يتعامل شخص ما مع كلمة "التقدم" بحذر ، كمصطلح معقد جدًا من أقسام الرياضيات العليا. وفي الوقت نفسه ، فإن أبسط تقدم حسابي هو عمل عداد سيارات الأجرة (حيث لا يزالون). ولفهم جوهر (وفي الرياضيات لا يوجد شيء أكثر أهمية من "فهم الجوهر") للتسلسل الحسابي ليس بالأمر الصعب ، بعد تحليل بعض المفاهيم الأولية.

تسلسل رقمي رياضي

من المعتاد استدعاء التسلسل العددي لسلسلة من الأرقام ، لكل منها رقمه الخاص.

و 1 هو العضو الأول في التسلسل ؛

و 2 هو العضو الثاني في التسلسل ؛

و 7 هو العضو السابع في التسلسل.

و n هو العضو التاسع في التسلسل ؛

ومع ذلك ، لا تهمنا أي مجموعة من الأرقام والأرقام التعسفية. سنركز اهتمامنا على التسلسل العددي الذي ترتبط فيه قيمة العضو رقم n برقمه الترتيبي من خلال تبعية يمكن صياغتها بشكل واضح رياضيًا. بمعنى آخر: القيمة العددية للرقم n هي بعض وظائف n.

أ - قيمة عضو في التسلسل العددي ؛

n هو رقمه التسلسلي ؛

f (n) هي دالة حيث يكون الترتيب الترتيبي في التسلسل الرقمي n هو الوسيطة.

تعريف

عادة ما يسمى التقدم الحسابي بالتسلسل العددي الذي يكون فيه كل مصطلح لاحق أكبر (أقل) من السابق بنفس الرقم. صيغة العضو التاسع في المتوالية الحسابية هي كما يلي:

أ ن - قيمة العضو الحالي للتقدم الحسابي ؛

أ ن + 1 - صيغة الرقم التالي ؛

د - فرق (رقم معين).

من السهل تحديد أنه إذا كان الفرق موجبًا (d> 0) ، فسيكون كل عضو لاحق في السلسلة قيد الدراسة أكبر من السابق ، وسيزداد هذا التقدم الحسابي.

في الرسم البياني أدناه ، من السهل معرفة سبب تسمية التسلسل الرقمي بـ "زيادة".

في الحالات التي يكون فيها الاختلاف سلبيا (د<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

قيمة العضو المحدد

في بعض الأحيان يكون من الضروري تحديد قيمة بعض المصطلحات التعسفية أ ن للتقدم الحسابي. يمكنك القيام بذلك عن طريق حساب قيم جميع أعضاء التقدم الحسابي على التوالي ، من الأول إلى المطلوب. ومع ذلك ، فهذه الطريقة ليست مقبولة دائمًا إذا كان من الضروري ، على سبيل المثال ، إيجاد قيمة المصطلح خمسة آلاف أو ثمانية ملايين. سيستغرق الحساب التقليدي وقتًا طويلاً. ومع ذلك ، يمكن التحقيق في تقدم حسابي معين باستخدام صيغ معينة. هناك أيضًا صيغة للمصطلح التاسع: يمكن تحديد قيمة أي عضو في التقدم الحسابي كمجموع للعضو الأول في التقدم مع اختلاف التقدم ، مضروبًا في عدد العضو المطلوب ، ناقص واحد .

الصيغة عالمية لزيادة وتناقص التقدم.

مثال لحساب قيمة عضو معين

لنحل المشكلة التالية لإيجاد قيمة العضو رقم n للتقدم الحسابي.

الشرط: هناك تقدم حسابي مع المعلمات:

أول عضو في التسلسل هو 3 ؛

الفرق في سلسلة الأعداد هو 1.2.

المهمة: من الضروري إيجاد قيمة 214 حدًا

الحل: لتحديد قيمة عضو معين ، نستخدم الصيغة:

أ (ن) = أ 1 + د (ن -1)

استبدال البيانات من بيان المشكلة في التعبير ، لدينا:

أ (214) = أ 1 + د (ن -1)

أ (214) = 3 + 1.2 (214-1) = 258.6

الجواب: العضو 214 في التسلسل يساوي 258.6.

مزايا طريقة الحساب هذه واضحة - لا يستغرق الحل بأكمله أكثر من سطرين.

مجموع عدد معين من الأعضاء

في كثير من الأحيان ، في سلسلة حسابية معينة ، يلزم تحديد مجموع قيم بعض مقاطعها. كما أنه لا يحتاج إلى حساب قيم كل مصطلح ثم تلخيصها. هذه الطريقة قابلة للتطبيق إذا كان عدد المصطلحات التي يجب العثور على مجموعها صغيرًا. في حالات أخرى ، يكون استخدام الصيغة التالية أكثر ملاءمة.

مجموع أعضاء التقدم الحسابي من 1 إلى n يساوي مجموع العضوين الأول والثاني ، مضروبًا في رقم العضو n ومقسومًا على اثنين. إذا تم استبدال قيمة العضو رقم n في الصيغة بالتعبير من الفقرة السابقة من المقالة ، نحصل على:

مثال على الحساب

على سبيل المثال ، لنحل مشكلة بالشروط التالية:

الحد الأول من التسلسل هو صفر ؛

الفرق هو 0.5.

في المشكلة ، يلزم تحديد مجموع شروط السلسلة من 56 إلى 101.

المحلول. دعنا نستخدم الصيغة لتحديد مجموع التقدم:

ق (ن) = (2 ∙ a1 + د ∙ (ن -1)) ∙ ن / 2

أولاً ، نحدد مجموع قيم 101 عضو في التقدم عن طريق استبدال الشروط المعطاة لمشكلتنا في الصيغة:

ق 101 = (2 0 + 0.5 (101-1)) 101/2 = 2525

من الواضح ، من أجل معرفة مجموع شروط التقدم من 56 إلى 101 ، من الضروري طرح S 55 من S 101.

ق 55 = (2 0 + 0.5 (55-1)) 55/2 = 742.5

إذن ، مجموع التقدم الحسابي لهذا المثال هو:

ق 101 - ق 55 \ u003d 2525 - 742.5 \ u003d 1،782.5

مثال على التطبيق العملي للتقدم الحسابي

في نهاية المقال ، دعنا نعود إلى مثال التسلسل الحسابي الوارد في الفقرة الأولى - مقياس التاكسي (عداد سيارة الأجرة). لنفكر في مثل هذا المثال.

ركوب سيارة أجرة (التي تشمل 3 كم) يكلف 50 روبل. يتم دفع كل كيلومتر لاحق بمعدل 22 روبل / كم. مسافة السفر 30 كم. احسب تكلفة الرحلة.

1. دعنا نتجاهل أول 3 كيلومترات ، سعرها مشمول في تكلفة الهبوط.

30-3 = 27 كم.

2. الحساب الإضافي ليس أكثر من تحليل سلسلة أرقام حسابية.

رقم العضو هو عدد الكيلومترات المقطوعة (مطروحًا منه الثلاثة الأولى).

قيمة العضو هي المجموع.

سيساوي المصطلح الأول في هذه المشكلة 1 = 50 روبل.

فرق التقدم د = 22 ص.

العدد الذي يهمنا - قيمة العضو (27 + 1) من التقدم الحسابي - قراءة العداد في نهاية الكيلومتر 27 - 27.999 ... = 28 كم.

أ 28 = 50 + 22 ∙ (28-1) = 644

تعتمد حسابات بيانات التقويم لفترة طويلة بشكل تعسفي على الصيغ التي تصف تسلسلات رقمية معينة. في علم الفلك ، يعتمد طول المدار هندسيًا على مسافة الجسم السماوي إلى النجم. بالإضافة إلى ذلك ، يتم استخدام السلاسل العددية المختلفة بنجاح في الإحصاء وفروع الرياضيات التطبيقية الأخرى.

