ما هو الخطأ المطلق للقيمة المقاسة. الأخطاء المطلقة والنسبية

يتم تصنيف أخطاء القياس وفقًا لـ الأنواع التالية:

مطلق ونسبي.

ايجابي وسلبي.

ثابت ومتناسب.

خشن وعشوائي ومنهجي.

الخطأ المطلقنتيجة قياس واحدة (أ ذ) على أنه الفرق بين الكميات التالية:

أ ذ = ذأنا- ذ IST. » ذأنا `` ذ.

خطأ نسبي نتيجة قياس واحدة (ب ذ) تحسب كنسبة الكميات التالية:

ويترتب على هذه الصيغة أن حجم الخطأ النسبي لا يعتمد فقط على حجم الخطأ المطلق ، ولكن أيضًا على قيمة الكمية المقاسة. عندما تظل القيمة المقاسة دون تغيير ( ذ) لا يمكن تقليل خطأ القياس النسبي إلا عن طريق تقليل الخطأ المطلق (أ ذ). عندما يكون خطأ القياس المطلق ثابتًا ، لتقليل خطأ القياس النسبي ، يمكنك استخدام طريقة زيادة قيمة الكمية المقاسة.

مثال.لنفترض أن مقياس التجارة في متجر له خطأ ثابت مطلق في قياس الكتلة: أ م = 10 جم. إذا كنت تزن 100 جرام من الحلويات (م 1) على هذه المقاييس ، فسيكون الخطأ النسبي في قياس كتلة الحلويات هو :

.

عند وزن 500 جرام من الحلويات (م 2) على نفس الميزان ، سيكون الخطأ النسبي أقل بخمس مرات:

.

وبالتالي ، إذا كنت تزن 100 جرام من الحلويات خمس مرات ، فبسبب خطأ في قياس الكتلة ، لن تحصل على إجمالي 50 جرام من المنتج من أصل 500 جرام. بوزن واحد بكتلة أكبر (500 جم) ، ستخسر 10 جم فقط من الحلويات ، أي خمس مرات أقل.

بالنظر إلى ما سبق ، يمكن ملاحظة أنه ، أولاً وقبل كل شيء ، من الضروري السعي لتقليل أخطاء القياس النسبية. لا يمكن حساب الأخطاء المطلقة والنسبية إلا بعد تحديد المتوسط قيمة حسابيةنتيجة القياس.

يتم تحديد علامة الخطأ (إيجابية أو سلبية) من خلال الفرق بين نتيجة القياس الفردية والفعلية:

ذأنا `` ذ > 0 (الخطأ موجب);

ذأنا `` ذ < 0 (الخطأ سلبي).

إذا كان خطأ القياس المطلق لا يعتمد على قيمة الكمية المقاسة ، فسيتم استدعاء هذا الخطأ مستمر. خلاف ذلك ، سيكون الخطأ متناسب. يتم تحديد طبيعة خطأ القياس (ثابت أو متناسب) بعد دراسات خاصة.

خطأ جسيمالقياس (الخطأ) هو نتيجة قياس تختلف اختلافًا كبيرًا عن النتائج الأخرى ، والتي تحدث عادةً عند انتهاك إجراء القياس. يتم إثبات وجود أخطاء القياس الإجمالية في العينة فقط بالطرق الإحصاء الرياضي(لـ n> 2). تعرف على طرق اكتشاف الأخطاء الجسيمة بنفسك.

إن تقسيم الأخطاء إلى عشوائية ومنهجية أمر مشروط إلى حد ما.

إلى أخطاء عشوائيةتشمل الأخطاء التي لا تحتوي على قيمة ثابتةووقع. هذه الأخطاء ناتجة عن العوامل التالية: غير معروف للباحث؛ معروف لكن غير منظم ؛ يتغير باستمرار.

لا يمكن تقدير الأخطاء العشوائية إلا بعد أخذ القياسات.

يمكن أن يكون التقدير الكمي لمعامل حجم خطأ القياس العشوائي المعلمات التالية: وإلخ.

لا يمكن استبعاد أخطاء القياس العشوائية ، بل يمكن تقليلها فقط. تتمثل إحدى الطرق الرئيسية لتقليل حجم خطأ القياس العشوائي في زيادة عدد القياسات الفردية (زيادة قيمة n). يفسر ذلك حقيقة أن حجم الأخطاء العشوائية يتناسب عكسياً مع قيمة n ، على سبيل المثال:

أخطاء منهجيةهي أخطاء ذات حجم وعلامة ثابتة أو متغيرة وفقًا لقانون معروف. هذه الأخطاء ناتجة عن عوامل ثابتة. يمكن قياس الأخطاء المنهجية وتقليلها وحتى القضاء عليها.

تصنف الأخطاء المنهجية إلى أنواع الأخطاء الأول والثاني والثالث.

لمنهجية اكتب أنا الأخطاءإحالة الأخطاء أصل معروف، والتي يمكن تقديرها قبل القياس عن طريق الحساب. يمكن التخلص من هذه الأخطاء عن طريق إدخالها في نتيجة القياس في شكل تصحيحات. مثال على هذا النوع من الخطأ هو الخطأ في تحديد القياس بالمعايرة للتركيز الحجمي للمحلول إذا تم تحضير المعاير عند درجة حرارة واحدة ، وتم قياس التركيز عند درجة حرارة أخرى. بمعرفة اعتماد كثافة المعاير على درجة الحرارة ، من الممكن حساب التغير في التركيز الحجمي للمعاير المرتبط بالتغير في درجة حرارته قبل القياس ، وأخذ هذا الاختلاف في الاعتبار كتصحيح نتيجة القياسات.

منهجي النوع الثاني من الأخطاء- هذه أخطاء معروفة المصدر ، والتي لا يمكن تقييمها إلا أثناء التجربة أو نتيجة لدراسات خاصة. يشتمل هذا النوع من الأخطاء على أخطاء مفيدة (آلية) وتفاعلية ومرجعية وأخطاء أخرى. تعرف على ميزات هذه الأخطاء بنفسك.

يُدخل أي جهاز ، عند استخدامه في إجراء القياس ، أخطاءه الآلية في نتيجة القياس. في الوقت نفسه ، تكون بعض هذه الأخطاء عشوائية ، والجزء الآخر منهجي. لا يتم تقييم أخطاء الجهاز العشوائية بشكل منفصل ، بل يتم تقييمها مع جميع أخطاء القياس العشوائية الأخرى.

