المعادلات التفاضلية ذات التأخير المستمر. معادلات الحالة للكائنات الديناميكية مع تأخير

مشاكل معادلات مع تأخير. ضع في اعتبارك مشكلة متغيرة حيث يحدد عنصر التحكم مسار طور النظام بواسطة مشكلة كوشي للمعادلة مع التأخير

في الأدبيات ، غالبًا ما تسمى هذه الأنظمة أنظمة المعادلات المتزامنة ، مما يعني أن المتغير التابع لمعادلة واحدة يمكن أن يظهر في وقت واحد كمتغير (ولكن بالفعل كمتغير مستقل) في واحدة أو أكثر من المعادلات الأخرى. في هذه الحالة ، يفقد التمييز التقليدي بين المتغيرات التابعة والمستقلة معناه. بدلاً من ذلك ، يتم التمييز بين نوعين من المتغيرات. هذه ، أولاً ، المتغيرات التابعة بشكل مشترك (داخلية) ، والتي يجب التحقيق في تأثيرها على بعضها البعض (المصفوفة A في المصطلح Ay t) لنظام المعادلات أعلاه). ثانيًا ، المتغيرات المحددة مسبقًا التي من المفترض أن تؤثر على المتغيرات الأولى ، ولكنها لا تتأثر بها ، هي متغيرات التأخير ، أي lag (المصطلح الثاني) والمتغيرات الخارجية المحددة خارج نظام المعادلات المحدد.

ومع ذلك ، بالنسبة للمعادلات ذات الأنواع العامة من التأخيرات والمواصفات بعيدة المدى إلى حد ما للباقي ، لا توجد حتى الآن نتائج موثوقة بما فيه الكفاية فيما يتعلق بخصائص التقديرات. وبالتالي ، فإن تقديرات معادلة الانحدار مع صيغة التأخر متعدد الحدود العامة لها فقط خاصية الاتساق ، وتقديرات المعادلات ذات المتغيرات الخارجية والداخلية المتأخرة التي تم الحصول عليها بواسطة طريقة المربعات الصغرى المكونة من ثلاث خطوات (في وجود ارتباط تلقائي متبقي ماركوف من الدرجة الأولى ) لا تملك هذه الخاصية حتى (انظر الشكل. تحليل الدرجات في).

وبالتالي ، عند تركيب أنظمة عالية السرعة بأقصى درجة من الثبات ، من الضروري أولاً تحديد القيم المثلى لـ bj التي تضمن استيفاء الشرط (4) و ng و ω ، (1 = 1 ، n) ، ثم ابحث عن c / ، وعندها (10) ، وأخيرًا ، من الشرط (12) لقيمة معينة من C ، اختر dj. تعليق. ويترتب على الحالات المدروسة أن هياكل الحلول المثلى ، أي عدد الأزواج المترافقة الحقيقية والمعقدة من الجذور اليمنى المتطرفة ، وتركيباتهم ، وتعددهم ، ونتيجة لذلك ، أنواع هودوغرافات الحلول المثلى في المستوى X ، تعتمد على بُعد عنصر التحكم m (1.2) ، وللأوامر الأعلى بشكل كافٍ n (1.1) لا تعتمد على قيمة n نفسها. وبعبارة أخرى ، فإن كل m المعطى يتوافق مع عدد محدد جيدًا من هياكل الحلول المثلى الحلول المثلى الجديدة. لذلك ، بالنسبة لـ n -> QO ، تظل إمكانية توليف الأنظمة ذات الدرجة القصوى من الاستقرار ، ويتم تحديد هياكل الحلول المثلى بواسطة m فقط ، مما يعني أنه بالنسبة لأي م ، تُعرف هياكل الحلول المثلى أيضًا بالكائنات ذات تأخير.

السؤال الذي يطرح نفسه هو كيفية تحديد قيمة الفاصل الزمني لكل مؤشر.لتحديد الفترات الزمنية المناسبة ، نستخدم تحليل الارتباط للسلسلة الزمنية للبيانات. المعيار الرئيسي لتحديد الفاصل الزمني هو أكبر قيمة لمعامل الارتباط المتبادل للسلسلة الزمنية للمؤشرات مع فترات تأخر مختلفة لتأثيرها على معدل التضخم. نتيجة لذلك ، ستأخذ المعادلة الشكل التالي

بالإضافة إلى ذلك ، تتيح لك طريقة S. d. الاتصال ، في إطار نموذج واحد ، بالتدفقات العديدة (التحكم المادي والمعلومات) ومستويات استثمار رأس المال والتخلص من الأموال المتراكمة لهذه التدفقات مع المستوى الأساسي. معدلات رأس المال والولادة والوفيات في مختلف الفئات العمرية مع التركيب العمري للسكان ، وما إلى ذلك. -ريخ تصلح لدراسة تجريبية بسيطة إلى حد ما حول الاستقرار ، اعتمادًا على معايير وهيكل النموذج نفسه.

يمكن أيضًا تجميع القواعد وفقًا لمعايير أخرى. على سبيل المثال ، بالنسبة لأداة السياسة النقدية (سعر الصرف أو سعر الفائدة أو الإجمالي النقدي) لوجود العلاقات الاقتصادية الخارجية (الاقتصاد المفتوح أو المغلق) لإدراج التنبؤ بالمتغيرات الاقتصادية في معادلة القاعدة (القواعد الآجلة والتكيفية) لمقدار التأخير (مع أو بدون تأخيرات) إلخ.

النموذج ، مع الأخذ في الاعتبار زمن طيران المقذوف والتأخير في نقل النيران ، يجعل من الممكن مراعاة التأخيرات في نظام الإنذار المبكر لهجوم صاروخي للعدو ونظام المراقبة الفضائية لصاروخها النووي القوات. يتم تعريف هذا النموذج من خلال المعادلات

تم تصميم كتلة التأخير المستمر BPZ-2M لإعادة إنتاج الوظائف مع وسيطة تأخير في أجهزة الحوسبة التناظرية ويمكن استخدامها في النمذجة الكهربائية للعمليات المرتبطة بنقل المادة أو نقل الطاقة ، عند تقريب معادلات الكائنات المعقدة متعددة السعة من خلال معادلات من الدرجة الأولى والثانية مع تأخير.

