كيفية حل نظام المعادلات الخطية بطريقة المصفوفة. حل أنظمة المعادلات الخطية بطريقة المصفوفة
هذا النوع من النظام يسمى النظام الطبيعي للمعادلات التفاضلية (سندو). بالنسبة للنظام العادي للمعادلات التفاضلية ، يمكن للمرء أن يصوغ نظرية الوجود والتفرد كما هو الحال في المعادلة التفاضلية.
نظرية. إذا تم تعريف الوظائف واستمرارها في مجموعة مفتوحة ، وكانت المشتقات الجزئية المقابلة مستمرة أيضًا ، فسيكون للنظام (1) حلًا (2)
وبوجود شروط أولية (3)
سيكون هذا هو الحل الوحيد.
يمكن تمثيل هذا النظام على النحو التالي:
نظم المعادلات التفاضلية الخطية
تعريف. يسمى نظام المعادلات التفاضلية خطي إذا كان خطيًا فيما يتعلق بجميع الوظائف غير المعروفة ومشتقاتها.
(5)
منظر عام لنظام المعادلات التفاضلية
إذا تم إعطاء الشرط الأولي: (7)
عندها سيكون الحل فريدًا ، بشرط أن تكون دالة المتجه متصلة ومعاملات المصفوفة هي أيضًا دوال مستمرة.
دعنا نقدم عامل تشغيل خطي ، ثم يمكن إعادة كتابة (6) على النحو التالي:
إذا تم استدعاء معادلة المشغل (8) متجانس ويشبه:
نظرًا لأن عامل التشغيل خطي ، فإن الخصائص التالية تنطبق عليه:
حل المعادلة (9).
عاقبة.تركيبة خطية ، محلول (9).
إذا تم تقديم الحلول (9) وكانت مستقلة خطيًا ، فإن جميع التركيبات الخطية من النموذج: (10) فقط بشرط أن تكون جميعها. وهذا يعني أن المحدد يتكون من الحلول (10):
. يسمى هذا المحدد محدد فرونسكي
لنظام النواقل.
النظرية 1. إذا كان المحدد Wronsky لنظام متجانس خطي (9) مع معاملات متصلة على مقطع ما يساوي صفرًا على الأقل عند نقطة واحدة ، فإن الحلول تعتمد خطيًا على هذا المقطع ، وبالتالي ، فإن المحدد Wronsky يساوي صفر في المقطع بأكمله.
دليل - إثبات: نظرًا لأنها مستمرة ، فإن النظام (9) يفي بالشرط نظريات الوجود والتفردلذلك ، فإن الشرط الأولي يحدد الحل الفريد للنظام (9). المحدد الخاطئ عند النقطة يساوي صفرًا ، لذلك يوجد نظام غير تافه من أجله: سيكون للمزيج الخطي المقابل لنقطة أخرى الشكل ، علاوة على ذلك ، فإنه يلبي الشروط الأولية المتجانسة ، وبالتالي ، فإنه يتزامن مع الحل التافه ، أي أنها تعتمد خطيًا ويكون المحدد الخاطئ مساويًا للصفر.
تعريف. تسمى مجموعة حلول النظام (9) نظام القرار الأساسي إذا كان محدد Wronsky لا يتلاشى في أي وقت.
تعريف. إذا تم تعريف الشروط الأولية لنظام متجانس (9) على النحو التالي - ، ثم يسمى نظام الحلول الأساسية العادية نظام القرار .
تعليق.إذا كان نظامًا أساسيًا أو نظامًا أساسيًا عاديًا ، فإن التركيبة الخطية هي حل عام (9).
النظرية 2. التركيبة الخطية للحلول المستقلة خطيًا لنظام متجانس (9) مع معاملات متصلة على قطعة ستكون حلاً عامًا (9) على نفس القطعة.
دليل - إثبات: نظرًا لأن المعاملات مستمرة ، فإن النظام يلبي شروط نظرية الوجود والتفرد. لذلك ، لإثبات النظرية ، يكفي إثبات أنه من خلال اختيار الثوابت ، من الممكن تلبية بعض الشروط الأولية المختارة بشكل عشوائي (7). أولئك. يمكن أن تفي بمعادلة المتجه :. نظرًا لأن الحل العام هو (9) ، فإن النظام قابل للحل نسبيًا ، نظرًا لأن u مستقل خطيًا. نحن نحدد بشكل فريد ، وبما أنهم مستقلون خطيًا ، إذن
النظرية 3. إذا كان هذا حلاً للنظام (8) ، حل للنظام (9) ، فسيكون + أيضًا حلًا لـ (8).
دليل - إثبات: وفقًا لخصائص المعامل الخطي:
النظرية 4. الحل العام (8) على مقطع ذي معاملات مستمرة وجوانب يمنى على هذا المقطع يساوي مجموع الحل العام للنظام المتجانس المقابل (9) والحل الخاص للنظام غير المتجانس (8) ).
دليل - إثبات:
بما أن شروط النظرية حول الوجود والتفرد مستوفاة ، لذلك ، يبقى إثبات أنها سترضي قيمة أولية معطاة بشكل تعسفي (7) ، أي ، 
.
