الكسور

انتباه!
هناك المزيد
المادة في القسم الخاص 555.
بالنسبة لأولئك الذين بقوة "ليس جدا ..."
ولأولئك الذين "كثيرًا ...")

الكسور في المدرسة الثانوية ليست مزعجة للغاية. في الوقت الحاضر. حتى تحصل على درجات مع مؤشرات عقلانيةنعم اللوغاريتمات. و هناك…. تضغط ، تضغط على الآلة الحاسبة ، وتعرض جميع لوحة النتائج الكاملة لبعض الأرقام. عليك التفكير برأسك ، كما في الصف الثالث.

دعونا نتعامل مع الكسور ، أخيرًا! حسنًا ، كم يمكن أن تشعر بالارتباك فيهم !؟ علاوة على ذلك ، كل شيء بسيط ومنطقي. لذا، ما هي الكسور؟

أنواع الكسور. التحولات.

الكسور تحدث ثلاثة أنواع.

1. الكسور المشتركة ، فمثلا:

في بعض الأحيان ، بدلاً من الخط الأفقي ، يضعون شرطة مائلة: 1/2 ، 3/4 ، 19/5 ، حسنًا ، وهكذا. هنا سنستخدم هذا التهجئة غالبًا. أعلى رقم يسمى البسط، أدنى - المقام - صفة مشتركة - حالة.إذا كنت تخلط بين هذه الأسماء باستمرار (يحدث ...) ، أخبر نفسك العبارة بالتعبير: " ززززتذكر! ززززالمقام - خارج zzzz u! "انظر ، كل شيء سوف يتم تذكره.)

الشرطة الأفقية المائلة تعني قطاعالرقم العلوي (البسط) إلى الرقم السفلي (المقام). وهذا كل شيء! بدلاً من الشرطة ، من الممكن تمامًا وضع علامة قسمة - نقطتان.

عندما يكون الانقسام ممكنًا تمامًا ، يجب أن يتم ذلك. لذلك ، بدلاً من الكسر "32/8" ، من الأفضل كتابة الرقم "4". أولئك. 32 تقسم ببساطة على 8.

32/8 = 32: 8 = 4

أنا لا أتحدث عن الكسر "4/1". وهو أيضًا "4" فقط. وإذا لم تنقسم بشكل كامل ، نتركها على شكل كسر. في بعض الأحيان عليك أن تفعل العكس. اصنع كسرًا من عدد صحيح. ولكن أكثر عن ذلك لاحقا.

2. الكسور العشرية ، فمثلا:

في هذا الشكل سيكون من الضروري تدوين الإجابات على المهام "ب".

3. أعداد مختلطة ، فمثلا:

لا يتم استخدام الأرقام المختلطة عمليًا في المدرسة الثانوية. من أجل العمل معهم ، يجب تحويلهم إلى كسور عادية. لكنك بالتأكيد بحاجة إلى معرفة كيفية القيام بذلك! وبعد ذلك سيظهر هذا الرقم في اللغز ويتدلى ... من الصفر. لكننا نتذكر هذا الإجراء! أقل قليلا.

أكثر تنوعا الكسور المشتركة. لنبدأ معهم. بالمناسبة ، إذا كان هناك كل أنواع اللوغاريتمات والجيب والحروف الأخرى في الكسر ، فهذا لا يغير شيئًا. بمعنى أن كل شيء لا تختلف الإجراءات ذات التعبيرات الكسرية عن الإجراءات ذات التعبيرات الكسرية الكسور العاديةو!

الخاصية الأساسية لكسر.

إذا هيا بنا! بادئ ذي بدء ، سأفاجئك. يتم توفير مجموعة كاملة من تحويلات الكسور من خلال خاصية واحدة! هذا ما يسمى الخاصية الأساسية لكسر. تذكر: إذا تم ضرب (قسمة) بسط الكسر في نفس العدد ، فلن يتغير الكسر.أولئك:

من الواضح أنه يمكنك الكتابة أكثر حتى يصبح وجهك أزرق. لا تدع الجيوب واللوغاريتمات تربكك ، وسنتعامل معها بشكل أكبر. الشيء الرئيسي الذي يجب فهمه هو أن كل هذه التعبيرات المختلفة نفس الكسر . 2/3.

ونحن بحاجة إليها ، كل هذه التحولات؟ وكيف! الآن سترى بنفسك. أولًا ، دعنا نستخدم الخاصية الأساسية لكسر من أجل اختصارات الكسر. يبدو أن الشيء بدائي. نقسم البسط والمقام على نفس العدد وهذا كل شيء! من المستحيل أن تخطئ! لكن ... الإنسان كائن مبدع. يمكنك ارتكاب الأخطاء في كل مكان! خاصة إذا كان عليك تقليل ليس كسرًا مثل 5/10 ، ولكن تعبيرًا كسريًا بجميع أنواع الأحرف.

يمكن العثور على كيفية تقليل الكسور بشكل صحيح وسريع دون القيام بعمل غير ضروري في القسم الخاص 555.

الطالب العادي لا يكلف نفسه عناء قسمة البسط والمقام على نفس الرقم (أو التعبير)! إنه يشطب كل شيء كما هو من أعلى وأسفل! هذا هو المكان الذي يختبئ فيه خطأ نموذجي، زلة إذا كنت تريد.

على سبيل المثال ، تحتاج إلى تبسيط التعبير:

لا يوجد شيء للتفكير فيه ، نقوم بشطب الحرف "أ" من الأعلى والشيطان من الأسفل! نحن نحصل:

كل شيء صحيح. لكن في الحقيقة أنت تشارك الكل البسط و الكل المقام "أ". إذا كنت معتادًا على الشطب ، فعندئذٍ ، على عجل ، يمكنك شطب "أ" في التعبير

واحصل مرة أخرى

الذي سيكون خاطئًا بشكل قاطع. لأن هنا الكلبسط على "أ" بالفعل غير مشارك! لا يمكن اختزال هذا الكسر. بالمناسبة ، هذا الاختصار يمثل تحديًا خطيرًا للمعلم. هذا لا يغفر! تذكر؟ عند التقليل ، من الضروري الانقسام الكل البسط و الكل المقام - صفة مشتركة - حالة!

اختزال الكسور يجعل الحياة أسهل كثيرًا. ستحصل على كسر في مكان ما ، على سبيل المثال 375/1000. وكيف تعمل معها الآن؟ بدون آلة حاسبة؟ اضرب ، قل ، أضف ، تربيع !؟ وإذا لم تكن كسولًا جدًا ، فعليك التقليل بعناية بمقدار خمسة ، وحتى خمسة ، وحتى ... أثناء تقليله ، باختصار. نحصل على 3/8! أجمل بكثير ، أليس كذلك؟

تسمح لك الخاصية الأساسية للكسر بتحويل الكسور العادية إلى الكسور العشرية والعكس صحيح بدون آلة حاسبة! هذا مهم للامتحان ، صحيح؟

كيفية تحويل الكسور من شكل إلى آخر.

