الدرجة واحدة من الخصائص الرئيسية في الجبر ، وفي الواقع في جميع الرياضيات. بالطبع ، في القرن الحادي والعشرين ، يمكن إجراء جميع الحسابات باستخدام آلة حاسبة عبر الإنترنت ، ولكن من الأفضل أن تتعلم كيفية القيام بذلك بنفسك من أجل تنمية العقول.

في هذه المقالة ، سننظر في أكثر من غيرها أسئلة مهمةبخصوص هذا التعريف. وبالتحديد ، سوف نفهم ماهيتها بشكل عام وما هي وظائفها الرئيسية ، وما هي الخصائص الموجودة في الرياضيات.

دعنا نلقي نظرة على أمثلة لشكل العملية الحسابية ، ما هي الصيغ الأساسية. سنقوم بتحليل الأنواع الرئيسية للكميات وكيف تختلف عن الوظائف الأخرى.

سوف نفهم كيفية حل المشكلات المختلفة باستخدام هذه القيمة. سنوضح بأمثلة كيفية الرفع إلى درجة الصفر ، أو اللاعقلاني ، أو السالب ، إلخ.

حاسبة الأُس على الإنترنت

ما هي درجة الرقم

ما المقصود بعبارة "رفع رقم إلى قوة"؟

الدرجة n للعدد a هي حاصل ضرب عوامل المقدار a n مرة على التوالي.

رياضيا يبدو كالتالي:

أ ن = أ * أ * أ * ... أ ن.

فمثلا:

• 2 3 = 2 في الخطوة الثالثة. = 2 * 2 * 2 = 8 ؛
• 4 2 = 4 خطوة. اثنان = 4 * 4 = 16 ؛
• 5 4 = 5 خطوة. أربعة = 5 * 5 * 5 * 5 = 625 ؛
• 10 5 \ u003d 10 في 5 خطوات. = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100000 ؛
• 10 4 \ u003d 10 في 4 خطوات. = 10 * 10 * 10 * 10 = 10000.

يوجد أدناه جدول المربعات والمكعبات من 1 إلى 10.

جدول الدرجات من 1 إلى 10

فيما يلي نتائج رفع الأعداد الطبيعية إلى قوى موجبة - "من 1 إلى 100".

Ch- لو	الصف الثاني	الصف 3RD
1	1	1
2	4	8
3	9	27
4	16	64
5	25	125
6	36	216
7	49	343
8	64	512
9	81	279
10	100	1000

خصائص الدرجة

ما هو نموذجي لمثل هذا دالة رياضية؟ دعونا نلقي نظرة على الخصائص الأساسية.

أنشأ العلماء ما يلي العلامات المميزة لجميع الدرجات:

• أ ن * أ م = (أ) (ن + م) ؛
• أ ن: أ م = (أ) (ن م) ؛
• (أ ب) م = (أ) (ب * م).

دعنا نتحقق من الأمثلة:

2 3 * 2 2 = 8 * 4 = 32. ومن ناحية أخرى 2 5 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32.

بالمثل: 2 3: 2 2 = 8/4 = 2. خلاف ذلك 2 3-2 = 2 1 = 2.

(2 3) 2 = 8 2 = 64. ماذا لو كانت مختلفة؟ 2 6 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.

كما ترى ، تعمل القواعد.

ولكن كيف تكون مع الجمع والطرح؟ كل شيء بسيط. يتم تنفيذ الأس الأول ، وبعد ذلك فقط يتم الجمع والطرح.

لنلقِ نظرة على الأمثلة:

• 3 3 + 2 4 = 27 + 16 = 43;
• 5 2-3 2 = 25-9 = 16

لكن في هذه الحالة ، يجب عليك أولاً حساب الإضافة ، نظرًا لوجود إجراءات بين قوسين: (5 + 3) 3 = 8 3 = 512.

كيف تنتج الحوسبة في المزيد الحالات الصعبة ؟ الترتيب هو نفسه:

• إذا كانت هناك أقواس ، فأنت بحاجة إلى البدء بها ؛
• ثم الأس.
• ثم إجراء عمليات الضرب والقسمة ؛
• بعد الجمع والطرح.

هناك خصائص محددة لا تميز جميع الدرجات:

1. سيتم كتابة جذر الدرجة n من الرقم a إلى الدرجة m على النحو التالي: a m / n.
2. عند رفع الكسر إلى أس: يخضع كل من البسط ومقامه لهذا الإجراء.
3. عند بناء العمل أرقام مختلفةإلى قوة ، فإن التعبير سوف يتوافق مع حاصل ضرب هذه الأرقام لقوة معينة. وهذا هو: (أ * ب) ن = أ ن * ب ن.
4. عند رفع رقم إلى قوة سالبة ، تحتاج إلى قسمة 1 على رقم في نفس الخطوة ، ولكن بعلامة "+".
5. إذا كان مقام الكسر في قوة سالبة ، فسيكون هذا المقدار مساويًا لحاصل ضرب البسط والمقام في قوة موجبة.
6. أي عدد أس 0 = 1 وإلى الخطوة. 1 = لنفسه.

هذه القواعد مهمة في حالات فردية، سننظر فيها بمزيد من التفصيل أدناه.

الدرجة مع الأس السالب

ماذا تفعل بدرجة سالبة أي عندما يكون المؤشر سالبًا؟

بناءً على الخصائص 4 و 5(انظر النقطة أعلاه) اتضح:

أ (- n) \ u003d 1 / A n ، 5 (-2) \ u003d 1/5 2 \ u003d 1/25.

والعكس صحيح:

1 / A (- n) \ u003d A n ، 1/2 (-3) \ u003d 2 3 \ u003d 8.

ماذا لو كان كسرًا؟

(أ / ب) (- ن) = (ب / أ) ن ، (3/5) (-2) = (5/3) 2 = 25/9.

درجة بمؤشر طبيعي

يُفهم على أنه درجة مع الأسس يساوي الأعداد الصحيحة.

أشياء للذكرى:

أ 0 = 1 ، 1 0 = 1 ؛ 2 0 = 1 ؛ 3.15 0 = 1 ؛ (-4) 0 = 1 ... إلخ.

أ 1 = أ ، 1 1 = 1 ؛ 2 1 = 2 ؛ 3 1 = 3… الخ.

أيضًا ، إذا كانت (-a) 2 n +2 ، n = 0 ، 1 ، 2 ... فإن النتيجة ستكون بعلامة "+". إذا تم رفع رقم سالب إلى لا حتى درجةثم العكس.

الخصائص العامة ، وجميع الميزات المحددة الموضحة أعلاه ، هي أيضًا سمات مميزة لها.

درجة كسرية

يمكن كتابة هذا الرأي كمخطط: م / ن. يُقرأ على النحو التالي: جذر الدرجة n من الرقم A إلى أس m.

باستخدام المؤشر الكسري ، يمكنك فعل أي شيء: التقليل ، التحلل إلى أجزاء ، الرفع إلى درجة أخرى ، إلخ.

درجة مع الأس غير المنطقي

اجعل α عددًا غير نسبي و А ˃ 0.

لفهم جوهر الدرجة بمثل هذا المؤشر ، لنلقِ نظرة على الحالات المختلفة المحتملة:

• أ \ u003d 1. ستكون النتيجة 1. نظرًا لوجود بديهية - 1 يساوي واحدًا في جميع القوى ؛

أ r 1 A α ˂ A r 2 ، r 1 r 2 - أرقام نسبية;

• 0˂А˂1.

في هذه الحالة ، بالعكس: А r 2 А А α А r 1 بنفس الشروط كما في الفقرة الثانية.

على سبيل المثال ، الأس هو الرقم π.إنه عقلاني.

ص 1 - في هذه الحالة يساوي 3 ؛

ص 2 - تساوي 4.

ثم ، بالنسبة إلى أ = 1 ، 1 π = 1.

أ = 2 ، ثم 2 3 ˂ 2 π 4 2 ، 8 ˂ 2 π 16.

أ = 1/2 ، ثم (½) 4 (½) π ˂ (½) 3 ، 1/16 ˂ (½) π ˂ 1/8.

تتميز هذه الدرجات بجميع العمليات الرياضية والخصائص المحددة الموضحة أعلاه.

استنتاج

دعونا نلخص - ما هي هذه القيم ، ما هي مزايا هذه الوظائف؟ بالطبع ، أولاً وقبل كل شيء ، يبسطون حياة علماء الرياضيات والمبرمجين عند حل الأمثلة ، لأنها تسمح بتقليل العمليات الحسابية وتقليل الخوارزميات وتنظيم البيانات وغير ذلك الكثير.

في أي مكان آخر يمكن أن تكون هذه المعرفة مفيدة؟ في أي تخصص عملي: الطب ، الصيدلة ، طب الأسنان ، البناء ، التكنولوجيا ، الهندسة ، التصميم ، إلخ.

في إطار هذه المادة ، سنحلل ماهية قوة الرقم. بالإضافة إلى التعريفات الأساسية ، سنقوم بصياغة الدرجات ذات الأسس الطبيعية والصحيحة والعقلانية وغير المنطقية. كما هو الحال دائمًا ، سيتم توضيح جميع المفاهيم بأمثلة على المهام.

Yandex.RTB R-A-339285-1

أولا نصيغ التعريف الأساسيدرجة مع مؤشر طبيعي. للقيام بذلك ، علينا تذكر القواعد الأساسية للضرب. دعونا نوضح مقدما أنه كأساس سنتخذ في الوقت الحالي عدد حقيقي(يُشار إليه بالحرف أ) ، وكمؤشر - طبيعي (يُشار إليه بالحرف n).

التعريف 1

قوة a ذات الأس الطبيعي n هي حاصل ضرب العدد n من العوامل ، كل منها يساوي الرقم a. الدرجة مكتوبة على النحو التالي: أ، وفي شكل معادلة ، يمكن تمثيل تركيبها على النحو التالي:

على سبيل المثال ، إذا كان الأس 1 والأساس هو a ، فإن القوة الأولى من a تكتب على هذا النحو أ 1. بالنظر إلى أن a هي قيمة العامل و 1 هو عدد العوامل ، يمكننا استنتاج ذلك أ 1 = أ.

