ما هو اللوغاريتم الطبيعي لـ 1. اللوغاريتم الطبيعي

غالبًا ما تأخذ رقمًا ه = 2,718281828 . تسمى اللوغاريتمات في هذه القاعدة طبيعي. عند إجراء العمليات الحسابية باللوغاريتمات الطبيعية ، من الشائع التعامل مع العلامة لن، لكن لا سجل؛ بينما الرقم 2,718281828 تحديد القاعدة ، لا تشير.

بمعنى آخر ، ستبدو الصياغة كما يلي: اللوغاريتم الطبيعيأعداد Xهو الأس الذي سيتم رفع الرقم إليه ه، ليحصل x.

لذا، ln (7،389 ...)= 2 لأن ه 2 =7,389... . اللوغاريتم الطبيعي للرقم نفسه ه= 1 بسبب ه 1 =ه، واللوغاريتم الطبيعي للوحدة يساوي صفرًا ، منذ ذلك الحين ه 0 = 1.

الرقم نفسه هيعرّف حد التسلسل ذي الحدود الرتيبة

حسبت ذلك ه = 2,7182818284... .

في كثير من الأحيان ، من أجل تحديد رقم في الذاكرة ، ترتبط أرقام الرقم المطلوب ببعض التاريخ المعلق. سرعة تذكر أول تسعة أرقام من أي رقم هبعد الفاصلة العشرية ستزيد إذا لاحظت أن عام 1828 هو عام ميلاد ليو تولستوي!

حتى الآن ، هناك جداول كاملة إلى حد ما من اللوغاريتمات الطبيعية.

رسم بياني للسجل الطبيعي(المهام ص =ln x) هو نتيجة مؤامرة الأس كصورة معكوسة بالنسبة للخط المستقيم ص = سويشبه:

يمكن إيجاد اللوغاريتم الطبيعي لكل عدد حقيقي موجب أكمنطقة تحت المنحنى ذ = 1/xمن 1 قبل أ.

كانت الطبيعة الأولية لهذه الصيغة ، التي تتناسب مع العديد من الصيغ الأخرى التي يشارك فيها اللوغاريتم الطبيعي ، هي السبب في تكوين الاسم "طبيعي".

إذا قمنا بالتحليل اللوغاريتم الطبيعي، كدالة حقيقية لمتغير حقيقي ، فإنها تعمل وظيفة عكسيةإلى دالة أسية ، مما يقلل من الهويات:

ln (أ) = أ (أ> 0)

ln (هـ أ) = أ

بالقياس مع جميع اللوغاريتمات ، يحول اللوغاريتم الطبيعي الضرب إلى الجمع ، والقسمة إلى الطرح:

ln(س ص) = ln(x) + ln(ذ)

ln(س / ص) = lnx - lny

يمكن إيجاد اللوغاريتم لكل قاعدة موجبة لا تساوي واحدًا ، وليس فقط من أجلها ه، لكن اللوغاريتمات للقواعد الأخرى تختلف عن اللوغاريتم الطبيعي فقط بعامل ثابت ، وعادة ما يتم تعريفها من حيث اللوغاريتم الطبيعي.

بعد التحليل رسم بياني للسجل الطبيعي ،نحصل على أنه موجود للقيم الموجبة للمتغير x. إنه يزيد بشكل رتيب في مجال تعريفه.

في x → 0 حد اللوغاريتم الطبيعي هو سالب اللانهاية ( -∞ ).في س → + ∞ حد اللوغاريتم الطبيعي هو زائد اللانهاية ( + ∞ ). ككل xاللوغاريتم يزيد ببطء. أي وظيفة السلطة x أبأس موجب أيزيد بشكل أسرع من اللوغاريتم. اللوغاريتم الطبيعي هو دالة متزايدة بشكل رتيب ، لذلك ليس له قيمة قصوى.

إستعمال اللوغاريتمات الطبيعيةعقلاني جدا في مرور الرياضيات العليا. وبالتالي ، فإن استخدام اللوغاريتم مناسب لإيجاد إجابة المعادلات التي يظهر فيها المجهول على أنه الأس. يجعل استخدام اللوغاريتمات الطبيعية في العمليات الحسابية من الممكن تسهيلها بشكل كبير عدد كبير منالصيغ الرياضية. اللوغاريتمات الأساسية ه موجودة في حل عدد كبير من المشكلات الفيزيائية ويتم تضمينها بشكل طبيعي في الوصف الرياضي للعمليات الكيميائية والبيولوجية الفردية والعمليات الأخرى. وبالتالي ، يتم استخدام اللوغاريتمات لحساب ثابت الانحلال لنصف عمر معروف ، أو لحساب وقت الاضمحلال في حل مشاكل النشاط الإشعاعي. يلعبون دورًا رائدًا في العديد من أقسام الرياضيات والعلوم العملية ، ويلجأون إليها في مجال التمويل لحل عدد كبير من المشكلات ، بما في ذلك حساب الفائدة المركبة.

