كيفية إيجاد المتوسط الحسابي للإحصاء. متوسط القيم في الإحصاء
متوسط(في الرياضيات والإحصاء) مجموعات من الأرقام - مجموع كل الأعداد مقسومة على عددها. إنه أحد أكثر مقاييس الاتجاه المركزي شيوعًا.
تم اقتراحه (جنبًا إلى جنب مع المتوسط الهندسي والمتوسط التوافقي) من قبل فيثاغورس.
الحالات الخاصة للوسيط الحسابي هي المتوسط (لعامة السكان) ومتوسط العينة (للعينات).
مقدمة
دلالة على مجموعة البيانات X = (x 1 , x 2 , …, x ن) ، ثم عادةً ما يُرمز إلى متوسط العينة بشريط أفقي فوق المتغير (x ¯ (\ displaystyle (\ bar (x))) ، يُنطق " xبشرطة ").
يستخدم الحرف اليوناني μ للدلالة على الوسط الحسابي لجميع السكان. بالنسبة للمتغير العشوائي الذي يتم تحديد قيمة متوسطة له ، تكون μ هي يعني الاحتمالأو التوقع الرياضي لمتغير عشوائي. إذا كانت المجموعة Xعبارة عن مجموعة من الأرقام العشوائية بمتوسط احتمالي μ ، ثم لأي عينة x أنامن هذه المجموعة μ = E ( x أنا) هو توقع هذه العينة.
في الممارسة العملية ، الفرق بين μ و x ¯ (\ displaystyle (\ bar (x))) هو أن μ متغير نموذجي لأنه يمكنك رؤية العينة بدلاً من المجتمع بأكمله. لذلك ، إذا تم تمثيل العينة بشكل عشوائي (من حيث نظرية الاحتمالات) ، فيمكن معاملة x ¯ (\ displaystyle (\ bar (x))) (ولكن ليس μ) كمتغير عشوائي له توزيع احتمالي على العينة ( التوزيع الاحتمالي للمتوسط).
يتم حساب هاتين الكميتين بنفس الطريقة:
X ¯ = 1 n ∑ i = 1 n x i = 1 n (x 1 + ⋯ + x n). (displaystyle (bar (x)) = (frac (1) (n)) sum _ (i = 1) ^ (n) x_ (i) = (frac (1) (n)) (x_ (1) + \ cdots + x_ (n)).)
اذا كان Xمتغير عشوائي ، ثم التوقع الرياضي Xيمكن اعتباره الوسط الحسابي للقيم في القياسات المتكررة للكمية X. هذا مظهر من مظاهر قانون الأعداد الكبيرة. لذلك ، يتم استخدام متوسط العينة لتقدير التوقع الرياضي غير المعروف.
ثبت في الجبر الابتدائي أن المتوسط ن+ 1 رقم فوق المتوسط نالأرقام فقط إذا كان الرقم الجديد أكبر من المتوسط القديم وفقط إذا كان أقل إذا وفقط إذا كان الرقم الجديد أقل من المتوسط ، ولا يتغير إذا وفقط إذا كان الرقم الجديد مساويًا للمتوسط. الاكثر ن، كلما قل الفرق بين المتوسطين الجديد والقديم.
لاحظ أن هناك العديد من "الوسائل" الأخرى المتاحة ، بما في ذلك متوسط قانون القوة ، ووسط Kolmogorov ، والمتوسط التوافقي ، والوسط الحسابي الهندسي ، والوسائل الموزونة المختلفة (على سبيل المثال ، الوسط الحسابي المرجح ، المتوسط الهندسي ، الوسط التوافقي المرجح) .
أمثلة
- لثلاثة أرقام ، تحتاج إلى إضافتها والقسمة على 3:
- لأربعة أرقام ، تحتاج إلى إضافتها والقسمة على 4:
أو أسهل 5 + 5 = 10 ، 10: 2. لأننا أضفنا رقمين ، مما يعني أنه عدد الأرقام التي نضيفها ، نقسم على هذا المقدار.
متغير عشوائي مستمر
للقيمة الموزعة باستمرار f (x) (\ displaystyle f (x)) المتوسط الحسابي في الفترة الزمنية [a؛ ب] (displaystyle) يتم تعريفه من خلال تكامل محدد:
F (x) ¯ [أ ؛ ب] = 1 ب - أ ∫ أ ب و (س) د س (displaystyle (overline (f (x))) _ () = (frac (1) (b-a)) int _ (a) ^ (b) و (س) دكس)
بعض مشاكل استخدام المتوسط
عدم المتانة
المقال الرئيسي: المتانة في الإحصاءعلى الرغم من أن المتوسط الحسابي يستخدم غالبًا كوسيلة أو اتجاهات مركزية ، إلا أن هذا المفهوم لا ينطبق على الإحصائيات القوية ، مما يعني أن المتوسط الحسابي يتأثر بشدة "بالانحرافات الكبيرة". من الجدير بالذكر أنه بالنسبة للتوزيعات ذات الانحراف الكبير ، قد لا يتوافق الوسط الحسابي مع مفهوم "المتوسط" ، وقد تصف قيم المتوسط من الإحصائيات القوية (على سبيل المثال ، الوسيط) الاتجاه المركزي بشكل أفضل.
المثال الكلاسيكي هو حساب متوسط الدخل. يمكن تفسير المتوسط الحسابي بشكل خاطئ على أنه وسيط ، مما قد يؤدي إلى استنتاج مفاده أن عدد الأشخاص الذين لديهم دخل أكبر مما هو موجود بالفعل. يتم تفسير الدخل "المتوسط" بطريقة تقترب مداخيل معظم الناس من هذا الرقم. هذا "المتوسط" (بمعنى المتوسط الحسابي) الدخل أعلى من دخل معظم الناس ، لأن الدخل المرتفع مع الانحراف الكبير عن المتوسط يجعل المتوسط الحسابي منحرفًا بشدة (في المقابل ، متوسط الدخل "يقاوم" مثل هذا الانحراف). ومع ذلك ، فإن هذا الدخل "المتوسط" لا يقول شيئًا عن عدد الأشخاص بالقرب من متوسط الدخل (ولا يقول شيئًا عن عدد الأشخاص بالقرب من الدخل النموذجي). ومع ذلك ، إذا تم الاستخفاف بمفهومي "المتوسط" و "الأغلبية" ، فيمكن للمرء أن يستنتج بشكل خاطئ أن معظم الناس لديهم دخل أعلى مما هو عليه في الواقع. على سبيل المثال ، سيعطي تقرير عن "متوسط" صافي الدخل في مدينة ، واشنطن ، المحسوب على أنه المتوسط الحسابي لجميع الدخل الصافي السنوي للمقيمين ، رقمًا مرتفعًا بشكل مفاجئ بسبب بيل جيتس. خذ بعين الاعتبار العينة (1 ، 2 ، 2 ، 2 ، 3 ، 9). المتوسط الحسابي هو 3.17 ، لكن خمس من القيم الست أقل من هذا المتوسط.
الفائدة المركبة
المقال الرئيسي: عائد الاستثمارإذا كانت الأرقام تتضاعف، لكن لا يطوى، تحتاج إلى استخدام الوسط الهندسي ، وليس الوسط الحسابي. في أغلب الأحيان ، يحدث هذا الحادث عند حساب عائد الاستثمار في التمويل.
على سبيل المثال ، إذا انخفضت الأسهم بنسبة 10٪ في السنة الأولى وارتفعت بنسبة 30٪ في السنة الثانية ، فمن الخطأ حساب "متوسط" الزيادة خلال هذين العامين باعتباره المتوسط الحسابي (10٪ + 30٪) / 2 = 10٪ ؛ يتم الحصول على المتوسط الصحيح في هذه الحالة من خلال معدل النمو السنوي المركب ، والذي يكون النمو السنوي منه فقط حوالي 8.16653826392٪ 8.2٪.
والسبب في ذلك أن النسب المئوية لها نقطة بداية جديدة في كل مرة: 30٪ هي 30٪ من رقم أقل من السعر في بداية السنة الأولى:إذا بدأ السهم عند 30 دولارًا وانخفض بنسبة 10٪ ، فستكون قيمته 27 دولارًا في بداية العام الثاني. إذا ارتفع السهم بنسبة 30٪ ، فستكون قيمته 35.1 دولارًا في نهاية العام الثاني. المتوسط الحسابي لهذا النمو هو 10٪ ، ولكن بما أن السهم قد نما بنسبة 5.1 دولار فقط في عامين ، فإن متوسط الزيادة بنسبة 8.2٪ يعطي نتيجة نهائية قدرها 35.1 دولار:
[30 دولارًا (1 - 0.1) (1 + 0.3) = 30 دولارًا (1 + 0.082) (1 + 0.082) = 35.1 دولارًا. إذا استخدمنا المتوسط الحسابي 10٪ بالطريقة نفسها ، فلن نحصل على القيمة الفعلية: [$ 30 (1 + 0.1) (1 + 0.1) = 36.3 دولار].
الفائدة المركبة في نهاية السنة 2: 90٪ * 130٪ = 117٪ أي زيادة إجمالية قدرها 17٪ ومتوسط الفائدة المركبة السنوية 117٪ ≈ 108.2٪ (\ displaystyle (\ sqrt (117 \٪)) \ تقريبا 108.2 \٪) أي متوسط زيادة سنوية بنسبة 8.2٪.
