إذا كان كل عدد طبيعي ن تطابق رقم حقيقي أ ، ثم يقولون ذلك معطى تسلسل رقمي :

أ 1 , أ 2 , أ 3 , . . . , أ , . . . .

لذا ، فإن المتتالية العددية هي دالة للحجة الطبيعية.

رقم أ 1 اتصل أول عضو في التسلسل ، رقم أ 2 — العضو الثاني في التسلسل ، رقم أ 3 — الثالث وهلم جرا. رقم أ اتصل العضو التاسع في التسلسل والعدد الطبيعي ن — رقمه .

من عضوين متجاورين أ و أ +1 تسلسل الأعضاء أ +1 اتصل لاحق (من اتجاه أ )، أ أ — السابق (من اتجاه أ +1 ).

لتحديد تسلسل ، يجب عليك تحديد طريقة تسمح لك بالعثور على عضو تسلسل بأي رقم.

غالبًا ما يتم إعطاء التسلسل بـ صيغ المصطلح التاسع ، أي صيغة تسمح لك بتحديد عضو التسلسل برقمه.

فمثلا،

يمكن إعطاء تسلسل الأرقام الفردية الموجبة بواسطة الصيغة

أ= 2ن- 1,

وتسلسل التناوب 1 و -1 - معادلة

بن = (-1)ن +1 . ◄

يمكن تحديد التسلسل الصيغة المتكررة, أي صيغة تعبر عن أي عضو في التسلسل ، بدءًا من بعض ، مرورًا بالعضو السابق (واحد أو أكثر).

فمثلا،

إذا أ 1 = 1 ، أ أ +1 = أ + 5

أ 1 = 1,

أ 2 = أ 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

أ 3 = أ 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

أ 4 = أ 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

أ 5 = أ 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

اذا كان أ 1= 1, أ 2 = 1, أ +2 = أ + أ +1 , ثم يتم تعيين الأعضاء السبعة الأولى من التسلسل العددي على النحو التالي:

أ 1 = 1,

أ 2 = 1,

أ 3 = أ 1 + أ 2 = 1 + 1 = 2,

أ 4 = أ 2 + أ 3 = 1 + 2 = 3,

أ 5 = أ 3 + أ 4 = 2 + 3 = 5,

أ 6 = أ 4 + أ 5 = 3 + 5 = 8,

أ 7 = أ 5 + أ 6 = 5 + 8 = 13. ◄

يمكن أن تكون التسلسلات نهائي و بلا نهاية .

التسلسل يسمى ذروة إذا كان لديها عدد محدود من الأعضاء. التسلسل يسمى بلا نهاية إذا كان لديه عدد لا نهائي من الأعضاء.

فمثلا،

تسلسل الأعداد الطبيعية المكونة من رقمين:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

نهائي.

تسلسل الرقم الأولي:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

بلا نهاية. ◄

التسلسل يسمى في ازدياد ، إذا كان كل عضو من أعضائه ، بدءًا من الثاني ، أكبر من السابق.

التسلسل يسمى يتضاءل ، إذا كان كل عضو من أعضائه ، بدءًا من الثاني ، أقل من السابق.

فمثلا،

2, 4, 6, 8, . . . , 2ن, . . . هو تسلسل تصاعدي

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /ن, . . . هو تسلسل تنازلي. ◄

يتم استدعاء التسلسل الذي لا تنقص عناصره مع زيادة العدد ، أو على العكس من ذلك لا يزيد تسلسل رتيب .

التسلسلات الأحادية ، على وجه الخصوص ، هي زيادة في التسلسل وتناقص التسلسلات.

المتوالية العددية

المتوالية العددية يسمى التسلسل ، كل عضو ، بدءًا من الثاني ، يساوي العنصر السابق ، الذي يضاف إليه نفس الرقم.

أ 1 , أ 2 , أ 3 , . . . , أ, . . .

هو تقدم حسابي إذا كان لأي عدد طبيعي ن تم استيفاء الشرط:

أ +1 = أ + د,

أين د - بعض الأرقام.

وبالتالي ، فإن الفرق بين الأعضاء التاليين والسابقين في تقدم حسابي معين دائمًا ما يكون ثابتًا:

أ 2 - أ 1 = أ 3 - أ 2 = . . . = أ +1 - أ = د.

رقم د اتصل الفرق في التقدم الحسابي.

لضبط التقدم الحسابي ، يكفي تحديد المصطلح الأول والاختلاف.

فمثلا،

إذا أ 1 = 3, د = 4 ، ثم تم العثور على المصطلحات الخمسة الأولى من التسلسل على النحو التالي:

أ 1 =3,

أ 2 = أ 1 + د = 3 + 4 = 7,

أ 3 = أ 2 + د= 7 + 4 = 11,

أ 4 = أ 3 + د= 11 + 4 = 15,

أ 5 = أ 4 + د= 15 + 4 = 19. ◄

للتقدم الحسابي مع الفصل الأول أ 1 والاختلاف د لها ن

أ = أ 1 + (ن- 1)د.

فمثلا،

أوجد الحد الثلاثين من التقدم الحسابي

1, 4, 7, 10, . . .

أ 1 =1, د = 3,

أ 30 = أ 1 + (30 - 1)د = 1 + 29· 3 = 88. ◄

أ ن -1 = أ 1 + (ن- 2)د،

أ= أ 1 + (ن- 1)د،

أ +1 = أ 1 + اختصار الثاني,

ثم من الواضح

أ=	أ ن -1 + أ ن + 1
	2

كل عضو في التقدم الحسابي ، بدءًا من الثاني ، يساوي المتوسط ​​الحسابي للأعضاء السابقين واللاحقين.

الأرقام أ ، ب ، ج هي أعضاء متتالية في بعض التدرجات الحسابية إذا وفقط إذا كان أحدها مساويًا للمتوسط ​​الحسابي للاثنين الآخرين.

فمثلا،

أ = 2ن- 7 ، هو تقدم حسابي.

دعنا نستخدم البيان أعلاه. نملك:

أ = 2ن- 7,

أ ن -1 = 2(ن- 1) - 7 = 2ن- 9,

أ ن + 1 = 2(ن + 1) - 7 = 2ن- 5.

بالتالي،

أ ن + 1 + أ ن -1	=	2ن- 5 + 2ن- 9	= 2ن- 7 = أ,
2		2

◄

لاحظ أن ن يمكن العثور على العضو -th في التقدم الحسابي ليس فقط من خلال أ 1 ، ولكن أيضًا أي سابقة أ ك

أ = أ ك + (ن- ك)د.

فمثلا،

إلى عن على أ 5 يمكن أن تكون مكتوبة

أ 5 = أ 1 + 4د,

أ 5 = أ 2 + 3د,

أ 5 = أ 3 + 2د,

أ 5 = أ 4 + د. ◄

أ = أ ن ك + دينار كويتي,

أ = أ ن + ك - دينار كويتي,

ثم من الواضح

أ=	أ ن ك + أ ن + ك
	2

أي عضو في التقدم الحسابي ، بدءًا من الثانية ، يساوي نصف مجموع أعضاء هذا التقدم الحسابي على مسافات متساوية منه.

بالإضافة إلى ذلك ، بالنسبة لأي تقدم حسابي ، فإن المساواة صحيحة:

أ م + أ ن = أ ك + ل,

م + ن = ك + ل.

فمثلا،

في التقدم الحسابي

1) أ 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (أ 9 + أ 11 )/2;

2) 28 = أ 10 = أ 3 + 7د= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28 ؛

3) أ 10= 28 = (19 + 37)/2 = (أ 7 + أ 13)/2;

4) أ 2 + أ 12 = أ 5 + أ 9, لان

أ 2 + أ 12= 4 + 34 = 38,

أ 5 + أ 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= أ 1 + أ 2 + أ 3 +. . .+ أ,

أول ن أعضاء التقدم الحسابي يساوي حاصل ضرب نصف مجموع الحدود القصوى بعدد المصطلحات:

من هذا ، على وجه الخصوص ، يترتب على ذلك إذا كان من الضروري جمع الشروط

أ ك, أ ك +1 , . . . , أ,

ثم تحتفظ الصيغة السابقة بهيكلها:

فمثلا،

في التقدم الحسابي 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

س 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = س 10 - س 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

إذا تم إعطاء تقدم حسابي ، ثم الكميات أ 1 , أ, د, نوس ن مرتبطة بصيغتين:

لذلك ، إذا تم تقديم قيم ثلاث من هذه الكميات ، فسيتم تحديد القيم المقابلة للكميتين الأخريين من هاتين الصيغتين مجتمعتين في نظام من معادلتين مع مجهولين.

