أي خط يسمى متساوي الجهد. الأسطح متساوية الجهد

العلاقة بين التوتر والإمكانات.

بالنسبة للحقل المحتمل ، هناك علاقة بين القوة المحتملة (المحافظة) والطاقة الكامنة

حيث ("nabla") هي مشغل Hamilton.

بسبب ال ومن بعد

تُظهر علامة الطرح أن المتجه E موجه في اتجاه تناقص الجهد.

للحصول على تمثيل رسومي للتوزيع المحتمل ، يتم استخدام الأسطح متساوية الجهد - الأسطح في جميع النقاط التي لها نفس القيمة المحتملة.

عادة ما يتم تنفيذ الأسطح متساوية الجهد بحيث تكون الاختلافات المحتملة بين سطحين متساويين الجهد متماثلين. ثم تحدد كثافة الأسطح متساوية الجهد بوضوح شدة المجال عند نقاط مختلفة. عندما تكون هذه الأسطح أكثر كثافة ، تكون شدة المجال أكبر. يوضح الخط المنقط في الشكل خطوط القوة ، والخطوط الصلبة توضح أقسام الأسطح متساوية الجهد من أجل: شحنة نقطية موجبة (أ) ، ثنائي القطب (ب) ، شحنتان بنفس الاسم (ج) ، معدن مشحون موصل التكوين المعقد (د).

لشحنة نقطة ، الاحتمالية لذلك فإن الأسطح متساوية الجهد عبارة عن كرات متحدة المركز. من ناحية أخرى ، فإن خطوط التوتر هي خطوط مستقيمة نصف قطرية. لذلك ، تكون خطوط التوتر عمودية على الأسطح متساوية الجهد.

يمكن إثبات أنه في جميع الحالات يكون المتجه E عموديًا على الأسطح متساوية الجهد ويتم توجيهه دائمًا في اتجاه تناقص الجهد.

أمثلة على حساب أهم المجالات الكهروستاتيكية المتماثلة في الفراغ.

1. المجال الكهروستاتيكي لثنائي القطب الكهربائي في الفراغ.

ثنائي القطب الكهربائي (أو قطب كهربائي مزدوج) هو نظام مكون من اثنين متساويين في القيمة المطلقة مقابل رسوم النقطة (+ q ، -q) ، والمسافة l بينهما أقل بكثير من المسافة إلى النقاط المعتبرة في المجال (l<< r).

ذراع ثنائي القطب l هو متجه موجه على طول المحور ثنائي القطب من شحنة سالبة إلى شحنة موجبة وتساوي المسافة بينهما.

العزم الكهربائي لثنائي القطب re هو متجه يتزامن في الاتجاه مع ذراع ثنائي القطب ويساوي حاصل ضرب معامل الشحنة | q | الكتف الأول:

لنفترض أن r هي المسافة إلى النقطة A من منتصف المحور ثنائي القطب. ثم بالنظر إلى ذلك

2) تمت استعادة شدة المجال عند النقطة B على العمود العمودي إلى محور ثنائي القطب من منتصفه عند

تقع النقطة B على مسافة متساوية من الشحنات + q و -q للثنائي القطب ، وبالتالي فإن جهد المجال عند النقطة B يساوي صفرًا. يتم توجيه المتجه Yb عكس المتجه l.

3) في مجال كهربائي خارجي ، يعمل زوج من القوى على طرفي ثنائي القطب ، والذي يميل إلى تدوير ثنائي القطب بطريقة تدور فيها العزم الكهربائي لثنائي القطب على طول اتجاه المجال E (الشكل أ). )).

في حقل موحد خارجي ، فإن لحظة زوج من القوات تساوي M = qElsin a أو في مجال خارجي غير متجانس (الشكل (ج)) ، فإن القوى المؤثرة في نهايات ثنائي القطب ليست هي نفسها والنتيجة تميل إلى تحريك ثنائي القطب إلى منطقة الحقل بكثافة أكبر - يتم سحب ثنائي القطب إلى منطقة حقل أقوى.

2. مجال مستوى لانهائي مشحون بشكل منتظم.

مستوى لانهائي مشحون بكثافة سطح ثابتة خطوط التوتر متعامدة مع المستوى المدروس وموجهة منه في كلا الاتجاهين.