(11)
بالنسبة للنظام (11) ، من الممكن دائمًا تحديد القيم. يمكن القيام بذلك كنظام أساسي للحلول
مسألة كوشي لمعادلة تفاضلية من الدرجة الأولى
صياغة المشكلة.تذكر أن حل المعادلة التفاضلية العادية من الدرجة الأولى
y "(t) = f (t، y (t)) (5.1)
هي دالة قابلة للتفاضل y (t) والتي ، عند استبدالها في المعادلة (5.1) ، تحولها إلى متطابقة. يسمى الرسم البياني لحل المعادلة التفاضلية بمنحنى متكامل. عادة ما تسمى عملية إيجاد حلول لمعادلة تفاضلية تكامل هذه المعادلة.
استنادًا إلى المعنى الهندسي للمشتق y "، نلاحظ أن المعادلة (5.1) تحدد عند كل نقطة (t ، y) من مستوى المتغيرات t ، y القيمة f (t ، y) لمماس الزاوية a من المنحدر (إلى المحور 0t) من الظل إلى الرسم البياني للحل الذي يمر عبر هذه النقطة. ستسمى القيمة k \ u003d tga \ u003d f (t ، y) معامل الميل (الشكل 5.1). إذا الآن عند كل نقطة (t ، y) نحدد اتجاه الظل باستخدام متجه معين ، تحدده القيمة f (t ، y) ، ثم نحصل على ما يسمى بمجال الاتجاهات (الشكل 5.2 ، أ). وبالتالي ، من الناحية الهندسية ، تتمثل مشكلة دمج المعادلات التفاضلية في إيجاد منحنيات متكاملة لها اتجاه معين مماس عند كل نقطة من نقاطها (الشكل 5.2 ، ب). من أجل تحديد حل واحد محدد من عائلة حلول التفاضل المعادلة (5.1) ، نضع الشرط الأولي
ص (t0) = y0 (5.2)
هنا t 0 عبارة عن قيمة ثابتة للوسيطة t ، و 0 لها قيمة تسمى القيمة الأولية. يتمثل التفسير الهندسي لاستخدام الشرط الأولي في الاختيار من عائلة المنحنيات المتكاملة ، المنحنى الذي يمر عبر النقطة الثابتة (t 0 ، y 0).ستسمى مشكلة إيجاد حل y (t) للمعادلة التفاضلية (5.1) التي تفي بالشرط الأولي (5.2) مشكلة كوشي. في بعض الحالات ، يكون سلوك الحل لجميع t> t 0 مهمًا. ومع ذلك ، فإنهم في أغلب الأحيان يقصرون أنفسهم على تحديد حل في فترة زمنية محدودة.
تكامل الأنظمة العادية
إحدى الطرق الرئيسية لدمج النظام العادي لـ DE هي طريقة تقليل النظام إلى DE واحد ذي ترتيب أعلى. (تم اعتبار المشكلة العكسية - الانتقال من DE إلى النظام - أعلاه بمثال.) تعتمد تقنية هذه الطريقة على الاعتبارات التالية.
دع النظام العادي (6.1) معطى. نشتق بالنسبة إلى x أي ، على سبيل المثال ، المعادلة الأولى:
استبدال قيم المشتقات في هذه المساواة 
من نظام (6.1) ، نحصل عليها
أو باختصار 
تفريق المساواة الناتجة مرة أخرى واستبدال قيم المشتقات 
من نظام (6.1) ، نحصل عليها
استمرارًا لهذه العملية (اشتقاق - استبدل - احصل) ، نجد:
نجمع المعادلات الناتجة في النظام:
من المعادلات الأولى (n-1) للنظام (6.3) ، نعبر عن الدوال y 2 ، y 3 ، ... ، y n بدلالة x ، الدالة y 1 ومشتقاتها y "1 ، y" 1 ، ... ، ص 1 (غير واحد). نحن نحصل:
نعوض بالقيم التي تم إيجادها لـ y 2 ، y 3 ، ... ، y n في المعادلة الأخيرة للنظام (6.3). نحصل على DE واحد من الترتيب n فيما يتعلق بالوظيفة المطلوبة. دع حلها العام يكون
تفريقها (n-1) مرات واستبدال قيم المشتقات 
في معادلات النظام (6.4) ، نجد الدوال y 2 ، y 3 ، ... ، y n.
مثال 6.1. حل جملة معادلات
الحل: ميّز المعادلة الأولى: y "= 4y" -3z ". استبدل z" = 2y-3z في المعادلة الناتجة: y "= 4y" -3 (2y-3z) ، y "-4y" + 6y = 9z . نؤلف نظام المعادلات:
من المعادلة الأولى للنظام ، نعبر عن z بدلالة y و y ":
نعوض بقيمة z في المعادلة الثانية للنظام الأخير:
على سبيل المثال y "" -y "-6y \ u003d 0. حصلنا على LODE واحد من الدرجة الثانية. قمنا بحلها: k 2 -k-6 \ u003d 0 ، k 1 \ u003d -2 ، k 2 \ u003d 3 و - الحل العام
المعادلات. نجد الدالة z. قيم y ويتم تعويضها في التعبير z عبر y و y "(الصيغة (6.5)). نحصل على:
وبالتالي ، فإن الحل العام لنظام المعادلات هذا له الشكل
تعليق. يمكن حل نظام المعادلات (6.1) بطريقة التوليفات القابلة للتكامل. يتمثل جوهر الطريقة في أنه ، عن طريق العمليات الحسابية ، يتم تكوين ما يسمى بالتركيبات القابلة للتكامل من معادلات نظام معين ، أي معادلات قابلة للتكامل بسهولة فيما يتعلق بوظيفة جديدة غير معروفة.
