كانت جميع المتغيرات عشوائية X 1 , X 2 , … , Xيتم توزيع n بالتساوي ، ثم يقترب قانون توزيع مجموعهم إلى أجل غير مسمى من القانون العادي مع زيادة غير محدودة في عدد المصطلحات.

نظرية ليابونوف ذات أهمية عملية كبيرة. من الناحية التجريبية ، وجد أن التقريب مع القانون العادي سريع جدًا. وفقًا لشروط نظرية Lyapunov ، يمكن اعتبار قانون توزيع مجموع حتى عشرة شروط أمرًا طبيعيًا.

هناك شكل أكثر تعقيدًا وعمومية من نظرية ليابونوف.

نظرية ليابونوف العامة.اذا كان X 1 , X 2 , … , X n متغيرات عشوائية مستقلة مع توقعات رياضية أط ، الفروق σ 2 ط ، لحظات مركزية من الدرجة الثالثة رانا و

ثم قانون توزيع المجموع X 1 + X 2 + … + Xن في نيقترب من الطبيعي إلى أجل غير مسمى مع التوقع والتشتت .

معنى الشرط (2.1) هو أنه في مجموع المتغيرات العشوائية لن يكون هناك مصطلح واحد يكون تأثيره على تشتت مجموع المتغيرات كبيرًا بشكل كبير مقارنة بتأثير جميع المتغيرات العشوائية الأخرى. بالإضافة إلى ذلك ، لا ينبغي أن يكون هناك عدد كبير من المصطلحات التي يكون تأثيرها على تشتت المجموع صغيرًا جدًا مقارنة بالتأثير الكلي للباقي.

كانت إحدى أقدم أشكال نظرية الحد المركزي هي نظرية لابلاس.

نظرية لابلاس.دعها تنتج نتجارب مستقلة ، في كل منها حدث لكنيظهر مع احتمال ص، ثم على نطاق واسع نالمساواة التقريبية

(2.2)

أين ص n هو عدد تكرارات الحدث لكنفي نالتجارب. ف=1-ص؛ F( X) هي وظيفة لابلاس.

تسمح نظرية لابلاس للفرد بالعثور على احتمالات قيم المتغيرات العشوائية الموزعة ذات الحدين للقيم الكبيرة للكمية ن. ومع ذلك ، في نفس الوقت ، الاحتمال صيجب ألا تكون صغيرة بما يكفي ولا كبيرة بما فيه الكفاية.

بالنسبة للمشاكل العملية ، غالبًا ما تتم كتابة الصيغة (2.2) في شكل آخر ، وهي

(2.3)

مثال 2.1. الآلة تعطي نوبة ن= 1000 عنصر ، 3٪ منها معيبة في المتوسط. ابحث عن الاحتمال التقريبي بأنه سيتم إنتاج ما لا يقل عن 950 منتجًا جيدًا (بدون عيوب) أثناء التحول ، إذا تبين أن المنتجات جيدة بشكل مستقل عن بعضها البعض.

المحلول . يترك ص- عدد المنتجات الجيدة. حسب المهمة ص= 1-0.03 = 0.97 ؛ عدد التجارب المستقلة ن= 1000. نطبق الصيغة (2.3):

مثال 2.2, في ظروف المثال السابق ، اكتشف عدد المنتجات الجيدة كيجب أن يحتوي على الصندوق بحيث لا يتجاوز احتمال تجاوزه في وردية واحدة 0.02.

المحلول . يتضح من الشرط أن . ابحث عن الرقم من هذا الشرط ك. نملك
، بمعنى آخر. .

وفقًا لجدول دالة لابلاس ، نجد أن الوسيطة تساوي 2.07 بقيمة 0.48. نحن نحصل
. ■

مثال 2.3. في أحد البنوك ، يقف 16 شخصًا عند مكتب نقدي معين لتلقي مبالغ معينة من المال. يوجد حاليًا 4000 دن في شباك التذاكر هذا. الوحدات مسائل حسابية Xأنا ، والتي يجب دفعها لكل من 20 شخصًا ، هي متغيرات عشوائية ذات توقع رياضي ر= 160 وحدة نقدية والانحراف المعياري σ = 70 دن. أوجد احتمالية عدم وجود نقود كافية في درج النقود للدفع للجميع في الطابور.

المحلول . نحن نطبق نظرية Lyapunov للمتغيرات العشوائية الموزعة بشكل متماثل. القيمة ن= 20 يمكن اعتبارها كبيرة جدًا ، وبالتالي ، المبلغ الإجمالي للمدفوعات ص= X 1 + X 2 + … + Xيمكن اعتبار الرقم 16 متغيرًا عشوائيًا موزعًا وفقًا للقانون العادي مع توقع رياضي رص = NT= 20 160 = 3200 وانحراف معياري.

نظريات الحد في نظرية الاحتمالات

عدم المساواة في Chebyshev

دعونا نفكر في عدد من العبارات والنظريات من مجموعة كبيرة مما يسمى نظريات الحد لنظرية الاحتمالات ، وإنشاء علاقة بين الخصائص النظرية والتجريبية للمتغيرات العشوائية مع عدد كبير من الاختبارات عليها. إنهم يشكلون أساس الإحصاء الرياضي. تنقسم نظريات النهاية تقليديًا إلى مجموعتين. المجموعة الأولى من النظريات ، ودعا قانون الأعداد الكبيرة، يؤسس استقرار القيم المتوسطة ، أي مع عدد كبير من التجارب ، يتوقف متوسط ​​نتيجتها عن أن تكون عشوائية ويمكن التنبؤ بها بدقة كافية. المجموعة الثانية من النظريات ، ودعا حد مركزي، يحدد الشروط التي بموجبها يقترب قانون توزيع مجموع عدد كبير من المتغيرات العشوائية من المتغيرات العادية إلى أجل غير مسمى.

أولاً ، ضع في اعتبارك عدم المساواة Chebyshev ، والتي يمكن استخدامها من أجل: أ) التقدير التقريبي لاحتمالات الأحداث المرتبطة بالمتغيرات العشوائية التي يكون توزيعها غير معروف ؛ ب) البراهين لعدد من نظريات قانون الأعداد الكبيرة.

نظرية 7.1. إذا كان المتغير العشوائي Xلديه توقع وتباين رياضي DX، ثم عدم المساواة Chebyshev

.

