ما هي القوى التي تعمل على حركة البندول الرياضي. أسرار البندول

البندول الرياضيتسمى نقطة مادية معلقة على خيط عديم الوزن وغير مرن متصل بتعليق وموجود في مجال الجاذبية (أو قوة أخرى).

ندرس اهتزازات البندول الرياضي في إطار مرجعي بالقصور الذاتي ، حيث تكون نقطة تعليقه في حالة سكون أو تتحرك بشكل موحد في خط مستقيم. سنهمل قوة مقاومة الهواء (بندول رياضي مثالي). في البداية ، يكون البندول في حالة سكون في وضع التوازن C. في هذه الحالة ، يتم تعويض قوة الجاذبية المؤثرة عليه وقوة المرونة F ynp للخيط بشكل متبادل.

نخرج البندول من موضع التوازن (نحرفه ، على سبيل المثال ، إلى الموضع A) ونتركه يذهب بدون سرعة ابتدائية (الشكل 1). في هذه الحالة ، لا تتوازن القوى مع بعضها البعض. إن المكون المماسي للجاذبية ، الذي يعمل على البندول ، يعطيه تسارعًا مماسيًا a ؟؟ (عنصر التسارع الكلي الموجه على طول المماس لمسار البندول الرياضي) ، ويبدأ البندول في التحرك نحو موضع التوازن بسرعة متزايدة في القيمة المطلقة. وبالتالي فإن المكون المماسي للجاذبية هو قوة الاستعادة. يتم توجيه المكون الطبيعي للجاذبية على طول الخيط ضد القوة المرنة. القوة المحصلة وتخبر البندول بالتسارع الطبيعي ، والذي يغير اتجاه متجه السرعة ، ويتحرك البندول على طول القوس ABCD.

كلما اقترب البندول من موضع التوازن C ، أصبحت قيمة المكون المماسي أصغر. في وضع التوازن ، تساوي الصفر ، وتصل السرعة إلى أقصى قيمة لها ، ويتحرك البندول أكثر بالقصور الذاتي ، حيث يرتفع إلى أعلى على طول القوس. في هذه الحالة ، يتم توجيه المكون ضد السرعة. مع زيادة زاوية الانحراف a ، يزداد معامل القوة ، ويقل معامل السرعة ، وعند النقطة D تصبح سرعة البندول مساوية للصفر. يتوقف البندول للحظة ثم يبدأ في التحرك في الاتجاه المعاكس لموضع التوازن. بعد أن تجاوزه مرة أخرى بالقصور الذاتي ، فإن البندول ، الذي يتباطأ ، سيصل إلى النقطة A (بدون احتكاك) ، أي يقوم بأرجوحة كاملة. بعد ذلك ، ستتكرر حركة البندول بالتسلسل الموصوف بالفعل.

نحصل على معادلة تصف التذبذبات الحرة للبندول الرياضي.

دع البندول في لحظة معينة يكون عند النقطة B. إزاحته S من موضع التوازن في هذه اللحظة تساوي طول القوس CB (أي S = | CB |). دعونا نشير إلى طول خيط التعليق كـ l ، وكتلة البندول كـ m.

يوضح الشكل 1 أن وأين. عند الزوايا الصغيرة () ، انحراف البندول

يتم وضع علامة الطرح في هذه الصيغة لأن المكون المماسي للجاذبية يتم توجيهه نحو موضع التوازن ، ويتم حساب الإزاحة من موضع التوازن.

وفقًا لقانون نيوتن الثاني. نقوم بإسقاط الكميات المتجهة لهذه المعادلة على اتجاه المماس لمسار البندول الرياضي

من هذه المعادلات نحصل عليها

معادلة ديناميكية لحركة البندول الرياضي. يتناسب التسارع العرضي للبندول الرياضي مع إزاحته ويتجه نحو وضع التوازن. يمكن كتابة هذه المعادلة كـ

مقارنتها بمعادلة التذبذبات التوافقية ، يمكننا أن نستنتج أن البندول الرياضي يصنع اهتزازات توافقية. وبما أن التذبذبات المدروسة للبندول حدثت تحت تأثير القوى الداخلية فقط ، فقد كانت هذه اهتزازات حرة للبندول. وبالتالي ، فإن التذبذبات الحرة للبندول الرياضي مع انحرافات صغيرة تكون متناسقة.