كل مثيل لأي أداة له خطأ منهجي شخصي خاص به. لتقييم هذا الخطأ ، من الضروري إجراء دراسات خاصة.

الطريقة الأكثر موثوقية لتقييم الخطأ المنهجي الآلي من النوع الثاني هي التحقق من تشغيل الأدوات مقابل المعايير. لأدوات القياس (الماصات ، السحاحات ، الأسطوانات ، إلخ) ، يتم تنفيذ إجراء خاص - المعايرة.

في الممارسة العملية ، غالبًا ما يكون مطلوبًا عدم التقدير ، ولكن تقليل أو إزالة الخطأ المنهجي من النوع الثاني. أكثر الطرق شيوعًا لتقليل الأخطاء المنهجية هي طرق النسبية والعشوائيةتحقق من هذه الأساليب بنفسك على.

إلى اخطاء النوع الثالث تتضمن أخطاء من أصل غير معروف. لا يمكن اكتشاف هذه الأخطاء إلا بعد التخلص من جميع الأخطاء المنهجية من النوع الأول والثاني.

إلى اخطاء اخرىسنعزو جميع أنواع الأخطاء الأخرى التي لم يتم النظر إليها أعلاه (مسموح بها ، ممكن أخطاء هامشيةوإلخ.). يتم استخدام مفهوم الأخطاء الهامشية المحتملة في حالات استخدام أدوات القياس ويفترض الحد الأقصى لخطأ القياس الآلي الممكن (قد تكون القيمة الفعلية للخطأ أقل من قيمة الخطأ الهامشي المحتمل).

عند استخدام أدوات القياس ، من الممكن حساب الحد المطلق المحتمل (P` ذ، إلخ) أو قريب (E` ذ، وما إلى ذلك) أخطاء القياس. لذلك ، على سبيل المثال ، تم العثور على خطأ القياس المطلق المحدد كمجموع العشوائية المحددة المحتملة (x ` ذ، العشوائية ، إلخ.) النظامية غير المستبعدة (d` ذ، وما إلى ذلك):

P` ذ، على سبيل المثال = x ` ذ، عشوائي، العلاقات العامة + d` ذ، إلخ.

بالنسبة للعينات الصغيرة (20 جنيهًا إسترلينيًا) ، فإن المجهول تعداد السكانوالطاعة القانون العاديالتوزيع ، يمكن تقدير أخطاء القياس الهامشية العشوائية المحتملة على النحو التالي:

x` ذ، عشوائي ، العلاقات العامة = D` ذ= S ' ذ½t P ، n ½ ،
حيث t P، n هو مقدار توزيع الطالب (الاختبار) لاحتمال P وحجم العينة n. سيكون خطأ القياس المحدد المطلق في هذه الحالة مساويًا لـ:

P` ذ، على سبيل المثال = S ` ذ½t P ، n ½ + d` ذ، إلخ.

إذا كانت نتائج القياس لا تمتثل لقانون التوزيع العادي ، فسيتم تقدير الخطأ باستخدام معادلات أخرى.

تحديد قيمة د ذ،إلخ. يعتمد على ما إذا كانت أداة القياس بها فئة دقة. إذا لم يكن لأداة القياس فئة دقة ، فعندئذٍ للقيمة d ` ذ،إلخ. يمكن قبولها الحد الأدنى لقيمة تقسيم المقياسقياس . لأداة قياس ذات فئة دقة معروفة للقيمة d ` ذ، على سبيل المثال ، يمكن للمرء أن يقبل الخطأ المنهجي المطلق المسموح به لأداة القياس (د ذ، يضيف.):

د` ذ،إلخ." .

قيمة د ذ، يضيف. يتم حسابه بناءً على الصيغ الواردة في الجدول 5.

بالنسبة للعديد من أدوات القياس ، تتم الإشارة إلى فئة الدقة في شكل أرقام a × 10 n ، حيث a يساوي 1 ؛ 1.5 ؛ 2 ؛ 2.5 ؛ أربعة؛ 5 ؛ 6 و n هي 1 ؛ 0 ؛ -واحد؛ -2 ، وما إلى ذلك ، والتي توضح قيمة الحد الأقصى المسموح به للخطأ المنهجي (E ذ، add.) وعلامات خاصة تدل على نوعها (نسبي ، مختزل ، ثابت ، متناسب).

الجدول 5

أمثلة على تعيين فئات الدقة لأجهزة القياس

خطأ القياس المطلقتسمى القيمة التي يحددها الفرق بين نتيجة القياس xوالقيمة الحقيقية للكمية المقاسة x 0:

Δ x = |x - x 0 |.

تسمى القيمة δ ، التي تساوي نسبة خطأ القياس المطلق إلى نتيجة القياس ، الخطأ النسبي:

مثال 2.1.القيمة التقريبية للرقم π هي 3.14. ثم الخطأ هو 0.00159. يمكن اعتبار الخطأ المطلق يساوي 0.0016 والخطأ النسبي يساوي 0.0016 / 3.14 = 0.00051 = 0.051٪.

أعداد كبيرة.إذا كان الخطأ المطلق للقيمة a لا يتجاوز وحدة واحدة من الرقم الأخير من الرقم a ، فإنهم يقولون أن الرقم يحتوي على جميع العلامات الصحيحة. يجب كتابة الأرقام التقريبية ، مع الاحتفاظ فقط علامات حقيقية. على سبيل المثال ، إذا كان الخطأ المطلق للرقم 52400 يساوي 100 ، فيجب كتابة هذا الرقم ، على سبيل المثال ، 524 · 10 2 أو 0.524 · 10 5. يمكنك تقدير خطأ رقم تقريبي بالإشارة إلى عدد الأرقام المعنوية الحقيقية التي يحتوي عليها. عند حساب الأرقام المعنوية ، لا يتم حساب الأصفار على الجانب الأيسر من الرقم.

على سبيل المثال ، يحتوي الرقم 0.0283 على ثلاثة أرقام معنوية صالحة ، و 2.5400 يحتوي على خمسة أرقام معنوية صالحة.

قواعد تقريب الأرقام. إذا كان الرقم التقريبي يحتوي على أحرف إضافية (أو غير صحيحة) ، فيجب تقريبه. عند التقريب ، يحدث خطأ إضافي لا يتجاوز نصف وحدة آخر رقم مهم ( د) رقم مدور. عند التقريب ، يتم الحفاظ على العلامات الصحيحة فقط ؛ يتم تجاهل الأحرف الزائدة ، وإذا كان الرقم الأول المهمل أكبر من أو يساوي د/ 2 ، ثم يتم زيادة آخر رقم مخزن بمقدار واحد.

