كيفية حل مميز معادلة من الدرجة الثانية. المعادلات التربيعية

تبدأ المعادلات المميزة وكذلك التربيعية في دراستها في مقرر الجبر في الصف الثامن. يمكنك حل معادلة تربيعية من خلال المميز واستخدام نظرية فييتا. إن منهجية دراسة المعادلات التربيعية ، وكذلك المعادلة التمييزية ، تم غرسها بشكل غير ناجح في أطفال المدارس ، مثل الكثير في التعليم الحقيقي. لذلك ، تمر السنوات الدراسية ، ويحل التعليم في الصفوف 9-11 محل "التعليم العالي" ويبحث الجميع مرة أخرى عن - "كيف نحل المعادلة التربيعية؟" ، "كيف تجد جذور المعادلة؟" ، "كيف تجد المميز؟" و...

صيغة مميزة

المميز D للمعادلة التربيعية a * x ^ 2 + bx + c = 0 هو D = b ^ 2–4 * a * c.
تعتمد جذور (حلول) المعادلة التربيعية على علامة المميز (D):
D> 0 - للمعادلة جذران حقيقيان مختلفان ؛
D = 0 - للمعادلة جذر واحد (جذران متطابقان):
د<0 – не имеет действительных корней (в школьной теории). В ВУЗах изучают комплексные числа и уже на множестве комплексных чисел уравнение с отрицательным дискриминантом имеет два комплексных корня.
صيغة حساب المميز بسيطة للغاية ، لذا تقدم العديد من المواقع آلة حاسبة مميزة عبر الإنترنت. لم نكتشف هذا النوع من البرامج النصية بعد ، لذا من يعرف كيفية تنفيذ ذلك ، يرجى الكتابة إلى البريد محمي عنوان البريد الإلكتروني هذا من المتطفلين و برامج التطفل. يجب أن يكون لديك تمكين جافا سكريبت للعرض. .

الصيغة العامة لإيجاد جذور المعادلة التربيعية:

تم إيجاد جذور المعادلة بواسطة الصيغة
إذا تم إقران معامل المتغير في المربع ، فمن المستحسن حساب ليس المميز ، ولكن الجزء الرابع
في مثل هذه الحالات ، يتم إيجاد جذور المعادلة بواسطة الصيغة

الطريقة الثانية للعثور على الجذور هي نظرية فييتا.

تمت صياغة النظرية ليس فقط للمعادلات التربيعية ، ولكن أيضًا لكثيرات الحدود. يمكنك قراءة هذا على ويكيبيديا أو مصادر إلكترونية أخرى. ومع ذلك ، للتبسيط ، ضع في اعتبارك أن الجزء المتعلق بالمعادلات التربيعية المختصرة ، أي معادلات النموذج (أ = 1)
يتمثل جوهر صيغ Vieta في أن مجموع جذور المعادلة يساوي معامل المتغير المأخوذ بعلامة معاكسة. حاصل ضرب جذور المعادلة يساوي المصطلح الحر. صيغ نظرية فييتا لها تدوين.
اشتقاق صيغة فييتا بسيط للغاية. لنكتب المعادلة التربيعية بدلالة العوامل الأولية
كما ترى ، كل شيء عبقري بسيط في نفس الوقت. من الفعال استخدام صيغة فييتا عندما يكون الاختلاف في معامل الجذور أو الاختلاف في معامل الجذور هو 1 ، 2. على سبيل المثال ، المعادلات التالية ، وفقًا لنظرية فييتا ، لها جذور




يجب أن يبدو ما يصل إلى 4 تحليل معادلة على هذا النحو. حاصل ضرب جذور المعادلة هو 6 ، لذا يمكن أن تكون الجذور هي القيم (1 ، 6) و (2 ، 3) أو أزواج مع الإشارة المعاكسة. مجموع الجذور هو 7 (معامل المتغير مع الإشارة المعاكسة). من هنا نستنتج أن حلول المعادلة التربيعية تساوي x = 2 ؛ س = 3.
من الأسهل تحديد جذور المعادلة بين قواسم المصطلح الحر ، وتصحيح علامتهم من أجل تحقيق معادلات Vieta. في البداية ، يبدو هذا صعبًا ، ولكن مع الممارسة على عدد من المعادلات التربيعية ، ستكون هذه التقنية أكثر كفاءة من حساب المميز وإيجاد جذور المعادلة التربيعية بالطريقة الكلاسيكية.
كما ترى ، فإن النظرية المدرسية لدراسة المميز وطرق إيجاد حلول للمعادلة خالية من المعنى العملي - "لماذا يحتاج تلاميذ المدارس إلى معادلة من الدرجة الثانية؟" ، "ما هو المعنى المادي للتمييز؟".

