تكامل اجزاء. طريقة تكامل متكاملة غير محددة حسب الأجزاء

في السابق ، بالنسبة لدالة معينة ، مسترشدة بالصيغ والقواعد المختلفة ، وجدنا مشتقها. للمشتق تطبيقات عديدة: إنه سرعة الحركة (أو بشكل عام سرعة أي عملية) ؛ منحدر الظل للرسم البياني للوظيفة ؛ باستخدام المشتق ، يمكنك التحقق من وظيفة الرتابة والقيمة القصوى ؛ يساعد على حل مشاكل التحسين.

ولكن إلى جانب مشكلة إيجاد السرعة من قانون معروف للحركة ، توجد أيضًا مشكلة عكسية - مشكلة استعادة قانون الحركة من سرعة معروفة. لنفكر في إحدى هذه المشاكل.

مثال 1تتحرك نقطة مادية على طول خط مستقيم ، وتعطى سرعة حركتها في الوقت t بواسطة الصيغة v = gt. أوجد قانون الحركة.
المحلول. لنفترض أن s = s (t) هو قانون الحركة المطلوب. من المعروف أن s "(t) = v (t). لذلك ، لحل المشكلة ، تحتاج إلى اختيار دالة s = s (t) ، مشتقها يساوي gt. ومن السهل تخمين ذلك \ ( s (t) = \ frac (gt ^ 2) (2) \) بالفعل
\ (s "(t) = \ left (\ frac (gt ^ 2) (2) \ right)" = \ frac (g) (2) (t ^ 2) "= \ frac (g) (2) \ cdot 2t = gt \)
الجواب: \ (s (t) = \ frac (gt ^ 2) (2) \)

نلاحظ على الفور أن المثال تم حله بشكل صحيح ، ولكن بشكل غير كامل. لقد حصلنا على \ (s (t) = \ frac (gt ^ 2) (2) \). في الواقع ، تحتوي المشكلة على العديد من الحلول بشكل لا نهائي: أي دالة على الشكل \ (s (t) = \ frac (gt ^ 2) (2) + C \) ، حيث C ثابت تعسفي ، يمكن أن تكون بمثابة قانون الحركة ، منذ \ (\ left (\ frac (gt ^ 2) (2) + C \ right) "= gt \)

لجعل المشكلة أكثر تحديدًا ، كان علينا إصلاح الموقف الأولي: أشر إلى إحداثيات النقطة المتحركة في وقت ما ، على سبيل المثال ، عند t = 0. إذا ، على سبيل المثال ، s (0) = s 0 ، ثم من المساواة s (t) = (gt 2) / 2 + C نحصل على: s (0) = 0 + C ، أي C = s 0. الآن تم تعريف قانون الحركة بشكل فريد: s (t) = (gt 2) / 2 + s 0.

في الرياضيات ، يتم تعيين أسماء مختلفة للعمليات العكسية المتبادلة ، وتوصل إلى رموز خاصة ، على سبيل المثال: التربيع (x 2) واستخراج الجذر التربيعي (\ (\ sqrt (x) \)) ، الجيب (sin x) و arcsine ( arcsin x) وما إلى ذلك. تسمى عملية إيجاد المشتق فيما يتعلق بوظيفة معينة التفاضل، والعملية العكسية ، أي عملية إيجاد دالة بمشتق معين ، - دمج.

المصطلح "مشتق" نفسه يمكن تبريره "بطريقة دنيوية": الوظيفة y \ u003d f (x) "تنتج في العالم" وظيفة جديدة y "\ u003d f" (x). تعمل الوظيفة y \ u003d f (x) كما لو كانت "أحد الوالدين" ، لكن علماء الرياضيات ، بالطبع ، لا يسمونها "أحد الوالدين" أو "المنتج" ، بل يقولون إن هذا ، فيما يتعلق بالوظيفة y " = f "(x) ، الصورة الأساسية ، أو المشتقة العكسية.

تعريف.تسمى الوظيفة y = F (x) المشتق العكسي للدالة y = f (x) على الفاصل الزمني X إذا كانت \ (x \ في X \) تحقق المساواة F "(x) = f (x)

في الممارسة العملية ، لا يتم تحديد الفاصل الزمني X عادةً ، ولكنه ضمني (باعتباره المجال الطبيعي للوظيفة).

