حدد أبسط المعادلات المثلثية. الطرق الأساسية لحل المعادلات المثلثية

يتم إعطاء النسب بين الدوال المثلثية الرئيسية - الجيب وجيب التمام والظل والظل - الصيغ المثلثية. ونظرًا لوجود عدد كبير جدًا من الروابط بين الدوال المثلثية ، فإن هذا يفسر أيضًا وفرة الصيغ المثلثية. بعض الصيغ تربط الدوال المثلثية لنفس الزاوية ، والبعض الآخر - وظائف الزاوية المتعددة ، والبعض الآخر - يسمح لك بخفض الدرجة ، والرابع - للتعبير عن جميع الوظائف من خلال ظل نصف الزاوية ، إلخ.

في هذه المقالة ، نسرد بالترتيب جميع الصيغ المثلثية الأساسية ، والتي تكفي لحل الغالبية العظمى من مسائل علم المثلثات. لسهولة الحفظ والاستخدام ، سنقوم بتجميعها وفقًا للغرض منها ، وندخلها في جداول.

التنقل في الصفحة.

الهويات المثلثية الأساسية

الهويات المثلثية الأساسيةاضبط العلاقة بين الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام لزاوية واحدة. وهي تتبع من تعريف الجيب وجيب التمام والظل والظل ، بالإضافة إلى مفهوم دائرة الوحدة. إنها تسمح لك بالتعبير عن دالة مثلثية واحدة من خلال أي دالة أخرى.

للحصول على وصف تفصيلي لهذه الصيغ في علم المثلثات ، وأمثلة على اشتقاقها وتطبيقها ، راجع المقالة.

صيغ الصب

صيغ الصبتتبع من خصائص الجيب وجيب التمام والظل والظل ، أي أنها تعكس خاصية دورية الدوال المثلثية ، وخاصية التناظر ، وكذلك خاصية التحول بزاوية معينة. تسمح لك هذه الصيغ المثلثية بالانتقال من العمل بزوايا عشوائية إلى العمل بزوايا تتراوح من صفر إلى 90 درجة.

يمكن دراسة الأساس المنطقي لهذه الصيغ ، وقاعدة ذاكري لحفظها ، وأمثلة على تطبيقها في المقالة.

صيغ الجمع

صيغ الجمع المثلثيةأظهر كيف يتم التعبير عن الدوال المثلثية لمجموع أو فرق الزاويتين من حيث الدوال المثلثية لهذه الزوايا. تعمل هذه الصيغ كأساس لاشتقاق الصيغ المثلثية التالية.

صيغ مزدوجة وثلاثية وما إلى ذلك. زاوية

صيغ مزدوجة وثلاثية وما إلى ذلك. زاوية (وتسمى أيضًا صيغ الزوايا المتعددة) توضح كيف الدوال المثلثية للثنائي ، الثلاثي ، إلخ. يتم التعبير عن الزوايا () من حيث الدوال المثلثية لزاوية واحدة. اشتقاقهم يعتمد على صيغ الجمع.

يتم جمع معلومات أكثر تفصيلاً في معادلات المقالات للثنائي أو الثلاثي ، إلخ. زاوية .

صيغ نصف زاوية

صيغ نصف زاويةاظهر كيف يتم التعبير عن الدوال المثلثية لنصف زاوية بدلالة جيب التمام لزاوية عدد صحيح. تتبع هذه الصيغ المثلثية من صيغ الزاوية المزدوجة.

يمكن العثور على استنتاجهم وأمثلة التطبيق في المقالة.

صيغ التخفيض

الصيغ المثلثية للدرجات المتناقصةتم تصميمه لتسهيل الانتقال من القوى الطبيعية للوظائف المثلثية إلى الجيب وجيب التمام من الدرجة الأولى ، ولكن الزوايا المتعددة. بعبارة أخرى ، تسمح للفرد بتقليل قوى الدوال المثلثية إلى الأولى.

صيغ مجموع واختلاف الدوال المثلثية

الوجهة الرئيسية معادلات الجمع والفرق للوظائف المثلثيةيتكون من الانتقال إلى منتج الوظائف ، وهو أمر مفيد للغاية عند تبسيط التعبيرات المثلثية. تُستخدم هذه الصيغ أيضًا على نطاق واسع في حل المعادلات المثلثية ، لأنها تسمح بحساب مجموع واختلاف الجيب وجيب التمام.

الصيغ لمنتج الجيب وجيب التمام والجيب بجيب التمام

يتم الانتقال من ناتج الدوال المثلثية إلى المجموع أو الاختلاف من خلال الصيغ الخاصة بمنتج الجيب وجيب التمام والجيب بواسطة جيب التمام.