إنه سهل مع الكسور العشرية. كما يسمع هكذا هو مكتوب! لنفترض 0.25. إنها نقطة الصفر ، خمسة وعشرون جزءًا من مائة. لذلك نكتب: 25/100. نخفض (نقسم البسط والمقام على 25) ، نحصل على الكسر المعتاد: 1/4. كل شىء. يحدث ذلك ، ولا يتم تقليل أي شيء. مثل 0.3. هذه ثلاثة أعشار أي. 3/10.

ماذا لو كانت الأعداد الصحيحة ليست صفرية؟ كل شيء على مايرام. اكتب الكسر كله بدون أي فواصلفي البسط وفي المقام - ما يسمع. على سبيل المثال: 3.17. هذا هو ثلاثة أجزاء كاملة ، وسبعة عشر جزء من مائة. نكتب 317 في البسط و 100 في المقام ، ونحصل على 317/100. لا شيء يتم اختزاله ، هذا يعني كل شيء. هذا هو الجواب. الابتدائية واتسون! من كل ما سبق ، استنتاج مفيد: يمكن تحويل أي كسر عشري إلى كسر مشترك .

ولكن التحويل العكسي، من العادي إلى العشري ، لا يستطيع البعض فعل ذلك بدون آلة حاسبة. لكن يتوجب عليك! كيف ستكتب الإجابة في الامتحان !؟ نقرأ بعناية ونتقن هذه العملية.

ما هو الكسر العشري؟ لديها في المقام دائماًتساوي 10 أو 100 أو 1000 أو 10000 وما إلى ذلك. إذا كان للكسر المعتاد مثل هذا المقام ، فلا توجد مشكلة. على سبيل المثال ، 4/10 = 0.4. أو 7/100 = 0.07. أو 12/10 = 1.2. وإذا كان في الإجابة على مهمة القسم "ب" اتضح 1/2؟ ماذا نكتب ردا على ذلك؟ الكسور العشرية مطلوبة ...

نحن نتذكر الخاصية الأساسية لكسر ! تسمح لك الرياضيات بشكل إيجابي بضرب البسط والمقام في نفس الرقم. بالمناسبة لأي شخص! ماعدا صفر بالطبع. دعونا نستخدم هذه الميزة لصالحنا! بماذا يضرب المقام أي. 2 بحيث تصبح 10 أو 100 أو 1000 (الأصغر أفضل بالطبع ...)؟ 5 ، من الواضح. لا تتردد في ضرب المقام (هذا نحنضروري) في 5. ولكن ، يجب أيضًا ضرب البسط في 5. هذا بالفعل رياضياتحفز! نحصل على 1/2 \ u003d 1x5 / 2x5 \ u003d 5/10 \ u003d 0.5. هذا كل شئ.

ومع ذلك ، تأتي جميع أنواع القواسم. على سبيل المثال ، يقع الكسر 3/16. جربها ، واكتشف ما الذي ستضربه في 16 لتحصل على 100 ، أو 1000 ... لا تعمل؟ بعد ذلك يمكنك ببساطة قسمة 3 على 16. في حالة عدم وجود آلة حاسبة ، سيتعين عليك القسمة بزاوية ، على قطعة من الورق ، كما في الصفوف الدنيايعلم. حصلنا على 0.1875.

وهناك بعض القواسم السيئة للغاية. على سبيل المثال ، لا يمكن تحويل الكسر 1/3 إلى رقم عشري جيد. نحصل على 0.3333333 على الآلة الحاسبة وعلى قطعة من الورق ... وهذا يعني أن 1/3 في كسر عشري دقيق لا يترجم. تمامًا مثل 1/7 و 5/6 وما إلى ذلك. كثير منها غير قابل للترجمة. ومن ثم استنتاج آخر مفيد. لا يتم تحويل كل كسر مشترك إلى عدد عشري. !

بالمناسبة ، هذا معلومات مفيدةللاختبار الذاتي. في القسم "ب" ردًا على ذلك ، تحتاج إلى كتابة كسر عشري. وحصلت ، على سبيل المثال ، على 4/3. لم يتم تحويل هذا الكسر إلى رقم عشري. هذا يعني أنك ارتكبت خطأ في مكان ما على طول الطريق! تعال ، تحقق من الحل.

لذلك ، مع الكسور العادية والعشرية مرتبة. يبقى التعامل مع الأرقام المختلطة. للعمل معهم ، يجب تحويلهم جميعًا إلى كسور عادية. كيف افعلها؟ يمكنك أن تلحق بطالب في الصف السادس وتسأله. ولكن لن يكون هناك دائمًا طالب بالصف السادس في متناول اليد ... سيتعين علينا القيام بذلك بأنفسنا. هذا ليس بالأمر الصعب. اضرب مقام الجزء الكسري في الجزء الصحيح وأضف بسط الجزء الكسري. سيكون هذا هو البسط جزء عادي. ماذا عن المقام؟ سيبقى المقام كما هو. يبدو الأمر معقدًا ، لكنه في الواقع بسيط للغاية. دعونا نرى مثالا.

دع المشكلة التي رأيتها برعب الرقم:

بهدوء ، دون ذعر ، نحن نفهم. الجزء الكامل هو 1. واحد. الجزء الكسري 3/7. إذن ، مقام الجزء الكسري هو 7. هذا المقام سيكون مقام الكسر العادي. نحسب البسط. 7 مرات 1 ( الجزء الكامل) وأضف 3 (بسط الجزء الكسري). نحصل على 10. سيكون هذا هو بسط الكسر العادي. هذا كل شئ. يبدو أبسط في التدوين الرياضي:

بوضوح؟ ثم اضمن نجاحك! حوّل إلى كسور مشتركة. يجب أن تحصل على 10/7 و 7/2 و 23/10 و 21/4.

نادراً ما تكون العملية العكسية - تحويل جزء غير لائق إلى رقم مختلط - مطلوبة في المدرسة الثانوية. حسنًا ، إذا ... وإذا كنت - لست في المدرسة الثانوية - يمكنك النظر في القسم 555 الخاص. بالمناسبة ، في نفس المكان ، ستتعرف على الكسور غير الصحيحة.

حسنًا ، كل شيء تقريبًا. لقد تذكرت أنواع الكسور وفهمت كيف تحويلها من نوع إلى آخر. يبقى السؤال: لماذا افعلها؟ أين ومتى تطبق هذه المعرفة العميقة؟

أجيب. أي مثال في حد ذاته يقترح الإجراءات اللازمة. إذا تم خلط الكسور العادية والأعداد العشرية وحتى الأعداد المختلطة في المثال في مجموعة ، فإننا نترجم كل شيء إلى كسور عادية. يمكن دائما القيام به. حسنًا ، إذا تمت كتابة شيء مثل 0.8 + 0.3 ، فإننا نعتقد ذلك ، بدون أي ترجمة. لماذا نحتاج إلى عمل إضافي؟ نختار الحل المناسب نحن !

