ما هو مجموع متجهين. كيفية طرح وإضافة المتجهات

المتجه هو كائن رياضي يتميز بالحجم والاتجاه (مثل التسارع والإزاحة) ، والذي يختلف عن الحجمي الذي ليس له اتجاه (مثل المسافة والطاقة). يمكن إضافة المقاييس عن طريق إضافة قيمها (على سبيل المثال ، 5 كيلو جول من العمل زائد 6 كيلو جول من الشغل يساوي 11 كيلو جول من العمل) ، ولكن إضافة وطرح المتجهات ليست بهذه السهولة.

خطوات

جمع وطرح المتجهات ذات المكونات المعروفة

نظرًا لأن المتجهات لها حجم واتجاه ، فيمكن تحليلها إلى مكونات بناءً على أبعاد x و y و / أو z. عادة ما يتم الإشارة إليها بنفس طريقة الإشارة إلى النقاط في نظام الإحداثيات (على سبيل المثال ،<х,у,z>). إذا كانت المكونات معروفة ، فإن إضافة / طرح المتجهات يكون سهلاً مثل جمع / طرح إحداثيات x و y و z.

• لاحظ أن المتجهات يمكن أن تكون أحادية البعد أو ثنائية الأبعاد أو ثلاثية الأبعاد. وبالتالي ، يمكن أن تحتوي المتجهات على مكونات "x" و "x" و "y" أو مكونات "x" و "y" و "z". تتم مناقشة المتجهات ثلاثية الأبعاد أدناه ، ولكن العملية مماثلة للمتجهات 1D و 2D.
• لنفترض أنك حصلت على متجهين ثلاثي الأبعاد - المتجه A والمتجه B. اكتب هذين المتجهين في شكل متجه: A = و ب = ، حيث a1 و a2 هما المكونان "x" ، و b1 و b2 هما المكونان "y" ، و c1 و c2 هما مكونا "z".

1. لإضافة متجهين ، أضف مكونات كل منهما.بمعنى آخر ، أضف مكون "x" للمتجه الأول إلى مكون "x" للمتجه الثاني (وهكذا). نتيجة لذلك ، ستحصل على مكونات x و y و z للمتجه الناتج.

   • أ + ب = .
   • أضف المتجهين A و B. A =<5, 9, -10>و ب =<17, -3, -2>. أ + ب =<5+17, 9+-3, -10+-2>، أو <22, 6, -12> .

2. لطرح متجه من الآخر ، يجب عليك طرح المكونات المقابلة.كما هو موضح أدناه ، يمكن استبدال الطرح بإضافة متجه ومقلوب آخر. إذا كانت مكونات متجهين معروفة ، اطرح المكونات المقابلة لأحد المتجهات من مكونات الأخرى.

   • أ-ب =
   • اطرح المتجهين A و B. A =<18, 5, 3>و ب =<-10, 9, -10>. أ-ب =<18--10, 5-9, 3--10>، أو <28, -4, 13> .

   الجمع والطرح البياني

   1. نظرًا لأن المتجهات لها حجم واتجاه ، فإن لها بداية ونهاية (نقطة بداية ونقطة نهاية ، والمسافة بينهما تساوي قيمة المتجه). عندما يتم عرض المتجه بشكل بياني ، يتم رسمه كسهم ، حيث يكون الطرف هو نهاية المتجه ، والنقطة المعاكسة هي بداية المتجه.

      • عند رسم المتجهات ، قم ببناء جميع الزوايا بدقة شديدة ؛ وإلا ستحصل على إجابة خاطئة.

   2. لإضافة متجهات ، ارسمها بحيث تتصل نهاية كل متجه سابق ببداية المتجه التالي. إذا كنت تضيف متجهين فقط ، فهذا كل ما عليك فعله قبل إيجاد المتجه الناتج.

      • لاحظ أن الترتيب الذي ترتبط به المتجهات ليس مهمًا ، أي المتجه A + المتجه B = المتجه B + المتجه A.

   3. لطرح متجه ، ما عليك سوى إضافة المتجه العكسي ، أي تغيير اتجاه المتجه المخصوم ، ثم توصيل بدايته بنهاية متجه آخر. بمعنى آخر ، لطرح متجه ، قم بتدويره 180 درجة (حول الأصل) وأضفه إلى متجه آخر.

      إذا كنت تضيف أو تطرح عدد المتجهات (أكثر من اثنين) ، فقم بتوصيل نهاياتها وبداياتها بالتسلسل. الترتيب الذي تقوم بتوصيل المتجهات به لا يهم. يمكن استخدام هذه الطريقة لأي عدد من النواقل.

   4. ارسم متجهًا جديدًا بدءًا من بداية المتجه الأول وينتهي بنهاية المتجه الأخير (بغض النظر عن عدد المتجهات التي تضيفها). ستحصل على متجه ناتج يساوي مجموع كل المتجهات المضافة. لاحظ أن هذا المتجه هو نفسه المتجه الذي تم الحصول عليه بإضافة مكونات x و y و z لجميع المتجهات.

