فاصل الثقة. ما هو وكيف يمكن استخدامه؟ احتمالات الثقة ومستويات الأهمية

تعطي تقديرات النقاط المدروسة لمعلمات التوزيع تقديرًا في شكل رقم أقرب إلى قيمة المعلمة غير المعروفة. تستخدم هذه التقديرات فقط لعدد كبير من القياسات. كلما كان حجم العينة أصغر ، كان من الأسهل ارتكاب خطأ عند اختيار معلمة. بالنسبة للممارسة ، من المهم ليس فقط الحصول على تقدير للنقطة ، ولكن أيضًا لتحديد الفترة الزمنية التي يتم استدعاؤها مستشار توزيع أصول،بين الحدود التي لها معطى مستوى الثقة

أين ف - مستوى الأهمية ؛ х н ، х в - الحد الأدنى والأعلى للفاصل الزمني ، تم العثور على القيمة الحقيقية للمعلمة المقدرة.

بشكل عام ، يمكن بناء فترات الثقة على أساس عدم المساواة في Chebyshev.بالنسبة لأي قانون توزيع لمتغير عشوائي مع لحظات من أول أمرين ، الحد الأعلى لاحتمال وقوع انحراف المتغير العشوائي x عن مركز التوزيع X c في الفترة الزمنية tSx يوصف من قبل Chebyshev عدم المساواة

حيث S x - تقييم توزيع RMS ؛ر هو رقم موجب.

للعثور على فاصل الثقة ، لا يلزم معرفة قانون توزيع نتائج الملاحظات ، ولكن من الضروري معرفة تقدير RMS. تبين أن الفترات التي تم الحصول عليها باستخدام متباينة Chebyshev واسعة جدًا للممارسة. وبالتالي ، فإن فاصل الثقة البالغ 0.9 للعديد من قوانين التوزيع يتوافق مع فاصل الثقة 1.6 S X . يعطي عدم مساواة Chebyshev في هذه الحالة 3.16 S X . نتيجة لذلك ، لم يتم اعتماده على نطاق واسع.

في الممارسة المترولوجية ، يتم استخدامها بشكل أساسي تقديرات كميةفاصل الثقة. تحت 100 ص- النسبة المئوية x p فهم حدود مثل هذا الخط العمودي ، على يسار المنطقة الواقعة تحت منحنى كثافة التوزيع تساوي P٪. بعبارات أخرى، كمية- هذه هي قيمة متغير عشوائي (خطأ) مع احتمالية ثقة معينة P. على سبيل المثال ، متوسط التوزيع هو 50٪ كمي × 0.5.

في الممارسة العملية ، يتم استدعاء 25- و 75٪ الكميات طياتأو كميات التوزيع.بينهما يقع 50٪ من جميع القيم الممكنة للمتغير العشوائي ، و 50٪ المتبقية تقع خارجها. فترة قيم المتغير العشوائي x بين x 0 05 و x 0 95 تغطي 90٪ من جميع قيمه الممكنة وتسمى فجوة بينية مع احتمال 90٪.طولهد 0.9 \ u003d × 0.95 - × 0.05.

بناءً على هذا النهج ، المفهوم قيم الخطأ الكمي ،أولئك. قيم الخطأ مع احتمالية ثقة معينة P - حدود فاصل عدم اليقين ±دد = ± (x p - x 1-p) / 2 = ±موانئ دبي / 2. في طوله ، توجد قيم P ٪ لمتغير عشوائي (خطأ) ،أ ف = (1-P)٪ من إجمالي عددهم يظلون خارج هذا الفاصل الزمني.

للحصول على تقدير فاصل لمتغير عشوائي يتم توزيعه بشكل طبيعي ، من الضروري:

تحديد نقطة تقدير MO x̅ و RMS S x متغير عشوائي وفقًا للصيغتين (6.8) و (6.11) على التوالي ؛

اختر احتمالية ثقة Р من النطاق الموصى به للقيم 0.90 ؛ 0.95 ؛ 0.99

أوجد حد x العلوي وحدود x n السفلية وفقًا للمعادلات

تم الحصول عليها مع مراعاة (6.1). يتم تحديد القيم х н و х в من جداول قيم دالة التوزيع المتكاملة F (ر ) أو وظيفة لابلاس Ф (1).

فاصل الثقة الناتج يلبي الشرط

(6.13)

أين - عدد القيم المقاسة ؛ zp - وسيطة دالة لابلاس Ф (1) المقابلة للاحتمال Р / 2. في هذه الحالة zp يسمى العامل الكمي. نصف طول فترة الثقة يسمى حد الثقة لخطأ نتيجة القياس.

مثال 6.1. تم إجراء 50 قياس مقاومة ثابت. حدد فاصل الثقة لقيمة MO للمقاومة الثابتة إذا كان قانون التوزيع طبيعيًا مع المعلماتم س \ u003d ص \ u003d 590 أوم ، س س \ u003d 90 أوم مع احتمال الثقة P = 0.9.

