كم عدد الخطوط المقاربة التي يمكن أن يحتويها الرسم البياني لوظيفة ما؟

لا شيء ، واحد ، اثنان ، ثلاثة ... أو عدد لا نهائي. لن نذهب بعيدًا للحصول على أمثلة ، سوف نتذكر الدوال الأولية. القطع المكافئ ، القطع المكافئ المكعب ، الجيوب الأنفية ليس لها خطوط مقاربة على الإطلاق. يحتوي الرسم البياني للدالة اللوغاريتمية الأسية على خط مقارب واحد. قوس ظل التمام ، قوس التمام له اثنان منهم ، والظل ، ظل التمام له عدد لا نهائي. ليس من غير المألوف أن يكون للرسم البياني خطوط مقاربة أفقية ورأسية. المبالغة ، سوف أحبك دائما.

ماذا يعني العثور على الخطوط المقاربة لرسم بياني لوظيفة؟

هذا يعني معرفة معادلاتهم ورسم خطوط مستقيمة إذا كانت حالة المشكلة تتطلب ذلك. تتضمن العملية إيجاد حدود الوظيفة.

الخطوط المقاربة العمودية لرسم بياني لوظيفة

الخط المقارب العمودي للرسم البياني ، كقاعدة عامة ، عند نقطة الانقطاع اللانهائي للوظيفة. الأمر بسيط: إذا كانت الوظيفة تعاني من انقطاع لا نهائي عند نقطة ما ، فإن الخط المستقيم الذي تعطيه المعادلة هو الخط المقارب الرأسي للرسم البياني.

ملاحظة: يرجى ملاحظة أنه يتم استخدام الترميز للإشارة إلى مفهومين مختلفين تمامًا. النقطة ضمنية أو معادلة الخط المستقيم - تعتمد على السياق.

وبالتالي ، لإثبات وجود خط مقارب عمودي عند نقطة ما ، يكفي إظهار أن أحد الحدود أحادية الجانب على الأقل غير محدود. غالبًا ما تكون هذه هي النقطة التي يكون فيها مقام الدالة مساويًا للصفر. في الواقع ، لقد وجدنا بالفعل خطوطًا مقاربة عمودية في الأمثلة الأخيرة من درس استمرارية الدالة. ولكن في عدد من الحالات ، لا يوجد سوى حد واحد من جانب واحد ، وإذا كان غير محدود ، فعندئذ مرة أخرى - الحب وفضل الخط المقارب العمودي. أبسط توضيح: والمحور ص.

تتبع الحقيقة الواضحة أيضًا مما سبق: إذا كانت الوظيفة مستمرة ، فلا توجد خطوط مقاربة عمودية. لسبب ما ، خطرت على البال قطع مكافئ. في الواقع ، أين يمكنك "التمسك" بخط مستقيم هنا؟ ... نعم ... أفهم ... اجتمع أتباع العم فرويد في حالة هستيرية =)

العبارة العكسية غير صحيحة بشكل عام: على سبيل المثال ، لم يتم تحديد الوظيفة في السطر الحقيقي بأكمله ، لكنها محرومة تمامًا من الخطوط المقاربة.

الخطوط المقاربة المائلة للرسم البياني للدالة

يمكن رسم الخطوط المقاربة المائلة (كحالة خاصة - أفقية) إذا كانت حجة الوظيفة تميل إلى "زائد اللانهاية" أو "ناقص اللانهاية". لذلك ، لا يمكن أن يحتوي الرسم البياني للدالة على أكثر من خطين مقاربين مائلين. على سبيل المثال ، يحتوي الرسم البياني للدالة الأسية على خط مقارب أفقي واحد عند ، ويحتوي الرسم البياني للظل في خطين مقاربين وأخرى مختلفة.

تعريف . الخط المقارب للرسم البياني للدالة هو خط له خاصية أن المسافة من نقطة الرسم البياني للدالة إلى هذا الخط تميل إلى الصفر بمسافة غير محدودة من أصل نقطة الرسم البياني.

وفقًا لطرق العثور عليها ، يتم تمييز ثلاثة أنواع من الخطوط المقاربة: عمودي ، أفقي ، مائل.

من الواضح أن الحالات الأفقية هي حالات خاصة للحالات المائلة (لـ).

يعتمد العثور على الخطوط المقاربة للرسم البياني للوظيفة على العبارات التالية.

نظرية 1 . دع الوظيفة يتم تحديدها على الأقل في بعض المناطق شبه المجاورة للنقطة ودع واحدًا على الأقل من حدودها من جانب واحد غير محدود في هذه المرحلة ، أي مساو. ثم الخط المستقيم هو الخط المقارب العمودي للرسم البياني للدالة.

وبالتالي ، يجب البحث عن الخطوط المقاربة العمودية للرسم البياني للوظيفة عند نقاط انقطاع الوظيفة أو في نهايات مجال تعريفها (إذا كانت هذه أرقامًا محدودة).

نظرية 2 . دع الدالة تُعرّف لقيم الوسيطة التي تكون كبيرة بما فيه الكفاية في القيمة المطلقة ، وهناك حد محدود للدالة . ثم الخط هو الخط المقارب الأفقي للرسم البياني للوظيفة.

قد يحدث ذلك ، أ ، وهي أرقام محدودة ، فإن للرسم البياني خطين مقاربين أفقيين مختلفين: أعسر وأيمن. إذا كان هناك حد واحد فقط من الحدود المحدودة أو موجودًا ، فسيكون للرسم البياني خط مقارب أفقي واحد أعسر أو واحد يمين.

