قياس درجة الزاوية. قياس راديان لزاوية

قياس درجة الزاوية. راديان قياس الزاوية. حول الدرجات إلى الراديان والعكس صحيح.

انتباه!
هناك المزيد
المادة في القسم الخاص 555.
بالنسبة لأولئك الذين بقوة "ليس جدا ..."
ولأولئك الذين "كثيرًا ...")

في الدرس السابق ، أتقننا عد الزوايا على الدائرة المثلثية. تعلمت كيفية حساب الزوايا الموجبة والسالبة. أدركت كيفية رسم زاوية أكبر من 360 درجة. حان الوقت للتعامل مع قياس الزوايا. خاصة مع الرقم "Pi" الذي يسعى إلى إرباكنا في مهام صعبة ، نعم ...

تم حل المهام القياسية في علم المثلثات برقم "Pi" جيدًا. تساعد الذاكرة البصرية. لكن أي انحراف عن النموذج - يقرع على الفور! لكي لا تسقط - تفهممن الضروري. ما سنفعله الآن بنجاح. بمعنى - نحن نفهم كل شيء!

لذا، ماذا او ما هل تحسب الزوايا؟ في دورة مدرسيةيستخدم علم المثلثات مقياسين: درجة قياس الزاويةو راديان قياس زاوية. دعونا نلقي نظرة على هذه الإجراءات. بدون هذا ، في علم المثلثات - لا مكان.

قياس درجة الزاوية.

نحن معتادون بطريقة ما على الدرجات. الهندسة ، على أقل تقدير ، مرت ... نعم ، وفي الحياة كثيرًا ما نلتقي بعبارة "تحول 180 درجة" ، على سبيل المثال. الدرجة ، باختصار ، شيء بسيط ...

نعم؟ أجبني بعد ذلك ما هي الدرجة ما الذي لا يعمل على الفور؟ شئ ما...

تم اختراع الدرجات في بابل القديمة. لقد مر وقت طويل ... قبل 40 قرنا ... وقد توصلوا إليه للتو. أخذوا الدائرة وقسموها إلى 360 درجة اجزاء متساوية. الدرجة الأولى هي 1/360 من الدائرة. وهذا كل شيء. يمكن تقسيمها إلى 100 قطعة. أو بمقدار 1000. لكنهم قاموا بتقسيمه إلى 360. بالمناسبة ، لماذا بالضبط بـ 360؟ لماذا 360 أفضل من 100؟ يبدو أن الرقم 100 أكثر تكافؤًا إلى حد ما ... حاول الإجابة على هذا السؤال. أو ضعيف مقابل بابل القديمة?

في مكان ما في نفس الوقت مصر القديمةتعذبها قضية أخرى. كم مرة يكون محيط الدائرة أكبر من طول قطرها؟ وهكذا قاموا بالقياس ، وبهذه الطريقة ... تحول كل شيء إلى ما يزيد قليلاً عن ثلاثة. لكن بطريقة ما اتضح أنه أشعث وغير متساوٍ ... لكنهم ، المصريون ، ليسوا مسؤولين. من بعدهم ، عانوا لمدة 35 قرنا أخرى. حتى أثبتوا أخيرًا أنه بغض النظر عن مدى دقة قطع الدائرة إلى قطع متساوية ، من هذه القطع إلى صنع ناعمطول القطر مستحيل ... من حيث المبدأ مستحيل. حسنًا ، كم مرة يكون المحيط أكبر من القطر بالطبع. حول. 3.1415926 ... مرة.

هذا هو الرقم "بي". هذا أشعث ، أشعث للغاية. بعد الفاصلة العشرية - عدد لا حصر له من الأرقام بدون أي ترتيب ... تسمى هذه الأرقام غير منطقية. هذا ، بالمناسبة ، يعني أنه من خلال قطع متساوية من الدائرة ، القطر ناعملا تطوي. أبداً.

إلى عن على تطبيق عمليمن المعتاد حفظ رقمين فقط بعد العلامة العشرية. تذكر:

نظرًا لأننا فهمنا أن محيط الدائرة أكبر من القطر بمقدار مرات "Pi" ، فمن المنطقي أن نتذكر صيغة محيط الدائرة:

أين إلهو المحيط و دهو قطرها.

مفيد في الهندسة.

إلى عن على تعليم عامسأضيف أن الرقم "Pi" لا يوجد فقط في الهندسة ... في أكثر أقسام الرياضيات تنوعًا ، وخاصة في نظرية الاحتمالات ، يظهر هذا الرقم باستمرار! بنفسها. أبعد من رغباتنا. مثله.

لكن العودة إلى الدرجات. هل اكتشفت سبب تقسيم الدائرة في بابل القديمة إلى 360 جزءًا متساويًا؟ لكن ليس 100 ، على سبيل المثال؟ لا؟ نعم. سأعطيك نسخة. لا يمكنك أن تسأل البابليين القدماء ... بالنسبة للبناء ، أو لنقل علم الفلك ، من المناسب تقسيم الدائرة إلى أجزاء متساوية. اكتشف الآن الأرقام التي تقبل القسمة عليها تماما 100 ، وأيها - 360؟ وفي أي إصدار من هذه المقسمات تماما- أكثر؟ هذا التقسيم مناسب جدًا للناس. ولكن...

كما اتضح بعد فترة طويلة من بابل القديمة ، لا يحب الجميع الدرجات العلمية. الرياضيات العليا لا تحبهم ... رياضيات أعلى- السيدة جادة ، مرتبة حسب قوانين الطبيعة. وتعلن هذه السيدة: "اليوم قسمت الدائرة إلى 360 جزءًا ، وغدًا ستقسمها إلى 100 جزء ، وغدًا بعد غد إلى 245 ... وماذا أفعل؟ لا حقًا ..." كان علي أن أطيع. لا يمكنك خداع الطبيعة ...

كان علي أن أدخل مقياسًا للزاوية لا يعتمد على المفاهيم البشرية. يجتمع - راديان!

راديان قياس الزاوية.

ما هو الراديان؟ يعتمد تعريف الراديان على الدائرة على أي حال. الزاوية 1 راديان هي الزاوية التي تقطع قوسًا من دائرة طولها ( إل) يساوي طول نصف القطر ( ر). نحن ننظر إلى الصور.

مثل هذه الزاوية الصغيرة ، لا يوجد أي منها تقريبًا ... نحرك المؤشر فوق الصورة (أو نلمس الصورة على الجهاز اللوحي) ونرى واحدة تقريبًا راديان. L = ص

تشعر الفرق؟

راديان واحد أكبر بكثير من درجة واحدة. كم مرة؟

دعونا نلقي نظرة على الصورة التالية. التي رسمت عليها نصف دائرة. الزاوية الموسعة ، بالطبع ، حجمها 180 درجة.

