صيغة الاحتمال الكلي: نظرية وأمثلة لحل المشكلة. صيغة الاحتمالية الإجمالية وصيغ Bayes

دعنا نأخذ في الاعتبار مجموعة كاملة من الأحداث (غير المتوافقة الزوجية ، والتي تسمى الفرضيات) ، وإذا كان يمكن أن يحدث حدث فقط عند ظهور إحدى هذه الفرضيات ، فسيتم حساب احتمال الحدث من خلال صيغة الاحتمال الكلي:

,

أين هو احتمال الفرضية. .

هو الاحتمال الشرطي للحدث بموجب هذه الفرضية. إذا كانت احتمالات الفرضيات قبل التجربة صيغة بايز:

.

تتيح صيغة بايز المبالغة في تقدير احتمالات الفرضيات ، مع مراعاة النتيجة المعروفة بالفعل للتجربة.

مثال 1

هناك ثلاث جرارات متطابقة. في الكرات البيضاء الأولى والأسود ؛ في الثانية - أبيض وأسود ؛ في الثالثة فقط الكرات البيضاء. يقترب شخص ما بشكل عشوائي من إحدى الجرار ويسحب كرة منها. أوجد احتمال أن تكون هذه الكرة بيضاء.

المحلول.

دع الحدث يكون ظهور كرة بيضاء. نصوغ الفرضيات: - اختيار الجرة الأولى.

- اختيار الجرة الثانية ؛

- اختيار الجرة الثالثة ؛

,

, , ;

وفقًا لمعادلة الاحتمالية الإجمالية

مثال 2

هناك نوعان من الجرار: الأولى - كرات بيضاء وسوداء ، والثانية - سوداء. يتم نقل كرة واحدة من الجرة الأولى إلى الثانية ؛ يتم خلط الكرات ثم يتم نقل كرة واحدة من الجرة الثانية إلى الأولى. بعد ذلك ، تؤخذ كرة واحدة عشوائيًا من الجرة الأولى. أوجد احتمال أنه كان أبيض.

المحلول.

الفرضيات: - لم يتغير تكوين الكرات في الجرة الأولى ؛

- في الجرة الأولى ، يتم استبدال كرة سوداء واحدة بأخرى بيضاء ؛

- في الجرة الأولى ، يتم استبدال كرة بيضاء واحدة بأخرى سوداء ؛

;

يقول الحل الناتج أن احتمال رسم كرة بيضاء لا يتغير إذا كانت نسب الكرات البيضاء والكرات السوداء في كلتا الجرارين متساويتين .

إجابه: .

مثال 3

يتكون الجهاز من عقدتين ، فإن تشغيل كل عقدة ضروري بالتأكيد لتشغيل الجهاز ككل. الموثوقية (احتمالية حدوث عملية خالية من الفشل خلال الوقت) للعقدة الأولى تساوي الثانية. تم اختبار الجهاز للوقت ، ونتيجة لذلك وجد أنه خارج الترتيب (فشل). أوجد احتمال فشل العقدة الأولى فقط ، والعقدة الثانية تعمل.

المحلول.

قبل التجربة ، هناك أربع فرضيات ممكنة:

- كلا العقدتين تعملان ؛

- العقدة الأولى فشلت ، والثانية صالحة للخدمة ؛

- الأول صالح للخدمة ، والثاني رفض ؛

- فشل كلا العقدتين ؛

احتمالات الفرضية:

تم ملاحظة حدث - فشل الجهاز:

وفقًا لمعادلة بايز:

تكرار التجارب

إذا تم إجراء تجارب مستقلة في ظل نفس الظروف ، وفي كل منها ظهر حدث مع احتمال ، فإن احتمالية حدوث الحدث مرة واحدة بالضبط في هذه التجارب يتم التعبير عنها بالصيغة:

,

يساوي احتمال حدوث حدث واحد على الأقل في تجارب مستقلة في ظل نفس الظروف:

.

احتمال وقوع حدث ما أ) أقل من مرة ؛ ب) أكثر من مرة. ج) مرة واحدة على الأقل. د) لا نجد أكثر من مرة ، على التوالي ، ولكن الصيغ:

نظرية التكرار العامة

إذا تم إجراء تجارب مستقلة في ظل ظروف مختلفة ، وكان احتمال حدوث حدث في التجربة -th ، فإن احتمال ظهور الحدث في هذه التجارب مرة واحدة بالضبط يساوي المعامل عند التمدد في قوى دالة التوليد

، أين .

مثال 1

الجهاز يتكون من 10 عقد. الموثوقية (احتمال حدوث عملية خالية من الفشل بمرور الوقت) لكل عقدة . العقد تفشل بشكل مستقل عن بعضها البعض. أوجد الاحتمال في الوقت المناسب:

أ) ستفشل عقدة واحدة على الأقل ؛

ب) ستفشل عقدة واحدة بالضبط ؛

ج) ستفشل عقدتان بالضبط ؛

د) ستفشل عقدتان على الأقل.

المحلول.

مثال 2

تحتوي الجرة على 30 كرة بيضاء و 15 كرة سوداء. يتم إخراج 5 كرات على التوالي ، ويتم إرجاع كل كرة يتم إخراجها إلى الجرة قبل إخراج الكرة التالية وخلط الكرات الموجودة في الجرة. ما هو احتمال أن تكون 3 من الكرات الخمس المرسومة بيضاء؟

المحلول.

يمكن اعتبار احتمال سحب كرة بيضاء هو نفسه في جميع التجارب الخمس: ثم احتمال عدم الحصول على كرة بيضاء. باستخدام صيغة برنولي ، نحصل على:

مثال 3

رميت عملة ثماني مرات. ما هو احتمال أن ينقلب ست مرات؟

المحلول.

لدينا مخطط اختبار برنولي. احتمال ظهور Ge في تجربة واحدة ، ومن بعد

الجواب: 0.107.

مثال 4

يتم إطلاق أربع طلقات مستقلة - واحتمال إصابة الهدف هو متوسط ​​الاحتمالات

البحث عن الاحتمالات: .

المحلول.

حسب صيغة برنولي ، لدينا

مثال 5

هناك خمس محطات يتم الاتصال بها. من وقت لآخر ينقطع الاتصال بسبب التداخل الجوي. نظرًا لبعد المحطات عن بعضها البعض ، يحدث انقطاع في الاتصال مع كل منها بشكل مستقل عن الآخرين مع احتمال 0.2. أوجد احتمال الحفاظ على الاتصال مع محطتين على الأكثر في وقت معين.

المحلول.

حدث - يوجد اتصال مع ما لا يزيد عن محطتين.

الجواب: 0.72.

مثال 6

يراقب نظام محطات الرادار مجموعة من الأجسام تتكون من عشر وحدات. يمكن فقد كل عنصر (بغض النظر عن الكائنات الأخرى) مع احتمال 0.1. أوجد احتمال ضياع عنصر واحد على الأقل.

المحلول.

يمكن العثور على احتمال فقدان كائن واحد على الأقل من خلال الصيغة:

ولكن من الأسهل استخدام احتمالية وقوع حدث معاكس - عدم فقدان كائن واحد - وطرحه من واحد

الجواب: 0.65.

متغيرات مهام العمل الرقابي رقم 5

الخيار 1

1. يتم إلقاء اثنين من النرد. أوجد احتمال أن يكون مجموع النقاط الملفوفة 7.

2. اسمحوا أن تكون ثلاثة أحداث تعسفية. اكتب تعبيرًا عن الأحداث التي وقعت من بين هذه الأحداث الثلاثة ، حدثان على الأقل.

