خطأ برنولي كما فهم فيشنر جيدًا ، لم يكن أول من حاول إيجاد وظيفة تربط الكثافة النفسية بالقوة الجسدية للمحفز. في عام 1738 ، توقع العالم السويسري دانيال برنولي تفسيرات فيشنر وطبقها على العلاقة بينهما

25. معادلة برنولي

25. معادلة برنولي تعتبر معادلة جروميكا مناسبة لوصف حركة مائع إذا كانت مكونات دالة الحركة تحتوي على كمية من الدوامة. على سبيل المثال ، كمية الدوامة هذه مضمنة في مكونات x، y، z للسرعة الزاوية w. شرط أن تكون الحركة

| | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |

معادلة برنولي (تكامل برنولي)

معادلة برنولي(تكامل برنولي) في الميكانيكا المائية [[بالنيابة عن العالم السويسري د. برنولي] ، إحدى المعادلات الأساسية للميكانيكا المائية ، والتي ، مع الحركة الثابتة لسائل مثالي غير قابل للضغط في مجال جاذبية موحد ، يكون لها الشكل:
Gh + p / ρ + v 2/2 = C ، (1)
حيث v هي سرعة السائل ، و كثافته ، و p هي الضغط فيه ، و h ارتفاع الجسيم السائل فوق مستوى أفقي معين ، و g تسارع السقوط الحر ، و C قيمة ثابتة على كل خط انسيابي ، ولكن بشكل عام تغيير قيمته عند الانتقال من تبسيط إلى آخر.

مجموع أول حدين على الجانب الأيسر من المعادلة (1) يساوي إجمالي الإمكانات ، والحد الثالث يساوي الطاقات الحركية ، المشار إليها بالوحدات. كتل من السائل لذلك ، فإن المعادلة بأكملها تعبر عن مائع متحرك عن قانون حفظ الطاقة الميكانيكية وتؤسس علاقة مهمة بين v و p و h. على سبيل المثال ، إذا زادت سرعة التدفق على طول الخط الانسيابي عند ثابت h ، فإن الضغط ينخفض ​​والعكس صحيح. يستخدم هذا القانون عند قياس السرعة باستخدام أنابيب القياس وفي القياسات الهوائية الأخرى.

يتم تقديم معادلة برنولي أيضًا في النموذج
h + p / γ + v 2 / 2g = C أو
γh + p + v 2/2 = C (2)
(حيث γ = ρg هي الثقل النوعي للسائل). في المساواة الأولى ، جميع المصطلحات لها أبعاد الطول وتسمى الارتفاعات الهندسية (التسوية) والقياسية الانضغاطية والسرعة المقابلة ، وفي المساواة الثانية يكون لها أبعاد الضغط ويطلق عليها على التوالي الوزن والضغوط الثابتة والديناميكية.

في الحالة العامة ، عندما يكون السائل قابلاً للانضغاط (غاز) ، ولكنه باروتروبي ، أي أن p فيه يعتمد فقط على ρ ، وعندما تحدث حركته في أي مجال محتمل للقوى الحجمية (الكتلة) (انظر مجال القوة) ، فإن يتم الحصول على معادلة برنولي نتيجة لمعادلات أويلر للميكانيكا المائية ولها الشكل:
П + dp / ρ + ع 2/2 = ج ، (3)
حيث P هي الطاقة الكامنة (المحتملة) لمجال قوى الجسم ، المشار إليها بالوحدات. كتل السائل. مع تدفق الغازات ، تتغير قيمة P قليلاً على طول الخط ، ويمكن تضمينها في ثابت من خلال تقديم (3) في النموذج:
∫ dp / ρ + ع 2/2 = ج (4)

في التطبيقات التقنية ، للتدفق المتوسط ​​عبر المقطع العرضي للقناة ، ما يسمى ب. معادلة برنولي المعممة: بالحفاظ على شكل المعادلتين (1) و (3) ، يشمل الجانب الأيسر عمل قوى الاحتكاك والتغلب على المقاومة الهيدروليكية ، وكذلك العمل الميكانيكي للسائل أو الغاز (عمل ضاغط أو توربينات ) مع العلامة المقابلة. تُستخدم معادلة برنولي المعممة على نطاق واسع في المكونات الهيدروليكية عند حساب تدفق السوائل والغازات في خطوط الأنابيب وفي الهندسة الميكانيكية عند حساب الضواغط والتوربينات والمضخات والآلات الهيدروليكية والغازية الأخرى.

محتوى المقال

علم الميكانيكا المائيةعلم الحركة وتوازن السوائل والغازات. عند التخطيط لتجارب فيزيائية أو إجراؤها ، من الضروري إنشاء نماذج نظرية إما أن تتنبأ بالنتائج المحتملة لهذه التجارب أو تشرح تلك التي تم الحصول عليها بالفعل. فقط من خلال التفاعل الوثيق بين النظرية والتجربة يمكن للمرء أن يفهم ما يحدث في العالم المادي من حولنا. لإنشاء نموذج أو نموذج كمي أو نوعي لظاهرة فيزيائية ، هناك حاجة إلى أساس رياضي ، يتم على أساسه بناء هذه النماذج. في هذه الحالة ، الأساس الرياضي يعني تلك المعادلات التفاضلية وتلك الحدود والشروط الأولية التي يمكن استخدامها لوصف الظاهرة الفيزيائية قيد الدراسة. الميكانيكا الهيدروميكانيكية وتقدم نماذج وأجهزة لدراسة الظواهر التي تحدث في السوائل والغازات.