كسطح غاوسي ، نأخذ سطح أسطوانة ، تكون مولداتها متعامدة مع المستوى المشحون ، وتكون القواعد موازية للمستوى المشحون وتقع على جوانب متقابلة منه على مسافات متساوية.

نظرًا لأن مولدات الأسطوانة موازية لخطوط التوتر ، فإن تدفق متجه الشد عبر السطح الجانبي للأسطوانة يساوي صفرًا ، ويكون إجمالي التدفق عبر الأسطوانة مساويًا لمجموع التدفقات عبر قواعدها 2ES. الشحنة داخل الاسطوانة. وفقًا لنظرية غاوس أين:

لا تعتمد E على طول الاسطوانة ، أي شدة المجال عند أي مسافة هي نفسها من حيث القيمة المطلقة. يسمى هذا المجال متجانس.

فرق الجهد بين النقاط الواقعة على مسافات x1 و x2 من المستوى يساوي

3. مجال مستويين لا متناهيين متوازيان مشحونان بشكل معاكس لهما نفس القيمة المطلقة لكثافة شحنة السطح> 0 و -.

ويترتب على المثال السابق أن نواقل الكثافة E 1 و E 2 للطائرات الأولى والثانية متساوية في القيمة المطلقة وموجهة في كل مكان بشكل عمودي على المستويات. لذلك ، في الفضاء خارج الطائرات ، يعوضون بعضهم البعض ، وفي الفراغ بين الطائرات ، التوتر الكلي . لذلك ، بين الطائرات

(في عازل.).

المجال بين الطائرات موحد. الفرق المحتمل بين الطائرات.
(في عازل ).

4. مجال سطح كروي مشحون بشكل موحد.

سطح كروي نصف قطره R بشحنة إجمالية q مشحون بشكل موحد بكثافة السطح

نظرًا لأن نظام الشحنات وبالتالي المجال نفسه متماثل مركزيًا فيما يتعلق بمركز الكرة ، يتم توجيه خطوط التوتر شعاعيًا.

كسطح غاوسي ، نختار كرة نصف قطرها r ، والتي لها مركز مشترك مع كرة مشحونة. إذا كانت r> R ، فإن الشحنة الكاملة q تدخل السطح. حسب نظرية غاوس ، من أين

بالنسبة لـ r<=R замкнутая поверхность не содержит внутри зарядов, поэтому внутри равномерно заряженной сферы Е = 0.

الفرق المحتمل بين نقطتين تقعان على مسافات r 1 و r 2 من مركز الكرة

(r1> R ، r2> R) ، يساوي

خارج الكرة المشحونة ، يكون المجال هو نفسه مجال الشحنة النقطية q الموجودة في مركز الكرة. لا يوجد مجال داخل الكرة المشحونة ، لذا فإن الإمكانات هي نفسها في كل مكان وهي نفسها على السطح

الأسس النظرية للعمل.

توجد علاقة تكاملية وتفاضلية بين قوة الكسر الكهربائي والجهد الكهربائي:

ي 1 - ي 2 = ∫ ه دل (1)

E = - الدرجة ي (2)

يمكن تمثيل المجال الكهربائي بيانياً بطريقتين ، يكمل كل منهما الآخر: استخدام الأسطح المتكافئة وخطوط التوتر (خطوط القوة).

يسمى السطح الذي تتمتع جميع نقاطه بنفس الإمكانات بالسطح متساوي الجهد. يسمى خط تقاطعها مع مستوى الرسم متساوي الجهد. خطوط القوة - الخطوط ، الظلال التي تتطابق عند كل نقطة مع اتجاه المتجه ه . في الشكل 1 ، تُظهر الخطوط المنقطة تساوي الإمكانات ، بينما تُظهر الخطوط الصلبة خطوط قوة المجال الكهربائي.

رسم بياني 1

فرق الجهد بين النقطتين 1 و 2 هو 0 ، لأنهما على نفس المعادلة. في هذه الحالة ، من (1):

∫E دل = 0 أو ∫E dlcos ( Edl ) = 0 (3)

بسبب ال ه و دل في التعبير (3) لا تساوي 0 ، إذن كوس ( Edl ) = 0 . لذلك ، فإن الزاوية بين متساوي الجهد وخط المجال هي p / 2.

ويترتب على العلاقة التفاضلية (2) أن خطوط القوة يتم توجيهها دائمًا في اتجاه تناقص الإمكانات.