3. رمي عملة 5 مرات. أوجد احتمال ظهور "شعار النبالة": أ) مرتين على الأقل ، ب) مرتين على الأقل.

4. هناك عدد 2 من الجرار متطابقة. تحتوي الجرة الأولى على 3 كرات بيضاء و 5 كرات سوداء ، وتحتوي الجرة الثانية على 3 كرات بيضاء و 7 كرات سوداء. يتم سحب الكرة من جرة واحدة تم اختيارها عشوائيًا. أوجد احتمال أن تكون الكرة
الأسود.

5. يشارك 18 فريقًا في البطولة الوطنية لكرة القدم ، ويلتقي كل فريق مرتين على ملاعب كرة القدم. كم عدد المباريات التي لعبت في الموسم؟

الخيار 2

1. عند الاتصال برقم هاتف ، نسي المشترك الأرقام الثلاثة الأخيرة ، وتذكر فقط أن هذه الأرقام مختلفة ، قام بالاتصال بها بشكل عشوائي. أوجد احتمال أن يتم الاتصال بالأرقام الصحيحة.

2. هل هذا صحيح .

3. أوجد احتمال وقوع الحدث مرتين على الأقل في 4 تجارب مستقلة إذا كان احتمال وقوع الحدث في تجربة واحدة هو 0.6.

4. يتم توريد الأجهزة الكهربائية إلى المخزن من قبل ثلاثة مصانع. الأول يزود 50٪ ، والثاني - 20٪ ، والثالث - 30٪ من جميع المنتجات. احتمالات تصنيع جهاز بأعلى جودة من قبل كل مصنع ، على التوالي ، هي:. حدد احتمالية أن يكون الجهاز الذي تم شراؤه في المتجر من أعلى مستويات الجودة.

5. يتم تشكيل حروف مورس على شكل سلسلة من النقاط و
اندفاع. كم عدد الحروف المختلفة التي يمكن تشكيلها باستخدام 5
الشخصيات؟

الخيار 3

1. هناك 10 كرات مرقمة في الصندوق بأرقام من 1 إلى 10. يتم إخراج كرة واحدة. ما احتمال ألا يتجاوز عدد الكرة المسحوبة 10.

2. هل المساواة صحيحة ?

3. احتمال وقوع حدث ما على الأقل مرة واحدة في ثلاث تجارب هو 0.936. أوجد احتمال وقوع حدث في تجربة واحدة.

4. هناك ثلاث جرار متطابقة. تحتوي الجرة الأولى على 5 كرات بيضاء و 5 كرات سوداء ، وتحتوي الجرة الثانية على 3 كرات بيضاء و 2 كرات سوداء ، وتحتوي الجرة الثالثة على 7 كرات بيضاء و 3 كرات سوداء. يتم سحب الكرة من جرة واحدة تم اختيارها عشوائيًا. أوجد احتمال أن تكون الكرة بيضاء.

5. في عدد الطرق التي يمكن أن يجلس بها 12 شخصًا على طاولة بها 12 أداة مائدة.

الخيار 4

1. 6 رجال و 4 نساء يعملون في الورشة. تم اختيار 7 أفراد عشوائياً حسب أعداد الموظفين. أوجد احتمال وجود 3 نساء من بين الأشخاص المختارين.

2. إثبات ذلك .

3. لنفترض أن احتمال أن يكون الجزء المأخوذ عشوائيًا غير قياسي هو 0.1. أوجد احتمال عدم وجود أكثر من جزأين غير قياسيين من بين 5 أجزاء مأخوذة عشوائيًا.

4. هناك ثلاث جرار متطابقة. تحتوي الجرة الأولى على 3 كرات بيضاء و 3 كرات سوداء ، وتحتوي الجرة الثانية على 2 كرات بيضاء و 6 كرات سوداء ، وتحتوي الجرة الثالثة على 5 كرات بيضاء و 2 سوداء. يتم سحب الكرة من جرة واحدة تم اختيارها عشوائيًا. أوجد احتمال أن تكون الكرة سوداء.

5. يلزم عمل جدول زمني لمغادرة القطارات لأيام مختلفة من الأسبوع. في الوقت نفسه ، من الضروري أن: قطارين يوميًا يغادران لمدة 3 أيام ، قطار واحد يوميًا لمدة يومين ، 3 قطارات يوميًا لمدة يومين. كم عدد الجداول المختلفة التي يمكن إجراؤها؟

الخيار 5

1. يتم تقطيع المكعب ، الذي تم طلاء جميع جوانبه ، إلى 64 مكعبًا من نفس الحجم ، ثم يتم خلطها بعد ذلك. أوجد احتمال أن يكون للمكعب المرسوم عشوائيًا وجهان ملونان.

2. إثبات ذلك .

3. دع احتمال أن يحتاج التلفزيون إلى الإصلاح خلال فترة الضمان هو 0.2. ابحث عن احتمال أنه خلال فترة الضمان من بين 6 أجهزة تلفزيون: أ) لن يحتاج أكثر من جهاز واحد إلى الإصلاح ، ب) جهاز واحد على الأقل لن يحتاج إلى الإصلاح.

4. يتم إنتاج نفس النوع من الأجزاء في ثلاثة خطوط أوتوماتيكية. بسبب اضطراب الآلات ، من الممكن إنتاج منتجات معيبة: السطر الأول مع احتمال 0.02 ؛ الثاني - مع احتمال 0.01 ؛ الثالث - مع احتمال 0.05. يعطي السطر الأول 70٪ ، والثاني - 20٪ ، والثالث - 10٪ من جميع المنتجات. تحديد احتمال الزواج.

5. في جرة من الكرات البيضاء والسوداء. في عدد الطرق التي يمكنك الاختيار من بين كرات الجرة ، والتي ستكون هناك قطع بيضاء. (كرات كل لون مرقمة.)

الخيار 6

1. هناك 12 كرة في الجرة: 3 كرات بيضاء و 4 سوداء و 5 كرات حمراء. ما هو احتمال سحب كرة حمراء من الجرة؟

2. إثبات ذلك.

3. احتمال الفوز بتذكرة يانصيب هو. أوجد احتمال الفوز بتذكرتين على الأقل من أصل 6.

4. في صندوقين ، توجد أجزاء من نفس النوع: في المربع الأول ، 8 صالحة للخدمة و 2 معيبة ، وفي المربع الثاني 6 صالحة للخدمة و 4 معيبة. يتم أخذ عنصرين بشكل عشوائي من المربع الأول ، وعنصر واحد من المربع الثاني. تم وضع الأجزاء المختلطة في الصندوق الثالث ، حيث تم أخذ جزء واحد بشكل عشوائي. حدد احتمال أن يكون هذا العنصر صحيحًا.

5. كم عدد الطرق التي يمكن بها اختيار ورقتين من أوراق البستوني من مجموعة من 36 بطاقة؟

الخيار 7

1. يوجد 15 كرة في الجرة بأرقام من 1 إلى 15. ما هو احتمال سحب الكرة برقم 18؟

2. إثبات ذلك.

3. احتمال إصابة كل طلقة هو 0.4. أوجد احتمال تدمير الجسم إذا تطلب الأمر 3 إصابات على الأقل ، وتم إطلاق 15 طلقة.

4. جرارتان متطابقتان تحتويان على كرات بيضاء وسوداء. يتم نقل كرة واحدة من الجرة الأولى إلى الثانية. في الجرة الثانية ، يتم خلط الكرات ويتم نقل كرة واحدة إلى الجرة الأولى. ثم يتم سحب كرة واحدة من الجرة الأولى. أوجد احتمال أن تكون الكرة بيضاء.

