نتيجة الاختزال إلى قاسم مشترك. تحويل الكسور إلى قاسم مشترك

توضح هذه المقالة ، كيفية إيجاد القاسم المشترك الأصغرو كيفية تحويل الكسور القاسم المشترك . أولاً ، يتم تقديم تعريفات القاسم المشترك للكسور والمقام المشترك الأصغر ، كما تم توضيح كيفية إيجاد المقام المشترك للكسور. فيما يلي قاعدة لتقليل الكسور إلى قاسم مشترك ويتم أخذ أمثلة لتطبيق هذه القاعدة في الاعتبار. في الختام ، أمثلة على تخفيض من ثلاثة و أكثرالكسور إلى قاسم مشترك.

التنقل في الصفحة.

ما يسمى اختزال الكسور إلى قاسم مشترك؟

يمكننا الآن تحديد معنى تحويل الكسور إلى مقام مشترك. تحويل الكسور إلى قاسم مشتركهو ضرب البسط والمقام لكسور معينة بمثل هذه العوامل الإضافية بحيث تكون النتيجة كسورًا لها نفس القواسم.

القاسم المشترك ، التعريف ، الأمثلة

حان الوقت الآن لتحديد المقام المشترك للكسور.

بمعنى آخر ، القاسم المشترك لبعض المجموعات الكسور العاديةأي عدد طبيعي، والتي تقبل القسمة على جميع مقامات الكسور المعطاة.

من التعريف الصوتي ، يترتب على ذلك أن هذه المجموعة من الكسور لها عدد لا نهائي من القواسم المشتركة ، نظرًا لوجود مجموعة لانهائيةالمضاعفات المشتركة لجميع قواسم مجموعة الكسور الأصلية.

يتيح لك تحديد المقام المشترك للكسور إيجاد القواسم المشتركة لكسور معينة. دعنا ، على سبيل المثال ، بالنظر إلى الكسور 1/4 و 5/6 ، فإن مقاماتهما هي 4 و 6 ، على التوالي. المضاعفات المشتركة الموجبة للعدد 4 و 6 هي الأعداد 12 ، 24 ، 36 ، 48 ، ... أي من هذه الأعداد هو المقام المشترك للكسرين 1/4 و 5/6.

لدمج المادة ، ضع في اعتبارك حل المثال التالي.

مثال.

هل يمكن اختزال الكسور 2/3 و 23/6 و 7/12 إلى مقام مشترك 150؟

المحلول.

للإجابة على هذا السؤال ، علينا معرفة ما إذا كان الرقم 150 هو مضاعف مشترك للمقام 3 و 6 و 12. للقيام بذلك ، تحقق مما إذا كان الرقم 150 قابل للقسمة بالتساوي على كل من هذه الأرقام (إذا لزم الأمر ، راجع قواعد وأمثلة قسمة الأعداد الطبيعية ، بالإضافة إلى قواعد وأمثلة قسمة الأعداد الطبيعية مع الباقي): 150: 3 = 50 ، 150: 6 = 25 ، 150: 12 = 12 (راحة. 6).

لذا، الرقم 150 غير قابل للقسمة على 12 ، لذا فإن الرقم 150 ليس مضاعفًا مشتركًا للعدد 3 و 6 و 12. لذلك ، لا يمكن أن يكون العدد 150 مقامًا مشتركًا للكسور الأصلية.

إجابه:

ممنوع.

القاسم المشترك الأصغر كيف أجده؟

في مجموعة الأعداد التي تعتبر القواسم المشتركة لهذه الكسور ، يوجد أصغر عدد طبيعي يسمى القاسم المشترك الأصغر. دعونا نصوغ تعريف القاسم المشترك الأصغر لهذه الكسور.

تعريف.

القاسم المشترك الأدنى- هذا هو أصغر عدد، من بين جميع القواسم المشتركة للكسور المعطاة.

يبقى أن نتعامل مع مسألة كيفية العثور على الأصغر القاسم المشترك.

بما أن القاسم المشترك هو الأقل إيجابية هذه المجموعةالأرقام ، إذن المضاعف المشترك الأصغر لمقام هذه الكسور هو القاسم المشترك الأصغر لهذه الكسور.

وبالتالي ، يتم تقليل إيجاد المقام المشترك الأصغر للكسور إلى مقامات هذه الكسور. دعنا نلقي نظرة على مثال الحل.