      • إذا كنت قد رسمت أطوال المتجهات والزوايا بينها بدقة شديدة ، فيمكنك إيجاد قيمة المتجه الناتج ببساطة عن طريق قياس طوله. بالإضافة إلى ذلك ، يمكنك قياس الزاوية (بين متجه النتيجة ومتجه آخر محدد أو خطوط أفقية / عمودية) للعثور على اتجاه المتجه الناتج.
      • إذا كنت قد رسمت أطوال المتجهات والزوايا بينها بدقة شديدة ، فيمكنك إيجاد قيمة المتجه الناتج باستخدام حساب المثلثات ، أي نظرية الجيب أو نظرية جيب التمام. إذا كنت تضيف متجهين متعددين (أكثر من اثنين) ، أضف متجهين أولاً ، ثم أضف المتجه الناتج والمتجه الثالث ، وهكذا. انظر القسم التالي لمزيد من المعلومات.

   5. تمثيل المتجه الناتج ، مع الإشارة إلى قيمته واتجاهه.كما هو مذكور أعلاه ، إذا قمت برسم أطوال المتجهات المراد إضافتها والزوايا بينها بدقة شديدة ، فإن قيمة المتجه الناتج تساوي طوله ، والاتجاه هو الزاوية بينه والخط الرأسي أو الأفقي . لا تنس أن تخصص لقيمة المتجه وحدات القياس التي تُعطى فيها المتجهات المضافة / المطروحة.

      • على سبيل المثال ، إذا أضفت متجهات السرعة المقاسة بـ m / s ، فقم بإضافة "m / s" إلى قيمة المتجه الناتج ، وكذلك الإشارة إلى زاوية المتجه الناتج بالتنسيق "o إلى الخط الأفقي".

   جمع وطرح المتجهات بإيجاد قيم مكوناتها

   1. للعثور على قيم مكونات المتجه ، تحتاج إلى معرفة قيم المتجهات نفسها واتجاهها (الزاوية بالنسبة للخط الأفقي أو العمودي). ضع في اعتبارك متجهًا ثنائي الأبعاد. اجعله وتر المثلث القائم ، ثم ستكون الأرجل (الموازية للمحور X و Y) لهذا المثلث مكونات المتجه. يمكن اعتبار هذه المكونات على أنها متجهان متصلان ، عند إضافتهما معًا ، يعطي المتجه الأصلي.

      • يمكن حساب أطوال (قيم) المكونين (المكونين "x" و "y") للمتجه الأصلي باستخدام حساب المثلثات. إذا كانت "x" هي القيمة (المقياس) للمتجه الأصلي ، فإن مكون المتجه المجاور لركن المتجه الأصلي هو xcosθ ، ومكون المتجه المقابل لركن المتجه الأصلي هو xsinθ.
      • من المهم ملاحظة اتجاه المكونات. إذا كان المكون موجهًا عكس اتجاه أحد المحاور ، فستكون قيمته سالبة ، على سبيل المثال ، إذا تم توجيه المكون إلى اليسار أو إلى أسفل على مستوى الإحداثيات ثنائي الأبعاد.
      • على سبيل المثال ، إعطاء متجه بمعامل (قيمة) 3 واتجاه 135 o (بالنسبة إلى الأفقي). ثم المكون x هو 3cos 135 = -2.12 والمكون y هو 3sin135 = 2.12.

   2. بمجرد العثور على مكونات جميع المتجهات التي تضيفها ، ما عليك سوى إضافة قيمها وستجد قيم مكونات المتجه الناتج. أولاً ، اجمع قيم جميع المكونات الأفقية (أي المكونات الموازية لمحور x). ثم اجمع قيم جميع المكونات الرأسية (أي المكونات الموازية للمحور الصادي). إذا كانت قيمة المكون سالبة ، فيتم طرحها وليس إضافتها.

      • على سبيل المثال ، دعنا نضيف المتجه<-2,12, 2,12>وناقلات<5,78, -9>. سيكون المتجه الناتج هكذا<-2,12 + 5,78, 2,12-9>أو<3,66, -6,88>.

   3. احسب طول (قيمة) المتجه الناتج باستخدام نظرية فيثاغورس:ج 2 \ u003d أ 2 + ب 2 (منذ أن شكل المثلث بواسطة المتجه الأصلي ومكوناته مستطيلة). في هذه الحالة ، تكون الأرجل هي مكونات "x" و "y" للناقل الناتج ، والوتر هو المتجه الناتج نفسه.

