الحل العددي للمعادلات التفاضلية العادية بطريقة أويلر. الحل العددي للمعادلات التفاضلية العادية

تسمى المعادلات التفاضلية العادية مثل هذه المعادلات التي تحتوي على واحد أو أكثر من مشتقات الوظيفة المرغوبة y = y (x). يمكن كتابتها في النموذج

حيث x هو المتغير المستقل.

أعلى رتبة n للمشتق في المعادلة تسمى ترتيب المعادلة التفاضلية.

يمكن تقسيم طرق حل المعادلات التفاضلية العادية إلى المجموعات التالية: رسومية ، تحليلية ، تقريبية وعددية.

تستخدم الأساليب الرسومية الإنشاءات الهندسية.

تم العثور على الطرق التحليلية في سياق المعادلات التفاضلية. بالنسبة للمعادلات من الدرجة الأولى (مع المتغيرات القابلة للفصل ، والمتجانسة ، والخطية ، وما إلى ذلك) ، وكذلك لبعض أنواع المعادلات ذات الترتيب الأعلى (على سبيل المثال ، الخطية ذات المعاملات الثابتة) ، من الممكن الحصول على حلول في شكل صيغ عن طريق التحولات التحليلية.

تستخدم الطرق التقريبية تبسيطًا مختلفًا للمعادلات نفسها عن طريق الرفض المعقول لبعض المصطلحات الواردة فيها ، وكذلك من خلال اختيار خاص لفئات الوظائف المرغوبة.

تعد الأساليب العددية لحل المعادلات التفاضلية حاليًا الأداة الرئيسية في دراسة المشكلات العلمية والتقنية الموصوفة بالمعادلات التفاضلية. في الوقت نفسه ، يجب التأكيد على أن هذه الأساليب فعالة بشكل خاص مع استخدام أجهزة الكمبيوتر الحديثة.

أبسط طريقة عددية لحل مشكلة كوشي الخاصة بـ ODE هي طريقة أويلر. ضع في اعتبارك المعادلة بالقرب من العقد (i = 1،2،3 ، ...) واستبدل المشتق على الجانب الأيسر بالفرق الأيمن. في هذه الحالة ، سيتم استبدال قيم الوظيفة في العقد بقيم وظيفة الشبكة:

التقريب الذي تم الحصول عليه لـ DE هو من الدرجة الأولى ، حيث يُسمح بحدوث خطأ عند الاستبدال بـ.

لاحظ أنه يتبع من المعادلة

لذلك ، فهو اكتشاف تقريبي لقيمة الوظيفة عند نقطة ما باستخدام التوسع في سلسلة تايلور مع رفض شروط الرتب الثانية والأعلى. بمعنى آخر ، يُفترض أن تكون الزيادة في دالة مساوية لتفاضلها.

بافتراض أن i = 0 ، باستخدام العلاقة نجد قيمة دالة الشبكة في:

يتم إعطاء القيمة المطلوبة هنا من خلال الشرط الأولي ، أي

وبالمثل ، يمكن العثور على قيم وظيفة الشبكة في العقد الأخرى:

تسمى الخوارزمية المركبة بطريقة أويلر

الشكل - 19 طريقة أويلر

يوضح الشكل التفسير الهندسي لطريقة أويلر. يتم عرض الخطوتين الأوليين ، أي يتم توضيح حساب وظيفة الشبكة عند النقاط. تصف المنحنيات المتكاملة 0،1،2 الحلول الدقيقة للمعادلة. في هذه الحالة ، يتوافق المنحنى 0 مع الحل الدقيق لمسألة كوشي ، لأنه يمر عبر نقطة البداية A (x 0 ، y 0). يتم الحصول على النقاط B و C كنتيجة للحل العددي لمسألة كوشي بطريقة أويلر. تميز انحرافاتهم عن المنحنى 0 خطأ الطريقة. عند تنفيذ كل خطوة ، نصل في الواقع إلى منحنى متكامل آخر. الجزء AB هو جزء من المماس للمنحنى 0 عند النقطة A ، ويتميز ميله بقيمة المشتق. يظهر الخطأ لأن الزيادة في قيمة الوظيفة أثناء الانتقال من x 0 إلى x 1 يتم استبدالها بزيادة في إحداثيات الظل للمنحنى 0 عند النقطة A. يتم رسم الظل BC بالفعل إلى منحنى متكامل آخر 1 وهكذا ، يؤدي خطأ طريقة أويلر إلى حقيقة أنه في كل خطوة ، ينتقل الحل التقريبي إلى منحنى متكامل آخر.