يتم استبدال الأرقام الإضافية في الأعداد الصحيحة بالأصفار ، وفي الكسور العشرية يتم تجاهلها (وكذلك الأصفار الإضافية). على سبيل المثال ، إذا كان خطأ القياس 0.001 مم ، فسيتم تقريب النتيجة 1.07005 إلى 1.070. إذا كان أول رقم من الأرقام التي تم تعديلها صفرًا والمهمل أقل من 5 ، فلن يتم تغيير الأرقام المتبقية. على سبيل المثال ، الرقم 148935 بدقة قياس 50 له تقريب 148900. إذا كان الرقم الأول الذي سيتم استبداله بالأصفار أو تم إهماله هو 5 ، ولا يتبعه أي أرقام أو أصفار ، فسيتم التقريب لأقرب زوج رقم. على سبيل المثال ، يتم تقريب الرقم 123.50 إلى ما يصل إلى 124. إذا كان الرقم الأول الذي سيتم استبداله بالأصفار أو تم إهماله أكبر من 5 أو يساوي 5 ، ولكن متبوعًا برقم معنوي ، فسيتم زيادة آخر رقم متبقٍ بمقدار واحد. على سبيل المثال ، يتم تقريب الرقم 6783.6 لأعلى إلى 6784.

مثال 2.2. عند تقريب الرقم 1284 إلى 1300 ، يكون الخطأ المطلق 1300 - 1284 = 16 ، وعند التقريب إلى 1280 ، يكون الخطأ المطلق 1280-1284 = 4.

مثال 2.3. عند تقريب الرقم 197 إلى 200 ، يكون الخطأ المطلق 200 - 197 = 3. الخطأ النسبي هو 3/197 ≈ 0.01523 أو حوالي 3/200 1.5٪.

مثال 2.4. يزن البائع البطيخ بميزان. في مجموعة الأوزان أصغرها 50 جم ، والوزن 3600 جم وهذا الرقم تقريبي. الوزن الدقيق للبطيخ غير معروف. لكن الخطأ المطلق لا يتعدى 50 جرام والخطأ النسبي لا يتجاوز 50/3600 = 1.4٪.

أخطاء في حل المشكلة كمبيوتر

عادة ما تعتبر ثلاثة أنواع من الأخطاء المصادر الرئيسية للخطأ. هذه هي ما يسمى بأخطاء الاقتطاع وأخطاء التقريب وأخطاء الانتشار. على سبيل المثال ، عند استخدام ملفات الطرق التكراريةالبحث عن الجذور المعادلات غير الخطيةالنتائج تقريبية على عكس الطرق المباشرة التي تعطي حلاً دقيقًا.

أخطاء الاقتطاع

يرتبط هذا النوع من الخطأ بالخطأ المتأصل في المشكلة نفسها. قد يكون بسبب عدم الدقة في تعريف البيانات الأولية. على سبيل المثال ، إذا تم تحديد أي أبعاد في حالة المشكلة ، فعندئذٍ من الناحية العملية بالنسبة للأشياء الحقيقية ، تُعرف هذه الأبعاد دائمًا ببعض الدقة. الشيء نفسه ينطبق على أي دولة أخرى المعلمات الفيزيائية. وهذا يشمل أيضًا عدم الدقة الصيغ الحسابيةومعاملاتها العددية.

أخطاء في الانتشار

يرتبط هذا النوع من الخطأ باستخدام طريقة أو أخرى لحل المشكلة. في سياق العمليات الحسابية ، يحدث تراكم أو ، بعبارة أخرى ، انتشار الخطأ لا محالة. بالإضافة إلى حقيقة أن البيانات الأصلية نفسها ليست دقيقة ، ينشأ خطأ جديد عند ضربها وإضافتها وما إلى ذلك. يعتمد تراكم الخطأ على طبيعة وعدد العمليات الحسابية المستخدمة في الحساب.

أخطاء التقريب

يرجع هذا النوع من الأخطاء إلى حقيقة أن القيمة الحقيقية للرقم لا يتم تخزينها دائمًا بدقة بواسطة الكمبيوتر. عندما يتم تخزين رقم حقيقي في ذاكرة الكمبيوتر ، يتم كتابته على هيئة الجزء العشري والأس بنفس الطريقة التي يتم بها عرض الرقم على الآلة الحاسبة.

في الفيزياء والعلوم الأخرى ، غالبًا ما يكون من الضروري قياس الكميات المختلفة (على سبيل المثال ، الطول والكتلة والوقت ودرجة الحرارة ، المقاومة الكهربائيةإلخ.).

قياس- عملية إيجاد قيمة كمية مادية باستخدام الخاص الوسائل التقنية- اجهزة القياس.

أداة قياس يسمى الجهاز الذي يتم من خلاله مقارنة الكمية المقاسة بكمية مادية من نفس النوع ، تؤخذ كوحدة قياس.

هناك طرق قياس مباشرة وغير مباشرة.

طرق القياس المباشر - الطرق التي يتم فيها تحديد قيم الكميات التي يتم تحديدها عن طريق المقارنة المباشرة للشيء المقاس بوحدة القياس (القياسية). على سبيل المثال ، تتم مقارنة طول الجسم المقاس بمسطرة بوحدة طول - متر ، تتم مقارنة كتلة الجسم المقاسة بالمقاييس بوحدة كتلة - كيلوغرام ، إلخ. وهكذا ، كنتيجة لذلك القياس المباشريتم الحصول على القيمة المحددة على الفور وبشكل مباشر.

طرق القياس غير المباشرة- الطرق التي يتم فيها حساب قيم الكميات التي يتم تحديدها من نتائج القياسات المباشرة للكميات الأخرى التي ترتبط بها باعتماد وظيفي معروف. على سبيل المثال ، تحديد محيط الدائرة بناءً على نتائج قياس القطر أو تحديد حجم الجسم بناءً على نتائج قياس أبعاده الخطية.

بسبب النقص في أدوات القياس ، تأثير حواسنا تأثيرات خارجيةعلى جهاز القياس وموضوع القياس ، بالإضافة إلى العوامل الأخرى ، يمكن إجراء جميع القياسات فقط باستخدام إلى حد ماصحة؛ لذلك ، فإن نتائج القياس لا تعطي القيمة الحقيقية للكمية المقاسة ، ولكنها تعطي قيمة تقريبية فقط. على سبيل المثال ، إذا تم تحديد وزن الجسم بدقة 0.1 مجم ، فهذا يعني أن الوزن الموجود يختلف عن الوزن الحقيقي للجسم بأقل من 0.1 مجم.

