حتى الدالة الفردية مثل. الوظائف الفردية والزوجية

تحتوي الرسوم البيانية للوظائف الفردية والزوجية على الميزات التالية:

إذا كانت الدالة زوجية ، فإن الرسم البياني الخاص بها يكون متماثلًا حول المحور y. إذا كانت الدالة فردية ، فإن الرسم البياني الخاص بها يكون متماثلًا حول الأصل.

مثال.ارسم الدالة \ (y = \ left | x \ right | \).

المحلول.ضع في اعتبارك الوظيفة: \ (f \ left (x \ right) = \ left | x \ right | \) واستبدل \ (x \) بالعكس \ (- x \). نتيجة للتحولات البسيطة ، نحصل على: $$ f \ left (-x \ right) = \ left | -x \ right | = \ left | x \ right | = f \ left (x \ right) $$ In بعبارة أخرى ، إذا استبدلت الوسيطة بعلامة معاكسة ، فلن تتغير الوظيفة.

هذا يعني أن هذه الوظيفة زوجية ، وسيكون رسمها البياني متماثلًا حول المحور y (المحور الرأسي). يظهر الرسم البياني لهذه الوظيفة في الشكل على اليسار. هذا يعني أنه عند رسم رسم بياني ، يمكنك إنشاء نصف فقط ، والجزء الثاني (على يسار المحور الرأسي ، ارسم بالفعل بشكل متماثل إلى الجانب الأيمن). من خلال تحديد تماثل دالة قبل البدء في رسم الرسم البياني الخاص بها ، يمكنك تبسيط عملية بناء أو دراسة دالة بشكل كبير. إذا كان من الصعب إجراء فحص بشكل عام ، فيمكنك القيام بذلك بشكل أسهل: استبدل نفس قيم العلامات المختلفة في المعادلة. على سبيل المثال -5 و 5. إذا كانت قيم الوظيفة هي نفسها ، فيمكننا أن نأمل أن تكون الوظيفة زوجية. من وجهة نظر رياضية ، هذا النهج ليس صحيحًا تمامًا ، ولكنه مناسب من الناحية العملية. لزيادة موثوقية النتيجة ، يمكنك استبدال عدة أزواج من هذه القيم المعاكسة.

مثال.ارسم الدالة \ (y = x \ left | x \ right | \).

المحلول.دعونا نتحقق من نفس الشيء كما في المثال السابق: $$ f \ left (-x \ right) = x \ left | -x \ right | = -x \ left | x \ right | = -f \ left (x \ right) ) $$ هذا يعني أن الوظيفة الأصلية فردية (يتم عكس علامة الوظيفة).

الخلاصة: الوظيفة متناظرة فيما يتعلق بالأصل. يمكنك بناء نصف واحد فقط ، ورسم النصف الآخر بشكل متماثل. يصعب رسم هذا التناظر. هذا يعني أنك تنظر إلى المخطط من الجانب الآخر للورقة ، بل وانقلبت رأسًا على عقب. ويمكنك أيضًا القيام بذلك: خذ الجزء المرسوم وقم بتدويره حول الأصل بمقدار 180 درجة عكس اتجاه عقارب الساعة.

مثال.ارسم الدالة \ (y = x ^ 3 + x ^ 2 \).

المحلول.لنقم بإجراء نفس التحقق من تغيير العلامة كما في المثالين السابقين. $$ f \ left (-x \ right) = \ left (-x \ right) ^ 3 + \ left (-x \ right) ^ 2 = -x ^ 2 + x ^ 2 $$ $$ f \ left ( -x \ right) \ not = f \ left (x \ right) ، f \ left (-x \ right) \ not = -f \ left (x \ right) $$ مما يعني أن الوظيفة ليست زوجية ولا فردية .

الخلاصة: الوظيفة ليست متناظرة سواء حول الأصل أو حول مركز نظام الإحداثيات. حدث هذا لأنه مجموع وظيفتين: زوجي وفردي. سيكون نفس الموقف إذا قمت بطرح وظيفتين مختلفتين. لكن الضرب أو القسمة سيؤديان إلى نتيجة مختلفة. على سبيل المثال ، ينتج عن حاصل ضرب دالة فردية وزوجية واحدًا فرديًا. أو أن حاصل قسمة فردين يؤدي إلى دالة زوجية.

