رقم مربع لوغاريتم عشري 7. المعادلات ، المربع بالنسبة إلى اللوغاريتم ، وغيرها من الحيل غير القياسية

الخصائص الرئيسية للوغاريتم ، الرسم البياني للوغاريتم ، مجال التعريف ، مجموعة القيم ، الصيغ الأساسية ، الزيادة والنقصان. يعتبر إيجاد مشتق اللوغاريتم. وكذلك التوسيع المتكامل في سلسلة الطاقةوالتمثيل عن طريق الأعداد المركبة.

تعريف اللوغاريتم

اللوغاريتم ذو القاعدة أهي وظيفة y (س) = سجل س، معكوسًا للدالة الأسية ذات القاعدة a: x (ص) = أ ذ.

اللوغاريتم العشريهو لوغاريتم قاعدة الرقم 10 : سجل س ≡ سجل 10 س.

اللوغاريتم الطبيعيهل لوغاريتم أساس البريد: ln س ≡ سجل ه س.

2,718281828459045... ;
.

يتم الحصول على الرسم البياني للوغاريتم من الرسم البياني للدالة الأسية انعكاس المرآةبالنسبة إلى الخط المستقيم y = x. على اليسار توجد رسوم بيانية للدالة y (س) = سجل سلأربع قيم قواعد اللوغاريتم: أ = 2 ، أ = 8 ، أ = 1/2 و أ = 1/8 . يوضح الرسم البياني ذلك لـ> 1 اللوغاريتم يتزايد بشكل رتيب. مع زيادة x ، يتباطأ النمو بشكل ملحوظ. في 0 < a < 1 اللوغاريتم يتناقص بشكل رتيب.

خصائص اللوغاريتم

المجال ، مجموعة من القيم ، تصاعدي ، تنازلي

اللوغاريتم هو دالة رتيبة ، لذلك ليس له حدود قصوى. الخصائص الأساسيةيتم عرض اللوغاريتمات في الجدول.

اِختِصاص	0 < x < + ∞	0 < x < + ∞
مدى من القيم	- ∞ < y < + ∞	- ∞ < y < + ∞
روتيني	يزيد بشكل رتيب	ينخفض ​​بشكل رتيب
الأصفار ، ص = 0	س = 1	س = 1
نقاط التقاطع مع المحور y ، x = 0	رقم	رقم
	+ ∞	- ∞
	- ∞	+ ∞

القيم الخاصة

يسمى اللوغاريتم الأساسي 10 اللوغاريتم العشريويتم وضع علامة على هذا النحو:

اللوغاريتم الأساسي هاتصل اللوغاريتم الطبيعي:

صيغ اللوغاريتم الأساسية

خصائص اللوغاريتم التالية من تعريف الدالة العكسية:

الخاصية الرئيسية للوغاريتمات وعواقبها

صيغة الاستبدال الأساسية

لوغاريتم- هذا هو عملية حسابيةأخذ اللوغاريتم. عند أخذ اللوغاريتم ، يتم تحويل منتجات العوامل إلى مبالغ من المصطلحات.

التقويةهي العملية الحسابية معكوسة للوغاريتم. عند التقوية ، يتم رفع القاعدة المعينة إلى قوة التعبير الذي يتم تنفيذ التقوية عليه. في هذه الحالة ، يتم تحويل مبالغ المصطلحات إلى منتجات لعوامل.

دليل على الصيغ الأساسية للوغاريتمات

الصيغ المتعلقة باللوغاريتمات تتبع من الصيغ للدوال الأسية ومن تعريف الدالة العكسية.

ضع في اعتبارك خاصية الدالة الأسية
.
ثم
.
طبق خاصية الدالة الأسية
:
.

دعونا نثبت معادلة التغيير الأساسي.
;
.
ضبط c = b ، لدينا:

وظيفة عكسية

مقلوب القاعدة اللوغاريتم هو دالة أسيةمع الأس أ.

اذا ثم

اذا ثم

مشتق من اللوغاريتم

مشتق من اللوغاريتم modulo x:
.
مشتق من الترتيب التاسع:
.
اشتقاق الصيغ>>>

لإيجاد مشتق اللوغاريتم ، يجب اختزاله إلى الأساس ه.
;
.

متكامل

يتم حساب تكامل اللوغاريتم عن طريق التكامل بالأجزاء:.
لذا،

التعبيرات من حيث الأعداد المركبة

ضع في اعتبارك دالة العدد المركب ض:
.
يعبر عدد مركب ضعبر الوحدة صوالحجة φ :
.
ثم ، باستخدام خصائص اللوغاريتم ، لدينا:
.
أو

ومع ذلك ، فإن الحجة φ غير محدد بشكل واضح. إذا وضعنا
، حيث n هي عدد صحيح ،
ثم سيكون نفس الرقم لمختلف ن.

لذلك ، فإن اللوغاريتم ، كدالة لمتغير معقد ، ليس دالة ذات قيمة واحدة.

توسيع سلسلة الطاقة

ل ، يتم التوسع:

مراجع:
في. برونشتاين ، ك. Semendyaev ، كتيب الرياضيات للمهندسين وطلاب مؤسسات التعليم العالي ، لان ، 2009.