نظرية 3 . دع الدالة تحدد لقيم الوسيطة التي تكون كبيرة بما فيه الكفاية في القيمة المطلقة ، وهناك حدود محدودة و . ثم الخط المستقيم هو الخط المقارب المائل للرسم البياني للدالة.

لاحظ أنه إذا كان أحد هذه الحدود على الأقل غير محدود ، فلا يوجد خط مقارب مائل.

الخط المقارب المائل ، مثل الخط الأفقي ، يمكن أن يكون أحادي الجانب.

مثال. أوجد كل الخطوط المقاربة للرسم البياني للوظيفة.

المحلول.

يتم تعريف الوظيفة بـ. دعونا نجد حدوده أحادية الجانب عند نقاط.

لان و (لم يعد من الممكن العثور على الحدين الآخرين من جانب واحد) ، فإن الخطوط هي الخطوط المقاربة العمودية للرسم البياني للوظيفة.

إحصاء - عد

(تطبيق قاعدة L'Hopital) = .

إذن ، الخط هو خط مقارب أفقي.

نظرًا لوجود الخط المقارب الأفقي ، لم نعد نبحث عن الخطوط المقاربة المائلة (فهي غير موجودة).

إجابه: يحتوي الرسم البياني على خطين مقاربين رأسيين وآخر أفقي.

دراسة الوظيفة العامةذ = F (x ).

نطاق الوظيفة.ابحث عن مجالها د(F). إذا لم يكن الأمر صعبًا جدًا ، فمن المفيد أيضًا العثور على النطاق ه(F). (ومع ذلك ، في كثير من الحالات ، فإن مسألة الاكتشاف ه(F) حتى يتم العثور على أقصى درجات الوظيفة.)

الخصائص الخاصة للدالة.اكتشف الخصائص العامة للدالة: زوجي ، فردي ، دوري ، إلخ. ليست كل وظيفة لها خصائص مثل الفردي أو الزوجي. من المؤكد أن الوظيفة ليست زوجية ولا فردية إذا كان مجال تعريفها غير متماثل حول النقطة 0 على المحور ثور. بنفس الطريقة ، بالنسبة لأي وظيفة دورية ، يتكون مجال التعريف إما من المحور الحقيقي بأكمله ، أو من اتحاد أنظمة التكرار الدوري للفجوات.

الخطوط المقاربة الرأسية.اكتشف كيف تتصرف الدالة عندما تقترب الوسيطة من النقاط الحدودية لمجال التعريف د(F) إذا كانت هناك مثل هذه النقاط الحدودية. في هذه الحالة ، قد تظهر الخطوط المقاربة العمودية. إذا كانت الوظيفة تحتوي على نقاط عدم استمرارية لم يتم تحديدها عندها ، فسيتم فحص هذه النقاط أيضًا بحثًا عن وجود خطوط مقاربة عمودية للوظيفة.

الخطوط المقاربة المائلة والأفقية.إذا كان النطاق د(F) يتضمن أشعة من الشكل (أ ؛ +) أو (- ؛ ب) ، ثم يمكننا محاولة إيجاد خطوط مقاربة مائلة (أو خطوط مقاربة أفقية) عند x + أو x− ، على التوالي ، أي أوجد limxf (x). الخطوط المقاربة المائلة : ذ = ككس + ب،حيث k = limx + xf (x) و b = limx + (f (x) −x). الخطوط المقاربة الأفقية : ذ = ب،حيث limxf (x) = ب.

إيجاد نقاط تقاطع الرسم البياني مع المحاور. إيجاد نقطة تقاطع الرسم البياني مع المحور أوي. للقيام بذلك ، تحتاج إلى حساب القيمة F(0). ابحث أيضًا عن نقاط تقاطع الرسم البياني مع المحور ثور، لماذا تجد جذور المعادلة F(x) = 0 (أو تأكد من عدم وجود جذور). غالبًا ما يمكن حل المعادلة تقريبًا فقط ، لكن فصل الجذور يساعد على فهم بنية الرسم البياني بشكل أفضل. بعد ذلك ، تحتاج إلى تحديد علامة الدالة على الفترات الفاصلة بين الجذور ونقاط الانكسار.

إيجاد نقاط تقاطع الرسم البياني مع الخط المقارب.في بعض الحالات ، قد يكون من الضروري إيجاد نقاط مميزة للرسم البياني لم يتم ذكرها في الفقرات السابقة. على سبيل المثال ، إذا كانت الوظيفة تحتوي على خط مقارب مائل ، فيمكنك محاولة معرفة ما إذا كانت هناك أي نقاط تقاطع للرسم البياني مع هذا الخط المقارب.

إيجاد فترات التحدب والتقعر. يتم ذلك عن طريق فحص علامة المشتق الثاني f (x). أوجد نقاط الانعطاف عند تقاطعات الفترات المحدبة والتقعرية. احسب قيمة الوظيفة عند نقاط الانعطاف. إذا كانت الوظيفة تحتوي على نقاط استمرارية أخرى (بخلاف نقاط الانقلاب) حيث يكون المشتق الثاني مساويًا للصفر أو غير موجود ، فمن المفيد أيضًا عند هذه النقاط حساب قيمة الوظيفة. بعد إيجاد f (x) ، نحل المتباينة f (x) 0. في كل فترة من فترات الحل ، ستكون الوظيفة محدبة لأسفل. لحل المتباينة العكسية f (x) 0 ، نجد الفترات التي تكون فيها الدالة محدبة لأعلى (أي مقعرة). نحدد نقاط الانعطاف على أنها تلك النقاط التي تغير فيها الوظيفة اتجاه التحدب (وهي مستمرة).