نوضح تقنية هذه الطريقة بالمثال التالي.
مثال 6.2. حل نظام المعادلات:
الحل: نضيف مصطلحًا بمصطلح هذه المعادلات: x "+ y" \ u003d x + y + 2 ، أو (x + y) "= (x + y) + 2. نشير إلى x + y \ u003d z. ثم لدينا z "\ u003d z + 2. نحل المعادلة الناتجة:
تلقى ما يسمى ب أول جزء لا يتجزأ من النظام.
منه ، يمكن التعبير عن إحدى الوظائف المرغوبة من خلال وظيفة أخرى ، وبالتالي تقليل عدد الوظائف المطلوبة بواحد. فمثلا، 
ثم تأخذ المعادلة الأولى للنظام الشكل
بعد أن وجدنا x منه (على سبيل المثال ، باستخدام الاستبدال x \ u003d uv) ، سنجد y.
تعليق.هذا النظام "يسمح" بتكوين تركيبة أخرى قابلة للتكامل: وضع x - y \ u003d p ، لدينا: ، أو 
وجود أول عنصرين تكاملين للنظام ، أي 
و 
من السهل إيجاد ذلك (بجمع وطرح التكاملات الأولى)
عامل خطي ، خصائص. الاعتماد الخطي واستقلالية النواقل. محدد فرونسكي لنظام LDE.
عامل التفاضل الخطي وخصائصه.مجموعة الوظائف التي لها على الفاصل الزمني ( أ , ب ) على الأقل ن المشتقات ، تشكل مساحة خطية. ضع في اعتبارك عامل التشغيل إل ن (ذ ) التي تعرض الوظيفة ذ (x ) التي لها مشتقات في دالة لها ك - ن المشتقات:
بمساعدة عامل التشغيل إل ن (ذ ) يمكن كتابة المعادلة غير المتجانسة (20) على النحو التالي:
|
إل ن (ذ ) = F (x ); |
تأخذ المعادلة المتجانسة (21) الشكل
|
إل ن (ذ ) = 0); |
نظرية 14.5.2. عامل تفاضلي إل
ن
(ذ
) هو عامل تشغيل خطي. وثيقة فييتبع مباشرة من خصائص المشتقات: 1. إذا ج
= const ، إذن 
2. خطواتنا التالية: أولاً ، دراسة كيفية عمل الحل العام للمعادلة الخطية المتجانسة (25) ، ثم المعادلة غير المتجانسة (24) ، ثم تعلم كيفية حل هذه المعادلات. لنبدأ بمفاهيم الاعتماد الخطي واستقلالية الوظائف على فترة زمنية ونحدد أهم كائن في نظرية المعادلات والأنظمة الخطية - محدد فرونسكي.
محدد فرونسكي. الاعتماد الخطي واستقلالية نظام الوظائف.ديف. 14.5.3.1.نظام الوظائف ذ
1 (x
), ذ
2 (x
),
…, ذ
ن
(x
) يسمى تعتمد خطيافي الفترة ( أ
, ب
) إذا كانت هناك مجموعة من المعاملات الثابتة التي لا تساوي الصفر في وقت واحد ، بحيث تكون التركيبة الخطية لهذه الدوال مساوية تمامًا للصفر في ( أ
, ب
): من أجل. إذا كانت المساواة من أجل نظام الوظائف ممكنًا فقط ذ
1 (x
), ذ
2 (x
),
…, ذ
ن
(x
) يسمى مستقل خطيافي الفترة ( أ
, ب
). بمعنى آخر ، الوظائف ذ
1 (x
), ذ
2 (x
),
…, ذ
ن
(x
) تعتمد خطيافي الفترة ( أ
, ب
) إذا كان هناك صفر في ( أ
, ب
) تركيبة خطية غير تافهة. المهام ذ
1 (x
),ذ
2 (x
),
…, ذ
ن
(x
) مستقل خطيافي الفترة ( أ
, ب
) إذا كانت تركيبة خطية تافهة فقط تساوي صفرًا على ( أ
, ب
). أمثلة: 1. الوظائف 1 ، x
, x
2 , x
3 مستقلة خطيًا على أي فاصل زمني ( أ
, ب
). مزيجهم الخطي 
- درجة كثيرة الحدود - لا يمكن أن تكون على ( أ
, ب
) لها أكثر من ثلاثة جذور ، وبالتالي فإن المساواة 
= 0 من أجل ممكن فقط. مثال 1 يمكن تعميمه بسهولة على نظام الوظائف 1 ، x
, x
2 , x
3 ,
…, x
ن
. تركيبة خطية - درجة متعددة الحدود - لا يمكن أن تحتوي على ( أ
, ب
) أكثر ن
الجذور. 3. تكون الوظائف مستقلة خطيًا على أي فاصل زمني ( أ
, ب
)، إذا . في الواقع ، إذا ، على سبيل المثال ، ثم المساواة 
يحدث في نقطة واحدة 
.four. نظام الوظائف 
مستقل خطيًا أيضًا إذا كانت الأرقام ك
أنا
(أنا
=
1, 2, …, ن
) منفصلة عن بعضها البعض ، لكن الدليل المباشر على هذه الحقيقة مرهق إلى حد ما. كما توضح الأمثلة أعلاه ، في بعض الحالات يكون من السهل إثبات الاعتماد الخطي أو استقلالية الوظائف ، وفي حالات أخرى يكون هذا الإثبات أكثر صعوبة. لذلك ، هناك حاجة إلى أداة عالمية بسيطة للإجابة على سؤال حول الاعتماد الخطي للوظائف. هذه الأداة محدد فرونسكي.
