ماذا يعني حاصل ضرب الأرقام. مضاعفة الأعداد الصحيحة والقواعد والأمثلة

إذا كانت قاعة الحفلات مضاءة بثلاث ثريات كل منها 25 مصباحًا ، فسيكون إجمالي عدد المصابيح في هذه الثريات 25 + 25 + 25 ، أي 75.

يتم كتابة المجموع الذي تتساوى فيه جميع المصطلحات مع بعضها البعض بشكل أقصر: بدلاً من 25 + 25 + 25 يكتبون 25 3. وبالتالي ، 25 3 \ u003d 75 (الشكل 43). الرقم 75 يسمى الشغلالرقمان 25 و 3 ، والأرقام 25 و 3 تسمى المضاعفات.

أرز. 43- حاصل ضرب العددين 25 و 3

ضرب عدد م في عدد طبيعي ن يعني إيجاد مجموع n حد ، كل منها يساوي م.

يتم استدعاء التعبير م ن وقيمة هذا التعبير الشغل أعدادمون. تسمى الأعداد التي تتضاعف المضاعفات. أولئك. م ون هي عوامل.

حاصل ضرب 7 4 و 4 7 يساوي نفس العدد 28 (الشكل 44).

أرز. 44- حاصل الضرب 7 4 = 4

1. لا يتغير حاصل ضرب عددين عند إعادة ترتيب العوامل.

قابل للإزاحة

أ × ب = ب × أ .

المنتجات (5 3) 2 \ u003d 15 2 و 5 (3 2) \ u003d 5 6 لها نفس القيمة 30. وبالتالي ، 5 (3 2) \ u003d (5 3) 2 (الشكل 45).

أرز. 45. حاصل الضرب (5 3) 2 = 5 (3 2)

2. لضرب رقم في حاصل ضرب رقمين ، يمكنك أولاً ضربه في العامل الأول ، ثم ضرب حاصل الضرب الناتج في العامل الثاني.

تسمى خاصية الضرب هذه ترابطي. إنه مكتوب بأحرف مثل هذا:

أ (بج) = (أبمع).

مجموع n حد ، كل منها يساوي 1 ، يساوي n. لذلك ، فإن المساواة 1 n = n صحيحة.

مجموع عدد n من الحدود ، كل منها يساوي صفرًا ، يساوي صفرًا. لذلك ، فإن المساواة 0 n = 0 صحيحة.

لكي تكون الخاصية التبادلية للضرب صحيحة لـ n = 1 و n = 0 ، اتفقنا على أن m 1 = م و م 0 = 0.

قبل العوامل الأبجدية ، لا يكتبون عادةً علامة الضرب: بدلاً من 8 Xاكتب 8 X، بدلاً من أباكتب أب.

احذف علامة الضرب قبل الأقواس. على سبيل المثال ، بدلاً من 2 ( أ +ب) اكتب 2 (أ +ب) ، وبدلاً من ( X+ 2) (ص + 3) اكتب (س + 2) (ص + 3).

بدلاً من ( أب) مع الكتابة abc.

في حالة عدم وجود أقواس في تدوين حاصل الضرب ، يتم تنفيذ الضرب بالترتيب من اليسار إلى اليمين.

تتم قراءة الأعمال مع تسمية كل عامل في الحالة المضافة. فمثلا:

1) 175 60 - حاصل ضرب مائة وخمسة وسبعين وستين ؛

2) 80 (X+ 1 7) هو نتاج r.p. ص.

ثمانون ومجموع س وسبعة عشر

لنحل المشكلة.

كم عدد الأرقام المكونة من ثلاثة أرقام (الشكل 46) التي يمكن تكوينها من الأرقام 2 ، 4 ، 6 ، 8 إذا كانت الأرقام الموجودة في إدخال الرقم لا تتكرر؟

المحلول.

يمكن أن يكون الرقم الأول من الرقم أيًا من أربعةأرقام معينة ، والثاني - أي من ثلاثةالآخرين ، والثالث - أي من اثنينالبقية. اتضح:

أرز. 46. ​​حول مشكلة تجميع الأعداد المكونة من ثلاثة أرقام

في المجموع ، من هذه الأرقام ، يمكنك جعل 4 3 2 = 24 عددًا مكونًا من ثلاثة أرقام.

لنحل المشكلة.

يتكون مجلس إدارة الشركة من 5 أشخاص. ينتخب المجلس من بين أعضائه رئيساً ونائباً للرئيس. ما هو عدد الطرق التي يمكن القيام بها؟

المحلول.

يمكن انتخاب واحد من بين 5 أشخاص كرئيس للشركة:

الرئيس:

بعد انتخاب الرئيس ، يمكن اختيار أي من أعضاء مجلس الإدارة الأربعة المتبقين لمنصب نائب الرئيس (الشكل 47):

	الرئيس: نائب الرئيس:

أرز. 47. حول مشكلة الانتخابات

إذن ، هناك خمس طرق لاختيار الرئيس ، ولكل رئيس منتخب ، هناك أربع طرق لاختيار نائب الرئيس. لذلك ، فإن إجمالي عدد الطرق لاختيار رئيس ونائب رئيس الشركة هو: 5 4 = 20 (انظر الشكل 47).