يتم تحديد حجم شدة المجال الكهربائي من خلال "سمك" خطوط القوة. كلما كانت خطوط القوة أكثر سمكًا ، كانت المسافة بين خطوط القوة متساوية الجهد أصغر ، بحيث تشكل خطوط القوة وتساوي الجهد "مربعات منحنية الخطوط". بناءً على هذه المبادئ ، من الممكن تكوين صورة لخطوط القوة ، مع وجود صورة لتكافؤ القدرات ، والعكس صحيح.

تسمح لنا الصورة الكاملة بما فيه الكفاية لمعطيات متساوية المجال بحساب قيمة إسقاط متجه الكثافة عند نقاط مختلفة ه في الاتجاه المختار X ، بمتوسط ​​فترة معينة من الإحداثي ∆х :

ه cf. ∆х = - ∆ ي / ∆х ،

أين ∆х - تنسيق الزيادة عند الانتقال من متساوي الجهد إلى آخر ،

∆ ي - الزيادة المقابلة في الإمكانات ،

ه cf. ∆х - يعني السابق بين اثنين من الإمكانات.

وصف تقنية التركيب والقياس.

لنمذجة المجال الكهربائي ، من الملائم استخدام القياس الموجود بين المجال الكهربائي الناتج عن الأجسام المشحونة والمجال الكهربائي للتيار المباشر المتدفق عبر فيلم موصل بموصلية موحدة. في هذه الحالة ، يكون موقع خطوط القوة في المجال الكهربائي مشابهًا لموقع خطوط التيارات الكهربائية.

نفس البيان صحيح بالنسبة للإمكانيات. توزيع جهود المجال في فيلم موصل هو نفسه كما هو الحال في المجال الكهربائي في الفراغ.

كفيلم موصل ، يتم استخدام ورق موصل كهربائيًا له نفس الموصلية في جميع الاتجاهات في العمل.

يتم وضع الأقطاب الكهربائية على الورق بحيث يكون هناك اتصال جيد بين كل قطب كهربائي والورق الموصّل.

يظهر مخطط تشغيل التثبيت في الشكل 2. يتكون التثبيت من الوحدة الثانية ، العنصر الخارجي الأول ، المؤشر الثالث ، مصدر الطاقة الرابع. يتم استخدام الوحدة لتوصيل جميع الأجهزة المستخدمة. العنصر البعيد عبارة عن لوحة عازلة 1 ، توضع عليها ورقة بيضاء 2 ، فوقها ورقة نسخ 3 ، ثم ورقة موصلة 4 ، عليها أقطاب كهربائية 5. إلى الأقطاب الكهربائية من الوحدة الثانية باستخدام أسلاك التوصيل. يستخدم المؤشر III والمسبار 6 لتحديد إمكانات النقاط على سطح الورق الموصّل كهربائيًا.

يتم استخدام سلك به قابس في النهاية كمسبار. القدره ي المسبار يساوي إمكانات النقطة الموجودة على سطح الورقة الموصلة للكهرباء التي يلمسها. مجموعة نقاط المجال التي لها نفس الإمكانات هي صورة تساوي الجهد. تُستخدم وحدة إمداد الطاقة IV كوحدة إمداد طاقة TES - 42 ، وهي متصلة بالوحدة باستخدام موصل قابس على الجدار الخلفي للوحدة. يستخدم الفولتميتر V7 - 38 كمؤشر Ш.

ترتيب أداء العمل.

1. ضع ورقة بيضاء على اللوحة 1 2. ضع ورق الكربون 3 وورقة من الورق الموصّل 4 عليها (الشكل 2).

2. قم بتركيب الأقطاب الكهربائية 5 على ورق موصل للكهرباء وثبتها بالصواميل.

3. قم بتوصيل وحدة إمداد الطاقة IV (TEC-42) بالوحدة باستخدام موصل القابس الموجود على الحائط الخلفي للوحدة.

4. باستخدام سلكين ، قم بتوصيل المؤشر الثالث (V7-38 الفولتميتر) بمقابس "PV" على اللوحة الأمامية للوحدة. اضغط على الزر المقابل على الفولتميتر لقياس جهد التيار المستمر (الشكل 2).

5. باستخدام موصلين ، قم بتوصيل الأقطاب الكهربائية 5 بالوحدة P.