      • على سبيل المثال ، إذا أضفت في مثالنا القوة المقاسة بالنيوتن ، فقم بتدوين الإجابة على النحو التالي: 7.79 N بزاوية -61.99 o (على المحور الأفقي).
   • لا تخلط بين المتجهات ووحداتها النمطية (قيمها).
   • يمكن إضافة أو طرح المتجهات التي لها نفس الاتجاه ببساطة عن طريق إضافة أو طرح قيمها. إذا تمت إضافة متجهين موجهين بشكل معاكس ، فسيتم طرح قيمهما ، وليس إضافتها.
   • المتجهات التي يتم تمثيلها كـ x أنا+ ص ي+ ض كيمكن إضافتها أو طرحها ببساطة عن طريق إضافة أو طرح المعاملات المقابلة. اكتب أيضًا إجابتك على النحو التالي: i، j، k.
   • يمكن إيجاد قيمة المتجه في الفضاء ثلاثي الأبعاد باستخدام الصيغة أ 2 \ u003d ب 2 + ص 2 + د 2، أين أ- قيمة المتجه ، ب ، ج ،و دهي مكونات المتجه.
   • يمكن إضافة / طرح متجهات العمود عن طريق إضافة / طرح القيم المقابلة في كل صف.

X و ذيسمى المتجه ضمثل ذلك ض + ص = س.

الخيار 1.تتطابق نقاط البداية لجميع النواقل مع الأصل.

دعونا نبني الفرق بين النواقل و .

لرسم اختلاف النواقل ض = س ص، تحتاج إلى إضافة المتجه xمع عكس ذالمتجه ذ ". مقابل فيكتور ذ "تم بناؤه ببساطة:

المتجه ذ "هو عكس المتجه ذ، لان y + y "= 0 ، حيث يكون 0 متجهًا فارغًا بالحجم المناسب. بعد ذلك ، يتم إجراء إضافة المتجهات xو ذ ":

من التعبير (1) يمكن ملاحظة أنه لبناء اختلاف المتجهات ، يكفي حساب الاختلافات في إحداثيات المتجهات المقابلة xو ذ.

أرز. واحد

في التين. 1 في الفضاء ثنائي الأبعاد يمثل الفرق في المتجهات x= (10،3) و ذ=(2,4).

إحصاء - عد ض = س ص= (10-3،3-4) = (7 ، -1). دعونا نقارن النتيجة التي تم الحصول عليها مع التفسير الهندسي. في الواقع ، بعد بناء المتجه ذ "وحركة موازية لنقطة انطلاق المتجه ذ "إلى نقطة نهاية المتجه x، نحصل على المتجه ذ ""، وبعد إضافة المتجهات xو ذ ""، نحصل على المتجه ض.

الخيار 2.نقاط انطلاق المتجهات تعسفية.

أرز. 2

في التين. 2 في الفضاء ثنائي الأبعاد هو اختلاف المتجهات x=ABو ذ=قرص مضغوط، أين أ(1,0), ب(11,3), ج(1,2), د(3.6). لحساب المتجه ض = س ص، شيدت مقابل المتجه ذالمتجه ذ ":

بعد ذلك ، تحتاج إلى إضافة المتجهات xو ذ ". المتجه ذ "يتحرك بالتوازي بحيث النقطة ج "تزامنت مع هذه النقطة ب. للقيام بذلك ، يتم حساب الاختلافات في إحداثيات النقاط بو من.

لنفترض أن $ \ overrightarrow (a) $ و $ \ overrightarrow (b) $ يكونان متجهين (الشكل 1 أ).

خذ نقطة عشوائية O وقم بتكوين متجه $ \ overrightarrow (OA) = \ overrightarrow (a) $. ثم من النقطة A نرسم المتجه $ \ overrightarrow (AB) = \ overrightarrow (b) $. المتجه $ \ overrightarrow (OB) $ الذي يربط بين بداية المصطلح الأول من المتجه مع نهاية الثاني (الشكل 1 ، ب) يسمى مجموع هذه المتجهات ويُرمز إليه بـ $ \ overrightarrow (a) + \ overrightarrow (ب) $$ ( حكم المثلث).

يمكن الحصول على نفس مجموع النواقل بطريقة أخرى. دعونا نؤجل المتجهات $ \ overrightarrow (OA) = \ overrightarrow (a) \، u \، \ overrightarrow (OC) = \ overrightarrow (b) $ من النقطة O (الشكل 1 ، ج). نبني على هذه المتجهات كما هو الحال على جانبي متوازي الأضلاع ABC. من الواضح أن المتجه $ \ overrightarrow (OB) $ بمثابة قطري متوازي الأضلاع هذا المرسوم من الرأس O هو مجموع المتجهات $ \ overrightarrow (a) + \ overrightarrow (b) $ ( حكم متوازي الأضلاع). من الشكل 1 ، فييتبع ذلك على الفور أن مجموع متجهين له خاصية التبادل: $ \ overrightarrow (a) + \ overrightarrow (b) = \ overrightarrow (b) + \ overrightarrow (a) $

في الواقع ، كل من المتجهات $ \ overrightarrow (a) + \ overrightarrow (b) \، and \، = \ overrightarrow (b) + \ overrightarrow (a) $ يساوي نفس المتجه $ \ overrightarrow (OB) $.

