في الحالات التي يكون فيها الحدث محل الاهتمام هو مجموع الأحداث الأخرى ، يتم استخدام صيغة الجمع لإيجاد احتمالية حدوثه.

صيغة الإضافة لها نوعان رئيسيان - للأحداث المشتركة وغير المشتركة. يمكنك تبرير هذه الصيغ باستخدام مخططات فين (الشكل 21). تذكر أنه في هذه الرسوم البيانية ، تكون احتمالات الأحداث مساوية عدديًا لمناطق المناطق المقابلة لهذه الأحداث.

لحدثين غير متوافقين :

الفوسفور (أ + ب) = ف (أ) + ف (ب).(8 ، أ)

لـ N أحداث غير متوافقة , احتمال مجموعها يساوي مجموع احتمالات هذه الأحداث:

= . (8 ب)

من صيغة إضافة الأحداث غير المتوافقة ، هناك نتيجتان مهمتان .

النتيجة 1.بالنسبة للأحداث التي تشكل مجموعة كاملة ، فإن مجموع احتمالاتها يساوي واحدًا:

= 1.

هذا يفسر كالتالي. بالنسبة للأحداث التي تشكل مجموعة كاملة ، يوجد على الجانب الأيسر من التعبير (8 ب) احتمال وقوع أحد الأحداث و انا ،ولكن نظرًا لأن المجموعة الكاملة تستنفد القائمة الكاملة للأحداث المحتملة ، فسيحدث أحد هذه الأحداث بالتأكيد. وبالتالي ، يحتوي الجانب الأيسر على احتمال حدوث حدث سيحدث بالتأكيد - حدث معين. احتمالها يساوي واحدًا.

النتيجة 2.مجموع احتمالات حدثين متقابلين يساوي واحدًا:

ف (أ) + ف ()= 1.

تأتي هذه النتيجة من النتيجة السابقة ، حيث أن الأحداث المعاكسة تشكل دائمًا مجموعة كاملة.

المثال 15

فياحتمال حالة عمل الجهاز الفني هو 0.8. أوجد احتمال فشل هذا الجهاز لنفس فترة المراقبة.

ص المحلول.

ملاحظة مهمة. في نظرية الموثوقية ، من المعتاد الإشارة إلى احتمالية حالة العمل بالحرفص, واحتمال الفشل حرف ف.فيما يلي ، سوف نستخدم هذه الرموز. كلا الاحتمالين هما من وظائف الوقت. لذلك ، لفترات طويلة من الزمن ، فإن احتمال وجود حالة قابلة للتشغيل لأي كائن يقترب من الصفر. يقترب احتمال فشل أي جسم من الصفر لفترات زمنية قصيرة. في الحالات التي لا يتم فيها تحديد فترة المراقبة في المهام ، يُفترض أنها واحدة لجميع الكائنات قيد الدراسة.

العثور على جهاز في حالة الصحة والفشل حدثان متعاكسان. باستخدام Corollary 2 ، نحصل على احتمال فشل الجهاز:

ف \ u003d 1 - ع \ u003d 1 - 0.8 \ u003d 0.2.

لحدثين مشتركينصيغة الجمع الاحتماليةيشبه:

الفوسفور (A + B) \ u003d P (A) + P (B) - P (AB), (9)

والذي يتضح من خلال مخطط فين (الشكل 22).

في الواقع ، للعثور على المنطقة المظللة بالكامل (تتوافق مع مجموع الأحداث A + B) ، من الضروري طرح مساحة المنطقة المشتركة من مجموع مناطق الشكلين A و B (وهي تتوافق مع ناتج الأحداث AB) ، وإلا فسيتم احتسابه مرتين.

لثلاثة أحداث مشتركة ، صيغة الجمع الاحتمالات يصبح أكثر تعقيدًا:

الفوسفور (A + B + C) \ u003d P (A) + P (B) + P (C) - P (AB) - P (AC) - P (BC) + P (ABC).(10)

في مخطط Venn (الشكل 23) ، يكون الاحتمال المطلوب مساويًا عدديًا للمساحة الإجمالية للمنطقة التي تشكلها الأحداث A و B و C (للتبسيط ، لا يظهر مربع الوحدة عليه).

بعد طرح مناطق المناطق AB و AC و CB من مجموع مناطق المناطق A و B و C ، اتضح أن مساحة المنطقة ABC تم جمعها ثلاث مرات وطرحها ثلاث مرات. لذلك ، لحساب هذه المنطقة ، يجب إضافتها إلى التعبير النهائي.

مع زيادة عدد المصطلحات ، تصبح معادلة الإضافة مرهقة أكثر فأكثر ، لكن مبدأ بنائها يظل كما هو: أولاً ، يتم جمع احتمالات الأحداث المأخوذة منفردة ، ثم يتم طرح احتمالات جميع مجموعات الأحداث الزوجية ، يتم إضافة احتمالات الأحداث المأخوذة من خلال ثلاثية ، واحتمالات مجموعات الأحداث التي اتخذتها أربعة وما إلى ذلك.

أخيرًا ، يجب التأكيد عليه : صيغة الجمع الاحتمالية مشتركالأحداث التي تحتوي على عدد من المصطلحات من ثلاثة أو أكثر مرهقة وغير ملائمة للاستخدام ، واستخدامها في حل المشكلات غير عملي.

المثال 16

بالنسبة لمخطط إمداد الطاقة أدناه (الشكل 24) ، حدد احتمال فشل النظام ككل س جمن خلال احتمالات الفشل ف طالعناصر الفردية (المولد والمحولات والخطوط).

حالات الفشلالعناصر الفردية لنظام إمداد الطاقة ، وكذلك والحالات الصحية هي دائمًا أحداث مشتركة زوجية، حيث لا توجد عوائق أساسية للإصلاح في وقت واحد ، على سبيل المثال ، خط ومحول. يحدث فشل النظام عند فشل أي من عناصره: إما المولد ، أو المحول الأول ، أو الخط ، أو المحول الثاني ، أو فشل أي زوج ، أو أي ثلاثي ، أو جميع العناصر الأربعة. لذلك ، فإن الحدث المطلوب - فشل النظام هو مجموع إخفاقات العناصر الفردية. لحل المشكلة ، يمكن استخدام صيغة إضافة الأحداث المشتركة:

Q c \ u003d q g + q t1 + q l + q t2 - q g q t1 - q g q l - q g q t2 - q t1 q l - q t1 q t2 - q l q t2 + q g q t1 q l + q g q l q t2 + q g q t1 q t2 + q t1 q t2 q l - q g q t1 q l q t2.

هذا الحل يقنع مرة أخرى بعبء صيغة الجمع للأحداث المشتركة. في المستقبل ، سيتم النظر في طريقة أخرى أكثر عقلانية لحل هذه المشكلة.

يمكن تبسيط الحل الذي تم الحصول عليه أعلاه مع الأخذ في الاعتبار حقيقة أن احتمالات فشل العناصر الفردية لنظام إمداد الطاقة لفترة عام واحد تستخدم عادةً في حسابات الموثوقية صغيرة جدًا (بترتيب 10-2). لذلك ، يمكن تجاهل جميع المصطلحات باستثناء الأربعة الأولى ، مما لن يؤثر عمليًا على النتيجة العددية. ثم يمكنك أن تكتب:

س مع≈q g + q t1 + q l + q t2.