لنحل مشكلة أخرى.

أربعة طرق تؤدي من قرية Anikeevo إلى قرية Bolshovo ، وثلاثة طرق تؤدي من قرية Bolshovo إلى قرية Vinogradovo (الشكل 48). كم عدد الطرق التي يمكنك الوصول إليها من Anikeevo إلى Vinogradovo عبر قرية Bolshovo؟

أرز. 48. حول مشكلة الطرق

المحلول.

إذا انتقلت من A إلى B على طول الطريق الأول ، فهناك ثلاث طرق لمواصلة المسار (الشكل 49).

أرز. 49. خيارات الطريق

بالمجادلة بنفس الطريقة ، نحصل على ثلاث طرق لمواصلة المسار ، ونبدأ في السير على طول الطريق الثاني والثالث والرابع. هذا يعني أنه في المجموع هناك 4 3 = 12 طريقة للانتقال من Anikeev إلى Vinogradov.

لنحل مشكلة أخرى.

تم تقديم 5 أكواب مختلفة لعائلة مكونة من جدة وأب وأم وابنة وابن. ما هو عدد الكؤوس التي يمكن تقسيمها بين أفراد الأسرة؟

المحلول. لدى أول فرد في الأسرة (على سبيل المثال ، الجدة) 5 خيارات ، أما الشخص التالي (فليكن أبي) فلديه 4 اختيارات. سيختار التالي (على سبيل المثال ، أمي) من بين 3 أكواب ، والآخر من اثنين ، والآخر سيحصل على كوب واحد متبقي. سنعرض هذه الطرق في الرسم التخطيطي (الشكل 50).

أرز. 50. مخطط لحل المشكلة

لقد وجدنا أن كل اختيار للجدة للكأس يتوافق مع أربعة اختيارات محتملة للأب ، أي مجموع 5 4 طرق. بعد أن يختار الأب الكوب ، يكون للأم ثلاثة خيارات ، وللبنة اثنين ، وللابن واحد ، أي مجموع 3 2 1 طرق. أخيرًا ، توصلنا إلى أنه لحل المشكلة ، علينا إيجاد حاصل الضرب 5 4 3 2 1.

لاحظ أننا حصلنا على حاصل ضرب جميع الأعداد الطبيعية من 1 إلى 5. تمت كتابة هذه المنتجات بشكل أقصر:

5 4 3 2 1 = 5! (اقرأ: "عاملي خمسة").

عامل الضرب لرقمهو حاصل ضرب كل الأعداد الطبيعية من 1 إلى هذا الرقم.

فالجواب على المشكلة هو: 5! = 120 ، أي يمكن توزيع الكؤوس بين أفراد الأسرة في مائة وعشرين طريقة.

في هذه المقالة ، سوف نفهم كيف ضرب عدد صحيح. أولاً ، نقدم المصطلحات والترميز ، ونكتشف أيضًا معنى ضرب عددين صحيحين. بعد ذلك ، نحصل على قواعد ضرب عددين موجبين ، وأعداد صحيحة سالبة ، وأعداد صحيحة بعلامات مختلفة. في هذه الحالة ، سنقدم أمثلة مع شرح مفصل للحل. سنتطرق أيضًا إلى حالات ضرب الأعداد الصحيحة ، عندما يكون أحد العوامل يساوي واحدًا أو صفرًا. بعد ذلك ، سوف نتعلم كيفية التحقق من نتيجة الضرب. وأخيرًا ، لنتحدث عن ضرب ثلاثة أو أربعة أو أكثر من الأعداد الصحيحة.

التنقل في الصفحة.

الشروط والتدوين

لوصف مضاعفة الأعداد الصحيحة ، سنستخدم نفس المصطلحات التي وصفنا بها مضاعفة الأعداد الطبيعية. دعونا نذكرهم.

تسمى الأعداد الصحيحة المراد ضربها المضاعفات. نتيجة الضرب تسمى الشغل. تتم الإشارة إلى عملية الضرب بعلامة الضرب على شكل "·". في بعض المصادر ، يمكنك العثور على تسمية الضرب بعلامات "*" أو "×".

يتم كتابة الأعداد الصحيحة المضاعفة a و b و نتيجة ضربها c بشكل ملائم باستخدام المساواة في الشكل a b = c. في هذا الترميز ، العدد الصحيح أ هو العامل الأول ، والعدد الصحيح ب هو العامل الثاني ، وج هو حاصل الضرب. من الشكل أ ب أيضًا منتجًا ، وكذلك قيمة هذا التعبير ج.

بالنظر إلى المستقبل ، لاحظ أن حاصل ضرب عددين صحيحين هو عدد صحيح.