6. قم بتوصيل المجس (سلك مع مقبسين) بالمقبس الموجود على اللوحة الأمامية للوحدة.

7. قم بتوصيل الحامل بشبكة 220 فولت. قم بتشغيل مصدر الطاقة العام للحامل.

لنجد العلاقة بين قوة المجال الكهروستاتيكي ، وهي قوة المجال الكهروستاتيكي ميزة الطاقة ،والإمكانات - خاصية الطاقة في المجال.عمل النقل غير مرتبطةنقطة شحنة موجبة من نقطة واحدة في المجال إلى أخرى على طول المحور Xشريطة أن تكون النقاط قريبة بشكل لا نهائي من بعضها البعض و x 1 - x 2 = dx , يساوي E x dx . نفس الشغل يساوي j 1 -j 2 = dj . معادلة كلا التعبيرين ، يمكننا الكتابة

حيث يؤكد رمز المشتق الجزئي أن التمايز يتم فقط فيما يتعلق بـ X.تكرار التفكير المماثل للمحاور y و z , يمكننا إيجاد المتجه E:

حيث i ، j ، k - متجهات الوحدة لمحاور الإحداثيات x ، y ، z.

من تعريف التدرج اللوني (12.4) و (12.6). يتبع ذلك

أي أن شدة المجال E تساوي التدرج المحتمل بعلامة ناقص. يتم تحديد علامة الطرح من خلال حقيقة أن متجه شدة المجال E موجه إليه الاتجاه الهابطالقدره.

للحصول على تمثيل رسومي لتوزيع إمكانات مجال إلكتروستاتيكي ، كما في حالة مجال الجاذبية (انظر الفقرة 25) ، يتم استخدام الأسطح متساوية الجهد - الأسطح في جميع النقاط التي يكون للجهد j فيها نفس القيمة.

إذا تم إنشاء الحقل بواسطة شحنة نقطية ، فإن إمكاناته وفقًا لـ (84.5) ،

وبالتالي ، فإن الأسطح متساوية الجهد في هذه الحالة هي مجالات متحدة المركز. من ناحية أخرى ، فإن خطوط التوتر في حالة الشحنة النقطية هي خطوط مستقيمة نصف قطرية. لذلك ، خطوط التوتر في حالة الشحنة النقطية عموديالأسطح متساوية الجهد.

خطوط التوتر دائما طبيعيلأسطح متساوية الجهد. في الواقع ، جميع نقاط سطح متساوي الجهد لها نفس الإمكانات ، لذا فإن عمل تحريك الشحنة على طول هذا السطح يساوي صفرًا ، أي القوى الكهروستاتيكية التي تعمل على الشحنة ، دائماًموجهة على طول الأعراف إلى الأسطح متساوية الجهد. لذلك ، فإن المتجه E هو دائما طبيعي للأسطح متساوية الجهد ،وبالتالي فإن خطوط المتجه E متعامدة مع هذه الأسطح.

هناك عدد لا حصر له من الأسطح متساوية الجهد حول كل شحنة وكل نظام شحن. ومع ذلك ، يتم إجراؤها عادةً بحيث تكون الاختلافات المحتملة بين أي سطحين متساويين الجهد متجاورين. ثم تحدد كثافة الأسطح متساوية الجهد بوضوح شدة المجال عند نقاط مختلفة. عندما تكون هذه الأسطح أكثر كثافة ، تكون شدة المجال أكبر.

لذلك ، بمعرفة موقع خطوط شدة المجال الكهروستاتيكي ، من الممكن بناء أسطح متساوية الجهد ، وعلى العكس من الموقع المعروف للأسطح متساوية الجهد ، من الممكن تحديد معامل واتجاه شدة المجال عند كل نقطة من الميدان. على التين. 133 على سبيل المثال يُظهر عرض خطوط التوتر (الخطوط المتقطعة) والأسطح متساوية الجهد (الخطوط الصلبة) لمجالات شحنة نقطية موجبة (أ) وأسطوانة معدنية مشحونة بها نتوء في أحد طرفيها وانخفاض في الطرف الآخر (ب).

