كيف يتم تحديد المتجه ورسمه. المتجهات المرجعية التاريخية مفهوم المتجه مساواة المتجهات تأجيل متجه من نقطة معينة مجموع متجهين قوانين الجمع الطرح

إذا = (̅

- أساس

= (1، 2، 3) ثم هناك مجموعة من الأرقام (

…) مثل ذلك

̅ + + ̅̅ حيث (

...) هي إحداثيات المتجه في الأساس.

̅ с̅ = с̅ ̅

= ̅с ̅ = - ̅с̅

= - с̅ ̅ = - ̅ ̅с.

20. صياغة الخاصية الخطية للمنتج المخلوط.

المنتج المختلط يلبي خاصية الارتباط فيما يتعلق

ضرب المتجهات برقم: (λ ̅) с̅

= λ (̅ с̅).

المنتج المخلوط يحقق خاصية التوزيع: (̅̅̅ + ̅̅̅) с̅

= ̅̅̅

̅s + ̅̅̅

مع.

− 1

− 1

− 1

| 2 −1

2 − 1

2 −1 | = 0

3 − 1

3 − 1

3 − 1

(0 ;0 ;

هي إحداثيات النقطة 0 L في نظام إحداثيات مستطيل ، تسمى

المعادلات البارامترية لخط مستقيم في الفضاء.

المعادلة

− 0

− 0

− 0

اتصل المعادلات المتعارف عليهامستقيم

الفضاء.

27. اكتب معادلة خط مستقيم يمر بنقطتين في الفراغ.

المعادلات

− 1

− 1

− 1

تسمى معادلات الخط المستقيم المار بنقطتين

متوازي الأضلاع OA'CB '، لذلك = ′ + ′. متجه ′ ومتجه غير صفري

تكون متداخلة ، وبالتالي يمكن الحصول على أولهما بضرب الثاني في

الرقم الحقيقي α: ′ =. وبالمثل ′ =، β R. نتيجة لذلك ، نحصل عليه، ماذا او ما

̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅

= ′ + ′ ، أي المتجه هو مزيج خطي من المتجهات و. حسب النظرية

̅ تعتمد خطيًا.

2.1 (على الاعتماد الخطي للناقلات) ، المتجهات ̅ ،

2. برهن النظرية على توسيع المتجه من حيث الأساس.

نظرية توسيع المتجه من حيث الأساس. إذا = (̅

- أساس

= (1، 2، 3) إذن

هناك مجموعة من الأرقام (

…) مثل أن ̅ = ̅̅̅

̅ + + ̅ ̅ حيث (

…) - الإحداثيات

ضع في اعتبارك متجهين ̅

ويتم تحديدها من خلال إحداثياتها في الأساس الصحيح المتعامد

̅ = {

). ثم هناك توسعات لهذه المتجهات ̅ = ̅ + ̅

, ̅, ̅:

= ̅ +̅ +

بناء على هذه

التوكيلات

جبري

ناقلات الضرب

نحن نحصل

= ̅× ̅+ ̅× ̅+ ̅× +

̅× ̅+ ̅× ̅+ ̅× +

̅ ̅

× ̅+ × ̅+

× = (

)̅+ (

)̅+ (

دع المتجهات أ ، ب ، ج تُعطى بإحداثياتها في الأساس الصحيح المتعامد: ̅ = (؛

) ، = (؛ ؛) ، ̅с = (؛ ؛). للعثور على منتجهم المختلط ،

سنستخدم الصيغ لحساب المنتجات العددية والمتجهة:

̅̅= ̅(× ̅)= ̅ (|

إذا تم إعطاء المستوى π في نظام إحداثيات مستطيل بواسطة معادلته العامة

Ax + By + Cz + D = 0 ، فإن المتجه الطبيعي هو المتجه ذو الإحداثيات (A ؛ B ؛ C).

اجعل (0 ، 0 ، 0) و (1 ، 1 ، 1) إحداثيات النقاط 0

و 1 . ثم المساواة

A 1 + B1 + C1 + D = 0 ، لأن النقطة M1 تنتمي إلى المستوى ، ويمكن للمرء أن يجد الإحداثيات

̅̅̅̅̅̅̅̅

̅̅̅̅̅̅̅̅

̅̅̅̅̅̅̅̅

المتجهات 1 0:

1 0 = (0-1 ؛ 0-1 ؛ 0-1). كتابة الضرب القياسي ̅ 1 0

تنسيق الشكل والتحويل (5.8) نحصل عليه

| (0 −1 ) + (0 −1 ) + (0 −1 )|

| 0 +0 +0 − (1 +1 +1 )|

2 + 2+ 2

2 + 2+ 2

̅̅̅̅̅̅̅̅

(1 ,) =

| 0 1 × |

الشغل. دع الخطوط 1

و 2

المعادلات المتعارف عليها. منذ ذلك الحين

̅̅̅̅̅̅̅̅

(1 ، 2) بين السطور:

̅ ̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅

(1 ,2 ) =

| 1 2

1 2|

المتجه هو جزء موجه من خط مستقيم في الفضاء الإقليدي ، حيث يُطلق على أحد الطرفين (النقطة أ) بداية المتجه ، ويسمى الطرف الآخر (النقطة ب) بنهاية المتجه (الشكل 1) . يتم الإشارة إلى النواقل:

إذا كانت بداية ونهاية المتجه هي نفسها ، فسيتم استدعاء المتجه ناقل صفروالمشار إليها 0 .

مثال. دع بداية المتجه في الفضاء ثنائي الأبعاد لها إحداثيات أ(12،6) ، ونهاية المتجه هي الإحداثيات ب(12.6). ثم يكون المتجه متجهًا فارغًا.

طول قطع ABاتصل وحدة (طويل, القاعدة) المتجه ويتم الإشارة إليه بواسطة | أ|. طول ناقلات يساوي واحد، يسمى حتى النصر. بالإضافة إلى المعامل ، يتميز المتجه بالاتجاه: المتجه له اتجاه من أإلى ب. المتجه يسمى المتجه ، عكسالمتجه .

