مصفوفة مربع الهوية. (35) 84. ما هي المصفوفات المستطيلة والمربعة؟ أمثلة

المساعدة الإنمائية الرسمية. طاولة مستطيلة مع رخطوط و صأعمدة الأعداد الحقيقية تسمى مصفوفةبحجم ر × ن. يتم الإشارة إلى المصفوفات بأحرف لاتينية كبيرة: A ، B ، ... ، وتتميز مجموعة من الأرقام بأقواس دائرية أو مربعة.

الأرقام المدرجة في الجدول تسمى عناصر المصفوفة ويتم الإشارة إليها بأحرف لاتينية صغيرة مع فهرس مزدوج ، حيث أنا- رقم السطر ي- رقم العمود عند التقاطع الذي يوجد به العنصر. بشكل عام ، المصفوفة مكتوبة على النحو التالي:

يتم النظر في مصفوفتين مساوإذا كانت العناصر المقابلة لها متساوية.

إذا كان عدد صفوف المصفوفة ريساوي عدد أعمدتها ص، ثم يسمى المصفوفة ميدان(مستطيل خلاف ذلك).

مصفوفة الحجم
يسمى مصفوفة الصف. مصفوفة الحجم

يسمى مصفوفة العمود.

عناصر المصفوفة بمؤشرات متساوية (
إلخ) ، شكل قطري رئيسيالمصفوفات. يُطلق على القطر الآخر اسم القطر الجانبي.

تسمى المصفوفة المربعة قطريإذا كانت جميع العناصر الموجودة خارج القطر الرئيسي تساوي صفرًا.

تسمى المصفوفة القطرية التي تكون مدخلاتها القطرية تساوي واحدًا غير مرتبطةمصفوفة ولها الترميز القياسي E:

إذا كانت جميع عناصر المصفوفة الموجودة أعلى (أو أسفل) القطر الرئيسي تساوي الصفر ، يُقال أن المصفوفة لها شكل مثلث:

§2. عمليات المصفوفة

1. تبديل المصفوفة - تحويل يتم فيه كتابة صفوف المصفوفة كأعمدة مع الحفاظ على ترتيبها. بالنسبة للمصفوفة المربعة ، فإن هذا التحويل يعادل رسم الخرائط المتماثل فيما يتعلق بالقطر الرئيسي:

2. يمكن تلخيص (طرح) مصفوفات من نفس البعد. مجموع (فرق) المصفوفات هو مصفوفة من نفس البعد ، كل عنصر منها يساوي مجموع (فرق) العناصر المقابلة للمصفوفات الأصلية:

3. يمكن ضرب أي مصفوفة برقم. حاصل ضرب المصفوفة برقم هو مصفوفة من نفس الترتيب ، كل عنصر فيها يساوي حاصل ضرب العنصر المقابل للمصفوفة الأصلية بهذا الرقم:

4. إذا كان عدد أعمدة إحدى المصفوفات يساوي عدد صفوف مصفوفة أخرى ، فيمكنك ضرب المصفوفة الأولى في الثانية. حاصل ضرب هذه المصفوفات هو مصفوفة ، كل عنصر منها يساوي مجموع حاصل الضرب الزوجي لعناصر الصف المقابل للمصفوفة الأولى وعناصر العمود المقابل في المصفوفة الثانية.

عاقبة. مصفوفة الأس إلى> 1 هو حاصل ضرب المصفوفة أ إلىذات مرة. تم تعريفه للمصفوفات المربعة فقط.

مثال.

خصائص العمليات على المصفوفات.

(أ + ب) + ج = أ + (ب + ج) ؛
ك (A + B) = kA + kV ؛
أ (ب + ج) = أب + أس ؛
(أ + ب) ج = أس + ق.
ك (أب) = (كا) ب = أ (كيلو فولت) ؛
أ (قبل الميلاد) = (أب) ج ؛
(كا) T = kA T ؛
(A + B) T \ u003d A T + B T ؛
(AB) T = B T A T ؛

الخصائص المذكورة أعلاه تشبه خصائص العمليات على الأرقام. هناك أيضًا خصائص محددة للمصفوفات. وتشمل هذه ، على سبيل المثال ، الخاصية المميزة لضرب المصفوفة. إذا كان المنتج AB موجودًا ، فسيكون المنتج BA

قد لا تكون موجودة

قد تختلف عن AB.

مثال. تقوم الشركة بتصنيع منتجات من نوعين A و B وتستخدم ثلاثة أنواع من المواد الخام S 1 و S 2 و S 3. يتم إعطاء معدلات استهلاك المواد الخام بواسطة المصفوفة N =
، أين ن اي جاي- كمية المواد الخام يتنفق على إنتاج وحدة الإنتاج أنا. يتم إعطاء خطة الإنتاج بواسطة المصفوفة C = (100 200) ، ويتم إعطاء تكلفة الوحدة لكل نوع من المواد الخام بواسطة المصفوفة . تحديد تكلفة المواد الخام المطلوبة للمخرجات المخطط لها والتكلفة الإجمالية للمواد الخام.

المحلول. يتم تعريف تكلفة المواد الخام على أنها منتج المصفوفتين C و N:

نحسب التكلفة الإجمالية للمواد الخام كمنتج لـ S و P.

في هذا الموضوع ، سننظر في مفهوم المصفوفة ، وكذلك أنواع المصفوفات. نظرًا لوجود الكثير من المصطلحات في هذا الموضوع ، سأضيف ملخصًا لتسهيل التنقل في المواد.

تعريف المصفوفة وعنصرها. الرموز.

مصفوفةهو جدول به $ m $ rows و $ n $ عمود. يمكن أن تكون عناصر المصفوفة كائنات ذات طبيعة متنوعة تمامًا: أرقام أو متغيرات أو ، على سبيل المثال ، مصفوفات أخرى. على سبيل المثال ، المصفوفة $ \ left (\ begin (array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \ end (array) \ right) $ بها 3 صفوف وعمودين ؛ عناصرها أعداد صحيحة. المصفوفة $ \ left (\ begin (array) (cccc) a & a ^ 9 + 2 & 9 & \ sin x \\ -9 & 3t ^ 2-4 & u-t & 8 \ end (array) \ right) $ يحتوي على صفين و 4 أعمدة.