نوع آخر من التسلسل الرقمي هو هندسي

يتميز التقدم الهندسي بمعدل تغير كبير مقارنة بالمعدل الحسابي. ليس من قبيل المصادفة أنه في السياسة وعلم الاجتماع والطب ، في كثير من الأحيان ، من أجل إظهار السرعة العالية لانتشار ظاهرة معينة ، على سبيل المثال ، مرض أثناء الوباء ، يقولون إن العملية تتطور بشكل كبير.

يختلف العضو N من سلسلة الأرقام الهندسية عن العنصر السابق في أنه مضروب في عدد ثابت - المقام ، على سبيل المثال ، العضو الأول هو 1 ، والمقام هو 2 ، على التوالي ، ثم:

ن = 1: 1 ∙ 2 = 2

ن = 2: 2 ∙ 2 = 4

ن = 3: 4 ∙ 2 = 8

ن = 4: 8 ∙ 2 = 16

ن = 5:16 ∙ 2 = 32 ،

ب ن - قيمة العضو الحالي للتقدم الهندسي ؛

ب ن + 1 - صيغة العضو التالي في التقدم الهندسي ؛

q هو مقام التقدم الهندسي (رقم ثابت).

إذا كان الرسم البياني للتقدم الحسابي عبارة عن خط مستقيم ، فإن الشكل الهندسي يرسم صورة مختلفة قليلاً:

كما في حالة الحساب ، فإن للتقدم الهندسي صيغة لقيمة العضو التعسفي. أي حد من رقم n للتقدم الهندسي يساوي حاصل ضرب المصطلح الأول ومقام التقدم إلى قوة n مخفضًا بواحد:

مثال. لدينا تقدم هندسي مع الحد الأول يساوي 3 ومقام التقدم يساوي 1.5. أوجد الحد الخامس من التقدم

ب 5 \ u003d ب 1 ∙ س (5-1) \ u003d 3 ∙ 1.5 4 \ u003d 15.1875

يتم أيضًا حساب مجموع عدد معين من الأعضاء باستخدام صيغة خاصة. يساوي مجموع أول n من أعضاء التقدم الهندسي الفرق بين ناتج العضو التاسع في التقدم ومقامه والعضو الأول في التقدم ، مقسومًا على المقام مخفضًا بواحد:

إذا تم استبدال b n باستخدام الصيغة التي تمت مناقشتها أعلاه ، فستأخذ قيمة مجموع n أول أعضاء من سلسلة الأرقام المدروسة الشكل:

مثال. يبدأ التقدم الهندسي بالمصطلح الأول الذي يساوي 1. والمقام يساوي 3. لنجد مجموع الحدود الثمانية الأولى.

ق 8 = 1 (3 8 -1) / (3-1) = 3280

آلة حاسبة على الانترنت.
حل التقدم الحسابي.
معطى: أ ن ، د ، ن
البحث: أ 1

يعثر برنامج الرياضيات هذا على \ (a_1 \) من التقدم الحسابي بناءً على الأرقام المحددة من قبل المستخدم \ (a_n ، d \) و \ (n \).
يمكن تحديد الأرقام \ (a_n \) و \ (d \) ليس فقط كأعداد صحيحة ، ولكن أيضًا ككسور. علاوة على ذلك ، يمكن إدخال رقم كسري ككسر عشري (\ (2.5 \)) وككسر عادي (\ (- 5 \ frac (2) (7) \)).

لا يعطي البرنامج الإجابة على المشكلة فحسب ، بل يعرض أيضًا عملية إيجاد حل.

يمكن أن تكون هذه الآلة الحاسبة عبر الإنترنت مفيدة لطلاب المدارس الثانوية في التحضير للاختبارات والامتحانات ، وعند اختبار المعرفة قبل امتحان الدولة الموحد ، وللآباء للتحكم في حل العديد من المشكلات في الرياضيات والجبر. أو ربما يكون استئجار مدرس أو شراء كتب مدرسية جديدة مكلفًا للغاية؟ أو هل تريد فقط إنهاء واجباتك في الرياضيات أو الجبر في أسرع وقت ممكن؟ في هذه الحالة ، يمكنك أيضًا استخدام برامجنا مع حل مفصل.

وبهذه الطريقة ، يمكنك إجراء تدريبك الخاص و / أو تدريب إخوتك أو أخواتك الأصغر سنًا ، مع زيادة مستوى التعليم في مجال المهام التي يتعين حلها.

إذا لم تكن على دراية بقواعد إدخال الأرقام ، نوصيك بالتعرف عليها.

قواعد إدخال الأرقام

يمكن تحديد الأرقام \ (a_n \) و \ (d \) ليس فقط كأعداد صحيحة ، ولكن أيضًا ككسور.
يمكن أن يكون الرقم \ (n \) عددًا صحيحًا موجبًا فقط.

قواعد إدخال الكسور العشرية.
يمكن فصل الأجزاء الصحيحة والكسرية في الكسور العشرية إما بنقطة أو فاصلة.
على سبيل المثال ، يمكنك إدخال الكسور العشرية مثل 2.5 أو 2.5

قواعد إدخال الكسور العادية.
فقط عدد صحيح يمكن أن يعمل كبسط ومقام وجزء صحيح من الكسر.

لا يمكن أن يكون المقام سالبًا.

عند إدخال كسر عددي ، يتم فصل البسط عن المقام بعلامة قسمة: /
إدخال:
النتيجة: \ (- \ frac (2) (3) \)

يتم فصل الجزء الصحيح عن الكسر بواسطة علامة العطف: &
إدخال:
النتيجة: \ (- 1 \ frac (2) (3) \)

أدخل الأرقام أ ن ، د ، ن

ابحث عن 1

تم العثور على أن بعض البرامج النصية اللازمة لحل هذه المهمة لم يتم تحميلها ، وقد لا يعمل البرنامج.
قد يكون لديك AdBlock ممكّنًا.
في هذه الحالة ، قم بتعطيله وتحديث الصفحة.

تم تعطيل JavaScript في المستعرض الخاص بك.
يجب تمكين JavaScript حتى يظهر الحل.
فيما يلي إرشادات حول كيفية تمكين JavaScript في متصفحك.

لان هناك الكثير من الأشخاص الذين يرغبون في حل المشكلة ، يتم وضع طلبك في قائمة الانتظار.
بعد بضع ثوانٍ ، سيظهر الحل أدناه.
انتظر من فضلك ثانية ...

اذا أنت لاحظت وجود خطأ في الحل، ثم يمكنك الكتابة عنها في نموذج الملاحظات.
لا تنسى تشير إلى أي مهمةعليك أن تقرر ماذا أدخل في الحقول.

ألعابنا وألغازنا ومحاكياتنا:

قليلا من النظرية.

تسلسل رقمي

في الممارسة اليومية ، غالبًا ما يستخدم ترقيم العناصر المختلفة للإشارة إلى الترتيب الذي توجد به. على سبيل المثال ، المنازل في كل شارع مرقمة. في المكتبة ، يتم ترقيم اشتراكات القارئ ثم ترتيبها بترتيب الأرقام المخصصة في خزائن الملفات الخاصة.

في بنك التوفير ، من خلال رقم الحساب الشخصي للمودع ، يمكنك بسهولة العثور على هذا الحساب ومعرفة نوع الإيداع لديه. يجب أن يكون هناك وديعة بقيمة 1 روبل في الحساب رقم 1 ، وديعة 2 روبل في الحساب رقم 2 ، إلخ. اتضح التسلسل العددي
أ 1 ، أ 2 ، أ 3 ، ... ، أ ن
حيث N هو عدد جميع الحسابات. هنا ، يتم تعيين رقم n لكل رقم طبيعي n من 1 إلى N.

الرياضيات أيضا تدرس التسلسلات العددية اللانهائية:
أ 1 ، أ 2 ، أ 3 ، ... ، أ ن ، ....
الرقم 1 يسمى أول عضو في التسلسل، رقم أ 2 - العضو الثاني في التسلسل، رقم أ 3 - العضو الثالث في التسلسلإلخ.
الرقم n يسمى nth (nth) عضو في التسلسل، والعدد الطبيعي n هو رقم.

