كيفية تحديد معادلة خطية. الشكل العام لعدم المساواة المزدوجة

تستخدم أنظمة المعادلات على نطاق واسع في الصناعة الاقتصادية في النمذجة الرياضية للعمليات المختلفة. على سبيل المثال ، عند حل مشاكل إدارة الإنتاج والتخطيط ، والطرق اللوجستية (مشكلة النقل) أو وضع المعدات.

تستخدم أنظمة المعادلات ليس فقط في مجال الرياضيات ، ولكن أيضًا في الفيزياء والكيمياء وعلم الأحياء ، عند حل مشاكل تحديد حجم السكان.

نظام المعادلات الخطية هو مصطلح لمعادلتين أو أكثر مع العديد من المتغيرات التي من الضروري إيجاد حل مشترك لها. مثل هذا التسلسل من الأرقام حيث تصبح جميع المعادلات مساواة حقيقية أو تثبت أن التسلسل غير موجود.

معادلة خط مستقيم

تسمى معادلات النموذج ax + by = c الخطية. التعيينات x ، y هي المجهول ، التي يجب إيجاد قيمتها ، b ، a هي معاملات المتغيرات ، c هو المصطلح المجاني للمعادلة.
سيبدو حل المعادلة برسم التمثيل البياني الخاص بها كخط مستقيم ، وجميع نقاطه تمثل حل كثير الحدود.

أنواع أنظمة المعادلات الخطية

أبسط أمثلة لأنظمة المعادلات الخطية بمتغيرين X و Y.

F1 (x، y) = 0 و F2 (x، y) = 0 ، حيث F1،2 هي وظائف و (x، y) متغيرات دالة.

حل جملة معادلات - يعني العثور على هذه القيم (س ، ص) التي يصبح النظام مساواة حقيقية لها ، أو لإثبات عدم وجود قيم مناسبة لـ x و y.

زوج من القيم (س ، ص) ، مكتوب على هيئة إحداثيات نقطية ، يسمى حل لنظام المعادلات الخطية.

إذا كان للأنظمة حل واحد مشترك أو لا يوجد حل ، فإنها تسمى مكافئة.

الأنظمة المتجانسة للمعادلات الخطية هي الأنظمة التي يكون جانبها الأيمن مساويًا للصفر. إذا كان الجزء الأيمن بعد علامة "يساوي" له قيمة أو يتم التعبير عنه بواسطة دالة ، فإن هذا النظام ليس متجانسًا.

يمكن أن يكون عدد المتغيرات أكثر من متغيرين ، ثم يجب أن نتحدث عن مثال لنظام المعادلات الخطية مع ثلاثة متغيرات أو أكثر.

في مواجهة الأنظمة ، يفترض تلاميذ المدارس أن عدد المعادلات يجب أن يتطابق بالضرورة مع عدد المجهول ، لكن هذا ليس كذلك. لا يعتمد عدد المعادلات في النظام على المتغيرات ، يمكن أن يكون هناك عدد كبير منهم بشكل تعسفي.

طرق بسيطة ومعقدة لحل أنظمة المعادلات

لا توجد طريقة تحليلية عامة لحل مثل هذه الأنظمة ، كل الطرق تعتمد على الحلول العددية. يصف المقرر الدراسي للرياضيات بالتفصيل طرقًا مثل التقليب ، والإضافة الجبرية ، والاستبدال ، بالإضافة إلى الطريقة الرسومية والمصفوفة ، الحل بطريقة غاوس.

تتمثل المهمة الرئيسية في طرق التدريس في الحل في تعليم كيفية تحليل النظام بشكل صحيح وإيجاد خوارزمية الحل الأمثل لكل مثال. الشيء الرئيسي ليس حفظ نظام من القواعد والإجراءات لكل طريقة ، ولكن لفهم مبادئ تطبيق طريقة معينة.

إن حل أمثلة أنظمة المعادلات الخطية للصف السابع من برنامج مدرسة التعليم العام بسيط للغاية ويتم شرحه بتفصيل كبير. في أي كتاب مدرسي عن الرياضيات ، يحظى هذا القسم بالاهتمام الكافي. تمت دراسة حل أمثلة أنظمة المعادلات الخطية بطريقة Gauss و Cramer بمزيد من التفصيل في الدورات الأولى لمؤسسات التعليم العالي.

حل الأنظمة بطريقة الاستبدال

تهدف إجراءات طريقة الاستبدال إلى التعبير عن قيمة متغير واحد من خلال الثاني. يتم استبدال التعبير في المعادلة المتبقية ، ثم يتم تقليله إلى شكل متغير واحد. يتم تكرار الإجراء بناءً على عدد المجهول في النظام

دعنا نعطي مثالاً لنظام المعادلات الخطية من الفئة السابعة بطريقة الاستبدال:

كما يتضح من المثال ، تم التعبير عن المتغير x من خلال F (X) = 7 + Y. ساعد التعبير الناتج ، الذي تم استبداله في المعادلة الثانية للنظام بدلاً من X ، في الحصول على متغير واحد Y في المعادلة الثانية . لا يسبب حل هذا المثال صعوبات ويسمح لك بالحصول على قيمة Y. الخطوة الأخيرة هي التحقق من القيم التي تم الحصول عليها.

ليس من الممكن دائمًا حل مثال لنظام المعادلات الخطية بالتعويض. يمكن أن تكون المعادلات معقدة والتعبير عن المتغير من حيث المجهول الثاني سيكون مرهقًا جدًا لإجراء المزيد من العمليات الحسابية. عندما يكون هناك أكثر من 3 مجاهيل في النظام ، يكون حل الاستبدال غير عملي أيضًا.

حل مثال لنظام المعادلات الخطية غير المتجانسة:

الحل باستخدام الجمع الجبري

عند البحث عن حل للأنظمة عن طريق طريقة الجمع ، يتم إجراء عملية الجمع مصطلحًا بمصطلح وضرب المعادلات بأرقام مختلفة. الهدف النهائي للعمليات الحسابية هو معادلة ذات متغير واحد.

تتطلب تطبيقات هذه الطريقة الممارسة والمراقبة. ليس من السهل حل نظام المعادلات الخطية باستخدام طريقة الجمع مع عدد المتغيرات 3 أو أكثر. تكون الجمع الجبري مفيدة عندما تحتوي المعادلات على كسور وأرقام عشرية.

خوارزمية عمل الحل:

1. اضرب طرفي المعادلة بعدد ما. نتيجة للعملية الحسابية ، يجب أن يصبح أحد معاملات المتغير مساويًا لـ 1.
2. أضف المصطلح الناتج عن طريق المصطلح وابحث عن أحد المجهولين.
3. عوّض بالقيمة الناتجة في المعادلة الثانية للنظام لإيجاد المتغير المتبقي.

طريقة الحل بإدخال متغير جديد

يمكن إدخال متغير جديد إذا احتاج النظام إلى إيجاد حل لما لا يزيد عن معادلتين ، كما يجب ألا يزيد عدد المجاهيل عن اثنين.

تُستخدم الطريقة لتبسيط إحدى المعادلات بإدخال متغير جديد. يتم حل المعادلة الجديدة فيما يتعلق بالمجهول الذي تم إدخاله ، ويتم استخدام القيمة الناتجة لتحديد المتغير الأصلي.

يمكن أن نرى من المثال أنه من خلال إدخال متغير جديد t ، كان من الممكن تقليل المعادلة الأولى للنظام إلى مربع قياسي ثلاثي الحدود. يمكنك حل كثير الحدود بإيجاد المميز.

من الضروري إيجاد قيمة المميز باستخدام الصيغة المعروفة: D = b2 - 4 * a * c ، حيث D هو المميز المطلوب ، b ، a ، c هي مضاعفات كثير الحدود. في المثال المعطى ، أ = 1 ، ب = 16 ، ج = 39 ، ومن ثم د = 100. إذا كان المميز أكبر من الصفر ، فهناك حلان: t = -b ± √D / 2 * a ، إذا كان المميز أقل من الصفر ، فهناك حل واحد فقط: x = -b / 2 * a.

تم العثور على حل الأنظمة الناتجة عن طريق طريقة الجمع.