طرق مختلفة لكتابة المصفوفات: إظهار \ إخفاء

يمكن كتابة المصفوفة ليس فقط بين قوسين دائريين ، ولكن أيضًا في أقواس مستقيمة مربعة أو مزدوجة. وهذا يعني أن الإدخالات أدناه تعني نفس المصفوفة:

$$ \ يسار (\ start (array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \ end (array) \ right)؛ \؛ \؛ \ يسار [\ start (array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \ end (array) \ right] ؛ \ ؛ \ ؛ \ يسار \ Vert \ start (مجموعة) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \ 8 & 0 \ end (array) \ right \ Vert $$

المنتج $ m \ مرات n $ يسمى حجم المصفوفة. على سبيل المثال ، إذا كانت المصفوفة تحتوي على 5 صفوف و 3 أعمدة ، فحينئذٍ يتحدث المرء عن مصفوفة 5 دولارات \ مرات 3 دولارات. المصفوفة $ \ left (\ begin (array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \ end (array) \ right) $ لها حجم $ 3 \ times 2 $.

عادةً ما يُرمز إلى المصفوفات بأحرف كبيرة من الأبجدية اللاتينية: $ A $ ، $ B $ ، $ C $ ، وهكذا. على سبيل المثال ، $ B = \ left (\ begin (array) (ccc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \ end (array) \ right) $. ينتقل ترقيم الأسطر من أعلى إلى أسفل ؛ أعمدة - من اليسار إلى اليمين. على سبيل المثال ، يحتوي الصف الأول من المصفوفة $ B $ على العنصرين 5 و 3 ، ويحتوي العمود الثاني على العناصر 3 ، -87 ، 0.

عادة ما يتم الإشارة إلى عناصر المصفوفات بأحرف صغيرة. على سبيل المثال ، عناصر المصفوفة $ A $ يُرمز لها ب $ a_ (ij) $. يحتوي الفهرس المزدوج $ ij $ على معلومات حول موضع العنصر في المصفوفة. الرقم $ i $ هو رقم الصف ، والرقم $ j $ هو رقم العمود الذي يوجد عند تقاطع العنصر $ a_ (ij) $. على سبيل المثال ، عند تقاطع الصف الثاني والعمود الخامس من المصفوفة $ A = \ left (\ begin (array) (cccccc) 51 & 37 & -9 & 0 & 9 & 97 \\ 1 & 2 & 3 & 41 & 59 & 6 \ -17 & -15 & -13 & -11 & -8 & -5 \\ 52 & 31 & -4 & -1 & 17 & 90 \ end (array) \ right) $ element $ أ_ (25) = 59 دولارًا:

وبالمثل ، عند تقاطع الصف الأول والعمود الأول ، لدينا العنصر $ a_ (11) = 51 $ ؛ عند تقاطع الصف الثالث والعمود الثاني - العنصر $ a_ (32) = - 15 $ وهكذا. لاحظ أن $ a_ (32) $ يُقرأ على أنه "a three two" لكن ليس "a two و 30".

للتسمية المختصرة للمصفوفة $ A $ ، حجمها يساوي $ m \ مرات n $ ، يتم استخدام الترميز $ A_ (m \ times n) $. يمكنك كتابة المزيد من التفاصيل:

$$ A_ (م \ مرات ن) = (أ_ (ij)) $$

حيث يشير الرمز $ (a_ (ij)) $ إلى عناصر المصفوفة $ A $. في شكل موسع بالكامل ، يمكن كتابة المصفوفة $ A_ (m \ times n) = (a_ (ij)) $ على النحو التالي:

$$ A_ (m \ times n) = \ left (\ start (array) (cccc) a_ (11) & a_ (12) & \ ldots & a_ (1n) \\ a_ (21) & a_ (22) & \ ldots & a_ (2n) \\ \ ldots & \ ldots & \ ldots & \ ldots \\ a_ (m1) & a_ (m2) & \ ldots & a_ (mn) \ end (array) \ right) $$

لنقدم مصطلحًا آخر - مصفوفات متساوية.

يتم استدعاء مصفوفتين من نفس الحجم $ A_ (m \ times n) = (a_ (ij)) $ و $ B_ (m \ times n) = (b_ (ij)) $ مساوإذا كانت العناصر المقابلة لها متساوية ، أي $ a_ (ij) = b_ (ij) $ للجميع $ i = \ overline (1، m) $ و $ j = \ overline (1، n) $.

شرح الإدخال $ i = \ overline (1، m) $: إظهار \ إخفاء

الإدخال "$ i = \ overline (1، m) $" يعني أن المعامل $ i $ يتغير من 1 إلى m. على سبيل المثال ، يشير الإدخال $ i = \ overline (1،5) $ إلى أن المعلمة $ i $ تأخذ القيم 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5.

لذلك ، من أجل مساواة المصفوفات ، يلزم شرطين: تطابق الأحجام وتساوي العناصر المقابلة. على سبيل المثال ، المصفوفة $ A = \ left (\ begin (array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \ end (array) \ right) $ لا تساوي المصفوفة $ B = \ left (\ begin (array) (cc) 8 & -9 \\ 0 & -87 \ end (array) \ right) $ لأن المصفوفة $ A $ هي $ 3 \ times 2 $ والمصفوفة $ B $ هي 2 دولار \ مرة 2 دولار. أيضًا المصفوفة $ A $ لا تساوي المصفوفة $ C = \ left (\ begin (array) (cc) 5 & 3 \\ 98 & -87 \\ 8 & 0 \ end (array) \ right) $ لأن $ a_ (21) \ neq c_ (21) $ (أي $ 0 \ neq 98 $). ولكن بالنسبة للمصفوفة $ F = \ left (\ begin (array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \ end (array) \ right) $ ، يمكننا كتابة $ A بأمان = F $ لأن كلا من الحجم والعناصر المقابلة للمصفوفتين $ A $ و $ F $ يتطابقان.