نظرًا لأن الفرضية حول الحالة الطبيعية لقانون التوزيع لا تتعارض مع البيانات التجريبية ، يتم تحديد فترة الثقة بواسطة الصيغة

ومن ثم Ф (ض р ) = 0.45. من الجدول الوارد في الملحق 1 ، نجد ذلك zp = 1.65. لذلك ، سيتم كتابة فاصل الثقة في النموذج

أو 590 - 21< R < 590 + 21. Окончательно 509 Ом < ص< 611 Ом.

إذا كان قانون توزيع المتغير العشوائي يختلف عن المتغير العادي ، فمن الضروري بناء نموذجه الرياضي وتحديد فترة الثقة باستخدامه.

الطريقة المدروسة لإيجاد فترات الثقة صالحة لعدد كبير بما فيه الكفاية من الملاحظاتن متى س= س س . يجب أن نتذكر أن تقدير RMS المحسوبس س هو فقط بعض التقريب للقيمة الحقيقيةس. تحديد فاصل الثقة لاحتمال معين هو أقل موثوقية ، وعدد أقل من الملاحظات. من المستحيل استخدام صيغ التوزيع العادية مع عدد صغير من الملاحظات ، إذا لم يكن ذلك ممكنًا نظريًا ، على أساس التجارب الأولية مع عدد كبير من الملاحظات ، لتحديد الانحراف المعياري.

حساب فترات الثقة للحالة التي يكون فيها توزيع نتائج الملاحظة أمرًا طبيعيًا ، لكن تباينها غير معروف ، أي مع عدد قليل من الملاحظات ن ، من الممكن إجراء باستخدام توزيع الطالب S (t ، k ). يصف كثافة توزيع النسبة (كسور الطالب):

أين س - القيمة الحقيقية للقيمة المقاسة. قيم-X̅ ، س س. و S x ̅ يتم حسابها على أساس البيانات التجريبية وتمثل تقديرات نقطية لـ MO و RMS لنتائج القياس و RMS للمتوسط الحسابي.

احتمال أن يأخذ كسر الطالب نتيجة الملاحظات التي تم إجراؤها بعض القيمة في الفاصل الزمني (-ر ص ؛ + ر ص)

(6.14)

أين ك - عدد درجات الحرية تساوي (ن - 1). كميات tp (يسمى في هذه الحالة معاملات الطالب) ،محسوبة باستخدام الصيغتين الأخيرتين لقيم مختلفة لمستوى الثقة ويتم جدولة عدد القياسات (انظر الجدول في الملحق 1). لذلك ، باستخدام توزيع الطالب ، يمكن للمرء أن يجد احتمال ألا يتجاوز انحراف المتوسط الحسابي عن القيمة الحقيقية للقيمة المقاسة

في تلك الحالات التي يكون فيها توزيع الأخطاء العشوائية غير طبيعي ، غالبًا ما يستخدم المرء توزيع الطالب بتقريب يبقى درجته غير معروفة. يتم استخدام توزيع الطالب عند عدد القياساتن < 30, поскольку уже при ن = 20 ، ... ، 30 تصبح طبيعية وبدلاً من المعادلة (6.14) يمكن استخدام المعادلة (6.13). تتم كتابة نتيجة القياس على النحو التالي: ; ص = R d ، حيث R d - قيمة محددة لمستوى الثقة. عاملر مع عدد كبير من القياساتن يساوي العامل الكميض ص. للصغيرة إنه يساوي معامل الطالب.

نتيجة القياس الناتجة ليست رقمًا محددًا واحدًا ، ولكنها فترة يتم خلالها تحديد القيمة الحقيقية للقيمة المقاسة باحتمالية معينة P d. لا يعني إبراز منتصف الفترة x على الإطلاق أن القيمة الحقيقية أقرب إليها من بقية النقاط في الفترة. يمكن أن يكون في أي مكان في الفترة الزمنية ، مع احتمال 1 - R d حتى خارجها.

مثال 6.2. إن تحديد الفاقد المغناطيسي النوعي لعينات مختلفة من دفعة واحدة من الصلب الكهربائي بدرجة 2212 أعطى النتائج التالية: 1.21؛ 1.17 ؛ 1.18 1.13 1.19 1.14 1.20 و 1.18 واط / كغم. بافتراض عدم وجود خطأ منهجي ، وتوزيع الخطأ العشوائي وفقًا للقانون العادي ، يلزم تحديد فترة الثقة لقيم احتمال الثقة 0.9 و 0.95. لحل المشكلة ، استخدم صيغة لابلاس وتوزيع الطالب.

باستخدام الصيغ (6.8) في (6.11) ، نجد تقديرات لمتوسط القيمة الحسابية و RMS لنتائج القياس. إنها تساوي على التوالي 1.18 و 0.0278 واط / كجم. بافتراض أن تقدير RMS يساوي الانحراف نفسه ، نجد:

ومن ثم ، باستخدام قيم دالة لابلاس الواردة في جدول الملحق 1 ، نحدد ذلكzp = 1.65. لمعامل P = 0.95 zp = 1.96. فترات الثقة المقابلة لـ P = 0.9 و 0.95 هي 1.18 ± 0.016 و 1.18 ± 0.019 واط / كجم.