(7.1)

لاحظ أنه يمكن كتابة عدم المساواة Chebyshev في شكل آخر:

إلى عن على التردداتأو الأحداث في نتجارب مستقلة ، يمكن أن تحدث في كل منها باحتمالية ، الذي هو الاختلاف ، فإن عدم المساواة Chebyshev لها الشكل

يمكن إعادة كتابة عدم المساواة (7.5) كـ

.

(7.6)

مثال 7.1.باستخدام متباينة Chebyshev ، تقدير احتمالية انحراف متغير عشوائي Xمن توقعه الرياضي سيكون أقل من ثلاثة انحرافات معيارية ، أي أقل .

المحلول:

بافتراض الصيغة (7.2) ، نحصل عليها

هذا التقييم يسمى ثلاثة حكم سيجما.

نظرية تشيبيشيف

البيان الرئيسي لقانون الأعداد الكبيرة موجود في نظرية تشيبيشيف. في ذلك وغيره من نظريات قانون الأعداد الكبيرة ، يتم استخدام مفهوم "تقارب المتغيرات العشوائية في الاحتمالية".

المتغيرات العشوائية تتلاقى في الاحتمالاتإلى القيمة A (عشوائي أو غير عشوائي) ، إذا كان هناك احتمال لحدوث أي حدث في يميل إلى الوحدة ، أي

(أو ). التقارب في الاحتمال مكتوب بشكل رمزي على النحو التالي:

تجدر الإشارة إلى أن تقارب في الاحتمالاتيتطلب أن عدم المساواة عقد بالنسبة للغالبية العظمى من الأعضاءالمتتاليات (في التحليل الرياضي - للجميع ن> ن، أين ن- رقم معين) ، ولجميع أعضاء التسلسل تقريبًا يجب أن يقعوا فيه ε- حي لكن.

نظرية 7.3 (قانون الأعداد الكبيرة على شكل PL Chebyshev). إذا كانت المتغيرات عشوائية مستقلة وهناك رقم ج> 0 ، ثم لأي

,

(7.7)

أولئك. يتقارب المتوسط ​​الحسابي لهذه المتغيرات العشوائية في الاحتمالية مع المتوسط ​​الحسابي لتوقعاتهم الرياضية:

.

دليل - إثبات. منذ ذلك الحين

.

ثم ، بتطبيق متباينة Chebyshev (7.2) على المتغير العشوائي ، لدينا

أولئك. يتقارب المتوسط ​​الحسابي للمتغيرات العشوائية في الاحتمال مع التوقع الرياضي أ:

دليل - إثبات. لان

وتباينات المتغيرات العشوائية ، أي محدودة ، ثم تطبيق نظرية تشيبيشيف (7.7) ، نحصل على تأكيد (7.9).

تبرر النتيجة الطبيعية لنظرية تشيبيشيف مبدأ "الوسط الحسابي" للمتغيرات العشوائية Х طتستخدم باستمرار في الممارسة. نعم ، دعها تنجز نقياسات مستقلة لبعض الكمية ، القيمة الحقيقية لها أ(غير معروف). نتيجة كل قياس متغير عشوائي Х ط. وفقًا للنتيجة الطبيعية ، كقيمة تقريبية للكمية أيمكنك أخذ المتوسط ​​الحسابي لنتائج القياس:

.

المساواة هي الأكثر دقة ، أكثر ن.

تستند نظرية تشيبيشيف أيضًا إلى النظرية المستخدمة على نطاق واسع في الإحصاء طريقة أخذ العينات، وجوهرها هو أنه يمكن الحكم على جودة كمية كبيرة من المواد المتجانسة من خلال عينتها الصغيرة.

تؤكد نظرية تشيبيشيف العلاقة بين العشوائية والضرورة: متوسط ​​قيمة المتغير العشوائي لا يختلف عمليًا عن المتغير غير العشوائي.

نظرية برنولي

نظرية برنولي هي تاريخيًا الشكل الأول والأبسط لقانون الأعداد الكبيرة. إنه يثبت نظريًا خاصية الاستقرار للتردد النسبي.

نظرية 7.4 (قانون الأعداد الكبيرة في شكل J. Bernoulli). إذا كان احتمال وقوع حدث لكنفي اختبار واحد ص، عدد مرات حدوث هذا الحدث في نالمحاكمات المستقلة مساوية ، إذن لأي عدد لدينا المساواة

,

(7.10)

أي التكرار النسبي للحدث لكنيتقارب في الاحتمال إلى الاحتمال صالتطورات لكن: .

دليل - إثبات. نقدم متغيرات عشوائية على النحو التالي: إذا كان في أنا- المحاولة الثالثة حدث ما لكن، وإذا لم يظهر ، إذن. ثم الرقم لكن(عدد حالات النجاح) يمكن تمثيلها كـ

التوقع الرياضي والتباين للمتغيرات العشوائية هي: ،. قانون توزيع المتغيرات العشوائية X i له الشكل

Х ط
ص		ص

لأي أنا. وهكذا ، المتغيرات العشوائية X طمستقلة ، وتقتصر الفروق على نفس العدد ، منذ ذلك الحين

.

لذلك ، يمكن تطبيق نظرية تشيبيشيف على هذه المتغيرات العشوائية

.

,

بالتالي، .

تثبت نظرية برنولي نظريًا إمكانية الحساب التقريبي لاحتمال وقوع حدث باستخدام تردده النسبي. لذلك ، على سبيل المثال ، يمكن اعتبار التكرار النسبي لهذا الحدث على أنه احتمال إنجاب فتاة ، والتي ، وفقًا للبيانات الإحصائية ، تساوي تقريبًا 0.485.

عدم مساواة Chebyshev (7.2) للمتغيرات العشوائية

يأخذ الشكل

أين بي- احتمالية الحدث لكنفي أنا-م الاختبار.

مثال 7.2.احتمال حدوث خطأ مطبعي في صفحة واحدة من المخطوطة هو 0.2. قدّر احتمال أنه في مخطوطة تحتوي على 400 صفحة ، يختلف تكرار حدوث خطأ مطبعي عن معامل الاحتمال المقابل الذي يقل عن 0.05.

المحلول:

نستخدم الصيغة (7.11). في هذه الحالة ، ، ، . لدينا أي .

نظرية الحد المركزي

نظرية الحد المركزي هي المجموعة الثانية من نظريات النهاية التي تؤسس صلة بين قانون توزيع مجموع المتغير العشوائي وشكله المحدد - قانون التوزيع العادي.