مثال 1

حدد حجم المصفوفة $ A = \ left (\ begin (array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \\ -6 & 8 & 23 \\ 11 & -12 & -5 \ \ 4 & 0 & -10 \ \ نهاية (مصفوفة) \ يمين) $. حدد العناصر $ a_ (12) $، $ a_ (33) $، $ a_ (43) $ التي تساويها.

تحتوي هذه المصفوفة على 5 صفوف و 3 أعمدة ، لذا فإن حجمها 5 دولارات \ مرة 3 دولارات. يمكن أيضًا استخدام الترميز $ A_ (5 \ times 3) $ لهذه المصفوفة.

يقع العنصر $ a_ (12) $ عند تقاطع الصف الأول والعمود الثاني ، لذا $ a_ (12) = - 2 $. يقع العنصر $ a_ (33) $ عند تقاطع الصف الثالث والعمود الثالث ، لذا $ a_ (33) = 23 $. يقع العنصر $ a_ (43) $ عند تقاطع الصف الرابع والعمود الثالث ، لذا فإن $ a_ (43) = - 5 $.

إجابه: $ a_ (12) = - 2 $، $ a_ (33) = 23 $، $ a_ (43) = - 5 $.

أنواع المصفوفات حسب حجمها. الأقطار الرئيسية والجانبية. تتبع المصفوفة.

دعنا نعطي مصفوفة $ A_ (m \ times n) $. إذا كان $ m = 1 $ (تتكون المصفوفة من صف واحد) ، فسيتم استدعاء المصفوفة المعطاة صف المصفوفة. إذا كان $ n = 1 $ (تتكون المصفوفة من عمود واحد) ، فسيتم استدعاء هذه المصفوفة مصفوفة العمود. على سبيل المثال ، $ \ left (\ begin (array) (ccccc) -1 & -2 & 0 & -9 & 8 \ end (array) \ right) $ مصفوفة صف ، و $ \ left (\ begin (array) ) (ج) -1 \\ 5 \\ 6 \ end (مجموعة) \ يمين) $ - مصفوفة العمود.

إذا كان الشرط $ m \ neq n $ صحيحًا للمصفوفة $ A_ (m \ times n) $ (أي أن عدد الصفوف لا يساوي عدد الأعمدة) ، فيقال غالبًا أن $ A $ هي مصفوفة مستطيلة. على سبيل المثال ، المصفوفة $ \ left (\ begin (array) (cccc) -1 & -2 & 0 & 9 \\ 5 & 9 & 5 & 1 \ end (array) \ right) $ لها حجم $ 2 \ times 4 $ ، هؤلاء. يحتوي على صفين و 4 أعمدة. نظرًا لأن عدد الصفوف لا يساوي عدد الأعمدة ، فإن هذه المصفوفة مستطيلة.

إذا كان الشرط $ m = n $ صحيحًا للمصفوفة $ A_ (m \ times n) $ (على سبيل المثال ، عدد الصفوف يساوي عدد الأعمدة) ، عندئذٍ يُقال إن $ A $ مصفوفة مربعة من طلب $ n $. على سبيل المثال ، $ \ left (\ begin (array) (cc) -1 & -2 \\ 5 & 9 \ end (array) \ right) $ هي مصفوفة مربعة من الدرجة الثانية ؛ $ \ left (\ begin (array) (ccc) -1 & -2 & 9 \\ 5 & 9 & 8 \\ 1 & 0 & 4 \ end (array) \ right) $ هي مصفوفة مربعة من الدرجة الثالثة. بشكل عام ، يمكن كتابة المصفوفة المربعة $ A_ (n \ times n) $ على النحو التالي:

$$ A_ (n \ times n) = \ left (\ start (array) (cccc) a_ (11) & a_ (12) & \ ldots & a_ (1n) \\ a_ (21) & a_ (22) & \ ldots & a_ (2n) \\ \ ldots & \ ldots & \ ldots & \ ldots \\ a_ (n1) & a_ (n2) & \ ldots & a_ (nn) \ end (array) \ right) $$

العناصر $ a_ (11) $، $ a_ (22) $، $ \ ldots $، $ a_ (nn) $ يقال إنها في قطري رئيسيالمصفوفات $ A_ (n \ times n) $. تسمى هذه العناصر العناصر القطرية الرئيسية(أو مجرد عناصر قطرية). العناصر $ a_ (1n) $، $ a_ (2 \؛ n-1) $، $ \ ldots $، $ a_ (n1) $ تعمل الجانب (الثانوي) قطري؛ يطلق عليهم عناصر قطرية ثانوية. على سبيل المثال ، بالنسبة للمصفوفة $ C = \ left (\ begin (array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1 \\ 5 & 9 & 8 & 0 \\ 1 & 0 & 4 & -7 \\ -4 & -9 & 5 & 6 \ end ( صفيف) حق) $ لدينا:

العناصر $ c_ (11) = 2 $ ، $ c_ (22) = 9 $ ، $ c_ (33) = 4 $ ، $ c_ (44) = 6 $ هي العناصر القطرية الرئيسية ؛ العناصر $ c_ (14) = 1 $ ، $ c_ (23) = 8 $ ، $ c_ (32) = 0 $ ، $ c_ (41) = - 4 $ عناصر قطرية ثانوية.