مثال 1في المثلث ABC ، ​​AB = 3 ، BC = 4 ، ∠ B = 90 درجة. ابحث عن: $ a) \، \ overrightarrow (| AB |) + \ overrightarrow (| BC |)؛ \، \، \ b) \، \ | \ overrightarrow (AB) + \ overrightarrow (BC) | $.

المحلول

أ) لدينا: $ | \ overrightarrow (AB) | = AB ، \ ، \ ، \ | \ overrightarrow (BC) | = BC $ ومن ثم $ | \ overrightarrow (AB) | + | \ overrightarrow (BC) | = 7 دولارات.

ب) منذ $ \ overrightarrow (AB) + \ overrightarrow (BC) = \ overrightarrow (AC) \ ، \ ، \ ، \ ، ثم \ ، \ ، | \ overrightarrow (AB) + \ overrightarrow (BC) | = | \ overrightarrow (AC) | = AC $.

الآن ، بتطبيق نظرية فيثاغورس ، نجد $$ AC = \ sqrt (AB ^ 2 + BC ^ 2) = \ sqrt (9 + 16) = 5 \\ ie \، | \ overrightarrow (AB) + \ overrightarrow (شمس ) | = 5. $$

يمكن تعميم مفهوم مجموع المتجهات على حالة أي عدد محدود من مجموع المتجهات.

لنفترض على سبيل المثال ثلاثة متجهات $ \ overrightarrow (a) و \ overrightarrow (b) \ و \ و \ overrightarrow (c) $ (الشكل 2).

أولاً ، بناء مجموع المتجهات $ \ overrightarrow (a) + \ overrightarrow (b) $ ، ثم إضافة المتجه $ \ overrightarrow (c) $ إلى هذا المجموع ، نحصل على المتجه $ (\ overrightarrow (a) + \ overrightarrow (ب)) + \ overrightarrow (c) $. في الشكل 2 $$ \ overrightarrow (OA) = \ overrightarrow (a) \ ،؛ \ overrightarrow (AB) = ب \ ؛ \ overrightarrow (OB) = \ overrightarrow (a) + \ overrightarrow (b) \ ،؛ \ overrightarrow (BC) = \ overrightarrow (c) \ و \ \ overrightarrow (OS) = \ overrightarrow (OB) + \ overrightarrow (BC) = (\ overrightarrow (a) + \ overrightarrow (b)) + \ overrightarrow (ج) $$ الشكل 2 يوضح أننا نحصل على نفس المتجه $ \ overrightarrow (OC) $ إذا أضفنا المتجه $ \ overrightarrow (AB) = \ overrightarrow (b) + \ overrightarrow (c) $. وبالتالي $ (\ overrightarrow (a) + \ overrightarrow (b)) + \ overrightarrow (c) = \ overrightarrow (a) + (\ overrightarrow (b) + \ overrightarrow (c)) $ أي أن متجهات المجموع لها ارتباط منشأه. لذلك ، فإن مجموع ثلاثة متجهات $ \ overrightarrow (a) \، \، \ overrightarrow (b) \، \، \ overrightarrow (c) $ تتم كتابته ببساطة $ \ overrightarrow (a) + \ overrightarrow (b) + \ overrightarrow (ج) $.

فرقمن متجهين $ \ overrightarrow (أ) \ ، و \ ، \ overrightarrow (ب) $ يسمى المتجه الثالث $ \ overrightarrow (c) = \ overrightarrow (a) - \ overrightarrow (b) $ ، مجموعها مع المتجه الفرعي $ \ overrightarrow (b) $ يعطي المتجه $ \ overrightarrow (a) $. إذا كان $ \ overrightarrow (c) = \ overrightarrow (a) - \ overrightarrow (b) \، \ then \، \ overrightarrow (c) + \ overrightarrow (b) = \ overrightarrow (a) $.

من تعريف مجموع متجهين ، تتبع قاعدة تكوين متجه الفرق (الشكل 3).

ضع المتجهات جانباً $ \ overrightarrow (OA) = \ overrightarrow (a) \، u \، \ overrightarrow (OB) = \ overrightarrow (b) $ من النقطة المشتركة O. المتجه $ \ overrightarrow (BA) $ يربط بين نهايات المتجه المختزل $ \ overrightarrow (a) $ ومتجه Subrahend $ \ overrightarrow (b) $ والموجَّه من suprahend إلى minuend هو الفرق $ \ overrightarrow (c) = \ overrightarrow (a) - \ overrightarrow (b) $ . في الواقع ، من خلال قاعدة إضافة المتجه $ \ overrightarrow (OB) + \ overrightarrow (BA) = \ overrightarrow (OA) \ text (أو) \ overrightarrow (b) + \ overrightarrow (c) = \ overrightarrow (a) $.