يتم استدعاء المتجهين علاقة خطية متداخلةإذا كانت تقع على نفس الخط أو على خطوط متوازية. في التين. 3 نواقل حمراء متداخلة منذ ذلك الحين أنها تقع على نفس الخط المستقيم ، والمتجهات الزرقاء متداخلة ، لأن تقع على خطوط متوازية. اثنين ناقلات خطيةاتصل موجه بالتساويإذا كانت نهاياتهم تقع على نفس الجانب من الخط الذي ينضم إلى بداياتهم. يتم استدعاء متجهين خطيين اتجاهين متعاكسينإذا كانت نهاياتهم تكمن جوانب مختلفةمن الخط المستقيم الذي يربط بينهما. إذا كان هناك متجهان خطيان يقعان على نفس الخط ، فيتم استدعاؤهما بالتساوي بالتوجيه إذا كان أحد الأشعة التي شكلها ناقل واحد يحتوي بالكامل على الشعاع الذي شكله المتجه الآخر. خلاف ذلك ، يتم استدعاء المتجهات الموجهة بشكل معاكس. في الشكل 3 ، المتجهات الزرقاء في نفس الاتجاه والمتجهات الحمراء في الاتجاه المعاكس.

يتم استدعاء المتجهين مساوإذا كانت لديهم وحدات متساوية ويتم توجيههم بشكل متساوٍ. في الشكل 2 ، المتجهات متساوية لأن معاملها متساوية ولها نفس الاتجاه.

يتم استدعاء النواقل متحد المستوىإذا كانوا مستلقين على نفس المستوى أو على مستوى موازٍ.

في نفي فضاء متجه الأبعاد ، ضع في اعتبارك مجموعة جميع المتجهات التي تتطابق نقطة بدايتها مع الأصل. ثم يمكن كتابة المتجه بالشكل التالي:

أين x 1 ، x 2 ، ... ، x nإحداثيات نقطة نهاية متجه x.

المتجه المكتوب في الشكل (1) يسمى ناقلات التوالي، والمتجه مكتوب كـ

اتصل ناقلات العمود.

رقم ناتصل البعد (مرتب) المتجه. اذا كان ثم يسمى المتجه ناقل صفر(لأن نقطة البداية للمتجه ). متجهان xو ذمتساوية إذا وفقط إذا كانت العناصر المقابلة لها متساوية.

المتجه هو أحد المفاهيم الهندسية الأساسية. المتجه يتميز برقم (طول) واتجاه. بصريًا ، يمكن تخيله باعتباره مقطعًا موجهًا ، على الرغم من أنه عند الحديث عن متجه ، فمن الأصح أن نعني فئة كاملة من المقاطع الموجهة ، والتي تكون جميعها موازية لبعضها البعض ، نفس الطولونفس الاتجاه (الشكل 1). أمثلة الكميات الفيزيائية التي تكون متجهة في الطبيعة هي السرعة (لجسم متحرك تدريجيًا) ، والتسارع ، والقوة ، وما إلى ذلك.

ظهر مفهوم المتجه في أعمال عالم الرياضيات الألماني في القرن التاسع عشر. ج. جراسمان وعالم الرياضيات الأيرلندي دبليو هاميلتون. ثم تم قبولها بسهولة من قبل العديد من علماء الرياضيات والفيزياء. في الرياضيات الحديثة وتطبيقاتها ، يلعب هذا المفهوم الدور الأساسي. تستخدم النواقل في ميكانيكا جاليليو نيوتن الكلاسيكية (في عرض حديث) ، في نظرية النسبية ، فيزياء الكم ، في الاقتصاد الرياضيوالعديد من فروع العلوم الطبيعية الأخرى ، ناهيك عن استخدام المتجهات في مختلف مجالات الرياضيات.

يمكن تسمية كل من المقاطع الموجهة التي تشكل المتجه (الشكل 1) بممثل هذا المتجه. يتم الإشارة إلى المتجه الذي يمثل ممثله مقطعًا موجهًا ينتقل من نقطة إلى نقطة. على التين. 1 لدينا ، أي وهو نفس المتجه (يمثله كلا المقطعين الموجهين الموضحين في الشكل 1). أحيانًا يتم الإشارة إلى المتجه بحرف صغير به سهم: ،.

يسمى المتجه الذي يمثله "مقطع" موجه تتطابق بدايته مع نهايته بصفر ؛ يرمز له ، أي . يُطلق على متجهين متوازيين لهما نفس الطول ولكن اتجاهين متعاكسين اسم متقابل. إذا تم الإشارة إلى المتجه بواسطة ، فسيتم الإشارة إلى المتجه المقابل له.

دعنا نسمي العمليات الرئيسية المتعلقة بالمتجهات.

ط- تأجيل متجه من نقطة. اسمحوا أن يكون بعض المتجهات ويكون نقطة. من بين المقاطع الموجهة التي تمثل المتجه ، يوجد مقطع موجه يبدأ من النقطة. نهاية هذا المقطع الموجه تسمى نقطة ناتجة عن تأجيل المتجه من النقطة (الشكل 2). هذه العملية لها الخاصية التالية:

أنا 1. لأي نقطة وأي متجه ، توجد نقطة واحدة فقط لها.

إضافة نواقل. اسمحوا واثنين من المتجهات. لنأخذ نقطة اعتباطية ونضع المتجه جانبًا من النقطة ، أي العثور على نقطة من هذا القبيل (الشكل 3). ثم نضع المتجه جانبًا من النقطة ، أي نجد نقطة من هذا القبيل. يسمى المتجه مجموع المتجهات ويتم الإشارة إليه بواسطة. يمكن إثبات أن المبلغ لا يعتمد على اختيار النقطة ، أي إذا استبدلنا بنقطة أخرى ، نحصل على متجه يساوي (الشكل 3). من تعريف مجموع المتجهات ، يتبع ذلك المساواة في أي نقاط ثلاث

I2:

(حكم من ثلاث نقاط). إذا كانت المتجهات غير صفرية وليست متوازية ، فمن الملائم إيجاد مجموعها باستخدام قاعدة متوازي الأضلاع (الشكل 4).

ثانيًا. تعبر الخصائص الرئيسية لمجموع المتجهات عن المساواة الأربعة التالية (صالحة لأي متجهات ،):

II2. .