استبدال عالمي مثلثي

نكمل مراجعة الصيغ الأساسية لعلم المثلثات بالصيغ التي تعبر عن الدوال المثلثية من حيث ظل نصف الزاوية. هذا الاستبدال يسمى الاستبدال المثلثي العالمي. تكمن الراحة في حقيقة أن جميع الدوال المثلثية يتم التعبير عنها بدلالة ظل نصف زاوية منطقيًا بدون جذور.

فهرس.

• الجبر:بروك. لـ 9 خلايا. متوسط المدرسة / Yu. ماكاريشيف ، إن جي مينديوك ، كي آي نيشكوف ، إس بي سوفوروفا ؛ إد. S. A. Telyakovsky. - M: Enlightenment، 1990. - 272 p: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
• باشماكوف م.الجبر وبداية التحليل: Proc. من 10 إلى 11 خلية. متوسط المدرسة - الطبعة الثالثة. - م: التنوير ، 1993. - 351 ص: مريض. - ردمك 5-09-004617-4.
• الجبروبداية التحليل: Proc. من 10 إلى 11 خلية. تعليم عام المؤسسات / A. N. Kolmogorov ، A. M. Abramov ، Yu. P. Dudnitsyn وآخرون ؛ إد. أ.ن.كولموغوروفا. - الطبعة 14. - م: التنوير ، 2004. - 384 ص: مريض - ISBN 5-09-013651-3.
• جوسيف ف.أ ، مردكوفيتش أ.الرياضيات (دليل للمتقدمين للمدارس الفنية): Proc. بدل. - م ؛ أعلى المدرسة ، 1984. - 351 ص. ، مريض.

حقوق التأليف والنشر من قبل الطلاب الأذكياء

كل الحقوق محفوظة.
محمي بقانون حقوق التأليف والنشر. لا يجوز إعادة إنتاج أي جزء من الموقع ، بما في ذلك المواد الداخلية والتصميم الخارجي ، بأي شكل من الأشكال أو استخدامه دون إذن كتابي مسبق من صاحب حقوق الطبع والنشر.

المعادلات المثلثية ليست الموضوع الأسهل. إنها متنوعة بشكل مؤلم.) على سبيل المثال ، هذه:

sin2x + cos3x = ctg5x

الخطيئة (5x + π / 4) = ctg (2x-π / 3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

إلخ...

لكن هذه الوحوش المثلثية (وجميع أخرى) لها ميزتان مشتركتان وإجباريتان. أولاً - لن تصدق ذلك - هناك دوال مثلثية في المعادلات.) ثانيًا: جميع التعبيرات التي تحتوي على x هي ضمن هذه الوظائف نفسها.وفقط هناك! إذا ظهر x في مكان ما الخارج،فمثلا، sin2x + 3x = 3 ،ستكون هذه معادلة مختلطة. تتطلب مثل هذه المعادلات مقاربة فردية. هنا لن نعتبرهم.

لن نحل المعادلات الشريرة في هذا الدرس أيضًا.) هنا سنتعامل معها أبسط المعادلات المثلثية.لماذا ا؟ نعم لأن القرار أيتتكون المعادلات المثلثية من مرحلتين. في المرحلة الأولى ، يتم تقليل المعادلة الشريرة إلى معادلة بسيطة من خلال التحولات المختلفة. في الثانية - تم حل هذه المعادلة الأبسط. لا توجد طريقة أخرى.

لذلك ، إذا كانت لديك مشاكل في المرحلة الثانية ، فإن المرحلة الأولى لا معنى لها.)

كيف تبدو المعادلات المثلثية الأولية؟

sinx = أ

كوسكس = أ

tgx = أ

ctgx = أ

هنا أ لتقف على أي رقم. أي.

بالمناسبة ، قد لا يكون هناك علامة x نقية داخل الوظيفة ، ولكن هناك نوع من التعبير ، مثل:

كوس (3 س + π / 3) = 1/2

إلخ. هذا يعقد الحياة ، لكنه لا يؤثر على طريقة حل المعادلة المثلثية.

كيف تحل المعادلات المثلثية؟

يمكن حل المعادلات المثلثية بطريقتين. الطريقة الأولى: استخدام المنطق والدائرة المثلثية. سوف نستكشف هذا المسار هنا. الطريقة الثانية - باستخدام الذاكرة والصيغ - سيتم النظر فيها في الدرس التالي.

الطريقة الأولى واضحة وموثوقة ويصعب نسيانها.) وهي جيدة لحل المعادلات المثلثية وعدم المساواة وجميع أنواع الأمثلة غير القياسية الصعبة. المنطق أقوى من الذاكرة!

