كيفية إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لرقمين. Nod and nok لرقمين ، الخوارزمية الإقليدية

ضع في اعتبارك حل المشكلة التالية. خطوة الصبي 75 سم ، وخطوة الفتاة 60 سم ، ولا بد من إيجاد أصغر مسافة يأخذ كلاهما عندها عددًا صحيحًا من الخطوات.

المحلول.يجب أن يكون المسار الكامل الذي يمر به الرجال قابلاً للقسمة على 60 و 70 بدون باقي ، حيث يجب أن يتخذ كل منهم عددًا صحيحًا من الخطوات. بمعنى آخر ، يجب أن تكون الإجابة من مضاعفات كل من 75 و 60.

أولاً ، نكتب جميع المضاعفات للرقم 75. نحصل على:

• 75, 150, 225, 300, 375, 450, 525, 600, 675, … .

لنكتب الآن الأعداد التي ستكون من مضاعفات 60. نحصل على:

• 60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, 600, 660, … .

الآن نجد الأرقام الموجودة في كلا الصفين.

• ستكون المضاعفات الشائعة للأرقام هي الأرقام ، 300 ، 600 ، إلخ.

أصغرها هو الرقم 300. في هذه الحالة ، سوف يطلق عليه المضاعف المشترك الأصغر للأرقام 75 و 60.

بالعودة إلى حالة المشكلة ، فإن أصغر مسافة يأخذ فيها الرجال عددًا صحيحًا من الخطوات ستكون 300 سم ، وسيذهب الصبي بهذه الطريقة في 4 خطوات ، وستحتاج الفتاة إلى 5 خطوات.

إيجاد المضاعف المشترك الأصغر

• المضاعف المشترك الأصغر لعددين طبيعيين a و b هو أصغر عدد طبيعي يكون مضاعفًا لكل من a و b.

لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر لرقمين ، ليس من الضروري كتابة جميع المضاعفات لهذه الأرقام في صف واحد.

يمكنك استخدام الطريقة التالية.

كيفية إيجاد المضاعف المشترك الأصغر

أولاً ، عليك تحليل هذه الأعداد إلى عوامل أولية.

• 60 = 2*2*3*5,
• 75=3*5*5.

لنكتب الآن جميع العوامل الموجودة في مفكوك العدد الأول (2،2،3،5) ونضيف إليها جميع العوامل المفقودة من توسيع الرقم الثاني (5).

نتيجة لذلك ، نحصل على سلسلة من الأعداد الأولية: 2،2،3،5،5. سيكون حاصل ضرب هذه الأرقام هو العامل المشترك الأقل لهذه الأعداد. 2 * 2 * 3 * 5 * 5 = 300.

المخطط العام لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر

• 1. حلل الأعداد إلى عوامل أولية.
• 2. اكتب العوامل الأولية التي تشكل جزءًا منها.
• 3. أضف إلى هذه العوامل كل تلك الموجودة في تحلل البقية ، ولكن ليس في العامل المحدد.
• 4. أوجد ناتج جميع العوامل المكتوبة.

هذه الطريقة عالمية. يمكن استخدامه للعثور على المضاعف المشترك الأصغر لأي عدد من الأعداد الطبيعية.

مضاعف الرقم هو رقم يقبل القسمة على رقم معين بدون باقي. المضاعف المشترك الأصغر (LCM) لمجموعة من الأرقام هو أصغر رقم يقبل القسمة بالتساوي على كل رقم في المجموعة. لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر ، عليك إيجاد العوامل الأولية للأرقام المحددة. أيضًا ، يمكن حساب المضاعف المشترك الأصغر باستخدام عدد من الطرق الأخرى التي تنطبق على مجموعات مكونة من رقمين أو أكثر.

خطوات

سلسلة من المضاعفات

انظر إلى هذه الأرقام.الطريقة الموصوفة هنا هي أفضل استخدام عند إعطاء رقمين كلاهما أقل من 10. إذا تم تقديم أعداد كبيرة ، فاستخدم طريقة مختلفة.

• على سبيل المثال ، ابحث عن المضاعف المشترك الأصغر للعددين 5 و 8. فهذه أرقام صغيرة ، لذا يمكن استخدام هذه الطريقة.

1. مضاعف الرقم هو رقم يقبل القسمة على رقم معين بدون باقي. يمكن العثور على أرقام متعددة في جدول الضرب.

   • على سبيل المثال ، الأرقام التي تكون من مضاعفات العدد 5 هي: 5 ، 10 ، 15 ، 20 ، 25 ، 30 ، 35 ، 40.

2. اكتب سلسلة من الأعداد على شكل مضاعفات العدد الأول.افعل ذلك ضمن مضاعفات الرقم الأول لمقارنة صفين من الأرقام.

   • على سبيل المثال ، الأرقام التي تكون مضاعفات 8 هي: 8 و 16 و 24 و 32 و 40 و 48 و 56 و 64.

3. أوجد أصغر عدد يظهر في سلسلتي المضاعفات.قد تضطر إلى كتابة سلسلة طويلة من المضاعفات لإيجاد المجموع. أصغر رقم يظهر في سلسلتي المضاعفات هو المضاعف المشترك الأصغر.

   • على سبيل المثال ، أصغر رقم يظهر في سلسلة مضاعفات 5 و 8 هو 40. لذلك ، 40 هو المضاعف المشترك الأصغر لـ 5 و 8.

   عامل رئيسي

   1. انظر إلى هذه الأرقام.يتم استخدام الطريقة الموصوفة هنا بشكل أفضل عند إعطاء رقمين أكبر من 10. إذا تم تقديم أرقام أصغر ، فاستخدم طريقة مختلفة.