الحل العددي للمعادلات التفاضلية

يتم اختزال العديد من مشاكل العلم والتكنولوجيا في حل المعادلات التفاضلية العادية (ODEs). معادلات ODE هي معادلات تحتوي على واحد أو أكثر من مشتقات الوظيفة المطلوبة. بشكل عام ، يمكن كتابة ODE على النحو التالي:

عندما يكون x متغيرًا مستقلاً ، فهو مشتق من الدرجة الأولى للوظيفة المرغوبة. ن هو ترتيب المعادلة. يحتوي الحل العام من الترتيب n من ODE على عدد n من الثوابت التعسفية ، أي الحل العام له الشكل.

لتحديد حل فريد ، من الضروري تعيين شروط إضافية. اعتمادًا على كيفية تحديد الشروط الإضافية ، يوجد نوعان مختلفان من المشكلات: مشكلة كوشي ومشكلة قيمة الحدود. إذا تم تحديد شروط إضافية في مرحلة ما ، فإن هذه المشكلة تسمى مشكلة كوشي. تسمى الشروط الإضافية في مشكلة كوشي الشروط الأولية. إذا تم تحديد شروط إضافية في أكثر من نقطة واحدة ، أي بالنسبة للقيم المختلفة للمتغير المستقل ، فإن هذه المشكلة تسمى مشكلة الحدود. تسمى الشروط الإضافية نفسها شروط الحدود أو الحدود.

من الواضح أنه بالنسبة لـ n = 1 يمكن للمرء أن يتحدث فقط عن مشكلة كوشي.

أمثلة على وضع مشكلة كوشي:

أمثلة على مشاكل القيمة الحدية:

من الممكن حل مثل هذه المسائل بشكل تحليلي فقط لبعض أنواع المعادلات الخاصة.

الطرق العددية لحل مشكلة كوشي لمعدات ODE من الدرجة الأولى

صياغة المشكلة. اعثر على حل لأول طلب ODE

على المقطع تحت الشرط

عند إيجاد حل تقريبي ، سنفترض أن العمليات الحسابية تتم بخطوة حسابية ، وعقد الحساب هي نقاط الفاصل [ x 0 ، س ن ].

الهدف هو بناء طاولة

x أنا				x ن
ذ أنا				ذ ن

أولئك. يتم البحث عن القيم التقريبية لـ y في عقد الشبكة.

تكامل المعادلة في الفترة نحصل عليها

الطريقة الطبيعية (ولكن ليست الوحيدة) للحصول على حل رقمي هي استبدال التكامل مع بعض صيغة التكامل العددي التربيعي. إذا استخدمنا أبسط صيغة للمستطيلات اليسرى من الدرجة الأولى

,

ثم نحصل صيغة أويلر الصريحة:

إجراءات التسوية:

مع العلم ، نجد ، ثم وهلم جرا.

التفسير الهندسي لطريقة أويلر:

الاستفادة مما هو موجود في هذه النقطة x 0 حل معروف ذ(x 0)= ذ 0 وقيمة مشتقها ، يمكنك كتابة معادلة المماس للرسم البياني للدالة المرغوبة عند النقطة:. بخطوة صغيرة بما فيه الكفاية حإحداثيات هذا الظل ، التي تم الحصول عليها عن طريق الاستبدال في الجانب الأيمن من القيمة ، يجب أن تختلف قليلاً عن الإحداثي ذ(x 1) الحلول ذ(x) من مشكلة كوشي. لذلك ، نقطة تقاطع المماس مع الخط x = x 1 تقريبًا كنقطة بداية جديدة. من خلال هذه النقطة ، نرسم مرة أخرى خطًا مستقيمًا ، والذي يعكس تقريبًا سلوك الظل عند النقطة. الاستبدال هنا (أي التقاطع مع الخط x = x 2) نحصل على قيمة تقريبية ذ(x) عند النقطة x 2: إلخ. نتيجة لذلك ، ل أناالنقطة عشر ، نحصل على صيغة أويلر.

طريقة أويلر الصريحة لها دقة من الدرجة الأولى أو تقريب.

إذا استخدمنا صيغة المستطيلات اليمنى: ، ثم نصل إلى الطريقة

هذه الطريقة تسمى طريقة أويلر الضمنية، لأنه من أجل حساب قيمة غير معروفة من قيمة معروفة ، يلزم حل معادلة ، في الحالة العامة ، معادلة غير خطية.

طريقة أويلر الضمنية لها دقة من الدرجة الأولى أو تقريب.

في هذه الطريقة ، يتكون الحساب من مرحلتين:

يُطلق على هذا المخطط أيضًا طريقة المصحح التنبئي (التصحيحي التنبئي). في المرحلة الأولى ، يتم توقع القيمة التقريبية بدقة منخفضة (h) ، وفي المرحلة الثانية ، يتم تصحيح هذا التنبؤ بحيث يكون للقيمة الناتجة الترتيب الثاني من الدقة.