الاتجاهات
المقال الرئيسي: إحصائيات الوجهةعند حساب المتوسط الحسابي لبعض المتغيرات التي تتغير دوريًا (على سبيل المثال ، المرحلة أو الزاوية) ، يجب توخي الحذر بشكل خاص. على سبيل المثال ، سيكون متوسط 1 ° و 359 درجة هو 1 ∘ + 359 ∘ 2 = (\ displaystyle (\ frac (1 ^ (\ circ) +359 ^ (\ circ)) (2)) =) 180 درجة. هذا الرقم غير صحيح لسببين.
- أولاً ، يتم تحديد المقاييس الزاوية فقط للمدى من 0 ° إلى 360 ° (أو من 0 إلى 2π عند القياس بالراديان). وبالتالي ، يمكن كتابة نفس زوج الأرقام كـ (1 ° و -1 °) أو كـ (1 ° و 719 °). ستكون متوسطات كل زوج مختلفة: 1 ∘ + (- 1 ∘) 2 = 0 ∘ (displaystyle (frac (1 ^ (circ) + (- 1 ^ (circ))) (2)) = 0 ^ (circ)) 1 ∘ + 719 ∘ 2 = 360 ∘ (displaystyle (frac (1 ^ (circ) +719 ^ (circ)) (2)) = 360 ^ (circ)) .
- ثانيًا ، في هذه الحالة ، ستكون القيمة 0 درجة (ما يعادل 360 درجة) هي أفضل متوسط هندسيًا ، نظرًا لأن الأرقام تنحرف أقل من 0 درجة عن أي قيمة أخرى (القيمة 0 درجة لها أصغر تباين). قارن:
- الرقم 1 ° ينحرف عن 0 ° بمقدار 1 ° فقط ؛
- الرقم 1 درجة ينحرف عن المتوسط المحسوب 180 درجة بـ 179 درجة.
سيتم تحويل متوسط قيمة المتغير الدوري ، المحسوب وفقًا للصيغة أعلاه ، بشكل مصطنع بالنسبة إلى المتوسط الحقيقي إلى منتصف النطاق العددي. لهذا السبب ، يتم حساب المتوسط بطريقة مختلفة ، أي أن الرقم الذي يحتوي على أصغر فرق (نقطة مركزية) يتم اختياره باعتباره متوسط القيمة. أيضًا ، بدلاً من الطرح ، يتم استخدام مسافة نمطية (أي المسافة المحيطية). على سبيل المثال ، المسافة المعيارية بين 1 درجة و 359 درجة هي 2 درجة ، وليست 358 درجة (على دائرة بين 359 درجة و 360 درجة == 0 درجة - درجة واحدة ، بين 0 درجة و 1 درجة - أيضًا 1 درجة ، في المجموع - 2 درجة).
4.3 متوسط القيم. جوهر ومعنى المتوسطات
متوسط القيمةفي الإحصاء ، يسمى مؤشر التعميم ، الذي يميز المستوى النموذجي لظاهرة ما في ظروف محددة من المكان والزمان ، مما يعكس حجم سمة متغيرة لكل وحدة من السكان المتجانسين نوعياً. في الممارسة الاقتصادية ، يتم استخدام مجموعة واسعة من المؤشرات ، محسوبة كمتوسطات.
على سبيل المثال ، المؤشر العام لدخل العمال في شركة مساهمة (JSC) هو متوسط دخل عامل واحد ، تحدده نسبة صندوق الأجور والمدفوعات الاجتماعية للفترة قيد المراجعة (السنة ، الربع ، الشهر ) إلى عدد العاملين في هيئة الأوراق المالية.
يعد حساب المتوسط أحد أساليب التعميم الشائعة ؛ يعكس المؤشر المتوسط العام الذي هو نموذجي (نموذجي) لجميع وحدات السكان المدروسين ، بينما يتجاهل في نفس الوقت الاختلافات بين الوحدات الفردية. في كل ظاهرة وتطورها هناك مزيج صدفةو بحاجة إلى.عند حساب المتوسطات ، بسبب عمل قانون الأعداد الكبيرة ، فإن العشوائية تلغي بعضها البعض ، وتوازن ، وبالتالي من الممكن التجريد من السمات غير المهمة للظاهرة ، من القيم الكمية للسمة في كل محدد قضية. في القدرة على الاستخراج من عشوائية القيم الفردية ، تكمن التقلبات في القيمة العلمية للمتوسطات تلخيصالخصائص الإجمالية.
عندما تكون هناك حاجة للتعميم ، يؤدي حساب هذه الخصائص إلى استبدال العديد من القيم الفردية المختلفة للسمة متوسطمؤشر يميز مجمل الظواهر ، مما يجعل من الممكن تحديد الأنماط المتأصلة في الظواهر الاجتماعية الجماعية ، غير المحسوسة في ظاهرة فردية.
يعكس المتوسط المستوى المميز والنموذجي والحقيقي للظواهر المدروسة ، ويميز هذه المستويات وتغيراتها في الزمان والمكان.
المتوسط هو خاصية موجزة لانتظام العملية في ظل الظروف التي تمضي فيها.
4.4 أنواع المتوسطات وطرق حسابها
يتم تحديد اختيار نوع المتوسط من خلال المحتوى الاقتصادي لمؤشر معين والبيانات الأولية. في كل حالة ، يتم تطبيق إحدى القيم المتوسطة: حسابي غارمونيك ، هندسي ، تربيعي ، مكعبإلخ. المعدلات المدرجة تنتمي إلى الفصل قوةمتوسط.
بالإضافة إلى متوسطات قانون القوة ، في الممارسة الإحصائية ، يتم استخدام المتوسطات الهيكلية ، والتي تعتبر الوضع والوسيط.
دعونا نتحدث بمزيد من التفصيل عن وسائل القوة.
المتوسط الحسابي
النوع الأكثر شيوعًا من المتوسط هو معدل علم الحساب.يتم استخدامه في الحالات التي يكون فيها حجم السمة المتغيرة لجميع السكان هو مجموع قيم سمات وحداتها الفردية. تتميز الظواهر الاجتماعية بالجمعية (التجميع) لأحجام السمة المتغيرة ، وهذا يحدد نطاق المتوسط الحسابي ويفسر انتشاره كمؤشر معمم ، على سبيل المثال: إجمالي صندوق الأجور هو مجموع أجور جميع العمال ، الحصاد الإجمالي هو مجموع الناتج من منطقة البذر بأكملها.
لحساب المتوسط الحسابي ، تحتاج إلى قسمة مجموع كل قيم المعالم على رقمها.
يتم تطبيق المتوسط الحسابي في النموذج المتوسط البسيط والمتوسط المرجح.يعتبر المتوسط البسيط بمثابة النموذج الأولي المحدد.
متوسط حسابي بسيطيساوي المجموع البسيط للقيم الفردية للميزة المتوسطة ، مقسومًا على العدد الإجمالي لهذه القيم (يتم استخدامه في الحالات التي توجد فيها قيم فردية غير مجمعة للميزة):
أين 
- القيم الفردية للمتغير (الخيارات) ؛ م
- عدد الوحدات السكانية.
لن يتم الإشارة إلى حدود التجميع الإضافية في الصيغ. على سبيل المثال ، مطلوب العثور على متوسط إنتاج عامل واحد (صانع الأقفال) ، إذا كان معروفًا عدد الأجزاء التي أنتجها كل من 15 عاملاً ، أي بالنظر إلى عدد من القيم الفردية للسمة ، أجهزة الكمبيوتر:
21; 20; 20; 19; 21; 19; 18; 22; 19; 20; 21; 20; 18; 19; 20.
يتم حساب المتوسط الحسابي البسيط بالصيغة (4.1) ، 1 قطعة:
يُطلق على متوسط الخيارات التي تتكرر عددًا مختلفًا من المرات ، أو يُقال إن لها أوزانًا مختلفة موزون.الأوزان هي عدد الوحدات في مجموعات سكانية مختلفة (تجمع المجموعة نفس الخيارات).
المتوسط المرجح الحسابي- متوسط القيم المجمعة ، - يتم حسابه بواسطة الصيغة:
, (4.2)
أين 
- الأوزان (تكرار تكرار نفس الميزات) ؛
-
مجموع حاصل ضرب حجم السمات بتردداتها ؛
-
العدد الإجمالي للوحدات السكانية.
سنقوم بتوضيح تقنية حساب المتوسط المرجح الحسابي باستخدام المثال الذي تمت مناقشته أعلاه. للقيام بذلك ، نقوم بتجميع البيانات الأولية ووضعها في الجدول. 4.1
الجدول 4.1
توزيع العمال لتطوير الأجزاء
وفقًا للصيغة (4.2) ، فإن المتوسط المرجح الحسابي متساوٍ ، القطع:
في بعض الحالات ، لا يمكن تمثيل الأوزان بالقيم المطلقة ، ولكن بالقيم النسبية (بالنسب المئوية أو كسور الوحدة). ثم ستبدو معادلة المتوسط الحسابي المرجح كما يلي:
أين 
- خاص ، أي حصة كل تردد في المجموع الكلي للجميع
إذا تم حساب الترددات في كسور (معاملات) ، إذن 
= 1 ، وصيغة المتوسط المرجح حسابيًا هي:
حساب المتوسط المرجح الحسابي من متوسطات المجموعة 
يتم إجراؤها وفقًا للصيغة:
,
أين F- عدد الوحدات في كل مجموعة.
يتم عرض نتائج حساب المتوسط الحسابي لوسائل المجموعة في الجدول. 4.2
الجدول 4.2
توزيع العاملين حسب متوسط مدة الخدمة
في هذا المثال ، لا تكون الخيارات عبارة عن بيانات فردية حول طول خدمة العمال الفرديين ، بل المتوسطات الخاصة بكل ورشة عمل. مقاييس Fهو عدد العاملين في المحلات. ومن ثم ، فإن متوسط خبرة العمل للعمال في جميع أنحاء المؤسسة سيكون ، سنوات:
.