      • على سبيل المثال ، ابحث عن المضاعف المشترك الأصغر للعددين 20 و 84. كل رقم أكبر من 10 ، لذلك يمكن استخدام هذه الطريقة.

   2. حلل الرقم الأول إلى عوامل.أي أنك تحتاج إلى إيجاد مثل هذه الأعداد الأولية ، عند ضربها ، تحصل على رقم معين. بعد أن وجدت العوامل الأولية ، اكتبها كمساواة.

      • فمثلا، 2 × 10 = 20 (\ displaystyle (\ mathbf (2)) \ times 10 = 20)و 2 × 5 = 10 (\ displaystyle (\ mathbf (2)) \ times (\ mathbf (5)) = 10). إذن ، العوامل الأولية للعدد 20 هي الأعداد 2 و 2 و 5. اكتبهم على هيئة تعبير:.

   3. حلل الرقم الثاني إلى عوامل أولية.افعل ذلك بالطريقة نفسها التي حللت بها الرقم الأول إلى عوامل ، أي ابحث عن الأعداد الأولية التي عند ضربها ستحصل على هذا العدد.

      • فمثلا، 2 × 42 = 84 (\ displaystyle (\ mathbf (2)) \ times 42 = 84), 7 × 6 = 42 (\ displaystyle (\ mathbf (7)) \ times 6 = 42)و 3 × 2 = 6 (\ displaystyle (\ mathbf (3)) \ times (\ mathbf (2)) = 6). إذن ، العوامل الأولية للعدد 84 هي الأعداد 2 و 7 و 3 و 2. اكتبهم على شكل تعبير:.

   4. اكتب العوامل المشتركة لكلا العددين.اكتب هذه العوامل مثل عملية الضرب. أثناء كتابة كل عامل ، اشطبه في كلا التعبيرين (التعبيرات التي تصف تحلل الأعداد إلى عوامل أولية).

      • على سبيل المثال ، العامل المشترك لكلا العددين هو 2 ، لذا اكتب 2 × (displaystyle 2 times)واشطب الرقم 2 في كلا التعبيرين.
      • العامل المشترك لكلا العددين هو عامل آخر للعدد 2 ، لذا اكتب 2 × 2 (\ displaystyle 2 \ times 2)واشطب 2 في كلا التعبيرين.

   5. أضف العوامل المتبقية لعملية الضرب.هذه عوامل لم يتم شطبها في كلا التعبيرين ، أي عوامل غير مشتركة لكلا الرقمين.

      • على سبيل المثال ، في التعبير 20 = 2 × 2 × 5 (\ displaystyle 20 = 2 \ times 2 \ times 5)تم شطب كلا الاثنين (2) لأنهما عاملين مشتركين. لم يتم شطب العامل 5 ، لذا اكتب عملية الضرب على النحو التالي: 2 × 2 × 5 (\ displaystyle 2 \ times 2 \ times 5)
      • في التعبير 84 = 2 × 7 × 3 × 2 (\ displaystyle 84 = 2 \ times 7 \ times 3 \ times 2)تم شطب كلا التعادلين (2). لم يتم شطب العاملين 7 و 3 ، لذا اكتب عملية الضرب على النحو التالي: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\ displaystyle 2 \ times 2 \ times 5 \ times 7 \ times 3).

   6. احسب المضاعف المشترك الأصغر.للقيام بذلك ، اضرب الأرقام في عملية الضرب المكتوبة.

      • فمثلا، 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\ displaystyle 2 \ times 2 \ times 5 \ times 7 \ times 3 = 420). إذن ، المضاعف المشترك الأصغر للعددين 20 و 84 هو 420.

      إيجاد القواسم المشتركة

      1. ارسم شبكة كما تفعل في لعبة تيك تاك تو.تتكون هذه الشبكة من خطين متوازيين يتقاطعان (بزوايا قائمة) مع خطين متوازيين آخرين. سينتج عن ذلك ثلاثة صفوف وثلاثة أعمدة (تشبه الشبكة كثيرًا علامة #). اكتب الرقم الأول في الصف الأول والعمود الثاني. اكتب الرقم الثاني في الصف الأول والعمود الثالث.

         • على سبيل المثال ، أوجد المضاعف المشترك الأصغر بين 18 و 30. اكتب 18 في الصف الأول والعمود الثاني ، واكتب 30 في الصف الأول والعمود الثالث.

      2. أوجد القاسم المشترك لكلا العددين.اكتبها في الصف الأول والعمود الأول. من الأفضل البحث عن قواسم أولية ، لكن هذا ليس شرطًا أساسيًا.

         • على سبيل المثال ، 18 و 30 أعداد زوجية ، لذا فإن القاسم المشترك بينهما هو 2. لذا اكتب 2 في الصف الأول والعمود الأول.

      3. قسّم كل رقم على القاسم الأول.اكتب كل حاصل تحت الرقم المقابل. حاصل القسمة هو نتيجة قسمة رقمين.

         • فمثلا، 18 ÷ 2 = 9 (\ displaystyle 18 \ div 2 = 9)، لذلك اكتب 9 تحت سن 18.
         • 30 ÷ 2 = 15 (\ displaystyle 30 \ div 2 = 15)، لذا اكتب 15 تحت 30.

      4. أوجد القاسم المشترك لكلا حاصل القسمة.إذا لم يكن هناك قاسم من هذا القبيل ، فتخط الخطوتين التاليتين. وإلا فاكتب المقسوم عليه في الصف الثاني والعمود الأول.