دل

التردد الدوري لتذبذبات البندول.

فترة تذبذب البندول. بالتالي،

هذا التعبير يسمى صيغة Huygens. يحدد فترة التذبذبات الحرة للبندول الرياضي. ويترتب على الصيغة أنه عند الزوايا الصغيرة للانحراف عن موضع التوازن ، فإن فترة التذبذب للبندول الرياضي:

1. لا تعتمد على كتلتها وسعة التذبذبات ؛
2. يتناسب مع الجذر التربيعي لطول البندول ويتناسب عكسيًا مع الجذر التربيعي لعجلة السقوط الحر.

هذا يتوافق مع القوانين التجريبية للتذبذبات الصغيرة للبندول الرياضي ، والتي اكتشفها ج. جاليليو.

نؤكد أنه يمكن استخدام هذه الصيغة لحساب الفترة التي يتم فيها استيفاء شرطين في وقت واحد:

1. يجب أن تكون تذبذبات البندول صغيرة ؛
2. يجب أن تكون نقطة تعليق البندول في حالة راحة أو تتحرك بشكل مستقيم بشكل مستقيم بالنسبة للإطار المرجعي بالقصور الذاتي الذي يقع فيه.

إذا تحركت نقطة تعليق البندول الرياضي مع التسارع ، فإن قوة شد الخيط تتغير ، مما يؤدي إلى تغيير في قوة الاستعادة ، وبالتالي تواتر التذبذب ومدته. كما تظهر الحسابات ، يمكن حساب فترة تذبذب البندول في هذه الحالة بالصيغة

أين هو التسارع "الفعال" للبندول في إطار مرجعي غير بالقصور الذاتي. إنه يساوي المجموع الهندسي لعجلة الجاذبية والمتجه المقابل للمتجه ، أي يمكن حسابها باستخدام الصيغة

يُطلق على النظام الميكانيكي ، الذي يتكون من نقطة مادة (جسم) معلقة على خيط عديم الوزن غير قابل للتمدد (كتلته ضئيلة مقارنة بوزن الجسم) في حقل جاذبية موحد ، بندول رياضي (اسم آخر هو مذبذب) . هناك أنواع أخرى من هذا الجهاز. بدلاً من الخيط ، يمكن استخدام قضيب عديم الوزن. يمكن أن يكشف البندول الرياضي بوضوح عن جوهر العديد من الظواهر المثيرة للاهتمام. مع سعة التذبذب الصغيرة ، تسمى حركتها التوافقية.

معلومات عامة عن النظام الميكانيكي

تم اشتقاق صيغة فترة تذبذب هذا البندول من قبل العالم الهولندي Huygens (1629-1695). كان نيوتن هذا معاصرًا جدًا لهذا النظام الميكانيكي. في عام 1656 ابتكر أول ساعة بندول. قاموا بقياس الوقت بدقة استثنائية لتلك الأوقات. أصبح هذا الاختراع أهم مرحلة في تطوير التجارب الفيزيائية والأنشطة العملية.

إذا كان البندول في وضع التوازن (معلق عموديًا) ، فسيتم موازنته بقوة شد الخيط. البندول المسطح على خيط غير مرن هو نظام ذو درجتين من الحرية مع اتصال. عندما تقوم بتغيير مكون واحد فقط ، تتغير خصائص جميع أجزائه. لذلك ، إذا تم استبدال الخيط بقضيب ، فسيكون لهذا النظام الميكانيكي درجة واحدة فقط من الحرية. ما هي خواص البندول الرياضي؟ في هذا النظام الأبسط ، تنشأ الفوضى تحت تأثير اضطراب دوري. في حالة عدم تحرك نقطة التعليق ، ولكنها تتأرجح ، يكون للبندول وضع توازن جديد. مع التذبذبات السريعة لأعلى ولأسفل ، يكتسب هذا النظام الميكانيكي وضعًا مستقرًا مقلوبًا. لديها أيضا اسمها الخاص. يطلق عليه بندول كابيتسا.