دعنا نحاول معرفة ذلك ماذا يصف المميز؟

في سياق الجبر ، يدرسون الوظائف وخطط دراسة الوظائف ووظائف التخطيط. من بين جميع الوظائف ، يحتل القطع المكافئ مكانًا مهمًا ، ويمكن كتابة معادلته في الشكل
لذا فإن المعنى المادي للمعادلة التربيعية هو أصفار القطع المكافئ ، أي نقاط تقاطع الرسم البياني للدالة مع محور الإحداثيات.
أطلب منك أن تتذكر خصائص القطع المكافئ الموضحة أدناه. سيحين الوقت لإجراء الاختبارات أو الاختبارات أو امتحانات القبول وستكون ممتنًا للمواد المرجعية. تتوافق علامة المتغير في المربع مع ما إذا كانت فروع القطع المكافئ على الرسم البياني سترتفع (a> 0) ،

أو قطع مكافئ مع فروع أسفل (أ<0) .

يقع رأس القطع المكافئ في منتصف المسافة بين الجذور

المعنى المادي للمميز:

إذا كان المميز أكبر من صفر (D> 0) ، فإن القطع المكافئ له نقطتا تقاطع مع محور الثور.
إذا كان المميز يساوي صفرًا (D = 0) ، فإن القطع المكافئ في الأعلى يلمس المحور x.
والحالة الأخيرة ، عندما يكون المميز أقل من صفر (D<0) – график параболы принадлежит плоскости над осью абсцисс (ветки параболы вверх), или график полностью под осью абсцисс (ветки параболы опущены вниз).

معادلات تربيعية غير مكتملة

تتم دراسة المعادلات التربيعية في الصف الثامن ، لذلك لا يوجد شيء معقد هنا. القدرة على حلها أمر ضروري.

المعادلة التربيعية هي معادلة على شكل ax 2 + bx + c = 0 ، حيث تكون المعاملات a و b و c أرقامًا عشوائية ، و a 0.

قبل دراسة طرق حل محددة ، نلاحظ أنه يمكن تقسيم جميع المعادلات التربيعية إلى ثلاث فئات:

1. ليس لها جذور
2. لديهم جذر واحد بالضبط.
3. لديهم جذرين مختلفين.

هذا فرق مهم بين المعادلات التربيعية والخطية ، حيث يوجد الجذر دائمًا ويكون فريدًا. كيف تحدد عدد الجذور التي تمتلكها المعادلة؟ هناك شيء رائع لهذا - مميز.

مميز

لنفترض أن المعادلة التربيعية ax 2 + bx + c = 0 ثم المميز هو ببساطة الرقم D = b 2 - 4ac.

يجب أن تعرف هذه الصيغة عن ظهر قلب. من أين يأتي ليس مهمًا الآن. شيء آخر مهم: بعلامة المميز ، يمكنك تحديد عدد جذور المعادلة التربيعية. يسمى:

1. إذا كان د< 0, корней нет;
2. إذا كانت D = 0 ، فهناك جذر واحد بالضبط ؛
3. إذا كانت D> 0 ، فسيكون هناك جذران.

يرجى ملاحظة: المميز يشير إلى عدد الجذور ، وليس على الإطلاق علاماتها ، كما يعتقد كثير من الناس لسبب ما. ألقِ نظرة على الأمثلة وستفهم كل شيء بنفسك:

مهمة. كم عدد جذور المعادلات التربيعية:

1. × 2-8 س + 12 = 0 ؛
2. 5x2 + 3x + 7 = 0 ؛
3. س 2-6 س + 9 = 0.

نكتب معاملات المعادلة الأولى ونجد المميز:
أ = 1 ، ب = 8 ، ج = 12 ؛
د = (8) 2-4 1 12 = 64-48 = 16

إذن ، المميز موجب ، ومن ثم فإن للمعادلة جذرين مختلفين. نقوم بتحليل المعادلة الثانية بنفس الطريقة:
أ = 5 ؛ ب = 3 ؛ ج = 7 ؛
د \ u003d 3 2-4 5 7 = 9 - 140 \ u003d -131.

المميز سالب ، لا توجد جذور. تبقى المعادلة الأخيرة:
أ = 1 ؛ ب = -6 ؛ ج = 9 ؛
د = (6) 2-4 1 9 = 36-36 = 0.

المميز يساوي صفرًا - الجذر سيكون واحدًا.