لاحظ أيضًا أنه يتم العثور على مجموع المتجهات المتعددة من خلال إيجاد مجموع اثنين منهم على التوالي. فمثلا: .

في نفس الوقت ، بأي ترتيب نضيفه نواقل معينة، ستكون النتيجة (كما يلي من الخصائص المذكورة في البندين II1 و II2) هي نفسها دائمًا. فمثلا:

علاوة على ذلك ، هندسيًا ، يمكن الحصول على مجموع المتجهات المتعددة على النحو التالي: من الضروري وضع المقاطع الموجهة التي تمثل هذه المتجهات بالتتابع واحدة تلو الأخرى (أي بحيث تتزامن بداية الجزء الثاني الموجه مع نهاية الأول ، بداية الثالث - مع نهاية الثاني وما إلى ذلك) ؛ ثم المتجه سيكون كممثل لها مقطع موجه "ختامي" ، من بداية الأول إلى نهاية الأخير (الشكل 5). (لاحظ أنه إذا أدى هذا التأجيل المتتالي إلى "خط متجه مغلق متقطع" ، إذن .)

ثالثا. ضرب متجه برقم. يجب أن يكون متجهًا غير صفري ويكون رقمًا غير صفري. يتم الإشارة إلى المتجه بالشرطين التاليين: أ) طول المتجه ؛ ب) المتجه موازٍ للناقل ، ويتزامن اتجاهه مع اتجاه المتجه عنده وعكسه عند (الشكل 6). إذا كانت إحدى المعادلات على الأقل صحيحة ، فسيتم اعتبار المنتج مساويًا لها. وبالتالي ، يتم تعريف المنتج لأي متجه وأي رقم.

تعبر المعادلات الأربع التالية (الصالحة لأي متجهات وأي أرقام) عن الخصائص الأساسية لعملية ضرب المتجه برقم:

ثالثا 2. .

ثالثا 3. .

من هذه الخصائص يتبع سلسلة مزيد من الحقائقالمرتبطة بالعمليات المدروسة على النواقل. دعونا نلاحظ بعضًا منها ، والتي غالبًا ما تستخدم في حل المشكلات.

أ) إذا كانت هذه النقطة من المقطع أن ، ثم لأي نقطة المساواة ، على وجه الخصوص ، إذا كانت نقطة منتصف المقطع ، إذن .

ب) إذا - نقطة تقاطع وسطاء المثلث ، إذن ؛ علاوة على ذلك ، لأي نقطة المساواة (النظريات العكسية صالحة أيضًا).

ج) اسمح أن تكون نقطة على خط مستقيم وأن تكون متجهًا غير صفري موازيًا لهذا الخط المستقيم. تنتمي النقطة إلى السطر إذا وفقط إذا (حيث يوجد رقم).

د) يجب أن تكون نقطة من المستوى وأن تكون متجهات غير صفرية وغير متوازية موازية لهذا المستوى. تنتمي النقطة إلى المستوى إذا وفقط إذا تم التعبير عن المتجه من حيث و ، أي .

أخيرًا ، نلاحظ أيضًا خاصية البعد ، والتي تعبر عن حقيقة أن الفضاء ثلاثي الأبعاد.

رابعا. هناك ثلاثة نواقل ، في الفضاء بحيث لا يمكن التعبير عن أي منها من حيث النواقل الأخرى ؛ يتم التعبير عن أي متجه رابع من حيث هذه المتجهات الثلاثة: . يتم تعريفه من خلال المساواة: يتم الإشارة إلى المنتج القياسي للمتجه (ومن ثم لم يتم تحديد الزاوية بينهما).

تتشابه خصائص عمليات المتجه المذكورة أعلاه من نواحٍ عديدة مع خصائص جمع ومضاعفة الأعداد. في نفس الوقت ، المتجه هو كائن هندسي ، وتستخدم المفاهيم الهندسية مثل الطول والزاوية في تعريف عمليات المتجه ؛ هذا يفسر فائدة المتجهات للهندسة (وتطبيقاتها في الفيزياء ومجالات المعرفة الأخرى). ومع ذلك ، من أجل حلها مشاكل هندسيةبمساعدة المتجهات ، من الضروري أولاً وقبل كل شيء تعلم كيفية "ترجمة" حالة مشكلة هندسية إلى "لغة" متجهية. بعد هذه "الترجمة" ، يتم إجراء الحسابات الجبرية باستخدام المتجهات ، ثم يتم "ترجمة" حل المتجه الناتج مرة أخرى إلى "لغة" هندسية. هذا هو الحل المتجه للمسائل الهندسية.

عند تقديم دورة الهندسة في المدرسة ، يتم إعطاء المتجه كمفهوم محدد (انظر التعريف) ، وبالتالي فإن البديهيات المعتمدة في كتاب مدرسي (انظر البديهيات والطريقة البديهية) للهندسة لا تقول شيئًا عن خصائص المتجهات ، بمعنى آخر. يجب إثبات كل هذه الخصائص كنظريات.

ومع ذلك ، هناك طريقة أخرى لتقديم الهندسة ، حيث يُعتبر المتجه والنقطة المفاهيم الأولية (غير المحددة) ، والخصائص I1 ، I2 ، II1-II4 ، III1-III4 ، IV ، V1-V4 المذكورة أعلاه تعتبر بديهيات. تم اقتراح طريقة بناء الهندسة هذه في عام 1917 من قبل عالم الرياضيات الألماني جي ويل. هنا الخطوط والطائرات هي مفاهيم محددة. ميزة هذا البناء هي إيجازه و اتصال عضويمع الفهم الحديث للهندسة ، سواء في الرياضيات نفسها أو في مجالات المعرفة الأخرى. على وجه الخصوص ، تقدم البديهيات II1-II4 ، III1-III4 ما يسمى بالفضاء المتجه المستخدم في الرياضيات والفيزياء والاقتصاد الرياضي الحديث ، إلخ.