ومع ذلك ، يجب التعامل مع مثل هذه التبسيط بحذر ، ودراسة عواقبها بعناية ، لأن المصطلحات التي غالبًا ما يتم تجاهلها قد تتناسب مع الأولى.

المثال 17

تحديد احتمال وجود حالة صحية للنظام آر إس، تتكون من ثلاثة عناصر تحفظ بعضها البعض.

المحلول. تظهر العناصر التي تحجز بعضها البعض على الرسم التخطيطي المنطقي لتحليل الموثوقية متصلة بالتوازي (الشكل 25):

يعمل النظام الزائد عندما يكون العنصر الأول أو الثاني أو الثالث قيد التشغيل ، أو أي زوج يعمل ، أو عندما تكون العناصر الثلاثة معًا. لذلك ، فإن الحالة القابلة للتشغيل للنظام هي مجموع الحالات القابلة للتشغيل للعناصر الفردية. من خلال صيغة الجمع للأحداث المشتركة ص ج \ u003d R 1 + R 2 + R 3 - R 1 R 2 - R 1 R 3 - R 2 R 3 + R 1 R 2 R 3. ، أين ص 1 ، ص 2و ص 3هي احتمالات الحالة التشغيلية للعناصر 1 و 2 و 3 على التوالي.

في هذه الحالة ، من المستحيل تبسيط الحل عن طريق التخلص من المنتجات المقترنة ، لأن مثل هذا التقريب سيعطي خطأً هامًا (هذه المنتجات عادةً ما تكون قريبة عدديًا من المصطلحات الثلاثة الأولى). كما في المثال 16 ، هذه المشكلة لها حل آخر أكثر إحكاما.

المثال 18

بالنسبة لخط نقل مزدوج الدائرة (الشكل 26) ، يُعرف احتمال فشل كل دائرة: س 1 = س 2= 0.001. حدد احتمالات أن يكون للخط إنتاجية مائة بالمائة - P (R 100) ، وخمسين بالمائة من الإنتاجية - P (R 50) ، واحتمال فشل النظام - Q.

تبلغ سعة الخط 100٪ عند تشغيل كلتا الدائرتين الأولى والثانية:

P (100٪) \ u003d ص 1 ص 2 \ u003d (1 - ف 1) (1 - ف 2) \ u003d

= (1 – 0,001)(1 – 0,001) = 0,998001.

فشل الخط عندما تفشل كلتا الدائرتين الأولى والثانية:

P (0٪) \ u003d q 1 q 2 \ u003d 0.001 ∙ 0.001 \ u003d 10 -6.

تبلغ سعة الخط خمسين بالمائة عند تشغيل الدائرة الأولى وفشل الثانية ، أو عند تشغيل الدائرة الثانية وفشل الأولى:

P (50٪) \ u003d p 1 q 2 + p 2 q 1 \ u003d 2 ∙ 0.999 ∙ 10 -3 \ u003d 0.001998.

يستخدم التعبير الأخير صيغة الجمع للأحداث غير المتوافقة ، وهي كذلك.

تشكل الأحداث التي يتم النظر فيها في هذه المسألة مجموعة كاملة ، وبالتالي فإن مجموع احتمالاتها واحد.

تبدأ دراسة نظرية الاحتمالات بحل مسائل جمع ومضاعفة الاحتمالات. من الجدير بالذكر على الفور أن الطالب ، عند إتقان هذا المجال المعرفي ، قد يواجه مشكلة: إذا كان من الممكن تصور العمليات الفيزيائية أو الكيميائية وفهمها تجريبياً ، فإن مستوى التجريد الرياضي مرتفع للغاية ، والفهم هنا يأتي فقط مع خبرة.

ومع ذلك ، فإن اللعبة تستحق كل هذا العناء ، لأن الصيغ - سواء تلك المذكورة في هذه المقالة أو الصيغ الأكثر تعقيدًا - تُستخدم في كل مكان اليوم وقد تكون مفيدة في العمل.

أصل

الغريب أن الدافع وراء تطوير هذا القسم من الرياضيات كان ... القمار. في الواقع ، يعد النرد ، ورمي العملات المعدنية ، والبوكر ، والروليت أمثلة نموذجية تستخدم الجمع ومضاعفة الاحتمالات. في مثال المهام في أي كتاب مدرسي ، يمكن رؤية ذلك بوضوح. كان الناس مهتمين بتعلم كيفية زيادة فرصهم في الفوز ، ويجب أن أقول ، نجح البعض في ذلك.

على سبيل المثال ، في القرن الحادي والعشرين ، استخدم شخص واحد ، لن نكشف عن اسمه ، هذه المعرفة المتراكمة على مر القرون "لتطهير" الكازينو حرفيًا ، وربح عشرات الملايين من الدولارات في لعبة الروليت.

ومع ذلك ، على الرغم من الاهتمام المتزايد بالموضوع ، إلا أنه بحلول القرن العشرين تم تطوير قاعدة نظرية جعلت "المنظر" كاملاً ، واليوم ، في أي علم تقريبًا ، يمكن للمرء أن يجد حسابات باستخدام الأساليب الاحتمالية.

القابلية للتطبيق

نقطة مهمة عند استخدام الصيغ لإضافة ومضاعفة الاحتمالات ، الاحتمال الشرطي هو مدى إرضاء نظرية الحد المركزي. خلاف ذلك ، على الرغم من أنه قد لا يتحقق من قبل الطالب ، فإن جميع الحسابات ، مهما بدت معقولة ، ستكون غير صحيحة.

نعم ، يميل المتعلم ذو الدوافع العالية إلى استخدام المعرفة الجديدة في كل فرصة. ولكن في هذه الحالة ، ينبغي على المرء أن يتباطأ قليلاً وأن يحدد بدقة نطاق التطبيق.

تتعامل نظرية الاحتمالات مع الأحداث العشوائية ، والتي من الناحية التجريبية هي نتائج التجارب: يمكننا دحرجة قالب من ستة جوانب ، ورسم بطاقة من سطح السفينة ، والتنبؤ بعدد الأجزاء المعيبة في الدفعة. ومع ذلك ، في بعض الأسئلة ، من المستحيل بشكل قاطع استخدام الصيغ من هذا القسم من الرياضيات. سنناقش ميزات النظر في احتمالات حدث ، ونظريات جمع ومضاعفة الأحداث في نهاية المقالة ، ولكن الآن دعنا ننتقل إلى الأمثلة.

مفاهيم أساسية

الحدث العشوائي هو عملية أو نتيجة قد تظهر أو لا تظهر كنتيجة للتجربة. على سبيل المثال ، نرمي شطيرة - يمكن أن تسقط الزبدة أو الزبدة. ستكون أي من النتيجتين عشوائية ، ولا نعرف مسبقًا أيهما سيحدث.

عند دراسة جمع وضرب الاحتمالات ، نحتاج إلى مفهومين آخرين.

الأحداث المشتركة هي مثل هذه الأحداث ، وحدوث أحدها لا يستبعد حدوث الآخر. لنفترض أن شخصين يطلقان النار على هدف في نفس الوقت. إذا أنتج أحدهم ناجحًا ، فلن يؤثر ذلك على قدرة الثانية على ضرب عين الثور أو تفويت.

ستكون مثل هذه الأحداث غير المتسقة ، يكون حدوثها مستحيلًا في نفس الوقت. على سبيل المثال ، بسحب كرة واحدة فقط من الصندوق ، لا يمكنك الحصول على اللونين الأزرق والأحمر معًا.