نحل المعادلات باستخدام دائرة مثلثية.

نقوم بتضمين المنطق الأولي والقدرة على استخدام الدائرة المثلثية. ألا يمكنك !؟ ومع ذلك ... سيكون من الصعب عليك في علم المثلثات ...) لكن هذا لا يهم. الق نظرة على الدروس "الدائرة المثلثية ...... ما هي؟" و "عد الزوايا على دائرة مثلثية." كل شيء بسيط هناك. على عكس الكتب المدرسية ...)

آه ، أنت تعلم !؟ وحتى يتقن "العمل العملي مع الدائرة المثلثية" !؟ تقبل التهاني. سيكون هذا الموضوع قريبًا ومفهومًا بالنسبة إليك.) ما يبعث على السرور بشكل خاص هو أن الدائرة المثلثية لا تهتم بالمعادلة التي تحلها. الجيب وجيب التمام والظل والظل - كل شيء هو نفسه بالنسبة له. مبدأ الحل هو نفسه.

إذن ، نأخذ أي معادلة مثلثية أولية. على الأقل هذا:

كوسكس = 0.5

أحتاج أن أجد X. التحدث بلغة بشرية ، أنت بحاجة أوجد الزاوية (x) التي يساوي جيب تمامها 0.5.

كيف استخدمنا الدائرة من قبل؟ رسمنا زاوية عليها. بالدرجات أو بالتقدير الدائري. وعلى الفور رأيت الدوال المثلثية لهذه الزاوية. الآن دعونا نفعل العكس. ارسم جيب التمام يساوي 0.5 على الدائرة وعلى الفور سوف نرى ركن. يبقى فقط كتابة الإجابة.) نعم ، نعم!

نرسم دائرة ونضع علامة على جيب التمام يساوي 0.5. على محور جيب التمام بالطبع. مثله:

لنرسم الآن الزاوية التي يعطينا جيب التمام هذا. حرك الماوس فوق الصورة (أو المس الصورة على الكمبيوتر اللوحي) ، و نرىهذه الزاوية نفسها X.

أي زاوية لها جيب تمام 0.5؟

س \ u003d π / 3

كوس 60 درجة= كوس ( / 3) = 0,5

بعض الناس سوف يتذمرون متشككين ، نعم ... يقولون ، هل كان الأمر يستحق العناء لتسييج الدائرة ، عندما يكون كل شيء واضحًا على أي حال ... يمكنك ، بالطبع ، النخر ...) ولكن الحقيقة هي أن هذا خطأ إجابه. أو بالأحرى غير ملائم. يفهم خبراء الدائرة أنه لا تزال هناك مجموعة كاملة من الزوايا التي تعطي أيضًا جيب تمام يساوي 0.5.

إذا قمت بإدارة الجانب المتحرك OA لدور كامل، ستعود النقطة A إلى موضعها الأصلي. بنفس جيب التمام يساوي 0.5. أولئك. ستتغير الزاوية 360 درجة أو 2π راديان ، و جيب التمام ليس كذلك.ستكون الزاوية الجديدة 60 درجة + 360 درجة = 420 درجة أيضًا حلاً لمعادلتنا ، لأن

هناك عدد لا حصر له من هذه الدورات الكاملة ... وستكون كل هذه الزوايا الجديدة حلولاً لمعادلتنا المثلثية. وكلهم بحاجة إلى أن يكتبوا بطريقة ما. الجميع.خلاف ذلك ، لا يتم النظر في القرار ، نعم ...)

يمكن للرياضيات أن تفعل هذا ببساطة وأنيقة. اكتب في إجابة قصيرة واحدة مجموعة لانهائيةحلول. إليك ما تبدو عليه معادلتنا:

س = π / 3 + 2π ن ، ن ∈ Z

سوف أفك. ما زلت أكتب بشكل هادفأجمل من رسم بعض الحروف الغامضة بغباء ، أليس كذلك؟)

/ 3 هي نفس الزاوية التي نحن منشارعلى الدائرة و المحددةوفقًا لجدول جيب التمام.

2π دورة كاملة بالتقدير الدائري.

ن - هذا هو عدد الاكتمال ، أي كاملالثورات. فمن الواضح أن ن يمكن أن يكون 0 ، ± 1 ، ± 2 ، ± 3 .... وهكذا. كما يتضح من الدخول القصير:

ن ∈ Z

ن ينتمي ( ∈ ) إلى مجموعة الأعداد الصحيحة ( ض ). بالمناسبة ، بدلا من الحرف ن يمكن استخدام الحروف ك ، م ، ر إلخ.