على فرضية الاستمرارية المتوسطة.

تدرس ميكانيكا الهواء الهيدرولوجي حركات السوائل والغازات بالتقريب عندما يمكن اعتبارها وسائط مستمرة ، أي الوسائط التي تملأ مساحة التدفق قيد الدراسة باستمرار. لحل المشكلات الرياضية المتعلقة بحساب حركة الأجسام المختلفة (الطائرات ، الصواريخ ، السفن ، إلخ) في الهواء أو الماء ، مع دراسة عمليات الموجة في السوائل والغازات ، مع تدفقاتها عبر الأنابيب والقنوات ، إلخ. ، جهاز رياضي يصف هذه الظواهر. هذا الجهاز هو معادلات الميكانيكا المائية ، والتي تستند إلى فرضية استمرارية الوسط ، أي على فرضية أن جزيئات السائل أو الغاز تملأ باستمرار جزء المساحة المادية التي تشغلها.

يطرح سؤال طبيعي: ما هي الافتراضات التي تعتبر هذه الفرضية صحيحة؟ إذا كانت هذه الفرضية أكثر أو أقل وضوحًا بالنسبة للسوائل (الماء ، والمعادن السائلة ، وما إلى ذلك) ، فعندئذٍ بالنسبة للغازات المتخلخة بدرجة كافية (على سبيل المثال ، احتلال الفضاء الخارجي ، بما في ذلك أجواء النجوم والكواكب والشمس) ، والتي تتكون من ذرات فردية أو الجزيئات ، بالإضافة إلى الأشياء المادية الأخرى التي ينطبق عليها جهاز الميكانيكا المائية ، فإنه يتطلب تبريره. لذلك ، على سبيل المثال ، عند حساب تباطؤ الأقمار الصناعية الاصطناعية للأرض ، لا يمكن استخدام الجهاز الرياضي للميكانيكا الجوية المائية ، بينما يستخدم هذا الجهاز لحساب تباطؤ دخول الأجسام الفضائية إلى الطبقات الكثيفة من الغلاف الجوي. من الأرض والكواكب (على سبيل المثال ، النيازك أو المركبات الفضائية العائدة إلى الأرض وما إلى ذلك). من السهل الإجابة على هذا السؤال عند اشتقاق المعادلات. ومع ذلك ، فإنه يترتب على هذا الاستنتاج أن فرضية الاستمرارية المتوسطة صحيحة ، على وجه الخصوص ، في الحالة التي يكون فيها الحجم المميز للجسم الانسيابي إل(على سبيل المثال ، نصف قطر قمر صناعي كروي) أكبر بكثير من متوسط ​​المسار الحر لذرات الغاز أو الجزيئات l ، أي الطول بين الاصطدامات المتتالية.

نظام مغلق للمعادلات الميكانيكية الهوائية.

معادلات الميكانيكا المائية في صورتها المبسطة هي نظام معقد من المعادلات التفاضلية غير الخطية لكثافة الكتلة r (كتلة السائل أو الغاز لكل وحدة حجم) ، متجه السرعة الخامسوالضغط ص, وهي بدورها وظائف الإحداثيات المكانية (على سبيل المثال ، x, ذو ضفي الإحداثيات الديكارتية) والوقت ر. بدون الخوض في التفاصيل الرياضية لاشتقاق هذه المعادلات ، يمكننا النظر في الأفكار الرئيسية لهذا الاشتقاق ، خاصة وأن هذه المعادلات هي قوانين الحفاظ على الكتلة والزخم والطاقة المعروفة حتى من الكتب المدرسية. لهذا ، يتم أخذ حجم مادي معين في الاعتبار ، والذي يتم ملؤه باستمرار بالسائل أو الغاز. على التين. يوضح الشكل 1 سائلًا متحركًا (أو غازًا) يملأ باستمرار جزءًا من المساحة المادية. لنأخذ بعض الحجم منه. يو(مقيد بالسطح S) ، والذي يتكون طوال فترة الحركة من نفس جزيئات السوائل (هذا الحجم مظلل).

من الواضح ، أثناء حركته ، كتلة السائل الموجودة في الحجم يو، يبقى ثابتًا (ما لم يكن ، بالطبع ، هناك أي مصادر إضافية لهذه الكتلة) ، على الرغم من أن الحجم نفسه يمكن أن يتشوه بشدة ، لأن الجسيمات ليست متماسكة بشكل صارم ، كما هو الحال في مادة صلبة. إذا اخترنا من الحجم المدروس عنصرًا متناهي الصغر D يو، إذن من الواضح أن كتلة السائل أو الغاز في هذا العنصر ستكون مساوية لـ rD يو. ثم قانون حفظ الكتلة الوارد في الحجم المخصص يو، يمكن كتابتها كـ

أولئك. كتلة سائل أو غاز في حجم معين يو، لا يتغير مع مرور الوقت. هنا يتم أخذ التكامل على الحجم المخصص يوالتي تتغير بمرور الوقت ر. إذا استخدمنا صيغة مشتق الوقت للتكامل فيما يتعلق بالحجم المتحرك ، فيمكننا الحصول على المعادلة

تسمى هذه المعادلة في الميكانيكا المائية عادة بمعادلة الاستمرارية.