إذا كانت المهمة مليئة بالكسور العشرية ، لكن ... نوعًا من الأشرار ، انتقل إلى الكسور العادية ، جربها! انظر ، كل شيء سيكون على ما يرام. على سبيل المثال ، عليك تربيع الرقم 0.125. ليس بهذه السهولة إذا لم تفقد عادة الآلة الحاسبة! لا تحتاج فقط إلى مضاعفة الأرقام في عمود ، ولكن عليك أيضًا التفكير في مكان إدراج الفاصلة! بالتأكيد لا يعمل في ذهني! وإذا ذهبت إلى كسر عادي؟

0.125 = 125/1000. نخفض بمقدار 5 (هذا بالنسبة للمبتدئين). نحصل على 25/200. مرة أخرى في 5. نحصل على 5/40. أوه ، إنه يتقلص! العودة إلى 5! نحصل على 1/8. تربيع بسهولة (في عقلك!) واحصل على 1/64. كل شىء!

دعونا نلخص هذا الدرس.

1. هناك ثلاثة أنواع من الكسور. الأعداد العادية والعشرية والمختلطة.

2. الكسور العشرية والأعداد الكسرية دائماًيمكن تحويلها إلى كسور مشتركة. الترجمة العكسية ليس دائمامتوفرة.

3. اختيار نوع الكسور للعمل مع المهمة يعتمد على هذه المهمة بالذات. إذا كانت هناك أنواع مختلفة من الكسور في مهمة واحدة ، فإن الشيء الأكثر موثوقية هو التبديل إلى الكسور العادية.

الآن يمكنك التدرب. أولاً ، قم بتحويل هذه الكسور العشرية إلى كسور عادية:

3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012

يجب أن تحصل على إجابات مثل هذه (في حالة فوضى!):

على هذا سننتهي. في هذا الدرس ، صقلنا النقاط الأساسية في الكسور. يحدث ، مع ذلك ، أنه لا يوجد شيء خاص للتحديث ...) إذا نسي شخص ما ذلك تمامًا ، أو لم يتقن ذلك بعد ... يمكن أن يذهب هؤلاء إلى القسم 555 الخاص. يتم تفصيل جميع الأساسيات هناك. فجأة الكثير يفهم كل شئتبدأ. ويحلون الكسور على الطاير).

إذا أعجبك هذا الموقع ...

بالمناسبة ، لديّ موقعان أكثر تشويقًا لك).

يمكنك التدرب على حل الأمثلة ومعرفة مستواك. الاختبار مع التحقق الفوري. التعلم - باهتمام!)

يمكنك التعرف على الوظائف والمشتقات.

الأفعال مع الكسور. في هذه المقالة ، سنقوم بتحليل الأمثلة ، كل شيء مفصل مع التفسيرات. سننظر في الكسور العادية. في المستقبل ، سنقوم بتحليل الكسور العشرية. أوصي بمشاهدة الكل والدراسة بالتسلسل.

1. مجموع الكسور ، فرق الكسور.

القاعدة: عند جمع كسور ذات قواسم متساوية ، تكون النتيجة كسرًا - يبقى مقامه كما هو ، وسيكون بسطه يساوي المجموعالبسط الكسر.

القاعدة: عند حساب فرق الكسور ب نفس القواسمنحصل على كسر - المقام يبقى كما هو ، وبسط الثاني يطرح من بسط الكسر الأول.

تدوين رسمي لمجموع وفرق الكسور ذات القواسم المتساوية:

أمثلة (1):

من الواضح أنه عند إعطاء الكسور العادية ، فكل شيء بسيط ، لكن إذا اختلطوا؟ لا شيء معقد ...

الخيار 1- يمكنك تحويلها إلى عادية ثم حسابها.

الخيار 2- يمكنك "العمل" بشكل منفصل مع الأعداد الصحيحة والكسور.

أمثلة (2):

حتى الآن:

وإذا كان الفرق بين كسرين مختلطين وبسط الكسر الأول أقل من بسط الكسر الثاني؟ يمكن أيضًا أن يتم ذلك بطريقتين.

أمثلة (3):

* تحويل الكسور العادية ، وحساب الفرق ، وترجمة الناتج جزء غير لائقفي واحد مختلط.

* مقسم إلى عدد صحيح وجزء كسري ، والحصول على ثلاثة ، ثم تقديم 3 كمجموع 2 و 1 ، مع تقديم الوحدة على شكل 11/11 ، ثم العثور على الفرق بين 11/11 و 7/11 وحساب النتيجة. معنى التحويلات المذكورة أعلاه هو أخذ (تحديد) الوحدة وتقديمها ككسر بالمقام الذي نحتاجه ، ثم من هذا الكسر يمكننا بالفعل طرح آخر.

مثال آخر:

الخلاصة: هناك نهج عالمي - من أجل حساب مجموع (فرق) الكسور المختلطة ذات القواسم المتساوية ، يمكن دائمًا تحويلها إلى أجزاء غير مناسبة ، ثم تنفيذ الإجراء اللازم. بعد ذلك ، إذا حصلنا على كسر غير فعلي نتيجة لذلك ، فإننا نترجمه إلى كسر مختلط.

أعلاه ، نظرنا إلى أمثلة ذات كسور متساوية في المقام. ماذا لو اختلفت القواسم؟ في هذه الحالة ، يتم تقليل الكسور إلى نفس المقام ويتم تنفيذ الإجراء المحدد. لتغيير (تحويل) كسر ، يتم استخدام الخاصية الرئيسية للكسر.

ضع في اعتبارك أمثلة بسيطة:

في هذه الأمثلة ، نرى على الفور كيف يمكن تحويل أحد الكسور للحصول على مقامات متساوية.

إذا حددنا طرقًا لتقليل الكسور إلى مقام واحد ، فسيتم استدعاء هذا الطريقة الأولى.

هذا يعني أنه عند "تقييم" الكسر مباشرةً ، تحتاج إلى معرفة ما إذا كان هذا النهج سينجح أم لا - نتحقق مما إذا كان المقام الأكبر قابلاً للقسمة على الأصغر. وإذا تم تقسيمها ، فإننا نجري التحويل - نضرب البسط والمقام حتى يتساوى مقام كلا الكسرين.

انظر الآن إلى هذه الأمثلة:

هذا النهج لا ينطبق عليهم. هناك طرق أخرى لتقليل الكسور إلى القاسم المشتركدعونا نلقي نظرة عليهم.

الطريقة الثانية.

اضرب بسط الكسر الأول ومقامه في مقام الكسر الثاني ، واضرب بسط الكسر الثاني ومقامه في مقام الكسر الأول:

* في الواقع ، نعيد الكسور إلى الصورة عندما تتساوى المقامات. بعد ذلك ، نستخدم قاعدة جمع الخجول بمقامرين متساويين.

مثال:

* هذه الطريقة يمكن أن تسمى عالمية ، وهي تعمل دائمًا. الشيء السلبي الوحيد هو أنه بعد الحسابات ، قد يظهر كسر يحتاج إلى مزيد من التخفيض.

فكر في مثال:

يمكن ملاحظة أن البسط والمقام يقبل القسمة على 5:

الطريقة الثالثة.

أوجد المضاعف المشترك الأصغر للمقام. سيكون هذا هو القاسم المشترك. ما هذا الرقم؟ هذا هو أصغر عدد طبيعي يقبل القسمة على كل رقم.

