كيف يعمل التنعيم الأسي. طريقة التجانس الأسي
تستند مهام التنبؤ إلى التغيير في بعض البيانات بمرور الوقت (المبيعات ، والطلب ، والعرض ، والناتج المحلي الإجمالي ، وانبعاثات الكربون ، والسكان ...) وتوقع هذه التغييرات في المستقبل. لسوء الحظ ، يمكن تحديد الاتجاهات من قبل الكثيرين في البيانات التاريخية ظروف غير متوقعة. لذلك قد تختلف البيانات في المستقبل بشكل كبير عما حدث في الماضي. هذه هي مشكلة التنبؤ.
ومع ذلك ، هناك تقنيات (تسمى التجانس الأسي) لا تسمح فقط بمحاولة التنبؤ بالمستقبل ، ولكن أيضًا للتعبير عدديًا عن عدم اليقين في كل ما يتعلق بالتنبؤ. إن التعبير العددي عن عدم اليقين من خلال إنشاء فترات توقع لا يقدر بثمن حقًا ، ولكن غالبًا ما يتم تجاهله في عالم التنبؤ.
قم بتنزيل الملاحظة أو التنسيق ، أمثلة في التنسيق
بيانات أولية
لنفترض أنك من محبي Lord of the Rings وقمت بصنع وبيع السيوف لمدة ثلاث سنوات (الشكل 1). دعونا نعرض المبيعات بيانياً (الشكل 2). تضاعف الطلب في ثلاث سنوات - ربما هذا هو الاتجاه؟ سنعود إلى هذه الفكرة بعد قليل. هناك العديد من القمم والوديان على الرسم البياني ، والتي يمكن أن تكون علامة على الموسمية. على وجه الخصوص ، تكون القمم في الأشهر 12 و 24 و 36 ، والتي تصادف أن تكون ديسمبر. لكن ربما تكون مجرد مصادفة؟ هيا نكتشف.
تجانس أسي بسيط
طُرق تجانس الأسيتستند إلى التنبؤ بالمستقبل من بيانات من الماضي ، حيث تزن الملاحظات الأحدث أكثر من الملاحظات القديمة. هذا الترجيح ممكن بسبب الثوابت المتجانسة. الطريقة الأولى للتمهيد الأسي التي سنحاولها تسمى التجانس الأسي البسيط (PES). تجانس الأسي، SES). يستخدم ثابت تجانس واحد فقط.
يفترض التجانس الأسي البسيط أن السلاسل الزمنية لبياناتك تتكون من مكونين: مستوى (أو متوسط) وبعض الأخطاء حول هذه القيمة. لا يوجد اتجاه أو تقلبات موسمية - هناك فقط مستوى يتقلب حوله الطلب ، وتحيط به أخطاء صغيرة هنا وهناك. من خلال إعطاء الأفضلية لعمليات الرصد الأحدث ، قد تتسبب TEC في حدوث تحولات في هذا المستوى. بلغة الصيغ ،
الطلب في الوقت t = المستوى + خطأ عشوائيبالقرب من المستوى في الوقت t
فكيف تجد القيمة التقريبية للمستوى؟ إذا قبلنا أن جميع قيم الوقت لها نفس القيمة ، فعلينا ببساطة حساب متوسط قيمتها. ومع ذلك ، هذه فكرة سيئة. يجب إعطاء وزن أكبر للملاحظات الأخيرة.
لنقم بإنشاء بعض المستويات. احسب خط الأساس للسنة الأولى:
المستوى 0 = متوسط الطلب للسنة الأولى (الأشهر 1-12)
بالنسبة للطلب على السيف ، يكون 163. نستخدم المستوى 0 (163) كتوقع الطلب للشهر 1. الطلب في الشهر 1 هو 165 ، وهو 2 سيف أعلى المستوى 0. يجدر تحديث تقريب خط الأساس. معادلة تجانس أسية بسيطة:
المستوى 1 = المستوى 0 + نسبة مئوية قليلة × (الطلب 1 - المستوى 0)
المستوى 2 = المستوى 1 + نسبة مئوية قليلة × (الطلب 2 - المستوى 1)
إلخ. "نسبة قليلة" تسمى ثابت التجانس ، ويُرمز إليها بألفا. يمكن أن يكون أي رقم من 0 إلى 100٪ (0 إلى 1). سوف تتعلم كيفية اختيار قيمة ألفا لاحقًا. في الحالة العامةقيمة لنقاط زمنية مختلفة:
مستوى الفترة الحالية = مستوى الفترة السابقة +
alpha × (الطلب الفترة الحالية - مستوى الفترة السابقة)
الطلب المستقبلي يساوي المستوى المحسوب الأخير (الشكل 3). نظرًا لأنك لا تعرف ما هو alpha ، اضبط الخلية C2 على 0.5 لتبدأ بها. بعد بناء النموذج ، ابحث عن ألفا بحيث يكون مجموع مربعات الخطأ هو E2 (أو الانحراف المعياري- F2) كانت قليلة. للقيام بذلك ، قم بتشغيل الخيار إيجاد حل. للقيام بذلك ، انتقل من خلال القائمة بيانات –> إيجاد حل، وتعيين في النافذة خيارات البحث عن الحلالقيم المطلوبة (الشكل 4). لإظهار نتائج التنبؤ على الرسم البياني ، حدد أولاً النطاق A6: B41 ، وقم ببناء مخطط خطي بسيط. بعد ذلك ، انقر بزر الماوس الأيمن فوق الرسم البياني ، وحدد الخيار حدد البيانات.في النافذة التي تفتح ، أنشئ صفًا ثانيًا وأدخل تنبؤات من نطاق A42: B53 فيه (الشكل 5).
ربما لديك اتجاه
لاختبار هذا الافتراض ، يكفي أن يكون مناسبا الانحدارالخطيتحت بيانات الطلب وإجراء اختبار t عند صعود خط الاتجاه هذا (كما في). إذا كان ميل الخط غير صفري وذو دلالة إحصائية (في اختبار الطالب ، القيمة صأقل من 0.05) ، فإن البيانات لها اتجاه (الشكل 6).
استخدمنا الدالة LINEST ، والتي تُرجع 10 الإحصاء الوصفي(إذا لم تكن قد استخدمت هذه الوظيفة من قبل ، فإنني أوصي بها) ووظيفة INDEX ، التي تسمح لك "بسحب" الإحصائيات الثلاثة المطلوبة فقط ، وليس المجموعة بأكملها. اتضح أن المنحدر 2.54 ، وهو أمر مهم ، حيث أظهر اختبار الطالب أن 0.000000012 أقل بكثير من 0.05. لذلك ، هناك اتجاه ، ويبقى تضمينه في التوقعات.
تجانس هولت الأسي مع تصحيح الاتجاه
غالبًا ما يشار إليه على أنه تجانس أسي مزدوج لأنه يحتوي على معلمتين للتجانس ، ألفا ، بدلاً من واحدة. إذا كان للتسلسل الزمني اتجاه خطي ، فعندئذٍ:
الطلب بمرور الوقت t = المستوى + t × الاتجاه + انحراف عشوائيالمستوى في الوقت ر
يحتوي Holt Exponential Smoothing مع تصحيح الاتجاه على معادلتين جديدتين ، واحدة للمستوى وهو يتحرك للأمام في الوقت المناسب والأخرى للاتجاه. تحتوي معادلة المستوى على معامل التنعيم ألفا ، وتحتوي معادلة الاتجاه على جاما. إليك ما تبدو عليه معادلة المستوى الجديد:
المستوى 1 = المستوى 0 + الاتجاه 0 + ألفا × (الطلب 1 - (المستوى 0 + الاتجاه 0))
.لاحظ أن المستوى 0 + الاتجاه 0هو مجرد توقع من خطوة واحدة من القيم الأصلية إلى الشهر الأول ، لذلك الطلب 1 - (المستوى 0 + الاتجاه 0)هو انحراف من خطوة واحدة. وبالتالي ، ستكون معادلة تقريب المستوى الأساسي كما يلي:
مستوى الفترة الحالية = مستوى الفترة السابقة + اتجاه الفترة السابقة + ألفا × (طلب الفترة الحالية - (مستوى الفترة السابقة) + اتجاه الفترة السابقة))
معادلة تحديث الاتجاه:
فترة الاتجاه الحالية = الفترة السابقة للاتجاه + جاما × ألفا × (فترة الطلب الحالية - (مستوى الفترة السابقة) + الاتجاه في الفترة السابقة))
يشبه تجانس هولت في Excel التنعيم البسيط (الشكل 7) ، وكما ذكر أعلاه ، فإن الهدف هو العثور على معاملين مع تقليل مجموع الأخطاء التربيعية (الشكل 8). للحصول على المستوى الأصلي وقيم الاتجاه (في الخلايا C5 و D5 في الشكل 7) ، قم بإنشاء مخطط لأول 18 شهرًا من المبيعات وأضف خط اتجاه مع معادلة إليه. أدخل قيمة الاتجاه الأولية 0.8369 والمستوى الأولي 155.88 في الخلايا C5 و D5. يمكن تقديم بيانات التنبؤ بيانياً (الشكل 9).