مثال.

أوجد المقام المشترك الأصغر 3/10 و 277/28.

المحلول.

مقامات هذين الكسور هي 10 و 28. تم العثور على المقام المشترك الأصغر المطلوب على أنه المضاعف المشترك الأصغر للعددين 10 و 28. في حالتنا ، الأمر سهل: بما أن 10 = 2 5 و 28 = 2 2 7 ، ثم المضاعف المشترك الأصغر (15 ، 28) = 2 2 5 7 = 140.

إجابه:

140 .

كيفية تحويل الكسور إلى قاسم مشترك؟ حكم ، أمثلة ، حلول

عادة ما تؤدي الكسور المشتركة إلى القاسم المشترك الأصغر. سنكتب الآن قاعدة تشرح كيفية اختزال الكسور إلى المقام المشترك الأصغر.

قاعدة اختزال الكسور إلى المقام المشترك الأصغريتكون من ثلاث خطوات:

• أولًا ، أوجد المقام المشترك الأصغر للكسرين.
• ثانيًا ، لكل كسر ، يتم حساب عامل إضافي ، حيث يتم قسمة القاسم المشترك الأصغر على مقام كل كسر.
• ثالثًا ، يتم ضرب بسط كل كسر ومقامه في عامله الإضافي.

دعنا نطبق القاعدة المذكورة على حل المثال التالي.

مثال.

اختصر الكسور 5/14 و 7/18 إلى المقام المشترك الأصغر.

المحلول.

دعنا ننفذ جميع خطوات الخوارزمية لتقليل الكسور إلى أصغر قاسم مشترك.

أولًا ، نجد المقام المشترك الأصغر ، والذي يساوي المضاعف المشترك الأصغر للعددين 14 و 18. بما أن 14 = 2 7 و 18 = 2 3 3 ، إذن LCM (14 ، 18) = 2 3 3 7 = 126.

الآن نحسب العوامل الإضافية التي سيتم من خلالها تقليل الكسور 5/14 و 7/18 إلى المقام 126. بالنسبة للكسر 5/14 ، يكون العامل الإضافي 126: 14 = 9 ، وبالنسبة للكسر 7/18 يكون العامل الإضافي هو 126: 18 = 7.

يبقى أن نضرب البسط والمقام في الكسور 5/14 و 7/18 في العوامل الإضافية 9 و 7 على التوالي. لدينا و .

لذلك ، يتم الانتهاء من اختزال الكسور 5/14 و 7/18 إلى أصغر قاسم مشترك. كانت النتيجة كسرين 45/126 و 49/126.

في هذا الدرس ، سننظر في اختزال الكسور إلى قاسم مشترك وحل المشكلات المتعلقة بهذا الموضوع. دعونا نحدد مفهوم القاسم المشترك والعامل الإضافي ، ونتذكر المشترك الأعداد الأولية. دعنا نحدد مفهوم المقام المشترك الأصغر (LCD) ونحل عددًا من المشكلات لإيجاده.

الموضوع: جمع الكسور وطرحها باستخدام قواسم مختلفة

درس: اختزال الكسور إلى مقام موحد

تكرار. الخاصية الأساسية لكسر.

إذا تم ضرب أو قسمة بسط الكسر في نفس العدد الطبيعي ، فسيتم الحصول على كسر يساوي ذلك.

على سبيل المثال ، يمكن قسمة بسط الكسر ومقامه على 2. نحصل على كسر. هذه العملية تسمى تقليل الكسر. يمكن القيام به و التحويل العكسي، بضرب بسط الكسر ومقامه في 2. في هذه الحالة ، نقول إننا اختزلنا الكسر إلى مقام جديد. الرقم 2 يسمى عامل إضافي.

استنتاج.يمكن اختزال الكسر إلى أي مقام مضاعف لمقام الكسر المحدد. لإحضار كسر إلى مقام جديد ، يتم ضرب بسطه ومقامه في عامل إضافي.

1. أحضر الكسر إلى المقام 35.

العدد 35 هو من مضاعفات 7 ، أي أن 35 يقبل القسمة على 7 بدون الباقي. لذا فإن هذا التحول ممكن. لنجد عاملًا إضافيًا. للقيام بذلك ، نقسم 35 على 7. نحصل على 5. نضرب بسط ومقام الكسر الأصلي في 5.

2. اجعل الكسر في المقام 18.