وبالمثل ، يمكننا الآن كتابة قانون الحفاظ على الزخم. زخم وحدة حجم السائل يساوي r الخامس , في الحجم الأولي rD يو، وفي الحجم المخصص يو –

حيث p n هو متجه القوة السطحية الذي يعمل على عنصر السطح S مع المتجه العادي للوحدة ن.إحدى المشاكل الرئيسية للميكانيكا المائية ، التي تم حلها أخيرًا في منتصف القرن التاسع عشر ، هي التحديد الواضح للقوى السطحية. في إطار ما يسمى بالمقاربة الظاهراتية المستخدمة هنا للحصول على معادلات الميكانيكا الهوائية ، يتم تحديد القوى السطحية تجريبيًا. التفريق فيما يتعلق بالزمن التكامل على اليسار في معادلة الزخم ، كما حدث عند اشتقاق معادلة الاستمرارية ، والانتقال من السطح المتكامل على اليمين إلى التكامل الحجمي ، يمكن للمرء أن يكتب المعادلات التفاضلية للحركة للوظائف المستمرة في الاستمارة

والكميات ش, الخامسو ث، وكذلك إسقاطات متجهات السرعة الخامسوتدرج الضغط على المحور ثور, أويو أوزعلى التوالى.

هذه المعادلة ، التي تسمى معادلة نافيير-ستوكس ، مكتوبة في أبسط صورة لسائل غير قابل للضغط ، حيث تنخفض قوى السطح إلى الضغط الطبيعي ص، ويمثل المصطلح الأخير على اليمين القوى "اللزجة" (م هو معامل اللزوجة) بافتراض أن r = const.

تم اشتقاق معادلة الحركة لأول مرة في منتصف القرن الثامن عشر. L. Euler عندما كان يعمل في أكاديمية سان بطرسبرج للعلوم. نظرًا لأن تأثيرات اللزوجة في سائل ما لم تكن معروفة بعد في ذلك الوقت ، حصل أويلر على هذه المعادلة عند m = 0. تكريمًا له ، كانت تسمى هذه المعادلات معادلات أويلر. فقط في عام 1822 ، أدخل المهندس الفرنسي نافييه قوى في معادلات أويلر المرتبطة باللزوجة ، والتي يحددها المعامل م. في شكل عام ، صالح للغاز القابل للانضغاط ، حصل ستوكس على المعادلة وكانت تسمى معادلة نافيير-ستوكس.

بالنسبة إلى مائع غير قابل للضغط ، فإن المعادلات التفاضلية للاستمرارية والزخم (عددية واحدة ومتجه واحد) هي نظام مغلق من المعادلات لتحديد متجه السرعة الخامسوالضغط القياسي ص(ص = ثوابت). إذا كانت r № const ، فستكون هناك حاجة إلى معادلة إضافية. يتم الحصول على هذه المعادلة من قانون الحفاظ على الطاقة.

يتم الحصول على تعميم قانون حفظ الطاقة في حالة حركة السوائل والغازات بشكل مشابه لتعميم قانون نيوتن الثاني ، ومع ذلك ، نظرًا لوجود الحركة الحرارية في السوائل والغازات ، تتكون الطاقة لكل وحدة حجم من الطاقة الحركية rV 2/2 والطاقة الداخلية المرتبطة بالحركة الحرارية للغاز أو الجسيمات السائلة. إجمالي الطاقة في عنصر الحجم د يويساوي r (V 2/2 + e) ​​د يو.

التغيير في إجمالي الطاقة في الحجم المخصص يويساوي تدفق الحرارة عبر السطح S بسبب التوصيل الحراري ، وكذلك عمل الكتلة والقوى السطحية ، أي بدلاً من قانون الحفاظ على الزخم ، نحصل على المعادلة

أين نهو ناقل الوحدة الطبيعي على السطح S.

للحصول على غاز مثالي e = السيرة الذاتية تي، أين معهي السعة الحرارية عند حجم ثابت ، تيهي درجة الحرارة ، وعادة ما يتم اعتماد قانون فورييه التجريبي لناقل تدفق الحرارة ف= - ل تي(l هو معامل التوصيل الحراري). بعد التمايز المناسب فيما يتعلق بوقت الجانب الأيسر من معادلة الطاقة ، والانتقال من التكاملات السطحية إلى تكاملات الحجم ، وباستخدام معادلة الاستمرارية ومعادلة الحركة ، يمكن للمرء الحصول على ما يسمى بمعادلة كسب الحرارة للوظائف المستمرة

كل هذه المعادلات مع معادلة حالة الغاز المثالي

ع =ص آر تي,

أين ص = (مع p - مع v) هو ثابت الغاز ، و مع صهي السعة الحرارية عند ضغط ثابت ، وقانون فورييه

كوِّن نظامًا مغلقًا من معادلات الميكانيكا الهوائية لتحديد متجه السرعة الخامس، الضغط صوالكثافة ص ودرجة الحرارة تي.