حساب المتوسط الحسابي في سلسلة التوزيع
إذا تم إعطاء قيم جدول البيانات المتوسط كفواصل زمنية ("من - إلى") ، أي سلسلة توزيع الفاصل الزمني ، ثم عند حساب قيمة المتوسط الحسابي ، يتم أخذ نقاط المنتصف لهذه الفواصل كقيم للمعالم في مجموعات ، ونتيجة لذلك يتم تكوين سلسلة منفصلة. تأمل المثال التالي (الجدول 4.3).
دعنا ننتقل من سلسلة فاصلة إلى سلسلة منفصلة عن طريق استبدال قيم الفاصل بقيمها المتوسطة / (متوسط بسيط
الجدول 4.3
توزيع عمال AO حسب مستوى الأجور الشهرية
|
مجموعات العمال لـ |
عدد العمال |
منتصف الفترة |
|
|
الأجور ، فرك. |
بيرس ، F |
فرك.، X |
|
|
900 وما فوق |
|||
يتم معادلة قيم الفترات المفتوحة (الأولى والأخيرة) بشكل مشروط بالفترات المجاورة لها (الثانية وقبل الأخيرة).
مع مثل هذا الحساب للمتوسط ، يُسمح ببعض عدم الدقة ، حيث يتم إجراء افتراض حول التوزيع الموحد لوحدات السمة داخل المجموعة. ومع ذلك ، فإن الخطأ سيكون أصغر ، وأضيق الفاصل الزمني والمزيد من الوحدات في الفترة.
بعد العثور على نقاط منتصف الفترات ، تتم الحسابات بنفس الطريقة كما في سلسلة منفصلة - يتم ضرب الخيارات بالترددات (الأوزان) ويتم قسمة مجموع المنتجات على مجموع الترددات (الأوزان) ألف روبل:
.
لذا ، فإن متوسط مستوى أجر العمال في الشركة المساهمة هو 729 روبل. كل شهر.
غالبًا ما يرتبط حساب المتوسط الحسابي بإنفاق كبير للوقت والعمل. ومع ذلك ، في بعض الحالات ، يمكن تبسيط إجراء حساب المتوسط وتسهيله باستخدام خصائصه. دعونا نقدم (بدون دليل) بعض الخصائص الأساسية للمتوسط الحسابي.
خاصية 1. إذا كانت جميع القيم المميزة الفردية (أي كل الخيارات) تقليل أو زيادة في أنامرات ، ثم متوسط القيمة ميزة جديدة ستنخفض أو تزيد وفقًا لذلك أناذات مرة.
خاصية 2. إذا تم تقليل جميع متغيرات العنصر المتوسطقم بخياطة أو زيادة الرقم أ ثم المتوسط الحسابيانخفاض أو زيادة كبيرة بنفس الرقم أ.
الملكية 3. إذا تم تقليل أوزان جميع الخيارات المتوسطة أو زيادة إلى إلى مرات ، لن يتغير المتوسط الحسابي.
كمتوسط أوزان ، بدلاً من المؤشرات المطلقة ، يمكنك استخدام أوزان محددة في الإجمالي الكلي (حصص أو نسب مئوية). هذا يبسط حساب المتوسط.
لتبسيط حسابات المتوسط ، فإنهم يتبعون مسار تقليل قيم الخيارات والترددات. يتم تحقيق أكبر تبسيط عندما لكنيتم تحديد قيمة أحد الخيارات المركزية ذات التردد الأعلى كـ / - قيمة الفاصل الزمني (للصفوف ذات الفواصل الزمنية نفسها). تسمى قيمة L الأصل ، لذلك تسمى طريقة حساب المتوسط "طريقة العد من الصفر الشرطي" أو "طريقة اللحظات".
لنفترض أن كل الخيارات Xتم تقليله أولاً بنفس الرقم أ ، ثم تم تقليله في أناذات مرة. نحصل على سلسلة توزيع متغيرة جديدة للمتغيرات الجديدة 
.
ثم خيارات جديدةسيتم التعبير عن:
,
والمتوسط الحسابي الجديد 
, -لحظة الطلب الأول- معادلة:
.
إنه يساوي متوسط الخيارات الأصلية ، مخفضًا أولاً بمقدار لكن،ثم في أناذات مرة.
للحصول على المتوسط الحقيقي ، تحتاج إلى لحظة من الدرجة الأولى م 1 ، اضرب في أناو أضف لكن:
.
تسمى هذه الطريقة لحساب المتوسط الحسابي من سلسلة متغيرة "طريقة اللحظات".يتم تطبيق هذه الطريقة في صفوف ذات فترات زمنية متساوية.
يتم توضيح حساب المتوسط الحسابي بطريقة اللحظات من خلال البيانات الواردة في الجدول. 4.4
الجدول 4.4
توزيع المشاريع الصغيرة في المنطقة حسب قيمة أصول الإنتاج الثابت (OPF) عام 2000
|
مجموعات الشركات بتكلفة OPF ، ألف روبل |
عدد المؤسسات F |
الفواصل المتوسطة ، x |
|
|
|
14-16 16-18 18-20 20-22 22-24 |
||||
إيجاد اللحظة من الدرجة الأولى
.
بعد ذلك ، بافتراض أ = 19 ومعرفة ذلك أنا= 2 ، احسب X ،ألف روبل:
أنواع القيم المتوسطة وطرق حسابها
في مرحلة المعالجة الإحصائية ، يمكن تعيين مجموعة متنوعة من مهام البحث ، والتي من الضروري حلها اختيار المتوسط المناسب. في هذه الحالة ، من الضروري الاسترشاد بالقاعدة التالية: يجب أن ترتبط القيم التي تمثل بسط المتوسط ومقامه منطقيًا ببعضها البعض.
- متوسطات القوة;
- المتوسطات الهيكلية.
دعونا نقدم الترميز التالي:
القيم التي يتم حساب المتوسط لها ؛
المتوسط ، حيث يشير السطر أعلاه إلى أن متوسط القيم الفردية يحدث ؛
التردد (تكرار قيم السمات الفردية).
يتم اشتقاق وسائل مختلفة من معادلة متوسط القوة العامة:
(5.1)
لـ k = 1 - الوسط الحسابي ؛ ك = -1 - الوسط التوافقي ؛ ك = 0 - الوسط الهندسي ؛ ك = -2 - جذر متوسط التربيع.
المتوسطات إما بسيطة أو مرجحة. المتوسطات المرجحةتسمى الكميات التي تأخذ في الاعتبار أن بعض المتغيرات لقيم السمة قد يكون لها أرقام مختلفة ، وبالتالي يجب ضرب كل متغير في هذا الرقم. بمعنى آخر ، "الأوزان" هي عدد الوحدات السكانية في مجموعات مختلفة ، أي كل خيار "مرجح" بتردده. التردد f يسمى الوزن الإحصائيأو متوسط الوزن.
المتوسط الحسابي- أكثر أنواع الوسيط شيوعًا. يتم استخدامه عند إجراء الحساب على بيانات إحصائية غير مجمعة ، حيث تريد الحصول على متوسط الجمع. المتوسط الحسابي هو متوسط قيمة العنصر ، وعند استلامه يظل الحجم الإجمالي للعنصر في المجتمع كما هو.
معادلة المتوسط الحسابي ( بسيط) له الشكل
أين ن هو حجم السكان.
على سبيل المثال ، يتم حساب متوسط الراتب لموظفي المؤسسة على أنه المتوسط الحسابي:
المؤشرات المحددة هنا هي أجور كل موظف وعدد موظفي المؤسسة. عند حساب المتوسط ، ظل المبلغ الإجمالي للأجور على حاله ، لكن توزيعه ، كما هو ، بالتساوي بين جميع العمال. على سبيل المثال ، من الضروري حساب متوسط الراتب لموظفي شركة صغيرة حيث يعمل 8 أشخاص:
عند حساب المتوسطات ، يمكن تكرار القيم الفردية للسمة التي تم حساب متوسطها ، لذلك يتم حساب المتوسط باستخدام البيانات المجمعة. في هذه الحالة ، نتحدث عن استخدام حسابي يعني مرجح، الذي يبدو
(5.3)
لذلك ، نحتاج إلى حساب متوسط سعر سهم شركة مساهمة في البورصة. من المعروف أنه تم تنفيذ الصفقات خلال 5 أيام (5 صفقات) ، حيث تم توزيع عدد الأسهم المباعة بسعر البيع على النحو التالي:
1 - 800 ف. - 1010 روبل
2 - 650 ف. - 990 فرك.
3 - 700 أك. - 1015 روبل.
4-550 ف. - 900 فرك.
5 - 850 ك. - 1150 روبل.
النسبة الأولية لتحديد متوسط سعر السهم هي نسبة المبلغ الإجمالي للمعاملات (OSS) إلى عدد الأسهم المباعة (KPA).
أكثر أنواع المتوسطات شيوعًا هو المتوسط الحسابي.