تعيين

يُشار إلى مفهوم الاحتمال بالحرف اللاتيني الكبير P. بعد ذلك ، بين قوسين ، هناك حجج تشير إلى بعض الأحداث.

في معادلات نظرية الجمع ، الاحتمال الشرطي ، نظرية الضرب ، سترى التعبيرات بين قوسين ، على سبيل المثال: A + B أو AB أو A | B. سيتم حسابها بطرق مختلفة ، وسوف ننتقل الآن إليها.

إضافة

ضع في اعتبارك الحالات التي يتم فيها استخدام صيغ جمع ومضاعفة الاحتمالات.

بالنسبة للأحداث غير المتوافقة ، فإن أبسط معادلة جمع مناسبة: سيكون احتمال أي من النتائج العشوائية مساويًا لمجموع احتمالات كل من هذه النتائج.

افترض أن هناك صندوقًا به 2 كرات زرقاء و 3 حمراء و 5 كرات حمراء صفراء. يوجد إجمالي 10 عناصر في الصندوق. ما هي نسبة حقيقة القول أننا سنرسم كرة زرقاء أو حمراء؟ سيكون مساويًا لـ 2/10 + 3/10 ، أي خمسين بالمائة.

في حالة الأحداث غير المتوافقة ، تصبح الصيغة أكثر تعقيدًا ، حيث يتم إضافة مصطلح إضافي. سنعود إليها في فقرة واحدة ، بعد التفكير في صيغة أخرى.

عمليه الضرب

يتم استخدام إضافة وضرب احتمالات الأحداث المستقلة في حالات مختلفة. إذا كنا ، وفقًا لظروف التجربة ، راضين عن أي من النتيجتين المحتملتين ، فسنحسب المجموع ؛ إذا أردنا الحصول على نتيجتين معينتين واحدة تلو الأخرى ، فسنلجأ إلى استخدام صيغة مختلفة.

بالعودة إلى المثال السابق ، نريد رسم الكرة الزرقاء أولاً ثم الكرة الحمراء. الرقم الأول الذي نعرفه هو 2/10. ماذا حدث بعد ذلك؟ هناك 9 كرات متبقية ، ولا يزال هناك نفس العدد من الكرات الحمراء - ثلاث قطع. وفقًا للحسابات ، تحصل على 3/9 أو 1/3. لكن ما العمل برقمين الآن؟ الإجابة الصحيحة هي الضرب للحصول على 2/30.

الأحداث المشتركة

الآن يمكننا أن ننتقل مرة أخرى إلى صيغة مجموع الأحداث المشتركة. لماذا نستخرج من الموضوع؟ لمعرفة كيف تتضاعف الاحتمالات. الآن نحن بحاجة إلى هذه المعرفة.

نحن نعلم بالفعل ما سيكون عليه أول حدين (كما هو الحال في صيغة الجمع المذكورة سابقًا) ، لكننا الآن بحاجة إلى طرح حاصل ضرب الاحتمالات ، الذي تعلمنا للتو كيفية حسابه. من أجل الوضوح ، نكتب الصيغة: P (A + B) = P (A) + P (B) - P (AB). اتضح أنه في تعبير واحد يتم استخدام كل من الجمع والضرب في الاحتمالات.

لنفترض أنه يتعين علينا حل أي من مشكلتين للحصول على الائتمان. يمكننا حل الأول باحتمال 0.3 ، والثاني - 0.6. الحل: 0.3 + 0.6 - 0.18 = 0.72. لاحظ أن مجرد جمع الأرقام هنا لن يكون كافيًا.

احتمال مشروط

أخيرًا ، هناك مفهوم الاحتمال الشرطي ، حيث يتم توضيح الحجج الخاصة به بين قوسين ومفصولة بشريط عمودي. الإدخال P (A | B) يقرأ كما يلي: "احتمال وقوع حدث A معطى B".

لنلقِ نظرة على مثال: يمنحك أحد الأصدقاء بعض الأجهزة ، فليكن هاتفًا. يمكن كسرها (20٪) أو جيدة (80٪). يمكنك إصلاح أي جهاز يقع في يديك مع احتمال 0.4 أو لا يمكنك القيام بذلك (0.6). أخيرًا ، إذا كان الجهاز في حالة صالحة للعمل ، فيمكنك الوصول إلى الشخص المناسب مع احتمال 0.7.

من السهل أن ترى كيف يعمل الاحتمال الشرطي في هذه الحالة: لا يمكنك الوصول إلى الشخص إذا كان الهاتف مكسورًا ، وإذا كان جيدًا ، فلن تحتاج إلى إصلاحه. وبالتالي ، من أجل الحصول على أي نتائج على "المستوى الثاني" ، تحتاج إلى معرفة الحدث الذي تم تنفيذه في البداية.

العمليات الحسابية

ضع في اعتبارك أمثلة لحل مسائل الجمع وضرب الاحتمالات باستخدام البيانات من الفقرة السابقة.

أولاً ، دعنا نجد احتمال قيامك بإصلاح الجهاز الممنوح لك. للقيام بذلك ، أولاً ، يجب أن يكون معيبًا ، وثانيًا ، يجب أن تتعامل مع الإصلاح. هذه مشكلة ضرب نموذجية: نحصل على 0.2 * 0.4 = 0.08.

ما هو احتمال أن تصل على الفور إلى الشخص المناسب؟ أسهل من البساطة: 0.8 * 0.7 = 0.56. في هذه الحالة ، وجدت أن الهاتف يعمل وقمت بإجراء مكالمة بنجاح.

أخيرًا ، ضع في اعتبارك هذا السيناريو: لقد تلقيت هاتفًا مكسورًا ، وقمت بإصلاحه ، ثم اتصلت بالرقم ، والتقط الشخص الموجود على الطرف المقابل الهاتف. هنا ، مطلوب بالفعل مضاعفة ثلاثة مكونات: 0.2 * 0.4 * 0.7 \ u003d 0.056.

ولكن ماذا لو كان لديك هاتفان لا يعملان في نفس الوقت؟ ما مدى احتمالية إصلاح واحد منهم على الأقل؟ عند جمع ومضاعفة الاحتمالات ، حيث يتم استخدام الأحداث المشتركة. الحل: 0.4 + 0.4 - 0.4 * 0.4 = 0.8 - 0.16 = 0.64. وبالتالي ، إذا وقع جهازان مكسوران في يديك ، فستتمكن من إصلاحهما في 64٪ من الحالات.

مراعاة الاستخدام

كما ذكر في بداية المقال ، يجب أن يكون استخدام نظرية الاحتمالات متعمدًا وواعيًا.

كلما كانت سلسلة التجارب أكبر ، كلما اقتربت القيمة المتوقعة نظريًا من القيمة التي تم الحصول عليها في الممارسة. على سبيل المثال ، نحن نرمي قطعة نقود. من الناحية النظرية ، مع العلم بوجود صيغ لجمع ومضاعفة الاحتمالات ، يمكننا التنبؤ بعدد المرات التي ستسقط فيها الرؤوس والأطراف إذا أجرينا التجربة 10 مرات. لقد أجرينا تجربة ، وبالمصادفة ، كانت نسبة الجوانب التي سقطت من 3 إلى 7. ولكن إذا أجريت سلسلة من 100 أو 1000 محاولة أو أكثر ، فقد اتضح أن مخطط التوزيع يقترب أكثر فأكثر من النظرية الأولى: من 44 إلى 56 ، ومن 482 إلى 518 ، وهكذا.