دقة القياسات - خاصية نوعية القياسات ، تعكس قرب نتائج القياس من القيمة الحقيقية للكمية المقاسة.

كلما كانت أخطاء القياس أصغر ، زادت دقة القياس. تعتمد دقة القياس على الأدوات المستخدمة في القياسات وعلى الطرق الشائعةقياسات. من غير المجدي تمامًا محاولة تجاوز حد الدقة هذا عند إجراء القياسات في ظل ظروف معينة. من الممكن تقليل تأثير الأسباب التي تقلل من دقة القياسات ، ولكن من المستحيل التخلص منها تمامًا ، أي أنه يتم دائمًا حدوث أخطاء (أخطاء) أكثر أو أقل أهمية أثناء القياسات. لزيادة الدقة النتيجة النهائيةأي البعد الماديليس من الضروري القيام بواحد ، ولكن عدة مرات في نفس الظروف التجريبية.

نتيجة للقياس i (i هو رقم القياس) للقيمة "X" ، يتم الحصول على رقم تقريبي X i ، والذي يختلف عن قيمة حقيقيةأصمت ببعض القيمة ∆Х i = | Х i - Х | ، وهذا خطأ أو ، بعبارة أخرى ، خطأ. الخطأ الحقيقي غير معروف لنا ، لأننا لا نعرف القيمة الحقيقية للقيمة المقاسة. تكمن القيمة الحقيقية للكمية المادية المقاسة في الفترة الزمنية

Х ط - ∆Х< Х i – ∆Х < Х i + ∆Х

حيث X i هي قيمة قيمة X التي تم الحصول عليها أثناء القياس (أي القيمة المقاسة) ؛ ∆X هو الخطأ المطلق في تحديد قيمة X.

الخطأ المطلق (خطأ) القياس ∆X هي القيمة المطلقة للفرق بين القيمة الحقيقية للكمية المقاسة Xist ونتائج القياس X i: ∆X = | X ist - X i |.

خطأ نسبي (خطأ) القياس δ (يميز دقة القياس) يساوي عدديًا نسبة خطأ القياس المطلق ∆X إلى القيمة الحقيقية للقيمة المقاسة X sist (غالبًا ما يتم التعبير عنها كنسبة مئوية): δ \ u003d (∆X / X sist) 100٪.

يمكن تقسيم أخطاء أو أخطاء القياس إلى ثلاث فئات: النظامية والعشوائية والإجمالية (الأخطاء).

منهجييسمون مثل هذا الخطأ الذي يظل ثابتًا أو يتغير بشكل طبيعي (وفقًا لبعض التبعية الوظيفية) مع القياسات المتكررة لنفس الكمية. مثل هذه الأخطاء ناتجة عن ميزات التصميمأدوات القياس ، وأوجه القصور في طريقة القياس المقبولة ، وأي إغفال من المجرب ، وتأثير الظروف الخارجية أو عيب في كائن القياس نفسه.

في أي جهاز قياس ، يكون خطأ منهجي واحدًا أو ذاكًا متأصلًا ، ولا يمكن التخلص منه ، ولكن يمكن أخذ ترتيبه في الاعتبار. تؤدي الأخطاء المنهجية إما إلى زيادة أو تقليل نتائج القياس ، أي أن هذه الأخطاء تتميز بعلامة ثابتة. على سبيل المثال ، إذا كان أحد الأوزان أثناء وزنه يزيد عن 0.01 جم مما هو مذكور عليه ، فسيتم المبالغة في تقدير القيمة المكتشفة لوزن الجسم بهذه المقدار ، بغض النظر عن عدد القياسات التي يتم إجراؤها. في بعض الأحيان يمكن أخذ الأخطاء المنهجية في الاعتبار أو التخلص منها ، وفي بعض الأحيان لا يمكن القيام بذلك. على سبيل المثال ، تشمل الأخطاء الفادحة أخطاء الجهاز ، والتي لا يسعنا إلا أن نقول إنها لا تتجاوز قيمة معينة.

أخطاء عشوائية تسمى الأخطاء التي تغير حجمها وتوقع بطريقة غير متوقعة من تجربة إلى أخرى. يرجع ظهور الأخطاء العشوائية إلى عمل العديد من الأسباب المتنوعة والتي لا يمكن السيطرة عليها.

على سبيل المثال ، عند قياس الوزن بميزان ، يمكن أن تكون هذه الأسباب هي اهتزازات الهواء ، وجزيئات الغبار المستقرة ، والاحتكاك المختلف في التعليق الأيمن والأيسر للأكواب ، وما إلى ذلك. تظهر الأخطاء العشوائية في حقيقة أنه ، بعد قياس نفس قيمة X تحت نفس الظروف التجريبية ، لدينا قيم مختلفة: X1 ، X2 ، X3 ، ... ، X i ، ... ، X n ، حيث X i هي نتيجة القياس i. لا يمكن تحديد أي انتظام بين النتائج ، لذلك يتم أخذ نتيجة القياس i -th لـ X في الاعتبار متغير عشوائي. يمكن للأخطاء العشوائية تأثير معينلقياس واحد ، ولكن مع قياسات متعددة يخضعون لها القوانين الإحصائيةويمكن أخذ تأثيرها على نتائج القياس في الاعتبار أو تقليله بشكل كبير.

يخطئ والأخطاء الفادحة- بإفراط أخطاء كبيرة، تشويه نتيجة القياس بشكل واضح. غالبًا ما تحدث هذه الفئة من الأخطاء بسبب الإجراءات غير الصحيحة للمُجرب (على سبيل المثال ، بسبب عدم الانتباه ، بدلاً من قراءة الجهاز "212" ، يتم كتابة رقم مختلف تمامًا - "221"). يجب تجاهل القياسات التي تحتوي على أخطاء جسيمة.

يمكن إجراء القياسات من حيث دقتها بالطرق الفنية والمخبرية.

عند استخدام الأساليب الفنية ، يتم إجراء القياس مرة واحدة. في هذه الحالة ، فإنهم راضون عن هذه الدقة التي لا يتجاوز فيها الخطأ بعضًا محددًا مسبقًا مجموعة القيمةيحدده خطأ جهاز القياس المطبق.