         • على سبيل المثال ، 9 و 15 يقبلان القسمة على 3 ، لذا اكتب 3 في الصف الثاني والعمود الأول.

      5. اقسم كل حاصل على القاسم الثاني.اكتب كل نتيجة قسمة تحت حاصل القسمة المقابل.

         • فمثلا، 9 ÷ 3 = 3 (\ displaystyle 9 \ div 3 = 3)، لذا اكتب 3 تحت 9.
         • 15 ÷ 3 = 5 (\ displaystyle 15 \ div 3 = 5)، لذا اكتب 5 تحت 15.

      6. إذا لزم الأمر ، استكمل الشبكة بخلايا إضافية.كرر الخطوات السابقة حتى تحصل على قسمة مشتركة.

      7. ضع دائرة حول الأرقام الموجودة في العمود الأول والصف الأخير من الشبكة.ثم اكتب الأرقام المميزة كعملية ضرب.

         • على سبيل المثال ، الرقمان 2 و 3 موجودان في العمود الأول ، والأرقام 3 و 5 في الصف الأخير ، لذلك اكتب عملية الضرب على النحو التالي: 2 × 3 × 3 × 5 (\ displaystyle 2 \ times 3 \ times 3 \ times 5).

      8. أوجد نتيجة ضرب الأعداد.سيحسب هذا المضاعف المشترك الأصغر للرقمين المحددين.

         • فمثلا، 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\ displaystyle 2 \ times 3 \ times 3 \ times 5 = 90). إذن ، المضاعف المشترك الأصغر للعددين 18 و 30 هو 90.

      خوارزمية إقليدس

      1. تذكر المصطلحات المرتبطة بعملية التقسيم.المقسوم هو الرقم الذي يتم تقسيمه. القاسم هو الرقم المطلوب القسمة عليه. حاصل القسمة هو نتيجة قسمة رقمين. الباقي هو الرقم المتبقي عند قسمة رقمين.

         • على سبيل المثال ، في التعبير 15 ÷ 6 = 2 (\ displaystyle 15 \ div 6 = 2)راحة. 3:
           15 هو قابل للقسمة
           6 هو القاسم
           2 خاص
           3 هو الباقي.

القاسم المشترك الأكبر

التعريف 2

إذا كان الرقم الطبيعي a قابل للقسمة على رقم طبيعي $ b $ ، فإن $ b $ يسمى قاسمه $ a $ ، والرقم $ a $ يسمى مضاعف $ b $.

لنفترض أن $ a $ و $ b $ هما عددان طبيعيان. الرقم $ c $ يسمى القاسم المشترك لكل من $ a $ و $ b $.

مجموعة القواسم المشتركة للأرقام $ a $ و $ b $ محدودة ، حيث لا يمكن أن يكون أي من هذه القواسم أكبر من $ a $. هذا يعني أنه من بين هذه القواسم ، يوجد أكبر واحد ، والذي يسمى القاسم المشترك الأكبر للأرقام $ a $ و $ b $ ، ويتم استخدام الترميز للدلالة عليه:

$ gcd \ (a؛ b) \ or \ D \ (a؛ b) $

لإيجاد القاسم المشترك الأكبر لرقمين:

1. ابحث عن حاصل ضرب الأرقام الموجودة في الخطوة 2. سيكون الرقم الناتج هو القاسم المشترك الأكبر المطلوب.

مثال 1

أوجد gcd للرقمين $ 121 و $ 132. $

242 دولارًا = 2 \ cdot 11 \ cdot 11 دولارًا

132 دولار = 2 \ cdot 2 \ cdot 3 \ cdot 11 دولار

اختر الأرقام التي تم تضمينها في توسيع هذه الأرقام

242 دولارًا = 2 \ cdot 11 \ cdot 11 دولارًا

132 دولار = 2 \ cdot 2 \ cdot 3 \ cdot 11 دولار

ابحث عن حاصل ضرب الأرقام الموجودة في الخطوة 2. سيكون الرقم الناتج هو القاسم المشترك الأكبر المطلوب.

$ gcd = 2 \ cdot 11 = 22 دولارًا

مثال 2

أوجد GCD للأحادية 63 دولارًا و 81 دولارًا.

سنجد وفقًا للخوارزمية المقدمة. لهذا:

دعونا نحلل الأعداد إلى عوامل أولية

63 دولارًا = 3 \ cdot 3 \ cdot 7 دولار

81 دولارًا = 3 \ cdot 3 \ cdot 3 \ cdot 3 $

نختار الأرقام التي يتم تضمينها في توسيع هذه الأرقام

63 دولارًا = 3 \ cdot 3 \ cdot 7 دولار

81 دولارًا = 3 \ cdot 3 \ cdot 3 \ cdot 3 $

لنجد حاصل ضرب الأرقام الموجودة في الخطوة 2. سيكون الرقم الناتج هو القاسم المشترك الأكبر المطلوب.

$ gcd = 3 \ cdot 3 = 9 $

يمكنك إيجاد GCD لرقمين بطريقة أخرى ، باستخدام مجموعة قواسم الأعداد.

مثال 3

أوجد gcd للأرقام 48 دولارًا و 60 دولارًا.