انظر ، هنا رقمان: 3 و 4 ، هناك العديد من الأرقام التي تقبل القسمة - هذه هي 12 ، 24 ، 36 ، ... أصغرها هي 12. أو 6 و 15 ، 30 ، 60 ، 90 هي قابلة للقسمة بواسطتهم .... 30 على الأقل سؤال - كيف نحدد هذا المضاعف المشترك الأصغر؟

هناك خوارزمية واضحة ، ولكن غالبًا ما يمكن القيام بذلك على الفور بدون حسابات. على سبيل المثال ، وفقًا للأمثلة المذكورة أعلاه (3 و 4 و 6 و 15) ، لا حاجة إلى خوارزمية ، فقد أخذنا أرقامًا كبيرة (4 و 15) ، وضاعفناها ورأينا أنها قابلة للقسمة على الرقم الثاني ، ولكن أزواج من الأرقام يمكن أن تكون أخرى ، مثل 51 و 119.

الخوارزمية. لتحديد المضاعف المشترك الأصغر لعدة أرقام ، يجب عليك:

- وسّع كل رقم إلى مضاعفات بسيطة

- كتابة تحلل أكبر منهم

- اضربها في العوامل المفقودة لأرقام أخرى

خذ بعين الاعتبار الأمثلة:

50 و 60 50 = 2∙5∙5 60 = 2∙2∙3∙5

في التحلل أكثرفي عداد المفقودين خمسة

=> المضاعف المشترك الأصغر (50،60) = 2 2 3 ∙ 5 5 = 300

48 و 72 48 = 2∙2∙2∙2∙3 72 = 2∙2∙2∙3∙3

في مفكوكة عدد أكبر ، يكون اثنان وثلاثة مفقودين

=> المضاعف المشترك الأصغر (48،72) = 2 2 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​3 = 144

* المضاعف المشترك الأصغر لاثنين الأعداد الأوليةيساوي منتجهم

سؤال! ولماذا من المفيد إيجاد المضاعف المشترك الأصغر ، لأنه يمكنك استخدام الطريقة الثانية وتقليل الكسر الناتج ببساطة؟ نعم ، يمكنك ذلك ، لكنها ليست مريحة دائمًا. انظر إلى مقام العددين 48 و 72 إذا قمت بضربهما ببساطة 48 72 = 3456. توافق على أنه من الأفضل العمل مع الأعداد الأصغر.

خذ بعين الاعتبار الأمثلة:

*51 = 3∙17 119 = 7∙17

في توسيع عدد أكبر ، يتم فقدان ثلاثية

=> المضاعف المشترك الأصغر (51119) = 3 7 17

والآن نطبق الطريقة الأولى:

* انظر إلى الاختلاف في الحسابات ، في الحالة الأولى يوجد حد أدنى منها ، وفي الحالة الثانية تحتاج إلى العمل بشكل منفصل على قطعة من الورق ، وحتى الكسر الذي حصلت عليه يحتاج إلى تقليله. إيجاد المضاعف المشترك الأصغر يبسط العمل إلى حد كبير.

مزيد من الأمثلة:

* في المثال الثاني يتضح ذلك أصغر عدد، والتي تقسم على 40 و 60 يساوي 120.

المجموع! خوارزمية الحساب العام!

- نحضر الكسور إلى الكسور العادية ، إذا كان هناك جزء صحيح.

- نحضر الكسور إلى قاسم مشترك (أولاً ننظر لنرى ما إذا كان أحد المقامات يقبل القسمة على آخر ، وإذا كان قابلاً للقسمة ، فإننا نضرب بسط ومقام هذا الكسر الآخر ؛ إذا لم يكن قابلاً للقسمة ، فإننا نتصرف من خلال الآخر الطرق المذكورة أعلاه).

- بعد تلقي كسور ذات قواسم متساوية ، نقوم بتنفيذ الإجراءات (الجمع والطرح).

- إذا لزم الأمر ، نقوم بتقليل النتيجة.

- إذا لزم الأمر ، حدد الجزء بأكمله.

2. نتاج الكسور.

القاعدة بسيطة. عند ضرب الكسور ، يتم ضرب البسط والمقام:

أمثلة:

مهمة. تم جلب 13 طنا من الخضار إلى القاعدة. تشكل البطاطس من جميع الخضروات المستوردة. كم كيلوغراما من البطاطس تم إحضارها إلى القاعدة؟

لننتهي من العمل.

* لقد وعدتك سابقًا بتقديم شرح رسمي للممتلكات الرئيسية للكسر من خلال المنتج ، من فضلك:

3. قسمة الكسور.

يتم تقليل قسمة الكسور إلى عملية الضرب. من المهم أن تتذكر هنا أن الكسر المقسوم عليه (الجزء المقسوم عليه) قد انقلب ويتغير الإجراء إلى الضرب:

يمكن كتابة هذا الإجراء على أنه جزء من أربعة طوابق ، لأن التقسيم نفسه ":" يمكن أيضًا كتابته على شكل كسر:

أمثلة:

هذا كل شئ! كل التوفيق لك!

مع خالص التقدير ، الكسندر كروتسكيخ.

الأفعال مع الكسور.

انتباه!
هناك المزيد
المادة في القسم الخاص 555.
بالنسبة لأولئك الذين بقوة "ليس جدا ..."
ولأولئك الذين "كثيرًا ...")

إذن ، ما هي الكسور وأنواع الكسور والتحولات - تذكرنا ذلك. دعنا نتناول السؤال الرئيسي.

ماذا يمكنك ان تفعل مع الكسور؟نعم ، كل شيء هو نفسه كما هو الحال مع الأرقام العادية. الجمع والطرح والضرب والقسمة.

كل هذه الإجراءات مع عدد عشريالعمليات مع الكسور لا تختلف عن العمليات ذات الأعداد الصحيحة. في الواقع ، هذا ما يصلح لهم ، عشري. الشيء الوحيد هو أنك تحتاج إلى وضع الفاصلة بشكل صحيح.

أعداد مختلطة، كما قلت ، ذات فائدة قليلة لمعظم الإجراءات. لا يزال يتعين تحويلها إلى كسور عادية.

وهنا الإجراءات مع الكسور العاديةسيكون أكثر ذكاء. والأهم من ذلك بكثير! دعني أذكرك: لا تختلف جميع الإجراءات ذات التعبيرات الكسرية ذات الأحرف والجيب والمجهول وما إلى ذلك عن الإجراءات ذات الكسور العادية! العمليات مع الكسور العادية هي أساس كل الجبر. ولهذا السبب سنقوم هنا بتحليل كل هذه الحسابات بتفصيل كبير.

جمع وطرح الكسور.