على سبيل المثال ، في تسلسل مربعات الأعداد الطبيعية 1 ، 4 ، 9 ، 16 ، 25 ، ... ، ن 2 ، (ن + 1) 2 ، ... و 1 = 1 هو العضو الأول في المتسلسلة ؛ و n = n 2 هو العضو التاسع في التسلسل ؛ a n + 1 = (n + 1) 2 هو العضو (n + 1) th (en بالإضافة إلى الأول) في التسلسل. في كثير من الأحيان يمكن تحديد تسلسل من خلال صيغة العضو التاسع. على سبيل المثال ، تعطي الصيغة \ (a_n = \ frac (1) (n)، \؛ n \ in \ mathbb (N) \) التسلسل \ (1، \؛ \ frac (1) (2)، \؛ \ frac (1) (3) ، \ ؛ \ frac (1) (4) ، \ النقاط ، \ frac (1) (n) ، \ النقاط \)

المتوالية العددية

يبلغ طول العام 365 يومًا تقريبًا. القيمة الأكثر دقة هي \ (365 \ frac (1) (4) \) يوم ، لذلك كل أربع سنوات يتراكم خطأ ليوم واحد.

لحساب هذا الخطأ ، تتم إضافة يوم إلى كل عام رابع ، وتسمى السنة الممدودة بالسنة الكبيسة.

على سبيل المثال ، في الألفية الثالثة ، السنوات الكبيسة هي 2004 ، 2008 ، 2012 ، 2016 ، ....

في هذا التسلسل ، كل عضو ، بدءًا من الثاني ، يساوي العضو السابق ، مضافًا بنفس الرقم 4. تسمى هذه التسلسلات التعاقب الحسابي.

تعريف.
التسلسل العددي a 1 ، a 2 ، a 3 ، ... ، a n ، ... يسمى المتوالية العددية، إذا كان لكل شيء طبيعي n المساواة
\ (أ_ (ن + 1) = أ_n + د ، \)
حيث d هو رقم ما.

يتبع من هذه الصيغة أن أ ن + 1 - أ ن = د. الرقم د يسمى الفرق المتوالية العددية.

من خلال تعريف التقدم الحسابي ، لدينا:
\ (أ_ (n + 1) = أ_n + د ، \ رباعي أ_ (ن -1) = أ_n-د ، \)
أين
\ (a_n = \ frac (a_ (n-1) + a_ (n + 1)) (2) \) ، حيث \ (n> 1 \)

وبالتالي ، فإن كل عضو في التقدم الحسابي ، بدءًا من الثاني ، يساوي المتوسط ​​الحسابي للعضوين المجاورين له. هذا ما يفسر اسم التقدم "الحسابي".

لاحظ أنه إذا تم إعطاء 1 و d ، فيمكن حساب المصطلحات المتبقية للتقدم الحسابي باستخدام الصيغة العودية a n + 1 = a n + d. بهذه الطريقة ، ليس من الصعب حساب المصطلحات القليلة الأولى للتقدم ، ومع ذلك ، على سبيل المثال ، بالنسبة لـ 100 ، ستكون هناك حاجة إلى الكثير من العمليات الحسابية بالفعل. عادة ، يتم استخدام صيغة المصطلح n لهذا الغرض. حسب تعريف التقدم الحسابي
\ (أ_2 = أ_1 + د ، \)
\ (a_3 = a_2 + d = a_1 + 2d، \)
\ (a_4 = a_3 + د = a_1 + 3d \)
إلخ.
عمومًا،
\ (a_n = a_1 + (n-1) د ، \)
نظرًا لأن العضو التاسع في التقدم الحسابي يتم الحصول عليه من العضو الأول بإضافة (n-1) مضروبًا في الرقم d.
هذه الصيغة تسمى صيغة العضو التاسع في التقدم الحسابي.

مجموع أول n من المصطلحات للتقدم الحسابي

لنجد مجموع الأعداد الطبيعية من 1 إلى 100.
نكتب هذا المجموع بطريقتين:
S = l + 2 + 3 + ... + 99 + 100 ،
S = 100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1.
نضيف هذه المساواة مصطلحًا بمصطلح:
2S = 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101.
هناك 100 حد في هذا المجموع.
لذلك ، 2S = 101 * 100 ، حيث S = 101 * 50 = 5050.

فكر الآن في تقدم حسابي تعسفي
أ 1 ، أ 2 ، أ 3 ، ... ، أ ن ، ...
لنفترض أن S n هي مجموع أول n من هذا التقدم:
S n \ u003d a 1، a 2، a 3، ...، a n
ثم مجموع أول n من المصطلحات للتقدم الحسابي هو
\ (S_n = n \ cdot \ frac (a_1 + a_n) (2) \)

نظرًا لأن \ (a_n = a_1 + (n-1) d \) ، ثم استبدال n في هذه الصيغة ، نحصل على صيغة أخرى للبحث مجاميع أول n من المصطلحات للتقدم الحسابي:
\ (S_n = n \ cdot \ frac (2a_1 + (n-1) د) (2) \)

كتب (كتب مدرسية) ملخصات امتحان الدولة الموحد واختبارات OGE ألعاب على الإنترنت ، ألغاز بناء رسوم بيانية للوظائف قاموس إملائي لقاموس اللغة الروسية للغة العامية للشباب دليل المدارس الروسية كتالوج المدارس الثانوية في روسيا فهرس الجامعات الروسية قائمة المهام

مشاكل التقدم الحسابي موجودة منذ العصور القديمة. ظهروا وطالبوا بالحل لأن لديهم حاجة عملية.

لذلك ، في إحدى برديات مصر القديمة ، والتي تحتوي على محتوى رياضي - بردية Rhind (القرن التاسع عشر قبل الميلاد) - تحتوي على المهمة التالية: تقسيم عشرة مقاييس من الخبز إلى عشرة أشخاص ، بشرط أن يكون الفرق بين كل منها واحدًا. ثمن القياس.

وفي الأعمال الرياضية لليونانيين القدماء ، توجد نظريات أنيقة تتعلق بالتقدم الحسابي. لذلك ، صاغ Hypsicles of Alexandria (القرن الثاني ، الذي جمع العديد من المشكلات الشيقة وأضف الكتاب الرابع عشر إلى "Elements" لإقليدس ، الفكرة التالية: "في التقدم الحسابي مع عدد زوجي من الأعضاء ، مجموع أعضاء النصف الثاني أكبر من مجموع أعضاء الأول من قبل أعضاء المربع 1/2.

يتم الإشارة إلى التسلسل. تسمى أرقام التسلسل أعضائها ويتم الإشارة إليها عادةً بأحرف مع مؤشرات تشير إلى الرقم التسلسلي لهذا العضو (a1 ، a2 ، a3 ... اقرأ: "a 1st" ، "a 2nd" ، "a 3rd" وهلم جرا).

يمكن أن يكون التسلسل غير محدود أو محدود.

ما هو التقدم الحسابي؟ يُفهم أنه تم الحصول عليه عن طريق إضافة المصطلح السابق (n) بنفس الرقم d ، وهو اختلاف التقدم.

إذا د<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0 ، ثم يعتبر هذا التقدم في تزايد.

يقال إن التقدم الحسابي محدود إذا تم أخذ عدد قليل من مصطلحاته الأولى في الاعتبار. مع وجود عدد كبير جدًا من الأعضاء ، يعد هذا بالفعل تقدمًا لا نهائيًا.

يتم إعطاء أي تقدم حسابي بالمعادلة التالية:

an = kn + b ، بينما b و k بعض الأرقام.