طريقة بصرية لحل النظم

مناسب للأنظمة ذات 3 معادلات. تتكون الطريقة من رسم الرسوم البيانية لكل معادلة مدرجة في النظام على محور الإحداثيات. ستكون إحداثيات نقاط تقاطع المنحنيات هي الحل العام للنظام.

طريقة الرسم لديها عدد من الفروق الدقيقة. ضع في اعتبارك عدة أمثلة لحل أنظمة المعادلات الخطية بطريقة مرئية.

كما يتضح من المثال ، تم إنشاء نقطتين لكل سطر ، تم اختيار قيم المتغير x بشكل عشوائي: 0 و 3. بناءً على قيم x ، تم العثور على قيم y: 3 و 0. تم تمييز النقاط ذات الإحداثيات (0 ، 3) و (3 ، 0) على الرسم البياني وتم توصيلها بخط.

يجب تكرار الخطوات للمعادلة الثانية. نقطة تقاطع الخطوط هي حل النظام.

في المثال التالي ، مطلوب إيجاد حل رسومي لنظام المعادلات الخطية: 0.5x-y + 2 = 0 and 0.5x-y-1 = 0.

كما يتضح من المثال ، ليس للنظام أي حل ، لأن الرسوم البيانية متوازية ولا تتقاطع بطولها بالكامل.

الأنظمة من الأمثلة 2 و 3 متشابهة ، ولكن عند بنائها ، يصبح من الواضح أن حلولها مختلفة. يجب أن نتذكر أنه ليس من الممكن دائمًا تحديد ما إذا كان النظام لديه حل أم لا ، فمن الضروري دائمًا إنشاء رسم بياني.

ماتريكس وأصنافها

تستخدم المصفوفات لكتابة نظام المعادلات الخطية بإيجاز. المصفوفة هي نوع خاص من الجداول المليئة بالأرقام. يحتوي n * m على n - صفوف و m - أعمدة.

تكون المصفوفة مربعة عندما يتساوى عدد الأعمدة والصفوف. متجه المصفوفة هو مصفوفة ذات عمود واحد مع عدد لا نهائي من الصفوف. تسمى المصفوفة التي تحتوي على وحدات على طول أحد الأقطار وعناصر صفرية أخرى متطابقة.

المصفوفة العكسية هي مثل هذه المصفوفة ، عندما يتم ضربها بحيث تتحول المصفوفة الأصلية إلى وحدة واحدة ، فإن مثل هذه المصفوفة توجد فقط للمربع الأصلي.

قواعد تحويل نظام المعادلات إلى مصفوفة

فيما يتعلق بأنظمة المعادلات ، تتم كتابة المعاملات والأعضاء الأحرار في المعادلات كأرقام من المصفوفة ، والمعادلة الواحدة هي صف واحد من المصفوفة.

يسمى صف المصفوفة non-zero إذا كان عنصر واحد على الأقل من الصف لا يساوي الصفر. لذلك ، إذا اختلف عدد المتغيرات في أي من المعادلات ، فمن الضروري إدخال صفر بدلاً من المجهول المفقود.

يجب أن تتوافق أعمدة المصفوفة بدقة مع المتغيرات. هذا يعني أنه لا يمكن كتابة معاملات المتغير x إلا في عمود واحد ، على سبيل المثال الأول ، معامل المجهول y - فقط في العمود الثاني.

عند ضرب مصفوفة ، يتم ضرب جميع عناصر المصفوفة على التوالي في رقم.

خيارات لإيجاد معكوس المصفوفة

صيغة إيجاد معكوس المصفوفة بسيطة للغاية: K -1 = 1 / | K | ، حيث K -1 هي معكوس المصفوفة و | K | - محدد المصفوفة. | ك | يجب ألا يكون مساويًا للصفر ، فإن النظام لديه حل.

يتم حساب المحدد بسهولة لمصفوفة 2 × 2 ، من الضروري فقط مضاعفة العناصر قطريًا ببعضها البعض. لخيار "ثلاثة في ثلاثة" ، توجد صيغة | K | = أ 1 ب 2 ج 3 + أ 1 ب 3 ج 2 + أ 3 ب 1 ج 2 + أ 2 ب 3 ج 1 + أ 2 ب 1 ج 3 + أ 3 ب 2 ج 1. يمكنك استخدام الصيغة ، أو تذكر أنك بحاجة إلى أخذ عنصر واحد من كل صف وكل عمود حتى لا تتكرر أرقام الأعمدة والصفوف الخاصة بالعناصر في المنتج.

حل أمثلة نظم المعادلات الخطية بطريقة المصفوفة

تتيح طريقة المصفوفة لإيجاد حل تقليل الإدخالات المرهقة عند حل الأنظمة التي تحتوي على عدد كبير من المتغيرات والمعادلات.

في هذا المثال ، nm هي معاملات المعادلات ، والمصفوفة متجه x n هي المتغيرات ، و b n هي المصطلحات المجانية.

حل الأنظمة بطريقة غاوس

في الرياضيات العليا ، تتم دراسة طريقة Gauss مع طريقة Cramer ، وتسمى عملية إيجاد حل للأنظمة طريقة Gauss-Cramer في الحل. تُستخدم هذه الطرق لإيجاد متغيرات الأنظمة التي تحتوي على عدد كبير من المعادلات الخطية.

الطريقة الغاوسية تشبه إلى حد بعيد حلول الاستبدال والجمع الجبرية ، ولكنها أكثر منهجية. في الدورة المدرسية ، يتم استخدام الحل Gaussian لأنظمة المعادلات 3 و 4. الغرض من هذه الطريقة هو تحويل النظام إلى شكل شبه منحرف مقلوب. من خلال عمليات التحويل والبدائل الجبرية ، تم العثور على قيمة متغير واحد في إحدى معادلات النظام. المعادلة الثانية عبارة عن تعبير به مجهولين ، و 3 و 4 - بمتغيرين 3 و 4 ، على التوالي.

بعد إحضار النظام إلى النموذج الموصوف ، يتم تقليل الحل الإضافي إلى الاستبدال المتسلسل للمتغيرات المعروفة في معادلات النظام.

في الكتب المدرسية للصف السابع ، يتم وصف مثال لحل غاوسي على النحو التالي:

كما يتضح من المثال ، في الخطوة (3) تم الحصول على معادلتين 3x3-2x 4 = 11 و 3x 3 + 2x 4 = 7. سيسمح لك حل أي من المعادلات بإيجاد أحد المتغيرات x n.

تنص النظرية 5 ، المذكورة في النص ، على أنه إذا تم استبدال إحدى معادلات النظام بمعادلة مكافئة ، فسيكون النظام الناتج أيضًا مكافئًا للنظام الأصلي.

يصعب على طلاب المدارس المتوسطة فهم طريقة Gaussian ، ولكنها واحدة من أكثر الطرق إثارة للاهتمام لتطوير براعة الأطفال الذين يدرسون في برنامج الدراسة المتقدم في فصول الرياضيات والفيزياء.

لسهولة تسجيل الحسابات ، من المعتاد القيام بما يلي:

تتم كتابة معاملات المعادلات والمصطلحات المجانية في شكل مصفوفة ، حيث يتوافق كل صف من المصفوفة مع إحدى معادلات النظام. يفصل الجانب الأيسر من المعادلة عن الجانب الأيمن. تشير الأرقام الرومانية إلى عدد المعادلات في النظام.

أولاً ، يكتبون المصفوفة التي يعملون بها ، ثم يتم تنفيذ جميع الإجراءات بأحد الصفوف. تتم كتابة المصفوفة الناتجة بعد علامة "السهم" وتستمر في إجراء العمليات الجبرية اللازمة حتى يتم تحقيق النتيجة.

نتيجة لذلك ، يجب الحصول على مصفوفة يكون فيها أحد الأقطار 1 ، وجميع المعاملات الأخرى تساوي الصفر ، أي يتم تقليل المصفوفة إلى شكل واحد. يجب ألا ننسى إجراء حسابات بأرقام طرفي المعادلة.

هذا الترميز أقل تعقيدًا ويسمح لك بعدم تشتيت انتباهك من خلال سرد العديد من الأشياء المجهولة.

سيتطلب التطبيق المجاني لأي طريقة حل عناية وقدرًا معينًا من الخبرة. لم يتم تطبيق جميع الطرق. بعض طرق إيجاد الحلول مفضلة أكثر في مجال معين من النشاط البشري ، بينما توجد طرق أخرى لغرض التعلم.