بشكل عام ، يمكننا القول أن الدرجة هي تدوين مناسب عدد كبيرمضاعفات متساوية. إذن ، سجل النموذج 8 8 8 8يمكن اختزالها إلى 8 4 . بنفس الطريقة ، يساعدنا العمل في تجنب الكتابة عدد كبيرالشروط (8 + 8 + 8 + 8 = 8 4) ؛ لقد حللنا هذا بالفعل في المقالة المخصصة لضرب الأعداد الطبيعية.

كيف تقرأ سجل الدرجة بشكل صحيح؟ الخيار المقبول عمومًا هو "a إلى قوة n". أو يمكنك أن تقول "القوة n لـ" أو "القوة n". إذا ، على سبيل المثال ، في المثال هناك إدخال 8 12 ، يمكننا قراءة "8 أس 12" أو "8 أس 12" أو "12 أس 8".

الدرجة الثانية والثالثة من الرقم لها أسماء راسخة: مربع ومكعب. إذا رأينا القوة الثانية ، على سبيل المثال ، للرقم 7 (7 2) ، فيمكننا القول "7 تربيع" أو "مربع الرقم 7". وبالمثل ، تقرأ الدرجة الثالثة على النحو التالي: 5 3 هو "مكعب الرقم 5" أو "5 تكعيب". ومع ذلك ، من الممكن أيضًا استخدام الصياغة القياسية "في الدرجة الثانية / الثالثة" ، لن يكون هذا خطأ.

مثال 1

لنلقِ نظرة على مثال لدرجة ذات مؤشر طبيعي: for 5 7 سيكون خمسة هو الأساس ، وسبعة سيكون المؤشر.

لا يجب أن تكون القاعدة عددًا صحيحًا: للدرجة (4 , 32) 9 سيكون الأساس كسرًا ٤ ، ٣٢ ، والأس تسعة. انتبه للأقواس: يتم إجراء هذا الترميز لجميع الدرجات ، والتي تختلف قواعدها عن الأرقام الطبيعية.

على سبيل المثال: 1 2 3 ، (- 3) 12 ، - 2 3 5 2 ، 2 ، 4 35 5 ، 7 3.

ما هي الأقواس؟ أنها تساعد على تجنب الأخطاء في الحسابات. لنفترض أن لدينا إدخالين: (− 2) 3 و − 2 3 . أولهما يعني عددًا سالبًا مطروحًا من اثنين ، مرفوعًا إلى أس أس طبيعي هو ثلاثة ؛ والثاني هو الرقم المقابل ل المعنى المعاكسدرجات 2 3 .

في بعض الأحيان يمكنك أن تجد في الكتب تهجئة مختلفة قليلاً لدرجة الرقم - أ ^ ن(حيث a هو الأساس و n هو الأس). إذن 4 ^ 9 هو نفسه 4 9 . في حالة ن هو عدد متعدد الأرقام، يتم أخذها بين قوسين. على سبيل المثال ، 15 ^ (21) ، (- 3 ، 1) ^ (156). لكننا سنستخدم الترميز أأكثر شيوعًا.

من السهل تخمين كيفية حساب قيمة الدرجة بأسس طبيعي من تعريفها: ما عليك سوى مضاعفة عدد n من المرات. لقد كتبنا المزيد عن هذا في مقال آخر.

مفهوم الدرجة هو عكس الآخر مفهوم رياضي- جذر الرقم. إذا عرفنا قيمة الأس والأس ، يمكننا حساب قاعدته. تحتوي الدرجة العلمية على بعض الخصائص المحددة المفيدة في حل المشكلات التي قمنا بتحليلها في مادة منفصلة.

لا يمكن أن تحتوي الأسس على أرقام طبيعية فحسب ، بل تحتوي أيضًا على أي قيم صحيحة بشكل عام ، بما في ذلك الأرقام السالبة والأصفار ، لأنها تنتمي أيضًا إلى مجموعة الأعداد الصحيحة.

التعريف 2

يمكن عرض درجة الرقم الذي يحتوي على أس صحيح موجب كصيغة: .

علاوة على ذلك ، n هو أي عدد صحيح موجب.

دعونا نتعامل مع مفهوم درجة الصفر. للقيام بذلك ، نستخدم نهجًا يأخذ في الاعتبار خاصية حاصل قسمة القوى ذات أسباب متساوية. تمت صياغته على النحو التالي:

التعريف 3

المساواة أ م: أ ن = أ م - نسيكون صحيحًا في ظل الظروف التالية: m و n أعداد طبيعية ، m< n , a ≠ 0 .

الشرط الأخير مهم لأنه يتجنب القسمة على الصفر. إذا تساوت قيمتي m و n ، فسنحصل على النتيجة التالية: أ ن: أ ن = أ ن - ن = أ 0

لكن في نفس الوقت a n: a n = 1 - حاصل قسمة أعداد متساوية أو أ. اتضح أن درجة الصفر لأي عدد غير صفري تساوي واحدًا.

ومع ذلك ، فإن هذا الدليل لا يناسب صفرًا إلى أس صفر. للقيام بذلك ، نحتاج إلى خاصية أخرى للقوى - خاصية منتجات القوى ذات القواعد المتساوية. تبدو هكذا: أ م أ ن = أ م + ن .

إذا كانت n تساوي 0 ، إذن أ م أ 0 = أ م(هذه المساواة تثبت لنا ذلك أيضًا أ 0 = 1). ولكن إذا كانت تساوي صفرًا أيضًا ، فإن مساواتنا تأخذ الشكل 0 م 0 0 = 0 م، سيكون هذا صحيحًا بالنسبة لأي قيمة طبيعية لـ n ، ولا يهم بالضبط قيمة الدرجة 0 0 أي يمكن أن تكون مساوية لأي رقم ، وهذا لن يؤثر على صحة المساواة. لذلك ، سجل النموذج 0 0 ليس له معنى خاص به ، ولن ننسبه إليه.

إذا رغبت في ذلك ، فمن السهل التحقق من ذلك أ 0 = 1يتقارب مع خاصية الدرجة (أ م) ن = أ م نبشرط ألا تكون قاعدة الدرجة مساوية للصفر. وبالتالي ، فإن درجة أي عدد غير صفري بأس صفر يساوي واحدًا.

مثال 2

لنأخذ مثالاً مع أرقام محددة: لذا، 5 0 - وحدة، (33 , 3) 0 = 1 ، - 4 5 9 0 = 1 ، والقيمة 0 0 غير معرف.

بعد درجة الصفر ، يتبقى لنا معرفة الدرجة السالبة. للقيام بذلك ، نحتاج إلى نفس خاصية حاصل ضرب قوى ذات قواعد متساوية ، والتي استخدمناها بالفعل أعلاه: a m · a n = a m + n.

نقدم الشرط: م = - ن ، إذًا لا يجب أن تكون a مساوية للصفر. إنه يتبع هذا أ - ن أ ن = أ - ن + ن = أ 0 = 1. اتضح أن n و أ-نلدينا أرقام متبادلة.

نتيجة لذلك ، فإن a أس عدد صحيح سالب ما هو إلا كسر 1 a n.

تؤكد هذه الصيغة أنه بالنسبة لدرجة ذات عدد صحيح مؤشر سلبيجميع الخصائص نفسها التي تتمتع بها الدرجة ذات الأس الطبيعي (بشرط ألا تكون القاعدة مساوية للصفر) صالحة.

مثال 3

يمكن تمثيل القوة a مع عدد صحيح سالب n في صورة كسر 1 a n. وهكذا ، أ - ن = 1 أ ن تحت الشرط أ ≠ 0و n أي عدد طبيعي.

دعنا نوضح فكرتنا بأمثلة محددة:

مثال 4

3 - 2 = 1 3 2 , (- 4 . 2) - 5 = 1 (- 4 . 2) 5 , 11 37 - 1 = 1 11 37 1

في الجزء الأخير من الفقرة ، سنحاول تصوير كل ما قيل بوضوح في صيغة واحدة:

التعريف 4

قوة a مع الأس الطبيعي z هي: a z = a z ، e c و z عدد صحيح موجب 1 ، z = 0 و a 0 ، (إذا كانت z = 0 و a = 0 نحصل على 0 0 ، قيم لم يتم تحديد التعبير 0 0) 1 أ ض ، إذا كان z عددًا صحيحًا سالبًا و 0 (إذا كان z عددًا صحيحًا سالبًا و a = 0 نحصل على 0 z ، فهو a n d e n t i o n)

ما هي الدرجات ذات الأس المنطقي

لقد قمنا بتحليل الحالات التي يكون فيها الأس عددًا صحيحًا. ومع ذلك ، يمكنك أيضًا رفع رقم إلى أس عندما يكون الأس عددًا كسريًا. وهذا ما يسمى الدرجة مؤشر منطقي. سنثبت في هذا القسم الفرعي أن له نفس خصائص القوى الأخرى.

ما هي الأعداد المنطقية؟ تتضمن مجموعتهم كلا من الأعداد الصحيحة و أعداد كسرية، بينما يمكن تمثيل الأعداد الكسرية ككسور عادية (موجبة وسالبة). نقوم بصياغة تعريف درجة الرقم أ مع الأس الكسري م / ن ، حيث ن عدد طبيعي ، و م عدد صحيح.

لدينا درجة مع أس كسري a m n. من أجل الاحتفاظ بخاصية القوة بدرجة ما ، يجب أن تكون المساواة a m n n = a m n · n = a m صحيحة.

بالنظر إلى تعريف الجذر النوني وأن m n n = a m ، يمكننا قبول الشرط a m n = a m n إذا كان m n منطقيًا للقيم المعطاة لـ m و n و a.