دعنا نعطي أمثلة.
1) الوظيفة y \ u003d x 2 هي مشتق عكسي للدالة y \ u003d 2x ، نظرًا لأن المساواة (x 2) "\ u003d 2x صحيحة لأي x
2) الوظيفة y \ u003d x 3 هي مشتق عكسي للدالة y \ u003d 3x 2 ، نظرًا لأن المساواة (x 3) "\ u003d 3x 2 صحيحة لأي x
3) الوظيفة y \ u003d sin (x) هي مشتق عكسي للوظيفة y \ u003d cos (x) ، لأن أي x المساواة (sin (x)) "= cos (x) صحيحة

عند البحث عن المشتقات العكسية ، وكذلك المشتقات ، لا يتم استخدام الصيغ فحسب ، بل يتم أيضًا استخدام بعض القواعد. ترتبط ارتباطًا مباشرًا بالقواعد المقابلة لحساب المشتقات.

نعلم أن مشتقة المجموع تساوي مجموع المشتقات. هذه القاعدة تولد القاعدة المقابلة لإيجاد المشتقات العكسية.

المادة 1المشتق العكسي لمجموع ما يساوي مجموع المشتقات العكسية.

نعلم أنه يمكن إخراج العامل الثابت من علامة المشتق. هذه القاعدة تولد القاعدة المقابلة لإيجاد المشتقات العكسية.

القاعدة 2إذا كانت F (x) مشتق عكسي لـ f (x) ، فإن kF (x) هو مشتق عكسي لـ kf (x).

نظرية 1.إذا كانت y = F (x) هي المشتق العكسي للدالة y = f (x) ، فإن المشتق العكسي للدالة y = f (kx + m) هو الدالة \ (y = \ frac (1) (k) F (ككس + م) \)

نظرية 2.إذا كانت y = F (x) مشتقة عكسية للدالة y = f (x) في الفترة X ، فإن الدالة y = f (x) لها عدد لا نهائي من المشتقات العكسية ، وكلها لها الصيغة y = F (x) + ج.

طرق التكامل

طريقة الاستبدال المتغير (طريقة الاستبدال)

تتكون طريقة تكامل الاستبدال من إدخال متغير تكامل جديد (أي استبدال). في هذه الحالة ، يتم تقليل التكامل المعطى إلى تكامل جديد ، يكون جدوليًا أو قابل للاختزال إليه. لا توجد طرق عامة لاختيار البدائل. يتم اكتساب القدرة على تحديد الاستبدال بشكل صحيح من خلال الممارسة.
دعه مطلوبًا لحساب \ (\ textstyle \ int F (x) dx \). لنقم باستبدال \ (x = \ varphi (t) \) حيث \ (\ varphi (t) \) هي دالة لها مشتق مستمر.
ثم \ (dx = \ varphi "(t) \ cdot dt \) وبناءً على خاصية الثبات في صيغة التكامل غير المحددة ، نحصل على صيغة تكامل الاستبدال:
\ (\ int F (x) dx = \ int F (\ varphi (t)) \ cdot \ varphi "(t) dt \)

تكامل التعبيرات مثل \ (\ textstyle \ int \ sin ^ n x \ cos ^ m x dx \)

إذا كانت m فردية ، و m> 0 ، فمن الأنسب إجراء التعويض sin x = t.
إذا كانت n فردية ، n> 0 ، فمن الأنسب إجراء التعويض cos x = t.
إذا كان n و m زوجي ، فمن الأنسب إجراء التعويض tg x = t.