أخيرًا ، وضعت يدي على موضوع واسع طال انتظاره الهندسة التحليلية. أولا قليلا عن هذا القسم رياضيات أعلى…. من المؤكد أنك تذكرت الآن دورة الهندسة المدرسية مع العديد من النظريات ، وإثباتاتها ، ورسوماتها ، وما إلى ذلك. ما تخفيه ، موضوع غير محبوب وغامض في كثير من الأحيان لنسبة كبيرة من الطلاب. قد تبدو الهندسة التحليلية ، بشكل غريب بما فيه الكفاية ، أكثر إثارة للاهتمام ويمكن الوصول إليها. ماذا تعني صفة "تحليلي"؟ تتبادر إلى الذهن جملتان رياضيتان مختومتان على الفور: "طريقة الرسم للحل" و " المنهج التحليليحلول". طريقة الرسم ، بالطبع ، يرتبط ببناء الرسوم البيانية والرسومات. تحليلينفس طريقةيتضمن حل المشكلة في الغالبمن خلال العمليات الجبرية. في هذا الصدد ، فإن خوارزمية حل جميع مشاكل الهندسة التحليلية تقريبًا بسيطة وشفافة ، وغالبًا ما يكون تطبيقها دقيقًا تمامًا الصيغ الضرورية- والجواب جاهز! لا ، بالطبع ، لن يتم الاستغناء عن الرسومات على الإطلاق ، بالإضافة إلى فهم أفضلماديًا ، سأحاول منحهم ما بعد الضرورة.

لا تدعي الدورة المفتوحة للدروس في الهندسة أنها اكتمال نظري ، فهي تركز على حل المشكلات العملية. سأدرج في محاضراتي فقط ما هو مهم من وجهة نظري من الناحية العملية. إذا كنت بحاجة إلى مرجع أكثر اكتمالاً في أي قسم فرعي ، فإنني أوصي بالأدبيات التالية التي يمكن الوصول إليها تمامًا:

1) شيء مألوف لعدة أجيال بدون مزحة: كتاب مدرسي في الهندسة، المؤلفون - إل. أتاناسيان وشركاه. لقد صمدت شماعات غرفة خلع الملابس في المدرسة بالفعل في إعادة إصدار 20 (!) ، والتي ، بالطبع ، ليست الحد الأقصى.

2) الهندسة في مجلدين. المؤلفون إل. أتاناسيان ، بازيليف ف.. هذا هو الأدب ل المدرسة الثانوية، سوف تحتاج المجلد الأول. نادرًا ما تقع المهام التي تحدث خارج مجال رؤيتي ، و الدورة التعليميةسيقدم مساعدة لا تقدر بثمن.

كلا الكتابين مجانيان للتنزيل عبر الإنترنت. أيضا ، يمكنك استخدام أرشيفي مع حلول جاهزة، والتي يمكن العثور عليها في الصفحة تنزيل أمثلة الرياضيات العليا.

من أدواتأعرض التطوير الخاص بي مرة أخرى - حزمة البرامجفي الهندسة التحليلية ، مما يبسط الحياة بشكل كبير ويوفر الكثير من الوقت.

من المفترض أن يكون القارئ على دراية بالأساسيات مفاهيم هندسيةوالأشكال: النقطة ، الخط ، المستوى ، المثلث ، متوازي الأضلاع ، متوازي السطوح ، المكعب ، إلخ. يُنصح بتذكر بعض النظريات ، على الأقل نظرية فيثاغورس ، مرحبًا مكررات)

والآن سننظر بالتسلسل في: مفهوم المتجه ، الإجراءات ذات المتجهات ، إحداثيات المتجهات. كذلك أوصي بالقراءة أهم مقال حاصل الضرب النقطي للناقلات، إلى جانب المتجه والمنتج المختلط من النواقل. المهمة المحلية لن تكون زائدة عن الحاجة - تقسيم الجزء في هذا الصدد. بناءً على المعلومات الواردة أعلاه ، يمكنك ذلك معادلة الخط المستقيم في المستوىمع أبسط الأمثلة على الحلولالذي سيسمح تعلم كيفية حل المشاكل في الهندسة. المقالات التالية مفيدة أيضًا: معادلة مستوى في الفضاء, معادلات الخط المستقيم في الفراغ، المشاكل الأساسية على الخط والمستوى ، أقسام أخرى من الهندسة التحليلية. بطبيعة الحال ، سيتم النظر في المهام القياسية على طول الطريق.

مفهوم المتجه. ناقل حر

أولاً ، دعنا نكرر تعريف المدرسة للمتجه. المتجهاتصل توجهمقطع يشار إلى بدايته ونهايته:

في هذه القضيةبداية المقطع هي النقطة ، ونهاية المقطع هي النقطة. يتم الإشارة إلى المتجه نفسه بواسطة. اتجاهضروري ، إذا قمت بإعادة ترتيب السهم إلى الطرف الآخر من المقطع ، فستحصل على متجه ، وهذا بالفعل ناقلات مختلفة تماما. من الملائم تحديد مفهوم المتجه بالحركة الجسد المادي: الموافقة على دخول ابواب المعهد او ترك ابواب المعهد امور مختلفة تماما.

من الملائم النظر في النقاط الفردية للطائرة ، والفضاء كما يسمى ناقل صفر. مثل هذا المتجه له نفس النهاية والبداية.

!!! ملحوظة: هنا وأدناه ، يمكنك افتراض أن المتجهات تقع في نفس المستوى أو يمكنك افتراض أنها موجودة في الفضاء - جوهر المادة المقدمة صالح لكل من المستوى والفضاء.

التعيينات:لفت الكثيرون الانتباه على الفور إلى عصا بدون سهم في التسمية وقالوا إنهم وضعوا أيضًا سهمًا في الأعلى! هذا صحيح ، يمكنك الكتابة بسهم: ، لكن مقبول و سجل سأستخدمه لاحقًا. لماذا ا؟ على ما يبدو ، تطورت هذه العادة من اعتبارات عملية ، واتضح أن الرماة في المدرسة والجامعة متنوعون للغاية وأشعث. في الأدب التربويفي بعض الأحيان لا يهتمون بالكتابة المسمارية على الإطلاق ، لكنهم يبرزون الحروف بخط عريض بخط سميك: ، مما يعني أنه متجه.