لاحظ أنه تم كتابة المعاملات لكل معادلة. نعم ، إنها طويلة ، نعم ، إنها مملة - لكنك لن تخلط بين الاحتمالات ولا ترتكب أخطاء غبية. اختر لنفسك: السرعة أو الجودة.

بالمناسبة ، إذا "تملأ يدك" ، فلن تحتاج بعد فترة إلى كتابة جميع المعاملات. ستقوم بمثل هذه العمليات في رأسك. يبدأ معظم الناس في القيام بذلك في مكان ما بعد حل 50-70 معادلة - بشكل عام ، ليس كثيرًا.

جذور المعادلة التربيعية

الآن دعنا ننتقل إلى الحل. إذا كان المميز D> 0 ، فيمكن إيجاد الجذور باستخدام الصيغ:

الصيغة الأساسية لجذور المعادلة التربيعية

عندما تكون D = 0 ، يمكنك استخدام أي من هذه الصيغ - تحصل على نفس الرقم ، والذي سيكون الإجابة. أخيرًا ، إذا كان د< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. × 2 - 2 س - 3 = 0 ؛
2. 15 - 2x - x2 = 0 ؛
3. س 2 + 12 س + 36 = 0.

المعادلة الأولى:
س 2 - 2 س - 3 = 0 ⇒ أ = 1 ؛ ب = −2 ؛ ج = -3 ؛
د = (2) 2-4 1 (3) = 16.

D> 0 ⇒ للمعادلة جذرين. لنجدهم:

المعادلة الثانية:
15-2 س - س 2 = 0 ⇒ أ = -1 ؛ ب = −2 ؛ ج = 15 ؛
د = (2) 2-4 (1) 15 = 64.

D> 0 ⇒ للمعادلة مرة أخرى جذرين. دعنا نجدهم

\ [\ start (محاذاة) & ((x) _ (1)) = \ frac (2+ \ sqrt (64)) (2 \ cdot \ left (-1 \ right)) = - 5 ؛ \\ & ((x) _ (2)) = \ frac (2- \ sqrt (64)) (2 \ cdot \ left (-1 \ right)) = 3. \\ \ end (محاذاة) \]

أخيرًا المعادلة الثالثة:
س 2 + 12 س + 36 = 0 أ = 1 ؛ ب = 12 ؛ ج = 36 ؛
د = 12 2-4 1 36 = 0.

د = 0 ⇒ للمعادلة جذر واحد. يمكن استخدام أي صيغة. على سبيل المثال ، الأول:

كما ترون من الأمثلة ، كل شيء بسيط للغاية. إذا كنت تعرف الصيغ وكنت قادرًا على العد ، فلن تكون هناك مشاكل. في أغلب الأحيان ، تحدث الأخطاء عند استبدال المعامِلات السالبة في الصيغة. هنا ، مرة أخرى ، ستساعد التقنية الموضحة أعلاه: انظر إلى الصيغة حرفيًا ، ورسم كل خطوة - وتخلص من الأخطاء قريبًا جدًا.

معادلات تربيعية غير مكتملة

يحدث أن تختلف المعادلة التربيعية إلى حد ما عما ورد في التعريف. فمثلا:

1. x2 + 9x = 0 ؛
2. x2 - 16 = 0.

من السهل ملاحظة أن أحد المصطلحات مفقود في هذه المعادلات. مثل هذه المعادلات التربيعية أسهل في الحل من المعادلات القياسية: فهي لا تحتاج حتى لحساب المميز. لذلك دعونا نقدم مفهومًا جديدًا:

تسمى المعادلة ax 2 + bx + c = 0 بمعادلة تربيعية غير كاملة إذا كانت b = 0 أو c = 0 ، أي معامل المتغير x أو العنصر الحر يساوي صفرًا.

بالطبع ، من الممكن حدوث حالة صعبة للغاية عندما يكون كلا المعاملين مساويين للصفر: ب \ u003d ج ​​\ u003d 0. في هذه الحالة ، تأخذ المعادلة شكل ax 2 \ u003d 0. من الواضح أن هذه المعادلة لها قيمة واحدة الجذر: x \ u003d 0.

لننظر في حالات أخرى. دعنا ب \ u003d 0 ، ثم نحصل على معادلة تربيعية غير مكتملة للنموذج ax 2 + c \ u003d 0. دعنا نحولها قليلاً:

نظرًا لأن الجذر التربيعي الحسابي موجود فقط من رقم غير سالب ، فإن المساواة الأخيرة تكون منطقية فقط عندما (−c / a) ≥ 0. الخلاصة:

1. إذا كانت المعادلة التربيعية غير المكتملة من الشكل ax 2 + c = 0 تحقق عدم المساواة (−c / a) ≥ 0 ، فسيكون هناك جذران. الصيغة المذكورة أعلاه ؛
2. إذا (−c / a)< 0, корней нет.