ديف. 14.5.3.2. محدد فرونسكي (Wronskian)الأنظمة ن - وظائف قابلة للتفاضل مرة واحدة ذ 1 (x ), ذ 2 (x ), …, ذ ن (x ) يسمى المحدد
|
|
.14.5.3.3 نظرية Wronskian لنظام وظائف يعتمد خطيًا. إذا كان نظام الوظائف ذ 1 (x ), ذ 2 (x ), …, ذ ن (x ) تعتمد خطيافي الفترة ( أ , ب ) ، فإن Wronskian لهذا النظام يساوي صفرًا في هذه الفترة الزمنية. وثيقة في. إذا كان يعمل ذ 1 (x ), ذ 2 (x ), …, ذ ن (x ) تعتمد خطيًا على الفاصل الزمني ( أ , ب ) ، ثم هناك أرقام ، واحد منها على الأقل يختلف عن الصفر ، هكذا
تميز فيما يتعلق x
المساواة (27) ن
- 1 مرة ويؤلف نظام المعادلات 
سوف نعتبر هذا النظام كنظام خطي متجانس من المعادلات الجبرية فيما يتعلق. محدد هذا النظام هو محدد فرونسكي (26). هذا النظام لديه حل غير تافه ، لذلك ، في كل نقطة ، محدده يساوي صفرًا. لذا، دبليو
(x
) = 0 في ، على سبيل المثال ، في ( أ
, ب
).
في الجزء الأول ، درسنا بعض المواد النظرية ، وطريقة الاستبدال ، وكذلك طريقة إضافة معادلات النظام لكل مصطلح على حدة. لكل من جاء إلى الموقع من خلال هذه الصفحة أنصحك بقراءة الجزء الأول. ربما سيجد بعض الزائرين أن المادة بسيطة للغاية ، لكن أثناء حل أنظمة المعادلات الخطية ، قدمت عددًا من الملاحظات والاستنتاجات المهمة جدًا فيما يتعلق بحل المشكلات الرياضية بشكل عام.
والآن سنحلل قاعدة كرامر ، وكذلك حل نظام المعادلات الخطية باستخدام معكوس المصفوفة (طريقة المصفوفة). يتم تقديم جميع المواد ببساطة ، بالتفصيل والوضوح ، سيتمكن جميع القراء تقريبًا من تعلم كيفية حل الأنظمة باستخدام الأساليب المذكورة أعلاه.
ننظر أولاً إلى قاعدة كرامر بالتفصيل لنظام من معادلتين خطيتين في مجهولين. لاجل ماذا؟ "بعد كل شيء ، يمكن حل أبسط نظام من خلال طريقة المدرسة ، عن طريق إضافة فصل تلو الآخر!
الحقيقة هي أنه حتى لو في بعض الأحيان ، ولكن هناك مثل هذه المهمة - لحل نظام من معادلتين خطيتين مع مجهولين باستخدام صيغ كرامر. ثانيًا ، سيساعدك مثال أبسط في فهم كيفية استخدام قاعدة كرامر لحالة أكثر تعقيدًا - نظام من ثلاث معادلات مع ثلاثة مجاهيل.
بالإضافة إلى ذلك ، هناك أنظمة من المعادلات الخطية بمتغيرين ، يُنصح بحلها تمامًا وفقًا لقاعدة كرامر!
ضع في اعتبارك نظام المعادلات
في الخطوة الأولى ، نحسب المحدد ، ويسمى المحدد الرئيسي للنظام.
إذا كان لدى النظام حل فريد ، ولإيجاد الجذور ، يجب أن نحسب محددين آخرين:
و
في الممارسة العملية ، يمكن أيضًا الإشارة إلى المؤهلات المذكورة أعلاه بالحرف اللاتيني.
تم العثور على جذور المعادلة بواسطة الصيغ:
,
مثال 7
حل نظام معادلات خطية 
المحلول: نرى أن معاملات المعادلة كبيرة جدًا ، وعلى الجانب الأيمن توجد كسور عشرية بفاصلة. الفاصلة ضيف نادر إلى حد ما في المهام العملية في الرياضيات ؛ لقد أخذت هذا النظام من مشكلة اقتصادية قياسية.