5. يتم اختيار رقمين على التوالي من المجموعة بدون استبدال. كم عدد هذه المجموعات التي يكون فيها الرقم الثاني أكبر من الأول؟

الخيار 8

1. هناك دائرة داخل القطع الناقص. أوجد احتمال وقوع نقطة في حلقة يحدها قطع ناقص ودائرة.

2. اسمحوا أن تكون ثلاثة أحداث تعسفية. ابحث عن تعبيرات للأحداث التي: أ) أحداث ووقعت ولكن الحدث لم يقع ؛ ب) حدث حدثان بالضبط.

3. أوجد احتمال أن يكون في عائلة لديها 6 أطفال على الأقل
2 بنات. (تعتبر احتمالات إنجاب ولد وبنت واحدة).

4. هناك نوعان من الجرار. تحتوي الجرة الأولى على 3 كرات بيضاء و 5 كرات سوداء ، وتحتوي الجرة الثانية على 4 كرات بيضاء و 6 كرات سوداء. يتم نقل كرتين من الجرة الأولى إلى الجرة الثانية دون النظر. يتم خلط الكرات الموجودة في الجرة الثانية جيدًا ويتم أخذ كرة واحدة منها. أوجد احتمال أن الكرة سوف
أبيض.

5. كم عدد الطرق التي يمكن بها تسمية رؤوس مثلث معين باستخدام الأحرف ?

الخيار 9

1. من الأحرف الخمسة للأبجدية المنقسمة ، تتكون كلمة "كتاب". قام الطفل الذي لا يستطيع القراءة بتشتيت هذه الحروف ثم رتبها بترتيب عشوائي. أوجد احتمالية أن يكون قد حصل على كلمة "كتاب" مرة أخرى.

2. البحث عن جميع الأحداث من هذا القبيل وأين وهناك بعض الأحداث.

3. من أصل 15 بطاقة يانصيب ، هناك 4 فائزين ، ما هو احتمال أن تكون هناك اثنتان فائزتان من أصل 6 تذاكر تم اختيارها عشوائيًا؟

4. هناك ثلاث جرار متطابقة. تحتوي الجرة الأولى على 4 كرات بيضاء و 2 كرات سوداء ، وتحتوي الجرة الثانية على 3 كرات بيضاء و 3 كرات سوداء ، وتحتوي الجرة الثالثة على 1 كرات بيضاء و 5 كرات سوداء. من الجرار الثاني والثالث ، دون النظر ، يتم نقل كرتين إلى الجرة الأولى. يتم خلط الكرات الموجودة في الجرة الأولى ويتم سحب كرتين عشوائيًا. أوجد احتمال أنها بيضاء.

5. من أصل خمسة لاعبي الشطرنج ، يجب إرسال اثنين للمشاركة في البطولة. ما هو عدد الطرق التي يمكن القيام بها؟

الخيار 10

1. من مجموعة مكونة من 52 بطاقة ، يتم سحب ثلاث بطاقات بشكل عشوائي. أوجد احتمال أن يكون العدد ثلاثة ، وسبعة ، وآص.

2. يتم إعطاء كتلتين مكررتين. سجل الحدث أن النظام سليم.

3. للإشارة إلى وقوع حادث ، تم تركيب جهازي إشارات يعملان بشكل مستقل. احتمال أن يعمل جهاز الإشارات في حالة وقوع حادث هو 0.95 للأول و 0.9 للثاني. أوجد احتمال أن يعمل جهاز إشارة واحد فقط في حالة وقوع حادث.

4. في ثلاثة خطوط أوتوماتيكية ، يتم تصنيع الأجزاء التي تحمل نفس الاسم. يعطي السطر الأول 70٪ ، والثاني - 20٪ ، والثالث - 10٪ من جميع المنتجات. احتمالات استلام المنتجات المعيبة في كل سطر ، على التوالي ، هي: 0.02 ؛ 0.01 ؛ 0.05. تبين أن الجزء المحظوظ معيب. أوجد احتمال تكوين الجزء في السطر الأول.

5. يتم تحديد 10 نقاط على الدائرة. كم عدد الحبال التي يمكن رسمها بنهايات في هذه النقاط.

الخيار 11

1. في جرة من الكرات البيضاء والسوداء والحمراء. يتم رسم ثلاث كرات بشكل عشوائي. ما هو احتمال أن تكون بألوان مختلفة.

2. هل المساواة صحيحة ?

3. يقوم قسم الرقابة الفنية بفحص المنتجات من حيث المواصفات. احتمال أن يكون العنصر معياريًا هو 0.9. أوجد احتمال أن يكون واحدًا فقط من المنتجين المختبرين قياسيًا.

4. ثلاثة رماة يطلقون النار بشكل مستقل عن بعضهم البعض على الهدف ، كل واحد يطلق رصاصة واحدة. احتمال إصابة الهدف الأول هو 0.4 ، وللثاني - 0.6 وللثالث - 0.7. وبعد إطلاق النار على الهدف تم العثور على إصابتين. أوجد احتمال انتمائهما إلى السهمين الأول والثالث.

5. كم عدد الطرق التي يمكن بها ترتيب 5 كرات حمراء و 4 سوداء و 5 بيضاء في صف واحد بحيث تكون الكرات الموضوعة على الحواف من نفس اللون؟

الخيار 12

1. اجتماع حضره 25 شخصًا ، بينهم 5 سيدات ، يتم اختيار وفد من 3 أشخاص. بالنظر إلى أنه يمكن انتخاب كل من الحاضرين بنفس الاحتمالية. أوجد احتمال أن يضم الوفد امرأتين ورجل واحد.

3. أوجد الاحتمال في ظل الاحتمالات , .

4. يمكن إرسال الكود 1111 باحتمال 0.2 ، والشفرة 0000 باحتمال 0.3 ، والشفرة 1001 باحتمال 0.5 عبر قناة الاتصال. بسبب تأثير التداخل ، فإن احتمال الاستقبال الصحيح لكل رقم (0 أو 1) من الكود هو 0.9 ، والأرقام مشوهة بشكل مستقل عن بعضها البعض. أوجد احتمال إرسال الرمز 1111 إذا تم استلام الرمز 1011 في جهاز الاستقبال.

5. كم عدد الطرق المختلفة التي يمكن أن يختارها المشاة إذا قرر السير 9 بلوكات ، 5 منها إلى الغرب ، و 4 إلى الشمال.

الخيار 13

1. يتم تقسيم مجموعة من 10 رجال و 10 نساء بشكل عشوائي إلى قسمين متساويين. أوجد احتمال أن الرجال والنساء متماثلون في كل جزء.

2. و هي بعض الأحداث. هل المساواة صحيحة ?

3. أوجد الاحتمال بالنظر إلى الاحتمالات ، .

4. من الممكن إرسال الكود 1234 مع احتمال 0.6 والشفرة 4321 باحتمال 0.4 عبر خط الاتصال. يتم عرض الرمز على لوحة النتائج ، مما قد يؤدي إلى تشويه الأرقام. احتمال أخذ 1 مقابل 1 هو 0.8 ، و 1 مقابل 4 هو 0.2. احتمال أخذ 4 مقابل 4 هو 0.9 ، و 4 مقابل 1 هو 0.1. احتمال أخذ 2 لـ 2 و 3 لـ 3 هو 0.7. احتمال أخذ 2 مقابل 3 و 3 مقابل 2 هو 0.3. قبل المشغل الرمز 4231. حدد احتمال استلام الرمز:
أ) 1234 ؛ ب) 4321.

5. بين ثلاثة أشخاص - من الضروري تقسيم 15 عنصرًا مختلفًا ، ويجب أن يتلقى كائنين ، - 3 ، و - 10. كم عدد الطرق التي يمكن بها إجراء هذا التوزيع.