كما ترى ، لم يكن المميز مطلوبًا - لا توجد حسابات معقدة على الإطلاق في معادلات تربيعية غير مكتملة. في الواقع ، ليس من الضروري حتى تذكر المتباينة (−c / a) ≥ 0. يكفي التعبير عن قيمة x 2 ومعرفة ما يوجد على الجانب الآخر من علامة التساوي. إذا كان هناك عدد موجب ، فسيكون هناك جذران. إذا كانت سلبية ، فلن تكون هناك جذور على الإطلاق.

الآن دعونا نتعامل مع المعادلات على شكل ax 2 + bx = 0 ، حيث يكون العنصر الحر مساويًا للصفر. كل شيء بسيط هنا: سيكون هناك دائمًا جذرين. يكفي تحليل كثير الحدود إلى عوامل:

إخراج العامل المشترك من القوس

حاصل الضرب يساوي صفرًا عندما يكون أحد العوامل على الأقل يساوي صفرًا. هذا هو المكان الذي تأتي منه الجذور. في الختام ، سنقوم بتحليل العديد من هذه المعادلات:

مهمة. حل المعادلات التربيعية:

1. x2 - 7x = 0 ؛
2. 5 × 2 + 30 = 0 ؛
3. 4 × 2 - 9 = 0.

س 2 - 7 س = 0 س (س - 7) = 0 ⇒ × 1 = 0 ؛ x2 = - (- 7) / 1 = 7.

5x2 + 30 = 0 5x2 = -30 x2 = -6. لا توجد جذور لأن لا يمكن أن يكون المربع مساويًا لرقم سالب.

4x 2 - 9 = 0 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1.5 ؛ × 2 \ u003d -1.5.

مدرسة Kopyevskaya الثانوية الريفية

10 طرق لحل المعادلات التربيعية

الرأس: باتريكيفا غالينا أناتوليفنا ،

مدرس رياضيات

s.Kopyevo ، 2007

1. تاريخ تطور المعادلات التربيعية

1.1 المعادلات التربيعية في بابل القديمة

1.2 كيف قام ديوفانتوس بتجميع وحل المعادلات التربيعية

1.3 المعادلات التربيعية في الهند

1.4 المعادلات التربيعية في الخوارزمي

1.5 المعادلات التربيعية في أوروبا القرنين الثالث عشر والسابع عشر

1.6 حول نظرية فييتا

2. طرق حل المعادلات التربيعية

استنتاج

المؤلفات

1. تاريخ تطور المعادلات التربيعية

1.1 المعادلات التربيعية في بابل القديمة

كانت الحاجة إلى حل المعادلات ليس فقط من الدرجة الأولى ، ولكن أيضًا من الدرجة الثانية في العصور القديمة بسبب الحاجة إلى حل المشكلات المتعلقة بإيجاد مناطق الأرض وأعمال الحفر ذات الطبيعة العسكرية ، وكذلك تطوير علم الفلك و الرياضيات نفسها. كانت المعادلات التربيعية قادرة على حل حوالي 2000 قبل الميلاد. ه. البابليون.

بتطبيق تدوين جبري حديث ، يمكننا القول أنه في نصوصهم المسمارية توجد ، بالإضافة إلى النصوص غير المكتملة ، على سبيل المثال ، معادلات تربيعية كاملة:

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

تتطابق قاعدة حل هذه المعادلات ، المنصوص عليها في النصوص البابلية ، بشكل أساسي مع القاعدة الحديثة ، لكن من غير المعروف كيف جاء البابليون إلى هذه القاعدة. تقريبًا كل النصوص المسمارية التي تم العثور عليها حتى الآن لا تقدم سوى مشاكل تتعلق بالحلول المذكورة في شكل وصفات ، مع عدم وجود إشارة إلى كيفية العثور عليها.

على الرغم من ارتفاع مستوى تطور علم الجبر في بابل ، إلا أن النصوص المسمارية تفتقر إلى مفهوم الرقم السالب والطرق العامة لحل المعادلات التربيعية.

1.2 كيف قام ديوفانتوس بتجميع وحل المعادلات التربيعية.

لا يحتوي حساب Diophantus 'الحسابي على عرض منهجي للجبر ، ولكنه يحتوي على سلسلة منهجية من المسائل ، مصحوبة بتفسيرات ويتم حلها عن طريق وضع معادلات بدرجات مختلفة.

عند تجميع المعادلات ، يختار Diophantus بمهارة المجهول لتبسيط الحل.

