استخدام طريقة المربعات الصغرى للتقريب. تقريب البيانات الأولية بالاعتماد الخطي
عمل الدورة
الانضباط: المعلوماتية
الموضوع: تقريب دالة بطريقة المربعات الصغرى
مقدمة
1. بيان المشكلة
الحساب باستخدام الجداول التي تم إجراؤها عن طريق الوسائل مايكروسوفت اكسل
مخطط الخوارزمية
الحساب في MathCad
النتائج الخطية
عرض النتائج في شكل رسوم بيانية
مقدمة
الغرض من عمل الدورة هو تعميق المعرفة بعلوم الكمبيوتر وتطوير وتوحيد المهارات في العمل مع جدول البيانات Microsoft Excel و منتج البرنامج MathCAD وتطبيقها لحل المشاكل باستخدام جهاز كمبيوتر من موضوع النقاشالمتعلقة بالبحث.
التقريب (من اللاتينية "التقريبية" - "النهج") - تعبير تقريبي لأي كائنات رياضية(على سبيل المثال ، الأرقام أو الوظائف) من خلال أخرى أبسط وأسهل في الاستخدام أو ببساطة معروفة بشكل أفضل. في بحث علمييُستخدم التقريب لوصف النتائج التجريبية وتحليلها وتعميمها وزيادة استخدامها.
كما هو معروف ، يمكن أن تكون هناك علاقة (وظيفية) دقيقة بين القيم ، عندما تتوافق قيمة واحدة من الوسيطة مع قيمة واحدة محددة ، وعلاقة (ارتباط) أقل دقة ، عندما تتوافق قيمة معينة من الوسيطة مع قيمة تقريبية أو مجموعة من قيم الوظائف التي تكون قريبة إلى حد ما من بعضها البعض. عند إجراء بحث علمي أو معالجة نتائج ملاحظة أو تجربة ، عادة ما يتعين عليك التعامل مع الخيار الثاني.
عند دراسة التبعيات الكمية لمختلف المؤشرات ، والتي يتم تحديد قيمها تجريبياً ، كقاعدة عامة ، هناك بعض التباين. يتم تحديده جزئيًا من خلال عدم تجانس الكائنات المدروسة ذات الطبيعة غير الحية ، وخاصة الطبيعة الحية ، وجزئيًا من خلال خطأ الملاحظة والمعالجة الكمية للمواد. ليس من الممكن دائمًا التخلص من المكون الأخير تمامًا ؛ لا يمكن تصغيره إلا باختيار دقيق لطريقة بحث مناسبة ودقة العمل. لذلك ، عند إجراء أي عمل بحثي ، تنشأ مشكلة تحديد الطبيعة الحقيقية لاعتماد المؤشرات المدروسة ، هذه الدرجة أو تلك التي يخفيها إهمال التباين: القيم. لهذا ، يتم استخدام التقريب - وصف تقريبي لاعتماد المتغيرات على الارتباط بواسطة معادلة اعتماد وظيفية مناسبة تنقل الاتجاه الرئيسي للاعتماد (أو "اتجاهه").
عند اختيار تقريب ، ينبغي للمرء أن ينطلق من المهمة المحددة للدراسة. عادة ، كلما كانت المعادلة المستخدمة للتقريب أبسط ، كلما كان الوصف الذي تم الحصول عليه للاعتماد أكثر تقريبية. لذلك ، من المهم قراءة مدى أهمية وما سبب انحرافات قيم معينة عن الاتجاه الناتج. عند وصف التبعية تجريبياً قيم معينةيمكن تحقيق دقة أكبر بكثير باستخدام بعض أكثر تعقيدًا ، كثيرًا المعادلة البارامترية. ومع ذلك ، لا فائدة من محاولة نقل انحرافات عشوائية للقيم في سلسلة محددة من البيانات التجريبية بأقصى قدر من الدقة. من الأهم بكثير فهم النمط العام ، الذي في هذه القضيةالأكثر منطقية ودقة مقبولة يتم التعبير عنها على وجه التحديد من خلال المعادلة ذات المعلمتين وظيفة الطاقة. وبالتالي ، عند اختيار طريقة التقريب ، يقوم الباحث دائمًا بالتسوية: يقرر إلى أي مدى في هذه الحالة يكون من الملائم والملائم "التضحية" بالتفاصيل ، وبالتالي ، كيف ينبغي التعبير عن اعتماد المتغيرات المقارنة المعممة. جنبا إلى جنب مع تحديد الأنماط المقنعة انحرافات عشوائيةأدلة تجريبية من النمط العام، فإن التقريب يسمح أيضًا بحل العديد من الأشياء الأخرى مهام مهمة: إضفاء الطابع الرسمي على الاعتماد الموجود ؛ تجد قيم غير معروفةالمتغير التابع عن طريق الاستيفاء أو ، إذا أمكن ، الاستقراء.
في كل مهمة ، تتم صياغة شروط المشكلة ، البيانات الأولية ، نموذج إصدار النتائج ، يشار إلى التبعيات الرياضية الرئيسية لحل المشكلة. وفقًا لطريقة حل المشكلة ، تم تطوير خوارزمية الحل ، والتي يتم تقديمها في شكل رسوم بيانية.
1. بيان المشكلة
1. باستخدام طريقة المربعات الصغرى ، قم بتقريب الوظيفة الواردة في الجدول:
أ) كثير الحدود من الدرجة الأولى ؛
ب) كثير الحدود من الدرجة الثانية.
ج) الاعتماد الأسي.
لكل تبعية ، احسب معامل الحتمية.
احسب معامل الارتباط (فقط في حالة أ).
ارسم خط اتجاه لكل تبعية.
باستخدام دالة LINEST احسب الخصائص العدديةاعتمادا علي.
قارن حساباتك بالنتائج التي تم الحصول عليها باستخدام دالة LINEST.
حدد أي من الصيغ أفضل طريقةيقترب من الوظيفة.
اكتب برنامجًا بإحدى لغات البرمجة وقارن نتائج الحساب مع تلك التي تم الحصول عليها أعلاه.
الخيار 3. الوظيفة معطاة في الجدول. واحد.
الجدول 1.
xyxyxyxy0.281.052.349.113.3329.434.2386.445.55187.540.872.872.6516.863.4137.454.8390.856.32200.451.656.432.7717.973.5542.444.9299.066.66212.971.998.962.8318.993.8204.083.088.962.8318.993.8204.083.083.2386.445.55187.540.872.872.6516.863.445.55187.540.872.872.6516.863. 25321.43
2. معادلات الحساب
في كثير من الأحيان ، عند تحليل البيانات التجريبية ، يصبح من الضروري إيجاد علاقة وظيفية بين قيم x و y ، والتي يتم الحصول عليها نتيجة للخبرة أو القياسات.
شي ( متغير مستقل) بواسطة المجرب ، ويتم الحصول على yi ، التي تسمى القيم التجريبية أو التجريبية ، كنتيجة للتجربة.
عادة ما يكون الشكل التحليلي للاعتماد الوظيفي الموجود بين القيمتين x و y غير معروف ، لذلك تنشأ مهمة مهمة عمليًا - للعثور على صيغة تجريبية
(أين هي المعلمات) ، والتي ربما تختلف قيمها قليلاً عن القيم التجريبية.
وفقًا لطريقة المربعات الصغرى ، فإن أفضل المعاملات هي تلك التي يكون فيها مجموع الانحرافات التربيعية للدالة التجريبية الموجودة من نقاط الضبطستكون الوظائف ضئيلة.
استخدام شرط ضروريأقصى قيمة لدالة من عدة متغيرات - المساواة مع صفر من المشتقات الجزئية ، ابحث عن مجموعة من المعاملات التي تقدم الحد الأدنى للدالة المحددة بواسطة الصيغة (2) واحصل على النظام العاديلتحديد المعاملات:
وبالتالي ، فإن إيجاد المعاملات يقلل من حل النظام (3).
نوع النظام (3) يعتمد على أي فئة الصيغ التجريبيةنحن نبحث عن التبعية (1). في حالة الاعتماد الخطي ، سيأخذ النظام (3) الشكل:
في حالة الاعتماد التربيعي ، سيأخذ النظام (3) الشكل:
في بعض الحالات ، كصيغة تجريبية ، يتم أخذ دالة تدخل فيها معاملات غير مؤكدة بشكل غير خطي. في هذه الحالة ، في بعض الأحيان يمكن أن تكون المشكلة خطية ، أي تصغير إلى خطي. من بين هذه التبعيات هو الاعتماد الأسي
حيث a1 و a2 معاملات غير معرّفة.
يتم تحقيق الخطية بأخذ لوغاريتم المساواة (6) ، وبعد ذلك نحصل على العلاقة
يمكن كتابة الدلالة و ، على التوالي ، بواسطة ثم التبعية (6) بالشكل الذي يسمح لنا بتطبيق الصيغ (4) مع استبدال a1 بـ و بواسطة.
الرسم البياني للاعتماد الوظيفي المستعاد y (x) بناءً على نتائج القياسات (xi، yi)، i = 1،2،…، n يسمى منحنى الانحدار. للتحقق من توافق منحنى الانحدار مع نتائج التجربة ، يتم عادة تقديم الخصائص العددية التالية: معامل الارتباط (الاعتماد الخطي) ، ونسبة الارتباط ، ومعامل الحتمية.
معامل الارتباط هو مقياس للعلاقة الخطية بين التابع المتغيرات العشوائية: يوضح كيف يمكن ، في المتوسط ، تمثيل إحدى الكميتين كدالة خطية للآخر.
يتم حساب معامل الارتباط بالصيغة:
أين هو المتوسط قيمة حسابيةعلى التوالي في x ، y.
معامل الارتباط بين المتغيرات العشوائية لا يتجاوز 1 في القيمة المطلقة ، وكلما اقتربنا من 1 كلما اقتربنا اتصال خطيبين x و y.
في حالة الارتباط غير الخطي ، توجد قيم المتوسط الشرطي بالقرب من الخط المنحني. في هذه الحالة ، كخاصية لقوة الاتصال ، يوصى باستخدام نسبة الارتباط ، التي لا يعتمد تفسيرها على نوع الاعتماد قيد الدراسة.
يتم حساب نسبة الارتباط بالصيغة:
حيث يميز البسط تشتت المتوسطات الشرطية حول المتوسط غير المشروط.
دائما. المساواة = تقابل المتغيرات العشوائية غير المترابطة ؛ = إذا وفقط إذا كانت هناك علاقة وظيفية دقيقة بين x و y. في حالة الاعتماد الخطي لـ y على x ، تتزامن نسبة الارتباط مع مربع معامل الارتباط. يتم استخدام القيمة كمؤشر على انحراف الانحدار عن الخطية.
