بناء على طلبك!

1. القضاء على اللاعقلانية في المقام:

3. حل المعادلة الأسية:

4. حل المتباينة:

الجذر التربيعي الحسابي موجود فقط لعدد غير سالب ويتم التعبير عنه دائمًا برقم غير سالب، لذلك فإن هذا التفاوت سيكون صحيحًا للجميع X، استيفاء الشرط: 2-х≥0. من هنا نحصل على: x≤2. نكتب الإجابة على هيئة فترة عددية: (-؛ 2].

5. حل المتباينة: ٧ ×> ١.

الدير: تسمى الوظيفة الأسية دالة بالصيغة y \ u003d a x ، حيث a> 0 ، a ≠ 1 ، x هو أي رقم. نطاق الدالة الأسية هو مجموعة جميع الأرقام الموجبة، لأن الرقم الموجب لأي قوة سيكون موجبًا. لهذا السبب 7 ×> 0 لأي س ، وحتى أكثر من 7 ×> -1 ، أي المتباينة صحيحة لجميع س ∈ (-؛ + ∞).

6. تحويل إلى منتج:

نطبق صيغة مجموع الجيب: مجموع الجيب في زاويتين يساوي ضعف حاصل ضرب جيب نصف مجموع هذه الزوايا وجيب نصف الفرق بينهما.

8. من المعروف أن f (x) = -15x + 3. ما قيم x ، f (x) = 0؟

نعوض بالرقم 0 بدلاً من f (x) ونحل المعادلة:

15x + 3 = 0 ⇒ -15x = -3 ⇒ x = 3: 15 ⇒ x = 1/5.

11 . في السبائك الأولى والثانية ، يكون النحاس والزنك بنسبة 5: 2 و 3: 4. ما المقدار الذي يجب أن تؤخذ من كل سبيكة للحصول على 28 كجم من سبيكة جديدة ذات محتوى متساوٍ من النحاس والزنك.

نحن نفهم أن السبيكة الجديدة ستحتوي على 14 كجم من النحاس و 14 كجم من الزنك. يتم حل جميع المشكلات المماثلة بالطريقة نفسها: فهي تشكل معادلة في الجزأين الأيمن والأيسر لها نفس الكمية من المادة (لنأخذ النحاس) ، مكتوبة بطرق مختلفة (بناءً على الشروط المحددة للمشكلة). لدينا 14 كجم من النحاس في السبيكة الجديدة ستتكون من النحاس من كلا السبيكتين. دع كتلة السبيكة الأولى Xكجم ، ثم كتلة السبيكة الثانية هي ( 28)كلغ. يوجد في السبيكة الأولى 5 أجزاء من النحاس وجزئين من الزنك ، وبالتالي سيكون النحاس (5/7) × كجم. لإيجاد كسر من رقم ، اضرب الكسر في الرقم المحدد. في السبيكة الثانية ، 3 أجزاء من النحاس و 4 أجزاء من الزنك ، أي يحتوي النحاس على (3/7) من (28) كغم. وبالتالي:

12. حل المعادلة: log 2 8 x = -1.

حسب تعريف اللوغاريتم:

8 س = 2 -1 ⇒ 2 3 س = 2 -1 ⇒ 3 س = -1 ⇒ س = -1/3.

15. أوجد مشتق الدالة f (x) = -ln cosx 2.

20. أوجد قيمة التعبير:

لا يمكن التعبير عن معامل العدد إلا كرقم غير سالب.إذا كان هناك تعبير سلبي تحت علامة الوحدة ، فعند فتح أقواس الوحدة ، تتم كتابة جميع المصطلحات بعلامات معاكسة.

22. حل نظام عدم المساواة:

أولًا ، نحل كل متباينة على حدة.

لاحظ أن أصغر فترة مشتركة لهذه الوظائف ستكون 2π ،لذلك ، تم نسب كل من اليسار واليمين 2πn. الجواب ج).

23. أوجد مساحة الشكل المحدد بمخطط الدالة y = 3- | x-3 | والخط المستقيم y = 0.

يتكون الرسم البياني لهذه الدالة من نصفين يخرجان من نقطة واحدة. لنكتب معادلات الخطوط. بالنسبة إلى x≥3 ، نوسع الأقواس المعيارية ونحصل على: y = 3-x + 3 ⇒ ص = 6 س.بالنسبة إلى x<3 получаем функцию: y=3+x-3 ⇒ ص = س.

المثلث الذي يحده رسم بياني لدالة والجزء من المحور x هو شكل يجب إيجاد مساحته. بالطبع ، سنفعل هنا بدون تكاملات. نحسب مساحة المثلث على شكل نصف حاصل ضرب قاعدته والارتفاع المرسوم على هذه القاعدة. قاعدتنا تساوي 6 أجزاء من الوحدات ، والارتفاع المرسوم على هذه القاعدة يساوي 3 أجزاء من الوحدات. ستكون المساحة 9 متر مربع. الوحدات

24. أوجد جيب تمام الزاوية أ لمثلث رءوسه عند النقاط أ (1 ؛ 4) ، ب (-2 ؛ 3) ، ج (4 ؛ 2).

للعثور على إحداثيات المتجه المعطاة من إحداثيات نهاياته ، تحتاج إلى طرح إحداثيات البداية من إحداثيات النهاية.

تتشكل الزاوية أ بواسطة المتجهات:

25. يوجد 23 كرة في صندوق: أحمر وأبيض وأسود. عدد الكرات البيضاء أكثر 11 مرة من الكرات الحمراء. كم عدد الكرات السوداء؟

فليكن في الصندوق Xكرات حمراء. ثم البيض 11 ضعفًاكرات.

الأحمر والأبيض x + 11x = 12 ضعفًاكرات. لذلك ، الكرات السوداء من 23 إلى 12 ساعة.نظرًا لأن هذا عدد صحيح من الكرات ، فإن القيمة الوحيدة الممكنة هي س = 1. اتضح: 1 كرة حمراء ، 11 كرة بيضاء و 11 كرات سوداء.

تعليمات

لنفترض وجود متجهين غير صفريين على المستوى ، تم رسمهما من نقطة واحدة: المتجه A بالإحداثيات (x1 ، y1) B مع الإحداثيات (x2 ، y2). ركنبينهما يشار إلى θ. للعثور على درجة قياس الزاوية θ ، تحتاج إلى استخدام تعريف حاصل الضرب القياسي.

الناتج العددي لمتجهين غير صفريين هو رقم يساوي حاصل ضرب أطوال هذه المتجهات وجيب الزاوية بينهما ، أي (أ ، ب) = | أ | * | ب | * كوس ( θ). أنت الآن بحاجة إلى التعبير عن جيب تمام الزاوية من هذا: cos (θ) = (A ، B) / (| A | * | B |).

يمكن أيضًا إيجاد المنتج القياسي باستخدام الصيغة (A ، B) = x1 * x2 + y1 * y2 ، نظرًا لأن حاصل ضرب متجهين غير صفريين يساوي مجموع حاصل ضرب المتجهات المقابلة. إذا كان الناتج القياسي للمتجهات غير الصفرية يساوي صفرًا ، فإن المتجهات تكون متعامدة (الزاوية بينهما 90 درجة) ويمكن حذف المزيد من الحسابات. إذا كان الناتج القياسي لمتجهين موجبًا ، فإن الزاوية بينهما ثلاثة أبعادحادة ، وإذا كانت سالبة ، تكون الزاوية منفرجة.

الآن احسب أطوال المتجهات A و B باستخدام الصيغ: | A | = √ (x1² + y1²)، | B | = √ (x2² + y2²). يُحسب طول المتجه على أنه الجذر التربيعي لمجموع مربعات إحداثياته.