متوسط حسابي بسيط
المتوسط الحسابي البسيط هو متوسط المصطلح ، في تحديد الحجم الإجمالي لسمة معينة في البيانات يتم توزيعه بالتساوي بين جميع الوحدات المدرجة في هذا المجتمع. وبالتالي ، فإن متوسط إنتاج الإنتاج السنوي لكل عامل هو قيمة حجم الإنتاج التي تقع على كل موظف إذا تم توزيع الحجم الكامل للإنتاج بالتساوي بين جميع موظفي المنظمة. يتم حساب المتوسط الحسابي للقيمة البسيطة بواسطة الصيغة:
مثال 1 . يتلقى فريق مكون من 6 عمال 3 3.2 3.3 3.5 3.8 3.1 ألف روبل شهريًا.متوسط حسابي بسيط- يساوي نسبة مجموع القيم الفردية لميزة إلى عدد المعالم في الإجمالي
ابحث عن متوسط الراتب
الحل: (3 + 3.2 + 3.3 +3.5 + 3.8 + 3.1) / 6 = 3.32 ألف روبل.
المتوسط المرجح الحسابي
إذا كان حجم مجموعة البيانات كبيرًا ويمثل سلسلة توزيع ، فسيتم حساب المتوسط الحسابي المرجح. هذه هي الطريقة التي يتم بها تحديد متوسط السعر المرجح لكل وحدة إنتاج: يتم قسمة التكلفة الإجمالية للإنتاج (مجموع المنتجات من كميتها وسعر وحدة الإنتاج) على الكمية الإجمالية للإنتاج.
نحن نمثل هذا في شكل الصيغة التالية:
مثال 2 . أوجد متوسط أجور عمال المتجر في الشهرالمتوسط الحسابي المرجح- تساوي النسبة (مجموع حاصل ضرب قيمة السمة إلى تكرار تكرار هذه السمة) إلى (مجموع ترددات جميع الصفات). وتستخدم عندما تحدث متغيرات المجتمع المدروس بشكل غير متساو عدد الاوقات.
يمكن الحصول على متوسط الأجر بقسمة إجمالي الأجر على إجمالي عدد العمال:
الجواب: 3.35 الف روبل.
المتوسط الحسابي لسلسلة فاصلة
عند حساب المتوسط الحسابي لسلسلة تباين الفاصل الزمني ، يتم أولاً تحديد متوسط كل فترة زمنية على أنها نصف مجموع الحدين العلوي والسفلي ، ثم متوسط السلسلة بأكملها. في حالة الفواصل الزمنية المفتوحة ، يتم تحديد قيمة الفاصل الزمني السفلي أو العلوي بقيمة الفترات المجاورة لها.
المتوسطات المحسوبة من سلسلة الفترات تقريبية.
مثال 3. تحديد متوسط عمر الطلاب في القسم المسائي.
المتوسطات المحسوبة من سلسلة الفترات تقريبية. تعتمد درجة تقريبها على المدى الذي يقترب فيه التوزيع الفعلي للوحدات السكانية ضمن الفاصل الزمني موحدًا.
عند حساب المتوسطات ، لا يمكن استخدام القيم المطلقة فحسب ، بل أيضًا القيم النسبية (التردد) كأوزان:
يحتوي المتوسط الحسابي على عدد من الخصائص التي تكشف عن جوهرها بشكل كامل وتبسط الحساب:
1. دائمًا ما يكون ناتج المتوسط ومجموع الترددات مساويًا لمجموع منتجات المتغير والترددات ، أي
2. الوسط الحسابي لمجموع القيم المتغيرة يساوي مجموع الوسائل الحسابية لهذه القيم:
3. المجموع الجبري لانحرافات القيم الفردية للسمة عن المتوسط هو صفر:
4. مجموع الانحرافات التربيعية للخيارات عن المتوسط أقل من مجموع الانحرافات التربيعية عن أي قيمة عشوائية أخرى ، أي
من أجل العثور على متوسط القيمة في Excel (سواء كانت قيمة رقمية أو نصية أو نسبة مئوية أو قيمة أخرى) ، هناك العديد من الوظائف. ولكل منهم خصائصه ومزاياه. بعد كل شيء ، يمكن تعيين شروط معينة في هذه المهمة.
على سبيل المثال ، يتم حساب متوسط قيم سلسلة من الأرقام في Excel باستخدام الدالات الإحصائية. يمكنك أيضًا إدخال الصيغة الخاصة بك يدويًا. دعنا نفكر في الخيارات المختلفة.
كيف تجد المتوسط الحسابي للأرقام؟
للعثور على المتوسط الحسابي ، عليك إضافة كل الأرقام في المجموعة وقسمة المجموع على الرقم. على سبيل المثال ، درجات الطالب في علوم الكمبيوتر: 3 ، 4 ، 3 ، 5 ، 5. ما ينطبق على ربع السنة: 4. وجدنا المتوسط الحسابي باستخدام الصيغة: \ u003d (3 + 4 + 3 + 5 + 5) / 5.
كيف نفعل ذلك بسرعة باستخدام وظائف Excel؟ خذ على سبيل المثال سلسلة من الأرقام العشوائية في سلسلة:
أو: اجعل الخلية نشطة وقم ببساطة بإدخال الصيغة يدويًا: = AVERAGE (A1: A8).
الآن دعنا نرى ما يمكن أن تفعله وظيفة AVERAGE.
أوجد المتوسط الحسابي لأول رقمين وآخر ثلاثة أعداد. الصيغة: = AVERAGE (A1: B1؛ F1: H1). نتيجة:
متوسط حسب الشرط
يمكن أن يكون شرط العثور على الوسط الحسابي معيارًا رقميًا أو معيارًا نصيًا. سنستخدم الوظيفة: = AVERAGEIF ().
أوجد المتوسط الحسابي للأعداد الأكبر من أو التي تساوي 10.
الوظيفة: = AVERAGEIF (A1: A8، "> = 10")
نتيجة استخدام وظيفة AVERAGEIF في الشرط "> = 10": تم حذف الوسيطة الثالثة - "متوسط المدى". أولا ، هذا غير مطلوب. ثانيًا ، النطاق الذي تم تحليله بواسطة البرنامج يحتوي على قيم رقمية فقط. في الخلايا المحددة في الوسيطة الأولى ، سيتم إجراء البحث وفقًا للشرط المحدد في الوسيطة الثانية.
انتباه! يمكن تحديد معيار البحث في خلية. وفي الصيغة للإشارة إليها.
لنجد متوسط قيمة الأرقام بمعيار النص. على سبيل المثال ، متوسط مبيعات "جداول" المنتج.
ستبدو الوظيفة على النحو التالي: = AVERAGEIF ($ A $ 2: $ A $ 12 ؛ A7 ؛ $ B $ 2: $ B $ 12). النطاق - عمود بأسماء المنتجات. معيار البحث هو ارتباط إلى خلية بها كلمة "جداول" (يمكنك إدراج كلمة "جداول" بدلاً من الارتباط A7). متوسط المدى - تلك الخلايا التي سيتم أخذ البيانات منها لحساب متوسط القيمة.
نتيجة حساب الوظيفة نحصل على القيمة التالية:
انتباه! بالنسبة لمعيار (شرط) النص ، يجب تحديد نطاق المتوسط.
كيف تحسب متوسط السعر المرجح في إكسيل؟
كيف نعرف متوسط السعر المرجح؟
الصيغة: = SUMPRODUCT (C2: C12، B2: B12) / SUM (C2: C12).
باستخدام صيغة SUMPRODUCT ، نكتشف إجمالي الإيرادات بعد بيع الكمية الكاملة للبضائع. والدالة SUM - تلخص كمية البضائع. بقسمة إجمالي الإيرادات من بيع البضائع على العدد الإجمالي لوحدات السلع ، وجدنا متوسط السعر المرجح. يأخذ هذا المؤشر في الاعتبار "وزن" كل سعر. حصتها في الكتلة الكلية للقيم.
الانحراف المعياري: الصيغة في Excel
يميز بين الانحراف المعياري لعامة السكان وللعينة. في الحالة الأولى ، هذا هو جذر التباين العام. في الثانية ، من عينة التباين.
لحساب هذا المؤشر الإحصائي ، يتم تجميع معادلة التشتت. الجذر مأخوذ منه. لكن في Excel توجد وظيفة جاهزة لإيجاد الانحراف المعياري.
الانحراف المعياري مرتبط بمقياس بيانات المصدر. هذا لا يكفي للتمثيل المجازي لتباين النطاق الذي تم تحليله. للحصول على المستوى النسبي للتشتت في البيانات ، يتم حساب معامل الاختلاف:
الانحراف المعياري / الوسط الحسابي
تبدو الصيغة في Excel كما يلي:
STDEV (نطاق القيم) / AVERAGE (نطاق القيم).
يتم حساب معامل الاختلاف كنسبة مئوية. لذلك ، قمنا بتعيين تنسيق النسبة المئوية في الخلية.
5.1 مفهوم المتوسط
متوسط القيمة -هذا مؤشر معمم يميز المستوى النموذجي للظاهرة. إنه يعبر عن قيمة السمة المرتبطة بوحدة السكان.
يعمم المتوسط دائمًا التباين الكمي للسمة ، أي في القيم المتوسطة ، يتم إلغاء الفروق الفردية في وحدات السكان بسبب الظروف العشوائية. على عكس المتوسط ، لا تسمح القيمة المطلقة التي تميز مستوى سمة لوحدة فردية من السكان بمقارنة قيم الميزة للوحدات التي تنتمي إلى مجموعات سكانية مختلفة. لذلك ، إذا كنت بحاجة إلى مقارنة مستويات أجور العاملين في مؤسستين ، فلا يمكنك مقارنة موظفين من مؤسستين مختلفتين على هذا الأساس. قد لا تكون أجور العمال المختارين للمقارنة نموذجية لهذه الشركات. إذا قارنا حجم أموال الأجور في المؤسسات قيد النظر ، فلن يتم أخذ عدد الموظفين في الاعتبار ، وبالتالي ، من المستحيل تحديد مستوى الأجور الأعلى. في النهاية ، يمكن مقارنة المتوسطات فقط ، أي كم يكسب عامل واحد في المتوسط في كل شركة؟ وبالتالي ، هناك حاجة لحساب متوسط القيمة كخاصية عامة للسكان.