إذا كانت أي ظاهرة فيزيائية تعتمد قليلاً على عمليات التبديد (اللزوجة والتوصيل الحراري) ، فإن هذه المعادلات يتم تقليلها إلى معادلات الميكانيكا الهوائية لسائل مثالي. في هذه الحالة ، نظام مغلق من المعادلات لتحديد ص، ص الخامسو تيهو النظام

المعادلة الأخيرة هي قانون ثابت الحرارة ، والذي يتم اختزاله بسهولة إلى قانون حفظ الانتروبيا. هنا g = مع p / c vهو مؤشر ثابت الحرارة ، أي نسبة السعة الحرارية عند ضغط ثابت إلى السعة الحرارية عند حجم ثابت.

الهيدروستاتيك

هي حالة خاصة من الميكانيكا الهوائية ، والتي تدرس توازن السوائل والغازات ، أي حالتهم في غياب السرعة الهيدروديناميكية ( الخامس= 0). تعتبر نتائج وأساليب علم الهيدروستاتيك ذات أهمية كبيرة للعديد من المشكلات المهمة من وجهة النظر العلمية العملية والعامة. في الهيدروستاتيك ، تعتبر المشاكل المتعلقة بتوازن الماء في الأحواض المائية ، والهواء في الغلاف الجوي للأرض ، وحل مشاكل حساب القوى التي تعمل على الأجسام المغمورة في سائل أو غاز ، وتوزيعات الضغط ، والكثافة ، ودرجة الحرارة في أجواء الكواكب والنجوم والشمس ومجموعة المهام الأخرى.

يتم الحصول على المعادلات الهيدروستاتيكية من معادلات الميكانيكا المائية لـ الخامس= 0. على وجه الخصوص ، تعطي معادلة الحفاظ على الزخم

حيث ، على وجه الخصوص ، يتبع قانون باسكال المعروف من الكتب المدرسية ، والذي بموجبه ، في غياب قوى جماعية خارجية ( F= 0) الضغط ثابت في كل مكان (p = const).

توازن غاز مثالي في مجال الجاذبية.

يجب ألا يكون هناك غاز في مجال الجاذبية المركزي. ستتم كتابة معادلات التوازن في نظام الإحداثيات الكروية في هذه الحالة على النحو التالي:

هنا ص, فو ج- على التوالي ، المسافة إلى مركز الجاذبية م، الموضوعة في الأصل ، الزاوية المقاسة من المحور القطبي أوزوالزاوية في المستوى أوكسي, جي- ثابت الجاذبية ، يساوي 6.67 × 10 -8 داين سم 2 جم -2.

يمكن أن نرى من هذه المعادلات أنه في مجال الجاذبية المتماثل مركزيًا ، يعتمد الضغط فقط على المسافة إلى هذا المركز (من السهل إظهار أن الضغط لا يعتمد على الوقت أيضًا). من السهل أيضًا إظهار أن الكثافة ودرجة الحرارة تعتمدان أيضًا على الإحداثيات فقط ص. يؤدي تكامل أول هذه المعادلات إلى ما يسمى بالصيغة البارومترية ، إذا كانت أقل مفهم كتلة الأرض ، والكوكب ، والنجم ، والشمس ، وما إلى ذلك. عند استخدام معادلة الحالة ، يكون للصيغة البارومترية الشكل

أين ص 0- الضغط على مسافة ما ص = ص 0من مركز الجاذبية (بالنسبة للأرض ، على سبيل المثال ، قد يكون هذا هو الضغط عند مستوى سطح البحر). تحدد هذه الصيغة توزيع الضغط في أجواء النجوم والأرض والكواكب والشمس وما إلى ذلك ، إذا كان توزيع درجة الحرارة معروفًا تي(ص) ، ومع ذلك ، لا يمكن تحديد درجة الحرارة هذه غالبًا من معادلة كسب الحرارة المكتوبة مسبقًا ، نظرًا لأنها تأخذ في الاعتبار اكتساب الحرارة فقط بسبب التوصيل الحراري ، بينما بالنسبة للأجواء المدرجة ، توجد مصادر حرارة أخرى لم يتم أخذها في الاعتبار في فوق المعادلة. على سبيل المثال ، يتم تسخين الغلاف الجوي للشمس بواسطة أنواع مختلفة من عمليات الموجة ، ويقوم الغلاف الجوي للأرض بمعالجة طاقة الإشعاع الشمسي ، وما إلى ذلك ، لذلك ، لتحديد توزيع الضغط في أجواء الأجرام السماوية باستخدام الصيغة البارومترية ، غالبًا ما تستخدم التبعيات التجريبية تي(ص).

من الممكن ، على سبيل المثال ، حساب توزيعات الضغط في الغلاف الجوي للأرض حتى مسافات تصل إلى 11 كم من سطحه. إذا اخترنا نظام إحداثيات ديكارتي مع الأصل على سطح الأرض ووجهنا المحور أوزعموديًا لأعلى ، ثم في الصيغة البارومترية ، بدلاً من إحداثيات r ، عليك أن تأخذ الإحداثيات ض = ص – صه ، أين ص E هو نصف قطر الأرض. لأن هذا الشعاع أكبر بكثير من سمك الغلاف الجوي ( ض R E) ، فيمكن إعادة كتابة الصيغة البارومترية للغلاف الجوي المسطح كـ

هنا يتم تقديم تدوين تسارع جاذبية الأرض

حيث T 0 هي درجة الحرارة المطلقة على سطح البحر ( ض= 0) ، D هي قيمة تجريبية ، تعني فيزيائيًا انخفاضًا في درجة الحرارة عند صعود 100 متر. لجو حقيقي ، غالبًا ما يتم أخذ D = 0.65 ، تي 0= 288 ك.