تخيل الآن أن هذه التجربة لم يتم إجراؤها بعملة معدنية ، ولكن بإنتاج مادة كيميائية جديدة ، لا نعرف احتمالية حدوثها. سنجري 10 تجارب ، وبدون الحصول على نتيجة ناجحة ، يمكننا التعميم: "لا يمكن الحصول على المادة". لكن من يدري ، لو قمنا بالمحاولة الحادية عشرة ، هل كنا سنصل إلى الهدف أم لا؟

وبالتالي ، إذا كنت تذهب إلى المجهول ، في منطقة غير مستكشفة ، فقد لا تكون نظرية الاحتمالية قابلة للتطبيق. قد تنجح كل محاولة لاحقة في هذه الحالة ، وستكون التعميمات مثل "X غير موجود" أو "X مستحيل" سابقة لأوانها.

كلمة أخيرة

لذلك ، درسنا نوعين من الجمع ، الضرب والاحتمالات الشرطية. مع مزيد من الدراسة لهذا المجال ، من الضروري تعلم كيفية التمييز بين المواقف عند استخدام كل صيغة محددة. بالإضافة إلى ذلك ، تحتاج إلى فهم ما إذا كانت الأساليب الاحتمالية قابلة للتطبيق بشكل عام في حل مشكلتك.

إذا كنت تتدرب ، بعد فترة ستبدأ في تنفيذ جميع العمليات المطلوبة حصريًا في ذهنك. بالنسبة لأولئك الذين يحبون ألعاب الورق ، يمكن اعتبار هذه المهارة ذات قيمة كبيرة - ستزيد بشكل كبير من فرصك في الفوز بمجرد حساب احتمال سقوط بطاقة أو بدلة معينة. ومع ذلك ، يمكن بسهولة تطبيق المعرفة المكتسبة في مجالات النشاط الأخرى.

تأتي الحاجة إلى العمليات على الاحتمالات عندما تكون احتمالات بعض الأحداث معروفة ، ومن الضروري حساب احتمالات الأحداث الأخرى المرتبطة بهذه الأحداث.

يتم استخدام إضافة الاحتمالية عندما يكون من الضروري حساب احتمالية توليفة أو مجموع منطقي للأحداث العشوائية.

مجموع الأحداث أو بعين أ + بأو أ ∪ ب. مجموع حدثين هو حدث يقع فقط في حالة وقوع حدث واحد على الأقل. هذا يعني انه أ + ب- حدث يقع فقط في حالة وقوع حدث أثناء المراقبة أأو حدث بأو في نفس الوقت أو ب.

إذا كانت الأحداث أو بغير متسقة بشكل متبادل ويتم إعطاء احتمالاتها ، ثم يتم حساب احتمال وقوع أحد هذه الأحداث نتيجة تجربة واحدة باستخدام إضافة الاحتمالات.

نظرية إضافة الاحتمالات.إن احتمال وقوع حدثين غير متوافقين بشكل متبادل يساوي مجموع احتمالات هذه الأحداث:

على سبيل المثال ، تم إطلاق رصاصتين أثناء الصيد. حدث لكن- ضرب بطة من الطلقة الأولى ، الحدث في- ضرب من الطلقة الثانية ، الحدث ( لكن+ في) - ضرب من الطلقة الأولى أو الثانية أو من رصاصتين. حتى إذا حدثان لكنو فيأحداث غير متوافقة ، إذن لكن+ في- وقوع حدث واحد على الأقل أو حدثين.

مثال 1علبة بها 30 كرة من نفس الحجم: 10 حمراء ، 5 زرقاء و 15 بيضاء. احسب احتمال أخذ كرة ملونة (ليست بيضاء) دون النظر.

المحلول. لنفترض أن الحدث لكن- "الكرة الحمراء تؤخذ" ، والحدث في- "الكرة الزرقاء تؤخذ". ثم الحدث "تؤخذ كرة ملونة (ليست بيضاء)". أوجد احتمال وقوع حدث لكن:

والأحداث في:

التطورات لكنو في- غير متوافق بشكل متبادل ، لأنه إذا تم أخذ كرة واحدة ، فلا يمكن أخذ كرات ذات ألوان مختلفة. لذلك ، نستخدم إضافة الاحتمالات:

نظرية إضافة الاحتمالات للعديد من الأحداث غير المتوافقة.إذا كانت الأحداث تشكل المجموعة الكاملة من الأحداث ، فإن مجموع احتمالاتها يساوي 1:

مجموع احتمالات الأحداث المعاكسة يساوي أيضًا 1:

تشكل الأحداث المتقابلة مجموعة كاملة من الأحداث ، واحتمال حدوث مجموعة كاملة من الأحداث هو 1.

عادة ما يتم الإشارة إلى احتمالات الأحداث المعاكسة بأحرف صغيرة. صو ف. خاصه،

والتي تتبع منها الصيغ التالية لاحتمالية الأحداث المعاكسة:

مثال 2الهدف في اندفاعة مقسم إلى 3 مناطق. احتمال أن يقوم مطلق النار بإطلاق النار على هدف في المنطقة الأولى هو 0.15 ، في المنطقة الثانية - 0.23 ، في المنطقة الثالثة - 0.17. أوجد احتمال أن يصيب مطلق النار الهدف واحتمال أن يخطئ الرامي الهدف.

الحل: أوجد احتمال إصابة مطلق النار بالهدف:

أوجد احتمال أن مطلق النار أخطأ الهدف:

المهام الأكثر صعوبة التي تحتاج فيها إلى تطبيق كل من جمع ومضاعفة الاحتمالات - في صفحة "مهام مختلفة لجمع ومضاعفة الاحتمالات".

إضافة احتمالات الأحداث المشتركة

يقال إن حدثين عشوائيين يكونان مشتركين إذا كان وقوع حدث واحد لا يمنع وقوع حدث ثان في نفس الملاحظة. على سبيل المثال ، عند رمي النرد ، الحدث لكنيعتبر حدوث العدد 4 والحدث في- إسقاط رقم زوجي. نظرًا لأن الرقم 4 هو رقم زوجي ، فإن الحدثين متوافقان. في الممارسة العملية ، هناك مهام لحساب احتمالات حدوث أحد الأحداث المشتركة.

نظرية إضافة الاحتمالات للأحداث المشتركة.إن احتمال وقوع أحد الأحداث المشتركة يساوي مجموع احتمالات هذه الأحداث ، والتي يُطرح منها احتمال التكرار الشائع لكلا الحدثين ، أي ناتج الاحتمالات. معادلة احتمالات الأحداث المشتركة هي كما يلي:

لأن الأحداث لكنو فيمتوافق ، حدث لكن+ فييحدث في حالة حدوث أحد الأحداث الثلاثة المحتملة: أو AB. وفقًا لنظرية إضافة الأحداث غير المتوافقة ، نحسب ما يلي:

حدث لكنيحدث في حالة حدوث أحد حدثين غير متوافقين: أو AB. ومع ذلك ، فإن احتمال حدوث حدث واحد من عدة أحداث غير متوافقة يساوي مجموع احتمالات كل هذه الأحداث:

بصورة مماثلة:

استبدال التعبيرات (6) و (7) في التعبير (5) ، نحصل على صيغة الاحتمال للأحداث المشتركة:

عند استخدام الصيغة (8) ، يجب مراعاة أن الأحداث لكنو فييمكن ان يكون:

• مستقل بشكل متبادل
• يعتمد بشكل متبادل.