وظائف القرار هي صياغة لسلوك يحدد كيف تؤدي المعلومات المتوفرة حول المستويات إلى اختيار القرارات المتعلقة بقيم معدلات التدفق الحالية. يمكن أن تتخذ وظيفة القرار شكل معادلة بسيطة تحدد أبسط تفاعل لتدفق المواد إلى حالات مستوى واحد أو مستويين (على سبيل المثال ، يمكن التعبير عن أداء نظام النقل بشكل كافٍ من خلال عدد البضائع العابرة ، وهو مستوى ، وثابت - متوسط ​​التأخير لوقت النقل). من ناحية أخرى ، يمكن أن تكون وظيفة القرار عبارة عن سلسلة طويلة ومعقدة من الحسابات التي يتم إجراؤها مع مراعاة التغييرات في عدد من الشروط الإضافية.

في الوقت الحالي ، ليس من الواضح تمامًا ما هو العامل الذي يعد السبب الرئيسي لغياب الدياتومات في بايكال خلال فترات البرد. في [Grachev et al. ، 1997] ، تعتبر زيادة تعكر المياه الناتجة عن عمل الأنهار الجليدية الجبلية أمرًا حاسمًا ؛ في [Gavshin et al. ، 1998] ، يتمثل العامل الرئيسي في انخفاض تركيز السيليكون بسبب لتآكل التلاشي في حوض تصريف بايكال. تعديل النموذج (2.6.7) ، حيث تصف المعادلة الأولى ديناميات تركيز السيليكون ، والثانية - ديناميات ترسيب المادة المعلقة ، تسمح لنا باقتراح نهج لتحديد أي من هذين العاملين هو العامل الرئيسي . من الواضح أنه بسبب الكتلة المائية الهائلة ، ستستجيب الكائنات الحية في بايكال لتغير المناخ مع بعض التأخير مقارنة باستجابة المجتمعات النباتية في حوض تصريف البحيرة. لذلك ، يجب أن تتخلف إشارة المشطورة عن الإشارة القديمة. إذا كان السبب الرئيسي لاختفاء الدياتومات خلال فترات البرد هو انخفاض تركيز السيليكون ، فإن مثل هذا التأخير في الاستجابة للاحترار يجب أن يكون أكبر من التأخير في التبريد. إذا كان العامل الرئيسي لقمع المشطورة هو التعكر بسبب الأنهار الجليدية ، فإن التأخير في الاستجابة للتبريد يجب أن يكون تقريبًا هو نفسه أو حتى أكبر من الاحترار.

المعادلة الأخيرة ، كما قد يلاحظ القارئ ، تصف سلوك أبسط آلية ضبط ذاتي بتأخير نسبي. يقدم الملحق أ مخطط كتلة يوضح

يحدد إجراء PERRON97 في هذه الحالة تاريخ الفاصل مثل 1999 07 ، إذا تم اختيار تاريخ الفاصل وفقًا للحد الأدنى - إحصائيات معيار جذر الوحدة ta = i ، المأخوذة من جميع نقاط الفاصل الممكنة. في الوقت نفسه ، ta = = - 3.341 ، وهو أعلى من 5٪ من المستوى الحرج - 5.59 ، ولا يتم رفض فرضية جذر الوحدة. تم اختيار أكبر تأخير للفروق المدرجة في الجانب الأيمن من المعادلات ليكون 12 في إطار تطبيق إجراء GS لتقليل النموذج بمستوى أهمية بنسبة 10٪.

المقدمة

وزارة التربية والتعليم في الاتحاد الروسي

الاتحاد التربوي الدولي "التعليم المفتوح"

جامعة موسكو الحكومية للاقتصاد والإحصاء والمعلوماتية

ANO "المعهد الأوراسي المفتوح"

إي إيه جيفوركيان

تأخير المعادلات التفاضلية

دليل الكتاب المدرسي لدراسة الانضباط

مجموعة من المهام لمنهج الانضباط للانضباط

موسكو 2004

جيفوركيان إي. معادلات تفاضلية بحجة مؤجلة: كتاب مدرسي ، دليل لدراسة الانضباط ، مجموعة من المهام للانضباط ، منهج للانضباط / جامعة موسكو الحكومية للاقتصاد والإحصاء والمعلوماتية - م: 2004. - 79 ص.

جيفوركيان إي إيه ، 2004

جامعة موسكو الحكومية للاقتصاد والإحصاء والمعلوماتية ، 2004

الدورة التعليمية
مقدمة ... ................................................ .. .............................
1.1 تصنيف المعادلات التفاضلية مع
حجة منحرفة. بيان المشكلة الأولية ............................................. ..................
1.2 المعادلات التفاضلية مع وسيطة متخلفة. طريقة الخطوة. ........
1.3 معادلات تفاضلية قابلة للفصل
المتغيرات مع وسيطة متأخرة ............................................ .................. .........................
1.4 المعادلات التفاضلية الخطية ذات الوسيطة المتخلفة ...
1.5 معادلات برنولي التفاضلية مع وسيطة متخلفة. ...............
1.6 المعادلات التفاضلية في مجموع الفروق
مع تأخر الحجة ............................................... ................... ............................... ...................
الباب الثاني. الحلول الدورية للمعادلات التفاضلية الخطية
مع تأخر الحجة ............................................... ................... ............................... ...................
2.1. الحلول الدورية للمعادلات التفاضلية الخطية المتجانسة
مع معاملات ثابتة ومع حجة متأخرة .......................................... ....
2.2. الحلول الدورية للتفاضل الخطي غير المتجانس
..................
2.3 الشكل المعقد لسلسلة فورييه ... ............... ................................... ...
2.4 إيجاد حل دوري معين لخطي غير متجانس
المعادلات التفاضلية ذات المعاملات الثابتة والمتخلفة
الحجة بتوسيع الجانب الأيمن من المعادلة في سلسلة فورييه ... ..............................
الفصل الثالث. الطرق التقريبية لحل المعادلات التفاضلية
مع تأخر الحجة ............................................... ................... ............................... ...................
3.1. طريقة التوسيع التقريبية لوظيفة غير معروفة
مع تأخر الحجة بدرجات التأخير ........................................... ....................... ........
3.2 طريقة بوانكاريه التقريبية. .................................................. ...............................
الفصل الرابع. تأخير المعادلات التفاضلية ،
الظهور في حل بعض المشاكل الاقتصادية
مع مراعاة الفاصل الزمني ............................................ .................. ................................ ................. ...............