إخفاء العرض

طرق لتعيين وظيفة

دع الدالة تعطى بالصيغة: y = 2x ^ (2) -3. من خلال تعيين أي قيمة للمتغير المستقل x ، يمكنك استخدام هذه الصيغة لحساب القيم المقابلة للمتغير التابع y. على سبيل المثال ، إذا كانت x = -0.5 ، فعندئذٍ باستخدام الصيغة ، نحصل على أن القيمة المقابلة لـ y هي y = 2 \ cdot (-0.5) ^ (2) -3 = -2.5.

بالنظر إلى أي قيمة مأخوذة بواسطة الوسيطة x في الصيغة y = 2x ^ (2) -3 ، يمكن حساب قيمة دالة واحدة فقط تتوافق معها. يمكن تمثيل الوظيفة كجدول:

x	−2	−1	0	1	2	3
ذ	−4	−3	−2	−1	0	1

باستخدام هذا الجدول ، يمكنك معرفة أنه بالنسبة لقيمة الوسيطة -1 ، ستتوافق قيمة الوظيفة -3 ؛ وستتوافق القيمة x = 2 مع y = 0 ، وهكذا. من المهم أيضًا معرفة أن كل قيمة وسيطة في الجدول تتوافق مع قيمة دالة واحدة فقط.

يمكن تعيين المزيد من الوظائف باستخدام الرسوم البيانية. بمساعدة الرسم البياني ، يتم تحديد قيمة الوظيفة التي ترتبط بقيمة معينة من x. في أغلب الأحيان ، ستكون هذه قيمة تقريبية للدالة.

دالة زوجية وغريبة

الوظيفة دالة زوجية، عندما تكون f (-x) = f (x) لأي x من المجال. ستكون هذه الوظيفة متناظرة حول محور Oy.

الوظيفة وظيفة غريبةعندما f (-x) = - f (x) لأي x في المجال. ستكون هذه الوظيفة متناظرة حول الأصل O (0 ؛ 0).

الوظيفة ليس حتى, ولا غريبودعا الوظيفة العامةعندما لا يكون لها تناظر حول المحور أو الأصل.

ندرس الوظيفة التالية من أجل التكافؤ:

و (س) = 3 س ^ (3) -7 س ^ (7)

D (f) = (- \ infty ؛ + \ infty) مع مجال متماثل لتعريف الأصل. و (-x) = 3 \ cdot (-x) ^ (3) -7 \ cdot (-x) ^ (7) = -3x ^ (3) + 7x ^ (7) = - (3x ^ (3) -7x ^ (7)) = -f (س).

ومن ثم ، فإن الدالة f (x) = 3x ^ (3) -7x ^ (7) فردية.

الوظيفة الدورية

تسمى الوظيفة y = f (x) ، في المجال الذي تكون فيه f (x + T) = f (x-T) = f (x) صحيحة لأي x ، وظيفة دوريةمع الفترة T \ neq 0.

تكرار الرسم البياني للوظيفة على أي جزء من محور الإحداثي ، والذي يبلغ طوله T.

الفترات التي تكون فيها الوظيفة موجبة ، أي f (x)> 0 - أجزاء من محور الإحداثي ، والتي تتوافق مع نقاط الرسم البياني للوظيفة التي تقع فوق محور الإحداثي.

f (x)> 0 تشغيل (x_ (1) ؛ x_ (2)) \ cup (x_ (3) ؛ + \ infty)

الفجوات التي تكون فيها الوظيفة سالبة ، أي f (x)< 0 - отрезки оси абсцисс, которые отвечают точкам графика функции, лежащих ниже оси абсцисс.

و (خ)< 0 на (- infty ؛ x_ (1)) كوب (x_ (2) ؛ x_ (3))

قيود الوظيفة

يحدها من الأسفلمن المعتاد استدعاء دالة y = f (x) ، x \ in X عندما يكون هناك رقم A حيث تكون المتباينة f (x) \ geq A صالحة لأي x \ في X.

مثال على دالة مقيدة أدناه: y = \ sqrt (1 + x ^ (2)) منذ y = \ sqrt (1 + x ^ (2)) \ geq 1 لأي ​​x.

يحدها من فوق a دالة y = f (x) ، يتم استدعاء x \ in X إذا كان هناك رقم B يكون المتباين f (x) \ neq B مناسبًا له لأي x \ في X.

مثال على وظيفة مقيدة أدناه: y = \ sqrt (1-x ^ (2)) ، x \ in [-1 ؛ 1]منذ y = \ sqrt (1 + x ^ (2)) \ neq 1 لأي ​​x \ في [-1 ؛ 1].

محدودمن المعتاد استدعاء دالة y = f (x)، x \ in X عندما يوجد رقم K> 0 حيث المتباينة \ يسار | و (س) \ الحق | \ neq K لأي x \ في X.