التقدم الحسابي هو تسلسل رتيب. حيث:

• إذا د > 0 ثم يتزايد.
• إذا د < 0 ثم يتناقص.
• إذا د = 0 ، ثم سيكون التسلسل ثابتًا.

المتوالية الهندسية

المتوالية الهندسية يسمى التسلسل ، كل حد ، بدءًا من الثاني ، يساوي الحد السابق ، مضروبًا في نفس الرقم.

ب 1 , ب 2 , ب 3 , . . . , ب ن, . . .

هو تسلسل هندسي إذا كان لأي عدد طبيعي ن تم استيفاء الشرط:

ب ن +1 = ب ن · ف,

أين ف ≠ 0 - بعض الأرقام.

وبالتالي ، فإن نسبة الحد التالي من هذا التقدم الهندسي إلى الحد السابق هي رقم ثابت:

ب 2 / ب 1 = ب 3 / ب 2 = . . . = ب ن +1 / ب ن = ف.

رقم ف اتصل مقام التقدم الهندسي.

لضبط التقدم الهندسي ، يكفي تحديد المصطلح الأول والمقام.

فمثلا،

إذا ب 1 = 1, ف = -3 ، ثم تم العثور على المصطلحات الخمسة الأولى من التسلسل على النحو التالي:

ب 1 = 1,

ب 2 = ب 1 · ف = 1 · (-3) = -3,

ب 3 = ب 2 · ف= -3 · (-3) = 9,

ب 4 = ب 3 · ف= 9 · (-3) = -27,

ب 5 = ب 4 · ف= -27 · (-3) = 81. ◄

ب 1 والمقام ف لها ن يمكن العثور على المصطلح الثالث بالصيغة:

ب ن = ب 1 · ف ن -1 .

فمثلا،

أوجد الحد السابع للتقدم الهندسي 1, 2, 4, . . .

ب 1 = 1, ف = 2,

ب 7 = ب 1 · ف 6 = 6 1 2 = 64. ◄

مليار - 1 = ب 1 · ف ن -2 ,

ب ن = ب 1 · ف ن -1 ,

ب ن +1 = ب 1 · ف ن,

ثم من الواضح

ب ن 2 = ب ن -1 · ب ن +1 ,

كل عضو في التقدم الهندسي ، بدءًا من الثاني ، يساوي المتوسط ​​الهندسي (النسبي) للأعضاء السابقين واللاحقين.

نظرًا لأن العكس صحيح أيضًا ، فإن التأكيد التالي ينطبق:

الأرقام أ ، ب ، ج هي أعضاء متتالية لبعض التقدم الهندسي إذا وفقط إذا كان مربع أحدهما مساويًا لمنتج الرقمين الآخرين ، أي أن أحد الأرقام هو المتوسط ​​الهندسي للاثنين الآخرين.

فمثلا،

دعونا نثبت أن التسلسل المعطى بالصيغة ب ن= -3 2 ن ، هو تقدم هندسي. دعنا نستخدم البيان أعلاه. نملك:

ب ن= -3 2 ن,

ب ن -1 = -3 2 ن -1 ,

ب ن +1 = -3 2 ن +1 .

بالتالي،

ب ن 2 = (-3 2 ن) 2 = (-3 2 ن -1 ) (-3 2 ن +1 ) = ب ن -1 · ب ن +1 ,

مما يثبت التأكيد المطلوب. ◄

لاحظ أن ن يمكن العثور على مصطلح التقدم الهندسي ليس فقط من خلال ب 1 ، ولكن أيضًا أي مصطلح سابق ب ك ، حيث يكفي استخدام الصيغة

ب ن = ب ك · ف ن - ك.

فمثلا،

إلى عن على ب 5 يمكن أن تكون مكتوبة

ب 5 = ب 1 · ف 4 ,

ب 5 = ب 2 · ف 3,

ب 5 = ب 3 · q2,

ب 5 = ب 4 · ف. ◄

ب ن = ب ك · ف ن - ك,

ب ن = ب ن - ك · ف ك,

ثم من الواضح

ب ن 2 = ب ن - ك· ب ن + ك

مربع أي عضو في التقدم الهندسي ، بدءًا من الثاني ، يساوي حاصل ضرب أعضاء هذا التقدم على مسافة متساوية منه.

بالإضافة إلى ذلك ، بالنسبة لأي تقدم هندسي ، فإن المساواة صحيحة:

بي ام· ب ن= ب ك· ب ل,

م+ ن= ك+ ل.

فمثلا،

أضعافا مضاعفة

1) ب 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = ب 5 · ب 7 ;

2) 1024 = ب 11 = ب 6 · ف 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) ب 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = ب 4 · ب 8 ;

4) ب 2 · ب 7 = ب 4 · ب 5 , لان

ب 2 · ب 7 = 2 · 64 = 128,

ب 4 · ب 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= ب 1 + ب 2 + ب 3 + . . . + ب ن

أول ن أعضاء متتالية هندسية ذات قاسم ف ≠ 0 محسوبة بالصيغة:

وعندما ف = 1 - حسب الصيغة

S n= n.b. 1

لاحظ أنه إذا احتجنا إلى جمع الشروط

ب ك, ب ك +1 , . . . , ب ن,

ثم يتم استخدام الصيغة:

S n- كورونا -1 = ب ك + ب ك +1 + . . . + ب ن = ب ك ·	1 - ف ن - ك +1	.
	1 - ف

فمثلا،

أضعافا مضاعفة 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

س 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = س 10 - س 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

إذا تم إعطاء تسلسل هندسي ، ثم الكميات ب 1 , ب ن, ف, نو S n مرتبطة بصيغتين:

لذلك ، إذا تم تقديم قيم أي من هذه الكميات ، فسيتم تحديد القيم المقابلة للكميتين الأخريين من هاتين الصيغتين مجتمعتين في نظام من معادلتين مع مجهولين.

للتقدم الهندسي مع المصطلح الأول ب 1 والمقام ف ما يلي يحدث خصائص الرتابة :

• يتزايد التقدم إذا تم استيفاء أحد الشروط التالية:

ب 1 > 0 و ف> 1;

ب 1 < 0 و 0 < ف< 1;

• يتناقص التقدم إذا تم استيفاء أحد الشروط التالية:

ب 1 > 0 و 0 < ف< 1;

ب 1 < 0 و ف> 1.

اذا كان ف< 0 ، ثم يكون التقدم الهندسي متناوبًا مع الإشارة: فحدوده الفردية لها نفس علامة الحد الأول ، والشروط ذات الأرقام الزوجية لها علامة معاكسة. من الواضح أن التقدم الهندسي المتناوب ليس رتيبًا.

منتج أول ن يمكن حساب شروط التقدم الهندسي بالصيغة:

ص ن= ب 1 · ب 2 · ب 3 · . . . · ب ن = (ب 1 · ب ن) ن / 2 .

فمثلا،

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

تقليل التقدم الهندسي بلا حدود

تقليل التقدم الهندسي بلا حدود يسمى التقدم الهندسي اللانهائي الذي يكون معامل قاسمه أقل من 1 ، هذا هو

|ف| < 1 .

لاحظ أن التدرج الهندسي المتناقص بشكل غير محدود قد لا يكون تسلسلاً تنازليًا. هذا يناسب القضية

1 < ف< 0 .