4.1. الدورة الاقتصادية لكوليتسكي. المعادلة التفاضلية

مع حجة زائدة تصف التغيير

مخزون رأس المال النقدي .............................................. ................ .................................. ............... .........
4.2 معادلة مميزة. حالة حقيقية
جذور المعادلة المميزة ............................................. .................. ................................ ....
4.3 حالة الجذور المعقدة للمعادلة المميزة ... .........
4.4 تأخير المعادلة التفاضلية ،
(الاستهلاك بما يتناسب مع الدخل القومي) .......................................... .... ..........
4.5 تأخير المعادلة التفاضلية ،
وصف ديناميكيات الدخل القومي في نماذج متأخرة
(ينمو الاستهلاك أضعافا مضاعفة مع معدل النمو) .......................................... ........................ .........
المؤلفات................................................. .................................................. .....................

دليل لدراسة الانضباط
2. قائمة الموضوعات الرئيسية ............................................ ............................................... .. ......
2.1. الموضوع 1. المفاهيم والتعاريف الأساسية. تصنيف
المعادلات التفاضلية ذات الحجة المنحرفة.
تأخير المعادلات التفاضلية. ............................................
2.2. الموضوع 2. بيان المشكلة الأولية. طريقة خطوة الحل
المعادلات التفاضلية ذات الحجة المتخلفة. أمثلة.......................
2.3 موضوع 3. المعادلات التفاضلية مع إمكانية الفصل
المتغيرات مع تأخر الحجج. أمثلة. .................................................. .
2.4 موضوع 4. المعادلات التفاضلية الخطية
2.5 موضوع 5. معادلات برنولي التفاضلية
مع حجة مؤجلة. أمثلة. .................................................. ..............................
2.6. موضوع 6. المعادلات التفاضلية في مجموع الفروق
مع حجة مؤجلة. الشروط اللازمة والكافية. أمثلة............
2.7. الموضوع السابع: الحلول الدورية للتفاضل الخطي المتجانس
معادلات ذات معاملات ثابتة وبوسيطة متخلفة.
2.8. الموضوع 8. الحلول الدورية للتفاضل الخطي غير المتجانس
معادلات ذات معاملات ثابتة وبوسيطة متخلفة.
أمثلة. .................................................. ................................................ .. ...............................
2.9 الموضوع 9. الشكل المعقد لسلسلة فورييه. البحث عن دورية خاصة
حلول المعادلات الخطية غير المتجانسة ذات المعاملات الثابتة ومع
الحجة المتخلفة عن طريق توسيع الجانب الأيمن من المعادلة إلى سلسلة فورييه.
أمثلة. .................................................. ................................................ .. ...............................
2.10. موضوع 10. حل تقريبي للمعادلات التفاضلية مع
طريقة الوسيطة المؤجلة لتحليل وظيفة من التأخير
بدرجات التأخير. أمثلة ................................................. ......................................
2.11. الموضوع 11. طريقة Poincare التقريبية لإيجاد دورية
حلول المعادلات التفاضلية شبه الخطية بمعامل صغير و
مع حجة مؤجلة. أمثلة. .................................................. ..............................

2.12. الموضوع 12. الدورة الاقتصادية لكوليتسكي. المعادلة التفاضلية

مع حجة متأخرة للدالة K (t) ، توضح مخزون النقد

رأس المال الثابت في الوقت ............................................. . ................................................. ...
2.13. الموضوع 13. تحليل المعادلة المميزة المقابلة ل
معادلة تفاضلية للدالة K (t). .................................................. ............
2.14. الموضوع 14. حالة الحلول المعقدة للمعادلة المميزة
(ρ = α ± ιω )..................................................................................................................................
2.15. موضوع 15. معادلة تفاضلية للدالة y (t) ، توضح
دالة الاستهلاك لها الشكل c (t -τ) = (1 - α) y (t -τ) ، حيث α هو معدل ثابت
تراكم الإنتاج ................................................ .............. .................................... ............
2.16. موضوع 16. المعادلة التفاضلية للدالة y (t) ، تبين
الدخل القومي في نماذج مع تأخر الاستثمار الرأسمالي ، شريطة أن
وظيفة المستهلك لها الشكل c (t - τ) = c (o) e r (t - τ) ........................... .................................
مجموعة من المهام للتخصص ............................................ .. ...............................................
المنهج حسب التخصص ............................................... ................... ............................... ....

الدورة التعليمية

المقدمة

مقدمة

هذا البرنامج التعليمي مخصص لعرض طرق دمج المعادلات التفاضلية مع الحجة المتخلفة التي تمت مواجهتها في بعض المشكلات الفنية والاقتصادية.

عادة ما تصف المعادلات أعلاه أي عمليات ذات تأثير لاحق (عمليات مع تأخير ، مع تأخير زمني). على سبيل المثال ، عندما تكون في العملية قيد الدراسة ، تعتمد قيمة الكمية التي تهمنا في الوقت t على القيمة x في الوقت t-τ ، حيث τ هي الفاصل الزمني (y (t) = f). أو عندما تعتمد قيمة الكمية y في الوقت t على قيمة نفس الكمية في الوقت المناسب

أقل t-τ (y (t) = f).

تم العثور على العمليات الموصوفة بواسطة المعادلات التفاضلية مع حجة متخلفة في كل من العلوم الطبيعية والاقتصادية. في الحالة الأخيرة ، يرجع هذا إلى وجود تأخر زمني في معظم حلقات دورة الإنتاج الاجتماعي ، وإلى وجود تأخيرات في الاستثمار (الفترة من بداية تصميم الأشياء إلى التشغيل بكامل طاقتها) ، والتأخر الديموغرافي ( الفترة من الولادة إلى سن العمل وبدء العمل بعد التخرج).

من المهم مراعاة الفاصل الزمني في حل المشكلات الفنية والاقتصادية ، حيث أن وجود تأخير يمكن أن يؤثر بشكل كبير على طبيعة الحلول التي تم الحصول عليها (على سبيل المثال ، في ظل ظروف معينة يمكن أن يؤدي إلى عدم استقرار الحلول).

من حجة متأخرة

الفصل الأول. طريقة خطوات حل المعادلات التفاضلية

مع حجة زائدة

1.1. تصنيف المعادلات التفاضلية بحجة منحرفة. بيان المشكلة الأولية

التعريف 1. تسمى المعادلات التفاضلية ذات الوسيطة المنحرفة بالمعادلات التفاضلية التي تدخل فيها الوظيفة غير المعروفة X (t) لقيم مختلفة من الوسيطة.