العبارة ، التي هي عكس ذلك ، صحيحة تمامًا: إذا تم إعطاء التسلسل بصيغة مماثلة ، فهذا بالضبط تقدم حسابي ، له الخصائص:

1. كل عضو في التقدم هو المتوسط ​​الحسابي للعضو السابق والعضو التالي.
2. العكس: إذا كان كل مصطلح ، بدءًا من المصطلح الثاني ، هو المتوسط ​​الحسابي للمصطلح السابق والتالي ، أي إذا تم استيفاء الشرط ، فإن التسلسل المحدد هو تقدم حسابي. هذه المساواة هي في نفس الوقت علامة على التقدم ، لذلك عادة ما تسمى خاصية مميزة للتقدم.
   بالطريقة نفسها ، فإن النظرية التي تعكس هذه الخاصية صحيحة: التسلسل هو تقدم حسابي فقط إذا كانت هذه المساواة صحيحة لأي من أعضاء المتسلسلة ، بدءًا من الثانية.

يمكن التعبير عن الخاصية المميزة لأي أربعة أرقام للتقدم الحسابي بالصيغة a + am = ak + al إذا كانت n + m = k + l (m ، n ، k هي أرقام التقدم).

في التقدم الحسابي ، يمكن العثور على أي مصطلح (Nth) ضروري من خلال تطبيق الصيغة التالية:

على سبيل المثال: يتم إعطاء المصطلح الأول (a1) في التقدم الحسابي ويساوي ثلاثة ، والفرق (د) يساوي أربعة. تحتاج إلى العثور على الفصل الخامس والأربعين لهذا التقدم. أ 45 = 1 + 4 (45-1) = 177

تسمح لك الصيغة a = ak + d (n - k) بتحديد العضو n من التقدم الحسابي من خلال أي من أعضائه k ، بشرط أن يكون معروفًا.

يتم حساب مجموع أعضاء التقدم الحسابي (بافتراض أول ن أعضاء من التقدم النهائي) على النحو التالي:

Sn = (a1 + an) ن / 2.

إذا كان المصطلح الأول معروفًا أيضًا ، فإن صيغة أخرى مناسبة للحساب:

Sn = ((2a1 + d (n-1)) / 2) * n.

يتم حساب مجموع التقدم الحسابي الذي يحتوي على عدد n من المصطلحات على النحو التالي:

يعتمد اختيار الصيغ للحسابات على شروط المهام والبيانات الأولية.

السلسلة الطبيعية لأية أرقام مثل 1 ، 2 ، 3 ، ... ، ن ، ... هي أبسط مثال على التقدم الحسابي.

بالإضافة إلى التقدم الحسابي ، هناك أيضًا تقدم هندسي له خصائصه وخصائصه.

مستوى اول

المتوالية العددية. النظرية التفصيلية مع الأمثلة (2019)

تسلسل رقمي

لذلك دعونا نجلس ونبدأ في كتابة بعض الأرقام. فمثلا:
يمكنك كتابة أي أرقام ، ويمكن أن يكون هناك ما تريد (في حالتنا ، هم). بغض النظر عن عدد الأرقام التي نكتبها ، يمكننا دائمًا تحديد أي منهم هو الأول ، وهو الثاني ، وهكذا إلى الأخير ، أي يمكننا ترقيمها. هذا مثال على تسلسل رقمي:

تسلسل رقمي
على سبيل المثال ، بالنسبة لتسلسلنا:

الرقم المخصص محدد لرقم تسلسل واحد فقط. بمعنى آخر ، لا توجد ثلاثة أرقام ثانية في التسلسل. الرقم الثاني (مثل الرقم -th) هو نفسه دائمًا.
الرقم الذي يحتوي على الرقم يسمى العضو -th في التسلسل.

عادة ما نطلق على التسلسل الكامل بعض الأحرف (على سبيل المثال ،) ، وكل عضو في هذا التسلسل - نفس الحرف مع فهرس يساوي رقم هذا العضو:.

في حالتنا هذه:

لنفترض أن لدينا تسلسلًا رقميًا يكون فيه الفرق بين الأعداد المتجاورة متساويًا ومتساويًا.
فمثلا:

إلخ.
يسمى هذا التسلسل العددي بالتقدم الحسابي.
تم تقديم مصطلح "التقدم" من قبل المؤلف الروماني بوثيوس في وقت مبكر من القرن السادس وتم فهمه بمعنى أوسع على أنه تسلسل رقمي لا نهاية له. تم نقل اسم "الحساب" من نظرية النسب المستمرة التي انخرط فيها الإغريق القدماء.

هذا تسلسل رقمي ، كل عضو فيه يساوي التسلسل السابق ، مضافًا بنفس الرقم. يسمى هذا الرقم باختلاف التقدم الحسابي ويشار إليه.

حاول تحديد التسلسلات الرقمية التي تعتبر تقدمًا حسابيًا وأيها ليست:

أ)
ب)
ج)
د)

فهمتك؟ قارن إجاباتنا:
هوالتقدم الحسابي - ب ، ج.
ليسالتقدم الحسابي - أ ، د.

دعنا نعود إلى التقدم المعطى () ونحاول إيجاد قيمة العضو العاشر. موجود اثنينطريقة للعثور عليه.

1. الطريقة

يمكننا أن نضيف إلى القيمة السابقة لرقم التقدم حتى نصل إلى الحد العاشر من التقدم. من الجيد أنه ليس لدينا الكثير لتلخيصه - ثلاث قيم فقط:

إذن ، العضو -th في التقدم الحسابي الموصوف يساوي.

2. الطريقة

ماذا لو احتجنا لإيجاد قيمة الحد ال عشر للتقدم؟ كان الجمع سيستغرق منا أكثر من ساعة ، وليس حقيقة أننا لم نكن نرتكب أخطاء عند جمع الأرقام.
بالطبع ، توصل علماء الرياضيات إلى طريقة لا تحتاج فيها إلى إضافة فرق التقدم الحسابي إلى القيمة السابقة. انظر عن كثب إلى الصورة المرسومة ... بالتأكيد لاحظت بالفعل نمطًا معينًا ، وهو:

على سبيل المثال ، دعنا نرى ما الذي يُكوِّن قيمة العضو رقم -th في هذا التقدم الحسابي:


بعبارات أخرى:

حاول أن تجد بهذه الطريقة بشكل مستقل قيمة عضو في هذا التقدم الحسابي.

محسوب؟ قارن إدخالاتك بالإجابة:

انتبه إلى أنك حصلت على نفس الرقم تمامًا كما في الطريقة السابقة ، عندما أضفنا على التوالي أعضاء التقدم الحسابي إلى القيمة السابقة.
دعنا نحاول "نزع الطابع الشخصي" عن هذه الصيغة - فنحن نضعها في شكل عام ونحصل على:

معادلة التقدم الحسابي.

التدرجات الحسابية تتزايد أو تتناقص.

في ازدياد- التدرجات التي تكون فيها كل قيمة لاحقة للمصطلحات أكبر من القيمة السابقة.
فمثلا:

تنازلي- التدرجات التي تكون فيها كل قيمة لاحقة للمصطلحات أقل من القيمة السابقة.
فمثلا:

تُستخدم الصيغة المشتقة في حساب المصطلحات في كل من المصطلحات المتزايدة والمتناقصة للتقدم الحسابي.
دعنا نتحقق من ذلك في الممارسة.
يتم منحنا تقدمًا حسابيًا يتكون من الأرقام التالية:

منذ ذلك الحين:

وبالتالي ، كنا مقتنعين بأن الصيغة تعمل في تقليل التقدم الحسابي وزيادة حجمه.
حاول أن تجد العضوين -th و -th في هذا التقدم الحسابي بنفسك.

لنقارن النتائج:

خاصية التقدم الحسابي

دعونا نعقد المهمة - نشتق خاصية التقدم الحسابي.
لنفترض أننا حصلنا على الشرط التالي:
- التقدم الحسابي ، أوجد القيمة.
إنه سهل ، كما تقول ، وابدأ في العد وفقًا للصيغة التي تعرفها بالفعل:

دعونا إذن:

صح تماما. اتضح أننا وجدنا أولًا ، ثم نضيفه إلى الرقم الأول ونحصل على ما نبحث عنه. إذا تم تمثيل التقدم بقيم صغيرة ، فلا يوجد شيء معقد بشأنه ، ولكن ماذا لو تم إعطاؤنا أرقامًا في الحالة؟ موافق ، هناك احتمال لارتكاب أخطاء في الحسابات.
فكر الآن ، هل من الممكن حل هذه المشكلة في خطوة واحدة باستخدام أي صيغة؟ بالطبع ، نعم ، وسنحاول إخراجها الآن.