مع هذا المقام ، فإن التسلسل هو إشارة بالتناوب. فمثلا،

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

مجموع التقدم الهندسي المتناقص بشكل لا نهائي اسم الرقم الذي حصل عليه مجموع الأول ن من حيث التقدم مع زيادة غير محدودة في العدد ن . هذا الرقم دائمًا محدود ويتم التعبير عنه بالصيغة

س= ب 1 + ب 2 + ب 3 + . . . =	ب 1	.
	1 - ف

فمثلا،

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

العلاقة بين التدرجات الحسابية والهندسية

يرتبط التعاقب الحسابي والهندسي ارتباطًا وثيقًا. لنفكر في مثالين فقط.

أ 1 , أ 2 , أ 3 , . . . د ، ومن بعد

ب أ 1 , ب أ 2 , ب أ 3 , . . . ب د .

فمثلا،

1, 3, 5, . . . - التقدم الحسابي مع الاختلاف 2 و

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . هو تسلسل هندسي ذو قاسم 7 2 . ◄

ب 1 , ب 2 , ب 3 , . . . هو تسلسل هندسي ذو قاسم ف ، ومن بعد

سجل ب 1, سجل أ ب 2, تسجيل ب 3, . . . - التقدم الحسابي مع الاختلاف تسجيل أف .

فمثلا،

2, 12, 72, . . . هو تسلسل هندسي ذو قاسم 6 و

إل جي 2, إل جي 12, إل جي 72, . . . - التقدم الحسابي مع الاختلاف إل جي 6 . ◄

مستوى اول

المتوالية العددية. النظرية التفصيلية مع الأمثلة (2019)

تسلسل رقمي

لذلك دعونا نجلس ونبدأ في كتابة بعض الأرقام. فمثلا:
يمكنك كتابة أي أرقام ، ويمكن أن يكون هناك ما تريد (في حالتنا ، هم). بغض النظر عن عدد الأرقام التي نكتبها ، يمكننا دائمًا تحديد أي منهم هو الأول ، وهو الثاني ، وهكذا إلى الأخير ، أي يمكننا ترقيمها. هذا مثال على تسلسل رقمي:

تسلسل رقمي
على سبيل المثال ، بالنسبة لتسلسلنا:

الرقم المخصص محدد لرقم تسلسل واحد فقط. بمعنى آخر ، لا توجد ثلاثة أرقام ثانية في التسلسل. الرقم الثاني (مثل الرقم -th) هو نفسه دائمًا.
الرقم الذي يحتوي على الرقم يسمى العضو -th في التسلسل.

عادة ما نطلق على التسلسل الكامل بعض الأحرف (على سبيل المثال ،) ، وكل عضو في هذا التسلسل - نفس الحرف مع فهرس يساوي رقم هذا العضو:.

في حالتنا هذه:

لنفترض أن لدينا تسلسلًا رقميًا يكون فيه الفرق بين الأعداد المتجاورة متساويًا ومتساويًا.
فمثلا:

إلخ.
يسمى هذا التسلسل العددي بالتقدم الحسابي.
تم تقديم مصطلح "التقدم" من قبل المؤلف الروماني بوثيوس في وقت مبكر من القرن السادس وتم فهمه بمعنى أوسع على أنه تسلسل رقمي لا نهاية له. تم نقل اسم "الحساب" من نظرية النسب المستمرة التي انخرط فيها الإغريق القدماء.

هذا تسلسل رقمي ، كل عضو فيه يساوي التسلسل السابق ، مضافًا بنفس الرقم. يسمى هذا الرقم باختلاف التقدم الحسابي ويشار إليه.

حاول تحديد التسلسلات الرقمية التي تعتبر تقدمًا حسابيًا وأيها ليست:

أ)
ب)
ج)
د)

فهمتك؟ قارن إجاباتنا:
هوالتقدم الحسابي - ب ، ج.
ليسالتقدم الحسابي - أ ، د.

دعنا نعود إلى التقدم المعطى () ونحاول إيجاد قيمة العضو العاشر. موجود اثنينطريقة للعثور عليه.

1. الطريقة

يمكننا أن نضيف إلى القيمة السابقة لرقم التقدم حتى نصل إلى الحد العاشر من التقدم. من الجيد أنه ليس لدينا الكثير لتلخيصه - ثلاث قيم فقط:

إذن ، العضو -th في التقدم الحسابي الموصوف يساوي.

2. الطريقة

ماذا لو احتجنا لإيجاد قيمة الحد ال عشر للتقدم؟ كان الجمع سيستغرق منا أكثر من ساعة ، وليس حقيقة أننا لم نكن نرتكب أخطاء عند جمع الأرقام.
بالطبع ، توصل علماء الرياضيات إلى طريقة لا تحتاج فيها إلى إضافة فرق التقدم الحسابي إلى القيمة السابقة. انظر عن كثب إلى الصورة المرسومة ... بالتأكيد لاحظت بالفعل نمطًا معينًا ، وهو:

على سبيل المثال ، دعنا نرى ما الذي يُكوِّن قيمة العضو رقم -th في هذا التقدم الحسابي:


بعبارات أخرى:

حاول أن تجد بهذه الطريقة بشكل مستقل قيمة عضو في هذا التقدم الحسابي.

محسوب؟ قارن إدخالاتك بالإجابة:

انتبه إلى أنك حصلت على نفس الرقم تمامًا كما في الطريقة السابقة ، عندما أضفنا على التوالي أعضاء التقدم الحسابي إلى القيمة السابقة.
دعنا نحاول "نزع الطابع الشخصي" عن هذه الصيغة - فنحن نضعها في شكل عام ونحصل على:

معادلة التقدم الحسابي.

التدرجات الحسابية تتزايد أو تتناقص.

في ازدياد- التدرجات التي تكون فيها كل قيمة لاحقة للمصطلحات أكبر من القيمة السابقة.
فمثلا:

تنازلي- التدرجات التي تكون فيها كل قيمة لاحقة للمصطلحات أقل من القيمة السابقة.
فمثلا:

تُستخدم الصيغة المشتقة في حساب المصطلحات في كل من المصطلحات المتزايدة والمتناقصة للتقدم الحسابي.
دعنا نتحقق من ذلك في الممارسة.
يتم منحنا تقدمًا حسابيًا يتكون من الأرقام التالية:

منذ ذلك الحين:

وبالتالي ، كنا مقتنعين بأن الصيغة تعمل في تقليل التقدم الحسابي وزيادة حجمه.
حاول أن تجد العضوين -th و -th في هذا التقدم الحسابي بنفسك.

لنقارن النتائج:

خاصية التقدم الحسابي

دعونا نعقد المهمة - نشتق خاصية التقدم الحسابي.
لنفترض أننا حصلنا على الشرط التالي:
- التقدم الحسابي ، أوجد القيمة.
إنه سهل ، كما تقول ، وابدأ في العد وفقًا للصيغة التي تعرفها بالفعل:

دعونا إذن:

صح تماما. اتضح أننا وجدنا أولًا ، ثم نضيفه إلى الرقم الأول ونحصل على ما نبحث عنه. إذا تم تمثيل التقدم بقيم صغيرة ، فلا يوجد شيء معقد بشأنه ، ولكن ماذا لو تم إعطاؤنا أرقامًا في الحالة؟ موافق ، هناك احتمال لارتكاب أخطاء في الحسابات.
فكر الآن ، هل من الممكن حل هذه المشكلة في خطوة واحدة باستخدام أي صيغة؟ بالطبع ، نعم ، وسنحاول إخراجها الآن.

دعنا نشير إلى المصطلح المطلوب للتقدم الحسابي حيث أننا نعرف صيغة إيجاده - هذه هي نفس الصيغة التي اشتقناها في البداية:
، ومن بعد:

• العضو السابق في التقدم هو:
• الفصل التالي من التقدم هو:

دعنا نلخص الأعضاء السابقين والتاليين في التقدم:

اتضح أن مجموع الأعضاء السابقين واللاحقين للتقدم هو ضعف قيمة عضو التقدم الموجود بينهما. بمعنى آخر ، من أجل العثور على قيمة عضو التقدم مع القيم المعروفة السابقة والمتتالية ، من الضروري إضافتهم والقسمة على.