هنا ، على سبيل المثال ، هي إحدى مهامه.

المهمة 11."أوجد رقمين مع العلم أن مجموعهما 20 وحاصل ضربهما 96"

يجادل Diophantus على النحو التالي: ينتج عن حالة المشكلة أن الأرقام المرغوبة ليست متساوية ، لأنه إذا كانت متساوية ، فلن يكون ناتجها 96 ، بل 100. وهكذا ، سيكون أحدهم أكثر من نصف المجموع ، أي. 10 + سوالآخر أصغر أي 10's. الفرق بينهما 2x .

ومن هنا جاءت المعادلة:

(10 + س) (10 - س) = 96

100 - × 2 = 96

× 2-4 = 0 (1)

من هنا س = 2. أحد الأرقام المطلوبة هو 12 ، آخر 8 . المحلول س = -2بالنسبة إلى Diophantus غير موجود ، لأن الرياضيات اليونانية كانت تعرف الأعداد الموجبة فقط.

إذا حللنا هذه المشكلة باختيار أحد الأرقام المرغوبة باعتباره المجهول ، فسنصل إلى حل المعادلة

ص (20 - ص) = 96 ،

ص 2 - 20 ص + 96 = 0. (2)

من الواضح أن Diophantus يبسط الحل باختيار نصف فرق الأرقام المرغوبة على أنها غير معروفة ؛ تمكن من تقليل المشكلة إلى حل معادلة تربيعية غير مكتملة (1).

1.3 المعادلات التربيعية في الهند

تم العثور بالفعل على مشاكل المعادلات التربيعية في المسالك الفلكية "Aryabhattam" ، التي جمعت في 499 من قبل عالم الرياضيات والفلك الهندي Aryabhatta. حدد عالم هندي آخر ، Brahmagupta (القرن السابع) ، القاعدة العامة لحل المعادلات التربيعية التي تم تقليصها إلى شكل أساسي واحد:

آه 2+ ب س = ج ، أ> 0. (1)

في المعادلة (1) ، المعاملات ، باستثناء أ، يمكن أن تكون سلبية أيضًا. يتطابق حكم براهماغوبتا بشكل أساسي مع حكمنا.

في الهند القديمة ، كانت المسابقات العامة في حل المشكلات الصعبة شائعة. في أحد الكتب الهندية القديمة ، قيل ما يلي عن مثل هذه المسابقات: "عندما تشرق الشمس على النجوم بتألقها ، فإن الشخص المتعلم سوف يتفوق على مجد آخر في الاجتماعات العامة ، ويقترح ويحل المسائل الجبرية." غالبًا ما كانت ترتدي المهام في شكل شعري.

إليكم إحدى مشكلات عالم الرياضيات الهندي الشهير في القرن الثاني عشر. باسكارا.

المهمة 13.

"قطيع مرح من القرود واثنا عشر في الكروم ...

بعد أن أكل السلطة ، استمتع. بدأوا في القفز ، معلقين ...

الجزء الثامن منهم في مربع كم عدد القردة هناك ،

يلهون في المرج. أخبرني ، في هذا القطيع؟

يشير حل باسكارا إلى أنه كان على علم بالقيمة الثنائية لجذور المعادلات التربيعية (الشكل 3).

المعادلة المقابلة للمسألة 13 هي:

( x /8) 2 + 12 = x

يكتب باسكارا تحت ستار:

× 2 - 64 × = -768

ولإكمال الجانب الأيسر من هذه المعادلة إلى مربع ، يضيف إلى كلا الجانبين 32 2 ، ثم الحصول على:

× 2 - 64 × + 32 2 = -768 + 1024 ،

(س - 32) 2 = 256 ،

س - 32 = ± 16 ،

× 1 = 16 ، × 2 = 48.

1.4 المعادلات التربيعية في الخوارزمي

تعطي أطروحة الخورزمي الجبرية تصنيفًا للمعادلات الخطية والتربيعية. يسرد المؤلف 6 أنواع من المعادلات ، معربًا عنها على النحو التالي:

1) "المربعات تساوي الجذور" ، أي الفأس 2 + ج = ب X.

2) "المربعات تساوي الرقم" ، أي الفأس 2 = ق.

3) "الجذور تساوي العدد" ، أي آه = ق.

4) "المربعات والأرقام تساوي الجذور" ، أي الفأس 2 + ج = ب X.

5) "المربعات والجذور تساوي العدد" ، أي آه 2+ bx = ق.

6) "الجذور والأرقام تساوي المربعات" ، أي bx + ج \ u003d فأس 2.