دعونا نصيغ نظرية النهاية المركزية للحالة عندما يكون لشروط المجموع نفس التوزيع. غالبًا ما تستخدم هذه النظرية في الممارسة. في الإحصاء الرياضي ، تحتوي عينة المتغيرات العشوائية على نفس التوزيعات ، حيث يتم الحصول عليها من نفس السكان.

نظرية 7.5. دع المتغيرات العشوائية تكون مستقلة ، وموزعة بالتساوي ، ولها توقع وتباين رياضي محدود ،. ثم تميل دالة التوزيع للمجموع المركز والمعاير لهذه المتغيرات العشوائية إلى دالة التوزيع للمتغير العشوائي العادي القياسي.

نظرًا لأن العديد من المتغيرات العشوائية في التطبيقات تتشكل تحت تأثير العديد من العوامل العشوائية الضعيفة ، فإن توزيعها يعتبر طبيعيًا. في هذه الحالة ، يجب ملاحظة الشرط الذي لا يسود فيه أي من العوامل. تبرر نظريات الحد المركزي في هذه الحالات تطبيق التوزيع الطبيعي.

موسوعي يوتيوب

• 1 / 5

  يجب أن يكون هناك تسلسل لا نهائي من المتغيرات العشوائية المستقلة الموزعة بشكل متماثل مع توقع وتباين رياضي محددين. دلالة على الماضي µ (displaystyle mu)و σ 2 (displaystyle sigma ^ (2))، على التوالى. واسمحوا أيضا

  . S n - μ n σ n → N (0، 1) (\ displaystyle (\ frac (S_ (n) - \ mu n) (\ sigma (\ sqrt (n)))) \ to N (0،1) )عن طريق التوزيع في ،

  أين N (0، 1) (displaystyle N (0،1))- التوزيع الطبيعي بدون توقع رياضي وانحراف معياري يساوي واحدًا. دلالة على متوسط ​​العينة للأول n (displaystyle n)الكميات ، وهذا هو X ¯ n = 1 n ∑ i = 1 n X i (displaystyle (bar (X)) _ (n) = (frac (1) (n)) sum limits _ (i = 1) ^ ( ن) X_ (i))، يمكننا إعادة كتابة نتيجة نظرية النهاية المركزية بالشكل التالي:

  n X ¯ n - μ σ → N (0، 1) (displaystyle (sqrt (n)) (frac ((bar (X)) _ (n) - mu) (sigma)) to ن (0،1))حسب التوزيع في n → ∞ (displaystyle n to infty).

  يمكن تقدير معدل التقارب باستخدام متباينة بيري إيسين.

  ملاحظات

  • بشكل غير رسمي ، تنص نظرية الحد المركزي الكلاسيكي على أن المجموع n (displaystyle n)المتغيرات العشوائية المستقلة الموزعة بشكل مماثل لها توزيع قريب من N (n μ، n σ 2) (displaystyle N (n mu، n sigma ^ (2))). على قدم المساواة ، X¯n (displaystyle (bar (X)) _ (n))لديه توزيع قريب من N (μ، σ 2 / n) (displaystyle N (mu، sigma ^ (2) / n)).
  • نظرًا لأن دالة التوزيع للتوزيع العادي القياسي مستمرة ، فإن التقارب مع هذا التوزيع يعادل التقارب النقطي لوظائف التوزيع إلى دالة التوزيع للتوزيع العادي القياسي. وضع Z n = S n - μ n σ n (displaystyle Z_ (n) = (frac (S_ (n) - mu n) (sigma (sqrt (n)))))، نحن نحصل F Z n (x) → Φ (x)، ∀ x ∈ R (\ displaystyle F_ (Z_ (n)) (x) \ to Phi (x)، \؛ forall x \ in mathbb (R))، أين Φ (س) (displaystyle Phi (x))هي دالة التوزيع للتوزيع العادي القياسي.
  • تم إثبات الصياغة الكلاسيكية لنظرية الحد المركزي من خلال طريقة الوظائف المميزة (نظرية استمرارية ليفي).
  • بشكل عام ، لا يتبع تقارب الكثافات تقارب وظائف التوزيع. ومع ذلك ، في هذه الحالة الكلاسيكية ، هذا هو الحال.

  محلي C.P.T.

  في ظل افتراضات الصيغة الكلاسيكية ، افترض بالإضافة إلى ذلك أن توزيع المتغيرات العشوائية (X i) i = 1 ∞ (displaystyle (X_ (i)) _ (i = 1) ^ (infty))مستمر تمامًا ، أي أنه يحتوي على كثافة. ثم يكون التوزيع أيضًا مستمرًا تمامًا ، علاوة على ذلك ،

  و Z n (x) → 1 2 π e - x 2 2 (displaystyle f_ (Z_ (n)) (x) to (frac (1) (sqrt (2 pi))) ، e ^ (- (\ frac (x ^ (2)) (2))))في n → ∞ (displaystyle n to infty),

  أين و Z n (x) (displaystyle f_ (Z_ (n)) (x))- كثافة المتغير العشوائي ض n (displaystyle Z_ (n))، وعلى الجانب الأيمن توجد كثافة التوزيع الطبيعي القياسي.

  التعميمات

  تكون نتيجة نظرية الحد المركزي الكلاسيكي صالحة للحالات الأكثر عمومية من الاستقلال التام والتوزيع المتساوي.

  سي بي تي لينديبرج

  دع المتغيرات العشوائية المستقلة X 1،…، X n،… (displaystyle X_ (1) ، ldots ، X_ (n) ، ldots)يتم تعريفها على نفس مساحة الاحتمال ولديها توقعات وتباينات رياضية محدودة: E [X i] = μ i، D [X i] = σ i 2 (\ displaystyle \ mathbb (E) = mu _ (i)، \؛ mathrm (D) = sigma _ (i) ^ ( 2)).

  يترك S n = ∑ i = 1 n X i (displaystyle S_ (n) = sum limits _ (i = 1) ^ (n) X_ (i)).

  ثم E [S n] = m n = ∑ i = 1 n μ i، D [S n] = s n 2 = ∑ i = 1 n σ i 2 (\ displaystyle \ mathbb (E) = m_ (n) = sum \ حدود _ (i = 1) ^ (n) \ mu _ (i) ، \ ؛ \ mathrm (D) = s_ (n) ^ (2) = \ sum \ limits _ (i = 1) ^ (n) \ سيجما _ (ط) ^ (2)).