للحصول على تمثيل مرئي لحقول المتجهات ، يتم استخدام نمط خطوط القوة. خط القوة هو رياضي وهمي منحنى في الفضاء ، اتجاه الظل الذي في كل النقطة التي يمر من خلالها تتوافق مع اتجاه المتجه الحقول في نفس النقطة(الشكل 1.17).
أرز. 1.17:
يمكن كتابة حالة التوازي للمتجه E → والماس على أنه مساواة بصفر للمنتج المتجه E → والعنصر القوسي d r → لخط الحقل:

متساوي الجهد هو السطح وهي قيمة ثابتة للجهد الكهربائيφ. في مجال الشحنة النقطية ، كما هو موضح في الشكل. ، الأسطح الكروية مع مراكز في موقع الشحنة متساوية الجهد ؛ يمكن ملاحظة ذلك من المعادلة ϕ = q ∕ r = const.

عند تحليل هندسة خطوط القوة الكهربائية والأسطح متساوية الجهد ، يمكن للمرء أن يشير إلى عدد من الخصائص العامة لهندسة المجال الكهروستاتيكي.

أولاً ، خطوط القوة تبدأ عند الشحنات. إما أن يذهبوا إلى ما لا نهاية أو ينتهي بهم الأمر بشحنات أخرى ، كما في الشكل. .

أرز. 1.19:

ثانيًا ، في مجال محتمل ، لا يمكن إغلاق خطوط القوة. خلاف ذلك ، سيكون من الممكن الإشارة إلى مثل هذه الحلقة المغلقة بأن عمل المجال الكهربائي عند تحريك الشحنة على طول هذه الحلقة لا يساوي الصفر.

ثالثًا ، تتقاطع خطوط القوة مع أي جهد متساوي على طول الخط الطبيعي لها. في الواقع ، يتم توجيه المجال الكهربائي في كل مكان في اتجاه أسرع انخفاض في الجهد ، وعلى سطح متساوي الجهد يكون الجهد ثابتًا بالتعريف (الشكل).
أرز. 1.20:
وأخيرًا ، لا تتقاطع خطوط القوة في أي مكان باستثناء النقاط التي تكون فيها E → = 0. يعني تقاطع خطوط المجال أن الحقل عند نقطة التقاطع هو وظيفة غامضة للإحداثيات ، وأن المتجه E → ليس له اتجاه محدد. المتجه الوحيد الذي له هذه الخاصية هو المتجه الفارغ. سيتم تحليل بنية المجال الكهربائي بالقرب من نقطة الصفر في مشاكل ؟؟ .

طريقة خطوط القوة ، بالطبع ، قابلة للتطبيق على التمثيل الرسومي لأي حقول متجه. لذلك ، في الفصل سنلتقي بمفهوم خطوط القوة المغناطيسية. ومع ذلك ، فإن هندسة المجال المغناطيسي تختلف تمامًا عن هندسة المجال الكهربائي.

أرز. 1.21:
يرتبط مفهوم خطوط القوة ارتباطًا وثيقًا بمفهوم أنبوب القوة. دعونا نأخذ أي حلقة مغلقة تعسفية L ونرسم خطًا كهربائيًا للقوة من خلال كل نقطة منها (الشكل). هذه الخطوط تشكل أنبوب القوة. ضع في اعتبارك قسمًا تعسفيًا للأنبوب بجوار السطح S. نرسم عموديًا موجبًا في نفس اتجاه خطوط القوة. دع N هو تدفق المتجه E → من خلال القسم S. من السهل ملاحظة أنه في حالة عدم وجود شحنات كهربائية داخل الأنبوب ، فإن التدفق N يظل كما هو على طول الأنبوب بالكامل. لإثبات ذلك ، علينا أخذ مقطع عرضي آخر S ′. وفقًا لنظرية غاوس ، فإن تدفق المجال الكهربائي عبر سطح مغلق مقيد بالسطح الجانبي للأنبوب والأقسام S ، S ′ يساوي صفرًا ، نظرًا لعدم وجود شحنات كهربائية داخل أنبوب القوة. التدفق عبر السطح الجانبي هو صفر ، لأن المتجه E → يلامس هذا السطح. لذلك ، فإن التدفق خلال القسم S ′ يساوي عدديًا N ، ولكنه عكس ذلك في الإشارة. يتم توجيه السطح الخارجي الطبيعي للسطح المغلق في هذا القسم بشكل معاكس n →. إذا وجهنا الوضع الطبيعي في نفس الاتجاه ، فإن التدفقات عبر القسمين S و S سوف تتطابق من حيث الحجم والتوقيع. على وجه الخصوص ، إذا كان الأنبوب رقيقًا بشكل غير محدود وكان المقطعان S و S طبيعيين بالنسبة له ، إذن

E S = E ′ S ′.