أرز. 7. تجانس هولت الأسي مع تصحيح الاتجاه. لتكبير الصورة ، انقر بزر الماوس الأيمن عليها واختر إفتح الصورة بصفحة جديدة
إيجاد الأنماط في البيانات
هناك طريقة لاختبار النموذج التنبئي للقوة - لمقارنة الأخطاء مع نفسها ، والتي يتم تغييرها بخطوة (أو عدة خطوات). إذا كانت الانحرافات عشوائية ، فلا يمكن تحسين النموذج. ومع ذلك ، قد يكون هناك عامل موسمي في بيانات الطلب. يُطلق على مفهوم الخطأ الذي يرتبط بإصداره الخاص خلال فترة مختلفة اسم الارتباط التلقائي (لمزيد من المعلومات حول الارتباط التلقائي ، راجع). لحساب الارتباط التلقائي ، ابدأ ببيانات خطأ التنبؤ لكل فترة (نقل العمود F في الشكل 7 إلى العمود B في الشكل 10). بعد ذلك تحديد متوسط الخطأالتنبؤ (الشكل 10 ، الخلية B39 ؛ الصيغة في الخلية: = AVERAGE (B3: B38)). في العمود C ، احسب انحراف خطأ التنبؤ عن المتوسط ؛ الصيغة في الخلية C3: = B3-B 39 دولارًا. بعد ذلك ، انقل العمود C بالتتابع إلى اليمين وصفًا لأسفل. الصيغ في الخلايا D39: = SUMPRODUCT ($ C3: $ C38 ، D3: D38) ، D41: = D39 / $ C39 ، D42: = 2 / SQRT (36) ، D43: = -2 / SQRT (36).
ماذا يمكن أن تعني "الحركة المتزامنة" مع العمود C بالنسبة إلى أحد الأعمدة D: O. على سبيل المثال ، إذا كان العمودين C و D متزامنين ، فيجب أن يكون الرقم السالب في أحدهما سالبًا في الآخر ، وموجبًا في أحدهما إيجابية في الصديق. هذا يعني أن مجموع حاصل ضرب العمودين سيكون كبيرًا (تتراكم الفروق). أو ، وهو نفس الشيء ، كلما كانت القيمة في النطاق D41: O41 أقرب إلى الصفر ، انخفض ارتباط العمود (على التوالي من D إلى O) مع العمود C (الشكل 11).
ارتباط تلقائي واحد أعلى من القيمة الحرجة. يرتبط الخطأ الذي تم تحويله على مدار العام بنفسه. هذا يعني دورة موسمية مدتها 12 شهرًا. وهذا ليس مستغربا. إذا نظرت إلى الرسم البياني للطلب (الشكل 2) ، فقد تبين أن هناك ذروة في الطلب في كل عيد ميلاد وتنخفض في أبريل ومايو. ضع في اعتبارك أسلوب التنبؤ الذي يأخذ في الاعتبار الموسمية.
تجانس هولت وينترز الأسي المضاعف
تسمى الطريقة الضرب (من الضرب - الضرب) ، لأنها تستخدم الضرب لحساب الموسمية:
الطلب في الوقت t = (المستوى + t × الاتجاه) × التعديل الموسمي في الوقت t × أي تعديلات غير منتظمة متبقية لا يمكننا تفسيرها
يُطلق على تجانس Holt-Winters أيضًا التجانس الأسي الثلاثي لأنه يحتوي على ثلاث معلمات تنعيم (عامل ألفا وجاما ودلتا الموسمي). على سبيل المثال ، إذا كانت هناك دورة موسمية مدتها 12 شهرًا:
التوقعات الشهرية 39 = (المستوى 36 + 3 × الاتجاه 36) × الموسمية 27
عند تحليل البيانات ، من الضروري معرفة الاتجاه في سلسلة البيانات وما هي الموسمية. لإجراء العمليات الحسابية باستخدام طريقة Holt-Winters ، يجب عليك:
- بيانات تاريخية سلسة باستخدام طريقة المتوسط المتحرك.
- قارن الإصدار المصقول للسلسلة الزمنية بالإصدار الأصلي للحصول على تقدير تقريبي للموسمية.
- احصل على بيانات جديدة بدون مكون موسمي.
- ابحث عن تقديرات تقريبية للمستوى والاتجاه بناءً على هذه البيانات الجديدة.
ابدأ بالبيانات الأصلية (العمودين A و B في الشكل 12) وأضف العمود C بقيم متجانسة بناءً على المتوسط المتحرك. نظرًا لأن الموسمية لها دورات مدتها 12 شهرًا ، فمن المنطقي استخدام متوسط 12 شهرًا. هناك مشكلة صغيرة في هذا المتوسط. 12 عدد زوجي. إذا قمت بتسهيل الطلب للشهر 7 ، فهل يجب اعتباره متوسط الطلب من 1 إلى 12 ، أو من 2 إلى 13؟ للتعامل مع هذه الصعوبة ، نحتاج إلى تسوية الطلب باستخدام "متوسط متحرك 2 × 12". أي ، خذ نصف المتوسطين من الأشهر 1 إلى 12 ومن 2 إلى 13. الصيغة في الخلية C8 هي: = (AVERAGE (B3: B14) + AVERAGE (B2: B13)) / 2.
لا يمكن الحصول على بيانات منسقة للأشهر 1-6 والأشهر 31-36 لعدم وجود فترات كافية سابقة ولاحقة. من أجل الوضوح ، يمكن عرض البيانات الأصلية والمتجانسة في رسم تخطيطي (الشكل 13).
الآن ، في العمود D ، قسّم القيمة الأصلية على القيمة المتجانسة للحصول على تقدير للتعديل الموسمي (العمود D في الشكل 12). الصيغة في الخلية D8: = B8 / C8. لاحظ ارتفاعًا بنسبة 20٪ فوق الطلب العادي في الشهرين 12 و 24 (ديسمبر) بينما هناك انخفاضات في الربيع. أعطتك تقنية التنعيم اثنين تقديرات النقطةلكل شهر (إجمالي 24 شهرًا). العمود E هو متوسط هذين العاملين. الصيغة في الخلية E1 هي: = AVERAGE (D14، D26). من أجل الوضوح ، يمكن تمثيل مستوى التقلبات الموسمية بيانياً (الشكل 14).
الآن يمكنك تعديل البيانات ل التقلبات الموسمية. الصيغة في الخلية G1: = B2 / E2. أنشئ رسمًا بيانيًا بناءً على البيانات الموجودة في العمود G ، وأكمله بخط اتجاه ، واعرض معادلة الاتجاه على الرسم البياني (الشكل 15) ، واستخدم المعاملات في الحسابات اللاحقة.
شكل صفحة جديدة، كما يظهر في الشكل. 16. استبدل القيم الموجودة في النطاق E5: E16 من الشكل. 12 منطقة E2: E13. خذ قيم C16 و D16 من معادلة خط الاتجاه في الشكل. 15. قم بتعيين قيم ثوابت التنعيم لتبدأ عند حوالي 0.5. قم بتوسيع القيم الموجودة في الصف 17 خلال نطاق الأشهر من 1 إلى 36. تشغيل إيجاد حللتحسين معاملات التسوية (الشكل 18). الصيغة في الخلية B53: = (C $ 52 + (A53-A $ 52) * D $ 52) * E41.
الآن في التوقعات التي تم إجراؤها ، تحتاج إلى التحقق من الارتباطات التلقائية (الشكل 18). نظرًا لأن جميع القيم تقع بين الحدود العليا والسفلى ، فأنت تدرك أن النموذج قام بعمل جيد في فهم بنية قيم الطلب.
بناء فاصل ثقة للتنبؤ
لذلك ، لدينا توقعات عملية. كيف تحدد الحدود العلوية والسفلية التي يمكن استخدامها لعمل تخمينات واقعية؟ ستساعدك محاكاة مونت كارلو ، التي التقيت بها بالفعل (انظر أيضًا) ، في هذا الأمر. الهدف هو إنشاء سيناريوهات مستقبلية لسلوك الطلب وتحديد المجموعة التي يقع فيها 95٪ منهم.
إزالة من الورقة توقعات Excelمن الخلايا B53: B64 (انظر الشكل 17). سوف تكتب الطلب هناك بناءً على المحاكاة. يمكن إنشاء الأخير باستخدام دالة NORMINV. للأشهر المقبلة ، تحتاج فقط إلى تزويدها بالمتوسط (0) ، والتوزيع القياسي (10.37 من الخلية $ H $ 2) ، و رقم عشوائيمن 0 إلى 1. ستعيد الدالة الانحراف باحتمال يقابل منحنى الجرس. ضع محاكاة لخطوة من خطوة واحدة في الخلية G53: = NORMINV (RAND () ؛ 0 ؛ H $ 2). يمنحك تمديد هذه الصيغة وصولاً إلى G64 محاكاة للخطأ المتوقع لمدة 12 شهرًا في خطوة واحدة (الشكل 19). ستختلف قيم المحاكاة الخاصة بك عن تلك الموضحة في الشكل (وهذا هو سبب كونها محاكاة!).