استبدل القيم التي تم العثور عليها للمنتج القياسي وأطوال المتجهات في صيغة الزاوية التي تم الحصول عليها في الخطوة 2 ، أي ، cos (θ) = (x1 * x2 + y1 * y2) / (√ (x1² + y1²) + √ (x2² + y2²)). الآن ، بمعرفة قيمة ، لإيجاد درجة قياس الزاوية الواقعة بين ثلاثة أبعادتحتاج إلى استخدام جدول Bradis أو أن تأخذ من هذا: θ = arccos (cos (θ)).

إذا تم إعطاء المتجهين A و B في مساحة ثلاثية الأبعاد وإحداثياتهما (x1 ، y1 ، z1) و (x2 ، y2 ، z2) ، على التوالي ، فسيتم إضافة إحداثي آخر عند إيجاد جيب التمام للزاوية. في هذه الحالة جيب التمام: cos (θ) = (x1 * x2 + y1 * y2 + z1 * z2) / (√ (x1² + y1² + z1²) + √ (x2² + y2² + z2²)).

نصائح مفيدة

إذا لم يتم رسم متجهين من نقطة واحدة ، فعندئذٍ للعثور على الزاوية بينهما بترجمة متوازية ، تحتاج إلى دمج بدايات هذين المتجهين.
لا يمكن أن تكون الزاوية بين متجهين أكبر من 180 درجة.

مصادر:

• كيفية حساب الزاوية بين المتجهات
• الزاوية بين الخط والمستوى

لحل العديد من المسائل ، التطبيقية والنظرية ، في الفيزياء والجبر الخطي ، من الضروري حساب الزاوية بين المتجهات. يمكن أن تسبب هذه المهمة التي تبدو بسيطة الكثير من الصعوبات إذا لم تفهم بوضوح جوهر المنتج القياسي والقيمة التي تظهر كنتيجة لهذا المنتج.

تعليمات

الزاوية بين المتجهات في فضاء متجه خطي هي الزاوية الصغرى عندها يتحقق اتجاه كود المتجهات. يتم حمل أحد النواقل حول نقطة البداية. يتضح من التعريف أن قيمة الزاوية لا يمكن أن تتجاوز 180 درجة (انظر الخطوة).

في هذه الحالة ، يُفترض تمامًا أنه في الفضاء الخطي ، عندما يتم نقل المتجهات بالتوازي ، لا تتغير الزاوية بينهما. لذلك ، بالنسبة للحساب التحليلي للزاوية ، لا يهم الاتجاه المكاني للمتجهات.

تكون نتيجة حاصل الضرب النقطي رقمًا ، وإلا فهو عددي. تذكر (من المهم أن تعرف) من أجل منع الأخطاء في العمليات الحسابية الأخرى. صيغة المنتج العددي ، الموجودة على مستوى أو في فضاء المتجهات ، لها الشكل (انظر الشكل الخاص بالخطوة).

إذا كانت المتجهات موجودة في الفضاء ، فقم بإجراء الحساب بطريقة مماثلة. الشيء الوحيد هو ظهور المصطلح في الأرباح - هذا هو المصطلح للتطبيق ، أي المكون الثالث للناقل. وفقًا لذلك ، عند حساب معامل المتجهات ، يجب أيضًا مراعاة المكون z ، ثم بالنسبة للمتجهات الموجودة في الفضاء ، يتم تحويل التعبير الأخير على النحو التالي (انظر الشكل 6 إلى الخطوة).

المتجه هو قطعة مستقيمة ذات اتجاه محدد. للزاوية بين المتجهات معنى فيزيائي ، على سبيل المثال ، عند إيجاد طول إسقاط متجه على محور.

تعليمات

الزاوية بين متجهين غير صفريين باستخدام حساب حاصل الضرب القياسي. بحكم التعريف ، المنتج يساوي حاصل ضرب الأطوال والزاوية بينهما. من ناحية أخرى ، يتم حساب المنتج الداخلي للمتجهين a بإحداثيات (x1 ؛ y1) و b بالإحداثيات (x2 ؛ y2): ab = x1x2 + y1y2. من بين هاتين الطريقتين ، من السهل تحديد زاوية الضرب النقطي بين المتجهات.

أوجد أطوال المتجهات أو وحداتها. بالنسبة لناقلاتنا a و b: | a | = (x1² + y1²) ^ 1/2، | b | = (x2² + y2²) ^ 1/2.

أوجد الناتج الداخلي للمتجهات بضرب إحداثياتها في أزواج: ab = x1x2 + y1y2. من تعريف المنتج النقطي ab = | a | * | b | * cos α ، حيث α هي الزاوية بين المتجهات. ثم نحصل على x1x2 + y1y2 = | a | * | b | * cos α. ثم cos α = (x1x2 + y1y2) / (| a | * | b |) = (x1x2 + y1y2) / ((x1² + y1²) (x2² + y2²)) ^ 1/2.

أوجد الزاوية α باستخدام جداول Bradys.

فيديوهات ذات علاقة

ملاحظة

المنتج القياسي هو خاصية عددية لأطوال المتجهات والزاوية بينهما.

الطائرة هي أحد المفاهيم الأساسية في الهندسة. المستوى هو السطح الذي يكون بيانه صحيحًا - أي خط مستقيم يربط بين نقطتين ينتمي بالكامل إلى هذا السطح. عادةً ما يتم الإشارة إلى الطائرات بالأحرف اليونانية α و β و γ وما إلى ذلك. تتقاطع طائرتان دائمًا في خط مستقيم ينتمي إلى كلا المستويين.

تعليمات

ضع في اعتبارك أنصاف المستويات α و المتكونة عند تقاطع. تتكون الزاوية من خط مستقيم a ونصف مستويين α و بزاوية ثنائية السطوح. في هذه الحالة ، فإن أنصاف المستويات التي تشكل زاوية ثنائية السطوح من الوجوه ، ويسمى الخط أ الذي تتقاطع على طوله الطائرات حافة الزاوية ثنائية السطوح.

الزاوية ثنائية السطوح ، مثل الزاوية المسطحة ، بالدرجات. لعمل زاوية ثنائية الأضلاع ، من الضروري اختيار نقطة عشوائية O على وجهها ، وفي كلاهما ، يتم رسم شعاعين a عبر النقطة O. تسمى الزاوية الناتجة AOB الزاوية الخطية للزاوية ثنائية السطوح a.

لذلك ، دع المتجه V = (a ، b ، c) والمستوى A x + B y + C z = 0 ، حيث A و B و C هي إحداثيات العمودي N. ثم جيب تمام الزاوية α بين المتجهين V و N هي: cos α \ u003d (a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²)).

لحساب قيمة الزاوية بالدرجات أو الراديان ، تحتاج إلى حساب الدالة العكسية لجيب التمام من التعبير الناتج ، أي arccosine: α \ u003d arscos ((a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²))).

مثال: البحث عن ركنما بين المتجه(5 ، -3 ، 8) و طائرة، معطى بالمعادلة العامة 2 x - 5 y + 3 z = 0. الحل: اكتب إحداثيات المتجه الطبيعي للمستوى N = (2، -5، 3). عوّض بكل القيم المعروفة في الصيغة أعلاه: cos α = (10 + 15 + 24) / √3724 ≈ 0.8 → α = 36.87 °.

فيديوهات ذات علاقة

اكتب معادلة واعزل جيب التمام عنها. وفقًا لصيغة واحدة ، يكون الناتج القياسي للمتجهات يساوي أطوالها مضروبة في بعضها البعض وبجيب التمام زاوية، ومن ناحية أخرى - مجموع حاصل ضرب الإحداثيات على طول كل محور. بمساواة كلتا الصيغتين ، يمكننا استنتاج أن جيب التمام زاويةيجب أن تكون مساوية لنسبة مجموع حاصل ضرب الإحداثيات إلى حاصل ضرب أطوال المتجهات.