في حالة عدم وجود سبب للاعتقاد بأن الانحراف المعياري وتقديره متساويان ، يتم تحديد فاصل الثقة بناءً على توزيع الطالب:

وفقًا للجدول في الملحق 1 ، نجد ذلكر 0.9 = 1.9 و ر 0.95 = 2.37. ومن ثم ، فإن فترات الثقة تساوي على التوالي 1.18 ± 0.019 و 1.18 ± 0.023 واط / كجم.

أسئلة الاختبار.

1. تحت أي ظروف يمكن اعتبار خطأ القياس متغيرًا عشوائيًا؟

2. اذكر خصائص دوال التوزيع المتكامل والتفاضلي لمتغير عشوائي.

3. اسم المعلمات العددية لقوانين التوزيع.

4. كيف يمكن تحديد مركز التوزيع؟

5. ما هي لحظات التوزيع؟ من منهم وجد تطبيقًا في علم القياس؟

6. قم بتسمية الفئات الرئيسية للتوزيعات المستخدمة في القياس.

7. قدم وصفًا للتوزيعات المتضمنة في فئة التوزيعات شبه المنحرفة.

8. ما هي التوزيعات الأسية؟ ما هي خصائصها وخصائصها؟

9. ما هو التوزيع الطبيعي؟ لماذا تلعب دورًا خاصًا في علم القياس؟

10. ما هي وظيفة لابلاس ولماذا تستخدم؟

11. كيف يتم وصف واستخدام عائلة توزيعات Student؟

12. ما هي تقديرات النقاط لقوانين التوزيع التي تعرفها؟ ما هي متطلباتهم؟

13. ما هي فترة الثقة؟ ما هي "طرق إسنادها هل تعلم؟

التي يوجد فيها ، مع احتمال واحد أو آخر ، معلمة عامة. يتم استدعاء الاحتمالات المعترف بها على أنها كافية للحكم الواثق حول المعلمات العامة بناءً على مؤشرات العينة مستشار توزيع أصول.

ينبع مفهوم احتمالات الثقة من المبدأ القائل بأن الأحداث غير المحتملة تعتبر مستحيلة عمليًا ، والأحداث التي يكون احتمال حدوثها قريبًا من أحدها يتم اعتبارها شبه مؤكدة. عادة ، يتم استخدام الاحتمالات Р 1 = 0.95 ، Р 2 = 0.99 ، Р 3 = 0.999 كثقة. تتوافق مع قيم معينة من الاحتمالات مستويات الأهمية، والذي يُفهم على أنه الفرق α = 1-Р. يقابل الاحتمال 0.95 مستوى أهمية α 1 = 0.05 (5٪) ، واحتمال 0.99 - α 2 = 0.01 (1٪) ، واحتمال 0.999 - α 3 = 0.001 (0.1٪).

هذا يعني أنه عند تقييم المعلمات العامة بناءً على مؤشرات انتقائية ، هناك خطر ارتكاب خطأ في الحالة الأولى مرة واحدة في 20 اختبارًا ، أي في 5٪ من الحالات ؛ في الثانية - مرة واحدة لكل 100 تجربة ، أي في 1٪ من الحالات ؛ في الثالثة - مرة واحدة لكل 1000 اختبار ، أي في 0.1٪ من الحالات. وبالتالي ، يشير مستوى الأهمية إلى احتمال الحصول على انحراف عشوائي عن النتائج المحددة باحتمالية معينة. تحدد الاحتمالات المأخوذة على أنها ثقة فاصل الثقة بينهما. يمكن استخدامها لتأسيس تقييم كمية معينة والحدود التي يمكن أن تكون فيها باحتمالات مختلفة.

بالنسبة للاحتمالات المختلفة ، ستكون فترات الثقة كما يلي:

Р 1 = فاصل 0.95 - 1.96 درجة إلى + 1.96 درجة (الشكل 5)

Р 2 = 0.99 الفاصل الزمني - 2.58 درجة إلى + 2.58 درجة

Р 3 = فاصل 0.999 - 3.03σ إلى + 3.03σ

تتوافق احتمالات الثقة مع القيم التالية للانحرافات المعيارية:

يقابل الاحتمال Р 1 = 0.95 t 1 = 1.96σ

الاحتمال Р 2 = 0.99 يتوافق مع t 2 = 2.58σ

الاحتمال Р 3 = 0.999 يتوافق مع t 3 = 3.03σ

يتم اختيار عتبة ثقة واحدة أو أخرى بناءً على أهمية الحدث. مستوى الأهمية في هذه الحالة هو احتمال أن تقرر إهمالها في هذه الدراسة أو الظاهرة.