إذا قبلنا توزيع درجة الحرارة هذا ، فسيتم كتابة الضغط في النموذج

هذا يدل على أن الاعتماد الخطي التجريبي المقبول تي(ض) غير مقبول لكامل الغلاف الجوي للأرض ، لأنه عند ارتفاعات أكبر من 44 كم ، يصبح الضغط سالبًا. ومع ذلك ، فهي مقبولة لارتفاعات ذات أهمية عملية كبيرة. من التجارب التي أجريت على الأقمار الصناعية ، والصواريخ عالية الارتفاع ، وما إلى ذلك ، تبين أنه في الارتفاعات العالية ، تعتبر درجة الحرارة وظيفة معقدة للغاية وغير متوترة للارتفاع. يعود سبب عدم التوتر هذا إلى العملية المعقدة لمعالجة الطاقة الشمسية بواسطة الطبقات العليا من الغلاف الجوي للأرض ، والتي لا تؤخذ في الاعتبار من خلال معادلة تدفق الحرارة.

توازن السوائل غير القابلة للضغط.

إذا أخذنا في الاعتبار مثالًا بسيطًا لتوازن سائل غير قابل للضغط في مجال الجاذبية للأرض ، ثم من ظروف التوازن عند r = const اتضح أن

ص = ص 0- ص gzأو ص = ص 0+ ص gh,

أين حهو عمق السائل تحت سطحه ، ص 0هو الضغط على السطح (الشكل 2). تُظهر هذه الصيغة ، المعروفة من الكتب المدرسية ، كيف يزداد الضغط في السائل مع زيادة عمقه. باستخدام هذه الصيغة ، من السهل حساب الضغط في قاع وعاء مملوء بالسائل. ومن المثير للاهتمام أن هذا الضغط يعتمد على العمق ولكنه لا يعتمد على شكل الوعاء. على وجه الخصوص ، في التين. في الشكل 3 ، سيكون الضغط على قاع الأوعية 1 و 2 من نفس المنطقة السفلية S هو نفسه ، أو أن القوة المؤثرة على قاع هذه الأوعية بسبب ضغط السوائل ستكون هي نفسها.

تعتمد العديد من التطبيقات المهمة على حلول المعادلات الهيدروستاتيكية (قانون أرخميدس ، استقرار توازن أجواء النجوم والكواكب ، إلخ).

بعض التطبيقات مهمة في نتائج حلول معادلات الهيدروميكانيكا.

1. نموذج سائل غير قابل للضغط.

لا يمكن حل معادلات الميكانيكا المائية للسوائل أو الغازات اللزجة وتوصيل الحرارة في معظم المشكلات المهمة جدًا للممارسة إلا بالطرق العددية. ومع ذلك ، يتم تبسيط هذه المعادلات بشكل كبير على افتراض أن التدفق المدروس غير قابل للضغط (r = const). على الرغم من عدم وجود السوائل أو الغازات غير القابلة للضغط بشكل صارم في الطبيعة ، إلا أنه في كثير من الحالات ، على سبيل المثال ، يمكن اعتبار الغاز القابل للضغط سائلًا غير قابل للضغط ، حيث يمكن إهمال التغيير في الكثافة في العديد من التدفقات. في هذه الحالة ، تأخذ معادلة الاستمرارية للسائل غير القابل للضغط الشكل div = 0.

إلى جانب معادلة الحفاظ على الزخم ، فإنها تشكل نظامًا مغلقًا من المعادلات لتحديد الضغط صوالسرعة الخامس.يحدد معياران إمكانية استخدام نموذج سائل غير قابل للضغط لغاز قابل للضغط بشكل عام

أين مهو ما يسمى رقم ماخ ، أ هو سرعة انتشار الصوت في الغاز ، الخامس* - سرعة التدفق المميزة (على سبيل المثال ، سرعة حركة الهواء بالنسبة للطائرة الطائرة) ، ر* هو الوقت المميز لعدم ثبات الحركة (على سبيل المثال ، الوقت المميز لنبضات معلمات الهواء أمام طائرة طيران) ، إلهو الحجم المميز للمشكلة (على سبيل المثال ، حجم الجسم الانسيابي). للحصول على تدفق ثابت ، يكفي المعيار الأول فقط. هذه المعايير لها معنى مادي واضح. على سبيل المثال ، عندما تحلق الطائرات بسرعات عالية دون سرعة الصوت ، يمكن استخدام نموذج سائل غير قابل للضغط لحساب خصائص التدفق لمثل هذه الطائرة (السحب ، والرفع ، وما إلى ذلك). إذا كانت الطائرة تطير بسرعة تفوق سرعة الصوت ، فإن ما يسمى بموجة الصدمة تتشكل أمامها ، ومن السمات المميزة لها القفزات الحادة في الضغط والسرعة والكثافة ودرجة الحرارة فيها. يعد تكوين موجة الصدمة علامة نموذجية على التغيير الكبير في الكثافة ، أي علامة نموذجية لانضغاط التدفق.