والآن سأقطع نصف الدائرة هذا إلى راديان! نحوم فوق الصورة ونرى أن 3 راديان بذيل يتناسب مع 180 درجة.

من يستطيع أن يخمن ما هو ذيل الحصان هذا !؟

نعم! هذا الذيل هو 0.1415926 .... مرحبًا Pi ، لم ننساك بعد!

في الواقع ، هناك 3.1415926 ... راديان في 180 درجة. كما يمكنك أن تتخيل ، فإن كتابة 3.1415926 طوال الوقت ... غير مريحة. لذلك ، بدلاً من هذا الرقم اللامتناهي ، يكتبون دائمًا ببساطة:

وها هو الرقم الموجود على الإنترنت

من غير الملائم أن أكتب ... لذلك ، في النص أكتبه بالاسم - "Pi". لا ترتبك ...

الآن ، من المفيد جدًا كتابة مساواة تقريبية:

أو المساواة بالضبط:

حدد عدد الدرجات في راديان واحد. كيف؟ بسهولة! إذا كان هناك 180 درجة في 3.14 راديان ، فإن 1 راديان أقل بمقدار 3.14 مرة! أي نقسم المعادلة الأولى (الصيغة هي أيضًا معادلة!) على 3.14:

من المفيد تذكر هذه النسبة ، فهناك 60 درجة تقريبًا في راديان واحد. في علم المثلثات ، غالبًا ما يتعين عليك معرفة وتقييم الموقف. هذا هو المكان الذي تساعد فيه المعرفة كثيرًا.

لكن المهارة الرئيسية لهذا الموضوع هي تحويل الدرجات إلى راديان والعكس صحيح.

إذا تم إعطاء الزاوية بالتقدير الدائري بالرقم "pi" ، يكون كل شيء بسيطًا جدًا. نحن نعلم أن "pi" راديان = 180 درجة. لذلك نستبدل راديان بدلاً من "Pi" - 180 درجة. نحصل على الزاوية بالدرجات. ننقص ما ينقص والجواب جاهز. على سبيل المثال ، نحتاج إلى معرفة المقدار درجاتفي الزاوية "Pi" / 2 راديان؟ نكتب هنا:

أو تعبير أكثر غرابة:

قراءة سهلة؟

الترجمة العكسية أكثر تعقيدًا بعض الشيء. لكن ليس كثيرًا. إذا كانت الزاوية بالدرجات ، فيجب علينا معرفة الدرجة الواحدة بالراديان وضرب هذا الرقم في عدد الدرجات. ما هي 1 درجة بالراديان؟

ننظر إلى الصيغة وندرك أنه إذا كانت 180 ° = "Pi" راديان ، فإن 1 ° أصغر 180 مرة. أو بعبارة أخرى ، نقسم المعادلة (الصيغة هي أيضًا معادلة!) على 180. ليست هناك حاجة لتمثيل "Pi" كـ 3.14 ، فهي تكتب دائمًا بحرف على أي حال. نحصل على أن الدرجة الواحدة تساوي:

هذا كل شئ. اضرب عدد الدرجات بهذه القيمة لتحصل على الزاوية بالتقدير الدائري. فمثلا:

أو بالمثل:

كما ترى ، في محادثة ممتعة مع استطراداتاتضح أن الراديان بسيط للغاية. نعم ، والترجمة بدون مشاكل ...

سأكشف السر. الحقيقة هي أنه في الدوال المثلثية ، تتم كتابة رمز الدرجات. دائما. على سبيل المثال ، sin35 °. هذا شرط 35 درجات . وأيقونة الراديان ( مسرور) لا يكتب! هو ضمني. إما كسل علماء الرياضيات المضبوط ، أو شيء آخر ... لكنهم قرروا عدم الكتابة. إذا لم تكن هناك أيقونات داخل الجيب - ظل التمام ، ثم الزاوية - بالتقدير الدائري ! على سبيل المثال ، cos3 هو جيب تمام ثلاثة راديان .

هذا يؤدي إلى سوء الفهم ... يرى الشخص "بي" ويعتقد أنها 180 درجة. أي وقت وأي مكان. بالمناسبة ، هذا يعمل. في الوقت الحالي ، في حين أن الأمثلة قياسية. لكن باي رقم! الرقم 3.14 ليس درجات! هذا "Pi" راديان = 180 درجة!

مرة أخرى: "باي" رقم! 3.14. غير منطقي ، لكن رقم. مثل 5 أو 8. يمكنك ، على سبيل المثال ، اتخاذ خطوات "Pi". ثلاث خطوات وأكثر من ذلك بقليل. أو شراء كيلوجرام "باي" من الحلويات. إذا تم القبض على بائع متعلم ...

"باي" رقم! ماذا ، لقد فهمتك بهذه العبارة؟ هل فهمت بالفعل كل شيء؟ نعم. دعونا تحقق. هل يمكن أن تخبرني أي رقم أكبر؟

أو ما هو أقل؟

هذا من سلسلة من الأسئلة غير المعيارية إلى حد ما والتي يمكن أن تؤدي إلى ذهول ...

إذا وقعت في ذهول أيضًا ، فتذكر التعويذة: "Pi" رقم! 3.14. في أول جيب ، يُشار بوضوح إلى أن الزاوية - على درجات! لذلك ، من المستحيل استبدال "Pi" بـ 180 درجة! درجات "Pi" حوالي 3.14 درجة. لذلك يمكننا أن نكتب:

لا توجد رموز في الجيب الثاني. اذن هناك - راديان! هنا ، استبدال "Pi" بـ 180 درجة سيعمل بشكل جيد. بتحويل الراديان إلى درجات ، كما هو مكتوب أعلاه ، نحصل على:

يبقى أن نقارن هذين الجيبين. ماذا او ما. نسيت كيف؟ بمساعدة الدائرة المثلثية بالطبع! نرسم دائرة ونرسم زوايا تقريبية 60 درجة و 1.05 درجة. ننظر إلى جيب هذه الزوايا. باختصار ، كل شيء ، كما هو الحال في نهاية الموضوع حول الدائرة المثلثية ، تم رسمه. في الدائرة (حتى الملتوية!) سيتبين ذلك بوضوح 60 درجةأكثر بكثير من sin1.05 درجة.