الخصائص المذكورة أعلاه للدرجة ذات الأس الصحيح ستكون صحيحة بشرط a m n = a m n.

الاستنتاج الرئيسي من تفكيرنا هو كما يلي: درجة ما مع الأس الكسري م / ن هو جذر الدرجة n من الرقم أ إلى القوة م. هذا صحيح إذا كان التعبير m n منطقيًا لقيم معطاة لـ m و n و a.

1. يمكننا تحديد قيمة أساس الدرجة: خذ a ، والتي ستكون أكبر من 0 أو تساوي للقيم الموجبة لـ m ، والقيم السالبة ستكون أقل تمامًا (لأنه بالنسبة لـ m ≤ 0 نحصل عليه 0 م، ولكن لم يتم تعريف هذه الدرجة). في هذه الحالة ، سيبدو تعريف الدرجة بأسس كسري كما يلي:

الأس الكسري m / n لبعض الأعداد الموجبة a هو الجذر النوني لـ a مرفوعًا للقوة m. في شكل معادلة ، يمكن تمثيل ذلك على النحو التالي:

بالنسبة لدرجة ذات قاعدة صفرية ، يكون هذا الحكم مناسبًا أيضًا ، ولكن فقط إذا كان الأس عددًا موجبًا.

يمكن التعبير عن قوة أساسها صفر وأس كسري موجب m / n على النحو التالي

0 m n = 0 m n = 0 بشرط العدد الصحيح الموجب m والطبيعي n.

ذات نسبة سالبة m n< 0 степень не определяется, т.е. такая запись смысла не имеет.

دعونا نلاحظ نقطة واحدة. نظرًا لأننا قدمنا ​​الشرط القائل بأن a أكبر من أو يساوي الصفر ، فقد تجاهلنا بعض الحالات.

لا يزال التعبير a m n منطقيًا في بعض الأحيان لبعض القيم السالبة لـ a وبعض القيم السالبة لـ m. إذن ، المدخلات صحيحة (- 5) 2 3 ، (- 1 ، 2) 5 7 ، - 1 2 - 8 4 ، حيث تكون القاعدة سالبة.

2. الطريقة الثانية هي النظر بشكل منفصل إلى جذر a m n الذي يحتوي على أسين فرديين وزوجي. ثم نحتاج إلى تقديم شرط آخر: الدرجة أ ، التي يوجد فيها كسر عادي قابل للاختزال ، تعتبر الدرجة أ ، حيث يوجد في الأس الكسر المقابل غير القابل للاختزال. سنشرح لاحقًا سبب حاجتنا إلى هذا الشرط ولماذا هو مهم جدًا. وبالتالي ، إذا كان لدينا سجل m · k n · k ، فيمكننا اختزاله إلى m n وتبسيط العمليات الحسابية.

إذا كان n عددًا فرديًا وكان m موجبًا وكان a أي عدد غير سالب ، فإن m n يكون منطقيًا. شرط غير سالب ضروري ، لأن جذر الدرجة الزوجية لا يتم استخراجه من رقم سالب. إذا كانت قيمة m موجبة ، فيمكن أن تكون a سالبة وصفر في نفس الوقت ، لأن يمكن أخذ جذر فردي من أي رقم حقيقي.

دعنا نجمع كل البيانات الموجودة فوق التعريف في إدخال واحد:

هنا m / n تعني كسرًا غير قابل للاختزال ، و m أي عدد صحيح ، و n أي عدد طبيعي.

التعريف 5

لأي كسر عادي م · ك ن · ك ، يمكن استبدال الدرجة بـ م ن.

قوة a ذات الأس الكسري غير القابل للاختزال m / n - يمكن التعبير عنها كـ m n in الحالات التالية: - لأي عدد صحيح حقيقي القيم الإيجابيةم والأعداد الصحيحة الموجبة الفردية ن. مثال: 2 5 3 = 2 5 3 ، (- 5 ، 1) 2 7 = (- 5 ، 1) - 2 7 ، 0 5 19 = 0 5 19.

لأي قيمة غير صفرية حقيقية ، قيم صحيحة سالبة لـ m وقيم فردية لـ n ، على سبيل المثال ، 2-5 3 = 2-5 3 ، (- 5 ، 1) - 2 7 = (- 5 ، 1) - 2 7

لأي قيم غير سالبة أ ، قيم صحيحة موجبة لـ م وزوجي ن ، على سبيل المثال ، 2 1 4 = 2 1 4 ، (5 ، 1) 3 2 = (5 ، 1) 3 ، 0 7 18 = 0 7 18.

لأي عدد صحيح موجب ، سالب م وحتى ن ، على سبيل المثال ، 2 - 1 4 = 2 - 1 4 ، (5 ، 1) - 3 2 = (5 ، 1) - 3 ،.

في حالة القيم الأخرى ، لا يتم تحديد الدرجة ذات الأس الكسري. أمثلة على هذه القوى: - 2 11 6 ، - 2 1 2 3 2 ، 0 - 2 5.

الآن دعونا نشرح أهمية الشرط المذكور أعلاه: لماذا استبدال كسر بأسس قابل للاختزال لكسر بآخر غير قابل للاختزال. إذا لم نقم بذلك ، لكانت مثل هذه المواقف ، على سبيل المثال ، 6/10 = 3/5. ثم (- 1) 6 10 = - 1 3 5 يجب أن يكون صحيحًا ، لكن - 1 6 10 = (- 1) 6 10 = 1 10 = 1 10 10 = 1 ، و (- 1) 3 5 = (- 1) 3 5 = - 1 5 = - 5 5 = - 1.

يعد تعريف الدرجة ذات الأس الكسري ، الذي قدمناه أولاً ، أكثر ملاءمة للتطبيق عمليًا من الثاني ، لذلك سنستمر في استخدامه.

التعريف 6

وبالتالي ، فإن قوة الرقم الموجب a مع الأس الكسري m / n تُعرَّف على أنها 0 m n = 0 m n = 0. في حالة سلبية أالتدوين a m n لا معنى له. درجة الصفر للأسس الكسرية الموجبة م / نيتم تعريفه على أنه 0 m n = 0 m n = 0 ، بالنسبة للأسس الكسرية السالبة ، لا نحدد درجة الصفر.

في الاستنتاجات ، نلاحظ أنه يمكن كتابة أي مؤشر كسري كما في النموذج عدد كسري، وعلى شكل كسر عشري: 5 1، 7، 3 2 5 - 2 3 7.

عند الحساب ، من الأفضل استبدال الأس جزء مشتركثم استخدم تعريف الدرجة ذات الأس الكسري. للأمثلة أعلاه ، نحصل على:

5 1 , 7 = 5 17 10 = 5 7 10 3 2 5 - 2 3 7 = 3 2 5 - 17 7 = 3 2 5 - 17 7

ما هي الدرجات ذات الأس غير المنطقي والحقيقي

ما هي الأعداد الحقيقية؟ وهي تشمل كلا من العقلانية و أرقام غير منطقية. لذلك ، من أجل فهم الدرجة التي بها مؤشر حقيقي، نحتاج إلى تحديد الدرجات بأسس منطقية وغير منطقية. حول العقلانية التي ذكرناها بالفعل أعلاه. دعونا نتعامل مع المؤشرات غير المنطقية خطوة بخطوة.

مثال 5

لنفترض أن لدينا رقمًا غير نسبي a وتسلسل تقريبه العشري a 0 ، a 1 ، a 2 ،. . . . على سبيل المثال ، لنأخذ القيمة a = 1 ، 67175331. . . ، ومن بعد

أ 0 = 1 ، 6 ، أ 1 = 1 ، 67 ، أ 2 = 1 ، 671 ،. . . ، أ 0 = 1 ، 67 ، أ 1 = 1 ، 6717 ، أ 2 = 1 ، 671753 ،. . .

يمكننا ربط متواليات التقريبات بسلسلة من القوى a 0 ، a 1 ، a 2 ،. . . . إذا تذكرنا ما تحدثنا عنه سابقًا حول زيادة الأرقام إلى درجة عقلانية، ثم يمكننا حساب قيم هذه القوى بأنفسنا.

خذ هذا المثال أ = 3، ثم أ 0 = 3 1 ، 67 ، أ 1 = 3 1 ، 6717 ، أ 2 = 3 1 ، 671753 ،. . . إلخ.

يمكن اختزال تسلسل الدرجات إلى رقم ، والذي سيكون قيمة الدرجة مع الأساس أ والأس غير المنطقي أ. نتيجة لذلك: درجة ذات أس غير منطقي على شكل 3 1 ، 67175331. . يمكن اختزالها إلى الرقم 6 ، 27.

التعريف 7

تُكتب قوة العدد الموجب a الذي يحتوي على الأس غير المنطقي a على هيئة a. قيمته هي حد التسلسل a 0 ، a 1 ، a 2 ،. . . ، حيث أ 0 ، أ 1 ، أ 2 ،. . . هي تقريب عشري متتالي للرقم غير النسبي أ. يمكن أيضًا تحديد درجة بقاعدة صفرية للأسس غير المنطقية الموجبة ، بينما 0 أ \ u003d 0 لذا ، 0 6 \ u003d 0 ، 0 21 3 3 \ u003d 0. وبالنسبة للأرقام السالبة ، لا يمكن القيام بذلك ، لأنه ، على سبيل المثال ، القيمة 0-5 ، 0-2 π غير محددة. رفعت الوحدة إلى أي درجة غير عقلانية، يبقى واحدًا ، على سبيل المثال ، و 1 2 ، 1 5 في 2 و 1 - 5 سيساوي 1.

إذا لاحظت وجود خطأ في النص ، فيرجى تمييزه والضغط على Ctrl + Enter

صيغ القوةتستخدم في عملية الاختزال والتبسيط تعابير معقدة، في حل المعادلات وعدم المساواة.

رقم جهو ن- القوة رقم أمتى:

عمليات بالدرجات.