تعليمات

اكتب المعطى تعبير لوغاريتمي. إذا كان التعبير يستخدم لوغاريتم 10 ، فسيتم اختصار ترميزه ويبدو كالتالي: lg b is اللوغاريتم العشري. إذا كان اللوغاريتم يحتوي على الرقم e كأساس ، فسيتم كتابة التعبير: ln b - اللوغاريتم الطبيعي. من المفهوم أن نتيجة أي هي القوة التي يجب رفع الرقم الأساسي إليها للحصول على الرقم ب.

عند إيجاد مجموع وظيفتين ، تحتاج فقط إلى التفريق بينهما واحدة تلو الأخرى ، وإضافة النتائج: (u + v) "= u" + v "؛

عند إيجاد مشتق ناتج وظيفتين ، من الضروري ضرب مشتق الوظيفة الأولى في الثانية وإضافة مشتق الوظيفة الثانية ، مضروبًا في الوظيفة الأولى: (u * v) "= u" * v + v "* u ؛

من أجل إيجاد مشتق حاصل قسمة وظيفتين ، من الضروري ، من حاصل ضرب مشتق المقسوم مضروبًا في دالة المقسوم عليه ، طرح منتج مشتق المقسوم عليه مضروبًا في دالة المقسوم عليه ، ثم قسمة كل هذا من خلال تربيع دالة المقسوم عليه. (u / v) "= (u" * v-v "* u) / v ^ 2 ؛

إذا أعطيت وظيفة معقدة، إذن من الضروري ضرب مشتق الوظيفة الداخلية ومشتق الدالة الخارجية. دع y = u (v (x)) ، ثم y "(x) = y" (u) * v "(x).

باستخدام ما تم الحصول عليه أعلاه ، يمكنك التفريق بين أي وظيفة تقريبًا. لذلك دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة:

ص = س ^ 4 ، ص "= 4 * س ^ (4-1) = 4 * س ^ 3 ؛

y = 2 * x ^ 3 * (e ^ x-x ^ 2 + 6)، y "= 2 * (3 * x ^ 2 * (e ^ x-x ^ 2 + 6) + x ^ 3 * (e ^ x-2 * خ)) ؛
هناك أيضًا مهام لحساب المشتق عند نقطة ما. دع الدالة y = e ^ (x ^ 2 + 6x + 5) معطاة ، تحتاج إلى إيجاد قيمة الوظيفة عند النقطة x = 1.
1) أوجد مشتق الوظيفة: y "= e ^ (x ^ 2-6x + 5) * (2 * x +6).

2) احسب قيمة الوظيفة في نقطة معينةص "(1) = 8 * ه ^ 0 = 8

فيديوهات ذات علاقة

نصيحة مفيدة

تعلم جدول المشتقات الأولية. سيوفر هذا الكثير من الوقت.

مصادر:

• مشتق ثابت

إذن ، ما هو الفرق بين معادلة عقلانيةمن عقلاني؟ إذا كان المتغير المجهول تحت علامة الجذر التربيعي ، فإن المعادلة تعتبر غير منطقية.

تعليمات

الطريقة الرئيسية لحل هذه المعادلات هي طريقة رفع كلا الجانبين المعادلاتفي مربع. لكن. هذا طبيعي ، الخطوة الأولى هي التخلص من اللافتة. من الناحية الفنية ، هذه الطريقة ليست صعبة ، لكنها في بعض الأحيان يمكن أن تؤدي إلى مشاكل. على سبيل المثال ، المعادلة v (2x-5) = v (4x-7). من خلال تربيع كلا الجانبين ، تحصل على 2x-5 = 4x-7. مثل هذه المعادلة ليس من الصعب حلها ؛ س = 1. لكن لن يتم إعطاء الرقم 1 المعادلات. لماذا ا؟ عوّض بالوحدة في المعادلة بدلاً من قيمة x ، وسيحتوي الجانبان الأيمن والأيسر على تعابير لا معنى لها ، أي. هذه القيمة غير صالحة لجذر تربيعي. لذلك 1 هو جذر دخيل ، وبالتالي معادلة معينةليس له جذور.

لذا، معادلة غير منطقيةيتم حلها باستخدام طريقة تربيع كلا أجزائها. وبعد حل المعادلة ، من الضروري قطعها جذور دخيلة. للقيام بذلك ، استبدل الجذور الموجودة في المعادلة الأصلية.

فكر في واحدة أخرى.
2x + vx-3 = 0
بالطبع ، يمكن حل هذه المعادلة باستخدام نفس المعادلة السابقة. مركبات النقل المعادلاتالتي ليس لها جذر تربيعي ، الجانب الأيمنثم استخدم طريقة التربيع. حل المعادلة المنطقية والجذور الناتجة. لكن أخرى أكثر أناقة. أدخل متغيرًا جديدًا ؛ ع = ذ. وفقًا لذلك ، ستحصل على معادلة مثل 2y2 + y-3 = 0. هذا هو المعتاد معادلة من الدرجة الثانية. ابحث عن جذوره ؛ y1 = 1 و y2 = -3 / 2. بعد ذلك ، حل اثنين المعادلاتع = 1 ؛ vx \ u003d -3 / 2. المعادلة الثانية ليس لها جذور ، من الأولى نجد أن x = 1. لا تنسى الحاجة لفحص الجذور.

حل الهويات سهل للغاية. هذا يتطلب القيام به تحولات متطابقةحتى يتم الوصول إلى الهدف. وهكذا ، بمساعدة بسيطة عمليات حسابيةسيتم حل المهمة.

سوف تحتاج

• - ورق؛
• - قلم.