كان هذا هو الأسلوب ، والآن عن طرق كتابة المتجهات:

1) يمكن كتابة المتجهات بحرفين لاتينيين كبيرين:
وهلم جرا. بينما الحرف الأول بالضرورةيشير إلى نقطة بداية المتجه ، والحرف الثاني يشير إلى نقطة نهاية المتجه.

2) النواقل مكتوبة أيضًا بأحرف لاتينية صغيرة:
على وجه الخصوص ، يمكن إعادة الإشارة إلى المتجه الخاص بنا للإيجاز بواسطة الصغير حرف لاتيني.

طولأو وحدةيسمى المتجه غير الصفري طول المقطع. طول المتجه الصفري يساوي صفرًا. منطقيا.

يُشار إلى طول المتجه بعلامة modulo: ،

كيف نجد طول المتجه ، سنتعلم (أو نكرر ، لمن كيف) بعد ذلك بقليل.

تلك كانت المعلومات الأوليةحول ناقل ، مألوف لجميع تلاميذ المدارس. في الهندسة التحليلية ، ما يسمى ب ناقل حر.

إذا كان الأمر بسيطًا جدًا - يمكن رسم المتجه من أي نقطة:

لقد اعتدنا على تسمية هذه النواقل بالتساوي (سيتم تقديم تعريف المتجهات المتساوية أدناه) ، ولكن فقط مع نقطة رياضيةالرؤية هي نفس الناقل أو ناقل حر. لماذا مجاني؟ لأنه أثناء حل المشكلات ، يمكنك "إرفاق" متجه واحد أو آخر بأي نقطة من المستوى أو المساحة التي تحتاجها. هذه ملكية رائعة جدا! تخيل متجهًا للطول والاتجاه التعسفيين - يمكن "استنساخه" بعدد لا حصر له من المرات وفي أي نقطة في الفضاء ، في الواقع ، يوجد في كل مكان. يوجد مثل هذا الطالب: كل محاضر في f ** u في المتجه. بعد كل شيء ، ليس مجرد قافية بارعة ، كل شيء صحيح رياضيًا - يمكن إرفاق ناقل هناك أيضًا. لكن لا تتسرع في الابتهاج ، فالطلاب أنفسهم يعانون في كثير من الأحيان =)

لذا، ناقل حر- هذا هو الكثير من مقاطع اتجاهية متطابقة. تعريف المدرسة للمتجه ، الوارد في بداية الفقرة: "يسمى الجزء الموجه المتجه ..." ، يعني محددقطعة اتجاهية مأخوذة من مجموعة معينة، وهو مرتبط بـ نقطة محددةالطائرات أو المساحات.

وتجدر الإشارة إلى أنه من وجهة نظر الفيزياء ، فإن مفهوم المتجه الحر في الحالة العامةغير صحيح ، ونقطة تطبيق المتجه مهمة. في الواقع ، فإن ضربة مباشرة من نفس القوة على الأنف أو على الجبهة كافية لتطوير نموذجي الغبي الذي يترتب عليه عواقب مختلفة. لكن، ليس حرتم العثور على النواقل أيضًا في سياق vyshmat (لا تذهب إلى هناك :)).

الإجراءات مع النواقل. العلاقة الخطية المتداخلة من النواقل

في دورة مدرسيةتأخذ الهندسة في الاعتبار عددًا من الإجراءات والقواعد مع المتجهات: بالإضافة إلى قاعدة المثلث ، الجمع وفقًا لقاعدة متوازي الأضلاع ، قاعدة اختلاف المتجهات ، ضرب المتجه برقم ، الناتج القياسي للمتجهات ، إلخ.كبذرة ، نكرر قاعدتين لهما صلة خاصة بحل مشاكل الهندسة التحليلية.

حكم جمع المتجهات حسب قاعدة المثلثات

ضع في اعتبارك متجهين تعسفيين غير صفريين و:

مطلوب للعثور على مجموع هذه المتجهات. نظرًا لحقيقة أن جميع النواقل تعتبر مجانية ، فإننا نؤجل المتجه من نهايةالمتجه :

مجموع المتجهات هو المتجه. لفهم القاعدة بشكل أفضل ، يُنصح بالاستثمار فيها المعنى المادي: دع جسمًا ما يصنع مسارًا على طول المتجه ، ثم على طول المتجه. ثم يكون مجموع المتجهات هو متجه المسار الناتج بدءًا من نقطة المغادرة وينتهي عند نقطة الوصول. تمت صياغة قاعدة مماثلة لمجموع أي عدد من النواقل. كما يقولون ، يمكن للجسم أن يمضي في طريقه بشكل متعرج بقوة ، أو ربما على الطيار الآلي - على طول متجه المجموع الناتج.

بالمناسبة ، إذا تم تأجيل المتجه من بدايةمتجه ، ثم نحصل على المكافئ حكم متوازي الأضلاعإضافة نواقل.

أولاً ، حول العلاقة الخطية المتداخلة للمتجهات. يتم استدعاء المتجهين علاقة خطية متداخلةإذا كانت تقع على نفس الخط أو على خطوط متوازية. بشكل تقريبي ، هو كذلك نواقل متوازية. ولكن فيما يتعلق بها ، يتم دائمًا استخدام صفة "الخطية الخطية".

تخيل اثنين من النواقل الخطية. إذا كانت أسهم هذه المتجهات موجهة في نفس الاتجاه ، فسيتم استدعاء هذه المتجهات الاتجاه المشترك. إذا كانت الأسهم تبدو في اتجاهات مختلفة ، فستكون المتجهات موجهة بشكل معاكس.

التعيينات:تتم كتابة العلاقة الخطية المتداخلة للمتجهات باستخدام رمز التوازي المعتاد: ، بينما يكون التفصيل ممكنًا: (يتم توجيه المتجهات بشكل مشترك) أو (يتم توجيه المتجهات بشكل معاكس).

الشغلمتجه غير صفري برقم هو متجه طوله يساوي ، والمتجهات ويتم توجيهها بشكل مشترك نحوها وتوجيهها بشكل معاكس.

قاعدة ضرب المتجه برقم أسهل في الفهم بالصورة:

نحن نفهم بمزيد من التفصيل:

1 الاتجاه. إذا كان المضاعف سالبًا ، فسيكون المتجه يغير الاتجاهعلى العكس.