يمكن للجميع إضافة (طرح) كسور بنفس القواسم (أتمنى حقًا!). حسنًا ، دعني أذكرك أنني نسيت تمامًا: عند الجمع (الطرح) ، لا يتغير المقام. يضاف البسط (مطروح) لإعطاء البسط للنتيجة. يكتب:

باختصار ، في نظرة عامة:

ماذا لو اختلفت القواسم؟ ثم ، باستخدام الخاصية الرئيسية للكسر (هنا أصبح مفيدًا مرة أخرى!) ، نجعل القواسم متماثلة! فمثلا:

هنا كان علينا أن نجعل الكسر 4/10 من الكسر 2/5. فقط لغرض جعل القواسم متماثلة. ألاحظ ، فقط في حالة ، أن 2/5 و 4/10 هي نفس الكسر! 2/5 فقط غير مريحة لنا ، و 4/10 لا شيء.

بالمناسبة ، هذا هو جوهر حل أي مهام في الرياضيات. عندما نكون بالخارج غير مريحالتعبيرات تفعل نفس الشيء ، ولكن أكثر ملاءمة لحلها.

مثال آخر:

الوضع مشابه. هنا نحصل على 48 من 16. عن طريق الضرب البسيطيوم 3. هذا كل شيء واضح. لكن هنا نصادف شيئًا مثل:

كيف تكون؟! من الصعب الحصول على تسعة من سبعة! لكننا أذكياء ، نحن نعرف القواعد! دعونا نتحول كلالكسر بحيث تكون المقامات متطابقة. وهذا ما يسمى "اختزال إلى قاسم مشترك":

كيف! كيف عرفت عن 63؟ بسيط جدا! 63 هو رقم يقبل القسمة على 7 و 9 في نفس الوقت. يمكن الحصول على هذا الرقم دائمًا بضرب القواسم. إذا ضربنا بعض الأرقام في 7 ، على سبيل المثال ، فإن النتيجة بالتأكيد ستقسم على 7!

إذا كنت بحاجة إلى جمع (طرح) عدة كسور ، فلا داعي للقيام بذلك في أزواج ، خطوة بخطوة. ما عليك سوى إيجاد المقام المشترك لجميع الكسور ، وإحضار كل كسر إلى نفس المقام. فمثلا:

وما هو القاسم المشترك؟ يمكنك بالطبع ضرب 2 و 4 و 8 و 16. فنحصل على 1024. كابوس. من الأسهل تقدير أن الرقم 16 قابل للقسمة تمامًا على 2 و 4 و 8. لذلك ، من السهل الحصول على 16 من هذه الأرقام ، وسيكون هذا الرقم هو المقام المشترك. لنحول 1/2 إلى 8/16 ، و 3/4 إلى 12/16 ، وهكذا.

بالمناسبة ، إذا أخذنا 1024 كقاسم مشترك ، فإن كل شيء سينجح أيضًا ، وفي النهاية سيتم تقليل كل شيء. فقط لن يصل الجميع إلى هذه الغاية ، بسبب الحسابات ...

حل المثال بنفسك. ليس لوغاريتم ... يجب أن يكون 29/16.

إذن ، مع جمع (طرح) الكسور بشكل واضح ، آمل؟ بالطبع ، من الأسهل العمل في نسخة مختصرة ، مع مضاعفات إضافية. لكن هذه المتعة متاحة لمن عمل بأمانة في الدرجات الدنيا ... ولم ينسوا شيئاً.

والآن سنفعل نفس الإجراءات ، ولكن ليس مع الكسور ، ولكن مع تعبيرات كسرية. سيتم العثور على مكابس جديدة هنا ، نعم ...

لذا علينا إضافة اثنين تعبيرات كسرية:

علينا أن نجعل المقامات متماثلة. وفقط بمساعدة عمليه الضرب! لذا فإن الخاصية الرئيسية للكسر تقول. لذلك ، لا يمكنني إضافة واحد إلى x في الكسر الأول في المقام. (لكن هذا سيكون لطيفًا!). لكن إذا ضربت القواسم ، فسترى أن كل شيء سينمو معًا! فنكتب خط الكسر ونترك فراغًا في الأعلى ثم نجمعه ونكتب حاصل ضرب المقامات أدناه حتى لا ننسى:

وبالطبع ، لا نضرب أي شيء في الجانب الأيمن ، ولا نفتح الأقواس! والآن ، بالنظر إلى المقام المشترك للطرف الأيمن ، نعتقد: للحصول على المقام x (x + 1) في الكسر الأول ، علينا ضرب بسط هذا الكسر ومقامه في (x + 1) . وفي الكسر الثاني - x. يمكنك الحصول على هذه:

ملحوظة! الأقواس هنا! هذا هو أشعل النار الذي يخطو عليه الكثير. ليس الأقواس بالطبع ، لكن غيابهم. تظهر الأقواس لأننا نضرب الكلالبسط و الكلالمقام - صفة مشتركة - حالة! وليست قطعهم الفردية ...

في بسط الطرف الأيمن نكتب مجموع البسطين ، كل شيء كما في كسور، ثم افتح الأقواس في بسط الجانب الأيمن ، أي اضرب كل شيء وأعطي مثل. لا تحتاج إلى فتح الأقواس في القواسم ، ولست بحاجة إلى ضرب شيء ما! بشكل عام ، في القواسم (أي) دائمًا عمل أكثر متعة! نحن نحصل:

هنا حصلنا على الجواب. تبدو العملية طويلة وصعبة ، لكنها تعتمد على الممارسة. حل الأمثلة ، تعتاد عليها ، كل شيء سيصبح بسيطًا. أولئك الذين أتقنوا الكسور في الوقت المخصص ، قم بكل هذه العمليات بيد واحدة ، على الآلة!

وملاحظة أخرى. يتعامل الكثيرون بشكل مشهور مع الكسور ، لكنهم يتشبثون بالأمثلة بها كاملأعداد. النوع: 2 + 1/2 + 3/4 =؟ أين اربط الشيطان؟ لا حاجة للربط في أي مكان ، تحتاج إلى صنع جزء من الشيطان. الأمر ليس سهلاً ، إنه بسيط للغاية! 2 = 2/1. مثله. يمكن كتابة أي عدد صحيح في صورة كسر. البسط هو الرقم نفسه ، والمقام هو واحد. 7 هو 7/1 ، 3 هو 3/1 وهكذا. نفس الشيء مع الحروف. (أ + ب) \ u003d (أ + ب) / 1 ، س \ u003d س / 1 ، إلخ. ثم نتعامل مع هذه الكسور وفقًا لجميع القواعد.

حسنًا ، عند الجمع - طرح الكسور ، تم تحديث المعرفة. تحويلات الكسور من نوع إلى آخر - مكرر. يمكنك أيضا التحقق. هل يجب أن نستقر قليلاً؟)

احسب:

الإجابات (في حالة فوضى):

71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6

ضرب / قسمة الكسور - في الدرس التالي. هناك أيضًا مهام لجميع الإجراءات ذات الكسور.

إذا أعجبك هذا الموقع ...

بالمناسبة ، لديّ موقعان أكثر تشويقًا لك).

يمكنك التدرب على حل الأمثلة ومعرفة مستواك. الاختبار مع التحقق الفوري. التعلم - باهتمام!)

يمكنك التعرف على الوظائف والمشتقات.

تعليمات

الاختزال إلى قاسم مشترك.

دع الكسور a / b و c / d تُعطى.