اكتب المعادلة الناتجة. للقيام بذلك ، نحتاج إلى تعيين كلا المتجهين. لنفترض أنه تم تقديمها في نظام ديكارتي ثلاثي الأبعاد وأن نقاط بدايتها في شبكة. سيتم تحديد اتجاه وحجم المتجه الأول بالنقطة (X₁ ، Y₁ ، Z₁) ، والثاني - (X₂ ، Y₂ ، Z₂) ، وسيتم الإشارة إلى الزاوية بالحرف γ. ثم يمكن أن تكون أطوال كل من المتجهات ، على سبيل المثال ، وفقًا لنظرية فيثاغورس لتكوينها من إسقاطاتها على كل من محاور الإحداثيات: √ (X₁² + Y₁² + Z₁²) و √ (X₂² + Y₂² + Z₂²). استبدل هذه التعبيرات بالصيغة التي تمت صياغتها في الخطوة السابقة وستحصل على المساواة: cos (γ) = (X₁ * X₂ + Y₁ * Y₂ + Z₁ * Z₂) / (√ (X₁² + Y₁² + Z₁²) * √ (X₂² + Y₂² + Z₂²)).

استخدم حقيقة أن مجموع التربيع التجويفوشارك التجويفمن زاويةقيمة واحدة تعطي قيمة واحدة دائمًا. ومن ثم ، برفع ما تم الحصول عليه في الخطوة السابقة للشركة التجويفتربيع وطرح من الوحدة ، ثم

الزاوية بين متجهين:

إذا كانت الزاوية بين متجهين حادة ، يكون حاصل الضرب النقطي موجبًا ؛ إذا كانت الزاوية بين المتجهات منفرجة ، فإن الناتج القياسي لهذه المتجهات يكون سالبًا. يكون الناتج القياسي لمتجهين غير صفريين صفرًا فقط إذا كانت هذه المتجهات متعامدة.

المهمة.أوجد الزاوية بين المتجهات و

قرار.جيب التمام للزاوية المرغوبة

16. حساب الزاوية بين الخطوط المستقيمة والخط المستقيم والمستوى

الزاوية بين الخط والمستوىيتقاطع مع هذا الخط وليس بشكل عمودي عليه الزاوية بين الخط وإسقاطه على هذا المستوى.

يتيح لنا تحديد الزاوية بين الخط والمستوى أن نستنتج أن الزاوية بين خط ومستوى هي الزاوية بين خطين متقاطعين: الخط نفسه وإسقاطه على المستوى. إذن ، الزاوية بين الخط والمستوى هي زاوية حادة.

تعتبر الزاوية بين الخط العمودي والمستوى متساوية ، والزاوية بين الخط الموازي والمستوى إما غير محددة على الإطلاق ، أو تعتبر مساوية لها.

§ 69. حساب الزاوية بين الخطوط المستقيمة.

يتم حل مشكلة حساب الزاوية بين خطين مستقيمين في الفضاء بنفس الطريقة كما في المستوى (الفقرة 32). قم بالإشارة ب φ الزاوية بين السطور ل 1 و ل 2 ، ومن خلال ψ - الزاوية بين متجهات الاتجاه أ و ب هذه الخطوط المستقيمة.

ثم إذا

ψ 90 درجة (الشكل 206.6) ، ثم φ = 180 درجة - ψ. من الواضح أنه في كلتا الحالتين ، تكون المساواة cos φ = | cos ψ | صحيحة. بالصيغة (1) § 20 لدينا

بالتالي،

دع الخطوط تعطى من خلال معادلاتها الأساسية

ثم يتم تحديد الزاوية φ بين السطور باستخدام الصيغة

إذا تم إعطاء أحد الخطين (أو كليهما) بواسطة معادلات غير متعارف عليها ، فعند حساب الزاوية ، تحتاج إلى إيجاد إحداثيات متجهات الاتجاه لهذه الخطوط ، ثم استخدام الصيغة (1).

17. الخطوط المتوازية ، نظريات الخطوط المتوازية

تعريف.يتم استدعاء خطين في المستوى موازىإذا لم يكن لديهم نقاط مشتركة.

يتم استدعاء سطرين في ثلاثة أبعاد موازىإذا كانوا يقعون في نفس المستوى وليس لديهم نقاط مشتركة.

الزاوية بين متجهين.

من تعريف المنتج النقطي:

.

شرط تعامد اثنين من النواقل:

شرط العلاقة الخطية المتداخلة لمتجهين:

.

يتبع من التعريف 5 -. في الواقع ، من تعريف منتج المتجه برقم ، فإنه يتبع. لذلك ، بناءً على قاعدة المساواة المتجهة ، نكتب ، ، مما يعني . لكن المتجه الناتج عن ضرب المتجه برقم ما يكون على علاقة خطية للمتجه.

الإسقاط المتجه إلى المتجه:

.

مثال 4. نقاط معينة ، ، ،.

ابحث عن المنتج القياسي.

قرار. نجد من خلال صيغة الناتج القياسي للمتجهات المعطاة بإحداثياتها. بسبب ال

, ,

مثال 5نقاط معينة ، ، ،.

ابحث عن الإسقاط.

قرار. بسبب ال

, ,

بناءً على صيغة الإسقاط ، لدينا

.

مثال 6نقاط معينة ، ، ،.

أوجد الزاوية بين المتجهين و.

قرار. لاحظ أن النواقل

, ,

ليست على علاقة خطية متداخلة ، لأن إحداثياتها ليست متناسبة:

.

هذه المتجهات أيضًا ليست متعامدة ، نظرًا لأن حاصل الضرب النقطي لها.

لنجد ،

ركن تجد من الصيغة:

.

مثال 7تحديد النواقل و علاقة خطية متداخلة.

قرار. في حالة العلاقة الخطية المتداخلة ، الإحداثيات المقابلة للمتجهات ويجب أن تكون متناسبة ، أي:

.

من هنا و.

المثال 8. حدد قيمة المتجه و عمودي.

قرار. المتجه وتكون متعامدة إذا كان حاصل الضرب النقطي يساوي صفرًا. من هذه الحالة نحصل على:. هذا هو، .

المثال 9. يجد ، إذا ، ، ​​.

قرار. نظرًا لخصائص المنتج القياسي ، لدينا:

المثال 10. أوجد الزاوية بين المتجهات وأين و - متجهات الوحدة والزاوية بين المتجهات وتساوي 120 درجة.

قرار. نملك: , ,

أخيرًا لدينا: .

5 ب. ناقلات المنتج.

التعريف 21.ناقلات الفنالمتجه إلى المتجه يسمى المتجه ، أو يتم تعريفه من خلال الشروط الثلاثة التالية:

1) وحدة المتجه ، أين هي الزاوية بين المتجهات و ، أي .

ويترتب على ذلك أن مقياس حاصل الضرب الاتجاهي يساوي عدديًا مساحة متوازي الأضلاع المبنية على المتجهات وعلى الجوانب.

2) يكون المتجه عموديًا على كل من المتجهات و (؛) ، أي عمودي على مستوى متوازي الأضلاع المبني على المتجهات و.

3) يتم توجيه المتجه بطريقة أنه إذا تم عرضه من نهايته ، فإن أقصر دورة من المتجه إلى المتجه ستكون عكس اتجاه عقارب الساعة (المتجهات ، تشكل ثلاثية يمنى).

كيف تحسب الزوايا بين المتجهات؟

عند دراسة الهندسة ، تثار أسئلة كثيرة حول موضوع المتجهات. يواجه الطالب صعوبات خاصة عندما يكون من الضروري إيجاد الزوايا بين المتجهات.

الشروط الأساسية

قبل النظر في الزوايا بين المتجهات ، من الضروري أن تتعرف على تعريف المتجه ومفهوم الزاوية بين المتجهات.

المتجه هو مقطع له اتجاه ، أي مقطع يتم تحديد بدايته ونهايته.

الزاوية بين متجهين على مستو لهما أصل مشترك هي أصغر الزوايا ، حيث يلزم تحريك أحد المتجهات حول نقطة مشتركة إلى موضع تتطابق فيه اتجاهاتهما.