هذه هي الطريقة التي يتم بها صياغة مهمة نموذجية ، وهي تتضمن العثور على جميع الخطوط المقاربة للرسم البياني (عمودي ، مائل / أفقي). على الرغم من أنه ، لكي نكون أكثر دقة في صياغة السؤال ، فإننا نتحدث عن دراسة لوجود الخطوط المقاربة (بعد كل شيء ، قد لا يكون هناك أي منها على الإطلاق).

لنبدأ بشيء بسيط:

مثال 1

المحلول من المناسب تقسيمها إلى نقطتين:

1) نتحقق أولاً من وجود خطوط مقاربة عمودية. يتلاشى المقام عند ، ويتضح على الفور أن الوظيفة تعاني في هذه المرحلة فجوة لا نهاية لها، والخط المستقيم المعطى بالمعادلة هو الخط المقارب العمودي للرسم البياني للدالة. ولكن قبل استخلاص مثل هذا الاستنتاج ، من الضروري إيجاد حدود من جانب واحد:

أذكرك بتقنية الحساب ، التي تناولتها أيضًا في المقال استمرارية الوظيفة. نقاط الكسر. في التعبير الموجود أسفل علامة النهاية ، نستبدل بـ "x". لا يوجد شيء مثير للاهتمام في البسط:
.

لكن في المقام اتضح عدد سالب متناهي الصغر:
، فإنه يحدد مصير الحد.

الحد الأيسر غير محدود ، ومن حيث المبدأ ، من الممكن بالفعل إصدار حكم على وجود خط مقارب عمودي. لكن هناك حاجة إلى حدود من جانب واحد ليس فقط لهذا - فهي تساعد على الفهم كيفيقع الرسم البياني للوظيفة ورسمها بشكل صحيح. لذلك ، يجب علينا أيضًا حساب حد اليد اليمنى:

استنتاج: الحدود أحادية الجانب لانهائية ، مما يعني أن الخط هو خط مقارب رأسي للرسم البياني للوظيفة عند.

الحد الأول محدود، مما يعني أنه من الضروري "متابعة المحادثة" والعثور على الحد الثاني:

الحد الثاني أيضا محدود.

إذن خطنا المقارب هو:

استنتاج: الخط المستقيم المعطى بالمعادلة هو الخط المقارب الأفقي للرسم البياني للدالة عند.

للعثور على الخط المقارب الأفقي يمكنك استخدام الصيغة المبسطة:

إذا كان هناك حد منتهي ، فإن الخط هو خط مقارب أفقي للرسم البياني للدالة عند.

من السهل أن نرى أن بسط الدالة ومقامها ترتيب واحد للنمو، مما يعني أن الحد المطلوب سيكون محدودًا:

إجابه:

وفقًا للشرط ، ليس من الضروري إكمال الرسم ، ولكن إذا كان على قدم وساق البحث الوظيفي، ثم نقوم بعمل رسم تخطيطي على الفور في المسودة:

استنادًا إلى الحدود الثلاثة الموجودة ، حاول أن تكتشف بشكل مستقل كيف يمكن تحديد موقع الرسم البياني للدالة. صعب بعض الشيء؟ جد 5-6-7-8 نقاط وقم بتمييزها على الرسم. ومع ذلك ، يتم إنشاء الرسم البياني لهذه الوظيفة باستخدام تحولات الرسم البياني للوظيفة الابتدائية، والقراء الذين فحصوا بعناية المثال 21 من هذه المقالة سوف يخمنون بسهولة نوع المنحنى.

مثال 2

ابحث عن الخطوط المقاربة للرسم البياني للدالة

هذا مثال على "افعل ذلك بنفسك". أذكرك أن العملية مقسمة بشكل ملائم إلى نقطتين - خطوط مقاربة عمودية وخطوط مقاربة مائلة. في حل العينة ، تم إيجاد الخط المقارب الأفقي باستخدام مخطط مبسط.

في الممارسة العملية ، غالبًا ما تتم مصادفة الدوال الكسرية المنطقية ، وبعد التدريب على القطوع الزائدة ، سنقوم بتعقيد المهمة:

مثال 3

ابحث عن الخطوط المقاربة للرسم البياني للدالة

المحلول: واحد ، اثنان ، وتم:

1) تم العثور على الخطوط المقاربة العمودية عند نقاط الانقطاع اللانهائي، لذلك عليك التحقق مما إذا كان المقام يذهب إلى الصفر. سنقرر معادلة من الدرجة الثانية :

المميز موجب ، لذا فإن للمعادلة جذرين حقيقيين ، والعمل يضاف بشكل كبير =)

من أجل إيجاد المزيد من الحدود أحادية الجانب ، من الملائم تحليل المربع ثلاثي الحدود إلى عوامل:
(بالنسبة للتدوين المضغوط ، تم إدخال "ناقص" في القوس الأول). بالنسبة لشبكة الأمان ، سنجري فحصًا عقليًا أو على مسودة ، ونفتح الأقواس.

دعنا نعيد كتابة الدالة بالشكل

ابحث عن حدود من جانب واحد عند النقطة:

وعند هذه النقطة:

وبالتالي ، فإن الخطوط المستقيمة هي الخطوط المقاربة العمودية للرسم البياني للوظيفة قيد النظر.