باستخدام Forecast Error ، لديك كل ما تحتاجه لتحديث المستوى والاتجاه والعامل الموسمي. لذا حدد الخلايا C52: F52 وقم بمدها إلى الصف 64. ونتيجة لذلك ، لديك خطأ توقع محاكى والتنبؤ نفسه. بالانتقال من العكس ، من الممكن التنبؤ بقيم الطلب. أدخل الصيغة في الخلية B53: = F53 + G53 وقم بمدها إلى B64 (الشكل 20 ، النطاق B53: F64). يمكنك الآن الضغط على الزر F9 ، في كل مرة يتم فيها تحديث التوقعات. ضع نتائج 1000 محاكاة في الخلايا A71: L1070 ، في كل مرة تقوم بنقل القيم من النطاق B53: B64 إلى النطاق A71: L71 ، A72: L72 ، ... A1070: L1070. إذا كان يزعجك ، فاكتب كود فبا.
لديك الآن 1000 سيناريو لكل شهر ويمكنك استخدام وظيفة PERCENTILE للحصول على الحدود العليا والسفلى في منتصف فاصل الثقة 95٪. في الخلية A66 ، تكون الصيغة: = PERCENTILE (A71: A1070،0.975) وفي الخلية A67: = PERCENTILE (A71: A1070،0.025).
كالعادة ، من أجل الوضوح ، يمكن تقديم البيانات بتنسيق شكل رسومي(الشكل 21).
هناك نقطتان مهمتان على الرسم البياني:
- يزداد هامش الخطأ بمرور الوقت. يبدو الأمر معقولا. عدم اليقين يتراكم كل شهر.
- بنفس الطريقة ، يزداد الخطأ في الأجزاء التي تقع في فترات الزيادة الموسمية في الطلب. مع سقوطه اللاحق ، يتقلص الخطأ.
بناء على مادة من كتاب لجون فورمان. - م: Alpina Publisher، 2016. - S. 329–381
يسمح لك المتوسط المتحرك بتنعيم البيانات بشكل مثالي. لكن عيبها الرئيسي هو أن كل قيمة في بيانات المصدر لها نفس الوزن بالنسبة لها. على سبيل المثال ، بالنسبة لمتوسط متحرك يستخدم فترة ستة أسابيع ، يتم إعطاء كل قيمة لكل أسبوع 1/6 من الوزن. بالنسبة لبعض الإحصائيات التي تم جمعها ، يتم إعطاء قيم أكثر حداثة أهمية أكبر. لذلك ، يتم استخدام التجانس الأسي لإعطاء البيانات الأحدث وزنًا أكبر. وبالتالي ، تم حل هذه المشكلة الإحصائية.
صيغة حساب طريقة التجانس الأسي في Excel
يوضح الشكل أدناه تقرير طلب لمنتج معين لمدة 26 أسبوعًا. يحتوي عمود الطلب على معلومات حول كمية البضائع المباعة. في عمود "التوقعات" - الصيغة:
يحدد عمود "المتوسط المتحرك" الطلب المتوقع ، محسوبًا باستخدام الحساب المعتاد للمتوسط المتحرك لمدة 6 أسابيع:
في العمود الأخير "التوقعات" ، مع الصيغة الموضحة أعلاه ، يتم تطبيق طريقة التجانس الأسي للبيانات حيث يكون لقيم الأسابيع الماضية وزن أكبر من القيم السابقة.
يتم إدخال المعامل "Alpha:" في الخلية G1 ، ويعني وزن التعيين على أحدث البيانات. في هذا المثالتبلغ قيمتها 30٪. يتم توزيع الـ 70٪ المتبقية من الوزن على باقي البيانات. أي أن القيمة الثانية من حيث الملاءمة (من اليمين إلى اليسار) لها وزن يساوي 30٪ من الـ 70٪ المتبقية من الوزن - وهذا هو 21٪ ، والقيمة الثالثة لها وزن يساوي 30٪ من الباقي 70٪ من الوزن - 14.7٪ وهكذا.
مؤامرة التجانس الأسي
يوضح الشكل أدناه الرسم البياني للطلب والمتوسط المتحرك وتوقعات التسوية الأسية ، والتي تم إنشاؤها على أساس القيم الأصلية:
لاحظ أن توقع التجانس الأسي أكثر استجابة للتغيرات في الطلب من خط المتوسط المتحرك.
يتم ضرب بيانات الأسابيع السابقة المتتالية في عامل ألفا ، وتضاف النتيجة إلى النسبة المئوية للوزن المتبقية مضروبة في القيمة المتوقعة السابقة.
9 5. طريقة التجانس الأسي. اختيار ثابت التنعيم
عند استخدام الطريقة المربعات الصغرىلتحديد الاتجاه التنبئي (الاتجاه) ، من المفترض مسبقًا أن جميع البيانات (الملاحظات) بأثر رجعي لها نفس محتوى المعلومات. من الواضح أنه سيكون من المنطقي أكثر أن تأخذ في الاعتبار عملية الخصم معلومات اساسية، أي تباين هذه البيانات لتطوير التنبؤ. يتم تحقيق ذلك في طريقة التسوية الأسية من خلال إعطاء الملاحظات الأخيرة للسلسلة الزمنية (أي ، القيم التي تسبق مباشرة فترة التنبؤ) "أوزان" أكثر أهمية مقارنة بالملاحظات الأولية. يجب أن تتضمن مزايا طريقة التجانس الأسي أيضًا بساطة العمليات الحسابية ومرونة وصف ديناميكيات العملية المختلفة. وجدت الطريقة أعظم تطبيق لتنفيذ التنبؤات على المدى المتوسط.
5.1 جوهر طريقة التنعيم الأسي
جوهر الطريقة هو أن سلسلة ديناميكيةيتم تنعيمها باستخدام "متوسط متحرك" مرجح تتبع فيه الأوزان قانونًا أسيًا. بعبارة أخرى ، كلما كانت النقطة الأبعد عن نهاية السلسلة الزمنية هي النقطة التي يُحسب فيها المتوسط المتحرك المرجح ، قلت "المشاركة التي يأخذها" في تطوير التنبؤ.
دع السلسلة الديناميكية الأصلية تتكون من مستويات (مكونات سلسلة) y t ، t = 1 ، 2 ، ... ، n. لكل م مستويات متتالية من هذه السلسلة
(م سلسلة ديناميكية بخطوة واحدة. إذا كان m عددًا فرديًا ، ويفضل أن يأخذ عددًا فرديًا من المستويات ، لأنه في هذه الحالة ، ستكون قيمة المستوى المحسوبة في مركز فترة التجانس ومن السهل استبدال القيمة الفعلية بها ، ثم يمكن كتابة الصيغة التالية لتحديد المتوسط المتحرك: ر + ξ ر + ξ ∑ ذ أنا ∑ ذ أنا أنا = ر − ξ أنا = ر − ξ 2ξ + 1 حيث y t هي قيمة المتوسط المتحرك للحظة t (t = 1، 2، ...، n) ؛ y i هي القيمة الفعلية للمستوى في اللحظة i ؛ i هو الرقم الترتيبي للمستوى في فترة التنعيم. يتم تحديد قيمة ξ من مدة فترة التنعيم. بسبب ال م = 2 ξ +1 لغريب م ، إذن ξ = م 2-1. يمكن تبسيط حساب المتوسط المتحرك لعدد كبير من المستويات من خلال تحديد القيم المتتالية للمتوسط المتحرك بشكل متكرر: y t = y t− 1 + yt + ξ - ص ر - (ξ + 1) 2ξ + 1 ولكن بالنظر إلى حقيقة أن الملاحظات الأخيرة تحتاج إلى مزيد من "الوزن" ، فإن المتوسط المتحرك يحتاج إلى تفسير مختلف. إنه يكمن في حقيقة أن القيمة التي تم الحصول عليها عن طريق حساب المتوسط لا تحل محل المصطلح المركزي للفاصل المتوسط ، ولكن مصطلحها الأخير. وفقًا لذلك ، يمكن إعادة كتابة التعبير الأخير كـ مي = مي + 1 ذ أنا أنا م هنا يتم الإشارة إلى المتوسط المتحرك المرتبط بنهاية الفترة بالرمز الجديد M i. بشكل أساسي ، M i يساوي y t مزاحًا ξ خطوات جهة اليمين ، أي M i = y t + ، حيث i = t +. بالنظر إلى أن M i - 1 تقدير لـ y i - m ، التعبير (5.1) يمكن إعادة كتابتها في النموذج ص ط + 1 م أنا - 1 ، تعريف M i بالتعبير (5.1). حيث M i هو التقدير إذا تكررت الحسابات (5.2) مع وصول معلومات جديدة وأعد كتابته في شكل مختلف ، ثم نحصل على وظيفة مراقبة سلسة: Q i = α y i + (1 - α) Q i− 1 ، أو في شكل معادل Q t = α y t + (1 - α) Q t− 1 الحسابات التي يتم إجراؤها بالتعبير (5.3) مع كل ملاحظة جديدة تسمى التجانس الأسي. في التعبير