ملاحظات هامة!
1. إذا رأيت abracadabra بدلاً من الصيغ ، فامسح ذاكرة التخزين المؤقت. كيفية القيام بذلك في متصفحك مكتوب هنا:
2. قبل البدء في قراءة المقال ، انتبه إلى الملاح الخاص بنا للحصول على أكثر الموارد فائدة

ما هي "المعادلات الخطية"

أو لفظيًا - تم إعطاء ثلاثة أصدقاء تفاحًا لكل منهم ، بناءً على حقيقة أن Vasya لديه كل التفاح.

والآن قررت معادلة خط مستقيم
الآن دعونا نعطي هذا المصطلح تعريفًا رياضيًا.

معادلة خط مستقيم - هي معادلة جبرية درجة مجموع حدودها المكونة هي. تبدو هكذا:

أين وأين توجد أي أرقام و

بالنسبة لحالتنا مع Vasya and apples ، سنكتب:

- "إذا أعطى Vasya جميع الأصدقاء الثلاثة نفس عدد التفاحات ، فلن يتبقى له تفاحة"

المعادلات الخطية "المخفية" ، أو أهمية التحولات المتطابقة

على الرغم من حقيقة أن كل شيء للوهلة الأولى بسيط للغاية ، عند حل المعادلات ، يجب أن تكون حذرًا ، لأن المعادلات الخطية لا تسمى فقط معادلات النموذج ، ولكن أيضًا أي معادلات يتم تقليلها إلى هذا النموذج عن طريق عمليات التحويل والتبسيط. فمثلا:

نرى أنه على اليمين ، مما يشير ، من الناحية النظرية ، بالفعل إلى أن المعادلة ليست خطية. علاوة على ذلك ، إذا فتحنا الأقواس ، فسنحصل على مصطلحين آخرين يكون فيهما ، لكن لا تقفز إلى الاستنتاجات! قبل الحكم على ما إذا كانت المعادلة خطية ، من الضروري إجراء جميع التحولات وبالتالي تبسيط المثال الأصلي. في هذه الحالة ، يمكن أن تغير التحولات المظهر ، ولكن ليس جوهر المعادلة.

بعبارة أخرى ، يجب أن تكون هذه التحولات مطابقأو ما يعادل. لا يوجد سوى نوعين من هذه التحولات ، لكنهما يلعبان دورًا مهمًا جدًا جدًا في حل المشكلات. دعونا نفكر في كلا التحولين على أمثلة ملموسة.

تحرك يسار - يمين.

لنفترض أننا بحاجة إلى حل المعادلة التالية:

بالعودة إلى المدرسة الابتدائية ، قيل لنا: "مع X - إلى اليسار ، بدون X - إلى اليمين." ما هو التعبير مع x على اليمين؟ صحيح ، لا كيف لا. وهذا مهم ، لأنه إذا أسيء فهم هذا السؤال الذي يبدو بسيطًا ، فستظهر الإجابة الخاطئة. وما هو التعبير الذي يحتوي على x على اليسار؟ بشكل صحيح.

الآن بعد أن تعاملنا مع هذا ، نقوم بنقل جميع المصطلحات ذات المجهول إلى اليسار ، وكل ما هو معروف إلى اليمين ، مع تذكر أنه إذا لم تكن هناك علامة أمام الرقم ، على سبيل المثال ، فإن الرقم يكون موجبًا ، وهذا هي ، مسبوقة بعلامة "".

انتقل؟ على ماذا حصلت؟

كل ما تبقى القيام به هو جلب شروط مماثلة. نقدم:

لذلك ، قمنا بتحليل أول تحول مماثل بنجاح ، على الرغم من أنني متأكد من أنك تعرفه بالفعل واستخدمته بنشاط بدوني. الشيء الرئيسي - لا تنس علامات الأرقام وقم بتغييرها إلى العكس عند النقل من خلال علامة التساوي!

الضرب والقسمة.

لنبدأ على الفور بمثال

ننظر ونفكر: ما الذي لا نحبه في هذا المثال؟ المجهول موجود في جزء واحد ، والمعروف في الجزء الآخر ، ولكن هناك شيء يوقفنا ... وهذا شيء - أربعة ، لأنه إذا لم يكن موجودًا ، فسيكون كل شيء مثاليًا - x يساوي عددًا - بالضبط كما نحتاج!

كيف يمكنك التخلص منه؟ لا يمكننا الانتقال إلى اليمين ، لأننا نحتاج بعد ذلك إلى نقل المضاعف بأكمله (لا يمكننا أخذه وتمزيقه بعيدًا عنه) ، كما أن نقل المضاعف بأكمله لا معنى له ...

حان الوقت لتذكر الانقسام ، الذي سنقسم كل شيء فيما يتعلق به! الكل - هذا يعني كلا الجانبين الأيسر والأيمن. هكذا وفقط! ماذا نحصل؟

هنا الجواب.

دعنا الآن نلقي نظرة على مثال آخر:

خمن ماذا تفعل في هذه الحالة؟ هذا صحيح ، اضرب الجانبين الأيمن والأيسر في! ما الجواب الذي حصلت عليه؟ بشكل صحيح. .

من المؤكد أنك تعرف بالفعل كل شيء عن التحولات المتطابقة. ضع في اعتبارك أننا قمنا للتو بتحديث هذه المعرفة في ذاكرتك وحان الوقت لشيء أكثر - على سبيل المثال ، لحل مثالنا الكبير:

كما قلنا سابقًا ، بالنظر إليها ، لا يمكنك القول أن هذه المعادلة خطية ، لكننا نحتاج إلى فتح الأقواس وإجراء تحويلات متطابقة. اذا هيا بنا نبدأ!

بادئ ذي بدء ، نتذكر معادلات الضرب المختصر ، على وجه الخصوص ، مربع المجموع ومربع الفرق. إذا كنت لا تتذكر ما هو وكيف يتم فتح الأقواس ، فإنني أوصي بشدة بقراءة الموضوع ، حيث ستكون هذه المهارات مفيدة لك عند حل جميع الأمثلة الموجودة في الامتحان تقريبًا.
مكشوف؟ قارن:

حان الوقت الآن لوضع شروط متشابهة. هل تتذكر كيف قيل لنا في نفس الصفوف الابتدائية "نحن لا نضع الذباب مع شرحات"؟ أنا هنا أذكرك بهذا. نضيف كل شيء بشكل منفصل - العوامل التي لها ، والعوامل التي لديها ، والعوامل الأخرى التي ليس لها مجاهيل. عند إحضار المصطلحات المتشابهة ، انقل كل المجهول إلى اليسار ، وكل ما هو معروف إلى اليمين. على ماذا حصلت؟

كما ترون ، اختفى x-square ، ونرى شيئًا عاديًا تمامًا معادلة خط مستقيم. يبقى فقط لتجد!

وأخيرًا ، سأقول شيئًا مهمًا جدًا عن التحولات المتطابقة - التحولات المتطابقة قابلة للتطبيق ليس فقط على المعادلات الخطية ، ولكن أيضًا للمربع ، والكسور المنطقية وغيرها. عليك فقط أن تتذكر أنه عند نقل العوامل من خلال علامة التساوي ، فإننا نغير الإشارة إلى العكس ، وعند القسمة أو الضرب في عدد ما ، فإننا نضرب / نقسم طرفي المعادلة على نفس الرقم.

ما الذي أخذته أيضًا من هذا المثال؟ بالنظر إلى المعادلة ، ليس من الممكن دائمًا تحديد ما إذا كانت خطية أم لا بشكل مباشر ودقيق. يجب عليك أولاً تبسيط التعبير تمامًا ، وبعد ذلك فقط الحكم على ماهيته.

المعادلات الخطية. أمثلة.

إليك بعض الأمثلة الأخرى التي يمكنك ممارستها بمفردك - حدد ما إذا كانت المعادلة خطية وإذا كان الأمر كذلك ، فابحث عن جذورها:

الإجابات:

1. هو.

2. ليس.

لنفتح الأقواس ونعطي مصطلحات متشابهة:

لنقم بتحويل مماثل - نقسم الجزأين الأيمن والأيسر إلى:

نرى أن المعادلة ليست خطية ، فلا داعي للبحث عن جذورها.