نسبة الارتباط هي مقياس للارتباط y c x بأي شكل من الأشكال ، ولكن لا يمكن أن تعطي فكرة عن درجة قرب البيانات التجريبية من نموذج خاص. لمعرفة مدى دقة المنحنى المركب يعكس البيانات التجريبية ، يتم تقديم خاصية أخرى - معامل التحديد.
حيث سوست = - اضطرابات الصدمةالمربعات التي تميز انحراف البيانات التجريبية عن النظرية. المبلغ الإجماليالمربعات ، حيث يكون متوسط القيمة yi.
مجموع الانحدار للمربعات التي تميز انتشار البيانات.
أصغر مجموع المربعات المتبقية مقارنة المبلغ الكليالساحات والموضوعات المزيد من القيمةمعامل الحتمية r2 ، والذي يوضح مدى جودة المعادلة التي تم الحصول عليها باستخدام تحليل الانحداريشرح العلاقات بين المتغيرات. إذا كانت تساوي 1 ، فهناك ارتباط كامل مع النموذج ، أي لا يوجد فرق بين قيم y الفعلية والمقدرة. خلاف ذلك ، إذا كان معامل الحتمية هو 0 ، فإن معادلة الانحدار تفشل في التنبؤ بقيم y.
لا يتجاوز معامل الحتمية دائمًا نسبة الارتباط. في حالة استيفاء المساواة ، يمكننا أن نفترض أن الصيغة التجريبية المبنية تعكس بدقة أكبر البيانات التجريبية.
3. تم الحساب باستخدام الجداول باستخدام Microsoft Excel
للحسابات ، من المستحسن ترتيب البيانات في شكل جدول 2 باستخدام الوسائل معالج جداول البياناتمايكروسوفت اكسل.
الجدول 2
ABCDEFGHI10،281،050،07840،2940،0219520،0061470،082320،048790،01366120،872،870،75692،49690،6585030،5728982،1723031،0543120،91725131،656،1217،4225 998،963،960117،83047،88059915،6823935،48252،192774،36361352،088،084،326416،80648،99891218،7177434،957312،0893924،34593562،349،115،4721،317412،812929 867،022544،67918،6096349،31551118،39942،8249447،48610182،7717،977،672949،776921،2539358،87339137،8822،8887048،00170992،8318،998،008953،741722،2421564، 331272103،0623،759،363672،67528،6526287،677222،38553،1675839،692803113،3329،4311،088998،001936،92604122،9637326،34633،38201511،26211123،4137،45211، 47233،62300712،35445133،5542،4412،6025150،66244،73888158،823534،85013،74809113،30572143،8556،9414،8225219،21957،06663219،7065843،99324،04199815،0175169 4812258،56961207،2944،31855417،3174164،2386،4417،8929365،641275،68697320،15591546،6624،45945 118،86348174،8390،8523،3289438،8055112،6786544،23762119،4314،5092121،77948184،9299،0624،2064487،3752 99533182،2414،79123524،62695205،23139،6527،3529730،3695143،0557748،18113819،8324،93913925،8317215،55187،5430،80251040،847170،9539948،7945776،7015،23399229 844252،4361595،3958006،4545،30056533،49957236،66212،9744،35561418،38295،40831967،4199446،4125،36115135،70527247،13275،7450،83691966،026362،4671971258439 4352.56252330.368381.07812762.81616895.165.7727841.852652695.932089.99453.310511850.652417.56813982.9971327.3490.97713415.0797 دعونا نشرح كيف يتم تجميع الجدول 2. الخطوة 1. في الخلايا A1: A25 نقوم بإدخال القيم xi. الخطوة 2. في الخلايا B1: B25 نقوم بإدخال قيم yi. الخطوة 3. في الخلية C1 ، أدخل الصيغة = A1 ^ 2. الخطوة 4. يتم نسخ هذه الصيغة في الخلايا C1: C25. الخطوة 5. في الخلية D1 ، أدخل الصيغة = A1 * B1. الخطوة 6. يتم نسخ هذه الصيغة في الخلايا D1: D25. الخطوة 7. في الخلية F1 ، أدخل الصيغة = A1 ^ 4. الخطوة 8. في الخلايا F1: F25 ، يتم نسخ هذه الصيغة. الخطوة 9. في الخلية G1 ، أدخل الصيغة = A1 ^ 2 * B1. الخطوة 10. يتم نسخ هذه الصيغة في الخلايا G1: G25. الخطوة 11. في الخلية H1 ، أدخل الصيغة = LN (B1). الخطوة 12. يتم نسخ هذه الصيغة في الخلايا H1: H25. الخطوة 13. في الخلية I1 ، أدخل الصيغة = A1 * LN (B1). الخطوة 14. يتم نسخ هذه الصيغة في الخلايا I1: I25. نقوم بالخطوات التالية باستخدام الجمع التلقائي س .
الخطوة 15. في الخلية A26 ، أدخل الصيغة = SUM (A1: A25). الخطوة 16. في الخلية B26 ، أدخل الصيغة = SUM (B1: B25). الخطوة 17. في الخلية C26 ، أدخل الصيغة = SUM (C1: C25). الخطوة 18. في الخلية D26 ، أدخل الصيغة = SUM (D1: D25). الخطوة 19. في الخلية E26 ، أدخل الصيغة = SUM (E1: E25). الخطوة 20. في الخلية F26 ، أدخل الصيغة = SUM (F1: F25). الخطوة 21. في الخلية G26 ، أدخل الصيغة = SUM (G1: G25). الخطوة 22. في الخلية H26 ، أدخل الصيغة = SUM (H1: H25). الخطوة 23. في الخلية I26 ، أدخل الصيغة = SUM (I1: I25). نحن نقترب من الوظيفة دالة خطية. لتحديد المعاملات ونستخدم النظام (4). باستخدام مجاميع الجدول 2 ، الموجود في الخلايا A26 و B26 و C26 و D26 ، نكتب النظام (4) على النحو التالي لحل أي منها ، نحصل على و. تم حل النظام بطريقة كرامر. جوهرها على النحو التالي. ضع في اعتبارك نظام n جبري المعادلات الخطيةمع n مجهولة: محدد النظام هو محدد مصفوفة النظام: دلالة - المحدد الذي سيتم الحصول عليه من محدد النظام Δ عن طريق استبدال العمود j بالعمود وبالتالي ، فإن التقريب الخطي له الشكل نقوم بحل النظام (11) باستخدام أدوات Microsoft Excel. النتائج معروضة في الجدول 3. الجدول 3 ABCDE282595.932089.992995.93453.310511850.653031 في الجدول 3 ، تحتوي الخلايا A32: B33 على الصيغة (= MOBR (A28: B29)). تحتوي الخلايا E32: E33 على الصيغة (= MULTI (A32: B33) ، (C28: C29)). بعد ذلك ، نقوم بتقريب الوظيفة وظيفة من الدرجة الثانية. لتحديد المعاملات a1 و a2 و a3 ، نستخدم النظام (5). باستخدام مجاميع الجدول 2 ، الموجود في الخلايا A26 ، B26 ، C26 ، D26 ، E26 ، F26 ، G26 ، نكتب النظام (5) على النحو التالي لحل ذلك ، نحصل على a1 = 10.663624 و وبالتالي ، فإن التقريب التربيعي له الشكل نقوم بحل النظام (16) باستخدام أدوات Microsoft Excel. النتائج معروضة في الجدول 4. الجدول 4 ABCDEF362595،93453،31052089،993795،93453،31052417،56811850،65538453،31052417،56813982،9971327،3453940Обратная матрица410،632687-0،314390،0338 924512430.033846-0.021710.002728a3 = 8.0272305
في الجدول 4 ، تحتوي الخلايا A41: C43 على الصيغة (= MOBR (A36: C38)). تحتوي الخلايا F41: F43 على الصيغة (= MMULT (A41: C43) ، (D36: D38)). الآن نقرب الدالة بدالة أسية. لتحديد المعاملات وأخذ لوغاريتم القيم ، وباستخدام مجاميع الجدول 2 ، الموجود في الخلايا A26 و C26 و H26 و I26 ، نحصل على النظام حل نظام (18) نحصل عليه و. بعد التقوية ، نحصل عليها وبالتالي ، فإن التقريب الأسي له الشكل نقوم بحل النظام (18) باستخدام أدوات Microsoft Excel. النتائج معروضة في الجدول 5. الجدول 5 BCDEF462595.9390.977134795.93453.3105415.07974849 معكوس المصفوفة = 0.667679 500.212802-0.04503a2 = 0.774368 51-0.045030.011736a1 = 1.949707
تحتوي الخلايا A50: B51 على الصيغة (= MOBR (A46: B47)). تحتوي الخلية E51 على الصيغة = EXP (E49). احسب الوسط الحسابي والصيغ: يتم عرض نتائج الحساب وأدوات Microsoft Excel في الجدول 6. الجدول 6 BC54Xav = 3.837255Yav = 83.5996 تحتوي الخلية B54 على الصيغة = A26 / 25. تحتوي الخلية B55 على الصيغة = B26 / 25 الجدول 7 ABJKLMNO10،281،05293،645412،653676814،4365987،97624،444081،88177520،872،87239،54098،8042766517،2682774،7226،7334610،91071731،656،43168،4853458 998،96137،87433،4121485571،0770،7358817،368220،02062652،088،08132،7033،0877525703،2112،138714،2039422،82478262،349،11111،52582،2416085548،70151،4882 8679،233251،4094444454،174178،5730،000622،83382582،7717،9770،039911،1389164307،244311،46313،4777091،73059692،8318،9965،074791،0144524174،4373،215،7914، 515110،604043581،975620،344117،375498،423061113،3329،4327،474820،2572522934،346983،819852،2462113،94466123،4137،4519،715110،18252129،781025،1190914 0824841694،113797،89844،861044143،3219143،8556،94-0،341240،000164710،7343741،750،023142342،3946154،0175،08-1،472190،0298672،58358265،3212126،000167994،925 1157090.1542928.067872219.6288148.75781214.778174.8390.857 1،172456239،0241103،718163،9776121،868195،14120،4548،00871،6972881357،952471،908425،17881258،6007205،23139،6578،0671،9398923141،64743،1629470،45821585769 93368410803،61725،38421200،5291951،06226،32200،45290،11626،16429613654،0227،28786 931944،47565،1469344766،92257،25321،43811،667611،647256563،37121،842677،966445516،82695،932089،93830،94585،207919964427404،823786،286115678،1Сы уст ат تعرض مربع خطي دعونا نشرح كيف يتم صنعه. تم بالفعل تعبئة الخلايا A1: A26 و B1: B26. الخطوة 1. في الخلية J1 ، أدخل الصيغة = (A1- $ B $ 54) * (B1- $ B $ 55). الخطوة 2. يتم نسخ هذه الصيغة في الخلايا J2: J25. الخطوة 3. في الخلية K1 ، أدخل الصيغة = (A1- $ B $ 54) ^ 2. الخطوة 4. يتم نسخ هذه الصيغة في الخلايا k2: K25. الخطوة 5. في الخلية L1 ، أدخل الصيغة = (B1- $ B $ 55) ^ 2. الخطوة 6. يتم نسخ هذه الصيغة في الخلايا L2: L25. الخطوة 7. في الخلية M1 ، أدخل الصيغة = ($ E $ 32 + $ E $ 33 * A1-B1) ^ 2. الخطوة 8. يتم نسخ هذه الصيغة في الخلايا M2: M25. الخطوة 9. في الخلية N1 ، أدخل الصيغة = ($ F $ 41 + $ F $ 42 * A1 + $ F $ 43 * A1 ^ 2-B1) ^ 2. الخطوة 10. في الخلايا N2: N25 ، يتم نسخ هذه الصيغة. الخطوة 11. في الخلية O1 ، أدخل الصيغة = ($ E $ 51 * EXP ($ E $ 50 * A1) -B1) ^ 2. الخطوة 12. في الخلايا O2: O25 ، يتم نسخ هذه الصيغة. نقوم بالخطوات التالية باستخدام الجمع التلقائي س .