المحلول:

ابحث عن مجموعة المقسومات بـ 48 $: $ \ left \ ((\ rm 1،2،3.4.6،8،12،16،24،48) \ right \) $

لنجد الآن مجموعة القواسم التي تبلغ 60 دولارًا: $ \ يسار \ ((\ rm 1،2،3،4،5،6،10،12،15،20،30،60) \ right \) $

لنجد تقاطع هذه المجموعات: $ \ left \ ((\ rm 1،2،3،4،6،12) \ right \) $ - ستحدد هذه المجموعة مجموعة القواسم المشتركة للأرقام 48 دولارًا و 60 دولارًا $. سيكون أكبر عنصر في هذه المجموعة هو الرقم $ 12. إذن ، فإن القاسم المشترك الأكبر بين 48 دولارًا و 60 دولارًا هو 12 دولارًا.

تعريف شهادة عدم الممانعة

التعريف 3

المضاعف المشترك للأعداد الطبيعية$ a $ و $ b $ رقم طبيعي من مضاعفات كل من $ a $ و $ b $.

المضاعفات الشائعة للأرقام هي الأرقام التي تقبل القسمة على الأصل دون الباقي. على سبيل المثال ، بالنسبة للأرقام 25 دولارًا و 50 دولارًا ، ستكون المضاعفات المشتركة هي الأرقام 50،100،150،200 دولار ، إلخ.

المضاعف المشترك الأصغر يسمى المضاعف المشترك الأصغر ويُشار إليه بواسطة LCM $ (a؛ b) $ أو K $ (a؛ b). $

للعثور على المضاعف المشترك الأصغر لرقمين ، تحتاج إلى:

1. حلل الأعداد إلى عوامل أولية
2. اكتب العوامل التي تشكل جزءًا من الرقم الأول وأضف إليها العوامل التي تشكل جزءًا من الثاني ولا تنتقل إلى الأول

مثال 4

أوجد المضاعف المشترك الأصغر للأرقام 99 دولارًا و 77 دولارًا.

سنجد وفقًا للخوارزمية المقدمة. لهذا

حلل الأعداد إلى عوامل أولية

99 دولارًا = 3 \ cdot 3 \ cdot 11 دولارًا

اكتب العوامل المدرجة في الأول

أضف إليهم العوامل التي هي جزء من الثانية ولا تذهب إلى الأول

ابحث عن حاصل ضرب الأرقام الموجودة في الخطوة 2. سيكون الرقم الناتج هو المضاعف المشترك الأصغر المطلوب

$ LCC = 3 \ cdot 3 \ cdot 11 \ cdot 7 = 693 دولار

غالبًا ما يستغرق تجميع قوائم قواسم الأرقام وقتًا طويلاً. هناك طريقة للعثور على GCD تسمى خوارزمية إقليدس.

العبارات التي تستند إليها خوارزمية إقليدس:

إذا كان $ a $ و $ b $ من الأعداد الطبيعية ، و $ a \ vdots b $ ، فإن $ D (a؛ b) = b $

إذا كان $ a $ و $ b $ من الأعداد الطبيعية مثل $ b

باستخدام $ D (a؛ b) = D (a-b؛ b) $ ، يمكننا خفض الأرقام قيد الدراسة على التوالي حتى نصل إلى زوج من الأرقام بحيث يكون أحدهما قابلاً للقسمة على الآخر. ثم سيكون أصغر هذه الأرقام هو القاسم المشترك الأكبر المطلوب للأرقام $ a $ و $ b $.

خصائص GCD و LCM

1. أي مضاعف مشترك لـ $ a $ و $ b $ يقبل القسمة على K $ (a؛ b) $
2. إذا كان $ a \ vdots b $ ، فإن K $ (a؛ b) = a $

إذا كان K $ (a؛ b) = k $ و $ m $ - رقم طبيعي ، فإن K $ (am؛ bm) = km $

إذا كان $ d $ قاسمًا شائعًا لـ $ a $ و $ b $ ، فإن K ($ \ frac (a) (d)؛ \ frac (b) (d) $) = $ \ \ frac (k) (d ) $

إذا كان $ a \ vdots c $ و $ b \ vdots c $ ، فإن $ \ frac (ab) (c) $ هو مضاعف مشترك لـ $ a $ و $ b $

لأية أرقام طبيعية $ a $ و $ b $ تساوي المساواة

$ D (a؛ b) \ cdot K (a؛ b) = ab $

أي قاسم مشترك لـ $ a $ و $ b $ هو قاسمه $ D (a؛ b) $

المواد المعروضة أدناه هي استمرار منطقي للنظرية من المقالة تحت العنوان LCM - المضاعف المشترك الأصغر ، التعريف ، الأمثلة ، العلاقة بين LCM و GCD. هنا سنتحدث عن إيجاد المضاعف المشترك الأصغر (LCM)، وإيلاء اهتمام خاص لحل الأمثلة. دعنا نوضح أولاً كيف يتم حساب المضاعف المشترك الأصغر لرقمين من حيث GCD لهذه الأرقام. بعد ذلك ، ضع في اعتبارك إيجاد المضاعف المشترك الأصغر عن طريق تحليل الأرقام إلى عوامل أولية. بعد ذلك ، سنركز على إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لثلاثة أرقام أو أكثر ، وننتبه أيضًا إلى حساب المضاعف المشترك الأصغر للأرقام السالبة.

التنقل في الصفحة.

حساب المضاعف المشترك الأصغر (LCM) من خلال gcd

تعتمد إحدى طرق العثور على المضاعف المشترك الأصغر على العلاقة بين LCM و GCD. تسمح لك العلاقة الحالية بين LCM و GCD بحساب المضاعف المشترك الأصغر لعددين صحيحين موجبين من خلال القاسم المشترك الأكبر المعروف. الصيغة المقابلة لها الشكل المضاعف المشترك الأصغر (أ ، ب) = أ ب: GCM (أ ، ب) . ضع في اعتبارك أمثلة لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر وفقًا للصيغة أعلاه.