مثال 2ضلع مثلث متساوي الأضلاع ABC هو a. البحث: $ a) | \ overrightarrow (BA) - \ overrightarrow (BC) | \،؛ \، \ b) \، \، \ | \ overrightarrow (AB) - \ overrightarrow (AC) | $.

المحلول أ) منذ $ \ overrightarrow (BA) - \ overrightarrow (BC) = \ overrightarrow (SA) \ text (، a) | \ overrightarrow (SA) | = a \ text (ثم) | \ overrightarrow (BA) - \ overrightarrow (BC) | = أ دولار.

ب) منذ $ \ overrightarrow (AB) - \ overrightarrow (AC) = \ overrightarrow (CB) \ text (، a) | \ overrightarrow (CB) | = a \ text (ثم) | \ overrightarrow (AB) - \ overrightarrow (AC) | = أ دولار.

حاصل ضرب المتجه $ \ overrightarrow (a) $ (يُشار إليه $ = \ lambda \ overrightarrow (a) $ أو $ \ overrightarrow (a) \ lambda $) والرقم الحقيقي $ \ lambda $ هو متجه $ \ overrightarrow ( ب) المتجه الخطي $ \ overrightarrow (a) $ بطول يساوي $ | \ lambda || \ overrightarrow (a) | $ ونفس اتجاه $ \ overrightarrow (a) $ if $ \ lambda> 0 $، والاتجاه المعاكس للمتجه $ \ overrightarrow (a) $ if $ \ lambda< 0$ . Так, например, $2\overrightarrow{a}$ есть вектор, имеющий то же направление, что и вектор $\overrightarrow{a}$ , а длину, вдвое большую, чем вектор $\overrightarrow{a}$ (рис.4).

في الحالة التي يكون فيها $ \ lambda = 0 $ أو $ \ overrightarrow (a) = 0 $ ، يكون المنتج $ \ lambda \ overrightarrow (a) $ متجهًا فارغًا. يمكن اعتبار المتجه المعاكس $ - \ overrightarrow (a) $ نتيجة ضرب المتجه $ \ overrightarrow (a) $ في $ \ lambda = -1 $ (انظر الشكل 4): $$ - \ overrightarrow (a ) = \ (-1) \ overrightarrow (a) $$ من الواضح $ \ overrightarrow (a) + (- \ overrightarrow (a)) = \ overrightarrow (0) $.

مثال 3أثبت أنه إذا كانت O و A و B و C عبارة عن نقاط عشوائية ، فإن $ \ overrightarrow (OA) + \ overrightarrow (AB) + \ overrightarrow (BC) + \ overrightarrow (CO) = 0 $.

المحلول. مجموع المتجهات $ \ overrightarrow (OA) + \ overrightarrow (AB) + \ overrightarrow (CB) = \ overrightarrow (OC) $ ، المتجه $ \ overrightarrow (CO) $ هو عكس المتجه $ \ overrightarrow (OC ) $. لذلك $ \ overrightarrow (OS) + \ overrightarrow (OS) = \ overrightarrow (0) $.

دع المتجه $ \ overrightarrow (a) $ يُعطى. ضع في اعتبارك متجه الوحدة $ \ overrightarrow (a_0) $ ، المتجه الخطي مع المتجه $ \ overrightarrow (a) $ وموجه في نفس اتجاهه. يتبع من تعريف ضرب المتجه برقم أن $$ \ overrightarrow (a) = | \ overrightarrow (a) | \، \ \ overrightarrow (a_0) $$ ، أي كل متجه يساوي حاصل ضرب معامله ومتجه الوحدة الذي له نفس الاتجاه. علاوة على ذلك ، من نفس التعريف ، يترتب على ذلك أنه إذا كان $ \ overrightarrow (b) = \ lambda \ overrightarrow (a) $ ، حيث $ \ overrightarrow (a) $ متجه غير صفري ، فإن المتجهات $ \ overrightarrow (a) \ و \ و \ overrightarrow (b) $ على خط واحد. من الواضح ، على العكس ، من العلاقة الخطية المتداخلة للمتجهات $ \ overrightarrow (a) \ ، و \ ، \ overrightarrow (b) $ ، يتبع ذلك $ \ overrightarrow (b) = \ lambda \ overrightarrow (a) $.

مثال 4طول المتجه AB يساوي 3 ، وطول المتجه AC هو 5. وجيب الزاوية بين هذين المتجهين هو 1/15. أوجد طول المتجه AB + AC.

حل الفيديو.

تعريف

إضافة نواقل ويتم وفقا ل حكم المثلث.