كيف تحل مثل هذا النظام؟ يمكنك محاولة التعبير عن أحد المتغيرات من حيث متغير آخر ، ولكن في هذه الحالة ستحصل بالتأكيد على كسور خيالية رهيبة ، والتي من غير الملائم للغاية العمل بها ، وسيبدو تصميم الحل سيئًا. يمكنك ضرب المعادلة الثانية في 6 وطرح حد في حد ، لكن نفس الكسور ستظهر هنا.
ماذا أفعل؟ في مثل هذه الحالات ، تأتي صيغ كرامر للإنقاذ.
;
;
إجابه: ,
كلا الجذرين لهما ذيول لا نهائية ويتم العثور عليهما تقريبًا ، وهو أمر مقبول تمامًا (وحتى شائع) لمشاكل الاقتصاد القياسي.
التعليقات غير مطلوبة هنا ، نظرًا لأن المهمة يتم حلها وفقًا للصيغ الجاهزة ، ومع ذلك ، هناك تحذير واحد. عند استخدام هذه الطريقة ، اجباريجزء المهمة هو الجزء التالي: "لذا فإن النظام لديه حل فريد". خلاف ذلك ، قد يعاقب المراجع على عدم احترام نظرية كرامر.
لن يكون من الضروري التحقق من ذلك ، وهو أمر مناسب للتنفيذ على الآلة الحاسبة: نحن نستبدل القيم التقريبية في الجانب الأيسر من كل معادلة من النظام. نتيجة لذلك ، مع وجود خطأ بسيط ، يجب الحصول على الأرقام الموجودة على الجانب الأيمن.
المثال 8
عبر عن إجابتك في كسور عادية غير فعلية. قم بإجراء شيك.
هذا مثال لحل مستقل (مثال على التصميم الجيد والإجابة في نهاية الدرس).
ننتقل إلى النظر في قاعدة كرامر لنظام من ثلاث معادلات مع ثلاثة مجاهيل: 
نجد المحدد الرئيسي للنظام: 
إذا ، فإن النظام يحتوي على عدد لا نهائي من الحلول أو أنه غير متسق (ليس له حلول). في هذه الحالة ، لن تساعد قاعدة كرامر ، فأنت بحاجة إلى استخدامها طريقة جاوس.
إذا كان لدى النظام حل فريد ، ولإيجاد الجذور ، يجب علينا حساب ثلاثة محددات أخرى: 
, 
, 
وأخيرًا ، يتم حساب الإجابة بواسطة الصيغ: 
كما ترى ، لا تختلف حالة "ثلاثة في ثلاثة" بشكل أساسي عن حالة "اثنان في اثنين" ، عمود المصطلحات الحرة "يمشي" بالتسلسل من اليسار إلى اليمين على طول أعمدة المحدد الرئيسي.
المثال 9
قم بحل النظام باستخدام معادلات كرامر. 
المحلول: دعونا نحل النظام باستخدام صيغ كرامر. 
، لذلك فإن النظام لديه حل فريد.
إجابه: 
.
في الواقع ، لا يوجد شيء مميز يمكن التعليق عليه هنا مرة أخرى ، بالنظر إلى حقيقة أن القرار يتم اتخاذه وفقًا للصيغ الجاهزة. لكن هناك بضع ملاحظات.
يحدث أنه نتيجة للحسابات ، يتم الحصول على كسور "سيئة" غير قابلة للاختزال ، على سبيل المثال:.
أوصي بخوارزمية "العلاج" التالية. إذا لم يكن هناك جهاز كمبيوتر في متناول اليد ، فسنقوم بذلك:
1) قد يكون هناك خطأ في الحسابات. بمجرد أن تصادف لقطة "سيئة" ، يجب أن تتحقق على الفور مما إذا كان سيتم عرضها هو الشرط المعاد كتابته بشكل صحيح. إذا تمت إعادة كتابة الشرط بدون أخطاء ، فأنت بحاجة إلى إعادة حساب المحددات باستخدام التوسيع في صف آخر (عمود).
2) إذا لم يتم العثور على أخطاء نتيجة الفحص ، فمن المرجح أن يكون قد حدث خطأ إملائي في حالة المهمة. في هذه الحالة ، قم بحل المهمة بهدوء وحذر حتى النهاية ، ثم تأكد من التحققورسمها على نسخة نظيفة بعد القرار. بالطبع ، يعد التحقق من الإجابة الجزئية مهمة غير سارة ، لكنها ستكون حجة مزعجة للمعلم ، الذي يحب حقًا وضع علامة ناقص لأي شيء سيء مثل. تم توضيح كيفية التعامل مع الكسور بالتفصيل في إجابة المثال 8.
إذا كان لديك جهاز كمبيوتر في متناول يدك ، فاستخدم برنامجًا آليًا للتحقق منه ، والذي يمكن تنزيله مجانًا في بداية الدرس. بالمناسبة ، من الأفضل استخدام البرنامج على الفور (حتى قبل بدء الحل) ، سترى على الفور الخطوة الوسيطة التي ارتكبت فيها خطأ! تقوم نفس الآلة الحاسبة تلقائيًا بحساب حل النظام باستخدام طريقة المصفوفة.