تدفق سائل لزج في أنبوب أسطواني (تدفق Hagen-Poiseuille).

تتمثل إحدى المشكلات المهمة في النظر في تدفقات السوائل اللزجة غير القابلة للضغط في أنبوب أسطواني ذي مقطع عرضي دائري نصف قطر ص(الشكل 4) بسبب اختلاف الضغط في نهايات هذا الأنبوب ص = (ص 2 – ص 1)/إل، أين إل- طول الأنابيب. بافتراض أن طول الأنبوب طويل بحيث يكون المدخل فيه الضغط ص 2 ، والخروج من حيث الضغط ص 1 (ص 2 > ص 1) لا تؤثر على التدفق في معظم هذا الأنبوب ، فمن السهل الحصول على حل تحليلي دقيق لمعادلة Navier-Stokes في النموذج

أين شهي سرعة السائل على طول المحور X، بالتزامن مع محور تناظر الأنبوب ، و صهي المسافة من هذا المحور. يمكن أن نرى من هذا أن ملف تعريف السرعة في الأنبوب هو قطع مكافئ. على جدران الأنبوب ، تختفي السرعة بسبب إلتصاق السائل بسبب تأثير اللزوجة. تمت دراسة هذه الدورة في منتصف القرن التاسع عشر. Poiseuille و Hagen على مثال تدفق السائل في الشعيرات الدموية وكان يسمى تدفق Hagen-Poiseuille.

من الواضح ، مع تدفق مستمر (مستقل عن ص) السائل عند مدخل الأنبوب وفي قسمه الأولي ، لن يتطابق ملف تعريف السرعة مع الحل أعلاه. يتم تعيين ملف تعريف القطع المكافئ فقط على مسافة كبيرة بما فيه الكفاية من قسم المدخل ، ولهذا السبب للحصول على حل ، من الضروري افتراض أن الأنبوب طويل بما يكفي ، بينما يتوافق هذا الحل الدقيق مع البيانات التجريبية لمثل هذه الأنابيب .

يصف الحل الناتج تدفقًا ثابتًا وسلس الطبقات ، والذي يُطلق عليه عادةً اسم رقائقي. ومع ذلك ، فمن المعروف من الممارسة أنه في بعض الأحيان يكون التدفق في الأنابيب غير مستقر ، مع نبضات السرعة ، مع الاختلاط بين الطبقات ، وعادة ما يسمى هذا التدفق بالاضطراب. أظهرت تجارب رينولدز في عام 1883 أنه لقيم كبيرة بما فيه الكفاية للعدد r يو ل/ م ، أين يوهو متوسط ​​سرعة المائع عبر قسم الأنبوب ، يصبح المظهر الجانبي للقطع المكافئ غير مستقر فيما يتعلق بالاضطرابات الصغيرة ، ومع زيادة أخرى في هذا العدد ، يصبح التدفق في الأنبوب مضطربًا. يُطلق على هذا الرقم رقم رينولدز (Re) ، والذي يلعب دورًا مهمًا للغاية في العديد من مشاكل الميكانيكا المائية. على وجه الخصوص ، فإنه يميز نسبة قوى القصور الذاتي (الجانب الأيسر من المعادلة) إلى القوى اللزجة ، في حين يمكن في كثير من الأحيان إهمال القوى اللزجة ويمكن استخدام معادلات الميكانيكا الهوائية لسائل مثالي فقط من أجل يكرر >> 1.

تدفقات السوائل والغازات المثالية.

غالبًا ما يتم النظر في المشكلات المهمة في التطبيقات على أساس معادلات الميكانيكا الهوائية لسائل مثالي ، وليس على أساس معادلات كاملة. ويرجع ذلك إلى حقيقة أن معادلات الميكانيكا المائية المثالية أبسط من الناحية الرياضية. إذا كان من الضروري تحديد قوة الرفع لجناح الطائرة بسرعات منخفضة دون سرعة الصوت ، فإن القوى اللزجة لا تكاد تذكر ولا توجد حاجة لاستخدام معادلات نافييه-ستوكس. ومع ذلك ، لتحديد مقاومة مثل هذا الجناح عندما يتحرك في الهواء ، تبين أن القوى اللزجة حاسمة ومن الضروري استخدام جهاز رياضي أكثر تعقيدًا مرتبطًا بمعادلات نافيير-ستوكس.

برنولي لا يتجزأ.

في ظل افتراضات معينة ، يمكن دمج معادلات الميكانيكا الهيدروميكانيكية للسائل المثالي مرة واحدة ، ولديها حلول ، أحدها هو تكامل برنولي للتدفقات الثابتة (سمي على اسم عالم الرياضيات المعاصر برنولي أويلر ، الذي حصل أولاً على هذا التكامل)

أين ص (ص) = ر موانئ دبي/ص(ص) هي دالة للضغط ، يوهي إمكانات القوى الجماعية الخارجية ، منهو ثابت على طول الخط الانسيابي l (يتزامن الانسياب مع متجه سرعة التدفق الخامسلذلك ، على سبيل المثال ، بالنسبة لسائل غير قابل للضغط في مجال الجاذبية ، فإن هذه المعادلة لها الشكل

بالنسبة للتدفقات الثابتة ، فإن تكامل برنولي في غياب قوى الجسم الخارجية له الشكل

كمثال على استخدام تكامل برنولي ، يمكن تحديد معدل التدفق الخارج للسائل غير القابل للضغط من وعاء (الشكل 5). عندما يتدفق السائل خارج هذا الوعاء ، ينخفض ​​مستوى السائل ، أي سرعة سطح السائل ، بشكل عام ، تختلف عن الصفر. ومع ذلك ، بالنسبة لسفينة عريضة بما فيه الكفاية ذات منفذ ضيق ، يمكن افتراض ذلك Vz 1 – ض 2). بالنسبة للحمام الذي يبلغ ارتفاعه حوالي 0.5 متر ، تكون سرعة التدفق الخارج 2 »3.1 متر / ثانية.