خصائص البندول

البندول الرياضي له خصائص مثيرة للاهتمام. تم تأكيدهم جميعًا من خلال القوانين الفيزيائية المعروفة. تعتمد فترة تذبذب أي بندول آخر على ظروف مختلفة ، مثل حجم وشكل الجسم ، والمسافة بين نقطة التعليق ومركز الثقل ، وتوزيع الكتلة بالنسبة لهذه النقطة. هذا هو السبب في أن تحديد فترة الجسد المعلق مهمة صعبة إلى حد ما. من الأسهل بكثير حساب فترة البندول الرياضي ، وسيتم تقديم معادلته أدناه. نتيجة لملاحظات الأنظمة الميكانيكية المماثلة ، يمكن تحديد الانتظامات التالية:

إذا تم تعليق أوزان مختلفة مع الحفاظ على نفس طول البندول ، فستكون فترة التذبذبات هي نفسها ، على الرغم من أن كتلها ستختلف بشكل كبير. لذلك ، فإن فترة هذا البندول لا تعتمد على كتلة الحمل.

إذا كان البندول ينحرف عند بدء تشغيل النظام بزوايا غير كبيرة جدًا ، ولكن مختلفة ، فسيبدأ في التأرجح مع نفس الفترة ، ولكن بسعة مختلفة. طالما أن الانحرافات عن مركز التوازن ليست كبيرة جدًا ، فإن التذبذبات في شكلها ستكون قريبة جدًا من التذبذبات التوافقية. فترة هذا البندول لا تعتمد على سعة التذبذب بأي شكل من الأشكال. هذه الخاصية لهذا النظام الميكانيكي تسمى isochronism (مترجمة من اليونانية "chronos" - الوقت ، "isos" - يساوي).

فترة البندول الرياضي

يمثل هذا المؤشر الفترة الزمنية على الرغم من الصياغة المعقدة ، فإن العملية نفسها بسيطة للغاية. إذا كان طول خيط البندول الرياضي هو L ، وكان تسارع السقوط الحر g ، فإن هذه القيمة تساوي:

لا تعتمد فترة التذبذبات الطبيعية الصغيرة بأي حال من الأحوال على كتلة البندول وسعة التذبذبات. في هذه الحالة ، يتحرك البندول مثل بندول رياضي بطول منخفض.

تذبذبات البندول الرياضي

يتذبذب البندول الرياضي ، ويمكن وصفه بمعادلة تفاضلية بسيطة:

س + ω2 خطيئة س = 0 ،

حيث x (t) هي وظيفة غير معروفة (هذه هي زاوية الانحراف عن موضع التوازن السفلي في الوقت t ، معبراً عنها بالتقدير الدائري) ؛ ω هو ثابت موجب يتم تحديده من معاملات البندول (ω = √g / L ، حيث g هو تسارع الجاذبية و L طول البندول الرياضي (التعليق).

تبدو معادلة التذبذبات الصغيرة بالقرب من موضع التوازن (المعادلة التوافقية) كما يلي:

x + ω2 sin x = 0

الحركات التذبذبية للبندول

بندول رياضي يجعل التذبذبات الصغيرة تتحرك على طول الجيب. تفي المعادلة التفاضلية من الدرجة الثانية بجميع متطلبات ومعلمات مثل هذه الحركة. لتحديد المسار ، يجب عليك تحديد السرعة والإحداثيات ، والتي يتم من خلالها تحديد الثوابت المستقلة:

س \ u003d خطيئة (θ 0 + t) ،

حيث θ 0 هي المرحلة الأولية ، A هي سعة التذبذب ، ω هي التردد الدوري المحدد من معادلة الحركة.

البندول الرياضي (الصيغ الخاصة باستطالات السعات الكبيرة)

هذا النظام الميكانيكي ، الذي يجعل اهتزازاته بسعة كبيرة ، يخضع لقوانين حركة أكثر تعقيدًا. بالنسبة لمثل هذا البندول ، يتم حسابها بواسطة الصيغة:

الخطيئة س / 2 = u * sn (ωt / ش) ،

أين sn هي الجيب اليعقوبي ، والتي من أجلك< 1 является периодической функцией, а при малых u он совпадает с простым тригонометрическим синусом. Значение u определяют следующим выражением:

ش = (ε + ω2) / 2ω2 ،

حيث ε = E / mL2 (mL2 هي طاقة البندول).