الخطوة 13. في الخلية J26 ، أدخل الصيغة = SUM (J1: J25). الخطوة 14. في الخلية K26 ، أدخل الصيغة = SUM (K1: K25). الخطوة 15. في الخلية L26 ، أدخل الصيغة = SUM (L1: L25). الخطوة 16. في الخلية M26 ، أدخل الصيغة = SUM (M1: M25). الخطوة 17. في الخلية N26 ، أدخل الصيغة = SUM (N1: N25). الخطوة 18. في الخلية O26 ، أدخل الصيغة = SUM (O1: O25). الآن دعونا نحسب معامل الارتباط باستخدام الصيغة (8) (فقط للتقريب الخطي) ومعامل الحتمية باستخدام الصيغة (10). يتم عرض نتائج الحسابات باستخدام Microsoft Excel في الجدول 8. الجدول 8 معامل الارتباط AB57 0.92883358 معامل الحتمية (تقريب خطي) 0.8627325960 معامل الحتمية (تقريب تربيعي) 0.9810356162 معامل الحتمية (تقريب أسي) 0.42057863 تحتوي الخلية E57 على الصيغة = J26 / (K26 * L26) ^ (1/2). تحتوي الخلية E59 على الصيغة = 1-M26 / L26. تحتوي الخلية E61 على الصيغة = 1-N26 / L26. تحتوي الخلية E63 على الصيغة = 1-O26 / L26. يوضح تحليل نتائج الحساب أن التقريب التربيعي يصف البيانات التجريبية بشكل أفضل. مخطط الخوارزمية أرز. 1. مخطط الخوارزمية لبرنامج الحساب. 5. الحساب في MathCad الانحدارالخطي · الخط (س ، ص) - متجه ثنائي العنصر (ب ، أ) لمعاملات الانحدار الخطي ب + فأس ؛ · x هو ناقل البيانات الحقيقية للحجة ؛ · y هو متجه لقيم بيانات حقيقية من نفس الحجم. الشكل 2. يعني الانحدار متعدد الحدود ملاءمة البيانات (x1 ، y1) مع كثير الحدود درجة k-thبالنسبة إلى k = i ، يكون كثير الحدود خطًا مستقيمًا ، أما بالنسبة إلى k = 2 فهو قطع مكافئ ، أما بالنسبة إلى k = 3 فهو قطع مكافئ مكعب ، وهكذا. كقاعدة عامة ، k<5. · الانحدار (x ، y ، k) - متجه المعاملات لبناء انحدار البيانات متعدد الحدود ؛ · interp (s ، x ، y ، t) - نتيجة الانحدار متعدد الحدود ؛ · ق = تراجع (س ، ص ، ك) ؛ · x متجه لبيانات الوسيطة الحقيقية ، التي يتم ترتيب عناصرها بترتيب تصاعدي ؛ · y هو متجه لقيم البيانات الحقيقية من نفس الحجم ؛ · ك هي درجة انحدار كثير الحدود (عدد صحيح موجب) ؛ · t هي قيمة وسيطة كثير حدود الانحدار. الشكل 3 بالإضافة إلى تلك التي تم النظر فيها ، تم تضمين عدة أنواع أخرى من الانحدار ثلاثي المعلمات في Mathcad ، ويختلف تنفيذها إلى حد ما عن خيارات الانحدار المذكورة أعلاه ، بالإضافة إلى مصفوفة البيانات ، يلزم تعيين بعض القيم الأولية لـ المعاملات أ ، ب ، ج. استخدم النوع المناسب من الانحدار إذا كانت لديك فكرة جيدة عن التبعية التي تصف مصفوفة البيانات الخاصة بك. عندما لا يعكس نوع الانحدار بشكل جيد تسلسل البيانات ، فغالبًا ما تكون نتيجته غير مرضية وحتى مختلفة تمامًا اعتمادًا على اختيار القيم الأولية. تنتج كل وظيفة متجهًا للمعلمات المكررة أ ، ب ، ج. نتائج LINEST ضع في اعتبارك الغرض من دالة LINEST. تستخدم هذه الوظيفة طريقة المربعات الصغرى لحساب الخط المستقيم الذي يناسب البيانات المتاحة على أفضل وجه. ترجع الدالة مصفوفة تصف السطر الناتج. معادلة الخط المستقيم هي: M1x1 + m2x2 + ... + b أو y = mx + b ، خوارزمية برامج مايكروسوفت الجدولية للحصول على النتائج ، تحتاج إلى إنشاء صيغة جدول بيانات تمتد على 5 صفوف وعمودين. يمكن وضع هذا الفاصل الزمني في أي مكان في ورقة العمل. في هذا الفاصل الزمني ، تحتاج إلى إدخال دالة LINEST. نتيجة لذلك ، يجب ملء جميع خلايا الفاصل الزمني A65: B69 (كما هو موضح في الجدول 9). الجدول 9 АВ6544،95997-88،9208663،73946615،92346670،86273234،5183168144،55492369172239،227404،82 دعونا نشرح الغرض من بعض الكميات الموجودة في الجدول 9. القيم الموجودة في الخلايا A65 و B65 تميز الميل والانزياح على التوالي - معامل الحتمية - القيمة الملحوظة F. - عدد درجات الحرية. عرض النتائج في شكل رسوم بيانية أرز. 4. رسم بياني للتقريب الخطي أرز. 5. رسم بياني للتقريب التربيعي أرز. 6. مؤامرة التقريب الأسي الاستنتاجات دعونا نستخلص استنتاجات بناءً على نتائج البيانات التي تم الحصول عليها. يوضح تحليل نتائج الحساب أن التقريب التربيعي يصف البيانات التجريبية بشكل أفضل ، منذ ذلك الحين يعكس خط الاتجاه الخاص به بشكل دقيق سلوك الوظيفة في هذه المنطقة. بمقارنة النتائج التي تم الحصول عليها باستخدام دالة LINEST ، نرى أنها تتوافق تمامًا مع الحسابات التي تم إجراؤها أعلاه. هذا يشير إلى أن الحسابات صحيحة. النتائج التي تم الحصول عليها باستخدام برنامج MathCad تطابق تمامًا القيم المذكورة أعلاه. هذا يدل على صحة الحسابات. فهرس
تقريب، أو تقريب- طريقة علمية تتمثل في استبدال بعض الأشياء بأخرى ، بشكل أو بآخر قريب من الأصل ، ولكن أبسط.
يتيح لك التقريب استكشاف الخصائص العددية والخصائص النوعية للكائن ، مما يقلل المشكلة إلى دراسة كائنات أبسط أو أكثر ملاءمة (على سبيل المثال ، تلك التي يتم حساب خصائصها بسهولة أو خصائصها معروفة بالفعل). في نظرية الأعداد ، تتم دراسة تقريب الديوفانتين ، على وجه الخصوص ، تقريب الأعداد غير المنطقية بواسطة الأرقام المنطقية. في الهندسة ، يؤخذ في الاعتبار تقريب المنحنيات بخطوط متقطعة. بعض أقسام الرياضيات مكرسة بالكامل بشكل أساسي للتقريب ، على سبيل المثال ، نظرية تقريب الوظائف ، الطرق العددية للتحليل.
بالمعنى المجازي ، يتم استخدامه في الفلسفة مثل طريقة التقريب، إشارة إلى طبيعة تقريبية غير نهائية. على سبيل المثال ، بهذا المعنى ، استخدم المصطلح "التقريب" بنشاط من قبل سورين كيركيغارد (1813-1855) في كتابه "النهائي غير العلمي ..."
إذا كانت الوظيفة ستُستخدم فقط من أجل الاستيفاء ، فسيكون ذلك كافيًا لتقريب النقاط مع كثير الحدود ، على سبيل المثال ، من الدرجة الخامسة:
يكون الوضع أكثر تعقيدًا إذا كانت البيانات الميدانية المذكورة أعلاه بمثابة نقاط مرجعية للكشف عن قانون التغيير بشروط حدية معروفة. على سبيل المثال: و 
. هنا تعتمد جودة النتيجة على احترافية الباحث. في هذه الحالة ، سيكون القانون الأكثر قبولًا هو:
من أجل الاختيار الأمثل لمعاملات المعادلات ، عادة ما يتم استخدام طريقة المربعات الصغرى.
طريقة المربعات الصغرى (LSM ،إنجليزيعادي الأقل مربعات , OLS ) - طريقة حسابية تستخدم لحل مسائل مختلفة تعتمد على تصغير مجموع مربعات بعض دوال المتغيرات المرغوبة. يمكن استخدامه "لحل" أنظمة المعادلات شديدة التحديد (عندما يتجاوز عدد المعادلات عدد المجهول) ، لإيجاد حل في حالة أنظمة المعادلات غير الخطية العادية (غير المحددة بإفراط) ، لتقريب قيم النقطة بواسطة بعض الوظائف. OLS هي إحدى الطرق الأساسية لتحليل الانحدار لتقدير المعلمات غير المعروفة لنماذج الانحدار من بيانات العينة.
إذا كانت بعض الكمية المادية تعتمد على كمية أخرى ، فيمكن التحقق من هذا الاعتماد عن طريق قياس y عند قيم مختلفة لـ x. نتيجة للقياسات ، يتم الحصول على سلسلة من القيم:
x 1 ، x 2 ، ... ، x i ، ... ، x n ؛
y 1، y 2، ...، y i، ...، y n.
بناءً على بيانات مثل هذه التجربة ، من الممكن رسم الاعتماد y = ƒ (x). يجعل المنحنى الناتج من الممكن الحكم على شكل الوظيفة ƒ (x). ومع ذلك ، فإن المعاملات الثابتة التي تدخل في هذه الوظيفة تظل غير معروفة. يمكن تحديدها باستخدام طريقة المربعات الصغرى. النقاط التجريبية ، كقاعدة عامة ، لا تقع بالضبط على المنحنى. تتطلب طريقة المربعات الصغرى أن يكون مجموع الانحرافات التربيعية للنقاط التجريبية من المنحنى ، أي 2 كان الأصغر.