2) إذا نظرت إلى الوظيفة ، فمن الواضح تمامًا أن النهاية ستكون محدودة ولدينا خط مقارب أفقي. دعنا نظهرها بإيجاز:

وبالتالي ، فإن الخط المستقيم (الإحداثي) هو الخط المقارب الأفقي للرسم البياني لهذه الوظيفة.

إجابه:

تعطي الحدود والخطوط المقاربة التي تم العثور عليها الكثير من المعلومات حول الرسم البياني للدالة. حاول أن تتخيل الرسم عقليًا ، مع مراعاة الحقائق التالية:

ارسم نسختك من الرسم البياني في مسودة.

بالطبع ، لا تحدد الحدود التي تم العثور عليها نوع الرسم البياني بشكل لا لبس فيه ، وقد ترتكب خطأ ، ولكن التمرين نفسه سيكون مفيدًا للغاية أثناء دراسة كاملة الوظائف. الصورة الصحيحة في نهاية الدرس.

مثال 4

ابحث عن الخطوط المقاربة للرسم البياني للدالة

مثال 5

ابحث عن الخطوط المقاربة للرسم البياني للدالة

هذه مهام لاتخاذ قرار مستقل. يحتوي كلا الرسمين البيانيين مرة أخرى على خطوط مقاربة أفقية ، والتي يتم اكتشافها على الفور بواسطة الميزات التالية: في المثال 4 ترتيب النموالمقام أكبر من ترتيب نمو البسط ، وفي المثال 5 هو البسط والمقام ترتيب واحد للنمو. في محلول العينة ، يتم التحقق من الوظيفة الأولى لوجود خطوط مقاربة مائلة بشكل كامل ، والثانية - عبر الحد.

الخطوط المقاربة الأفقية ، في انطباعي الشخصي ، أكثر شيوعًا بشكل ملحوظ من تلك "المائلة حقًا". حالة عامة طال انتظارها:

مثال 6

ابحث عن الخطوط المقاربة للرسم البياني للدالة

المحلول: كلاسيكيات النوع:

1) بما أن المقام موجب ، فإن الدالة مستمرعلى خط الأعداد بالكامل ، ولا توجد خطوط مقاربة عمودية. …هل هذا جيد؟ ليست الكلمة الصحيحة - ممتاز! العنصر رقم 1 مغلق.

2) تحقق من وجود الخطوط المقاربة المائلة:

الحد الأول محدود، لذلك دعنا ننتقل. أثناء حساب الحد الثاني للقضاء عدم اليقين "اللانهاية ناقص اللانهاية"نحضر التعبير إلى قاسم مشترك:

الحد الثاني أيضا محدودلذلك ، فإن الرسم البياني للوظيفة قيد النظر له خط مقارب مائل:

استنتاج:

وهكذا ، بالنسبة للرسم البياني للدالة قريب بلا حدوديقترب من خط مستقيم:

لاحظ أنه يتقاطع مع خط التقارب المائل في الأصل ، وأن نقاط التقاطع هذه مقبولة تمامًا - من المهم أن "كل شيء طبيعي" عند اللانهاية (في الواقع ، هناك مناقشة للخطوط المقاربة تظهر).

مثال 7

ابحث عن الخطوط المقاربة للرسم البياني للدالة

المحلول: ليس هناك الكثير للتعليق عليه ، لذلك سأضع عينة تقريبية من الحل النهائي:

1) الخطوط المقاربة العمودية. دعنا نستكشف النقطة.

الخط المستقيم هو الخط المقارب العمودي للمؤامرة عند.

2) الخطوط المقاربة المائلة:

الخط المستقيم هو الخط المقارب المائل للرسم البياني عند.

إجابه:

تتيح لنا الحدود والخطوط المقاربة التي تم العثور عليها من جانب واحد أن نفترض بدرجة عالية من اليقين كيف يبدو الرسم البياني لهذه الوظيفة. الرسم الصحيح في نهاية الدرس.

المثال 8

ابحث عن الخطوط المقاربة للرسم البياني للدالة

هذا مثال لحل مستقل ، لتسهيل حساب بعض الحدود ، يمكنك قسمة البسط على حد المقام على حد. ومرة أخرى ، عند تحليل النتائج ، حاول رسم رسم بياني لهذه الوظيفة.

من الواضح أن مالكي الخطوط المقاربة المائلة "الحقيقية" هم الرسوم البيانية لتلك الدوال الكسرية المنطقية التي لها أعلى درجة من البسط مرة اخرىأعلى درجة للمقام. إذا كان هناك المزيد ، فلن يكون هناك خط مقارب مائل (على سبيل المثال ،).

لكن المعجزات الأخرى تحدث في الحياة:

المثال 9

المحلول: وظيفة مستمرعلى خط الأعداد بالكامل ، مما يعني أنه لا توجد خطوط مقاربة عمودية. ولكن قد تكون هناك منحدرات. نحن نفحص:

أتذكر كيف صادفت وظيفة مماثلة في الجامعة ولم أصدق ببساطة أن لها خطًا مقاربًا مائلًا. حتى احتسبت الحد الثاني:

بالمعنى الدقيق للكلمة ، هناك نوعان من أوجه عدم اليقين هنا: ولكن بطريقة أو بأخرى ، تحتاج إلى استخدام طريقة الحل ، والتي تمت مناقشتها في الأمثلة 5-6 من المقالة حول حدود التعقيد المتزايد. اضرب واقسم على التعبير المرافق لاستخدام الصيغة:

إجابه:

ربما يكون الخط المقارب المائل الأكثر شيوعًا.