تحتوي معادلات حركة المائع المثالي على واحد أكثر تكاملاً للتدفقات غير المستقرة ، وهو ما يسمى تكامل كوشي-لاغرانج. وهي صالحة للتدفقات التي لا توجد فيها دوامات. غالبًا ما يستخدم ، على سبيل المثال ، عند التفكير في حركات الموجة لسائل أو غاز.

موجات الصدمة كأحد المظاهر المهمة لانضغاط الغاز.

رياضياً ، تقبل معادلات الميكانيكا المائية المثالية حلولاً متقطعة ، أي المحاليل التي تحتوي على قفزات في معاملات الغاز (الكثافة والضغط والسرعة ودرجة الحرارة). أحد هذه المظاهر في الطبيعة هو تكوين موجة صدمة بالقرب من جسم يطير بسرعة تفوق سرعة الصوت في الطبقات الكثيفة من الغلاف الجوي للأرض. على سبيل المثال ، تشكيل موجة صدمة بالقرب من طائرة تفوق سرعة الصوت أو موجات صدمية بالقرب من النيازك تغزو الطبقات الكثيفة من الغلاف الجوي للأرض بسرعات عالية تفوق سرعة الصوت. في الفضاء الخارجي ، تُعرف موجات الصدمة بين الكواكب جيدًا ، والتي غالبًا ما تكون نتيجة العمليات النشطة على الشمس (على سبيل المثال ، التوهجات).

من المعروف أنه بالقرب من طائرات الركاب ، التي تحلق بشكل رئيسي مع موجات كبيرة دون سرعة الصوت ، لا تتشكل موجات صدمة. يجب أن يكون هناك جسم كروي نصف قطره ص(الشكل 6) ، الذي يطير في الهواء بسرعة تفوق سرعة الصوت. ثم يتم تشكيل موجة صدمة أمام مثل هذا الجسم في، وهي الحدود بين المنطقتين 1 و 2 ، والتي تختلف في قيم معلمات الغاز. في نظام الإحداثيات المرتبط بالجسم الطائر. تدفق الغاز إلى الجسم أثناء الراحة. دع المحور ثورموجهة على طول سرعة التدفق ، و الخامس 1 , ص 1 ، r1 و تي 1 - السرعة والضغط والكثافة ودرجة الحرارة ، على التوالي ، في تدفق الغاز غير المنقطع من الجسم (قبل موجة الصدمة). لا تقع الاضطرابات من الجسم في المنطقة 1 ، لأن الجسم يتحرك بسرعة تفوق سرعة الصوت. بما أن سرعة الغاز عند النقطة الأمامية للجسم لكنثم يختفي من النقطة لكنالى حد، الى درجة منيوجد على موجة الصدمة منطقة ذات سرعة غاز دون سرعة الصوت ، يتم الوصول إليها عن طريق الاضطرابات الجوية من جسم طائر. يكمن المعنى المادي لتشكيل موجة الصدمة في فصل تدفقات الغاز غير المضطربة والمضطربة. إذا كان من خلال الخامس

هذا يعني أن السرعة خلف موجة الصدمة تتناقص ، بينما يزداد الضغط والكثافة ودرجة الحرارة. تفسر الزيادة الكبيرة في درجة الحرارة خلف موجة الصدمة ذوبان المركبات الفضائية العائدة إلى الأرض والنيازك التي تغزو الغلاف الجوي بسرعات تفوق سرعة الصوت. تسمى موجات الصدمة هذه بموجات الصدمة الانضغاطية (تزداد كثافة الغاز). ومن المثير للاهتمام أن موجات الصدمة النادرة التي تنخفض فيها الكثافة لم تُلاحظ أبدًا في الطبيعة. رياضياً ، يُحظر تكوين موجات الصدمة النادرة بواسطة نظرية Zemplen المعروفة في الميكانيكا الهوائية

يمكن الحصول على العلاقات بين المعلمات ذات الدلائل "1" و "2" من القوانين المتكاملة لحفظ الكتلة والزخم والطاقة ، لأنها صالحة أيضًا للوظائف غير المستمرة. تسمى هذه العلاقات بعلاقات Hugoniot ولها الشكل (في نظام الإحداثيات المرتبط بموجة الصدمة)

r1 الخامس ن 1 = r2 الخامس ن 2 ؛ r1 الخامس ن 1الخامس 1 + ص 1 ن= r2 الخامس ن 2الخامس 2 + ص 2 ن ;

الخامس ن 1 = الخامس ن 2.