يتم ضرب بسط ومقام الكسر الأول في LCM / b

يتم ضرب بسط ومقام الكسر الثاني في LCM / d

ويرد مثال في الشكل.

لمقارنة الكسور ، يجب أن يكون لها مقام مشترك ، ثم مقارنة البسطين. على سبيل المثال ، 3/4< 4/5, см. .

جمع وطرح الكسور.

لإيجاد مجموع كسرين عاديين ، يجب اختزالهما إلى مقام مشترك ، ثم جمع البسطين ، والمقام لم يتغير. يظهر مثال على جمع كسرين 1/2 و 1/3 في الشكل.

تم العثور على فرق الكسور بطريقة مماثلة ، بعد إيجاد المقام المشترك ، يتم طرح بسط الكسور ، انظر الشكل.

عند ضرب الكسور العادية ، يتم ضرب البسط والمقام معًا.

من أجل قسمة كسرين ، تحتاج إلى كسر من الكسر الثاني ، أي غير البسط والمقام ، ثم اضرب الكسور الناتجة.

فيديوهات ذات علاقة

مصادر:

• الكسور الصف 5 عن طريق المثال
• المهام الأساسية للكسور

وحدةيمثل القيمة المطلقة للتعبير. تستخدم الأقواس لتعيين وحدة نمطية. يتم أخذ القيم الواردة فيها modulo. حل الوحدة النمطية هو فتح الأقواس وفقًا لقواعد معينة وإيجاد مجموعة قيم التعبير. في معظم الحالات ، يتم توسيع الوحدة بحيث يتلقى تعبير الوحدة الفرعية سلسلة من الإيجابية و القيم السالبةبما فيها قيمة صفرية. بناءً على خصائص الوحدة ، يتم تجميع وحل المزيد من المعادلات وعدم المساواة في التعبير الأصلي.

تعليمات

اكتب المعادلة الأصلية مع. لذلك ، افتح الوحدة. ضع في اعتبارك كل تعبير وحدة فرعية. تحديد ما هي قيمة الكميات المجهولة المضمنة فيه ، حيث يختفي التعبير الموجود بين قوسين.

للقيام بذلك ، قم بمساواة تعبير الوحدة الفرعية بالصفر وابحث عن المعادلة الناتجة. اكتب القيم التي تم العثور عليها. بنفس الطريقة ، حدد قيم المتغير المجهول لكل وحدة في معادلة معينة.

ارسم خط أرقام وارسم القيم الناتجة عليه. قيم المتغير في وحدة الصفر ستكون بمثابة قيود في حل المعادلة المعيارية.

في المعادلة الأصلية ، تحتاج إلى فتح الوحدات النمطية ، وتغيير العلامة بحيث تتوافق قيم المتغير مع القيم المعروضة على خط الأعداد. حل المعادلة الناتجة. تحقق من القيمة التي تم العثور عليها للمتغير مقابل التقييد المحدد بواسطة الوحدة النمطية. إذا كان الحل يفي بالشرط ، فهذا صحيح. يجب التخلص من الجذور التي لا تفي بالقيود.

وبالمثل ، قم بتوسيع وحدات التعبير الأصلي ، مع مراعاة العلامة ، وحساب جذور المعادلة الناتجة. اكتب كل الجذور التي تم الحصول عليها والتي تحقق متباينات القيد.

تسمح لك الأعداد الكسرية بالتعبير عنها شكل مختلفالقيمة الدقيقة للكمية. باستخدام الكسور ، يمكنك إجراء نفس العمليات الحسابية كما هو الحال مع الأعداد الصحيحة: الطرح والجمع والضرب والقسمة. لتتعلم كيف تقرر كسور، من الضروري تذكر بعض ميزاتها. يعتمدون على النوع كسور، وجود جزء صحيح ، قاسم مشترك. تتطلب بعض العمليات الحسابية بعد التنفيذ تقليل الجزء الكسري من النتيجة.

سوف تحتاج

• - آلة حاسبة

تعليمات

انظر بعناية إلى الأرقام. إذا كانت هناك كسور عشرية وغير منتظمة بين الكسور ، فمن الأفضل أحيانًا تنفيذ الإجراءات أولاً مع الكسور العشرية ، ثم تحويلها إلى الشكل الخطأ. هل يمكنك الترجمة كسورفي هذه الصورة مبدئيًا ، اكتب القيمة بعد الفاصلة العشرية في البسط ووضع 10 في المقام. إذا لزم الأمر ، قلل الكسر بقسمة الأرقام أعلاه وأسفل على قاسم واحد. الكسور التي يظهر فيها الجزء بالكامل تؤدي إلى الشكل الخطأ بضربه في المقام وإضافة البسط إلى النتيجة. القيم المعطاةسيصبح البسط الجديد كسور. لاستخراج الجزء الكامل من الخطأ في البداية كسور، تقسيم البسط من قبل القاسم. اكتب النتيجة الكاملة من كسور. ويصبح باقي القسمة هو البسط الجديد ، وهو المقام كسوربينما لا يتغير. للكسور ذات الجزء الكاملمن الممكن تنفيذ الإجراءات بشكل منفصل ، أولاً للعدد الصحيح ثم للأجزاء الكسرية. على سبيل المثال ، يمكن حساب مجموع 1 2/3 و 2:
- تحويل الكسور إلى صيغة خاطئة:
- 1 2/3 + 2 ¾ = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12 ؛
- جمع منفصل للأجزاء الصحيحة والكسرية من المصطلحات:
- 1 2/3 + 2 ¾ = (1 + 2) + (2/3 + ¾) = 3 + (8/12 + 9/12) = 3 + 17/12 = 3 + 1 5/12 = 4 5 / 12.

للقيم أسفل الخط ، أوجد المقام المشترك. على سبيل المثال ، بالنسبة إلى 5/9 و 7/12 ، سيكون المقام المشترك 36. لهذا ، فإن البسط والمقام الأول كسورتحتاج إلى الضرب في 4 (سيصبح 28/36) ، والثاني - 3 (سيصبح 15/36). الآن يمكنك إجراء الحسابات.

إذا كنت ستحسب مجموع أو فرق الكسور ، فاكتب أولاً المقام المشترك الموجود أسفل السطر. نفذ الإجراءات اللازمة بين البسط واكتب النتيجة فوق السطر الجديد كسور. وبالتالي ، سيكون البسط الجديد هو الفرق أو مجموع البسط في الكسور الأصلية.

لحساب حاصل ضرب الكسور ، اضرب بسط الكسور واكتب النتيجة بدلاً من بسط الكسور النهائية كسور. افعل الشيء نفسه مع القواسم. عند قسمة واحد كسوراكتب كسرًا واحدًا على الآخر ، ثم اضرب بسطه في مقام الكسر الثاني. في نفس الوقت المقام الأول كسورمضروبًا وفقًا لذلك في بسط الثاني. في نفس الوقت ، نوع من عكس الثانية كسور(مقسم). سيكون الكسر الأخير من نتائج ضرب البسط والمقام في كلا الكسرين. سهل التعلم كسور، مكتوب في الشرط على شكل "أربعة طوابق" كسور. إذا كان يفصل بين اثنين كسور، أعد كتابتها بمحدد ":" ، وتابع القسمة العادية.