معنى الضرب الصحيح

مضاعفة الأعداد الصحيحة الموجبة

الأعداد الصحيحة الموجبة هي أعداد طبيعية ، لذلك ضرب الأعداد الصحيحة الموجبةتتم وفقًا لجميع قواعد ضرب الأعداد الطبيعية. من الواضح أنه نتيجة لضرب عددين موجبين ، سيتم الحصول على عدد صحيح موجب (رقم طبيعي). لنلقِ نظرة على بعض الأمثلة.

مثال.

ما هو حاصل ضرب الأعداد الصحيحة الموجبة 127 و 5؟

المحلول.

نمثل العامل الأول 107 كمجموع من حدود البت ، أي بالصيغة 100 + 20 + 7. بعد ذلك ، نستخدم القاعدة لضرب مجموع الأرقام برقم معين: 127 5 = (100 + 20 + 7) 5 = 100 5 + 20 5 + 7 5. يبقى فقط لإكمال الحساب: 100 5 + 20 5 + 7 5 = 500 + 100 + 35 = 600 + 35 = 635.

إذن ، حاصل ضرب الأعداد الصحيحة الموجبة 127 و 5 هو 635.

إجابه:

127 5 = 635.

لمضاعفة الأعداد الصحيحة الموجبة متعددة القيم ، من الملائم استخدام طريقة ضرب العمود.

مثال.

اضرب العدد الصحيح الموجب المكون من ثلاثة أرقام 712 في العدد الصحيح الموجب 92 المكون من رقمين.

المحلول.

دعونا نضرب هذه الأعداد الصحيحة الموجبة في عمود:

إجابه:

712 92 = 65504.

حكم ضرب الأعداد الصحيحة بعلامات وأمثلة مختلفة

سيساعدنا المثال التالي في صياغة قاعدة ضرب الأعداد الصحيحة بعلامات مختلفة.

نحسب حاصل ضرب عدد صحيح سالب −5 وعدد صحيح موجب 3 بناءً على معنى الضرب. لذا (−5) 3 = (- 5) + (- 5) + (- 5) = - 15. للحفاظ على صلاحية الخاصية التبادلية للضرب ، يجب أن تكون المساواة (−5) · 3 = 3 · (−5) ثابتة. أي أن حاصل ضرب 3 · (−5) يساوي أيضًا 15. من السهل ملاحظة أن −15 يساوي منتج الوحدات النمطية للعوامل الأصلية ، مما يعني أن حاصل ضرب الأعداد الصحيحة الأصلية بعلامات مختلفة يساوي حاصل ضرب وحدات العوامل الأصلية ، مأخوذًا بعلامة ناقص إشارة.

لذلك وصلنا قاعدة الضرب للأعداد الصحيحة ذات العلامات المختلفة: لضرب عددين صحيحين بعلامات مختلفة ، تحتاج إلى مضاعفة الوحدات النمطية لهذه الأرقام ووضع علامة الطرح أمام الرقم الناتج.

من القاعدة التي تم التعبير عنها ، يمكننا أن نستنتج أن حاصل ضرب الأعداد الصحيحة ذات العلامات المختلفة دائمًا ما يكون عددًا صحيحًا سالبًا. في الواقع ، نتيجة لضرب وحدات العوامل ، نحصل على عدد صحيح موجب ، وإذا وضعنا علامة ناقص أمام هذا الرقم ، فسيصبح عددًا صحيحًا سالبًا.

ضع في اعتبارك أمثلة لحساب حاصل ضرب الأعداد الصحيحة ذات العلامات المختلفة باستخدام القاعدة الناتجة.

مثال.

اضرب العدد الصحيح الموجب 7 في العدد الصحيح السالب −14.

المحلول.

دعنا نستخدم قاعدة ضرب الأعداد الصحيحة ذات العلامات المختلفة. وحدات المضاعفات هي 7 و 14 على التوالي. لنحسب حاصل ضرب الوحدات: 7 · 14 = 98. يبقى وضع علامة ناقص أمام الرقم الناتج: -98. إذن ، 7 · (14) = - 98.

إجابه:

7 (14) = - 98.

مثال.

احسب حاصل ضرب (36) 29.

المحلول.

نحتاج إلى حساب حاصل ضرب الأعداد الصحيحة بعلامات مختلفة. للقيام بذلك ، نحسب ناتج القيم المطلقة للعوامل: 36 29 \ u003d 1044 (من الأفضل إجراء الضرب في عمود). الآن نضع علامة الطرح أمام الرقم 1044 ، نحصل على −1044.

إجابه:

(36) 29 = -1044.

لاختتام هذا القسم الفرعي ، نثبت صحة المساواة a · (b) = - (a · b) ، حيث a و b أعداد صحيحة عشوائية. حالة خاصة لهذه المساواة هي القاعدة الصوتية لضرب الأعداد الصحيحة بعلامات مختلفة.