الأخير ، للتمييز بين التجانس الأسي والمتوسط المتحرك ، تم تقديم الرمز Q بدلاً من M. القيمة α ، وهي نظير m 1 يسمى ثابت التجانس. تكمن قيم α في الفاصل الزمني [0 ، 1]. إذا تم تمثيل α كسلسلة α + α (1 - α) + α (1 - α) 2 + α (1 - α) 3 + ... + α (1 - α) ن ، من السهل أن نرى أن "الأوزان" تنخفض أضعافًا مضاعفة بمرور الوقت. على سبيل المثال ، بالنسبة لـ α = 0 ، نحصل على 2 0,2 + 0,16 + 0,128 + 0,102 + 0,082 + … يميل مجموع السلسلة إلى الوحدة ، وتنخفض شروط المجموع بمرور الوقت. قيمة Q t في التعبير (5.3) هي المتوسط الأسي للترتيب الأول ، أي المتوسط الذي تم الحصول عليه مباشرة من تجانس بيانات المراقبة (التنعيم الأساسي). في بعض الأحيان ، عند تطوير النماذج الإحصائية ، من المفيد اللجوء إلى حساب المتوسطات الأسية للطلبات الأعلى ، أي المتوسطات التي تم الحصول عليها من خلال التجانس الأسي المتكرر. الترميز العام في الشكل العودي للمتوسط الأسي للأمر k هو Q t (k) = α Q t (k− 1) + (1 - α) Q t (- k1). تختلف قيمة k في حدود 1 ، 2 ، ... ، p ، p + 1 ، حيث p هو ترتيب كثير الحدود التنبئي (خطي ، تربيعي ، وما إلى ذلك). بناءً على هذه الصيغة ، للمتوسط الأسي للأوامر الأولى والثانية والثالثة ، التعبيرات Q t (1) = α y t + (1 - α) Q t (- 1 1) ؛ Q t (2) = α Q t (1) + (1 - α) Q t (- 2 1) ؛ Q t (3) = α Q t (2) + (1 - α) Q t (- 3 1). 5.2 تحديد معلمات النموذج التنبئي باستخدام طريقة التنعيم الأسي من الواضح ، من أجل تطوير القيم التنبؤية بناءً على السلسلة الديناميكية باستخدام طريقة التجانس الأسي ، من الضروري حساب معاملات معادلة الاتجاه من خلال المتوسطات الأسية. يتم تحديد تقديرات المعاملات من خلال النظرية الأساسية لـ Brown-Meyer ، والتي تربط معاملات كثير الحدود التنبؤية بالمتوسطات الأسية للأوامر المقابلة: (−
1
) أˆ ص α (1 - α) ∞ −α
)
ي (ص - 1 + ي)! ∑j ع = 0 ص! (ك 1)! ي = 0 حيث aˆ p هي تقديرات لمعاملات كثير الحدود من الدرجة p. يمكن إيجاد المعاملات من خلال حل نظام المعادلات (ص + 1) сp + 1 مجهول. لذلك ، لنموذج خطي أˆ 0 = 2 Q t (1) - Q t (2) ؛ أˆ 1 = 1 - α α (Q t (1) - Q t (2)) ؛ لنموذج تربيعي أˆ 0 = 3 (Q t (1) - Q t (2)) + Q t (3) ؛ أˆ 1 = 1 - α α [(6 5 α) Q t (1) −2 (5 4 α) Q t (2) + (4 3 α) Q t (3)] ؛ أˆ 2 = (1 - α α) 2 [Q t (1) - 2 Q t (2) + Q t (3)]. يتم تنفيذ التنبؤ وفقًا لكثير الحدود المحدد ، على التوالي ، للنموذج الخطي ˆyt + τ = أˆ0 + أˆ1 τ ؛ لنموذج تربيعي ˆyt + τ = أˆ0 + أˆ1 τ + أˆ 2 2 τ 2 ، أين τ هي خطوة التنبؤ. وتجدر الإشارة إلى أن المتوسطات الأسية Q t (k) لا يمكن حسابها إلا باستخدام معلمة (مختارة) معروفة ، مع العلم بالشروط الأولية Q 0 (k). تقديرات الشروط الأولية ، على وجه الخصوص ، لنموذج خطي ق (1) = أ 1 - ألفا ق (2) = أ - 2 (1 - α) أ لنموذج تربيعي ق (1) = أ 1 - ألفا + (1 - α) (2 - α) أ 2 (1 ألفا) (1− α) (3− 2α) س 0 (2) = أ 0− 2α 2 ق (3) = أ 3 (1 ألفا) (1 - α) (4 - 3 α) أ حيث يتم حساب المعاملين أ 0 و 1 بطريقة المربعات الصغرى. يتم حساب قيمة معلمة التنعيم α تقريبًا بواسطة الصيغة α ≈ م 2 + 1 ، حيث m هو عدد المشاهدات (القيم) في فترة التنعيم. يتم عرض تسلسل حساب القيم التنبؤية في حساب معاملات سلسلة بطريقة المربعات الصغرى تحديد فترة التنعيم حساب ثابت التسوية حساب الشروط الأولية حساب المتوسطات الأسية حساب التقديرات أ 0 ، أ 1 ، إلخ. حساب القيم المتوقعة لسلسلة أرز. 5.1 تسلسل حساب قيم التنبؤ على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك الإجراء الخاص بالحصول على القيمة التنبؤية لوقت تشغيل المنتج ، والتي يتم التعبير عنها بالوقت بين حالات الفشل. يتم تلخيص البيانات الأولية في الجدول. 5.1 نختار نموذج التنبؤ الخطي بالصيغة y t = a 0 + a 1 الحل ممكن مع القيم الأولية التالية: أ 0 ، 0 = 64 ، 2 ؛ أ 1 ، 0 = 31.5 ؛ α = 0.305. الجدول 5.1. بيانات أولية رقم الملاحظة ، ر طول الخطوة ، التنبؤ ، τ MTBF ، ص (ساعة) لهذه القيم ، تم حساب المعاملات "المتجانسة" لـ ستكون قيم y 2 متساوية = α Q (1) - Q (2) = 97 ، 9 ؛ [ق (1) - ق (2) 31,
9 , 1 − α في ظل الظروف الأولية 1 - ألفا أ 0 ، 0 - أ 1 ، 0 = −7
,
6
1 - ألفا = −79
,
4
والمتوسطات الأسية س (1) = α ص + (1 - α) س (1) 25,
2;
كيو (2) = α Q (1) + (1 −α) س (2) = −47 ، 5. ثم يتم حساب القيمة "المتجانسة" y 2 بواسطة الصيغة كيو اي (1) كيو اي (2) أ 0 ، أنا أ 1 ، ط ˆyt وهكذا (الجدول 5.2) ، فإن النموذج التنبئي الخطي له الشكل ˆy t + τ = 224.5+ 32τ. دعونا نحسب القيم المتوقعة لفترات الرصاص من سنتين (= 1) ، 4 سنوات (τ = 2) وهكذا ، الوقت بين فشل المنتج (الجدول 5.3). الجدول 5.3. قيم التنبؤ y t المعادلة ر + 2 ر + 4 ر + 6 ر + 8 ر + 20 تراجع (τ = 1) (τ = 2) (τ = 3) (τ = 5) τ =
ˆy t = 224.5+ 32τ وتجدر الإشارة إلى أنه يمكن حساب "الوزن" الإجمالي لآخر قيم m من السلسلة الزمنية بواسطة الصيغة ج = 1 - (م (- 1) م). م + 1 وهكذا ، بالنسبة لآخر ملاحظتين من السلسلة (م = 2) القيمة ج = 1 - (2 2 - + 1 1) 2 = 0. 667. 5.3 اختيار الشروط الأولية وتحديد ثابت التنعيم على النحو التالي من التعبير Q t = α y t + (1 - α) Q t− 1 ، عند إجراء التسوية الأسية ، من الضروري معرفة القيمة الأولية (السابقة) للدالة المتجانسة. في بعض الحالات ، يمكن اعتبار الملاحظة الأولى هي القيمة الأولية ؛ وفي كثير من الأحيان ، يتم تحديد الشروط الأولية وفقًا للتعبيرات (5.4) و (5.5). في هذه الحالة ، القيم 0 ، 0 ، 1 ، 0 و 2 ، 0 يتم تحديدها بطريقة المربعات الصغرى. إذا لم نثق حقًا في القيمة الأولية المختارة ، فعند أخذ قيمة كبيرة من ثابت التجانس α من خلال ملاحظات k ، سنحقق "وزن" القيمة الأولية حتى القيمة (1 - α) ك<<
α
, и оно будет практически забыто. Наоборот, если мы уверены в правильности выбранного начального значения и неизменности модели в течение определенного отрезка времени в будущем,α