  ودعها تعمل حالة Lindeberg:

  ∀ ε> 0، lim n → ∞ ∑ i = 1 n E [(X i - μ i) 2 s n 2 1 (| X i - μ i |> ε s n)] = 0، (displaystyle forall varepsilon > 0، \؛ \ lim \ limits _ (n \ to \ infty) \ sum \ limits _ (i = 1) ^ (n) \ mathbb (E) \ left [(\ frac ((X_ (i) - \ mu _ (i)) ^ (2)) (s_ (n) ^ (2))) \، \ mathbf (1) _ (\ (| X_ (i) - \ mu _ (i) |> \ varepsilon s_ (n) \)) \ right] = 0،)

  أين 1 (| X i - μ i |> ε s n) (displaystyle mathbf (1) _ ((| X_ (i) - mu _ (i) |> varepsilon s_ (n))))وظيفة - مؤشر.

  حسب التوزيع في n → ∞ (displaystyle n to infty).

  Ts. P. T. Lyapunova

  دع الافتراضات الأساسية لـ Ts. P. T. Lindeberg تتحقق. دع المتغيرات العشوائية (X i) (displaystyle (X_ (i)))لديك لحظة ثالثة محدودة. ثم التسلسل

  r n 3 = ∑ i = 1 n E [| X i - μ i | 3] (displaystyle r_ (n) ^ (3) = sum _ (i = 1) ^ (n) mathbb (E) left [| X_ (i) - mu _ (i) | ^ (3 )\حقا]).

  إذا حد

  lim n → ∞ r n s n = 0 (displaystyle lim limits _ (n to infty) (frac (r_ (n)) (s_ (n))) = 0) (شرط ليابونوف), S n - m n s n → N (0، 1) (\ displaystyle (\ frac (S_ (n) -m_ (n)) (s_ (n))) to N (0،1))حسب التوزيع في n → ∞ (displaystyle n to infty).

  CPT لمارتينجاليس

  دع هذه العملية (X n) n ∈ N (displaystyle (X_ (n)) _ (n in mathbb (N)))هو مارتينجال بزيادات محدودة. على وجه الخصوص ، دعونا نفترض ذلك

  E [X n + 1 - X n ∣ X 1،…، X n] = 0، n ∈ N، X 0 ≡ 0، (displaystyle mathbb (E) left = 0،؛ n in mathbb (N) ، \ ؛ X_ (0) \ equiv 0 ،)

  والزيادات محدودة بشكل موحد ، أي

  ∃ C> 0 ∀ n ∈ N | X n + 1 - X n | ≤ ج (displaystyle موجود C> 0 ، forall n in mathbb (N) ؛ | X_ (n + 1) -X_ (n) | leq C) τ n = min (k | ∑ i = 1 k σ i 2 ≥ n) (displaystyle tau _ (n) = min left (k left vert ؛ sum _ (i = 1) ^ (k) \ sigma _ (i) ^ (2) \ geq n \ right. \ right \)). X τ n n → N (0، 1) (\ displaystyle (\ frac (X _ (\ tau _ (n))) (\ sqrt (n))) \ to N (0،1))حسب التوزيع في n → ∞ (displaystyle n to infty).

  تشارلز ويلانفصل من كتاب
  دار النشر "مان وإيفانوف وفيربر"

  أخيرًا ، حان الوقت لتلخيص ما قيل. نظرًا لأن متوسط ​​العينة يتم توزيعه بشكل طبيعي (بفضل نظرية الحد المركزي) ، يمكننا الاستفادة من الإمكانات الغنية لمنحنى الجرس. نتوقع أن ما يقرب من 68 ٪ من متوسط ​​جميع العينات سيكون ضمن خطأ معياري واحد من متوسط ​​السكان ؛ 95٪ - على مسافة لا تتجاوز خطأين معياريين ؛ و 99.7٪ - على مسافة لا تتجاوز ثلاثة أخطاء معيارية.

  

  الآن دعنا نعود إلى الانحراف (التشتت) في المثال مع الحافلة المفقودة - ومع ذلك ، هذه المرة سوف نطلب المساعدة ليس الحدس ، ولكن الأرقام. (في حد ذاته ، يظل هذا المثال سخيفًا ؛ في الفصل التالي ، سننظر في العديد من الحالات الأكثر واقعية.) لنفترض أن منظمي دراسة "Changing Lives" الأمريكية دعوا جميع المشاركين فيها إلى بوسطن لقضاء عطلة نهاية الأسبوع للاستمتاع وفي قدم في نفس الوقت بعض البيانات المفقودة: يتم تعيين المشاركين بشكل عشوائي في الحافلات ونقلهم إلى مركز الاختبار ، حيث سيتم وزنهم وقياس ارتفاعهم ، وما إلى ذلك. مما أثار استياء منظمي الحدث ، اختفاء إحدى الحافلات في مكان ما في الطريق إلى مركز الاختبار. في نفس الوقت تقريبًا ، عند العودة في سيارتك من مهرجان السجق ، لاحظت أن حافلة تعطلت على جانب الطريق ، ويبدو أن سائقها اضطر إلى الانحراف في محاولة تجنب الأيل الذي ظهر فجأة على الطريق.من هذه المناورة الحادة ، فقد جميع الركاب وعيهم أو فقدوا موهبة الكلام ، على الرغم من عدم وجود أي منهم ، للأسف astya ، لم يصاب بجروح خطيرة. (أحتاج إلى إجراء هذا الافتراض فقط من أجل الوضوح في المثال هنا ، والأمل في ألا يصاب الركاب بجروح خطيرة يرجع إلى عملي الخيري الفطري.) قال لك أطباء الإسعاف الذين وصلوا على الفور إلى مكان الحادث أن متوسط ​​وزن الحافلة 62 راكباً 194 جنيهاً. بالإضافة إلى ذلك ، اتضح (مما يبعث على الارتياح الشديد لجميع محبي الحيوانات) أن الأيائل ، التي حاول سائق الحافلة مراوغتها ، لم يصب بأذى عمليًا (باستثناء كدمة طفيفة في الساق الخلفية) ، ولكنه فقد وعيه أيضًا من خوف شديد ويقع بجوار الحافلة.