تكامل اجزاء

التكامل بالأجزاء - تطبيق الصيغة التالية للتكامل:
\ (\ textstyle \ int u \ cdot dv = u \ cdot v - \ int v \ cdot du \)
أو:
\ (\ textstyle \ int u \ cdot v "\ cdot dx = u \ cdot v - \ int v \ cdot u" \ cdot dx \)

جدول التكاملات غير المحددة (المشتقات العكسية) لبعض الوظائف

$$ \ int 0 \ cdot dx = C $$ $$ \ int 1 \ cdot dx = x + C $$ $$ \ int x ^ n dx = \ frac (x ^ (n + 1)) (n + 1 ) + C \ ؛ \ ؛ (n \ neq -1) $$ $$ \ int \ frac (1) (x) dx = \ ln | x | + C $$ $$ \ int e ^ x dx = e ^ x + C $$ $$ \ int a ^ x dx = \ frac (a ^ x) (\ ln a) + C \؛ \؛ (a> 0، \؛ \؛ a \ neq 1) $$ $$ \ int \ cos x dx = \ sin x + C $$ $$ \ int \ sin x dx = - \ cos x + C $$ $ $ \ int \ frac (dx) (\ cos ^ 2 x) = \ text (tg) x + C $$ $$ \ int \ frac (dx) (\ sin ^ 2 x) = - \ text (ctg) x + C $$ $$ \ int \ frac (dx) (\ sqrt (1-x ^ 2)) = \ text (arcsin) x + C $$ $$ \ int \ frac (dx) (1 + x ^ 2 ) = \ text (arctg) x + C $$ $$ \ int \ text (ch) x dx = \ text (sh) x + C $$ $$ \ int \ text (sh) x dx = \ text (ch ) x + C $$

يتم إعطاء أمثلة على التكامل حسب أجزاء من تركيبة مماثلة لطلاب الدورتين الأولى والثانية. تم تعيين هذه المهام على أعمال التحكم في LNU. أنا فرانك. حتى لا تتكرر الصيغ في المهام والإجابات ، لن نصف المهام. وفقًا لحالة المهام ، تحتاج إما إلى "العثور على التكامل" أو "حساب التكامل".
مثال 8. نجد التكامل وفقًا لقاعدة التكامل بالأجزاء int (u * dv) = u * v-int (v * du). الشيء الرئيسي هنا هو اختيار الوظائف المناسبة للقاعدة. (لنفسك ، تذكر أنه بالنسبة لـ dv ، إذا أمكن ، اختر الوظائف الدورية أو تلك التي ، عند التفريق إلى عامل ما ، تعطي نفسها - الأس). في هذا التكامل ، تحتاج إلى وضع الجيب تحت التفاضل

مزيد من التكامل بسيط للغاية ولن نتطرق إلى التفاصيل.

مثال 9. مرة أخرى ، نحتاج إلى تطبيق قاعدة التكامل بالأجزاء u * dv. لدينا هنا حاصل ضرب دالة دورية بواسطة الأس ، لذا فالأمر متروك لك لاختيار ما هو الأفضل لإحضاره تحت التفاضل. يمكنك استخدام كل من الأس وجيب التمام (في كل حالة نحصل على صيغة عودية).

تطبيق التكامل بالأجزاء مرة أخرى

توصلنا إلى صيغة تكرارية. إذا كتبنا التكامل الذي كنا نبحث عنه ونتيجة العمليات الحسابية ، فسنحصل على حدين متشابهين

نقوم بتجميعها ونجد التكامل المطلوب


مثال 10. لدينا سجل جاهز للتكامل بموجب القاعدة u * dv. ابحث عن du وقم بإجراء التكامل


نقوم بتقليل التكامل الثاني تحت الصيغة الجدولية ونحسبه

مثال 11. أشير إليها بالمتغير الجديد cos (ln (x)) = u і أوجد du ، ثم أدخلها تحت التفاضل


على التكامل ، نطبق مرة أخرى قاعدة التكامل بالأجزاء


جاء إلى الصيغة العودية

التي نحسب بها التكامل المجهول

مثال 12. لإيجاد التكامل ، نختار مربعًا كاملًا في المقام. علاوة على ذلك ، باختزال المقام إلى صيغة التكامل المعروفة ، نحصل على قوس الظل


تذكر ترتيب تناوب المضاعفات. تظهر الوحدة مقسومة على جذر المصطلح الحر قبل الظل القوسي ، وهذا العامل موجود أيضًا في ظل القوس قبل المتغير.
مثال 13. نحن نتعامل مع تكامل مشابه ، فقط في المقام يكون الاعتماد التربيعي تحت الجذر. نختار المربع الكامل ونختزله إلى صيغة التكامل ، والتي تعطي اللوغاريتم


هذه أمثلة على عنصر التحكم أو الاختبارات. تذكر جيدًا مخططات التكامل الأساسية.
إذا لم تتمكن من حل التكامل بنفسك ، فاطلب المساعدة.