في الممارسة العملية ، يتم استخدام هذه الطريقة في أغلب الأحيان (وببساطة) في حالة وجود علاقة خطية ، أي متى
ص = ككسأو ص = أ + ب س.
الاعتماد الخطي واسع الانتشار في الفيزياء. وحتى عندما يكون الاعتماد غير خطي ، فإنهم يحاولون عادةً إنشاء رسم بياني بطريقة للحصول على خط مستقيم. على سبيل المثال ، إذا افترضنا أن معامل انكسار الزجاج n مرتبط بطول الموجة λ لموجة الضوء من خلال العلاقة n = a + b / λ 2 ، فإن اعتماد n على λ -2 يتم رسمه على الرسم البياني .
ضع في اعتبارك الاعتماد ص = ككس(خط مستقيم يمر عبر الأصل). قم بتكوين القيمة φ - مجموع الانحرافات التربيعية لنقاطنا عن الخط المستقيم
.
دائمًا ما تكون قيمة موجبة ويتضح أنها أصغر ، وكلما اقتربت نقاطنا من الخط المستقيم. تنص طريقة المربعات الصغرى على أنه بالنسبة لـ k ، يجب أن يختار المرء مثل هذه القيمة التي يكون عندها φ حدًا أدنى
أو (19)
يوضح الحساب أن خطأ الجذر التربيعي في تحديد قيمة k يساوي
، (20) حيث - n هو عدد القياسات.
دعونا ننظر الآن في حالة أكثر صعوبة إلى حد ما ، عندما يجب أن تلبي النقاط الصيغة ص = أ + ب س(خط مستقيم لا يمر عبر الأصل).
المهمة هي إيجاد أفضل قيم لكل من a و b من مجموعة القيم المعطاة x i و y i.
مرة أخرى نؤلف صيغة تربيعية φ تساوي مجموع الانحرافات التربيعية للنقطتين x i و y i من الخط المستقيم
وأوجد القيمتين a و b اللتين تمثل φ حدًا أدنى لهما
;
.
يعطي الحل المشترك لهذه المعادلات
(21)
أخطاء الجذر التربيعي لتحديد أ و ب متساوية
(23)
. (24)
عند معالجة نتائج القياس بهذه الطريقة ، من الملائم تلخيص جميع البيانات في جدول يتم فيه حساب جميع المبالغ المضمنة في الصيغ (19) - (24) بشكل أولي. يتم عرض أشكال هذه الجداول في الأمثلة أدناه.
مثال 1 تمت دراسة المعادلة الأساسية لديناميات الحركة الدورانية ε = M / J (خط مستقيم يمر عبر الأصل). للقيم المختلفة للعزم M ، تم قياس التسارع الزاوي ε لجسم معين. مطلوب لتحديد لحظة القصور الذاتي لهذا الجسم. يتم سرد نتائج قياسات لحظة القوة والتسارع الزاوي في العمودين الثاني والثالث الجداول 5.
الجدول 5
بالصيغة (19) نحدد:
.
لتحديد خطأ الجذر التربيعي ، نستخدم الصيغة (20)
0.005775 كلغ-واحد · م -2 .
بالصيغة (18) لدينا
SJ = (2.996 0.005775) /0.3337 = 0.05185 كجم م 2 .
بالنظر إلى الموثوقية P = 0.95 ، وفقًا لجدول معاملات الطالب لـ n = 5 ، نجد t = 2.78 ونحدد الخطأ المطلق ΔJ = 2.78 0.05185 = 0.1441 ≈ 0.2 كجم م 2 .
نكتب النتائج بالشكل التالي:
J = (3.0 ± 0.2) كجم م 2 ;
مثال 2نحسب معامل درجة حرارة مقاومة المعدن باستخدام طريقة المربعات الصغرى. تعتمد المقاومة على درجة الحرارة وفقًا لقانون خطي
R t \ u003d R 0 (1 + α t °) \ u003d R 0 + R 0 α t °.
يحدد المصطلح الحر المقاومة R 0 عند درجة حرارة 0 درجة مئوية ، والمعامل الزاوي هو ناتج معامل درجة الحرارة α والمقاومة R 0.
نتائج القياسات والحسابات معطاة في الجدول ( انظر الجدول 6).
الجدول 6
|
(ص - ب - أ) 2،10 - 6 |
|||||||
بالصيغ (21) ، (22) نحدد
R 0 = ¯R- α R 0 ¯t = 1.4005 - 0.002645 85.83333 = 1.1735 أوم .
دعونا نجد خطأ في تعريف α. منذ ذلك الحين ، وفقًا للصيغة (18) لدينا:
.
باستخدام الصيغ (23) ، (24) لدينا
;
0.014126 أوم.
بالنظر إلى الموثوقية P = 0.95 ، وفقًا لجدول معاملات الطالب لـ n = 6 ، نجد t = 2.57 ونحدد الخطأ المطلق Δα = 2.57 0.000132 = 0.000338 وابل -1 .
α = (23 ± 4) 10 -4 وابل-1 عند P = 0.95.
مثال 3مطلوب لتحديد نصف قطر انحناء العدسة من حلقات نيوتن. تم قياس نصف قطر حلقات نيوتن r m وتم تحديد عدد هذه الحلقات م. يرتبط نصف قطر حلقات نيوتن بنصف قطر انحناء العدسة R ورقم الحلقة بواسطة المعادلة
ص 2 م = مλR - 2d 0 ص ،
حيث d 0 هي سماكة الفجوة بين العدسة واللوحة الموازية للمستوى (أو تشوه العدسة) ،
λ هو الطول الموجي للضوء الساقط.
λ = (600 ± 6) نانومتر ؛ ص 2 م = ص ؛ م = س ؛ λR = ب ؛ -2d 0 R = أ ،
ثم ستأخذ المعادلة الشكل ص = أ + ب س.
يتم إدخال نتائج القياسات والحسابات الجدول 7.
الجدول 7
|
ص \ u003d ص 2 ، 10-2 مم 2 |
y-bx-a ، 10-4 |
(y - bx - a) 2، 10 -6 |
|||||
نحن نتوقع:
1. a و b وفقًا للصيغتين (21) ، (22).
أ = ¯r 2 - b¯m = (0.208548333 - 0.0594957 3.5) = 0.0003133 مم 2 .
2. احسب أخطاء جذر متوسط التربيع للقيم b و a باستخدام الصيغ (23) ، (24)
3. مع الموثوقية P = 0.95 ، وفقًا لجدول معاملات الطالب لـ n = 6 ، نجد t = 2.57 ونحدد الأخطاء المطلقة
Δ ب = 2.57 0.000211179 = 6 10 -4 مم 2 ;
Δa = 2.57 0.000822424 = 3 10 -3 مم 2 .
4. اكتب النتائج
ب = (595 ± 6) 10 -4 مم 2 عند Р = 0.95 ؛
أ = (0.3 ± 3) 10 -3 مم 2 عند Р = 0.95 ؛
ويترتب على نتائج التجربة أنه ضمن خطأ هذه التجربة ، يمر الخط المستقيم r 2 م = ƒ (م) عبر الأصل ، لأن إذا تبين أن الخطأ في قيمة أي معلمة قابل للمقارنة أو يتجاوز قيمة المعلمة ، فإن هذا يعني على الأرجح أن القيمة الحقيقية لهذه المعلمة هي صفر.
في ظل ظروف هذه التجربة ، لا تهم قيمة a. لذلك ، لن نتعامل معها بعد الآن.
5. احسب نصف قطر انحناء العدسة:
R = ب / λ = 594.5 / 6 = 99.1 مم.
6. نظرًا لأن الخطأ النظامي معطى لطول الموجة ، فإننا نحسب أيضًا الخطأ النظامي لـ R وفقًا للصيغة (16) ، مع الأخذ في الاعتبار الخطأ العشوائي Δb باعتباره الخطأ المنهجي لـ b.
اكتب النتيجة النهائية R = (99 ± 2) ممε ≈ 3٪ عند P = 0.95.
مثال.
بيانات تجريبية على قيم المتغيرات Xو فيترد في الجدول.
نتيجة محاذاة الوظيفة 
استخدام طريقة التربيع الصغرى، تقريب هذه البيانات بالاعتماد الخطي ص = الفأس + ب(البحث عن المعلمات أو ب). اكتشف أي من الخطين أفضل (بمعنى طريقة المربعات الصغرى) يضبط البيانات التجريبية. جعل الرسم.
جوهر طريقة المربعات الصغرى (LSM).
تكمن المشكلة في إيجاد معاملات التبعية الخطية التي لها دالة متغيرين أو ب
يأخذ أصغر قيمة. هذا هو ، بالنظر إلى البيانات أو بسيكون مجموع الانحرافات التربيعية للبيانات التجريبية من الخط المستقيم الموجود هو الأصغر. هذه هي النقطة الكاملة لطريقة المربعات الصغرى.
وبالتالي ، يتم تقليل حل المثال إلى إيجاد الحد الأقصى لدالة من متغيرين.
اشتقاق الصيغ لإيجاد المعاملات.
نظام من معادلتين مع مجهولين يتم تجميعها وحلها. إيجاد المشتقات الجزئية للدوال 
بالمتغيرات أو ب، فنحن نساوي هذه المشتقات بصفر. 
نقوم بحل نظام المعادلات الناتج بأي طريقة (على سبيل المثال طريقة الاستبدالأو طريقة كرامر) والحصول على صيغ لإيجاد المعاملات باستخدام طريقة المربعات الصغرى (LSM). 
مع البيانات أو بوظيفة 
يأخذ أصغر قيمة. يتم تقديم الدليل على هذه الحقيقة أسفل النص في نهاية الصفحة.
هذه هي الطريقة الكاملة للمربعات الصغرى. صيغة البحث عن المعلمة أيحتوي على المبالغ ،،، والمعلمة ن- كمية البيانات التجريبية. يوصى بحساب قيم هذه المبالغ بشكل منفصل. معامل في الرياضيات او درجة بوجدت بعد الحساب أ.
حان الوقت لتذكر المثال الأصلي.
المحلول.
في مثالنا ن = 5. نقوم بملء الجدول لتسهيل حساب المبالغ التي تم تضمينها في صيغ المعاملات المطلوبة. 
يتم الحصول على القيم الموجودة في الصف الرابع من الجدول بضرب قيم الصف الثاني في قيم الصف الثالث لكل رقم أنا.
يتم الحصول على القيم الموجودة في الصف الخامس من الجدول بتربيع قيم الصف الثاني لكل رقم أنا.
قيم العمود الأخير في الجدول هي مجاميع القيم عبر الصفوف.