  لحسن الحظ ، تعرف متوسط ​​وزن ركاب الحافلة ، بالإضافة إلى الانحراف المعياري لجميع سكان الأمريكيين "تغيير الحياة. بالإضافة إلى ذلك ، لدينا فهم عام لنظرية الحد المركزي ونعرف كيفية تقديم الإسعافات الأولية إلى حيوان مصاب: متوسط ​​وزن المشاركين في الدراسة الأمريكية "تغيير الحياة 162 رطلاً". الانحراف المعياري هو 36. بناءً على هذه المعلومات ، يمكنك حساب الخطأ المعياري لعينة من 62 شخصًا (عدد ركاب الحافلة الذين أغمي عليهم):.

  الفرق بين متوسط ​​هذه العينة (194 رطلاً) والمتوسط ​​السكاني (162 رطلاً) هو 32 رطلاً ، أي أكثر من ثلاثة أخطاء قياسية. من نظرية الحد المركزي ، أنت تعلم أن 99.7٪ من متوسط ​​جميع العينات سيكون ضمن ثلاثة أخطاء معيارية لمتوسط ​​المحتوى. وبالتالي ، فمن غير المرجح أن تحمل الحافلة التي تصادفها مجموعة من المشاركين في دراسة تغيير حياة الأمريكيين. بصفتك ناشطًا مجتمعيًا بارزًا في المدينة ، يمكنك الاتصال بمنظمي الحدث للإبلاغ عن وجود مجموعة أخرى من الأشخاص على الأرجح في الحافلة التي تصادفها. ومع ذلك ، في هذه الحالة ، يمكنك الاعتماد على النتائج الإحصائية ، وليس "التخمينات البديهية". فأنت تخبر المنظمين أنك تنكر احتمال أن تكون الحافلة التي عثرت عليها هي التي يبحثون عنها ، بمستوى ثقة 99.7٪. في هذه الحالة ، أنت تتحدث إلى أشخاص على دراية بالإحصاءات ، لذا يمكنك التأكد من أنهم يفهمون أنك على صواب. (من الجيد دائمًا التعامل مع الأشخاص الأذكياء!)

  يتم دعم نتائجك بشكل أكبر عندما يأخذ المسعفون عينات دم من ركاب الحافلات ويكتشفون أن متوسط ​​مستويات الكوليسترول لديهم أعلى بخمسة أخطاء قياسية من متوسط ​​مستويات الكوليسترول للمشاركين في دراسة تغيير حياة الأمريكيين. ركاب فاقدون للوعي - المشاركون في مهرجان السجق العشاق (في وقت لاحق تم إثبات ذلك بشكل قاطع).

  [هذه القصة كانت لها نهاية سعيدة. عندما استعاد ركاب الحافلة وعيهم ، نصحهم منظمو دراسة "Changing Lives" الأمريكيون بالتشاور مع خبراء التغذية حول مخاطر تناول الأطعمة الغنية بالدهون المشبعة. وبعد هذه المشاورات قرر العديد من محبي النقانق الانفصال عن ماضيهم المخزي العودة إلى نظام غذائي أكثر صحة. تم إخراج الأيائل المصابة في عيادة بيطرية محلية وإطلاق سراحها بموجب موافقة تعجب أعضاء الجمعية المحلية لحماية الحيوانات. نعم ، لسبب ما ، يسكت التاريخ عن مصير سائق الحافلة ربما لأن الإحصائيات لا تتعامل مع مصير الأفراد إلك - إنه شيء مختلف تماما ، لن يكون من الممكن إسكات مصيره!

  في هذا الفصل ، حاولت أن أتحدث فقط عن الأساسيات. ربما لاحظت أن نظرية الحد المركزي لا تنطبق إلا عندما يكون حجم العينة كبيرًا بما يكفي (عادةً 30 على الأقل). أيضًا ، نحتاج إلى عينة كبيرة نسبيًا إذا كنا سنفترض أن الانحراف المعياري سيكون تقريبًا مثل الانحراف المعياري للمحتوى.

  هناك عدد غير قليل من التصحيحات الإحصائية التي يمكن تطبيقها إذا لم يتم استيفاء هذه الشروط ، ولكن كل شيء مثل التزيين على كعكة (وربما حتى رقائق الشوكولاتة التي يتم رشها فوق هذا التزيين). "الصورة الكبيرة" هنا بسيطة وفعالة للغاية.

  1. إذا قمت بتكوين عينات عشوائية كبيرة (بالحجم) بناءً على أي مجموعة سكانية ، فسيتم توزيع متوسطاتها وفقًا للقانون العادي بالقرب من متوسط ​​السكان المقابل (بغض النظر عن توزيع السكان الأصليين).
  2. سيتم تحديد موقع معظم وسائل العينة بالقرب من متوسط ​​السكان (ما يجب اعتباره بالضبط "قريبًا بدرجة كافية" في أي حالة معينة يتم تحديده بواسطة الخطأ القياسي).
  3. تخبرنا نظرية النهاية المركزية عن احتمالية أن يكون متوسط ​​العينة ضمن مسافة معينة من الوسط السكاني. من غير المحتمل نسبيًا أن يكون متوسط ​​العينة بعيدًا عن متوسط ​​المحتوى بأكثر من خطأين قياسيين ، ومن غير المرجح أن يكون متوسط ​​العينة أكثر من ثلاثة أخطاء قياسية بعيدًا عن متوسط ​​المحتوى.
  4. كلما قل احتمال أن تكون بعض النتائج عشوائية بحتة ، كلما تأكدنا من أنها لم تكن خالية من تأثير بعض العوامل الأخرى.

  هذا ، إلى حد كبير ، هو جوهر الاستدلال الإحصائي. تجعل نظرية الحد المركزي كل هذا ممكنًا. وإلى أن يفوز ليبرون جيمس بعدد من أبطال الدوري الاميركي للمحترفين مثل مايكل جوردان (ستة) ، فإن نظرية الحد المركزي ستثير إعجابنا أكثر بكثير من لاعب كرة السلة الشهير.

  LeBron Raymone James هو لاعب كرة سلة أمريكي محترف يلعب كمهاجم صغير وقوي لفريق NBA's Cleveland Cavaliers. ملحوظة. ترجمة.

  لاحظ الاستخدام المبتكر للدقة الزائفة في هذه الحالة.