تُستخدم طريقة التكامل حسب الأجزاء بشكل أساسي عندما يتكون التكامل ونتج من عاملين من نوع معين. صيغة التكامل بالأجزاء هي:

يجعل من الممكن تقليل حساب تكامل معين
لحساب التكامل
، والذي اتضح أنه أبسط من المعطى.

يمكن تقسيم معظم التكاملات المحسوبة بطريقة التكامل بالأجزاء إلى ثلاث مجموعات:

1. تكاملات النموذج
,
,
، أين
- متعدد الحدود،
- رقم لا يساوي الصفر

في هذه الحالة ، من خلال تشير إلى كثير الحدود

.

2. تكاملات النموذج
,
,
,
,
، أين
هي كثيرة الحدود.

في هذه الحالة ، من خلال
عين
، والباقي من خلال التكامل :

3. تكاملات النموذج
,
، أين
- أعداد.

في هذه الحالة ، من خلال عين
وتطبيق صيغة التكامل على حدة مرتين ، والعودة كنتيجة إلى التكامل الأصلي ، وبعد ذلك يتم التعبير عن التكامل الأصلي من المساواة.

تعليق: في بعض الحالات ، لإيجاد تكامل معين ، يجب تطبيق صيغة التكامل على حدة عدة مرات. أيضًا ، يتم دمج طريقة التكامل حسب الأجزاء مع طرق أخرى.

المثال 26.

أوجد التكاملات بالطريقة بالأجزاء: أ)
؛ ب)
.

المحلول.

ب)

3.1.4. تكامل التوابع المنطقية الكسرية

دالة كسرية منطقية(الكسر المنطقي) دالة مساوية لنسبة اثنين من كثيرات الحدود:
، أين
هي درجة متعددة الحدود
,
هي درجة متعددة الحدود .

يسمى الكسر المنطقي صحيح، إذا كانت درجة كثير الحدود في البسط أقل من درجة كثير الحدود في المقام ، أي
خلاف ذلك (إذا
) يسمى كسر منطقي خاطئ - ظلم - يظلم.

يمكن تمثيل أي كسر منطقي غير فعلي كمجموع كثير الحدود
وكسر منطقي مناسب بقسمة البسط على المقام وفقًا لقاعدة قسمة كثيرات الحدود:

,

أين
هو الجزء الصحيح من القسمة ، هو جزء منطقي مناسب ،
- ما تبقى من التقسيم.

الكسور المنطقية المناسبة من النموذج:

أنا. ;

ثانيًا.
;

ثالثا.
;

رابعا.
,

أين ,,
,
,,,
هي أرقام حقيقية و
(أي أن المثلث التربيعي في المقام الثالث والرابع من الكسور ليس له جذور - المميز سالب) تسمى أبسط الكسور المنطقيةالأول والثاني والثالث والرابع أنواع.

تكامل الكسور البسيطة

يتم حساب تكاملات أبسط الكسور من أربعة أنواع على النحو التالي.

أنا)
.

II) ،
.

III) لدمج أبسط جزء من النوع III ، يتم تحديد مربع كامل في المقام ، ويتم إجراء الاستبدال
. التكامل بعد التعويض ينقسم إلى اثنين. يتم حساب التكامل الأول عن طريق استخراج مشتق المقام في البسط ، والذي يعطي تكاملًا جدوليًا ، ويتحول التكامل الثاني إلى النموذج
، لان
، والذي يعطي أيضًا جدولًا متكاملًا.

;

IV) لدمج أبسط جزء من النوع IV ، يتم تحديد مربع كامل في المقام ، ويتم إجراء الاستبدال
. التكامل بعد التعويض ينقسم إلى اثنين. يتم حساب التكامل الأول بالتعويض
، والثاني بمساعدة علاقات التكرار.

المثال 27.

أوجد تكاملات الكسور البسيطة:

أ)
؛ ب)
؛ في)
.