يعد حساب المتوسط أحد أساليب التعميم الشائعة ؛ ينكر المؤشر المتوسط العام الذي هو نموذجي (نموذجي) لجميع وحدات السكان المدروسين ، وفي نفس الوقت يتجاهل الاختلافات بين الوحدات الفردية. في كل ظاهرة وفي تطورها ، هناك مزيج من الصدفة والضرورة. عند حساب المتوسطات ، بسبب عمل قانون الأعداد الكبيرة ، فإن العشوائية تلغي بعضها البعض ، وتوازن ، وبالتالي من الممكن التجريد من السمات غير المهمة للظاهرة ، من القيم الكمية للسمة في كل محدد قضية. في القدرة على الاستخراج من عشوائية القيم الفردية ، تكمن التقلبات في القيمة العلمية للمتوسطات كخصائص عامة للتجمعات.
لكي يكون المتوسط مميزًا حقًا ، يجب حسابه مع مراعاة مبادئ معينة.
دعونا نتناول بعض المبادئ العامة لتطبيق المتوسطات.
1. يجب تحديد المتوسط للسكان المكونين من وحدات متجانسة نوعياً.
2. يجب حساب المتوسط لمجتمع يتكون من عدد كبير بدرجة كافية من الوحدات.
3. يجب حساب المتوسط للسكان الذين تكون وحداتهم في حالة طبيعية وطبيعية.
4. يجب حساب المتوسط مع مراعاة المحتوى الاقتصادي للمؤشر قيد الدراسة.
5.2 أنواع المتوسطات وطرق حسابها
دعونا الآن نفكر في أنواع المتوسطات وخصائص حسابها ومجالات التطبيق. تنقسم القيم المتوسطة إلى فئتين كبيرتين: متوسطات القوة والمتوسطات الهيكلية.
إلى تعني القوةتشمل الأنواع الأكثر شهرة والأكثر استخدامًا مثل المتوسط الهندسي والمتوسط الحسابي والمتوسط المربع.
كما المتوسطات الهيكليةيعتبر الوضع والوسيط.
دعونا نتحدث عن متوسطات القوة. يمكن أن تكون متوسطات القوة ، اعتمادًا على عرض البيانات الأولية ، بسيطة ومرجحة. متوسط بسيطيتم حسابها من البيانات غير المبوبة ولها الشكل العام التالي:
حيث X i هو متغير (قيمة) السمة المتوسطة ؛
n هو عدد الخيارات.
متوسط الوزنيتم حسابها من خلال البيانات المجمعة ولها شكل عام
,
حيث X i هو المتغير (القيمة) للميزة المتوسطة أو القيمة المتوسطة للفاصل الذي يتم فيه قياس المتغير ؛
م هو الأس الوسط ؛
f i - تردد يوضح عدد مرات حدوث قيمة i-e للخاصية المتوسطة.
دعونا نعطي كمثال حساب متوسط عمر الطلاب في مجموعة من 20 شخصًا:
نحسب متوسط العمر باستخدام صيغة المتوسط البسيط:
دعنا نجمع بيانات المصدر. نحصل على سلسلة التوزيع التالية:
نتيجة التجميع ، نحصل على مؤشر جديد - التردد ، يشير إلى عدد الطلاب الذين تبلغ أعمارهم X سنة. لذلك ، سيتم حساب متوسط عمر الطلاب في المجموعة باستخدام صيغة المتوسط المرجح:
الصيغ العامة لحساب المتوسطات الأسية لها الأس (م). اعتمادًا على القيمة التي تأخذها ، يتم تمييز الأنواع التالية من متوسطات الطاقة:
الوسط التوافقي إذا م = -1 ؛
الوسط الهندسي إذا م -> 0 ؛
الوسط الحسابي إذا م = 1 ؛
جذر متوسط التربيع إذا م = 2 ؛
يعني مكعب إذا م = 3.
وترد معادلات القوة المتوسطة في الجدول. 4.4
إذا قمنا بحساب جميع أنواع المتوسطات لنفس البيانات الأولية ، فلن تكون قيمها هي نفسها. هنا تنطبق قاعدة أغلبية المتوسطات: مع زيادة الأس م ، تزداد القيمة المتوسطة المقابلة أيضًا:
في الممارسة الإحصائية ، في كثير من الأحيان أكثر من الأنواع الأخرى من المتوسطات الموزونة ، يتم استخدام المتوسطات الحسابية والتوافقية المرجحة.
الجدول 5.1
أنواع وسائل القوة
| نوع القوة وسط |
فِهرِس درجات (م) |
صيغة الحساب | |
| بسيط | موزون | ||
| متناسق | -1 | ||
| هندسي | 0 |  |
 |
| علم الحساب | 1 | ||
| من الدرجة الثانية | 2 | ||
| مكعب | 3 | ||
يحتوي المتوسط التوافقي على بنية أكثر تعقيدًا من المتوسط الحسابي. يتم استخدام الوسط التوافقي في الحسابات عندما لا تكون الأوزان هي وحدات السكان - حاملات السمة ، ولكن منتجات هذه الوحدات وقيم السمة (أي م = Xf). يجب استخدام متوسط وقت التوقف التوافقي في حالات تحديد ، على سبيل المثال ، متوسط تكاليف العمالة والوقت والمواد لكل وحدة إنتاج ، لكل جزء لمؤسستين (ثلاثة ، أربعة ، إلخ) ، عمال يعملون في تصنيع نفس نوع المنتج ، نفس الجزء ، المنتج.
الشرط الرئيسي لصيغة حساب متوسط القيمة هو أن جميع مراحل الحساب لها مبرر حقيقي ذي مغزى ؛ يجب أن تحل القيمة المتوسطة الناتجة محل القيم الفردية للسمة لكل كائن دون قطع الاتصال بين المؤشرات الفردية والموجزة. بمعنى آخر ، يجب حساب متوسط القيمة بطريقة أنه عندما يتم استبدال كل قيمة فردية للمؤشر المتوسط بقيمته المتوسطة ، يظل بعض مؤشر الملخص النهائي ، المرتبط بطريقة أو بأخرى بالمتوسط ، دون تغيير. هذه النتيجة تسمى تحديدلأن طبيعة علاقتها بالقيم الفردية تحدد الصيغة المحددة لحساب متوسط القيمة. دعنا نظهر هذه القاعدة في مثال المتوسط الهندسي.
صيغة المتوسط الهندسي
غالبًا ما تستخدم عند حساب متوسط قيمة القيم النسبية الفردية للديناميكيات.
يتم استخدام المتوسط الهندسي إذا تم إعطاء سلسلة من القيم النسبية للديناميكيات ، مما يشير ، على سبيل المثال ، إلى زيادة في الإنتاج مقارنة بمستوى العام السابق: i 1 ، i 2 ، i 3 ، ... ، في . من الواضح أن حجم الإنتاج في العام الماضي يتم تحديده من خلال مستواه الأولي (q 0) والنمو اللاحق على مر السنين:
q n = q 0 × i 1 × i 2 × ... × i n.
بأخذ q n كمؤشر تعريف واستبدال القيم الفردية لمؤشرات الديناميكيات بأخرى متوسطة ، نصل إلى العلاقة
من هنا 
5.3 المتوسطات الهيكلية
يتم استخدام نوع خاص من القيم المتوسطة - المتوسطات الهيكلية - لدراسة الهيكل الداخلي لسلسلة توزيع قيم السمة ، وكذلك لتقدير متوسط القيمة (نوع القدرة) ، إذا ، وفقًا للبيانات الإحصائية المتاحة ، لا يمكن إجراء حسابه (على سبيل المثال ، إذا لم تكن هناك بيانات في المثال المدروس). وحول حجم الإنتاج ، ومقدار التكاليف حسب مجموعات الشركات).
غالبًا ما تستخدم المؤشرات كمتوسطات هيكلية. موضه -قيمة الميزة الأكثر تكرارًا - و الوسيط -قيمة الميزة التي تقسم التسلسل المرتب لقيمها إلى جزأين متساويين في العدد. نتيجة لذلك ، في نصف عدد الوحدات السكانية ، لا تتجاوز قيمة السمة المستوى المتوسط ، وفي النصف الآخر لا تقل عنها.
إذا كانت الميزة قيد الدراسة تحتوي على قيم منفصلة ، فلا توجد صعوبات معينة في حساب الوضع والوسيط. إذا تم تقديم البيانات الخاصة بقيم السمة X في شكل فترات زمنية مرتبة لتغييرها (سلسلة الفترات) ، يصبح حساب الوضع والوسيط أكثر تعقيدًا إلى حد ما. نظرًا لأن القيمة المتوسطة تقسم السكان بالكامل إلى جزأين متساويين في العدد ، فإنها تنتهي في إحدى فترات السمة X. باستخدام الاستيفاء ، تم العثور على القيمة المتوسطة في هذا الفاصل الزمني الوسيط:
,
حيث X Me هو الحد الأدنى للفاصل الزمني الوسيط ؛
ح أنا هي قيمته ؛
(مجموع م) / 2 - نصف العدد الإجمالي للملاحظات أو نصف حجم المؤشر المستخدم كوزن في الصيغ لحساب متوسط القيمة (بالقيمة المطلقة أو النسبية) ؛
S Me-1 هو مجموع المشاهدات (أو حجم خاصية الترجيح) المتراكمة قبل بداية الفترة الوسيطة ؛
m Me هو عدد المشاهدات أو حجم ميزة الترجيح في الفاصل المتوسط (أيضًا بشكل مطلق أو نسبي).