نستخدم معادلات طريقة المربعات الصغرى لإيجاد المعاملات أو ب. نستبدل بها القيم المقابلة من العمود الأخير في الجدول: 
بالتالي، ص = 0.165 س + 2.184هو الخط المستقيم التقريبي المطلوب.
يبقى معرفة أي من الخطوط ص = 0.165 س + 2.184أو 
تقترب بشكل أفضل من البيانات الأصلية ، أي لعمل تقدير باستخدام طريقة المربعات الصغرى.
تقدير خطأ طريقة المربعات الصغرى.
للقيام بذلك ، تحتاج إلى حساب مجموع الانحرافات التربيعية للبيانات الأصلية من هذه السطور 
و 
، تتوافق القيمة الأصغر مع السطر الذي يقارب البيانات الأصلية بشكل أفضل من حيث طريقة المربعات الصغرى. 
منذ ذلك الحين الخط ص = 0.165 س + 2.184تقرب البيانات الأصلية بشكل أفضل.
رسم توضيحي لطريقة المربعات الصغرى (LSM).
كل شيء يبدو رائعا على الرسوم البيانية. الخط الأحمر هو الخط الموجود ص = 0.165 س + 2.184، الخط الأزرق 
، النقاط الوردية هي البيانات الأصلية.
في الممارسة العملية ، عند نمذجة العمليات المختلفة - على وجه الخصوص ، الاقتصادية والمادية والتقنية والاجتماعية - يتم استخدام طريقة أو أخرى لحساب القيم التقريبية للوظائف من قيمها المعروفة في بعض النقاط الثابتة على نطاق واسع.
غالبًا ما تنشأ مشاكل تقريب الوظائف من هذا النوع:
عند إنشاء صيغ تقريبية لحساب قيم الكميات المميزة للعملية قيد الدراسة وفقًا للبيانات المجدولة التي تم الحصول عليها نتيجة للتجربة ؛
في التكامل العددي ، والتفاضل ، وحل المعادلات التفاضلية ، وما إلى ذلك ؛
إذا كان من الضروري حساب قيم الوظائف عند نقاط وسيطة من الفترة المدروسة ؛
عند تحديد قيم الكميات المميزة للعملية خارج الفترة الزمنية قيد النظر ، على وجه الخصوص ، عند التنبؤ.
إذا تم إنشاء دالة تصف تقريبًا هذه العملية بناءً على طريقة المربعات الصغرى ، من أجل نمذجة عملية معينة يحددها الجدول ، فسيتم تسميتها دالة تقريبية (الانحدار) ، وستكون مهمة إنشاء وظائف تقريبية بحد ذاتها. تكون مشكلة تقريبية.
تناقش هذه المقالة إمكانيات حزمة MS Excel لحل مثل هذه المشكلات ، بالإضافة إلى طرق وتقنيات إنشاء (إنشاء) الانحدارات للوظائف المحددة جدوليًا (والتي هي أساس تحليل الانحدار).
هناك خياران لبناء الانحدارات في Excel.
إضافة الانحدارات المحددة (خطوط الاتجاه) إلى مخطط مبني على أساس جدول البيانات لخاصية العملية المدروسة (متاح فقط إذا تم إنشاء مخطط) ؛
استخدام الوظائف الإحصائية المضمنة في ورقة عمل Excel ، والتي تتيح لك الحصول على الانحدارات (خطوط الاتجاه) مباشرة من جدول البيانات المصدر.
إضافة خطوط الاتجاه إلى الرسم البياني
بالنسبة لجدول بيانات يصف عملية معينة ويمثلها رسم تخطيطي ، يحتوي Excel على أداة تحليل انحدار فعالة تسمح لك بما يلي:
البناء على أساس طريقة المربعات الصغرى وإضافة خمسة أنواع من الانحدارات إلى الرسم التخطيطي والتي تمثل العملية قيد الدراسة بدرجات متفاوتة من الدقة ؛
إضافة معادلة الانحدار المركب إلى الرسم التخطيطي ؛
تحديد درجة توافق الانحدار المحدد مع البيانات المعروضة على الرسم البياني.
استنادًا إلى بيانات المخطط ، يسمح لك Excel بالحصول على أنواع الانحدار الخطية ، متعددة الحدود ، اللوغاريتمية ، الأسية ، الأسية ، والتي يتم توفيرها بواسطة المعادلة:
ص = ص (س)
حيث x هو متغير مستقل ، والذي غالبًا ما يأخذ قيم سلسلة من الأرقام الطبيعية (1 ؛ 2 ؛ 3 ؛ ...) وينتج ، على سبيل المثال ، عدًا تنازليًا لوقت العملية قيد الدراسة (الخصائص) .
1 . يعد الانحدار الخطي جيدًا في نمذجة الميزات التي تزيد أو تنقص بمعدل ثابت. هذا هو أبسط نموذج للعملية قيد الدراسة. وهي مبنية على المعادلة:
ص = م س + ب
حيث m هو ظل منحدر الانحدار الخطي إلى المحور x ؛ ب - تنسيق نقطة تقاطع الانحدار الخطي مع المحور الصادي.
2 . يعتبر خط الاتجاه متعدد الحدود مفيدًا في وصف الخصائص التي لها العديد من الحدود القصوى المتميزة (الارتفاعات والانخفاضات). يتم تحديد اختيار درجة كثير الحدود من خلال عدد القيم القصوى للخاصية قيد الدراسة. وبالتالي ، يمكن أن تصف كثير الحدود من الدرجة الثانية بشكل جيد عملية لها حد أقصى أو أدنى واحد فقط ؛ متعدد الحدود من الدرجة الثالثة - لا يزيد عن اثنين من القيم القصوى ؛ متعدد الحدود من الدرجة الرابعة - لا يزيد عن ثلاث نقاط قصوى ، إلخ.
في هذه الحالة ، يتم إنشاء خط الاتجاه وفقًا للمعادلة:
ص = c0 + c1x + c2x2 + c3x3 + c4x4 + c5x5 + c6x6
حيث المعاملات c0 و c1 و c2 و ... c6 هي ثوابت يتم تحديد قيمها أثناء البناء.
3 . يتم استخدام خط الاتجاه اللوغاريتمي بنجاح في خصائص النمذجة ، والتي تتغير قيمها بسرعة في البداية ، ثم تستقر تدريجياً.
y = c ln (x) + b
4 . يعطي خط اتجاه الطاقة نتائج جيدة إذا كانت قيم التبعية المدروسة تتميز بتغير ثابت في معدل النمو. مثال على هذا الاعتماد يمكن أن يكون بمثابة رسم بياني للحركة المتسارعة بشكل موحد للسيارة. إذا كانت هناك قيم صفرية أو سالبة في البيانات ، فلا يمكنك استخدام خط اتجاه الطاقة.
تم بناؤه وفقًا للمعادلة:
ص = cxb
حيث المعامِلات ب ، ج ثوابت.
5 . يجب استخدام خط الاتجاه الأسي إذا كان معدل التغيير في البيانات يتزايد باستمرار. بالنسبة للبيانات التي تحتوي على قيم صفرية أو سلبية ، لا ينطبق هذا النوع من التقريب أيضًا.
تم بناؤه وفقًا للمعادلة:
ص = سيبكس
حيث المعامِلات ب ، ج ثوابت.
عند تحديد خط اتجاه ، يقوم Excel تلقائيًا بحساب قيمة R2 ، والتي تميز دقة التقريب: كلما اقتربت قيمة R2 من واحد ، كلما اقترب خط الاتجاه من العملية قيد الدراسة بشكل أكثر موثوقية. إذا لزم الأمر ، يمكن دائمًا عرض قيمة R2 في الرسم التخطيطي.
تحددها الصيغة:
لإضافة خط اتجاه إلى سلسلة بيانات:
قم بتنشيط المخطط المبني على أساس سلسلة البيانات ، أي انقر داخل منطقة المخطط. سيظهر عنصر المخطط في القائمة الرئيسية ؛
بعد النقر فوق هذا العنصر ، ستظهر قائمة على الشاشة يجب عليك فيها تحديد أمر إضافة سطر الاتجاه.
يتم تنفيذ نفس الإجراءات بسهولة إذا قمت بالمرور فوق الرسم البياني المقابل لإحدى سلاسل البيانات والنقر بزر الماوس الأيمن ؛ في قائمة السياق التي تظهر ، حدد الأمر إضافة سطر الاتجاه. سيظهر مربع حوار خط الاتجاه على الشاشة مع فتح علامة التبويب النوع (الشكل 1).
بعد ذلك تحتاج إلى:
في علامة التبويب النوع ، حدد نوع خط الاتجاه المطلوب (يتم تحديد الخطي بشكل افتراضي). بالنسبة للنوع متعدد الحدود ، في حقل الدرجة ، حدد درجة كثير الحدود المحدد.
1 . يسرد الحقل "مبني على السلسلة" جميع سلاسل البيانات في المخطط المعني. لإضافة خط اتجاه إلى سلسلة بيانات معينة ، حدد اسمها في حقل سلسلة مبنية.
إذا لزم الأمر ، بالانتقال إلى علامة التبويب المعلمات (الشكل 2) ، يمكنك تعيين المعلمات التالية لخط الاتجاه:
قم بتغيير اسم خط الاتجاه في اسم حقل المنحنى التقريبي (المتجانس).
تعيين عدد الفترات (للأمام أو للخلف) للتنبؤ في حقل التنبؤ ؛
عرض معادلة خط الاتجاه في منطقة الرسم البياني ، والتي يجب عليك تمكين خانة الاختيار لإظهار المعادلة على الرسم البياني لها ؛
عرض قيمة موثوقية التقريب R2 في منطقة الرسم التخطيطي ، والتي يجب أن تقوم بتمكين مربع الاختيار لها وضع قيمة موثوقية التقريب (R ^ 2) على الرسم التخطيطي ؛
قم بتعيين نقطة تقاطع خط الاتجاه مع المحور Y ، والتي يجب أن تقوم بتمكين مربع الاختيار تقاطع المنحنى مع المحور Y عند نقطة ما ؛
انقر فوق الزر "موافق" لإغلاق مربع الحوار.
هناك ثلاث طرق لبدء تحرير خط اتجاه تم إنشاؤه بالفعل:
استخدم أمر خط الاتجاه المحدد من قائمة التنسيق ، بعد تحديد خط الاتجاه ؛
حدد أمر تنسيق خط الاتجاه من قائمة السياق ، والتي يتم استدعاؤها بالنقر بزر الماوس الأيمن على خط الاتجاه ؛
عن طريق النقر المزدوج على خط الاتجاه.
سيظهر مربع حوار تنسيق خط الاتجاه على الشاشة (الشكل 3) ، ويحتوي على ثلاث علامات تبويب: العرض والنوع والمعلمات ومحتويات الأخيرين تتطابق تمامًا مع علامات التبويب المماثلة في مربع حوار خط الاتجاه (الشكل 1-2) ). في علامة التبويب عرض ، يمكنك تعيين نوع الخط ولونه وسمكه.