X (t) = f (t ، x (t) ، x) ،

X (t) = f [t ، x (t) ، x (t - τ 1) ، x (t - τ 2)] ،
X (t) = f t ، x (t) ، x (t) ، x [t -τ (t)] ، x [t - τ
X (t) = f t ، x (t) ، x (t) ، x (t / 2) ، x (t / 2).

(ر)]

التعريف 2. المعادلة التفاضلية ذات الوسيطة المتخلفة هي معادلة تفاضلية ذات حجة منحرفة ، حيث يظهر أعلى مشتق للدالة غير المعروفة في نفس قيم الوسيطة وهذه الحجة ليست أقل من جميع حجج الوظيفة غير المعروفة ومشتقاتها المدرجة في المعادلة.

لاحظ أنه وفقًا للتعريف 2 ، المعادلتان (1) و (3) في ظل الظروف τ (t) ≥ 0 ، t - τ (t) ≥ 0 ستكون معادلات ذات وسيطة متخلفة ، ستكون المعادلة (2) هي المعادلة

مع وسيطة متأخرة ، إذا كانت 1 ≥ 0 ، τ 2 ≥ 0 ، t ≥ τ 1 ، t ≥ τ 2 ، المعادلة (4) هي معادلة ذات وسيطة متأخرة ، بما أن t ≥ 0.

التعريف 3. المعادلة التفاضلية ذات الوسيطة الرئيسية هي معادلة تفاضلية ذات حجة منحرفة ، حيث تحدث أعلى مرتبة مشتقة للدالة غير المعروفة عند نفس قيم الوسيطة وهذه الوسيطة ليست أكبر من بقية حجج الوظيفة غير المعروفة ومشتقاتها المدرجة في المعادلة.

أمثلة على المعادلات التفاضلية ذات الوسيطة البادئة:

X (ر) =

X (ر) =

X (ر) =

و (t ، x (t) ، x [t + τ (t)]) ،

و [t ، x (t) ، x (t + 1) ، x (t + 2)] ،

و ت ، س (ر) ، س. (t) ، x [t + τ (t)] ، x. [ر + τ

(ر)].

أنا. طريقة الخطوة لحل المعادلات التفاضلية

من حجة متأخرة

التعريف 4. المعادلات التفاضلية ذات الحجة المنحرفة التي ليست معادلات ذات وسيطة متخلفة أو رائدة تسمى المعادلات التفاضلية من النوع المحايد.

أمثلة على المعادلات التفاضلية ذات الوسيطة المنحرفة من النوع المحايد:

X (t) = f t، x (t)، x (t - τ)، x (t - τ)

X (t) = f t، x (t)، x [t - τ (t)]، x [t - τ (t)]، x [t - τ (t)].

لاحظ أن تصنيفًا مشابهًا يستخدم أيضًا لأنظمة المعادلات التفاضلية بحجة منحرفة عن طريق استبدال كلمة "وظيفة" بكلمة "دالة متجه".

فكر في أبسط معادلة تفاضلية بحجة منحرفة:

X (t) = f [t، x (t)، x (t - τ)] ،

حيث τ ≥ 0 و t - τ ≥ 0 (في الواقع ، نحن نعتبر معادلة تفاضلية بحجة متخلفة). المهمة الأولية الرئيسية في حل المعادلة (10) هي كما يلي: لتحديد حل مستمر X (t) للمعادلة (10) لـ t> t 0 (t 0 -

الوقت الثابت) بشرط أن X (t) = ϕ 0 (t) عندما t 0 - τ ≤ t ≤ t 0 ، حيث ϕ 0 (t) هي دالة أولية مستمرة معينة. المقطع [t 0 - τ، t 0] يسمى المجموعة الأولية ، و t 0 يسمى النقطة الأولية. من المفترض أن X (t 0 + 0) = ϕ 0 (t 0) (الشكل 1).

X (ر) \ u003d ϕ 0 (ر)

	ر 0 - τ		t0 + τ		0 + τ
إذا كان التأخير τ		في المعادلة (10) يعتمد على الوقت t		(τ = τ (t)) ، ثم الأولي

تمت صياغة المشكلة على النحو التالي: لإيجاد حل للمعادلة (10) لـ t> t 0 إذا كانت الوظيفة الأولية X (t) = ϕ 0 t معروفة لـ t 0 - τ (t 0) ≤ t ≤ t 0.

مثال. ابحث عن حل للمعادلة.

X (t) = f [t، x (t)، x (t - cos 2 t)]
لـ t> t 0 = 0 إذا كانت الدالة الأولية X (t) = ϕ 0 (t) لـ (t 0 - cos2 t 0) |	ر ≤ t0
t0 = 0

- 1 ≤ ر ≤ 0).

أنا. طريقة الخطوة لحل المعادلات التفاضلية

من حجة متأخرة

مثال. ابحث عن حل للمعادلة

	X (t) = f [t، x (t)، x (t / 2)]			في (ر	−t	/ 2) |
	t> t 0 = 1 إذا كانت الوظيفة الأولية X (t) = ϕ t						≤ ر ≤ ر
						ر = 1			ر = 1

1/2 ≤ t ≤ 1).

لاحظ أن الوظيفة الأولية عادة ما يتم تحديدها أو العثور عليها تجريبيًا (بشكل أساسي في المشكلات الفنية).

1.2 تأخير المعادلات التفاضلية. طريقة الخطوة

ضع في اعتبارك معادلة تفاضلية ذات حجة متخلفة.

مطلوب إيجاد حل للمعادلة (13) لـ t ≥ t 0.

لإيجاد حل للمعادلة (13) لـ t t 0 ، سنستخدم طريقة الخطوة (طريقة التكامل المتتالي).