يتم استدعاء مجموع العناصر القطرية الرئيسية متبوعة بمصفوفةويشار إليها بـ $ \ Tr A $ (أو $ \ Sp A $):

$$ \ Tr A = a_ (11) + a_ (22) + \ ldots + a_ (nn) $$

على سبيل المثال ، بالنسبة للمصفوفة $ C = \ left (\ begin (array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1 \\ 5 & 9 & 8 & 0 \\ 1 & 0 & 4 & -7 \\ - 4 & -9 & 5 & 6 \ end (array) \ right) $ لدينا:

$$ \ Tr C = 2 + 9 + 4 + 6 = 21. $$

يستخدم مفهوم العناصر القطرية أيضًا في المصفوفات غير المربعة. على سبيل المثال ، للمصفوفة $ B = \ left (\ begin (array) (ccccc) 2 & -2 & 9 & 1 & 7 \ 5 & -9 & 8 & 0 & -6 \\ 1 & 0 & 4 & - 7 & -6 \ end (array) \ right) $ ستكون العناصر القطرية الرئيسية $ b_ (11) = 2 $ ، $ b_ (22) = - 9 $ ، $ b_ (33) = 4 $.

أنواع المصفوفات حسب قيم عناصرها.

إذا كانت جميع عناصر المصفوفة $ A_ (m \ times n) $ تساوي الصفر ، فإن هذه المصفوفة تسمى لا شيءوعادة ما يشار إليه بالحرف $ O $. على سبيل المثال ، $ \ left (\ begin (array) (cc) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \ end (array) \ right) $ ، $ \ left (\ begin (array) (ccc) 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \ end (مجموعة) \ يمين) $ هي مصفوفات صفرية.

دع المصفوفة $ A_ (m \ times n) $ تبدو هكذا:

ثم تسمى هذه المصفوفة شبه منحرف. قد لا تحتوي على صفوف صفرية ، ولكن إذا كانت موجودة ، فهي موجودة في أسفل المصفوفة. في شكل أكثر عمومية ، يمكن كتابة المصفوفة شبه المنحرفة على النحو التالي:

مرة أخرى ، السلاسل الفارغة الزائدة اختيارية. أولئك. رسميًا ، يمكننا تحديد الشروط التالية لمصفوفة شبه منحرف:

جميع العناصر الموجودة أسفل القطر الرئيسي تساوي صفرًا.
كل العناصر من $ a_ (11) $ إلى $ a_ (rr) $ الكذب على القطر الرئيسي لا تساوي الصفر: $ a_ (11) \ neq 0، \؛ a_ (22) \ neq 0، \ ldots، a_ (rr) \ neq 0 $.
إما أن تكون جميع عناصر الصفوف $ m-r $ الأخيرة مساوية للصفر ، أو $ m = r $ (أي لا توجد صفوف صفرية على الإطلاق).

أمثلة على المصفوفات شبه المنحرفة:

دعنا ننتقل إلى التعريف التالي. المصفوفة $ A_ (م \ مرات n) $ تسمى صعدتإذا استوفت الشروط التالية:

على سبيل المثال ، ستكون مصفوفات الخطوة:

للمقارنة ، المصفوفة $ \ left (\ start (array) (cccc) 2 & -2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 8 & 7 \\ 0 & 0 & 4 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \ end (array) \ right) $ غير متدرج لأن الصف الثالث له نفس الجزء الصفري مثل الصف الثاني. وهذا يعني أن مبدأ "الخط الأدنى - الجزء الصفري أكبر" يتم انتهاكه. سأضيف أن المصفوفة شبه المنحرفة هي حالة خاصة من المصفوفة المتدرجة.

دعنا ننتقل إلى التعريف التالي. إذا كانت جميع عناصر المصفوفة المربعة الموجودة أسفل القطر الرئيسي تساوي صفرًا ، فسيتم استدعاء هذه المصفوفة مصفوفة مثلثة عليا. على سبيل المثال ، $ \ left (\ begin (array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1 \\ 0 & 9 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \ end (array) \ right) $ - مصفوفة مثلثة عليا. لاحظ أن تعريف المصفوفة المثلثية العليا لا يقول أي شيء عن قيم العناصر الموجودة فوق القطر الرئيسي أو على القطر الرئيسي. قد تكون أو لا تكون صفراً ، لا يهم. على سبيل المثال ، $ \ left (\ begin (array) (ccc) 0 & 0 & 9 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \ end (array) \ right) $ هي أيضاً مصفوفة مثلثة عليا.

إذا كانت جميع عناصر المصفوفة المربعة الموجودة فوق القطر الرئيسي تساوي صفرًا ، فسيتم استدعاء هذه المصفوفة مصفوفة مثلثة سفلية. على سبيل المثال ، $ \ left (\ begin (array) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ -5 & 1 & 0 & 0 & 8 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 0 & 6 \ end (array) \ right) $ - مصفوفة مثلثة سفلية. لاحظ أن تعريف المصفوفة المثلثية السفلية لا يقول أي شيء عن قيم العناصر الموجودة أدناه أو على القطر الرئيسي. قد تكون أو لا تكون فارغة ، لا يهم. على سبيل المثال ، $ \ left (\ begin (array) (ccc) -5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \ end (array) \ right) $ و $ \ left (\ start (array) (ccc) 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \ end (array) \ right) $ هي أيضًا مصفوفات مثلثة أقل.

تسمى المصفوفة المربعة قطريإذا كانت جميع عناصر هذه المصفوفة غير الموجودة على القطر الرئيسي تساوي صفرًا. مثال: $ \ left (\ begin (array) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \ نهاية (صفيف) \ يمين) $. يمكن أن تكون العناصر الموجودة على القطر الرئيسي أي شيء (تساوي صفرًا أو لا) - وهذا ليس ضروريًا.

تسمى المصفوفة القطرية غير مرتبطةإذا كانت جميع عناصر هذه المصفوفة الموجودة على القطر الرئيسي تساوي 1. على سبيل المثال ، $ \ left (\ begin (array) (cccc) 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \ end (مجموعة) \ يمين) $ - مصفوفة هوية الرتبة الرابعة ؛ $ \ left (\ begin (array) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end (array) \ right) $ هي مصفوفة هوية الرتبة الثانية.