تعليمات

أبسط هذه التحويلات هي المضاعفات الجبرية المختصرة (مثل مربع المجموع (الفرق) ، فرق المربعات ، المجموع (الفرق) ، مكعب المجموع (الفرق)). بالإضافة إلى ذلك ، هناك الكثير الصيغ المثلثية، والتي هي في الأساس نفس الهويات.

في الواقع ، مربع مجموع حدين يساوي مربع أول زائد منتج مزدوجمن الأول إلى الثاني بالإضافة إلى مربع الثاني ، أي (أ + ب) ^ 2 = (أ + ب) (أ + ب) = أ ^ 2 + أب + با + ب ^ 2 = أ ^ 2 + 2ab + ب ^ 2.

بسّط كلاهما

المبادئ العامة للحل

كرر الكتاب المدرسي التحليل الرياضيأو رياضيات أعلى، وهو جزء لا يتجزأ. كما تعلم ، الحل لا يتجزأهناك دالة يعطي مشتقها التكامل و. هذه الوظيفةيسمى بدائي. وفقًا لهذا المبدأ ، يتم بناء التكاملات الأساسية.
حدد من خلال شكل التكامل وأي تكاملات الجدول تناسبها هذه القضية. ليس من الممكن دائمًا تحديد ذلك على الفور. في كثير من الأحيان ، يصبح الشكل الجدولي ملحوظًا فقط بعد عدة تحولات لتبسيط التكامل.

طريقة الاستبدال المتغير

إذا كان التكامل هو دالة مثلثية، الذي تكون وسيطته متعددة الحدود ، ثم حاول استخدام طريقة استبدال المتغير. للقيام بذلك ، استبدل كثير الحدود في وسيطة التكامل مع بعض المتغيرات الجديدة. بناءً على النسبة بين المتغير الجديد والقديم ، حدد حدود التكامل الجديدة. من خلال اشتقاق هذا التعبير ، أوجد فرقًا جديدًا في. وهكذا سوف تتلقى النوع الجديدالأول لا يتجزأ أو قريب أو حتى مطابق لأي جدول جدولي.

حل التكاملات من النوع الثاني

إذا كان التكامل جزءًا لا يتجزأ من النوع الثاني ، وهو الشكل المتجه للمتكامل ، فستحتاج إلى استخدام القواعد للانتقال من هذه التكاملات إلى التكاملات العددية. إحدى هذه القواعد هي نسبة Ostrogradsky-Gauss. هذا القانونيسمح لك بالانتقال من تدفق الدوار إلى البعض وظيفة ناقلاتإلى التكامل الثلاثي على تباعد حقل المتجه المحدد.

استبدال حدود التكامل

بعد إيجاد المشتق العكسي ، من الضروري استبدال حدود التكامل. أدخل القيمة أولاً الحد الأعلىفي التعبير عن المشتق العكسي. سوف تتلقى بعض الرقم. بعد ذلك ، اطرح من الرقم الناتج رقمًا آخر ، الحد الأدنى الناتج إلى المشتق العكسي. إذا كان أحد حدود التكامل هو اللانهاية ، فاستبدل به دالة عكسيةمن الضروري الذهاب إلى الحد والعثور على ما يميل التعبير إليه.
إذا كان التكامل ثنائي الأبعاد أو ثلاثي الأبعاد ، فسيتعين عليك تمثيل الحدود الهندسية للتكامل من أجل فهم كيفية حساب التكامل. في الواقع ، في حالة التكامل ثلاثي الأبعاد ، على سبيل المثال ، يمكن أن تكون حدود التكامل مستويات كاملة تحدد الحجم المراد تكامله.

سجل a r b r = log a bأو تسجيل ب= سجل أ ص ب ص

لا تتغير قيمة اللوغاريتم إذا تم رفع أساس اللوغاريتم والرقم الموجود أسفل علامة اللوغاريتم إلى نفس الأس.

تحت علامة اللوغاريتم لا يمكن إلا أن يكون أرقام موجبة، وأساس اللوغاريتم لا يساوي واحدًا.

أمثلة.

1) قارن log 3 9 و log 9 81.

سجل 3 9 = 2 لأن 3 2 = 9 ؛

سجل 9 81 = 2 لأن 9 2 = 81.

إذن ، سجل 3 9 = سجل 9 81.

لاحظ أن أساس اللوغاريتم الثاني يساوي مربع قاعدة اللوغاريتم الأول: 9 = 3 2 ، والرقم الموجود أسفل علامة اللوغاريتم الثاني يساوي مربع الرقم الموجود أسفل علامة الأول اللوغاريتم: 81 = 9 2. اتضح أن كلاً من الرقم والأساس للوغاريتم الأول log 3 9 قد تم رفعهما إلى الأس الثاني ، ولم تتغير قيمة اللوغاريتم من هذا:

علاوة على ذلك ، منذ استخراج الجذر نالدرجة من بين أهو بناء رقم أإلى درجة ( 1 / ن) ، ثم يمكن الحصول على log 3 9 من log 9 81 بأخذ الجذر التربيعي للرقم وأساس اللوغاريتم:

2) تحقق من المساواة: سجل 4 25 = سجل 0.5 0.2.

تأمل أول لوغاريتم. استخراج الجذر التربيعيمن القاعدة 4 ومن بين 25 ؛ نحصل على: سجل 4 25 = سجل 2 5.