في طرق المختبرالقياسات ، يلزم تحديد قيمة الكمية المقاسة بدقة أكبر مما يسمح به القياس الفردي طريقة تقنية. في هذه الحالة ، يتم إجراء العديد من القياسات ويتم حساب المتوسط ​​الحسابي للقيم التي تم الحصول عليها ، والتي تعتبر القيمة الأكثر موثوقية (حقيقية) للقيمة المقاسة. بعد ذلك ، يتم تقييم دقة نتيجة القياس (احتساب الأخطاء العشوائية).

من إمكانية إجراء القياسات بطريقتين ، فإن وجود طريقتين لتقييم دقة القياسات كالتالي: تقنية ومخبرية.

واحدة من أكثر موضوعات هامةفي التحليل العددي هو السؤال عن كيفية انتشار الخطأ الذي يحدث في مكان معين في سياق العمليات الحسابية ، أي ما إذا كان تأثيره يصبح أكبر أو أصغر عند تنفيذ العمليات اللاحقة. الحالة القصوى هي طرح اثنين تقريبًا أعداد متساوية: حتى مع وجود أخطاء صغيرة جدًا في هذين الرقمين ، يمكن أن يكون الخطأ النسبي للفرق كبيرًا جدًا. سينتشر مثل هذا الخطأ النسبي بشكل أكبر في جميع العمليات الحسابية اللاحقة.

أحد مصادر الأخطاء الحسابية (الأخطاء) هو التمثيل التقريبي أرقام حقيقيةفي الكمبيوتر ، بسبب محدودية شبكة البت. على الرغم من تقديم البيانات الأولية في جهاز كمبيوتر بدقة عالية ، إلا أن تراكم أخطاء التقريب في عملية العد يمكن أن يؤدي إلى خطأ ناتج كبير ، وقد يتبين أن بعض الخوارزميات غير مناسبة تمامًا للحوسبة الحقيقية على الكمبيوتر. يمكنك معرفة المزيد حول تمثيل الأرقام الحقيقية في الكمبيوتر.

انتشار الحشرات

كخطوة أولى في التعامل مع مشكلة مثل انتشار الخطأ ، من الضروري إيجاد تعبيرات للأخطاء المطلقة والنسبية لنتيجة كل من العمليات الحسابية الأربع كدالة للكميات المتضمنة في العملية وأخطائها.

الخطأ المطلق

إضافة

هناك نوعان من التقديرات التقريبية وكميتين ، وكذلك الأخطاء المطلقة المقابلة و. ثم نتيجة الجمع لدينا

.

مجموع الخطأ ، الذي نشير إليه ، سيكون مساويًا لـ

.

الطرح

بنفس الطريقة نحصل عليها

.

عمليه الضرب

عندما تتكاثر لدينا

.

نظرًا لأن الأخطاء عادة ما تكون أصغر بكثير من القيم نفسها ، فإننا نتجاهل ناتج الأخطاء:

.

سيكون خطأ المنتج

.

قسم

.

نقوم بتحويل هذا التعبير إلى الشكل

.

يمكن توسيع العامل بين الأقواس إلى سلسلة

.

مضاعفة وإهمال كل المصطلحات التي تحتوي على نواتج أخطاء أو درجات أخطاء أعلى من الأولى لدينا

.

بالتالي،

.

يجب أن يكون مفهوماً بوضوح أن علامة الخطأ لا تُعرف إلا في حالات نادرة جدًا. ليس من الحقائق ، على سبيل المثال ، أن الخطأ يزداد مع الجمع وينقص مع الطرح لأن هناك علامة زائد في صيغة الجمع وطرح للطرح. إذا ، على سبيل المثال ، فإن أخطاء رقمين لها علامات معاكسة، عندها سيكون الموقف عكس ذلك تمامًا ، أي أن الخطأ سينخفض ​​عند الإضافة والزيادة عند طرح هذه الأرقام.

خطأ نسبي

بمجرد اشتقاق الصيغ الخاصة بانتشار الأخطاء المطلقة في أربع عمليات حسابية ، يصبح من السهل جدًا اشتقاق الصيغ المقابلة للأخطاء النسبية. للجمع والطرح ، تم تعديل الصيغ لتشمل بشكل صريح الخطأ النسبي لكل رقم أصلي.

إضافة

.

الطرح

.

عمليه الضرب

.

قسم

.

نبدأ العملية الحسابية بقيمتين تقريبيتين مع الأخطاء المقابلة و. يمكن أن تكون هذه الأخطاء من أي أصل. القيم ويمكن أن تكون نتائج تجريبية تحتوي على أخطاء ؛ قد تكون نتيجة للحساب المسبق وفقًا لبعض العمليات اللانهائية ، وبالتالي قد تحتوي على أخطاء في القيود ؛ قد تكون نتيجة عمليات حسابية سابقة وقد تحتوي على أخطاء تقريب. وبطبيعة الحال ، يمكن أن تحتوي أيضًا على جميع الأنواع الثلاثة من الأخطاء في مجموعات مختلفة.

تعطي الصيغ أعلاه تعبيرًا عن خطأ نتيجة كل من العمليات الحسابية الأربع كدالة لـ ؛ تقريب الخطأ في هذا عملية حسابيةحيث لا تؤخذ بعين الاعتبار. إذا كان من الضروري في المستقبل حساب كيفية انتشار خطأ هذه النتيجة في العمليات الحسابية اللاحقة ، فمن الضروري حساب خطأ النتيجة المحسوبة بواسطة إحدى الصيغ الأربعة إضافة خطأ التقريب بشكل منفصل.

الرسوم البيانية للعمليات الحسابية

الآن دعنا نفكر في طريقة مناسبة لحساب انتشار الخطأ في بعض الحسابات الحسابية. تحقيقا لهذه الغاية ، سوف نصور تسلسل العمليات في حساب باستخدام عددوسنكتب المعاملات بالقرب من أسهم الرسم البياني ، مما سيتيح لنا تحديد الخطأ الإجمالي للنتيجة النهائية بسهولة نسبيًا. هذه الطريقة مناسبة أيضًا لأنها تجعل من السهل تحديد مساهمة أي خطأ نشأ أثناء العمليات الحسابية في الخطأ الكلي.