يتم تحديد فترة التذبذب للبندول غير الخطي من خلال الصيغة:

حيث Ω = π / 2 * ω / 2K (u) ، K هو التكامل البيضاوي ، π - 3,14.

حركة البندول على طول المفصلة

المصفوفة المنفصلة هي مسار نظام ديناميكي به فضاء طور ثنائي الأبعاد. يتحرك البندول الرياضي على طوله بشكل غير دوري. في لحظة زمنية بعيدة بشكل لا نهائي ، يسقط من الموضع الأعلى الأقصى إلى الجانب بسرعة صفر ، ثم يلتقطه تدريجياً. يتوقف في النهاية ، ويعود إلى موقعه الأصلي.

إذا اقتربت سعة اهتزاز البندول من الرقم π ، يشير هذا إلى أن الحركة على مستوى الطور تقترب من المصفوفة الفاصلة. في هذه الحالة ، تحت تأثير قوة دافعة دورية صغيرة ، يُظهر النظام الميكانيكي سلوكًا فوضويًا.

عندما ينحرف البندول الرياضي عن موضع التوازن بزاوية معينة φ ، تنشأ قوة الجاذبية العرضية Fτ = -mg sin. تعني علامة الطرح أن هذا المكون العرضي موجه في الاتجاه المعاكس لانحراف البندول. عندما يُشار إلى إزاحة البندول على طول قوس دائرة نصف قطرها L بالرمز x ، فإن إزاحته الزاوية تساوي φ = x / L. سيعطي القانون الثاني الخاص بالإسقاطات والقوة القيمة المطلوبة:

mg τ = Fτ = -mg sinx / L.

بناءً على هذه العلاقة ، يمكن ملاحظة أن هذا البندول هو نظام غير خطي ، لأن القوة التي تميل إلى إعادته إلى موضع توازنه دائمًا ما تكون متناسبة ليس مع الإزاحة x ، ولكن مع الخطيئة x / L.

فقط عندما يصنع البندول الرياضي ذبذبات صغيرة يكون مذبذب توافقي. بمعنى آخر ، يصبح نظامًا ميكانيكيًا قادرًا على أداء الاهتزازات التوافقية. هذا التقريب صالح عمليا لزوايا 15-20 درجة. ذبذبات البندول ذات السعات الكبيرة ليست متناسقة.

قانون نيوتن للتذبذبات الصغيرة للبندول

إذا قام نظام ميكانيكي معين بأداء اهتزازات صغيرة ، فسيبدو قانون نيوتن الثاني كما يلي:

mg τ = Fτ = -m * g / L * x.

بناءً على ذلك ، يمكننا أن نستنتج أن البندول الرياضي يتناسب مع إزاحته بعلامة ناقص. هذه هي الحالة التي بسببها يصبح النظام مذبذبًا توافقيًا. معامل معامل التناسب بين الإزاحة والتسارع يساوي مربع التردد الدائري:

ω02 = جم / لتر ؛ ω0 = ميكروغرام / لتر.

تعكس هذه الصيغة التردد الطبيعي للتذبذبات الصغيرة لهذا النوع من البندول. بناء على هذا،

T = 2π / ω0 = 2π√ جم / لتر.

الحسابات على أساس قانون الحفاظ على الطاقة

يمكن أيضًا وصف خصائص البندول باستخدام قانون الحفاظ على الطاقة. في هذه الحالة ، يجب مراعاة أن البندول في مجال الجاذبية يساوي:

E = mg∆h = mgL (1 - cos α) = mgL2sin2 α / 2

المجموع يساوي القدرة الحركية أو الحد الأقصى: Epmax = Ekmsx = E

بعد كتابة قانون حفظ الطاقة ، يتم أخذ مشتق الجانبين الأيمن والأيسر من المعادلة:

بما أن مشتق الثوابت هو 0 ، إذن (Ep + Ek) "= 0. مشتق المجموع يساوي مجموع المشتقات:

Ep "= (mg / L * x2 / 2)" = mg / 2L * 2x * x "= mg / L * v + Ek" = (mv2 / 2) = m / 2 (v2) "= m / 2 * 2v * v "= mv * α ،

بالتالي:

Mg / L * xv + mva = v (mg / L * x + mα) = 0.