مجموع نواقل اثنينويسمى هذا المتجه الثالث ، وتتزامن بدايته مع البداية ، والنهاية مع النهاية ، بشرط أن تتزامن نهاية المتجه وبداية المتجه (الشكل 1).

للإضافة ثلاثة أبعادتنطبق قاعدة متوازي الأضلاع أيضًا.

تعريف

حكم متوازي الأضلاع- إذا أدى المتجهان غير المتصلين u إلى أصل مشترك ، فإن المتجه يتطابق مع قطري متوازي الأضلاع المبني على المتجهين u (الشكل 2). علاوة على ذلك ، فإن بداية المتجه تتزامن مع بداية المتجهات المعطاة.

تعريف

المتجه يسمى ناقلات المعاكسإلى المتجه إذا كان علاقة خطية متداخلةمتجه ، يساوي طوله ، لكنه موجه في الاتجاه المعاكس للناقل.

عملية إضافة المتجه لها الخصائص التالية:

تعريف

فرق ثلاثة أبعادويسمى المتجه بحيث يتم استيفاء الشرط: (الشكل 3).

اضرب المتجه برقم

تعريف

الشغل المتجه لكل رقميسمى ناقل يستوفي الشروط:

خصائص ضرب المتجه برقم:

هنا نواقل عشوائية ، وأرقام عشوائية.

الفضاء الإقليدي(ايضا الفضاء الإقليدي) - بالمعنى الأصلي ، المساحة الموصوفة خصائصها البديهيات الهندسة الإقليدية. في هذه الحالة ، من المفترض أن المساحة بها البعديساوي 3.

بالمعنى الحديث ، بمعنى أكثر عمومية ، يمكن أن تشير إلى أحد الأشياء المتشابهة والمرتبطة ارتباطًا وثيقًا: متناهية الأبعاد حقا ناقلات الفضاءمع ايجابية محددة منتج عددي، أو مساحة متريةالمقابلة لمثل هذا الفضاء المتجه. في هذه المقالة ، سيتم اعتبار التعريف الأول هو التعريف الأولي.

غالبًا ما يتم استخدام الفضاء الإقليدي ذي الأبعاد (إذا كان واضحًا من السياق أن الفضاء له بنية إقليدية).

لتحديد الفضاء الإقليدي ، من الأسهل اعتباره المفهوم الرئيسي المنتج نقطة. يتم تعريف الفضاء المتجه الإقليدي على أنه متناهية الأبعاد ناقلات الفضاءفي الاعلى مجال أرقام حقيقية، على نواقلها دالة ذات قيمة حقيقيةبالخصائص الثلاث التالية:

مساحة أفيني، المقابلة لمثل هذا الفضاء المتجه ، يسمى الفضاء الأفيني الإقليدي ، أو ببساطة الفضاء الإقليدي .

مثال على الفضاء الإقليدي هو مساحة إحداثيات تتكون من كل ما هو ممكن ن-الأرقام الحقيقية المنتج القياسي الذي تحدده الصيغة

إحداثيات الأساس والمتجه

أساس (اليونانية الأخرىβασις ، أساس) - مجموعة من هؤلاء ثلاثة أبعادفي ناقلات الفضاءأن أي متجه لهذه المساحة يمكن تمثيله بشكل فريد على أنه تركيبة خطيةناقلات من هذه المجموعة - ناقلات الأساس.

في الحالة التي يكون فيها الأساس غير محدود ، يجب توضيح مفهوم "التركيبة الخطية". يؤدي هذا إلى نوعين رئيسيين من التعريف:

أساس هامل، الذي يعتبر تعريفه مجموعات خطية محدودة فقط. يستخدم أساس هامل بشكل رئيسي في الجبر المجرد (على وجه الخصوص ، في الجبر الخطي).

أساس شودر، الذي يعتبر تعريفه أيضًا مجموعات خطية لا نهائية ، أي التوسع في الرتب. يستخدم هذا التعريف بشكل رئيسي في التحليل الوظيفي ، على وجه الخصوص فضاء هيلبرت,

في الفراغات ذات الأبعاد المحدودة ، يتطابق كلا النوعين من الأساس.

إحداثيات المتجهاتهي معاملات الممكن الوحيد تركيبة خطية أساسي ثلاثة أبعادفي المحدد نظام الإحداثياتيساوي المتجه المحدد.

أين إحداثيات المتجه.

منتج عددي.

عملية على اثنين ثلاثة أبعاد، والنتيجة هي رقم[عندما يتم أخذ النواقل في الاعتبار ، غالبًا ما يتم استدعاء الأرقام عددي] ، والتي لا تعتمد على نظام الإحداثيات وتميز أطوال متجهات العوامل و ركنبينهم. هذه العملية تتوافق مع الضرب الطولالمتجه xعلى ال تنبؤالمتجه ذلكل متجه x. عادة ما تعتبر هذه العملية كما تبادليو خطيلكل عامل.