لنجد عاملًا إضافيًا. للقيام بذلك ، نقسم المقام الجديد على المقام الأصلي. نحصل على 3. نضرب بسط هذا الكسر ومقامه في 3.

3. اجعل الكسر في المقام 60.

بقسمة 60 على 15 ، نحصل على مضاعف إضافي. إنها تساوي 4. لنضرب البسط والمقام في 4.

4. أحضر الكسر إلى المقام 24

في الحالات البسيطة ، يتم إجراء الاختزال إلى قاسم جديد في العقل. من المعتاد الإشارة فقط إلى عامل إضافي خلف القوس قليلاً إلى اليمين وفوق الكسر الأصلي.

يمكن اختزال الكسر إلى مقامه 15 ويمكن اختزال الكسر إلى مقامه 15. يكون للكسر مقامًا مشتركًا وهو 15.

يمكن أن يكون المقام المشترك للكسور أي مضاعف مشترك لمقامها. للتبسيط ، يتم تقليل الكسور إلى القاسم المشترك الأصغر. إنه يساوي المضاعف المشترك الأصغر لمقام الكسور المعطاة.

مثال. اختصر إلى المقام المشترك الأصغر للكسر و.

أولاً ، أوجد المضاعف المشترك الأصغر لمقام هذه الكسور. هذا العدد هو 12. لنجد عاملًا إضافيًا للكسرين الأول والثاني. للقيام بذلك ، نقسم 12 على 4 وعلى 6. ثلاثة عامل إضافي للكسر الأول واثنان للكسر الثاني. نضع الكسور في المقام 12.

لقد اختزلنا الكسور إلى مقام مشترك ، أي وجدنا الكسور التي تساويها ولها نفس المقام.

قاعدة.لجلب الكسور إلى القاسم المشترك الأصغر ،

أولاً ، ابحث عن المضاعف المشترك الأصغر لمقام هذه الكسور ، والذي سيكون قاسمها المشترك الأصغر ؛

ثانيًا ، اقسم المقام المشترك الأصغر على مقامات هذه الكسور ، أي ابحث عن عامل إضافي لكل كسر.

ثالثًا ، اضرب بسط كل كسر ومقامه في عامله الإضافي.

أ) اختصر الكسور إلى قاسم مشترك.

القاسم المشترك الأصغر هو 12. العامل الإضافي للكسر الأول هو 4 ، وللثاني - 3. نضع الكسور في المقام 24.

ب) اختصر الكسور والمقام المشترك.

القاسم المشترك الأصغر هو 45. وبقسمة 45 على 9 على 15 ، نحصل على 5 و 3 على التوالي ، وننقل الكسور إلى المقام 45.

ج) اختصر الكسور والمقام المشترك.

المقام المشترك هو 24. العوامل الإضافية هي 2 و 3 على التوالي.

يصعب أحيانًا إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لفظيًا لمقام كسور معينة. ثم يتم إيجاد القاسم المشترك والعوامل الإضافية بالتوسع في العوامل الأولية.

اختصر إلى قاسم مشترك من الكسر و.

لنحلل العددين 60 و 168 إلى عوامل أولية. لنكتب مفكوك العدد 60 ونجمع العوامل الناقصة 2 و 7 من المفكوك الثانية. اضرب 60 في 14 واحصل على مقام مشترك 840. العامل الإضافي للكسر الأول هو 14. العامل الإضافي للكسر الثاني هو 5. لنختصر الكسور إلى مقام مشترك 840.

فهرس

1. Vilenkin N.Ya.، Zhokhov V.I.، Chesnokov A.S. وغيرها الرياضيات 6. - م: Mnemozina، 2012.

2. Merzlyak A.G. ، Polonsky V.V. ، Yakir MS. رياضيات الصف السادس. - صالة للألعاب الرياضية 2006.

3. Depman IYa.، Vilenkin N.Ya. خلف صفحات كتاب رياضيات. - التنوير 1989.

4. Rurukin A.N. ، Chaikovsky I.V. مهام مقرر الرياضيات للصف الخامس والسادس. - ZSH MEPhI ، 2011.

5. Rurukin A.N. ، Sochilov S.V. ، Chaikovsky K.G. الرياضيات 5-6. دليل لطلاب الصف السادس من مدرسة المراسلة MEPhI. - ZSH MEPhI ، 2011.