بعبارة أخرى ، علينا إثبات أن قيم التعبيرين a (b) و a b رقمان متعارضان. لإثبات ذلك ، نجد المجموع أ (ب) + أ ب ونتحقق من أنه يساوي صفرًا. بحكم خاصية التوزيع لضرب الأعداد الصحيحة فيما يتعلق بالإضافة ، فإن المساواة أ · (ب) + أ · ب = أ · ((- ب) + ب) صحيحة. مجموع (−b) + b يساوي صفرًا كمجموع الأعداد الصحيحة المقابلة ، ثم a ((b) + b) = a 0. حاصل الضرب الأخير هو صفر بخاصية ضرب عدد صحيح في صفر. وبالتالي ، a · (b) + a · b = 0 ، لذلك ، a · (b) و a · b هي أرقام متقابلة ، مما يعني أن المساواة a · (−b) = - (a · b). وبالمثل ، يمكن للمرء أن يظهر أن (a) ب = - (أ ب).

حكم لضرب الأعداد الصحيحة السالبة والأمثلة

ستساعدنا المساواة (a) · (−b) = a · b ، والتي سنثبتها الآن ، في الحصول على قاعدة ضرب عددين سالبين.

في نهاية الفقرة السابقة ، أظهرنا أن أ (ب) = - (أ ب) و (أ) ب = - (أ ب) ، حتى نتمكن من كتابة سلسلة المساواة التالية (−a) (−b) = - (أ (b)) = - (- (أ ب)). والتعبير الناتج - (- (أ ب)) ليس سوى ب بسبب تعريف الأعداد المعاكسة. إذن ، (−a) · (−b) = أ · ب.

المساواة المثبتة (a) (−b) = أ ب تسمح لنا بالصياغة قاعدة لضرب الأعداد الصحيحة السالبة: حاصل ضرب عددين صحيحين سالبين يساوي حاصل ضرب مقياسي هذه الأعداد.

من القاعدة التي تم التعبير عنها ، يترتب على ذلك أن نتيجة ضرب عددين سالبين هو عدد صحيح موجب.

ضع في اعتبارك تطبيق هذه القاعدة عند القيام بضرب الأعداد الصحيحة السالبة.

مثال.

احسب حاصل الضرب (−34) (−2).

المحلول.

علينا ضرب عددين سالبين سالبين -34 و -2. دعنا نستخدم القاعدة المقابلة. للقيام بذلك ، نجد معاملات العوامل: و. يبقى حساب حاصل ضرب العددين 34 و 2 ، وهو ما يمكننا القيام به. باختصار ، يمكن كتابة الحل بالكامل كـ (34) · (−2) = 34 · 2 = 68.

إجابه:

(34) × (−2) = 68.

مثال.

اضرب العدد الصحيح السالب −1041 في العدد الصحيح السالب −538.

المحلول.

وفقًا لقاعدة ضرب الأعداد الصحيحة السالبة ، فإن المنتج المطلوب يساوي منتج وحدات العوامل. وحدات المضاعف هي 1041 و 538 على التوالي. لنقم بالضرب في عمود:

إجابه:

(−1041) (−538) = 560 058.

ضرب عدد صحيح في واحد

ينتج عن ضرب أي عدد صحيح a في واحد الرقم a. لقد ذكرنا هذا بالفعل عندما ناقشنا معنى ضرب عددين صحيحين. إذن 1 = أ. بحكم الخاصية التبادلية للضرب ، يجب أن تكون المساواة a · 1 = 1 · a صحيحة. لذلك ، 1 · أ = أ.

يقودنا المنطق السابق إلى قاعدة ضرب عددين صحيحين ، أحدهما يساوي واحدًا. حاصل ضرب عددين صحيحين ، يكون أحدهما فيهما واحدًا ، يساوي العامل الآخر.

على سبيل المثال ، 56 1 = 56 ، 1 0 = 0 ، 1 (601) = - 601. دعونا نعطي بعض الأمثلة الأخرى. حاصل ضرب الأعداد الصحيحة -53 و 1 هو -53 ، ونتيجة ضرب 1 والعدد الصحيح السالب -989981 هو -989981.

اضرب عددًا صحيحًا في صفر

اتفقنا على أن حاصل ضرب أي عدد صحيح أ وصفر يساوي صفرًا ، أي 0 = 0. تجعلنا الخاصية التبادلية للضرب نقبل المساواة 0 · أ = 0. في هذا الطريق، حاصل ضرب عددين صحيحين فيهما أحد العوامل على الأقل يساوي صفرًا. على وجه الخصوص ، نتيجة ضرب الصفر في صفر هي صفر: 0 · 0 = 0.

دعنا نعطي بعض الأمثلة. حاصل ضرب عدد صحيح موجب 803 وصفر هو صفر ؛ نتيجة ضرب الصفر في عدد صحيح سالب −51 هي صفر ؛ أيضًا (90733) 0 = 0.

لاحظ أيضًا أن حاصل ضرب عددين صحيحين يساوي صفرًا فقط إذا كان أحد العوامل على الأقل يساوي صفرًا.