منتج عدديمتجهان يساوي مجموع حاصل ضرب إحداثيات كل منهما:

ناقلات المنتج

هذا هو كاذب, عموديالمستوى الذي تم إنشاؤه بواسطة عاملين ، والذي ينتج عن عملية ثنائية"الضرب المتجه" أكثر ثلاثة أبعادثلاثي الأبعاد الفضاء الإقليدي. لا يحتوي منتج المتجه على خصائص التبديلو الترابطية(هو مضاد) وعلى النقيض من حاصل الضرب النقطي للناقلات، هو ناقل. تستخدم على نطاق واسع في العديد من التطبيقات التقنية والفيزيائية. فمثلا، الزخم الزاويو قوة لورنتزمكتوبًا رياضيًا كمنتج متجه. يكون حاصل الضرب الاتجاهي مفيدًا في "قياس" عمودية المتجهات - معامل الضرب الاتجاهي لمتجهين يساوي حاصل ضرب معامليهما إذا كانا متعامدين ، وينخفض ​​إلى الصفر إذا كانت المتجهات متوازية أو مضادة متوازية.

ناقلات المنتجيمكن حساب متجهين باستخدام محدد المصفوفات

منتج مختلط

منتج مختلط ثلاثة أبعاد -منتج عددي المتجهعلى ال ناقلات المنتج ثلاثة أبعادو:

في بعض الأحيان يطلق عليه منتج عددي ثلاثيناقلات ، على ما يبدو بسبب حقيقة أن النتيجة العددية(أكثر دقة - المنظار الكاذب).

المعنى الهندسي:معامل حاصل الضرب المخلوط يساوي عدديًا الحجم متوازي السطوحمتعلم ثلاثة أبعاد .منتج مختلطيمكن إيجاد ثلاثة نواقل من خلال المحدد

طائرة في الفضاء

طائرة - سطح جبريالترتيب الأول: في نظام الإحداثيات الديكارتيةيمكن ضبط الطائرة معادلةالدرجة الأولى.

بعض الخصائص المميزة للطائرة

طائرة - سطح - المظهر الخارجي، تحتوي على كل منها بالكامل مباشرة، يربط أي نقاط;

مستويان إما متوازيان أو متقاطعان في خط مستقيم.

الخط إما موازٍ للمستوى ، أو يتقاطع معه عند نقطة واحدة ، أو على المستوى.

خطان متعامدان على نفس المستوى متوازيان مع بعضهما البعض.

مستويان متعامدان على نفس الخط متوازيان مع بعضهما البعض.

بصورة مماثلة مقطعو فترة، يمكن تسمية المستوى الذي لا يحتوي على نقاط متطرفة بمستوى فاصل أو مستوى مفتوح.

المعادلة العامة (كاملة) للمستوى

أين و هي ثوابت ، وفي نفس الوقت لا تساوي الصفر ؛ في المتجهشكل:

أين متجه نصف قطر النقطة ، المتجه عمودي على المستوى (متجه عادي). خطوط إرشادجيب التمام المتجه :

من أجل العرض الصحيح لقوانين الطبيعة في الفيزياء ، يلزم وجود أدوات رياضية مناسبة.

في الهندسة والفيزياء ، هناك كميات تتميز بكل من القيمة العددية والاتجاه.

يُنصح بتمثيلها على شكل شرائح موجّهة أو ثلاثة أبعاد.

هذه القيم لها بداية (ممثلة بنقطة) ونهاية ، يشار إليها بسهم. طول المقطع يسمى (الطول).

• سرعة؛
• التسريع؛
• نبض؛
• قوة؛
• لحظة؛
• قوة؛
• متحرك؛
• شدة المجال ، إلخ.

إحداثيات الطائرة

دعنا نحدد مقطعًا على المستوى موجهًا من النقطة A (x1 ، y1) إلى النقطة B (x2 ، y2). إحداثياته ​​a (a1، a2) هي الأرقام a1 = x2-x1، a2 = y2-y1.

يتم حساب الوحدة باستخدام نظرية فيثاغورس:

المتجه الصفري له البداية والنهاية. الإحداثيات والطول 0.

مجموع النواقل

يوجد عدة قواعد لحساب المبلغ

• حكم المثلث
• حكم المضلع
• حكم متوازي الأضلاع.

يمكن شرح قاعدة إضافة المتجه باستخدام مسائل من الديناميكيات والميكانيكا. ضع في اعتبارك إضافة المتجهات وفقًا لقاعدة المثلث باستخدام مثال القوى المؤثرة على جسم نقطي وعمليات الإزاحة المتتالية للجسم في الفضاء.

افترض أن الجسم تحرك أولاً من النقطة أ إلى النقطة ب ، ثم من النقطة ب إلى النقطة ج. الإزاحة النهائية هي قطعة موجهة من نقطة البداية A إلى نقطة النهاية C.