اتضح تشابهًا تامًا مع تدفق مائع غير قابل للضغط. عندما يكون الأنبوب أرق ، يكون المجال E → أقوى. في تلك الأماكن التي يكون فيها أوسع ، يكون المجال E → أقوى. لذلك ، يمكن الحكم على قوة المجال الكهربائي من كثافة خطوط القوة.

قبل اختراع أجهزة الكمبيوتر ، من أجل الاستنساخ التجريبي لخطوط الحقل ، تم أخذ وعاء زجاجي بقاع مسطح وصب فيه سائل غير موصل ، مثل زيت الخروع أو الجلسرين. تم خلط بلورات مسحوق الجبس أو الأسبست أو أي جزيئات مستطيلة أخرى بالتساوي في السائل. تم غمر الأقطاب الكهربائية المعدنية في السائل. عند توصيلها بمصادر الكهرباء ، أثارت الأقطاب الكهربائية مجالًا كهربائيًا. في هذا المجال ، تكون الجسيمات مكهربة ، وتنجذب إلى بعضها البعض من خلال نهايات مكهربة معاكسة ، ويتم ترتيبها في شكل سلاسل على طول خطوط القوة. تتشوه صورة خطوط المجال بسبب تدفقات السوائل الناتجة عن القوى المؤثرة عليها في مجال كهربائي غير متجانس.

أن يتم ذلك بعد
أرز. 1.22:
تم الحصول على أفضل النتائج بالطريقة التي استخدمها روبرت دبليو بول (1884-1976). يتم لصق الأقطاب الكهربائية الفولاذية على صفيحة زجاجية ، يتم إنشاء جهد كهربائي بينها. بعد ذلك ، تُسكب الجزيئات الممدودة ، على سبيل المثال ، بلورات الجبس ، على اللوحة ، وتنقر عليها برفق. تقع على طول خطوط القوة. على التين. ؟؟ يتم تصوير صورة خطوط القوة التي تم الحصول عليها بهذه الطريقة بين دائرتين مشحنتين بشكل معاكس للإطار.

▸ المهمة 9.1

اكتب معادلة خطوط المجال في المتعامد التعسفيإحداثيات.

▸ المهمة 9.2

اكتب معادلة خطوط القوة في الإحداثيات الكروية.

يمكن تجميع تمثيل رسومي للحقول ليس فقط بخطوط التوتر ، ولكن أيضًا بمساعدة فرق محتمل. إذا قمنا بدمج النقاط ذات الإمكانات المتساوية في مجال كهربائي ، فإننا نحصل على أسطح ذات إمكانات متساوية ، أو كما يطلق عليها أيضًا أسطح متساوية الجهد. عند التقاطع مع مستوى الرسم ، تعطي الأسطح متساوية الجهد خطوطًا متساوية الجهد. من خلال رسم خطوط متساوية الجهد تتوافق مع قيم محتملة مختلفة ، نحصل على صورة واضحة تعكس كيف تتغير إمكانات مجال معين. لا يتطلب التحرك على طول سطح الشحنة متساوية الجهد عملًا ، نظرًا لأن جميع نقاط المجال على طول هذا السطح لها إمكانات متساوية وتكون القوة التي تعمل على الشحنة دائمًا متعامدة مع الحركة.

لذلك ، فإن خطوط التوتر تكون دائمًا متعامدة مع الأسطح ذات الإمكانات المتساوية.

سيتم تقديم الصورة الأكثر توضيحًا للمجال إذا تم تصوير خطوط متساوية الجهد مع تغييرات محتملة متساوية ، على سبيل المثال ، 10 فولت ، 20 فولت ، 30 فولت ، إلخ. في هذه الحالة ، سيكون معدل التغيير المحتمل متناسبًا عكسيا مع المسافة بين الخطوط متساوية الجهد المجاورة. أي أن كثافة الخطوط متساوية الجهد تتناسب مع شدة المجال (كلما زادت شدة المجال ، كلما اقترب رسم الخطوط). معرفة الخطوط متساوية الجهد ، من الممكن بناء خطوط شدة المجال قيد النظر والعكس صحيح.

لذلك ، فإن صور الحقول بمساعدة خطوط متساوية الجهد وخطوط التوتر متكافئة.