للحصول على النتيجة النهائية ، قلل الكسر الناتج عن طريق قسمة البسط والمقام على عدد صحيح واحد ، وهو أكبر عدد ممكن في هذه القضية. في هذه الحالة ، يجب أن يكون هناك عدد صحيح أعلى وأسفل الخط.

ملاحظة

لا تحسب الكسور ذات المقامات المختلفة. اختر رقمًا بحيث يكون عند ضرب البسط والمقام لكل كسر به ، ونتيجة لذلك ، فإن مقامات كلا الكسرين متساوية.

نصيحة مفيدة

عند التسجيل أعداد كسريةيتم كتابة المقسوم فوق الخط. يشار إلى هذه الكمية ببسط الكسر. تحت السطر ، يتم كتابة القاسم أو المقام في الكسر. على سبيل المثال ، سيتم كتابة كيلوجرام ونصف من الأرز على شكل كسر على النحو التالي: 1 ½ كجم من الأرز. إذا كان مقام الكسر 10 ، يسمى كسر عشري. في هذه الحالة ، يُكتب البسط (المقسوم) على يمين الجزء بالكامل مفصولًا بفاصلة: 1.5 كجم من الأرز. لتسهيل العمليات الحسابية ، يمكن دائمًا كتابة هذا الكسر الطريق الخطأ: 1 2/10 كيلو بطاطس. للتبسيط ، يمكنك تقليل قيم البسط والمقام بقسمة عدد صحيح واحد. في هذا المثاليمكن القسمة على 2. النتيجة ستكون 1 1/5 كجم من البطاطس. تأكد من أن الأرقام التي ستقوم بحسابها بنفس الشكل.

تعليمات

انقر مرة واحدة على عنصر القائمة "إدراج" ، ثم حدد عنصر "الرمز". هذا هو واحد من أكثر طرق بسيطةيُدرج كسورإلى نص. يتكون مما يلي. مجموعة الأحرف الجاهزة لها كسور. عادة ما يكون عددهم صغيرًا ، ولكن إذا كنت بحاجة إلى كتابة ½ في النص ، وليس 1/2 ، فعندئذٍ من أجلك خيار مماثلسوف يكون أفضل. بالإضافة إلى ذلك ، قد يعتمد عدد أحرف الكسر على الخط. على سبيل المثال ، بالنسبة لخط Times New Roman ، هناك عدد أقل قليلاً من الكسور مقارنة بالخط Arial نفسه. تختلف الخطوط للعثور على الأفضل الخيار الأفضلإذا كان الأمر يتعلق تعابير بسيطة.

انقر فوق عنصر القائمة "إدراج" وحدد العنصر الفرعي "كائن". سترى نافذة بها قائمة بالأشياء التي يمكن إدراجها. اختر من بينها Microsoft Equation 3.0. سيساعدك هذا التطبيق على الكتابة كسور. وليس فقط كسور، ولكنها معقدة أيضًا التعبيرات الرياضيةتحتوي على مختلف الدوال المثلثيةوعناصر أخرى. انقر نقرًا مزدوجًا فوق هذا الكائن بزر الماوس الأيسر. سترى نافذة تحتوي على العديد من الرموز.

لطباعة كسر ، حدد الرمز الذي يمثل كسر بسط ومقام فارغين. انقر عليها مرة واحدة بزر الفأرة الأيسر. ستظهر قائمة إضافية تحدد مخطط كسور. قد يكون هناك عدة خيارات. اختر الأنسب لك وانقر عليه مرة واحدة بزر الفأرة الأيسر.

في هذا القسمتعتبر العمليات ذات الكسور العادية. في حالة الضرورة عملية حسابيةبأرقام مختلطة ، يكفي أن تترجم جزء مختلطفي حالة استثنائية ، قم بتنفيذ العمليات اللازمة ، وإذا لزم الأمر ، قم بتقديم النتيجة النهائية مرة أخرى كرقم مختلط. سيتم وصف هذه العملية أدناه.

تخفيض الكسر

عملية حسابية. تخفيض الكسر

لتقليل الكسر \ frac (m) (n) عليك إيجاد الأكبر القاسم المشتركبسطه ومقامه: GCD (م ، ن) ، ثم اقسم بسط ومقام الكسر على هذا الرقم. إذا كان gcd (m، n) = 1 ، فلا يمكن اختزال الكسر. مثال: \ frac (20) (80) = \ frac (20:20) (80:20) = \ frac (1) (4)

عادةً ما يتم تمثيل القاسم المشترك الأكبر على الفور بـ مهمة تحديوعمليًا ، يتم تقليل الكسر على عدة مراحل ، خطوة بخطوة لإبراز العوامل المشتركة الواضحة من البسط والمقام. \ frac (140) (315) = \ frac (28 \ cdot5) (63 \ cdot5) = \ frac (4 \ cdot7 \ cdot5) (9 \ cdot7 \ cdot5) = \ frac (4) (9)

تحويل الكسور إلى قاسم مشترك

عملية حسابية. تحويل الكسور إلى قاسم مشترك

لتقليل كسرين \ frac (a) (b) و \ frac (c) (d) إلى قاسم مشترك ، تحتاج إلى:

• أوجد المضاعف المشترك الأصغر للمقامات: M = المضاعف المشترك الأصغر (ب ، د) ؛
• اضرب بسط ومقام الكسر الأول في M / b (وبعد ذلك يصبح مقام الكسر يساوي الرقمم) ؛
• اضرب بسط ومقام الكسر الثاني في M / d (وبعد ذلك يصبح مقام الكسر مساويًا للرقم M).

وبالتالي ، نقوم بتحويل الكسور الأصلية إلى كسور لها نفس القواسم (والتي ستكون مساوية للرقم M).

على سبيل المثال ، الكسور \ frac (5) (6) و \ frac (4) (9) لها LCM (6،9) = 18. ثم: \ frac (5) (6) = \ frac (5 \ cdot3) (6 \ cdot3) = \ frac (15) (18) ؛ \ quad \ frac (4) (9) = \ frac (4 \ cdot2) (9 \ cdot2) = \ frac (8) (18). وبالتالي ، فإن الكسور الناتجة لها قاسم مشترك.

من الناحية العملية ، فإن العثور على المضاعف المشترك الأصغر (LCM) للمقام ليس بالمهمة السهلة دائمًا. لذلك ، يتم اختيار رقم كقاسم مشترك ، يساوي المنتجقواسم الكسور الأصلية. على سبيل المثال ، يتم تقليل الكسور \ frac (5) (6) و \ frac (4) (9) إلى مقام مشترك N = 6 \ cdot9:

\ frac (5) (6) = \ frac (5 \ cdot9) (6 \ cdot9) = \ frac (45) (54) ؛ \ quad \ frac (4) (9) = \ frac (4 \ cdot6) ( 9 \ cdot6) = \ فارك (24) (54)

مقارنة الكسور

عملية حسابية. مقارنة الكسور

لمقارنة كسرين شائعين:

• قارن بين البسط في الكسور الناتجة ؛ سيكون الكسر ذو البسط الأكبر أكبر.