التحقق من نتيجة ضرب الأعداد الصحيحة

التحقق من نتيجة ضرب عددين صحيحينانتهيت من الانقسام. من الضروري تقسيم المنتج الناتج على أحد العوامل ، إذا أدى ذلك إلى رقم يساوي العامل الآخر ، فقد تم تنفيذ الضرب بشكل صحيح. إذا حصلت على رقم مختلف عن المصطلح الآخر ، فقد حدث خطأ في مكان ما.

ضع في اعتبارك الأمثلة التي يتم فيها التحقق من نتيجة مضاعفة الأعداد الصحيحة.

مثال.

نتيجة ضرب عددين صحيحين -5 و 21 حصلنا على الرقم -115 فهل حاصل الضرب صحيح؟

المحلول.

لنقم بفحص. للقيام بذلك ، نقسم المنتج المحسوب -115 على أحد العوامل ، على سبيل المثال ، على -5.، تحقق من النتيجة. (17) (67) = 139 1.

ضرب ثلاثة أعداد صحيحة أو أكثر

تتيح لنا الخاصية الترابطية لمضاعفة الأعداد الصحيحة تحديد حاصل ضرب ثلاثة أو أربعة أو أكثر من الأعداد الصحيحة بشكل فريد. في الوقت نفسه ، تتيح لنا الخصائص المتبقية لمضاعفة الأعداد الصحيحة التأكيد على أن حاصل ضرب ثلاثة أعداد صحيحة أو أكثر لا يعتمد على طريقة ترتيب الأقواس وعلى ترتيب العوامل في المنتج. لقد أثبتنا عبارات مماثلة عندما تحدثنا عن مضاعفة ثلاثة أو أكثر من الأعداد الطبيعية. في حالة العوامل الصحيحة ، يكون التبرير هو نفسه تمامًا.

لنفكر في مثال للحل.

مثال.

احسب حاصل ضرب خمسة أعداد صحيحة 5 و 12 و 1 و 2 و 15.

المحلول.

يمكننا استبدال عاملين متجاورين على التوالي من اليسار إلى اليمين بحاصل ضربهما: 5 (12) 1 (−2) 15 = (60) 1 (−2) 15 = (60) (−2) 15 = 120 15 = 1800. يتوافق هذا الإصدار من حساب المنتج مع الطريقة التالية لوضع الأقواس: (((5 (12)) 1) (2)) 15.

يمكننا أيضًا إعادة ترتيب بعض العوامل وترتيب الأقواس بشكل مختلف ، إذا كان هذا يسمح لنا بحساب حاصل ضرب هذه الأعداد الصحيحة الخمسة بطريقة منطقية أكثر. على سبيل المثال ، كان من الممكن إعادة ترتيب العوامل بالترتيب التالي 1 5 (12) (−2) 15 ، ثم ترتيب الأقواس على النحو التالي ((1 5) (12)) ((2) 15). في هذه الحالة ، ستكون الحسابات على النحو التالي: ((1 5) (−12)) ((2) 15) =(5 (12)) ((2) 15) = (60) (30) = 1800.

كما ترى ، أدت الخيارات المختلفة لترتيب الأقواس والترتيب المختلف للمضاعفات إلى نفس النتيجة.

إجابه:

5 (12) 1 (−2) 15 = 1800.

بشكل منفصل ، نلاحظ أنه إذا كان في حاصل ضرب ثلاثة ، أربعة ، إلخ. أعداد صحيحة ، أحد العوامل على الأقل يساوي صفرًا ، ثم الناتج يساوي صفرًا. على سبيل المثال ، حاصل ضرب أربعة أعداد صحيحة 5 ، 90 321 ، 0 و 111 هو صفر ؛ نتيجة ضرب ثلاثة أعداد صحيحة 0 و 0 و 1 983 هي أيضًا صفر. العبارة العكسية صحيحة أيضًا: إذا كان المنتج يساوي صفرًا ، فإن أحد العوامل على الأقل يساوي صفرًا.

لحل العديد من المشاكل "إلى أقصى حد وأدنى" ، أي للعثور على أكبر وأصغر قيم للمتغير ، يمكنك بنجاح استخدام بعض العبارات الجبرية التي سنتعرف عليها الآن.

س ص

ضع في اعتبارك المشكلة التالية:

في أي جزئين يجب قسمة عدد معين بحيث يكون حاصل ضربهما أكبر؟

دع الرقم المحددأ. ثم الأجزاء التي يقسم إليها الرقمأ، يمكن أن تدل عليه

أ / 2 + س و أ / 2 - س;

رقم Xيوضح مدى اختلاف هذه الأجزاء عن نصف العدد أ. ناتج كلا الجزأين هو

(أ / 2 + س) · ( أ / 2 - س) = أ 2/4 - × 2.

من الواضح أن منتج الأجزاء المأخوذة سيزداد مع التناقص X، بمعنى آخر. مع تقليل الاختلاف بين هذه الأجزاء. سيكون المنتج الأعظم س = 0 ، أي عندما كلا الجانبين متساويان أ / 2.

لذا،

سيكون حاصل ضرب عددين ، مجموعهما دون تغيير ، هو الأكبر عندما تتساوى هذه الأرقام مع بعضها البعض.