سنفعل الشيء نفسه بالضبط مع جيب التمام. على الدائرة ، نرسم زوايا تبلغ حوالي 4 درجاتو 4 راديان(تذكر ، ما هو حوالي 1 راديان؟). ستقول الدائرة كل شيء! بالطبع ، cos4 أقل من cos4 °.

لنتدرب على التعامل مع قياسات الزوايا.

حول هذه الزوايا من درجات إلى راديان:

360 درجة ؛ 30 درجة ؛ 90 درجة ؛ 270 درجة ؛ 45 درجة ؛ 0 درجة ؛ 180 درجة ؛ 60 درجة

يجب أن ينتهي بك الأمر بهذه القيم بالتقدير الدائري (بترتيب مختلف!)

0

بالمناسبة ، لقد حددت الإجابات بشكل خاص في سطرين. حسنًا ، لنكتشف ما هي الزوايا في السطر الأول؟ سواء بالدرجات أو بالتقدير الدائري؟

نعم! هذه هي محاور نظام الإحداثيات! إذا نظرت إلى الدائرة المثلثية ، فإن الجانب المتحرك للزاوية عند هذه القيم يناسب الحق على المحور. هذه القيم بحاجة إلى أن تكون معروفة بشكل مثير للسخرية. ولاحظت الزاوية 0 درجة (0 راديان) ليس عبثًا. ومن ثم لا يستطيع البعض إيجاد هذه الزاوية على الدائرة بأي شكل من الأشكال ... وبناءً عليه ، يتم الخلط بينهم في الدوال المثلثية للصفر ... والشيء الآخر هو أن موضع الجانب المتحرك عند درجة الصفر يتزامن مع الموضع عند 360 درجة ، لذا فإن الصدف على الدائرة دائمًا بجانبها.

في السطر الثاني توجد زوايا خاصة ... هذه هي 30 درجة و 45 درجة و 60 درجة. وما الذي يميزهم؟ لا شيء مميز. الفرق الوحيد بين هذه الزوايا وجميع الزوايا الأخرى هو أنك يجب أن تعرف عن هذه الزوايا. الكل. وأين تقع ، وما هي الدوال المثلثية لهذه الزوايا. دعنا نقول القيمة 100 درجةليس عليك أن تعرف. لكن الخطيئة 45 درجة- رجاء كن لطيف! هذه معرفة إلزامية ، بدونها لا يوجد شيء يمكن القيام به في علم المثلثات ... ولكن المزيد حول هذا في الدرس التالي.

حتى ذلك الحين ، دعونا نستمر في التدريب. حول هذه الزوايا من الراديان إلى الدرجات:

يجب أن تحصل على نتائج مثل هذه (في حالة من الفوضى):

210 درجة ؛ 150 درجة ؛ 135 درجة ؛ 120 درجة ؛ 330 درجة ؛ 315 درجة ؛ 300 درجة ؛ 240 درجة ؛ 225 درجة.

حدث؟ ثم يمكننا أن نفترض ذلك تحويل الدرجات إلى راديان والعكس صحيح- ليست مشكلتك بعد الآن.) لكن ترجمة الزوايا هي الخطوة الأولى لفهم علم المثلثات. في نفس المكان ، ما زلت بحاجة للعمل مع جيب التمام. نعم ، ومع الظلال ، الظل أيضًا ...

الخطوة القوية الثانية هي القدرة على تحديد موقف أي ركن على الدائرة المثلثية. سواء بالدرجات والراديان. حول هذه المهارة بالذات ، سألمح لك بشكل ممل في جميع علم المثلثات ، نعم ...) إذا كنت تعرف كل شيء (أو تعتقد أنك تعرف كل شيء) عن الدائرة المثلثية ، وعد الزوايا على الدائرة المثلثية ، يمكنك التحقق من ذلك خارج. حل هذه المهام البسيطة:

1. في أي ربع تقع الزوايا:

45 درجة ، 175 درجة ، 355 درجة ، 91 درجة ، 355 درجة؟

بسهولة؟ نواصل:

2. في أي ربع تقع الزوايا:

402 درجة ، 535 درجة ، 3000 درجة ، -45 درجة ، -325 درجة ، -3000 درجة؟

أيضا لا مشكلة؟ حسن المظهر...)

3. يمكنك وضع الزوايا في أرباع:

هل كنت قادرا؟ حسنًا ، أنت تعطي ..)

4. ما هي المحاور التي يقع عليها الركن:

والزاوية:

هل هو سهل ايضا؟ جلالة ...)

5. في أي ربع تقع الزوايا:

وقد نجحت !؟ حسنًا ، فأنا حقًا لا أعرف ...)

6. حدد أي ربع من الزوايا يقع في:

1 و 2 و 3 و 20 راديان.

سأقدم الإجابة فقط على السؤال الأخير (معقد قليلاً) للمهمة الأخيرة. زاوية مقدارها 20 راديان تقع في الربع الأول.

لن أعطي بقية الإجابات بدافع الجشع.) فقط إذا كنت أنت لم تقررشيئا ما شكنتيجة لذلك ، أو قضى في المهمة رقم 4 أكثر من 10 ثوانٍأنت ضعيف التوجيه في دائرة. ستكون هذه مشكلتك في كل علم المثلثات. من الأفضل التخلص منه (مشكلة ، وليس حساب المثلثات!) على الفور. يمكن القيام بذلك في موضوع: عمل عملي مع الدائرة المثلثية في القسم 555.

إنه يخبرنا عن كيفية حل مثل هذه المهام ببساطة وبشكل صحيح. حسنًا ، تم حل هذه المهام بالطبع. وتم حل المهمة الرابعة في 10 ثوانٍ. نعم ، لذلك قررت أن أي شخص يمكن!

إذا كنت متأكدًا تمامًا من إجاباتك ولم تكن مهتمًا بطرق بسيطة وخالية من المتاعب للعمل مع الراديان ، فلا يمكنك زيارة 555. أنا لا أصر.)

فهم جيد- كافي سبب جيدللمضي قدما!)

إذا أعجبك هذا الموقع ...

بالمناسبة ، لديّ موقعان أكثر تشويقًا لك).

يمكنك التدرب على حل الأمثلة ومعرفة مستواك. الاختبار مع التحقق الفوري. التعلم - باهتمام!)

يمكنك التعرف على الوظائف والمشتقات.