1. بضرب الدرجات بنفس القاعدة ، تضيف مؤشراتها ما يلي:

صباحاأ ن = أ م + ن.

2. عند تقسيم الدرجات على نفس القاعدة ، تُطرح مؤشراتها:

3. درجة حاصل الضرب 2 أو أكثرالعوامل تساوي ناتج قوى هذه العوامل:

(أبج ...) ن = أ ن ب ن ج ن ...

4. درجة الكسر تساوي نسبة درجات المقسوم والمقسوم عليه:

(أ / ب) ن = أ ن / ب ن.

5. عند رفع قوة إلى قوة ، يتم مضاعفة الأس:

(ص) ن = أ م ن.

كل صيغة أعلاه صحيحة في الاتجاهات من اليسار إلى اليمين والعكس صحيح.

فمثلا. (2 3 5/15) ² = 2 ² 3 ² 5 ² / 15 ² = 900/225 = 4.

عمليات مع الجذور.

1. جذر ناتج عدة عوامل يساوي حاصل ضرب جذور هذه العوامل:

2. جذر النسبة يساوي نسبة المقسوم والمقسوم عليه من الجذور:

3. عند رفع جذر إلى قوة ، يكفي رفع رقم الجذر إلى هذه القوة:

4. إذا قمنا بزيادة درجة الجذر فيها نمرة واحدة وفي نفس الوقت ارفع إلى نالقوة هي رقم جذر ، فلن تتغير قيمة الجذر:

5. إذا خفضنا درجة الجذر فيها نالجذر في نفس الوقت نالدرجة الثالثة من الرقم الجذري ، فلن تتغير قيمة الجذر:

الدرجة مع الأس السالب.يتم تعريف درجة بعض الأرقام ذات الأس غير الموجب (عدد صحيح) على أنها واحدة مقسومة على درجة نفس الرقم مع أس يساوي قيمه مطلقهمؤشر غير إيجابي:

معادلة صباحا: أ ن = أ م - نيمكن استخدامها ليس فقط من أجل م> ن، ولكن أيضًا في م< ن.

فمثلا. أ4: أ 7 = أ 4 - 7 = أ -3.

للصيغة صباحا: أ ن = أ م - نأصبح عادلا في م = ن، فأنت بحاجة إلى وجود درجة الصفر.

الدرجة مع الأس صفر.قوة أي عدد غير صفري أس صفر يساوي واحدًا.

فمثلا. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

درجة ذات أس كسري.لرفع رقم حقيقي أإلى حد ما م / ن، تحتاج إلى استخراج الجذر ندرجة ال معشر قوة هذا الرقم أ.

كما تعلم ، لا يوجد في الرياضيات أرقام موجبة فحسب ، بل أرقام سلبية أيضًا. إذا بدأ التعرف على الدرجات الموجبة بتحديد مساحة المربع ، فكل شيء أكثر تعقيدًا إلى حد ما مع النقاط السلبية.

يجب أن يكون معروفًا:

1. رفع رقم ل درجة طبيعيةيُطلق على عملية ضرب الرقم (سيعتبر مفهوم الرقم والشكل في المقالة معادلاً) في حد ذاته بنفس المقدار مثل الأس (في ما يلي سنستخدم مؤشر الكلمة بالتوازي وببساطة). 6 ^ 3 = 6 * 6 * 6 = 36 * 6 = 216. في نظرة عامةيبدو كالتالي: م ^ ن = م * م * م * ... * م (ن مرات).
2. يجب أن يؤخذ في الاعتبار أنه عندما يتم رفع رقم سالب إلى قوة طبيعية ، فإنه يصبح موجبًا إذا كان الأس زوجيًا.
3. رفع رقم إلى أس يساوي 0 يعطي وحدة ، بشرط ألا يساوي صفرًا. يعتبر الصفر مرفوعًا للقوة صفرًا غير معرف. 17 ^ 0 = 1.
4. يُطلق على استخراج جذر درجة معينة من رقم العثور على رقم ، عند رفعه إلى مؤشر مناسب ، سيعطي القيمة المطلوبة. إذن ، الجذر التكعيبي لـ 125 هو 5 لأن 5 ^ 3 = 125.
5. إذا كنت تريد رفع رقم إلى كسر درجة ايجابية، إذًا من الضروري رفع الرقم إلى المقام واستخراج جذر البسط منه. 6 ^ 5/7 = الجذر السابع للرقم 6 * 6 * 6 * 6 * 6.
6. إذا كنت تريد رفع رقم إلى أس سالب ، فأنت بحاجة إلى إيجاد مقلوب هذا. س ^ -3 = 1 / س ^ 3. 8 ^ -4 = 1/8 ^ 4 = 1/8 * 8 * 8 * 8 = 1/4096.

رفع رقم إلى معامل قدرة سالب من صفر إلى واحد

أولا ، يجب أن نتذكر ما هي الوحدة. هذه هي المسافة على خط الإحداثيات من القيمة التي اخترناها إلى الأصل (صفر خط الإحداثيات). بحكم التعريف ، لا يمكن أبدًا أن تكون سلبية.

قيمة أكبر من الصفر

مع وجود قيمة رقم في النطاق من صفر إلى واحد ، يعطي المؤشر السالب زيادة في الرقم نفسه. يحدث هذا لأن المقام يتناقص ويبقى موجبًا.

لنلقِ نظرة على الأمثلة:

• 1/7^-3 = 1/(1/7^3) = 1/(1/343) = 343;
• 0,2^-5 = 1/0,2^5 = 1/0,2*0,2*0,2*0,2*0,2 = 1/0,00032 = 3125.

علاوة على ذلك ، كلما زادت وحدة المؤشر ، زاد نشاط الرقم. نظرًا لأن المقام يميل إلى الصفر ، فإن الكسر نفسه يميل إلى زائد اللانهاية.

القيمة أقل من الصفر

الآن دعونا نلقي نظرة على كيفية البناء قوة سلبيةإذا كان الرقم أقل من صفر. المبدأ هو نفسه كما في الجزء السابق ، لكن علامة الأس مهمة هنا.

لنلق نظرة على الأمثلة مرة أخرى:

• -19 / 21^-4 = 1/(-19/21)^4 = 1/(-19)^4/21^4 = 21^4/(-19)^4 = 21*21*21*21/(-19)*(-19)*(-19)*(-19) = 194481/130321 = 1,4923228;
• -29/40^-5 = 1/(-29/40)^5 = 1/(-29)^5/40^5 = 40^5/(-29)^5 = 40*40*40*40*40/(-29)*(-29)*(-29)*(-29)*(-29) = 102400000/(-20511149) = -4,9924.

في هذه القضية، نحن نرى ذلك الوحدة تستمر في النمو، لكن العلامة تعتمد على ما إذا كان الأس زوجيًا أم فرديًا.

وتجدر الإشارة إلى أننا إذا قمنا ببناء وحدة ، فستظل دائمًا على حالها. إذا كنت بحاجة إلى رفع رقم ناقص واحد ، فعندئذ متى حتى الأسدرجة ، ستتحول إلى درجة واحدة ، مع درجة فردية ستبقى ناقصًا واحدًا.

رفع إلى قوة عدد صحيح سالب إذا كان المقياس أكبر من واحد

للأرقام التي يكون معاملها أكبر من واحد ،لها خصائصها الخاصة في العمل. بادئ ذي بدء ، تحتاج إلى تحويل جزء الكسر بالكامل إلى البسط ، أي التحويل إلى جزء غير لائق. اذا كان لدينا عدد عشري، ثم يجب تحويلها إلى الوضع الطبيعي. هكذا يتم فعل هذا:

• 6 أعداد صحيحة 7/17 = 109/17 ؛
• 2,54 = 254/100.

فكر الآن في كيفية رفع رقم إلى أس سالب في ظل هذه الظروف. بالفعل مما سبق ، يمكننا أن نفترض ما يجب أن نتوقعه من نتيجة الحسابات. نظرًا لأن الكسر المزدوج ينعكس أثناء التبسيط ، فإن معامل الرقم سينخفض ​​بشكل أسرع ، وكلما زاد معامل المؤشر.

أولاً ، ضع في اعتبارك الوضع حيث الرقم المعطى موجب.

بادئ ذي بدء ، يتضح أن النتيجة النهائية ستكون فوق الصفر، لأن قسمة نقطتين إيجابيتين تعطي دائمًا موجبًا. مرة أخرى ، دعنا نلقي نظرة على أمثلة حول كيفية القيام بذلك:

• 6 عدد صحيح 1/20 إلى سالب الخامس = 121/20 ^ -5 = 1 / (121/20) ^ 5 = 1/121 ^ 5/20 ^ 5 = 20 ^ 5/121 ^ 5 = 3200000/25937424601 = 0 .0001234 ؛
• 2,25^-6 = (225/100)^-6 = 1/(225/100)^6 = 1/225^6/100^6 = 100^6/225^6 = 100*100*100*100*100*100/225*225*225*225*225*225 = 0,007413.

كما ترى ، لا تسبب الإجراءات أي صعوبات معينة ، واتضح أن جميع افتراضاتنا الأولية صحيحة.

ننتقل الآن إلى حالة الرقم السالب.

بادئ ذي بدء ، يمكننا أن نفترض أنه إذا كان المؤشر متساويًا ، فستكون النتيجة إيجابية ، وإذا كان المؤشر فرديًا ، فستكون النتيجة سلبية. سيتم اعتبار جميع حساباتنا السابقة في هذا الجزء صالحة الآن. دعنا نلقي نظرة على الأمثلة مرة أخرى:

• -3 عدد صحيح 1/2 أس سدس ناقص = (-7/2) ^ - 6 = 1 / (- 7/2) ^ 6 = 1 / (- 7) ^ 6/2 ^ 6 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 / (- 7) * (- 7) * (- 7) * (- 7) * (- 7) * (- 7) = 64/117649 = 0.000544 ؛
• -1,25^-5 = (-125/100)^-5 = 1/(-125/100)^5 = 1/(-125)^5/100^5 = 100^5/(-125)^5 = 100*100*100*100*100/(-125)*(-125)*(-125)*(-125)*(-125) = 10000000000/(-30517578125) = -0.32768.