تعتبر المصفوفات في الرياضيات من أهم الأشياء ذات الأهمية التطبيقية. غالبًا ما تبدأ رحلة إلى نظرية المصفوفات بالكلمات: "المصفوفة هي جدول مستطيل ...". سنبدأ هذه الرحلة من زاوية مختلفة قليلاً.

دفاتر الهاتف من أي حجم وبأي عدد من بيانات المشترك ليست سوى مصفوفات. تبدو هذه المصفوفات كما يلي:

من الواضح أننا جميعًا نستخدم مثل هذه المصفوفات كل يوم تقريبًا. تأتي هذه المصفوفات بأعداد مختلفة من الصفوف (مميزة كدليل صادر عن شركة الهاتف ، والتي يمكن أن تحتوي على آلاف ومئات الآلاف وحتى ملايين الأسطر ، ودفتر ملاحظات جديد بدأته للتو ، ويحتوي على أقل من عشرة أسطر) و الأعمدة (دليل المسؤولين في بعض المنظمات التي قد توجد فيها أعمدة مثل المنصب ورقم المكتب ونفس دفتر ملاحظاتك ، حيث قد لا توجد بيانات أخرى غير الاسم ، وبالتالي ، يحتوي على عمودين فقط - الاسم ورقم الهاتف).

يمكن إضافة جميع أنواع المصفوفات وضربها ، ويمكن إجراء عمليات أخرى عليها ، ولكن لا داعي لإضافة أدلة الهاتف ومضاعفتها ، ولا فائدة من ذلك ، وإلى جانب ذلك ، يمكنك تحريك عقلك.

ولكن يمكن بل وينبغي إضافة العديد من المصفوفات ومضاعفتها ويمكن حل العديد من المهام العاجلة بهذه الطريقة. فيما يلي أمثلة على هذه المصفوفات.

المصفوفات التي تكون الأعمدة فيها ناتج وحدات لنوع معين من المنتجات ، والصفوف هي السنوات التي يتم فيها تسجيل ناتج هذا المنتج:

يمكنك إضافة مصفوفات من هذا النوع ، والتي تأخذ في الاعتبار إنتاج منتجات مماثلة من قبل مختلف المؤسسات ، من أجل الحصول على بيانات موجزة عن الصناعة.

أو المصفوفات ، التي تتكون ، على سبيل المثال ، من عمود واحد ، حيث تمثل الصفوف متوسط تكلفة نوع معين من المنتجات:

يمكن ضرب مصفوفات النوعين الأخيرين ، والنتيجة هي مصفوفة صف تحتوي على تكلفة جميع أنواع المنتجات حسب السنوات.

المصفوفات والتعاريف الأساسية

طاولة مستطيلة تتكون من أرقام مرتبة في مخطوط و نالأعمدة تسمى مليون مصفوفة (أو ببساطة مصفوفة ) وكتب مثل هذا:

(1)

في المصفوفة (1) تسمى الأرقام به عناصر (كما هو الحال في المحدد ، يشير الفهرس الأول إلى رقم الصف ، والثاني - العمود ، الذي يوجد عند تقاطعه عنصر ؛ أنا = 1, 2, ..., م; ي = 1, 2, ن).

تسمى المصفوفة مستطيلي ، إذا .

إذا م = ن، ثم يسمى المصفوفة ميدان ، والرقم n هو مرتب .

محدد المصفوفة المربعة أ يسمى المحدد الذي تكون عناصره عناصر المصفوفة أ. يُشار إليه بالرمز | أ|.

تسمى المصفوفة المربعة غير خاص (أو غير منحط , غير مفرد ) إذا كان محدده لا يساوي صفرًا ، و خاص (أو تتدهور , صيغة المفرد ) إذا كان المحدد هو صفر.

تسمى المصفوفات مساو إذا كان لديهم نفس عدد الصفوف والأعمدة وجميع العناصر المتطابقة متشابهة.

تسمى المصفوفة لا شيء إذا كانت جميع عناصرها تساوي الصفر. سيتم الإشارة إلى المصفوفة الصفرية بالرمز 0 أو .

فمثلا،

مصفوفة الصف (أو أحرف صغيرة ) يسمى 1 ن-مصفوفة و مصفوفة العمود (أو عمودي ) – م 1-مصفوفة.

مصفوفة أ"، التي تم الحصول عليها من المصفوفة أتبادل الصفوف والأعمدة يسمى منقول فيما يتعلق بالمصفوفة أ. وبالتالي ، بالنسبة للمصفوفة (1) ، تكون المصفوفة المنقولة هي

الانتقال إلى عملية المصفوفة أ"، منقول فيما يتعلق بالمصفوفة أ، يسمى تبديل المصفوفة أ. إلى عن على مليون-المصفوفة المنقولة هي نانومتر-مصفوفة.

المصفوفة المنقولة بالنسبة للمصفوفة هي أ، هذا هو

(أ")" = أ .

مثال 1ابحث عن ماتريكس أ"، منقول فيما يتعلق بالمصفوفة

ومعرفة ما إذا كانت محددات المصفوفات الأصلية والمصفوفة المنقولة متساوية.

قطري رئيسي المصفوفة المربعة هي خط وهمي يربط بين عناصرها ، وكلا المؤشرين متماثلان. تسمى هذه العناصر قطري .

تسمى مصفوفة مربعة تكون فيها جميع العناصر خارج القطر الرئيسي مساوية للصفر قطري . ليست كل العناصر القطرية لمصفوفة قطرية بالضرورة غير صفرية. قد يكون بعضها مساويًا للصفر.

تسمى المصفوفة المربعة التي تكون فيها العناصر الموجودة على القطر الرئيسي مساوية لنفس العدد غير الصفري ، وكل العناصر الأخرى تساوي صفرًا ، المصفوفة العددية .