может быть выбрано малым (близким к 0). وبالتالي ، فإن اختيار ثابت التنعيم (أو عدد الملاحظات في المتوسط المتحرك) ينطوي على مقايضة. عادة ، كما تبين الممارسة ، تكمن قيمة ثابت التنعيم في النطاق من 0.01 إلى 0.3. تُعرف العديد من التحولات التي تسمح للمرء بالعثور على تقدير تقريبي لـ α. الأول يأتي من شرط أن المتوسط المتحرك والمتوسط الأسي متساويان α \ u003d م 2 + 1 ، حيث m هو عدد المشاهدات في فترة التنعيم. ترتبط الأساليب الأخرى بدقة التنبؤ. لذلك ، من الممكن تحديد α بناءً على علاقة ماير: α ≈ S ص ، حيث S y هو الخطأ المعياري للنموذج ؛ S 1 هو متوسط الخطأ التربيعي للسلسلة الأصلية. ومع ذلك ، فإن استخدام النسبة الأخيرة معقد بسبب حقيقة أنه من الصعب للغاية تحديد S y و S 1 بشكل موثوق من المعلومات الأولية. غالبًا ما تكون معلمة التنعيم ، وفي نفس الوقت تكون المعاملات 0 و 0 و 0 و 1 يتم تحديدها على أنها الأمثل بناءً على المعيار S 2 = α ∑ ∞ (1 - α) j [yij - ˆyij] 2 → دقيقة ي = 0 من خلال حل النظام الجبري للمعادلات ، والذي يتم الحصول عليه من خلال معادلة المشتقات بالصفر ∂S2 ∂S2 ∂S2 ∂a0، 0 ∂ أ 1 ، 0 ∂a2، 0 لذلك ، بالنسبة لنموذج التنبؤ الخطي ، فإن المعيار الأولي يساوي S 2 = α ∑ ∞ (1 - α) j [yij - a0، 0 - a1، 0] 2 → min. ي = 0 لا يمثل حل هذا النظام بمساعدة الكمبيوتر أي صعوبات. للحصول على اختيار معقول لـ α ، يمكنك أيضًا استخدام إجراء التسوية المعمم ، والذي يسمح لك بالحصول على العلاقات التالية المتعلقة بتباين التنبؤ ومعلمة التنعيم لنموذج خطي: S p 2 ≈ [1 + α] 2 [1 +4 β +5 β 2 +2 α (1 +3 β) τ +2 α 2 τ 3] S y 2 لنموذج تربيعي S p 2≈ [2 α + 3 α 3+ 3 α 2τ] S y 2 ، أين β =
1
−
α
;سذ- تقريب RMS للسلسلة الديناميكية الأولية. هدف، تصويبدراسة هذا الموضوع هي خلق اساس اساسي لتدريب المديرين في التخصص 080507 في مجال بناء نماذج للمهام المختلفة في مجال الاقتصاد ، وتشكيل نهج منهجي لوضع وحل مشاكل التنبؤ بين الطلاب. . ستسمح الدورة التدريبية المقترحة للمتخصصين بالتكيف بسرعة مع العمل العملي ، والتنقل بشكل أفضل في المعلومات والأدبيات العلمية والتقنية في تخصصهم ، واتخاذ قرارات أكثر ثقة تنشأ في عملهم. رئيسي مهامدراسة الموضوع هي: اكتساب الطلاب معرفة نظرية متعمقة حول تطبيق نماذج التنبؤ ، واكتساب مهارات مستقرة في أداء العمل البحثي ، والقدرة على حل المشكلات العلمية المعقدة المرتبطة بنماذج البناء ، بما في ذلك النماذج متعددة الأبعاد ، والقدرة على التحليل المنطقي النتائج التي تم الحصول عليها وتحديد طرق إيجاد حلول مقبولة. طريقة بسيطة إلى حد ما لتحديد اتجاهات التنمية هي تجانس السلاسل الزمنية ، أي استبدال المستويات الفعلية بالمستويات المحسوبة التي تحتوي على اختلافات أصغر من البيانات الأصلية. يسمى التحول المقابل الفلتره. دعونا نفكر في عدة طرق للتنعيم. الهدف من التنعيم هو بناء نموذج تنبؤ للفترات المستقبلية بناءً على الملاحظات السابقة. في طريقة المتوسطات البسيطة ، يتم أخذ قيم المتغير كبيانات أولية صفي نقاط زمنية ر، ويتم تحديد قيمة التنبؤ كمتوسط بسيط للفترة الزمنية التالية. صيغة الحساب لها الشكل أين نعدد الملاحظات. في حالة توفر ملاحظة جديدة ، يجب أيضًا مراعاة التوقعات المستلمة حديثًا للتنبؤ بالفترة التالية. عند استخدام هذه الطريقة ، يتم تنفيذ التنبؤ عن طريق حساب متوسط جميع البيانات السابقة ، ومع ذلك ، فإن عيب هذا التنبؤ هو صعوبة استخدامه في نماذج الاتجاه. تعتمد هذه الطريقة على تمثيل السلسلة كمجموع لاتجاه سلس إلى حد ما ومكون عشوائي. تعتمد الطريقة على فكرة حساب القيمة النظرية بناءً على تقريب محلي. لبناء تقدير الاتجاه عند نقطة ربقيم المتسلسلة من الفاصل الزمني
احسب القيمة النظرية للسلسلة. الأكثر انتشارًا في ممارسة سلسلة التنعيم هي الحالة عندما تكون جميع الأوزان لعناصر الفاصل الزمني
متساوية مع بعضها البعض. لهذا السبب ، تسمى هذه الطريقة طريقة المتوسط المتحرك ،منذ عندما يتم تنفيذ الإجراء ، نافذة بعرض (2 م + 1)في جميع أنحاء الصف. عادة ما يتم أخذ عرض النافذة بشكل فردي ، حيث يتم حساب القيمة النظرية للقيمة المركزية: عدد المصطلحات ك = 2 م + 1مع نفس عدد المستويات على يسار ويمين اللحظة ر. تأخذ صيغة حساب المتوسط المتحرك في هذه الحالة الشكل: يتم تعريف تشتت المتوسط المتحرك على أنه σ 2 / ك ،حيث من خلال σ2يشير إلى تباين الشروط الأصلية للسلسلة ، و كالفاصل الزمني للتمهيد ، لذلك كلما كان الفاصل الزمني للتجانس أكبر ، كان متوسط البيانات أقوى وكان الاتجاه أقل تغيرًا. في أغلب الأحيان ، يتم إجراء التنعيم على ثلاثة وخمسة وسبعة أعضاء من السلسلة الأصلية. في هذه الحالة ، يجب مراعاة الميزات التالية للمتوسط المتحرك: إذا أخذنا في الاعتبار سلسلة ذات تقلبات دورية بطول ثابت ، فعند التسوية بناءً على المتوسط المتحرك مع فاصل تجانس يساوي أو مضاعف الفترة ، سيتم القضاء تماما على التقلبات. في كثير من الأحيان ، يؤدي التنعيم المستند إلى المتوسط المتحرك إلى تحويل السلسلة بقوة بحيث يظهر اتجاه التطوير المحدد فقط في المصطلحات الأكثر عمومية ، بينما يختفي أصغر ، ولكنه مهم لتفاصيل التحليل (الموجات ، والانحناءات ، وما إلى ذلك) ؛ بعد التجانس ، يمكن للموجات الصغيرة في بعض الأحيان تغيير اتجاهها إلى ظهور "حفر" معاكسة بدلاً من "القمم" والعكس صحيح. كل هذا يتطلب الحذر في استخدام متوسط متحرك بسيط ويجبر المرء على البحث عن طرق وصف أكثر دقة. طريقة المتوسط المتحرك لا تعطي قيم الاتجاه للأول والأخير مأعضاء الصف. هذا القصور ملحوظ بشكل خاص في الحالة التي يكون فيها طول الصف صغيرًا. المتوسط الأسي ذ رهو مثال لمتوسط متحرك مرجح غير متماثل يأخذ في الاعتبار درجة تقادم البيانات: المعلومات "الأقدم" ذات الوزن الأقل تدخل الصيغة لحساب القيمة المتجانسة لمستوى السلسلة هنا
يعني الأسي استبدال القيمة المرصودة للسلسلة ذ ر(يتضمن التنعيم جميع البيانات المستلمة حتى اللحظة الحالية ر), α
معلمة التنعيم التي تميز وزن الملاحظة الحالية (الأحدث) ؛ 0< α
<1. تُستخدم الطريقة للتنبؤ بالسلاسل الزمنية غير الثابتة مع تغييرات عشوائية في المستوى والميل. نظرًا لأننا نبتعد عن اللحظة الحالية من الزمن إلى الماضي ، فإن وزن المصطلح المقابل من السلسلة يتناقص بسرعة (أسيًا) ويتوقف عمليا عن أي تأثير على قيمة. من السهل أن نرى أن العلاقة الأخيرة تسمح لنا بإعطاء التفسير التالي للمتوسط الأسي: إذا
توقع قيمة السلسلة ذ ر، فالفرق هو خطأ التنبؤ. إذن التنبؤ بالنقطة التالية في الوقت المناسب ر + 1يأخذ في الاعتبار ما أصبح معروفًا في الوقت الحالي رخطأ في التنبؤ. خيار التنعيم α
هو عامل وزن. إذا α
على مقربة من الوحدة ، يأخذ التنبؤ بشكل كبير في الاعتبار حجم الخطأ في آخر توقع. للقيم الصغيرة α