هذا صحيح ، لدينا نفس الرقم. دعونا نصلح المادة. احسب قيمة التقدم بنفسك ، لأنها ليست صعبة على الإطلاق.

أحسنت! أنت تعرف كل شيء تقريبًا عن التقدم! يبقى أن نكتشف صيغة واحدة فقط ، والتي ، وفقًا للأسطورة ، واحدة من أعظم علماء الرياضيات في كل العصور ، "ملك علماء الرياضيات" - كارل غاوس ، استنتجها لنفسه بسهولة ...

عندما كان كارل غاوس يبلغ من العمر 9 سنوات ، كان المعلم مشغولًا بفحص عمل الطلاب من الفصول الأخرى ، وسأل المهمة التالية في الدرس: "احسب مجموع جميع الأعداد الطبيعية من أعلى (وفقًا لمصادر أخرى حتى). " ما كانت مفاجأة المعلم عندما أعطى أحد طلابه (كان كارل جاوس) بعد دقيقة الإجابة الصحيحة على المهمة ، بينما تلقى معظم زملائه في الصف المتهور بعد حسابات طويلة النتيجة الخاطئة ...

لاحظ Young Carl Gauss نمطًا يمكنك ملاحظته بسهولة.
لنفترض أن لدينا تقدمًا حسابيًا يتكون من -ti أعضاء: نحتاج إلى إيجاد مجموع الأعضاء المعينين للتقدم الحسابي. بالطبع ، يمكننا جمع كل القيم يدويًا ، ولكن ماذا لو احتجنا إلى إيجاد مجموع شروطها في المهمة ، كما كان يبحث عنها غاوس؟

دعونا نصور التقدم المعطى لنا. انظر عن كثب إلى الأرقام المميزة وحاول إجراء عمليات حسابية مختلفة معهم.


حاول؟ ماذا لاحظت؟ بشكل صحيح! مبالغهم متساوية

أجب الآن ، كم عدد هذه الأزواج في التقدم المعطى لنا؟ بالطبع ، بالضبط نصف كل الأرقام ، هذا هو.
استنادًا إلى حقيقة أن مجموع حدين من التقدم الحسابي متساوٍ ، وأزواج متساوية متشابهة ، نحصل على أن المجموع الكلي يساوي:
.
وبالتالي ، فإن صيغة مجموع المصطلحات الأولى لأي تقدم حسابي ستكون:

في بعض المشاكل ، لا نعرف المصطلح ال ، لكننا نعرف فرق التقدم. حاول الاستعاضة في صيغة الجمع ، صيغة العضو ال.
على ماذا حصلت؟

أحسنت! الآن دعنا نعود إلى المسألة التي أعطيت لكارل غاوس: احسب بنفسك مجموع الأرقام التي تبدأ من -th ، ومجموع الأرقام التي تبدأ من -th.

كم لم تحصل عليه؟
اتضح جاوس أن مجموع المصطلحات متساوٍ ومجموع المصطلحات. هل هذه هي الطريقة التي قررت بها؟

في الواقع ، تم إثبات صيغة مجموع أعضاء التقدم الحسابي من قبل العالم اليوناني القديم ديوفانتوس في القرن الثالث ، وطوال هذا الوقت ، استخدم الأشخاص البارعون خصائص التقدم الحسابي مع القوة والرئيسية.
على سبيل المثال ، تخيل مصر القديمة وأكبر موقع بناء في ذلك الوقت - بناء هرم ... يوضح الشكل جانبًا واحدًا منه.

أين التقدم هنا تقول؟ انظر بعناية وابحث عن نمط في عدد الكتل الرملية في كل صف من جدار الهرم.


لماذا ليس التقدم الحسابي؟ احسب عدد الكتل اللازمة لبناء جدار واحد إذا تم وضع قوالب الطوب في القاعدة. أتمنى ألا تحسب من خلال تحريك إصبعك على الشاشة ، هل تتذكر الصيغة الأخيرة وكل ما قلناه عن التقدم الحسابي؟

في هذه الحالة ، يبدو التقدم كما يلي:
فرق التقدم الحسابي.
عدد أعضاء التقدم الحسابي.
دعنا نستبدل بياناتنا في الصيغ الأخيرة (نحسب عدد الكتل بطريقتين).

طريقة 1.

الطريقة الثانية.

والآن يمكنك أيضًا إجراء الحساب على الشاشة: قارن القيم التي تم الحصول عليها بعدد الكتل الموجودة في هرمنا. هل وافقت؟ أحسنت صنعًا ، لقد أتقنت مجموع شروط التقدم الحسابي.
طبعا لايمكنك بناء هرم من الكتل في القاعدة لكن من؟ حاول حساب عدد الطوب الرملي المطلوب لبناء جدار بهذه الحالة.
هل تستطيع فعلها؟
الجواب الصحيح هو الكتل:

اكتشف - حل

مهام:

1. ماشا تتأقلم مع الصيف. كل يوم تزيد من عدد القرفصاء. كم مرة ستجلس ماشا القرفصاء في أسابيع إذا مارست القرفصاء في التمرين الأول.
2. ما هو مجموع كل الأعداد الفردية الواردة في.
3. عند تخزين السجلات ، يقوم الحطاب بتكديسها بحيث تحتوي كل طبقة عليا على سجل أقل من سابقتها. كم عدد السجلات الموجودة في البناء الواحد ، إذا كانت قاعدة البناء عبارة عن سجلات.

الإجابات:

1. دعونا نحدد معلمات التقدم الحسابي. في هذه الحالة
   (أسابيع = أيام).

   إجابه:في غضون أسبوعين ، يجب أن تجلس ماشا مرة واحدة في اليوم.

2. أول رقم فردي وآخر رقم.
   فرق التقدم الحسابي.
   عدد الأعداد الفردية في - النصف ، ومع ذلك ، تحقق من هذه الحقيقة باستخدام الصيغة لإيجاد العنصر -th في التقدم الحسابي:

   الأرقام تحتوي على أرقام فردية.
   نستبدل البيانات المتاحة في الصيغة:

   إجابه:مجموع كل الأعداد الفردية الواردة في يساوي.

3. أذكر مشكلة الأهرامات. بالنسبة لحالتنا ، أ ، نظرًا لأنه يتم تقليل كل طبقة عليا بواسطة سجل واحد ، فلا يوجد سوى مجموعة من الطبقات ، أي.
   استبدل البيانات الموجودة في الصيغة:

   إجابه:هناك سجلات في البناء.

تلخيص لما سبق

1. - تسلسل رقمي يكون فيه الاختلاف بين الأعداد المتجاورة متساويًا ومتساويًا. إنه يتزايد ويتناقص.
2. إيجاد الصيغةتتم كتابة العضو العاشر في التقدم الحسابي بواسطة الصيغة - ، حيث يوجد عدد الأرقام في التقدم.
3. خاصية أعضاء التقدم الحسابي- - أين - عدد الأرقام في التقدم.
4. مجموع أعضاء التقدم الحسابييمكن العثور عليها بطريقتين:
   
   ، أين هو عدد القيم.

المتوالية العددية. مستوى متوسط

تسلسل رقمي

دعونا نجلس ونبدأ في كتابة بعض الأرقام. فمثلا:

يمكنك كتابة أي أرقام ، ويمكن أن يكون هناك أي عدد تريده. لكن يمكنك دائمًا معرفة أيهما هو الأول ، وهو الثاني ، وهكذا ، أي يمكننا ترقيمهما. هذا مثال على تسلسل رقمي.

تسلسل رقميهي مجموعة من الأرقام ، يمكن تخصيص رقم فريد لكل منها.

بمعنى آخر ، يمكن ربط كل رقم برقم طبيعي معين ، واحد فقط. ولن نخصص هذا الرقم لأي رقم آخر من هذه المجموعة.

الرقم الذي يحتوي على الرقم يسمى العضو -th في التسلسل.