صيغة الحل

بمجرد أن تفهم ماهية المتجه وكيف يتم تحديد زاويته ، يمكنك حساب الزاوية بين المتجهات. معادلة الحل بسيطة للغاية ، وستكون نتيجة تطبيقها هي قيمة جيب التمام للزاوية. بحكم التعريف ، فهو يساوي حاصل حاصل الضرب القياسي للمتجهات وحاصل ضرب أطوالها.

يعتبر الناتج القياسي للمتجهات على أنه مجموع الإحداثيات المقابلة لناقلات المضاعف مضروبة في بعضها البعض. يُحسب طول المتجه أو مقياسه على أنه الجذر التربيعي لمجموع مربعات إحداثياته.

بعد تلقي قيمة جيب التمام للزاوية ، يمكنك حساب قيمة الزاوية نفسها باستخدام آلة حاسبة أو باستخدام جدول مثلثي.

مثال

بعد معرفة كيفية حساب الزاوية بين المتجهات ، يصبح حل المشكلة المقابلة بسيطًا ومباشرًا. كمثال ، ضع في اعتبارك المشكلة البسيطة المتمثلة في إيجاد مقدار الزاوية.

بادئ ذي بدء ، سيكون من الأنسب حساب قيم أطوال المتجهات وحاصل ضربها القياسي الضروري للحل. باستخدام الوصف أعلاه ، نحصل على:

باستبدال القيم التي تم الحصول عليها في الصيغة ، نحسب قيمة جيب التمام للزاوية المطلوبة:

هذا الرقم ليس واحدًا من قيم جيب التمام الخمس الشائعة ، لذا للحصول على قيمة الزاوية ، سيتعين عليك استخدام آلة حاسبة أو جدول Bradis المثلثي. لكن قبل الحصول على الزاوية بين المتجهين ، يمكن تبسيط الصيغة للتخلص من العلامة السالبة الإضافية:

يمكن ترك الإجابة النهائية بهذه الصورة للحفاظ على الدقة ، أو يمكنك حساب قيمة الزاوية بالدرجات. وفقًا لجدول Bradis ، ستكون قيمته حوالي 116 درجة و 70 دقيقة ، وستظهر الآلة الحاسبة قيمة 116.57 درجة.

حساب الزاوية في الفضاء ذي البعد n

عند التفكير في متجهين في الفضاء ثلاثي الأبعاد ، يكون من الصعب جدًا فهم الزاوية التي نتحدث عنها إذا لم تكن في نفس المستوى. لتبسيط الإدراك ، يمكنك رسم جزأين متقاطعين يشكلان أصغر زاوية بينهما ، وسيكون الجزء المرغوب فيه. على الرغم من وجود إحداثي ثالث في المتجه ، فإن عملية كيفية حساب الزوايا بين المتجهات لن تتغير. احسب المنتج العددي والوحدات النمطية للمتجهات ، وجزء قوس قوس قسمة حاصل القسمة ، وستكون الإجابة على هذه المشكلة.

في الهندسة ، غالبًا ما تحدث المشكلات مع المساحات التي لها أكثر من ثلاثة أبعاد. لكن بالنسبة لهم ، تبدو خوارزمية إيجاد الإجابة متشابهة.

الفرق بين 0 و 180 درجة

أحد الأخطاء الشائعة عند كتابة إجابة لمسألة مصممة لحساب الزاوية بين المتجهات هو قرار كتابة أن المتجهات متوازية ، أي أن الزاوية المرغوبة كانت 0 أو 180 درجة. هذه الإجابة غير صحيحة.

بعد الحصول على قيمة زاوية مقدارها 0 درجة كنتيجة للحل ، ستكون الإجابة الصحيحة هي تعيين المتجهات على أنها ذات اتجاه مشترك ، أي أن المتجهات سيكون لها نفس الاتجاه. في حالة الحصول على 180 درجة ، ستكون المتجهات في طبيعة الاتجاهات المعاكسة.

نواقل محددة

من خلال إيجاد الزوايا بين المتجهات ، يمكن العثور على أحد الأنواع الخاصة ، بالإضافة إلى تلك الموجهة بشكل مشترك والموجهة بشكل معاكس الموصوفة أعلاه.

• عدة نواقل موازية لمستوى واحد تسمى متحد المستوى.
• تسمى المتجهات المتشابهة في الطول والاتجاه بالتساوي.
• المتجهات التي تقع على نفس الخط المستقيم ، بغض النظر عن الاتجاه ، تسمى خطية متداخلة.
• إذا كان طول المتجه صفرًا ، أي أن بدايته ونهايته متطابقتان ، فيسمى صفر ، وإذا كان واحدًا ، فيسمى واحدًا.

كيف تجد الزاوية بين المتجهات؟

ساعدني من فضلك! أعرف الصيغة ولكن لا يمكنني حلها
المتجه أ (8 ؛ 10 ؛ 4) المتجه ب (5 ؛ -20 ؛ -10)

الكسندر تيتوف

تم إيجاد الزاوية بين المتجهات المعطاة من خلال إحداثياتها وفقًا للخوارزمية القياسية. تحتاج أولاً إلى إيجاد حاصل الضرب القياسي للمتجهين a و b: (a، b) = x1x2 + y1y2 + z1z2. نستبدل إحداثيات هذه المتجهات ونأخذ في الاعتبار:
(أ ، ب) = 8 * 5 + 10 * (- 20) = 4 * (- 10) = 40 - 200 - 40 = -200.
بعد ذلك ، نحدد أطوال كل من المتجهات. طول أو مقياس المتجه هو الجذر التربيعي لمجموع مربعات إحداثياته:
| أ | = جذر (x1 ^ 2 + y1 ^ 2 + z1 ^ 2) = جذر (8 ^ 2 + 10 ^ 2 + 4 ^ 2) = جذر (64 + 100 + 16) = جذر 180 = 6 جذور خمسة
| ب | = الجذر التربيعي لـ (x2 ^ 2 + y2 ^ 2 + z2 ^ 2) = الجذر التربيعي لـ (5 ^ 2 + (-20) ^ 2 + (-10) ^ 2) = الجذر التربيعي لـ (25 + 400 + 100 ) = الجذر التربيعي من 525 = 5 جذور من 21.
نضرب هذه الأطوال. نحصل على 30 جذرًا من 105.
وأخيرًا ، نقسم الناتج القياسي للمتجهات على حاصل ضرب أطوال هذه المتجهات. نحصل على -200 / (30 جذور من أصل 105) أو
- (4 جذور 105) / 63. هذا هو جيب تمام الزاوية بين المتجهات. والزاوية نفسها تساوي جيب التمام القوسي لهذا العدد
f \ u003d arccos (-4 جذور 105) / 63.
إذا عدت بشكل صحيح.

كيفية حساب جيب الزاوية بين المتجهات من إحداثيات المتجهات

ميخائيل تكاتشيف

نضرب هذه المتجهات. حاصل ضربهم النقطي يساوي حاصل ضرب أطوال هذه المتجهات وجيب تمام الزاوية بينهما.
الزاوية غير معروفة لنا ، لكن الإحداثيات معروفة.
دعنا نكتبها رياضيا مثل هذا.
دعونا ، بالنظر إلى المتجهين a (x1 ؛ y1) و b (x2 ؛ y2)
ثم

أ * ب = | أ | * | ب | * cosA

CosA = a * b / | a | * | b |

نتجادل.
أ * حاصل الضرب القياسي للناقلات يساوي مجموع حاصل ضرب الإحداثيات المقابلة لإحداثيات هذه المتجهات ، أي يساوي x1 * x2 + y1 * y2

| أ | * | ب | - منتج أطوال المتجهات يساوي √ ((x1) ^ 2 + (y1) ^ 2) * √ ((x2) ^ 2 + (y2) ^ 2).