بناءً على الصيغة الأخيرة ، نجد: α = - g / L * x.

تطبيق عملي للبندول الرياضي

يختلف التسارع باختلاف خط العرض الجغرافي ، لأن كثافة قشرة الأرض ليست هي نفسها في جميع أنحاء الكوكب. في حالة وجود صخور ذات كثافة أعلى ، ستكون أعلى إلى حد ما. غالبًا ما يستخدم تسريع البندول الرياضي في الاستكشاف الجيولوجي. يتم استخدامه للبحث عن المعادن المختلفة. ببساطة عن طريق حساب عدد تقلبات البندول ، يمكنك العثور على الفحم أو الخام في أحشاء الأرض. هذا يرجع إلى حقيقة أن هذه الأحافير لها كثافة وكتلة أكبر من الصخور السائبة التي تحتها.

تم استخدام البندول الرياضي من قبل علماء بارزين مثل سقراط وأرسطو وأفلاطون وبلوتارخ وأرخميدس. يعتقد الكثير منهم أن هذا النظام الميكانيكي يمكن أن يؤثر على مصير وحياة الشخص. استخدم أرخميدس بندول رياضي في حساباته. في الوقت الحاضر ، يستخدم العديد من علماء التنجيم والوسطاء هذا النظام الميكانيكي لتحقيق نبوءاتهم أو البحث عن الأشخاص المفقودين.

كما استخدم عالم الفلك وعالم الطبيعة الفرنسي الشهير سي. فلاماريون بندول رياضي في أبحاثه. وادعى أنه بمساعدته كان قادرًا على التنبؤ باكتشاف كوكب جديد وظهور نيزك تونجوسكا وأحداث مهمة أخرى. خلال الحرب العالمية الثانية في ألمانيا (برلين) ، عمل معهد متخصص للبندول. اليوم ، معهد ميونيخ لعلم التخاطر يشارك في بحث مماثل. يسمي موظفو هذه المؤسسة عملهم بالبندول "إشعاعي".

البندول الرياضي- هذه نقطة مادية معلقة على خيط عديم الوزن وغير قابل للتمدد يقع في مجال الجاذبية الأرضية. البندول الرياضي هو نموذج مثالي يصف بشكل صحيح البندول الحقيقي فقط في ظل ظروف معينة. يمكن اعتبار البندول الحقيقي رياضيًا إذا كان طول الخيط أكبر بكثير من أبعاد الجسم المعلق عليه ، وكتلة الخيط لا تذكر مقارنةً بكتلة الجسم ، وتشوهات الخيط صغيرة جدًا أنه يمكن إهمالها تمامًا.

يتكون النظام المتذبذب في هذه الحالة من خيط ، وجسم متصل به ، والأرض ، والتي بدونها لا يمكن لهذا النظام أن يعمل كبندول.

أين أ X – التسريع، ز - تسارع الجاذبية، X- عوض، لهو طول سلسلة البندول.

هذه المعادلة تسمى معادلة التذبذبات الحرة للبندول الرياضي.يصف التذبذبات قيد الدراسة بشكل صحيح فقط عند استيفاء الافتراضات التالية:

2) تؤخذ في الاعتبار فقط التذبذبات الصغيرة للبندول بزاوية تأرجح صغيرة.

يتم وصف الاهتزازات الحرة لأي أنظمة في جميع الحالات بمعادلات مماثلة.

أسباب التذبذب الحر للبندول الرياضي هي:

1. العمل على البندول لقوة التوتر وقوة الجاذبية ، مما يمنع إزاحته من وضع التوازن ويجبره على السقوط مرة أخرى.

2. القصور الذاتي للبندول ، والذي بسببه ، مع الحفاظ على سرعته ، لا يتوقف في وضع التوازن ، بل يمر عبره أكثر.

فترة التذبذب الحر للبندول الرياضي

لا تعتمد فترة التذبذبات الحرة للبندول الرياضي على كتلته ، ولكن يتم تحديدها فقط من خلال طول الخيط وتسارع السقوط الحر في المكان الذي يوجد فيه البندول.