بالنسبة للخوارزمي ، الذي تجنب استخدام الأعداد السالبة ، فإن مصطلحات كل من هذه المعادلات هي عمليات الجمع ، وليس الطرح. في هذه الحالة ، من الواضح أن المعادلات التي ليس لها حلول إيجابية لا تؤخذ في الاعتبار. يحدد المؤلف طرق حل هذه المعادلات باستخدام طريقتي الجبر والمقبلة. قراراته ، بالطبع ، لا تتوافق تمامًا مع قراراتنا. ناهيك عن حقيقة أنها بلاغية بحتة ، وتجدر الإشارة ، على سبيل المثال ، إلى أنه عند حل معادلة تربيعية غير مكتملة من النوع الأول

الخوارزمي ، مثله مثل جميع علماء الرياضيات قبل القرن السابع عشر ، لا يأخذ في الحسبان الحل الصفري ، ربما لأنه لا يهم في مشاكل عملية محددة. عند حل المعادلات التربيعية الكاملة ، يحدد الخورزمي قواعد الحل ، ثم البراهين الهندسية ، باستخدام أمثلة عددية معينة.

المهمة 14."المربع والرقم 21 يساوي 10 جذور. ابحث عن الجذر " (بافتراض جذر المعادلة x 2 + 21 = 10x).

يتحول حل المؤلف إلى شيء كالتالي: اقسم عدد الجذور إلى النصف ، وستحصل على 5 ، واضرب 5 في نفسه ، واطرح 21 من الناتج ، ويتبقى 4. خذ جذر 4 ، وستحصل على 2. اطرح 2 من 5 ، أنت الحصول على 3 ، سيكون هذا هو الجذر المطلوب. أو أضف 2 إلى 5 ، ما يعطينا 7 ، فهذا أيضًا جذر.

تعتبر رسالة الخورزمي أول كتاب وصل إلينا ، حيث تم تحديد تصنيف المعادلات التربيعية بشكل منهجي وإعطاء الصيغ لحلها.

1.5 المعادلات التربيعية في أوروبا الثالث عشر - السابع عشر قرون

تم وضع صيغ حل المعادلات التربيعية على نموذج الخوارزمي في أوروبا لأول مرة في "كتاب العداد" ، الذي كتبه عالم الرياضيات الإيطالي ليوناردو فيبوناتشي عام 1202. يتميز هذا العمل الضخم ، الذي يعكس تأثير الرياضيات ، في كل من بلاد الإسلام واليونان القديمة ، بالاكتمال والوضوح في العرض. طور المؤلف بشكل مستقل بعض الأمثلة الجبرية الجديدة لحل المشكلات وكان أول من اقترب من إدخال الأرقام السالبة في أوروبا. ساهم كتابه في انتشار المعرفة الجبرية ليس فقط في إيطاليا ، ولكن أيضًا في ألمانيا وفرنسا ودول أوروبية أخرى. تم تمرير العديد من المهام من "كتاب العداد" إلى جميع الكتب المدرسية الأوروبية تقريبًا في القرنين السادس عشر والسابع عشر. وجزئيا الثامن عشر.

القاعدة العامة لحل المعادلات التربيعية المختزلة إلى شكل أساسي واحد:

× 2+ bx = مع

لجميع المجموعات الممكنة لعلامات المعاملات ب , معتمت صياغته في أوروبا فقط في عام 1544 بواسطة M. Stiefel.

لدى Vieta اشتقاق عام لصيغة حل المعادلة التربيعية ، لكن فييتا أدركت الجذور الإيجابية فقط. كان علماء الرياضيات الإيطاليون تارتاليا وكاردانو وبومبيلي من بين الأوائل في القرن السادس عشر. ضع في اعتبارك ، بالإضافة إلى الجذور الإيجابية والسلبية. فقط في القرن السابع عشر. بفضل عمل جيرارد وديكارت ونيوتن وعلماء آخرين ، تأخذ طريقة حل المعادلات التربيعية مظهرًا حديثًا.

1.6 حول نظرية فييتا

النظرية التي تعبر عن العلاقة بين معاملات المعادلة التربيعية وجذورها ، التي تحمل اسم فيتا ، صاغها لأول مرة في عام 1591 على النحو التالي: "إذا ب + دمضروبا أ - أ 2 ، يساوي BD، ومن بعد أيساوي فيومتساو د ».

لفهم فييتا ، يجب على المرء أن يتذكر ذلك لكن، مثل أي حرف علة ، يعني بالنسبة له المجهول (لدينا X)، حروف العلة في، د- معاملات المجهول. بلغة الجبر الحديثة ، فإن صياغة فييتا أعلاه تعني: إذا

(أ + ب ) س - س 2 = أب ,

× 2 - (أ + ب ) x + أ ب = 0,

س 1 = أ ، س 2 = ب .