طرق Runge – Kutta:فكرة بناء طرق رونج - كوتا الصريحة ص- الترتيب هو الحصول على تقديرات تقريبية للقيم ذ(x أنا+1) حسب صيغة النموذج

…………………………………………….

هنا أ ن ،ب نيوجيرسي , ص ن، هي بعض الأرقام الثابتة (المعلمات).

عند إنشاء طرق Runge-Kutta ، فإن معلمات الوظيفة ( أ ن ،ب نيوجيرسي , ص ن) بطريقة الحصول على ترتيب التقريب المطلوب.

مخطط Runge – Kutta من الدرجة الرابعة من الدقة:

مثال. حل مشكلة كوشي:

ضع في اعتبارك ثلاث طرق: طريقة Euler الصريحة ، طريقة Euler المعدلة ، طريقة Runge-Kutta.

الحل الدقيق:

معادلات الحساب لطريقة أويلر الصريحة لهذا المثال:

معادلات حساب طريقة أويلر المعدلة:

صيغ الحساب لطريقة رونج-كوتا:

y1 هي طريقة Euler ، y2 هي طريقة Euler المعدلة ، y3 هي طريقة Runge Kutta.

يمكن ملاحظة أن طريقة Runge-Kutta هي الأكثر دقة.

الطرق العددية لحل أنظمة معادلات ODE من الدرجة الأولى

يمكن أيضًا استخدام الطرق المدروسة لحل أنظمة المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى.

دعونا نوضح هذا في حالة نظام من معادلتين من الدرجة الأولى:

طريقة أويلر الصريحة:

طريقة أويلر المعدلة:

مخطط Runge-Kutta من الدرجة الرابعة من الدقة:

يتم أيضًا تقليل مشاكل كوشي للمعادلات ذات الترتيب الأعلى إلى حل أنظمة معادلات ODE. على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك مشكلة كوشي لمعادلة من الدرجة الثانية

دعنا نقدم الوظيفة الثانية غير المعروفة. ثم يتم استبدال مشكلة كوشي بما يلي:

أولئك. من حيث المشكلة السابقة:.

مثال. ابحث عن حل لمشكلة كوشي:

على الخفض.

الحل الدقيق:

حقًا:

لنحل المشكلة بطريقة أويلر الصريحة ، المعدلة بواسطة طريقة أويلر ورونج-كوتا بالخطوة h = 0.2.

دعنا نقدم وظيفة.

ثم نحصل على مشكلة Cauchy التالية لنظام مكون من اثنين من ODE من الدرجة الأولى:

طريقة أويلر الصريحة:

طريقة أويلر المعدلة:

طريقة رونج كوتا:

مخطط أويلر:

طريقة أويلر المعدلة:

مخطط رونج - كوتا:

ماكس (نظرية ص ص) = 4 * 10 -5

طريقة الفروق المحدودة لحل مسائل القيمة الحدية لمراكز التطوير الأصلية

صياغة المشكلة: أوجد حل المعادلة التفاضلية الخطية

استيفاء شروط الحدود :. (2)

نظرية.يترك . ثم هناك حل فريد لهذه المشكلة.

على سبيل المثال ، يتم تقليل مشكلة تحديد انحرافات الحزمة ، التي تتوقف عند النهايات ، إلى هذه المشكلة.

المراحل الرئيسية لطريقة الفروق المحدودة:

1) يتم استبدال منطقة التغيير المستمر للوسيطة () بمجموعة منفصلة من النقاط تسمى العقد:.

2) يتم استبدال الوظيفة المرغوبة للوسيطة المستمرة x تقريبًا بوظيفة الوسيطة المنفصلة على الشبكة المحددة ، أي . الوظيفة تسمى الشبكة.

3) يتم استبدال المعادلة التفاضلية الأصلية بمعادلة فرق فيما يتعلق بوظيفة الشبكة. يسمى هذا الاستبدال بتقريب الفرق.

وبالتالي ، يتم تقليل حل المعادلة التفاضلية لإيجاد قيم دالة الشبكة عند عقد الشبكة ، والتي تم العثور عليها من حل المعادلات الجبرية.

تقريب المشتقات.

لتقريب (استبدال) المشتق الأول ، يمكنك استخدام الصيغ:

- مشتق الفرق الصحيح ،

- مشتق فرق اليسار ،

مشتق الفرق المركزي.

على سبيل المثال ، هناك طرق عديدة لتقريب المشتق ممكنة.

كل هذه التعريفات تأتي من مفهوم المشتق كحد: .