يعني الخطأ (م) ، أو الخطأ التمثيلي.

خصائص العينة ، كقاعدة عامة ، لا تتوافق في القيمة المطلقة مع المعلمات العامة المقابلة. يسمى مقدار انحراف مؤشر العينة عن معامله العام خطأ إحصائيًا أو خطأ تمثيلي. الأخطاء الإحصائية متأصلة فقط في خصائص العينة ، فهي تنشأ في عملية اختيار خيار من عامة السكان.

يتم حساب متوسط الخطأ بواسطة الصيغة:

أين σ هو الانحراف المعياري ،

ن هو عدد القياسات (حجم العينة).

معبرا عنها بنفس وحدات.

قيمة الخطأ المتوسط تتناسب عكسيا مع حجم العينة. كلما كان حجم العينة أكبر ، كلما كان متوسط الخطأ أصغر ، وبالتالي ، كان التناقض بين قيم الميزات في العينة والجمهور العام أصغر.

يمكن استخدام متوسط خطأ العينة لتقدير متوسط السكان وفقًا للتوزيع الطبيعي. لذلك ، ضمن ± 1 هو 68.3 ٪ من جميع الوسائل الحسابية للعينة ، في غضون ± 2 - 95.5 ٪ من جميع متوسطات العينة ، في غضون ± 3 - 99.7 ٪ من جميع متوسطات العينة.

دقة التقدير ومستوى الثقة (الموثوقية)

فاصل الثقة

عند أخذ عينات من حجم صغير ، يجب استخدام تقديرات الفاصل الزمني. هذا يجعل من الممكن تجنب الأخطاء الجسيمة ، على عكس تقديرات النقطة.

يتم استدعاء تقدير الفاصل ، والذي يتم تحديده بواسطة رقمين - نهايات الفترة التي تغطي المعلمة المقدرة. تتيح تقديرات الفترات إمكانية تحديد دقة وموثوقية التقديرات.

دع الخاصية الإحصائية * الموجودة من بيانات العينة تعمل كتقدير للمعامل غير المعروف. سنفترض أنه رقم ثابت (قد يكون متغيرًا عشوائيًا). من الواضح أن * تحدد المعلمة β بشكل أكثر دقة ، كلما كانت القيمة المطلقة للفرق أصغر | - * |. بمعنى آخر ، إذا> 0 و | - * |< , то чем меньше, тем оценка точнее. Таким образом, положительное число характеризует точность оценки.

ومع ذلك ، لا تسمح الأساليب الإحصائية بالتأكيد بشكل قاطع أن التقدير * يلبي عدم المساواة | - * |<, можно лишь говорить о вероятности, с которой это неравенство осуществляется.

الموثوقية (احتمال الثقة) لتقدير * هو الاحتمال الذي به المتباينة | - * |<. Обычно надежность оценки задается наперед, причем в качестве берут число, близкое к единице. Наиболее часто задают надежность, равную 0,95; 0,99 и 0,999.

دع الاحتمال أن | - * |<, равна т.е.

استبدال المتباينة | - * |< равносильным ему двойным неравенством -<| - *|<, или *- <<*+, имеем

ص (* -< <*+)=.

يسمى فاصل الثقة (* - ، * +) ، والذي يغطي المعلمة غير المعروفة بموثوقية معينة.

فترات الثقة لتقدير التوقع الرياضي للتوزيع الطبيعي عند معرفته.

تقدير الفاصل مع موثوقية التوقع الرياضي أ للسمة الكمية الموزعة بشكل طبيعي X بواسطة متوسط العينة x مع الانحراف المعياري المعروف لعامة السكان هو فترة الثقة

س - تي (/ n ^؟)< a < х + t(/n^?),

حيث t (/ n ^؟) = دقة التقدير ، n حجم العينة ، t هي قيمة وسيطة دالة لابلاس Ф (t) ، حيث Ф (t) = / 2.

من المساواة t (/ n ^؟) = ، يمكننا استخلاص الاستنتاجات التالية:

1. مع زيادة حجم العينة n ، يتناقص العدد ، وبالتالي تزداد دقة التقدير ؛

2. زيادة موثوقية التقدير = 2Ф (t) تؤدي إلى زيادة في t (Ф (t) دالة متزايدة) ، وبالتالي ، إلى زيادة ؛ بمعنى آخر ، تؤدي زيادة موثوقية التقدير الكلاسيكي إلى انخفاض دقته.

مثال. المتغير العشوائي X له توزيع طبيعي بانحراف معياري معروف = 3. أوجد فترات الثقة لتقدير التوقع المجهول أ من العينة يعني س ، إذا كان حجم العينة ن = 36 وتم ضبط موثوقية التقدير على 0.95.

المحلول. دعنا نجد t. من العلاقة 2Ф (t) = 0.95 نحصل على Ф (t) = 0.475. وفقًا للجدول نجد t = 1.96.

أوجد دقة التقدير:

دقة قياس فترة الثقة

T (/ ن ^؟) = (1 .96. 3) / / 36 = 0.98.