حتى الآن ، تمكنت اللانهاية من "قطع نفس الفرشاة" ، ولكن يحدث أن الرسم البياني للوظيفة مختلفينالخطوط المقاربة المائلة من أجل ومن أجل:

المثال 10

افحص الرسم البياني لوظيفة الخطوط المقاربة

المحلول: التعبير الجذر موجب ، مما يعني نطاق- أي رقم حقيقي ، ولا يمكن أن يكون هناك عصا رأسية.

دعنا نتحقق مما إذا كانت الخطوط المقاربة المائلة موجودة.

إذا كانت "x" تميل إلى "ناقص ما لا نهاية" ، إذن:
(عند إدخال "x" تحت الجذر التربيعي ، يجب إضافة علامة "ناقص" حتى لا تفقد المقام السالب)

يبدو الأمر غير مألوف ، لكن عدم اليقين هنا هو "اللانهاية ناقص اللانهاية". اضرب البسط والمقام في التعبير المساعد:

وبالتالي ، فإن الخط المستقيم هو الخط المقارب المائل للرسم البياني عند.

مع "بالإضافة إلى اللانهاية" ، يصبح كل شيء أكثر تافهًا:

والخط المستقيم - عند.

إجابه:

اذا كان ؛
، إذا .

لا أستطيع مقاومة الصورة الرسومية:


هذا هو أحد الفروع مقارنة مبالغ فيها .

ليس من غير المألوف أن يكون الوجود المحتمل للخطوط المقاربة محدودًا في البداية نطاق الوظيفة:

المثال 11

افحص الرسم البياني لوظيفة الخطوط المقاربة

المحلول: من الواضح أن لذلك ، فإننا نعتبر نصف المستوى الأيمن فقط ، حيث يوجد رسم بياني للدالة.

1) الوظيفة مستمرعلى الفاصل الزمني ، مما يعني أنه إذا كان الخط المقارب العمودي موجودًا ، فيمكن أن يكون المحور ص فقط. ندرس سلوك الوظيفة بالقرب من النقطة على اليمين:

ملحوظة، لا يوجد غموض هنا(في مثل هذه الحالات ، تم التركيز في بداية المقال طرق الحل المحدود).

وبالتالي ، فإن الخط المستقيم (المحور الصادي) هو الخط المقارب العمودي للرسم البياني للوظيفة عند.

2) يمكن إجراء دراسة الخط المقارب المائل وفقًا للمخطط الكامل ، ولكن في المقالة قواعد لوبيتالوجدنا أن دالة خطية ذات ترتيب أعلى للنمو من دالة لوغاريتمية ، لذلك: (انظر المثال 1 من نفس الدرس).

الخلاصة: المحور السيني هو الخط المقارب الأفقي للرسم البياني للوظيفة في.

إجابه:

اذا كان ؛
، إذا .

الرسم من أجل الوضوح:

ومن المثير للاهتمام ، أن الوظيفة التي تبدو متشابهة ليس لها خطوط مقاربة على الإطلاق (أولئك الذين يرغبون في ذلك يمكنهم التحقق من ذلك).

مثالان أخيران للدراسة الذاتية:

المثال 12

افحص الرسم البياني لوظيفة الخطوط المقاربة

لاختبار الخطوط المقاربة العمودية ، نحتاج أولاً إلى إيجادها نطاق الوظيفة، ثم احسب زوجًا من الحدود من جانب واحد عند نقاط "مشبوهة". لا يتم أيضًا استبعاد الخطوط المقاربة المائلة ، حيث يتم تعريف الوظيفة على "زائد" و "ناقص" ما لا نهاية.

المثال 13

افحص الرسم البياني لوظيفة الخطوط المقاربة

وهنا لا يمكن أن يكون هناك سوى الخطوط المقاربة المائلة ، وينبغي النظر في الاتجاهات بشكل منفصل.

أتمنى أن تكون قد وجدت الخط المقارب الصحيح =)

أتمنى لك النجاح!

الحلول والأجوبة:

المثال 2:المحلول :
. لنجد حدودًا من جانب واحد:

مستقيم هو الخط المقارب العمودي للرسم البياني للوظيفة في .
2) الخطوط المقاربة المائلة.

مستقيم .
إجابه:

رسم إلى المثال 3:

المثال 4:المحلول :
1) الخطوط المقاربة العمودية. تعاني الوظيفة من انقطاع لا نهائي عند نقطة ما . دعنا نحسب الحدود من جانب واحد:

ملحوظة: العدد السالب المتناهي الصغر لقوة زوجية يساوي عددًا موجبًا متناهي الصغر: .

مستقيم هو الخط المقارب العمودي للرسم البياني للوظيفة.
2) الخطوط المقاربة المائلة.


مستقيم (الإحداثيّة) هو الخط المقارب الأفقي للرسم البياني للوظيفة عند .
إجابه:

في كثير من الحالات ، يكون رسم دالة ما أسهل إذا قمت أولاً برسم الخطوط المقاربة للمنحنى.

التعريف 1. تسمى الخطوط المقاربة مثل هذه الخطوط ، والتي يقترب منها الرسم البياني للوظيفة كما هو مرغوب فيه عندما يميل المتغير إلى زائد اللانهاية أو ناقص اللانهاية.

التعريف 2. يسمى الخط المستقيم خط التقارب للرسم البياني للدالة إذا كانت المسافة من نقطة المتغير ميميل الرسم البياني للدالة حتى هذا الخط إلى الصفر عندما تتحرك النقطة بعيدًا إلى أجل غير مسمى ممن أصل الإحداثيات على طول أي فرع من فروع الرسم البياني للوظيفة.