3. هو.

لنقم بتحويل مماثل - اضرب الجزأين الأيمن والأيسر في للتخلص من المقام.

فكر في سبب أهمية ذلك؟ إذا كنت تعرف إجابة هذا السؤال ، فإننا ننتقل إلى حل المعادلة بشكل أكبر ، وإذا لم يكن الأمر كذلك ، فتأكد من النظر في الموضوع حتى لا ترتكب أخطاء في الأمثلة الأكثر تعقيدًا. بالمناسبة ، كما ترون ، حالة يكون فيها من المستحيل. لماذا ا؟
لذلك دعونا نمضي قدمًا ونعيد ترتيب المعادلة:

إذا تعاملت مع كل شيء دون صعوبة ، فلنتحدث عن المعادلات الخطية بمتغيرين.

معادلات خطية ذات متغيرين

الآن دعنا ننتقل إلى واحدة أكثر تعقيدًا قليلاً - المعادلات الخطية ذات المتغيرين.

المعادلات الخطيةمع متغيرين تبدو كما يلي:

أين ، وهل توجد أية أرقام و.

كما ترى ، الاختلاف الوحيد هو إضافة متغير آخر إلى المعادلة. وهكذا فإن كل شيء هو نفسه - لا يوجد x تربيع ، ولا قسمة على متغير ، إلخ. إلخ.

يا له من مثال حي لنمنحه لك ... لنأخذ نفس فاسيا. افترض أنه قرر أنه سيمنح كل من أصدقائه الثلاثة نفس عدد التفاحات ، واحتفظ بالتفاح لنفسه. كم عدد التفاح الذي يحتاج فاسيا لشرائه إذا أعطى كل صديق تفاحة؟ ماذا عن؟ ماذا لو؟

سيتم التعبير عن اعتماد عدد التفاح الذي سيحصل عليه كل شخص على العدد الإجمالي للتفاح الذي يجب شراؤه بواسطة المعادلة:

• - عدد التفاحات التي سيحصل عليها الشخص (أو ، أو) ؛
• - عدد التفاحات التي سيأخذها فاسيا لنفسه ؛
• - كم عدد التفاح الذي يحتاج Vasya إلى شرائه ، مع مراعاة عدد التفاح لكل شخص.

لحل هذه المشكلة ، حصلنا على أنه إذا أعطى Vasya صديقًا تفاحة ، فعليه شراء قطع ، إذا أعطى تفاحة - وهكذا.

وبشكل عام. لدينا متغيرين. لماذا لا نرسم هذا الاعتماد على الرسم البياني؟ نحن نبني ونحدد قيمة لنا ، أي النقاط والإحداثيات و!

كما ترون ، وتعتمد على بعضها البعض خطيا، ومن هنا جاء اسم المعادلات - " خطي».

نحن نستخلص من التفاح وننظر في معادلات مختلفة بيانيًا. انظر بعناية إلى الرسمين البيانيين اللذين تم إنشاؤهما - الخط المستقيم والقطع المكافئ ، المعطاة من خلال وظائف عشوائية:

ابحث عن النقاط المقابلة في كلا الشكلين وقم بتمييزها.
على ماذا حصلت؟

يمكنك أن ترى ذلك على الرسم البياني للدالة الأولى وحدهيتوافق واحد، أي ، وتعتمد على بعضها البعض خطيًا ، وهو ما لا يمكن قوله عن الوظيفة الثانية. بالطبع ، يمكنك الاعتراض على أن x في الرسم البياني الثاني يتوافق أيضًا مع - ولكن هذه نقطة واحدة فقط ، أي حالة خاصة ، حيث لا يزال بإمكانك العثور على واحدة تتوافق مع أكثر من واحدة. ولا يشبه الرسم البياني المركب خطًا بأي شكل من الأشكال ، ولكنه عبارة عن قطع مكافئ.

أكرر مرة أخرى: يجب أن يكون الرسم البياني للمعادلة الخطية خطًا مستقيمًا.

مع حقيقة أن المعادلة لن تكون خطية إذا ذهبنا إلى أي حد - هذا أمر مفهوم باستخدام مثال القطع المكافئ ، على الرغم من أنه يمكنك إنشاء بعض الرسوم البيانية البسيطة بنفسك ، على سبيل المثال أو. لكنني أؤكد لكم - لن يكون أي منهم خطًا مستقيمًا.

لا تثق؟ قم بالبناء ثم المقارنة مع ما حصلت عليه:

وماذا يحدث إذا قسمنا شيئًا ما ، على سبيل المثال ، على رقم ما؟ هل سيكون هناك اعتماد خطي و؟ لن نجادل ، لكننا سنبني! على سبيل المثال ، دعنا نرسم رسمًا بيانيًا للوظيفة.

بطريقة ما لا يبدو كخط مستقيم مبني ... وبالتالي ، فإن المعادلة ليست خطية.
دعونا نلخص:

1. معادلة خط مستقيم -هي معادلة جبرية تتساوى فيها الدرجة الكلية لكثيرات الحدود المكونة لها.
2. معادلة خط مستقيممع متغير واحد يبدو كما يلي:
   وأين وأية أرقام ؛
   معادلة خط مستقيمبمتغيرين:
   وأين وأية أرقام.
3. ليس من الممكن دائمًا تحديد ما إذا كانت المعادلة خطية أم لا على الفور. في بعض الأحيان ، لفهم هذا ، من الضروري إجراء تحويلات متطابقة ، ونقل مصطلحات مماثلة إلى اليسار / اليمين ، وعدم نسيان تغيير العلامة ، أو ضرب / قسمة طرفي المعادلة على نفس الرقم.

المعادلات الخطية. باختصار حول الرئيسي

1. المعادلة الخطية

هذه معادلة جبرية تتساوى فيها الدرجة الكلية لكثيرات الحدود المكونة لها.

2. معادلة خطية بمتغير واحديشبه:

أين وأية أرقام ؛

3. معادلة خطية بمتغيرينيشبه:

أين ، وأية أرقام.

4. تحولات الهوية

لتحديد ما إذا كانت المعادلة خطية أم لا ، من الضروري إجراء تحويلات متطابقة:

• تحرك يسارًا / يمينًا مثل المصطلحات ، دون أن تنسى تغيير العلامة ؛
• اضرب / اقسم طرفي المعادلة على نفس الرقم.

حسنًا ، لقد انتهى الموضوع. إذا كنت تقرأ هذه السطور ، فأنت رائع جدًا.

لأن 5٪ فقط من الناس قادرون على إتقان شيء ما بمفردهم. وإذا كنت قد قرأت حتى النهاية ، فأنت في الـ 5٪!

الآن أهم شيء.

لقد اكتشفت النظرية حول هذا الموضوع. وأكرر ، إنه ... إنه رائع فقط! أنت بالفعل أفضل من الغالبية العظمى من أقرانك.

المشكلة أن هذا قد لا يكون كافيا ...

لماذا؟

لاجتياز الامتحان بنجاح ، للقبول في المعهد بميزانية محدودة ، والأهم من ذلك ، مدى الحياة.

لن أقنعك بأي شيء ، سأقول شيئًا واحدًا ...

الأشخاص الذين حصلوا على تعليم جيد يكسبون أكثر بكثير من أولئك الذين لم يتلقوه. هذه إحصائيات.

لكن هذا ليس هو الشيء الرئيسي.

الشيء الرئيسي هو أنهم أكثر سعادة (هناك مثل هذه الدراسات). ربما لأن المزيد من الفرص تفتح أمامهم وتصبح الحياة أكثر إشراقًا؟ لا أعرف ...

لكن فكر بنفسك ...

ما الذي يتطلبه الأمر للتأكد من أن تكون أفضل من الآخرين في الامتحان وأن تكون في النهاية ... أكثر سعادة؟

املأ يدك وحل المشكلات الواردة في هذا الموضوع.

في الامتحان لن يطلب منك النظرية.

سوف تحتاج حل المشاكل في الوقت المحدد.

وإذا لم تحلها (الكثير!) ، فإنك بالتأكيد سترتكب خطأ غبيًا في مكان ما أو ببساطة لن ترتكبها في الوقت المناسب.

إنه مثل الرياضة - تحتاج إلى التكرار عدة مرات للفوز بالتأكيد.