فاصل الثقة هو: (x - 0.98 ؛ x + 0.98). على سبيل المثال ، إذا كانت x = 4.1 ، فإن فاصل الثقة له حدود الثقة التالية:

س - 0.98 = 4.1 - 0.98 = 3.12 ؛ س + 0.98 = 4.1 + 0.98 = 5.08.

وهكذا ، فإن قيم المعلمة المجهولة a ، المتوافقة مع بيانات العينة ، تحقق المتباينة 3.12< а < 5,08. Подчеркнем, что было бы ошибочным написать Р (3,12 < а < 5,08) = 0,95. Действительно, так как а - постоянная величина, то либо она заключена в найденном интервале (тогда событие 3,12 < а < 5,08 достоверно и его вероятность равна единице), либо в нем не заключена (в этом случае событие 3,12 < а < 5,08 невозможно и его вероятность равна нулю). Другими словами, доверительную вероятность не следует связывать с оцениваемым параметром; она связана лишь с границами доверительного интервала, которые, как уже было указано, изменяются от выборки к выборке.

دعونا نشرح معنى الموثوقية المعطاة. الموثوقية = 0.95 تشير إلى أنه إذا تم أخذ عدد كبير بما فيه الكفاية من العينات ، فإن 95 ٪ منها تحدد فترات الثقة التي يتم فيها تضمين المعلمة بالفعل ؛ فقط في 5٪ من الحالات يمكن أن تتجاوز فترة الثقة.

إذا كان مطلوبًا تقدير التوقع الرياضي بدقة وموثوقية محددين مسبقًا ، فعندئذٍ يتم العثور على الحد الأدنى لحجم العينة الذي يضمن هذه الدقة بواسطة الصيغة

فترات الثقة لتقدير التوقع الرياضي لتوزيع طبيعي مجهول

تقدير الفاصل مع موثوقية التوقع الرياضي أ للسمة الكمية الموزعة بشكل طبيعي X بواسطة متوسط العينة x مع انحراف معياري غير معروف لعامة السكان هو فترة الثقة

س - تي () (ق / ن ^؟)< a < х + t()(s/n^?),

حيث s هو الانحراف المعياري للعينة "المصححة" ، تم العثور على t () في الجدول وفقًا للمعطى و n.

مثال. يتم توزيع السمة الكمية X لعامة السكان بشكل طبيعي. بناءً على حجم العينة n = 16 ، تم العثور على متوسط العينة x = 20.2 والانحراف المعياري "المصحح" s = 0.8. تقدير المتوسط المجهول باستخدام فاصل ثقة بموثوقية 0.95.

المحلول. لنجد t (). باستخدام الجدول = 0.95 و n = 16 نجد t () = 2.13.

لنجد حدود الثقة:

x - t () (s / n ^؟) \ u003d 20.2 - 2.13 *. 0.8 / 16 ^؟ = 19.774

x + t () (s / n ^؟) = 20.2 + 2.13 * 0.8 / 16 ^؟ = 20.626

لذلك ، مع موثوقية 0.95 ، يتم تضمين المعلمة غير المعروفة a في فاصل الثقة 19.774< а < 20,626

تقدير القيمة الحقيقية للقيمة المقاسة

دع n يتم إجراء قياسات متساوية مستقلة لبعض الكمية المادية ، والقيمة الحقيقية لها غير معروفة.

سننظر في نتائج القياسات الفردية كمتغيرات عشوائية Хl، Х2،… n. هذه الكميات مستقلة (القياسات مستقلة). لديهم نفس التوقع الرياضي أ (القيمة الحقيقية للقيمة المقاسة) ، نفس الفروق ^ 2 (القياسات المكافئة) ويتم توزيعها بشكل طبيعي (يتم تأكيد هذا الافتراض من خلال التجربة).

وبالتالي ، يتم استيفاء جميع الافتراضات التي تم إجراؤها عند اشتقاق فترات الثقة ، وبالتالي ، فإننا أحرار في استخدام الصيغ. بمعنى آخر ، يمكن تقدير القيمة الحقيقية للكمية المقاسة من المتوسط الحسابي لنتائج القياسات الفردية باستخدام فترات الثقة.

مثال. بناءً على بيانات تسعة قياسات مستقلة متساوية الدقة للكمية المادية ، تم العثور على المتوسط الحسابي لنتائج القياسات الفردية x = 42.319 والانحراف المعياري "المصحح" s = 5.0. مطلوب تقدير القيمة الحقيقية للكمية المقاسة بموثوقية = 0.95.

المحلول. القيمة الحقيقية للكمية المقاسة تساوي توقعاتها الرياضية. لذلك ، يتم تقليل المشكلة إلى تقدير التوقع الرياضي (في المجهول) باستخدام فاصل ثقة يغطي أ مع موثوقية معينة = 0.95.

س - تي () (ق / ن ^؟)< a < х + t()(s/n^?)