هناك ثلاثة أنواع من الخطوط المقاربة: الرأسية والأفقية والمائلة.

الخطوط المقاربة الرأسية

تعريف. مستقيم x = أهو خط مقارب عمودي للرسم البياني للوظيفة إذا كانت النقطة x = أهو نقطة الانهيار من النوع الثانيلهذه الميزة.

ويترتب على التعريف أن الخط x = أهو الخط المقارب العمودي للرسم البياني للوظيفة F(x) إذا تم استيفاء أحد الشروط التالية على الأقل:

في نفس الوقت وظيفة F(x) على الإطلاق ، على التوالي ، من أجل x ≥ أو x ≤ أ .

تعليق:

مثال 1رسم بياني وظيفي ذ= ln xله خط مقارب عمودي x= 0 (أي بالتزامن مع المحور أوي) على حدود مجال التعريف ، نظرًا لأن حد الوظيفة عندما يميل x إلى الصفر على اليمين يساوي سالب ما لا نهاية:

(الشكل أعلاه).

بمفردك ثم انظر إلى الحلول

مثال 2أوجد الخطوط المقاربة للرسم البياني للدالة.

مثال 3ابحث عن الخطوط المقاربة للرسم البياني للدالة

الخطوط المقاربة الأفقية

إذا (حد الدالة عندما تميل الوسيطة إلى زائد أو ناقص ما لا نهاية يساوي بعض القيمة ب)، ومن بعد ذ = ب – خط مقارب أفقي ملتوية ذ = F(x ) (يمينًا عندما يميل x إلى زائد اللانهاية ، يسارًا عندما يميل x إلى سالب ما لا نهاية ، ويكون ذو جانبين إذا كانت الحدود عندما يميل x إلى زائد أو ناقص ما لا نهاية متساوية).

مثال 5رسم بياني وظيفي

في أ> 1 له خط مقارب أفقي يسار ذ= 0 (أي بالتزامن مع المحور ثور) ، نظرًا لأن حد الوظيفة عندما تميل "x" إلى سالب ما لا نهاية يساوي صفرًا:

لا يحتوي المنحنى على خط مقارب أفقي يمين ، لأن نهاية الدالة عندما يميل x إلى زائد اللانهاية يساوي اللانهاية:

الخطوط المقاربة المائلة

الخطوط المقاربة الرأسية والأفقية التي أخذناها في الاعتبار أعلاه موازية لمحاور الإحداثيات ، لذلك ، لبناءها ، نحتاج فقط إلى رقم معين - نقطة على الحد الفاصل أو المحور الإحداثي الذي يمر من خلاله الخط المقارب. هناك حاجة إلى المزيد من أجل خط مقارب مائل - منحدر ك، مما يدل على زاوية ميل الخط المستقيم والتقاطع ب، مما يوضح مقدار الخط الموجود أعلى أو أسفل نقطة الأصل. أولئك الذين لم يكن لديهم الوقت لنسيان الهندسة التحليلية ، ومنه - معادلات الخط المستقيم ، سيلاحظون أنهم يجدون خطًا مقاربًا مائلًا معادلة المنحدر. يتم تحديد وجود خط مقارب مائل من خلال النظرية التالية ، والتي على أساسها تم العثور على المعاملات التي تم تسميتها للتو.

نظرية.لعمل منحنى ذ = F(x) كان له خط مقارب ذ = ككس + ب ، من الضروري والكافي وجود حدود محدودة كو بمن الوظيفة قيد النظر حيث يميل المتغير إلى xإلى اللانهاية وطرح اللانهاية:

(1)

(2)

وهكذا وجدت الأرقام كو بوهي معاملات الخط المقارب المائل.

في الحالة الأولى (عندما تميل x إلى زائد اللانهاية) ، يتم الحصول على الخط المقارب الأيمن المائل ، في الحالة الثانية (عندما تميل x إلى سالب اللانهاية) ، يتم تركها. يظهر الخط المقارب الأيمن المائل في الشكل. من الأسفل.

عند إيجاد معادلة الخط المقارب المائل ، من الضروري مراعاة ميل x إلى كل من زائد اللانهاية وسالب اللانهاية. بالنسبة لبعض الدوال ، على سبيل المثال ، بالنسبة للأسباب المنطقية الكسرية ، تتطابق هذه الحدود ، ولكن بالنسبة للعديد من الوظائف ، تختلف هذه الحدود ، ويمكن أن يوجد واحد منها فقط.

عندما تتطابق الحدود مع x تميل إلى زائد ما لا نهاية وسالب ما لا نهاية ، الخط المستقيم ذ = ككس + ب هو خط مقارب ذو وجهين للمنحنى.

إذا كان واحد على الأقل من الحدود التي تحدد الخط المقارب ذ = ككس + ب ، غير موجود ، فإن الرسم البياني للوظيفة لا يحتوي على خط مقارب مائل (ولكن قد يكون له خط عمودي).

من السهل أن نرى أن الخط المقارب الأفقي ذ = بهي حالة خاصة من الانحراف ذ = ككس + بفي ك = 0 .

لذلك ، إذا كان للمنحنى خط مقارب أفقي في أي اتجاه ، فلا يوجد خط مقارب مائل في هذا الاتجاه ، والعكس صحيح.

مثال 6ابحث عن الخطوط المقاربة للرسم البياني للدالة

المحلول. يتم تحديد الوظيفة على خط الأرقام بأكمله باستثناء x= 0 ، أي

لذلك ، عند نقطة الانهيار x= 0 قد يكون للمنحنى خط مقارب عمودي. في الواقع ، نهاية الدالة عندما يقترب x من الصفر من اليسار هي زائد اللانهاية:

بالتالي، x= 0 هو الخط المقارب العمودي للرسم البياني لهذه الوظيفة.