استنادًا إلى الفرق التقريبي للمشتق الأول ، يمكننا إنشاء تقريب تقريبي للمشتق الثاني:

وبالمثل ، يمكن تقريب المشتقات ذات الرتبة الأعلى.

تعريف.الخطأ التقريبي للمشتق n هو الفرق:.

يتم استخدام توسع سلسلة تايلور لتحديد ترتيب التقريب.

ضع في اعتبارك تقريب الفرق الصحيح للمشتق الأول:

أولئك. مشتق الفرق الصحيح أولا ب hترتيب تقريبي.

وينطبق الشيء نفسه على مشتق الفرق الأيسر.

مشتق الفرق المركزي له التقريب من الدرجة الثانية.

تقريب المشتق الثاني بالصيغة (3) له أيضًا الترتيب الثاني للتقريب.

لتقريب معادلة تفاضلية ، من الضروري استبدال جميع المشتقات الموجودة فيها بتقديراتها. ضع في اعتبارك المسألة (1) ، (2) واستبدل المشتقات في (1):

نتيجة لذلك ، نحصل على:

(4)

ترتيب تقريب المشكلة الأصلية هو 2 ، لأن يتم استبدال المشتقات الثانية والأولى بالترتيب 2 ، والباقي بالضبط.

لذلك ، بدلاً من المعادلات التفاضلية (1) ، (2) ، يتم الحصول على نظام المعادلات الخطية لتحديد العقد الشبكية.

يمكن تمثيل المخطط على النحو التالي:

أي حصلنا على نظام من المعادلات الخطية مع مصفوفة:

هذه المصفوفة ثلاثية الأضلاع ، أي جميع العناصر غير الموجودة على القطر الرئيسي والقطرين المجاورين له تساوي الصفر.

من خلال حل نظام المعادلات الناتج ، نحصل على حل للمشكلة الأصلية.

مقدمة

عند حل المشكلات العلمية والهندسية ، غالبًا ما يكون من الضروري وصف أي نظام ديناميكي رياضيًا. من الأفضل القيام بذلك في شكل معادلات تفاضلية ( دو) أو أنظمة المعادلات التفاضلية. في أغلب الأحيان ، تنشأ مثل هذه المشكلة عند حل المشكلات المتعلقة بنمذجة حركية التفاعلات الكيميائية وظواهر النقل المختلفة (الحرارة والكتلة والزخم) - نقل الحرارة ، والخلط ، والتجفيف ، والامتزاز ، عند وصف حركة الجزيئات الكبيرة والميكروية.

في بعض الحالات ، يمكن تحويل المعادلة التفاضلية إلى صيغة يتم فيها التعبير عن المشتق الأعلى صراحةً. يسمى هذا الشكل من الكتابة معادلة تم حلها فيما يتعلق بأعلى مشتق (في هذه الحالة ، أعلى مشتق غائب في الجانب الأيمن من المعادلة):

حل المعادلة التفاضلية العادية هو دالة y (x) التي ، لأي x ، تفي بهذه المعادلة في فترة محددة أو غير محدودة. تسمى عملية حل المعادلة التفاضلية تكامل المعادلة التفاضلية.

تاريخيًا ، الطريقة الأولى والأبسط لحل مشكلة كوشي رقميًا بالنسبة إلى المعادلات التفاضلية الجزئية من الدرجة الأولى هي طريقة أويلر. يعتمد على تقريب المشتق بنسبة الزيادات المحدودة للمتغيرات التابعة (y) والمستقلة (x) بين عقد شبكة موحدة:

حيث y i + 1 هي القيمة المطلوبة للدالة عند النقطة x i + 1.

يمكن تحسين دقة طريقة أويلر إذا استخدمنا صيغة تكامل أكثر دقة لتقريب التكامل: صيغة شبه منحرف.

تبين أن هذه الصيغة ضمنية فيما يتعلق بـ y i + 1 (هذه القيمة موجودة في كلا الجانبين الأيسر والأيمن من التعبير) ، أي أنها معادلة لـ y i + 1 ، والتي يمكن حلها ، على سبيل المثال ، عدديًا ، باستخدام بعض الطرق التكرارية (في مثل هذا الشكل ، يمكن اعتبارها صيغة تكرارية لطريقة التكرار البسيطة).

تكوين عمل الدورة: يتكون عمل الدورة من ثلاثة أجزاء. في الجزء الأول ، وصف موجز للطرق. في الجزء الثاني ، صياغة المشكلة وحلها. في الجزء الثالث - تنفيذ البرمجيات في لغة الحاسوب

الغرض من الدورة التدريبية: دراسة طريقتين لحل المعادلات التفاضلية - طريقة أويلر-كوشي وطريقة أويلر المحسّنة.