صيغة الاحتمالية للأحداث المستقلة بشكل متبادل:

صيغة الاحتمالية للأحداث التي يعتمد بعضها على بعض:

إذا كانت الأحداث لكنو فيغير متناسقة ، فإن صدفتهم هي حالة مستحيلة ، وبالتالي ، ص(AB) = 0. صيغة الاحتمال الرابعة للأحداث غير المتوافقة هي كما يلي:

مثال 3في سباق السيارات ، عند القيادة في السيارة الأولى ، احتمالية الفوز ، عند القيادة في السيارة الثانية. تجد:

• احتمال فوز كلتا السيارتين ؛
• احتمال فوز سيارة واحدة على الأقل ؛

1) لا يعتمد احتمال فوز السيارة الأولى على نتيجة السيارة الثانية ، وبالتالي فإن الأحداث لكن(تفوز السيارة الأولى) و في(تفوز السيارة الثانية) - أحداث مستقلة. أوجد احتمال فوز كلتا السيارتين:

2) أوجد احتمال فوز إحدى السيارتين:

المهام الأكثر صعوبة التي تحتاج فيها إلى تطبيق كل من جمع ومضاعفة الاحتمالات - في صفحة "مهام مختلفة لجمع ومضاعفة الاحتمالات".

قم بحل مشكلة جمع الاحتمالات بنفسك ، ثم انظر إلى الحل

مثال 4تم طرح عملتين. حدث أ- فقدان شعار النبالة على العملة الأولى. حدث ب- فقدان شعار النبالة على العملة الثانية. أوجد احتمال وقوع حدث ج = أ + ب .

الضرب الاحتمالي

يتم استخدام مضاعفة الاحتمالات عندما يتم حساب احتمال منتج منطقي للأحداث.

في هذه الحالة ، يجب أن تكون الأحداث العشوائية مستقلة. يقال إن حدثين مستقلين بشكل متبادل إذا كان وقوع حدث واحد لا يؤثر على احتمال وقوع الحدث الثاني.

نظرية الضرب الاحتمالية للأحداث المستقلة.احتمال حدوث حدثين مستقلين في وقت واحد لكنو فييساوي حاصل ضرب احتمالات هذه الأحداث ويتم حسابه بواسطة الصيغة:

مثال 5تم رمي العملة ثلاث مرات متتالية. أوجد احتمال سقوط شعار النبالة في المرات الثلاث.

المحلول. احتمالية سقوط شعار النبالة عند الرمية الأولى لعملة ، والمرة الثانية ، والمرة الثالثة. أوجد احتمال سقوط شعار النبالة في المرات الثلاث:

قم بحل مسائل ضرب الاحتمالات بنفسك ، ثم انظر إلى الحل

مثال 6يوجد صندوق به تسع كرات تنس جديدة. تؤخذ ثلاث كرات للمباراة ، بعد المباراة يتم إعادتها. عند اختيار الكرات ، فإنها لا تميز بين الكرات التي تم لعبها والكرات التي لم يتم لعبها. ما هو احتمالية عدم وجود كرات لم يتم لعبها في الصندوق بعد ثلاث مباريات؟

مثال 7 32 حرفًا من الأبجدية الروسية مكتوبة على بطاقات أبجدية مقطوعة. يتم رسم خمس بطاقات بشكل عشوائي ، واحدة تلو الأخرى ، وتوضع على الطاولة بالترتيب الذي تظهر به. أوجد احتمالية أن تشكل الأحرف كلمة "end".

المثال 8من مجموعة كاملة من البطاقات (52 ورقة) ، يتم إخراج أربع بطاقات في وقت واحد. أوجد احتمال أن تكون جميع هذه البطاقات الأربعة من نفس النوع.

المثال 9نفس المشكلة كما في المثال 8 ، ولكن يتم إرجاع كل بطاقة إلى سطح السفينة بعد سحبها.

مهام أكثر تعقيدًا ، حيث تحتاج إلى تطبيق كل من جمع ومضاعفة الاحتمالات ، وكذلك حساب ناتج العديد من الأحداث - في الصفحة "مهام مختلفة لجمع ومضاعفة الاحتمالات".

يمكن حساب احتمال وقوع حدث واحد على الأقل من الأحداث المستقلة بشكل متبادل عن طريق طرح منتج احتمالات الأحداث المعاكسة من 1 ، أي بالمعادلة:

المثال 10يتم تسليم البضائع عن طريق ثلاث وسائل نقل: النهرية والسكك الحديدية والطرق. احتمال تسليم الشحنة عن طريق النقل النهري هو 0.82 ، بالسكك الحديدية 0.87 ، عن طريق البر 0.90. أوجد احتمال تسليم البضاعة بواحد على الأقل من وسائط النقل الثلاثة.

نظريات الجمع وضرب الاحتمالات.

نظرية إضافة احتمالات حدثين. إن احتمال مجموع حدثين يساوي مجموع احتمالات هذين الحدثين دون احتمال حدوثهما بشكل مشترك:

P (A + B) = P (A) + P (B) -P (AB).

نظرية إضافة احتمالات حدثين غير متوافقين. احتمال مجموع حدثين غير متوافقين يساوي مجموع احتمالات هذين:

الفوسفور (أ + ب) = ف (أ) + ف (ب).

مثال 2.16.يطلق مطلق النار على هدف مقسم إلى 3 مناطق. احتمال ضرب المنطقة الأولى هو 0.45 ، والثاني - 0.35. أوجد احتمال أن يصيب مطلق النار المنطقة الأولى أو الثانية برصاصة واحدة.

المحلول.

التطورات لكن- "ضرب مطلق النار المنطقة الأولى" و في- "ضرب مطلق النار المنطقة الثانية" - غير متسق (الضرب في منطقة يستبعد الدخول إلى منطقة أخرى) ، لذا فإن نظرية الإضافة قابلة للتطبيق.

الاحتمال المطلوب يساوي:

ل (أ + ب) = ف (أ) + ف (ب) = 0,45+ 0,35 = 0,8.

نظرية الجمع صأحداث غير متوافقة. إن احتمال مجموع n من الأحداث غير المتوافقة يساوي مجموع احتمالات هذه الاحتمالات:

الفوسفور (A 1 + A 2 + ... + A p) \ u003d P (A 1) + P (A 2) + ... + P (A p).

مجموع احتمالات الأحداث المعاكسة يساوي واحدًا:

احتمالية الحدث فيعلى افتراض وقوع حدث لكن، يسمى الاحتمال الشرطي للحدث فيويتم وضع علامة على هذا النحو: P (B / A) ،أو ص أ (ب).

. إن احتمال حاصل ضرب حدثين يساوي ناتج احتمالية أحدهما بالاحتمال الشرطي للآخر ، بشرط أن يكون الحدث الأول قد حدث:

الفوسفور (AB) = الفوسفور (أ) الفوسفور (ب).

حدث فيلا تعتمد على الحدث لكن، إذا

الفوسفور أ (ب) \ u003d ف (ب) ،

أولئك. احتمالية الحدث فيلا تعتمد على ما إذا كان الحدث قد وقع لكن.