إذن ، جيب تمام الزاوية بين المتجهات هو:

CosA = (x1 * x2 + y1 * y2) / √ ((x1) ^ 2 + (y1) ^ 2) * √ ((x2) ^ 2 + (y2) ^ 2)

بمعرفة جيب التمام لزاوية ، يمكننا حساب جيبها. دعونا نناقش كيفية القيام بذلك:

إذا كان جيب التمام لزاوية موجبًا ، فإن هذه الزاوية تقع في 1 أو 4 على أرباع ، لذا فإن جيبها إما موجب أو سالب. ولكن بما أن الزاوية بين المتجهين أقل من 180 درجة أو تساويها ، فإن جيبها يكون موجبًا. نجادل بالمثل إذا كان جيب التمام سالبًا.

SinA = √ (1-cos ^ 2A) = √ (1 - ((x1 * x2 + y1 * y2) / √ ((x1) ^ 2 + (y1) ^ 2) * √ ((x2) ^ 2 + ( y2) ^ 2)) ^ 2)

هذا كل شيء)))) حظا سعيدا في اكتشاف ذلك)))

ديمتري ليفيشيف

حقيقة أنه من المستحيل وضع شرط مباشر ليس صحيحًا.
بالإضافة إلى الصيغة:
(أ ، ب) = | أ | * | ب | * كوس أ
يوجد أيضًا هذا:
|| = | أ | * | ب | * خطيئة أ
أي ، بدلاً من المنتج القياسي ، يمكنك أن تأخذ الوحدة النمطية للمنتج المتجه.

حاصل الضرب النقطي للناقلات

نواصل التعامل مع النواقل. في الدرس الأول ناقلات للدمىلقد درسنا مفهوم المتجه والإجراءات ذات المتجهات وإحداثيات المتجهات وأبسط المشاكل مع المتجهات. إذا أتيت إلى هذه الصفحة لأول مرة من محرك بحث ، فإنني أوصي بشدة بقراءة المقالة التمهيدية أعلاه ، لأنه من أجل استيعاب المادة ، يجب أن يتم إرشادك في المصطلحات والترميز الذي أستخدمه ، ولديك معرفة أساسية بالمتجهات وتكون قادرة على حل المشاكل الأولية. هذا الدرس هو استمرار منطقي للموضوع ، وفيه سأحلل بالتفصيل المهام النموذجية التي تستخدم المنتج القياسي للمتجهات. هذه وظيفة مهمة جدا.. حاول ألا تتخطى الأمثلة ، فهي تأتي مع مكافأة مفيدة - ستساعدك هذه الممارسة على دمج المادة المغطاة و "الحصول على يدك" في حل المشكلات الشائعة في الهندسة التحليلية.

إضافة المتجهات ، وضرب متجه برقم…. سيكون من السذاجة الاعتقاد بأن علماء الرياضيات لم يأتوا بشيء آخر. بالإضافة إلى الإجراءات التي تم النظر فيها بالفعل ، هناك عدد من العمليات الأخرى ذات النواقل ، وهي: حاصل الضرب النقطي للناقلات, عبر المنتج من النواقلو منتج مختلط من النواقل. المنتج القياسي للناقلات مألوف لنا من المدرسة ، والمنتجان الآخران مرتبطان تقليديًا بمسار الرياضيات العليا. الموضوعات بسيطة ، وخوارزمية حل العديد من المشكلات مقولبة ومفهومة. الشيء الوحيد. هناك قدر لا بأس به من المعلومات ، لذلك من غير المرغوب فيه محاولة إتقان كل شيء وحله مرة واحدة. هذا ينطبق بشكل خاص على الدمى ، صدقوني ، المؤلف لا يريد مطلقًا أن يشعر وكأنه تشيكاتيلو من الرياضيات. حسنًا ، ليس من الرياضيات ، بالطبع ، إما =) يمكن للطلاب الأكثر استعدادًا استخدام المواد بشكل انتقائي ، بمعنى معين ، "لاكتساب" المعرفة المفقودة ، لأنني سأكون كونت دراكولا غير ضار =)

أخيرًا ، لنفتح الباب قليلاً ونلقي نظرة على ما يحدث عندما يلتقي متجهان مع بعضهما البعض….

تعريف المنتج العددي للناقلات.
خصائص المنتج العددي. المهام النموذجية

مفهوم المنتج النقطي

أولا الزاوية بين النواقل. أعتقد أن الجميع يفهم بشكل حدسي الزاوية بين المتجهات ، ولكن فقط في حالة ، أكثر من ذلك بقليل. ضع في اعتبارك ناقلات حرة غير صفرية وملفات. إذا قمنا بتأجيل هذه النواقل من نقطة اعتباطية ، فسنحصل على صورة قدمها الكثيرون بالفعل ذهنيًا:

أعترف ، هنا وصفت الوضع فقط على مستوى التفاهم. إذا كنت بحاجة إلى تعريف صارم للزاوية بين المتجهات ، فيرجى الرجوع إلى الكتاب المدرسي ، ولكن بالنسبة للمهام العملية ، فنحن ، من حيث المبدأ ، لسنا بحاجة إليها. هنا أيضًا وأكثر ، سأتجاهل أحيانًا صفر نواقل نظرًا لأهميتها العملية المنخفضة. لقد قمت بالحجز خصيصًا لزوار الموقع المتقدمين ، والذين يمكنهم أن يوبخوني لعدم اكتمال بعض العبارات التالية نظريًا.

يمكن أن تأخذ قيمًا من 0 إلى 180 درجة (من 0 إلى راديان) ضمناً. من الناحية التحليلية ، تمت كتابة هذه الحقيقة على أنها عدم مساواة مزدوجة: أو (بالتقدير الدائري).

في الأدبيات ، غالبًا ما يتم حذف رمز الزاوية وكتابته ببساطة.

تعريف:الناتج العددي لمتجهين هو رقم يساوي حاصل ضرب أطوال هذه المتجهات وجيب الزاوية بينهما:

الآن هذا تعريف صارم جدًا.

نحن نركز على المعلومات الأساسية:

تعيين:يتم الإشارة إلى المنتج القياسي بواسطة أو ببساطة.

نتيجة العملية هي NUMBER: اضرب المتجه بمتجه للحصول على رقم. في الواقع ، إذا كانت أطوال المتجهات أرقامًا ، فإن جيب تمام الزاوية هو رقم ، ثم ناتجها سيكون أيضًا رقمًا.

مجرد بعض الأمثلة للإحماء:

مثال 1

قرار:نستخدم الصيغة . في هذه الحالة:

إجابه:

يمكن العثور على قيم جيب التمام في الجدول المثلثي. أوصي بطباعته - ستكون مطلوبة في جميع أقسام البرج تقريبًا وستكون مطلوبة عدة مرات.

من وجهة نظر رياضية بحتة ، المنتج القياسي بلا أبعاد ، أي أن النتيجة ، في هذه الحالة ، هي مجرد رقم وهذا كل شيء. من وجهة نظر مشاكل الفيزياء ، يكون للمنتج القياسي دائمًا معنى ماديًا معينًا ، أي بعد النتيجة ، يجب الإشارة إلى وحدة مادية أو أخرى. يمكن العثور على المثال الأساسي لحساب عمل القوة في أي كتاب مدرسي (الصيغة هي بالضبط حاصل الضرب النقطي). يتم قياس عمل القوة بالجول ، لذلك ستتم كتابة الإجابة بشكل محدد تمامًا ، على سبيل المثال ،.

مثال 2

ابحث عما إذا كان ، والزاوية بين المتجهات.

هذا مثال للقرار الذاتي ، الجواب في نهاية الدرس.

الزاوية بين المتجهات وقيمة المنتج النقطي

في المثال 1 ، تبين أن المنتج القياسي موجب ، وفي المثال 2 ، تبين أنه سلبي. دعنا نتعرف على ما تعتمد عليه علامة المنتج القياسي. لنلقِ نظرة على صيغتنا: . أطوال المتجهات غير الصفرية تكون دائمًا موجبة: لذلك يمكن أن تعتمد الإشارة فقط على قيمة جيب التمام.