ترقيم الخطوط متساوية الجهد في الرسم

في كثير من الأحيان ، يتم ترقيم الخطوط متساوية الجهد في الرسم. للإشارة إلى الاختلاف المحتمل في الرسم ، يُشار إلى خط تعسفي بالرقم 0 ، والأرقام 1،2،3 ، وما إلى ذلك ، توضع بالقرب من جميع الخطوط الأخرى. تشير هذه الأرقام إلى الفرق المحتمل بالفولت بين خط متساوي الجهد المحدد والخط الذي تم اختياره على أنه صفر. في الوقت نفسه ، نلاحظ أن اختيار خط الصفر ليس مهمًا ، لأن الاختلاف المحتمل لسطحين فقط له معنى مادي ، ولا يعتمد على اختيار الصفر.

مجال شحنة نقطية بشحنة موجبة

خذ على سبيل المثال مجال الشحنة النقطية ، والتي لها شحنة موجبة. خطوط مجال الشحنة النقطية هي خطوط مستقيمة شعاعية ، وبالتالي ، فإن الأسطح متساوية الجهد هي نظام من المجالات متحدة المركز. تكون خطوط المجال متعامدة على أسطح الكرات عند كل نقطة من الحقل. الخطوط متساوية الجهد هي دوائر متحدة المركز. لشحنة موجبة ، يمثل الشكل 1 خطوط متساوية الجهد. لشحنة سالبة ، يمثل الشكل 2 خطوط متساوية الجهد.

وهو ما يتضح من الصيغة التي تحدد إمكانات مجال الشحنة النقطية عندما يتم تطبيع الإمكانات إلى ما لا نهاية ($ \ varphi \ left (\ infty \ right) = 0 $):

\ [\ varphi = \ frac (1) (4 \ pi \ varepsilon (\ varepsilon) _0) \ frac (q) (r) \ left (1 \ right). \]

نظام المستويات المتوازية ، التي تكون على مسافات متساوية من بعضها البعض ، هي أسطح متساوية الجهد لمجال كهربائي موحد.

مثال 1

المهمة: المجال المحتمل الذي تم إنشاؤه بواسطة نظام الرسوم له الشكل:

\ [\ varphi = a \ left (x ^ 2 + y ^ 2 \ right) + bz ^ 2، \]

حيث $ a، b $ ثوابت أكبر من الصفر. ما هو شكل الأسطح متساوية الجهد؟

الأسطح متساوية الجهد ، كما نعلم ، هي أسطح تتساوى فيها الإمكانات في أي نقطة. بمعرفة ما سبق سوف ندرس المعادلة المقترحة في ظروف المشكلة. قسّم الجانبين الأيمن والأيسر للمعادلة $ = a \ left (x ^ 2 + y ^ 2 \ right) + bz ^ 2 ، $ على $ \ varphi $ ، نحصل على:

\ [(\ frac (a) (\ varphi) x) ^ 2 + (\ frac (a) (\ varphi) y) ^ 2 + \ frac (b) (\ varphi) z ^ 2 = 1 \ left ( 1.1 \ حق). \]

نكتب المعادلة (1.1) بالصيغة المتعارف عليها:

\ [\ frac (x ^ 2) ((\ left (\ sqrt (\ frac (\ varphi) (a)) \ right)) ^ 2) + \ frac (y ^ 2) ((\ left (\ sqrt ( \ frac (\ varphi) (a)) \ right)) ^ 2) + \ frac (z ^ 2) ((\ left (\ sqrt (\ frac (\ varphi) (b)) \ ​​right)) ^ 2) = 1 \ (1.2) \]

توضح المعادلة $ (1.2) \ $ أن الشكل المعطى عبارة عن شكل بيضاوي للثورة. مهاوي المحور

\ [\ sqrt (\ frac (\ varphi) (a)) ، \ \ sqrt (\ frac (\ varphi) (a)) ، \ \ sqrt (\ frac (\ varphi) (b)). \]

الإجابة: السطح متساوي الجهد لحقل معين عبارة عن شكل بيضاوي للثورة بنصف محاور ($ \ sqrt (\ frac (\ varphi) (a)) ، \ \ sqrt (\ frac (\ varphi) (a)) ، \ \ sqrt (\ frac (\ varphi) (b)) $).