الملاحظة الثانية. من وقت لآخر توجد أنظمة في المعادلات تفتقد بعض المتغيرات الخاصة بها ، على سبيل المثال: 
هنا في المعادلة الأولى لا يوجد متغير ، في الثانية لا يوجد متغير. في مثل هذه الحالات ، من المهم جدًا تدوين المحدد الرئيسي بشكل صحيح وحذر: 
- يتم وضع الأصفار بدلاً من المتغيرات المفقودة.
بالمناسبة ، من المنطقي فتح المحددات بالأصفار في الصف (العمود) حيث يوجد الصفر ، نظرًا لوجود عدد أقل بشكل ملحوظ من العمليات الحسابية.
المثال 10
قم بحل النظام باستخدام معادلات كرامر. 
هذا مثال على الحل الذاتي (إنهاء العينة والإجابة في نهاية الدرس).
في حالة نظام مكون من 4 معادلات ذات 4 مجاهيل ، تتم كتابة صيغ كرامر وفقًا لمبادئ مماثلة. يمكنك رؤية مثال حي في الدرس الخصائص المحددة. إنقاص ترتيب المحدد- خمسة محددات من الرتبة الرابعة قابلة للحل تمامًا. على الرغم من أن المهمة تذكرنا بالفعل بحذاء الأستاذ على صدر طالب محظوظ.
حل النظام باستخدام معكوس المصفوفة
طريقة المصفوفة العكسية هي في الأساس حالة خاصة معادلة المصفوفة (انظر المثال رقم 3 للدرس المحدد).
لدراسة هذا القسم ، يجب أن تكون قادرًا على توسيع المحددات ، وإيجاد معكوس المصفوفة وإجراء عملية ضرب المصفوفة. سيتم تقديم الروابط ذات الصلة أثناء تقدم التفسير.
المثال 11
حل النظام بطريقة المصفوفة 
المحلول: نكتب النظام على شكل مصفوفة:
، أين 
الرجاء النظر في نظام المعادلات والمصفوفات. بأي مبدأ نكتب العناصر في المصفوفات ، أعتقد أن الجميع يفهم. التعليق الوحيد: إذا كانت بعض المتغيرات مفقودة في المعادلات ، فيجب وضع الأصفار في الأماكن المقابلة في المصفوفة.
نوجد معكوس المصفوفة بالصيغة:
، أين هي المصفوفة المنقولة للمكملات الجبرية للعناصر المقابلة للمصفوفة.
أولاً ، لنتعامل مع المحدد:
هنا يتم توسيع المحدد بالسطر الأول.
انتباه! إذا ، فإن معكوس المصفوفة غير موجود ، ومن المستحيل حل النظام بطريقة المصفوفة. في هذه الحالة ، يتم حل النظام طريقة إزالة المجهول (طريقة غاوس).
أنت الآن بحاجة إلى حساب 9 قاصرين وكتابتهم في مصفوفة القاصرين 
المرجعي:من المفيد معرفة معنى الأحرف المزدوجة في الجبر الخطي. الرقم الأول هو رقم السطر الذي يقع فيه العنصر. الرقم الثاني هو رقم العمود الذي يوجد فيه العنصر: 
أي أن الرمز المنخفض يشير إلى أن العنصر موجود في الصف الأول والعمود الثالث ، بينما ، على سبيل المثال ، العنصر في الصف الثالث والعمود الثاني
الموضوع 2. نظم المعادلات الجبرية الخطية.
مفاهيم أساسية.
التعريف 1. النظام مالمعادلات الخطية مع نغير معروف نظام الشكل:
اين و 
- أعداد.
التعريف 2. حل النظام (I) عبارة عن مجموعة من المجهول ، حيث تتحول كل معادلة في هذا النظام إلى هوية.
التعريف 3. يسمى النظام (I) مشتركإذا كان لديه حل واحد على الأقل و غير متوافقإذا لم يكن لديها حلول. يسمى نظام المفصل تأكيدإذا كان لديه حل فريد ، و غير مؤكدخلاف ذلك.
التعريف 4. اكتب المعادلة
اتصل صفر، ومعادلة النموذج
اتصل غير متوافق. من الواضح أن نظام المعادلات الذي يحتوي على معادلة غير متسقة غير متسق.
التعريف 5. يتم استدعاء نظامي المعادلات الخطية ما يعادلإذا كان كل حل لنظام واحد هو حل آخر ، وعلى العكس من ذلك ، فإن كل حل للنظام الثاني هو حل الأول.
رمز المصفوفة لنظام المعادلات الخطية.
ضع في اعتبارك النظام (I) (انظر الفقرة 1).
دل:
مصفوفة المعامل للمجهول
,
المصفوفة - عمود الأعضاء الأحرار
المصفوفة - عمود المجهول
.
التعريف 1.تسمى المصفوفة المصفوفة الرئيسية للنظام(I) ، والمصفوفة هي المصفوفة المعززة للنظام (I).