جنبًا إلى جنب مع معادلة الحالة ، تتيح هذه العلاقات تحديد قيم معلمات الغاز خلف موجة الصدمة (المؤشر "2") من قيم معلمات تدفق الغاز غير المنزعجة من موجة الصدمة ( فهرس "1").

يتم استخدام الجهاز الرياضي الموصوف للميكانيكا المائية في العديد من مجالات العلوم الطبيعية ، وللاستخدام الصحيح لهذا الجهاز ، يلزم فقط استيفاء معيار الاستمرارية المتوسطة ، أي. بالنسبة للغازات ، على سبيل المثال ، يجب أن يكون متوسط ​​المسار الحر للجسيمات أصغر بكثير من الأبعاد المميزة لأجسام التدفق قيد الدراسة. على وجه الخصوص ، في ظروف الفضاء ، غالبًا ما يكون الوسط مخلخلًا جدًا. في مثل هذه الوسائط ، بالطبع ، يكون متوسط ​​المسار الحر للجسيمات كبيرًا جدًا ، لكن أحجام كائنات الدراسة نفسها في كثير من الحالات تكون أكبر بكثير ، أي طرق الميكانيكا المائية قابلة للتطبيق أيضًا على مثل هذه الكائنات.

في الميكانيكا الحيوية ، باستخدام طرق الميكانيكا الهيدروميكانيكية ، تتم دراسة ميزات مثيرة للاهتمام لتدفق السوائل البيولوجية عبر الأوعية ، وفي علم المياه ، على سبيل المثال ، تتم دراسة مشاكل ديناميكيات الطبقات الداخلية للأرض. كل هذا يشهد على أهمية العلم المسمى "ميكانيكا الهواء المائي".

فلاديمير بارانوف

معادلة برنوليإحدى المعادلات الأساسية للميكانيكا المائية ، والتي ، تحت الحركة الثابتة لسائل مثالي غير قابل للضغط في مجال جاذبية موحد ، يكون لها الشكل:
Gh + p / ρ + v 2/2 = C ، (1)
حيث v هي سرعة السائل ، و كثافته ، و p هي الضغط فيه ، و h ارتفاع الجسيم السائل فوق مستوى أفقي معين ، و g تسارع السقوط الحر ، و C قيمة ثابتة على كل تبسيط ، ولكن في الحالة العامة تغيير قيمته عند الانتقال من تبسيط إلى آخر.

مجموع أول حدين على الجانب الأيسر من المعادلة (1) يساوي إجمالي الإمكانات ، والحد الثالث يساوي الطاقات الحركية ، المشار إليها بالوحدات. كتل من السائل لذلك ، فإن المعادلة بأكملها تعبر عن مائع متحرك عن قانون حفظ الطاقة الميكانيكية وتؤسس علاقة مهمة بين v و p و h. على سبيل المثال ، إذا زادت سرعة التدفق على طول الخط الانسيابي عند ثابت h ، فإن الضغط ينخفض ​​والعكس صحيح. يستخدم هذا القانون عند قياس السرعة باستخدام أنابيب القياس وفي القياسات الهوائية الأخرى.

يتم تقديم معادلة برنولي أيضًا في النموذج
h + p / γ + v 2 / 2g = C أو
γh + p + v 2/2 = C (2)
(حيث γ = ρg هي الثقل النوعي للسائل). في المساواة الأولى ، جميع المصطلحات لها أبعاد الطول وتسمى الارتفاعات الهندسية (التسوية) والقياسية البيزومترية والسرعة المقابلة ، وفي الثانية - أبعاد الضغط وتسمى على التوالي الوزن والضغوط الثابتة والديناميكية.

في الحالة العامة ، عندما يكون السائل قابلاً للانضغاط (غاز) ، ولكنه باروتروبي ، أي أن p فيه يعتمد فقط على ρ ، وعندما تحدث حركته في أي مجال محتمل للقوى الحجمية (الكتلة) (انظر مجال القوة) ، فإن يتم الحصول على معادلة برنولي نتيجة لمعادلات أويلر للميكانيكا المائية ولها الشكل:
П + dp / ρ + ع 2/2 = ج ، (3)
حيث P هي الطاقة الكامنة (المحتملة) لمجال قوى الجسم ، المشار إليها بالوحدات. كتل السائل. مع تدفق الغازات ، تتغير قيمة P قليلاً على طول الخط ، ويمكن تضمينها في ثابت من خلال تقديم (3) في النموذج:
∫ dp / ρ + ع 2/2 = ج (4)

في التطبيقات التقنية ، للتدفق المتوسط ​​عبر المقطع العرضي للقناة ، ما يسمى ب. معادلة برنولي المعممة: بالحفاظ على شكل المعادلتين (1) و (3) ، يشمل الجانب الأيسر عمل قوى الاحتكاك والتغلب على المقاومة الهيدروليكية ، وكذلك العمل الميكانيكي للسائل أو الغاز (عمل ضاغط أو توربينات ) مع العلامة المقابلة. تُستخدم معادلة برنولي المعممة على نطاق واسع في المكونات الهيدروليكية عند حساب تدفق السوائل والغازات في خطوط الأنابيب وفي الهندسة الميكانيكية عند حساب الضواغط والتوربينات والمضخات والآلات الهيدروليكية والغازية الأخرى.