القيمة المتوقعة قريبة من التوقعات السابقة. يعد اختيار معلمة التنعيم مشكلة معقدة نوعًا ما. الاعتبارات العامة هي كما يلي: الطريقة جيدة للتنبؤ بالسلسلة السلسة بدرجة كافية. في هذه الحالة ، يمكن للمرء أن يختار ثابت التجانس عن طريق تقليل خطأ التنبؤ بخطوة واحدة إلى الحد الأدنى المقدّر من الثلث الأخير من السلسلة. لا ينصح بعض الخبراء باستخدام قيم كبيرة لمعامل التنعيم. على التين. يوضح الشكل 3.1 مثالاً على سلسلة متجانسة باستخدام طريقة التسوية الأسية لـ α=
0,1. أرز. 3.1. نتيجة التجانس الأسي في α
=0,1 تأخذ هذه الطريقة في الاعتبار الاتجاه الخطي المحلي الموجود في السلسلة الزمنية. إذا كان هناك اتجاه تصاعدي في السلسلة الزمنية ، فبالإضافة إلى تقدير المستوى الحالي ، من الضروري أيضًا تقدير الميل. في تقنية هولت ، يتم تسوية قيم المستوى والميل مباشرة باستخدام ثوابت مختلفة لكل من المعلمات. تسمح لك ثوابت التجانس بتقدير المستوى الحالي والانحدار ، وتنقيحها في كل مرة يتم فيها إجراء ملاحظات جديدة. تستخدم طريقة هولت ثلاث صيغ حسابية: (3.2)
(3.3)
(3.4)
أين α, β
تجانس الثوابت من الفترة. المعادلة (3.2) تشبه المعادلة (3.1) للتمهيد الأسي البسيط باستثناء مصطلح الاتجاه. مستمر β
اللازمة لتسهيل تقدير الاتجاه. في معادلة التنبؤ (3.3) ، يتم ضرب تقدير الاتجاه في عدد الفترات ص، الذي يستند إليه التنبؤ ، ثم يتم إضافة هذا المنتج إلى المستوى الحالي للبيانات المتجانسة. دائم α
و β
يتم اختيارهم بشكل شخصي أو عن طريق تقليل خطأ التنبؤ. يتم أخذ القيم الأكبر للأوزان ، وكلما زادت سرعة الاستجابة للتغييرات الجارية وستكون البيانات أكثر سلاسة. الأوزان الأصغر تجعل بنية القيم المتجانسة أقل ثباتًا. على التين. يوضح الشكل 3.2 مثالاً على تمهيد سلسلة باستخدام طريقة هولت للقيم α
و β
يساوي 0.1. أرز. 3.2 نتيجة تجانس هولت إذا كانت هناك تقلبات موسمية في بنية البيانات ، فسيتم استخدام نموذج التجانس الأسي ثلاثي المعلمات الذي اقترحه Winters لتقليل أخطاء التنبؤ. هذا النهج هو امتداد لنموذج هولت السابق. لحساب التغيرات الموسمية ، يتم استخدام معادلة إضافية هنا ، ويتم وصف هذه الطريقة بالكامل بأربع معادلات: (3.5)
(3.6)
(3.7)
(3.8)
أين α, β,
γ
تجانس مستمر للمستوى والاتجاه والموسمية ، على التوالي ؛ س- مدة فترة التقلب الموسمي. المعادلة (3.5) تصحح السلسلة المتجانسة. في هذه المعادلة ، يأخذ المصطلح في الاعتبار الموسمية في البيانات الأصلية. بعد أخذ الموسمية والاتجاه في الاعتبار في المعادلات (3.6) ، (3.7) ، يتم تسوية التقديرات ، ويتم إجراء توقع في المعادلة (3.8). تمامًا كما في الطريقة السابقة ، الأوزان α, β, γ
يمكن اختياره بشكل شخصي أو عن طريق تقليل خطأ التنبؤ. قبل تطبيق المعادلة (3.5) ، من الضروري تحديد القيم الأولية للسلسلة المتجانسة ل، اتجاه تي تي، معاملات الموسمية شارع. عادة ، يتم أخذ القيمة الأولية للسلسلة المتجانسة مساوية للملاحظة الأولى ، ثم يكون الاتجاه صفرًا ، ويتم تعيين المعاملات الموسمية على واحد. على التين. يوضح الشكل 3.3 مثالاً على تجانس سلسلة باستخدام طريقة Winters. أرز. 3.3 نتيجة التنعيم بطريقة الشتاء غالبًا ما تحتوي السلاسل الزمنية على اتجاه خطي (اتجاه). بافتراض وجود اتجاه خطي ، فأنت بحاجة إلى بناء خط مستقيم يعكس بدقة أكبر التغيير في الديناميكيات خلال الفترة قيد الدراسة. هناك عدة طرق لبناء خط مستقيم ، ولكن الأكثر موضوعية من وجهة نظر رسمية سيكون البناء على أساس تقليل مجموع الانحرافات السلبية والإيجابية للقيم الأولية للسلسلة من الخط المستقيم. خط مستقيم في نظام ثنائي الإحداثيات (س ، ص)يمكن تعريفها على أنها نقطة تقاطع أحد الإحداثيات فيوزاوية الميل إلى المحور X.ستبدو معادلة هذا الخط المستقيم لكي يعكس الخط المستقيم مسار الديناميكيات ، من الضروري تقليل مجموع الانحرافات الرأسية. عند الاستخدام كمعيار لتقدير مجموعة بسيطة من الانحرافات ، لن تكون النتيجة جيدة جدًا ، لأن الانحرافات السلبية والإيجابية تلغي بعضها البعض. لا يؤدي تقليل مجموع القيم المطلقة أيضًا إلى نتائج مرضية ، نظرًا لأن تقديرات المعلمات في هذه الحالة غير مستقرة ، فهناك أيضًا صعوبات حسابية في تنفيذ إجراء التقدير هذا. لذلك ، فإن الإجراء الأكثر شيوعًا هو تقليل مجموع الانحرافات التربيعية ، أو طريقة التربيع الصغرى(MNK). نظرًا لأن سلسلة القيم الأولية بها تقلبات ، فإن نموذج السلسلة سيحتوي على أخطاء ، يجب تصغير مربعاتها حيث y لاحظت القيمة ؛ y i * القيم النظرية للنموذج ؛
رقم المراقبة. عند نمذجة اتجاه السلاسل الزمنية الأصلية باستخدام اتجاه خطي ، سنفترض ذلك قسمة المعادلة الأولى على ن، نصل إلى اليوم التالي استبدال التعبير الناتج في المعادلة الثانية للنظام (3.10) للمعامل ب*نحن نحصل: كمثال ، في الشكل. يوضح الشكل 3.4 رسمًا بيانيًا للانحدار الخطي بين قوة السيارة Xوتكلفتها في. أرز. 3.4. مؤامرة الانحدار الخطي المعادلة لهذه الحالة هي: في=1455,3 + 13,4 X. يوضح التحليل المرئي لهذا الشكل أنه بالنسبة لعدد من الملاحظات ، هناك انحرافات كبيرة عن المنحنى النظري. يظهر الرسم البياني المتبقي في الشكل. 3.5 أرز. 3.5 مخطط بقايا يمكن أن يوفر تحليل القيم المتبقية لخط الانحدار مقياسًا مفيدًا لمدى جودة الانحدار المقدر في عكس البيانات الحقيقية. الانحدار الجيد هو الذي يفسر قدرًا كبيرًا من التباين ، وعلى العكس من ذلك ، فإن الانحدار السيئ لا يتتبع قدرًا كبيرًا من التقلبات في البيانات الأصلية. من الواضح بشكل بديهي أن أي معلومات إضافية ستعمل على تحسين النموذج ، أي تقليل الجزء غير المفسر من تباين المتغير في. لتحليل الانحدار ، سنحلل التباين إلى مكونات. من الواضح أن سيساوي الحد الأخير صفرًا ، لأنه مجموع الباقي ، لذلك نصل إلى النتيجة التالية أين SS0 ، SS1 ، SS2تحديد المجاميع الكلية والانحدارية والمتبقية للمربعات ، على التوالي. مجموع الانحدار للمربعات يقيس جزء التباين الموضح بعلاقة خطية ؛ الجزء المتبقي من التشتت ، لا يفسره الاعتماد الخطي. يتميز كل من هذه المبالغ بعدد مماثل من درجات الحرية (HR) ، والتي تحدد عدد وحدات البيانات المستقلة عن بعضها البعض. بمعنى آخر ، يرتبط معدل ضربات القلب بعدد الملاحظات نوعدد المعلمات المحسوبة من مجموع هذه المعلمات. في الحالة قيد النظر ، لحساب SS0
يتم تحديد ثابت واحد فقط (متوسط القيمة) ، وبالتالي معدل ضربات القلب لـ SS0
سوف يكون (ن– 1),