المحلول.

أ)
.

يمكن تمثيل أي كسر منطقي مناسب يمكن تحليل مقامه كمجموع من الكسور البسيطة. يتم التوسع في مجموع الكسور البسيطة بطريقة المعاملات غير المحددة. وهي كالاتي:

يتوافق مع جزء واحد من النموذج ;

- كل مضاعف للمقام
المبلغ المقابل كسور من النموذج

يتوافق مع جزء صغير من النموذج
;

- لكل عامل مربع للمقام
المبلغ المقابل كسور من النموذج

أين هي معاملات غير محددة.

لإيجاد معاملات غير محددة ، يتم تقليل الجانب الأيمن في شكل مجموع الكسور البسيطة إلى مقام مشترك وتحويله. النتيجة هي كسر مقامه في الجانب الأيسر من المعادلة. ثم تجاهل القواسم ومساواة البسط. والنتيجة هي مساواة في الهوية يكون فيها الجانب الأيسر متعدد الحدود مع معاملات معروفة ، والجانب الأيمن متعدد الحدود مع معاملات غير محددة.

هناك طريقتان لتحديد المعاملات غير المعروفة: طريقة المعاملات غير المؤكدة وطريقة القيم الجزئية.

طريقة المعاملات غير المحددة.

لان كثيرات الحدود متساوية بشكل متماثل ، فالمعامِلات متساوية عند نفس الأسس . معادلة المعاملات بنفس القوى في كثيرات الحدود للأجزاء اليمنى واليسرى ، نحصل على نظام من المعادلات الخطية. لحل النظام ، نحدد المعاملات غير المؤكدة.

طريقة القيمة الجزئية.

لان كثيرات الحدود متساوية بشكل متماثل ، وبالتالي ، يتم استبدالها بدلاً من على الجانبين الأيمن والأيسر لأي رقم ، نحصل على المساواة الصحيحة ، وهي خطية بالنسبة إلى المعاملات غير المعروفة. استبدال الكثير من القيم ، كم عدد المعاملات غير المعروفة ، نحصل على نظام المعادلات الخطية. بدلاً من يمكن استبدال أي أرقام في الجزأين الأيمن والأيسر ، ومع ذلك ، فمن الملائم استبدال جذور مقامات الكسور.

بعد إيجاد قيم المعاملات غير المعروفة ، يتم كتابة الكسر الأصلي كمجموع لأبسط الكسور في التكامل ويتم تنفيذ التكامل الذي تم اعتباره سابقًا على كل جزء بسيط.

مخطط التكامل الكسور المنطقية:

1. إذا كان التكامل غير صحيح ، فمن الضروري تمثيله كمجموع كثير الحدود وكسر منطقي مناسب (أي اقسم كثير حدود البسط على كثير الحدود مع باقي القسمة). إذا كان التكامل صحيحًا ، فسننتقل فورًا إلى الفقرة الثانية من المخطط.

2. حلل مقام كسر كسري سليم ، إن أمكن.

3. حلل كسرًا منطقيًا مناسبًا إلى مجموع الكسور المنطقية البسيطة باستخدام طريقة المعاملات غير المحددة.

4. قم بتكامل الناتج من الكسور متعددة الحدود والكسور البسيطة.

المثال 28.

أوجد تكاملات الكسور المنطقية:

أ)
؛ ب)
؛ في)
.

المحلول.

أ)
.

لان التكامل و هو كسر منطقي غير لائق ، ثم نختار الجزء الصحيح ، أي تمثيله على أنه مجموع كثير الحدود وكسر منطقي مناسب. اقسم كثير الحدود في البسط على كثير الحدود في المقام على زاوية.

سيأخذ التكامل الأصلي الشكل:
.

نقوم بتوسيع الكسر المنطقي المناسب إلى مجموع الكسور البسيطة باستخدام طريقة المعاملات غير المحددة:

، نحن نحصل:

لحل نظام المعادلات الخطية ، نحصل على قيم المعاملات غير المؤكدة: لكن = 1; في = 3.

ثم يكون للتوسع المطلوب الشكل:
.

=
.

ب)
.

.