هذا الترميز يعني أنه يمكنك أخذ أي عدد صحيح ن . -3 على الأقل ، 0 على الأقل ، +55 على الأقل. ماذا تريد. إذا أدخلت هذا الرقم في إجابتك ، فستحصل على زاوية محددة ، والتي من المؤكد أنها ستكون الحل لمعادلتنا القاسية.)

أو بعبارة أخرى ، س \ u003d π / 3 هو الجذر الوحيد لمجموعة لانهائية. للحصول على جميع الجذور الأخرى ، يكفي إضافة أي عدد من الدورات الكاملة إلى π / 3 ( ن ) بالتقدير الدائري. أولئك. 2πn راديان.

كل شىء؟ رقم. أنا على وجه التحديد أمد المتعة. لنتذكر بشكل أفضل.) تلقينا جزءًا فقط من الإجابات على معادلتنا. سأكتب هذا الجزء الأول من الحل على النحو التالي:

س 1 = π / 3 + 2π ن ، ن ∈ ع

× 1 - ليس جذرًا واحدًا ، إنه سلسلة كاملة من الجذور ، مكتوبة بصيغة مختصرة.

لكن هناك زوايا أخرى تعطي جيب تمام يساوي 0.5!

دعنا نعود إلى صورتنا ، والتي بموجبها كتبنا الإجابة. ها هي ذا:

حرك الماوس فوق الصورة و نرىزاوية أخرى يعطي أيضًا جيب تمام 0.5.ما رأيك أنه يساوي؟ المثلثات هي نفسها ... نعم! إنها تساوي الزاوية X ، فقط في الاتجاه السلبي. هذه هي الزاوية -X. لكننا قمنا بالفعل بحساب x. π / 3 أو 60 درجة. لذلك يمكننا أن نكتب بأمان:

× 2 \ u003d - π / 3

وبالطبع نضيف كل الزوايا التي تم الحصول عليها من خلال المنعطفات الكاملة:

س 2 = - / 3 + 2π ن ، ن ∈ ع

هذا كل شيء الآن.) في الدائرة المثلثية ، نحن منشار(من يفهم طبعا)) الكلالزوايا التي تعطي جيب تمام يساوي 0.5. وقاموا بتدوين هذه الزوايا بصيغة رياضية قصيرة. الجواب هو سلسلتان لا حصر لهما من الجذور:

س 1 = π / 3 + 2π ن ، ن ∈ ع

س 2 = - / 3 + 2π ن ، ن ∈ ع

هذا هو الجواب الصحيح.

أمل، المبدأ العام لحل المعادلات المثلثيةبمساعدة دائرة أمر مفهوم. نحدد جيب التمام (الجيب ، الظل ، ظل التمام) من المعادلة المعطاة على الدائرة ، ونرسم الزوايا المقابلة ونكتب الإجابة.بالطبع ، أنت بحاجة إلى معرفة أي نوع من الزوايا نحن منشارعلى الدائرة. في بعض الأحيان لا يكون الأمر واضحًا جدًا. حسنًا ، كما قلت ، المنطق مطلوب هنا.)

على سبيل المثال ، دعنا نحلل معادلة مثلثية أخرى:

يرجى ملاحظة أن الرقم 0.5 ليس الرقم الوحيد الممكن في المعادلات!) إنه مناسب لي أكثر من كتابته من الجذور والكسور.

نعمل وفق المبدأ العام. نرسم دائرة ، ونضع علامة (على محور الجيب ، بالطبع!) 0.5. نرسم مرة واحدة كل الزوايا المقابلة لهذا الجيب. نحصل على هذه الصورة:

دعونا نتعامل مع الزاوية أولاً. X في الربع الأول. نتذكر جدول الجيب ونحدد قيمة هذه الزاوية. الأمر بسيط:

س \ u003d π / 6

نتذكر المنعطفات الكاملة ، وبضمير مرتاح ، نكتب أول سلسلة من الإجابات:

س 1 = / 6 + 2π ن ، ن ∈ ع

تم الانتهاء من نصف العمل. الآن نحن بحاجة إلى تحديد الزاوية الثانية ...هذا أصعب مما هو عليه في جيب التمام ، نعم ... لكن المنطق سينقذنا! كيفية تحديد الزاوية الثانية من خلال x؟ نعم سهل! المثلثات في الصورة هي نفسها ، والركن الأحمر هو نفسه X يساوي الزاوية X . فقط يتم حسابه من الزاوية π في الاتجاه السلبي. هذا هو السبب في أنها حمراء.) وللحصول على الإجابة ، نحتاج إلى قياس زاوية بشكل صحيح من المحور شبه الموجب OX ، أي بزاوية 0 درجة.