تحويل الطاقة أثناء الاهتزازات التوافقية

مع التذبذبات التوافقية للبندول الزنبركي ، يتم تحويل الطاقة الكامنة للجسم المشوه بشكل مرن إلى طاقته الحركية ، حيث ك – معامل المرونة X -وحدة إزاحة البندول من وضع التوازن ، م- كتلة البندول ، الخامس- سرعته. وفقًا لمعادلة التذبذبات التوافقية:

, .

الطاقة الكلية لبندول الربيع:

.

إجمالي الطاقة للبندول الرياضي:

في حالة البندول الرياضي

تحدث تحويلات الطاقة أثناء تذبذبات البندول الربيعي وفقًا لقانون حفظ الطاقة الميكانيكية ( ). عندما يتحرك البندول لأعلى أو لأسفل من وضع التوازن ، تزداد طاقته الكامنة وتقل طاقته الحركية. عندما يمر البندول من وضع التوازن ( X= 0) ، طاقته الكامنة تساوي الصفر ، والطاقة الحركية للبندول لها أكبر قيمة ، تساوي طاقته الإجمالية.

وهكذا ، في عملية التذبذب الحر للبندول ، يتم تحويل طاقته الكامنة إلى حركية ، حركية إلى جهد ، ثم إلى طاقة حركية مرة أخرى ، إلخ. لكن الطاقة الميكانيكية الكلية تظل دون تغيير.

الاهتزازات القسرية. صدى.

تسمى التذبذبات التي تحدث تحت تأثير قوة دورية خارجية الاهتزازات القسرية. قوة دورية خارجية ، تسمى القوة الدافعة ، تضفي طاقة إضافية على النظام التذبذب ، والذي يستخدم لتجديد فقد الطاقة بسبب الاحتكاك. إذا تغيرت القوة الدافعة بمرور الوقت وفقًا لقانون الجيب أو قانون جيب التمام ، فإن التذبذبات القسرية ستكون متناسقة وغير مخمدة.

على عكس التذبذبات الحرة ، عندما يتلقى النظام الطاقة مرة واحدة فقط (عندما يتم إخراج النظام من التوازن) ، في حالة التذبذبات القسرية ، يمتص النظام هذه الطاقة باستمرار من مصدر قوة دورية خارجية. تعوض هذه الطاقة الخسائر التي يتم إنفاقها على التغلب على الاحتكاك ، وبالتالي فإن الطاقة الإجمالية للنظام التذبذب لا تتغير.

تردد التذبذبات القسرية يساوي تواتر القوة الدافعة. عندما تواتر القوة الدافعة υ يتزامن مع التردد الطبيعي للنظام التذبذب υ 0 , هناك زيادة حادة في سعة التذبذبات القسرية - صدى. يحدث الرنين بسبب υ = υ 0 القوة الخارجية ، التي تعمل في الوقت المناسب مع الاهتزازات الحرة ، دائمًا ما تكون موجهة بشكل مشترك مع سرعة الجسم المتأرجح وتقوم بعمل إيجابي: تزداد طاقة الجسم المتأرجح ، ويصبح اتساع اهتزازاته كبيرًا. رسم بياني لاعتماد سعة التذبذبات القسرية لكن ر على تواتر القوة الدافعة υ الموضح في الشكل ، يسمى هذا الرسم البياني منحنى الرنين:

تلعب ظاهرة الرنين دورًا مهمًا في عدد من العمليات الطبيعية والعلمية والصناعية. على سبيل المثال ، من الضروري مراعاة ظاهرة الرنين عند تصميم الجسور والمباني وغيرها من الهياكل التي تتعرض للاهتزاز تحت الحمل ، وإلا ، في ظل ظروف معينة ، يمكن تدمير هذه الهياكل.