2) الطول. إذا كان العامل موجودًا داخل أو ، فسيكون طول المتجه النقصان. إذن ، طول المتجه أقل بمرتين من طول المتجه. إذا كان مضاعف modulo أكبر من واحد ، فسيكون طول المتجه يزيدفي الوقت المناسب.

3) يرجى ملاحظة ذلك جميع النواقل على خط واحد، بينما يتم التعبير عن متجه من خلال متجه آخر ، على سبيل المثال ،. والعكس صحيح أيضا: إذا كان من الممكن التعبير عن متجه من حيث متجه آخر ، فإن هذه النواقل تكون بالضرورة على خط واحد. في هذا الطريق: إذا ضربنا متجهًا في رقم ، نحصل على خط مستقيم واحد(نسبة إلى الأصل) المتجه.

4) النواقل هي الاتجاهية. النواقل وكذلك الاتجاهية. أي متجه للمجموعة الأولى هو عكس أي متجه للمجموعة الثانية.

ما النواقل متساوية؟

متجهان متساويان إذا كانا اتجاهي مع نفس الطول. لاحظ أن الاتجاه المشترك يعني أن المتجهات مترابطة. سيكون التعريف غير دقيق (مكرر) إذا قلت: "متجهان متساويان إذا كانا متصلين ، ومشتركين في التوجيه ، ولهما نفس الطول."

من وجهة نظر مفهوم المتجه الحر ، المتجهات المتساوية هي نفس المتجه ، والتي تمت مناقشتها بالفعل في الفقرة السابقة.

إحداثيات المتجهات على المستوى وفي الفضاء

النقطة الأولى هي النظر في المتجهات على المستوى. دعونا نصور الديكارتي نظام مستطيلالإحداثيات ومن الأصل وضعناها جانبًا غير مرتبطةناقلات و:

ناقلات و متعامد. متعامد = عمودي. أوصي بالتعود ببطء على المصطلحات: بدلاً من التوازي والعمودي ، نستخدم الكلمات على التوالي علاقة خطية متداخلةو التعامد.

تعيين:تتم كتابة المتجهات المتعامدة بالعلامة العمودية المعتادة ، على سبيل المثال:.

يتم استدعاء النواقل المدروسة ناقلات تنسيقأو orts. تتشكل هذه النواقل أساسعلى السطح. ما هو الأساس ، في اعتقادي ، واضح بشكل حدسي للكثيرين ، وأكثر معلومات مفصلةيمكن العثور عليها في المقالة الاعتماد الخطي (غير) على النواقل. أساس المتجهبكلمات بسيطة ، يحدد أساس وأصل الإحداثيات النظام بأكمله - وهذا نوع من الأساس الذي تغلي عليه حياة هندسية كاملة وغنية.

في بعض الأحيان يتم استدعاء الأساس المركب متعامدأساس المستوى: "ortho" - نظرًا لأن متجهات الإحداثيات متعامدة ، فإن صفة "التطبيع" تعني الوحدة ، أي أطوال نواقل الأساس تساوي واحدًا.

تعيين:عادة ما يتم كتابة الأساس بين قوسين ، بداخلهما بترتيب صارميتم سرد ناقلات الأساس ، على سبيل المثال:. تنسيق النواقل ممنوعأماكن المبادلة.

أيناقلات الطائرة الطريقة الوحيدةمعبر عنه على النحو التالي:
، أين - أعداد، والتي تسمى إحداثيات ناقلاتعلى هذا الأساس. لكن التعبير نفسه اتصل ناقلات التحللأساس .

خدم العشاء:

لنبدأ بالحرف الأول من الأبجدية:. يوضح الرسم بوضوح أنه عند تحليل المتجه من حيث الأساس ، يتم استخدام العناصر التي تم النظر فيها للتو:
1) قاعدة ضرب المتجه برقم: و ؛
2) جمع المتجهات حسب قاعدة المثلث:.

الآن ضع المتجه جانبًا عقليًا من أي نقطة أخرى على المستوى. من الواضح تمامًا أن فساده "سوف يتبعه بلا هوادة". ها هي حرية المتجه - المتجه "يحمل كل شيء معك". هذه الخاصية ، بالطبع ، صحيحة لأي ناقل. من المضحك أن المتجهات الأساسية (المجانية) نفسها لا يجب وضعها جانباً من الأصل ، يمكن رسم أحدها ، على سبيل المثال ، في أسفل اليسار ، والآخر في أعلى اليمين ، ولن يتغير شيء من هذا! صحيح ، لست مضطرًا للقيام بذلك ، لأن المعلم سيُظهر أيضًا أصالة ويرسم لك "تمريرة" في مكان غير متوقع.

المتجهات ، توضح بالضبط القاعدة الخاصة بضرب المتجه برقم ، يتم توجيه المتجه بشكل مشترك مع متجه الأساس ، ويتم توجيه المتجه عكس متجه الأساس. بالنسبة لهذه المتجهات ، فإن أحد الإحداثيات يساوي صفرًا ، ويمكن كتابته بدقة على النحو التالي:


وبالمناسبة ، فإن النواقل الأساسية هي كما يلي: (في الواقع ، يتم التعبير عنها من خلال نفسها).

وأخيرًا: ،. بالمناسبة ، ما هو الطرح المتجه ، ولماذا لم أخبرك عن قاعدة الطرح؟ في مكان ما في الجبر الخطي ، لا أتذكر أين ، لاحظت أن الطرح حالة خاصةإضافة. لذلك ، توسعات المتجهات "de" و "e" مكتوبة بهدوء كمجموع: . أعد ترتيب المصطلحات في الأماكن واتبع الرسم إلى أي مدى تعمل الإضافة القديمة الجيدة للمتجهات وفقًا لقاعدة المثلث في هذه المواقف.

اعتبر تحلل النموذج تسمى أحيانًا تحلل المتجهات في النظام أو(أي في نظام نواقل الوحدة). لكن هذه ليست الطريقة الوحيدة لكتابة متجه ، فالخيار التالي شائع:

أو بعلامة يساوي:

يتم كتابة نواقل الأساس نفسها على النحو التالي: و

أي أن إحداثيات المتجه موضحة بين قوسين. في المهام العملية ، يتم استخدام جميع خيارات التسجيل الثلاثة.