ملحوظة: لفهم المعلومات الواردة أدناه بشكل أفضل ، من الأفضل دراسة الرسم البياني لجيب التمام في الدليل الرسوم البيانية وخصائص الوظيفة. انظر كيف يتصرف جيب التمام على القطعة.

كما لوحظ بالفعل ، يمكن أن تختلف الزاوية بين المتجهات في الداخل ، والحالات التالية ممكنة:

1) إذا ركنبين النواقل حار: (من 0 إلى 90 درجة) ، إذن ، و سيكون المنتج النقطي إيجابيًا شارك في الإخراج، فإن الزاوية بينهما تعتبر صفرًا ، ويكون الناتج القياسي أيضًا موجبًا. منذ ذلك الحين ، يتم تبسيط الصيغة:.

2) إذا ركنبين النواقل غبي: (من 90 إلى 180 درجة) ، إذن و بالمقابل حاصل الضرب النقطي سلبي:. حالة خاصة: إذا كانت النواقل موجهة بشكل معاكسثم تعتبر الزاوية بينهما نشر: (180 درجة). المنتج القياسي سلبي أيضًا ، منذ ذلك الحين

العبارات المعاكسة صحيحة أيضًا:

1) إذا كانت الزاوية بين هذه المتجهات حادة. بدلاً من ذلك ، تكون النواقل ذات اتجاه مشفر.

2) إذا كانت الزاوية بين هذين المتجهين منفرجة. بدلا من ذلك ، يتم توجيه المتجهات بشكل معاكس.

لكن الحالة الثالثة ذات أهمية خاصة:

3) إذا ركنبين النواقل مستقيم: (90 درجة) ثم و حاصل الضرب النقطي يساوي صفرًا:. والعكس صحيح أيضًا: إذا ، إذن. تم صياغة بيان الاتفاق على النحو التالي: يكون الناتج القياسي لمتجهين صفرًا فقط إذا كانت المتجهات المعطاة متعامدة. تدوين رياضي قصير:

! ملحوظة : كرر أسس المنطق الرياضي: عادةً ما تتم قراءة رمز النتيجة المنطقية على الوجهين "إذا وفقط عندها" ، "إذا وفقط إذا". كما ترى ، يتم توجيه الأسهم في كلا الاتجاهين - "من هذا يتبع هذا ، والعكس صحيح - من هذا يتبع هذا". بالمناسبة ، ما هو الاختلاف عن رمز المتابعة أحادي الاتجاه؟ مطالبات أيقونة هذا فقطأن "من هذا يتبع هذا" ، وليس حقيقة أن العكس هو الصحيح. على سبيل المثال: ، ولكن ليس كل حيوان هو النمر ، لذلك لا يمكن استخدام الرمز في هذه الحالة. في نفس الوقت ، بدلا من الأيقونة علبةاستخدام رمز من جانب واحد. على سبيل المثال ، أثناء حل المشكلة ، اكتشفنا أننا استنتجنا أن المتجهات متعامدة: - سيكون هذا السجل صحيحًا ، بل وسيكون أكثر ملاءمة من .

الحالة الثالثة ذات أهمية عملية كبيرة.، لأنه يسمح لك بالتحقق مما إذا كانت المتجهات متعامدة أم لا. سنحل هذه المشكلة في القسم الثاني من الدرس.

خصائص المنتج نقطة

دعنا نعود إلى الحالة عند اثنين من النواقل شارك في الإخراج. في هذه الحالة ، الزاوية بينهما صفر ، وتأخذ صيغة المنتج العددية الشكل:.

ماذا يحدث إذا تم ضرب المتجه بنفسه؟ من الواضح أن المتجه موجه بشكل مشترك مع نفسه ، لذلك نستخدم الصيغة المبسطة أعلاه:

الرقم يسمى مربع عدديمتجه ، ويشار إليها باسم.

هكذا، المربع القياسي للمتجه يساوي مربع طول المتجه المحدد:

من هذه المساواة ، يمكنك الحصول على صيغة لحساب طول المتجه:

بينما يبدو الأمر غامضًا ، إلا أن مهام الدرس ستضع كل شيء في مكانه. لحل المشاكل ، نحتاج أيضًا خصائص المنتج نقطة.

بالنسبة إلى المتجهات التعسفية وأي رقم ، فإن الخصائص التالية صحيحة:

1) - للإزاحة أو تبادليقانون المنتجات العددية.

2) - التوزيع أو توزيعيقانون المنتجات العددية. ببساطة ، يمكنك فتح الأقواس.

3) - تركيبة أو ترابطيقانون المنتجات العددية. يمكن إخراج الثابت من الناتج القياسي.

في كثير من الأحيان ، ينظر الطلاب إلى جميع أنواع الخصائص (التي تحتاج أيضًا إلى إثبات!) على أنها قمامة غير ضرورية ، والتي تحتاج فقط إلى الحفظ والنسيان بأمان فور الامتحان. يبدو أن ما هو مهم هنا ، الجميع يعرف بالفعل من الصف الأول أن المنتج لا يتغير من تقليب العوامل:. يجب أن أحذرك ، في الرياضيات العليا بمثل هذا النهج ، من السهل إفساد الأشياء. لذلك ، على سبيل المثال ، الخاصية التبادلية غير صالحة لـ المصفوفات الجبرية. هذا ليس صحيحا ل عبر المنتج من النواقل. لذلك ، من الأفضل على الأقل الخوض في أي خصائص ستقابلها في سياق الرياضيات العليا لفهم ما يمكن وما لا يمكن فعله.

مثال 3

.

قرار:أولاً ، دعنا نوضح الموقف بالمتجه. ما هو كل شيء؟ مجموع المتجهات وهو متجه محدد جيدًا ، يتم الإشارة إليه بواسطة. يمكن العثور على التفسير الهندسي للإجراءات ذات النواقل في المقالة ناقلات للدمى. نفس البقدونس مع المتجه هو مجموع المتجهات و.

لذلك ، وفقًا للشرط ، من الضروري العثور على المنتج القياسي. من الناحية النظرية ، تحتاج إلى تطبيق صيغة العمل ولكن المشكلة أننا لا نعرف أطوال المتجهات والزاوية بينهما. لكن في الحالة ، يتم إعطاء معلمات متشابهة للناقلات ، لذلك سنذهب في الاتجاه الآخر:

(1) نحن نستبدل تعبيرات المتجهات.

(2) نفتح الأقواس وفقًا لقاعدة مضاعفة كثيرات الحدود ، يمكن العثور على عبارة لسان مبتذلة في المقالة ارقام مركبةأو تكامل دالة كسرية عقلانية. لن أكرر نفسي =) بالمناسبة ، تسمح لنا خاصية التوزيع للمنتج القياسي بفتح الأقواس. لدينا الحق.

(3) في المصطلحين الأول والأخير ، نكتب بشكل مضغوط المربعات العددية للمتجهات: . في المصطلح الثاني ، نستخدم قابلية تبديل المنتج القياسي:.

(4) فيما يلي مصطلحات متشابهة:.

(5) في المصطلح الأول ، نستخدم صيغة المربع العددي ، والتي تم ذكرها منذ وقت ليس ببعيد. في الفصل الأخير ، على التوالي ، يعمل نفس الشيء:. يتم توسيع المصطلح الثاني وفقًا للصيغة القياسية .

(6) استبدل هذه الشروط ، ونفذ بدقة الحسابات النهائية.

إجابه:

توضح القيمة السالبة للمنتج النقطي حقيقة أن الزاوية بين المتجهين منفرجة.

المهمة نموذجية ، وإليك مثال لحل مستقل:

مثال 4

ابحث عن المنتج القياسي للمتجهات وإذا كان معروفًا ذلك .

الآن مهمة أخرى مشتركة ، فقط لصيغة طول المتجه الجديدة. ستتداخل التعيينات هنا قليلاً ، لذا من أجل الوضوح ، سأعيد كتابتها بحرف مختلف:

مثال 5

أوجد طول المتجه إذا .