مثال على دالة محددة: y = \ sin x مقيد بخط الأعداد بالكامل لأن \ اليسار | \ الخطيئة س \ الحق | \ neq 1.

زيادة و تناقص الوظيفة

من المعتاد التحدث عن وظيفة تزيد في الفترة قيد النظر على أنها زيادة وظيفةعندما تتوافق قيمة أكبر لـ x مع قيمة أكبر للدالة y = f (x). من هنا اتضح أن أخذ قيمتين تعسفيتين للوسيطة x_ (1) و x_ (2) من الفاصل المدروس ، و x_ (1)> x_ (2) ، سيكون y (x_ (1)) > ص (x_ (2)).

يتم استدعاء الوظيفة التي تقل في الفترة الزمنية قيد النظر تناقص وظيفةعندما تتوافق قيمة أكبر لـ x مع قيمة أصغر للدالة y (x). من هنا اتضح أن أخذ قيمتين تعسفيتين للوسيطة x_ (1) و x_ (2) من الفاصل المدروس ، و x_ (1)> x_ (2) ، سيكون y (x_ (1))< y(x_{2}) .

الجذور الوظيفيةمن المعتاد تسمية النقاط التي تتقاطع فيها الوظيفة F = y (x) مع محور الإحداثي (يتم الحصول عليها نتيجة لحل المعادلة y (x) = 0).

أ) إذا زادت دالة زوجية لـ x> 0 ، فإنها تنخفض لـ x< 0

ب) عندما تنخفض دالة زوجية لـ x> 0 ، فإنها تزيد بالنسبة إلى x< 0

ج) عندما تزيد دالة فردية لـ x> 0 ، فإنها تزيد أيضًا لـ x< 0

د) عندما تنخفض دالة فردية لـ x> 0 ، فإنها ستنخفض أيضًا لـ x< 0

وظيفة متطرفة

الحد الأدنى لنقطة الوظيفة y = f (x) من المعتاد استدعاء مثل هذه النقطة x = x_ (0) ، حيث سيكون للجوار نقاط أخرى (باستثناء النقطة x = x_ (0)) ، وبالنسبة لهم ، فإن المتباينة f ( x)> f (x_ (0)). y_ (min) - تعيين الوظيفة عند النقطة min.

وظيفة الحد الأقصى للنقطة y = f (x) من المعتاد استدعاء مثل هذه النقطة x = x_ (0) ، حيث سيكون للجوار نقاط أخرى (باستثناء النقطة x = x_ (0)) ، ثم المتباينة f (x) سيكون راضيًا عنهم< f(x^{0}) . y_{max} - обозначение функции в точке max.

شرط ضروري

وفقًا لنظرية فيرما: f "(x) = 0 ، فعندئذٍ عندما تكون الدالة f (x) قابلة للاشتقاق عند النقطة x_ (0) ، سيظهر الحد الأقصى عند هذه النقطة.

شرط كاف

1. عندما تتغير علامة المشتق من موجب إلى ناقص ، فإن x_ (0) ستكون الحد الأدنى للنقطة ؛
2. x_ (0) - ستكون نقطة قصوى فقط عندما يتغير المشتق الإشارة من سالب إلى زائد عند المرور عبر النقطة الثابتة x_ (0).

أكبر وأصغر قيمة للدالة في الفترة

خطوات الحساب:

1. البحث عن مشتق f "(x) ؛
2. تم العثور على النقاط الثابتة والحرجة للوظيفة ويتم اختيار تلك التي تنتمي إلى الفاصل الزمني ؛
3. تم العثور على قيم الوظيفة f (x) في النقاط الثابتة والحرجة ونهايات المقطع. أصغر النتائج ستكون أصغر قيمة للدالة، و اكثر - أعظم.

إلى الأمام

انتباه! تعد معاينة الشرائح للأغراض الإعلامية فقط وقد لا تمثل النطاق الكامل للعرض التقديمي. إذا كنت مهتمًا بهذا العمل ، فيرجى تنزيل النسخة الكاملة.

الأهداف:

• لتشكيل مفهوم الوظائف الفردية والزوجية ، لتعليم القدرة على تحديد واستخدام هذه الخصائص في دراسة الوظائف والتخطيط ؛
• لتنمية النشاط الإبداعي للطلاب والتفكير المنطقي والقدرة على المقارنة والتعميم ؛
• لزراعة الاجتهاد والثقافة الرياضية. تطوير مهارات الاتصال .