كنت أشك في التحدث ، لكنني سأقول: لا يمكن إعادة ترتيب إحداثيات المتجهات. بدقة في المقام الأولاكتب الإحداثي الذي يتوافق حتى النصر , بدقة في المركز الثانياكتب الإحداثي الذي يتوافق مع متجه الوحدة. في الواقع ، وهما متجهان مختلفان.

اكتشفنا الإحداثيات على الطائرة. الآن ضع في اعتبارك المتجهات في الفضاء ثلاثي الأبعاد ، كل شيء متماثل تقريبًا هنا! ستتم إضافة إحداثي واحد فقط. من الصعب إجراء رسومات ثلاثية الأبعاد ، لذلك سأقتصر على متجه واحد ، والذي من أجل البساطة سأؤجله من الأصل:

أيالمتجه مساحة ثلاثية الأبعاديستطيع الطريقة الوحيدةتوسع في قاعدة متعامدة:
، أين إحداثيات المتجه (الرقم) في الأساس المحدد.

مثال من الصورة: . دعونا نرى كيف تعمل قواعد العمل المتجه هنا. أولاً ، ضرب المتجه برقم: (سهم أحمر) ، (سهم أخضر) و (سهم أرجواني). ثانيًا ، قبل أن يكون مثالًا على إضافة عدة ، في هذا حالة ثلاثة، ثلاثة أبعاد: . يبدأ متجه المجموع من نقطة البداية للانطلاق (بداية المتجه) وينتهي عند نقطة الوصول النهائية (نهاية المتجه).

جميع نواقل الفضاء ثلاثي الأبعاد ، بالطبع ، مجانية أيضًا ، حاول تأجيل المتجه عقليًا من أي نقطة أخرى ، وستفهم أن توسعها "يظل معها".

بصورة مماثلة حالة مسطحة، بالإضافة إلى الكتابة تُستخدم الإصدارات ذات الأقواس على نطاق واسع: إما.

إذا كان متجه إحداثي واحد (أو اثنين) مفقودًا في التوسع ، فسيتم وضع الأصفار بدلاً من ذلك. أمثلة:
ناقلات (بدقة ) - اكتب ؛
ناقلات (بدقة ) - اكتب ؛
ناقلات (بدقة ) - اكتب.

يتم كتابة ناقلات الأساس على النحو التالي:

هنا ، ربما ، كل هذا هو الحد الأدنى معرفة نظريةضروري لحل مشاكل الهندسة التحليلية. ربما يكون هناك الكثير من المصطلحات والتعريفات ، لذلك أوصي بإعادة القراءة والفهم للدمى هذه المعلومةتكرارا. وسيكون من المفيد لأي قارئ الرجوع إليها من وقت لآخر درس أساسيلفهم المادة بشكل أفضل. العلاقة الخطية المتداخلة ، التعامد ، الأساس المتعامد ، التحلل المتجه - غالبًا ما يتم استخدام هذه المفاهيم وغيرها في ما يلي. ألاحظ أن مواد الموقع لا تكفي لاجتياز اختبار نظري ، ندوة في الهندسة ، حيث قمت بتشفير جميع النظريات بعناية (وبدون أدلة) - على حساب أسلوب علميعرض تقديمي ، ولكن ميزة إضافية لفهمك للموضوع. للحصول على معلومات نظرية مفصلة ، أطلب منك أن تنحني للبروفيسور أتاناسيان.

الآن دعنا ننتقل إلى الجزء العملي:

أبسط مشاكل الهندسة التحليلية.
الإجراءات مع المتجهات في الإحداثيات

المهام التي سيتم النظر فيها ، من المستحسن للغاية معرفة كيفية حلها بشكل كامل تلقائيًا ، والصيغ حفظ، لا تتذكرها عن قصد ، فسوف يتذكرونها بأنفسهم =) هذا مهم جدًا ، لأنه في أبسطها أمثلة أوليةتستند مشاكل الهندسة التحليلية الأخرى ، وسيكون من المزعج قضاء وقت إضافي في أكل البيادق. لا تحتاج إلى ربط الأزرار العلوية على قميصك ، فأشياء كثيرة مألوفة لك من المدرسة.

سيتبع عرض المادة مسارًا متوازيًا - سواء بالنسبة للطائرة أو في الفضاء. لسبب أن جميع الصيغ ... سترى بنفسك.

كيف تجد متجهًا معطى نقطتين؟

إذا تم إعطاء نقطتين من المستوى ، فسيكون للمتجه الإحداثيات التالية:

إذا تم إعطاء نقطتين في الفضاء ، فسيكون للمتجه الإحداثيات التالية:

هذا هو، من إحداثيات نهاية المتجهتحتاج إلى طرح الإحداثيات المقابلة بداية ناقلات.

ممارسه الرياضه:لنفس النقاط ، اكتب الصيغ لإيجاد إحداثيات المتجه. الصيغ في نهاية الدرس.

مثال 1

نظرا نقطتين في الطائرة و. ابحث عن إحداثيات المتجهات

المحلول:وفقًا للصيغة المقابلة:

بدلاً من ذلك ، يمكن استخدام الترميز التالي:

سوف يقرر Aesthetes مثل هذا:

أنا شخصياً معتاد على الإصدار الأول من السجل.

إجابه:

وفقًا للشرط ، لم يكن مطلوبًا بناء رسم (وهو أمر نموذجي لمشاكل الهندسة التحليلية) ، ولكن من أجل شرح بعض النقاط للدمى ، لن أكون كسولًا جدًا:

يجب أن يفهم الفرق بين إحداثيات النقطة وإحداثيات المتجهات:

إحداثيات النقطةهي الإحداثيات المعتادة في نظام إحداثيات مستطيل. خصص نقاط ل خطة تنسيقأعتقد أنه يمكن للجميع القيام بذلك من الصف الخامس إلى السادس. كل نقطة لها مكان محدد على متن الطائرة ، ولا يمكن نقلها إلى أي مكان.