قرارسيكون على النحو التالي:

(1) نحن نوفر التعبير المتجه.

(2) نستخدم صيغة الطول: بينما لدينا تعبير عدد صحيح مثل المتجه "ve".

(3) نستخدم صيغة المدرسة لمربع المجموع. انتبه إلى كيفية عملها بشكل غريب هنا: - في الواقع ، هذا هو مربع الاختلاف ، وفي الواقع ، هو كذلك. يمكن لأولئك الذين يرغبون في إعادة ترتيب المتجهات في الأماكن: - اتضح نفس الشيء حتى إعادة ترتيب الشروط.

(4) ما يلي هو مألوف بالفعل من المشكلتين السابقتين.

إجابه:

بما أننا نتحدث عن الطول ، لا تنس الإشارة إلى البعد - "الوحدات".

مثال 6

أوجد طول المتجه إذا .

هذا مثال على "افعل ذلك بنفسك". الحل الكامل والإجابة في نهاية الدرس.

نستمر في إخراج الأشياء المفيدة من المنتج القياسي. لنلقِ نظرة على الصيغة مرة أخرى . وفقًا لقاعدة التناسب ، نعيد ضبط أطوال المتجهات إلى مقام الجانب الأيسر:

لنقم بتبديل الأجزاء:

ما معنى هذه الصيغة؟ إذا كان أطوال متجهين وحاصل ضربهما القياسي معروفين ، فيمكن عندئذٍ حساب جيب تمام الزاوية بين هذين المتجهين ، وبالتالي ، الزاوية نفسها.

هل المنتج العددي رقم؟ عدد. هل أطوال المتجهات أرقام؟ أعداد. إذن ، الكسر هو أيضًا عدد. وإذا عرف جيب تمام الزاوية: ، ثم باستخدام الدالة العكسية ، من السهل العثور على الزاوية نفسها: .

مثال 7

أوجد الزاوية بين المتجهات وإذا كان معروفًا ذلك.

قرار:نستخدم الصيغة:

في المرحلة الأخيرة من الحسابات ، تم استخدام تقنية - القضاء على اللاعقلانية في المقام. للتخلص من اللاعقلانية ، قمت بضرب البسط والمقام في.

حتى إذا ، ومن بعد:

يمكن العثور على قيم الدوال المثلثية العكسية من خلال الجدول المثلثي. على الرغم من أن هذا نادرًا ما يحدث. في مشاكل الهندسة التحليلية ، تظهر بعض الدببة الخرقاء في كثير من الأحيان ، ويجب إيجاد قيمة الزاوية تقريبًا باستخدام الآلة الحاسبة. في الواقع ، سنرى هذه الصورة مرارًا وتكرارًا.

إجابه:

مرة أخرى ، لا تنس تحديد البعد - الراديان والدرجات. شخصيًا ، من أجل "إزالة جميع الأسئلة" عن عمد ، أفضل الإشارة إلى كليهما (ما لم يكن مطلوبًا بالطبع تقديم الإجابة بالراديان فقط أو بالدرجات فقط).

الآن ستتمكن من التعامل مع مهمة أكثر صعوبة بمفردك:

المثال 7 *

معطى أطوال المتجهات ، والزاوية بينهما. أوجد الزاوية بين المتجهين.

المهمة ليست صعبة بقدر ما هي متعددة الاتجاهات.
دعنا نحلل خوارزمية الحل:

1) وفقًا للشرط ، يلزم إيجاد الزاوية بين المتجهات ، وبالتالي تحتاج إلى استخدام الصيغة .

2) نجد المنتج القياسي (انظر الأمثلة رقم 3 ، 4).

3) أوجد طول المتجه وطول المتجه (انظر الأمثلة رقم 5 ، 6).

4) تطابق نهاية الحل مع المثال رقم 7 - نعرف الرقم ، مما يعني أنه من السهل إيجاد الزاوية نفسها:

حل قصير والإجابة في نهاية الدرس.

القسم الثاني من الدرس مخصص لنفس المنتج النقطي. إحداثيات. سيكون الأمر أسهل مما كان عليه في الجزء الأول.

حاصل الضرب النقطي للناقلات ،
أعطيت بواسطة الإحداثيات على أساس متعامد

إجابه:

وغني عن القول ، أن التعامل مع الإحداثيات أكثر متعة.

المثال 14

أوجد المنتج العددي للمتجهات وإذا

هذا مثال على "افعل ذلك بنفسك". هنا يمكنك استخدام ترابطية العملية ، أي لا تحسب ، ولكن على الفور اخرج الثلاثي من الناتج العددي وضربه في النهاية. الحل والجواب في نهاية الدرس.

في نهاية الفقرة ، مثال استفزازي لحساب طول المتجه:

المثال 15

أوجد أطوال المتجهات ، إذا

قرار:مرة أخرى ، تقترح طريقة المقطع السابق نفسها: ولكن هناك طريقة أخرى:

لنجد المتجه:

وطوله بالصيغة التافهة:

المنتج القياسي غير مناسب هنا على الإطلاق!

كيف يكون خارج العمل عند حساب طول المتجه:
قف. لماذا لا تستفيد من خاصية الطول الواضحة للمتجه؟ ماذا يمكن أن يقال عن طول المتجه؟ هذا المتجه أطول بخمس مرات من المتجه. الاتجاه معاكس ، لكن لا يهم ، لأننا نتحدث عن الطول. من الواضح أن طول المتجه يساوي المنتج وحدةعدد لكل متجه طول:
- علامة الوحدة "تأكل" العدد المحتمل ناقصًا.

هكذا:

إجابه:

صيغة جيب تمام الزاوية بين المتجهات المعطاة بالإحداثيات

الآن لدينا معلومات كاملة بحيث تكون الصيغة المشتقة مسبقًا لجيب تمام الزاوية بين المتجهات تعبر من حيث إحداثيات المتجهات:

جيب التمام للزاوية بين المتجهات المستويةو ، على أساس متعامد ، يتم التعبير عنها بالصيغة:
.

جيب التمام للزاوية بين متجهات الفراغ، معطى في الأساس المتعامد ، يتم التعبير عنها بالصيغة:

المثال 16

معطيات ثلاثة رؤوس لمثلث. أوجد (زاوية الرأس).

قرار:حسب الشرط ، الرسم غير مطلوب ، ولكن لا يزال:

الزاوية المطلوبة محددة بقوس أخضر. نذكر على الفور تسمية المدرسة للزاوية: - اهتمام خاص بـ وسطالحرف - هذا هو رأس الزاوية التي نحتاجها. للإيجاز ، يمكن أيضًا كتابته ببساطة.

يتضح من الرسم أن زاوية المثلث تتطابق مع الزاوية بين المتجهات ، وبعبارة أخرى: .

من المستحسن معرفة كيفية إجراء التحليل عقليًا.

دعنا نجد المتجهات:

دعنا نحسب المنتج القياسي:

وأطوال المتجهات:

جيب التمام لزاوية:

هذا هو ترتيب المهمة الذي أوصي به للدمى. يمكن للقراء الأكثر تقدمًا كتابة الحسابات "في سطر واحد":

فيما يلي مثال على قيمة جيب التمام "السيئة". القيمة الناتجة ليست نهائية ، لذلك لا فائدة من التخلص من اللاعقلانية في المقام.

لنجد الزاوية:

إذا نظرت إلى الرسم ، فإن النتيجة معقولة تمامًا. للتحقق من الزاوية ، يمكن أيضًا قياسها بمنقلة. لا تتلف طلاء الشاشة =)

إجابه:

في الجواب لا تنسوا ذلك سئل عن زاوية المثلث(وليس حول الزاوية بين المتجهات) ، لا تنس الإشارة إلى الإجابة الدقيقة: والقيمة التقريبية للزاوية: وجدت مع آلة حاسبة.