جوهر طريقة الخطوة هو أننا نجد أولاً حلًا للمعادلة (13) لـ t 0 ≤ t ≤ t 0 + τ ، ثم لـ t 0 + τ ≤ t ≤ t 0 + 2τ ، إلخ. في الوقت نفسه ، نلاحظ ، على سبيل المثال ، أنه في المنطقة t 0 ≤ t ≤ t 0 + تتغير الوسيطة t - τ ضمن t 0 - τ ≤ t - τ ≤ t 0 ، ثم في المعادلة

(13) في هذه المنطقة ، بدلاً من x (t - τ) ، يمكننا أخذ الدالة الأولية ϕ 0 (t - τ). ثم

نحصل على ذلك لإيجاد حل للمعادلة (13) في المنطقة t 0 ≤ t ≤ t 0		+ τ بحاجة الى اعادة-
قم بخياطة معادلة تفاضلية عادية دون تأخير بالشكل:
	[t ، x (t) ، ϕ 0 (t - τ)] ،
X (t) = f
لـ t 0 ≤ t ≤ t 0 +	مع الحالة الأولية X (t 0) = ϕ (t 0) (انظر الشكل 1).
	إيجاد حل لهذه المشكلة الأولية بالصيغة X (t) = ϕ 1 (t) ،	يمكننا نشر-

حل مشكلة إيجاد حل للمقطع t 0 + τ ≤ t ≤ t 0 + 2τ ، إلخ.

اذا لدينا:

			0 (ر - τ)] ،
	X (t) = f [t، x (t)،
في تي 0	≤ t ≤ t0 + τ، X (t0)		= ϕ 0 (ر 0) ،
	X (t) = f [t، x (t)، ϕ 1 (t - τ)]،
لـ t 0 + τ ≤ t ≤ t 0 + 2 τ ،			X (ر 0 + τ) = ϕ 1 (ر 0 + τ) ،
	X (t) = f [t، x (t)، ϕ 2 (t - τ)]،
لـ t 0 + 2τ ≤ t ≤ t 0 + 3τ ،			س (ر 0 + 2 τ) = ϕ 2 (ر 0 + 2 τ) ،
	X (t) = f [t، x (t)، ϕ n (t - τ)]،
لـ t 0 + n τ ≤ t ≤ t 0 + (n +1) τ ، X (t 0 + n τ) = ϕ n (t 0 + n τ) ،
	ϕ أنا (ر) هو	حل الأولي		المهام في الجزء
ر 0 + (أنا −1) ≤ ر ≤ ر 0 + أنا τ		(أنا = 1،2،3 ... ن ، ...).

أنا. طريقة الخطوة لحل المعادلات التفاضلية

من حجة متأخرة

تتيح لنا طريقة الخطوات هذه لحل المعادلة التفاضلية باستخدام وسيطة متخلفة (13) تحديد الحل X (t) في فترة زمنية محدودة للتغيير في t.

مثال 1. باستخدام طريقة الخطوات ، أوجد حلاً لمعادلة تفاضلية من الدرجة الأولى باستخدام وسيطة متخلفة

	(ر) = 6 س (ر - 1)
في المنطقة 1 ≤ t ≤ 3 إذا كانت الوظيفة الأولية لـ 0 ≤ t ≤ 1 لها الصيغة X (t) = ϕ 0 (t) = t.
المحلول. أولًا ، لنجد حلًا للمعادلة (19) في المنطقة 1 ≤ t ≤ 2. لهذا في
(19) نستبدل X (t - 1) بـ ϕ 0 (t - 1) ، أي ،
X (t - 1) = ϕ 0 (t - 1) = t | t → t - 1 = t - 1
وتأخذ في الاعتبار X (1) = ϕ 0 (1) = t |
لذلك ، في المنطقة 1 ≤ t ≤ 2 ، نحصل على معادلة تفاضلية عادية للصيغة
	(ر) = 6 (ر - 1)
أو dx (t)	6 (ر -1).
حلها مع مراعاة (20) ، نحصل على حل المعادلة (19) لـ 1 ≤ t ≤ 2 في النموذج
X (t) = 3 t 2-6 t + 4 = 3 (t - 1) 2 + 1.
لإيجاد حل في المنطقة 2 t ≤ 3 في المعادلة (19) ، نستبدل X (t - 1) بـ
ϕ 1 (t −1) = 3 (t −1) 2 +1 | ر → ر - 1		3 (t - 2) 2 + 1. ثم نحصل على العادي		التفاضليه
المعادلة:
	(ر) = 6 [3 (ر - 2) 2 + 1] , X( 2) = ϕ 1 ( 2) = 4 ,
الذي حل له شكل (الشكل 2)
X (ر ) = 6 (ر − 2 ) 3 + 6 ر − 8 .

تختلف الأنظمة ذات التأخير عن الأنظمة التي تم النظر فيها سابقًا في أنه في واحد أو أكثر من روابطها ، يكون لها تأخير في وقت بداية التغيير في قيمة المخرجات (بعد بدء التغيير في الإدخال) بقيمة t ، يسمى وقت التأخير ، ويظل وقت التأخير هذا ثابتًا في جميع الحالات اللاحقة أثناء العملية.

على سبيل المثال ، إذا تم وصف الارتباط بالمعادلة

(الرابط غير الدوري من الدرجة الأولى) ، ثم معادلة الارتباط المقابل مع التأخير سيكون لها الشكل

(رابط غير دوري من الدرجة الأولى مع تأخير). يسمى هذا النوع من المعادلة معادلة ذات وسيطة متخلفة ،

ثم ستكتب المعادلة (6.31) في الوضع العادي

يتغير فجأة من صفر إلى واحد (الشكل 6.20 ،

يقف على الجانب الأيمن من معادلة الارتباط ،

). في الحالة العامة كما في (6.31) يمكن تقسيم معادلة ديناميكيات أي ارتباط مع تأخير إلى قسمين:

الذي يتوافق مع الانهيار الشرطي للوصلة ذات التأخير (الشكل 6.21 ، أ) إلى قسمين: رابط عادي من نفس الترتيب وبنفس المعاملات وعنصر التأخير الذي يسبقه (الشكل 6.21.6).

يعني وقت حركة المعدن من الأسطوانات إلى مقياس السماكة. في المثالين الأخيرين ، تسمى قيمة m تأخر النقل.

في التقريب الأول ، يمكن تمييز خطوط الأنابيب أو الخطوط الكهربائية الطويلة المضمنة في روابط النظام بقيمة تأخير معينة t.

هو مبين في الشكل. 6.22 ، b ، ثم يمكن وصف هذا الارتباط تقريبًا بأنه ارتباط غير دوري من الدرجة الأولى مع تأخير (6.31) ، مع أخذ قيم m و r و k من المنحنى التجريبي (الشكل 6.22 ، ب).