حرك المؤشر فوق الصورة وشاهد كل شيء. أزلت الزاوية الأولى حتى لا تتعقيد الصورة. ستكون الزاوية التي تهمنا (المرسومة باللون الأخضر) مساوية لـ:

π - س

س نحن نعرف ذلك π / 6 . إذن ستكون الزاوية الثانية:

π - / 6 = 5π / 6

مرة أخرى ، نتذكر إضافة الثورات الكاملة ونكتب السلسلة الثانية من الإجابات:

س 2 = 5π / 6 + 2π ن ، ن ∈ ع

هذا كل شئ. تتكون الإجابة الكاملة من سلسلتين من الجذور:

س 1 = / 6 + 2π ن ، ن ∈ ع

س 2 = 5π / 6 + 2π ن ، ن ∈ ع

يمكن حل المعادلات ذات الظل والتظل بسهولة باستخدام نفس المبدأ العام لحل المعادلات المثلثية. ما لم تعرف ، بالطبع ، كيفية رسم الظل والظل على دائرة مثلثية.

في الأمثلة أعلاه ، استخدمت القيمة الجدولية للجيب وجيب التمام: 0.5. أولئك. أحد تلك المعاني التي يعرفها الطالب يجب.الآن دعونا نوسع قدراتنا إلى كل القيم الأخرى.قرر ، لذا قرر!)

لذلك ، لنفترض أننا بحاجة إلى حل المعادلة المثلثية التالية:

لا توجد مثل هذه القيمة لجيب التمام في الجداول القصيرة. نتجاهل ببرود هذه الحقيقة الرهيبة. نرسم دائرة ونضع علامة 2/3 على محور جيب التمام ونرسم الزوايا المقابلة. لقد حصلنا على هذه الصورة.

نحن نفهم ، بالنسبة للمبتدئين ، بزاوية في الربع الأول. لمعرفة ما يساوي x ، سيكتبون الإجابة على الفور! لا نعرف ... فشل !؟ هدوء! الرياضيات لا تترك نفسها في مأزق! اخترعت جيب التمام القوسي لهذه الحالة. لا أعلم؟ بلا فائدة. اكتشف. إنه أسهل بكثير مما تعتقد. وفقًا لهذا الرابط ، لا توجد تعويذة واحدة صعبة حول "الدوال المثلثية العكسية" ... إنها غير ضرورية في هذا الموضوع.

إذا كنت على دراية ، فقط قل لنفسك ، "X زاوية جيب تمامها 2/3." وعلى الفور ، من خلال تعريف قوس القوس ، يمكننا أن نكتب:

نتذكر الثورات الإضافية ونكتب بهدوء السلسلة الأولى من جذور معادلتنا المثلثية:

x 1 = arccos 2/3 + 2π n ، n ∈ Z

يتم أيضًا كتابة السلسلة الثانية من الجذور تلقائيًا تقريبًا للزاوية الثانية. كل شيء هو نفسه ، فقط x (arccos 2/3) ستكون مع سالب:

x 2 = - arccos 2/3 + 2π n ، n ∈ Z

وكل شيء! هذا هو الجواب الصحيح. حتى أسهل من القيم المجدولة. لا تحتاج إلى تذكر أي شيء.) بالمناسبة ، سيلاحظ الأكثر انتباهاً أن هذه الصورة مع الحل من خلال جيب التمام القوسي لا يختلف جوهريًا عن الصورة الخاصة بالمعادلة cosx = 0.5.

بالضبط! المبدأ العام على ذلك والعام! لقد رسمت على وجه التحديد صورتين متطابقتين تقريبًا. تبين لنا الدائرة الزاوية X بجيب التمام. إنه جيب تمام جدولي ، أم لا - لا تعرف الدائرة. أي نوع من الزاوية هذه ، π / 3 ، أو أي نوع من قوس جيب التمام علينا أن نقرره.

مع نفس الأغنية. فمثلا:

مرة أخرى نرسم دائرة ، ونضع علامة على الجيب يساوي 1/3 ، ونرسم الزوايا. اتضح هذه الصورة:

ومرة أخرى ، فإن الصورة هي نفسها تقريبًا كما في المعادلة sinx = 0.5.مرة أخرى نبدأ من الزاوية في الربع الأول. ما الذي يساوي x إذا كان الجيب يساوي 1/3؟ لا مشكلة!