نظرية مضاعفة الاحتمالات لحدثين مستقلين.إن احتمال ناتج حدثين مستقلين يساوي ناتج احتمالاتهما:

P (AB) = P (A) P (B).

المثال 2.17.احتمالات إصابة الهدف عند إطلاق البنادق الأولى والثانية متساوية على التوالي: ص 1 = 0,7; ص 2= 0.8. أوجد احتمالية الضرب بطائرة واحدة (من كلا البنادق) بواحدة على الأقل من البنادق.

المحلول.

احتمالية إصابة الهدف بكل بندقية لا تعتمد على نتيجة إطلاق النار من البندقية الأخرى ، لذا فإن الأحداث لكن- "الضربة الأولى" و في- "الضربة الثانية بالبندقية" مستقلة.

احتمالية الحدث AB- "ضرب كلا البنادق":

الاحتمال المطلوب

الفوسفور (A + B) \ u003d P (A) + P (B) - P (AB)= 0,7 + 0,8 – 0,56 = 0,94.

نظرية الضرب الاحتمالية صالأحداث.إن احتمالية منتج لـ n من الأحداث تساوي ناتج أحدها من خلال الاحتمالات الشرطية لجميع الأحداث الأخرى ، محسوبة على افتراض أن جميع الأحداث السابقة قد حدثت:

المثال 2.18. تحتوي الجرة على 5 كرات بيضاء و 4 سوداء و 3 كرات زرقاء. يتكون كل اختبار من حقيقة أن كرة واحدة يتم سحبها عشوائيًا دون إعادتها مرة أخرى. أوجد احتمال ظهور كرة بيضاء في التجربة الأولى (الحدث أ) ، وكرة سوداء في التجربة الثانية (الحدث ب) ، وكرة زرقاء في التجربة الثالثة (الحدث ج).

المحلول.

احتمالية ظهور كرة بيضاء في التجربة الأولى:

احتمال ظهور كرة سوداء في التجربة الثانية ، محسوبًا على افتراض ظهور كرة بيضاء في التجربة الأولى ، أي الاحتمال الشرطي:

احتمال ظهور كرة زرقاء في التجربة الثالثة ، محسوبًا على افتراض ظهور كرة بيضاء في التجربة الأولى وكرة سوداء في التجربة الثانية ، أي الاحتمال الشرطي:

الاحتمال المطلوب يساوي:

نظرية الضرب الاحتمالية صأحداث مستقلة.إن احتمال منتج لـ n من الأحداث المستقلة يساوي ناتج احتمالاتها:

الفوسفور (A 1 A 2 ... A p) \ u003d P (A 1) P (A 2) ... P (A p).

احتمال وقوع حدث واحد على الأقل. احتمالية حدوث حدث واحد على الأقل من الأحداث A 1 ، A 2 ، ... ، A p ، المستقلة في المجموع ، تساوي الفرق بين الوحدة وحاصل ضرب احتمالات الأحداث المعاكسة:

.

المثال 2.19.فيما يلي احتمالات إصابة الهدف عند إطلاق النار من ثلاث بنادق: ص 1 = 0,8; ص 2 = 0,7;ص 3= 0.9. أوجد احتمال نتيجة واحدة على الأقل (حدث لكن) بضربة واحدة من جميع البنادق.

المحلول.

احتمالية إصابة الهدف بكل سلاح لا تعتمد على نتائج إطلاق النار من بنادق أخرى ، لذا فإن الأحداث قيد النظر أ 1(ضرب بالبندقية الأولى) ، أ 2(أصيب بالبندقية الثانية) و أ 3(ضربة من المدفع الثالث) مستقلة في المجموع.

احتمالات الأحداث المعاكسة للأحداث أ 1, أ 2و أ 3(أي الاحتمالات الخاطئة) ، على التوالي ، تساوي:

, , .

الاحتمال المطلوب يساوي:

إذا أحداث مستقلة أ 1 ، أ 2 ، ... ، أ صلها نفس الاحتمال ص، ثم يتم التعبير عن احتمال حدوث حدث واحد على الأقل من هذه الأحداث بالصيغة:

Р (А) = 1 - ف ن ،

أين س = 1 ص

2.7. معادلة الاحتمالية الإجمالية. صيغة بايز.

دع الحدث لكنيمكن أن يحدث في حالة حدوث أحد الأحداث غير المتوافقة ن 1 ، ن 2 ، ... ، إن ص، وتشكيل مجموعة كاملة من الأحداث. نظرًا لأنه من غير المعروف مسبقًا أي من هذه الأحداث سيحدث ، يتم استدعاؤها الفرضيات.

احتمال وقوع حدث لكنمحسوبة من قبل صيغة الاحتمال الكلي:

P (A) \ u003d P (N 1) P (A / N 1) + P (N 2) P (A / N 2) + ... + P (N p) P (A / N p).

لنفترض أنه قد تم إجراء تجربة ، ونتيجة لذلك الحدث لكنحدث. احتمالات الحدث الشرطي ن 1 ، ن 2 ، ... ، إن صبخصوص الحدث لكنيحدد صيغ بايز:

,

مثال 2.20. في مجموعة مكونة من 20 طالبًا حضروا الامتحان ، كان 6 طلابًا ممتازين ، و 8 جيدون ، و 4 جيدون ، و 2 غير مهيئين بشكل جيد. هناك 30 سؤالا في أوراق الامتحان. يمكن للطالب المُعد جيدًا الإجابة على جميع الأسئلة الثلاثين ، ويمكن للطالب المُعد جيدًا الإجابة على 24 ، ويمكن للطالب المُرضي الإجابة عن 15 سؤالًا ، ويمكن للطالب الفقير الإجابة على 7.

أجاب طالب تم اختياره عشوائيًا على ثلاثة أسئلة عشوائية. أوجد احتمال أن يكون هذا الطالب مستعدًا: أ) ممتاز ؛ ب) سيئة.

المحلول.

الفرضيات - "الطالب مستعد بشكل جيد" ؛

- "الطالب مستعد بشكل جيد" ؛

- "تم إعداد الطالب بشكل مرض" ؛

- "الطالب غير مهيأ بشكل جيد".

قبل الخبرة:

; ; ; ;

7. ما يسمى بمجموعة كاملة من الأحداث؟

8. ما هي الأحداث التي تسمى احتمالية متساوية؟ أعط أمثلة على مثل هذه الأحداث.

9. ما يسمى النتيجة الأولية؟

10. ما هي النتائج التي أعتبرها مواتية لهذا الحدث؟

11. ما هي العمليات التي يمكن إجراؤها على الأحداث؟ أعطهم التعريفات. كيف يتم تعيينهم؟ أعط أمثلة.

12. ما يسمى الاحتمال؟

13. ما هو احتمال وقوع حدث معين؟

14. ما هو احتمال وقوع حدث مستحيل؟

15. ما هي حدود الاحتمال؟

16. كيف يتم تحديد الاحتمال الهندسي على المستوى؟

17. كيف يتم تعريف الاحتمالية في الفضاء؟

18. كيف يتم تحديد الاحتمال على خط مستقيم؟

19. ما هو احتمال مجموع حدثين؟

20. ما هو احتمال مجموع حدثين غير متوافقين؟

21. ما هو احتمال مجموع n من الأحداث غير المتوافقة؟

22. ما هو الاحتمال الشرطي؟ اعط مثالا.