مصفوفة الهوية تسمى مصفوفة قطرية تكون فيها جميع العناصر القطرية مساوية لواحد. على سبيل المثال ، مصفوفة الوحدة من الرتبة الثالثة هي المصفوفة

مثال 2بيانات المصفوفة:

المحلول. دعونا نحسب محددات هذه المصفوفات. باستخدام قاعدة المثلثات ، نجد

محدد المصفوفة باحسب بالصيغة

نحصل على ذلك بسهولة

لذلك ، المصفوفات أوهي غير مفردة (غير منحلة ، غير مفردة) ، والمصفوفة ب- خاص (منحط ، مفرد).

من الواضح أن محدد مصفوفة الهوية لأي ترتيب يساوي واحدًا.

قم بحل مشكلة المصفوفة بنفسك ، ثم انظر إلى الحل

مثال 3بيانات المصفوفة

تحديد أي منهم غير مفرد (غير منحط ، غير مفرد).

تطبيق المصفوفات في النمذجة الرياضية والاقتصادية

في شكل مصفوفات ، تتم كتابة البيانات المنظمة حول كائن معين ببساطة وسهولة. يتم إنشاء نماذج المصفوفة ليس فقط لتخزين هذه البيانات المنظمة ، ولكن أيضًا لحل المشكلات المختلفة باستخدام هذه البيانات باستخدام الجبر الخطي.

وبالتالي ، فإن نموذج المصفوفة المعروف للاقتصاد هو نموذج المدخلات والمخرجات الذي قدمه الاقتصادي الأمريكي من أصل روسي فاسيلي ليونتيف. يعتمد هذا النموذج على افتراض أن قطاع التصنيع بأكمله في الاقتصاد مقسم إلى نالصناعات النظيفة. تنتج كل صناعة نوعًا واحدًا فقط من المنتجات وتنتج الصناعات المختلفة منتجات مختلفة. بسبب هذا التقسيم للعمل بين الصناعات ، توجد علاقات بين الصناعات ، ومعنى ذلك أن يتم نقل جزء من إنتاج كل صناعة إلى صناعات أخرى كمورد إنتاج.

حجم الإنتاج أنا- الصناعة (تقاس بوحدة قياس محددة) التي تم إنتاجها خلال الفترة المشمولة بالتقرير ، ويُشار إليها وتسمى الناتج الإجمالي أناالصناعة ال. يتم وضع المشكلات بشكل ملائم ن-صف مكون من المصفوفة.

عدد وحدات المنتج أناالصناعة التي ستنفق ي- الصناعة لإنتاج وحدة من إنتاجها ، ويشار إليها وتسمى معامل التكاليف المباشرة.

نقاط في الفضاء والمنتج رفيعطي متجهًا آخر يحدد موضع النقطة بعد الدوران. اذا كان الخامسهو متجه صف ، يمكن الحصول على نفس التحويل باستخدام vRتي أين ص T - منقولة إلى صمصفوفة.

موسوعي يوتيوب

1 / 5

C # - وحدة التحكم - الألعاب الأولمبية - سكوير لولب

المصفوفة: التعريف والمفاهيم الأساسية

أين تحصل على القوة والإلهام إعادة شحن 4 مصفوفة مربعة

مجموع المصفوفات وفرقها ، ضرب المصفوفة بعدد

مصفوفة منقولة / مصفوفة منقولة

ترجمات

قطري رئيسي

عناصر أ ثانيا (أنا = 1, ..., ن) تشكل القطر الرئيسي لمصفوفة مربعة. تقع هذه العناصر على خط مستقيم وهمي يمر من الزاوية اليسرى العليا إلى الزاوية اليمنى السفلية من المصفوفة. على سبيل المثال ، يحتوي القطر الرئيسي لمصفوفة 4x4 في الشكل على العناصر أ 11 = 9, أ 22 = 11, أ 33 = 4, أ 44 = 10.

يسمى قطري المصفوفة المربعة التي تمر عبر الزاويتين السفلية اليسرى واليمنى جانب.

أنواع خاصة

اسم	مثال مع ن = 3
مصفوفة قطرية	[a 11 0 0 0 a 22 0 0 0 a 33] (\ displaystyle (\ begin (bmatrix) a_ (11) & 0 & 0 \ 0 & a_ (22) & 0 \ 0 & 0 & a_ (33) end (bmatrix)))
مصفوفة مثلثة منخفضة	[a 11 0 0 a 21 a 22 0 a 31 a 32 a 33] (\ displaystyle (\ begin (bmatrix) a_ (11) & 0 & 0 \ a_ (21) & a_ (22) & 0 \\ a_ (31) & a_ ( 32) & أ_ (33) \ نهاية (بماتريكس)))
مصفوفة مثلثة عليا	[a 11 a 12 a 13 0 a 22 a 23 0 0 a 33] (\ displaystyle (\ begin (bmatrix) a_ (11) & a_ (12) & a_ (13) \\ 0 & a_ (22) & a_ (23) \\ 0 & 0 & a_ (33) \ نهاية (بماتريكس)))

المصفوفات القطرية والمثلثة

إذا كانت جميع العناصر خارج القطر الرئيسي صفرًا ، أيسمى قطري. إذا كانت جميع العناصر أعلاه (أدناه) القطر الرئيسي هي صفر ، أتسمى المصفوفة المثلثية السفلية (العلوية).

مصفوفة الهوية

س(x) = xتي فأس

يأخذ القيم الموجبة فقط (على التوالي ، القيم السالبة أو كليهما). إذا كان الشكل التربيعي يأخذ قيمًا غير سالبة (على التوالي ، غير موجبة فقط) ، يُقال أن المصفوفة المتماثلة تكون موجبة شبه محددة (على التوالي ، سلبية شبه محددة). تكون المصفوفة غير محددة إذا لم تكن موجبة أو سالبة نصف غير محددة.

المصفوفة المتماثلة تكون موجبة محددة إذا وفقط إذا كانت جميع قيمها الذاتية موجبة. يوضح الجدول الموجود على اليمين حالتين محتملتين لمصفوفات 2 × 2.

إذا استخدمنا متجهين مختلفين ، فسنحصل على صيغة ثنائية الخط مرتبطة بهما أ:

ب أ (x, ذ) = xتي آية.