معدل ضربات القلب ل SS 2 - (ن - 2)ومعدل ضربات القلب SS 1سوف يكون ن - (ن - 1) = 1، حيث توجد ن - 1 نقاط ثابتة في معادلة الانحدار. تمامًا مثل مجموع المربعات ، ترتبط معدلات ضربات القلب بـ يمكن وضع مجاميع المربعات المرتبطة بتحلل التباين ، جنبًا إلى جنب مع معدلات ضربات القلب المقابلة ، في ما يسمى جدول تحليل التباين (جدول تحليل التباين ANOVA) (الجدول 3.1). الجدول 3.1 طاولة ANOVA مصدر مجموع المربعات مربع متوسط تراجع SS2/ (ن -2) باستخدام الاختصار المقدم لمجموع المربعات ، نحدد معامل التحديدكنسبة مجموع انحدار المربعات إلى المجموع الكلي للمربعات كما (3.13)
معامل التحديد يقيس نسبة التباين في متغير ص، والتي يمكن تفسيرها باستخدام معلومات حول تباين المتغير المستقل x.يتغير معامل التحديد من الصفر عندما Xلا يؤثر نعم ،لواحد عند التغيير صشرحه التغيير بشكل كامل x. أفضل تنبؤ هو ذلك الذي يحتوي على أصغر تباين. في حالتنا ، تنتج المربعات الصغرى التقليدية أفضل تنبؤ لجميع الطرق التي تعطي تقديرات غير متحيزة بناءً على معادلات خطية. يمكن أن يأتي خطأ التنبؤ المرتبط بإجراء التنبؤ من أربعة مصادر. أولاً ، تضمن الطبيعة العشوائية للأخطاء الإضافية التي يتم معالجتها بواسطة الانحدار الخطي أن تنحرف التوقعات عن القيم الحقيقية حتى لو تم تحديد النموذج بشكل صحيح وكانت معلماته معروفة بدقة. ثانيًا ، تقدم عملية التقدير نفسها خطأً في تقدير المعلمات التي نادرًا ما تكون مساوية للقيم الحقيقية ، على الرغم من أنها تساويها في المتوسط. ثالثًا ، في حالة التنبؤ المشروط (في حالة القيم الدقيقة غير المعروفة للمتغيرات المستقلة) ، يتم إدخال الخطأ مع توقع المتغيرات التوضيحية. رابعًا ، قد يظهر الخطأ لأن مواصفات النموذج غير دقيقة. نتيجة لذلك ، يمكن تصنيف مصادر الخطأ على النحو التالي: سننظر في توقع غير مشروط ، عندما يتم التنبؤ بالمتغيرات المستقلة بسهولة ودقة. نبدأ نظرنا في مشكلة الجودة المتوقعة مع معادلة الانحدار المزدوج. يمكن صياغة بيان المشكلة في هذه الحالة على النحو التالي: ما هو أفضل توقع y T + 1 ، بشرط ذلك في النموذج ص = أ + ب سوالخيارات أو بيقدر بالضبط ، والقيمة xT + 1معروف. ثم يمكن تعريف القيمة المتوقعة على أنها سيكون خطأ التنبؤ بعد ذلك خطأ التنبؤ له خاصيتان: يكون التباين الناتج في حده الأدنى بين جميع التقديرات الممكنة بناءً على المعادلات الخطية. رغم أو b معروفين ، يظهر خطأ التنبؤ بسبب حقيقة ذلك في T + 1قد لا تقع على خط الانحدار بسبب خطأ ما ε T + 1، مع مراعاة التوزيع الطبيعي بمتوسط صفر وتباين σ2. للتحقق من جودة التوقعات ، نقدم القيمة الطبيعية يمكن بعد ذلك تحديد فاصل الثقة 95٪ على النحو التالي: أين β 0.05كميات التوزيع الطبيعي. يمكن تعريف حدود الفاصل الزمني 95٪ على أنها لاحظ أنه في هذه الحالة العرض فاصل الثقةلا تعتمد على الحجم X ،وحدود الفترة الزمنية عبارة عن خطوط مستقيمة موازية لخطوط الانحدار. في كثير من الأحيان ، عند إنشاء خط الانحدار والتحقق من جودة التنبؤ ، من الضروري تقييم ليس فقط معاملات الانحدار ، ولكن أيضًا تباين خطأ التنبؤ. يمكن إثبات أنه في هذه الحالة يعتمد تباين الخطأ على القيمة () ، حيث تكون القيمة المتوسطة للمتغير المستقل. بالإضافة إلى ذلك ، كلما طالت السلسلة ، زادت دقة التنبؤ. ينخفض خطأ التنبؤ إذا كانت قيمة X T + 1 قريبة من القيمة المتوسطة للمتغير المستقل ، وعلى العكس من ذلك ، عند الابتعاد عن القيمة المتوسطة ، يصبح التنبؤ أقل دقة. على التين. يوضح الشكل 3.6 نتائج التنبؤ باستخدام معادلة الانحدار الخطي لمدة 6 فترات زمنية للأمام جنبًا إلى جنب مع فترات الثقة. أرز. 3.6 توقع الانحدار الخطي كما يظهر في الشكل. 3.6 ، لا يصف خط الانحدار البيانات الأصلية جيدًا: هناك تباين كبير بالنسبة إلى الخط المناسب. يمكن أيضًا الحكم على جودة النموذج من خلال القيم المتبقية ، والتي يجب توزيعها تقريبًا وفقًا للقانون العادي باستخدام نموذج مُرضٍ. على التين. يوضح الشكل 3.7 رسمًا بيانيًا للمخلفات ، مبنيًا باستخدام مقياس احتمالية. الشكل 3.7. مخطط بقايا عند استخدام مثل هذا المقياس ، يجب أن تكون البيانات التي تلتزم بالقانون العادي على خط مستقيم. على النحو التالي من الشكل ، فإن النقاط في بداية ونهاية فترة المراقبة تنحرف إلى حد ما عن الخط المستقيم ، مما يشير إلى جودة عالية غير كافية للنموذج المختار في شكل معادلة الانحدار الخطي. في الجدول. يوضح الجدول 3.2 نتائج التنبؤ (العمود الثاني) إلى جانب فواصل الثقة 95٪ (العمود الثالث والرابع العلوي ، على التوالي). الجدول 3.2 نتائج التوقعات في الانحدار متعدد المتغيرات ، تتضمن بيانات كل حالة قيم المتغير التابع وكل متغير مستقل. المتغير التابع ذهو متغير عشوائي متعلق بالمتغيرات المستقلة بالعلاقة التالية: حيث يتم تحديد معاملات الانحدار ؛ ε
مكون الخطأ المقابل لانحراف قيم المتغير التابع عن النسبة الحقيقية (يُفترض أن الأخطاء مستقلة ولها توزيع طبيعي بمتوسط صفري وتباين غير معروف σ
). بالنسبة لمجموعة بيانات معينة ، يمكن العثور على تقديرات معاملات الانحدار باستخدام طريقة المربعات الصغرى. إذا تم الإشارة إلى تقديرات OLS بواسطة ، فستبدو وظيفة الانحدار المقابلة كما يلي: القيم المتبقية هي تقديرات لمكون الخطأ وتشبه القيم المتبقية في حالة الانحدار الخطي البسيط. يتم إجراء التحليل الإحصائي لنموذج الانحدار متعدد المتغيرات بشكل مشابه لتحليل الانحدار الخطي البسيط. تتيح الحزم القياسية للبرامج الإحصائية الحصول على تقديرات بالمربعات الصغرى لمعلمات النموذج وتقديرات أخطائها المعيارية. أيضا ، يمكنك الحصول على القيمة ر- إحصائيات للتحقق من أهمية المصطلحات الفردية لنموذج الانحدار والقيمة F- إحصائيات لاختبار أهمية الاعتماد على الانحدار. شكل تقسيم مجاميع المربعات في حالة الانحدار متعدد المتغيرات يشبه التعبير (3.13) ، لكن النسبة لمعدل ضربات القلب ستكون على النحو التالي نؤكد مرة أخرى على ذلك نهو حجم الملاحظات ، و كعدد المتغيرات في النموذج. يتكون التباين العام للمتغير التابع من مكونين: التباين الموضح بواسطة المتغيرات المستقلة من خلال دالة الانحدار والتباين غير المبرر. سيكون للجدول ANOVA لحالة الانحدار متعدد المتغيرات الشكل الموضح في الجدول. 3.3 الجدول 3.3 طاولة ANOVA مصدر مجموع المربعات مربع متوسط تراجع SS2/ (ن ك -1) كمثال على الانحدار متعدد المتغيرات ، سنستخدم البيانات من حزمة Statistica (ملف البيانات الفقر.تستند البيانات المقدمة إلى مقارنة نتائج تعدادي 1960 و 1970. لعينة عشوائية من 30 دولة. تم إدخال أسماء البلدان كأسماء سلسلة ، وأسماء جميع المتغيرات في هذا الملف مذكورة أدناه: POP_CHNG