لحذف خط اتجاه تم إنشاؤه بالفعل ، حدد خط الاتجاه المراد حذفه واضغط على مفتاح Delete.
مزايا أداة تحليل الانحدار المدروسة هي:
السهولة النسبية لرسم خط اتجاه على المخططات دون إنشاء جدول بيانات له ؛
قائمة واسعة إلى حد ما لأنواع خطوط الاتجاه المقترحة ، وتشمل هذه القائمة أنواع الانحدار الأكثر استخدامًا ؛
إمكانية التنبؤ بسلوك العملية قيد الدراسة لعدد تعسفي (في حدود الحس السليم) من الخطوات للأمام ، وكذلك للخلف ؛
إمكانية الحصول على معادلة خط الاتجاه في شكل تحليلي ؛
إمكانية ، إذا لزم الأمر ، للحصول على تقييم لموثوقية التقريب.
تشمل العيوب النقاط التالية:
يتم تنفيذ إنشاء خط الاتجاه فقط إذا كان هناك مخطط مبني على سلسلة من البيانات ؛
عملية إنشاء سلسلة البيانات للخاصية قيد الدراسة بناءً على معادلات خط الاتجاه التي تم الحصول عليها لها تشوش إلى حد ما: يتم تحديث معادلات الانحدار المرغوبة مع كل تغيير في قيم سلسلة البيانات الأصلية ، ولكن فقط داخل منطقة الرسم البياني ، في حين أن سلسلة البيانات التي تشكلت على أساس اتجاه معادلة الخط القديم ، لم تتغير ؛
في تقارير PivotChart ، عندما تقوم بتغيير طريقة عرض المخطط أو تقرير PivotTable المرتبط ، لا يتم الاحتفاظ بخطوط الاتجاه الحالية ، لذلك يجب عليك التأكد من أن تخطيط التقرير يلبي متطلباتك قبل رسم خطوط الاتجاه أو تنسيق تقرير PivotChart.
يمكن إضافة خطوط الاتجاه إلى سلسلة البيانات المعروضة في المخططات مثل الرسم البياني والمدرج التكراري والمخططات المسطحة غير الطبيعية والمخططات الشريطية والمخططات المبعثرة والفقاعية والأسهم.
لا يمكنك إضافة خطوط الاتجاه إلى سلسلة البيانات في المخططات ثلاثية الأبعاد والقياسية والرادارية والدائرية والدائرية المجوفة.
استخدام وظائف Excel المضمنة
يوفر Excel أيضًا أداة تحليل الانحدار لرسم خطوط الاتجاه خارج منطقة الرسم البياني. يمكن استخدام عدد من وظائف ورقة العمل الإحصائية لهذا الغرض ، ولكن جميعها تسمح لك ببناء الانحدار الخطي أو الأسي فقط.
يحتوي Excel على عدة وظائف لبناء الانحدار الخطي ، ولا سيما:
المنحدر والقطع.
اتجاه؛
بالإضافة إلى العديد من الوظائف لإنشاء خط اتجاه أسي ، وعلى وجه الخصوص:
LGRFP تقريبًا.
وتجدر الإشارة إلى أن تقنيات إنشاء الانحدارات باستخدام وظائف TREND و GROWTH هي نفسها عمليًا. يمكن قول الشيء نفسه عن زوج الوظائف LINEST و LGRFPRIBL. بالنسبة إلى هذه الوظائف الأربع ، عند إنشاء جدول قيم ، يتم استخدام ميزات Excel مثل صيغ الصفيف ، مما يؤدي إلى تشويش عملية بناء الانحدارات إلى حد ما. نلاحظ أيضًا أن بناء الانحدار الخطي ، في رأينا ، أسهل في التنفيذ باستخدام الدالتين SLOPE و INTERCEPT ، حيث يحدد أولهما ميل الانحدار الخطي ، والثاني يحدد المقطع المقطوع بالانحدار على المحور ص.
مزايا أداة الدوال المضمنة لتحليل الانحدار هي:
عملية بسيطة إلى حد ما من نفس النوع من تكوين سلاسل البيانات للخاصية قيد الدراسة لجميع الوظائف الإحصائية المضمنة التي تحدد خطوط الاتجاه ؛
تقنية قياسية لإنشاء خطوط الاتجاه بناءً على سلسلة البيانات المتولدة ؛
القدرة على التنبؤ بسلوك العملية قيد الدراسة لعدد الخطوات المطلوبة للأمام أو للخلف.
وتشمل العيوب حقيقة أن Excel لا يحتوي على وظائف مضمنة لإنشاء أنواع أخرى (باستثناء الخطية والأسية) من خطوط الاتجاه. غالبًا لا يسمح هذا الظرف باختيار نموذج دقيق بما فيه الكفاية للعملية قيد الدراسة ، وكذلك الحصول على تنبؤات قريبة من الواقع. بالإضافة إلى ذلك ، عند استخدام دالتي TREND و GROW ، فإن معادلات خطوط الاتجاه غير معروفة.
وتجدر الإشارة إلى أن المؤلفين لم يحددوا هدف المقالة لتقديم مسار تحليل الانحدار بدرجات متفاوتة من الاكتمال. وتتمثل مهمتها الرئيسية في إظهار قدرات حزمة Excel في حل مشكلات التقريب باستخدام أمثلة محددة ؛ توضيح الأدوات الفعالة التي يمتلكها Excel لبناء الانحدارات والتنبؤ ؛ وضح كيف يمكن حل هذه المشكلات بسهولة نسبيًا حتى من قبل مستخدم ليس لديه معرفة عميقة بتحليل الانحدار.
أمثلة على حل مشاكل محددة
ضع في اعتبارك حل مشكلات معينة باستخدام الأدوات المدرجة في حزمة Excel.
مهمة 1
مع جدول بيانات عن أرباح شركة النقل بالسيارات 1995-2002. عليك أن تفعل ما يلي.
بناء مخطط.
أضف خطوط اتجاه خطية ومتعددة الحدود (تربيعية وتكعيبية) إلى المخطط.
باستخدام معادلات خط الاتجاه ، احصل على بيانات مجدولة عن ربح المؤسسة لكل خط اتجاه للفترة 1995-2004.
قم بعمل توقعات للأرباح للمؤسسة لعامي 2003 و 2004.
حل المشكلة
في نطاق الخلايا A4: C11 من ورقة عمل Excel ، ندخل ورقة العمل الموضحة في الشكل. أربعة.
بعد تحديد نطاق الخلايا B4: C11 ، نقوم ببناء مخطط.
نقوم بتنشيط الرسم البياني المُنشأ وباستخدام الطريقة الموضحة أعلاه ، بعد تحديد نوع خط الاتجاه في مربع حوار خط الاتجاه (انظر الشكل 1) ، نضيف خطوط الاتجاه الخطية والتربيعية والتكعيبية بالتناوب إلى المخطط. في مربع الحوار نفسه ، افتح علامة التبويب المعلمات (انظر الشكل 2) ، في اسم حقل المنحنى التقريبي (المتجانس) ، أدخل اسم الاتجاه المراد إضافته ، وفي التنبؤ إلى الأمام لـ: حقل الفترات ، قم بتعيين القيمة 2 ، حيث أنه من المخطط وضع توقعات للأرباح لمدة عامين مقبلين. لعرض معادلة الانحدار وقيمة موثوقية التقريب R2 في منطقة الرسم التخطيطي ، قم بتمكين خانات الاختيار إظهار المعادلة على الشاشة ووضع قيمة موثوقية التقريب (R ^ 2) على الرسم التخطيطي. لتحسين الإدراك البصري ، نقوم بتغيير نوع ولون وسمك خطوط الاتجاه المرسومة ، والتي نستخدم لها علامة التبويب عرض في مربع الحوار تنسيق خط الاتجاه (انظر الشكل 3). يظهر الرسم البياني الناتج مع خطوط الاتجاه المضافة في الشكل. 5.
للحصول على بيانات مجدولة عن ربح المؤسسة لكل خط اتجاه للفترة 1995-2004. دعنا نستخدم معادلات خطوط الاتجاه الواردة في الشكل. 5. للقيام بذلك ، في خلايا النطاق D3: F3 ، أدخل معلومات نصية حول نوع خط الاتجاه المحدد: الاتجاه الخطي ، الاتجاه التربيعي ، الاتجاه التكعيبي. بعد ذلك ، أدخل صيغة الانحدار الخطي في الخلية D4 ، وباستخدام علامة التعبئة ، انسخ هذه الصيغة مع المراجع النسبية إلى نطاق الخلايا D5: D13. تجدر الإشارة إلى أن كل خلية تحتوي على صيغة انحدار خطية من نطاق الخلايا D4: D13 لها خلية مقابلة من النطاق A4: A13 كوسيطة. وبالمثل ، بالنسبة للانحدار التربيعي ، يتم تعبئة نطاق الخلايا E4: E13 ، وبالنسبة للانحدار التكعيبي ، يتم تعبئة نطاق الخلايا F4: F13. وبالتالي ، تم عمل توقع لأرباح المؤسسة لعامي 2003 و 2004. مع ثلاثة اتجاهات. يظهر جدول القيم الناتج في الشكل. 6.
المهمة 2
بناء مخطط.
أضف خطوط الاتجاه اللوغاريتمي والأسي والأسي إلى الرسم البياني.
اشتق معادلات خطوط الاتجاه التي تم الحصول عليها ، وكذلك قيم موثوقية التقريب R2 لكل منها.
باستخدام معادلات خط الاتجاه ، احصل على بيانات جدولية عن ربح المؤسسة لكل خط اتجاه للفترة 1995-2002.
قم بعمل توقع ربح للأعمال لعامي 2003 و 2004 باستخدام خطوط الاتجاه هذه.
حل المشكلة
باتباع المنهجية الواردة في حل المشكلة 1 ، نحصل على رسم تخطيطي مع إضافة خطوط الاتجاه اللوغاريتمي والأسي والأسي (الشكل 7). علاوة على ذلك ، باستخدام معادلات خط الاتجاه التي تم الحصول عليها ، نقوم بملء جدول القيم لأرباح المؤسسة ، بما في ذلك القيم المتوقعة لعامي 2003 و 2004. (الشكل 8).
على التين. 5 والتين. يمكن ملاحظة أن النموذج ذو الاتجاه اللوغاريتمي يتوافق مع أدنى قيمة لموثوقية التقريب
R2 = 0.8659
تتوافق أعلى قيم R2 مع النماذج ذات الاتجاه متعدد الحدود: تربيعي (R2 = 0.9263) وتكعيبي (R2 = 0.933).
المهمة 3
باستخدام جدول بيانات عن أرباح مؤسسة النقل بالسيارات للفترة 1995-2002 ، الواردة في المهمة 1 ، يجب عليك تنفيذ الخطوات التالية.