تأمل اللوغاريتم الثاني. قاعدة اللوغاريتم: 0.5 = 1/2. الرقم الموجود أسفل علامة هذا اللوغاريتم: 0.2 = 1/5. دعنا نرفع كل من هذه الأرقام إلى القوة الأولى:

0,5 -1 =(1 / 2) -1 =2;

0,2 -1 =(1 / 5) -1 =5.

إذن ، سجل 0.5 0.2 = سجل 2 5. الخلاصة: هذه المساواة صحيحة.

حل المعادلة:

سجل 4 × 4 + سجل 16 81 = سجل 2 (5 س + 2).نحضر اللوغاريتمات من اليسار إلى القاعدة 2 .

سجل 2 × 2 + سجل 2 3 = سجل 2 (5 س + 2). أخذنا الجذر التربيعي للعدد ومن أساس اللوغاريتم الأول. أخذنا الجذر الرابع للعدد وأساس اللوغاريتم الثاني.

تسجيل 2 (3x 2) = تسجيل 2 (5x + 2). حول مجموع اللوغاريتمات إلى لوغاريتم المنتج.

3 × 2 = 5 س + 2. وردت بعد التقوية.

3x2-5x-2 = 0. نحل المعادلة التربيعية بواسطة الصيغة العامةللمعادلة التربيعية الكاملة:

أ = 3 ، ب = -5 ، ج = -2.

د = ب 2 -4 أ = (- 5) 2 -4 ∙ 3 (-2) = 25 + 24 = 49 = 7 2> 0 ؛ 2 جذور حقيقية.

فحص.

س = 2.

سجل 4 2 4 + سجل 16 81 = سجل 2 (5 2 + 2) ؛

سجل 2 2 2 + سجل 2 3 = سجل 2 12 ؛

سجل 2 (4 ∙ 3) = سجل 2 12 ؛

سجل 2 12 = سجل 2 12 ؛

تسجيل أ ن ب=(1/ ن)∙ تسجيل ب

لوغاريتم رقم ببسبب أ يساوي المنتجكسور 1/ نإلى لوغاريتم عدد ببسبب أ.

تجد:1) 21log 8 3 + 40log 25 2 ؛ 2) 30log 32 3 ∙ سجل 125 2 إذا كان معروفا أن سجل 2 3 = ب,سجل 5 2 = ج.

المحلول.

حل المعادلات:

1) سجل 2 س + سجل 4 س + سجل 16 س = 5.25.

المحلول.

نأتي بهذه اللوغاريتمات إلى الأساس 2. طبق الصيغة: تسجيل أ ن ب=(1/ ن)∙ تسجيل ب

سجل 2 س + (½) سجل 2 س + (¼) سجل 2 س = 5.25 ؛

log2x + 0.5log2x + 0.25log2x = 5.25. فيما يلي مصطلحات متشابهة:

(1 + 0.5 + 0.25) سجل 2 × = 5.25 ؛

1.75 سجل 2 × = 5.25 |: 1.75

سجل 2x = 3. حسب تعريف اللوغاريتم:

2) 0.5log 4 (x-2) + السجل 16 (x-3) = 0.25.

المحلول. خذ اللوغاريتم الأساسي 16 للأساس 4.

0.5log 4 (x-2) + 0.5log 4 (x-3) = 0.25 |: 0.5

log4 (x-2) + log4 (x-3) = 0.5. حول مجموع اللوغاريتمات إلى لوغاريتم المنتج.

سجل 4 ((x-2) (x-3)) = 0.5 ؛

سجل 4 (س 2 -2 س -3 س + 6) = 0.5 ؛

سجل 4 (× 2-5 س + 6) = 0.5. حسب تعريف اللوغاريتم:

× 2-5 س + 4 = 0. وفقًا لنظرية فييتا:

× 1 = 1 ؛ س 2 = 4. لن تعمل القيمة الأولى لـ x ، لأنه بالنسبة لـ x \ u003d 1 ، لا توجد لوغاريتمات هذه المساواة ، لأن فقط الأرقام الموجبة يمكن أن تكون تحت علامة اللوغاريتم.

دعنا نتحقق من هذه المعادلة لـ x = 4.

فحص.

0.5log 4 (4-2) + السجل 16 (4-3) = 0.25

0.5 لوغ 4 2 + سجل 16 1 = 0.25

0,5∙0,5+0=0,25

سجل أ ب = سجل ج ب / سجل ج أ

لوغاريتم رقم ببسبب أ يساوي اللوغاريتمأعداد بعلى أساس جديد معمقسومًا على لوغاريتم القاعدة القديمة أعلى أساس جديد مع.

أمثلة:

1) تسجيل 2 3 = log3 / log2 ؛

2) تسجيل 8 7 = ln7 / ln8.

احسب:

1) سجل 5 7إذا كان معروفا أن إل جي 7≈0,8451; ال جي 5≈0,6990.

جب / سجل جأ.

السجل 5 7 = log7 / log50.8451: 0.6990≈1.2090.

إجابه: سجل 5 7≈1,209 0≈1,209 .

2) تسجيل الدخول 5 7 إذا كان معروفا أن ln7≈1,9459; ln5≈1,6094.

المحلول. طبق الصيغة: سجل أ ب = سجل جب / سجل جأ.

السجل 5 7 = ln7 / ln5≈1.9459: 1.6094≈1.2091.

إجابه: سجل 5 7≈1,209 1≈1,209 .