1. الجزء النظري

التمايز العددي

المعادلة التفاضلية هي المعادلة التي تحتوي على مشتق واحد أو أكثر. اعتمادًا على عدد المتغيرات المستقلة ، يتم تقسيم المعادلات التفاضلية إلى فئتين.

المعادلات التفاضلية العادية (ODEs)

المعادلات التفاضلية الجزئية.

تسمى المعادلات التفاضلية العادية مثل هذه المعادلات التي تحتوي على واحد أو أكثر من مشتقات الوظيفة المطلوبة. يمكن كتابتها في النموذج

متغير مستقل

أعلى ترتيب مشمول في المعادلة (1) يسمى ترتيب المعادلة التفاضلية.

أبسط (خطي) معادلة ODE هي المعادلة (1) التي تم حلها فيما يتعلق بالمشتق

حل المعادلة التفاضلية (1) هو أي دالة ، بعد استبدالها في المعادلة ، تحولها إلى متطابقة.

تُعرف المشكلة الرئيسية المتعلقة بـ ODE الخطي بمشكلة Kashi:

أوجد حلاً للمعادلة (2) في شكل دالة تحقق الشرط الأولي (3)

هندسيًا ، هذا يعني أنه مطلوب للعثور على منحنى متكامل يمر عبر النقطة) عند استيفاء المساواة (2).

العددية من وجهة نظر مشكلة كاشي تعني: مطلوب بناء جدول قيم الدالة التي تفي بالمعادلة (2) والشرط الأولي (3) على مقطع بخطوة معينة. عادةً ما يُفترض ، بمعنى ، أن الشرط الأولي معطى في الطرف الأيسر من المقطع.

أبسط الطرق العددية لحل المعادلات التفاضلية هي طريقة أويلر. يعتمد على فكرة إنشاء حل للمعادلة التفاضلية بيانياً ، ولكن هذه الطريقة توفر أيضًا طريقة للعثور على الوظيفة المطلوبة في شكل رقمي أو في جدول.

دع المعادلة (2) تعطى مع الشرط الأولي ، أي تم تعيين مشكلة كاشي. لنحل المشكلة التالية أولاً. أوجد بأبسط طريقة القيمة التقريبية للحل في نقطة ما حيث تكون خطوة صغيرة بما فيه الكفاية. تحدد المعادلة (2) مع الشرط الأولي (3) اتجاه ظل المنحنى المتكامل المطلوب عند النقطة ذات الإحداثيات

معادلة الظل لها الشكل

بالانتقال على طول هذا الظل ، نحصل على القيمة التقريبية للحل عند النقطة:

بوجود حل تقريبي عند نقطة ما ، يمكننا تكرار الإجراء الموصوف سابقًا: إنشاء خط مستقيم يمر عبر هذه النقطة بميل ، واستخدامه لإيجاد القيمة التقريبية للحل عند النقطة

. لاحظ أن هذا الخط المستقيم ليس مماسًا لمنحنى التكامل الحقيقي ، نظرًا لأن النقطة غير متاحة لنا ، ومع ذلك ، إذا كانت صغيرة بما يكفي ، فإن القيم التقريبية الناتجة ستكون قريبة من القيم الدقيقة للحل.

استمرارًا لهذه الفكرة ، نقوم ببناء نظام من النقاط المتباعدة بشكل متساوٍ

الحصول على جدول قيم الوظيفة المطلوبة

وفقًا لطريقة أويلر ، يتمثل في التطبيق الدوري للصيغة

الشكل 1. تفسير رسومي لطريقة أويلر

تسمى طرق التكامل العددي للمعادلات التفاضلية ، والتي يتم فيها الحصول على الحلول من عقدة إلى أخرى ، على مراحل. طريقة أويلر هي أبسط تمثيل للطرق خطوة بخطوة. تتمثل إحدى ميزات أي طريقة خطوة بخطوة في أنه ، بدءًا من الخطوة الثانية ، فإن القيمة الأولية في الصيغة (5) هي نفسها تقريبية ، أي أن الخطأ في كل خطوة تالية يزداد بشكل منهجي. الطريقة الأكثر استخدامًا لتقدير دقة الطرق خطوة بخطوة للحل العددي التقريبي لـ ODE هي طريقة المرور المزدوج لجزء معين بخطوة وخطوة

1.1 طريقة أويلر المحسنة

الفكرة الرئيسية لهذه الطريقة: القيمة التالية المحسوبة بالصيغة (5) ستكون أكثر دقة إذا لم يتم حساب قيمة المشتق ، أي ميل الخط المستقيم الذي يحل محل المنحنى المتكامل على المقطع ، على طول الحافة اليسرى (أي عند النقطة) ، ولكن على طول منتصف الجزء. ولكن بما أن قيمة المشتق بين النقطتين غير محسوبة ، فلننتقل إلى الأقسام المزدوجة للمركز ، حيث تكون النقطة ، بينما تأخذ معادلة الخط المستقيم الشكل:

والصيغة (5) تأخذ الشكل

يتم تطبيق الصيغة (7) فقط من أجل ، لذلك ، لا يمكن الحصول على القيمة منها ، لذلك تم العثور عليها باستخدام طريقة أويلر ، بينما للحصول على نتيجة أكثر دقة ، يقومون بذلك: من البداية ، باستخدام الصيغة (5 ) ، أوجد القيمة

(8)

عند نقطة ثم يتم العثور عليها بواسطة الصيغة (7) بخطوة

(9)

بعد العثور على مزيد من الحسابات ل أنتجت بواسطة الصيغة (7)

أهم الأسئلة التي تمت مناقشتها في المحاضرة:

1. بيان المشكلة

2. طريقة أويلر

3. طرق Runge-Kutta

4. طرق متعددة الخطوات

5. حل مسألة قيمة حدية لمعادلة تفاضلية خطية من الرتبة الثانية

6. الحل العددي للمعادلات التفاضلية الجزئية

1. بيان المشكلة

أبسط معادلة تفاضلية عادية (ODE) هي معادلة من الدرجة الأولى يتم حلها فيما يتعلق بالمشتق: y "= f (x، y) (1). تُعرف المشكلة الرئيسية المرتبطة بهذه المعادلة بمشكلة كوشي: حل المعادلة (1) على شكل دالة y (x) تحقق الشرط الأولي: y (x0) = y0 (2).
الترتيب رقم n DE y (n) = f (x، y، y "،:، y (n-1)) ، حيث تتمثل مشكلة كوشي في إيجاد حل y = y (x) الذي يفي بالشروط الأولية :
y (x0) = y0، y "(x0) = y" 0،:، y (n-1) (x0) = y (n-1) 0، حيث y0، y "0،:، y (n- 1) 0 - أرقام معطاة ، يمكن اختزالها إلى نظام DE من الدرجة الأولى.

· طريقة أويلر

تعتمد طريقة أويلر على فكرة إنشاء حل للمعادلة التفاضلية بيانياً ، ولكن نفس الطريقة تعطي في نفس الوقت الشكل العددي للوظيفة المرغوبة. دع المعادلة (1) مع الشرط الأولي (2) تعطى.
الحصول على جدول قيم الوظيفة المرغوبة y (x) بطريقة أويلر يتألف من التطبيق الدوري للصيغة: ، i = 0 ، 1 ،: ، n. بالنسبة للبناء الهندسي لخط أويلر المكسور (انظر الشكل) ، نختار القطب A (-1،0) ونرسم القطعة PL = f (x0، y0) على المحور y (النقطة P هي أصل إحداثيات). من الواضح أن ميل الشعاع AL سيكون مساويًا لـ f (x0، y0) ، لذلك ، للحصول على الرابط الأول لخط أويلر المضلع ، يكفي رسم الخط MM1 من النقطة M الموازية للشعاع AL حتى يتقاطع مع الخط x = x1 عند نقطة ما M1 (x1، y1). بأخذ النقطة M1 (x1 ، y1) كنقطة أولية ، نضع جانباً المقطع PN = f (x1 ، y1) على محور Oy ونرسم خطًا مستقيمًا عبر النقطة M1 M1M2 | | AN حتى التقاطع عند النقطة M2 (x2 ، y2) مع الخط x = x2 ، إلخ.

عيوب الطريقة: دقة منخفضة ، تراكم منهجي للأخطاء.

· طرق رونج-كوتا

الفكرة الرئيسية للطريقة: بدلاً من استخدام المشتقات الجزئية للدالة f (x، y) في معادلات العمل ، استخدم هذه الوظيفة نفسها فقط ، ولكن احسب قيمها في عدة نقاط في كل خطوة. للقيام بذلك ، سنبحث عن حل للمعادلة (1) بالصيغة:


من خلال تغيير α و β و r و q ، سنحصل على إصدارات مختلفة من طرق Runge-Kutta.
بالنسبة إلى q = 1 ، نحصل على صيغة أويلر.
بالنسبة إلى q = 2 و r1 = r2 = ½ ، نحصل على α ، β = 1 ، وبالتالي ، لدينا الصيغة: والتي تسمى طريقة Euler-Cauchy المحسنة.
مع q = 2 و r1 = 0 ، r2 = 1 ، نحصل على α ، β = ½ ، وبالتالي ، لدينا الصيغة: - طريقة أويلر كوشي المحسنة الثانية.
بالنسبة إلى q = 3 و q = 4 ، توجد أيضًا عائلات كاملة من صيغ Runge-Kutta. في الممارسة العملية ، يتم استخدامها في أغلب الأحيان ، لأن. لا تزيد الأخطاء.
ضع في اعتبارك مخططًا لحل المعادلة التفاضلية بواسطة طريقة Runge-Kutta المكونة من 4 أوامر دقة. يتم إجراء الحسابات باستخدام هذه الطريقة وفقًا للصيغ:

من المناسب إدخالها في الجدول التالي:

x	ذ	ص "= و (س ، ص)	ك = ح و (س ، ص)	Δy
× 0	ذ 0	و (س 0 ، ص 0)	ك 1 (0)	ك 1 (0)
x0 + ½ ح	y0 + ½ k1 (0)	و (س 0 + ح ، ص 0 + ك 1 (0))	ك 2 (0)	2 ك 2 (0)
x0 + ½ ح	y0 + ½ k2 (0)	و (س 0 + ح ، ص 0 + ك 2 (0))	k3 (0)	2 ك 3 (0)
x0 + ح	y0 + k3 (0)	و (س 0 + ح ، ص 0 + ك 3 (0))	ك 4 (0)	ك 4 (0)
				Δy0 = Σ / 6
x1	y1 = y0 + Δy0	f (x1، y1)	كيه 1 (1)	كيه 1 (1)
x1 + ½ ح	y1 + ½ k1 (1)	و (س 1 + ح ، ص 1 + ك 1 (1))	كيه 2 (1)	2 كيه 2 (1)
x1 + ½ ح	y1 + ½ k2 (1)	و (س 1 + ح ، ص 1 + ك 2 (1))	كيه 3 (1)	2 كيه 3 (1)
x1 + ح	y1 + k3 (1)	و (س 1 + ح ، ص 1 + ك 3 (1))	كيه 4 (1)	كيه 4 (1)
				Δy1 = Σ / 6
x2	y2 = y1 + Δy1	إلخ.	حتى كل المطلوب	قيم ص

· طرق متعددة الخطوات

الطرق التي تمت مناقشتها أعلاه هي ما يسمى بطرق التكامل التدريجي للمعادلة التفاضلية. وهي تتميز بحقيقة أن قيمة الحل في الخطوة التالية يتم البحث عنها باستخدام الحل الذي تم الحصول عليه في خطوة سابقة واحدة فقط. هذه هي ما يسمى بأساليب الخطوة الواحدة.
الفكرة الرئيسية للطرق متعددة الخطوات هي استخدام العديد من قيم القرار السابقة عند حساب قيمة الحل في الخطوة التالية. أيضًا ، تسمى هذه الطرق m-step بالرقم m المستخدم لحساب القيم السابقة للحل.
في الحالة العامة ، لتحديد الحل التقريبي yi + 1 ، تتم كتابة مخططات الاختلاف بخطوة m على النحو التالي (م 1):
ضع في اعتبارك الصيغ المحددة التي تنفذ أبسط طرق Adams الصريحة والضمنية.

صريح ترتيب آدامز الثاني (خطوتين صريح آدامز)

لدينا a0 = 0 ، م = 2.
وهكذا ، - الصيغ الحسابية لطريقة آدامز الصريحة من الدرجة الثانية.
بالنسبة إلى i = 1 ، لدينا y1 غير معروف ، والذي سنجده باستخدام طريقة Runge-Kutta لـ q = 2 أو q = 4.
بالنسبة إلى i = 2 ، 3 ،: جميع القيم المطلوبة معروفة.

طريقة آدامز الضمنية من الدرجة الأولى

لدينا: a0 0 ، m = 1.
وهكذا ، - الصيغ الحسابية لطريقة آدمز الضمنية من الدرجة الأولى.
المشكلة الرئيسية في المخططات الضمنية هي ما يلي: yi + 1 مضمنة في كلا الجانبين الأيمن والأيسر من المساواة المقدمة ، لذلك لدينا معادلة لإيجاد قيمة yi + 1. هذه المعادلة غير خطية ومكتوبة بصيغة مناسبة لحل تكراري ، لذلك سنستخدم طريقة التكرار البسيطة لحلها:
إذا تم اختيار الخطوة h بشكل جيد ، فستتقارب العملية التكرارية بسرعة.
هذه الطريقة أيضًا ليست ذاتية البدء. إذن لحساب y1 ، عليك أن تعرف y1 (0). يمكن العثور عليها باستخدام طريقة أويلر.