مثال 2

المهمة: الإمكانات الميدانية لها الشكل:

\ [\ varphi = a \ left (x ^ 2 + y ^ 2 \ right) -bz ^ 2، \]

حيث $ a، b $ - $ const $ أكبر من الصفر. ما هي السطوح متساوية الجهد؟

ضع في اعتبارك الحالة عندما يكون $ \ varphi> 0 $. دعنا نأتي بالمعادلة الواردة في ظروف المشكلة إلى الصيغة المتعارف عليها ، لذلك نقسم كلا الجزأين من المعادلة على $ \ varphi ، ونحصل على $:

\ [\ frac (a) (\ varphi) x ^ 2 + (\ frac (a) (\ varphi) y) ^ 2- \ frac (b) (\ varphi) z ^ 2 = 1 \ left (2.1 \ حقا).\]

\ [\ frac (x ^ 2) (\ frac (\ varphi) (a)) + \ frac (y ^ 2) (\ frac (\ varphi) (a)) - \ frac (z ^ 2) (\ frac (\ varphi) (ب)) = 1 \ يسار (2.2 \ يمين). \]

في (2.2) ، حصلنا على المعادلة المتعارف عليها للقطع الزائد ذو الورقة الواحدة. أنصافها هي ($ \ sqrt (\ frac (\ varphi) (a)) \ left (real \ semiaxis \ right) ، \ sqrt (\ frac (\ varphi) (a)) \ left (حقيقي \ semiaxis \ right) )، \ \ sqrt (\ frac (\ varphi) (b)) (وهمي \ semiaxis) $).

ضع في اعتبارك الحالة التي يكون فيها $ \ varphi

دعنا نمثل $ \ varphi = - \ left | \ varphi \ right | $ لنجلب المعادلة الواردة في شروط المشكلة إلى الصيغة المتعارف عليها ، لهذا نقسم كلا الجزأين من المعادلة على ناقص المقياس $ \ varphi ، $ نحن نحصل:

\ [- \ frac (a) (\ left | \ varphi \ right |) x ^ 2 - (\ frac (a) (\ left | \ varphi \ right |) y) ^ 2 + \ frac (b) (\ يسار | \ varphi \ right |) z ^ 2 = 1 \ \ left (2.3 \ right). \]

دعونا نعيد كتابة المعادلة (1.1) بالشكل:

\ [- \ frac (x ^ 2) (\ frac (\ left | \ varphi \ right |) (a)) - \ frac (y ^ 2) (\ frac (\ left | \ varphi \ right |) (أ )) + \ frac (z ^ 2) (\ frac (\ left | \ varphi \ right |) (b)) = 1 \ left (2.4 \ right). \]

لقد حصلنا على المعادلة الأساسية للقطب الزائد ذو الطبقتين ، نصف محوره:

($ \ sqrt (\ frac (\ left | \ varphi \ right |) (a)) \ left (وهمي \ semiaxis \ right) ، \ sqrt (\ frac (\ left | \ varphi \ right |) (a) ) \ يسار (تخيلي \ semiaxis \ يمين) \ \ sqrt (\ frac (\ left | \ varphi \ right |) (b)) (\ real \ semiaxis) $).

ضع في اعتبارك الحالة عندما يكون $ \ varphi = 0. $ فإن معادلة الحقل لها الشكل:

دعونا نعيد كتابة المعادلة (2.5) بالشكل:

\ [\ frac (x ^ 2) ((\ left (\ frac (1) (\ sqrt (a)) \ right)) ^ 2) + \ frac (y ^ 2) ((\ left (\ frac (1 ) (\ sqrt (a)) \ right)) ^ 2) - \ frac (z ^ 2) ((\ left (\ frac (1) (\ sqrt (b)) \ ​​right)) ^ 2) = 0 \ يسار (2.6 \ يمين). \]

لقد حصلنا على المعادلة المتعارف عليها للمخروط الدائري الأيمن استنادًا إلى القطع الناقص مع أنصاف المحاور $ (\ frac (\ sqrt (b)) (\ sqrt (a)) $؛ $ \ frac (\ sqrt (b)) (\ الجذر التربيعي (أ)) $).

الإجابة: كأسطح متساوية الجهد لمعادلة محتملة معينة ، حصلنا على: بالنسبة إلى $ \ varphi> 0 $ ، شكل زائد مفرغ من ورقة واحدة ، لـ $ \ varphi