مثال.

أوجد المضاعف المشترك الأصغر للعددين 126 و 70.

المحلول.

في هذا المثال أ = 126 ، ب = 70. دعونا نستخدم العلاقة بين LCM و GCD التي تعبر عنها الصيغة المضاعف المشترك الأصغر (أ ، ب) = أ ب: GCM (أ ، ب). أي ، علينا أولاً إيجاد القاسم المشترك الأكبر للعددين 70 و 126 ، وبعد ذلك يمكننا حساب المضاعف المشترك الأصغر لهذين العددين وفقًا للصيغة المكتوبة.

أوجد gcd (126، 70) باستخدام خوارزمية إقليدس: 126 = 70 1 + 56، 70 = 56 1 + 14، 56 = 14 4 ، وبالتالي gcd (126، 70) = 14.

الآن نجد المضاعف المشترك الأصغر المطلوب: المضاعف المشترك الأصغر (126 ، 70) = 126 70: المضاعف المشترك الأصغر (126 ، 70) = 126 70: 14 = 630.

إجابه:

المضاعف المشترك الأصغر (126 ، 70) = 630.

مثال.

ما هو LCM (68 ، 34)؟

المحلول.

لان 68 يقبل القسمة على 34 بالتساوي ، ثم gcd (68 ، 34) = 34. الآن نحسب المضاعف المشترك الأصغر: المضاعف المشترك الأصغر (68 ، 34) = 68 34: المضاعف المشترك الأصغر (68 ، 34) = 68 34: 34 = 68.

إجابه:

المضاعف المشترك الأصغر (68 ، 34) = 68.

لاحظ أن المثال السابق يناسب القاعدة التالية لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر للأعداد الصحيحة الموجبة أ وب: إذا كان الرقم أ قابلاً للقسمة على ب ، فإن المضاعف المشترك الأصغر لهذه الأرقام هو أ.

إيجاد المضاعف المشترك الأصغر عن طريق تحليل الأرقام إلى العوامل الأولية

طريقة أخرى لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر تعتمد على تحليل الأعداد إلى عوامل أولية. إذا صنعنا منتجًا لجميع العوامل الأولية لهذه الأرقام ، وبعد ذلك نستبعد من هذا المنتج جميع العوامل الأولية الشائعة الموجودة في توسعات هذه الأرقام ، فسيكون الناتج الناتج مساويًا للمضاعف المشترك الأصغر لهذه الأرقام.

القاعدة المعلنة لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر تأتي من المساواة المضاعف المشترك الأصغر (أ ، ب) = أ ب: GCM (أ ، ب). في الواقع ، حاصل ضرب العددين a و b يساوي حاصل ضرب جميع العوامل المتضمنة في تمددات العددين a و b. في المقابل ، gcd (أ ، ب) يساوي حاصل ضرب جميع العوامل الأولية الموجودة في وقت واحد في تمديدات الأرقام أ و ب (الموصوفة في القسم الخاص بإيجاد gcd باستخدام تحليل الأرقام إلى عوامل أولية ).

لنأخذ مثالا. لنعلم أن 75 = 3 5 5 و 210 = 2 3 5 7. يؤلف حاصل ضرب كل عوامل هذه التوسعات: 2 3 3 5 5 5 7. نستبعد الآن من هذا المنتج جميع العوامل الموجودة في توسيع الرقم 75 وفي توسيع الرقم 210 (هذه العوامل هي 3 و 5) ، ثم يأخذ المنتج الشكل 2 3 5 5 7. قيمة هذا المنتج تساوي المضاعف المشترك الأصغر للأرقام 75 و 210 ، أي ، المضاعف المشترك الأصغر (75 ، 210) = 2 3 5 5 7 = 1050.

مثال.

بعد تحليل العددين 441 و 700 إلى عوامل أولية ، أوجد المضاعف المشترك الأصغر لهذه الأعداد.

المحلول.

لنحلل العددين 441 و 700 إلى عوامل أولية:

نحصل على 441 = 3 3 7 7 و 700 = 2 2 5 5 7.

لنصنع الآن حاصل ضرب جميع العوامل التي تدخل في مد هذه الأعداد: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. دعنا نستبعد من هذا المنتج جميع العوامل الموجودة في وقت واحد في كلا التوسيعين (يوجد عامل واحد فقط - هذا هو الرقم 7): 2 2 3 3 5 5 7 7. في هذا الطريق، المضاعف المشترك الأصغر (441، 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44100.

إجابه:

المضاعف المشترك الأصغر (441 ، 700) = 44100.

يمكن صياغة قاعدة إيجاد المضاعف المشترك الأصغر باستخدام تحليل الأعداد إلى عوامل أولية بشكل مختلف قليلاً. إذا أضفنا العوامل المفقودة من توسيع الرقم b إلى العوامل من توسيع الرقم a ، فستكون قيمة المنتج الناتج مساوية للمضاعف المشترك الأصغر للأرقام a و b.

على سبيل المثال ، لنأخذ جميع الأعداد نفسها 75 و 210 ، فوسعاتهم إلى عوامل أولية هي كما يلي: 75 = 3 5 5 و 210 = 2 3 5 7. إلى العوامل 3 و 5 و 5 من تحلل الرقم 75 ، نضيف العوامل الناقصة 2 و 7 من تحلل الرقم 210 ، نحصل على الناتج 2 3 5 5 7 ، الذي قيمته هو المضاعف المشترك الأصغر (75) ، 210).

مثال.

أوجد المضاعف المشترك الأصغر للرقمين 84 و 648.