يأكل علماء الرياضيات في جميع أنحاء العالم قطعة من الكعكة كل عام في 14 مارس - بعد كل شيء ، هذا هو يوم Pi ، أشهر رقم غير منطقي. هذا التاريخ مرتبط مباشرة بالرقم الذي تكون أرقامه الأولى 3.14. Pi هي نسبة محيط الدائرة إلى قطرها. نظرًا لأنه غير منطقي ، فمن المستحيل كتابته على شكل كسر. هذا رقم طويل بلا حدود. تم اكتشافه منذ آلاف السنين وتمت دراسته باستمرار منذ ذلك الحين ، ولكن هل بقي لدى Pi أي أسرار؟ من أصل قديمحتى مستقبل غير محدد ، إليك بعض الحقائق الأكثر إثارة للاهتمام حول باي.

حفظ بي

سجل تذكر الأرقام بعد الفاصلة العشرية ينتمي إلى Rajveer Meena من الهند ، الذي تمكن من تذكر 70000 رقم - لقد سجل الرقم القياسي في 21 مارس 2015. قبل ذلك ، كان صاحب الرقم القياسي هو تشاو لو من الصين ، الذي تمكن من حفظ 67890 رقمًا - تم تسجيل هذا الرقم القياسي في عام 2005. صاحب الرقم القياسي غير الرسمي هو أكيرا هاراغوشي ، الذي صور تكراره من 100000 رقم بالفيديو في عام 2005 ونشر مؤخرًا مقطع فيديو حيث تمكن من تذكر 117000 رقم. سيصبح الرقم القياسي الرسمي فقط إذا تم تسجيل هذا الفيديو بحضور ممثل موسوعة جينيس للأرقام القياسية ، وبدون تأكيد يبقى فقط حقيقة رائعةلكنها لا تعتبر انجازا. يحب عشاق الرياضيات حفظ الرقم Pi. يستخدم الكثير من الناس تقنيات مختلفة للذاكرة ، مثل الشعر ، حيث يكون عدد الأحرف في كل كلمة هو نفسه pi. كل لغة لها أشكالها الخاصة من هذه العبارات ، والتي تساعد على تذكر كل من الأرقام القليلة الأولى ومئات كاملة.

توجد لغة Pi

مفتونًا بالأدب ، اخترع علماء الرياضيات لهجة يتوافق فيها عدد الأحرف في جميع الكلمات مع أرقام Pi بالترتيب الدقيق. حتى أن الكاتب مايك كيث كتب كتابًا بعنوان Not a Wake وهو مكتوب بالكامل بلغة Pi. المتحمسون لهذا الإبداع يكتبون أعمالهم بتوافق تام مع عدد الحروف ومعاني الأرقام. هذا ليس له تطبيق عملي ، ولكنه ظاهرة شائعة ومعروفة إلى حد ما في دوائر العلماء المتحمسين.

النمو الأسي

Pi هو رقم لا نهائي ، لذلك لن يتمكن الأشخاص ، بحكم التعريف ، من معرفة الأرقام الدقيقة لهذا الرقم. ومع ذلك ، فقد زاد عدد الأرقام بعد الفاصلة العشرية بشكل كبير منذ أول استخدام لـ Pi. حتى البابليون استخدموه ، لكن جزءًا من ثلاثة وثمان كان كافيًا لهم. الصينيون والمبدعون العهد القديموكان يقتصر تمامًا على ثلاثة. بحلول عام 1665 ، كان السير إسحاق نيوتن قد حسب 16 رقمًا من باي. بحلول عام 1719 عالم رياضيات فرنسيقام Tom Fante de Lagny بحساب 127 رقمًا. أدى ظهور أجهزة الكمبيوتر إلى تحسين معرفة الإنسان بـ Pi بشكل جذري. من عام 1949 إلى عام 1967 العدد معروف للإنسانارتفعت الأرقام من عام 2037 إلى 500000. منذ وقت ليس ببعيد ، تمكن العالم بيتر تروب من سويسرا من حساب 2.24 تريليون رقم من Pi! استغرق هذا 105 يومًا. بالطبع ، هذا ليس الحد الأقصى. من المحتمل أنه مع تطور التكنولوجيا ، سيكون من الممكن تثبيت المزيد الرقم الدقيق- نظرًا لأن Pi لا نهائية ، فلا يوجد حد للدقة ، ولا يمكن تقييدها إلا بالخصائص التقنية لتكنولوجيا الكمبيوتر.

حساب باي باليد

إذا كنت ترغب في العثور على الرقم بنفسك ، يمكنك استخدام الأسلوب القديم - ستحتاج إلى مسطرة وجرة وخيط ، كما يمكنك استخدام منقلة وقلم رصاص. الجانب السلبي لاستخدام البرطمان هو أنه يجب أن يكون دائريًا ، وسيتم تحديد الدقة من خلال مدى قدرة الشخص على لف الحبل حوله. من الممكن رسم دائرة بمنقلة ، لكن هذا يتطلب أيضًا مهارة ودقة ، لأن الدائرة غير المستوية يمكن أن تشوه قياساتك بشكل خطير. أكثر الطريقة الدقيقةيتضمن استخدام الهندسة. قسّم الدائرة إلى عدة شرائح ، مثل شرائح البيتزا ، ثم احسب طول الخط المستقيم الذي يحول كل جزء إلى مثلث متساوي الساقين. سيعطي مجموع الأضلاع عددًا تقريبيًا للبي. كلما زاد عدد الشرائح التي تستخدمها ، كلما كان الرقم أكثر دقة. بالطبع ، في حساباتك لن تكون قادرًا على الاقتراب من نتائج الكمبيوتر ، رغم ذلك تجارب بسيطةتتيح لك أن تفهم بمزيد من التفصيل ما هو الرقم pi بشكل عام وكيف يتم استخدامه في الرياضيات.

اكتشاف Pi

عرف البابليون القدماء عن وجود الرقم Pi منذ أربعة آلاف عام. تحسب الألواح البابلية Pi كـ 3.125 ، وتحتوي البردية الرياضية المصرية على الرقم 3.1605. في الكتاب المقدس ، تم إعطاء الرقم Pi بطول قديم - بالأذرع ، واستخدم عالم الرياضيات اليوناني أرخميدس نظرية فيثاغورس لوصف Pi ، النسبة الهندسية لطول أضلاع المثلث ومساحة \ u200b \ u200b الأشكال داخل وخارج الدوائر. وبالتالي ، من الآمن القول أن Pi هي واحدة من أقدمها مفاهيم رياضية، على أية حال الاسم الدقيق رقم معينوظهر مؤخرًا نسبيًا.