ابحث عن مجموعة في أي مكان تريده بالضرورة مع الحلول والتحليل التفصيليوتقرر ، تقرر ، تقرر!

يمكنك استخدام مهامنا (ليست ضرورية) ونحن بالتأكيد نوصي بها.

من أجل الحصول على يد المساعدة في مهامنا ، تحتاج إلى المساعدة في إطالة عمر كتاب YouClever المدرسي الذي تقرأه حاليًا.

كيف؟ هناك خياران:

1. فتح الوصول إلى جميع المهام المخفية في هذه المقالة -
2. فتح الوصول إلى جميع المهام المخفية في جميع المقالات البالغ عددها 99 في البرنامج التعليمي - شراء كتاب مدرسي - 499 روبل

نعم ، لدينا 99 مقالًا من هذا القبيل في الكتاب المدرسي ويمكن الوصول إلى جميع المهام وجميع النصوص المخفية فيها يمكن فتحها على الفور.

يتم توفير الوصول إلى جميع المهام المخفية طوال عمر الموقع بالكامل.

ختاماً...

إذا كنت لا تحب مهامنا ، فابحث عن مهام أخرى. فقط لا تتوقف عن النظرية.

"فهمت" و "أعرف كيف أحل" مهارات مختلفة تمامًا. أنت بحاجة لكليهما.

البحث عن المشاكل وحلها!

المعادلة الخطية هي معادلة جبرية تساوي الدرجة الكاملة لكثيرات الحدود الواحد. حل المعادلات الخطية جزء من المنهج الدراسي وليس الأصعب. ومع ذلك ، لا يزال البعض يواجه صعوبات في مرور هذا الموضوع. نأمل بعد قراءة هذه المادة أن تظل كل الصعوبات التي تواجهك في الماضي. لذا ، دعنا نفهم ذلك. كيفية حل المعادلات الخطية.

الشكل العام

يتم تمثيل المعادلة الخطية على النحو التالي:

• الفأس + ب = 0 ، حيث أ وب أي أرقام.

على الرغم من أن a و b يمكن أن يكونا أي رقم ، فإن قيمهما تؤثر على عدد حلول المعادلة. هناك عدة حالات خاصة للحل:

• إذا كانت أ = ب = 0 ، فإن المعادلة لها عدد لا نهائي من الحلول ؛
• إذا كانت أ = 0 ، ب 0 ، فليس للمعادلة حل ؛
• إذا كانت a ≠ 0 ، b = 0 ، فإن المعادلة لها حل: x = 0.

في حالة احتواء كلا الرقمين على قيم غير صفرية ، يجب حل المعادلة من أجل اشتقاق التعبير النهائي للمتغير.

كيف تقرر؟

حل المعادلة الخطية يعني إيجاد ما يساوي المتغير. كيف افعلها؟ نعم ، الأمر بسيط للغاية - باستخدام العمليات الجبرية البسيطة واتباع قواعد النقل. إذا ظهرت المعادلة أمامك بشكل عام ، فأنت محظوظ ، كل ما عليك فعله هو:

1. انقل b إلى الجانب الأيمن من المعادلة ، دون أن تنسى تغيير العلامة (قاعدة النقل!) ، وبالتالي ، من التعبير عن النموذج ax + b = 0 ، يجب الحصول على تعبير عن النموذج ax = -b.
2. طبق القاعدة: للعثور على أحد العوامل (س - في حالتنا) ، تحتاج إلى تقسيم المنتج (-ب في حالتنا) على عامل آخر (أ - في حالتنا). وبالتالي ، يجب الحصول على تعبير عن النموذج: x \ u003d -b / a.

هذا كل شيء - الحل موجود!

الآن دعنا نلقي نظرة على مثال محدد:

1. 2x + 4 = 0 - انقل b ، وهي في هذه الحالة 4 ، إلى اليمين
2. 2x = -4 - قسّم b على a (لا تنسَ علامة الطرح)
3. س = -4 / 2 = -2

هذا كل شئ! حلنا: x = -2.

كما ترى ، فإن إيجاد حل لمعادلة خطية بمتغير واحد بسيط للغاية ، لكن كل شيء بسيط جدًا إذا كنا محظوظين لتلبية المعادلة بشكل عام. في معظم الحالات ، قبل حل المعادلة في الخطوتين الموصوفتين أعلاه ، من الضروري أيضًا إحضار التعبير الموجود إلى شكل عام. ومع ذلك ، فهذه ليست مهمة شاقة أيضًا. دعونا نلقي نظرة على بعض الحالات الخاصة مع الأمثلة.

حل الحالات الخاصة

أولاً ، دعنا نلقي نظرة على الحالات التي وصفناها في بداية المقالة ونوضح ما يعنيه وجود عدد لا حصر له من الحلول وعدم وجود حل.

• إذا كانت a = b = 0 ، فستبدو المعادلة كما يلي: 0 x + 0 = 0. بأداء الخطوة الأولى ، نحصل على: 0 x = 0. ماذا يعني هذا الهراء ، فأنت تصرخ! بعد كل شيء ، بغض النظر عن الرقم الذي تضربه في الصفر ، ستحصل دائمًا على صفر! الصحيح! لذلك ، يقولون أن المعادلة بها عدد لا حصر له من الحلول - مهما كان الرقم الذي تأخذه ، ستكون المساواة صحيحة ، 0x \ u003d 0 أو 0 \ u003d 0.
• إذا كانت a = 0 ، b ≠ 0 ، ستبدو المعادلة كما يلي: 0x + 3 = 0. نقوم بالخطوة الأولى ، نحصل على 0x = -3. هراء مرة أخرى! من الواضح أن هذه المساواة لن تكون صحيحة أبدًا! لهذا يقولون أن المعادلة ليس لها حلول.
• إذا كانت a ≠ 0 ، b = 0 ، ستبدو المعادلة كما يلي: 3x + 0 = 0. بأخذ الخطوة الأولى ، نحصل على: 3x = 0. ما الحل؟ إنه سهل ، x = 0.

صعوبات الترجمة

الحالات الخاصة الموصوفة ليست كل ما يمكن أن تفاجئنا به المعادلات الخطية. في بعض الأحيان يصعب تحديد المعادلة للوهلة الأولى. لنأخذ مثالا:

• 12 س - 14 = 2 س + 6

هل هذه معادلة خطية؟ لكن ماذا عن الصفر على الجانب الأيمن؟ لن نتسرع في الاستنتاجات ، سنعمل - سننقل جميع مكونات معادلتنا إلى الجانب الأيسر. نحن نحصل:

• 12 س - 2 س - 14 - 6 = 0

الآن نطرح مثل من الإعجاب ، نحصل على:

• 10x - 20 = 0

تعلمت؟ المعادلة الأكثر خطية على الإطلاق! لمن حل: س = 20/10 = 2.

ماذا لو كان لدينا هذا المثال:

• 12 ((س + 2) / 3) + س) = 12 (1 - 3 س / 4)

نعم ، هذه أيضًا معادلة خطية ، لا يلزم إجراء المزيد من التحولات. لنفكِّك الأقواس أولاً:

1. (12 (س + 2) / 3) + 12 س = 12-36 س / 4
2. 4 (س + 2) + 12 س = 12-36 س / 4
3. 4x + 8 + 12x = 12-9x - قم الآن بإجراء التحويل:
4. 25x - 4 = 0 - يبقى إيجاد حل وفقًا للمخطط المعروف بالفعل:
5. 25 س = 4
6. س = 4/25 = 0.16

كما ترى ، تم حل كل شيء ، الشيء الرئيسي هو عدم القلق ، ولكن العمل. تذكر ، إذا كانت معادلتك تحتوي فقط على متغيرات من الدرجة الأولى والأرقام ، فهذه معادلة خطية ، بغض النظر عن شكلها في البداية ، يمكن اختزالها إلى شكل عام وحلها. نأمل أن يعمل كل شيء من أجلك! حظا طيبا وفقك الله!

في هذا الفيديو ، سنحلل مجموعة كاملة من المعادلات الخطية التي تم حلها باستخدام نفس الخوارزمية - ولهذا السبب يطلق عليها الأبسط.

بادئ ذي بدء ، دعنا نحدد: ما هي المعادلة الخطية وأي منها يجب أن يسمى الأبسط؟

المعادلة الخطية هي المعادلة التي يوجد فيها متغير واحد فقط ، وفي الدرجة الأولى فقط.