المحلول.

نحصل أولاً على تحليل العددين 84 و 648 إلى عوامل أولية. تبدو مثل 84 = 2 2 3 7 و 648 = 2 2 2 3 3 3 3. إلى العوامل 2 و 2 و 3 و 7 من تحلل الرقم 84 نضيف العوامل المفقودة 2 و 3 و 3 و 3 من تحلل الرقم 648 ، نحصل على الناتج 2 2 2 3 3 3 3 7 ، وهو ما يساوي 4536. وبالتالي ، فإن المضاعف المشترك الأصغر المطلوب للرقمين 84 و 648 هو 4،536.

إجابه:

المضاعف المشترك الأصغر (84، 648) = 4536.

إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لثلاثة أرقام أو أكثر

يمكن إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لثلاثة أرقام أو أكثر عن طريق إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لرقمين على التوالي. تذكر النظرية المقابلة ، والتي تعطي طريقة لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر لثلاثة أرقام أو أكثر.

نظرية.

لنفترض أن الأعداد الصحيحة الموجبة أ 1 ، أ 2 ، ... ، أ ك تُعطى ، المضاعف المشترك الأصغر م ك لهذه الأرقام موجود في الحساب المتسلسل م 2 = المضاعف المشترك الأصغر (أ 1 ، أ 2) ، م 3 = المضاعف المشترك الأصغر (م 2 ، أ 3) ، ... ، م ك = المضاعف المشترك الأصغر (م ك − 1 ، أ ك).

ضع في اعتبارك تطبيق هذه النظرية على مثال إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لأربعة أرقام.

مثال.

أوجد المضاعف المشترك الأصغر للأعداد الأربعة 140 و 9 و 54 و 250.

المحلول.

في هذا المثال ، 1 = 140 ، 2 = 9 ، 3 = 54 ، 4 = 250.

أولا نجد م 2 \ u003d LCM (أ 1 ، أ 2) \ u003d LCM (140 ، 9). للقيام بذلك ، باستخدام الخوارزمية الإقليدية ، نحدد gcd (140 ، 9) ، لدينا 140 = 9 15 + 5 ، 9 = 5 1 + 4 ، 5 = 4 1 + 1 ، 4 = 1 4 ، لذلك ، gcd ( 140 ، 9) = 1 من أين المضاعف المشترك الأصغر (140 ، 9) = 140 9: المضاعف المشترك الأصغر (140 ، 9) = 140 9: 1 = 1160. أي م 2 = 1260.

الآن نجد م 3 \ u003d م.س.م (م 2 ، أ 3) \ u003d م.س. (1260 ، 54). دعونا نحسبها من خلال gcd (1260 ، 54) ، والتي تحددها أيضًا خوارزمية إقليدس: 1260 = 54 23 + 18 ، 54 = 18 3. ثم gcd (1260 ، 54) = 18 ، من أين LCM (1260 ، 54) = 1260 54: gcd (1260 ، 54) = 1260 54: 18 = 3780. أي م 3 = 3780.

تركت لتجد م 4 \ u003d م.س.م (م 3 ، أ 4) \ u003d م م 3 (3780 ، 250). للقيام بذلك ، نجد GCD (3780 ، 250) باستخدام خوارزمية إقليدس: 3780 = 250 15 + 30 ، 250 = 30 8 + 10 ، 30 = 10 3. لذلك ، gcd (3780 ، 250) = 10 ، ومن أين gcd (3780 ، 250) = 3780250: gcd (3780، 250) = 3780250: 10 = 94500. أي م 4 = 94500.

إذن ، المضاعف المشترك الأصغر للأعداد الأربعة الأصلية هو 94500.

إجابه:

المضاعف المشترك الأصغر (140، 9، 54، 250) = 94،500.

في كثير من الحالات ، يمكن العثور بسهولة على المضاعف المشترك الأصغر لثلاثة أرقام أو أكثر باستخدام التحليل الأولي لأرقام معينة. في هذه الحالة ، يجب اتباع القاعدة التالية. المضاعف المشترك الأصغر لعدة أرقام يساوي المنتج ، والذي يتكون على النحو التالي: تضاف العوامل المفقودة من توسيع الرقم الثاني إلى جميع العوامل من توسيع الرقم الأول ، والعوامل المفقودة من توسيع الرقم الأول يضاف الرقم الثالث إلى العوامل التي تم الحصول عليها ، وهكذا.

ضع في اعتبارك مثالًا لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر باستخدام تحليل الأرقام إلى عوامل أولية.

مثال.

أوجد المضاعف المشترك الأصغر لخمسة أعداد 84 ، 6 ، 48 ، 7 ، 143.

المحلول.

أولاً ، نحصل على توسعات هذه الأعداد إلى عوامل أولية: 84 = 2 2 3 7 ، 6 = 2 3 ، 48 = 2 2 2 2 3 ، 7 عوامل أولية) و 143 = 11 13.

لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر لهذه الأعداد ، تحتاج إلى إضافة العوامل المفقودة من توسيع العدد الثاني 6 إلى عوامل الرقم الأول 84 (وهي 2 و 2 و 3 و 7). لا يحتوي توسيع الرقم 6 على عوامل مفقودة ، حيث إن كلا من 2 و 3 موجودان بالفعل في توسيع الرقم الأول 84. بالإضافة إلى العوامل 2 و 2 و 3 و 7 نضيف العوامل المفقودة 2 و 2 من توسيع الرقم الثالث 48 ، نحصل على مجموعة من العوامل 2 و 2 و 2 و 2 و 3 و 7. ليست هناك حاجة لإضافة عوامل إلى هذه المجموعة في الخطوة التالية ، حيث تم تضمين 7 بالفعل فيها. أخيرًا ، إلى العوامل 2 و 2 و 2 و 2 و 3 و 7 نضيف العوامل المفقودة 11 و 13 من توسيع العدد 143. نحصل على حاصل الضرب 2 2 2 2 3 7 11 13 ، وهو ما يساوي 48 048.