الخيار 14

1. هناك 4 عناصر معيبة في دفعة مكونة من 10 عناصر. اختر عشوائيا
5 عناصر. أوجد احتمال وجود ثلاثة منتجات معيبة من بين هذه المنتجات الخمسة.

2. إثبات ، تشكيل مجموعة كاملة من الأحداث.

3. يعرف الطالب 20 سؤالاً من أصل 25 سؤالاً في البرنامج. أوجد احتمال أن يجيب الطالب على سؤالين قدمه له الممتحن.

4. هناك 4 دفعات من الأجزاء. في الدفعة الأولى 3٪ زواج ، وفي الدفعة الثانية -4٪ ، وفي الدفعة الثالثة والرابعة لا يوجد زواج. ما هو احتمال أخذ جزء معيب إذا تم أخذ جزء واحد من دفعة تم اختيارها عشوائيًا؟ ما هو احتمال أن يكون الجزء المأخوذ من الدفعة الأولى إذا تبين أنه معيب؟

5. يجب على الطالب اجتياز 4 اختبارات في غضون 10 أيام. كم عدد الطرق التي يمكنك جدولة له؟

الخيار 15

1. يوجد 50 مقعدا في الصالة. أوجد احتمال أن 5 من بين 10 أشخاص سيشغلون أماكن معينة ، إذا كانت هذه الأماكن مشغولة بشكل عشوائي.

2. إثبات ذلك .

3. ثلاثة رماة يطلقون النار بشكل مستقل على الهدف. احتمال إصابة الهدف الأول هو 0.75 ، للثاني - 0.8 ، للثالث - 0.9. أوجد احتمال إصابة جميع الأسهم الثلاثة بالهدف.

4. من جرة تحتوي على 4 كرات سوداء و 6 بيضاء ، تضيع كرة غير معروفة اللون. من أجل تحديد تكوين الكرات في الجرة ، تم سحب كرتين بشكل عشوائي منه. تبين أنهم من البيض. أوجد احتمال ضياع الكرة البيضاء.

5. في عدد الطرق التي يمكن بها ترتيب 7 كتب على الرف ، إذا كان يجب دائمًا وضع كتابين معينين جنبًا إلى جنب.

4. احتمال إصابة الهدف برصاصة واحدة هو 0.7. أوجد احتمال أن تؤدي ست طلقات مستقلة إلى خمس ضربات.

5. يوجد 7 مقاعد في السيارة. كم عدد الطرق التي يمكن لسبعة أشخاص ركوبها في هذه السيارة إذا كان بإمكان 3 منهم فقط الجلوس في مقعد السائق.

الخيار 18

1. لممارسة العمل لـ 30 طالبًا ، تم توفير 15 مكانًا في موسكو و 8 في تايغا و 7 في نوفوسيبيرسك. ما هو احتمال حصول طالبين محددين على تدريب في نفس المدينة؟

2. اسمحوا أن تكون ثلاثة أحداث تعسفية. ابحث عن تعبيرات للأحداث التي تتكون مما حدث من: أ) فقط ؛ ب) حدث واحد فقط.

3. هناك 6 كرات بيضاء و 8 سوداء في علبة. يتم إخراج كرتين من الصندوق (بدون إعادة الكرة التي تم إزالتها إلى الصندوق). أوجد احتمال أن تكون كلتا الكرتين بيضاء.

3. يوجد في المربع الأول 2 كرات بيضاء و 10 كرات سوداء ، وفي المربع الثاني 8 كرات بيضاء و
4 كرات سوداء. تم أخذ كرة من كل صندوق. ما هو احتمال أن تكون كلتا الكرتين بيضاء؟

4. يتم اختبار 25 محركًا. إن احتمال التشغيل الخالي من الأعطال لكل محرك هو نفسه ويساوي 0.95. حدد العدد الأكثر احتمالاً للمحركات الفاشلة.

5. لدى تانيا 20 درجة وناتاشا 30 درجة. ما هو عدد الطرق التي يمكن بها استبدال علامة تانيا الواحدة بعلامة ناتاشا واحدة؟

الخيار 20

1. رمي 4 النرد. أوجد احتمال حصول كل شخص على نفس عدد النقاط.

2. هل الأحداث ، وإذا ، يجب أن تتطابق؟

3. ثلاثة رماة يطلقون النار بشكل مستقل على الهدف. احتمال إصابة الهدف الأول هو 0.75 ، والثاني - 0.8. للثالث - 0.9. حدد احتمالية أن يصيب قاتل واحد على الأقل الهدف.

4. مجموعة من الترانزستورات قيد الاختبار. احتمال تشغيل كل ترانزستور بلا عطل هو 0.92. حدد عدد الترانزستورات التي يجب اختبارها بحيث يمكن تسجيل فشل واحد على الأقل مع احتمال 0.95 على الأقل.

5. كم عددًا من خمسة أرقام يمكن تكوينه من الأرقام 1 ، 2 ، 4 ، 6 ، 7 ، 8 ، إذا لم يتم استخدام كل رقم في أي رقم أكثر من مرة واحدة؟

مثال 1. تحصل شركة تصنيع أجهزة الكمبيوتر على نفس الأجزاء من ثلاثة موردين. الأول يوفر 50٪ من جميع المكونات ، والثاني - 20٪ ، والثالث - 30٪ من الأجزاء.
من المعروف أن جودة الأجزاء الموردة مختلفة ، وفي منتجات المورد الأول ، تكون نسبة العيوب 4٪ ، والثاني - 5٪ ، والثالث - 2٪. حدد احتمال أن يكون الجزء المحدد عشوائيًا من كل ما تم استلامه معيبًا.

المحلول. دعنا نشير إلى الأحداث: أ - "العنصر المحدد معيب" ، H i - "العنصر المحدد المستلم من المورد الأول" ، i = 1 ، 2 ، 3 الفرضيات H 1 ، H 2 ، H 3 تشكل مجموعة كاملة من أحداث غير متوافقة. حسب الشرط
P (H1) = 0.5 ؛ P (H2) = 0.2 ؛ P (H3) = 0.3
الفوسفور (أ | ح 1) = 0.04 ؛ الفوسفور (A | H2) = 0.05 ؛ الفوسفور (A | H 3) = 0.02

وفقًا لمعادلة الاحتمال الإجمالية (1.11) ، فإن احتمال الحدث A يساوي
الفوسفور (A) = الفوسفور (H 1) الفوسفور (A | H 1) + الفوسفور (H 2) الفوسفور (A | H 2) + الفوسفور (H 3) الفوسفور (A | H 3) = 0.5 0.04 + 0.2 0.05 + 0.3 0.02 = 0.036
احتمال أن يكون الجزء المختار عشوائيًا معيبًا هو 0.036.

دع الحدث A قد وقع بالفعل في ظروف المثال السابق: تبين أن الجزء المحدد معيب. ما هو احتمال استلامها من المورد الأول؟ الإجابة على هذا السؤال مقدمة من معادلة بايز.
لقد بدأنا تحليل الاحتمالات بقيم أولية فقط لاحتمالات الأحداث. ثم تم إجراء تجربة (تم اختيار جزء منها) ، وتلقينا معلومات إضافية حول الحدث الذي يهمنا. باستخدام هذه المعلومات الجديدة ، يمكننا تحسين قيم الاحتمالات السابقة. القيم الجديدة لاحتمالات نفس الأحداث ستكون بالفعل احتمالات لاحقة (بعد التجريبية) للفرضيات (الشكل 1.5).