معدات:تركيب الوسائط المتعددة ، السبورة التفاعلية ، النشرات.

أشكال العمل:أمامي وجماعي مع عناصر أنشطة البحث والبحث.

مصدر المعلومات:

1. فئة الجبر 9 A.G. مردكوفيتش. كتاب مدرسي.
2. الجبر الصف 9 A.G. مردكوفيتش. كتاب المهام.
3. الجبر الصف 9. مهام تعلم وتنمية الطلاب. Belenkova E.Yu. ليبيدينتسيفا إي.

أثناء الفصول

1. لحظة تنظيمية

تحديد أهداف وغايات الدرس.

2. فحص الواجبات المنزلية

رقم 10.17 (كتاب المشكلة الصف التاسع موردكوفيتش).

أ) في = F(X), F(X) =

ب) F (–2) = –3; F (0) = –1; F(5) = 69;

ج) 1. د ( F) = [– 2; + ∞)
2. E ( F) = [– 3; + ∞)
3. F(X) = 0 من أجل X ~ 0,4
4. F(X)> 0 في X > 0,4 ; F(X) < 0 при – 2 < X < 0,4.
5. تزيد الوظيفة مع X € [– 2; + ∞)
6. الوظيفة محدودة من الأسفل.
7. فيتأجير = - 3 ، فينيب غير موجود
8. الوظيفة مستمرة.

(هل استخدمت خوارزمية استكشاف الميزات؟) الانزلاق.

2. دعنا نتحقق من الجدول الذي طُلب منك في الشريحة.

املأ الجدول
	اِختِصاص	الأصفار الوظيفية	فترات الثبات		إحداثيات نقاط تقاطع الرسم البياني مع Oy
		س = -5 ، س = 2	х € (–5 ؛ 3) يو يو (2 ؛ ∞)	х € (–∞ ؛ –5) يو يو (–3 ؛ 2)
	س ∞ -5 ، س ≠ 2		х € (–5 ؛ 3) يو يو (2 ؛ ∞)	х € (–∞ ؛ –5) يو يو (–3 ؛ 2)
	س ≠ -5 ، س ≠ 2		× € (–∞ ؛ –5) يو يو (2 ؛ ∞)	× يورو (–5 ؛ 2)

3. تحديث المعرفة

- يتم إعطاء الوظائف.
- تحديد مجال التعريف لكل وظيفة.
- قارن قيمة كل دالة لكل زوج من قيم الوسيطة: 1 و - 1 ؛ 2 و - 2.
- لأي من الوظائف المعينة في مجال التعريف هي المساواة F(– X) = F(X), F(– X) = – F(X)? (ضع البيانات في الجدول) الانزلاق

		F(1) و F(– 1)	F(2 و F(– 2)	الرسوم البيانية	F(– X) = –F(X)	F(– X) = F(X)
1. F(X) =
2. F(X) = X 3
3. F(X) = | X |
4.F(X) = 2X – 3
5. F(X) =	X ≠ 0
6. F(X)=	X > –1		وليس معرّف.

4. مادة جديدة

- أثناء القيام بهذا العمل ، يا رفاق ، كشفنا عن خاصية أخرى للوظيفة ، غير مألوفة بالنسبة لك ، ولكنها لا تقل أهمية عن غيرها - هذا هو تكافؤ الوظيفة وغرابةها. اكتب موضوع الدرس: "الوظائف الفردية والزوجية" ، مهمتنا هي معرفة كيفية تحديد الدوال الزوجية والفردية ، ومعرفة أهمية هذه الخاصية في دراسة الدوال والتخطيط.
فلنجد التعاريف في الكتاب المدرسي ونقرأها (ص 110) . الانزلاق

ديف. واحددور في = F (X) المحددة في المجموعة X يسمى حتى، إذا كان لأي قيمة XЄ X قيد التقدم المساواة f (–x) = f (x). أعط أمثلة.

ديف. 2دور ص = و (س)، المعرفة في المجموعة X يسمى الفردية، إذا كان لأي قيمة XЄ X تم استيفاء المساواة f (–х) = –f (). أعط أمثلة.