دعنا نشير إلى المصطلح المطلوب للتقدم الحسابي حيث أننا نعرف صيغة إيجاده - هذه هي نفس الصيغة التي اشتقناها في البداية:
، ومن بعد:

• العضو السابق في التقدم هو:
• الفصل التالي من التقدم هو:

دعنا نلخص الأعضاء السابقين والتاليين في التقدم:

اتضح أن مجموع الأعضاء السابقين واللاحقين للتقدم هو ضعف قيمة عضو التقدم الموجود بينهما. بمعنى آخر ، من أجل العثور على قيمة عضو التقدم مع القيم المعروفة السابقة والمتتالية ، من الضروري إضافتهم والقسمة على.

هذا صحيح ، لدينا نفس الرقم. دعونا نصلح المادة. احسب قيمة التقدم بنفسك ، لأنها ليست صعبة على الإطلاق.

أحسنت! أنت تعرف كل شيء تقريبًا عن التقدم! يبقى أن نكتشف صيغة واحدة فقط ، والتي ، وفقًا للأسطورة ، واحدة من أعظم علماء الرياضيات في كل العصور ، "ملك علماء الرياضيات" - كارل غاوس ، استنتجها لنفسه بسهولة ...

عندما كان كارل غاوس يبلغ من العمر 9 سنوات ، كان المعلم مشغولًا بفحص عمل الطلاب من الفصول الأخرى ، وسأل المهمة التالية في الدرس: "احسب مجموع جميع الأعداد الطبيعية من أعلى (وفقًا لمصادر أخرى حتى). " ما كانت مفاجأة المعلم عندما أعطى أحد طلابه (كان كارل جاوس) بعد دقيقة الإجابة الصحيحة على المهمة ، بينما تلقى معظم زملائه في الصف المتهور بعد حسابات طويلة النتيجة الخاطئة ...

لاحظ Young Carl Gauss نمطًا يمكنك ملاحظته بسهولة.
لنفترض أن لدينا تقدمًا حسابيًا يتكون من -ti أعضاء: نحتاج إلى إيجاد مجموع الأعضاء المعينين للتقدم الحسابي. بالطبع ، يمكننا جمع كل القيم يدويًا ، ولكن ماذا لو احتجنا إلى إيجاد مجموع شروطها في المهمة ، كما كان يبحث عنها غاوس؟

دعونا نصور التقدم المعطى لنا. انظر عن كثب إلى الأرقام المميزة وحاول إجراء عمليات حسابية مختلفة معهم.


حاول؟ ماذا لاحظت؟ بشكل صحيح! مبالغهم متساوية

أجب الآن ، كم عدد هذه الأزواج في التقدم المعطى لنا؟ بالطبع ، بالضبط نصف كل الأرقام ، هذا هو.
استنادًا إلى حقيقة أن مجموع حدين من التقدم الحسابي متساوٍ ، وأزواج متساوية متشابهة ، نحصل على أن المجموع الكلي يساوي:
.
وبالتالي ، فإن صيغة مجموع المصطلحات الأولى لأي تقدم حسابي ستكون:

في بعض المشاكل ، لا نعرف المصطلح ال ، لكننا نعرف فرق التقدم. حاول الاستعاضة في صيغة الجمع ، صيغة العضو ال.
على ماذا حصلت؟

أحسنت! الآن دعنا نعود إلى المسألة التي أعطيت لكارل غاوس: احسب بنفسك مجموع الأرقام التي تبدأ من -th ، ومجموع الأرقام التي تبدأ من -th.

كم لم تحصل عليه؟
اتضح جاوس أن مجموع المصطلحات متساوٍ ومجموع المصطلحات. هل هذه هي الطريقة التي قررت بها؟

في الواقع ، تم إثبات صيغة مجموع أعضاء التقدم الحسابي من قبل العالم اليوناني القديم ديوفانتوس في القرن الثالث ، وطوال هذا الوقت ، استخدم الأشخاص البارعون خصائص التقدم الحسابي مع القوة والرئيسية.
على سبيل المثال ، تخيل مصر القديمة وأكبر موقع بناء في ذلك الوقت - بناء هرم ... يوضح الشكل جانبًا واحدًا منه.

أين التقدم هنا تقول؟ انظر بعناية وابحث عن نمط في عدد الكتل الرملية في كل صف من جدار الهرم.


لماذا ليس التقدم الحسابي؟ احسب عدد الكتل اللازمة لبناء جدار واحد إذا تم وضع قوالب الطوب في القاعدة. أتمنى ألا تحسب من خلال تحريك إصبعك على الشاشة ، هل تتذكر الصيغة الأخيرة وكل ما قلناه عن التقدم الحسابي؟

في هذه الحالة ، يبدو التقدم كما يلي:
فرق التقدم الحسابي.
عدد أعضاء التقدم الحسابي.
دعنا نستبدل بياناتنا في الصيغ الأخيرة (نحسب عدد الكتل بطريقتين).

طريقة 1.

الطريقة الثانية.

والآن يمكنك أيضًا إجراء الحساب على الشاشة: قارن القيم التي تم الحصول عليها بعدد الكتل الموجودة في هرمنا. هل وافقت؟ أحسنت صنعًا ، لقد أتقنت مجموع شروط التقدم الحسابي.
طبعا لايمكنك بناء هرم من الكتل في القاعدة لكن من؟ حاول حساب عدد الطوب الرملي المطلوب لبناء جدار بهذه الحالة.
هل تستطيع فعلها؟
الجواب الصحيح هو الكتل:

اكتشف - حل

مهام:

1. ماشا تتأقلم مع الصيف. كل يوم تزيد من عدد القرفصاء. كم مرة ستجلس ماشا القرفصاء في أسابيع إذا مارست القرفصاء في التمرين الأول.
2. ما هو مجموع كل الأعداد الفردية الواردة في.
3. عند تخزين السجلات ، يقوم الحطاب بتكديسها بحيث تحتوي كل طبقة عليا على سجل أقل من سابقتها. كم عدد السجلات الموجودة في البناء الواحد ، إذا كانت قاعدة البناء عبارة عن سجلات.

الإجابات:

1. دعونا نحدد معلمات التقدم الحسابي. في هذه الحالة
   (أسابيع = أيام).

   إجابه:في غضون أسبوعين ، يجب أن تجلس ماشا مرة واحدة في اليوم.

2. أول رقم فردي وآخر رقم.
   فرق التقدم الحسابي.
   عدد الأعداد الفردية في - النصف ، ومع ذلك ، تحقق من هذه الحقيقة باستخدام الصيغة لإيجاد العنصر -th في التقدم الحسابي:

   الأرقام تحتوي على أرقام فردية.
   نستبدل البيانات المتاحة في الصيغة:

   إجابه:مجموع كل الأعداد الفردية الواردة في يساوي.

3. أذكر مشكلة الأهرامات. بالنسبة لحالتنا ، أ ، نظرًا لأنه يتم تقليل كل طبقة عليا بواسطة سجل واحد ، فلا يوجد سوى مجموعة من الطبقات ، أي.
   استبدل البيانات الموجودة في الصيغة:

   إجابه:هناك سجلات في البناء.

تلخيص لما سبق

1. - تسلسل رقمي يكون فيه الاختلاف بين الأعداد المتجاورة متساويًا ومتساويًا. إنه يتزايد ويتناقص.
2. إيجاد الصيغةتتم كتابة العضو العاشر في التقدم الحسابي بواسطة الصيغة - ، حيث يوجد عدد الأرقام في التقدم.
3. خاصية أعضاء التقدم الحسابي- - أين - عدد الأرقام في التقدم.
4. مجموع أعضاء التقدم الحسابييمكن العثور عليها بطريقتين:
   
   ، أين هو عدد القيم.