6. Shevrin L.N.، Gein A.G.، Koryakov I.O. الخ الرياضيات: كتاب محاور للصفوف 5-6 المدرسة الثانوية. مكتبة مدرس الرياضيات. - التنوير 1989.

يمكنك تنزيل الكتب المحددة في البند 1.2. هذا الدرس.

الواجب المنزلي

فيلينكين إن يا ، جوخوف في ، تشيسنوكوف أ. الرياضيات 6. - م: Mnemozina، 2012. (انظر الرابط 1.2)

الواجب المنزلي: رقم 297 ، رقم 298 ، رقم 300.

المهام الأخرى: # 270 ، # 290

تشرح هذه المقالة كيفية اختزال الكسور إلى مقام مشترك وكيفية إيجاد أصغر مقام مشترك. يتم إعطاء التعريفات ، ويتم إعطاء قاعدة لتقليل الكسور إلى قاسم مشترك ، ويتم النظر في الأمثلة العملية.

ما هو اختزال الكسر إلى قاسم مشترك؟

تتكون الكسور العادية من البسط - الجزء العلوي ، والمقام - الجزء السفلي. إذا كانت الكسور لها نفس المقام ، فيقال لها أن لها مقامًا مشتركًا. على سبيل المثال ، الكسور 11 14 ، 17 14 ، 9 14 لها نفس المقام 14. بمعنى آخر ، يتم اختزالهم إلى قاسم مشترك.

إذا كانت الكسور لها قواسم مختلفة ، فيمكن دائمًا اختصارها إلى قاسم مشترك بمساعدة الإجراءات البسيطة. للقيام بذلك ، تحتاج إلى ضرب البسط والمقام في عوامل إضافية معينة.

من الواضح أن الكسور 4 5 و 3 4 لا يتم اختزالهما إلى مقام مشترك. للقيام بذلك ، تحتاج إلى استخدام العوامل الإضافية 5 و 4 للوصول بهم إلى المقام 20. كيف بالضبط تفعل هذا؟ اضرب بسط ومقام 45 في 4 واضرب بسط ومقام 34 في 5. بدلًا من الكسور 4 5 و 3 4 ، نحصل على 16 20 و 15 20 على التوالي.

تحويل الكسور إلى قاسم مشترك

اختزال الكسور إلى مقام مشترك هو ضرب البسط ومقام الكسور بالعوامل بحيث تكون النتيجة كسورًا متطابقة لها نفس المقام.

القاسم المشترك: التعريف والأمثلة

ما هو القاسم المشترك؟

القاسم المشترك

القاسم المشترك للكسور هو أي رقم موجب، عدد إيجابي، وهو مضاعف مشترك لجميع الكسور المعطاة.

بعبارة أخرى ، سيكون المقام المشترك لمجموعة معينة من الكسور عددًا طبيعيًا يقبل القسمة على جميع قواسم هذه الكسور دون باقي القسمة.

مجموعة الأعداد الطبيعية لانهائية ، وبالتالي ، بحكم التعريف ، كل مجموعة من الكسور المشتركة لها عدد لا نهائي من القواسم المشتركة. بعبارة أخرى ، هناك عدد لا نهائي من المضاعفات المشتركة لجميع قواسم المجموعة الأصلية من الكسور.

من السهل إيجاد المقام المشترك للعديد من الكسور باستخدام التعريف. يجب أن يكون هناك كسرين 1 6 و 3 5. سيكون المقام المشترك للكسرين أي مضاعف مشترك موجب للعددين 6 و 5. مثل هذه المضاعفات المشتركة الموجبة هي 30 ، 60 ، 90 ، 120 ، 150 ، 180 ، 210 ، وهكذا.

تأمل في مثال.

مثال 1. المقام المشترك

هل يمكن اختزال di الكسور 1 3 ، 21 6 ، 5 12 إلى مقام مشترك ، وهو ما يساوي 150؟

لمعرفة ما إذا كانت هذه هي الحالة ، عليك التحقق مما إذا كان الرقم 150 مضاعفًا مشتركًا لمقام الكسور ، أي للأرقام 3 ، 6 ، 12. بمعنى آخر ، يجب أن يكون الرقم 150 قابلاً للقسمة على 3 و 6 و 12 بدون باقي. دعونا تحقق:

150 ÷ ​​3 = 50 ، 150 6 = 25 ، 150 12 = 12 ، 5

هذا يعني أن 150 ليس قاسمًا مشتركًا للكسور المشار إليها.