وهكذا ، تبين أن كل تفكيرنا صحيح.

رفع في حالة الأس الكسري السالب

هنا عليك أن تتذكر أن مثل هذا الانتصاب موجود استخلاص جذر درجة المقام من الرقم في درجة البسط. تظل كل أسبابنا السابقة صحيحة هذه المرة أيضًا. لنوضح أفعالنا بمثال:

• 4 ^ -3 / 2 = 1/4 ^ 3/2 = 1 / راد (4 ^ 3) = 1 / راد 64 = 1/8.

في هذه الحالة ، عليك أن تضع في اعتبارك أن استخراج الجذور مستوى عالممكن فقط في شكل محدد بشكل خاص ، وعلى الأرجح ، للتخلص من علامة الجذر (الجذر التربيعي ، الجذر التكعيبي ، وما إلى ذلك) عندما حسابات دقيقةلن تنجح.

ومع ذلك ، بعد دراسة الفصول السابقة بالتفصيل ، لا ينبغي للمرء أن يتوقع صعوبات في حسابات المدرسة.

وتجدر الإشارة إلى أن وصف هذا الفصل يشمل أيضًا الانتصاب مع الأس غير العقلاني عمدا، على سبيل المثال ، إذا كان المؤشر ناقص PI. يجب أن تتصرف وفقًا للمبادئ الموضحة أعلاه. ومع ذلك ، تصبح الحسابات في مثل هذه الحالات معقدة للغاية بحيث لا يمكن إلا لأجهزة الكمبيوتر الإلكترونية القوية القيام بذلك.

استنتاج

العمل الذي درسناه هي واحدة من أكثر أصعب المهامفي الرياضيات(خاصة في حالة القيمة المنطقية الكسرية أو غير المنطقية). ومع ذلك ، بعد دراسة هذه التعليمات بالتفصيل وخطوة بخطوة ، يمكنك معرفة كيفية القيام بذلك بشكل كامل تلقائيًا دون أي مشاكل.

مستوى اول

الدرجة وخصائصها. دليل شامل (2019)

لماذا الدرجات العلمية مطلوبة؟ أين تريدهم؟ لماذا تحتاج لقضاء الوقت في دراستها؟

لتتعلم كل شيء عن الدرجات العلمية ، وما الغرض منها ، وكيفية استخدام معرفتك فيها الحياة اليوميةاقرأ هذه المقالة.

وبالطبع ، فإن معرفة الدرجات العلمية سيقربك من النجاح اجتياز OGEأو امتحان الدولة الموحد ودخول جامعة أحلامك.

هيا بنا هيا بنا!)

ملاحظة مهمة! إذا رأيت هراءًا بدلاً من الصيغ ، فقم بمسح ذاكرة التخزين المؤقت. للقيام بذلك ، اضغط على CTRL + F5 (في نظام Windows) أو Cmd + R (في أنظمة تشغيل Mac).

مستوى اول

الأُس هو نفسه عملية حسابيةمثل الجمع والطرح والضرب والقسمة.

الآن سأشرح كل شيء لغة بشريةجداً أمثلة بسيطة. كن حذرا. الأمثلة أولية ، لكنها تشرح أشياء مهمة.

لنبدأ بالجمع.

لا يوجد شيء يمكن شرحه هنا. أنت تعرف كل شيء بالفعل: هناك ثمانية منا. تحتوي كل زجاجة على زجاجتين من الكولا. كم كولا؟ هذا صحيح - 16 زجاجة.

الآن الضرب.

يمكن كتابة نفس المثال مع الكولا بطريقة مختلفة:. علماء الرياضيات أناس ماكرون وكسولون. يلاحظون أولاً بعض الأنماط ، ثم يتوصلون إلى طريقة "لعدها" بشكل أسرع. في حالتنا ، لاحظوا أن كل شخص من الأشخاص الثمانية لديه نفس عدد زجاجات الكولا وابتكروا تقنية تسمى الضرب. موافق ، يعتبر أسهل وأسرع من.

لذلك ، للعد بشكل أسرع وأسهل وبدون أخطاء ، ما عليك سوى أن تتذكر جدول الضرب. بالطبع ، يمكنك أن تفعل كل شيء بشكل أبطأ وأصعب ومع وجود أخطاء! ولكن…

هنا جدول الضرب. يكرر.

وآخر أجمل:

وما هي حيل العد الصعبة الأخرى التي توصل إليها علماء الرياضيات الكسالى؟ بشكل صحيح - رفع رقم إلى قوة.

رفع رقم إلى قوة

إذا كنت بحاجة إلى ضرب رقم في نفسه خمس مرات ، فإن علماء الرياضيات يقولون إنك تحتاج إلى رفع هذا الرقم إلى الأس الخامس. فمثلا، . يتذكر علماء الرياضيات أن اثنين أس الخامس هو. وهم يحلون مثل هذه المشاكل في أذهانهم - بشكل أسرع وأسهل وبدون أخطاء.

للقيام بذلك ، ما عليك سوى تذكر ما تم تمييزه بالألوان في جدول قوى الأعداد. صدقني ، ستجعل حياتك أسهل بكثير.

بالمناسبة ، لماذا تسمى الدرجة الثانية ميدانالأرقام ، والثالث مكعب؟ ماذا يعني ذلك؟ جدا سؤال جيد. الآن سيكون لديك كل من المربعات والمكعبات.

مثال من الحياة الواقعية # 1

لنبدأ بمربع أو القوة الثانية لعدد.

تخيل بركة مربعة قياسها متر في متر. المجمع في الفناء الخلفي الخاص بك. الجو حار وأريد السباحة حقًا. لكن ... بركة بلا قاع! من الضروري تغطية قاع البركة بالبلاط. كم عدد البلاط الذي تحتاجه؟ لتحديد ذلك ، تحتاج إلى معرفة مساحة قاع البركة.

يمكنك ببساطة العد عن طريق نقر إصبعك على أن قاع البركة يتكون من مكعبات مترًا في المتر. إذا كان البلاط الخاص بك مترًا بعد متر ، فستحتاج إلى قطع. إنه سهل ... لكن أين رأيت مثل هذا البلاط؟ يفضل أن تكون البلاطة سم × سم ، وبعد ذلك سوف تتعذب من خلال "العد بإصبعك". ثم عليك أن تتكاثر. لذلك ، على جانب واحد من قاع البركة ، سنقوم بتركيب البلاط (القطع) وعلى الجانب الآخر أيضًا ، البلاط. بالضرب ، تحصل على مربعات ().

هل لاحظت أننا ضربنا نفس العدد في نفسه لتحديد مساحة قاع البركة؟ ماذا يعني ذلك؟ بما أن العدد نفسه مضروبًا ، فيمكننا استخدام تقنية الأُس. (بالطبع ، عندما يكون لديك رقمان فقط ، فما زلت بحاجة إلى ضربهما أو رفعهما إلى قوة. ولكن إذا كان لديك الكثير منهم ، فإن الارتقاء إلى قوة يكون أسهل بكثير ، كما أن هناك أخطاء أقل في الحسابات بالنسبة للامتحان هذا مهم جدا).
إذن ، ثلاثون درجة إلى الدرجة الثانية ستكون (). أو يمكنك القول أن ثلاثين تربيع ستكون. بعبارة أخرى ، يمكن دائمًا تمثيل القوة الثانية لرقم ما على شكل مربع. والعكس صحيح ، إذا رأيت مربعًا ، فهو دائمًا القوة الثانية لبعض الأرقام. المربع هو صورة للقوة الثانية لعدد.

مثال من الحياة الواقعية # 2

هذه مهمة لك ، احسب عدد المربعات الموجودة على رقعة الشطرنج باستخدام مربع الرقم ... على جانب واحد من الخلايا وعلى الجانب الآخر أيضًا. لحساب عددهم ، عليك أن تضرب ثمانية في ثمانية ، أو ... إذا لاحظت أن رقعة الشطرنج هي مربع به جانب ، فيمكنك تربيع ثمانية. احصل على الخلايا. () لذا؟

مثال من الحياة الواقعية # 3

الآن المكعب أو القوة الثالثة لعدد. نفس البركة. لكنك الآن بحاجة إلى معرفة كمية المياه التي يجب سكبها في هذا البركة. تحتاج إلى حساب الحجم. (بالمناسبة ، الأحجام والسوائل تقاس بـ متر مكعب. بشكل غير متوقع ، أليس كذلك؟) ارسم حوضًا: قاع يبلغ حجمه مترًا واحدًا وعمقه مترًا واحدًا وحاول حساب عدد المكعبات مترًا بمتر في المجموع التي ستدخل إلى حمام السباحة الخاص بك.

فقط أشر بإصبعك وعد! واحد ، اثنان ، ثلاثة ، أربعة ... اثنان وعشرون ، ثلاثة وعشرون ... ما مقدار ما حدث؟ لم تضيع؟ هل من الصعب العد بإصبعك؟ لهذا السبب! خذ مثالا من علماء الرياضيات. إنهم كسالى ، لذلك لاحظوا أنه من أجل حساب حجم البركة ، تحتاج إلى ضرب طولها وعرضها وارتفاعها ببعضها البعض. في حالتنا ، سيكون حجم البركة مساويًا للمكعبات ... أسهل ، أليس كذلك؟

تخيل الآن كيف أن علماء الرياضيات كسالى وماكرون إذا جعلوا ذلك سهلاً للغاية. اختزل كل شيء لعمل واحد. لاحظوا أن الطول والعرض والارتفاع متساويون وأن نفس العدد يضرب في نفسه ... وماذا يعني هذا؟ هذا يعني أنه يمكنك استخدام الدرجة. إذن ، ما عدته بإصبع مرة ، يفعلونه في إجراء واحد: ثلاثة في مكعب متساوية. إنه مكتوب على هذا النحو:

يبقى فقط احفظ جدول الدرجات. ما لم تكن ، بالطبع ، كسولًا وماكرًا مثل علماء الرياضيات. إذا كنت ترغب في العمل الجاد وارتكاب الأخطاء ، يمكنك الاستمرار في العد بإصبعك.