المتوالية العددية. مستوى متوسط

تسلسل رقمي

دعونا نجلس ونبدأ في كتابة بعض الأرقام. فمثلا:

يمكنك كتابة أي أرقام ، ويمكن أن يكون هناك أي عدد تريده. لكن يمكنك دائمًا معرفة أيهما هو الأول ، وهو الثاني ، وهكذا ، أي يمكننا ترقيمهما. هذا مثال على تسلسل رقمي.

تسلسل رقميهي مجموعة من الأرقام ، يمكن تخصيص رقم فريد لكل منها.

بمعنى آخر ، يمكن ربط كل رقم برقم طبيعي معين ، واحد فقط. ولن نخصص هذا الرقم لأي رقم آخر من هذه المجموعة.

الرقم الذي يحتوي على الرقم يسمى العضو -th في التسلسل.

عادة ما نطلق على التسلسل الكامل بعض الأحرف (على سبيل المثال ،) ، وكل عضو في هذا التسلسل - نفس الحرف مع فهرس يساوي رقم هذا العضو:.

إنه مناسب جدًا إذا كان من الممكن إعطاء العضو -th في التسلسل بواسطة صيغة ما. على سبيل المثال ، الصيغة

يحدد التسلسل:

والصيغة هي التسلسل التالي:

على سبيل المثال ، التقدم الحسابي عبارة عن سلسلة (المصطلح الأول هنا متساوٍ والفرق). أو (فرق).

صيغة مصطلح nth

نسمي المتكرر صيغة تحتاج فيها إلى معرفة المصطلح السابق أو السابق:

لإيجاد ، على سبيل المثال ، المصطلح العاشر للتقدم باستخدام مثل هذه الصيغة ، علينا حساب التسعة السابقة. على سبيل المثال ، دعونا. ثم:

حسنًا ، الآن من الواضح ما هي الصيغة؟

في كل سطر ، نضيف إلى ، مضروبًا في عدد ما. لماذا؟ بسيط جدًا: هذا هو رقم العضو الحالي مطروحًا منه:

أكثر راحة الآن ، أليس كذلك؟ نحن نفحص:

تقرر لنفسك:

في التقدم الحسابي ، أوجد صيغة الحد النوني وأوجد الحد المائة.

المحلول:

العضو الأول متساوٍ. وما الفرق؟ وإليك ما يلي:

(بعد كل شيء ، يطلق عليه الفرق لأنه يساوي اختلاف الأعضاء المتعاقبين في التقدم).

إذن الصيغة هي:

ثم المصطلح المائة هو:

ما هو مجموع كل الأعداد الطبيعية من إلى؟

وفقًا للأسطورة ، قام عالم الرياضيات العظيم كارل جاوس ، وهو صبي يبلغ من العمر 9 سنوات ، بحساب هذا المبلغ في بضع دقائق. لقد لاحظ أن مجموع العددين الأول والأخير متساويان ، ومجموع الثاني وما قبل الأخير هو نفسه ، ومجموع الثالث والثالث من النهاية هو نفسه ، وهكذا. كم عدد الأزواج الموجودة؟ هذا صحيح ، بالضبط نصف عدد كل الأرقام ، أي. لذا،

ستكون الصيغة العامة لمجموع المصطلحات الأولى لأي تقدم حسابي:

مثال:
أوجد مجموع كل المضاعفات المكونة من رقمين.

المحلول:

الرقم الأول من هذا القبيل هو هذا. يتم الحصول على كل تالية عن طريق إضافة رقم إلى الرقم السابق. وهكذا ، فإن الأرقام التي تهمنا تشكل تقدمًا حسابيًا مع المصطلح الأول والفرق.

صيغة المصطلح العاشر لهذا التقدم هي:

كم عدد المصطلحات في التقدم إذا كان يجب أن تكون جميعها من رقمين؟

سهل جدا: .

سيكون المصطلح الأخير من التقدم متساويًا. ثم المجموع:

إجابه: .

قرر الآن بنفسك:

1. في كل يوم ، يركض الرياضي 1 متر أكثر من اليوم السابق. كم كيلومترًا سيجري في أسابيع إذا ركض كيلومترًا في اليوم الأول؟
2. يركب راكب الدراجة أميالًا كل يوم أكثر من سابقه. في اليوم الأول سافر كيلومترًا. كم يوما يجب عليه القيادة لقطع كيلومتر واحد؟ كم كيلومترًا سيقطعه في اليوم الأخير من الرحلة؟
3. يتم تخفيض سعر الثلاجة في المتجر بنفس المبلغ كل عام. حدد مقدار انخفاض سعر الثلاجة كل عام إذا تم بيعها مقابل روبل بعد ست سنوات ، معروضة للبيع مقابل روبل.

الإجابات:

1. أهم شيء هنا هو التعرف على التقدم الحسابي وتحديد معاملاته. في هذه الحالة (أسابيع = أيام). تحتاج إلى تحديد مجموع الشروط الأولى لهذا التقدم:
   .
   إجابه:
2. هنا يعطى: ، من الضروري أن تجد.
   من الواضح أنك تحتاج إلى استخدام نفس صيغة الجمع كما في المسألة السابقة:
   .
   استبدل القيم:

   من الواضح أن الجذر غير مناسب ، لذا فإن الإجابة.
   لنحسب المسافة المقطوعة خلال اليوم الأخير باستخدام صيغة المصطلح -th:
   (كم).
   إجابه:

3. معطى: . تجد: .
   لا يصبح الأمر أسهل:
   (فرك).
   إجابه:

المتوالية العددية. باختصار حول الرئيسي

هذا تسلسل رقمي يكون فيه الفرق بين الأعداد المتجاورة متساويًا ومتساويًا.

يتزايد التقدم الحسابي () ويتناقص ().

فمثلا:

صيغة إيجاد العضو رقم n للتقدم الحسابي

مكتوب كصيغة ، حيث عدد الأرقام في التقدم.

خاصية أعضاء التقدم الحسابي

يسهل العثور على عضو في التقدم إذا كان الأعضاء المجاورون معروفين - أين عدد الأرقام في التقدم.

مجموع أعضاء التقدم الحسابي

هناك طريقتان لإيجاد المجموع:

أين عدد القيم.

أين عدد القيم.

إذا كان كل عدد طبيعي ن تطابق رقم حقيقي أ ، ثم يقولون ذلك معطى تسلسل رقمي :

أ 1 , أ 2 , أ 3 , . . . , أ , . . . .

لذا ، فإن المتتالية العددية هي دالة للحجة الطبيعية.

رقم أ 1 اتصل أول عضو في التسلسل ، رقم أ 2 — العضو الثاني في التسلسل ، رقم أ 3 — الثالث وهلم جرا. رقم أ اتصل العضو التاسع في التسلسل والعدد الطبيعي ن — رقمه .

من عضوين متجاورين أ و أ +1 تسلسل الأعضاء أ +1 اتصل لاحق (من اتجاه أ )، أ أ — السابق (من اتجاه أ +1 ).

لتحديد تسلسل ، يجب عليك تحديد طريقة تسمح لك بالعثور على عضو تسلسل بأي رقم.

غالبًا ما يتم إعطاء التسلسل بـ صيغ المصطلح التاسع ، أي صيغة تسمح لك بتحديد عضو التسلسل برقمه.

فمثلا،

يمكن إعطاء تسلسل الأرقام الفردية الموجبة بواسطة الصيغة

أ= 2ن- 1,

وتسلسل التناوب 1 و -1 - معادلة

بن = (-1)ن +1 . ◄

يمكن تحديد التسلسل الصيغة المتكررة, أي صيغة تعبر عن أي عضو في التسلسل ، بدءًا من بعض ، مرورًا بالعضو السابق (واحد أو أكثر).