عادة ما نطلق على التسلسل الكامل بعض الأحرف (على سبيل المثال ،) ، وكل عضو في هذا التسلسل - نفس الحرف مع فهرس يساوي رقم هذا العضو:.

إنه مناسب جدًا إذا كان من الممكن إعطاء العضو -th في التسلسل بواسطة صيغة ما. على سبيل المثال ، الصيغة

يحدد التسلسل:

والصيغة هي التسلسل التالي:

على سبيل المثال ، التقدم الحسابي عبارة عن سلسلة (المصطلح الأول هنا متساوٍ والفرق). أو (فرق).

صيغة مصطلح nth

نسمي المتكرر صيغة تحتاج فيها إلى معرفة المصطلح السابق أو السابق:

لإيجاد ، على سبيل المثال ، المصطلح العاشر للتقدم باستخدام مثل هذه الصيغة ، علينا حساب التسعة السابقة. على سبيل المثال ، دعونا. ثم:

حسنًا ، الآن من الواضح ما هي الصيغة؟

في كل سطر ، نضيف إلى ، مضروبًا في عدد ما. لماذا؟ بسيط جدًا: هذا هو رقم العضو الحالي مطروحًا منه:

أكثر راحة الآن ، أليس كذلك؟ نحن نفحص:

تقرر لنفسك:

في التقدم الحسابي ، أوجد صيغة الحد النوني وأوجد الحد المائة.

المحلول:

العضو الأول متساوٍ. وما الفرق؟ وإليك ما يلي:

(بعد كل شيء ، يطلق عليه الفرق لأنه يساوي اختلاف الأعضاء المتعاقبين في التقدم).

إذن الصيغة هي:

ثم المصطلح المائة هو:

ما هو مجموع كل الأعداد الطبيعية من إلى؟

وفقًا للأسطورة ، قام عالم الرياضيات العظيم كارل جاوس ، وهو صبي يبلغ من العمر 9 سنوات ، بحساب هذا المبلغ في بضع دقائق. لقد لاحظ أن مجموع العددين الأول والأخير متساويان ، ومجموع الثاني وما قبل الأخير هو نفسه ، ومجموع الثالث والثالث من النهاية هو نفسه ، وهكذا. كم عدد الأزواج الموجودة؟ هذا صحيح ، بالضبط نصف عدد كل الأرقام ، أي. لذا،

ستكون الصيغة العامة لمجموع المصطلحات الأولى لأي تقدم حسابي:

مثال:
أوجد مجموع كل المضاعفات المكونة من رقمين.

المحلول:

الرقم الأول من هذا القبيل هو هذا. يتم الحصول على كل تالية عن طريق إضافة رقم إلى الرقم السابق. وهكذا ، فإن الأرقام التي تهمنا تشكل تقدمًا حسابيًا مع المصطلح الأول والفرق.

صيغة المصطلح العاشر لهذا التقدم هي:

كم عدد المصطلحات في التقدم إذا كان يجب أن تكون جميعها من رقمين؟

سهل جدا: .

سيكون المصطلح الأخير من التقدم متساويًا. ثم المجموع:

إجابه: .

قرر الآن بنفسك:

1. في كل يوم ، يركض الرياضي 1 متر أكثر من اليوم السابق. كم كيلومترًا سيجري في أسابيع إذا ركض كيلومترًا في اليوم الأول؟
2. يركب راكب الدراجة أميالًا كل يوم أكثر من سابقه. في اليوم الأول سافر كيلومترًا. كم يوما يجب عليه القيادة لقطع كيلومتر واحد؟ كم كيلومترًا سيقطعه في اليوم الأخير من الرحلة؟
3. يتم تخفيض سعر الثلاجة في المتجر بنفس المبلغ كل عام. حدد مقدار انخفاض سعر الثلاجة كل عام إذا تم بيعها مقابل روبل بعد ست سنوات ، معروضة للبيع مقابل روبل.

الإجابات:

1. أهم شيء هنا هو التعرف على التقدم الحسابي وتحديد معاملاته. في هذه الحالة (أسابيع = أيام). تحتاج إلى تحديد مجموع الشروط الأولى لهذا التقدم:
   .
   إجابه:
2. هنا يعطى: ، من الضروري أن تجد.
   من الواضح أنك تحتاج إلى استخدام نفس صيغة الجمع كما في المسألة السابقة:
   .
   استبدل القيم:

   من الواضح أن الجذر غير مناسب ، لذا فإن الإجابة.
   لنحسب المسافة المقطوعة خلال اليوم الأخير باستخدام صيغة العضو -th:
   (كم).
   إجابه:

3. معطى: . تجد: .
   لا يصبح الأمر أسهل:
   (فرك).
   إجابه:

المتوالية العددية. باختصار حول الرئيسي

هذا تسلسل رقمي يكون فيه الفرق بين الأعداد المتجاورة متساويًا ومتساويًا.

يتزايد التقدم الحسابي () ويتناقص ().

فمثلا:

صيغة إيجاد العضو رقم n للتقدم الحسابي

مكتوب كصيغة ، حيث عدد الأرقام في التقدم.

خاصية أعضاء التقدم الحسابي

يسهل العثور على عضو في التقدم إذا كان الأعضاء المجاورون معروفين - أين عدد الأرقام في التقدم.

مجموع أعضاء التقدم الحسابي

هناك طريقتان لإيجاد المجموع:

أين عدد القيم.

أين عدد القيم.

مفهوم التسلسل العددي يعني أن كل رقم طبيعي يتوافق مع بعض القيمة الحقيقية. يمكن أن تكون هذه السلسلة من الأرقام عشوائية ولها خصائص معينة - تسلسل. في الحالة الأخيرة ، يمكن حساب كل عنصر (عضو) لاحق من التسلسل باستخدام العنصر السابق.

التقدم الحسابي هو سلسلة من القيم العددية التي يختلف فيها أعضائها المتجاورين عن بعضهم البعض بنفس الرقم (جميع عناصر السلسلة ، بدءًا من الثانية ، لها خاصية مماثلة). هذا الرقم - الفرق بين العضو السابق واللاحق - ثابت ويسمى اختلاف التقدم.

فرق التقدم: التعريف

ضع في اعتبارك تسلسل يتكون من قيم j A = a (1) ، a (2) ، a (3) ، a (4) ... a (j) ، j ينتمي إلى مجموعة الأعداد الطبيعية N. وفقًا لتعريفه ، هو تسلسل ، حيث أ (3) - أ (2) = أ (4) - أ (3) = أ (5) - أ (4) = ... = أ (ي) - أ (ي -1) = د. قيمة d هي الفرق المطلوب من هذا التقدم.

د = أ (ي) - أ (ي -1).

تخصيص:

• تقدم متزايد ، وفي هذه الحالة d> 0. مثال: 4 ، 8 ، 12 ، 16 ، 20 ، ...
• تناقص التقدم ، ثم د< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …

اختلاف التقدم وعناصره التعسفية

إذا تم معرفة عضوين تعسفيين من التقدم (i-th ، k-th) ، فيمكن تحديد الفرق في هذا التسلسل بناءً على العلاقة:

أ (ط) = أ (ك) + (أنا - ك) * د ، لذلك د = (أ (أنا) - أ (ك)) / (أنا - ك).

فارق التدرج وفترته الأولى

سيساعد هذا التعبير في تحديد القيمة غير المعروفة فقط في الحالات التي يكون فيها رقم عنصر التسلسل معروفًا.

فرق التقدم ومجموعها

مجموع التقدم هو مجموع شروطه. لحساب القيمة الإجمالية لعناصرها الأولى j ، استخدم الصيغة المقابلة:

S (j) = ((a (1) + a (j)) / 2) * j ، لكن منذ ذلك الحين أ (ي) = أ (1) + د (ي - 1) ، ثم S (ي) = ((أ (1) + أ (1) + د (ي - 1)) / 2) * ي = (( 2 أ (1) + د (- 1)) / 2) * ي.