في مثالنا ، يمكن الحصول حتى على ثلاث قيم متوسطة - بناءً على علامات عدد المؤسسات وحجم الإنتاج والمبلغ الإجمالي لتكاليف الإنتاج:
وهكذا ، بالنسبة لنصف المؤسسات ، تتجاوز تكلفة وحدة الإنتاج 125.19 ألف روبل ، ويتم إنتاج نصف الحجم الإجمالي للإنتاج بمستوى تكلفة لكل منتج يزيد عن 124.79 ألف روبل. ويتم تشكيل 50 ٪ من التكلفة الإجمالية على مستوى تكلفة منتج واحد أعلى من 125.07 ألف روبل. نلاحظ أيضًا أن هناك اتجاهًا تصاعديًا معينًا في التكلفة ، حيث أن Me 2 = 124.79 ألف روبل ، والمستوى المتوسط هو 123.15 ألف روبل.
عند حساب القيمة النموذجية لميزة ما وفقًا لبيانات سلسلة الفترات ، من الضروري الانتباه إلى حقيقة أن الفترات الزمنية متماثلة ، نظرًا لأن مؤشر تكرار قيم الميزة X يعتمد على هذا. سلسلة فاصلة بفواصل زمنية متساوية ، يتم تحديد قيمة الوضع على أنها
حيث X Mo هي القيمة الأدنى للفاصل الزمني الشرطي ؛
m Mo هو عدد الملاحظات أو حجم ميزة الترجيح في الفاصل الزمني النموذجي (بشكل مطلق أو نسبي) ؛
m Mo -1 - نفس الشيء بالنسبة للفاصل الزمني السابق للوضع ؛
m Mo + 1 - نفس الشيء بالنسبة للفاصل الزمني الذي يلي الوسيط ؛
h هي قيمة الفاصل الزمني لتغيير السمة في المجموعات.
على سبيل المثال ، يمكن حساب ثلاث قيم نمطية بناءً على علامات عدد المؤسسات وحجم الإنتاج ومقدار التكاليف. في جميع الحالات الثلاث ، يكون الفاصل الزمني هو نفسه ، لأنه في نفس الفترة الزمنية ، يتضح أن كل من عدد المؤسسات وحجم الإنتاج والمبلغ الإجمالي لتكاليف الإنتاج هو الأكبر:
وبالتالي ، غالبًا ما تتم مصادفة المؤسسات التي يبلغ مستوى التكلفة فيها 126.75 ألف روبل ، وغالبًا ما يتم إنتاج منتجات بمستوى تكلفة 126.69 ألف روبل ، وغالبًا ما يتم تفسير تكاليف الإنتاج بمستوى تكلفة يبلغ 123.73 ألف روبل.
5.4. مؤشرات الاختلاف
يتم التعبير عن الظروف المحددة التي يقع فيها كل عنصر من الكائنات المدروسة ، بالإضافة إلى ميزات تنميتها (الاجتماعية ، الاقتصادية ، إلخ) من خلال المستويات العددية المقابلة للمؤشرات الإحصائية. في هذا الطريق، الاختلاف،أولئك. التناقض بين مستويات نفس المؤشر في كائنات مختلفة موضوعي ويساعد على فهم جوهر الظاهرة قيد الدراسة.
هناك عدة طرق لقياس التباين في الإحصائيات.
أبسط هو حساب المؤشر تباين الامتداد H كفرق بين الحد الأقصى (X max) والحد الأدنى (X min) القيم المرصودة للسمة:
H = X max - X min.
ومع ذلك ، فإن نطاق التباين يظهر فقط القيم القصوى للسمة. لا يتم أخذ تكرار القيم الوسيطة في الاعتبار هنا.
الخصائص الأكثر صرامة هي مؤشرات التقلب بالنسبة إلى المستوى المتوسط للسمة. أبسط مؤشر من هذا النوع هو يعني الانحراف الخطي L كمتوسط حسابي للانحرافات المطلقة للسمة عن مستواها المتوسط:
مع تكرار القيم الفردية لـ X ، يتم استخدام صيغة المتوسط الحسابي المرجح:
(تذكر أن مجموع الانحرافات الجبرية عن المستوى المتوسط هو صفر.)
وجد مؤشر متوسط الانحراف الخطي تطبيقًا واسعًا في الممارسة العملية. بمساعدتها ، على سبيل المثال ، يتم تحليل تكوين العمال وإيقاع الإنتاج وتوحيد توريد المواد وتطوير أنظمة الحوافز المادية. ولكن ، لسوء الحظ ، فإن هذا المؤشر يعقد العمليات الحسابية للنوع الاحتمالي ، ويجعل من الصعب تطبيق طرق الإحصاء الرياضي. لذلك ، في البحث العلمي الإحصائي ، غالبًا ما يستخدم المؤشر لقياس التباين. تشتت.
يتم تحديد تباين الميزة (s 2) بناءً على متوسط القدرة التربيعي:
.
يتم استدعاء الأس الذي يساوي الانحراف المعياري.
في النظرية العامة للإحصاء ، مؤشر التشتت هو تقدير لمؤشر نظرية الاحتمالات الذي يحمل نفس الاسم و (كمجموع الانحرافات التربيعية) تقديرًا للتشتت في الإحصاء الرياضي ، مما يسمح باستخدام أحكام هذه التخصصات النظرية من أجل تحليل العمليات الاجتماعية والاقتصادية.
إذا تم تقدير التباين من خلال عدد صغير من الملاحظات المأخوذة من عدد غير محدود من السكان ، فسيتم تحديد متوسط قيمة الميزة ببعض الأخطاء. يبدو أن القيمة المحسوبة للتشتت تتحول إلى أسفل. للحصول على تقدير غير متحيز ، يجب ضرب تباين العينة الذي تم الحصول عليه من الصيغ أعلاه في n / (n - 1). نتيجة لذلك ، مع عدد قليل من الملاحظات (< 30) дисперсию признака рекомендуется вычислять по формуле
عادة عند n> (15 ÷ 20) يصبح التناقض بين التقديرات المتحيزة وغير المتحيزة غير مهم. للسبب نفسه ، لا يؤخذ التحيز في الاعتبار في صيغة إضافة الفروق.
إذا تم أخذ عدة عينات من عامة السكان وفي كل مرة يتم تحديد متوسط قيمة السمة ، تظهر مشكلة تقدير تباين المتوسطات. تقدير التباين قيمة متوسطيمكن أيضًا أن تستند إلى ملاحظة عينة واحدة فقط وفقًا للصيغة
,
أين ن هو حجم العينة ؛ s 2 هو تباين الميزة المحسوبة من بيانات العينة.
قيمة 
يسمى يعني خطأ أخذ العيناتوهي خاصية لانحراف القيمة المتوسطة للعينة للميزة X عن قيمتها المتوسطة الحقيقية. يستخدم مؤشر متوسط الخطأ في تقييم موثوقية نتائج ملاحظة العينة.
مؤشرات التشتت النسبي.لتوصيف مقياس تذبذب السمة قيد الدراسة ، يتم حساب مؤشرات التقلب من حيث النسبية. إنها تسمح لك بمقارنة طبيعة التشتت في توزيعات مختلفة (وحدات مراقبة مختلفة لنفس السمة في مجموعتين ، مع قيم مختلفة للوسائل ، عند مقارنة مجموعات مختلفة). يتم حساب مؤشرات قياس التشتت النسبي كنسبة مؤشر التشتت المطلق إلى المتوسط الحسابي ، مضروبة في 100٪.
1. معامل التذبذبيعكس التقلب النسبي للقيم القصوى للسمة حول المتوسط
.
2. يميز الإغلاق الخطي النسبي حصة متوسط قيمة علامة الانحرافات المطلقة عن القيمة المتوسطة
.
3. معامل الاختلاف:
هو مقياس التباين الأكثر شيوعًا المستخدم لتقييم نموذجية المتوسطات.
في الإحصاء ، تعتبر المجموعات السكانية التي لها معامل تباين أكبر من 30-35٪ غير متجانسة.
هذه الطريقة في تقدير التباين لها أيضًا عيب كبير. في الواقع ، لنفترض ، على سبيل المثال ، السكان الأوليين للعمال بمتوسط مدة خدمة 15 سنة ، مع انحراف معياري s = 10 سنوات ، و "كبار السن" 15 سنة أخرى. الآن = 30 عامًا ، ولا يزال الانحراف المعياري 10. عدد السكان غير المتجانسين سابقًا (10/15 × 100 =
66.7٪) ، وبالتالي اتضح أنها متجانسة تمامًا بمرور الوقت (10/30 × 100 = 33.3٪).
بويارسكي أ. البحث النظري في الإحصاء: Sat. علمي الإجراءات - م: الإحصاء ، 1974. ص 19 - 57.
| سابق |
من أجل التحليل والحصول على استنتاجات إحصائية بشأن نتيجة الملخص والتجميع ، يتم حساب مؤشرات التعميم - القيم المتوسطة والقيم النسبية.
مشكلة المتوسطات - لتمييز جميع وحدات المجتمع الإحصائي بقيمة واحدة للسمة.
تميز القيم المتوسطة المؤشرات النوعية لنشاط ريادة الأعمال: تكاليف التوزيع ، والربح ، والربحية ، وما إلى ذلك.
متوسط القيمة- هذه خاصية معممة لوحدات السكان وفقًا لبعض الخصائص المتغيرة.