س ص ض

ضع في اعتبارك نفس السؤال لثلاثة أرقام.

ما الأجزاء الثلاثة التي يجب تقسيمها إلى رقم معين بحيث يكون حاصل ضربها أكبر؟

في حل هذه المشكلة ، سوف نعتمد على المشكلة السابقة.

دع الرقم أمقسمة إلى ثلاثة أجزاء. افترض أولاً أن أياً من الأجزاء لا يتساوى أ / 3ثم بينهم جزء كبير أ / 3(لا يمكن أن يكون الثلاثة أقل من أ / 3) ؛ دعنا نشير إليها

أ / 3 + س.

بنفس الطريقة ، من بينها جزء أصغر أ / 3؛ دعنا نشير إليها

أ / 3 - ذ.

أعداد Xو فيإيجابية. من الواضح أن الجزء الثالث سيكون مساويًا لـ

أ / 3 + ص - س.

أعداد أ / 3و أ / 3 + س - صلها نفس مجموع أول جزأين من الرقم أوالفرق بينهما اي. س - ص، أقل من الفرق بين الجزأين الأولين ، والذي كان يساوي س + ص. كما نعلم من حل المشكلة السابقة ، يترتب على ذلك المنتج

أ / 3 · ( أ / 3 + س - ص)

أكبر من حاصل ضرب الجزأين الأولين من العدد أ.

لذلك إذا كان أول جزأين من العدد أاستبدل بالأرقام

أ / 3و أ / 3 + س - ص,

وترك الثالث دون تغيير ، ثم سيزيد المنتج.

دع الآن أحد الأجزاء متساوي بالفعل أ / 3. ثم يبدو الاثنان الآخران

أ / 3 + ضو أ / 3 - ض.

إذا جعلنا هذين الجزأين الأخيرين متساويين أ / 3 (لماذا لا يتغير مجموعهم) ، ثم يزيد المنتج مرة أخرى ويصبح مساوياً لـ

أ / 3 أ / 3 أ / 3 = أ 3/27 .

لذا،

إذا كان الرقم أ مقسمًا إلى 3 أجزاء لا تتساوى مع بعضها البعض ، فإن حاصل ضرب هذه الأجزاء يكون أقل من 3/27 ، أي من حاصل ضرب ثلاثة عوامل متساوية مجموعها أ.

بطريقة مماثلة ، يمكن إثبات هذه النظرية لأربعة عوامل ، لخمسة ، وهكذا.

xp yq

دعونا ننظر الآن في حالة أكثر عمومية.

ما قيمتي x و y هي أكبر قيمة للتعبير x p y q إذا كانت x + y = a؟

علينا إيجاد قيمة x في التعبير

س ص(فأس) ف

يصل إلى قيمته القصوى.

اضرب هذا التعبير في العدد 1 / р p q q. احصل على تعبير جديد

س ع / ع ع · (فأس ) ف / ف ف,

والتي من الواضح أنها تصل إلى قيمتها القصوى في نفس الوقت مثل القيمة الأصلية.

دعونا نمثل التعبير الذي تم الحصول عليه الآن في الشكل

(فأس) / ف (فأس) / q · ... · (فأس) / ف ,

حيث تتكرر عوامل النوع الأول صمرة واحدة والثانية فذات مرة.

مجموع كل عوامل هذا التعبير يساوي

س / ع + س / ف + ... + س / ع + (فأس) / ف + (فأس) / ف + ... + (فأس) / ف =

= مقصف / ف + س (فأس) / ف = س + أ - س = أ ,

أولئك. قيمة الثابت.

بناءً على ما تم إثباته سابقًا ، نستنتج أن المنتج

س / ص س / ع ... س / ص (فأس) / ف (فأس) / q · ... · (فأس) / ف

يصل إلى الحد الأقصى عندما تتساوى جميع عوامله الفردية ، أي متى

س / ع = (فأس) / ف.

مع العلم أن أ - س = صنحصل على النسبة بإعادة ترتيب الشروط

س / ص = ف / س.

لذا،

حاصل ضرب x p y q بمجموع ثابت x + y يصل إلى قيمته القصوى عندما

x: y = p: q.

بنفس الطريقة ، يمكن للمرء أن يثبت ذلك

يعمل

x p y q z r، x p y q z r t u إلخ.

بمبالغ ثابتة س + ص + ض, x + y + z + t إلخ. تصل إلى الحد الأقصى عندما

x: y: z = p: q: r,x: y: z: t = p: q: r: u ، إلخ.

دعنا نحلل مفهوم الضرب بمثال:

كان السائحون على الطريق لمدة ثلاثة أيام. يسيرون كل يوم في نفس الطريق البالغ طوله 4200 م ، ما المسافة التي قطعوها في ثلاثة أيام؟ حل المشكلة بطريقتين.

المحلول:
دعونا نفكر في المشكلة بالتفصيل.