أين التقينا بعبارات "زوجي" و "فردي"؟
أي من هذه الوظائف ستكون زوجية ، في رأيك؟ لماذا ا؟ أيهما غريب؟ لماذا ا؟
لأي وظيفة من وظائف النموذج في= x ن، أين نهو عدد صحيح ، يمكن القول بأن الوظيفة فردية نهو فردي والدالة زوجية ل ن- حتى.
- عرض الوظائف في= و في = 2X- 3 ليست زوجية ولا فردية لأن لم تتحقق المساواة F(– X) = – F(X), F(– X) = F(X)

تسمى دراسة مسألة ما إذا كانت الوظيفة زوجية أو فردية دراسة دالة التكافؤ.الانزلاق

يتعامل التعريفان 1 و 2 مع قيم الوظيفة عند x و- x ، وبالتالي يُفترض أن الوظيفة تُعرّف أيضًا بالقيمة X، وفي - X.

المساعدة الإنمائية الرسمية 3.إذا كان الرقم الذي تم تعيينه مع كل عنصر من عناصره x يحتوي على العنصر المعاكس x ، فإن المجموعة Xتسمى المجموعة المتماثلة.

أمثلة:

(–2 ؛ 2) ، [–5 ؛ 5] ؛ (∞ ؛ ∞) هي مجموعات متماثلة ، و [–5 ؛ 4] غير متماثلة.

- هل حتى الوظائف لها مجال تعريف - مجموعة متماثلة؟ الغريبون؟
- إذا د ( F) هي مجموعة غير متماثلة ، فما هي الوظيفة إذن؟
- هكذا إذا كانت الوظيفة في = F(X) زوجي أو فردي ، فإن مجال تعريفه هو D ( F) هي مجموعة متماثلة. ولكن هل العكس صحيح ، إذا كان مجال الدالة مجموعة متماثلة ، فهل يكون ذلك زوجيًا أم فرديًا؟
- لذا فإن وجود مجموعة متماثلة لمجال التعريف هو شرط ضروري ، لكنه ليس شرطًا كافيًا.
- إذن كيف يمكننا التحقيق في دالة التكافؤ؟ دعنا نحاول كتابة خوارزمية.

الانزلاق

خوارزمية لفحص دالة من أجل التكافؤ

1. حدد ما إذا كان مجال الوظيفة متماثلًا. إذا لم يكن الأمر كذلك ، فإن الوظيفة ليست زوجية ولا فردية. إذا كانت الإجابة بنعم ، فانتقل إلى الخطوة 2 من الخوارزمية.

2. اكتب تعبيرًا عن F(–X).

3. قارن F(–X).و F(X):

• إذا F(–X).= F(X) ، ثم الوظيفة زوجية ؛
• إذا F(–X).= – F(X) ، إذن الوظيفة فردية ؛
• إذا F(–X) ≠ F(X) و F(–X) ≠ –F(X) ، فإن الوظيفة ليست زوجية ولا فردية.

أمثلة:

التحقيق في وظيفة التكافؤ أ) في= x 5 + ؛ ب) في= ؛ في) في= .

المحلول.

أ) ح (س) \ u003d × 5 + ،

1) D (h) = (–∞؛ 0) U (0؛ + ∞) ، مجموعة متماثلة.

2) h (- x) \ u003d (-x) 5 + - x5 - \ u003d - (x 5 +) ،

3) ح (- س) \ u003d - ح (س) \ u003d \ u003e وظيفة ح (خ)= x 5 + فردي.

ب) ص = ،

في = F(X) ، D (و) = (–∞ ؛ –9)؟ (–9 ؛ + ∞) ، مجموعة غير متماثلة ، لذا فإن الوظيفة ليست زوجية ولا فردية.

في) F(X) = ، ص = و (س) ،

1) د ( F) = (–∞ ؛ 3] ≠ ؛ ب) (؛ –2) ، (–4 ؛ 4]؟

الخيار 2

1. هل المجموعة المعينة متماثلة: أ) [–2 ؛ 2] ؛ ب) (∞ ؛ 0] ، (0 ؛ 7)؟

أ)؛ ب) ص \ u003d س (5 - × 2). 2. افحص وظيفة التكافؤ:

أ) ص \ u003d × 2 (2x - × 3) ، ب) ص \ u003d

3. في التين. تآمر في = F(X) للجميع X، تلبية الشرط X? 0.
ارسم الدالة في = F(X)، إذا في = F(X) هي دالة زوجية.

3. في التين. تآمر في = F(X) ، لجميع س مرضية؟ 0.
ارسم الدالة في = F(X)، إذا في = F(X) هي دالة فردية.

الاختيار المتبادل الانزلاق.

6. الواجب المنزلي: №11.11, 11.21,11.22;

إثبات المعنى الهندسي لخاصية التكافؤ.