لاحظ أيضًا أن نفس المنحنى التجريبي وفقًا للرسم البياني في الشكل. يمكن أيضًا تفسير الشكل 6.22، c على أنه خاصية زمنية لرابط عادي من الدرجة الثانية غير الدورية مع المعادلة

ويمكن حساب k من العلاقات المكتوبة في الفقرة 4.5 لوصلة معينة ، أو من بعض القياسات على المنحنى التجريبي ، أو بوسائل أخرى.

الوظيفة (6.36) تختلف قليلاً عن وظيفة النقل للرابط مع التأخير (6.35).

سيتم الآن كتابة معادلة أي ارتباط خطي مع تأخير (6.33) في النموذج

ستكون وظيفة النقل للوصلة الخطية مع التأخير

يشار إلى وظيفة النقل للوصلة العادية المقابلة دون تأخير.

- معامل وطور وظيفة نقل التردد للوصلة دون تأخير.

ومن هنا حصلنا على القاعدة التالية.

لبناء خاصية اتساع الطور لأي ارتباط مع تأخير ، تحتاج إلى أخذ خاصية الارتباط العادي المقابل وإزاحة كل نقطة من نقاطه على طول الدائرة في اتجاه عقارب الساعة بزاوية ، حيث w هي قيمة تردد التذبذب عند نقطة معينة للخاصية (الشكل 6.23 ، أ).

تظل نقطة البداية دون تغيير ، وتبقى نهاية الرياح المميزة مقاربة حول الأصل (إذا كانت درجة عامل كثير الحدود B أقل من درجة كثير الحدود C).

قيل أعلاه أن عمليات عابرة حقيقية (الخصائص الزمنية) للشكل في الشكل. غالبًا ما يمكن وصف 6.22b بنفس درجة التقريب بكلتا المعادلتين (6.31) و (6.34). خصائص السعة-المرحلة للمعادلتين (6.31) و (6.34) موضحة في الشكل. 6.23 ، أ و ب على التوالي. يتمثل الاختلاف الأساسي في الأول في أنه يحتوي على نقطة تقاطع D مع المحور (/. عند مقارنة كلتا الخاصيتين مع بعضهما البعض ومع خاصية طور السعة التجريبية لرابط حقيقي ، يجب على المرء ألا يأخذ في الاعتبار فقط شكل المنحنى ، ولكن أيضًا طبيعة توزيع علامات التردد على طولها.

وظيفة النقل لنظام مفتوح دون تأخير.

المعادلة المميزة لنظام مغلق ، كما هو موضح في الفصل. 5 لديه الشكل

يمكن أن تحتوي المعادلة على عدد لا نهائي من الجذور.

يتغير شكل خاصية مرحلة السعة للدائرة المفتوحة ، التي تم إنشاؤها ولكن وظيفة نقل التردد ، بشكل كبير

علاوة على ذلك ، يتم فتح النظام وفقًا لقاعدة معينة مذكورة أدناه.

نتيجة لذلك ، من أجل استقرار الأنظمة الخطية من الرتبة الأولى والثانية مع تأخير ، اتضح أن إيجابية المعاملات فقط لم تعد كافية ، وبالنسبة لأنظمة الرتبة الثالثة والأعلى مع التأخير ، فإن معايير الاستقرار لـ Vyshnegradsky و Routh و Hurwitz غير قابلة للتطبيق.

أدناه سننظر في تعريف الاستقرار فقط من خلال معيار Nyquist ، حيث تبين أن استخدامه لهذا الغناء هو الأبسط.

1 من الأفضل أن يتم بناء خاصية طور الاتساع ودراسة الاستقرار وفقًا لمعيار Nyquist إذا تم تقديم وظيفة النقل لنظام الحلقة المفتوحة في الشكل (6.38). للحصول على هذا ، من الضروري فتح النظام بشكل صحيح.

للحالة الموضحة في الشكل. 6.24 ، a ، يمكن أن يتم الفتح في أي مكان في الدائرة الرئيسية ، على سبيل المثال ، كما هو موضح. بعد ذلك ستكون وظيفة النقل للنظام المفتوح والتي تتزامن في الشكل مع (6.41).

للحالة الموضحة في الشكل. 6.24 ، ب ، فتح الدائرة الرئيسية يعطي التعبير

وظائف الحلقة المفتوحة ، ليست ملائمة لمزيد من البحث:

أخيرًا ، في الحالة الموضحة في الشكل. 6.24 ، ج ، عند فتح النظام في المكان المحدد ، نحصل على تعبير يتطابق أيضًا مع (6.41):

يمكن تمثيل وظيفة نقل التردد (6.41) على شكل

لذلك ، تقديم التعبير (6.41) في النموذج

دورة خاصة

تصنيف المعادلات بحجة منحرفة. المشكلة الأولية الرئيسية للمعادلات التفاضلية مع التأخير.

طريقة التكامل المتسلسل. مبدأ تجانس حلول المعادلات بالتأخير.

مبدأ التعيينات المضغوطة. نظرية الوجود والتفرد لحل المشكلة الأولية الأساسية لمعادلة مع عدة تأخيرات مجمعة. نظرية الوجود والتفرد لحل المشكلة الأولية الرئيسية لنظام المعادلات مع التأخير الموزع.

الاعتماد المستمر على حلول المشكلة الأولية الرئيسية على المعلمات والوظائف الأولية.

ميزات محددة لحلول المعادلات مع التأخير. امكانية استمرار الحل. تحرك نقطة البداية. نظريات حول الشروط الكافية لفترات الشائكة. نظرية حول الشروط الكافية للتمديد غير المحلي للحلول.

اشتقاق معادلة الحل العام لنظام خطي مع تأخيرات خطية.

التحقيق في المعادلات مع تأخير الاستقرار. طريقة الأقسام D.

تطبيق أسلوب الوظائف لدراسة الثبات. نظريات ن. كراسوفسكي حول الشروط الضرورية والكافية للاستقرار. أمثلة على بناء الوظائف.

تطبيق طريقة وظائف Lyapunov لدراسة الاستقرار. نظريات Razumikhin حول الاستقرار والاستقرار المقارب لحلول المعادلات مع التأخير. أمثلة على إنشاء وظائف Lyapunov.

بناء ضوابط البرنامج مع تأخير في الأنظمة مع معلومات كاملة وغير كاملة. نظريات V. I. Zubov. مشكلة توزيع الاستثمارات الرأسمالية حسب الصناعات.