في اليوم الأول قطع المتنزهون 4200 متر. في اليوم الثاني ، غطى السياح نفس المسار 4200 م وفي اليوم الثالث - 4200 م. لنكتب بلغة رياضية:
4200 + 4200 + 4200 = 12600 م.
نرى نمط العدد 4200 يتكرر ثلاث مرات ، لذلك يمكننا استبدال المجموع بالضرب:
4200⋅3 = 12600 م.
الجواب: قطع السائحون 12600 متر في ثلاثة أيام.

فكر في مثال:

حتى لا نكتب تسجيلة طويلة ، يمكننا كتابتها في صورة عملية ضرب. الرقم 2 يتكرر 11 مرة ، لذا فإن مثال الضرب سيبدو كالتالي:
2⋅11=22

لخص. ما هو الضرب؟

عمليه الضربهو إجراء يستبدل تكرار المصطلح m n مرة.

يتم استدعاء التدوين m⋅n ونتيجة هذا التعبير نتاج الأرقام، ويطلق على الرقمين م ون المضاعفات.

لنلقي نظرة على مثال:
7⋅12=84
يتم استدعاء التعبير 7⋅12 والنتيجة 84 نتاج الأرقام.
يتم استدعاء الرقمين 7 و 12 المضاعفات.

هناك العديد من قوانين الضرب في الرياضيات. اعتبرهم:

قانون الضرب التبادلي.

ضع في اعتبارك المشكلة:

أعطينا تفاحتين لخمسة من أصدقائنا. رياضياً ، سيبدو الإدخال كما يلي: 2-5.
أو أعطينا 5 تفاحات لاثنين من أصدقائنا. رياضياً ، سيبدو الإدخال كما يلي: 5⋅2.
في الحالتين الأولى والثانية ، نوزع نفس عدد التفاحات التي تساوي 10 قطع.

إذا ضربنا 2⋅5 = 10 و 5⋅2 = 10 ، فلن تتغير النتيجة.

خاصية قانون الضرب التبادلي:
لا يتغير المنتج من تغيير أماكن العوامل.
م⋅ ن= نم

قانون الضرب الترابطي.

لنلقي نظرة على مثال:

(2⋅3) ⋅4 = 6⋅4 = 24 أو 2⋅ (3⋅4) = 2⋅12 = 24 نحصل عليها ،
(2⋅3)⋅4=2⋅(3⋅4)
(أ⋅ ب) ⋅ ج= أ⋅(ب⋅ ج)

ممتلكات قانون الضرب الترابطي:
لضرب رقم في حاصل ضرب رقمين ، يمكنك أولاً ضربه في العامل الأول ، ثم ضرب حاصل الضرب الناتج في الثاني.

لا يؤدي تبديل عوامل متعددة ووضعها بين قوسين إلى تغيير النتيجة أو المنتج.

هذه القوانين صحيحة لأي أعداد طبيعية.

ضرب أي عدد طبيعي في واحد.

فكر في مثال:
7⋅1 = 7 أو 1⋅7 = 7
أ⋅1 = أ أو 1⋅أ= أ
عند ضرب أي رقم طبيعي في واحد ، سيكون المنتج دائمًا هو نفس الرقم.

ضرب أي عدد طبيعي في الصفر.

6⋅0 = 0 أو 0⋅6 = 0
أ⋅0 = 0 أو 0⋅أ=0
عند ضرب أي عدد طبيعي في صفر ، فإن حاصل الضرب يساوي صفرًا.

أسئلة لموضوع "الضرب":

ما هو حاصل ضرب الأرقام؟
الجواب: حاصل ضرب الأعداد أو ضرب الأعداد هو التعبير m⋅n ، حيث m هو الحد ، و n هو عدد مرات تكرار هذا المصطلح.

ما هو الضرب ل؟
الجواب: لكي لا تكتب إضافة طويلة للأرقام بل تكتب مختصرة. على سبيل المثال ، 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 3⋅6 = 18

ما هي نتيجة الضرب؟
الجواب: معنى العمل.

ماذا يعني الضرب 3⋅5؟
الجواب: 3⋅5 = 5 + 5 + 5 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15

إذا قمت بضرب مليون في صفر ، فما حاصل الضرب؟
الجواب: 0

مثال 1:
استبدل المجموع بالمنتج: أ) 12 + 12 + 12 + 12 + 12 ب) 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3
الجواب: أ) 12⋅5 = 60 ب) 3⋅9 = 27

المثال الثاني:
اكتب في صورة منتج: أ) أ + أ + أ + أ ب) ج + ج + ج + ج + ج + ج + ج
المحلول:
أ) أ + أ + أ + أ = 4⋅a
ب) s + s + s + s + s + s + s = 7⋅s

مهمة 1:
اشترت أمي 3 علب شوكولاتة. كل علبة تحتوي على 8 حلوى. كم عدد الحلويات التي اشترتها أمي؟
المحلول:
يوجد 8 حلوى في صندوق واحد ، ولدينا 3 علب من هذا القبيل.
8 + 8 + 8 = 8⋅3 = 24 قطعة حلوى
الجواب: 24 قطعة حلوى.