رسم بياني 1. الرسم البياني لعملية الحوسبة

على ال رسم بياني 1يصور رسم بياني للعملية الحسابية. يجب قراءة الرسم البياني من أسفل إلى أعلى ، باتباع الأسهم. أولاً ، يتم تنفيذ العمليات الموجودة على مستوى أفقي معين ، وبعد ذلك ، يتم إجراء العمليات الموجودة على مستوى أكثر مستوى عال، إلخ من الشكل 1 ، على سبيل المثال ، من الواضح ذلك xو ذمضافًا أولاً ثم مضروبًا في ض. الرسم البياني الموضح في رسم بياني 1، ليست سوى صورة للعملية الحسابية نفسها. لحساب الخطأ الإجمالي للنتيجة ، من الضروري استكمال هذا الرسم البياني بالمعاملات التي تمت كتابتها بالقرب من الأسهم وفقًا للقواعد التالية.

إضافة

دع سهمين يدخلان دائرة الإضافة يخرجان من دائرتين بقيم و. يمكن أن تكون هذه القيم أولية ونتائج. الحسابات السابقة. ثم يحصل السهم الذي يؤدي إلى علامة + في الدائرة على المعامل ، بينما يحصل السهم الذي يقود إلى علامة + في الدائرة على المعامل.

الطرح

إذا تم تنفيذ العملية ، فستتلقى الأسهم المقابلة معاملات و.

عمليه الضرب

يتلقى كلا السهمين المتضمنين في دائرة الضرب عامل +1.

قسم

إذا تم إجراء القسمة ، فسيحصل السهم من الشرطة المائلة المحاطة بدائرة على عامل +1 ، والسهم من الشرطة المائلة المحاطة بدائرة يحصل على عامل −1.

معنى كل هذه المعاملات كما يلي: يتم تضمين الخطأ النسبي لنتيجة أي عملية (دائرة) في نتيجة العملية التالية ، مضروبًا في معاملات السهم الذي يربط بين هاتين العمليتين.

أمثلة

الصورة 2. رسم بياني للعملية الحسابية للإضافة ، و

دعونا الآن نطبق تقنية الرسم البياني على الأمثلة ونوضح ما يعنيه انتشار الخطأ في الحسابات العملية.

مثال 1

تأمل مشكلة جمع أربعة أرقام موجبة:

, .

يظهر الرسم البياني لهذه العملية في الصورة 2. لنفترض أن جميع القيم الأولية معطاة بالضبط وليس بها أخطاء ، ولنكن أخطاء التقريب النسبية بعد كل عملية إضافة لاحقة. التطبيق المتتابع للقاعدة لحساب الخطأ الكلي للنتيجة النهائية يؤدي إلى الصيغة

.

تقليل المجموع في الحد الأول وضرب التعبير بالكامل في ، نحصل على

.

بالنظر إلى أن خطأ التقريب هو (in هذه القضيةيفترض أن عدد حقيقيفي الكمبيوتر يتم تمثيله في النموذج كسر عشريمع رأرقام مهمة) ، لدينا أخيرًا

يعتبر قياس الكمية عملية ، ونتيجة لذلك نكتشف عدد المرات التي تكون فيها القيمة المقاسة أكبر (أو أقل) من القيمة المقابلة ، والتي يتم أخذها كمعيار (وحدة قياس). يمكن تقسيم جميع القياسات إلى نوعين: مباشر وغير مباشر.

المباشرة هذه هي القياسات التي تكون مثيرة للاهتمام بشكل مباشر الكمية المادية(الكتلة ، الطول ، الفترات الزمنية ، تغير درجة الحرارة ، إلخ).

غير مباشر - هذه هي القياسات التي يتم فيها تحديد (احتساب) الكمية التي تهمنا من نتائج القياسات المباشرة للكميات الأخرى المرتبطة بها من خلال اعتماد وظيفي معين. على سبيل المثال ، تحديد السرعة حركة موحدةبقياسات المسافة المقطوعة خلال فترة زمنية ، وقياس كثافة الجسم بقياسات كتلة الجسم وحجمه ، إلخ.

السمة المشتركة للقياسات هي استحالة الحصول على القيمة الحقيقية للكمية المقاسة ، نتيجة القياس تحتوي دائمًا على نوع من الخطأ (خطأ). يمكن تفسير ذلك من خلال دقة القياس المحدودة أساسًا وطبيعة الأشياء المقاسة نفسها. لذلك ، للإشارة إلى مدى قرب النتيجة التي تم الحصول عليها من القيمة الحقيقية ، يشار إلى خطأ القياس مع النتيجة التي تم الحصول عليها.

على سبيل المثال ، قمنا بقياس البعد البؤري للعدسة f وكتبنا ذلك

f = (256 ± 2) مم (1)

هذا يعني أن البعد البؤري يتراوح بين 254 و 258 مم. لكن في الحقيقة هذه المساواة (1) لها معنى احتمالي. لا يمكننا أن نقول على وجه اليقين أن القيمة تقع ضمن الحدود المحددة ، فهناك احتمال معين فقط لذلك ، لذلك يجب استكمال المساواة (1) بإشارة إلى الاحتمال الذي تكون فيه هذه النسبة منطقية (أدناه سنقوم بصياغة هذا بيان أكثر دقة).

تقييم الأخطاء ضروري ، لأنه بدون معرفة ماهيتها ، من المستحيل استخلاص استنتاجات محددة من التجربة.

عادة حساب الخطأ المطلق والنسبي. الخطأ المطلق Δx هو الفرق بين القيمة الحقيقية للكمية المقاسة μ ونتيجة القياس x ، أي Δx = μ - x

نسبة الخطأ المطلق إلى القيمة الحقيقية للقيمة المقاسة ε = (μ - x) / μ تسمى الخطأ النسبي.

يميز الخطأ المطلق خطأ الطريقة التي تم اختيارها للقياس.

الخطأ النسبي يميز جودة القياسات. دقة القياس هي المعاملة بالمثل للخطأ النسبي ، أي 1 / ε.

§ 2. تصنيف الأخطاء

تنقسم جميع أخطاء القياس إلى ثلاث فئات: الأخطاء (الأخطاء الإجمالية) ، والأخطاء المنهجية والعشوائية.

يحدث الخسارة بسبب انتهاك حاد لشروط القياس في الملاحظات الفردية. هذا خطأ مرتبط بصدمة أو كسر للجهاز ، أو سوء تقدير فادح للمُجرب ، أو تدخل غير متوقع ، إلخ. يظهر الخطأ الجسيم عادة في ما لا يزيد عن بعد واحد أو بعدين ويختلف بشكل حاد في الحجم عن الأخطاء الأخرى. يمكن أن يؤدي وجود خطأ إلى تشويه النتيجة التي تحتوي على الخطأ بشكل كبير. أسهل طريقة هي تحديد سبب الانزلاق والقضاء عليه أثناء عملية القياس. إذا لم يتم استبعاد القسيمة أثناء عملية القياس ، فيجب القيام بذلك عند معالجة نتائج القياس ، باستخدام معايير خاصة تسمح للشخص بالتمييز بشكل موضوعي في كل سلسلة من الملاحظات خطأ فادحإذا كانت موجودة.