البحث عن x:

1) سجل 3 x = سجل 3 4 + سجل 5 6 / سجل 5 3 + سجل 7 8 / سجل 7 3.

نستخدم الصيغة: السجل جب / سجل جأ = تسجيل ب . نحن نحصل:

سجل 3 س = سجل 3 4 + سجل 3 6 + سجل 3 8 ؛

سجل 3 س = سجل 3 (4 6 8) ؛

سجل 3 س = سجل 312 ؛

س = 192.

2) سجل 7 x = lg143-log 6 11 / log 6 10-log 5 13 / سجل 5 10.

نستخدم الصيغة: السجل جب / سجل جأ = تسجيل ب. نحن نحصل:

سجل 7 x = lg143-lg11-lg13 ؛

سجل 7 x = lg143- (lg11 + lg13) ؛

سجل 7 س = سجل 143-سجل (11 13) ؛

سجل 7 س = lg143-lg143 ؛

س = 1.

الصفحة 1 من 1 1

ما هو اللوغاريتم؟

انتباه!
هناك المزيد
المادة في القسم الخاص 555.
بالنسبة لأولئك الذين بقوة "ليس جدا ..."
ولأولئك الذين "كثيرًا ...")

ما هو اللوغاريتم؟ كيف تحل اللوغاريتمات؟ هذه الأسئلة تحير الكثير من الخريجين. تقليديا ، يعتبر موضوع اللوغاريتمات معقدًا وغير مفهوم ومخيف. خاصة - المعادلات مع اللوغاريتمات.

هذا ليس صحيحا على الاطلاق. قطعاً! لا تصدق؟ جيد. الآن ، لمدة تتراوح من 10 إلى 20 دقيقة ، أنت:

1. فهم ما هو اللوغاريتم.

2. تعلم حل فئة كاملة المعادلات الأسية. حتى لو لم تسمع بهم.

3. تعلم كيفية حساب اللوغاريتمات البسيطة.

علاوة على ذلك ، لهذا ستحتاج فقط إلى معرفة جدول الضرب ، وكيف يتم رفع الرقم إلى أس ...

أشعر أنك تشك ... حسنًا ، حافظ على الوقت! يذهب!

أولاً ، حل المعادلة التالية في ذهنك:

إذا أعجبك هذا الموقع ...

بالمناسبة ، لديّ موقعان أكثر تشويقًا لك).

يمكنك التدرب على حل الأمثلة ومعرفة مستواك. الاختبار مع التحقق الفوري. التعلم - باهتمام!)

يمكنك التعرف على الوظائف والمشتقات.

يتعثر العديد من الطلاب في معادلات من هذا النوع. في الوقت نفسه ، فإن المهام نفسها ليست معقدة بأي حال من الأحوال - يكفي فقط إجراء استبدال متغير كفء ، والذي يجب أن تتعلم من أجله كيفية عزل التعبيرات المستقرة.

بالإضافة إلى هذا الدرس ، ستجد عملاً مستقلاً ضخمًا نوعًا ما ، يتكون من خيارين مع 6 مهام لكل منهما.

طريقة التجميع

سنقوم اليوم بتحليل معادلتين لوغاريتميتين ، إحداهما لا يمكن حلها "بالكامل" وتتطلب تحولات خاصة ، والثانية ... ومع ذلك ، لن أخبر كل شيء مرة واحدة. شاهد الفيديو ، وقم بتنزيل العمل المستقل - وتعلم كيفية حل المشكلات المعقدة.

لذلك ، يتم تجميع العوامل المشتركة وإخراجها من القوس. بالإضافة إلى ذلك ، سأخبرك ما هي المخاطر التي ينطوي عليها مجال تعريف اللوغاريتمات ، وكيف يمكن للملاحظات الصغيرة في مجال التعريفات أن تغير الجذور والحل بأكمله بشكل كبير.

لنبدأ بالتجميع. نحن بحاجة إلى حل المعادلة اللوغاريتمية التالية:

تسجيل 2 × تسجيل 2 (س - 3) + 1 = تسجيل 2 (× 2 - 3 س)

بادئ ذي بدء ، نلاحظ أنه يمكن تحليل x 2-3x:

تسجيل 2 × (× - 3)

ثم نتذكر الصيغة الرائعة:

سجل a fg = سجل a f + سجل a g

مجرد ملاحظة سريعة: صيغة معينةيعمل بشكل رائع عندما تكون a و f و g أعدادًا منتظمة. ولكن عندما توجد وظائف بدلاً منها ، تتوقف هذه التعبيرات عن أن تكون متساوية في الحقوق. تخيل هذا الموقف الافتراضي:

F< 0; g < 0

في هذه الحالة ، سيكون المنتج fg موجبًا ، وبالتالي ، فإن log a (fg) سيكون موجودًا ، لكن log a f و log a g لن يكونا موجودين بشكل منفصل ، ولا يمكننا إجراء مثل هذا التحويل.

تجاهل هذه الحقيقةسيؤدي إلى تضييق مجال التعريف ، ونتيجة لذلك ، إلى فقدان الجذور. لذلك ، قبل إجراء مثل هذا التحويل ، من الضروري التأكد مسبقًا من أن الدالتين f و g موجبتان.

في حالتنا ، كل شيء بسيط. نظرًا لوجود دالة log 2 x في المعادلة الأصلية ، فإن x> 0 (بعد كل شيء ، المتغير x موجود في الوسيطة). يوجد أيضًا log 2 (x - 3) ، لذا x - 3> 0.