التغير السكاني 1960-1970 ؛ N_EMPLD
عدد الأشخاص العاملين في الزراعة ؛ PT_POOR النسبة المئوية للأسر التي تعيش تحت خط الفقر ؛ معدل الضريبة TAX_RATE ؛ نسبة PT_PHONE من الشقق المزودة بهاتف ؛ PT_RURAL النسبة المئوية لسكان الريف ؛ العمر منتصف العمر. كمتغير تابع ، نختار الميزة Pt_Poor، ومستقل - كل البقية. ترد معاملات الانحدار المحسوبة بين المتغيرات المختارة في الجدول. 3.4 الجدول 3.4 معاملات الانحدار يوضح هذا الجدول معاملات الانحدار ( في) ومعاملات الانحدار المعيارية ( بيتا). بمساعدة المعاملات فييتم تعيين شكل معادلة الانحدار ، والتي في هذه الحالة لها الشكل: يرجع التضمين في الجانب الأيمن من هذه المتغيرات فقط إلى حقيقة أن هذه الميزات فقط لها قيمة احتمالية صأقل من 0.05 (انظر العمود الرابع من الجدول 3.4). 1. الأحكام المنهجية الأساسية. تستخدم طريقة التنعيم الأسية البسيطة متوسطًا متحركًا (أسيًا) لجميع الملاحظات السابقة. غالبًا ما يتم تطبيق هذا النموذج على البيانات التي يكون من الضروري فيها تقييم وجود علاقة بين المؤشرات التي تم تحليلها (الاتجاه) أو اعتماد البيانات التي تم تحليلها. الغرض من التسوية الأسية هو تقدير الحالة الحالية ، وستحدد نتائجها جميع التوقعات المستقبلية. يوفر التجانس الأسيالتحديث المستمر للنموذج بسبب أحدث البيانات. تعتمد هذه الطريقة على حساب متوسط (تجانس) السلاسل الزمنية للملاحظات السابقة في اتجاه تنازلي (أسي). أي أن الأحداث اللاحقة تُعطى وزناً أكبر. يتم تعيين الوزن على النحو التالي: بالنسبة للملاحظة الأخيرة ، سيكون الوزن هو القيمة α ، وما قبل الأخير - (1-α) ، للذي كان قبله - (1-α) 2 ، إلخ. في شكل متجانس ، يمكن تمثيل التنبؤ الجديد (للفترة الزمنية t + 1) كمتوسط مرجح لآخر ملاحظة لكمية في الوقت t وتوقعاتها السابقة لنفس الفترة t. علاوة على ذلك ، يتم تعيين الوزن α للقيمة المرصودة ، ويتم تعيين الوزن (1- α) للتنبؤ ؛ من المفترض أن 0< α<1. Это правило в общем виде можно записать следующим образом. توقعات جديدة = [α * (آخر ملاحظة)] + [(1- α) * آخر توقعات] أين هي القيمة المتوقعة للفترة القادمة ؛ α هو ثابت التنعيم ؛ Y t هي ملاحظة قيمة الفترة الحالية t ؛ التنبؤ السلس السابق لهذه القيمة للفترة t. التجانس الأسي هو إجراء لمراجعة نتائج التوقعات باستمرار في ضوء أحدث التطورات. ثابت التنعيم α هو عامل مرجح. يتم تحديد قيمتها الحقيقية من خلال المدى الذي يجب أن تؤثر فيه الملاحظة الحالية على القيمة المتوقعة. إذا كانت α قريبة من 1 ، فإن التنبؤ يأخذ في الاعتبار قيمة الخطأ في آخر توقع. على العكس من ذلك ، بالنسبة للقيم الصغيرة لـ α ، تكون القيمة المتوقعة هي الأقرب إلى التوقعات السابقة. يمكن اعتباره متوسطًا مرجحًا لجميع الملاحظات السابقة مع انخفاض الأوزان بشكل كبير مع "عمر" البيانات. الجدول 2.1 مقارنة تأثير القيم المختلفة لثوابت التجانس الثابت α هو مفتاح تحليل البيانات. إذا كان مطلوبًا أن تكون القيم المتوقعة مستقرة ويتم تسوية الانحرافات العشوائية ، فمن الضروري اختيار قيمة صغيرة لـ α. القيمة الكبيرة للثابت α منطقية إذا كنت بحاجة إلى استجابة سريعة للتغيرات في طيف المراقبة. 2. مثال عملي على التجانس الأسي. يتم تقديم بيانات الشركة من حيث حجم المبيعات (ألف وحدة) لمدة سبع سنوات ، ويتم أخذ ثابت التسوية يساوي 0.1 و 0.6. تشكل البيانات لمدة 7 سنوات جزء الاختبار ؛ عليهم من الضروري تقييم فعالية كل نموذج. للتمهيد الأسي للسلسلة ، يتم أخذ القيمة الأولية تساوي 500 (يتم تسجيل القيمة الأولى للبيانات الفعلية أو متوسط القيمة لفترات 3-5 في القيمة المتجانسة للربع الثاني). الجدول 2.2 بيانات أولية على التين. يوضح الشكل 2.1 تنبؤًا قائمًا على التجانس الأسي مع ثابت التنعيم 0.1. أرز. 2.1. تجانس الأسي الحل في Excel. 1. حدد القائمة "أدوات" - "تحليل البيانات". من قائمة أدوات التحليل ، حدد التجانس الأسي. إذا لم يكن هناك تحليل بيانات في قائمة "الأدوات" ، فأنت بحاجة إلى تثبيت "حزمة التحليل". للقيام بذلك ، ابحث عن عنصر "الإعدادات" في "المعلمات" وفي مربع الحوار الذي يظهر ، حدد مربع "حزمة التحليل" ، انقر فوق موافق. 2. مربع الحوار هو مبين في الشكل. 2.2. 3. في حقل "فترة الإدخال" ، أدخل قيم البيانات الأولية (بالإضافة إلى خلية واحدة مجانية). 4. حدد مربع الاختيار "التصنيفات" (إذا كان نطاق الإدخال يحتوي على أسماء أعمدة). 5. أدخل قيمة (1-α) في حقل عامل التخميد. 6. في حقل "الفاصل الزمني للإدخال" ، أدخل قيمة الخلية التي ترغب في رؤية القيم المستلمة فيها. 7. حدد المربع "خيارات" - "إخراج الرسم البياني" لإنشائه تلقائيًا. أرز. 2.2. مربع حوار للتجانس الأسي 3. مهمة العمل المخبري. توجد بيانات أولية عن أحجام إنتاج شركة منتجة للنفط لمدة عامين ، معروضة في الجدول 2.3: الجدول 2.3 بيانات أولية أداء تجانس أسي للسلسلة. خذ معامل التنعيم الأسي يساوي 0.1 ؛ 0.2 ؛ 0.3. التعليق على النتائج. يمكنك استخدام الإحصائيات الواردة في الملحق 1.
الموضوع 3. تمهيد السلاسل الزمنية والتنبؤ بها بناءً على نماذج الاتجاه
3.1. متوسطات بسيطة
3.2 طريقة المتوسط المتحرك
3.3 تجانس الأسي
(سلسلة أصلية واحدة ؛ سلسلتان مصقولتان ؛ 3 بقايا)3.4. تجانس الأسي
قائم على الاتجاه (طريقة هولت)
في α
= 0,1
و β
= 0,1
3.5 تجانس أسي مع الاتجاه والتغيرات الموسمية (طريقة الشتاء)
.
في α
= 0,1
;β
= 0.1 ؛ γ = 0.1(1- صف أصلي ؛ 2 صف ناعم ؛ 3 بقايا)3.6 التنبؤ على أساس نماذج الاتجاه
أين أ-نقطة التقاطع؛ بزاوية الميل.
3.7 فحص النموذج المناسب
3.8 نموذج تنبؤات الانحدار
.
3.9 نموذج الانحدار متعدد المتغيرات
فهرس
زمن القيمة الفعلية (الفعلية) قيمة ناعمة خطأ في التنبؤ
عام ربع 0,1
0,1
تتفوق حسب الصيغة
# لا ينطبق
0,00
500,00
-150,00
485,00
485,00
-235,00
461,50
461,50
-61,50
455,35
455,35
-5,35
454,82
454,82
-104,82
444,33
444,33
-244,33
419,90
419,90
-119,90
407,91
407,91
-57,91
402,12
402,12
-202,12
381,91
381,91
-231,91
358,72
358,72
41,28
362,84
362,84
187,16
381,56
381,56
-31,56
378,40
378,40
-128,40
365,56
365,56
184,44
384,01
384,01
165,99
400,61
400,61
-0,61
400,55
400,55
-50,55
395,49
395,49
204,51
415,94
415,94
334,06
449,35
449,35
50,65
454,41
454,41
-54,41
448,97
448,97
201,03
469,07
469,07
380,93
كيف تبدأ كمدرس؟
تعلم اللغة الإنجليزية عن بعد
الأفعال الإنجليزية المنتظمة وغير المنتظمة