عند دراسة الجبر في مدرسة ثانوية (الصف 9) ، فإن أحد الموضوعات المهمة هو دراسة التسلسلات العددية ، والتي تشمل التعاقب - الهندسي والحساب. في هذه المقالة ، سننظر في التقدم الحسابي والأمثلة مع الحلول.

ما هو التقدم الحسابي؟

لفهم هذا ، من الضروري إعطاء تعريف للتقدم قيد النظر ، وكذلك إعطاء الصيغ الأساسية التي سيتم استخدامها بشكل أكبر في حل المشكلات.

حسابي أو عبارة عن مجموعة من الأرقام المنطقية المرتبة ، يختلف كل عضو فيها عن الرقم السابق من خلال بعض القيمة الثابتة. هذه القيمة تسمى الفرق. بمعنى ، معرفة أي عضو في سلسلة مرتبة من الأرقام والفرق ، يمكنك استعادة التقدم الحسابي بأكمله.

لنأخذ مثالا. سيكون التسلسل التالي للأرقام عبارة عن تسلسل حسابي: 4 ، 8 ، 12 ، 16 ، ... ، لأن الفرق في هذه الحالة هو 4 (8-4 = 12-8 = 16-12). لكن مجموعة الأعداد 3 ، 5 ، 8 ، 12 ، 17 لم يعد من الممكن أن تُعزى إلى نوع التقدم المدروس ، لأن الاختلاف فيه ليس قيمة ثابتة (5 - 3 ≠ 8 - 5 12-8 17 - 12).

صيغ مهمة

نقدم الآن الصيغ الأساسية اللازمة لحل المشكلات باستخدام التقدم الحسابي. لنفترض أن n تشير إلى العضو n من التسلسل ، حيث n هي عدد صحيح. يُشار إلى الاختلاف بالحرف اللاتيني d. ثم تكون العبارات التالية صحيحة:

1. لتحديد قيمة المصطلح n ، تكون الصيغة مناسبة: a n \ u003d (n-1) * d + a 1.
2. لتحديد مجموع مصطلحات n الأولى: S n = (a n + a 1) * n / 2.

لفهم أي أمثلة للتقدم الحسابي مع حل في الصف 9 ، يكفي تذكر هاتين الصيغتين ، لأن أي مشاكل من النوع قيد الدراسة مبنية على استخدامها. أيضًا ، لا تنس أن اختلاف التقدم يتحدد بالصيغة: d = a n - a n-1.

المثال 1: البحث عن عضو غير معروف

نعطي مثالًا بسيطًا للتقدم الحسابي والصيغ التي يجب استخدامها لحلها.

دع المتتالية 10 ، 8 ، 6 ، 4 ، ... ، من الضروري إيجاد خمسة حدود فيها.

يتبع بالفعل من شروط المشكلة أن المصطلحات الأربعة الأولى معروفة. يمكن تعريف الخامس بطريقتين:

1. دعونا نحسب الفرق أولا. لدينا: د = 8-10 = -2. وبالمثل ، يمكن للمرء أن يأخذ أي مصطلحين آخرين يقفان بجانب بعضهما البعض. على سبيل المثال ، د = 4-6 = -2. بما أنه من المعروف أن d \ u003d a n - a n-1 ، ثم d \ u003d a 5 - a 4 ، حيث نحصل على: a 5 \ u003d a 4 + d. نعوض بالقيم المعروفة: a 5 = 4 + (-2) = 2.
2. تتطلب الطريقة الثانية أيضًا معرفة اختلاف التقدم المعني ، لذلك عليك أولاً تحديده ، كما هو موضح أعلاه (د = -2). مع العلم أن الحد الأول أ 1 = 10 ، نستخدم صيغة العدد n من المتسلسلة. لدينا: a n \ u003d (n - 1) * d + a 1 \ u003d (n - 1) * (-2) + 10 \ u003d 12-2 * n. بالتعويض عن n = 5 في التعبير الأخير ، نحصل على: a 5 = 12-2 * 5 = 2.

كما ترى ، كلا الحلين يؤديان إلى نفس النتيجة. لاحظ أن الفرق d في التقدم في هذا المثال سلبي. تسمى هذه التسلسلات بالتناقص لأن كل مصطلح متتالي أقل من السابق.

المثال الثاني: فرق التقدم

الآن دعونا نعقد المهمة قليلاً ، نعطي مثالاً عن كيفية إيجاد الفرق في التقدم الحسابي.

من المعروف أنه في بعض التدرجات الجبرية ، فإن الحد الأول يساوي 6 ، والحد السابع يساوي 18. من الضروري إيجاد الفرق وإعادة هذا التسلسل إلى الحد السابع.

دعنا نستخدم الصيغة لتحديد المصطلح غير المعروف: a n = (n - 1) * d + a 1. نستبدل البيانات المعروفة من الشرط فيها ، أي الأرقام أ 1 و 7 ، لدينا: 18 \ u003d 6 + 6 * د. من هذا التعبير ، يمكنك بسهولة حساب الفرق: d = (18-6) / 6 = 2. وبالتالي ، تمت الإجابة على الجزء الأول من المشكلة.

لاستعادة التسلسل للعضو السابع ، يجب عليك استخدام تعريف التقدم الجبري ، أي أ 2 = أ 1 + د ، أ 3 = أ 2 + د ، وهكذا. نتيجة لذلك ، نستعيد التسلسل بأكمله: أ 1 = 6 ، أ 2 = 6 + 2 = 8 ، أ 3 = 8 + 2 = 10 ، أ 4 = 10 + 2 = 12 ، أ 5 = 12 + 2 = 14 ، أ 6 = 14 + 2 = 16 و 7 = 18.

المثال رقم 3: إحراز تقدم

دعونا نعقد حالة المشكلة أكثر. أنت الآن بحاجة للإجابة على سؤال حول كيفية إيجاد التقدم الحسابي. يمكننا أن نعطي المثال التالي: يتم إعطاء رقمين ، على سبيل المثال ، 4 و 5. من الضروري إجراء تقدم جبري بحيث تتناسب ثلاثة مصطلحات أخرى بينهما.

قبل البدء في حل هذه المشكلة ، من الضروري فهم المكان الذي ستشغله الأرقام المعينة في التقدم المستقبلي. نظرًا لأنه سيكون هناك ثلاثة مصطلحات أخرى بينهما ، ثم 1 \ u003d -4 و 5 \ u003d 5. بعد إثبات ذلك ، ننتقل إلى مهمة مشابهة لتلك السابقة. مرة أخرى ، بالنسبة للمصطلح n ، نستخدم الصيغة ، نحصل على: a 5 \ u003d a 1 + 4 * d. من: د \ u003d (أ 5 - أ 1) / 4 \ u003d (5 - (-4)) / 4 \ u003d 2.25. هنا ، الاختلاف ليس قيمة عدد صحيح ، ولكنه رقم منطقي ، لذلك تظل صيغ التقدم الجبري كما هي.

الآن دعنا نضيف الفرق الموجود إلى 1 ونستعيد الأعضاء المفقودين من التقدم. نحصل على: أ 1 = - 4 ، أ 2 = - 4 + 2.25 = - 1.75 ، أ 3 = -1.75 + 2.25 = 0.5 ، أ 4 = 0.5 + 2.25 = 2.75 ، أ 5 = 2.75 + 2.25 = 5 ، التي تزامنت مع حالة المشكلة.

مثال رقم 4: العضو الأول في التقدم

نستمر في إعطاء أمثلة على التقدم الحسابي مع الحل. في جميع المشاكل السابقة ، كان الرقم الأول للتقدم الجبري معروفًا. فكر الآن في مشكلة من نوع مختلف: دعنا نعطي رقمين ، حيث 15 = 50 و 43 = 37. من الضروري معرفة أي رقم يبدأ هذا التسلسل.