بناء ضوابط البرنامج الأمثل في الحالات الخطية وغير الخطية. مبدأ بونترياجين الأقصى.

تثبيت نظام المعادلات بالتحكم مع تأخيرات مستمرة. تأثير التأخير المتغير على الاستقرار أحادي المحور لجسم صلب.

المؤلفات

1. Zhabko A.P. ، Zubov N.V. ، Prasolov A.V.طرق دراسة النظم ذات التأثير اللاحق. L. ، 1984. Dep. VINITI، No. 2103-84.
2. زوبوف ف.حول نظرية الأنظمة الثابتة الخطية ذات الحجة المتخلفة // Izv. الجامعات. سر. رياضيات. 1958. رقم 6.
3. زوبوف ف.محاضرات عن نظرية التحكم. موسكو: Nauka ، 1975.
4. كراسوفسكي ن.بعض مشاكل نظرية استقرار الحركة. م ، 1959
5. مالكين آي ج.نظرية استقرار الحركة.
6. Myshkis A. D.النظرية العامة للمعادلات التفاضلية ذات الحجة المتخلفة // Uspekhi Mat. علوم. 1949. V.4 ، No. 5.
7. براسولوف أ.دراسات تحليلية ورقمية للعمليات الديناميكية. سانت بطرسبرغ: دار النشر بجامعة سانت بطرسبرغ الحكومية ، 1995.
8. براسولوف أ.النماذج الرياضية للديناميكيات في الاقتصاد. سانت بطرسبرغ: دار النشر في سانت بطرسبرغ. جامعة الاقتصاد والتمويل ، 2000.
9. تشيزوفا أو.ن.بناء الحلول واستقرار أنظمة المعادلات التفاضلية ذات الحجة المتخلفة. L. ، 1988. قسم. في VINITI ، رقم 8896-B88.
10. تشيزوفا أو.ن.استقرار الجسم الصلب مع الأخذ في الاعتبار التأخير الخطي // نشرة جامعة سانت بطرسبرغ الحكومية. سير 1. 1995. العدد 4 ، العدد 22.
11. تشيزوفا أو.ن.حول الامتداد غير المحلي للمعادلات ذات التأخير المتغير // أسئلة الميكانيكا وعمليات التحكم. القضية. 18. - سانت بطرسبرغ: دار النشر بجامعة سانت بطرسبرغ الحكومية ، 2000.
12. Elsgolts L. E.، Norkin S. B.مقدمة في نظرية المعادلات التفاضلية مع انحراف الجدل. م ، 1971.

تسمى الأنظمة الخطية ذات التأخير مثل هذه الأنظمة الأوتوماتيكية ، والتي لها بشكل عام نفس بنية الأنظمة الخطية العادية (القسم الثاني) ، تختلف عن الأخيرة في تلك الأنظمة الخطية في واحد أو أكثر من روابطها ، يكون لها تأخير في وقت البداية للتغيير في كمية المخرجات (بعد بداية تغيير المدخلات) بقيمة تسمى وقت التأخير ، ويظل وقت التأخير هذا ثابتًا طوال المسار اللاحق للعملية.

على سبيل المثال ، إذا تم وصف ارتباط خطي عادي بالمعادلة

(رابط غير دوري من الدرجة الأولى) ، ثم معادلة الارتباط الخطي المقابل مع التأخير سيكون لها الشكل

(رابط غير دوري من الدرجة الأولى مع تأخير). تسمى المعادلات من هذا النوع معادلات ذات وسيطة متخلفة أو معادلات تفاضلية.

قم بعد ذلك بكتابة المعادلة (14.2) بالشكل العادي:

لذلك ، إذا تغيرت قيمة الإدخال فجأة من صفر إلى واحد (الشكل 14.1 ، أ) ، فسيتم توضيح التغيير في القيمة الموجودة على الجانب الأيمن من معادلة الارتباط بواسطة الرسم البياني في الشكل. 14.1b (القفز بعد ثانية واحدة). باستخدام الاستجابة العابرة للرابط غير الدوري العادي كما هو مطبق على المعادلة (14.3) ، نحصل على تغيير في قيمة المخرجات في شكل رسم بياني في الشكل. 14.1 ، ج. ستكون هذه استجابة عابرة للرابط غير الدوري من الدرجة الأولى مع تأخير (يتم تحديد خاصية "القصور الذاتي" غير الدورية بواسطة ثابت الوقت T ، ويتم تحديد التأخير بواسطة القيمة

ارتباط خطي مع تأخير. في الحالة العامة كما في (14.2) يمكن أن تكون معادلة ديناميكيات أي ارتباط خطي مع تأخير

انقسم إلى قسمين:

الذي يتوافق مع الانهيار الشرطي لوصلة خطية مع تأخير (الشكل 14.2 ، أ) إلى قسمين: رابط خطي عادي من نفس الترتيب وبنفس المعاملات وعنصر التأخير الذي يسبقه (الشكل 14.2 ، ب).

وبالتالي ، فإن السمة الزمنية لأي ارتباط مع تأخير ستكون هي نفسها الخاصة بالوصلة العادية المقابلة ، ولكنها تنتقل فقط على طول محور الوقت إلى اليمين بمقدار.

مثال على وصلة تأخير "نقية" هو خط اتصال صوتي - وقت عبور الصوت). ومن الأمثلة الأخرى نظام الجرعات الأوتوماتيكية لمادة تتحرك بواسطة سير ناقل - الوقت الذي يتحرك فيه الحزام في منطقة معينة) ، وكذلك نظام لتنظيم سمك المعدن المدلفن ، حيث يعني الوقت الذي يتحرك فيه المعدن من القوائم إلى مقياس السماكة

في المثالين الأخيرين ، تسمى الكمية تأخير النقل.

في التقريب الأول ، يمكن تمييز خطوط الأنابيب أو الخطوط الكهربائية الطويلة المضمنة في روابط النظام بمقدار معين من التأخير (لمزيد من التفاصيل ، انظر الفقرة 2.14).

يمكن تحديد قيمة التأخير في الارتباط بشكل تجريبي عن طريق إزالة خاصية الوقت. على سبيل المثال ، إذا تم تطبيق قيمة معينة ، باعتبارها وحدة ، على إدخال ارتباط ، يتم الحصول على المنحنى التجريبي الموضح في الشكل 2 عند الإخراج. 14.3 ، ب ، ثم يمكن وصف هذا الارتباط تقريبًا بأنه ارتباط غير دوري من الدرجة الأولى مع تأخير (14.2) ، مع أخذ القيم من المنحنى التجريبي (الشكل 14.3 ، ب).