للتعبير عن العلاقة بين جذور المعادلات ومعاملاتها بالصيغ العامة المكتوبة باستخدام الرموز ، أسس فيت التوحيد في طرق حل المعادلات. ومع ذلك ، فإن رمزية فييتا لا تزال بعيدة عن شكلها الحديث. لم يتعرف على الأرقام السالبة ، وبالتالي ، عند حل المعادلات ، لم يأخذ في الاعتبار سوى الحالات التي تكون فيها جميع الجذور موجبة.

2. طرق حل المعادلات التربيعية

المعادلات التربيعية هي الأساس الذي يقوم عليه صرح الجبر المهيب. تستخدم المعادلات التربيعية على نطاق واسع في حل المعادلات المثلثية والأسية واللوغاريتمية وغير المنطقية والمتجاوزة والمتباينات. نعلم جميعًا كيفية حل المعادلات التربيعية من المدرسة (الصف الثامن) حتى التخرج.

المعادلة التربيعية هي معادلة على شكل ax ^ 2 + bx + c = 0 ، حيث تكون المعاملات a و b و c أرقامًا عشوائية ، و a ≠ 0 وإلا فلن تكون معادلة تربيعية. المعادلات التربيعية إما ليس لها جذور ، أو لها جذر واحد بالضبط ، أو جذران مختلفان. الخطوة الأولى هي البحث عن المميز. الصيغة: D = b ^ 2 - 4ac. 1. إذا د< 0, корней нет; 2. Если D = 0, есть ровно один корень; 3. Если D >0 ، سيكون هناك جذران. الخيار الأول واضح ، لا جذور له. إذا كان المميز D> 0 ، فيمكن إيجاد الجذور على النحو التالي: x12 = (-b + - √D) / 2a. بالنسبة للخيار الثاني ، عندما يكون D = 0 ، يمكن استخدام الصيغة العليا.

بدأت دراسة المعادلات التربيعية في المناهج المدرسية في سياق الرياضيات. لكن لسوء الحظ ، لا يفهم الجميع ويعرف كيفية حل المعادلة التربيعية وحساب جذورها بشكل صحيح. أولاً ، دعنا نفهم ما هي المعادلة التربيعية.

ما هي المعادلة التربيعية

عادة ما يُفهم مصطلح المعادلة التربيعية على أنها معادلة جبرية لشكل عام. هذه المعادلة لها الشكل التالي: ax2 + bx + c = 0 ، بينما a و b و c هي بعض الأرقام المحددة ، x غير معروف. تسمى هذه الأرقام الثلاثة عادةً معاملات المعادلة التربيعية:

• أ - المعامل الأول ؛
• ب - المعامل الثاني ؛
• ج هو المعامل الثالث.

كيفية إيجاد جذور المعادلة التربيعية

لحساب ما ستساوي جذور المعادلة التربيعية ، من الضروري إيجاد مميز المعادلة. مميز المعادلة التربيعية هو تعبير يساوي ويحسب بالصيغة b2 - 4ac. إذا كان المميز أكبر من الصفر ، يتم حساب الجذر بالصيغة: x \ u003d -b + - جذر المميز مقسومًا على 2 أ.

ضع في اعتبارك مثال المعادلة 5x تربيع - 8x +3 = 0

المميز هو ثمانية تربيع ، ناقص أربعة في خمسة في ثلاثة ، أي = 64 - 4 * 5 * 3 = 64-60 = 4

x1 \ u003d 8 + - جذر أربعة مقسومًا على مرتين في خمسة \ u003d 8 + 2/10 \ u003d 1

x2 = 8-2 / 10 = 6/10 = 3/5 = 0.6

وفقًا لذلك ، ستكون جذور هذه المعادلة التربيعية 1 و 0.6.

صيغ لجذور المعادلة التربيعية. يتم النظر في حالات الجذور الحقيقية والمتعددة والمعقدة. تحليل مربع ثلاثي الحدود إلى عوامل. تفسير هندسي. أمثلة على تحديد الجذور والعوامل.

الصيغ الأساسية

ضع في اعتبارك المعادلة التربيعية:
(1) .
جذور المعادلة التربيعية(1) تحددها الصيغ:
; .
يمكن دمج هذه الصيغ على النحو التالي:
.
عندما تُعرف جذور المعادلة التربيعية ، يمكن تمثيل كثير الحدود من الدرجة الثانية كمنتج من العوامل (محسوبة إلى عوامل):
.