يمكن لأولئك الذين استمتعوا بالعملية حساب الزوايا والتأكد من صحة المساواة القانونية

المثال 17

يُعطى المثلث في الفضاء بإحداثيات رءوسه. أوجد الزاوية بين الجانبين و

هذا مثال على "افعل ذلك بنفسك". الحل الكامل والإجابة في نهاية الدرس

سيتم تخصيص قسم أخير صغير للإسقاطات ، حيث يكون المنتج القياسي أيضًا "متورطًا":

إسقاط متجه على متجه. إسقاط متجه على محاور الإحداثيات.
جيب التمام الاتجاه المتجه

ضع في اعتبارك النواقل و:

نسقط المتجه على المتجه ، لذلك نحذف من بداية ونهاية المتجه عموديلكل متجه (خطوط منقطة خضراء). تخيل أن أشعة الضوء تسقط بشكل عمودي على متجه. ثم المقطع (الخط الأحمر) سيكون "ظل" المتجه. في هذه الحالة ، يكون إسقاط المتجه على متجه هو طول المقطع. وهذا يعني أن الإسقاط رقم.

يتم الإشارة إلى هذا الرقم كما يلي: يشير "المتجه الكبير" إلى متجه أيّمشروع ، "ناقل منخفض منخفض" يشير إلى المتجه تشغيلوهو متوقّع.

الإدخال نفسه يقرأ مثل هذا: "إسقاط المتجه" a "على المتجه" be ".

ماذا يحدث إذا كان المتجه "be" "قصير جدًا"؟ نرسم خطًا مستقيمًا يحتوي على المتجه "be". وسيتم إسقاط المتجه "أ" بالفعل في اتجاه المتجه "يكون"، ببساطة - على خط مستقيم يحتوي على المتجه "be". سيحدث نفس الشيء إذا تم وضع المتجه "a" جانبًا في المملكة الثلاثين - فسيظل من السهل إسقاطه على الخط الذي يحتوي على المتجه "be".

إذا كانت الزاويةبين النواقل حار(كما في الصورة) إذن

إذا كانت النواقل متعامد، إذن (الإسقاط هو نقطة يُفترض أن تكون أبعادها صفرًا).

إذا كانت الزاويةبين النواقل غبي(في الشكل ، قم بإعادة ترتيب سهم المتجه عقليًا) ، ثم (بنفس الطول ، ولكن بعلامة ناقص).

ضع هذه النواقل جانبًا من نقطة واحدة:

من الواضح ، عند تحريك ناقل ، لا يتغير إسقاطه

عند دراسة الهندسة ، تثار أسئلة كثيرة حول موضوع المتجهات. يواجه الطالب صعوبات خاصة عندما يكون من الضروري إيجاد الزوايا بين المتجهات.

الشروط الأساسية

قبل النظر في الزوايا بين المتجهات ، من الضروري أن تتعرف على تعريف المتجه ومفهوم الزاوية بين المتجهات.

المتجه هو مقطع له اتجاه ، أي مقطع يتم تحديد بدايته ونهايته.

الزاوية بين متجهين على مستو لهما أصل مشترك هي أصغر الزوايا ، حيث يلزم تحريك أحد المتجهات حول نقطة مشتركة إلى موضع تتطابق فيه اتجاهاتهما.

صيغة الحل

بمجرد أن تفهم ماهية المتجه وكيف يتم تحديد زاويته ، يمكنك حساب الزاوية بين المتجهات. معادلة الحل بسيطة للغاية ، وستكون نتيجة تطبيقها هي قيمة جيب التمام للزاوية. بحكم التعريف ، فهو يساوي حاصل حاصل الضرب القياسي للمتجهات وحاصل ضرب أطوالها.

يعتبر الناتج القياسي للمتجهات على أنه مجموع الإحداثيات المقابلة لناقلات المضاعف مضروبة في بعضها البعض. يُحسب طول المتجه أو مقياسه على أنه الجذر التربيعي لمجموع مربعات إحداثياته.

بعد تلقي قيمة جيب التمام للزاوية ، يمكنك حساب قيمة الزاوية نفسها باستخدام آلة حاسبة أو باستخدام جدول مثلثي.

مثال

بعد معرفة كيفية حساب الزاوية بين المتجهات ، يصبح حل المشكلة المقابلة بسيطًا ومباشرًا. كمثال ، ضع في اعتبارك المشكلة البسيطة المتمثلة في إيجاد مقدار الزاوية.

بادئ ذي بدء ، سيكون من الأنسب حساب قيم أطوال المتجهات وحاصل ضربها القياسي الضروري للحل. باستخدام الوصف أعلاه ، نحصل على:

باستبدال القيم التي تم الحصول عليها في الصيغة ، نحسب قيمة جيب التمام للزاوية المطلوبة:

هذا الرقم ليس واحدًا من قيم جيب التمام الخمس الشائعة ، لذا للحصول على قيمة الزاوية ، سيتعين عليك استخدام آلة حاسبة أو جدول Bradis المثلثي. لكن قبل الحصول على الزاوية بين المتجهين ، يمكن تبسيط الصيغة للتخلص من العلامة السالبة الإضافية:

يمكن ترك الإجابة النهائية بهذه الصورة للحفاظ على الدقة ، أو يمكنك حساب قيمة الزاوية بالدرجات. وفقًا لجدول Bradis ، ستكون قيمته حوالي 116 درجة و 70 دقيقة ، وستظهر الآلة الحاسبة قيمة 116.57 درجة.

حساب الزاوية في الفضاء ذي البعد n

عند التفكير في متجهين في الفضاء ثلاثي الأبعاد ، يكون من الصعب جدًا فهم الزاوية التي نتحدث عنها إذا لم تكن في نفس المستوى. لتبسيط الإدراك ، يمكنك رسم جزأين متقاطعين يشكلان أصغر زاوية بينهما ، وسيكون الجزء المرغوب فيه. على الرغم من وجود إحداثي ثالث في المتجه ، فإن عملية كيفية حساب الزوايا بين المتجهات لن تتغير. احسب المنتج العددي والوحدات النمطية للمتجهات ، وجزء قوس قوس قسمة حاصل القسمة ، وستكون الإجابة على هذه المشكلة.

في الهندسة ، غالبًا ما تحدث المشكلات مع المساحات التي لها أكثر من ثلاثة أبعاد. لكن بالنسبة لهم ، تبدو خوارزمية إيجاد الإجابة متشابهة.

الفرق بين 0 و 180 درجة

أحد الأخطاء الشائعة عند كتابة إجابة لمسألة مصممة لحساب الزاوية بين المتجهات هو قرار كتابة أن المتجهات متوازية ، أي أن الزاوية المرغوبة كانت 0 أو 180 درجة. هذه الإجابة غير صحيحة.

بعد الحصول على قيمة زاوية مقدارها 0 درجة كنتيجة للحل ، ستكون الإجابة الصحيحة هي تعيين المتجهات على أنها ذات اتجاه مشترك ، أي أن المتجهات سيكون لها نفس الاتجاه. في حالة الحصول على 180 درجة ، ستكون المتجهات في طبيعة الاتجاهات المعاكسة.

نواقل محددة

من خلال إيجاد الزوايا بين المتجهات ، يمكن العثور على أحد الأنواع الخاصة ، بالإضافة إلى تلك الموجهة بشكل مشترك والموجهة بشكل معاكس الموصوفة أعلاه.

• عدة نواقل موازية لمستوى واحد تسمى متحد المستوى.
• تسمى المتجهات المتشابهة في الطول والاتجاه بالتساوي.
• المتجهات التي تقع على نفس الخط المستقيم ، بغض النظر عن الاتجاه ، تسمى خطية متداخلة.
• إذا كان طول المتجه صفرًا ، أي أن بدايته ونهايته متطابقتان ، فيسمى صفر ، وإذا كان واحدًا ، فيسمى واحدًا.