احصل على سلسلة بيانات لخطوط الاتجاه الخطية والأسية باستخدام دالتي TREND و GROW.
باستخدام دالتي TREND و GROWTH ، قم بعمل توقع للأرباح للمؤسسة لعامي 2003 و 2004.
بالنسبة للبيانات الأولية وسلسلة البيانات المستلمة ، قم بإنشاء رسم تخطيطي.
حل المشكلة
دعنا نستخدم ورقة عمل المهمة 1 (انظر الشكل 4). لنبدأ بوظيفة TREND:
حدد نطاق الخلايا D4: D11 ، والتي يجب ملؤها بقيم دالة TREND المقابلة للبيانات المعروفة عن ربح المؤسسة ؛
قم باستدعاء أمر الوظيفة من قائمة "إدراج". في مربع الحوار "معالج الدالة" الذي يظهر ، حدد وظيفة TREND من الفئة الإحصائية ، ثم انقر فوق الزر "موافق". يمكن إجراء نفس العملية بالضغط على الزر (إدراج وظيفة) لشريط الأدوات القياسي.
في مربع الحوار "وسيطات الوظيفة" الذي يظهر ، أدخل نطاق الخلايا C4: C11 في الحقل Known_values_y ؛ في الحقل Known_values_x - نطاق الخلايا B4: B11 ؛
لجعل الصيغة المدخلة صيغة صفيف ، استخدم مجموعة المفاتيح + +.
ستبدو الصيغة التي أدخلناها في شريط الصيغة كما يلي: = (TREND (C4: C11؛ B4: B11)).
نتيجة لذلك ، يتم ملء نطاق الخلايا D4: D11 بالقيم المقابلة لوظيفة TREND (الشكل 9).
لعمل توقع لأرباح الشركة لعامي 2003 و 2004. من الضروري:
حدد نطاق الخلايا D12: D13 ، حيث سيتم إدخال القيم التي تنبأت بها الدالة TREND.
قم باستدعاء دالة TREND وفي مربع حوار وسيطات الوظيفة الذي يظهر ، أدخل الحقل Known_values_y - نطاق الخلايا C4: C11 ؛ في الحقل Known_values_x - نطاق الخلايا B4: B11 ؛ وفي الحقل New_values_x - نطاق الخلايا B12: B13.
حول هذه الصيغة إلى صيغة مصفوفة باستخدام اختصار لوحة المفاتيح Ctrl + Shift + Enter.
ستبدو الصيغة المدخلة على النحو التالي: = (TREND (C4: C11؛ B4: B11؛ B12: B13)) ، وسيتم ملء نطاق الخلايا D12: D13 بالقيم المتوقعة لوظيفة TREND (انظر الشكل. 9).
وبالمثل ، يتم ملء سلسلة البيانات باستخدام دالة GROWTH ، والتي تُستخدم في تحليل التبعيات غير الخطية وتعمل تمامًا مثل نظيرتها الخطية TREND.
يوضح الشكل 10 الجدول في وضع عرض الصيغة.
للبيانات الأولية وسلسلة البيانات التي تم الحصول عليها ، الرسم البياني الموضح في الشكل. أحد عشر.
المهمة 4
مع وجود جدول بيانات عن استلام طلبات الحصول على الخدمات من خلال خدمة الإرسال لمؤسسة النقل بالسيارات للفترة من اليوم الأول إلى اليوم الحادي عشر من الشهر الحالي ، يجب تنفيذ الإجراءات التالية.
الحصول على سلسلة بيانات للانحدار الخطي: استخدام الدالتين SLOPE و INTERCEPT ؛ باستخدام دالة LINEST.
استرجع سلسلة بيانات للانحدار الأسي باستخدام الدالة LYFFPRIB.
باستخدام الوظائف المذكورة أعلاه ، قم بعمل توقع حول استلام الطلبات إلى خدمة الإرسال للفترة من اليوم الثاني عشر إلى اليوم الرابع عشر من الشهر الحالي.
بالنسبة لسلسلة البيانات الأصلية والمستلمة ، قم بإنشاء رسم تخطيطي.
حل المشكلة
لاحظ أنه ، بخلاف دالات TREND و GROW ، لا تعتبر أي من الوظائف المذكورة أعلاه (SLOPE ، INTERCEPTION ، LINEST ، LGRFPRIB) انحدارات. تلعب هذه الوظائف دورًا مساعدًا فقط ، حيث تحدد معاملات الانحدار الضرورية.
بالنسبة للانحدار الخطي والأسي الذي تم إنشاؤه باستخدام الدالات SLOPE و INTERCEPT و LINEST و LGRFPRIB ، فإن مظهر معادلاتهم معروف دائمًا ، على عكس الانحدار الخطي والأسي المقابل للوظائف TREND و GROWTH.
1 . لنقم ببناء انحدار خطي له المعادلة:
ص = م س + ب
باستخدام الدالتين SLOPE و INTERCEPT ، مع تحديد ميل الانحدار m بواسطة وظيفة SLOPE ، والمصطلح الثابت b - بواسطة دالة INTERCEPT.
للقيام بذلك ، نقوم بالإجراءات التالية:
أدخل الجدول المصدر في نطاق الخلايا A4: B14 ؛
سيتم تحديد قيمة المعلمة m في الخلية C19. حدد من الفئة الإحصائية وظيفة المنحدر ؛ أدخل نطاق الخلايا B4: B14 في حقل known_values_y ونطاق الخلايا A4: A14 في الحقل known_values_x. سيتم إدخال الصيغة في الخلية C19: = ميل (B4: B14 ؛ A4: A14) ؛
باستخدام طريقة مماثلة ، يتم تحديد قيمة المعلمة b في الخلية D19. وسيبدو محتواه كما يلي: = INTERCEPT (B4: B14؛ A4: A14). وبالتالي ، سيتم تخزين قيم المعلمات m و b الضرورية لإنشاء انحدار خطي ، على التوالي ، في الخلايا C19 ، D19 ؛
ثم ندخل صيغة الانحدار الخطي في الخلية C4 بالشكل: = $ C * A4 + $ D. في هذه الصيغة ، تتم كتابة الخلايا C19 و D19 بمراجع مطلقة (يجب ألا يتغير عنوان الخلية مع إمكانية النسخ). يمكن كتابة علامة المرجع المطلق $ إما من لوحة المفاتيح أو باستخدام المفتاح F4 ، بعد وضع المؤشر على عنوان الخلية. باستخدام مقبض التعبئة ، انسخ هذه الصيغة إلى نطاق الخلايا C4: C17. نحصل على سلسلة البيانات المطلوبة (الشكل 12). نظرًا لحقيقة أن عدد الطلبات عدد صحيح ، يجب عليك تعيين تنسيق الأرقام في علامة التبويب رقم في نافذة تنسيق الخلية مع عدد المنازل العشرية إلى 0.
2 . لنقم الآن ببناء انحدار خطي معطى بالمعادلة:
ص = م س + ب
باستخدام دالة LINEST.
لهذا:
أدخل دالة LINEST كصيغة صفيف في نطاق الخلايا C20: D20: = (LINEST (B4: B14؛ A4: A14)). نتيجة لذلك ، نحصل على قيمة المعلمة m في الخلية C20 ، وقيمة المعلمة b في الخلية D20 ؛
أدخل الصيغة في الخلية D4: = $ C * A4 + $ D ؛
انسخ هذه الصيغة باستخدام علامة التعبئة إلى نطاق الخلايا D4: D17 واحصل على سلسلة البيانات المطلوبة.
3 . نبني انحدارًا أسيًا له المعادلة:
بمساعدة وظيفة LGRFPRIBL ، يتم إجراؤها بالمثل:
في نطاق الخلايا C21: D21 ، أدخل الدالة LGRFPRIBL كصيغة صفيف: = (LGRFPRIBL (B4: B14 ؛ A4: A14)). في هذه الحالة ، سيتم تحديد قيمة المعلمة m في الخلية C21 ، وسيتم تحديد قيمة المعلمة b في الخلية D21 ؛
يتم إدخال الصيغة في الخلية E4: = $ D * $ C ^ A4 ؛
باستخدام علامة التعبئة ، يتم نسخ هذه الصيغة إلى نطاق الخلايا E4: E17 ، حيث سيتم تحديد موقع سلسلة البيانات للانحدار الأسي (انظر الشكل 12).
على التين. يوضح الشكل 13 جدولاً يمكننا من خلاله رؤية الوظائف التي نستخدمها مع نطاقات الخلايا الضرورية ، فضلاً عن الصيغ.
قيمة ص 2 اتصل معامل التحديد.
تتمثل مهمة بناء تبعية الانحدار في العثور على متجه المعامِلات m للنموذج (1) الذي يأخذ فيه المعامل R القيمة القصوى.
لتقييم أهمية R ، يتم استخدام اختبار Fisher's F ، محسوبًا بالصيغة
أين ن- حجم العينة (عدد التجارب) ؛
k هو عدد معاملات النموذج.
إذا تجاوز F بعض القيمة الحرجة للبيانات نو كومستوى الثقة المقبول ، فإن قيمة R تعتبر كبيرة. يتم إعطاء جداول القيم الحرجة لـ F في الكتب المرجعية حول الإحصاء الرياضي.
وبالتالي ، لا يتم تحديد أهمية R من خلال قيمتها فحسب ، ولكن أيضًا من خلال النسبة بين عدد التجارب وعدد معاملات (معلمات) النموذج. في الواقع ، فإن نسبة الارتباط لـ n = 2 لنموذج خطي بسيط هي 1 (من خلال نقطتين على المستوى ، يمكنك دائمًا رسم خط مستقيم واحد). ومع ذلك ، إذا كانت البيانات التجريبية متغيرات عشوائية ، فيجب الوثوق بهذه القيمة من R بعناية كبيرة. عادة ، من أجل الحصول على R وانحدار موثوق به ، فإنه يهدف إلى ضمان أن عدد التجارب يتجاوز بشكل كبير عدد معاملات النموذج (n> k).
لبناء خطي نموذج الانحدارمن الضروري:
1) قم بإعداد قائمة n من الصفوف والأعمدة m تحتوي على البيانات التجريبية (العمود الذي يحتوي على قيمة الإخراج صيجب أن يكون إما الأول أو الأخير في القائمة) ؛ على سبيل المثال ، لنأخذ بيانات المهمة السابقة ، بإضافة عمود يسمى "رقم الفترة" ، وترقيم أرقام الفترات من 1 إلى 12. (ستكون هذه هي القيم X)
2) انتقل إلى القائمة البيانات / تحليل البيانات / الانحدار
إذا كان عنصر "تحليل البيانات" في قائمة "الأدوات" مفقودًا ، فيجب عليك الانتقال إلى عنصر "الوظائف الإضافية" في القائمة نفسها وتحديد مربع "حزمة التحليل".