علاوة على ذلك ، نفترض أن هذه أرقام حقيقية.
انصح مميز لمعادلة تربيعية:
.
إذا كان المميز موجبًا ، فإن المعادلة التربيعية (1) لها جذرين حقيقيين مختلفين:
; .
ثم يكون لتحليل ثلاثي الحدود المربع الشكل:
.
إذا كان المميز صفرًا ، فإن المعادلة التربيعية (1) لها جذور حقيقية متعددة (متساوية):
.
التخصيم:
.
إذا كان المميز سالبًا ، فإن المعادلة التربيعية (1) لها جذران مترافقان مركبان:
;
.
ها هي الوحدة التخيلية ؛
وهي الأجزاء الحقيقية والخيالية للجذور:
; .
ثم

.

تفسير الجرافيك

إذا قمنا بالرسم البياني للدالة
,
وهو قطع مكافئ ، فإن نقاط تقاطع الرسم البياني مع المحور ستكون جذور المعادلة
.
عندما يتقاطع الرسم البياني مع محور الإحداثيات (المحور) عند نقطتين.
عندما يلمس الرسم البياني المحور x عند نقطة واحدة.
عندما لا يتقاطع الرسم البياني مع المحور السيني.

فيما يلي أمثلة على هذه الرسوم البيانية.

الصيغ المفيدة المتعلقة بالمعادلة التربيعية

(و 1) ;
(و 2) ;
(و 3) .

اشتقاق صيغة جذور المعادلة التربيعية

نقوم بإجراء تحويلات ونطبق الصيغتين (f.1) و (f.3):




,
أين
; .

لذلك ، حصلنا على صيغة كثير الحدود من الدرجة الثانية في الصورة:
.
من هذا يتبين أن المعادلة

أجرى في
و .
وهذا هو ، وجذور المعادلة التربيعية
.

أمثلة على تحديد جذور المعادلة التربيعية

مثال 1

(1.1) .

المحلول

.
بالمقارنة مع معادلتنا (1.1) ، نجد قيم المعاملات:
.
البحث عن المميز:
.
نظرًا لأن المميز موجب ، فإن للمعادلة جذرين حقيقيين:
;
;
.

من هنا نحصل على تحلل المربع ثلاثي الحدود إلى عوامل:

.

رسم بياني للدالة y = 2 × 2 + 7 × + 3يقطع المحور السيني عند نقطتين.

دعنا نرسم الدالة
.
الرسم البياني لهذه الدالة هو القطع المكافئ. يعبر المحور السيني (المحور) عند نقطتين:
و .
هذه النقاط هي جذور المعادلة الأصلية (1.1).

إجابه

;
;
.

مثال 2

أوجد جذور المعادلة التربيعية:
(2.1) .

المحلول

نكتب المعادلة التربيعية بشكل عام:
.
بالمقارنة مع المعادلة الأصلية (2.1) ، نجد قيم المعاملات:
.
البحث عن المميز:
.
نظرًا لأن المميز هو صفر ، فإن المعادلة لها جذران متعددان (متساويان):
;
.

ثم يكون لعامل ثلاثي الحدود الشكل:
.

رسم بياني للدالة y = x 2 - 4 × + 4يلامس المحور السيني عند نقطة واحدة.

دعنا نرسم الدالة
.
الرسم البياني لهذه الدالة هو القطع المكافئ. تلامس المحور السيني (المحور) عند نقطة واحدة:
.
هذه النقطة هي جذر المعادلة الأصلية (2.1). بما أن هذا الجذر تم تحليله مرتين:
,
ثم يسمى هذا الجذر مضاعف. أي أنهم يعتبرون أن هناك جذران متساويان:
.

إجابه

;
.

مثال 3

أوجد جذور المعادلة التربيعية:
(3.1) .

المحلول

نكتب المعادلة التربيعية بشكل عام:
(1) .
دعونا نعيد كتابة المعادلة الأصلية (3.1):
.
بالمقارنة مع (1) نجد قيم المعاملات:
.
البحث عن المميز:
.
المميز سلبي. لذلك ، لا توجد جذور حقيقية.

يمكنك إيجاد جذور معقدة:
;
;
.

ثم


.

لا يتقاطع الرسم البياني للدالة مع المحور x. لا توجد جذور حقيقية.

دعنا نرسم الدالة
.
الرسم البياني لهذه الدالة هو القطع المكافئ. لا تعبر الإحداثية (المحور). لذلك ، لا توجد جذور حقيقية.

إجابه

لا توجد جذور حقيقية. الجذور المعقدة:
;
;
.