أبسط معادلة تعني البناء:

يتم تقليل جميع المعادلات الخطية الأخرى إلى أبسط المعادلات باستخدام الخوارزمية:

1. الأقواس المفتوحة ، إن وجدت ؛
2. انقل المصطلحات التي تحتوي على متغير إلى جانب واحد من علامة التساوي ، والمصطلحات التي لا تحتوي على متغير إلى الجانب الآخر ؛
3. أحضر الشروط المتشابهة إلى يسار ويمين علامة التساوي ؛
4. اقسم المعادلة الناتجة على معامل المتغير $ x $.

بالطبع ، هذه الخوارزمية لا تساعد دائمًا. الحقيقة هي أنه في بعض الأحيان ، بعد كل هذه المكائد ، يتضح أن معامل المتغير $ x $ يساوي صفرًا. في هذه الحالة ، هناك خياران ممكنان:

1. المعادلة ليس لها حلول على الإطلاق. على سبيل المثال ، عندما تحصل على شيء مثل $ 0 \ cdot x = 8 $ ، أي على اليسار صفر ، وعلى اليمين رقم غير صفري. في الفيديو أدناه ، سنلقي نظرة على عدة أسباب تجعل هذا الموقف ممكنًا.
2. الحل هو كل الأرقام. الحالة الوحيدة التي يكون فيها ذلك ممكنًا هي عندما يتم تقليل المعادلة إلى البناء $ 0 \ cdot x = 0 $. من المنطقي تمامًا أنه بغض النظر عن قيمة $ x $ التي نعوضها ، ستظل النتيجة "صفر يساوي صفرًا" ، أي المساواة العددية الصحيحة.

والآن دعونا نرى كيف يعمل كل شيء على مثال المشاكل الحقيقية.

أمثلة على حل المعادلات

اليوم نتعامل مع المعادلات الخطية ، وأبسطها فقط. بشكل عام ، المعادلة الخطية تعني أي مساواة تحتوي على متغير واحد بالضبط ، وتنتقل فقط إلى الدرجة الأولى.

يتم حل هذه الإنشاءات بنفس الطريقة تقريبًا:

1. بادئ ذي بدء ، تحتاج إلى فتح الأقواس ، إن وجدت (كما في مثالنا الأخير) ؛
2. ثم أحضر ما شابه
3. أخيرًا ، اعزل المتغير ، أي كل ما يرتبط بالمتغير - المصطلحات التي يحتوي عليها - ينتقل إلى جانب ، وكل ما يبقى بدونه ينتقل إلى الجانب الآخر.

بعد ذلك ، كقاعدة عامة ، تحتاج إلى إحضار متماثل في كل جانب من جوانب المساواة الناتجة ، وبعد ذلك يبقى فقط القسمة على المعامل عند "x" ، وسوف نحصل على الإجابة النهائية.

من الناحية النظرية ، يبدو هذا لطيفًا وبسيطًا ، ولكن من الناحية العملية ، يمكن حتى لطلاب المدارس الثانوية ذوي الخبرة ارتكاب أخطاء هجومية في معادلات خطية بسيطة إلى حد ما. عادة ، يتم ارتكاب الأخطاء إما عند فتح الأقواس ، أو عند حساب "الإيجابيات" و "السلبيات".

بالإضافة إلى ذلك ، يحدث أن المعادلة الخطية ليس لها حلول على الإطلاق ، أو أن الحل هو خط الأعداد بالكامل ، أي أي رقم. سنقوم بتحليل هذه التفاصيل الدقيقة في درس اليوم. لكننا سنبدأ ، كما فهمت بالفعل ، بأبسط المهام.

مخطط لحل المعادلات الخطية البسيطة

بادئ ذي بدء ، اسمحوا لي مرة أخرى أن أكتب المخطط بأكمله لحل أبسط المعادلات الخطية:

1. قم بتوسيع الأقواس ، إن وجدت.
2. المتغيرات المنعزلة ، أي يتم نقل كل ما يحتوي على "x" إلى جانب ، وبدون "x" - إلى الجانب الآخر.
3. نقدم شروط مماثلة.
4. نقسم كل شيء على المعامل عند "x".

بالطبع ، لا يعمل هذا المخطط دائمًا ، فهو يحتوي على بعض التفاصيل الدقيقة والحيل ، والآن سنتعرف عليها.

حل أمثلة حقيقية لمعادلات خطية بسيطة

مهمة 1

في الخطوة الأولى ، نحن مطالبون بفتح الأقواس. لكنهم ليسوا في هذا المثال ، لذلك نتخطى هذه الخطوة. في الخطوة الثانية ، علينا عزل المتغيرات. يرجى ملاحظة ما يلي: نحن نتحدث فقط عن المصطلحات الفردية. دعنا نكتب:

نعطي مصطلحات متشابهة على اليسار واليمين ، ولكن تم القيام بذلك بالفعل هنا. لذلك ننتقل إلى الخطوة الرابعة: قسمة عامل:

\ [\ frac (6x) (6) = - \ frac (72) (6) \]

هنا حصلنا على الجواب.

المهمة رقم 2

في هذه المهمة ، يمكننا ملاحظة الأقواس ، لذلك دعونا نوسعها:

على كل من اليسار واليمين ، نرى نفس البنية تقريبًا ، لكن دعنا نتصرف وفقًا للخوارزمية ، أي متغيرات العزل:

فيما يلي بعض مثل:

في أي جذور يعمل هذا؟ الجواب: لأي. لذلك ، يمكننا كتابة أن $ x $ هو أي رقم.

المهمة رقم 3

المعادلة الخطية الثالثة هي بالفعل أكثر إثارة للاهتمام:

\ [\ يسار (6-x \ يمين) + \ يسار (12 + x \ يمين) - \ يسار (3-2x \ يمين) = 15 \]

يوجد العديد من الأقواس هنا ، لكن لم يتم ضربهم بأي شيء ، بل لديهم فقط إشارات مختلفة أمامهم. دعنا نقسمهم:

نقوم بالخطوة الثانية التي نعرفها بالفعل:

\ [- س + س + 2 س = 15-6-12 + 3 \]

دعنا نحسب:

نقوم بالخطوة الأخيرة - نقسم كل شيء على المعامل عند "x":

\ [\ frac (2x) (x) = \ frac (0) (2) \]

أشياء يجب تذكرها عند حل المعادلات الخطية

إذا تجاهلنا المهام البسيطة جدًا ، فأود أن أقول ما يلي:

• كما قلت أعلاه ، ليس لكل معادلة خطية حل - في بعض الأحيان ببساطة لا توجد جذور ؛
• حتى لو كانت هناك جذور ، فإن الصفر يمكن أن يدخل بينها - فلا حرج في ذلك.

الصفر هو نفس الرقم مثل الباقي ، فلا يجب أن تميزه بطريقة ما أو تفترض أنك إذا حصلت على صفر ، فهذا يعني أنك فعلت شيئًا خاطئًا.

ميزة أخرى تتعلق بتوسيع الأقواس. يرجى ملاحظة: عندما يكون هناك "ناقص" أمامهم ، نقوم بإزالته ، ولكن بين قوسين نغير العلامات إلى عكس. وبعد ذلك يمكننا فتحه وفقًا للخوارزميات القياسية: سنحصل على ما رأيناه في الحسابات أعلاه.

سيساعدك فهم هذه الحقيقة البسيطة على تجنب ارتكاب أخطاء غبية ومؤلمة في المدرسة الثانوية ، عندما يكون القيام بمثل هذه الإجراءات أمرًا مفروغًا منه.

حل المعادلات الخطية المعقدة

دعنا ننتقل إلى معادلات أكثر تعقيدًا. الآن ستصبح الإنشاءات أكثر تعقيدًا وستظهر وظيفة تربيعية عند إجراء تحويلات مختلفة. ومع ذلك ، لا ينبغي أن تخاف من هذا ، لأنه إذا قمنا ، وفقًا لنية المؤلف ، بحل معادلة خطية ، فعندئذ في عملية التحويل ، سيتم بالضرورة تقليل جميع المونوميرات التي تحتوي على دالة تربيعية.