باستخدام الجدول ، نجد لـ y \ u003d 0.95 و l \ u003d 9

أوجد دقة التقدير:

ر () (ق / ن ^؟) = 2.31 * 5/9 ^؟ = 3.85

لنجد حدود الثقة:

x - t () (s / n ^؟) \ u003d 42.319 - 3.85 \ u003d 38.469 ؛

x + t () (s / n ^؟) \ u003d 42.319 + 3.85 \ u003d 46.169.

لذلك ، مع موثوقية 0.95 ، تكمن القيمة الحقيقية للقيمة المقاسة في فاصل الثقة 38.469< а < 46,169.

فترات الثقة لتقدير الانحراف المعياري للتوزيع الطبيعي.

دع السمة الكمية X لعامة السكان توزع بشكل طبيعي. مطلوب لتقدير الانحراف المعياري العام غير المعروف عن نموذج الانحراف المعياري "المصحح". للقيام بذلك ، نستخدم تقدير الفاصل.

تقدير الفاصل (مع الموثوقية) للانحراف المعياري o للسمة الكمية الموزعة بشكل طبيعي X من الانحراف المعياري للعينة "المصححة" هو فترة الثقة

ق (1 - ف)< < s (1 + q) (при q < 1),

0 < < s (1 + q) (при q > 1),

حيث تم العثور على q وفقًا لجدول n n المعطى.

مثال 1. يتم توزيع السمة الكمية X لعامة السكان بشكل طبيعي. بناءً على عينة من الحجم n = 25 ، تم العثور على الانحراف المعياري "المصحح" s = 0.8. أوجد فاصل الثقة الذي يغطي الانحراف المعياري العام بموثوقية تبلغ 0.95.

المحلول. وفقًا للجدول ، وفقًا للبيانات = 0.95 و n = 25 ، نجد q = 0.32.

فاصل الثقة المطلوب s (1 - q)< < s (1 + q) таков:

0,8(1-- 0,32) < < 0,8(1+0,32), или 0,544 < < 1,056.

مثال 2. يتم توزيع السمة الكمية X لعامة السكان بشكل طبيعي. بناءً على عينة من الحجم n = 10 ، تم العثور على الانحراف المعياري "المصحح" s = 0.16. ابحث عن فاصل الثقة الذي يغطي الانحراف المعياري العام بموثوقية تبلغ 0.999.

المحلول. وفقًا لجدول التطبيق ، وفقًا للبيانات = 0.999 و n = 10 ، نجد 17 = 1.80 (q> 1). فاصل الثقة المطلوب هو:

0 < < 0,16(1 + 1,80), или 0 < < 0,448.

صف دراسيدقة القياس

في نظرية الأخطاء ، من المعتاد وصف دقة القياس (دقة الأداة) باستخدام الانحراف المعياري لأخطاء القياس العشوائية. يتم استخدام الانحراف المعياري "المصحح" للتقييم. نظرًا لأن نتائج القياس عادة ما تكون مستقلة بشكل متبادل ، ولها نفس التوقعات الرياضية (القيمة الحقيقية للكمية المقاسة) ونفس التشتت (في حالة القياسات الدقيقة بشكل متساوٍ) ، فإن النظرية المقدمة في الفقرة السابقة قابلة للتطبيق لتقييم القياس صحة.

مثال. بناءً على 15 قياسًا دقيقًا بشكل متساوٍ ، تم العثور على الانحراف المعياري "المصحح" s = 0.12. أوجد دقة القياس بموثوقية تبلغ 0.99.

المحلول. تتميز دقة القياس بالانحراف المعياري للأخطاء العشوائية ، لذلك يتم تقليل المشكلة إلى إيجاد فاصل الثقة s (1 - q)< < s (1 + q) , покрывающего с заданной надежностью 0,99

وفقًا لجدول التطبيق لـ = 0.99 و n = 15 نجد q = 0.73.

فاصل الثقة المطلوب

0,12(1-- 0,73) < < 0,12(1+0,73), или 0.03 < < 0,21.

تقدير الاحتمال (التوزيع ذي الحدين) بالتردد النسبي

تقدير الفاصل (مع الموثوقية) للاحتمال غير المعروف p للتوزيع ذي الحدين فيما يتعلق بالتردد النسبي w هو فاصل الثقة (مع نهايتين تقريبية p1 و p2)

ص 1< p < p2,

حيث n هو العدد الإجمالي للاختبارات ؛ م هو عدد تكرارات الحدث ؛ w هو التردد النسبي يساوي النسبة م / ن ؛ t هي قيمة وسيطة دالة لابلاس ، حيث Ф (t) = / 2.