من خلال تعريف مساواة المصفوفة ، يتوافق النظام (I) مع مساواة المصفوفة:
.
الجانب الصحيح من هذه المساواة بتعريف منتج المصفوفات ( انظر التعريف 3 § 5 الفصل 1) يمكن تحليلها إلى عوامل:
، بمعنى آخر.
المساواة (2) اتصل تدوين المصفوفة للنظام (I).
حل نظام المعادلات الخطية بطريقة كرامر.
أدخل النظام (I) (انظر الفقرة 1) م = ن، بمعنى آخر. عدد المعادلات يساوي عدد المجهول ، والمصفوفة الرئيسية للنظام غير متولدة ، أي . ثم النظام (I) من §1 لديه حل فريد
أين ∆ = ديت أدعا الرئيسية محدد النظام(أنا) ، ∆ أنايتم الحصول عليها من المحدد Δ عن طريق الاستبدال أنا- العمود الثاني لعمود الأعضاء الأحرار في النظام (I).
مثال: حل النظام بطريقة كرامر:
.
عن طريق الصيغ (3)
.
نحسب محددات النظام:
,
,
,
.
للحصول على المحدد ، قمنا باستبدال العمود الأول في المحدد بعمود من الأعضاء الأحرار ؛ استبدال العمود الثاني في المحدد بعمود من الأعضاء الأحرار ، نحصل عليه ؛ وبالمثل ، نستبدل العمود الثالث في المحدد بعمود من الأعضاء الأحرار ، نحصل عليه. حل النظام:
حل أنظمة المعادلات الخطية باستخدام معكوس المصفوفة.
أدخل النظام (I) (انظر الفقرة 1) م = نوالمصفوفة الرئيسية للنظام غير متولدة. نكتب النظام (I) في شكل مصفوفة ( انظر §2):
لان مصفوفة أغير متولد ، ثم له مصفوفة معكوسة ( انظر النظرية 1 §6 من الفصل 1). اضرب طرفي المعادلة (2) إلى المصفوفة ، إذن
. (3)
من خلال تعريف معكوس المصفوفة. من المساواة (3) نملك
حل النظام باستخدام معكوس المصفوفة
.
دل
; ; .
في المثال (الفقرة 3) قمنا بحساب المحدد ، وبالتالي ، المصفوفة ألديه مصفوفة معكوسة. ثم في القوة (4) ، بمعنى آخر.
. (5)
أوجد المصفوفة ( انظر الفقرة 6 ، الفصل 1)
, 
, 
,
, 
, 
,
, 
, 
,
,
.
طريقة جاوس.
دع نظام المعادلات الخطية يعطى:
. (أنا)
مطلوب إيجاد جميع حلول النظام (I) أو التأكد من أن النظام غير متناسق.
التعريف 1.دعونا نسمي التحول الأولي للنظام(1) أي من الإجراءات الثلاثة:
1) حذف المعادلة الصفرية ؛
2) إضافة الأجزاء المقابلة من المعادلة الأخرى إلى كلا الجزأين من المعادلة ، مضروبة في الرقم l ؛
3) تبديل المصطلحات في معادلات النظام بحيث تحتل المجهول بنفس الأرقام في جميع المعادلات نفس الأماكن ، أي إذا ، على سبيل المثال ، في المعادلة الأولى قمنا بتغيير المصطلحين الثاني والثالث ، فيجب أن يتم نفس الشيء في جميع معادلات النظام.
تتكون طريقة Gauss من حقيقة أن النظام (I) بمساعدة التحويلات الأولية يتم تقليله إلى نظام مكافئ ، يتم العثور على حل له مباشرة أو عدم قابليته للحل.
كما هو موضح في الفقرة 2 ، يتم تحديد النظام (I) بشكل فريد من خلال المصفوفة الممتدة ، وأي تحويل أولي للنظام (I) يتوافق مع تحويل أولي للمصفوفة الممتدة:
.
التحويل 1) يقابل حذف الصف الصفري في المصفوفة ، التحويل 2) يكافئ إضافة الصف المقابل من المصفوفة إلى الصف الآخر مضروبًا في الرقم l ، التحويل 3) يكافئ إعادة ترتيب الأعمدة في المصفوفة.
من السهل أن نرى ، على العكس من ذلك ، أن كل تحويل أولي للمصفوفة يتوافق مع تحول أولي للنظام (I). في ضوء ما قيل ، بدلاً من العمليات مع النظام (I) ، سنعمل مع المصفوفة المدمجة لهذا النظام.
في المصفوفة ، يتكون العمود الأول من معاملات عند × 1، العمود الثاني - من المعاملات في × 2إلخ. في حالة إعادة ترتيب الأعمدة ، يجب مراعاة انتهاك هذا الشرط. على سبيل المثال ، إذا قمنا بتبديل العمودين الأول والثاني ، فسيكون هناك معاملات في العمود الأول الآن × 2، وفي العمود الثاني - المعاملات عند × 1.
سنحل النظام (I) بطريقة Gauss.
1. اشطب جميع الصفوف الصفرية في المصفوفة ، إن وجدت (أي اشطب جميع معادلات الصفر في النظام (I).