نتيجة عمليتي إزاحة أو مجموعهما s = s1 + s2. هذه الطريقة تسمى حكم المثلث.

تصطف الأسهم في سلسلة واحدة تلو الأخرى ، إذا لزم الأمر ، وتقوم بنقل موازٍ. المقطع الإجمالي يغلق التسلسل. تتزامن بدايته مع بداية الأول ، والنهاية - مع نهاية الأخير. في الكتب المدرسية الأجنبية ، تسمى هذه الطريقة "الذيل إلى الرأس".

إحداثيات النتيجة ج = أ + ب تساوي مجموع الإحداثيات المقابلة للمصطلحين ج (أ 1 + ب 1 ، أ 2 + ب 2).

يتم أيضًا تحديد مجموع المتجهات المتوازية (الخطية) بواسطة قاعدة المثلث.

إذا كان جزءان أوليان متعامدين مع بعضهما البعض ، فإن نتيجة إضافتهما هي وتر المثلث القائم الزاوية المبني عليهما. يتم حساب طول المجموع باستخدام نظرية فيثاغورس.

أمثلة:

• سرعة جسم يُلقى أفقياً عموديتسارع السقوط الحر.
• في حالة الحركة الدورانية المنتظمة ، تكون السرعة الخطية للجسم متعامدة مع عجلة الجاذبية المركزية.

إضافة ثلاثة نواقل أو أكثرتنتج وفقا ل قاعدة المضلع, "الذيل إلى الرأس"

لنفترض أنه يتم تطبيق القوتين F1 و F2 على جسم نقطي.

تثبت التجربة أن التأثير المشترك لهذه القوى يعادل عمل قوة واحدة موجهة قطريًا على طول متوازي الأضلاع المبني عليها. هذه القوة الناتجة تساوي مجموعها F \ u003d F1 + F 2. تسمى طريقة الجمع المذكورة أعلاه حكم متوازي الأضلاع.

يتم حساب الطول في هذه الحالة بواسطة الصيغة

حيث θ هي الزاوية بين الجانبين.

قواعد المثلث ومتوازي الأضلاع قابلة للتبديل. في الفيزياء ، يتم استخدام قاعدة متوازي الأضلاع في كثير من الأحيان ، حيث يتم تطبيق الكميات الموجهة من القوى والسرعات والتسارع عادة على جسم نقطة واحدة. في نظام إحداثيات ثلاثي الأبعاد ، يتم تطبيق قاعدة الصندوق.

عناصر الجبر

1. الإضافة هي عملية ثنائية: يمكنك فقط إضافة زوج في المرة الواحدة.
2. التبديل: المجموع من التقليب للمصطلحات لا يغير a + b = b + a. هذا واضح من قاعدة متوازي الأضلاع: القطر دائمًا هو نفسه.
3. الترابطية: مجموع العدد التعسفي للمتجهات لا يعتمد على ترتيب إضافتها (أ + ب) + ج = أ + (ب + ج).
4. الجمع بمتجه صفري لا يغير الاتجاه أو الطول: أ + 0 = أ.
5. لكل متجه يوجد عكس. مجموعهم يساوي صفر أ + (- أ) = 0 ، والطولان متماثلان.

إن طرح جزء موجه يكافئ إضافة العكس. الإحداثيات تساوي فرق الإحداثيات المقابلة. الطول:

للطرح ، يمكنك استخدام قاعدة مثلث معدلة.

الضرب بواسطة عددي

نتيجة الضرب في العددية هي متجه.

يتم الحصول على إحداثيات المنتج بضرب الإحداثيات المقابلة للمصدر بواسطة عددي.

الحجمي هو قيمة رقمية بعلامة زائد أو ناقص ، أكبر من واحد أو أقل.

أمثلة للكميات في الفيزياء:

• وزن؛
• زمن؛
• تكلفة؛
• الطول؛
• ميدان؛
• الصوت؛
• كثافة؛
• درجة الحرارة؛
• طاقة.

أمثلة:

• تساوي إزاحة جسم متحرك بشكل منتظم منتج الوقت والسرعة s = vt.
• زخم الجسم هو حاصل ضرب الكتلة في السرعة p = mv.
• قانون نيوتن الثاني. ناتج كتلة الجسم والتسارع هو تعلقالقوة الناتجة أماه = F.
• تتناسب القوة المؤثرة على جسيم مشحون في مجال كهربائي مع الشحنة F = qE.

الناتج القياسي للقطعتين الموجهتين أ و ب يساوي حاصل ضرب الوحدتين وجيب تمام الزاوية بينهما. الناتج القياسي للقطاعات المتعامدة بشكل متبادل يساوي الصفر.

مثال:

الشغل هو الناتج القياسي للقوة والإزاحة A = Fs.