لاحظ أيضًا أن نفس المنحنى التجريبي وفقًا للرسم البياني في الشكل. يمكن أيضًا تفسير الشكل 14.3 ، c على أنه خاصية زمنية لرابط غير دوري عادي من الدرجة الثانية مع المعادلة

علاوة على ذلك ، يمكن حساب k من العلاقات المكتوبة في الفقرة 4.5 لارتباط معين ، وفقًا لبعض القياسات على المنحنى التجريبي ، أو بطرق أخرى.

لذلك ، من وجهة نظر خاصية الوقت ، يمكن وصف الارتباط الحقيقي ، الموصوف تقريبًا بمعادلة من الدرجة الأولى بحجة متخلفة (14.2) ، بنفس درجة التقريب بواسطة معادلة تفاضلية عادية من الدرجة الثانية (14.5). لتحديد أي من هذه المعادلات يناسب بشكل أفضل

الارتباط الحقيقي ، يمكن للمرء أيضًا مقارنة خصائص طور السعة الخاصة بهم مع خاصية مرحلة السعة المأخوذة تجريبياً للرابط ، والتي تعبر عن خصائصها الديناميكية أثناء الاهتزازات القسرية. سيتم النظر أدناه في تكوين خصائص طور الاتساع للوصلات ذات التأخير.

من أجل الوحدة في كتابة المعادلات ، فإننا نمثل ثاني العلاقات (14.4) لعنصر التأخير في شكل المشغل. نحصل على توسيع جانبها الأيمن في سلسلة تايلور

أو ، في تدوين المشغل الرمزي المقبول سابقًا ،

يتزامن هذا التعبير مع صيغة نظرية التأخير للصور الوظيفية (الجدول 7.2). وبالتالي ، بالنسبة لوصلة التأخير الخالصة ، نحصل على وظيفة النقل في النموذج

لاحظ أنه في بعض الحالات ، يمكن أن يؤخذ في الاعتبار وجود عدد كبير من الثوابت الزمنية الصغيرة في نظام التحكم في شكل تأخير ثابت يساوي مجموع هذه الثوابت الزمنية. في الواقع ، دع النظام يحتوي على روابط غير دورية من الدرجة الأولى متصلة بالسلسلة مع معامل نقل يساوي الوحدة وقيمة كل وقت ثابت.ثم ستكون وظيفة النقل الناتجة

إذا ثم في الحد الذي نحصل عليه. بالفعل في وظيفة النقل (14.8) تختلف قليلاً عن وظيفة النقل للرابط مع التأخير (14.6).

سيتم الآن كتابة معادلة أي ارتباط خطي مع تأخير (14.4) في النموذج

ستكون وظيفة النقل للوصلة الخطية مع التأخير

حيث تشير إلى وظيفة النقل للوصلة الخطية العادية المقابلة دون تأخير.

يتم الحصول على وظيفة نقل التردد من (14.10) عن طريق الاستبدال

أين هو معامل وطور وظيفة نقل التردد للوصلة دون تأخير. ومن هنا حصلنا على القاعدة التالية.

لبناء خاصية اتساع الطور لأي ارتباط خطي مع تأخير ، يجب أن تأخذ خاصية الارتباط الخطي العادي المقابل وتحول كل نقطة على طول الدائرة في اتجاه عقارب الساعة بزاوية ، حيث تكون قيمة تردد التذبذب عند نقطة معينة للخاصية (الشكل 14.4 ، أ).

نظرًا لأنه في بداية خاصية مرحلة السعة وفي النهاية ، تظل النقطة الأولية دون تغيير ، وتلتف نهاية الخاصية بشكل مقارب حول الأصل (إذا كانت درجة كثير حدود المشغل أقل من كثير الحدود

قيل أعلاه أن عمليات عابرة حقيقية (الخصائص الزمنية) للشكل في الشكل. 14.3 ، ب يمكن وصفها بنفس درجة التقريب بكلتا المعادلتين (14.2) و (14.5). خصائص السعة-المرحلة للمعادلتين (14.2) و (14.5) موضحة في الشكل. 14.4 ، و على التوالي. الاختلاف الأساسي للأول هو أنه يحتوي على نقطة D من التقاطع مع المحور

عند مقارنة كلتا الخاصيتين مع بعضهما البعض ومع خاصية طور الاتساع التجريبية لرابط حقيقي ، من الضروري مراعاة ليس فقط شكل المنحنى ، ولكن أيضًا طبيعة توزيع علامات التردد o على طوله.

نظام خطي مع تأخير.

دع النظام الأوتوماتيكي أحادي الدائرة أو متعدد الدوائر له ارتباط واحد مع تأخير بين روابطه. ثم تكون معادلة هذا الرابط بالشكل (14.9). إذا كان هناك العديد من هذه الوصلات ، فيمكن أن يكون لها قيم تأخير مختلفة. تظل جميع الصيغ العامة للمعادلات ووظائف التحويل لأنظمة التحكم الآلي المشتقة في الفصل 5 صالحة لأي أنظمة خطية مع تأخير ، إذا كانت قيم وظائف النقل فقط يتم استبدالها في هذه الصيغ بالشكل (14.10).

على سبيل المثال ، بالنسبة لدائرة مفتوحة من الروابط المتصلة بالسلسلة ، من بينها رابطان مع تأخير ، على التوالي ، فإن وظيفة النقل لنظام مفتوح سيكون لها الشكل

أين هي وظيفة النقل لدائرة مفتوحة دون مراعاة التأخير ، مساوٍ لمنتج وظائف النقل للروابط المتصلة في سلسلة.

وبالتالي ، عند دراسة ديناميكيات الدائرة المفتوحة للوصلات المتصلة بالسلسلة ، فليس من المهم ما إذا كان التأخير بأكمله سيتركز في رابط واحد أو ينتشر عبر روابط مختلفة. بالنسبة للدوائر متعددة الحلقات ، سيتم الحصول على علاقات أكثر تعقيدًا.

إذا كان هناك ارتباط مع ردود فعل سلبية ، والتي لها تأخير ، فسيتم وصفها بواسطة المعادلات ؛