مخطط إعادة تقييم الفرضية
دع الحدث A يتحقق فقط مع إحدى الفرضيات H 1، H 2،…، H n (مجموعة كاملة من الأحداث غير المتوافقة). لقد أشرنا إلى الاحتمالات المسبقة للفرضيات P (H i) الاحتمالات الشرطية للحدث A - P (A | H i) ، i = 1 ، 2 ، ... ، n. إذا تم إجراء التجربة بالفعل ونتيجة لذلك حدث الحدث A ، فإن الاحتمالات اللاحقة للفرضيات ستكون الاحتمالات الشرطية P (H i | A) ، i = 1 ، 2 ، ... ، n. في تدوين المثال السابق ، P (H 1 | A) هو احتمال استلام الجزء المحدد ، الذي تبين أنه معيب ، من المورد الأول.
نحن مهتمون باحتمال وقوع الحدث H k | A ضع في اعتبارك التكرار المشترك للحدثين H k و A ، أي الحدث AH k. يمكن العثور على احتماله بطريقتين ، باستخدام صيغ الضرب (1.5) و (1.6):
P (AHk) = P (Hk) P (A | Hk) ؛
الفوسفور (آه ك) = الفوسفور (أ) الفوسفور (ح ك | أ).

مساواة الأجزاء الصحيحة من هذه الصيغ
الفوسفور (ح ك) الفوسفور (أ | ح ك) = الفوسفور (أ) الفوسفور (ح ك | أ) ،

ومن هنا فإن الاحتمال اللاحق للفرضية H k هو

المقام هو الاحتمال الإجمالي للحدث A. الاستعاضة عن P (A) قيمتها وفقًا لمعادلة الاحتمال الإجمالية (1.11) ، نحصل على:
(1.12)
الصيغة (1.12) تسمى صيغة بايز ويستخدم لإعادة تقييم احتمالات الفرضيات.
في ظروف المثال السابق ، نجد احتمال استلام الجزء المعيب من المورد الأول. دعونا نلخص في جدول واحد الاحتمالات المسبقة للفرضيات P (H i) المعروفة لنا بالشرط ، الاحتمالات الشرطية P (A | H i) الاحتمالات المشتركة المحسوبة في عملية حل P (AH i) = P (H i) P (A | H i) وتحسب بالصيغة (1.12) a الاحتمالات اللاحقة P (H k | A) ، i ، k = 1 ، 2 ، ... ، n (الجدول 1.3).

الجدول 1.3 - إعادة تقييم الفرضيات

الفرضياتأهلاً	الاحتمالات
	قبل P (H i)	P (A | H i) الشرطي	مشترك P (AH i)	P اللاحقة (H i | A)
1	2	3	4	5
H 1 - تم استلام الجزء من المورد الأول	0.5	0.04	0.02
H 2 - تم استلام الجزء من مورد ثان	0.2	0.05	0.01
H 3 - تم استلام الجزء من مورد ثالث	0.3	0.02	0.006
مجموع	1.0	-	0.036	1

ضع في اعتبارك الصف الأخير من هذا الجدول. يحتوي العمود الثاني على مجموع احتمالات الأحداث غير المتوافقة H 1 ، H 2 ، H 3 تشكل مجموعة كاملة:
الفوسفور (Ω) = الفوسفور (H 1 + H 2 + H 3) = P (H 1) + P (H 2) + P (H 3) = 0.5 + 0.2 + 0.3 = 1
في العمود الرابع ، يتم الحصول على القيمة في كل صف (احتمالات مشتركة) من خلال قاعدة ضرب الاحتمالات بضرب القيم المقابلة في العمودين الثاني والثالث ، وفي الصف الأخير 0.036 هو إجمالي الاحتمال للحدث أ (من خلال صيغة الاحتمال الكلي).
في العمود 5 ، يتم حساب الاحتمالات اللاحقة للفرضيات باستخدام صيغة Bayes (1.12):

يتم حساب الاحتمالات اللاحقة P (H 2 | A) و P (H 3 | A) بالمثل ، حيث يكون بسط الكسر هو الاحتمالات المشتركة المسجلة في الصفوف المقابلة للعمود 4 ، والمقام هو الاحتمال الإجمالي لـ تم تسجيل الحدث A في الصف الأخير من العمود 4.
مجموع احتمالات الفرضيات بعد التجربة يساوي 1 ومكتوب في السطر الأخير من العمود الخامس.
لذلك ، فإن احتمال استلام الجزء المعيب من المورد الأول هو 0.555. يكون احتمال ما بعد التجربة أكبر من الاحتمال المسبق (بسبب الحجم الكبير للإمداد). يبلغ احتمال ما بعد التجربة لاستلام الجزء المعيب من المورد الثاني 0.278 وهو أيضًا أكبر من احتمال ما قبل التجربة (نظرًا للعدد الكبير من حالات الرفض). الاحتمال التالي للتجربة للحصول على جزء معيب من مورد ثالث هو 0.167.

المثال رقم 3. هناك ثلاث جرار متطابقة. تحتوي الجرة الأولى على كرة بيضاء وكرة سوداء ؛ في الثانية ، ثلاثة بياض وواحد أسود ؛ في الثالثة - اثنان من الكرات البيضاء واثنين من الكرات السوداء. للتجربة ، يتم اختيار جرة واحدة بشكل عشوائي ويتم إخراج كرة منها. أوجد احتمال أن تكون هذه الكرة بيضاء.
المحلول.لنفكر في ثلاث فرضيات: H 1 - تم اختيار الجرة الأولى ، H 2 - تم اختيار الجرة الثانية ، H 3 - تم اختيار الجرة الثالثة والحدث A - يتم إخراج الكرة البيضاء.
بما أن الفرضيات محتملة بالتساوي حسب حالة المشكلة ، إذن

الاحتمالات الشرطية للحدث أ تحت هذه الفرضيات متساوية على التوالي:
حسب معادلة الاحتمال الكلي

المثال رقم 4. يوجد في الهرم 19 بندقية ، 3 منها ذات مشهد بصري. يستطيع مطلق النار ، الذي يطلق النار من بندقية ذات مشهد بصري ، إصابة الهدف باحتمال 0.81 ، وإطلاق النار من بندقية بدون مشهد بصري ، مع احتمال 0.46. أوجد احتمال أن يصيب مطلق النار الهدف بإطلاق النار من بندقية تم اختيارها عشوائيًا.
المحلول.هنا الاختبار الأول هو اختيار عشوائي للبندقية ، والثاني هو إطلاق النار على الهدف. ضع في اعتبارك الأحداث التالية: أ - يصيب مطلق النار الهدف ؛ H 1 - يأخذ مطلق النار بندقية ذات مشهد بصري ؛ ح 2 - يأخذ مطلق النار بندقية بدون مشهد بصري. نستخدم صيغة الاحتمال الكلي. نملك

بالنظر إلى اختيار البنادق واحدة تلو الأخرى ، وباستخدام صيغة الاحتمال الكلاسيكية ، نحصل على: P (H 1) = 3/19 ، P (H 2) = 16/19.
يتم إعطاء الاحتمالات الشرطية في بيان المشكلة: P (A | H 1) = 0 ؛ 81 و P (A | H 2) = 0 ؛ 46. بالتالي،

مثال رقم 5. من جرة تحتوي على 2 كرات بيضاء و 3 كرات سوداء ، يتم سحب كرتين بشكل عشوائي وتضاف كرة بيضاء واحدة إلى الجرة. أوجد احتمال أن تكون الكرة المرسومة عشوائيًا بيضاء.
المحلول.سيتم الإشارة إلى حدث "رسم كرة بيضاء" بالرمز A. والحدث H 1 - يتم رسم كرتين بيضاء بشكل عشوائي ؛ H 2 - تم سحب كرتين سوداوين بشكل عشوائي ؛ H 3 - تم سحب كرة بيضاء واحدة وكرة سوداء. ثم احتمالات الفرضيات المطروحة