الخطأ المنتظم هو أحد مكونات خطأ القياس الذي يظل ثابتًا ويتغير بانتظام أثناء القياسات المتكررة بنفس القيمة. تنشأ أخطاء منهجية إذا لم يأخذ المرء في الحسبان ، على سبيل المثال ، التمدد الحراريعند قياس حجم السائل أو الغاز الناتج عند درجة حرارة متغيرة ببطء ؛ إذا لم يؤخذ في الاعتبار ، عند قياس الكتلة ، تأثير قوة طفو الهواء على الجسم الذي تم وزنه وعلى الأوزان ، وما إلى ذلك.

يتم ملاحظة الأخطاء المنهجية إذا تم تطبيق مقياس المسطرة بشكل غير دقيق (بشكل غير متساو) ؛ الشعيرات الدموية لميزان الحرارة في أجزاء مختلفة لها مقطع عرضي مختلف ؛ مع الغياب التيار الكهربائيمن خلال مقياس التيار الكهربائي ، فإن سهم الجهاز ليس عند الصفر ، وما إلى ذلك.

كما يتضح من الأمثلة ، خطأ منهجيناتج عن أسباب معينة ، تظل قيمتها ثابتة (صفر إزاحة لمقياس الأداة ، المقاييس غير المتساوية) ، أو تتغير وفقًا لقانون معين (أحيانًا معقد جدًا) (عدم توحيد المقياس ، المقطع العرضي غير المتساوي من الشعرية مقياس الحرارة ، وما إلى ذلك).

يمكننا القول أن الخطأ المنهجي عبارة عن تعبير مخفف يحل محل عبارة "خطأ المجرب".

تحدث هذه الأخطاء للأسباب التالية:

1. أدوات قياس غير دقيقة
2. التثبيت الحقيقي يختلف إلى حد ما عن المثالي ؛
3. نظرية الظاهرة ليست صحيحة تمامًا ، أي لم تؤخذ أي آثار في الاعتبار.

نحن نعلم ما يجب القيام به في الحالة الأولى ، هناك حاجة إلى المعايرة أو التخرج. في حالتين أخريين وصفة جاهزةغير موجود. كلما زادت معرفتك بالفيزياء ، زادت خبرتك ، زادت احتمالية اكتشافك لهذه التأثيرات ، وبالتالي القضاء عليها. قواعد عامة، لا توجد وصفات لتحديد وإزالة الأخطاء المنهجية ، ولكن يمكن إجراء بعض التصنيف. نميز بين أربعة أنواع من الأخطاء المنهجية.

1. الأخطاء المنهجية ، التي تعرف طبيعتها لديك ، ويمكن العثور على قيمتها ، وبالتالي ، يتم استبعادها من خلال إدخال التعديلات. مثال.الوزن على موازين غير متكافئة. دع الفرق في أطوال الذراع 0.001 مم. بطول الكرسي الهزاز 70 ممويزن وزن الجسم 200 جيسيكون الخطأ النظامي 2.86 ملغ. يمكن القضاء على الخطأ النظامي لهذا القياس عن طريق التطبيق طرق خاصةالوزن (طريقة غاوس ، طريقة مندليف ، إلخ).
2. الأخطاء المنهجية ، والتي من المعروف أنها أقل من معينة قيمة معينة. في هذه الحالة ، عند تسجيل الرد ، يمكن الإشارة إليها أقصى قيمة. مثال.يقول جواز السفر المرفق بالميكرومتر: "الخطأ المسموح به هو ± 0.004 مم. درجة الحرارة +20 ± 4 درجة مئوية ، وهذا يعني أنه من خلال قياس أبعاد الجسم بهذا الميكرومتر عند درجات الحرارة المشار إليها في جواز السفر ، سيكون لدينا الخطأ المطلقلا تتجاوز ± 0.004 مملأية نتائج قياس.

   في كثير من الأحيان ، يُشار إلى الحد الأقصى للخطأ المطلق الذي تعطيه أداة معينة من خلال فئة الدقة للأداة ، والتي يتم تصويرها على مقياس الجهاز من خلال الرقم المقابل ، وغالبًا ما يتم أخذها في دائرة.

   يشير الرقم الذي يشير إلى فئة الدقة إلى الحد الأقصى للخطأ المطلق للأداة ، معبراً عنه بنسبة مئوية أعظم قيمةالقيمة المقاسة على الحد الأعلىمقاييس.

   دع مقياس الفولتميتر يستخدم في القياسات ، بمقياس من 0 إلى 250 في، فئة دقتها هي 1. وهذا يعني أن الحد الأقصى للخطأ المطلق الذي يمكن حدوثه عند القياس باستخدام هذا الفولتميتر لن يكون أكثر من 1٪ من أعلى قيمة للجهد يمكن قياسها على مقياس الجهاز هذا ، بمعنى آخر:

   δ = ± 0.01 250 في= ± 2.5 في.

   تحدد فئة الدقة لأجهزة القياس الكهربائية الحد الأقصى للخطأ ، والذي لا تتغير قيمته عند الانتقال من بداية المقياس إلى نهايته. في هذه الحالة ، يتغير الخطأ النسبي بشكل كبير ، لأن الأدوات توفر دقة جيدة عندما ينحرف السهم تقريبًا عن المقياس بأكمله ولا يعطيه عند القياس في بداية المقياس. ومن هنا جاءت التوصية: حدد الأداة (أو مقياس أداة multirange) بحيث يتجاوز سهم الأداة أثناء القياسات منتصف المقياس.

   إذا لم يتم تحديد فئة دقة الجهاز ولا توجد بيانات جواز سفر ، فسيتم اعتبار نصف سعر أصغر تقسيم للجهاز على أنه الحد الأقصى لخطأ الجهاز.

   بضع كلمات عن دقة الحكام. المساطر المعدنية دقيقة للغاية: يتم تطبيق تقسيمات المليمتر مع خطأ لا يزيد عن ± 0.05 مم، والسنتيمتر ليست أسوأ من دقة 0.1 مم. خطأ القياسات التي تم إجراؤها بدقة هذه المساطر يساوي عمليا خطأ القراءة بالعين (≤0.5 مم). من الأفضل عدم استخدام المساطر الخشبية والبلاستيكية ، فقد تكون أخطائهم كبيرة بشكل غير متوقع.