المهمة رقم 2:
طلبت معلمة الفن من طلابها الثمانية إعداد سبعة أقلام رصاص لكل درس. كم عدد أقلام الرصاص التي حصل عليها الأطفال إجمالاً؟
المحلول:
يمكنك حساب مجموع المهمة. الطالب الأول لديه 7 أقلام ، والطالب الثاني لديه 7 أقلام ، وهكذا.
7+7+7+7+7+7+7+7=56
تبين أن السجل غير مريح وطويل ، وسنقوم باستبدال المجموع بالمنتج.
7⋅8=56
الجواب 56 قلم رصاص.

- (المنتج) نتيجة الضرب. ناتج الأرقام أو التعبيرات الجبرية أو المتجهات أو المصفوفات ؛ يمكن إظهارها بنقطة أو شرطة مائلة أو ببساطة عن طريق كتابتها واحدة تلو الأخرى ، أي f (x) .g (y)، f (x) x g (y)، f (x) g (y) ... ... القاموس الاقتصادي

علم الأعداد الصحيحة. يُعرف مفهوم العدد الصحيح (انظر العدد) ، وكذلك العمليات الحسابية على الأرقام ، منذ العصور القديمة وهو أحد أوائل التجريدات الرياضية. مكان خاص بين الأعداد الصحيحة ، أي الأعداد ... ، 3 ... الموسوعة السوفيتية العظمى

مثال ، اس ، استخدام. غالبًا مورفولوجيا: (لا) ماذا؟ يعمل من أجل ماذا؟ العمل ، (انظر) ماذا؟ عمل ماذا؟ عن ماذا تعمل؟ عن العمل رر ماذا؟ يعمل ، (لا) ماذا؟ يعمل لماذا؟ يعمل ، (انظر) ماذا؟ يعمل ، ... ... قاموس دميترييف

المصفوفة هي كائن رياضي مكتوب كجدول أرقام مستطيل (أو عناصر حلقة) ويسمح بعمليات جبرية (جمع ، وطرح ، وضرب ، وما إلى ذلك) بينها وبين كائنات أخرى مماثلة. قواعد التنفيذ ... ... ويكيبيديا

في الحساب ، يُفهم الضرب على أنه سجل قصير لمجموع المصطلحات المتطابقة. على سبيل المثال ، يعني الترميز 5 * 3 "إضافة 5 إلى نفسه 3 مرات" ، وهو مجرد تدوين مختصر لـ 5 + 5 + 5. نتيجة الضرب تسمى حاصل الضرب ، و ...... ويكيبيديا

فرع من فروع نظرية الأعداد تتمثل مهمته الرئيسية في دراسة خصائص الأعداد الصحيحة في مجالات الأعداد الجبرية ذات الدرجة المنتهية على مجال الأعداد المنطقية. يمكن الحصول على جميع الأعداد الصحيحة لحقل الامتداد K لمجال الدرجة n باستخدام ... ... موسوعة رياضية

نظرية الأعداد ، أو الحساب العالي ، هي فرع من فروع الرياضيات يدرس الأعداد الصحيحة والأشياء المماثلة. في نظرية الأعداد ، بالمعنى الواسع ، يتم النظر في كل من الأعداد الجبرية والمتجاوزة ، وكذلك وظائف الأصول المختلفة ، والتي ... ... ويكيبيديا

فرع من نظرية الأعداد يتم فيه دراسة الانتظام في توزيع الأعداد الأولية (p.p.) بين الأعداد الطبيعية. المركزية هي مشكلة أفضل التقارب. تعبيرات للوظيفة p (x) ، تشير إلى عدد p.h. ، لا يتجاوز x ، ولكن ... ... موسوعة رياضية

- (في الإنتاج القياسي للأدبيات الأجنبية ، حاصل الضرب النقطي ، المنتج الداخلي) عملية على متجهين ، نتيجتهما رقم (عددي) لا يعتمد على نظام الإحداثيات ويميز أطوال متجهات العوامل والزاوية بين ...... ويكيبيديا

شكل هرميتى متماثل محدد على فضاء متجه L فوق حقل K ، وعادة ما يعتبر جزءًا لا يتجزأ من تعريف هذا الفضاء ، مما يجعل الفضاء (اعتمادًا على نوع الفضاء وخصائص المساحة الداخلية ... ويكيبيديا

كتب

• مجموعة من المسائل في الرياضيات ، ف. باكورين ، الأسئلة المتعلقة بالرياضيات التي تم تناولها في الكتاب تتوافق تمامًا مع محتوى أي من البرامج الثلاثة: المدرسة ، والأقسام التحضيرية ، وامتحانات القبول. على الرغم من أن هذا الكتاب يسمى ...
• المادة الحية. فيزياء الحياة والعمليات التطورية ، Yashin A.A. تلخص هذه الدراسة بحث المؤلف على مدار السنوات القليلة الماضية. تم الحصول على النتائج التجريبية المقدمة في الكتاب من قبل مدرسة تولا العلمية للفيزياء الحيوية للحقول و ...