الاحتمالات الشرطية في ظل هذه الفرضيات متساوية على التوالي: P (A | H 1) = 1/4 - احتمال سحب كرة بيضاء إذا كان هناك حاليًا واحدة بيضاء وثلاث كرات سوداء في الجرة ، P (A | H 2) = 3/4 - احتمال سحب كرة بيضاء إذا كان هناك حاليًا ثلاث كرات بيضاء وواحدة سوداء في الجرة ، P (A | H 3) = 2/4 = 1/2 - احتمال سحب كرة بيضاء إذا هناك كرتان بيضاء وواحدة سوداء في الجرة في الوقت الحالي كرتان أسودتان. حسب معادلة الاحتمال الكلي

رقم المثال 6. تم إطلاق رصاصتين على الهدف. احتمال الضرب بالضربة الأولى هو 0.2 ، والثاني - 0.6. احتمال تدمير الهدف بضربة واحدة هو 0.3 ، مع اثنين - 0.9. أوجد احتمال تدمير الهدف.
المحلول. دع الحدث A يكون الهدف يتم تدميره. للقيام بذلك ، يكفي أن تضرب برصاصة واحدة من أصل اثنين أو تصيب الهدف على التوالي برقطتين دون أن يخطئ. لنطرح الفرضيات: H 1 - أصابت كلتا الضربتين الهدف. ثم P (H 1) = 0.2 0.6 = 0 ؛ 12. H 2 - إما في المرة الأولى أو الثانية التي يحدث فيها خطأ. ثم P (H 2) = 0.2 0.4 + 0.8 0.6 = 0.56. لا تؤخذ الفرضية H 3 - كلتا اللقطتين خاطئتين - في الحسبان ، لأن احتمال تدمير الهدف هو صفر. ثم تكون الاحتمالات الشرطية متساوية على التوالي: احتمال تدمير الهدف في حالة كلتا اللقطتين الناجحتين هو P (A | H 1) = 0.9 ، واحتمال تدمير الهدف بشرط تسديدة ناجحة واحدة فقط هو P ( أ | ح 2) = 0.3. ثم يساوي احتمال تدمير الهدف وفقًا لمعادلة الاحتمال الإجمالية.

النتيجة الطبيعية لكلتا النظريتين الرئيسيتين - نظرية الجمع الاحتمالي ونظرية الضرب الاحتمالية - هي ما يسمى بصيغة الاحتمال الكلي.

دع الأمر مطلوبًا لتحديد احتمال وقوع حدث ما يمكن أن يحدث مع أحد الأحداث:

تشكيل مجموعة كاملة من الأحداث غير المتوافقة. سوف نسمي هذه الأحداث فرضيات.

دعونا نثبت ذلك في هذه الحالة

, (3.4.1)

أولئك. يتم حساب احتمالية حدث ما كمجموع نواتج احتمالية كل فرضية واحتمال وقوع الحدث بموجب هذه الفرضية.

الصيغة (3.4.1) تسمى معادلة الاحتمال الكلي.

دليل - إثبات. نظرًا لأن الفرضيات تشكل مجموعة كاملة ، يمكن أن يظهر الحدث فقط مع أي من هذه الفرضيات:

بما أن الفرضيات غير متسقة ، فإن التوليفات غير متوافق أيضًا ؛ بتطبيق نظرية الإضافة عليهم نحصل على:

بتطبيق نظرية الضرب على الحدث ، نحصل على:

,

Q.E.D.

مثال 1. هناك ثلاث جرارات متطابقة المظهر ؛ تحتوي الجرة الأولى على كرة بيضاء وكرة سوداء ؛ في الثانية - ثلاثة بيضاء وواحدة سوداء ؛ في الثالثة - اثنان من الكرات البيضاء واثنين من الكرات السوداء. يختار شخص ما إحدى الجرار بشكل عشوائي ويسحب منها كرة. أوجد احتمال أن تكون هذه الكرة بيضاء.

المحلول. لنفكر في ثلاث فرضيات:

اختيار الجرة الأولى ،

اختيار الجرة الثانية ،

اختيار الجرة الثالثة

والحدث هو ظهور كرة بيضاء.

بما أن الفرضيات ، حسب حالة المشكلة ، متساوية في الاحتمال ، إذن

.

الاحتمالات الشرطية للحدث تحت هذه الفرضيات متساوية على التوالي:

حسب معادلة الاحتمال الكلي

.

مثال 2. أطلقت ثلاث طلقات فردية على طائرة. احتمال الضرب من الطلقة الأولى هو 0.4 ، والثاني - 0.5 ، والثالث 0.7. من الواضح أن ثلاث ضربات كافية لتعطيل طائرة ؛ بضربة واحدة ، تفشل الطائرة باحتمال 0.2 ، مع إصابتين ، مع احتمال 0.6. أوجد احتمال توقف الطائرة عن العمل كنتيجة لثلاث طلقات.

المحلول. لنفكر في أربع فرضيات:

لم تسقط قذيفة واحدة على الطائرة ،

أصابت إحدى القذائف الطائرة

أصيبت الطائرة بقذيفتين.

أصابت ثلاث قذائف الطائرة.

باستخدام نظريتي الجمع والضرب ، نجد احتمالات هذه الفرضيات:

الاحتمالات الشرطية للحدث (فشل الطائرة) بموجب هذه الفرضيات هي:

بتطبيق معادلة الاحتمال الكلي ، نحصل على:

لاحظ أنه لا يمكن إدخال الفرضية الأولى في الاعتبار ، حيث يختفي المصطلح المقابل في معادلة الاحتمال الكلي. يتم ذلك عادةً عند تطبيق معادلة الاحتمالية الإجمالية ، مع الأخذ في الاعتبار ليس المجموعة الكاملة من الفرضيات غير المتسقة ، ولكن فقط تلك الفرضيات التي يمكن بموجبها حدوث حدث معين.

مثال 3. يتم التحكم في تشغيل المحرك بواسطة منظمين. يتم النظر في فترة زمنية معينة ، من المستحسن خلالها ضمان تشغيل المحرك بدون مشاكل. في حالة وجود كلا المنظمين ، يفشل المحرك مع الاحتمال ، إذا كان أولهما فقط يعمل ، مع وجود احتمال ، إذا كان الثاني يعمل فقط ، إذا فشل المنظمان ، مع الاحتمال. أول المنظمين لديه موثوقية ، والثاني -. تفشل جميع العناصر بشكل مستقل عن بعضها البعض. أوجد الموثوقية الكلية (احتمال التشغيل الخالي من الأعطال) للمحرك.

صفحة مفيدة؟ احفظ أو أخبر أصدقاءك

البيان العام للمشكلة هو تقريباً * كالتالي:

تحتوي الجرة على كرات $ K $ بيضاء و $ N-K $ كرات سوداء (إجمالي الكرات $ N $). يتم إخراج الكرات من $ n $ بشكل عشوائي وبدون استبدال. أوجد احتمال اختيار كرات $ k $ البيضاء و $ n-k $ السوداء بالضبط.