*** (تعيين خيار الاستخدام).

1. يتم تعريف الدالة الفردية y \ u003d f (x) على الخط الحقيقي بأكمله. لأي قيمة غير سالبة للمتغير x ، تتطابق قيمة هذه الدالة مع قيمة الدالة g ( X) = X(X + 1)(X + 3)(X- 7). أوجد قيمة الدالة h ( X) = في X = 3.

7. تلخيص

الدوال الفردية والزوجية هي إحدى خصائصها الرئيسية ، ويحتل التكافؤ جزءًا مثيرًا للإعجاب من الدورة المدرسية في الرياضيات. إنه يحدد إلى حد كبير طبيعة سلوك الوظيفة ويسهل بشكل كبير بناء الرسم البياني المقابل.

دعونا نحدد التكافؤ في الوظيفة. بشكل عام ، تعتبر الوظيفة قيد الدراسة حتى إذا كانت القيم المقابلة للمتغير المستقل (x) الموجود في مجالها ، فإن القيم المقابلة لـ y (الوظيفة) متساوية.

دعونا نعطي تعريف أكثر دقة. ضع في اعتبارك بعض الدالة f (x) ، التي تم تحديدها في المجال D. وستكون حتى إذا كانت أي نقطة x تقع في مجال التعريف:

• تقع -x (النقطة المعاكسة) أيضًا في النطاق المحدد ،

• و (-x) = و (س).

من التعريف أعلاه ، فإن الشرط الضروري لمجال تعريف هذه الوظيفة يتبع ، أي التناظر فيما يتعلق بالنقطة O ، التي هي أصل الإحداثيات ، لأنه إذا كانت هناك نقطة ب مضمنة في مجال تعريف دالة زوجية ، فإن النقطة المقابلة - b تقع أيضًا في هذا المجال. مما سبق ، فإن الاستنتاج التالي: الوظيفة الزوجية لها شكل متماثل فيما يتعلق بالمحور الإحداثي (Oy).

كيفية تحديد التكافؤ في وظيفة في الممارسة؟

دعها تُعطى باستخدام الصيغة h (x) = 11 ^ x + 11 ^ (- x). باتباع الخوارزمية التي تتبع مباشرة من التعريف ، نقوم أولاً بدراسة مجال تعريفها. من الواضح أنه يتم تعريفه لجميع قيم الحجة ، أي تم استيفاء الشرط الأول.

الخطوة التالية هي استبدال المتغير (x) بقيمته المعاكسة (-x).
نحن نحصل:
ح (-x) = 11 ^ (- س) + 11 ^ س.
بما أن الإضافة تفي بقانون (الإزاحة) التبادلي ، فمن الواضح أن h (-x) = h (x) والاعتماد الوظيفي المحدد هو زوجي.

دعنا نتحقق من تكافؤ الدالة h (x) = 11 ^ x-11 ^ (- x). باتباع نفس الخوارزمية ، نحصل على h (-x) = 11 ^ (- x) -11 ^ x. إخراج ناقص ، نتيجة لذلك ، لدينا
ح (-x) = - (11 ^ x-11 ^ (- x)) = - h (x). ومن ثم فإن h (x) أمر غريب.

بالمناسبة ، يجب أن نتذكر أن هناك وظائف لا يمكن تصنيفها وفقًا لهذه المعايير ، فهي تسمى ليست زوجية ولا فردية.

حتى الوظائف لها عدد من الخصائص المثيرة للاهتمام:

• نتيجة لإضافة وظائف مماثلة ، يتم الحصول على وظيفة واحدة ؛
• نتيجة لطرح هذه الوظائف ، يتم الحصول على واحدة ؛
• حتى أيضا.
• نتيجة لضرب وظيفتين من هذا القبيل ، يتم الحصول على واحدة زوجية ؛
• نتيجة مضاعفة الدوال الفردية والزوجية ، يتم الحصول على واحد فردي ؛
• نتيجة لتقسيم الوظائف الفردية والزوجية ، يتم الحصول على واحد فردي ؛
• مشتق هذه الوظيفة غريب ؛
• إذا قمنا بتربيع دالة فردية ، فسنحصل على واحدة زوجية.

يمكن استخدام تماثل الدالة في حل المعادلات.

لحل معادلة مثل g (x) = 0 ، حيث يكون الجانب الأيسر من المعادلة دالة زوجية ، يكفي إيجاد حلها للقيم غير السالبة للمتغير. يجب دمج جذور المعادلة التي تم الحصول عليها مع أرقام معاكسة. واحد منهم يخضع للتحقق.

يتم استخدام نفس الشيء بنجاح لحل المشكلات غير القياسية مع المعلمة.