لذلك ، في دالة log 2 x (x - 3) ، سيكون كل عامل فوق الصفر. لذلك ، يمكننا تحليل المنتج بأمان إلى المجموع:

تسجيل 2 × تسجيل 2 (س - 3) + 1 = تسجيل 2 × + تسجيل 2 (س - 3)

السجل 2 × السجل 2 (س - 3) + 1 - السجل 2 × - السجل 2 (س - 3) = 0

للوهلة الأولى ، قد يبدو أنه لم يصبح أسهل. على العكس من ذلك: زاد عدد المصطلحات فقط! لفهم كيفية المضي قدمًا ، نقدم متغيرات جديدة:

سجل 2 س = أ

سجل 2 (س - 3) = ب

أ ب + 1 - أ - ب = 0

والآن نجمع الحد الثالث مع الأول:

(أ ب - أ) + (1 - ب) = 0

أ (1 ب - 1) + (1 - ب) = 0

لاحظ أن كلا القوسين الأول والثاني يحتويان على b - 1 (في الحالة الثانية ، سيتعين عليك إخراج "ناقص" من القوس). دعنا نتعامل مع بناءنا:

أ (1 ب - 1) - (ب - 1) = 0

(ب - 1) (أ 1 - 1) = 0

والآن نتذكر قاعدتنا الرائعة: حاصل الضرب يساوي صفرًا عندما يكون أحد العوامل على الأقل يساوي صفرًا:

ب - 1 = 0 ⇒ ب = 1 ؛

أ - 1 = 0 ⇒ أ = 1.

لنتذكر ما هما ب و أ. نحصل على معادلتين لوغاريتميتين بسيطتين حيث كل ما تبقى هو التخلص من علامات السجل ومساواة الحجج:

سجل 2 x = 1 ⇒ السجل 2 x = السجل 2 2 ⇒ x 1 = 2 ؛

تسجيل 2 (س - 3) = 1 ⇒ تسجيل 2 (س - 3) = تسجيل 2 2 ⇒ × 2 = 5

لقد حصلنا على جذرين ، لكن هذا ليس حلاً للمعادلة اللوغاريتمية الأصلية ، ولكن فقط المرشحين للإجابة. الآن دعنا نتحقق من المجال. للوسيطة الأولى:

x> 0

كلا الجذور تلبي الشرط الأول. دعنا ننتقل إلى الوسيطة الثانية:

x - 3> 0 ⇒ x> 3

ولكن هنا بالفعل x = 2 لا ترضينا ، لكن x = 5 يناسبنا جيدًا. إذن ، الجواب الوحيد هو x = 5.

ننتقل إلى المعادلة اللوغاريتمية الثانية. للوهلة الأولى ، الأمر أبسط بكثير. ومع ذلك ، في عملية حلها ، سننظر في النقاط الدقيقة المتعلقة بمجال التعريف ، والجهل الذي يعقد بشكل كبير حياة الطلاب المبتدئين.

تسجيل 0.7 (2-6x + 2) = تسجيل 0.7 (7 - 2x)

أمامنا الشكل الأساسي للمعادلة اللوغاريتمية. لا تحتاج إلى تحويل أي شيء - حتى الأساسيات هي نفسها. لذلك ، نحن ببساطة نساوي الحجج:

س 2-6 س + 2 = 7-2 س

س 2-6 س + 2-7 + 2 س = 0

س 2 - 4 س - 5 = 0

أمامنا المعادلة التربيعية المعطاة ، يمكن حلها بسهولة باستخدام صيغ Vieta:

(س - 5) (س + 1) = 0 ؛

س - 5 = 0 ⇒ س = 5 ؛

س + 1 = 0 س = -1.

لكن هذه الجذور ليست إجابات نهائية حتى الآن. من الضروري إيجاد مجال التعريف ، حيث يوجد لوغاريتمان في المعادلة الأصلية ، أي من الضروري للغاية مراعاة مجال التعريف.

لذا ، دعونا نكتب مجال التعريف. من ناحية أخرى ، يجب أن تكون وسيطة اللوغاريتم الأول أكبر من الصفر:

× 2-6 س + 2> 0

من ناحية أخرى ، يجب أن تكون الوسيطة الثانية أيضًا أكبر من الصفر:

7 - 2x> 0

يجب تلبية هذه المتطلبات في نفس الوقت. وهنا يبدأ الشيء الأكثر إثارة للاهتمام. بالطبع ، يمكننا حل كل من هذه المتباينات ، ثم نقطعها ونوجد مجال المعادلة بأكملها. لكن لماذا تجعل الحياة صعبة للغاية على نفسك؟

دعونا نلاحظ دقة واحدة. للتخلص من علامات السجل ، فإننا نساوي الحجج. هذا يعني أن المتطلبات x 2-6x + 2> 0 و7-2x> 0 متكافئة. نتيجة لذلك ، يمكن شطب أي من المتباينتين. دعنا نشطب الأصعب ، ونترك المتباينة الخطية المعتادة لأنفسنا:

-2x> -7

x< 3,5

منذ أن قسمنا كلا الجزأين إلى رقم سالب، لقد تغيرت علامة عدم المساواة.

لذلك وجدنا ODZ بدون أي مربع عدم المساواةوالمميزات والتقاطعات. الآن يبقى فقط اختيار الجذور التي تقع على هذه الفترة. من الواضح أن x = −1 فقط هو الذي يناسبنا ، لأن x = 5> 3.5.