نظرة جديدة على Pi

حتى قبل أن يرتبط باي بالدوائر ، كان لدى علماء الرياضيات بالفعل العديد من الطرق لتسمية هذا الرقم. على سبيل المثال ، في كتب الرياضيات القديمة ، يمكن للمرء أن يجد عبارة باللاتينية ، والتي يمكن ترجمتها تقريبًا على أنها "الكمية التي توضح الطول عند ضرب القطر بها." اشتهر الرقم غير المنطقي عندما استخدمه العالم السويسري ليونارد أويلر في عمله في علم المثلثات عام 1737. ومع ذلك ، لم يتم استخدام الرمز اليوناني لـ pi - لقد حدث فقط في كتاب لعالم الرياضيات الأقل شهرة وليام جونز. استخدمها في وقت مبكر من عام 1706 ، لكنها كانت مهملة لفترة طويلة. بمرور الوقت ، تبنى العلماء هذا الاسم ، والآن هذا هو الإصدار الأكثر شهرة من الاسم ، على الرغم من أنه كان يُطلق عليه قبل ذلك أيضًا رقم Ludolf.

هل باي طبيعي؟

الرقم pi غريب بالتأكيد ، لكن كيف يطيع القوانين الرياضية العادية؟ لقد حل العلماء بالفعل العديد من الأسئلة المتعلقة بهذا عدد غير نسبيلكن تبقى بعض الألغاز. على سبيل المثال ، لا يُعرف عدد مرات استخدام جميع الأرقام - يجب استخدام الأرقام من 0 إلى 9 بنسب متساوية. ومع ذلك ، يمكن تتبع الإحصائيات لأول تريليون رقم ، ولكن نظرًا لحقيقة أن الرقم لا نهائي ، فمن المستحيل إثبات أي شيء على وجه اليقين. هناك مشاكل أخرى لا تزال تستعصي على العلماء. من الممكن جدا أن مزيد من التطويرسيساعد العلم في تسليط الضوء عليهم ، ولكن على هذه اللحظةيبقى خارج العقل البشري.

يبدو Pi الإلهي

لا يستطيع العلماء الإجابة على بعض الأسئلة حول الرقم Pi ، ومع ذلك ، فهم يفهمون جوهره كل عام بشكل أفضل. بالفعل في القرن الثامن عشر ، تم إثبات اللاعقلانية لهذا الرقم. بالإضافة إلى ذلك ، فقد ثبت أن الرقم متسامي. هذا يعني لا صيغة معينة، مما يسمح بحساب pi باستخدام أرقام منطقية.

عدم الرضا عن Pi

يحب العديد من علماء الرياضيات ببساطة Pi ، ولكن هناك من يعتقد أن هذه الأرقام ليس لها أهمية خاصة. بالإضافة إلى ذلك ، يزعمون أن رقم Tau ، وهو ضعف حجم Pi ، هو أكثر ملاءمة لاستخدامه كرقم غير منطقي. يوضح Tau العلاقة بين المحيط ونصف القطر ، والتي ، وفقًا للبعض ، تمثل طريقة حسابية أكثر منطقية. ومع ذلك ، لتحديد شيء ما بشكل لا لبس فيه هذه المسألةمستحيل ، وسيكون للرقم الآخر مؤيدون دائمًا ، ولكلا الطريقتين الحق في الحياة ، لذا فهو عادل حقيقة مثيرة للاهتمام، وليس سببًا للاعتقاد بأنه لا يجب عليك استخدام الرقم Pi.

جدول القيم الدوال المثلثية مجمعة لزوايا 0 و 30 و 45 و 60 و 90 و 180 و 270 و 360 درجاتوالزوايا المقابلة لها في راديان. من الدوال المثلثيةيظهر الجدول جيب ، جيب التمام ، الظل ، ظل التمام ، القاطعو قاطع التمام. لراحة الحل أمثلة المدرسةالقيم الدوال المثلثيةفي الجدول على شكل كسر مع الاحتفاظ بعلامات استخراج الجذر التربيعي للأرقام ، مما يساعد في كثير من الأحيان على تقليل التعبيرات الرياضية المعقدة. إلى عن على ظلو ظل التماملا يمكن تحديد بعض الزوايا. للقيم ظلو ظل التمامهذه الزوايا في جدول قيم الدوال المثلثية هي شرطة. من المقبول عمومًا أن ظلو ظل التمامهذه الزوايا تساوي اللانهاية. في صفحة منفصلة توجد صيغ لتقليل الدوال المثلثية.

يوضح جدول قيم الدالة المثلثية الجيب القيم للزوايا التالية: sin 0، sin 30، sin 45، sin 60، sin 90، sin 180، sin 270، sin 360 in قياس الدرجة، والتي تتوافق مع sin 0 pi ، sin pi / 6 ، sin pi / 4 ، sin pi / 3 ، sin pi / 2 ، sin pi ، sin 3 pi / 2 ، sin 2 pi في راديان قياس الزوايا. طاولة المدرسةالجيوب الأنفية.

بالنسبة لدالة جيب التمام المثلثية ، يعرض الجدول قيم الزوايا التالية: cos 0 ، cos 30 ، cos 45 ، cos 60 ، cos 90 ، cos 180 ، cos 270 ، cos 360 في مقياس الدرجة ، والتي تتوافق مع cos 0 pi ، cos pi حتى 6 ، cos pi على 4 ، cos pi على 3 ، cos pi على 2 ، cos pi ، cos 3 pi على 2 ، cos 2 pi في راديان قياس الزوايا. الجدول المدرسي لجيب التمام.

يعطي الجدول المثلثي لمماس الدالة المثلثية قيمًا للزوايا التالية: tg 0 ، tg 30 ، tg 45 ، tg 60 ، tg 180 ، tg 360 في قياس الدرجة ، والذي يتوافق مع tg 0 pi ، tg pi / 6، tg pi / 4، tg pi / 3، tg pi، tg 2 pi في راديان قياس الزوايا. اتباع القيملم يتم تعريف الدوال المثلثية للماس tg 90 و tg 270 و tg pi / 2 و tg 3 pi / 2 وتعتبر مساوية للإنهاية.

بالنسبة إلى ظل التمام للدالة المثلثية في الجدول المثلثي ، يتم إعطاء قيم الزوايا التالية: ctg 30 ، ctg 45 ، ctg 60 ، ctg 90 ، ctg 270 في قياس الدرجة ، والذي يتوافق مع ctg pi / 6 ، ctg pi / 4 ، ctg pi / 3 ، tg pi / 2 ، tg 3 pi / 2 بمقياس راديان للزوايا. لم يتم تعريف القيم التالية لدوال ظل التمام المثلثي ctg 0 و ctg 180 و ctg 360 و ctg 0 pi و ctg pi و ctg 2 pi وتعتبر مساوية لللامحدودة.