فمثلا،

إذا أ 1 = 1 ، أ أ +1 = أ + 5

أ 1 = 1,

أ 2 = أ 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

أ 3 = أ 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

أ 4 = أ 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

أ 5 = أ 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

اذا كان أ 1= 1, أ 2 = 1, أ +2 = أ + أ +1 , ثم يتم تعيين الأعضاء السبعة الأولى من التسلسل العددي على النحو التالي:

أ 1 = 1,

أ 2 = 1,

أ 3 = أ 1 + أ 2 = 1 + 1 = 2,

أ 4 = أ 2 + أ 3 = 1 + 2 = 3,

أ 5 = أ 3 + أ 4 = 2 + 3 = 5,

أ 6 = أ 4 + أ 5 = 3 + 5 = 8,

أ 7 = أ 5 + أ 6 = 5 + 8 = 13. ◄

يمكن أن تكون التسلسلات نهائي و بلا نهاية .

التسلسل يسمى ذروة إذا كان لديها عدد محدود من الأعضاء. التسلسل يسمى بلا نهاية إذا كان لديه عدد لا نهائي من الأعضاء.

فمثلا،

تسلسل الأعداد الطبيعية المكونة من رقمين:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

نهائي.

تسلسل الرقم الأولي:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

بلا نهاية. ◄

التسلسل يسمى في ازدياد ، إذا كان كل عضو من أعضائه ، بدءًا من الثاني ، أكبر من السابق.

التسلسل يسمى يتضاءل ، إذا كان كل عضو من أعضائه ، بدءًا من الثاني ، أقل من السابق.

فمثلا،

2, 4, 6, 8, . . . , 2ن, . . . هو تسلسل تصاعدي

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /ن, . . . هو تسلسل تنازلي. ◄

يتم استدعاء التسلسل الذي لا تنقص عناصره مع زيادة العدد ، أو على العكس من ذلك لا يزيد تسلسل رتيب .

التسلسلات الأحادية ، على وجه الخصوص ، هي زيادة في التسلسل وتناقص التسلسلات.

المتوالية العددية

المتوالية العددية يسمى التسلسل ، كل عضو ، بدءًا من الثاني ، يساوي العنصر السابق ، الذي يضاف إليه نفس الرقم.

أ 1 , أ 2 , أ 3 , . . . , أ, . . .

هو تقدم حسابي إذا كان لأي عدد طبيعي ن تم استيفاء الشرط:

أ +1 = أ + د,

أين د - بعض الأرقام.

وبالتالي ، فإن الفرق بين الأعضاء التاليين والسابقين في تقدم حسابي معين دائمًا ما يكون ثابتًا:

أ 2 - أ 1 = أ 3 - أ 2 = . . . = أ +1 - أ = د.

رقم د اتصل الفرق في التقدم الحسابي.

لضبط التقدم الحسابي ، يكفي تحديد المصطلح الأول والاختلاف.

فمثلا،

إذا أ 1 = 3, د = 4 ، ثم تم العثور على المصطلحات الخمسة الأولى من التسلسل على النحو التالي:

أ 1 =3,

أ 2 = أ 1 + د = 3 + 4 = 7,

أ 3 = أ 2 + د= 7 + 4 = 11,

أ 4 = أ 3 + د= 11 + 4 = 15,

أ 5 = أ 4 + د= 15 + 4 = 19. ◄

للتقدم الحسابي مع الفصل الأول أ 1 والاختلاف د لها ن

أ = أ 1 + (ن- 1)د.

فمثلا،

أوجد الحد الثلاثين من التقدم الحسابي

1, 4, 7, 10, . . .

أ 1 =1, د = 3,

أ 30 = أ 1 + (30 - 1)د = 1 + 29· 3 = 88. ◄

أ ن -1 = أ 1 + (ن- 2)د،

أ= أ 1 + (ن- 1)د،

أ +1 = أ 1 + اختصار الثاني,

ثم من الواضح

أ=	أ ن -1 + أ ن + 1
	2

كل عضو في التقدم الحسابي ، بدءًا من الثاني ، يساوي المتوسط ​​الحسابي للأعضاء السابقين واللاحقين.

الأرقام أ ، ب ، ج هي أعضاء متتالية في بعض التدرجات الحسابية إذا وفقط إذا كان أحدها مساويًا للمتوسط ​​الحسابي للاثنين الآخرين.

فمثلا،

أ = 2ن- 7 ، هو تقدم حسابي.

دعنا نستخدم البيان أعلاه. نملك:

أ = 2ن- 7,

أ ن -1 = 2(ن- 1) - 7 = 2ن- 9,

أ ن + 1 = 2(ن + 1) - 7 = 2ن- 5.

بالتالي،

أ ن + 1 + أ ن -1	=	2ن- 5 + 2ن- 9	= 2ن- 7 = أ,
2		2

◄

لاحظ أن ن يمكن العثور على العضو -th في التقدم الحسابي ليس فقط من خلال أ 1 ، ولكن أيضًا أي سابقة أ ك

أ = أ ك + (ن- ك)د.

فمثلا،

إلى عن على أ 5 يمكن أن تكون مكتوبة

أ 5 = أ 1 + 4د,

أ 5 = أ 2 + 3د,

أ 5 = أ 3 + 2د,

أ 5 = أ 4 + د. ◄

أ = أ ن ك + دينار كويتي,

أ = أ ن + ك - دينار كويتي,

ثم من الواضح

أ=	أ ن ك + أ ن + ك
	2

أي عضو في التقدم الحسابي ، بدءًا من الثانية ، يساوي نصف مجموع أعضاء هذا التقدم الحسابي على مسافات متساوية منه.

بالإضافة إلى ذلك ، بالنسبة لأي تقدم حسابي ، فإن المساواة صحيحة:

أ م + أ ن = أ ك + ل,

م + ن = ك + ل.

فمثلا،

في التقدم الحسابي

1) أ 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (أ 9 + أ 11 )/2;

2) 28 = أ 10 = أ 3 + 7د= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28 ؛

3) أ 10= 28 = (19 + 37)/2 = (أ 7 + أ 13)/2;

4) أ 2 + أ 12 = أ 5 + أ 9, لان

أ 2 + أ 12= 4 + 34 = 38,

أ 5 + أ 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= أ 1 + أ 2 + أ 3 +. . .+ أ,

أول ن أعضاء التقدم الحسابي يساوي حاصل ضرب نصف مجموع الحدود القصوى بعدد المصطلحات:

من هذا ، على وجه الخصوص ، يترتب على ذلك إذا كان من الضروري جمع الشروط

أ ك, أ ك +1 , . . . , أ,

ثم تحتفظ الصيغة السابقة بهيكلها:

فمثلا،

في التقدم الحسابي 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

س 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = س 10 - س 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

إذا تم إعطاء تقدم حسابي ، ثم الكميات أ 1 , أ, د, نوس ن مرتبطة بصيغتين:

لذلك ، إذا تم تقديم قيم ثلاث من هذه الكميات ، فسيتم تحديد القيم المقابلة للكميتين الأخريين من هاتين الصيغتين مجتمعتين في نظام من معادلتين مع مجهولين.

التقدم الحسابي هو تسلسل رتيب. حيث:

• إذا د > 0 ثم يتزايد.
• إذا د < 0 ثم يتناقص.
• إذا د = 0 ، ثم سيكون التسلسل ثابتًا.

المتوالية الهندسية

المتوالية الهندسية يسمى التسلسل ، كل حد ، بدءًا من الثاني ، يساوي الحد السابق ، مضروبًا في نفس الرقم.

ب 1 , ب 2 , ب 3 , . . . , ب ن, . . .

هو تسلسل هندسي إذا كان لأي عدد طبيعي ن تم استيفاء الشرط:

ب ن +1 = ب ن · ف,

أين ف ≠ 0 - بعض الأرقام.

وبالتالي ، فإن نسبة الحد التالي من هذا التقدم الهندسي إلى الحد السابق هي رقم ثابت:

ب 2 / ب 1 = ب 3 / ب 2 = . . . = ب ن +1 / ب ن = ف.