23. صياغة نظرية الضرب الاحتمالات.

24. كيف تجد احتمال وقوع حدث واحد على الأقل؟

25. ما الأحداث تسمى الفرضيات؟

26. متى يتم استخدام صيغة الاحتمال الكلي وصيغ بايز؟

جمع وضرب الاحتمالات. ستركز هذه المقالة على حل المشكلات في نظرية الاحتمالات. في وقت سابق ، قمنا بالفعل بتحليل بعض أبسط المهام ، لحلها يكفي معرفة الصيغة وفهمها (أنصحك بتكرارها).

هناك مهام أكثر تعقيدًا بعض الشيء ، لحلها تحتاج إلى معرفته وفهمه: قاعدة إضافة الاحتمالات ، وقاعدة مضاعفة الاحتمالات ، ومفاهيم الأحداث المستقلة والمستقلة ، والأحداث المعاكسة ، والأحداث المشتركة وغير المتوافقة. لا تخافوا من التعريفات ، كل شيء بسيط)).في هذه المقالة ، سننظر في مثل هذه المهام فقط.

بعض النظريات المهمة والبسيطة:

غير متوافق إذا كان حدوث أحدهما يمنع وقوع الآخرين. أي ، يمكن أن يحدث حدث معين واحد فقط ، أو آخر.

مثال كلاسيكي: عند رمي نرد (نرد) ، يمكن أن يسقط واحد فقط ، أو اثنان فقط ، أو ثلاثة فقط ، إلخ. كل حدث من هذه الأحداث غير متوافق مع الأحداث الأخرى ، وحدوث أحدهما يستبعد حدوث الآخر (في اختبار واحد). الشيء نفسه مع العملة - فقدان "النسر" يلغي إمكانية فقدان "ذيول".

هذا ينطبق أيضا على مجموعات أكثر تعقيدا. على سبيل المثال ، يضيء مصباحان للإضاءة. قد يحترق كل منهم أو لا يحترق لبعض الوقت. هناك خيارات:

1. الأول يحترق والثاني يحترق
2. الأول يحترق والثاني لا يحترق
3. الأول لا يحترق والثاني يحترق
4. الأول لا يحترق والثاني يحترق.

كل هذه المتغيرات الأربعة للأحداث غير متوافقة - فهي ببساطة لا يمكن أن تحدث معًا ولا يمكن أن يحدث أي منها مع أي شيء آخر ...

التعريف: يتم استدعاء الأحداث مشتركإذا كان حدوث أحدهما لا يمنع حدوث الآخر.

مثال: سيتم أخذ ملكة من مجموعة أوراق اللعب وبطاقة الأشياء بأسمائها الحقيقية سيتم أخذها من مجموعة أوراق اللعب. يتم النظر في حدثين. هذه الأحداث ليست متعارضة - يمكنك رسم ملكة البستوني وبالتالي سيحدث كلا الحدثين.

على مجموع الاحتمالات

مجموع الحدثين A و B يسمى الحدث A + B ، والذي يتكون من حقيقة أن الحدث A أو الحدث B أو كلاهما سيحدث في نفس الوقت.

إذا حدث غير متوافقالأحداث A و B ، فإن احتمال مجموع هذه الأحداث يساوي مجموع احتمالات الأحداث:

مثال النرد:

نرمي النرد. ما هو احتمال الحصول على عدد أقل من أربعة؟

الأعداد الأصغر من أربعة هي 1،2،3. نعلم أن احتمال الحصول على 1 هو 1/6 ، و 2 هو 1/6 ، و 3 هو 6/1. هذه أحداث غير متوافقة. يمكننا تطبيق قاعدة الجمع. احتمال الحصول على رقم أقل من أربعة هو:

في الواقع ، إذا انطلقنا من مفهوم الاحتمال الكلاسيكي: فإن عدد النتائج المحتملة هو 6 (عدد جميع وجوه المكعب) ، وعدد النتائج المفضلة هو 3 (واحد ، اثنان أو ثلاثة). الاحتمال المطلوب هو 3 إلى 6 أو 3/6 = 0.5.

* احتمال مجموع حدثين مشتركين يساوي مجموع احتمالات هذه الأحداث دون مراعاة حدوثها المشترك: P (A + B) \ u003d P (A) + P (B) -P (AB )

على مضاعفة الاحتمالات

دع حدثين غير متوافقين A و B يحدثان ، تكون احتمالاتهما على التوالي P (A) و P (B). يُطلق على ناتج حدثين A و B مثل هذا الحدث A B ، والذي يتكون من حقيقة أن هذه الأحداث ستقع معًا ، أي أن كلا الحدثين A و B سيحدثان. واحتمال حدوث مثل هذا الحدث يساوي المنتج لاحتمالات الأحداث A و B.محسوبة بالصيغة:

كما لاحظت بالفعل ، فإن الرابط المنطقي "AND" يعني الضرب.

مثال بنفس الزهر:رمي نرد مرتين. ما هو احتمال دحرجة ستين؟

احتمال دحرجة ستة لأول مرة هو 1/6. المرة الثانية تساوي أيضًا 1/6. احتمال الحصول على ستة في المرة الأولى والثانية يساوي حاصل ضرب الاحتمالات:

بعبارات بسيطة: عندما يحدث حدث في اختبار ما ، ثم يحدث آخر (آخر) ، فإن احتمال حدوثهما معًا يساوي ناتج احتمالات هذه الأحداث.

لقد حللنا مشاكل النرد ، لكننا استخدمنا التفكير المنطقي فقط ، ولم نستخدم صيغة المنتج. في المشاكل المذكورة أدناه ، لا يمكن للمرء الاستغناء عن الصيغ ، أو بالأحرى ، سيكون من الأسهل والأسرع الحصول على النتيجة معهم.

تجدر الإشارة إلى فارق بسيط آخر. عند التفكير في حل المشكلات ، يتم استخدام مفهوم تزاوج الأحداث. تحدث الأحداث في وقت واحد - وهذا لا يعني أنها تحدث في ثانية واحدة (في لحظة واحدة في الوقت المناسب). هذا يعني أنها تحدث في فترة زمنية معينة (باختبار واحد).

فمثلا:

يحترق مصباحان في غضون عام (يمكن القول - في وقت واحد في غضون عام)

يتعطل جهازان آليان في غضون شهر (يمكن القول - في وقت واحد في غضون شهر)

رمي النرد ثلاث مرات (تسقط النقاط في نفس الوقت ، أي في اختبار واحد)

يقوم Biathlete بعمل خمس طلقات. الأحداث (اللقطات) تحدث خلال اختبار واحد.

يعتبر الحدثان أ و ب مستقلين إذا كان احتمال أي منهما لا يعتمد على حدوث أو عدم حدوث الحدث الآخر.

ضع في اعتبارك المهام:

مصنعان ينتجان نفس الزجاج لمصابيح السيارات. المصنع الأول ينتج 35٪ من هذه الزجاجات والثاني 65٪. ينتج المصنع الأول 4٪ من الزجاج المعيب ، والثاني - 2٪. أوجد احتمالية أن الزجاج الذي تم شراؤه عن طريق الخطأ في متجر ما سيكون به عيب.

ينتج المصنع الأول 0.35 منتج (زجاج). يبلغ احتمال شراء الزجاج المعيب من المصنع الأول 0.04.