مثال 1

من الواضح أن الخطوة الأولى هي فتح الأقواس. لنفعل هذا بعناية شديدة:

لنأخذ الآن الخصوصية:

\ [- س + 6 ((س) ^ (2)) - 6 ((س) ^ (2)) + س = -12 \]

فيما يلي بعض مثل:

من الواضح أن هذه المعادلة ليس لها حلول ، لذلك نكتب في الإجابة على النحو التالي:

\[\تشكيلة \]

أو لا جذور.

المثال رقم 2

نقوم بنفس الخطوات. الخطوة الأولى:

لننقل كل شيء باستخدام متغير إلى اليسار ، وبدونه - إلى اليمين:

فيما يلي بعض مثل:

من الواضح أن هذه المعادلة الخطية ليس لها حل ، لذلك نكتبها على النحو التالي:

\ [\ varnothing \] ،

أو لا جذور.

الفروق الدقيقة في الحل

تم حل المعادلتين بالكامل. في مثال هذين التعبيرين ، تأكدنا مرة أخرى أنه حتى في أبسط المعادلات الخطية ، لا يمكن أن يكون كل شيء بهذه البساطة: يمكن أن يكون هناك واحد ، أو لا شيء ، أو عدد لا نهائي. في حالتنا هذه ، درسنا معادلتين ، في كلتا الحالتين ببساطة لا توجد جذور.

لكني أود أن ألفت انتباهك إلى حقيقة أخرى: كيفية التعامل مع الأقواس وكيفية توسيعها إذا كانت أمامها علامة ناقص. ضع في اعتبارك هذا التعبير:

قبل الفتح ، تحتاج إلى ضرب كل شيء في "x". يرجى ملاحظة: الضرب كل مصطلح على حدة. يوجد في الداخل حدان - على التوالي ، حدين ومضروب.

وفقط بعد اكتمال هذه التحولات التي تبدو أولية ، ولكنها مهمة جدًا وخطيرة ، يمكن فتح القوس من وجهة نظر أن هناك علامة ناقص بعده. نعم ، نعم: الآن فقط ، عندما تتم التحولات ، نتذكر أن هناك علامة ناقص أمام الأقواس ، مما يعني أن كل شيء أدناه يغير الإشارات فقط. في الوقت نفسه ، تختفي الأقواس نفسها ، والأهم من ذلك ، تختفي علامة "ناقص" الأمامية أيضًا.

نفعل الشيء نفسه مع المعادلة الثانية:

ليس من قبيل المصادفة أن أنتبه لهذه الحقائق الصغيرة التي تبدو غير مهمة. لأن حل المعادلات هو دائمًا سلسلة من التحولات الأولية ، حيث يؤدي عدم القدرة على أداء إجراءات بسيطة بوضوح وكفاءة إلى حقيقة أن طلاب المدارس الثانوية يأتون إلي ويتعلمون حل مثل هذه المعادلات البسيطة مرة أخرى.

بالطبع ، سيأتي اليوم الذي ستصقل فيه هذه المهارات إلى الأتمتة. لم تعد مضطرًا لإجراء العديد من التحولات في كل مرة ، بل ستكتب كل شيء في سطر واحد. لكن بينما تتعلم فقط ، تحتاج إلى كتابة كل إجراء على حدة.

حل المعادلات الخطية الأكثر تعقيدًا

ما سنحله الآن بالكاد يمكن أن يسمى أبسط مهمة ، لكن المعنى يظل كما هو.

مهمة 1

\ [\ يسار (7x + 1 \ يمين) \ يسار (3x-1 \ يمين) -21 ((x) ^ (2)) = 3 \]

لنضرب كل العناصر في الجزء الأول:

لنقم بالتراجع:

فيما يلي بعض مثل:

لنقم بالخطوة الأخيرة:

\ [\ frac (-4x) (4) = \ frac (4) (- 4) \]

ها هي إجابتنا النهائية. وعلى الرغم من حقيقة أنه في عملية الحل كان لدينا معاملات ذات دالة تربيعية ، إلا أنها تلغى بعضها بشكل متبادل ، مما يجعل المعادلة خطية تمامًا وليست مربعة.

المهمة رقم 2

\ [\ يسار (1-4x \ يمين) \ يسار (1-3x \ يمين) = 6x \ يسار (2x-1 \ يمين) \]

لنقم بالخطوة الأولى بعناية: اضرب كل عنصر في القوس الأول في كل عنصر في الثاني. في المجموع ، يجب الحصول على أربعة شروط جديدة بعد التحولات:

والآن قم بإجراء الضرب بعناية في كل حد:

لننقل المصطلحات مع "x" إلى اليسار ، وبدون - إلى اليمين:

\ [- 3x-4x + 12 ((x) ^ (2)) - 12 ((x) ^ (2)) + 6x = -1 \]

فيما يلي مصطلحات متشابهة:

لقد تلقينا إجابة نهائية.

الفروق الدقيقة في الحل

أهم ملاحظة حول هاتين المعادلتين هي: بمجرد أن نبدأ في ضرب الأقواس التي يوجد فيها أكثر من حد ، يتم ذلك وفقًا للقاعدة التالية: نأخذ المصطلح الأول من الأول ونضرب مع كل عنصر من الثاني ثم نأخذ العنصر الثاني من الأول ونضرب بالمثل مع كل عنصر من العنصر الثاني. نتيجة لذلك ، نحصل على أربعة حدود.

على المجموع الجبري

مع المثال الأخير ، أود أن أذكر الطلاب ما هو المجموع الجبري. في الرياضيات الكلاسيكية ، نعني بـ1-7 دولارات بناءًا بسيطًا: نطرح سبعة من واحد. في الجبر ، نعني بهذا ما يلي: إلى الرقم "واحد" نضيف عددًا آخر ، وهو "ناقص سبعة". يختلف هذا المجموع الجبري عن المجموع الحسابي المعتاد.

بمجرد إجراء جميع التحويلات ، كل إضافة وضرب ، تبدأ في رؤية هياكل مشابهة لتلك الموضحة أعلاه ، لن تواجه أي مشاكل في الجبر عند العمل مع كثيرات الحدود والمعادلات.

في الختام ، دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة الأخرى التي ستكون أكثر تعقيدًا من تلك التي نظرنا إليها للتو ، ومن أجل حلها ، سيتعين علينا توسيع الخوارزمية القياسية لدينا بشكل طفيف.

حل المعادلات بكسر

لحل مثل هذه المهام ، يجب إضافة خطوة أخرى إلى الخوارزمية الخاصة بنا. لكن أولاً ، سوف أذكر الخوارزمية الخاصة بنا:

1. أقواس مفتوحة.
2. متغيرات منفصلة.
3. إحضار ما شابه.
4. اقسم على عامل.

للأسف ، هذه الخوارزمية الرائعة ، بكل كفاءتها ، ليست مناسبة تمامًا عندما يكون لدينا كسور أمامنا. وفي ما سنراه أدناه ، لدينا كسر على اليسار وعلى اليمين في كلا المعادلتين.

كيف تعمل في هذه الحالة؟ نعم ، الأمر بسيط للغاية! للقيام بذلك ، تحتاج إلى إضافة خطوة أخرى إلى الخوارزمية ، والتي يمكن إجراؤها قبل الإجراء الأول وبعده ، أي التخلص من الكسور. وبالتالي ، ستكون الخوارزمية على النحو التالي:

1. تخلص من الكسور.
2. أقواس مفتوحة.
3. متغيرات منفصلة.
4. إحضار ما شابه.
5. اقسم على عامل.

ماذا يعني "التخلص من الكسور"؟ ولماذا من الممكن القيام بذلك بعد الخطوة القياسية الأولى وقبلها؟ في الواقع ، في حالتنا جميع الكسور عددية من حيث المقام ، أي في كل مكان يكون المقام مجرد رقم. لذلك ، إذا ضربنا كلا الجزأين من المعادلة في هذا العدد ، فسوف نتخلص من الكسور.