وفقًا للتعريف الكلاسيكي للاحتمال ، تم العثور على الاحتمال المطلوب باستخدام صيغة الاحتمال الهندسي الفائق (انظر التفسيرات):

$$ P = \ frac (C_K ^ k \ cdot C_ (N-K) ^ (n-k)) (C_N ^ n). \ qquad (1) $$

* دعني أوضح ما تعنيه كلمة "تقريبًا": يمكن إخراج الكرات ليس من الجرة ، ولكن من السلة ، أو لا يمكن أن تكون سوداء وبيضاء ، بل حمراء وخضراء ، كبيرة وصغيرة ، وهكذا. الشيء الرئيسي هو أنهما نوعان ، ثم تفكر في نوع واحد مشروط "الكرات البيضاء" ، والثاني - "الكرات السوداء" ولا تتردد في استخدام الصيغة لحل (تصحيح النص في الأماكن الصحيحة ، بالطبع :) ).

دروس فيديو ونموذج إكسل

شاهد مقطع الفيديو الخاص بنا حول حل المشكلات المتعلقة بالكرات في مخطط الاحتمالات الهندسية الفائقة ، وتعلم كيفية استخدام Excel لحل المشكلات الشائعة.

يمكن تنزيل ملف حساب Excel من الفيديو مجانًا واستخدامه لحل مشاكلك.

أمثلة على حلول لمشاكل اختيار الكرات

مثال 1 تحتوي الجرة على 10 كرات بيضاء و 8 كرات سوداء. يتم اختيار 5 كرات بشكل عشوائي. أوجد احتمال وجود كرتين بيضاء بينهما بالضبط.

استبدل في الصيغة (1) القيم التالية: $ K = 10 $ ، $ N-K = 8 $ ، إجمالي $ N = 10 + 8 = 18 $ ، اختر $ n = 5 $ كرات ، $ k = 2 $ يجب أن تكون أبيض وعلى التوالي ، $ n-k = 5-2 = 3 $ أسود. نحن نحصل:

$$ P = \ frac (C_ (10) ^ 2 \ cdot C_ (8) ^ (3)) (C_ (18) ^ 5) = \ frac (45 \ cdot 56) (8568) = \ frac (5) (17) = 0.294. $$

مثال 2 تحتوي الجرة على 5 كرات بيضاء و 5 كرات حمراء. ما هو احتمال سحب كلتا الكرتين البيضاء عشوائياً؟

هنا الكرات ليست سوداء وبيضاء ، بل حمراء وبيضاء. لكن هذا لا يؤثر على مسار القرار والجواب إطلاقا.

استبدل في الصيغة (1) القيم التالية: $ K = 5 $ (كرات بيضاء) ، $ N-K = 5 $ (كرات حمراء) ، إجمالي $ N = 5 + 5 = 10 $ (إجمالي الكرات في الجرة) ، اختر $ n = 2 $ كرتين ، يجب أن يكون هناك $ k = 2 $ أبيض ، وبالتالي ، $ n-k = 2-2 = 0 $ أحمر. نحن نحصل:

$$ P = \ frac (C_ (5) ^ 2 \ cdot C_ (5) ^ (0)) (C_ (10) ^ 2) = \ frac (10 \ cdot 1) (45) = \ frac (2) (9) = 0.222. $$

مثال 3 هناك 4 كرات بيضاء و 2 أسود في سلة. 2 كرات مأخوذة من السلة. ما هو احتمال أن يكونا بنفس اللون؟

هنا تصبح المهمة أكثر تعقيدًا ، وسنحلها خطوة بخطوة. أدخل الحدث المطلوب
$ A = $ (كرات مختارة من نفس اللون) = (اختر إما كرتين بيضاء أو كرتين أسودتين).
لنمثل هذا الحدث كمجموع حدثين غير متوافقين: $ A = A_1 + A_2 $ ، أين
$ A_1 = $ (تم اختيار كرتين بيضاء) ،
$ A_2 = $ (تم اختيار كرتين أسودتين).

دعنا نكتب قيم المعلمات: $ K = 4 $ (كرات بيضاء) ، $ N-K = 2 $ (كرات سوداء) ، إجمالي $ N = 4 + 2 = 6 $ (إجمالي الكرات في السلة). اختر $ n = 2 $ كرات.

بالنسبة للحدث $ A_1 $ ، يجب أن يكون $ k = 2 $ منهم أبيض ، وبالتالي ، $ n-k = 2-2 = 0 $ أسود. نحن نحصل:

$$ P (A_1) = \ frac (C_ (4) ^ 2 \ cdot C_ (2) ^ (0)) (C_ (6) ^ 2) = \ frac (6 \ cdot 1) (15) = \ frac (2) (5) = 0.4. $$

للحدث $ A_2 $، $ k = 0 $ أبيض و $ n-k = 2 $ كرات سوداء يجب اختيارها من الكرات المختارة. نحن نحصل:

$$ P (A_2) = \ frac (C_ (4) ^ 0 \ cdot C_ (2) ^ (2)) (C_ (6) ^ 2) = \ frac (1 \ cdot 1) (15) = \ frac (1) (15). $$

ثم يكون احتمال الحدث المطلوب (الكرات المسحوبة من نفس اللون) هو مجموع احتمالات هذه الأحداث:

$$ P (A) = P (A_1) + P (A_2) = \ frac (2) (5) + \ frac (1) (15) = \ frac (7) (15) = 0.467. $$

هناك ثلاث جرارات متطابقة المظهر ؛ تحتوي الجرة الأولى على 2 كرات بيضاء و 1 سوداء ؛ يوجد في الجرة الثانية 3 كرات بيضاء و 1 سوداء ؛ في الثالثة هناك 2 كرات بيضاء و 2 سوداء.

يختار شخص ما إحدى الجرار بشكل عشوائي ويسحب منها كرة. أوجد احتمال أن تكون هذه الكرة بيضاء.

لنفكر في ثلاث فرضيات:

H1- اختيار الجرة الأولى

H2- اختيار الجرة الثانية

H3- اختيار الجرة الثالثة

مجموعة كاملة من الأحداث غير المتوافقة.

اجعل الحدث "أ" مظهر كرة بيضاء. لان الفرضيات ، وفقًا لظروف المشكلة ، ممكنة بشكل متساوٍ ، ثم Р (Н1) = Р (Н2) = Р (Н3) = 1 \ 3

الاحتمالات الشرطية للحدث أ تحت هذه الفرضيات متساوية على التوالي: Р (А / Н1) = 2 \ 3 ؛ P (A / H2) = 3 \ 4 ؛ P (A / H3) = 1/2.

حسب معادلة الاحتمال الكلي

الفوسفور (أ) = 1 \ 3 * 3 \ 2 + 1 \ 3 * 3 \ 4 + 1 \ 3 * 1 \ 2 = 23 \ 36

الجواب: 23 \ 36

ص 2. نظرية الفرضية.

نتيجة نظرية الضرب ومعادلة الاحتمال الكلي هي ما يسمى بنظرية الفرضية ، أو معادلة بايز (Bayes).

دعونا نحدد المهمة التالية.

هناك مجموعة كاملة من الفرضيات غير المتوافقة H1 ، H2 ،. . Hn. احتمالات هذه الفرضيات قبل التجارب معروفة وتساوي ، على التوالي ، Р (Н1) ، Р (Н2) ... ، Р (n). تم إجراء تجربة نتيجة ظهور حدث "أ" ، والسؤال هو كيف يمكن تغيير احتمالات الفرضيات فيما يتعلق بظهور هذا الحدث؟

هنا ، في الأساس ، نتحدث عن إيجاد الاحتمال الشرطي P (H1 / A) لكل فرضية.

من نظرية الضرب لدينا:

P (A * Hi) = P (A) P (Hi / A) = P (Hi) P (A / Hi) ، (i = 1،2،3 ، .n) أو تجاهل الجانب الأيسر Nutrend enduro bcaa 120caps شراء.