حسنًا ، من أجل إقناعك أخيرًا أن الدرجات اخترعها المتسكعون والأشخاص الماكرة لحل مشكلتهم مشاكل الحياة، وليس لخلق مشاكل لك ، إليك بعض الأمثلة من الحياة.

مثال من الحياة الواقعية # 4

لديك مليون روبل. في بداية كل عام ، تكسب مليونًا آخر مقابل كل مليون. أي أن كل مليون في بداية كل عام يتضاعف. كم من المال سيكون لديك في السنوات؟ إذا كنت جالسًا الآن و "تعد بإصبعك" ، فأنت شخص مجتهد جدًا و .. غبي. لكن على الأرجح ستقدم إجابة في غضون بضع ثوانٍ ، لأنك ذكي! إذن ، في السنة الأولى - مرتين مرتين ... في السنة الثانية - ما حدث ، مرتين أخريين ، في السنة الثالثة ... توقف! لقد لاحظت أن الرقم مضروب في نفسه مرة واحدة. إذن اثنان أس الخامس يساوي مليون! تخيل الآن أن لديك منافسة والشخص الذي يحسب أسرع سيحصل على هذه الملايين ... هل يستحق تذكر درجات الأرقام ، ما رأيك؟

مثال من الحياة الواقعية # 5

لديك مليون. في بداية كل عام ، تكسب اثنين آخرين مقابل كل مليون. إنه شيء رائع ، أليس كذلك؟ كل مليون يتضاعف ثلاث مرات. كم من المال سيكون لديك في السنة؟ لنعد. السنة الأولى - اضرب في ، ثم النتيجة في أخرى ... إنها ممل بالفعل ، لأنك فهمت بالفعل كل شيء: ثلاثة مضروبة في نفسها مرات. إذن القوة الرابعة هي مليون. عليك فقط أن تتذكر أن ثلاثة مرفوعًا للقوة الرابعة يساوي أو.

أنت تعلم الآن أنه من خلال رفع رقم إلى قوة ، ستجعل حياتك أسهل كثيرًا. دعنا نلقي نظرة إضافية على ما يمكنك فعله بالدرجات وما تحتاج إلى معرفته عنها.

المصطلحات والمفاهيم ... حتى لا يتم الخلط

لذا ، أولاً ، دعنا نحدد المفاهيم. ما رأيك، ما هو الأس؟ إنه بسيط للغاية - هذا هو الرقم "في أعلى" قوة الرقم. ليس علميًا ولكنه واضح وسهل التذكر ...

حسنًا ، في نفس الوقت ، ماذا هذه القاعدة من الدرجة؟ أبسط من ذلك هو الرقم الموجود في الأسفل ، في القاعدة.

إليك صورة لتتأكد منها.

حسنًا ، بشكل عام ، من أجل التعميم والتذكر بشكل أفضل ... تُقرأ الدرجة التي تحتوي على أساس "" والمؤشر "" على أنها "في الدرجة" وتتم كتابتها على النحو التالي:

قوة عدد ذو أس طبيعي

ربما خمنت بالفعل: لأن الأس عدد طبيعي. نعم ، ولكن ما هو عدد طبيعي؟ ابتدائي! الأرقام الطبيعية هي تلك التي تُستخدم في العد عند سرد العناصر: واحد ، اثنان ، ثلاثة ... عندما نحسب العناصر ، لا نقول: "ناقص خمسة" ، "ناقص ستة" ، "ناقص سبعة". لا نقول "ثلث" أو "صفر فاصلة خمسة أعشار" أيضًا. هذه ليست أرقام طبيعية. ما رأيك في هذه الأرقام؟

تشير الأرقام مثل "ناقص خمسة" و "ناقص ستة" و "ناقص سبعة" الأعداد الكلية.بشكل عام ، تتضمن الأعداد الصحيحة جميع الأعداد الطبيعية والأرقام المقابلة للأرقام الطبيعية (أي مأخوذة بعلامة ناقص) ورقم. من السهل فهم الصفر - يحدث هذا عندما لا يكون هناك شيء. وماذا تعني الأرقام السالبة ("ناقص")؟ لكن تم اختراعها في المقام الأول للدلالة على الديون: إذا كان لديك رصيد على هاتفك بالروبل ، فهذا يعني أنك مدين للمشغل بالروبل.

جميع الكسور هي أعداد منطقية. كيف جاءوا ، في رأيك؟ بسيط جدا. منذ عدة آلاف من السنين ، اكتشف أسلافنا أنه ليس لديهم أعداد طبيعية كافية لقياس الطول والوزن والمساحة وما إلى ذلك. وقد توصلوا إلى أرقام نسبية... مثيرة للاهتمام ، أليس كذلك؟

هناك أيضًا أعداد غير منطقية. ما هي هذه الأرقام؟ باختصار ، كسر عشري لا نهائي. على سبيل المثال ، إذا قسمت محيط الدائرة على قطرها ، فستحصل على رقم غير نسبي.

ملخص:

دعنا نحدد مفهوم الدرجة ، الأس هو عدد طبيعي (أي عدد صحيح وموجب).

1. أي عدد للقوة الأولى يساوي نفسه:
2. لتربيع رقم هو ضربه في نفسه:
3. لتكعيب رقم هو ضربه بنفسه ثلاث مرات:

تعريف.لرفع رقم إلى قوة طبيعية هو ضرب الرقم في نفسه مرات:
.

خصائص الدرجة

من أين أتت هذه الخصائص؟ سأريك الآن.

دعونا نرى ما هو و ?

حسب التعريف:

كم عدد المضاعفات هناك في المجموع؟

الأمر بسيط للغاية: أضفنا العوامل إلى العوامل ، والنتيجة هي العوامل.

لكن بحكم التعريف ، هذه هي درجة الرقم مع الأس ، أي: ، التي كان مطلوبًا إثباتها.

مثال: تبسيط التعبير.

المحلول:

مثال:تبسيط التعبير.

المحلول:من المهم أن نلاحظ ذلك في حكمنا بالضرورةلا بد وأن نفس الأسباب!
لذلك ، نجمع الدرجات مع القاعدة ، لكننا نبقى عاملاً منفصلاً:

فقط لمنتجات القوى!

تحت أي ظرف من الظروف لا يجب أن تكتب ذلك.

2. هذا هو - القوة رقم

تمامًا كما هو الحال مع الخاصية السابقة ، دعنا ننتقل إلى تعريف الدرجة:

اتضح أن التعبير يضرب في نفسه مرة واحدة ، أي وفقًا للتعريف ، هذه هي القوة ال رقم:

في الواقع ، يمكن أن يسمى هذا "تصحيح المؤشر". لكن لا يمكنك القيام بذلك إجمالاً:

لنتذكر معادلات الضرب المختصر: كم مرة أردنا أن نكتب؟

لكن هذا ليس صحيحًا حقًا.

درجة مع قاعدة سلبية

حتى هذه النقطة ، ناقشنا فقط ما يجب أن يكون عليه الأس.

لكن ماذا يجب أن يكون الأساس؟

بدرجات من مؤشر طبيعيقد يكون الأساس أي رقم. في الواقع ، يمكننا ضرب أي رقم في بعضنا البعض ، سواء كانت موجبة أو سالبة أو زوجية.

دعونا نفكر في أي علامات ("" أو "") سيكون لها درجات من الأرقام الموجبة والسالبة؟

على سبيل المثال ، هل سيكون الرقم موجبًا أم سالبًا؟ لكن؟ ؟ في الحالة الأولى ، يكون كل شيء واضحًا: بغض النظر عن عدد الأرقام الموجبة التي نضربها مع بعضنا البعض ، ستكون النتيجة موجبة.

لكن السلبية أكثر إثارة للاهتمام. بعد كل شيء ، نتذكر قاعدة بسيطة من الصف السادس: "سالب في سالب يعطي زائد". هذا هو ، أو. لكن إذا قمنا بالضرب في ، يتبين لنا ذلك.

حدد لنفسك العلامة التي ستحملها التعبيرات التالية:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

هل تستطيع فعلها؟

إليكم الإجابات: في الأمثلة الأربعة الأولى ، آمل أن يكون كل شيء واضحًا؟ نحن ببساطة ننظر إلى الأساس والأس ، ونطبق القاعدة المناسبة.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

في المثال 5) ، كل شيء ليس مخيفًا كما يبدو: لا يهم ما تساوي القاعدة - الدرجة متساوية ، مما يعني أن النتيجة ستكون دائمًا إيجابية.

حسنًا ، إلا عندما تكون القاعدة صفرًا. القاعدة ليست هي نفسها ، أليس كذلك؟ من الواضح لا ، منذ (لأن).

المثال 6) لم يعد بهذه البساطة!

6 أمثلة على الممارسة

تحليل الحل 6 أمثلة

إذا لم ننتبه إلى الدرجة الثامنة فماذا نرى هنا؟ دعونا نلقي نظرة على برنامج الصف السابع. لذلك تذكر؟ هذه هي صيغة الضرب المختصرة ، وهي فرق المربعات! نحن نحصل:

نحن ننظر بعناية إلى المقام. يشبه إلى حد كبير أحد عوامل البسط ، لكن ما الخطأ؟ ترتيب خاطئ للشروط. إذا تم تبديلها ، يمكن تطبيق القاعدة.

ولكن كيف نفعل ذلك؟ اتضح أنه سهل للغاية: الدرجة المتساوية للمقام تساعدنا هنا.