لحل المعادلات التفاضلية من الضروري معرفة قيمة المتغير التابع ومشتقاته لبعض قيم المتغير المستقل. إذا تم تحديد شروط إضافية لقيمة واحدة من المجهول ، أي متغير مستقل ، ثم تسمى هذه المشكلة مشكلة كوشي. إذا تم إعطاء الشروط الأولية عند قيمتين أو أكثر من المتغير المستقل ، فإن المشكلة تسمى مشكلة حدية. عند حل المعادلات التفاضلية من أنواع مختلفة ، يتم حساب الوظيفة التي تريد تحديد قيمها في شكل جدول.

تصنيف الطرق العددية لحل الفروق. Lv. أنواع.

مشكلة كوشي تتكون من خطوة واحدة: طرق أويلر ، طرق رونج-كوتا ؛ - متعدد الخطوات: الطريقة الرئيسية ، طريقة آدمز. مشكلة القيمة الحدية هي طريقة لتقليل مشكلة القيمة الحدية إلى مشكلة كوشي ؛ - طريقة الفروق المحدودة.

عند حل مشكلة كوشي ، فرق. اور. طلب ن أو نظام ديفر. اور. من الدرجة الأولى من معادلات n و n شروط إضافية لحلها. يجب تحديد شروط إضافية لنفس قيمة المتغير المستقل. عند حل مشكلة الحدود ، مكافئ. الترتيب رقم n أو نظام المعادلات n و n شروط إضافية لقيمتين أو أكثر من المتغير المستقل. عند حل مشكلة كوشي ، يتم تحديد الوظيفة المطلوبة بشكل منفصل في شكل جدول مع بعض الخطوات المعطاة . عند تحديد كل قيمة تالية ، يمكنك استخدام معلومات حول نقطة سابقة واحدة. في هذه الحالة ، تسمى الطرق طرق الخطوة الواحدة ، أو يمكنك استخدام معلومات حول عدة نقاط سابقة - طرق متعددة الخطوات.

أور التفاضلية العادية. مشكلة كوشي. طرق خطوة واحدة. طريقة أويلر.

معطى: g (x، y) y + h (x، y) = 0، y = -h (x، y) / g (x، y) = f (x، y)، x 0، y ( س 0) = ص 0. معروف: f (x، y)، x 0، y 0. أوجد الحل المنفصل: x i، y i، i = 0،1،…، n. تعتمد طريقة أويلر على توسيع دالة في سلسلة تايلور حول النقطة × 0. تم وصف الحي بالخطوة h. y (x 0 + h) y (x 0) + hy (x 0) +… + (1). تأخذ طريقة أويلر في الاعتبار فترتين فقط من سلسلة تايلور. دعونا نقدم التدوين. ستتخذ صيغة أويلر الصيغة: y i + 1 = y i + y i، y i = hy (x i) = hf (x i، y i)، y i + 1 = y i + hf (x i، y i) (2) ، أنا = 0،1،2 ... ، س أنا + 1 = س أنا + ح

الصيغة (2) هي صيغة طريقة أويلر البسيطة.

التفسير الهندسي لصيغة أويلر

للحصول على حل عددي ، فإن f-la للماس المار عبر Eq. الظل: y = y (x 0) + y (x 0) (x-x 0) ، x = x 1 ،

y 1 \ u003d y (x 0) + f (x 0، y 0)  (x-x 0) ، لأن

x-x 0 \ u003d h ، ثم y 1 \ u003d y 0 + hf (x 0 ، y 0) ، f (x 0 ، y 0) \ u003d tg £.

طريقة أويلر المعدلة

معطى: y = f (x، y)، y (x 0) = y 0. معروف: f (x، y)، x 0، y 0. أوجد: اعتماد y على x في صورة دالة جدولية منفصلة: x i، y i، i = 0،1،…، n.

تفسير هندسي

1) احسب ظل زاوية الانحدار عند نقطة البداية

tg £ = y (x n، y n) = f (x n، y n)

2) احسب القيمة  y n + 1 on

في نهاية الخطوة وفقًا لصيغة أويلر

 y n + 1 \ u003d y n + f (x n، y n) 3) احسب ظل المنحدر

الظل عند n + 1 نقطة: tg £ = y (x n + 1،  y n + 1) = f (x n + 1،  y n + 1) 4) احسب المتوسط ​​الحسابي للزوايا

المنحدر: tg £ = ½. 5) باستخدام ظل زاوية الميل ، نعيد حساب قيمة الدالة عند n + 1 نقطة: y n + 1 = y n + htg £ = y n + ½h = y n + ½h هي صيغة طريقة أويلر المعدلة . يمكن إثبات أن f-la الناتج يتوافق مع توسع f-ii في سلسلة تايلور ، بما في ذلك المصطلحات (حتى h 2). طريقة Eilnr المعدلة ، على عكس الطريقة البسيطة ، هي طريقة من الدرجة الثانية من الدقة ، منذ ذلك الحين يتناسب الخطأ مع h 2.