يتم إعطاء قيم الدوال المثلثية القاطع وقاطع التمام لنفس الزوايا بالدرجات والراديان مثل الجيب وجيب التمام والظل والظل.

يوضح جدول قيم الدوال المثلثية للزوايا غير القياسية قيم الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام للزوايا بالدرجات 15 و 18 و 22.5 و 36 و 54 و 67.5 72 درجة وفي الراديان pi / 12 ، pi / 10، pi / 8، pi / 5، 3pi / 8، 2pi / 5 راديان. يتم التعبير عن قيم الدوال المثلثية من حيث الكسور والجذور التربيعية لتبسيط اختزال الكسور في الأمثلة المدرسية.

ثلاثة وحوش أخرى من علم المثلثات. الأول هو ظل 1.5 درجة ونصف ، أو pi مقسومًا على 120. والثاني هو جيب تمام pi مقسومًا على 240 ، pi / 240. الأطول هو جيب تمام pi مقسومًا على 17 ، pi / 17.

تمثل الدائرة المثلثية لقيم وظائف الجيب وجيب التمام بصريًا علامات الجيب وجيب التمام اعتمادًا على حجم الزاوية. خاصة بالنسبة للشقراوات ، يتم تسطير قيم جيب التمام بشرطة خضراء حتى تكون أقل تشويشًا. يتم عرض تحويل الدرجات إلى الراديان بوضوح شديد ، عندما يتم التعبير عن الراديان من خلال pi.

يعرض هذا الجدول المثلثي قيم الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام للزوايا من صفر إلى 90 وتسعين درجة في فترات درجة واحدة. بالنسبة للدرجات الخمس والأربعين الأولى ، يجب النظر إلى أسماء الدوال المثلثية في أعلى الجدول. يحتوي العمود الأول على درجات ، وتتم كتابة قيم الجيب وجيب التمام والظل والظل في الأعمدة الأربعة التالية.

بالنسبة للزوايا من 45 درجة إلى 90 درجة ، تتم كتابة أسماء الدوال المثلثية في أسفل الجدول. يحتوي العمود الأخير على درجات ، تمت كتابة قيم جيب التمام والجيب والظل والظل في الأعمدة الأربعة السابقة. يجب أن تكون حذرا ، لأنه في الأسفل الجدول المثلثيتختلف أسماء الدوال المثلثية عن الأسماء الموجودة أعلى الجدول. يتم تبادل الجيب وجيب التمام ، تمامًا مثل الظل والظل. هذا بسبب تناظر قيم الدوال المثلثية.

تظهر علامات الدوال المثلثية في الشكل أعلاه. الجيوب الأنفية القيم الإيجابيةمن 0 إلى 180 درجة أو من 0 إلى باي. القيم السلبيةالجيب يتراوح من 180 إلى 360 درجة ، أو من pi إلى 2 pi. قيم جيب التمام موجبة من 0 إلى 90 ومن 270 إلى 360 درجة ، أو من 0 إلى 1/2 pi و 3/2 إلى 2 pi. Tangent و cotangent لهما قيم موجبة من 0 إلى 90 درجة ومن 180 إلى 270 درجة ، تقابل القيم من 0 إلى 1/2 pi ومن pi إلى 3/2 pi. الظل السالب وظل التمام هي 90 إلى 180 درجة و 270 إلى 360 درجة ، أو 1/2 بي إلى بي و 3/2 بي إلى 2 بي. عند تحديد علامات الدوال المثلثية للزوايا الأكبر من 360 درجة أو 2 pi ، يجب استخدام خصائص الدورية لهذه الوظائف.

الدوال المثلثية: الجيب والظل والظل هي وظائف فردية. ستكون قيم هذه الوظائف للزوايا السالبة سالبة. جيب التمام هو دالة مثلثية زوجية - قيمة جيب التمام لـ زاوية سالبةستكون ايجابية. عند ضرب وقسمة الدوال المثلثية ، يجب عليك اتباع قواعد العلامات.

جذر 2/2 كم عدد pi؟- يحدث بطرق مختلفة (انظر الصورة). تحتاج إلى معرفة الدالة المثلثية التي تساوي جذر اثنين على اثنين.

إذا أعجبك المنشور وأردت معرفة المزيد ، فأنا بصدد العمل على مواد أخرى.

cos pi مقسومًا على 2

الصفحة الرئيسية> الدليل> الصيغ الرياضية.

الصيغ الرياضية.

حول الراديان إلى درجات.
أ د = أ ص * 180 / بي

حول الدرجات إلى الراديان.
أ ص = أ د * بي / 180
حيث A d هي الزاوية بالدرجات ، و A r هي الزاوية بالتقدير الدائري.

محيط.
L = 2 * بي * ص

طول قوس الدائرة.
L = A * R.

مساحة المثلث.

ع = (أ + ب + ج) / 2 - نصف محيط.

مساحة الدائرة.
S = pi * R 2

منطقة القطاع.
S \ u003d L d * R / 2 \ u003d (A * R 2) / 2

مساحة سطح الكرة.
S = 4 * بي * ص 2

S = 2 * Pi * R * H

حيث S هي مساحة السطح الجانبي للأسطوانة ، R هي نصف قطر قاعدة الأسطوانة ، H هي ارتفاع الأسطوانة.

S = pi * R * L

S = pi * R * L + pi * R 2

حجم الكرة.
V = 4/3 * pi * R 3

حجم الاسطوانة.
V = pi * R 2 * H.

حجم المخروط.

تاريخ النشر: 01/15/13
تم التحديث: 11/15/14
إجمالي المشاهدات: 10754
اليوم: 1

الصفحة الرئيسية> الدليل> الصيغ الرياضية.

إيجور

مساء الخير! سألت جدا اسأل الفائدةنأمل أن نتمكن من مساعدتك.