على سبيل المثال ، هل هناك أي قيمة للمعامل a تجعل المعادلة 2x ^ 6-x ^ 4-ax ^ 2 = 1 لها ثلاثة جذور؟

إذا أخذنا في الاعتبار أن المتغير يدخل المعادلة في قوى زوجية ، فمن الواضح أن استبدال x بـ -x لن يغير المعادلة المعطاة. ويترتب على ذلك أنه إذا كان رقم معين هو جذره ، فسيكون كذلك الرقم المقابل. الاستنتاج واضح: جذور المعادلة ، بخلاف الصفر ، يتم تضمينها في مجموعة حلولها في "أزواج".

من الواضح أن الرقم 0 نفسه ليس ، أي أن عدد جذور هذه المعادلة يمكن أن يكون زوجيًا ، وبطبيعة الحال ، لا يمكن أن يكون لأي قيمة للمعامل ثلاثة جذور.

لكن عدد جذور المعادلة 2 ^ x + 2 ^ (- x) = ax ^ 4 + 2x ^ 2 + 2 يمكن أن يكون فرديًا ، ولأي قيمة للمعامل. في الواقع ، من السهل التحقق من أن مجموعة جذور معادلة معينة تحتوي على حلول في "أزواج". دعنا نتحقق مما إذا كان 0 هو جذر. عند استبدالها في المعادلة ، نحصل على 2 = 2. وبالتالي ، بالإضافة إلى "الزوج" 0 هو أيضًا جذر ، مما يثبت عددهم الفردي.

البحث الوظيفي.

1) D (y) - مجال التعريف: مجموعة كل قيم المتغير x. والتي بموجبها تكون التعبيرات الجبرية f (x) و g (x) منطقية.

إذا تم إعطاء الوظيفة بواسطة صيغة ، فإن مجال التعريف يتكون من جميع قيم المتغير المستقل الذي تكون الصيغة منطقية له.

2) خصائص الوظيفة: زوجي / فردي ، دورية:

الفرديةو حتىتسمى الدوال التي تكون رسومها البيانية متماثلة فيما يتعلق بالتغير في علامة الوسيطة.

وظيفة غريبة- وظيفة تغير القيمة إلى العكس عندما تتغير علامة المتغير المستقل (متماثل حول مركز الإحداثيات).

دالة زوجية- دالة لا تغير من قيمتها عندما تتغير إشارة المتغير المستقل (متماثل حول المحور ص).

لا زوجية ولا دالة فردية (الوظيفة العامة)هي وظيفة ليس لها تناظر. تتضمن هذه الفئة وظائف لا تندرج تحت الفئتين السابقتين.

يتم استدعاء الوظائف التي لا تنتمي إلى أي من الفئات المذكورة أعلاه لا زوجي ولا فردي(أو وظائف عامة).

وظائف فردية

قوة فردية حيث يكون عددًا صحيحًا عشوائيًا.

حتى وظائف

قوة زوجية حيث يكون عددًا صحيحًا تعسفيًا.

الوظيفة الدوريةهي وظيفة تكرر قيمها في فاصل زمني منتظم للوسيطة ، أي لا تغير قيمتها عند إضافة عدد غير صفري ثابت إلى الوسيطة ( فترةوظائف) على نطاق التعريف بأكمله.

3) أصفار الدالة هي النقاط التي تختفي فيها.

إيجاد نقطة تقاطع الرسم البياني مع المحور أوي. للقيام بذلك ، تحتاج إلى حساب القيمة F(0). ابحث أيضًا عن نقاط تقاطع الرسم البياني مع المحور ثور، لماذا تجد جذور المعادلة F(x) = 0 (أو تأكد من عدم وجود جذور).

تسمى النقاط التي يتقاطع فيها الرسم البياني مع المحور وظيفة الأصفار. لإيجاد أصفار الدالة ، تحتاج إلى حل المعادلة ، أي إيجاد تلك القيم س، والتي تختفي الوظيفة.

4) فترات ثبات العلامات والعلامات فيها.

فترات حيث تحتفظ الدالة f (x) بعلامتها.

فاصل الثبات هو الفاصل الزمني في كل نقطة فيهاالوظيفة موجبة أو سلبية.

فوق المحور السيني.

المحور أدناه.

5) الاستمرارية (نقاط الانقطاع ، طابع الانقطاع ، الخطوط المقاربة).

وظيفة مستمرة- وظيفة بدون "قفزات" ، أي التي تؤدي فيها تغييرات طفيفة في الوسيطة إلى تغييرات طفيفة في قيمة الوظيفة.