على سبيل المثال ، \ frac (9) (14)

عند مقارنة الكسور ، هناك عدة حالات خاصة:

1. من كسرين بنفس القواسمكلما زاد الكسر الذي يكون بسطه أكبر. على سبيل المثال \ frac (3) (15)
2. من كسرين بنفس البسطالأكبر هو الكسر الذي يكون مقامه أصغر. على سبيل المثال ، \ frac (4) (11)> \ frac (4) (13)
3. هذا الكسر الذي في نفس الوقت بسط أكبر ومقام أصغر، أكثر. على سبيل المثال ، \ frac (11) (3)> \ frac (10) (8)

انتباه!تنطبق القاعدة 1 على أي كسور إذا كان المقام المشترك لها رقم موجب، عدد إيجابي. تنطبق القواعد 2 و 3 على الكسور الموجبة(البسط والمقام أكبر من الصفر).

جمع وطرح الكسور

عملية حسابية. جمع وطرح الكسور

لإضافة كسرين ، تحتاج إلى:

• أحضرهم إلى قاسم مشترك ؛
• اجمع البسط واترك المقام دون تغيير.

مثال: \ frac (7) (9) + \ frac (4) (7) = \ frac (7 \ cdot7) (9 \ cdot7) + \ frac (4 \ cdot9) (7 \ cdot9) = \ frac (49 ) (63) + \ frac (36) (63) = \ frac (49 + 36) (63) = \ frac (85) (63)

لطرح كسر آخر من واحد ، تحتاج إلى:

• جلب الكسور إلى قاسم مشترك ؛
• اطرح بسط الكسر الثاني من بسط الكسر الأول واترك المقام دون تغيير.

مثال: \ frac (4) (15) - \ frac (3) (5) = \ frac (4) (15) - \ frac (3 \ cdot3) (5 \ cdot3) = \ frac (4) (15) - \ frac (9) (15) = \ frac (4-9) (15) = \ frac (-5) (15) = - \ frac (5) (3 \ cdot5) = - \ frac (1) ( 3)

إذا كان للكسور الأصلية مقامًا مشتركًا في البداية ، فسيتم تخطي النقطة 1 (الاختزال إلى المقام المشترك).

تحويل عدد كسري إلى كسر غير فعلي والعكس صحيح

عملية حسابية. تحويل عدد كسري إلى كسر غير فعلي والعكس صحيح

لتحويل كسر مختلط إلى كسر غير مناسب ، يكفي جمع الجزء الكامل من الكسر المختلط مع الجزء الكسري. ستكون نتيجة هذا المجموع كسرًا غير فعلي ، يكون بسطه مساويًا لمجموع حاصل ضرب الجزء الصحيح ومقام الكسر ببسط الكسر المختلط ، ويظل المقام كما هو. على سبيل المثال ، 2 \ frac (6) (11) = 2 + \ frac (6) (11) = \ frac (2 \ cdot11) (11) + \ frac (6) (11) = \ frac (2 \ cdot11 + 6) (11) = \ فارك (28) (11)

لتحويل كسر غير فعلي إلى عدد كسري:

• اقسم بسط الكسر على مقامه ؛
• اكتب باقي القسمة في البسط واترك المقام كما هو ؛
• اكتب نتيجة القسمة على شكل جزء صحيح.

على سبيل المثال ، الكسر \ frac (23) (4). عند قسمة 23: 4 = 5.75 ، أي أن الجزء الصحيح هو 5 ، والباقي من القسمة هو 23-5 * 4 = 3. ثم يُكتب العدد الكسري: 5 \ frac (3) (4). \ frac (23) (4) = \ فارك (5 \ cdot4 + 3) (4) = 5 \ فارك (3) (4)

تحويل عدد عشري إلى كسر مشترك

عملية حسابية. تحويل عدد عشري إلى كسر مشترك

لتحويل عدد عشري إلى كسر مشترك:

1. خذ الأس العشرة n كمقام (هنا n هو عدد المنازل العشرية) ؛
2. كبسط ، خذ الرقم بعد الفاصلة العشرية (إذا كان الجزء الصحيح من الرقم الأصلي لا يساوي صفرًا ، فخذ جميع الأصفار البادئة أيضًا) ؛
3. الجزء الصحيح غير الصفري مكتوب في البسط في البداية ؛ تم حذف جزء الأعداد الصحيحة الصفرية.

مثال 1: 0.0089 = \ frac (89) (10000) (4 منازل عشرية ، لذا فإن المقام 10 4 = 10000 ، نظرًا لأن الجزء الصحيح هو 0 ، فإن البسط هو الرقم بعد العلامة العشرية بدون الأصفار البادئة)

مثال 2: 31.0109 = \ frac (310109) (10000) (في البسط نكتب الرقم بعد الفاصلة العشرية مع جميع الأصفار: "0109" ، ثم نضيف الجزء الصحيح من الرقم الأصلي "31" قبله)

إذا كان الجزء الصحيح من الكسر العشري مختلفًا عن الصفر ، فيمكن تحويله إلى كسر مختلط. للقيام بذلك ، نترجم الرقم إلى كسر عادي كما لو أن الجزء الصحيح يساوي صفرًا (النقطتان 1 و 2) ، وببساطة نعيد كتابة الجزء الصحيح قبل الكسر - سيكون هذا هو الجزء الصحيح من العدد المختلط. مثال:

3.014 = 3 \ فارك (14) (100)

لتحويل كسر عادي إلى كسر عشري ، يكفي قسمة البسط على المقام. في بعض الأحيان يحصل على ما لا نهاية عدد عشري. في هذه الحالة ، من الضروري التقريب إلى المكان العشري المطلوب. أمثلة:

\ frac (401) (5) = 80.2 ؛ \ quad \ frac (2) (3) \ تقريبًا 0.6667

ضرب وقسمة الكسور

عملية حسابية. ضرب وقسمة الكسور

لضرب كسرين مشتركين ، عليك ضرب البسط والمقام في الكسور.

\ frac (5) (9) \ cdot \ frac (7) (2) = \ frac (5 \ cdot7) (9 \ cdot2) = \ frac (35) (18)

لقسمة كسر مشترك على آخر ، تحتاج إلى ضرب الكسر الأول في مقلوب الثاني ( متبادلهو كسر ينعكس فيه البسط والمقام.

\ frac (5) (9): \ frac (7) (2) = \ frac (5) (9) \ cdot \ frac (2) (7) = \ frac (5 \ cdot2) (9 \ cdot7) = \ فارك (10) (63)

إذا كان أحد الكسور عدد طبيعي، ثم تظل قواعد الضرب والقسمة المذكورة أعلاه سارية المفعول. فقط ضع في اعتبارك أن العدد الصحيح هو نفس الكسر ، ومقامه يساوي واحد. على سبيل المثال: 3: \ frac (3) (7) = \ frac (3) (1): \ frac (3) (7) = \ frac (3) (1) \ cdot \ frac (7) (3) = \ frac (3 \ cdot7) (1 \ cdot3) = \ frac (7) (1) = 7