لنبدأ في دراسة المضاعف المشترك الأصغر لرقمين أو أكثر. في هذا القسم ، سنقدم تعريفًا للمصطلح ، ونأخذ في الاعتبار النظرية التي تؤسس علاقة بين المضاعف المشترك الأصغر وأكبر القاسم المشترك ، ونعطي أمثلة على حل المشكلات.

المضاعفات الشائعة - التعريف والأمثلة

في هذا الموضوع ، سنهتم فقط بالمضاعفات المشتركة للأعداد الصحيحة غير الصفر.

التعريف 1

المضاعف المشترك للأعداد الصحيحةهو عدد صحيح مضاعف لجميع الأرقام المعطاة. في الواقع ، هو أي عدد صحيح يمكن تقسيمه على أي من الأرقام المعطاة.

يشير تعريف المضاعفات المشتركة إلى اثنين أو ثلاثة أو أكثر من الأعداد الصحيحة.

مثال 1

وفقًا للتعريف الوارد أعلاه للرقم 12 ، فإن المضاعفات المشتركة هي 3 و 2. سيكون الرقم 12 أيضًا مضاعفًا مشتركًا للأرقام 2 و 3 و 4. الأرقام 12 و -12 هي مضاعفات شائعة للأرقام ± 1 ، ± 2 ، ± 3 ، ± 4 ، ± 6 ، ± 12.

في نفس الوقت ، سيكون المضاعف المشترك للأرقام 2 و 3 هو الأرقام 12 ، 6 ، - 24 ، 72 ، 468 ، - 100 010 004 وعدد آخر.

إذا أخذنا أرقامًا قابلة للقسمة على الرقم الأول من الزوج ولا تقبل القسمة على الثاني ، فلن تكون هذه الأرقام مضاعفات شائعة. لذلك ، بالنسبة للأرقام 2 و 3 ، فإن الأرقام 16 ، - 27 ، 5009 ، 27001 لن تكون مضاعفات شائعة.

0 هو مضاعف مشترك لأي مجموعة من الأعداد الصحيحة غير الصفرية.

إذا تذكرنا خاصية القابلية للقسمة فيما يتعلق بالأرقام المعاكسة ، فقد تبين أن بعض الأعداد الصحيحة k ستكون مضاعفًا مشتركًا لهذه الأرقام بنفس طريقة الرقم - k. هذا يعني أن القواسم المشتركة يمكن أن تكون موجبة أو سالبة.

هل من الممكن إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لجميع الأرقام؟

يمكن إيجاد المضاعف المشترك لأي أعداد صحيحة.

مثال 2

لنفترض أننا أعطينا كأعداد صحيحة أ 1 ، أ 2 ، ... ، أ ك. العدد الذي نحصل عليه أثناء ضرب الأعداد أ 1 أ 2 ... أ كوفقًا لخاصية القسمة ، سيتم تقسيمها على كل من العوامل التي تم تضمينها في المنتج الأصلي. هذا يعني أن حاصل ضرب الأرقام أ 1 ، أ 2 ، ... ، أ كهو المضاعف المشترك الأصغر لهذه الأرقام.

كم عدد المضاعفات المشتركة التي يمكن أن تحتويها هذه الأعداد الصحيحة؟

يمكن أن تحتوي مجموعة الأعداد الصحيحة على عدد كبير من المضاعفات المشتركة. في الواقع ، عددهم لا نهائي.

مثال 3

افترض أن لدينا عددًا ما ك. ثم يكون حاصل ضرب العددين k · z ، حيث z عددًا صحيحًا ، سيكون مضاعفًا مشتركًا للأرقام k و z. بالنظر إلى أن عدد الأعداد لا نهائي ، فإن عدد المضاعفات المشتركة لا نهائي.

المضاعف المشترك الأصغر (LCM) - التعريف والرمز والأمثلة

تذكر مفهوم أصغر عدد من مجموعة معينة من الأرقام ، والتي أخذناها في الاعتبار في قسم مقارنة الأعداد الصحيحة. مع وضع هذا المفهوم في الاعتبار ، دعونا نصيغ تعريف المضاعف المشترك الأصغر ، والذي له أكبر قيمة عملية بين جميع المضاعفات المشتركة.

التعريف 2

المضاعف المشترك الأصغر للأعداد الصحيحة المحددةهو المضاعف المشترك الأقل إيجابيًا لهذه الأرقام.

يوجد المضاعف المشترك الأصغر لأي عدد من الأرقام المحددة. الاختصار NOK هو الأكثر استخدامًا لتعيين مفهوم في الأدبيات المرجعية. اختصار للمضاعف المشترك الأصغر للأرقام أ 1 ، أ 2 ، ... ، أ كسيبدو مثل LCM (أ 1 ، أ 2 ، ... ، أ ك).

مثال 4

المضاعف المشترك الأصغر للعددين 6 و 7 هو 42. أولئك. المضاعف المشترك الأصغر (6 ، 7) = 42. المضاعف المشترك الأصغر لأربعة أعداد - 2 و 12 و 15 و 3 سيساوي 60. سيكون الاختزال LCM (- 2 ، 12 ، 15 ، 3) = 60.