رقم ف اتصل مقام التقدم الهندسي.

لضبط التقدم الهندسي ، يكفي تحديد المصطلح الأول والمقام.

فمثلا،

إذا ب 1 = 1, ف = -3 ، ثم تم العثور على المصطلحات الخمسة الأولى من التسلسل على النحو التالي:

ب 1 = 1,

ب 2 = ب 1 · ف = 1 · (-3) = -3,

ب 3 = ب 2 · ف= -3 · (-3) = 9,

ب 4 = ب 3 · ف= 9 · (-3) = -27,

ب 5 = ب 4 · ف= -27 · (-3) = 81. ◄

ب 1 والمقام ف لها ن يمكن العثور على المصطلح الثالث بالصيغة:

ب ن = ب 1 · ف ن -1 .

فمثلا،

أوجد الحد السابع للتقدم الهندسي 1, 2, 4, . . .

ب 1 = 1, ف = 2,

ب 7 = ب 1 · ف 6 = 6 1 2 = 64. ◄

مليار - 1 = ب 1 · ف ن -2 ,

ب ن = ب 1 · ف ن -1 ,

ب ن +1 = ب 1 · ف ن,

ثم من الواضح

ب ن 2 = ب ن -1 · ب ن +1 ,

كل عضو في التقدم الهندسي ، بدءًا من الثاني ، يساوي المتوسط ​​الهندسي (النسبي) للأعضاء السابقين واللاحقين.

نظرًا لأن العكس صحيح أيضًا ، فإن التأكيد التالي ينطبق:

الأرقام أ ، ب ، ج هي أعضاء متتالية لبعض التقدم الهندسي إذا وفقط إذا كان مربع أحدهما مساويًا لمنتج الرقمين الآخرين ، أي أن أحد الأرقام هو المتوسط ​​الهندسي للاثنين الآخرين.

فمثلا،

دعونا نثبت أن التسلسل المعطى بالصيغة ب ن= -3 2 ن ، هو تقدم هندسي. دعنا نستخدم البيان أعلاه. نملك:

ب ن= -3 2 ن,

ب ن -1 = -3 2 ن -1 ,

ب ن +1 = -3 2 ن +1 .

بالتالي،

ب ن 2 = (-3 2 ن) 2 = (-3 2 ن -1 ) (-3 2 ن +1 ) = ب ن -1 · ب ن +1 ,

مما يثبت التأكيد المطلوب. ◄

لاحظ أن ن يمكن العثور على مصطلح التقدم الهندسي ليس فقط من خلال ب 1 ، ولكن أيضًا أي مصطلح سابق ب ك ، حيث يكفي استخدام الصيغة

ب ن = ب ك · ف ن - ك.

فمثلا،

إلى عن على ب 5 يمكن أن تكون مكتوبة

ب 5 = ب 1 · ف 4 ,

ب 5 = ب 2 · ف 3,

ب 5 = ب 3 · q2,

ب 5 = ب 4 · ف. ◄

ب ن = ب ك · ف ن - ك,

ب ن = ب ن - ك · ف ك,

ثم من الواضح

ب ن 2 = ب ن - ك· ب ن + ك

مربع أي عضو في التقدم الهندسي ، بدءًا من الثاني ، يساوي حاصل ضرب أعضاء هذا التقدم على مسافة متساوية منه.

بالإضافة إلى ذلك ، بالنسبة لأي تقدم هندسي ، فإن المساواة صحيحة:

بي ام· ب ن= ب ك· ب ل,

م+ ن= ك+ ل.

فمثلا،

أضعافا مضاعفة

1) ب 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = ب 5 · ب 7 ;

2) 1024 = ب 11 = ب 6 · ف 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) ب 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = ب 4 · ب 8 ;

4) ب 2 · ب 7 = ب 4 · ب 5 , لان

ب 2 · ب 7 = 2 · 64 = 128,

ب 4 · ب 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= ب 1 + ب 2 + ب 3 + . . . + ب ن

أول ن أعضاء متتالية هندسية ذات قاسم ف ≠ 0 محسوبة بالصيغة:

وعندما ف = 1 - حسب الصيغة

S n= n.b. 1

لاحظ أنه إذا احتجنا إلى جمع الشروط

ب ك, ب ك +1 , . . . , ب ن,

ثم يتم استخدام الصيغة:

S n- كورونا -1 = ب ك + ب ك +1 + . . . + ب ن = ب ك ·	1 - ف ن - ك +1	.
	1 - ف

فمثلا،

أضعافا مضاعفة 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

س 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = س 10 - س 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

إذا تم إعطاء تسلسل هندسي ، ثم الكميات ب 1 , ب ن, ف, نو S n مرتبطة بصيغتين:

لذلك ، إذا تم تقديم قيم أي من هذه الكميات ، فسيتم تحديد القيم المقابلة للكميتين الأخريين من هاتين الصيغتين مجتمعتين في نظام من معادلتين مع مجهولين.

للتقدم الهندسي مع المصطلح الأول ب 1 والمقام ف ما يلي يحدث خصائص الرتابة :

• يتزايد التقدم إذا تم استيفاء أحد الشروط التالية:

ب 1 > 0 و ف> 1;

ب 1 < 0 و 0 < ف< 1;

• يتناقص التقدم إذا تم استيفاء أحد الشروط التالية:

ب 1 > 0 و 0 < ف< 1;

ب 1 < 0 و ف> 1.

اذا كان ف< 0 ، ثم يكون التقدم الهندسي متناوبًا مع الإشارة: فحدوده الفردية لها نفس علامة الحد الأول ، والشروط ذات الأرقام الزوجية لها علامة معاكسة. من الواضح أن التقدم الهندسي المتناوب ليس رتيبًا.

منتج أول ن يمكن حساب شروط التقدم الهندسي بالصيغة:

ص ن= ب 1 · ب 2 · ب 3 · . . . · ب ن = (ب 1 · ب ن) ن / 2 .

فمثلا،

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

تقليل التقدم الهندسي بلا حدود

تقليل التقدم الهندسي بلا حدود يسمى التقدم الهندسي اللانهائي الذي يكون معامل قاسمه أقل من 1 ، هذا هو

|ف| < 1 .

لاحظ أن التدرج الهندسي المتناقص بشكل غير محدود قد لا يكون تسلسلاً تنازليًا. هذا يناسب القضية

1 < ف< 0 .

مع هذا المقام ، فإن التسلسل هو إشارة بالتناوب. فمثلا،

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

مجموع التقدم الهندسي المتناقص بشكل لا نهائي اسم الرقم الذي حصل عليه مجموع الأول ن من حيث التقدم مع زيادة غير محدودة في العدد ن . هذا الرقم دائمًا محدود ويتم التعبير عنه بالصيغة

س= ب 1 + ب 2 + ب 3 + . . . =	ب 1	.
	1 - ف

فمثلا،

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

العلاقة بين التدرجات الحسابية والهندسية

يرتبط التعاقب الحسابي والهندسي ارتباطًا وثيقًا. لنفكر في مثالين فقط.

أ 1 , أ 2 , أ 3 , . . . د ، ومن بعد

ب أ 1 , ب أ 2 , ب أ 3 , . . . ب د .

فمثلا،

1, 3, 5, . . . - التقدم الحسابي مع الاختلاف 2 و

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . هو تسلسل هندسي ذو قاسم 7 2 . ◄

ب 1 , ب 2 , ب 3 , . . . هو تسلسل هندسي ذو قاسم ف ، ومن بعد

سجل ب 1, سجل أ ب 2, تسجيل ب 3, . . . - التقدم الحسابي مع الاختلاف تسجيل أف .

فمثلا،

2, 12, 72, . . . هو تسلسل هندسي ذو قاسم 6 و

إل جي 2, إل جي 12, إل جي 72, . . . - التقدم الحسابي مع الاختلاف إل جي 6 . ◄