إحداثيات نفس المتجههو توسعها فيما يتعلق بالأساس ، في هذه الحالة. أي متجه مجاني ، لذلك ، إذا لزم الأمر ، يمكننا بسهولة تأجيله من نقطة أخرى في المستوى. من المثير للاهتمام ، بالنسبة للمتجهات ، لا يمكنك بناء محاور على الإطلاق ، نظام إحداثيات مستطيل ، فأنت تحتاج فقط إلى أساس ، في هذه الحالة ، أساس متعامد للطائرة.

يبدو أن سجلات إحداثيات النقاط وإحداثيات المتجهات متشابهة: و و الإحساس بالإحداثياتإطلاقا مختلف، ويجب أن تدرك جيدًا هذا الاختلاف. هذا الاختلاف ، بالطبع ، ينطبق أيضًا على الفضاء.

سيداتي وسادتي نملأ أيدينا:

مثال 2

أ) إعطاء نقاط و. البحث عن ناقلات و.
ب) يتم إعطاء النقاط و . البحث عن ناقلات و.
ج) نقاط معينة و. البحث عن ناقلات و.
د) يتم إعطاء النقاط. البحث عن نواقل .

ربما يكفي. هذه أمثلة على قرار مستقل، حاول ألا تهملهم ، فسيؤتي ثماره ؛-). الرسومات غير مطلوبة. الحلول والأجوبة في نهاية الدرس.

ما هو المهم في حل مشاكل الهندسة التحليلية؟من المهم توخي الحذر الشديد لتجنب الخطأ البارع "اثنان زائد اثنان يساوي صفرًا". أعتذر مقدمًا إذا ارتكبت خطأ =)

كيف تجد طول القطعة؟

الطول ، كما لوحظ بالفعل ، يشار إليه بعلامة المقياس.

إذا تم إعطاء نقطتين من المستوى ، فيمكن حساب طول المقطع بواسطة الصيغة

إذا تم إعطاء نقطتين في الفراغ ، فيمكن حساب طول المقطع بواسطة الصيغة

ملحوظة: ستبقى الصيغ صحيحة إذا تم تبديل الإحداثيات المقابلة: ولكن الخيار الأول هو معيار أكثر

مثال 3

المحلول:وفقًا للصيغة المقابلة:

إجابه:

من أجل الوضوح ، سأقوم برسم

القطعة المستقيمة - إنه ليس ناقل، ولا يمكنك نقله إلى أي مكان ، بالطبع. بالإضافة إلى ذلك ، إذا أكملت الرسم على مقياس: 1 وحدة. \ u003d 1 سم (خليتان رباعيتان) ، ثم يمكن التحقق من الإجابة باستخدام مسطرة عادية عن طريق قياس طول المقطع مباشرة.

نعم ، الحل قصير ، لكنه يحتوي على زوجين آخرين نقاط مهمةاود ان اوضح:

أولاً ، في الإجابة حددنا البعد: "الوحدات". لا تذكر الحالة ما هو ، مليمترات ، سم ، أمتار ، أو كيلومترات. لذلك ، فإن الصيغة العامة ستكون حلاً مختصًا رياضيًا: "وحدات" - يُشار إليها باختصار "وحدات".

ثانيًا ، دعنا نكرر المادة المدرسية ، والتي تفيد ليس فقط في المشكلة المدروسة:

انتبه على مهم تقنية – إخراج المضاعف من تحت الجذر. كنتيجة للحسابات ، حصلنا على النتيجة والأسلوب الرياضي الجيد يتضمن إخراج المضاعف من تحت الجذر (إن أمكن). تبدو العملية هكذا بمزيد من التفصيل: . بطبيعة الحال ، فإن ترك الإجابة في النموذج لن يكون خطأ - لكنه بالتأكيد خطأ وحجة قوية للتلاعب من جانب المعلم.

فيما يلي بعض الحالات الشائعة الأخرى:

في كثير من الأحيان تحت الجذر اتضح بما فيه الكفاية رقم ضخم، فمثلا . كيف تكون في مثل هذه الحالات؟ في الآلة الحاسبة ، نتحقق مما إذا كان الرقم قابلاً للقسمة على 4 :. نعم ، انقسم تمامًا ، وبالتالي: . أو ربما يمكن قسمة الرقم على 4 مرة أخرى؟ . في هذا الطريق: . الرقم الأخير من الرقم فردي ، لذا من الواضح أن القسمة على 4 للمرة الثالثة غير ممكنة. يحاول القسمة على تسعة:. نتيجة ل:
مستعد.

استنتاج:إذا حصلنا تحت الجذر على رقم غير قابل للاستخراج تمامًا ، فإننا نحاول إخراج العامل من تحت الجذر - على الآلة الحاسبة نتحقق مما إذا كان الرقم قابلاً للقسمة على: 4 ، 9 ، 16 ، 25 ، 36 ، 49 ، إلخ.

في سياق حل المشكلات المختلفة ، غالبًا ما يتم العثور على الجذور ، حاول دائمًا استخراج العوامل من تحت الجذر لتجنب انخفاض الدرجات والمشكلات غير الضرورية عند الانتهاء من الحلول وفقًا لملاحظة المعلم.

دعنا نكرر تربيع الجذور والقوى الأخرى في نفس الوقت:

قواعد الإجراءات مع الدرجات في نظرة عامةيمكن العثور عليها في كتاب مدرسي عن الجبر ، لكنني أعتقد أن كل شيء أو كل شيء تقريبًا واضح بالفعل من الأمثلة المقدمة.

مهمة لحل مستقل مع جزء في الفضاء:

مثال 4

نقاط معينة و. أوجد طول المقطع.

الحل والجواب في نهاية الدرس.

كيف تجد طول المتجه؟

إذا تم إعطاء متجه مستوي ، فسيتم حساب طوله بواسطة الصيغة.

إذا تم إعطاء متجه الفضاء ، فسيتم حساب طوله بواسطة الصيغة .

لم تجد إجابة لسؤالك؟ إنظر الى هنا

العم فانيا مؤامرة المسرحية. "العم إيفان. الموقف من أستاذ الآخرين

تساخيس الصغير ، الملقب بزينوبر

مايكوف ، أبولون نيكولايفيتش - سيرة ذاتية قصيرة