مصفوفة متعامدة

مصفوفة متعامدةهي مصفوفة مربعة تحتوي على عناصر حقيقية تكون أعمدتها وصفوفها متجهات وحدة متعامدة (أي متعامدة). يمكن للمرء أيضًا تعريف المصفوفة المتعامدة على أنها مصفوفة يكون معكوسها مساويًا للتبديل:

A T = A - 1، (\ displaystyle A ^ (\ mathrm (T)) = A ^ (- 1)،)

من أين يتبع

A T A = A A T = E (\ displaystyle A ^ (T) A = AA ^ (T) = E),

مصفوفة متعامدة أدائما قابل للعكس ( أ −1 = أ T) ، الوحدوي ( أ −1 = أ*) وعادي ( أ*أ = AA*). محدد أي مصفوفة متعامدة هو إما +1 أو -1. كخريطة خطية ، فإن أي مصفوفة متعامدة مع المحدد +1 هي دوران بسيط ، بينما أي مصفوفة متعامدة مع المحدد −1 هي إما انعكاس بسيط أو تكوين انعكاس ودوران.

عمليات

مسار

محدد det ( أ) أو | أ| مصفوفة مربعة أهو رقم يحدد بعض خصائص المصفوفة. تكون المصفوفة قابلة للعكس فقط عندما يكون محددها غير صفري.

تعريف مصفوفة. أنواع المصفوفات

حجم المصفوفة م× نيسمى الكلي مالأرقام مرتبة في جدول مستطيل من مخطوط و نالأعمدة. عادة ما يكون هذا الجدول محاطًا بأقواس. على سبيل المثال ، قد تبدو المصفوفة كما يلي:

للإيجاز ، يمكن الإشارة إلى المصفوفة بحرف كبير واحد ، على سبيل المثال ، لكنأو في.

بشكل عام ، مصفوفة الحجم م× ناكتب مثل هذا

يتم استدعاء الأرقام التي تتكون منها المصفوفة عناصر المصفوفة. من الملائم تزويد عناصر المصفوفة بمؤشرين aij: الأول يشير إلى رقم الصف والثاني يشير إلى رقم العمود. فمثلا، أ 23- العنصر موجود في الصف الثاني ، العمود الثالث.

إذا كان عدد الصفوف في المصفوفة يساوي عدد الأعمدة ، فسيتم استدعاء المصفوفة ميدان، ويتم استدعاء عدد صفوفه أو أعمدته مرتبالمصفوفات. في الأمثلة أعلاه ، المصفوفة الثانية مربعة - ترتيبها 3 ، والمصفوفة الرابعة - ترتيبها هو 1.

يتم استدعاء المصفوفة التي لا يساوي عدد الصفوف فيها عدد الأعمدة مستطيلي. في الأمثلة ، هذه هي المصفوفة الأولى والثالثة.

هناك أيضًا مصفوفات تحتوي على صف واحد أو عمود واحد فقط.

تسمى مصفوفة من صف واحد فقط مصفوفة - صف(أو سلسلة) ، ومصفوفة تحتوي على عمود واحد فقط ، مصفوفة - عمود.

تسمى المصفوفة التي فيها جميع العناصر تساوي الصفر لا شيءويشار إليه بالرمز (0) أو ببساطة 0. على سبيل المثال ،

قطري رئيسيالمصفوفة المربعة هي القطر الذي ينتقل من الركن الأيسر العلوي إلى الركن الأيمن السفلي.

تسمى مصفوفة مربعة تكون فيها جميع العناصر الموجودة أسفل القطر الرئيسي مساوية للصفر الثلاثيمصفوفة.

تسمى مصفوفة مربعة تساوي فيها جميع العناصر ، باستثناء ربما تلك الموجودة على القطر الرئيسي ، الصفر قطريمصفوفة. على سبيل المثال ، أو.

تسمى المصفوفة القطرية التي فيها جميع المدخلات القطرية تساوي واحدًا غير مرتبطةالمصفوفة ويشار إليها بالحرف E. على سبيل المثال ، مصفوفة هوية الرتبة الثالثة لها الشكل .

إجراءات على المصفوفات

مصفوفة المساواة. مصفوفتان أو بيقال أنها متساوية إذا كان لديهم نفس عدد الصفوف والأعمدة والعناصر المقابلة لها متساوية aij = ب ij. حتى إذا و ، ومن بعد أ = ب، إذا أ 11 = ب 11 ، أ 12 = ب 12 ، أ 21 = ب 21و أ 22 = ب 22.

التحويل. ضع في اعتبارك مصفوفة عشوائية أمن مخطوط و نالأعمدة. يمكن أن يقترن بالمصفوفة التالية بمن نخطوط و مالأعمدة ، حيث يكون كل صف عمودًا من المصفوفة أبنفس الرقم (ومن ثم يكون كل عمود صفًا من المصفوفة أبنفس الرقم). حتى إذا ، ومن بعد .

هذه المصفوفة باتصل منقولمصفوفة أ، والانتقال من أإلى التحويل ب.

وبالتالي ، فإن التحويل هو انعكاس لأدوار الصفوف والأعمدة في المصفوفة. تم تحويل المصفوفة إلى مصفوفة أ، عادة ما يشار إليها في.

التواصل بين المصفوفة أويمكن كتابتها المنقولة كـ.

فمثلا.أوجد المصفوفة المنقولة إلى المصفوفة المعطاة.

إضافة مصفوفة.دع المصفوفات أو بتتكون من نفس عدد الصفوف ونفس عدد الأعمدة ، أي لديك نفس الأحجام. ثم من أجل إضافة المصفوفات أو ببحاجة إلى عناصر المصفوفة أأضف عناصر المصفوفة بواقفين في نفس الاماكن. وهكذا ، مجموع مصفوفتين أو بتسمى المصفوفة جالتي تحددها القاعدة ، على سبيل المثال ،

أمثلة.أوجد مجموع المصفوفات:

من السهل التحقق من أن إضافة المصفوفة تخضع للقوانين التالية: التبديل أ + ب = ب + أوترابطية ( أ + ب)+ج=أ+(ب + ج).