الصيغ التي تم استخدامها حتى الآن تفترض معرفة 1 و د. لا شيء معروف عن هذه الأرقام في حالة المشكلة. ومع ذلك ، دعنا نكتب التعبيرات لكل حد لدينا معلومات عنه: أ 15 = أ 1 + 14 * د و 43 = أ 1 + 42 * د. حصلنا على معادلتين فيهما كميتين غير معروفين (أ 1 ود). هذا يعني أن المشكلة تختزل في حل نظام المعادلات الخطية.

من الأسهل حل النظام المحدد إذا عبرت عن 1 في كل معادلة ، ثم قارنت التعبيرات الناتجة. المعادلة الأولى: أ 1 = أ 15-14 * د = 50-14 * د ؛ المعادلة الثانية: أ 1 \ u003d أ 43-42 * د \ u003d 37-42 * د. معادلة هذه التعبيرات ، نحصل على: 50 - 14 * د \ u003d 37-42 * د ، ومن هنا الفرق د \ u003d (37-50) / (42-14) \ u003d - 0.464 (معطاة فقط 3 منازل عشرية).

بمعرفة د ، يمكنك استخدام أي من التعبيرين أعلاه لـ 1. على سبيل المثال ، أولاً: أ 1 \ u003d 50-14 * د \ u003d 50-14 * (- 0.464) \ u003d 56.496.

إذا كانت هناك شكوك حول النتيجة ، فيمكنك التحقق منها ، على سبيل المثال ، تحديد العضو 43 من التقدم المحدد في الشرط. نحصل على: a 43 \ u003d a 1 + 42 * d \ u003d 56.496 + 42 * (- 0.464) \ u003d 37.008. يرجع الخطأ الصغير إلى حقيقة أنه تم استخدام التقريب إلى جزء من الألف في الحسابات.

المثال الخامس: المجموع

الآن دعنا نلقي نظرة على بعض الأمثلة ذات الحلول لمجموع التقدم الحسابي.

دع التقدم العددي للشكل التالي يعطى: 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، ... ،. كيف تحسب مجموع 100 من هذه الأرقام؟

بفضل تطور تكنولوجيا الكمبيوتر ، يمكن حل هذه المشكلة ، أي جمع جميع الأرقام بالتسلسل ، وهو ما سيفعله الكمبيوتر بمجرد أن يضغط الشخص على مفتاح Enter. ومع ذلك ، يمكن حل المشكلة عقليًا إذا انتبهت إلى أن سلسلة الأرقام المقدمة هي تقدم جبري ، وفرقها هو 1. بتطبيق صيغة الجمع ، نحصل على: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

من الغريب أن نلاحظ أن هذه المشكلة تسمى "Gaussian" ، لأنه في بداية القرن الثامن عشر ، تمكن الألماني الشهير ، الذي كان لا يزال يبلغ من العمر 10 سنوات فقط ، من حلها في ذهنه في بضع ثوانٍ. لم يكن الصبي يعرف صيغة مجموع التقدم الجبري ، لكنه لاحظ أنه إذا أضفت أزواجًا من الأرقام الموجودة عند أطراف المتسلسلة ، فستحصل دائمًا على نفس النتيجة ، أي 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ... ، وبما أن هذه المبالغ ستكون بالضبط 50 (100/2) ، إذن للحصول على الإجابة الصحيحة ، يكفي ضرب 50 في 101.

مثال رقم 6: مجموع المصطلحات من n إلى m

مثال آخر نموذجي لمجموع التقدم الحسابي هو ما يلي: بالنظر إلى سلسلة من الأرقام: 3 ، 7 ، 11 ، 15 ، ... ، تحتاج إلى إيجاد مجموع شروطه من 8 إلى 14.

تم حل المشكلة بطريقتين. يتضمن أولهما إيجاد حدود غير معروفة من 8 إلى 14 ، ثم تلخيصها بالتتابع. نظرًا لوجود عدد قليل من المصطلحات ، فإن هذه الطريقة ليست مرهقة بدرجة كافية. ومع ذلك ، يُقترح حل هذه المشكلة بالطريقة الثانية ، وهي أكثر عالمية.

الفكرة هي الحصول على صيغة لمجموع التقدم الجبري بين المصطلحين m و n ، حيث n> m هي أعداد صحيحة. في كلتا الحالتين ، نكتب تعبيرين للمجمع:

1. S م \ u003d م * (أ م + أ 1) / 2.
2. S n \ u003d n * (a n + a 1) / 2.

بما أن n> m ، فمن الواضح أن مجموع 2 يشتمل على أول واحد. الاستنتاج الأخير يعني أننا إذا أخذنا الفرق بين هذه المبالغ ، وأضفنا المصطلح a m إليه (في حالة أخذ الفرق ، يتم طرحه من مجموع S n) ، فإننا نحصل على الإجابة اللازمة للمسألة. لدينا: S mn \ u003d S n - S m + a m \ u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m \ u003d a 1 * (n - m) / 2 + a n * n / 2 + a m * (1- m / 2). من الضروري استبدال الصيغتين a n و a m في هذا التعبير. ثم نحصل على: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - م / 2) = أ 1 * (ن - م + 1) + د * ن * (ن - 1) / 2 + د * (3 * م - م 2-2) / 2.

الصيغة الناتجة مرهقة إلى حد ما ، ومع ذلك ، فإن مجموع S mn يعتمد فقط على n و m و a 1 و d. في حالتنا ، a 1 = 3 ، d = 4 ، n = 14 ، m = 8. بالتعويض عن هذه الأرقام ، نحصل على: S mn = 301.

كما يتضح من الحلول المذكورة أعلاه ، تستند جميع المشكلات إلى معرفة التعبير عن المصطلح n ومعادلة مجموع مجموعة المصطلحات الأولى. قبل البدء في حل أي من هذه المشكلات ، يوصى بقراءة الحالة بعناية ، وفهم ما تريد البحث عنه بوضوح ، وبعد ذلك فقط المضي قدمًا في الحل.

نصيحة أخرى هي أن تسعى جاهدًا إلى البساطة ، أي إذا كان بإمكانك الإجابة على السؤال دون استخدام حسابات رياضية معقدة ، فأنت بحاجة إلى القيام بذلك بالضبط ، لأنه في هذه الحالة يكون احتمال ارتكاب خطأ أقل. على سبيل المثال ، في مثال التقدم الحسابي مع الحل رقم 6 ، يمكن للمرء أن يتوقف عند الصيغة S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m ، و قسّم المهمة العامة إلى مهام فرعية منفصلة (في هذه الحالة ، أوجد أولاً المصطلحين a n و a m).

إذا كانت هناك شكوك حول النتيجة التي تم الحصول عليها ، فمن المستحسن التحقق منها ، كما حدث في بعض الأمثلة المقدمة. كيف تجد التقدم الحسابي ، اكتشف. بمجرد أن تكتشف ذلك ، لن يكون الأمر بهذه الصعوبة.

لقد سمع الكثير عن التقدم الحسابي ، ولكن ليس الجميع على دراية جيدة بما هو عليه. في هذه المقالة ، سنقدم التعريف المقابل ، وننظر أيضًا في مسألة كيفية إيجاد الفرق في التقدم الحسابي ، وإعطاء عدد من الأمثلة.

التعريف الرياضي

لذا ، إذا كنا نتحدث عن تقدم حسابي أو جبري (هذه المفاهيم تحدد نفس الشيء) ، فهذا يعني أن هناك بعض سلاسل الأرقام التي تفي بالقانون التالي: كل رقمين متجاورين في السلسلة يختلفان بنفس القيمة. رياضيا ، هذا مكتوب على النحو التالي:

هنا n تعني رقم العنصر a n في التسلسل ، والرقم d هو اختلاف التقدم (يتبع اسمه من الصيغة المقدمة).

ماذا يعني معرفة الفرق د؟ حول مدى تباعد الأرقام المتجاورة. ومع ذلك ، فإن معرفة d شرط ضروري ولكنه غير كافٍ لتحديد (استعادة) التقدم بأكمله. تحتاج إلى معرفة رقم واحد آخر ، والذي يمكن أن يكون تمامًا أي عنصر من عناصر السلسلة قيد الدراسة ، على سبيل المثال ، 4 ، a10 ، ولكن كقاعدة عامة ، يتم استخدام الرقم الأول ، أي 1.