يمكنك كتابة الإجابة: x = 1 هو الحل الوحيد للمعادلة اللوغاريتمية الأصلية.

الاستنتاجات من هذه المعادلة اللوغاريتمية هي كما يلي:

1. لا تخف من تحليل اللوغاريتمات إلى عوامل ، ثم تحليل مجموع اللوغاريتمات. ومع ذلك ، تذكر أنه من خلال تقسيم المنتج إلى مجموع لوغاريتمين ، فإنك بذلك تضيق مجال التعريف. لذلك ، قبل إجراء مثل هذا التحويل ، تأكد من التحقق من متطلبات النطاق. في أغلب الأحيان ، لا تظهر أي مشاكل ، ولكن لا يضر تشغيلها بأمان مرة أخرى.
2. التخلص من شكل قانونيحاول تحسين العمليات الحسابية. على وجه الخصوص ، إذا كنا مطالبين بأن تكون f> 0 و g> 0 ، ولكن في المعادلة نفسها f = g ، فسنقوم بجرأة بشطب إحدى المتباينات ، تاركين أبسطها لأنفسنا. في هذه الحالة ، لن يتأثر مجال التعريف والإجابات بأي شكل من الأشكال ، ولكن سيتم تقليل حجم الحسابات بشكل كبير.

هذا ، في الواقع ، هو كل ما أردت أن أخبره عن التجميع. :)

أخطاء نموذجية في الحل

سنقوم اليوم بتحليل معادلتين لوغاريتميتين نموذجيتين يعثر عليهما العديد من الطلاب. في مثال هذه المعادلات ، سنرى الأخطاء التي تحدث غالبًا في عملية حل التعبيرات الأصلية وتحويلها.

المعادلات الكسرية المنطقية مع اللوغاريتمات

يجب أن نلاحظ على الفور أن هذا نوع من المعادلات ماكرًا إلى حد ما ، حيث لا يوجد دائمًا كسر به لوغاريتم في مكان ما في المقام على الفور. ومع ذلك ، في عملية التحولات ، سينشأ مثل هذا الكسر بالضرورة.

في الوقت نفسه ، كن حذرًا: في عملية التحولات ، يمكن أن يتغير المجال الأولي لتعريف اللوغاريتمات بشكل كبير!

ننتقل إلى معادلات لوغاريتمية أكثر صرامة تحتوي على كسور وقواعد متغيرة. من أجل القيام بالمزيد في درس واحد قصير ، لن أقول النظرية الابتدائية. دعنا ننتقل مباشرة إلى المهام:

4 سجل 25 (س - 1) - سجل 3 27 + 2 سجل س - 1 5 = 1

بالنظر إلى هذه المعادلة ، سوف يسأل أحدهم: "ما علاقة ذلك معادلة كسرية منطقية؟ أين الكسر في هذه المعادلة؟ دعونا لا نتسرع ونلقي نظرة فاحصة على كل مصطلح.

الحد الأول: 4 سجل 25 (س - 1). أساس اللوغاريتم هو رقم ، لكن الوسيطة دالة في المتغير x. لا يمكننا فعل أي شيء حيال هذا حتى الآن. استمر.

المصطلح التالي هو log 3 27. تذكر أن 27 = 3 3. لذلك ، يمكننا إعادة كتابة اللوغاريتم بالكامل على النحو التالي:

سجل 3 27 = 3 3 = 3

إذن ، الحد الثاني هو ثلاثة فقط. المصطلح الثالث: 2 log x - 1 5. ليس كل شيء بسيطًا هنا أيضًا: القاعدة دالة ، الوسيطة عدد عادي. أقترح قلب اللوغاريتم بأكمله وفقًا للصيغة التالية:

سجل أ ب = 1 / سجل ب أ

لا يمكن إجراء مثل هذا التحويل إلا إذا كانت b 1. وإلا فلن يكون اللوغاريتم الذي سيتم الحصول عليه في مقام الكسر الثاني موجودًا. في حالتنا ، ب = 5 ، لذلك كل شيء على ما يرام:

2 سجل x - 1 5 = 2 / سجل 5 (x - 1)

دعنا نعيد كتابة المعادلة الأصلية مع مراعاة التحولات التي تم الحصول عليها:

4 سجل 25 (س - 1) - 3 + 2 / سجل 5 (س - 1) = 1

لدينا log 5 (x - 1) في مقام الكسر ، و log 25 (x - 1) في الحد الأول. لكن 25 \ u003d 5 2 ، لذلك نخرج المربع من قاعدة اللوغاريتم وفقًا للقاعدة:

بمعنى آخر ، يصبح الأس الموجود في قاعدة اللوغاريتم الكسر في المقدمة. وسيتم إعادة كتابة التعبير على النحو التالي:

4 1/2 سجل 5 (س - 1) - 3 + 2 / سجل 5 (س - 1) - 1 = 0

لدينا معادلة طويلة مع مجموعة لوغاريتمات متطابقة. دعنا نقدم متغير جديد:

سجل 5 (x - 1) = t ؛

2 طن - 4 + 2 / ر = 0 ؛

لكن هذه بالفعل معادلة كسرية عقلانية ، يتم حلها عن طريق الجبر للصفوف 8-9. أولاً ، دعنا نقسمها إلى قسمين:

ر - 2 + 1 / ر = 0 ؛

(ر 2 - 2 طن + 1) / ر = 0

المربع الدقيق بين قوسين. دعونا نشمر عن ذلك:

(ر - 1) 2 / ر = 0

الكسر يساوي صفرًا عندما يكون بسطه صفرًا ومقامه غير صفري. لا تنس أبدًا هذه الحقيقة:

(ر - 1) 2 = 0

ر = 1

ر ≠ 0

لنتذكر ما هو t:

سجل 5 (س - 1) = 1

سجل 5 (س - 1) = سجل 5 5

نتخلص من علامات السجل ، ونساوي حججهم ، ونحصل على:

س - 1 = 5 ⇒ س = 6

الجميع. تم حل المشكلة. لكن دعنا نعود إلى المعادلة الأصلية ونتذكر أن هناك لوغاريتمين مع المتغير x مرة واحدة. لذلك ، تحتاج إلى كتابة مجال التعريف. نظرًا لأن x - 1 موجود في وسيطة اللوغاريتم ، يجب أن يكون هذا التعبير أكبر من الصفر:

س - 1> 0

من ناحية أخرى ، نفس x - 1 موجودة أيضًا في القاعدة ، لذلك يجب أن تختلف عن واحد:

س - 1 1

ومن هنا نستنتج:

س> 1 ؛ س ≠ 2

يجب تلبية هذه المتطلبات في نفس الوقت. تفي القيمة x = 6 بكلا المطلبين ، لذا فإن x = 6 قرار نهائيمعادلة لوغاريتمية.

دعنا ننتقل إلى المهمة الثانية:

مرة أخرى ، دعونا لا نتسرع ونلقي نظرة على كل مصطلح:

log 4 (x + 1) - يوجد أربعة في القاعدة. الرقم المعتاد ولا يمكنك لمسه. ولكن في آخر مرةلقد وجدنا مربعًا دقيقًا في القاعدة ، والذي كان لا بد من إزالته من تحت علامة اللوغاريتم. لنفعل الشيء نفسه الآن:

تسجيل 4 (س + 1) = 1/2 سجل 2 (س + 1)

الحيلة هي أن لدينا بالفعل لوغاريتمًا مع المتغير x ، وإن كان في الأساس - إنه معكوس اللوغاريتم الذي وجدناه للتو:

8 تسجيل x + 1 2 = 8 (1 / تسجيل 2 (x + 1)) = 8 / تسجيل 2 (x + 1)

المصطلح التالي هو log 2 8. هذا ثابت ، لأن كلا من السعة والأساس عددان عاديان. لنجد القيمة:

سجل 2 8 = سجل 2 2 3 = 3

يمكننا أن نفعل الشيء نفسه مع اللوغاريتم الأخير:

لنقم الآن بإعادة كتابة المعادلة الأصلية:

1/2 سجل 2 (س + 1) + 8 / سجل 2 (س + 1) - 3-1 = 0 ؛

سجل 2 (س + 1) / 2 + 8 / سجل 2 (س + 1) - 4 = 0

لنجلب كل شيء إلى قاسم مشترك:

أمامنا مرة أخرى معادلة كسرية عقلانية. دعنا نقدم متغير جديد:

ر = تسجيل 2 (س + 1)

دعنا نعيد كتابة المعادلة مع الأخذ بعين الاعتبار المتغير الجديد:

كن حذرًا: في هذه الخطوة ، قمت بتبديل المصطلحات. بسط الكسر هو مربع الفرق:

مثل المرة السابقة ، الكسر يساوي صفرًا عندما يكون بسطه صفرًا ومقامه غير صفري:

(ر - 4) 2 = 0 ⇒ ر = 4 ؛

ر ≠ 0

حصلنا على جذر واحد يلبي جميع المتطلبات ، لذلك نعود إلى المتغير x:

سجل 2 (س + 1) = 4 ؛

تسجيل 2 (س + 1) = سجل 2 2 4 ؛

س + 1 = 16 ؛

س = 15

هذا كل شيء ، لقد حللنا المعادلة. ولكن نظرًا لوجود العديد من اللوغاريتمات في المعادلة الأصلية ، فمن الضروري كتابة مجال التعريف.

إذن ، التعبير x + 1 موجود في سعة اللوغاريتم. لذلك ، x + 1> 0. من ناحية أخرى ، x + 1 موجود أيضًا في القاعدة ، أي x + 1 1. المجموع:

0 ≠ x> 1

هل الجذر الموجود يلبي هذه المتطلبات؟ مما لا شك فيه. إذن ، x = 15 هو حل المعادلة اللوغاريتمية الأصلية.

أخيرًا ، أود أن أقول ما يلي: إذا نظرت إلى المعادلة وفهمت أنه يتعين عليك حل شيء معقد وغير قياسي ، فحاول إبراز الهياكل المستقرة ، والتي سيتم الإشارة إليها لاحقًا بواسطة متغير آخر. إذا كانت بعض المصطلحات لا تحتوي على المتغير x على الإطلاق ، فيمكن غالبًا حسابها ببساطة.

هذا كل ما أردت التحدث عنه اليوم. آمل أن يساعدك هذا الدرس في حل المشكلة المعقدة المعادلات اللوغاريتمية. شاهد مقاطع فيديو تعليمية أخرى ، قم بتنزيلها وحلها عمل مستقلونراكم في الفيديو التالي!