ضرب المصفوفة في عدد.لضرب مصفوفة ألكل رقم كبحاجة إلى كل عنصر من عناصر المصفوفة أاضرب بهذا الرقم. إذن حاصل ضرب المصفوفة ألكل رقم كهناك مصفوفة جديدة تحددها القاعدة أو .

لأية أرقام أو بوالمصفوفات أو بتتحقق المساواة:

أمثلة.

ضرب المصفوفة.تتم هذه العملية وفقًا لقانون خاص. بادئ ذي بدء ، نلاحظ أن أحجام عوامل المصفوفة يجب أن تكون متسقة. يمكنك فقط ضرب تلك المصفوفات التي يتطابق عدد أعمدة المصفوفة الأولى مع عدد صفوف المصفوفة الثانية (أي أن طول الصف الأول يساوي ارتفاع العمود الثاني). الشغلالمصفوفات أليس مصفوفة بتسمى المصفوفة الجديدة C = ABتتكون عناصرها على النحو التالي:

وهكذا ، على سبيل المثال ، من أجل الحصول على المنتج (أي في المصفوفة ج) العنصر الموجود في الصف الأول والعمود الثالث من 13، يجب أن تأخذ الصف الأول في المصفوفة الأولى ، والعمود الثالث في الصف الثاني ، ثم تضرب عناصر الصف في عناصر العمود المقابلة وتضيف المنتجات الناتجة. ويتم الحصول على عناصر أخرى من مصفوفة حاصل الضرب باستخدام حاصل ضرب مماثل لصفوف المصفوفة الأولى بواسطة أعمدة المصفوفة الثانية.

بشكل عام ، إذا ضربنا المصفوفة أ = (aij)بحجم م× نإلى المصفوفة ب = (بيج)بحجم ن× ص، ثم نحصل على المصفوفة جبحجم م× ص، والتي يتم حساب عناصرها على النحو التالي: عنصر ج ijيتم الحصول عليها نتيجة لمنتج العناصر أناالصف العاشر من المصفوفة أعلى العناصر ذات الصلة ي- العمود الثالث من المصفوفة بوجمعها.

يترتب على هذه القاعدة أنه يمكنك دائمًا ضرب مصفوفتين مربعتين من نفس الترتيب ، ونتيجة لذلك نحصل على مصفوفة مربعة من نفس الترتيب. على وجه الخصوص ، يمكن دائمًا ضرب المصفوفة المربعة بنفسها ، أي سدد حسابا.

حالة أخرى مهمة هي ضرب صف مصفوفة بعمود مصفوفة ، ويجب أن يكون عرض الأول مساويًا لارتفاع الثاني ، ونتيجة لذلك نحصل على مصفوفة من الدرجة الأولى (أي عنصر واحد). حقًا،

أمثلة.

وبالتالي ، تظهر هذه الأمثلة البسيطة أن المصفوفات ، بشكل عام ، لا تتنقل مع بعضها البعض ، أي أ ∙ ب ≠ ب ∙ أ . لذلك ، عند ضرب المصفوفات ، تحتاج إلى مراقبة ترتيب العوامل بعناية.

يمكن التحقق من أن ضرب المصفوفة يخضع لقوانين الترابط والتوزيع ، أي (AB) C = A (BC)و (أ + ب) ج = أس + ق.

من السهل أيضًا التحقق من ذلك عند ضرب مصفوفة مربعة أإلى مصفوفة الهوية هبنفس الترتيب ، نحصل مرة أخرى على المصفوفة أ، وعلاوة على ذلك AE = EA = A.

يمكن ملاحظة الحقيقة الغريبة التالية. كما هو معروف ، فإن حاصل ضرب عددين غير صفريين لا يساوي 0. بالنسبة للمصفوفات ، قد لا يكون هذا هو الحال ، أي قد يكون حاصل ضرب 2 من المصفوفات غير الصفرية مساويًا لمصفوفة الصفر.

فمثلا، إذا ، ومن بعد

مفهوم المحددات

دعنا نعطي مصفوفة من الدرجة الثانية - مصفوفة مربعة تتكون من صفين وعمودين .

محدد من الدرجة الثانيةالمقابل لهذه المصفوفة هو الرقم الذي تم الحصول عليه على النحو التالي: أ 11 أ 22 - أ 12 أ 21.

يتم الإشارة إلى المحدد بالرمز .

لذا ، لإيجاد المحدد من الدرجة الثانية ، عليك طرح حاصل ضرب العناصر على طول القطر الثاني من حاصل ضرب عناصر القطر الرئيسي.

أمثلة.احسب محددات الدرجة الثانية.

وبالمثل ، يمكننا النظر في مصفوفة من الرتبة الثالثة والمحدد المقابل.

محدد من الدرجة الثالثة، المقابلة لمصفوفة مربعة معينة من الترتيب الثالث ، هو رقم يُشار إليه ويحصل عليه على النحو التالي:

وبالتالي ، فإن هذه الصيغة تعطي توسيع محدد الدرجة الثالثة من حيث عناصر الصف الأول أ 11 ، أ 12 ، أ 13ويقلل من حساب محدد الدرجة الثالثة لحساب محددات الدرجة الثانية.

أمثلة.احسب المحدد من الدرجة الثالثة.

وبالمثل ، يمكن للمرء أن يقدم مفاهيم محددات الرابع والخامس ، إلخ. الأوامر ، يتم تخفيض ترتيبها عن طريق التوسع فوق عناصر الصف الأول ، بينما يتم تبديل علامتي "+" و "-" للمصطلحات.

لذلك ، على عكس المصفوفة ، وهي جدول أرقام ، فإن المحدد هو رقم يتم تعيينه بطريقة معينة للمصفوفة.