القاسم المشترك الأدنى

أصغر عدد طبيعي من مجموعة القواسم المشتركة لمجموعة معينة من الكسور يسمى القاسم المشترك الأصغر.

القاسم المشترك الأدنى

القاسم المشترك الأصغر للكسور هو الرقم الأصغر بين جميع القواسم المشتركة لتلك الكسور.

القاسم المشترك الأصغر لمجموعة معينة من الأرقام هو المضاعف المشترك الأصغر (المضاعف المشترك الأصغر). المضاعف المشترك الأصغر لجميع مقامات الكسور هو القاسم المشترك الأصغر لتلك الكسور.

كيف تجد القاسم المشترك الأصغر؟ إيجادها يأتي لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر للكسور. لنلقي نظرة على مثال:

مثال 2: أوجد المقام المشترك الأصغر

علينا إيجاد أصغر مقام مشترك للكسرين 1 10 و 127 28.

نحن نبحث عن المضاعف المشترك الأصغر للأرقام 10 و 28. نحن نحللها إلى عوامل بسيطة ونحصل على:

10 \ u003d 2 5 28 \ u003d 2 2 7 N O K (15 ، 28) \ u003d 2 2 5 7 \ u003d 140

كيفية تقريب الكسور إلى القاسم المشترك الأصغر

هناك قاعدة توضح كيفية اختزال الكسور إلى قاسم مشترك. تتكون القاعدة من ثلاث نقاط.

قاعدة اختزال الكسور إلى قاسم مشترك

1. أوجد أصغر مقام مشترك للكسور.
2. ابحث عن عامل إضافي لكل كسر. لإيجاد المضاعف ، عليك قسمة المقام المشترك الأصغر على مقام كل كسر.
3. اضرب البسط والمقام في العامل الإضافي الموجود.

ضع في اعتبارك تطبيق هذه القاعدة على مثال محدد.

مثال 3. اختزال الكسور إلى مقام مشترك

يوجد كسرين 3 14 و 5 18. لنجلبهم إلى القاسم المشترك الأصغر.

كقاعدة ، نجد أولًا المضاعف المشترك الأصغر لمقام الكسور.

14 \ u003d 2 7 18 \ u003d 2 3 3 N O K (14 ، 18) \ u003d 2 3 3 7 \ u003d 126

نحسب عوامل إضافية لكل كسر. بالنسبة لـ 14 3 يكون العامل الإضافي 126 ÷ 14 = 9 ، وبالنسبة للكسر 5 18 يكون العامل الإضافي 126 ÷ 18 = 7.

نضرب بسط ومقام الكسور في عوامل إضافية ونحصل على:

3 9 14 9 = 27126 ، 5 7 18 7 = 35126.

إحضار الكسور المتعددة للمقام المشترك الأصغر

وفقًا للقاعدة المدروسة ، لا يمكن اختزال أزواج الكسور فحسب ، بل يمكن أيضًا اختزال المزيد منها إلى قاسم مشترك.

لنأخذ مثالاً آخر.

مثال 4. اختزال الكسور إلى مقام مشترك

اجعل الكسور 3 2 و 5 6 و 3 8 و 17 18 في المقام المشترك الأصغر.

احسب المضاعف المشترك الأصغر للمقام. ابحث عن المضاعف المشترك الأصغر لثلاثة أرقام أو أكثر:

N O C (2، 6) = 6 N O C (6، 8) = 24 N O C (24، 18) = 72 N O C (2، 6، 8، 18) = 72

بالنسبة إلى 3 2 ، يكون العامل الإضافي 72 ÷ 2 = 36 ، أما العامل الإضافي 5 6 فهو 72 6 = 12 ، وبالنسبة إلى 3 8 يكون العامل الإضافي هو 72 ÷ 8 = 9 ، وأخيرًا ، بالنسبة إلى 17 18 ، يكون العامل الإضافي هو 72 ÷ 18 = 4.

نضرب الكسور في عوامل إضافية وننتقل إلى المقام المشترك الأصغر:

3 2 36 = 108 72 5 6 12 = 60 72 3 8 9 = 27 72 17 18 4 = 68 72

إذا لاحظت وجود خطأ في النص ، فيرجى تمييزه والضغط على Ctrl + Enter