  عندما يتم حساب الانحراف المعياري للمجتمع المقابل بناءً على عينة أصغر ، فإن الصيغة التي قدمناها يتم تعديلها قليلاً: يساعد هذا في حساب حقيقة أن التباين في عينة صغيرة قد "يقلل" من تباين المجتمع بأكمله. هذا ليس له علاقة تذكر بالأحكام الأكثر عالمية التي نوقشت في هذا الفصل.

  قدم زميلي في جامعة شيكاغو ، جيم سالي ، نقدًا مهمًا للغاية لأمثلة الحافلات المفقودة. وأشار إلى أن فقدان حافلة نادرة للغاية هذه الأيام. لذلك ، إذا كان علينا البحث عن بعض الحافلات المفقودة ، فإن أي حافلة نلتقي بها ، والتي تبين أنها مفقودة أو مكسورة ، ستكون على الأرجح الحافلة التي تهمنا ، بغض النظر عن وزن الركاب في هذه الحافلة. ربما كان جيم على حق. (لاستخدام هذا القياس: إذا فقدت طفلك في سوبر ماركت وراديو إدارة المتجر أن طفلًا ضائعًا يقف بالقرب من الخروج رقم ستة ، فمن المحتمل أن تقرر على الفور أنه طفلك.) لذلك ، ليس لدينا خيار سوى لإضافة عنصر آخر من العبثية لأمثلةنا ، معتقدين أن فقدان الحافلة هو حدث عادي تمامًا.

  يخطط:

  1. مفهوم نظرية الحد المركزي (نظرية ليابونوف)

  2. قانون الأعداد الكبيرة والاحتمالات والتكرار (نظريات تشيبيشيف وبرنولي)

  1. مفهوم نظرية الحد المركزي.

  التوزيع الطبيعي للاحتمالات له أهمية كبيرة في نظرية الاحتمالات. يطيع القانون العادي الاحتمال عند إطلاق النار على هدف ، في القياسات ، إلخ. على وجه الخصوص ، اتضح أن قانون التوزيع لمجموع عدد كبير بما فيه الكفاية من المتغيرات العشوائية المستقلة بقوانين التوزيع التعسفي قريب من التوزيع الطبيعي. تسمى هذه الحقيقة نظرية الحد المركزي أو نظرية ليابونوف.

  من المعروف أن المتغيرات العشوائية الموزعة بشكل طبيعي تستخدم على نطاق واسع في الممارسة. ما الذي يفسر هذا؟ تم الرد على هذا السؤال

  نظرية الحد المركزي.إذا كان المتغير العشوائي X هو مجموع عدد كبير جدًا من المتغيرات العشوائية المستقلة عن بعضها البعض ، فإن تأثير كل منها على المجموع الكلي لا يكاد يذكر ، فإن X لها توزيع قريب من التوزيع الطبيعي.

  مثال.دع بعض الكمية المادية تقاس. أي قياس يعطي فقط قيمة تقريبية للكمية المقاسة ، لأن العديد من العوامل العشوائية المستقلة (درجة الحرارة ، تقلبات الأجهزة ، الرطوبة ، إلخ) تؤثر على نتيجة القياس. كل من هذه العوامل يولد "خطأ جزئي" ضئيل. ومع ذلك ، نظرًا لأن عدد هذه العوامل كبير جدًا ، فإن تأثيرها التراكمي يولد "خطأ كليًا" ملحوظًا بالفعل.

  بالنظر إلى الخطأ الإجمالي كمجموع لعدد كبير جدًا من الأخطاء الجزئية المستقلة بشكل متبادل ، يمكننا أن نستنتج أن الخطأ الإجمالي له توزيع قريب من التوزيع الطبيعي. الخبرة تؤكد صحة هذا الاستنتاج.

  ضع في اعتبارك الشروط التي بموجبها يتم استيفاء "نظرية الحد المركزي"

  x1 ،X2 ، ... ، Xنعبارة عن سلسلة من المتغيرات العشوائية المستقلة ،

  م(X1) ،م(X2) ، ... ،م(Xن) هي التوقعات الرياضية النهائية لهذه الكميات ، على التوالي م (Xk)= الملقب

  د (X1) ،د(X2) ، ... ،د(Xن) - الفروق النهائية ، تساوي على التوالي د(X ك)= bk2

  نقدم الترميز: S = X1 + X2 + ... + Xn ؛

  أ ك = X1 + X2 + ... + Xn = ؛ B2 = د (X1) +د(X2) + ... +د(Xن) =

  نكتب دالة التوزيع للمبلغ الطبيعي:

  يقولون للتسلسل x1 ،X2 ، ... ، Xننظرية الحد المركزي قابلة للتطبيق إذا ، لأي xدالة التوزيع للمبلغ الطبيعي حيث أن n ® ¥ تميل إلى دالة التوزيع العادية:

  يمين "style =" border-collapse: collapse؛ border: none؛ margin-left: 6.75pt؛ margin-right: 6.75pt ">

  ضع في اعتبارك متغير عشوائي منفصل X, من خلال جدول التوزيع:

  دعونا نحدد لأنفسنا مهمة تقدير احتمال ألا يتجاوز انحراف متغير عشوائي عن توقعه الرياضي في القيمة المطلقة رقمًا موجبًا ε

  اذا كان ε صغيرة بما فيه الكفاية ، وبالتالي فإننا سوف نقدر احتمالية ذلك Xستأخذ قيمًا قريبة بدرجة كافية من توقعاتها الرياضية. أثبتت عدم المساواة التي تسمح لنا بإعطاء تقدير الفائدة لنا.

  ليما تشيبيشيف.بالنظر إلى متغير عشوائي X يأخذ فقط قيمًا غير سالبة مع التوقع M (X). لأي رقم α> 0 ، يحدث التعبير:

  عدم المساواة في Chebyshev.احتمال أن يكون انحراف متغير عشوائي X عن توقعه الرياضي في القيمة المطلقة أقل من رقم موجب ε ، لا تقل عن 1 - D (X) / ε 2:

  ص (| X-M (X) |< ε ) ³ 1 - D (X) / ε 2.

  تعليق.عدم المساواة في Chebyshev ذو قيمة عملية محدودة ، لأنه غالبًا ما يعطي تقديرًا تقريبيًا وأحيانًا تافهًا (بدون فائدة).

  الأهمية النظرية لعدم المساواة في تشيبيشيف كبيرة جدًا. أدناه سوف نستخدم عدم المساواة هذه لاشتقاق نظرية تشيبيشيف.