المصنع الثاني ينتج 0.65 زجاج. يبلغ احتمال شراء الزجاج المعيب من المصنع الثاني 0.02.

احتمال أن يكون الزجاج قد تم شراؤه في المصنع الأول وفي نفس الوقت سيكون به عيب هو 0.35 ∙ 0.04 = 0.0140.

احتمال أن يكون الزجاج قد تم شراؤه من المصنع الثاني وفي نفس الوقت سيكون به عيب هو 0.65 ∙ 0.02 = 0.0130.

شراء الزجاج المعيب في المتجر يعني أنه (الزجاج المعيب) تم شراؤه إما من المصنع الأول أو من المصنع الثاني. هذه أحداث غير متوافقة ، أي نضيف الاحتمالات الناتجة:

0,0140 + 0,0130 = 0,027

الجواب: 0.027

إذا لعب Grandmaster A. لعب باللون الأبيض ، فإنه يفوز بالسيد الكبير B. باحتمال 0.62. إذا لعب A. بالأسود ، فإن A. يتفوق على B. باحتمال 0.2. يلعب Grandmasters A. و B. لعبتين ، وفي اللعبة الثانية يغيران لون القطع. أوجد احتمال فوز A. في المرتين.

فرص الفوز في المباراتين الأولى والثانية مستقلة عن بعضها البعض. يقال أن المعلم الكبير يجب أن يفوز في المرتين ، أي أن يفوز في المرة الأولى وفي نفس الوقت يفوز في المرة الثانية. في حالة وجوب حدوث أحداث مستقلة معًا ، يتم مضاعفة احتمالات هذه الأحداث ، أي يتم استخدام قاعدة الضرب.

سيكون احتمال إنتاج هذه الأحداث مساويًا لـ 0.62 0.2 = 0.124.

الجواب: 0.124

في امتحان الهندسة ، يحصل الطالب على سؤال واحد من قائمة أسئلة الامتحان. احتمال أن يكون هذا سؤال دائرة مغطى هو 0.3. احتمال أن يكون هذا السؤال متوازي الأضلاع هو 0.25. لا توجد أسئلة تتعلق بهذين الموضوعين في نفس الوقت. ابحث عن احتمال حصول الطالب على سؤال حول أحد هذين الموضوعين في الاختبار.

أي أنه من الضروري إيجاد احتمالية أن يحصل الطالب على سؤال إما حول موضوع "الدائرة المدرجة" ، أو حول موضوع "متوازي الأضلاع". في هذه الحالة ، يتم تلخيص الاحتمالات ، لأن هذه الأحداث غير متوافقة ويمكن أن يحدث أي من هذه الأحداث: 0.3 + 0.25 = 0.55.

* الأحداث المنفصلة هي أحداث لا يمكن أن تحدث في نفس الوقت.

الجواب: 0.55

يطلق اللاعب الرياضي النار على الأهداف خمس مرات. احتمال إصابة الهدف بطلقة واحدة هو 0.9. أوجد احتمال أن يكون الرياضي قد أصاب الأهداف في أول أربع مرات وأخطأ في المرة الأخيرة. قرب النتيجة لأقرب جزء من مائة.

نظرًا لأن الرياضي يصطدم بالهدف باحتمال 0.9 ، فقد أخطأ باحتمال 1 - 0.9 = 0.1

* الضياع والنتيجة هي الأحداث التي لا يمكن أن تحدث في وقت واحد مع لقطة واحدة ، ومجموع احتمالات هذه الأحداث هو 1.

نحن نتحدث عن تكليف عدة أحداث (مستقلة). إذا حدث حدث وفي نفس الوقت حدث آخر (لاحق) في نفس الوقت (اختبار) ، فإن احتمالات هذه الأحداث تتضاعف.

إن احتمال إنتاج أحداث مستقلة يساوي ناتج احتمالاتها.

وبالتالي ، فإن احتمال وقوع الحدث "ضرب ، ضرب ، ضرب ، ضرب ، فقد" يساوي 0.9 0.9 ∙ 0.9 0.9 0.1 = 0.06561.

بالتقريب لأقرب جزء من المئات ، نحصل على 0.07

الجواب: 0.07

يحتوي المتجر على جهازي دفع. يمكن أن يكون كل واحد منهم معيبًا باحتمال 0.07 ، بغض النظر عن الجهاز الآلي الآخر. أوجد احتمال أن يكون جهازًا واحدًا على الأقل صالحًا للخدمة.

أوجد احتمال أن كلا الآليين معيبان.

هذه الأحداث مستقلة ، لذا فإن الاحتمال سيكون مساويًا لمنتج احتمالات هذه الأحداث: 0.07 ∙ 0.07 = 0.0049.

هذا يعني أن احتمال عمل كلا الجهازين أو أحدهما سيساوي 1 - 0.0049 = 0.9951.

* كلاهما صالح للخدمة والبعض الآخر متوافق تمامًا - يفي بشرط "واحد على الأقل".

يمكن للمرء تقديم احتمالات جميع الأحداث (المستقلة) لاختبارها:

1. "خلل خاطئ" 0.07 ∙ 0.07 = 0.0049

2. "جيد - خاطئ" 0.93 ∙ 0.07 = 0.0651

3. "خاطئ - معيب" 0.07 ∙ 0.93 = 0.0651

4. "صحي - صحي" 0.93 0.93 = 0.8649

لتحديد احتمال أن يكون جهاز واحد على الأقل في حالة جيدة ، من الضروري إضافة احتمالات الأحداث المستقلة 2،3 و 4: حدث معين يسمى الحدث حدثًا من المؤكد أنه سيحدث نتيجة لتجربة ما. يسمى الحدث غير ممكنإذا لم يحدث أبدًا نتيجة للتجربة.

على سبيل المثال ، إذا تم سحب كرة واحدة عشوائيًا من صندوق يحتوي على كرات حمراء وخضراء فقط ، فإن ظهور كرة بيضاء بين الكرات المسحوبة يعد حدثًا مستحيلًا. يشكل ظهور اللون الأحمر وظهور الكرات الخضراء مجموعة كاملة من الأحداث.

تعريف:تسمى الأحداث ممكن بالتساوي ، إذا لم يكن هناك سبب للاعتقاد بأن أحدهم سيظهر نتيجة للتجربة باحتمالية أكبر.

في المثال أعلاه ، يكون ظهور الكرات الحمراء والخضراء أحداثًا متساوية الاحتمال إذا كان الصندوق يحتوي على نفس عدد الكرات الحمراء والخضراء. إذا كان عدد الكرات الحمراء في الصندوق أكثر من الكرات الخضراء ، فإن احتمالية ظهور الكرة الخضراء أقل من احتمالية ظهور الكرة الحمراء.

سننظر في المزيد من المشاكل حيث يتم استخدام مجموع وحاصل احتمالات الأحداث ، لا تفوتها!

هذا كل شئ. أتمنى لك النجاح!

مع خالص التقدير ، الكسندر كروتسكيخ.

ماريا إيفانوفنا تأنيب فاسيا:
بيتروف ، لماذا لم تكن في المدرسة أمس ؟!
أمي غسلت سروالي أمس.
- وماذا في ذلك؟
- وكنت أمشي بجانب المنزل ورأيت أن منزلك كان معلقًا. اعتقدت أنك لن تأتي.

ملاحظة: سأكون ممتنًا إذا تحدثت عن الموقع في الشبكات الاجتماعية.