لا يحتوي الرسم البياني لهذه الوظيفة على خط مقارب أفقي ، لأن نهاية الدالة عندما يميل x إلى زائد اللانهاية يساوي زائد ما لا نهاية:

دعونا نكتشف وجود خط مقارب مائل:

حصلت على حدود محدودة ك= 2 و ب= 0. مستقيم ذ = 2xهو خط مقارب مائل من جانبين للرسم البياني لهذه الوظيفة (شكل داخل المثال).

مثال 7ابحث عن الخطوط المقاربة للرسم البياني للدالة

المحلول. الوظيفة لها نقطة توقف واحدة x= −1. دعونا نحسب الحدود من جانب واحد ونحدد نوع الانقطاع:

استنتاج: x= −1 هي نقطة انقطاع من النوع الثاني ، لذا فإن الخط x= −1 هو الخط المقارب العمودي للرسم البياني لهذه الوظيفة.

البحث عن خطوط مقاربة مائلة. نظرًا لأن هذه الدالة عقلانية كسورًا ، فإن حدين من أجل و سيتطابقان. وهكذا ، نجد معاملات استبدال الخط المستقيم - الخط المقارب المائل في المعادلة:

بالتعويض عن المعامِلات الموجودة في معادلة الخط المستقيم والمنحدر ، نحصل على معادلة الخط المقارب المائل:

ذ = −3x + 5 .

في الشكل ، تم تمييز الرسم البياني للوظيفة باللون العنابي ، والخطوط المقاربة باللون الأسود.

المثال 8ابحث عن الخطوط المقاربة للرسم البياني للدالة

المحلول. نظرًا لأن هذه الوظيفة متصلة ، فإن الرسم البياني الخاص بها لا يحتوي على خطوط مقاربة عمودية. نحن نبحث عن الخطوط المقاربة المائلة:

.

وبالتالي ، فإن الرسم البياني لهذه الوظيفة له خط مقارب ذ= 0 عند وليس له خط مقارب عند.

المثال 9ابحث عن الخطوط المقاربة للرسم البياني للدالة

المحلول. أولاً ، نبحث عن الخطوط المقاربة العمودية. للقيام بذلك ، نجد مجال الدالة. يتم تعريف الوظيفة عندما تحمل المتباينة و. علامة متغيرة xيطابق العلامة. لذلك ، ضع في اعتبارك عدم المساواة المكافئة. من هذا نحصل على نطاق الوظيفة: . لا يمكن أن يكون الخط المقارب العمودي إلا على حدود مجال الوظيفة. ولكن xلا يمكن أن تكون = 0 خطًا مقاربًا رأسيًا ، حيث تم تعريف الوظيفة من أجل x = 0 .

ضع في اعتبارك الحد الأيمن عند (الحد الأيسر غير موجود):

.

نقطة x= 2 هي نقطة انقطاع من النوع الثاني ، لذا فإن الخط x= 2 - خط مقارب عمودي للرسم البياني لهذه الوظيفة.

نبحث عن خطوط مقاربة مائلة:

لذا، ذ = x+ 1 - خط مقارب مائل للرسم البياني لهذه الوظيفة عند. نحن نبحث عن خط مقارب مائل لـ:

لذا، ذ = −x − 1 - خط مقارب مائل عند.

المثال 10ابحث عن الخطوط المقاربة للرسم البياني للدالة

المحلول. الوظيفة لها نطاق . نظرًا لأن الخط المقارب العمودي للرسم البياني لهذه الوظيفة يمكن أن يكون فقط على حدود مجال التعريف ، فسنجد حدود الوظيفة أحادية الجانب عند.

خط مقارب للرسم البياني للدالة y \ u003d f (x) يسمى الخط الذي له خاصية أن المسافة من النقطة (x، f (x)) إلى هذا الخط تميل إلى الصفر مع إزالة غير محدودة لنقطة الرسم البياني من الأصل.

الشكل 3.10. يتم إعطاء أمثلة رسومية عمودي, عرضيو منحرف - مائلخط مقارب.

يعتمد العثور على الخطوط المقاربة للرسم البياني على النظريات الثلاث التالية.

نظرية الخطوط المقاربة العمودية. دع الدالة y \ u003d f (x) تُحدد في بعض المناطق المجاورة للنقطة x 0 (ربما باستثناء هذه النقطة نفسها) وواحد على الأقل من حدود الوظيفة أحادية الجانب تساوي اللانهاية ، أي ثم الخط x \ u003d x 0 هو الخط المقارب العمودي للرسم البياني للوظيفة y \ u003d f (x).

من الواضح أن الخط x \ u003d x 0 لا يمكن أن يكون خطًا مقاربًا رأسيًا إذا كانت الوظيفة مستمرة عند النقطة x 0 ، لأنه في هذه الحالة . لذلك ، يجب البحث عن الخطوط المقاربة العمودية عند نقاط انقطاع الوظيفة أو في نهايات مجالها.

نظرية الخط المقارب الأفقي. دع الدالة y \ u003d f (x) تُحدد من أجل x كبير بدرجة كافية ويكون هناك حد محدود للوظيفة. ثم الخط y = b هو الخط المقارب الأفقي للرسم البياني للدالة.

تعليق. إذا كان أحد هذه الحدود محدودًا ، فإن الوظيفة ، على التوالي ، يسارأو الجانب الأيمنخط مقارب أفقي.