تتيح القيم المتوسطة إمكانية مقارنة مستويات نفس السمة في مجموعات سكانية مختلفة وإيجاد أسباب هذه التناقضات.
في تحليل الظواهر قيد الدراسة ، يكون دور القيم المتوسطة هائلاً. استخدم الاقتصادي الإنجليزي دبليو بيتي (1623-1687) المتوسطات على نطاق واسع. أراد V. Petty استخدام القيم المتوسطة كمقياس لتكلفة الإنفاق على متوسط الكفاف اليومي لعامل واحد. استقرار متوسط القيمة هو انعكاس لأنماط العمليات قيد الدراسة. كان يعتقد أنه يمكن تحويل المعلومات حتى لو لم تكن هناك بيانات أولية كافية.
استخدم العالم الإنجليزي جي.كينغ (1648-1712) القيم المتوسطة والنسبية عند تحليل البيانات الخاصة بسكان إنجلترا.
تستند التطورات النظرية للإحصائي البلجيكي أ. كويتيليت (1796-1874) إلى التناقض في طبيعة الظواهر الاجتماعية - شديدة الاستقرار في الكتلة ، ولكنها فردية بحتة.
وفقًا لـ A. Quetelet ، تعمل الأسباب الدائمة بنفس الطريقة في كل ظاهرة قيد الدراسة وتجعل هذه الظواهر متشابهة مع بعضها البعض ، وتخلق أنماطًا مشتركة بينها جميعًا.
نتيجة لتعاليم A. Quetelet كانت تخصيص متوسط القيم كأسلوب رئيسي للتحليل الإحصائي. وقال إن المتوسطات الإحصائية ليست فئة من فئات الواقع الموضوعي.
أ. Quetelet أعرب عن آرائه في المتوسط في نظريته عن الشخص العادي. الشخص العادي هو الشخص الذي يمتلك كل الصفات في الحجم المتوسط (متوسط معدل الوفيات أو المواليد ، متوسط الطول والوزن ، متوسط سرعة الجري ، متوسط الميل للزواج والانتحار ، للأعمال الصالحة ، إلخ). بالنسبة لـ A. Quetelet ، الشخص العادي هو الشخص المثالي. تم إثبات تناقض نظرية أ. كويتيليت عن الرجل العادي في الأدبيات الإحصائية الروسية في نهاية القرنين التاسع عشر والعشرين.
كتب الإحصائي الروسي المعروف Yu. E. Yanson (1835-1893) أن A. Quetelet يفترض وجود في طبيعة نوع الشخص العادي كشيء معطى ، والذي من خلاله رفضت الحياة الأشخاص العاديين في مجتمع معين و وقت معين ، وهذا يؤدي به إلى رؤية ميكانيكية تمامًا لقوانين حركة الحياة الاجتماعية: الحركة هي زيادة تدريجية في متوسط خصائص الشخص ، واستعادة تدريجية لنوع ما ؛ وبالتالي ، مثل هذا التسوية لجميع مظاهر حياة الجسم الاجتماعي ، والتي بعدها تتوقف أي حركة إلى الأمام.
وجد جوهر هذه النظرية تطورًا إضافيًا في أعمال عدد من المنظرين الإحصائيين كنظرية القيم الحقيقية. كان لدى A. Quetelet أتباع - الاقتصادي والإحصائي الألماني W. Lexis (1837-1914) ، الذين نقلوا نظرية القيم الحقيقية إلى الظواهر الاقتصادية للحياة الاجتماعية. تُعرف نظريته باسم نظرية الاستقرار. نسخة أخرى من النظرية المثالية للمتوسطات مبنية على الفلسفة
مؤسسها هو الإحصائي الإنجليزي أ. باولي (1869–1957) ، أحد أبرز المنظرين في العصر الحديث في مجال نظرية المتوسطات. تم توضيح مفهومه للمتوسطات في كتاب "عناصر الإحصاء".
ج. يأخذ باولي في الاعتبار المتوسطات من الجانب الكمي فقط ، وبالتالي فصل الكمية عن الجودة. تحديد معنى القيم المتوسطة (أو "وظيفتها") ، يطرح A. Bowley مبدأ Machist للتفكير. كتب A. Bowley أن دالة المتوسطات يجب أن تعبر عن مجموعة معقدة
مع عدد قليل من الأعداد الأولية. يجب تبسيط البيانات الإحصائية وتجميعها وتقسيمها إلى متوسط ، وقد شارك في هذه الآراء كل من R. Fisher (1890-1968) ، و J. Yule (1871-1951) ، و Frederick S. Mills (1892) ، وآخرون.
في الثلاثينيات. القرن ال 20 والسنوات اللاحقة ، يعتبر متوسط القيمة خاصية ذات أهمية اجتماعية ، ويعتمد محتوى المعلومات على تجانس البيانات.
قام أبرز ممثلي المدرسة الإيطالية R. Benini (1862-1956) و C. Gini (1884-1965) ، باعتبار الإحصائيات فرعًا من المنطق ، بتوسيع نطاق الاستقراء الإحصائي ، لكنهم ربطوا المبادئ المعرفية للمنطق وإحصاءات مع طبيعة الظواهر المدروسة ، باتباع تقاليد التفسير الاجتماعي للإحصاء.
في أعمال K.Marx و V. I.Lenin ، تم تعيين دور خاص للقيم المتوسطة.
جادل ماركس بأن الانحرافات الفردية عن المستوى العام يتم إلغاؤها في متوسط القيمة ويصبح المستوى المتوسط سمة معممة لظاهرة الكتلة. يصبح متوسط القيمة سمة من سمات ظاهرة الكتلة فقط إذا تم أخذ عدد كبير من الوحدات وهذه الوحدات متجانسة نوعياً. كتب ماركس أن متوسط القيمة التي تم العثور عليها كان متوسط "... العديد من القيم الفردية المختلفة من نفس النوع."
يكتسب متوسط القيمة أهمية خاصة في اقتصاد السوق. فهو يساعد على تحديد الاتجاه الضروري والعامة لقوانين التنمية الاقتصادية مباشرة من خلال الفرد والعشوائية.
متوسط القيمهي مؤشرات معممة يتم فيها التعبير عن عمل الظروف العامة ، وانتظام الظاهرة قيد الدراسة.
يتم حساب المتوسطات الإحصائية على أساس البيانات الجماعية لملاحظة جماعية منظمة بشكل صحيح إحصائيًا. إذا تم حساب المتوسط الإحصائي من بيانات الكتلة لسكان متجانسين نوعياً (ظواهر جماعية) ، فسيكون ذلك موضوعيًا.
القيمة المتوسطة هي قيمة مجردة ، لأنها تميز قيمة الوحدة المجردة.
يتم استخلاص المتوسط من تنوع الميزة في الكائنات الفردية. التجريد هو مرحلة من مراحل البحث العلمي. تتحقق الوحدة الديالكتيكية للفرد والعام في القيمة المتوسطة.
يجب تطبيق القيم المتوسطة على أساس الفهم الديالكتيكي لفئات الفرد والعام والفرد والجماهيرية.
يعكس الجزء الأوسط شيئًا مشتركًا تمت إضافته في كائن واحد معين.
لتحديد الأنماط في العمليات الاجتماعية الجماعية ، فإن متوسط القيمة له أهمية كبيرة.
إن انحراف الفرد عن العام هو مظهر من مظاهر عملية التنمية.
تعكس القيمة المتوسطة المستوى المميز والنموذجي والحقيقي للظواهر قيد الدراسة. الغرض من المتوسطات هو توصيف هذه المستويات وتغيراتها في الزمان والمكان.
المؤشر المتوسط هو قيمة عادية ، لأنه يتكون في الظروف العادية والطبيعية والعامة لوجود ظاهرة جماعية معينة ، تعتبر ككل.
تعكس خاصية موضوعية لعملية إحصائية أو ظاهرة متوسط القيمة.
تختلف القيم الفردية للميزة الإحصائية المدروسة لكل وحدة من السكان. القيمة المتوسطة للقيم الفردية لنوع واحد هي نتاج الضرورة ، والتي هي نتيجة العمل التراكمي لجميع وحدات السكان ، والذي يتجلى في كتلة من الحوادث المتكررة.
بعض الظواهر الفردية لها علامات موجودة في جميع الظواهر ، ولكن بكميات مختلفة - هذا هو ارتفاع أو عمر الشخص. تختلف العلامات الأخرى لظاهرة فردية نوعياً في ظواهر مختلفة ، أي أنها موجودة في بعضها ولا يتم ملاحظتها في البعض الآخر (لن يصبح الرجل امرأة). يتم حساب متوسط القيمة للعلامات المتجانسة نوعياً والتي تختلف كمياً فقط ، والتي هي متأصلة في جميع الظواهر في مجموعة معينة.
القيمة المتوسطة هي انعكاس لقيم السمة التي يتم دراستها ويتم قياسها بنفس بُعد هذه السمة.
تعلم نظرية المادية الديالكتيكية أن كل شيء في العالم يتغير ويتطور. وكذلك تتغير العلامات التي تتميز بالقيم المتوسطة ، وبالتالي ، المتوسطات نفسها.
الحياة هي عملية مستمرة لخلق شيء جديد. إن حامل الجودة الجديدة هو كائنات مفردة ، ثم يزداد عدد هذه الأشياء ، ويصبح الجديد كتلة نموذجية.
يميز متوسط القيمة المجتمع المدروس على أساس واحد فقط. للحصول على عرض تقديمي كامل وشامل للسكان المدروسين لعدد من السمات المحددة ، من الضروري أن يكون لديك نظام متوسط القيم يمكنه وصف الظاهرة من زوايا مختلفة.