كيفية حل C1. الدرس 2

أنت وأنا بحاجة إلى حل المشكلة التالية: أوجد cos pi مقسومًا على 2.
في أغلب الأحيان ، لحل مثل هذه المشاكل ، من الضروري تحديد مؤشرات جيب التمام أو الجيب. بالنسبة للزوايا من 0 إلى 360 درجة ، يمكن العثور بسهولة على أي قيمة لجيب التمام أو الخطيئة تقريبًا في اللوحات المقابلة الموجودة والشائعة ، مثل هذه:

لكن ليس لدينا جيب (خطيئة) ، بل جيب تمام. لنفهم أولاً ما هو جيب التمام. كوس (جيب التمام) هي إحدى الدوال المثلثية. من أجل حساب جيب التمام للحادة مثلث قائمستحتاج إلى معرفة نسبة ضلع الزاوية المضمنة إلى الوتر. يمكن بسهولة حساب جيب التمام لـ pi مقسومًا على 2 الصيغة المثلثيةالذي يشير إلى الصيغ القياسيةعلم المثلثات. ولكن إذا كنا نتحدث عن قيمة جيب التمام مقسومًا على 2 ، فسنستخدم الجدول الذي ذكرناه بالفعل أكثر من مرة لهذا الغرض:

حظا سعيدا في مساعيك المستقبلية مثل هذا!
إجابه:

الصفحة الرئيسية> الدليل> الصيغ الرياضية.

الصيغ الرياضية.

حول الراديان إلى درجات.
أ د = أ ص * 180 / بي

حول الدرجات إلى الراديان.
أ ص = أ د * بي / 180
حيث A d هي الزاوية بالدرجات ، و A r هي الزاوية بالتقدير الدائري.

محيط.
L = 2 * بي * ص
حيث L هو المحيط ، R هو نصف قطر الدائرة.

طول قوس الدائرة.
L = A * R.
حيث L هو طول قوس الدائرة ، R هو نصف قطر الدائرة ، A هو الزاوية المركزية، معبراً عنها بالتقدير الدائري
بالنسبة للدائرة A = 2 * pi (360 درجة) ، نحصل على L = 2 * pi * R.

مساحة المثلث.
S = (p * (p-a) * (p-b) * (p-c)) 1/2
حيث S هي مساحة المثلث ، أ ، ب ، ج هي أطوال الأضلاع ،
ع = (أ + ب + ج) / 2 - نصف محيط.

مساحة الدائرة.
S = pi * R 2
حيث S هي مساحة الدائرة ، R هو نصف قطر الدائرة.

منطقة القطاع.
S \ u003d L d * R / 2 \ u003d (A * R 2) / 2
حيث S هي مساحة القطاع ، R هي نصف قطر الدائرة ، L d طول القوس.

مساحة سطح الكرة.
S = 4 * بي * ص 2
حيث S هي مساحة سطح الكرة ، R هي نصف قطر الكرة.

مساحة السطح الجانبي للأسطوانة.
S = 2 * Pi * R * H
حيث S هي مساحة السطح الجانبي للأسطوانة ، R هي نصف قطر قاعدة الأسطوانة ، H هي ارتفاع الأسطوانة.

ميدان سطح كاملاسطوانة.
S = 2 * pi * R * H + 2 * pi * R 2
حيث S هي مساحة السطح الجانبي للأسطوانة ، R هي نصف قطر قاعدة الأسطوانة ، H هي ارتفاع الأسطوانة.

مساحة السطح الجانبي للمخروط.
S = pi * R * L
حيث S هي مساحة السطح الجانبي للمخروط ، R هي نصف قطر قاعدة المخروط ، L هي طول الشبكة المولدة للمخروط.

المساحة الإجمالية للمخروط.
S = pi * R * L + pi * R 2
حيث S هي مساحة السطح الكامل للمخروط ، R هي نصف قطر قاعدة المخروط ، L هي طول شبكة المخروط.

حجم الكرة.
V = 4/3 * pi * R 3
حيث V هو حجم الكرة ، R هو نصف قطر الكرة.

حجم الاسطوانة.
V = pi * R 2 * H.
حيث V هو حجم الأسطوانة ، R هو نصف قطر قاعدة الأسطوانة ، H هو ارتفاع الأسطوانة.

حجم المخروط.
V = pi * R * L = pi * R * H / cos (A / 2) = pi * R * R / sin (A / 2)
حيث V حجم المخروط ، R هو نصف قطر قاعدة المخروط ، L هو طول المصفوفة المولدة للمخروط ، A هي الزاوية الموجودة أعلى المخروط.

تاريخ النشر: 01/15/13
تم التحديث: 11/15/14
إجمالي المشاهدات: 10742
اليوم: 1

الصفحة الرئيسية> الدليل> الصيغ الرياضية.

إيجور
يمكنك تثبيت السلك على أطراف بطارية Krona بأنبوب مقطوع من غطاء الإبرة الطبية.

اليوم هو عيد ميلاد الرقم Pi ، والذي ، بمبادرة من علماء الرياضيات الأمريكيين ، يتم الاحتفال به في 14 مارس في الساعة 1 و 59 دقيقة بعد الظهر. يرجع هذا إلى قيمة أكثر دقة لـ Pi: لقد اعتدنا جميعًا على حساب هذا الثابت كـ 3.14 ، ولكن يمكن متابعة الرقم على هذا النحو: 3 ، 14159 ... ترجمة هذا إلى تاريخ تقويم ، نحصل على 03.14 ، 1: 59.

الصورة: AIF / Nadezhda Uvarova

يقول فلاديمير زاليابين ، الأستاذ في قسم التحليل الرياضي والوظيفي في جامعة ولاية جنوب الأورال ، إنه لا يزال يجب اعتبار يوم 22 يوليو "يوم بي" ، لأنه في تنسيق التاريخ الأوروبي يتم كتابة هذا اليوم على أنه 22/7 ، وقيمة هذا الكسر يساوي تقريبًا قيمة Pi.

يقول زالابين: "يعود تاريخ الرقم الذي يعطي نسبة محيط الدائرة إلى قطر الدائرة إلى العصور القديمة". - عرف السومريون والبابليون بالفعل أن هذه النسبة لا تعتمد على قطر الدائرة وأنها ثابتة. يمكن العثور على واحدة من الإشارات الأولى للرقم Pi في النصوص الكاتب المصري احمس(حوالي 1650 قبل الميلاد). ساهم الإغريق ، الذين اقترضوا الكثير من المصريين ، في تطوير هذه الكمية الغامضة. وفقا للأسطورة، أرخميدسلقد انجرفت الحسابات إلى حد أنه لم يلاحظ كيف أخذه الجنود الرومان المدينة الأمسيراكيوز. عندما اقترب منه جندي روماني ، صرخ أرخميدس باليونانية ، "لا تلمس دوائري!" ورد الجندي بطعنه بالسيف.

أفلاطونحصل على قيمة دقيقة إلى حد ما من pi لوقته - 3.146. لودولف فان زيلينأنفق عظممن حياته على حسابات أول 36 رقمًا بعد الفاصلة العشرية للبي ، وقد تم نقشها على شاهد قبره بعد الموت.