البندولات الموضحة في الشكل. 2 ، أجسام ممتدة من مختلف الأشكال والأحجام ، تتأرجح حول نقطة تعليق أو دعم. تسمى هذه الأنظمة البندولات الفيزيائية. في حالة التوازن ، عندما يكون مركز الجاذبية على الوضع الرأسي أسفل نقطة التعليق (أو الدعم) ، يتم موازنة قوة الجاذبية (من خلال القوى المرنة للبندول المشوه) من خلال رد فعل الدعم. عند الانحراف عن موضع التوازن ، تحدد قوى الجاذبية والمرونة في كل لحظة من الزمن التسارع الزاوي للبندول ، أي تحديد طبيعة حركته (التذبذب). سننظر الآن في ديناميكيات التذبذبات بمزيد من التفصيل باستخدام أبسط مثال لما يسمى البندول الرياضي ، وهو وزن صغير معلق على خيط رفيع طويل.

في البندول الرياضي ، يمكننا إهمال كتلة الخيط وتشوه الوزن ، أي يمكننا أن نفترض أن كتلة البندول تتركز في الوزن ، وأن القوى المرنة تتركز في الخيط ، وهو ما يعتبر لا ينضب. دعونا ننظر الآن تحت تأثير القوى التي يتأرجح البندول لدينا بعد أن يخرج من التوازن بطريقة ما (بالدفع والانحراف).

عندما يكون البندول في حالة سكون في وضع التوازن ، فإن قوة الجاذبية المؤثرة على وزنه والموجهة عموديًا لأسفل تتم موازنة الشد في الخيط. في الوضع المنحرف (الشكل 15) ، تعمل الجاذبية بزاوية مع قوة الشد الموجهة على طول الخيط. نحن نحلل قوة الجاذبية إلى مكونين: في اتجاه الخيط () وعمودي عليه (). عندما يتأرجح البندول ، تتجاوز قوة شد الخيط المكون قليلاً - بقيمة قوة الجاذبية المركزية ، مما يؤدي إلى تحرك الحمل في قوس. يتم توجيه المكون دائمًا نحو وضع التوازن ؛ يبدو أنها تسعى جاهدة لاستعادة هذا الموقف. لذلك ، غالبًا ما يطلق عليها اسم قوة الاستعادة. كلما كان المعامل أكبر ، كلما زاد انحراف البندول.

أرز. 15. قوة الاستعادة عندما ينحرف البندول عن وضع التوازن

لذلك ، بمجرد أن يبدأ البندول ، أثناء تذبذباته ، في الانحراف عن وضع التوازن ، على سبيل المثال ، إلى اليمين ، تظهر قوة تبطئ حركته كلما زاد انحرافها. في النهاية ، ستوقفه هذه القوة وتسحبه مرة أخرى إلى وضع التوازن. ومع ذلك ، عندما نقترب من هذا الموضع ، ستقل القوة أكثر فأكثر وفي وضع التوازن نفسه ستتحول إلى الصفر. وهكذا ، فإن البندول يمر من خلال وضع التوازن عن طريق القصور الذاتي. بمجرد أن تبدأ في الانحراف إلى اليسار ، ستظهر قوة مرة أخرى ، تنمو مع زيادة الانحراف ، ولكنها الآن موجهة إلى اليمين. ستتباطأ الحركة إلى اليسار مرة أخرى ، ثم سيتوقف البندول للحظة ، وبعد ذلك ستبدأ الحركة المتسارعة إلى اليمين ، إلخ.

ماذا يحدث لطاقة البندول عندما يتأرجح؟

مرتين خلال الفترة - عند أكبر الانحرافات إلى اليسار واليمين - يتوقف البندول ، أي في هذه اللحظات تكون السرعة صفرًا ، مما يعني أن الطاقة الحركية تساوي صفرًا أيضًا. ولكن في هذه اللحظات بالتحديد يرتفع مركز ثقل البندول إلى أعلى ارتفاع ، وبالتالي تكون الطاقة الكامنة أعظمها. على العكس من ذلك ، في لحظات المرور من خلال وضع التوازن ، تكون الطاقة الكامنة هي الأصغر ، وتصل السرعة والطاقة الحركية إلى القيمة القصوى.

نفترض أنه يمكن إهمال قوى احتكاك البندول في الهواء والاحتكاك عند نقطة التعليق. بعد ذلك ، وفقًا لقانون حفظ الطاقة ، فإن هذه الطاقة الحركية القصوى تساوي تمامًا فائض الطاقة الكامنة في موضع الانحراف الأكبر عن الطاقة الكامنة في وضع التوازن.