نتجاهل القواسم ونساوي الجانبين الأيمن والأيسر:

معادلة المعاملات بنفس القوى ، نحصل على النظام:

لحل نظام من خمس معادلات خطية ، نجد معاملات غير مؤكدة:

.

لنجد التكامل الأصلي ، مع الأخذ في الاعتبار التوسع الناتج:

.

في)
.

نقوم بتوسيع التكامل (الكسر المنطقي المناسب) في مجموع الكسور البسيطة باستخدام طريقة المعاملات غير المحددة. نبحث عن تحلل في الشكل:

.

بالاختزال إلى قاسم مشترك ، نحصل على:

نتجاهل القواسم ونساوي الجانبين الأيمن والأيسر:

لإيجاد معاملات غير مؤكدة ، نستخدم طريقة القيم الجزئية. هيا نعطي القيم الجزئية التي تختفي عندها العوامل ، أي نستبدل هذه القيم في التعبير الأخير ونحصل على ثلاث معادلات:

;
;

;
;

;
.

ثم يكون للتوسع المطلوب الشكل:

لنجد التكامل الأصلي ، مع الأخذ في الاعتبار التوسع الناتج:

لا يتجزأ من وظيفة مستمرة F(x) في الفترة المحددة [ أ, ب] (حيث) هي الزيادة في بعض مشتقاتها العكسية في هذا المقطع. (بشكل عام ، سيكون الفهم أسهل بشكل ملحوظ إذا كررت موضوع التكامل غير المحدد) في هذه الحالة ،

كما يتضح من الرسوم البيانية أدناه (تتم الإشارة إلى زيادة الدالة العكسية بواسطة) ، يمكن أن يكون التكامل المحدد موجبًا أو سالبًا.(يتم حسابه على أنه الفرق بين قيمة المشتق العكسي في الحد الأعلى وقيمته في الحد الأدنى ، أي F(ب) - F(أ)).

أعداد أو بتسمى الحدود الدنيا والعليا للتكامل ، على التوالي ، والفاصل الزمني [ أ, ب] هو جزء من التكامل.

وهكذا ، إذا F(x) هي بعض الوظائف العكسية لـ F(x) ، ثم حسب التعريف ،

(38)

المساواة (38) يسمى صيغة نيوتن ليبنيز . فرق F(ب) – F(أ) مكتوب بإيجاز مثل هذا:

لذلك ، ستتم كتابة صيغة نيوتن-ليبنيز على النحو التالي:

(39)

دعنا نثبت أن التكامل المحدد لا يعتمد على المشتقة العكسية للمتكامل الذي يتم أخذه عند حسابه. يترك F(x) و F ( X) هي مشتقات تعسفية معاكسة للتكامل المتكامل. نظرًا لأن هذه مشتقات عكسية لنفس الوظيفة ، فإنها تختلف بمصطلح ثابت: ( X) = F(x) + ج. لهذا

وهكذا ، ثبت أنه في الجزء [ أ, ب] الزيادات في جميع المشتقات العكسية للدالة F(x) مباراة.

وبالتالي ، لحساب التكامل المحدد ، من الضروري إيجاد أي مشتق عكسي للتكامل ، أي تحتاج أولاً إلى إيجاد التكامل غير المحدد. مستمر من مستبعدة من الحسابات اللاحقة. ثم يتم تطبيق صيغة Newton-Leibniz: يتم استبدال قيمة الحد الأعلى في دالة المشتقة العكسية ب , كذلك - قيمة الحد الأدنى أ وحساب الفرق و (ب) - و (أ) . سيكون الرقم الناتج جزءًا لا يتجزأ..

في أ = بمقبولة بالتعريف

مثال 1

المحلول. لنجد التكامل غير المحدد أولاً:

تطبيق صيغة Newton-Leibniz على المشتق العكسي

(في من= 0) نحصل عليها

ومع ذلك ، عند حساب تكامل محدد ، من الأفضل عدم إيجاد المشتق العكسي بشكل منفصل ، ولكن كتابة التكامل على الفور بالصيغة (39).

مثال 2احسب تكامل محدد

المحلول. باستخدام الصيغة

خصائص التكامل المحدد

نظرية 2.لا تعتمد قيمة التكامل المحدد على تعيين متغير التكامل، بمعنى آخر.