صيغ لتحديد عناصر التقدم

بشكل عام ، المعلومات الواردة أعلاه كافية بالفعل للانتقال إلى حل مشاكل محددة. ومع ذلك ، قبل إعطاء التقدم الحسابي ، وسيكون من الضروري إيجاد اختلافه ، نقدم بعض الصيغ المفيدة ، وبالتالي تسهيل العملية اللاحقة لحل المشكلات.

من السهل إظهار أن أي عنصر من عناصر التسلسل برقم n يمكن العثور عليه على النحو التالي:

أ n \ u003d أ 1 + (ن - 1) * د

في الواقع ، يمكن للجميع التحقق من هذه الصيغة عن طريق التعداد البسيط: إذا عوضنا عن n = 1 ، فسنحصل على العنصر الأول ، وإذا استبدلنا n = 2 ، فإن التعبير يعطي مجموع الرقم الأول والفرق ، وهكذا.

يتم تجميع شروط العديد من المشكلات بطريقة تجعل من الضروري استعادة سلسلة الأرقام بأكملها (ابحث عن الفرق والعنصر الأول) بالنسبة لزوج معروف من الأرقام ، والتي ترد أرقامها أيضًا في التسلسل. الآن سنحل هذه المشكلة بطريقة عامة.

فلنفترض أن لدينا عنصرين بهما العددين n و m. باستخدام الصيغة التي تم الحصول عليها أعلاه ، يمكننا تكوين نظام من معادلتين:

أ ن \ u003d أ 1 + (ن - 1) * د ؛

أ م = أ 1 + (م - 1) * د

للعثور على كميات غير معروفة ، نستخدم طريقة بسيطة معروفة لحل مثل هذا النظام: نطرح الجزأين الأيمن والأيسر في أزواج ، بينما تظل المساواة صالحة. نملك:

أ ن \ u003d أ 1 + (ن - 1) * د ؛

أ ن - أ م = (ن - 1) * د - (م - 1) * د = د * (ن - م)

وهكذا ، فقد قضينا على واحد غير معروف (أ 1). الآن يمكننا كتابة التعبير النهائي لتحديد d:

د = (أ ن - أ م) / (ن - م) ، حيث ن> م

لقد حصلنا على معادلة بسيطة جدًا: لحساب الفرق d وفقًا لظروف المشكلة ، من الضروري فقط أخذ نسبة الاختلافات بين العناصر نفسها وأرقامها التسلسلية. يجب الانتباه إلى نقطة مهمة واحدة: يتم أخذ الاختلافات بين الأعضاء "الكبار" و "المبتدئين" ، أي n \ u003e m ("كبار" - بمعنى الوقوف بعيدًا عن بداية التسلسل ، يمكن لقيمته المطلقة أن تكون أكثر أو أقل من العنصر "الأصغر سنًا").

يجب استبدال التعبير عن الاختلاف د للتقدم في أي من المعادلات في بداية حل المشكلة من أجل الحصول على قيمة المصطلح الأول.

في عصرنا من تطوير تكنولوجيا الكمبيوتر ، يحاول العديد من أطفال المدارس إيجاد حلول لمهامهم على الإنترنت ، لذلك غالبًا ما تثار أسئلة من هذا النوع: اكتشف الفرق في التقدم الحسابي عبر الإنترنت. بناءً على هذا الطلب ، سيعرض محرك البحث عددًا من صفحات الويب ، بالانتقال إليها ، ستحتاج إلى إدخال البيانات المعروفة من الحالة (يمكن أن تكون إما عضوين من التقدم ، أو مجموع بعضها ) والحصول على إجابة على الفور. ومع ذلك ، فإن مثل هذا النهج لحل المشكلة غير مثمر من حيث تنمية الطالب وفهم جوهر المهمة الموكلة إليه.

الحل بدون استخدام الصيغ

دعنا نحل المشكلة الأولى ، بينما لن نستخدم أيًا من الصيغ أعلاه. دع عناصر المتسلسلة تُعطى: a6 = 3 ، a9 = 18. أوجد فرق التقدم الحسابي.

العناصر المعروفة قريبة من بعضها البعض على التوالي. كم مرة يجب إضافة الفرق d إلى الأصغر للحصول على أكبر واحد؟ ثلاث مرات (في المرة الأولى التي نضيف فيها d ، نحصل على العنصر السابع ، والمرة الثانية - الثامنة ، وأخيراً ، والمرة الثالثة - التاسعة). ما الرقم الذي يجب إضافته إلى ثلاث ثلاث مرات للحصول على 18؟ هذا هو الرقم خمسة. حقًا:

وبالتالي ، فإن الاختلاف المجهول هو د = 5.

بالطبع ، يمكن أن يتم الحل باستخدام الصيغة المناسبة ، لكن هذا لم يتم عن قصد. يجب أن يصبح التفسير التفصيلي لحل المشكلة مثالًا واضحًا وحيويًا على ماهية التقدم الحسابي.

مهمة مشابهة للمهمة السابقة

لنحل الآن مشكلة مماثلة ، لكن نغير بيانات الإدخال. لذلك ، يجب أن تجد ما إذا كان a3 = 2 ، a9 = 19.

بالطبع يمكنك اللجوء مرة أخرى إلى طريقة حل "على الجبين". ولكن نظرًا لأن عناصر السلسلة متباعدة نسبيًا ، فإن هذه الطريقة لا تصبح مريحة للغاية. لكن استخدام الصيغة الناتجة سيقودنا بسرعة إلى الإجابة:

د \ u003d (أ 9 - أ 3) / (9-3) \ u003d (19-2) / (6) \ u003d 17/6 ≈ 2.83

هنا قمنا بتقريب العدد النهائي. يمكن الحكم على مقدار هذا التقريب الذي أدى إلى حدوث خطأ من خلال التحقق من النتيجة:

أ 9 \ u003d أ 3 + 2.83 + 2.83 + 2.83 + 2.83 + 2.83 + 2.83 = 18.98

تختلف هذه النتيجة بنسبة 0.1٪ فقط عن القيمة الواردة في الحالة. لذلك ، يمكن اعتبار التقريب إلى جزء من المئات اختيارًا جيدًا.

مهام لتطبيق الصيغة لعضو

لنفكر في مثال كلاسيكي لمشكلة تحديد المجهول د: أوجد فرق التقدم الحسابي إذا كان a1 = 12 ، a5 = 40.

عندما يتم إعطاء رقمين من متتالية جبرية غير معروفة ، أحدهما هو العنصر a 1 ، فلن تحتاج إلى التفكير طويلاً ، ولكن يجب عليك على الفور تطبيق الصيغة الخاصة بالعضو n. في هذه الحالة لدينا:

أ 5 = أ 1 + د * (5-1) => د = (أ 5 - أ 1) / 4 = (40-12) / 4 = 7

حصلنا على الرقم الدقيق عند القسمة ، فلا داعي للتحقق من دقة النتيجة المحسوبة ، كما حدث في الفقرة السابقة.

لنحل مشكلة أخرى مماثلة: يجب أن نجد فرق التقدم الحسابي إذا كان a1 = 16 ، a8 = 37.

نحن نستخدم نهجًا مشابهًا للنهج السابق ونحصل على:

أ 8 = أ 1 + د * (8-1) => د = (أ 8 - أ 1) / 7 = (37-16) / 7 = 3

ما الذي يجب أن تعرفه أيضًا عن التقدم الحسابي

بالإضافة إلى مشاكل إيجاد فرق غير معروف أو عناصر فردية ، غالبًا ما يكون من الضروري حل مسائل مجموع المصطلحات الأولى في التسلسل. يعتبر النظر في هذه المشكلات خارج نطاق موضوع المقالة ، ومع ذلك ، من أجل اكتمال المعلومات ، نقدم صيغة عامة لمجموع n من الأرقام من السلسلة:

∑ n i = 1 (a i) = n * (a 1 + a n) / 2