2. أنواع المتوسطات
في المعالجة الإحصائية للمادة ، تنشأ مشاكل مختلفة تحتاج إلى حل ، وبالتالي يتم استخدام قيم متوسطة مختلفة في الممارسة الإحصائية. يستخدم الإحصاء الرياضي متوسطات مختلفة ، مثل: المتوسط الحسابي ؛ الوسط الهندسي متوسط متناسق معدل الجذر التربيعي.
من أجل تطبيق أحد الأنواع المذكورة أعلاه من المتوسط ، من الضروري تحليل السكان قيد الدراسة ، وتحديد المحتوى المادي للظاهرة قيد الدراسة ، كل هذا يتم على أساس الاستنتاجات التي تم الحصول عليها من مبدأ جدوى النتائج عند قياس الوزن أو التلخيص.
في دراسة المتوسطات ، يتم استخدام المؤشرات والرموز التالية.
يتم استدعاء المعيار الذي يتم من خلاله العثور على المتوسط ميزة متوسطة ويشار إليه بـ x ؛ يتم استدعاء قيمة الميزة المتوسطة لأي وحدة من السكان الإحصائيين معناه الفرديأو والخيارات،ويشار إليها باسم x 1 ، X 2 ، س 3 ،… X ص ; التردد هو تكرار القيم الفردية لسمة ما ، يُشار إليها بالحرف F.
المتوسط الحسابي
أحد أكثر أنواع الوسائط شيوعًا المتوسط الحسابي، والتي يتم حسابها عندما يتم تكوين حجم السمة المتوسطة كمجموع قيمها للوحدات الفردية من المجتمع الإحصائي المدروس.
لحساب المتوسط الحسابي ، يتم قسمة مجموع كل مستويات المعالم على عددها.
إذا حدثت بعض الخيارات عدة مرات ، فيمكن الحصول على مجموع مستويات البيانات الجدولية بضرب كل مستوى في العدد المقابل من الوحدات السكانية ، متبوعًا بإضافة المنتجات الناتجة ، يُطلق على المتوسط الحسابي المحسوب بهذه الطريقة اسم الحساب الموزون يعني.
معادلة الوسط الحسابي المرجح هي كما يلي:
أين س أنا خيارات ،
و ط - الترددات أو الأوزان.
يجب استخدام المتوسط المرجح في جميع الحالات التي يكون فيها للمتغيرات وفرة مختلفة.
يوزع المتوسط الحسابي ، كما كان ، بالتساوي بين الكائنات الفردية القيمة الإجمالية للسمة ، والتي تختلف في الواقع لكل منها.
يتم حساب متوسط القيم وفقًا للبيانات المجمعة في شكل سلسلة توزيع الفاصل ، عندما يتم تقديم متغيرات السمات التي يتم من خلالها حساب المتوسط في شكل فترات (من - إلى).
خصائص الوسط الحسابي:
1) المتوسط الحسابي لمجموع القيم المتغيرة يساوي مجموع الوسائل الحسابية: إذا كان x i = y i + z i ، إذن
توضح هذه الخاصية الحالات التي يمكن فيها تلخيص متوسط القيم.
2) المجموع الجبري لانحرافات القيم الفردية للخاصية المتغيرة عن المتوسط يساوي صفرًا ، نظرًا لأن مجموع الانحرافات في اتجاه واحد يتم تعويضه بمجموع الانحرافات في الاتجاه الآخر:
توضح هذه القاعدة أن المتوسط هو الناتج.
3) إذا تم زيادة أو نقصان جميع متغيرات السلسلة بنفس الرقم؟
4) إذا تمت زيادة أو تقليل جميع متغيرات السلسلة بمقدار A مرة ، فإن المتوسط سيزداد أيضًا أو ينقص بمقدار A مرة:
5) تبين لنا الخاصية الخامسة للمتوسط أنها لا تعتمد على حجم الأوزان ، بل تعتمد على النسبة بينهما. كأوزان ، لا يمكن أخذ القيم النسبية فحسب ، بل القيم المطلقة أيضًا.
إذا تم تقسيم أو ضرب جميع ترددات السلسلة بنفس الرقم d ، فلن يتغير المتوسط.
متوسط متناسق.من أجل تحديد المتوسط الحسابي ، من الضروري أن يكون لديك عدد من الخيارات والترددات ، أي القيم Xو F.
افترض أننا نعرف القيم الفردية للميزة Xويعمل X / ،والترددات Fغير معروفين ، إذن ، لحساب المتوسط ، نشير إلى المنتج = X / ؛أين:
يُطلق على المتوسط في هذا الشكل اسم المتوسط المرجح التوافقي ويتم الإشارة إليه س ضرر. vzvv.
وفقًا لذلك ، فإن المتوسط التوافقي مطابق للمتوسط الحسابي. يتم تطبيقه عندما لا تكون الأوزان الفعلية معروفة. Fوالمنتج معروف fx = ض
عندما يعمل fxهو نفسه أو يساوي واحدًا (م = 1) ، يتم استخدام الوسط التوافقي البسيط ، محسوبًا بالصيغة:
أين X- خيارات منفصلة
ن- رقم.
الوسط الهندسي
إذا كانت هناك عوامل نمو n ، فإن معادلة متوسط المعامل هي:
هذه هي معادلة المتوسط الهندسي.
المتوسط الهندسي يساوي جذر الدرجة نمن ناتج معاملات النمو التي تميز نسبة قيمة كل فترة لاحقة إلى قيمة الفترة السابقة.
إذا كانت القيم المعبر عنها كوظائف مربعة تخضع للتوسيط ، فسيتم استخدام جذر متوسط التربيع. على سبيل المثال ، باستخدام جذر متوسط المربع ، يمكنك تحديد أقطار الأنابيب والعجلات وما إلى ذلك.
يتم تحديد متوسط المربع البسيط بأخذ الجذر التربيعي للحاصل من قسمة مجموع مربعات قيم السمات الفردية على رقمها.
جذر متوسط التربيع المرجح هو:
3. المتوسطات الهيكلية. الوضع والمتوسط
لتوصيف بنية المجتمع الإحصائي ، يتم استخدام المؤشرات التي يتم استدعاؤها المتوسطات الهيكلية.وتشمل هذه الوضع والمتوسط.
أزياء (م حول ) - الخيار الأكثر شيوعًا. موضةيتم استدعاء قيمة الميزة ، والتي تتوافق مع الحد الأقصى لنقطة منحنى التوزيع النظري.
يمثل الوضع القيمة الأكثر تكرارا أو النموذجية.
تستخدم الموضة في الممارسة التجارية لدراسة طلب المستهلك وتسجيل الأسعار.
في سلسلة منفصلة ، يكون الوضع هو البديل ذو أعلى تردد. في سلسلة تغير الفاصل الزمني ، يعتبر المتغير المركزي للفاصل الزمني ، الذي يحتوي على أعلى تردد (خصوصية) ، هو الوضع.
ضمن الفاصل الزمني ، من الضروري العثور على قيمة السمة ، وهي الوضع.
أين X حولهو الحد الأدنى للفاصل الزمني الشرطي ؛
حهي قيمة الفاصل الزمني ؛
اف امهو تواتر الفاصل الزمني ؛
و ت-1 - تكرار الفاصل الزمني السابق للوضع ؛
اف ام+1 هو تردد الفاصل الزمني الذي يلي الوسيط.
يعتمد الوضع على حجم المجموعات ، على الموقع الدقيق لحدود المجموعات.
موضة- الرقم الذي يحدث في الواقع في أغلب الأحيان (قيمة معينة) ، وعمليًا يحتوي على أوسع تطبيق (النوع الأكثر شيوعًا للمشتري).
الوسيط (M ه- هذه هي القيمة التي تقسم عدد السلاسل المتغيرة المرتبة إلى جزأين متساويين: يحتوي أحدهما على قيم للميزة المتغيرة التي تكون أصغر من المتغير المتوسط ، والآخر كبير.
الوسيطهو عنصر أكبر من أو يساوي وفي نفس الوقت أقل من أو يساوي نصف العناصر المتبقية من سلسلة التوزيع.
خاصية الوسيط هي أن مجموع الانحرافات المطلقة لقيم السمات عن الوسيط أقل من أي قيمة أخرى.
يتيح لك استخدام الوسيط الحصول على نتائج أكثر دقة من استخدام الأشكال الأخرى للمتوسطات.
يكون ترتيب العثور على الوسيط في سلسلة تباينات الفترات على النحو التالي: نرتب القيم الفردية للسمة حسب الترتيب ؛ تحديد الترددات المتراكمة لهذه السلسلة المرتبة ؛ وفقًا للترددات المتراكمة ، نجد متوسط الفاصل الزمني:
أين x ليهو الحد الأدنى للفاصل الزمني الوسيط ؛
أنا أناهي قيمة وسيط الفترة ؛
فتحة العدسة f / 2هو نصف مجموع ترددات السلسلة ؛
س أنا-1 هو مجموع الترددات المتراكمة التي تسبق الفترة الوسيطة ؛
F أناهو تكرار الفاصل الزمني الوسيط.
يقسم الوسيط عدد الصفوف إلى النصف ، وبالتالي ، يكون التردد المتراكم نصف أو أكثر من نصف العدد الإجمالي للترددات ، ويكون التردد السابق (التراكمي) أقل من نصف عدد السكان.
العم فانيا مؤامرة المسرحية. "العم إيفان. الموقف من أستاذ الآخرين
تساخيس الصغير ، الملقب بزينوبر
مايكوف ، أبولون نيكولايفيتش - سيرة ذاتية قصيرة