تعليق. بالنسبة للقيم الكبيرة لـ n (بترتيب المئات) ، يمكن للمرء أن يتخذ حدودًا تقريبية لفاصل الثقة

غالبًا ما يتعين على المثمن تحليل سوق العقارات للجزء الذي يوجد فيه كائن التقييم. إذا تم تطوير السوق ، فقد يكون من الصعب تحليل المجموعة الكاملة من العناصر المعروضة ، وبالتالي ، يتم استخدام عينة من العناصر للتحليل. هذه العينة ليست متجانسة دائمًا ، وفي بعض الأحيان يكون مطلوبًا إزالتها من التطرف - عروض السوق مرتفعة جدًا أو منخفضة جدًا. لهذا الغرض ، يتم تطبيقه فاصل الثقة. الغرض من هذه الدراسة هو إجراء تحليل مقارن لطريقتين لحساب فترة الثقة واختيار أفضل خيار حساب عند العمل مع عينات مختلفة في نظام Estimatica.pro.

فاصل الثقة - محسوبًا على أساس العينة ، الفاصل الزمني لقيم السمة ، والذي يحتوي باحتمال معروف على المعلمة المقدرة لعامة السكان.

معنى حساب فاصل الثقة هو بناء مثل هذا الفاصل بناءً على بيانات العينة بحيث يمكن تأكيدها باحتمالية معينة أن قيمة المعلمة المقدرة في هذه الفترة. بمعنى آخر ، تحتوي فترة الثقة ذات الاحتمالية المحددة على القيمة غير المعروفة للكمية المقدرة. كلما اتسع الفاصل الزمني ، زادت عدم الدقة.

هناك طرق مختلفة لتحديد فترة الثقة. في هذه المقالة ، سننظر في طريقتين:

من خلال الانحراف الوسيط والمعياري ؛
من خلال القيمة الحرجة لإحصاء t (معامل الطالب).

مراحل التحليل المقارن للطرق المختلفة لحساب CI:

1. تكوين عينة بيانات.

2. نعالجها بالطرق الإحصائية: نحسب متوسط القيمة ، الوسيط ، التباين ، إلخ ؛

3. نحسب فاصل الثقة بطريقتين.

4. تحليل العينات التي تم تنظيفها وفترات الثقة التي تم الحصول عليها.

المرحلة 1. أخذ عينات البيانات

تم تكوين العينة باستخدام نظام Estimatica.pro. تضمنت العينة 91 عرضًا لبيع شقق من غرفة واحدة في المنطقة السعرية الثالثة بنوع التخطيط "خروتشوف".

الجدول 1. العينة الأولية

	سعر 1 متر مربع ، c.u.

رسم بياني 1. عينة أولية

المرحلة الثانية: تجهيز العينة الأولية

تتطلب معالجة العينة بالطرق الإحصائية حساب القيم التالية:

1. الوسط الحسابي

2. الوسيط - رقم يميز العينة: نصف عناصر العينة بالضبط أكبر من الوسيط ، والنصف الآخر أقل من المتوسط

(لعينة ذات عدد فردي من القيم)

3. المدى - الفرق بين القيم القصوى والدنيا في العينة

4. التباين - يستخدم لتقدير التباين في البيانات بدقة أكبر

5. الانحراف المعياري للعينة (المشار إليه فيما يلي بـ RMS) هو المؤشر الأكثر شيوعًا لتشتت قيم الضبط حول المتوسط الحسابي.

6. معامل الاختلاف - يعكس درجة تشتت قيم التعديل

7. معامل التذبذب - يعكس التقلب النسبي للقيم القصوى للأسعار في العينة حول المتوسط

الجدول 2. المؤشرات الإحصائية للعينة الأصلية

معامل التباين ، الذي يميز تجانس البيانات ، هو 12.29٪ ، لكن معامل التذبذب كبير جدًا. وبالتالي ، يمكننا القول أن العينة الأصلية ليست متجانسة ، لذلك دعنا ننتقل إلى حساب فترة الثقة.

المرحلة 3. حساب فترة الثقة

الطريقة الأولى: الحساب من خلال الوسيط والانحراف المعياري.

يتم تحديد فاصل الثقة على النحو التالي: الحد الأدنى للقيمة - يتم طرح الانحراف المعياري من الوسيط ؛ القيمة القصوى - يضاف الانحراف المعياري إلى الوسيط.

وبالتالي ، فاصل الثقة (47179 CU ؛ 60689 CU)

أرز. 2. القيم ضمن فترة الثقة 1.

الطريقة الثانية: بناء فترة ثقة من خلال القيمة الحرجة لإحصائيات t (معامل الطالب)

S.V. يصف جريبوفسكي في كتابه "الطرق الرياضية لتقييم قيمة الخاصية" طريقة لحساب فاصل الثقة من خلال معامل الطالب. عند الحساب بهذه الطريقة ، يجب على المقدر نفسه تعيين مستوى الأهمية ∝ ، والذي يحدد الاحتمال الذي سيتم بناء فاصل الثقة به. يشيع استخدام مستويات الدلالة 0.1 ؛ 0.05 و 0.01. تتوافق مع احتمالات الثقة 0.9 ؛ 0.95 و 0.99. باستخدام هذه الطريقة ، تعتبر القيم الحقيقية للتوقع والتباين الرياضي غير معروفة عمليًا (وهو أمر صحيح دائمًا عند حل مشكلات التقييم العملي).