لذا فإن الحزمة الأولى من الجذور جاهزة:

x 1 = arcsin 1/3 + 2π n، n ∈ Z

لنلق نظرة على الزاوية الثانية. في المثال ذي قيمة الجدول 0.5 ، كانت تساوي:

π - س

حتى هنا سيكون هو نفسه بالضبط! فقط x مختلفة ، arcsin 1/3. وماذا في ذلك!؟ يمكنك كتابة الحزمة الثانية من الجذور بأمان:

س 2 = π - قوسين 1/3 + 2π ن ، ن ∈ Z

هذه إجابة صحيحة تمامًا. على الرغم من أنها لا تبدو مألوفة للغاية. لكن هذا مفهوم ، كما آمل.)

هذه هي الطريقة التي يتم بها حل المعادلات المثلثية باستخدام الدائرة. هذا المسار واضح ومفهوم. هو الذي يحفظ في المعادلات المثلثية باختيار الجذور في فترة زمنية معينة ، في عدم المساواة المثلثية - يتم حلها بشكل عام تقريبًا في دائرة. باختصار ، في أي مهام تكون أكثر تعقيدًا بقليل من المهام القياسية.

وضع المعرفة موضع التنفيذ؟

حل المعادلات المثلثية:

في البداية يكون الأمر أبسط ، مباشرة في هذا الدرس.

الآن الأمر أكثر صعوبة.

تلميح: هنا عليك التفكير في الدائرة. شخصيا.)

والآن متواضع ظاهريًا ... ويطلق عليهم أيضًا حالات خاصة.

sinx = 0

sinx = 1

كوسكس = 0

كوسكس = -1

تلميح: هنا تحتاج إلى معرفة في دائرة حيث توجد سلسلتان من الإجابات ، وأين توجد واحدة ... وكيفية كتابة سلسلة واحدة بدلاً من سلسلتين من الإجابات. نعم ، حتى لا يتم فقد جذر واحد من عدد لا نهائي!)

حسنًا ، بسيط جدًا):

sinx = 0,3

كوسكس = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

تلميح: هنا تحتاج إلى معرفة ما هو القوسين ، القوسين؟ ما هو قوس الظل ، قوس الظل؟ أبسط التعاريف. لكنك لست بحاجة إلى تذكر أي قيم جدولة!)

الإجابات ، بالطبع ، في حالة من الفوضى):

× 1= arcsin0،3 + 2πn، n ∈ Z
× 2= π - قوسين 0.3 + 2

لا يعمل كل شيء؟ يحدث ذلك. اقرأ الدرس مرة أخرى. فقط بعناية(هناك مثل هذه الكلمة التي عفا عليها الزمن ...) واتبع الروابط. الروابط الرئيسية تدور حول الدائرة. بدونها في علم المثلثات - كيفية عبور الطريق معصوب العينين. في بعض الأحيان يعمل.)

إذا أعجبك هذا الموقع ...

بالمناسبة ، لديّ موقعان أكثر تشويقًا لك).

يمكنك التدرب على حل الأمثلة ومعرفة مستواك. الاختبار مع التحقق الفوري. التعلم - باهتمام!)

يمكنك التعرف على الوظائف والمشتقات.

أبسط المعادلات المثلثية هي المعادلات

Cos (x) = a، sin (x) = a، tg (x) = a، ctg (x) = a

المعادلة cos (x) = a

الشرح والمبررات

1. جذور المعادلة cosx = a. متى | أ | > 1 المعادلة ليس لها جذور لأن | كوسكس |< 1 для любого x (прямая y = а при а >1 أو في أ< -1 не пересекает график функцииy = cosx).

دع | أ |< 1. Тогда прямая у = а пересекает график функции

y = cos x. في الفترة الزمنية ، تقل الدالة y = cos x من 1 إلى -1. لكن الدالة المتناقصة تأخذ كل من قيمها عند نقطة واحدة فقط من مجال تعريفها ، وبالتالي فإن المعادلة cos x \ u003d a لها جذر واحد فقط في هذه الفترة الزمنية ، والتي ، حسب تعريف قوس جيب التمام ، هي: x 1 \ u003d arccos a (ولهذا الجذر cos x \ u003d a).

جيب التمام هو دالة زوجية ، لذلك في الفترة [-p؛ 0] المعادلة cos x = ولها أيضًا جذر واحد فقط - وهو الرقم المقابل لـ x 1 ، أي

× 2 = -اركوس أ.

وهكذا ، على الفاصل الزمني [-n ؛ n] (الطول 2n) المعادلة cos x = a لـ | أ |< 1 имеет только корни x = ±arccos а.

الدالة y = cos x دورية بفترة 2n ، لذلك تختلف كل الجذور الأخرى عن تلك الموجودة في 2np (n € Z). نحصل على الصيغة التالية لجذور المعادلة cos x = a عندما

x = ± arccos a + 2n ، n £ Z.