   يوفر ميكرومتر العمل دقة 0.01 مم، ويتم تحديد خطأ القياس باستخدام الفرجار من خلال الدقة التي يمكن بها إجراء القراءة ، أي دقة رنيه (عادة 0.1 ممأو 0.05 مم).

3. أخطاء منهجية بسبب خصائص الجسم المقاس. غالبًا ما يمكن تقليل هذه الأخطاء إلى أخطاء عشوائية. مثال.. يتم تحديد التوصيل الكهربائي لبعض المواد. إذا تم أخذ قطعة من السلك لمثل هذا القياس بها نوع من العيب (سماكة ، صدع ، عدم تجانس) ، فسيتم ارتكاب خطأ في تحديد التوصيل الكهربائي. تكرار القياسات يعطي نفس القيمة ، أي هناك خطأ منهجي. دعونا نقيس مقاومة عدة أجزاء من هذا السلك ونجد متوسط ​​قيمة التوصيل الكهربائي لهذه المادة ، والتي قد تكون أكبر أو أقل من الموصلية الكهربائية للقياسات الفردية ، وبالتالي ، يمكن عزو الأخطاء التي حدثت في هذه القياسات لما يسمى بالأخطاء العشوائية.
4. أخطاء منهجية لا يعرف وجودها. مثال.. حدد كثافة أي معدن. أولاً ، أوجد حجم العينة وكتلتها. داخل العينة يوجد فراغ لا نعرف عنه شيئًا. سيحدث خطأ في تحديد الكثافة ، والتي ستتكرر لأي عدد من القياسات. المثال المعطى بسيط ، يمكن تحديد مصدر الخطأ وحجمه دون صعوبة كبيرة. يمكن اكتشاف أخطاء من هذا النوع بمساعدة دراسات إضافية ، من خلال إجراء قياسات بطريقة مختلفة تمامًا وتحت ظروف مختلفة.

RANDOM هو مكون خطأ القياس الذي يتغير عشوائيًا مع القياسات المتكررة بنفس القيمة.

عندما يتم إجراء قياسات متكررة لنفس الكمية الثابتة غير المتغيرة بنفس العناية وتحت نفس الظروف ، نحصل على نتائج قياس بعضها يختلف عن بعضها البعض ، وبعضها متطابق. تشير هذه التناقضات في نتائج القياس إلى وجود مكونات خطأ عشوائية فيها.

ينشأ الخطأ العشوائي من العمل المتزامن للعديد من المصادر ، ولكل منها في حد ذاته تأثير غير محسوس على نتيجة القياس ، ولكن التأثير الكلي لجميع المصادر يمكن أن يكون قوياً للغاية.

يمكن أن يأخذ الخطأ العشوائي قيمًا مطلقة مختلفة ، والتي لا يمكن التنبؤ بها لفعل قياس معين. يمكن أن يكون هذا الخطأ موجبًا وسالبًا على حد سواء. الأخطاء العشوائية موجودة دائمًا في التجربة. في حالة عدم وجود أخطاء منهجية ، فإنها تتسبب في تشتت القياسات المتكررة حول القيمة الحقيقية ( شكل 14).

بالإضافة إلى ذلك ، إذا كان هناك خطأ منهجي ، فإن نتائج القياس ستكون مبعثرة فيما يتعلق ليس بالقيمة الحقيقية ، ولكن القيمة المنحازة ( شكل 15).

أرز. 14 تين. خمسة عشر

لنفترض أنه بمساعدة ساعة توقيت نقيس فترة تذبذب البندول ، ويتكرر القياس عدة مرات. أخطاء في بدء وإيقاف ساعة الإيقاف ، خطأ في قيمة المرجع ، حركة صغيرة غير متساوية للبندول ، كل هذا يتسبب في تشتيت نتائج القياسات المتكررة وبالتالي يمكن تصنيفها على أنها أخطاء عشوائية.

إذا لم تكن هناك أخطاء أخرى ، فسيتم المبالغة في تقدير بعض النتائج إلى حد ما ، بينما سيتم الاستهانة بالنتائج الأخرى قليلاً. ولكن إذا ، بالإضافة إلى ذلك ، تأخرت الساعة أيضًا ، فسيتم الاستهانة بكل النتائج. هذا بالفعل خطأ منهجي.

يمكن أن تتسبب بعض العوامل في حدوث أخطاء منهجية وعشوائية في نفس الوقت. لذلك ، من خلال تشغيل ساعة الإيقاف وإيقافها ، يمكننا إنشاء انتشار صغير غير منتظم في لحظات بدء وإيقاف الساعة بالنسبة لحركة البندول وبالتالي تقديم خطأ عشوائي. ولكن إذا ، بالإضافة إلى ذلك ، في كل مرة نسارع فيها إلى تشغيل ساعة الإيقاف وتأخرنا إلى حد ما في إيقاف تشغيلها ، فسيؤدي ذلك إلى حدوث خطأ منهجي.

تحدث الأخطاء العشوائية بسبب خطأ اختلاف المنظر عند قراءة أقسام مقياس الجهاز ، أو اهتزاز أساس المبنى ، أو تأثير حركة الهواء الطفيفة ، إلخ.

على الرغم من أنه من المستحيل استبعاد الأخطاء العشوائية للقياسات الفردية ، فإن النظرية الرياضية للظواهر العشوائية تسمح لنا بتقليل تأثير هذه الأخطاء على نتيجة القياس النهائية. سيظهر أدناه أنه من الضروري إجراء عدة قياسات ، وليس قياسًا واحدًا ، وكلما كانت قيمة الخطأ التي نريد الحصول عليها أصغر ، المزيد من القياساتتحتاج إلى تنفيذها.

يجب أن يؤخذ في الاعتبار أنه إذا تبين أن الخطأ العشوائي الذي تم الحصول عليه من بيانات القياس أقل بكثير من الخطأ الذي تحدده دقة الأداة ، فمن الواضح أنه لا فائدة من محاولة تقليل حجم خطأ عشوائي على أي حال ، لن تصبح نتائج القياس أكثر دقة من هذا.

على العكس من ذلك ، إذا كان الخطأ العشوائي أكبر من الخطأ الآلي (المنهجي) ، فيجب إجراء القياس عدة مرات لتقليل قيمة الخطأ لسلسلة معينة من القياسات وجعل هذا الخطأ أقل من أو ترتيب واحد من حجم خطأ الجهاز.