مثال 1

\ [\ frac (\ left (2x + 1 \ right) \ left (2x-3 \ right)) (4) = ((x) ^ (2)) - 1 \]

دعنا نتخلص من الكسور في هذه المعادلة:

\ [\ frac (\ left (2x + 1 \ right) \ left (2x-3 \ right) \ cdot 4) (4) = \ left (((x) ^ (2)) - 1 \ right) \ cdot أربعة \]

يرجى ملاحظة: كل شيء مضروب في "أربعة" مرة واحدة ، أي فقط لأن لديك قوسين لا يعني أنه عليك ضرب كل منهما في "أربعة". دعنا نكتب:

\ [\ يسار (2x + 1 \ يمين) \ يسار (2x-3 \ يمين) = \ يسار (((x) ^ (2)) - 1 \ يمين) \ cdot 4 \]

لنفتحه الآن:

نقوم بعزل المتغير:

نقوم بتخفيض المصطلحات المماثلة:

\ [- 4x = -1 \ يسار | : \ يسار (-4 \ يمين) \ يمين. \]

\ [\ frac (-4x) (- 4) = \ frac (-1) (- 4) \]

لقد تلقينا الحل النهائي ، ننتقل إلى المعادلة الثانية.

المثال رقم 2

\ [\ frac (\ left (1-x \ right) \ left (1 + 5x \ right)) (5) + ((x) ^ (2)) = 1 \]

هنا نقوم بنفس الإجراءات:

\ [\ frac (\ left (1-x \ right) \ left (1 + 5x \ right) \ cdot 5) (5) + ((x) ^ (2)) \ cdot 5 = 5 \]

\ [\ frac (4x) (4) = \ frac (4) (4) \]

تم حل المشكلة.

هذا ، في الواقع ، هو كل ما أردت أن أقوله اليوم.

النقاط الرئيسية

النتائج الرئيسية هي كما يلي:

• تعرف على الخوارزمية لحل المعادلات الخطية.
• القدرة على فتح الأقواس.
• لا تقلق إذا كان لديك وظائف تربيعية في مكان ما ، على الأرجح ، في عملية مزيد من التحولات ، سيتم تقليلها.
• الجذور في المعادلات الخطية ، حتى أبسطها ، من ثلاثة أنواع: جذر واحد ، خط الأعداد بالكامل جذر ، لا توجد جذور على الإطلاق.

آمل أن يساعدك هذا الدرس في إتقان موضوع بسيط ولكنه مهم جدًا لفهم الرياضيات بشكل أكبر. إذا كان هناك شيء غير واضح ، فانتقل إلى الموقع ، وحل الأمثلة المقدمة هناك. ابق على اتصال ، هناك العديد من الأشياء المثيرة للاهتمام في انتظارك!

نظام المعادلات الخطية هو اتحاد من المعادلات الخطية n ، كل منها يحتوي على متغيرات k. إنه مكتوب على هذا النحو:

يعتقد الكثيرون ، عند مواجهة الجبر العالي لأول مرة ، خطأً أن عدد المعادلات يجب أن يتطابق بالضرورة مع عدد المتغيرات. هذا هو الحال عادة في الجبر المدرسي ، ولكن بالنسبة للجبر العالي ، فهذا ليس صحيحًا بشكل عام.

حل نظام المعادلات هو سلسلة من الأرقام (ك 1 ، ك 2 ، ... ، ك ن) ، وهو الحل لكل معادلة في النظام ، أي عند الاستبدال في هذه المعادلة بدلاً من المتغيرات x 1 ، x 2 ، ... ، x n تعطي المساواة العددية الصحيحة.

وفقًا لذلك ، يعني حل نظام المعادلات إيجاد مجموعة جميع حلولها أو إثبات أن هذه المجموعة فارغة. نظرًا لأن عدد المعادلات وعدد المجهول قد لا يكونان متماثلين ، فهناك ثلاث حالات ممكنة:

1. النظام غير متسق ، أي مجموعة كل الحلول فارغة. حالة نادرة إلى حد ما يمكن اكتشافها بسهولة بغض النظر عن طريقة حل النظام.
2. النظام متسق ومحدد ، أي لديه حل واحد بالضبط. النسخة الكلاسيكية المعروفة منذ المدرسة.
3. النظام متسق وغير محدد ، أي عدد لا نهائي من الحلول. هذا هو الخيار الأصعب. لا يكفي القول بأن "النظام لديه مجموعة لا نهائية من الحلول" - من الضروري وصف كيفية ترتيب هذه المجموعة.

يسمى المتغير x i مسموح به إذا تم تضمينه في معادلة واحدة فقط من النظام ، ومع معامل 1. بمعنى آخر ، في المعادلات المتبقية ، يجب أن يكون معامل المتغير x i مساويًا للصفر.

إذا حددنا متغيرًا واحدًا مسموحًا به في كل معادلة ، فسنحصل على مجموعة من المتغيرات المسموح بها لنظام المعادلات بأكمله. سيتم أيضًا تسمية النظام نفسه ، المكتوب بهذا النموذج ، بالسماح. بشكل عام ، يمكن اختزال نفس النظام الأولي إلى أنظمة مختلفة مسموح بها ، لكن هذا لا يهمنا الآن. فيما يلي أمثلة على الأنظمة المسموح بها:

كلا النظامين مسموح بهما فيما يتعلق بالمتغيرات x 1 و x 3 و x 4. ومع ذلك ، مع نفس النجاح ، يمكن القول بأن النظام الثاني مسموح به فيما يتعلق بـ x 1 و x 3 و x 5. يكفي إعادة كتابة آخر معادلة بالصيغة x 5 = x 4.

فكر الآن في حالة أكثر عمومية. لنفترض أن لدينا متغيرات k في المجموع ، يُسمح لـ r. ثم هناك حالتان ممكنتان:

1. عدد المتغيرات المسموح بها r يساوي إجمالي عدد المتغيرات k: r = k. نحصل على نظام من معادلات k حيث r = k المتغيرات المسموح بها. مثل هذا النظام هو تعاوني ومحدد ، لأنه س 1 \ u003d ب 1 ، س 2 \ u003d ب 2 ، ... ، س ك \ u003d ب ك ؛
2. عدد المتغيرات المسموح بها r أقل من إجمالي عدد المتغيرات k: r< k . Остальные (k − r ) переменных называются свободными - они могут принимать любые значения, из которых легко вычисляются разрешенные переменные.

لذلك ، في الأنظمة المذكورة أعلاه ، تكون المتغيرات x 2 و x 5 و x 6 (للنظام الأول) و x 2 و x 5 (بالنسبة للنظام الثاني) مجانية. الحالة عندما تكون هناك متغيرات حرة يتم صياغتها بشكل أفضل كنظرية:

يرجى ملاحظة: هذه نقطة مهمة للغاية! اعتمادًا على كيفية كتابة النظام النهائي ، يمكن أن يكون نفس المتغير مسموحًا به ومجانيًا. يوصي معظم مدرسي الرياضيات المتقدمين بكتابة المتغيرات بترتيب معجمي ، أي مؤشر تصاعدي. ومع ذلك ، لا يتعين عليك اتباع هذه النصيحة على الإطلاق.

نظرية. إذا كانت المتغيرات x 1 ، x 2 ، ... ، x r مسموح بها في نظام معادلات n ، و x r + 1 ، x r + 2 ، ... ، x k مجانية ، إذن:

1. إذا قمنا بتعيين قيم المتغيرات الحرة (x r + 1 = t r + 1، x r + 2 = t r + 2، ...، x k = t k) ، ثم أوجد القيم x 1، x 2،. .. ، س ص ، نحصل على أحد الحلول.
2. إذا كانت قيم المتغيرات المجانية في حلين هي نفسها ، فإن قيم المتغيرات المسموح بها هي نفسها أيضًا ، أي الحلول متساوية.

ما معنى هذه النظرية؟ للحصول على جميع حلول نظام المعادلات المسموح به ، يكفي تحديد المتغيرات الحرة. بعد ذلك ، من خلال تعيين قيم مختلفة للمتغيرات المجانية ، سنحصل على حلول جاهزة. هذا كل شيء - بهذه الطريقة يمكنك الحصول على جميع حلول النظام. لا توجد حلول أخرى.

الخلاصة: نظام المعادلات المسموح به متوافق دائمًا. إذا كان عدد المعادلات في النظام المسموح به يساوي عدد المتغيرات ، فسيكون النظام محددًا ؛ وإذا كان أقل ، فسيكون غير محدد.

وسيكون كل شيء على ما يرام ، لكن السؤال الذي يطرح نفسه: كيف نحصل على الحل من نظام المعادلات الأصلي؟ لهذا هناك