(40)

يترك F(x) مشتق عكسي لـ F(x). إلى عن على F(ر) المشتق العكسي هو نفس الوظيفة F(ر) ، حيث يتم الإشارة إلى المتغير المستقل بشكل مختلف. بالتالي،

بناءً على الصيغة (39) ، فإن المساواة الأخيرة تعني مساواة التكاملات

نظرية 3.يمكن إخراج العامل الثابت من علامة التكامل المحدد، بمعنى آخر.

(41)

نظرية 4.التكامل المحدد للمجموع الجبرية لعدد محدد من الوظائف يساوي المجموع الجبري للتكاملات المحددة لهذه الوظائف، بمعنى آخر.

(42)

نظرية 5.إذا تم تقسيم جزء التكامل إلى أجزاء ، فإن التكامل المحدد على المقطع بأكمله يساوي مجموع التكاملات المحددة على أجزائه، بمعنى آخر. إذا

(43)

نظرية 6.عند إعادة ترتيب حدود التكامل ، لا تتغير القيمة المطلقة للتكامل المحدد ، بل تتغير علامته فقط، بمعنى آخر.

(44)

نظرية 7(يعني نظرية القيمة). التكامل المحدد يساوي حاصل ضرب طول مقطع التكامل وقيمة التكاملاند في نقطة ما بداخله، بمعنى آخر.

(45)

نظرية 8.إذا كان حد التكامل الأعلى أكبر من الحد الأدنى وكان التكامل غير سالب (موجب) ، فإن التكامل المحدد يكون أيضًا غير سالب (موجب) ، أي إذا

نظرية 9.إذا كان الحد الأعلى للتكامل أكبر من الحد الأدنى والدوال ومستمر ، فإن المتباينة

يمكن أن تكون متكاملة مصطلحًا تلو الآخر، بمعنى آخر.

(46)

تسمح لنا خصائص التكامل المحدد بتبسيط الحساب المباشر للتكاملات.

مثال 5احسب تكامل محدد

باستخدام النظريات 4 و 3 ، وعند إيجاد المشتقات العكسية - التكاملات الجدولية (7) و (6) ، نحصل على

لا يتجزأ مع حد أعلى متغير

يترك F(x) مستمر على القطعة [ أ, ب] وظيفة و F(x) هو نموذجها الأولي. ضع في اعتبارك التكامل المحدد

(47)

ومن خلال ريتم الإشارة إلى متغير التكامل حتى لا يتم الخلط بينه وبين الحد الأعلى. عندما يتغير Xالتكامل المحدد (47) يتغير أيضًا ، أي ، إنها دالة في الحد الأعلى للتكامل X، والتي نشير بها F(X)، بمعنى آخر.

(48)

دعونا نثبت أن الوظيفة F(X) مشتق عكسي لـ F(x) = F(ر). في الواقع ، التفريق F(X)، نحن نحصل

لان F(x) مشتق عكسي لـ F(x)، أ F(أ) هي قيمة ثابتة.

دور F(X) هي واحدة من مجموعة لا حصر لها من المشتقات العكسية لـ F(x) ، وهي تلك التي x = أيذهب إلى الصفر. يتم الحصول على هذا البيان إذا وضعنا في المساواة (48) x = أواستخدم النظرية 1 من القسم السابق.

حساب التكاملات المحددة بطريقة التكامل بالأجزاء وطريقة تغيير المتغير

حيث ، بحكم التعريف ، F(x) مشتق عكسي لـ F(x). إذا قمنا بتغيير المتغير في التكامل

إذن ، وفقًا للصيغة (16) ، يمكننا الكتابة

في هذا التعبير

الوظيفة العكسية ل

في الواقع ، مشتقها ، وفقًا لـ قاعدة اشتقاق دالة معقدة، مساوي ل

دع α و هما قيم المتغير ر، التي من أجلها الوظيفة

يأخذ القيم على التوالي أو ب، بمعنى آخر.