P (A) P (Hi / A) = P (Hi) P (A / Hi) ، (i = 1،2 ،. ، ن)

من أين P (Hi / A) = P (Hi) P (A / Hi) ÷ P (A) ، (i = 1،2،3 ،. n)

بالتعبير عن P (A) باستخدام الاحتمال الإجمالي ، لدينا

P (Hi / A) = P (Hi) P (A / Hi) ÷ ∑P (Hi) P (A \ Hi) ، (i = 1،2،3 ،. n) (2)

الصيغة (2) تسمى صيغة بايز أو نظرية الفرضية

مثال 2. في مصنع ، يتم إنتاج 30٪ من المنتجات بواسطة الآلة الأولى ، ويتم إنتاج 25٪ من المنتجات بواسطة الآلة الثانية ، ويتم إنتاج باقي المنتجات بواسطة الآلة الثالثة. بالنسبة للجهاز I ، 1٪ من إنتاجه معيب ، للآلة II - 1.5٪ ، للآلة III - 2٪ ، وحدة إنتاج تم اختيارها عشوائيًا تبين أنها معيبة. ما هو احتمال أن الجهاز الأول أنتجها؟

دعونا نقدم تدوين للأحداث.

أ - تبين أن المنتج المحدد معيب

منتج H1 من إنتاج الجهاز الأول

H2 - المنتج الذي تنتجه الماكينة II

H3 - منتج أنتجته آلة III

P (H1) = 0.30 ؛ P (H2) = 0.25 ؛ P (H3) = 0.45

الفوسفور (A / H1) = 0.01 ،

P (A / H2) = 0.015

P (A / H3) = 0.02

P (A) \ u003d 0.01 * 0.30 + 0.015 * 0.25 + 0.02 * 0.45 \ u003d 0.015 ،

P (H1 / A) = 0.01 * 0.30 ÷ 0.015 = 0.20

الإجابة: يتم إنتاج 20٪ من جميع المنتجات المعيبة بواسطة الجهاز الأول.

§9. صيغة برنولي

قانون الأعداد الكبيرة

دع "أ" يكون حدثًا عشوائيًا فيما يتعلق ببعض الخبرة σ. سنكون مهتمين فقط بما إذا كان الحدث A قد وقع أو لم يحدث نتيجة للتجربة ، لذلك سنأخذ وجهة النظر التالية: مساحة الأحداث الأولية المرتبطة بالتجربة σ تتكون من عنصرين فقط - A و A. دعونا نشير إلى احتمالات هذه العناصر ، على التوالي ، من خلال p و q ، (p + q = 1).

لنفترض الآن أن التجربة σ في ظل ظروف غير متغيرة تتكرر عددًا معينًا من المرات ، على سبيل المثال ، 3 مرات. دعونا نتفق على اعتبار الإدراك الثلاثي لـ تجربة جديدة. إذا كنا مهتمين ، كما في السابق ، بحدوث أو عدم حدوث A. أ) ، (أ ، أ ، أ) ، (أ ، أ ، أ) ، (أ ، أ ، أ) ، (أ ، أ ، أ) ، (أ ، أ ، أ) ، (أ ، أ ، أ) ، (أ ، أ ، أ) ، والتي يمكن أن تتكون من أ و أ.

كل من هذه المتتاليات تعني تسلسلًا واحدًا أو آخر لحدوث أو عدم حدوث الأحداث A في ثلاث تجارب σ ، على سبيل المثال ، التسلسل (A ، A ، A) يعني أن A حدث في التجربة الأولى ، و A حدث في الثانية وثالثًا. دعونا نحدد الاحتمالات التي يجب تخصيصها لكل من المتتاليات (1)

يجب أن يعني شرط إجراء التجربة σ جميع المرات الثلاث في ظل ظروف غير متغيرة ما يلي: لا تعتمد نتيجة كل تجربة من التجارب الثلاث على النتائج التي حدثت في التجربتين الأخريين. أولئك. أي مجموعة من نتائج ثلاث تجارب هي ثلاثية من الأحداث المستقلة. في هذه الحالة ، من الطبيعي أن نخصص لحدث ابتدائي (A ، A ، A) احتمالية تساوي p * q * q ، لحدث (A ، A ، A) ، الاحتمال q * y * y ، إلخ.

الذي - التي. نأتي إلى الوصف التالي للنموذج الاحتمالي للتجربة η (أي للتنفيذ الثلاثي للتجربة σ). الفضاء Ω للأحداث الأولية هو مجموعة من 2 إلى 3 متواليات. (واحد). يرتبط كل تسلسل كاحتمال بالرقم p مرفوعًا إلى القوة k ، و q مرفوعًا إلى القوة e ، حيث يحدد الأسس عدد المرات التي يظهر فيها الرمزان A و A في التعبير عن هذا التسلسل.

النماذج الاحتمالية من هذا النوع تسمى مخططات برنولي. في الحالة العامة ، يتم تحديد مخطط برنولي من خلال قيمة الأرقام n و p ، حيث n هو عدد التكرارات للتجربة الأولية σ (في التجربة السابقة ، اعتبرنا n = 3) ، و p هو الاحتمال للحدث أ بالنسبة للتجربة σ.

النظرية 1. اجعل احتمال حدث A مساويًا لـ p ، ودع Pmn هو احتمال حدوث هذا الحدث في سلسلة n من المحاولات المستقلة m مرات.

إذن فإن صيغة برنولي صالحة.

Pmn = Cn إلى القوة m * P إلى القوة m * q إلى القوة nm

تم رمي العملة 10 مرات. ما هو احتمال ظهور شعار النبالة 3 مرات بالضبط؟

في هذه الحالة ، يعتبر فقدان شعار النبالة نجاحًا ، واحتمال p من هذا الحدث في كل تجربة هو 1 \ 2.

ومن ثم: Р10،3 = С10 في الدرجة الثالثة * (1 \ 2) في الدرجة الثالثة * (1 \ 2) في الدرجة السابعة = 10 * 9 * 8 ÷ 1 * 2 * 3 * (1 2 في الدرجة العاشرة ) = 15 \ 128

الجواب: 15 \ 128

مع وجود عدد كبير من التجارب ، فإن التكرار النسبي لحدوث حدث يختلف قليلاً عن احتمال حدوث هذا الحدث. يتم إعطاء الصيغة الرياضية لهذا التأكيد النوعي من خلال قانون برنولي للأعداد الكبيرة ، والذي صقله تشيبيشيف.

النظرية 2. دع احتمالية الحدث A في التجربة p تساوي p ، ودع سلسلة تتكون من n تكرار مستقل لهذه التجربة.

نشير بواسطة m إلى عدد المحاولات التي حدث فيها الحدث A.

3 (| m \ n-p |> α)

معنى عدم المساواة هذا هو أن التعبير m ÷ n يساوي التردد النسبي للحدث A في سلسلة من التجارب ، و | m \ n-p |> α يعني انحراف هذا النسبي عن القيمة النظرية p. عدم المساواة | m \ n-p |> α يعني أن الانحراف أكبر من α. لكن عند قيمة ثابتة لـ α ، كلما زاد n ، يميل الجانب الأيمن من المتباينة (3) إلى الصفر. بمعنى آخر ، تشكل السلسلة التي يكون فيها انحراف التردد التجريبي عن التردد النظري كبيرًا جزءًا صغيرًا من جميع سلاسل الاختبار الممكنة.

يتبع التأكيد الذي حصل عليه برنولي من النظرية: في ظل ظروف النظرية ، لأي قيمة لـ α> 0 ، لدينا