ليس لكل مجموعات الأرقام المحددة ، يكون المضاعف المشترك الأقل واضحًا. في كثير من الأحيان يجب حسابه.

العلاقة بين NOC و NOD

المضاعف المشترك الأصغر والمقسوم عليه الأكبر مرتبطان. يتم تأسيس العلاقة بين المفاهيم من خلال النظرية.

نظرية 1

المضاعف المشترك الأصغر لعددين صحيحين موجبين a و b يساوي حاصل ضرب العددين a و b مقسومًا على القاسم المشترك الأكبر للرقمين a و b ، أي المضاعف المشترك الأصغر (a ، b) = a b: gcd (a ، ب) .

إثبات 1

افترض أن لدينا عددًا M وهو مضاعف الأعداد a و b. إذا كان الرقم M يقبل القسمة على a ، فهناك أيضًا عدد صحيح z , تحتها المساواة م = أ ك. وفقًا لتعريف القابلية للقسمة ، إذا كانت M قابلة للقسمة أيضًا على ب، وماذا بعد أ كمقسومة على ب.

إذا قدمنا ​​ترميزًا جديدًا لـ gcd (a، b) as د، ثم يمكننا استخدام المساواة أ = أ 1 دو ب = ب 1 · د. في هذه الحالة ، ستكون كلتا المتعادلتين أرقامًا للجريمة.

لقد أنشأنا بالفعل فوق ذلك أ كمقسومة على ب. الآن يمكن كتابة هذا الشرط على النحو التالي:
أ 1 د كمقسومة على ب 1 د، وهو ما يعادل الشرط أ 1 كمقسومة على ب 1حسب خصائص القسمة.

وفقًا لخاصية الأعداد الأولية نسبيًا ، إذا أ 1و ب 1هي أعداد أولية متبادلة ، أ 1لا يقبل القسمة ب 1بغض النظر عن حقيقة أن أ 1 كمقسومة على ب 1، ومن بعد ب 1يجب أن تشارك ك.

في هذه الحالة ، سيكون من المناسب افتراض وجود رقم ر، لأي منهم ك = ب 1 رو منذ ذلك الحين ب 1 = ب: د، ومن بعد ك = ب: د ر.

الآن بدلا من كضع في المساواة م = أ كالتعبير عن النموذج ب: د ر. هذا يسمح لنا بالوصول إلى المساواة م = أ ب: د ر. في ر = 1يمكننا الحصول على أقل مضاعف مشترك موجب لكل من a و b , مساو أ ب: دبشرط أن يكون الرقمان أ وب إيجابي.

لذلك أثبتنا أن المضاعف المشترك الأصغر (أ ، ب) = أ ب: GCD (أ ، ب).

يتيح لك إنشاء اتصال بين LCM و GCD العثور على المضاعف المشترك الأصغر من خلال القاسم المشترك الأكبر لرقمين أو أكثر.

التعريف 3

للنظرية نتيجتان مهمتان:

• مضاعفات المضاعف المشترك الأصغر لرقمين هي نفس المضاعفات المشتركة لهذين الرقمين ؛
• المضاعف المشترك الأصغر للأرقام الموجبة أ و ب يساوي حاصل ضربهما.

ليس من الصعب إثبات هاتين الحقيقتين. يتم تعريف أي مضاعف مشترك للأرقام M a و b بالمساواة M = LCM (a ، b) t لبعض قيمة عدد صحيح t. بما أن a و b عبارة عن جريمة مشتركة ، فإن gcd (a، b) = 1 ، لذلك LCM (a، b) = a b: gcd (a، b) = a b: 1 = a b.

المضاعف المشترك الأصغر لثلاثة أرقام أو أكثر

للعثور على المضاعف المشترك الأصغر لعدة أرقام ، يجب عليك إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لرقمين على التوالي.

نظرية 2

دعونا نتظاهر بذلك أ 1 ، أ 2 ، ... ، أ كهي بعض الأعداد الصحيحة الموجبة. لحساب المضاعف المشترك الأصغر م كهذه الأرقام ، نحتاج إلى حسابها بالتسلسل م 2 = م م 2(أ 1 ، أ 2) ، م 3 = شهادة عدم ممانعة(م 2 ، أ 3) ، ... ، م ك = شهادة عدم ممانعة(م ك - 1 ، أ ك).

إثبات 2

ستساعدنا النتيجة الطبيعية الأولى للنظرية الأولى التي تمت مناقشتها في هذا الموضوع على إثبات صحة النظرية الثانية. تم بناء الاستدلال وفقًا للخوارزمية التالية:

• المضاعفات المشتركة للأرقام أ 1و أ 2تتطابق مع مضاعفات المضاعف المشترك الأصغر الخاص بهم ، في الواقع ، يتطابقون مع مضاعفات العدد م 2;
• المضاعفات المشتركة للأرقام أ 1, أ 2و أ 3 م 2و أ 3 م 3;
• المضاعفات المشتركة للأرقام أ 1 ، أ 2 ، ... ، أ كتتطابق مع المضاعفات المشتركة للأرقام م ك - 1و أ ك، لذلك ، تتطابق مع مضاعفات العدد م ك;
• يرجع ذلك إلى حقيقة أن أصغر مضاعف موجب للعدد م كهو الرقم نفسه م ك، ثم المضاعف المشترك الأصغر للأرقام أ 1 ، أ 2 ، ... ، أ كهو م ك.

لذلك أثبتنا النظرية.

إذا لاحظت وجود خطأ في النص ، فيرجى تمييزه والضغط على Ctrl + Enter