لقد غيرت المصطلحات أماكنها بطريقة سحرية. تنطبق هذه "الظاهرة" على أي تعبير بدرجة متساوية: يمكننا تغيير الإشارات الموجودة بين قوسين بحرية.

لكن من المهم أن تتذكر: كل العلامات تتغير في نفس الوقت!

دعنا نعود إلى المثال:

ومرة أخرى الصيغة:

كاملنقوم بتسمية الأعداد الطبيعية وأضدادها (أي مأخوذة بعلامة "") والرقم.

عدد صحيح موجب، ولا يختلف عن الطبيعي ، فكل شيء يبدو تمامًا كما في القسم السابق.

الآن دعونا نلقي نظرة على الحالات الجديدة. لنبدأ بمؤشر يساوي.

أي عدد أس صفر يساوي واحدًا:

كالعادة نسأل أنفسنا: لماذا هذا؟

ضع في اعتبارك بعض القوة مع القاعدة. خذ على سبيل المثال واضرب في:

لذلك ، قمنا بضرب الرقم في ، وحصلنا على نفس الرقم كما كان -. ما هو الرقم الذي يجب ضربه حتى لا يتغير شيء؟ هذا صحيح ، على. وسائل.

يمكننا أن نفعل الشيء نفسه مع رقم عشوائي:

لنكرر القاعدة:

أي عدد أس صفر يساوي واحدًا.

لكن هناك استثناءات للعديد من القواعد. وهنا يوجد أيضًا - هذا رقم (كأساس).

من ناحية ، يجب أن تكون مساوية لأي درجة - بغض النظر عن مقدار ضرب الصفر في نفسه ، لا يزال بإمكانك الحصول على صفر ، وهذا واضح. لكن من ناحية أخرى ، مثل أي رقم لدرجة الصفر ، يجب أن يكون متساويًا. إذن ما هي حقيقة هذا؟ قرر علماء الرياضيات عدم التورط ورفضوا رفع الصفر إلى الصفر. أي أنه لا يمكننا الآن القسمة على الصفر فحسب ، بل نرفعها أيضًا إلى أس صفر.

لنذهب أبعد من ذلك. بالإضافة إلى الأعداد والأرقام الطبيعية ، تتضمن الأعداد الصحيحة أرقامًا سالبة. لفهم ما هو الأس السالب ، دعنا نفعل كما في آخر مرة: اضرب بعض الأعداد العادية بنفس الدرجة السالبة:

من هنا ، من السهل بالفعل التعبير عن المطلوب:

الآن نوسع القاعدة الناتجة إلى درجة تعسفية:

لذلك ، دعونا نصيغ القاعدة:

الرقم إلى أس سالب هو معكوس نفس العدد إلى أس موجب. و لكن في نفس الوقت لا يمكن أن تكون القاعدة فارغة:(لأنه من المستحيل القسمة).

دعونا نلخص:

أنا لم يتم تعريف التعبير في حالة. اذا ثم.

ثانيًا. أي عدد أس صفر يساوي واحدًا:.

ثالثا. الرقم الذي لا يساوي صفرًا إلى أس سالب هو معكوس نفس العدد لقوة موجبة:.

مهام الحل المستقل:

حسنًا ، كالعادة ، أمثلة لحل مستقل:

تحليل المهام للحل المستقل:

أعلم ، أعلم ، الأرقام مخيفة ، لكن في الامتحان عليك أن تكون مستعدًا لأي شيء! حل هذه الأمثلة أو حلل حلها إذا لم تتمكن من حلها وستتعلم كيفية التعامل معها بسهولة في الامتحان!

دعنا نواصل توسيع نطاق الأعداد "المناسبة" كأسس.

فكر الآن أرقام نسبية.ما تسمى الأرقام المنطقية؟

الجواب: كل ما يمكن تمثيله في صورة كسر ، وأين وأعداد صحيحة ، علاوة على ذلك.

لفهم ما هو "درجة جزئية"لنفكر في كسر:

دعنا نرفع كلا طرفي المعادلة إلى قوة:

الآن تذكر القاعدة "درجة إلى درجة":

ما هو الرقم الذي يجب رفعه إلى قوة للحصول عليه؟

هذه الصيغة هي تعريف جذر الدرجة.

اسمحوا لي أن أذكرك: جذر القوة ال () لرقم () هو الرقم الذي ، عند رفعه إلى أس ، يكون مساويًا.

أي أن جذر الدرجة هو العملية العكسية للأس:.

لقد أتضح أن. من الواضح هذا حالة خاصةيمكن تمديدها:.

الآن أضف البسط: ما هو؟ من السهل الحصول على الإجابة من خلال قاعدة القوة إلى السلطة:

لكن هل يمكن أن تكون القاعدة أي رقم؟ بعد كل شيء ، لا يمكن استخراج الجذر من جميع الأرقام.

لا أحد!

تذكر القاعدة: أي عدد مرفوع لقوة زوجية هو رقم موجب. أي أنه من المستحيل استخلاص جذور الدرجة الزوجية من الأعداد السالبة!

وهذا يعني أنه لا يمكن رفع هذه الأرقام إلى درجة كسريةبمقام زوجي ، أي أن التعبير لا معنى له.

ماذا عن التعبير؟

ولكن هنا تنشأ مشكلة.

يمكن تمثيل الرقم ككسور أخرى ، على سبيل المثال ، أو.

واتضح أنه موجود ولكنه غير موجود ، وهذان مجرد سجلين مختلفين من نفس الرقم.

أو مثال آخر: مرة واحدة ، يمكنك كتابته. ولكن بمجرد أن نكتب المؤشر بطريقة مختلفة ، فإننا نواجه مشكلة مرة أخرى: (أي ، حصلنا على نتيجة مختلفة تمامًا!).

لتجنب مثل هذه المفارقات ، خذ بعين الاعتبار فقط الأس الأساسي الموجب مع الأس الكسري.

حتى إذا:

• - عدد طبيعي؛
• هو عدد صحيح

أمثلة:

تعتبر القوى ذات الأس المنطقي مفيدة جدًا في تحويل التعبيرات ذات الجذور ، على سبيل المثال:

5 أمثلة على الممارسة

تحليل 5 أمثلة للتدريب

حسنًا ، الآن - الأصعب. الآن سوف نحلل درجة مع الأس غير المنطقي.

جميع قواعد وخصائص الدرجات هنا هي نفسها تمامًا مثل الدرجات ذات الأس المنطقي ، باستثناء

في الواقع ، بحكم التعريف ، الأعداد غير المنطقية هي أرقام لا يمكن تمثيلها ككسر ، حيث تكون أعدادًا صحيحة (أي أن الأعداد غير المنطقية كلها أرقام حقيقية باستثناء الأرقام المنطقية).

عند دراسة الدرجات العلمية بمؤشر طبيعي وعدد صحيح ومنطقي ، في كل مرة نكوّن "صورة" معينة أو "تشبيه" أو وصف بمصطلحات مألوفة أكثر.

على سبيل المثال ، الأس الطبيعي هو عدد مضروب في نفسه عدة مرات ؛

...صفر قوة- هذا ، كما كان ، رقم مضروب في نفسه مرة واحدة ، أي أنه لم يبدأ بعد في التكاثر ، مما يعني أن الرقم نفسه لم يظهر حتى الآن - وبالتالي فإن النتيجة ليست سوى "رقم فارغ" معين وهو الرقم ؛

...الأس الصحيح السالب- يبدو الأمر كما لو حدثت "عملية عكسية" معينة ، أي أن الرقم لم يضرب بنفسه ، بل تم تقسيمه.

بالمناسبة ، غالبًا ما يستخدم العلم درجة ذات أس معقد ، أي أن الأس ليس حتى عددًا حقيقيًا.

لكن في المدرسة ، لا نفكر في مثل هذه الصعوبات ؛ ستتاح لك الفرصة لفهم هذه المفاهيم الجديدة في المعهد.

أين نحن متأكدون من أنك ستذهب! (إذا تعلمت كيفية حل مثل هذه الأمثلة :))

فمثلا:

تقرر لنفسك:

تحليل الحلول:

1. لنبدأ بالقاعدة المعتادة بالفعل لرفع درجة إلى درجة ما:

الآن انظر إلى النتيجة. هل يذكرك بأي شيء؟ نتذكر معادلة الضرب المختصر لفرق المربعات:

في هذه الحالة،

لقد أتضح أن:

إجابه: .

2. نعطي الكسور في الأس k نفس النوع: إما كلا الكسور العشرية أو كلاهما عادي. نحصل على سبيل المثال:

الجواب: 16

3. لا يوجد شيء خاص ، فنحن نطبق الخصائص المعتادة للدرجات:

مستوى متقدم

تعريف الدرجة

الدرجة هي تعبير عن النموذج: حيث:

• — قاعدة الدرجة
• - الأس.

الدرجة مع الأس الطبيعي (ن = 1 ، 2 ، 3 ، ...)

رفع رقم إلى القوة الطبيعية n يعني ضرب الرقم في نفسه مرات:

قوة مع الأس الصحيح (0 ، ± 1 ، ± 2 ، ...)

إذا كان الأس عدد صحيح موجبرقم:

الانتصاب إلى الصفر السلطة:

التعبير غير محدد ، لأنه ، من ناحية ، هو هذا إلى أي درجة ، ومن ناحية أخرى ، أي رقم إلى الدرجة ال هو هذا.

إذا كان الأس عدد صحيح سلبيرقم:

(لأنه من المستحيل القسمة).

مرة أخرى حول القيم الخالية: لم يتم تعريف التعبير في الحالة. اذا ثم.

أمثلة:

درجة مع الأس المنطقي

• - عدد طبيعي؛
• هو عدد صحيح

أمثلة:

خصائص الدرجة

لتسهيل حل المشكلات ، دعنا نحاول أن نفهم: من أين أتت هذه الخصائص؟ دعنا نثبتهم.