لكن وفقًا لصيغة نيوتن-لايبنيز ، الفرق F(ب) – F(أ) يوجد

تكامل اجزاء- طريقة مستخدمة لحل التكاملات المحددة وغير المحددة ، عندما يكون من السهل تكامل أحد التكاملات والآخر قابل للاشتقاق. طريقة شائعة إلى حد ما لإيجاد التكاملات ، غير محددة وغير محددة. العلامة الرئيسية عندما تحتاج إلى استخدامها هي بعض الوظائف التي تتكون من منتج من وظيفتين لا يمكن دمجهما بدون نقطة.

معادلة

من أجل استخدام هذه الطريقة بنجاح ، من الضروري فك الصيغ وتعلمها.

صيغة التكامل بالأجزاء في التكامل غير المحدد هي:

$$ \ int udv = uv - \ int vdu $$

صيغة التكامل بالأجزاء في تكامل محدد هي:

$$ \ int \ limits_ (a) ^ (b) udv = uv \ bigg | _ (a) ^ (b) - \ int \ limits_ (a) ^ (b) vdu $$

أمثلة الحل

دعنا نفكر عمليًا في أمثلة لحلول التكامل حسب الأجزاء ، والتي غالبًا ما يقدمها المعلمون في الاختبارات. لاحظ أنه تحت رمز التكامل هو نتاج وظيفتين. هذه علامة على أن هذه الطريقة مناسبة للحل.

مثال 1

أوجد التكامل $ \ int xe ^ xdx $

المحلول

نرى أن التكامل يتكون من وظيفتين ، إحداهما ، عند التفاضل ، تتحول فورًا إلى وحدة ، والأخرى تتكامل بسهولة. لحل التكامل ، نستخدم طريقة التكامل بالأجزاء. دع $ u = x \ rightarrow du = dx $ و $ dv = e ^ x dx \ rightarrow v = e ^ x $ نعوض بالقيم التي تم العثور عليها في صيغة التكامل الأولى ونحصل على: $$ \ int xe ^ x dx = xe ^ x - \ int e ^ x dx = xe ^ x - e ^ x + C $$ إذا لم تتمكن من حل مشكلتك ، فأرسلها إلينا. سوف نقدم حلا مفصلا. ستكون قادرًا على التعرف على تقدم الحساب وجمع المعلومات. سيساعدك هذا في الحصول على رصيد من المعلم في الوقت المناسب!

إجابه

$$ \ int xe ^ x dx = xe ^ x - e ^ x + C $$

مثال 4

احسب التكامل $ \ int \ limits_0 ^ 1 (x + 5) 3 ^ x dx $

المحلول

بالتشابه مع الأمثلة التي تم حلها سابقًا ، سنكتشف الوظيفة التي يجب تكاملها بدون مشاكل ، والتي يجب التفريق بينها. يرجى ملاحظة أنه إذا قمت بالاشتقاق $ (x + 5) $ ، فسيتم تحويل هذا التعبير تلقائيًا إلى الوحدة ، والتي ستكون "في متناول اليد" بالنسبة لنا. لنفعل هذا كشاعر: $$ u = x + 5 \ rightarrow du = dx، dv = 3 ^ x dx \ rightarrow v = \ frac (3 ^ x) (ln3) $$ الآن تم العثور على جميع الوظائف غير المعروفة ويمكن وضعها في صيغة التكامل الثانية لأجزاء التكامل المحدد. $$ \ int \ limits_0 ^ 1 (x + 5) 3 ^ x dx = (x + 5) \ frac (3 ^ x) (\ ln 3) \ bigg | _0 ^ 1 - \ int \ limits_0 ^ 1 \ frac (3 ^ x dx) (\ ln 3) = $$ $$ = \ frac (18) (\ ln 3) - \ frac (5) (\ ln 3) - \ frac (3 ^ x) (\ ln ^ 2 3) \ bigg | _0 ^ 1 = \ frac (13) (\ ln 3) - \ frac (3) (\ ln ^ 2 3) + \ frac (1) (\ ln ^ 2 3) = \ frac (13) (\ ln 3 ) - \ frac (4) (\ ln ^ 2 3) $$

إجابه

$$ \ int \ limits_0 ^ 1 (x + 5) 3 ^ x dx = \ frac (13) (\ ln 3) - \ frac (4) (\ ln ^ 2 3) $$