1. حالات خاصة لحل المعادلة cosx = a.

من المفيد تذكر الترميز الخاص لجذور المعادلة cos x = a عندما

أ \ u003d 0 ، أ \ u003d -1 ، أ \ u003d 1 ، والتي يمكن الحصول عليها بسهولة باستخدام دائرة الوحدة كدليل.

نظرًا لأن جيب التمام يساوي إحداثيات النقطة المقابلة في دائرة الوحدة ، نحصل على cos x = 0 إذا وفقط إذا كانت النقطة المقابلة في دائرة الوحدة هي النقطة A أو النقطة B.

وبالمثل ، cos x = 1 إذا وفقط إذا كانت النقطة المقابلة لدائرة الوحدة هي النقطة C ، لذلك ،

x = 2πp ، k € Z.

أيضًا cos x \ u003d -1 إذا وفقط إذا كانت النقطة المقابلة لدائرة الوحدة هي النقطة D ، وبالتالي x \ u003d n + 2n ،

المعادلة sin (x) = a

الشرح والمبررات

1. جذور المعادلة sinx = a. متى | أ | > 1 المعادلة ليس لها جذور لأن | sinx |< 1 для любого x (прямая y = а на рисунке при а >1 أو في أ< -1 не пересекает график функции y = sinx).

الطرق الرئيسية لحل المعادلات المثلثية هي: اختزال المعادلات إلى أبسطها (باستخدام الصيغ المثلثية) ، وإدخال متغيرات جديدة ، والعوملة. دعونا نفكر في تطبيقهم مع الأمثلة. انتبه إلى تسجيل حل المعادلات المثلثية.

الشرط الضروري لحل المعادلات المثلثية هو معرفة الصيغ المثلثية (الموضوع 13 من العمل 6).

أمثلة.

1. معادلات الاختزال إلى أبسط.

1) حل المعادلة

المحلول:

إجابه:

2) أوجد جذور المعادلة

(sinx + cosx) 2 = 1 - sinxcosx ينتمي إلى المقطع.

المحلول:

إجابه:

2. معادلات الاختزال إلى المعادلات التربيعية.

1) حل المعادلة 2 sin 2 x - cosx -1 = 0.

المحلول:باستخدام الصيغة sin 2 x \ u003d 1 - cos 2 x ، نحصل عليها

إجابه:

2) حل المعادلة cos 2x = 1 + 4 cosx.

المحلول:باستخدام الصيغة cos 2x = 2 cos 2 x - 1 نحصل عليها

إجابه:

3) حل المعادلة tgx - 2ctgx + 1 = 0

المحلول:

إجابه:

3. معادلات متجانسة

1) حل المعادلة 2sinx - 3cosx = 0

الحل: لنفترض أن cosx = 0 ، ثم 2sinx = 0 و sinx = 0 - وهو تناقض مع حقيقة أن sin 2 x + cos 2 x = 1. إذن cosx ≠ 0 ويمكنك قسمة المعادلة على cosx. احصل على

إجابه:

2) حل المعادلة 1 + 7 cos 2 x = 3 sin 2x

المحلول:

باستخدام الصيغ 1 = sin 2 x + cos 2 x و sin 2x = 2 sinxcosx ، نحصل على

sin2x + cos2x + 7cos2x = 6xinxcosx
sin2x - 6inxcosx + 8cos2x = 0

لنفترض أن cosx = 0 ، ثم sin 2 x = 0 و sinx = 0 - وهو تناقض مع حقيقة أن sin 2 x + cos 2 x = 1.
إذن ، cosx ≠ 0 ويمكننا قسمة المعادلة على cos 2 x . احصل على

tg 2x - 6 tgx + 8 = 0
دلالة tgx = y
ص 2-6 ص + 8 ​​= 0
ص 1 = 4 ؛ y2 = 2
أ) tanx = 4 ، x = arctg4 + 2 ك, ك
ب) tgx = 2 ، x = arctg2 + 2 ك, ك .

إجابه: arctg4 + 2 ك، arctan2 + 2 ك ، ك

4. معادلات النموذج أ sinx + بكوسكس = مع مع≠ 0.

1) حل المعادلة.

المحلول:

إجابه:

5. حل المعادلات عن طريق التحليل إلى عوامل.

1) حل المعادلة sin2x - sinx = 0.

جذر المعادلة F (X) = φ ( X) يمكن أن يكون بمثابة الرقم 0 فقط. دعنا نتحقق من هذا:

cos 0 = 0 + 1 - المساواة صحيحة.

الرقم 0 هو الجذر الوحيد لهذه المعادلة.

إجابه: 0.