دعونا نرى: ما هو و؟

حسب التعريف:

لذلك ، على الجانب الأيمن من هذا التعبير ، يتم الحصول على المنتج التالي:

لكن بحكم التعريف ، هذه قوة لرقم له أس ، أي:

Q.E.D.

مثال : تبسيط التعبير.

المحلول : .

مثال : تبسيط التعبير.

المحلول : من المهم أن نلاحظ ذلك في حكمنا بالضرورةيجب أن يكون لها نفس الأساس. لذلك ، نجمع الدرجات مع القاعدة ، لكننا نبقى عاملاً منفصلاً:

اخر ملاحظة مهمة: هذه القاعدة - فقط لمنتجات القوى!

لا يجب أن أكتب ذلك تحت أي ظرف من الظروف.

تمامًا كما هو الحال مع الخاصية السابقة ، دعنا ننتقل إلى تعريف الدرجة:

دعنا نعيد ترتيبه هكذا:

اتضح أن التعبير يضرب في نفسه مرة واحدة ، أي وفقًا للتعريف ، هذه هي القوة رقم -th:

في الواقع ، يمكن أن يسمى هذا "تصحيح المؤشر". لكن لا يمكنك القيام بذلك إجمالاً:!

لنتذكر معادلات الضرب المختصر: كم مرة أردنا أن نكتب؟ لكن هذا ليس صحيحًا حقًا.

قوة ذات قاعدة سالبة.

حتى هذه النقطة ، ناقشنا فقط ما يجب أن يكون فهرسالدرجة العلمية. لكن ماذا يجب أن يكون الأساس؟ بدرجات من طبيعي مؤشر قد يكون الأساس أي رقم .

في الواقع ، يمكننا ضرب أي رقم في بعضنا البعض ، سواء كانت موجبة أو سالبة أو زوجية. دعونا نفكر في أي علامات ("" أو "") سيكون لها درجات من الأرقام الموجبة والسالبة؟

على سبيل المثال ، هل سيكون الرقم موجبًا أم سالبًا؟ لكن؟ ؟

في الحالة الأولى ، يكون كل شيء واضحًا: بغض النظر عن عدد الأرقام الموجبة التي نضربها مع بعضنا البعض ، ستكون النتيجة موجبة.

لكن السلبية أكثر إثارة للاهتمام. بعد كل شيء ، نتذكر قاعدة بسيطة من الصف السادس: "سالب في سالب يعطي زائد". هذا هو ، أو. لكن إذا ضربنا في () ، نحصل على -.

وهكذا إلى ما لا نهاية: مع كل عملية ضرب لاحقة ، ستتغير العلامة. من الممكن صياغة مثل هذا قواعد بسيطة:

1. حتىدرجة - رقم إيجابي.
2. رفع الرقم السالب إلى الفرديةدرجة - رقم نفي.
3. رقم موجب، عدد إيجابيإلى أي قوة هو رقم موجب.
4. صفر إلى أي قوة يساوي صفرًا.

حدد لنفسك العلامة التي ستحملها التعبيرات التالية:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

هل تستطيع فعلها؟ ها هي الإجابات:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

في الأمثلة الأربعة الأولى ، آمل أن يكون كل شيء واضحًا؟ نحن ببساطة ننظر إلى الأساس والأس ، ونطبق القاعدة المناسبة.

في المثال 5) ، كل شيء ليس مخيفًا كما يبدو: لا يهم ما تساوي القاعدة - الدرجة متساوية ، مما يعني أن النتيجة ستكون دائمًا إيجابية. حسنًا ، إلا عندما تكون القاعدة صفرًا. القاعدة ليست هي نفسها ، أليس كذلك؟ من الواضح لا ، منذ (لأن).

المثال 6) لم يعد بهذه البساطة. هنا تحتاج إلى معرفة أيهما أقل: أو؟ إذا تذكرت ذلك ، يتضح ذلك ، مما يعني أن القاعدة أقل من الصفر. أي أننا نطبق القاعدة 2: ستكون النتيجة سلبية.

ومرة أخرى نستخدم تعريف الدرجة:

كل شيء كالمعتاد - نكتب تعريف الدرجات ونقسمها إلى بعضها البعض ، ونقسمها إلى أزواج ونحصل على:

قبل التفكيك آخر حكمدعنا نلقي نظرة على بعض الأمثلة.

احسب قيم التعبيرات:

حلول :

إذا لم ننتبه إلى الدرجة الثامنة فماذا نرى هنا؟ دعونا نلقي نظرة على برنامج الصف السابع. لذلك تذكر؟ هذه هي صيغة الضرب المختصرة ، وهي فرق المربعات!

نحن نحصل:

نحن ننظر بعناية إلى المقام. يشبه إلى حد كبير أحد عوامل البسط ، لكن ما الخطأ؟ ترتيب خاطئ للشروط. إذا تم عكسها ، يمكن تطبيق القاعدة 3. ولكن كيف نفعل ذلك؟ اتضح أنه سهل للغاية: الدرجة المتساوية للمقام تساعدنا هنا.

إذا قمت بضربها ، فلن يتغير شيء ، أليس كذلك؟ لكن الآن يبدو كالتالي:

لقد غيرت المصطلحات أماكنها بطريقة سحرية. تنطبق هذه "الظاهرة" على أي تعبير بدرجة متساوية: يمكننا تغيير الإشارات الموجودة بين قوسين بحرية. لكن من المهم أن تتذكر: كل العلامات تتغير في نفس الوقت!لا يمكن استبداله بتغيير واحد فقط مرفوض لنا!

دعنا نعود إلى المثال:

ومرة أخرى الصيغة:

حتى الآن القاعدة الأخيرة:

كيف سنثبت ذلك؟ بالطبع كالعادة: لنوسع مفهوم الدرجة ونبسط:

حسنًا ، لنفتح الأقواس الآن. كم عدد الحروف سيكون هناك؟ مرات بالمضاعفات - كيف تبدو؟ هذا ليس سوى تعريف العملية عمليه الضرب: المجموع تبين أن هناك مضاعفات. أي ، بحكم التعريف ، قوة رقم مع أس:

مثال:

درجة مع الأس غير المنطقي

بالإضافة إلى المعلومات حول درجات المستوى المتوسط ​​، سنقوم بتحليل الدرجة بمؤشر غير منطقي. جميع قواعد وخصائص الدرجات هنا هي نفسها تمامًا بالنسبة لدرجة ذات أس عقلاني ، باستثناء - بعد كل شيء ، بحكم التعريف ، الأرقام غير المنطقية هي أرقام لا يمكن تمثيلها ككسر ، أين وأعداد صحيحة (أي ، الأرقام غير المنطقية كلها أرقام حقيقية باستثناء الأرقام المنطقية).

عند دراسة الدرجات العلمية بمؤشر طبيعي وعدد صحيح ومنطقي ، في كل مرة نكوّن "صورة" معينة أو "تشبيه" أو وصف بمصطلحات مألوفة أكثر. على سبيل المثال ، الأس الطبيعي هو عدد مضروب في نفسه عدة مرات ؛ الرقم إلى درجة الصفر هو ، كما كان ، عددًا مضروبًا في نفسه مرة واحدة ، أي أنه لم يبدأ بعد في التكاثر ، مما يعني أن الرقم نفسه لم يظهر حتى الآن - وبالتالي ، فإن النتيجة ليست سوى بعض "إعداد رقم" ، أي رقم ؛ درجة ذات مؤشر سلبي صحيح - يبدو الأمر كما لو حدثت "عملية عكسية" معينة ، أي أن الرقم لم يضرب بنفسه ، بل تم تقسيمه.

من الصعب للغاية تخيل درجة ذات أس غير منطقي (تمامًا كما يصعب تخيل مساحة رباعية الأبعاد). بدلاً من ذلك ، هو كائن رياضي بحت ابتكره علماء الرياضيات لتوسيع مفهوم الدرجة ليشمل مساحة الأرقام بأكملها.

بالمناسبة ، غالبًا ما يستخدم العلم درجة ذات أس معقد ، أي أن الأس ليس حتى عددًا حقيقيًا. لكن في المدرسة ، لا نفكر في مثل هذه الصعوبات ؛ ستتاح لك الفرصة لفهم هذه المفاهيم الجديدة في المعهد.

إذن ماذا سنفعل إذا رأينا مؤشر غير منطقيدرجات؟ نحن نبذل قصارى جهدنا للتخلص منه! :)

فمثلا:

تقرر لنفسك:

1)

2)

3)

الإجابات:

1. تذكر الفرق في صيغة المربعات. إجابه: .
2. نحضر الكسور إلى نفس الشكل: إما كلا الكسور العشرية أو كلاهما عادي. نحصل على سبيل المثال:.
3. لا يوجد شيء مميز ، فنحن نطبق الخصائص المعتادة للدرجات:

ملخص القسم والصيغة الأساسية

درجةيسمى تعبير عن النموذج: ، حيث:

الدرجة مع الأس الصحيح

الدرجة ، الأس هو عدد طبيعي (أي عدد صحيح وموجب).

درجة مع الأس المنطقي

الدرجة التي يكون مؤشرها أرقامًا سالبة وجزئية.

درجة مع الأس غير المنطقي

الأس الذي يكون أسه كسرًا عشريًا لا نهائيًا أو جذرًا.

خصائص الدرجة

ميزات الدرجات.

• رفع الرقم السالب إلى حتىدرجة - رقم إيجابي.
• رفع الرقم السالب إلى الفرديةدرجة - رقم نفي.
• الرقم الموجب لأي قوة هو رقم موجب.
• الصفر يساوي أي قوة.
• أي عدد أس صفر يساوي.

الآن لديك كلمة ...

كيف تحب المقال؟ اسمحوا لي أن أعرف في التعليقات أدناه إذا كنت تحب ذلك أم لا.

أخبرنا عن تجربتك مع خصائص الطاقة.

ربما لديك أسئلة. او اقتراحات.

اكتب في التعليقات.

ونتمنى لك التوفيق في امتحاناتك!