لذلك ، عندما يتأرجح البندول ، يحدث انتقال دوري للطاقة الحركية إلى طاقة كامنة والعكس صحيح ، وتكون فترة هذه العملية نصف مدة اهتزاز البندول نفسه. ومع ذلك ، فإن الطاقة الكلية للبندول (مجموع الطاقة الكامنة والحركية) ثابتة طوال الوقت. إنها تساوي الطاقة التي تم نقلها إلى البندول في البداية ، بغض النظر عما إذا كانت في شكل طاقة كامنة (انحراف أولي) أو في شكل طاقة حركية (دفع أولي).

هذا هو الحال بالنسبة لجميع الاهتزازات في حالة عدم وجود احتكاك أو أي عمليات أخرى تأخذ الطاقة من النظام المتذبذب أو تنقل الطاقة إليه. هذا هو السبب في أن السعة تظل دون تغيير ويتم تحديدها من خلال الانحراف الأولي أو قوة الدفع.

نحصل على نفس التغييرات في قوة الاستعادة ونفس انتقال الطاقة إذا ، بدلاً من تعليق الكرة على خيط ، نجعلها تتدحرج في مستوى عمودي في كوب كروي أو في حوض منحني حول المحيط. في هذه الحالة ، سيتم افتراض دور شد الخيط من خلال ضغط جدران الكوب أو الحوض الصغير (مرة أخرى ، نتجاهل احتكاك الكرة بالجدران والهواء).

البندول الرياضي هو نموذج للبندول العادي. البندول الرياضي هو نقطة مادية معلقة على خيط طويل عديم الوزن وغير قابل للتمدد.

أخرج الكرة من التوازن وحررها. هناك قوتان تؤثران على الكرة: الجاذبية والتوتر في الخيط. عندما يتحرك البندول ، ستستمر قوة احتكاك الهواء في التأثير عليه. لكننا سنعتبرها صغيرة جدًا.

دعونا نحلل قوة الجاذبية إلى مكونين: القوة الموجهة على طول الخيط ، والقوة الموجهة عموديًا على المماس لمسار الكرة.

هاتان القوتان تضافان إلى الجاذبية. تضفي القوى المرنة للخيط ومكون الجاذبية Fn تسارع الجاذبية على الكرة. سيكون عمل هذه القوى مساويًا للصفر ، وبالتالي فإنها ستغير اتجاه متجه السرعة فقط. في أي وقت ، سيكون مماسًا لقوس الدائرة.

تحت تأثير عنصر الجاذبية Fτ ، ستتحرك الكرة على طول قوس دائرة مع زيادة السرعة في القيمة المطلقة. تتغير قيمة هذه القوة دائمًا في القيمة المطلقة ؛ عند المرور عبر موضع التوازن ، فإنها تساوي صفرًا.

ديناميات الحركة التذبذبية

معادلة حركة جسم يتأرجح تحت تأثير قوة مرنة.

المعادلة العامة للحركة:

تحدث التذبذبات في النظام تحت تأثير قوة مرنة ، والتي ، وفقًا لقانون هوك ، تتناسب طرديًا مع إزاحة الحمل

ثم تأخذ معادلة حركة الكرة الشكل التالي:

قسّم هذه المعادلة على m ، نحصل على الصيغة التالية:

وبما أن الكتلة ومعامل المرونة قيمتان ثابتتان ، فإن النسبة (-k / m) ستكون أيضًا ثابتة. لقد حصلنا على معادلة تصف اهتزازات الجسم تحت تأثير قوة مرنة.

سيكون إسقاط تسارع الجسم متناسبًا طرديًا مع إحداثياته ​​، مع الإشارة إلى عكس ذلك.

معادلة حركة البندول الرياضي

توصف معادلة حركة البندول الرياضي بالصيغة التالية:

هذه المعادلة لها نفس شكل معادلة حركة الحمل على الزنبرك. وبالتالي ، فإن اهتزازات البندول وحركة الكرة على الزنبرك تحدث بنفس الطريقة.

يتغير إزاحة الكرة في الزنبرك وإزاحة جسم البندول من موضع التوازن بمرور الوقت وفقًا لنفس القوانين.