غير منطقي وغير طبيعي

وفقًا للبروفيسور ، في جميع الأوقات ، كان السعي وراء حساب المنازل العشرية الجديدة يتحدد بالرغبة في الحصول على القيمة الدقيقة لهذا الرقم. تم افتراض أن الرقم Pi منطقي ، وبالتالي يمكن التعبير عنه في صورة كسر بسيط. وهذا خطأ جوهري!

تحظى Pi أيضًا بشعبية لأنها صوفية. منذ العصور القديمة ، كان هناك دين عباد الثابت. بعيدا المعنى التقليدي Pi - ثابت رياضي (3.1415 ...) ، يعبر عن نسبة محيط الدائرة إلى قطرها ، وهناك الكثير من القيم الأخرى للرقم. هذه الحقائق غريبة. في عملية قياس الأبعاد الهرم الأكبرفي الجيزة ، اتضح أن لها نفس نسبة الارتفاع إلى محيط قاعدتها مثل نصف قطر الدائرة إلى طولها ، أي ½ pi.

إذا قمنا بحساب طول خط الاستواء للأرض باستخدام Pi حتى المكان العشري التاسع ، فإن الخطأ الحسابي يكون حوالي 6 مم فقط. تكفي 39 منزلة عشرية في الرقم Pi لحساب محيط دائرة تحيط بالمعروف الأجسام الفضائيةفي الكون بخطأ لا يزيد عن نصف قطر ذرة الهيدروجين!

تشارك دراسة Pi ، من بين أمور أخرى ، في التحليل الرياضي. الصورة: AIF / Nadezhda Uvarova

فوضى في الأرقام

وفقًا لأستاذ الرياضيات ، عام 1767 لامبرتأسس اللاعقلانية للرقم Pi ، أي استحالة تمثيله كنسبة من عددين صحيحين. هذا يعني أن تسلسل الأرقام العشرية لـ pi عبارة عن فوضى مجسدة في الأرقام. بمعنى آخر ، فإن "ذيل" المنازل العشرية يحتوي على أي رقم ، وأي تسلسل للأرقام ، وأي نصوص كانت موجودة وستكون ، ولكن لا يمكن استخراج هذه المعلومات!

يتابع فلاديمير إيليتش: "من المستحيل معرفة القيمة الدقيقة لـ Pi". لكن هذه المحاولات لم يتم التخلي عنها. في عام 1991 تشودنوفسكيحقق 2260000000 رقمًا عشريًا جديدًا للثابت ، وفي عام 1994 - 4044000000. بعد ذلك ، زاد عدد الأرقام الصحيحة من الرقم Pi مثل الانهيار الجليدي.

رجل صيني يحمل الرقم القياسي العالمي في حفظ باي ليو تشاوالذي تمكن من حفظ 67890 منزلة عشرية دون أخطاء وإعادة إنتاجها خلال 24 ساعة و 4 دقائق.

حول "القسم الذهبي"

بالمناسبة ، لم يتم إثبات الصلة بين "pi" وكمية أخرى مذهلة - النسبة الذهبية -. لاحظ الناس منذ فترة طويلة أن النسبة "الذهبية" - وهي أيضًا رقم Phi - والرقم Pi مقسومًا على اثنين يختلفان عن بعضهما البعض بنسبة أقل من 3٪ (1.61803398 ... و 1.57079632 ...). ومع ذلك ، بالنسبة للرياضيات ، تعتبر هذه الثلاثة بالمائة فرقًا كبيرًا جدًا لاعتبار هذه القيم متطابقة. بالطريقة نفسها ، يمكننا القول أن الرقم Pi والرقم Phi هما أقارب لثابت آخر معروف - رقم أويلر ، لأن جذره يقترب من نصف عدد Pi. ثانية واحدة من Pi تساوي 1.5708 ، و Phi تساوي 1.6180 ، وجذر E هو 1.6487.

هذا ليس سوى جزء من معنى Pi. الصورة: لقطة شاشة

عيد ميلاد باي

في جنوب الأورال جامعة الدولةيحتفل جميع المعلمين وطلاب الرياضيات بعيد ميلاد كونستانت. لقد كان الأمر دائمًا على هذا النحو - لا يمكن القول إن الاهتمام ظهر فقط في السنوات الاخيرة. تم الترحيب بالرقم 3.14 في حفل خاص بمناسبة الأعياد!

تم جمع هذه المقالة جداول الجيب وجيب التمام والظل والظل. أولاً ، نعطي جدولاً للقيم الأساسية للوظائف المثلثية ، أي جدول الجيب وجيب التمام والظلال ومظلات الزوايا 0 ، 30 ، 45 ، 60 ، 90 ، ... ، 360 درجة ( 0، π / 6، π / 4، π / 3، π / 2،…، 2πراديان). بعد ذلك ، سنقدم جدولًا بجيوب الجيب وجيب التمام ، بالإضافة إلى جدول الظل والظل التمام بواسطة V. M. Bradis ، ونوضح كيفية استخدام هذه الجداول عند إيجاد قيم الدوال المثلثية.

التنقل في الصفحة.

جدول الجيب وجيب التمام والظل والظل للزوايا 0 ، 30 ، 45 ، 60 ، 90 ، ... درجة

فهرس.

• الجبر:بروك. لـ 9 خلايا. متوسط المدرسة / Yu. ماكاريشيف ، إن جي مينديوك ، كي آي نيشكوف ، إس بي سوفوروفا ؛ إد. S. A. Telyakovsky. - M: Enlightenment، 1990. - 272 p: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
• باشماكوف م.الجبر وبداية التحليل: Proc. من 10 إلى 11 خلية. متوسط المدرسة - الطبعة الثالثة. - م: التنوير ، 1993. - 351 ص: مريض. - ردمك 5-09-004617-4.
• الجبروبداية التحليل: Proc. من 10 إلى 11 خلية. تعليم عام المؤسسات / A. N. Kolmogorov ، A. M. Abramov ، Yu. P. Dudnitsyn وآخرون ؛ إد. أ.ن.كولموغوروفا. - الطبعة 14. - م: التنوير ، 2004. - 384 ص: مريض - ISBN 5-09-013651-3.
• جوسيف ف.أ ، مردكوفيتش أ.الرياضيات (دليل للمتقدمين للمدارس الفنية): Proc. بدل. - م ؛ أعلى المدرسة ، 1984. - 351 ص. ، مريض.
• براديس في م.جداول رياضية من أربعة أرقام: للتعليم العام. كتاب مدرسي المؤسسات. - الطبعة الثانية. - م: بوستارد ، 1999. - 96 ص: مريض. ردمك 5-7107-2667-2