  2.2. نظرية تشيبيشيف

  إذا كانت X1 ، X2 ، ... ، Xn .. متغيرات عشوائية مستقلة عن الزوج ، وكانت تبايناتها محدودة بشكل موحد (لا تتجاوز الرقم الثابت C) ، إذن ، بغض النظر عن مدى صغر الرقم الموجب ε ، احتمال عدم المساواة

  ÷ (X1 + X2 + ... + Xn) / n - (M (X1) + M (X2) + ... + M (Xn)) / n |< ε

  سيكون بشكل تعسفي قريبًا من الوحدة إذا كان عدد المتغيرات العشوائية كبيرًا بدرجة كافية.

  ف (÷ (X1 + X2 + ... + Xn) / n - (M (X1) + M (X2) + ... + M (Xn)) / n |< ε )=1.

  تنص نظرية تشيبيشيف:

  1. نحن نعتبر عددًا كبيرًا بدرجة كافية من المتغيرات العشوائية المستقلة ذات الفروق المحدودة ،

  عند صياغة نظرية تشيبيشيف ، افترضنا أن المتغيرات العشوائية لها توقعات رياضية مختلفة. من الناحية العملية ، غالبًا ما يحدث أن المتغيرات العشوائية لها نفس التوقعات الرياضية. من الواضح ، إذا افترضنا مرة أخرى أن تشتت هذه الكميات محدودة ، فإن نظرية تشيبيشيف ستكون قابلة للتطبيق عليها.

  دعونا نشير إلى التوقع الرياضي لكل من المتغيرات العشوائية من خلال أ؛

  في الحالة قيد النظر ، فإن المتوسط ​​الحسابي للتوقعات الرياضية ، كما يسهل رؤيته ، يساوي أيضًا أ.

  يمكن للمرء صياغة نظرية تشيبيشيف للحالة المعينة قيد الدراسة.

  "إذا كانت X1 ، X2 ، ... ، Xn .. متغيرات عشوائية مستقلة عن طريق الزوج لها نفس التوقع الرياضي أ ، وإذا كانت تشتت هذه المتغيرات محدودة بشكل موحد ، فبغض النظر عن صغر الرقم ε > أوه ، احتمال عدم المساواة

  ÷ (X1 + X2 + ... + Xn) / n - أ | < ε

  سيكون قريبًا بشكل تعسفي من الوحدة إذا كان عدد المتغيرات العشوائية كبيرًا بما يكفي " .

  بمعنى آخر ، في ظل ظروف النظرية

  الفوسفور (÷ (X1 + X2 + ... + Xn) / n - a |< ε ) = 1.

  2.3 جوهر نظرية تشيبيشيف

  على الرغم من أن المتغيرات العشوائية الفردية قد تأخذ قيمًا بعيدة عن توقعاتها الرياضية ، فإن المتوسط ​​الحسابي لعدد كبير بما فيه الكفاية من المتغيرات العشوائية ذات الاحتمالية العالية يأخذ قيمًا قريبة من رقم ثابت معين ، وهو الرقم

  (م (Xj) + م (X2)+ ... + م (Xn)) / نأو إلى الرقم و فيحالة خاصة.

  بمعنى آخر ، يمكن أن يكون للمتغيرات العشوائية الفردية انتشار كبير ، ومتوسطها الحسابي صغير مبعثر.

  وبالتالي ، لا يمكن للمرء أن يتنبأ بثقة بالقيمة المحتملة التي سيأخذها كل من المتغيرات العشوائية ، ولكن يمكن للمرء أن يتنبأ بالقيمة التي سيأخذها المتوسط ​​الحسابي.

  لذلك ، فإن المتوسط ​​الحسابي لعدد كبير بما فيه الكفاية من المتغيرات العشوائية المستقلة (تبايناتها محدودة بشكل موحد) يفقد صفة المتغير العشوائي.

  ويفسر ذلك حقيقة أن انحرافات كل من الكميات عن توقعاتها الرياضية يمكن أن تكون إيجابية وسلبية ، وفي المتوسط ​​الحسابي تلغي بعضها البعض.

  نظرية تشيبيشيف صالحة ليس فقط للمتغيرات المنفصلة ، ولكن أيضًا للمتغيرات العشوائية المستمرة ؛ إنه مثال يؤكد صحة عقيدة الارتباط بين الصدفة والضرورة.

  2.4 أهمية نظرية تشيبيشيف للممارسة

  دعونا نعطي أمثلة على تطبيق نظرية تشيبيشيف لحل المشاكل العملية.

  عادة ، لقياس كمية مادية معينة ، يتم إجراء العديد من القياسات ويتم أخذ متوسطها الحسابي بالحجم المطلوب. تحت أي ظروف يمكن اعتبار طريقة القياس هذه صحيحة؟ الإجابة على هذا السؤال مقدمة من نظرية تشيبيشيف (حالتها الخاصة).

  في الواقع ، ضع في اعتبارك نتائج كل قياس كمتغيرات عشوائية

  X1، X2، ...، Xn

  على هذه الكميات ، يمكن تطبيق نظرية تشيبيشيف إذا:

  1) هم مستقلون عن الزوج.

  2) لها نفس التوقعات الرياضية ،

  3) تشتتهم محدود بشكل موحد.

  يتم استيفاء الشرط الأول إذا كانت نتيجة كل قياس لا تعتمد على نتائج الآخرين.

  يتم استيفاء المطلب الثاني إذا تم إجراء القياسات بدون أخطاء منهجية (علامة واحدة). في هذه الحالة ، التوقعات الرياضية لجميع المتغيرات العشوائية هي نفسها وتساوي الحجم الحقيقي أ.

  يتم استيفاء المطلب الثالث إذا كان الجهاز يوفر دقة قياس معينة. على الرغم من اختلاف نتائج القياسات الفردية ، إلا أن تشتتها محدود.

  إذا تم استيفاء جميع هذه المتطلبات ، فيحق لنا تطبيق نظرية تشيبيشيف على نتائج القياس: صاحتمال عدم المساواة

  | (X1 + Xa + ... + Xn) / n - a |< ε بشكل تعسفي قريب من الوحدة.

  بعبارة أخرى ، مع وجود عدد كبير بما فيه الكفاية من القياسات ، فمن شبه المؤكد أن متوسطها الحسابي يختلف قليلاً بشكل تعسفي عن القيمة الحقيقية للكمية المقاسة.