المعادلات المثلثية .

أبسط المعادلات المثلثية .

طرق حل المعادلات المثلثية.

المعادلات المثلثية. معادلة تحتوي على مجهول تحت تسمى علامة الدالة المثلثية حساب المثاثات.

أبسط المعادلات المثلثية.

طرق حل المعادلات المثلثية. يتكون حل المعادلة المثلثية من مرحلتين: تحويل المعادلةلتبسيط الأمراكتب (انظر أعلاه) و المحلولالحصول عليها أبسط المعادلة المثلثية.هناك سبعة الطرق الأساسية لحل المعادلات المثلثية.

1. الطريقة الجبرية. هذه الطريقة معروفة لنا من الجبر

(طريقة الاستبدال والاستبدال المتغير).

2. التخصيم. لنلقِ نظرة على هذه الطريقة بأمثلة.

مثال 1. حل المعادلة:الخطيئة x+ كوس x = 1 .

الحل. انقل كل شروط المعادلة إلى اليسار:

الخطيئة x+ كوس x – 1 = 0 ,

دعونا نحول ونعالج التعبير في

الجانب الأيسر من المعادلة:

مثال 2. حل المعادلة:كوس 2 x+ خطيئة xكوس x = 1.

كوس الحل 2 x+ خطيئة xكوس x– الخطيئة 2 x- كوس 2 x = 0 ,

الخطيئة xكوس x– الخطيئة 2 x = 0 ,

الخطيئة x(كوس x– الخطيئة x ) = 0 ,

مثال 3. حل المعادلة:كوس 2 x- كوس 8 x+ جا 6 x = 1.

كوس الحل 2 x+ جا 6 x= 1 + cos8 x,

2 كوس 4 xكوس 2 x= 2 كوس² 4 x ,

كوس 4 x · (كوس 2 x- كوس 4 x) = 0 ,

كوس 4 x 2 الخطيئة 3 xالخطيئة x = 0 ,

واحد). كوس 4 x= 0 ، 2). الخطيئة 3 x= 0 ، 3). الخطيئة x = 0 ,

3.

صب ل معادلة موحدة. المعادلة اتصل متجانس من نسبياً الخطيئةو كوس , إذا كله شروط من نفس الدرجة فيما يتعلق الخطيئةو كوسنفس الزاوية. لحل معادلة متجانسة ، أنت بحاجة إلى: أ) تحريك جميع أعضائها إلى الجانب الأيسر ؛ ب) ضع جميع العوامل المشتركة من الأقواس ؛ في) تساوي جميع العوامل والأقواس إلى الصفر ؛ جي) تعيين الأقواس على صفر يعطي معادلة متجانسة من الدرجة الأقل ، والتي ينبغي تقسيمها على كوس(أو الخطيئة) في الدرجة العليا ؛ د) حل المعادلة الجبرية الناتجة فيما يتعلقتان . مثال حل المعادلة: 3الخطيئة 2 x+ 4 خطيئة xكوس x+ 5 كوس 2 x = 2. الحل: 3sin 2 x+ 4 خطيئة xكوس x+ 5 cos 2 x= 2 خطيئة 2 x+ 2 كوس 2 x , الخطيئة 2 x+ 4 خطيئة xكوس x+ 3 cos 2 x = 0 , تان 2 x+ 4تان x + 3 = 0 , من هنا ذ 2 + 4ذ +3 = 0 , جذور هذه المعادلة هي:ذ 1 = - 1, ذ 2 = - 3 ، بالتالي 1) تان x= –1 ، 2) تان x = –3,

4. الانتقال إلى نصف الزاوية. لنلقِ نظرة على هذه الطريقة بمثال:

مثال حل المعادلة: 3الخطيئة x- 5cos x = 7.

الحل: 6 خطيئة ( x/ 2) كوس ( x/ 2) - 5 كوس² ( x/ 2) + 5 خطيئة² ( x/ 2) =

7 خطيئة² ( x/ 2) + 7 كوس² ( x/ 2) ,

2 خطيئة² ( x/ 2) - 6 خطيئة ( x/ 2) كوس ( x/ 2) + 12 كوس² ( x/ 2) = 0 ,

تان² ( x/ 2) - 3 تان ( x/ 2) + 6 = 0 ,

. . . . . . . . . .

5. مقدمة من زاوية مساعدة. ضع في اعتبارك معادلة النموذج:

أالخطيئة x + بكوس x = ج ,

أين أ, ب, ج- معاملاتx- مجهول.

الآن معاملات المعادلة لها خصائص الجيب وجيب التمام ، يسمى: وحدة (القيمة المطلقة) لكل منهما