في حالة ذلك ، قد يكون للوظيفة خط مقارب مائل.

نظرية الخطوط المقاربة المائلة. دع الدالة y = f (x) تُعرّف من أجل x كبيرة بما يكفي وتكون هناك حدود منتهية . إذن ، الخط y = kx + b هو خط مقارب مائل للرسم البياني للدالة.

بدون دليل.

يمكن أن يكون الخط المقارب المائل ، وكذلك الخط الأفقي ، يمينًا أو يسارًا إذا كان أساس الحدود المقابلة هو اللانهاية لعلامة معينة.

عادة ما تتضمن دراسة الوظائف وبناء الرسوم البيانية الخاصة بهم الخطوات التالية:

1. ابحث عن مجال الوظيفة.

2. تحقق من وظيفة الزوجي الفردي.

3. ابحث عن الخطوط المقاربة العمودية عن طريق فحص نقاط عدم الاستمرارية وسلوك الوظيفة على حدود مجال التعريف ، إذا كانت محدودة.

4. ابحث عن الخطوط المقاربة الأفقية أو المائلة من خلال فحص سلوك الوظيفة عند اللانهاية.

5. البحث عن الفترات القصوى من رتابة الوظيفة.

6. أوجد فترات التحدب للدالة ونقاط الانعطاف.

7. ابحث عن نقاط التقاطع مع محاور الإحداثيات ، وربما بعض النقاط الإضافية التي تعمل على تحسين الرسم البياني.

تفاضل الوظيفة

يمكن إثبات أنه إذا كانت الوظيفة لها حد يساوي عددًا محددًا لقاعدة معينة ، فيمكن تمثيلها كمجموع هذا الرقم وقيمة متناهية الصغر لنفس القاعدة (والعكس صحيح):.

دعنا نطبق هذه النظرية على دالة قابلة للتفاضل:.

وبالتالي ، فإن الزيادة في الدالة Dy تتكون من فترتين: 1) خطي فيما يتعلق بـ Dx ، أي f` (x) DX ؛ 2) غير الخطية فيما يتعلق Dx ، أي أ (DX) DX. في نفس الوقت منذ ذلك الحين ، هذا المصطلح الثاني هو متناه في الصغر بترتيب أعلى من Dx (عندما يميل Dx إلى الصفر ، فإنه يميل إلى الصفر بشكل أسرع).

التفاضليهتسمى الوظيفة الجزء الرئيسي من الزيادة الوظيفية ، الخطية بالنسبة إلى Dx ، والتي تساوي حاصل ضرب المشتق وزيادة المتغير المستقل dy = f `(x) Dx.

أوجد تفاضل الدالة y = x.

منذ dy = f `(x) Dx = x`Dx = Dx ، ثم dx = Dx ، أي تفاضل المتغير المستقل يساوي الزيادة في هذا المتغير.

لذلك ، يمكن كتابة صيغة تفاضل الدالة على النحو التالي dy = f `(x) dх. هذا هو السبب في أن أحد رموز المشتق هو الكسر dy / dх.

المعنى الهندسي للتفاضل موضح
الشكل 3.11. خذ نقطة عشوائية M (x، y) على الرسم البياني للدالة y = f (x). دعونا نعطي المتغير x زيادة Dx. ثم ستحصل الدالة y = f (x) على زيادة Dy = f (x + Dх) - f (x). لنرسم ظلًا للرسم البياني للدالة عند النقطة M ، والتي تشكل زاوية a بالاتجاه الإيجابي للمحور x ، أي و `(س) = tg a. من المثلث الأيمن MKN
KN \ u003d MN * tg a \ u003d Dx * tg a \ u003d f `(x) Dx \ u003d dy.

وبالتالي ، فإن تفاضل الدالة هو الزيادة في إحداثيات الظل المرسوم على الرسم البياني للوظيفة عند نقطة معينة عندما يتم زيادة x بواسطة Dx.

خصائص التفاضل هي في الأساس نفس خصائص المشتق:

3. د (u ± v) = du ± dv.

4. d (uv) = v du + u dv.

5. د (u / v) = (v du - u dv) / v 2.

ومع ذلك ، هناك خاصية مهمة لتفاضل وظيفة لا يمتلكها مشتقها - هذا هو ثبات الشكل التفاضلي.

من تعريف التفاضل للدالة y = f (x) ، يكون التفاضل dy = f` (x) dх. إذا كانت هذه الدالة y معقدة ، أي y = f (u) ، حيث u = j (x) ، ثم y = f و f `(x) = f` (u) * u`. ثم dy = f` (u) * u`dx. لكن بالنسبة للوظيفة
u = j (x) التفاضلية du = u`dx. ومن ثم dy = f `(u) * du.

بمقارنة المساواة dy = f `(x) dх و dy = f` (u) * du ، نتأكد من أن الصيغة التفاضلية لا تتغير إذا كان بدلاً من دالة للمتغير المستقل x اعتبرنا دالة لـ المتغير التابع ش. تسمى خاصية التفاضل هذه بالثبات (أي الثبات) في شكل (أو صيغة) التفاضل.

ومع ذلك ، لا يزال هناك اختلاف في هاتين الصيغتين: في أولهما ، يكون تفاضل المتغير المستقل مساويًا لزيادة هذا المتغير ، أي dx = Dx ، وفي الثانية ، تفاضل الدالة du هو فقط الجزء الخطي من زيادة هذه الدالة Du ، وفقط لـ Dх du »Du الصغيرة.