2. تحقق مما إذا كان هناك صف بين صفوف المصفوفة حيث جميع العناصر باستثناء العنصر الأخير تساوي الصفر (دعنا نسمي هذا الصف غير متسق). من الواضح أن مثل هذا الخط يتوافق مع معادلة غير متسقة في النظام (I) ، وبالتالي ، فإن النظام (I) ليس له حلول ، وهنا تنتهي العملية.
3. دع المصفوفة لا تحتوي على صفوف غير متناسقة (النظام (I) لا يحتوي على معادلات غير متناسقة). اذا كان أ 11 = 0، ثم نجد في الصف الأول بعض العناصر (باستثناء العنصر الأخير) يختلف عن الصفر ونعيد ترتيب الأعمدة بحيث لا يوجد صفر في الصف الأول في المكان الأول. نفترض الآن (أي أننا نتبادل المصطلحات المقابلة في معادلات النظام (I)).
4. اضرب الصف الأول في وأضف النتيجة إلى الصف الثاني ، ثم اضرب الصف الأول في وأضف النتيجة إلى الصف الثالث ، إلخ. من الواضح أن هذه العملية تعادل القضاء على المجهول × 1من جميع معادلات النظام (I) ، باستثناء الأول. في المصفوفة الجديدة ، نحصل على أصفار في العمود الأول تحت العنصر أ 11:
.
5. قم بشطب جميع الصفوف الصفرية في المصفوفة ، إن وجدت ، وتحقق مما إذا كان هناك صف غير متسق (إذا كان هناك ، فإن النظام غير متناسق وينتهي الحل عند هذا الحد). دعنا نتحقق مما إذا كان أ 22 / = 0، إذا كانت الإجابة بنعم ، فسنجد عنصرًا في الصف الثاني يختلف عن الصفر ونعيد ترتيب الأعمدة على هذا النحو. بعد ذلك ، نضرب عناصر الصف الثاني في 
وأضف مع العناصر المقابلة للصف الثالث ، ثم - عناصر الصف الثاني في 
وأضف مع العناصر المقابلة للصف الرابع ، وما إلى ذلك ، حتى نحصل على الأصفار تحتها أ 22 /
.
الإجراءات التي تم تنفيذها تعادل القضاء على المجهول × 2من جميع معادلات النظام (I) ، باستثناء الأول والثاني. نظرًا لأن عدد الصفوف محدود ، لذلك ، بعد عدد محدود من الخطوات ، سنحصل على أن النظام إما غير متسق ، أو سنصل إلى مصفوفة الخطوة ( انظر التعريف 2 §7 الفصل 1) :
,
دعونا نكتب نظام المعادلات المقابلة للمصفوفة. هذا النظام مكافئ للنظام (I)
.
من المعادلة الأخيرة التي نعبر عنها ؛ نعوض في المعادلة السابقة ، ونجد ، وما إلى ذلك ، حتى نحصل على.
ملاحظة 1.وبالتالي ، عند حل النظام (I) بطريقة Gauss ، نصل إلى إحدى الحالات التالية.
1. النظام (I) غير متناسق.
2. النظام (I) له حل فريد إذا كان عدد الصفوف في المصفوفة يساوي عدد المجهول ().
3. يحتوي النظام (I) على عدد لا نهائي من الحلول إذا كان عدد الصفوف في المصفوفة أقل من عدد المجهول ().
ومن هنا تصمد النظرية التالية.
نظرية.نظام المعادلات الخطية إما غير متسق ، أو لديه حل فريد ، أو أن هناك مجموعة لا نهائية من الحلول.
أمثلة. حل نظام المعادلات بطريقة جاوس أو إثبات عدم تناسقه:
أ) 
;
ب) 
;
في) 
.
أ) دعونا نعيد كتابة النظام المعطى بالشكل:
.
قمنا بتبديل المعادلتين الأولى والثانية من النظام الأصلي لتبسيط العمليات الحسابية (بدلاً من الكسور ، سنعمل فقط مع الأعداد الصحيحة باستخدام مثل هذا التقليب).
نؤلف مصفوفة موسعة:
.
لا توجد خطوط فارغة. لا توجد خطوط غير متوافقة ، نستبعد المجهول الأول من جميع معادلات النظام ، باستثناء المعادلة الأولى. للقيام بذلك ، نضرب عناصر الصف الأول من المصفوفة في "-2" ونضيفها إلى العناصر المقابلة للصف الثاني ، وهو ما يعادل ضرب المعادلة الأولى في "-2" وإضافتها إلى المعادلة الثانية. ثم نضرب عناصر الصف الأول في "-3" ونضيفها إلى العناصر المقابلة للصف الثالث ، أي اضرب المعادلة الثانية للنظام المحدد بـ "-3" وأضفها إلى المعادلة الثالثة. احصل على
.
المصفوفة تتوافق مع نظام المعادلات
العم فانيا مؤامرة المسرحية. "العم إيفان. الموقف من أستاذ الآخرين
تساخيس الصغير ، الملقب بزينوبر
مايكوف ، أبولون نيكولايفيتش - سيرة ذاتية قصيرة