صيغة فترة الثقة:

ن - حجم العينة ؛

القيمة الحرجة لـ t-Statistics (توزيعات الطلاب) بمستوى أهمية ∝ ، عدد درجات الحرية n-1 ، والتي يتم تحديدها بواسطة جداول إحصائية خاصة أو باستخدام MS Excel (→ "إحصائي" → STUDRASPOBR) ؛

∝ - مستوى الأهمية ، نأخذ ∝ = 0.01.

أرز. 2. القيم ضمن فترة الثقة 2.

الخطوة 4. تحليل الطرق المختلفة لحساب فترة الثقة

أدت طريقتان لحساب فاصل الثقة - من خلال الوسيط ومعامل الطالب - إلى قيم مختلفة للفترات الزمنية. وفقًا لذلك ، تم الحصول على عينتين مختلفتين.

الجدول 3. المؤشرات الإحصائية لثلاث عينات.

فِهرِس	عينة أولية	1 خيار	الخيار 2
يعني


تشتت

كويف. الاختلافات
كويف. التذبذبات
عدد الأشياء المتقاعدة ، أجهزة الكمبيوتر.

بناءً على الحسابات التي تم إجراؤها ، يمكننا القول أن قيم فترات الثقة التي تم الحصول عليها من خلال طرق مختلفة تتقاطع ، لذلك يمكنك استخدام أي من طرق الحساب وفقًا لتقدير المثمن.

ومع ذلك ، نعتقد أنه عند العمل في نظام Estimatica.pro ، يُنصح باختيار طريقة لحساب فاصل الثقة ، اعتمادًا على درجة تطور السوق:

إذا لم يتم تطوير السوق ، فقم بتطبيق طريقة الحساب من خلال الانحراف المتوسط والمعياري ، لأن عدد العناصر المتوقفة في هذه الحالة صغير ؛
إذا تم تطوير السوق ، فقم بتطبيق الحساب من خلال القيمة الحرجة لإحصاءات t (معامل الطالب) ، حيث أنه من الممكن تكوين عينة أولية كبيرة.

في إعداد المقال تم استخدام:

1. Gribovsky S.V.، Sivets S.A.، Levykina I.A. الطرق الرياضية لتقدير قيمة العقار. موسكو ، 2014

2. البيانات من نظام Estimatica.pro

يعتمد تحليل الأخطاء العشوائية على نظرية الأخطاء العشوائية ، مما يجعل من الممكن ، مع ضمان معين ، حساب القيمة الفعلية للكمية المقاسة وتقييم الأخطاء المحتملة.

أساس نظرية الأخطاء العشوائية هو الافتراضات التالية:

مع عدد كبير من القياسات ، تحدث أخطاء عشوائية من نفس الحجم ، ولكن بعلامة مختلفة ، في كثير من الأحيان ؛

الأخطاء الكبيرة أقل شيوعًا من الأخطاء الصغيرة (يتناقص احتمال الخطأ مع زيادة قيمته) ؛

مع عدد لا نهائي من القياسات ، فإن القيمة الحقيقية للكمية المقاسة تساوي المتوسط الحسابي لجميع نتائج القياس ؛

يتم وصف ظهور نتيجة قياس أو أخرى كحدث عشوائي بواسطة قانون التوزيع العادي.

في الممارسة العملية ، يتم التمييز بين مجموعة القياسات العامة وعينة.

تحت عامة السكان تتضمن المجموعة الكاملة لقيم القياس الممكنة أو قيم الخطأ المحتملة
.

لعينة من السكان عدد القياسات محدودة ، وفي كل حالة محددة بدقة. يعتقدون أنه إذا
، ثم متوسط قيمة هذه المجموعة من القياسات قريبة بما يكفي من قيمتها الحقيقية.

1. تقدير الفاصل باستخدام احتمالية الثقة

بالنسبة لعينة كبيرة وقانون التوزيع العادي ، فإن خاصية التقييم العامة للقياس هي التباين
ومعامل الاختلاف :

;
. (1.1)

يميز التشتت تجانس القياس. الأعلى
، كلما زاد تبعثر القياس.

معامل الاختلاف يميز التباين. الأعلى ، كلما زاد تباين القياسات بالنسبة للقيم المتوسطة.

لتقييم موثوقية نتائج القياس ، يتم تقديم مفاهيم فاصل الثقة واحتمالية الثقة في الاعتبار.

موثوق به يسمى الفاصل الزمني القيم , حيث تقع القيمة الحقيقية الكمية المقاسة باحتمالية معينة.

احتمالية الثقة (موثوقية) القياس هو احتمال وقوع القيمة الحقيقية للكمية المقاسة ضمن فاصل ثقة معين ، أي إلى المنطقة
. يتم تحديد هذه القيمة في كسور الوحدة أو بالنسبة المئوية.