3) في مربع حوار "الانحدار" ، اضبط:
الفاصل الزمني للإدخال Y ؛
فاصل الإدخال X ؛
الفاصل الزمني للإخراج - الخلية اليسرى العلوية للفاصل الزمني الذي سيتم فيه وضع نتائج الحساب (يوصى بوضعها في ورقة عمل جديدة) ؛
4) انقر فوق "موافق" وتحليل النتائج.
بيان مشكلة التقريب بالمربعات الصغرى. شروط التقريب الأفضل.
إذا تم الحصول على مجموعة من البيانات التجريبية مع وجود خطأ كبير ، فإن الاستيفاء ليس مطلوبًا فحسب ، ولكنه أيضًا غير مرغوب فيه! هنا هو مطلوب لبناء منحنى من شأنه أن يعيد إنتاج الرسم البياني للانتظام التجريبي الأصلي ، أي سيكون أقرب ما يمكن إلى النقاط التجريبية ، ولكن في نفس الوقت سيكون غير حساس للانحرافات العشوائية للقيمة المقاسة.
دعنا نقدم وظيفة مستمرة φ (س)لتقريب الاعتماد المنفصل و (xأنا ) ، أنا = 0 ... ن. سوف نفترض ذلك φ (س)مبني حسب الحالة أفضل تقريب تربيعي، إذا
. (1)
وزن ρ إلى عن على أناالنقاط -th تعطي معنى لدقة القياس قيمة معينة: الاكثر ρ ، كلما "انجذب" المنحنى التقريبي إلى النقطة المحددة. فيما يلي ، سنفترض بشكل افتراضي ρ = 1 لجميع النقاط.
ضع في اعتبارك الحالة تقريب خطي:
φ (س) = ج 0 φ 0 (x) + ج 1 1 (س) + … + ج م φ م (س), (2)
أين φ 0… φ م- افتراضى وظائف الأساس, ج 0 ... ج م- معاملات غير معروفة ، م < ن. إذا تم أخذ عدد معاملات التقريب يساوي الرقمعقدة ، فإن تقريب الجذر التربيعي سيتزامن مع استيفاء لاغرانج ، وإذا لم نأخذ في الاعتبار الخطأ الحسابي ، س = 0.
إذا كان خطأ البيانات التجريبية (الأولية) معروفًا ξ ، ثم اختيار عدد المعاملات ، أي القيم م، يتحدد حسب الشرط:
بمعنى آخر ، إذا كان عدد معاملات التقريب غير كافٍ لإعادة إنتاج الرسم البياني بشكل صحيح الاعتماد التجريبي. إذا ، لن يكون للعديد من المعاملات في (2) معنى ماديًا.
لحل مشكلة التقريب الخطي في الحالة العامةمن الضروري إيجاد شروط للحد الأدنى لمجموع الانحرافات التربيعية لـ (2). يمكن اختزال مشكلة إيجاد الحد الأدنى إلى مشكلة إيجاد جذر نظام المعادلات ، ك = 0…م. (4) .
استبدال (2) في (1) ثم حساب (4) سيؤدي في النهاية إلى النظام القادم الجبر الخطيالمعادلات:
بعد ذلك ، يجب عليك حل SLAE الناتج فيما يتعلق بالمعاملات ج 0 ... ج م. لحل SLAE ، عادةً ما يتم تجميع مصفوفة ممتدة من المعاملات ، والتي تسمى مصفوفة غرامالتي هي عناصر منتجات دوتوظائف الأساس وعمود المعاملات المجانية:
,
أين 
, 
، ي = 0 ... م ، ك = 0…م.
بعد استخدام طريقة Gauss ، على سبيل المثال ، المعاملات ج 0 ... ج م، يمكنك بناء منحنى تقريبي أو حساب الإحداثيات نقطة معينة. وبالتالي ، يتم حل مشكلة التقريب.
التقريب بواسطة كثير الحدود الكنسي.
نختار وظائف الأساس في شكل سلسلة من قوى الوسيطة x:
φ 0 (x) = × 0 = 1; φ 1 (x) = × 1 = x; φ م (س) = س م, م < ن.
ستبدو مصفوفة جرام الموسعة لأساس الطاقة كما يلي:
خصوصية حساب مثل هذه المصفوفة (لتقليل عدد الإجراءات التي يتم تنفيذها) هي أنه من الضروري حساب عناصر الصف الأول والعمودين الأخيرين فقط: يتم ملء العناصر المتبقية عن طريق إزاحة الصف السابق (باستثناء العمودين الأخيرين) بمقدار موضع واحد إلى اليسار. في بعض لغات البرمجة ، حيث لا يوجد إجراء سريع للأس ، فإن خوارزمية حساب مصفوفة الجرام ، الموضحة أدناه ، مفيدة.
اختيار وظائف الأساس في شكل صلاحيات x ليس هو الأمثلمن حيث تحقيق أصغر خطأ. هذه نتيجة غير متعامدوظائف الأساس المختارة. ملكية التعامديكمن في حقيقة أن لكل نوع من كثير الحدود مقطع [ س 0 ، س ن] ، والتي تختفي عليها المنتجات العددية لكثيرات الحدود ذات الرتب المختلفة:
, ي ≠ ك ، صهي وظيفة الوزن.
إذا كانت وظائف الأساس متعامدة ، فإن جميع العناصر غير القطرية لمصفوفة الجرام ستكون قريبة من الصفر ، مما سيزيد من دقة الحسابات ، وإلا ، عند محدد مصفوفة الجرام يميل إلى الصفر بسرعة كبيرة ، أي يصبح النظام غير مشروط.
التقريب بواسطة كثيرات الحدود الكلاسيكية المتعامدة.
كثيرات الحدود التالية متعلقة بـ كثيرات حدود جاكوبي، لها خاصية التعامد بالمعنى الوارد أعلاه. هذا هو ، من أجل تحقيق دقة عاليةالحسابات ، يوصى باختيار وظائف الأساس للتقريب في شكل كثيرات الحدود هذه.
التقريب (من اللاتينية "تقريبية" - "نهج") - تعبير تقريبي عن أي كائنات رياضية (على سبيل المثال ، أرقام أو وظائف) من خلال أخرى أبسط وأكثر ملاءمة للاستخدام أو ببساطة أكثر شهرة. في البحث العلمي ، يتم استخدام التقريب لوصف وتحليل وتعميم واستخدام النتائج التجريبية.
كما هو معروف ، يمكن أن يكون هناك اتصال دقيق (وظيفي) بين القيم ، عندما تتوافق قيمة واحدة مع قيمة واحدة من الوسيطة.
عند اختيار تقريب ، ينبغي للمرء أن ينطلق من المهمة المحددة للدراسة. عادة ، كلما كانت المعادلة المستخدمة للتقريب أبسط ، كلما كان الوصف الذي تم الحصول عليه للاعتماد أكثر تقريبية. لذلك ، من المهم قراءة مدى أهمية وما سبب انحرافات قيم معينة عن الاتجاه الناتج. عند وصف اعتماد القيم المحددة تجريبياً ، يمكن تحقيق دقة أكبر باستخدام معادلة أكثر تعقيدًا ومتعددة المعلمات. ومع ذلك ، لا فائدة من محاولة نقل انحرافات عشوائية للقيم في سلسلة محددة من البيانات التجريبية بأقصى قدر من الدقة. عند اختيار طريقة التقريب ، يقوم الباحث دائمًا بتقديم حل وسط: فهو يقرر إلى أي مدى في هذه الحالة يكون من الملائم والملائم "التضحية" بالتفاصيل ، وبالتالي ، مدى تعميم اعتماد المتغيرات المقارنة. إلى جانب الكشف عن أنماط البيانات التجريبية المحجوبة بانحرافات عشوائية عن النمط العام ، يسمح التقريب أيضًا بحل العديد من المشكلات المهمة الأخرى: إضفاء الطابع الرسمي على التبعية الموجودة ؛ العثور على قيم غير معروفة للمتغير التابع عن طريق الاستيفاء أو ، إذا أمكن ، الاستقراء.
الغرض من هذا العمل بالطبع هو الدراسة الأسس النظريةتقريب الدالة المجدولة بطريقة المربعات الصغرى وتطبيقها معرفة نظرية، وإيجاد كثيرات الحدود التقريبية. العثور على كثيرات الحدود التقريبية في إطار عمل هذا المقرر الدراسي يتبع ذلك عن طريق كتابة برنامج في باسكال يقوم بتنفيذ الخوارزمية المطورة لإيجاد معاملات كثيرة الحدود التقريبية ، وكذلك حل نفس المشكلة باستخدام MathCad.
في هذه الدورة التدريبية ، تم تطوير برنامج Pascal في PascalABC shell الإصدار 1.0 بيتا. تم تنفيذ حل المشكلة في بيئة MathCad في الإصدار 14.0.0.163 من Mathcad.
صياغة المشكلة
في هذا المقرر الدراسي ، يجب عليك القيام بما يلي:
1. تطوير خوارزمية لإيجاد معاملات لثلاثة كثيرات حدود متقاربة (كثيرة الحدود) للنموذج
للدالة المجدولة y = f (x):لدرجة كثيرات الحدود n = 2، 4، 5.
2. أنشئ مخطط كتلة للخوارزمية.
3. أنشئ برنامج باسكال يطبق الخوارزمية المطورة.
5. تم الحصول على رسوم بيانية لـ 3 وظائف تقريبية في نظام إحداثيات واحد. يجب أن يحتوي الرسم البياني أيضًا على نقاط البداية. (X أنا , ذ أنا ) .
6. حل المشكلة باستخدام MathCAD.
يجب تقديم نتائج حل المشكلة باستخدام البرنامج الذي تم إنشاؤه بلغة باسكال وفي بيئة MathCAD في شكل ثلاث كثيرات حدود تم إنشاؤها باستخدام المعاملات الموجودة ؛ جدول يحتوي على قيم الدالة التي تم الحصول عليها باستخدام كثيرات الحدود التي تم العثور عليها عند النقاط xi والانحرافات المعيارية.
بناء الصيغ التجريبية بطريقة المربعات الصغرى
في كثير من الأحيان ، خاصة عند تحليل البيانات التجريبية ، يصبح من الضروري العثور صراحة على العلاقة الوظيفية بين القيمتين x و y ، التي يتم الحصول عليها نتيجة للقياسات.
في دراسة تحليلية للعلاقة بين كميتين x و y ، يتم إجراء سلسلة من الملاحظات والنتيجة هي جدول قيم:
| x | ¼ | ¼ | ||||
| ذ | ¼ | ¼ |
يتم الحصول على هذا الجدول عادة نتيجة لبعض التجارب التي
العم فانيا مؤامرة المسرحية. "العم إيفان. الموقف من أستاذ الآخرين
تساخيس الصغير ، الملقب بزينوبر
مايكوف ، أبولون نيكولايفيتش - سيرة ذاتية قصيرة