نقاط التوقف القابلة للإزالة

إذا كان حد الوظيفة موجود، ولكن لم يتم تحديد الوظيفة في هذه المرحلة ، أو أن الحد لا يتطابق مع قيمة الوظيفة في هذه المرحلة:

,

ثم يتم استدعاء النقطة نقطة الانهياروظائف (في التحليل المعقد ، نقطة مفردة قابلة للإزالة).

إذا قمنا "بتصحيح" الوظيفة عند نقطة انقطاع قابل للإزالة ووضعناها ، ثم نحصل على دالة متصلة عند هذه النقطة. تسمى هذه العملية على وظيفة تمديد الوظيفة إلى مستمرأو تمديد الوظيفة عن طريق الاستمراريةالذي يبرر اسم النقطة كنقاط للاستعمال لمرة واحدةالفارق.

نقاط الانقطاع من النوع الأول والثاني

إذا كانت الوظيفة بها انقطاع في نقطة معينة (أي أن حد الوظيفة عند نقطة معينة غائب أو لا يتطابق مع قيمة الوظيفة عند نقطة معينة) ، فعندئذٍ بالنسبة للوظائف العددية ، هناك خياران محتملان تتعلق بوجود وظائف عددية حدود من جانب واحد:

إذا كانت كلتا الحدين من جانب واحد موجودة ومحدودة ، فسيتم استدعاء هذه النقطة نقطة الانهيار من النوع الأول. نقاط الانقطاع القابلة للإزالة هي نقاط انقطاع من النوع الأول ؛

إذا كانت واحدة على الأقل من الحدود أحادية الجانب غير موجودة أو لم تكن قيمة محدودة ، فإن هذه النقطة تسمى نقطة الانهيار من النوع الثاني.

خط مقارب - مستقيموالتي لها خاصية المسافة من نقطة المنحنى إلى هذا مستقيمتميل إلى الصفر عندما تتحرك النقطة على طول الفرع إلى ما لا نهاية.

عمودي

خط مقارب عمودي - خط النهاية .

كقاعدة عامة ، عند تحديد الخط المقارب العمودي ، لا يبحثون عن حد واحد ، ولكن اثنين من جانب واحد (يسار ويمين). يتم ذلك من أجل تحديد كيفية تصرف الوظيفة لأنها تقترب من الخط المقارب العمودي من اتجاهات مختلفة. فمثلا:

أفقي

خط مقارب أفقي - مستقيمالأنواع تخضع للوجود حد

.

منحرف - مائل

خط مقارب مائل - مستقيمالأنواع تخضع للوجود حدود

ملاحظة: لا يمكن أن تحتوي الوظيفة على أكثر من خطين مقاربين مائلين (أفقيين).

ملاحظة: إذا كان أحد الحدين المذكورين أعلاه غير موجود (أو يساوي) ، فإن الخط المقارب المائل عند (أو) غير موجود.

إذا كان في البند 2.) ، إذن ، وتم العثور على الحد بواسطة صيغة الخطوط المقاربة الأفقية ، .

6) إيجاد فترات الرتابة.أوجد فترات رتابة دالة F(x) (أي فترات الزيادة والنقصان). يتم ذلك عن طريق فحص علامة المشتق F(x). للقيام بذلك ، أوجد المشتق F(x) وحل عدم المساواة F(x) 0. في الفترات التي تتحقق فيها هذه المتباينة ، الدالة F(x) يزيد. حيث تحمل عدم المساواة العكسية F(x) 0 وظيفة F(x) النقصان.

إيجاد أقصى حد محلي.بعد العثور على فترات الرتابة ، يمكننا تحديد نقاط الطرف المحلي على الفور حيث يتم استبدال الزيادة بنقص ، وهناك حد أقصى محلي ، وحيث يتم استبدال النقص بزيادة الحد الأدنى المحلي. احسب قيمة الدالة عند هذه النقاط. إذا كانت الوظيفة تحتوي على نقاط حرجة ليست نقاطًا متطرفة محلية ، فمن المفيد حساب قيمة الوظيفة في هذه النقاط أيضًا.

إيجاد أكبر وأصغر قيم للدالة y = f (x) على قطعة(استمرار)

1. أوجد مشتق دالة: F(x). 2. أوجد النقاط التي يكون فيها المشتق صفرًا: F(x)=0x 1, x 2 ,... 3. تحديد ملكية النقاط X 1 ,X 2 , … مقطع [ أ; ب]: يترك x 1أ;ب، أ x 2أ;ب .