  تشير نظرية تشيبيشيف إلى الظروف التي يمكن بموجبها تطبيق طريقة القياس الموصوفة. ومع ذلك ، فمن الخطأ الاعتقاد أنه من خلال زيادة عدد القياسات ، يمكن تحقيق دقة عالية بشكل تعسفي. الحقيقة هي أن الجهاز نفسه يعطي قراءات فقط بدقة ± α ، وبالتالي ، فإن كل نتيجة من نتائج القياس ، وبالتالي متوسطها الحسابي ، لن يتم الحصول عليها إلا بدقة لا تتجاوز دقة الجهاز.

  تعتمد طريقة أخذ العينات المستخدمة على نطاق واسع في الإحصاء على نظرية تشيبيشيف ، والتي يتمثل جوهرها في استخدام عينة عشوائية صغيرة نسبيًا للحكم على جميع السكان (عموم السكان) للأشياء قيد الدراسة.

  على سبيل المثال ، يتم الحكم على جودة حزمة القطن من خلال حزمة صغيرة تتكون من ألياف منتقاة عشوائيًا من أجزاء مختلفة من البالة. على الرغم من أن عدد الألياف في الحزمة أقل بكثير من عدد الألياف الموجودة في الحزمة ، إلا أن الحزمة نفسها تحتوي على عدد كبير نسبيًا من الألياف ، يصل عددها إلى المئات.

  كمثال آخر ، يمكن للمرء أن يشير إلى تحديد جودة الحبوب من عينة صغيرة. وفي هذه الحالة ، يكون عدد الحبوب المختارة عشوائيًا صغيرًا مقارنة بكامل كتلة الحبوب ، ولكنه في حد ذاته كبير جدًا.

  بالفعل من الأمثلة المذكورة ، يمكن للمرء أن يستنتج أن نظرية تشيبيشيف لها أهمية لا تقدر بثمن.

  2.5 نظريةبرنولي

  أنتجت صاختبارات مستقلة (ليست أحداثًا ، بل اختبارات). في كل منهم ، احتمال وقوع حدث أمساوي ل تم العثور على R.

  استخراج أو تكوين السؤال،ماذا سيكون التكرار النسبي لحدوث الحدث؟ تمت الإجابة على هذا السؤال من خلال النظرية التي أثبتها برنولي ، والتي سميت "بقانون الأعداد الكبيرة" وأرست الأساس لنظرية الاحتمال كعلم.

  نظرية برنولي.إذا كان في كل من صاحتمال اختبار مستقل صوقوع حدث لكنثابت ، ثم احتمال انحراف التردد النسبي عن الاحتمال صستكون صغيرة بشكل تعسفي من حيث القيمة المطلقة إذا كان عدد المحاكمات كبيرًا بدرجة كافية.

  بعبارة أخرى ، إذا كانت> 0 عددًا صغيرًا بشكل تعسفي ، فعندئذٍ في ظل ظروف النظرية لدينا المساواة

  ص (|م / ن - ص |< ε)= 1

  تعليق.سيكون من الخطأ ، على أساس نظرية برنولي ، أن نستنتج أنه مع زيادة عدد التجارب ، فإن التردد النسبي يميل بثبات إلى الاحتمال ص ؛بعبارة أخرى ، لا تعني نظرية برنولي المساواة (ر / ن) = ع ،

  فيتتعامل النظرية فقط مع احتمال أنه ، مع وجود عدد كبير بما فيه الكفاية من التجارب ، سيختلف التردد النسبي بشكل تعسفي قليلاً عن الاحتمال الثابت لحدوث حدث في كل تجربة.

  المهمة 7-1.

  1. قدر الاحتمال أنه بعد 3600 رميات للنرد ، فإن عدد مرات حدوث 6 سيكون 900 على الأقل.

  المحلول.لنفترض أن x هو عدد التكرارات البالغ 6 نقاط في 3600 رمية للعملة المعدنية. احتمال الحصول على 6 نقاط في رمية واحدة هو p = 1/6 ، ثم M (x) = 3600 1/6 = 600. نستخدم عدم المساواة في Chebyshev (lemma) من أجل α = 900

  = ص(x 900 ين ياباني (600 جنيه استرليني / 900 = 2/3

  إجابه 2 / 3.

  2. تم إجراء 1000 اختبار مستقل ، ع = 0.8. أوجد أن احتمال عدد مرات حدوث الحدث A في هذه الاختبارات ينحرف عن معامل توقعه الرياضي الأقل من 50.

  المحلول. x هو عدد تكرارات الحدث A في n - 1000 تجربة.

  م (X) = 1000 0.8 = 800. د (س) = 100 0.8 0.2 = 160

  نستخدم متباينة Chebyshev من أجل ε = 50

  ف (| س م (س) |< ε) ³ 1 - D (x) / ε 2

  آر (| x-800 |< 50) ³ / 50 2 = 1-160 / 2500 = 0,936.

  إجابه. 0,936

  3. باستخدام متباينة Chebyshev ، تقدير الاحتمال | س - م (س) |< 0,1, если D (X) = 0,001. Ответ Р³0,9.

  4. معطى: P (| X- م (X) \< ε) 0.9 ؛ د (X)= 0.004. باستخدام متباينة Chebyshev ، أوجد ε . إجابه. 0,2.

  أسئلة التحكم والمهام

  1. الغرض من نظرية الحد المركزي

  2. شروط تطبيق نظرية ليابونوف.

  3. الفرق بين نظرية lemma و Chebyshev.

  4. شروط تطبيق نظرية تشيبيشيف.

  5. شروط تطبيق نظرية برنولي (قانون الأعداد الكبيرة)

  متطلبات المعرفة والمهارات

  يجب أن يعرف الطالب الصياغة الدلالية العامة لنظرية الحد المركزي. تكون قادرًا على صياغة نظريات جزئية لمتغيرات عشوائية موزعة بشكل متماثل. فهم عدم المساواة في تشيبيشيف وقانون الأعداد الكبيرة في شكل تشيبيشيف. لديك فكرة عن تكرار الحدث ، والعلاقة بين مفهومي "الاحتمال" و "التكرار". فهم قانون الأعداد الكبيرة في شكل برنولي.

  (1857-1918) عالم رياضيات روسي بارز