جيد جدا ، أليس كذلك؟ بينما يبحث علماء الرياضيات عن كلمات لإعطائك تعريفًا طويلًا ومعقدًا ، فلنلق نظرة فاحصة على هذا التعريف البسيط والواضح.

الرقم e يعني النمو

الرقم e يعني النمو المستمر. كما رأينا في المثال السابق ، تتيح لنا e x ربط الفائدة والوقت: 3 سنوات بنسبة نمو 100٪ هي نفسها سنة واحدة عند 300٪ ، تخضع "للفائدة المركبة".

يمكنك استبدال أي قيم النسبة المئوية والوقت (50٪ على مدى 4 سنوات) ، ولكن من الأفضل تعيين النسبة المئوية على 100٪ للراحة (اتضح أن 100٪ على مدار عامين). من خلال الانتقال إلى 100٪ ، يمكننا التركيز فقط على عنصر الوقت:

البريد x = النسبة المئوية * الوقت = e 1.0 * الوقت = الوقت الإلكتروني

من الواضح أن e x تعني:

• كم ستزداد مساهمتي في x وحدة زمنية (بافتراض نمو مستمر بنسبة 100٪).
• على سبيل المثال ، بعد 3 فترات زمنية سأحصل على e 3 = 20.08 ضعف عدد "الأشياء".

e x هو عامل قياس يوضح المستوى الذي سننمو إليه في فترات زمنية x.

اللوغاريتم الطبيعي يعني الوقت

اللوغاريتم الطبيعي هو معكوس e ، وهو مصطلح خيالي للعكس. الحديث عن المراوغات في اللاتينية يطلق عليه اللوغاريتموس الطبيعي ، ومن هنا الاختصار ln.

وماذا يعني هذا الانقلاب أو العكس؟

• يسمح لنا e x بتوصيل الوقت والحصول على النمو.
• يسمح لنا ln (x) بالحصول على النمو أو الدخل ومعرفة الوقت المستغرق للحصول عليه.

فمثلا:

• e 3 يساوي 20.08. في ثلاث فترات زمنية ، سيكون لدينا 20.08 مرة أكثر مما بدأنا به.
• سيكون ln (20.08) حوالي 3. إذا كنت مهتمًا بزيادة 20.08x ، فستحتاج إلى 3 مرات (مرة أخرى ، بافتراض نمو مستمر بنسبة 100٪).

هل مازلت تقرأ يُظهر اللوغاريتم الطبيعي الوقت المستغرق للوصول إلى المستوى المطلوب.

هذا العد اللوغاريتمي غير القياسي

لقد مررت باللوغاريتمات - إنها مخلوقات غريبة. كيف تمكنوا من تحويل الضرب إلى جمع؟ ماذا عن القسمة إلى الطرح؟ دعونا نرى.

ما هو ln (1) يساوي؟ بشكل حدسي ، السؤال هو: كم من الوقت يجب أن أنتظر للحصول على 1 مرة أكثر مما لدي؟

صفر. صفر. لا على الاطلاق. لديك بالفعل مرة واحدة. لا يستغرق الأمر أي وقت للنمو من المستوى 1 إلى المستوى 1.

• تسجيل (1) = 0

حسنًا ، ماذا عن القيمة الكسرية؟ كم من الوقت سيستغرق حتى نحصل على نصف ما تبقى لدينا؟ نحن نعلم أنه مع النمو المستمر بنسبة 100٪ ، فإن ln (2) تعني الوقت الذي تستغرقه للمضاعفة. اذا نحن العودة الى الوراء مرة(أي انتظر مقدارًا سلبيًا من الوقت) ، ثم نحصل على نصف ما لدينا.

• ln (1/2) = -ln (2) = -0.693

منطقي ، صحيح؟ إذا رجعنا (الوقت الخلفي) بمقدار 0.693 ثانية ، فسنجد نصف المبلغ المتاح. بشكل عام ، يمكنك قلب الكسر وأخذ قيمة سالبة: ln (1/3) = -ln (3) = -1.09. هذا يعني أننا إذا رجعنا بالزمن للوراء إلى 1.09 مرة ، فسنجد فقط ثلث الرقم الحالي.

حسنًا ، ماذا عن لوغاريتم عدد سالب؟ كم من الوقت يستغرق "نمو" مستعمرة البكتيريا من 1 إلى -3؟

هذا مستحيل! لا يمكنك الحصول على عدد سالب للبكتيريا ، أليس كذلك؟ يمكنك الحصول على حد أقصى (أه ... كحد أدنى) من الصفر ، ولكن لا توجد طريقة للحصول على عدد سالب من هذه المخلوقات الصغيرة. العدد السلبي للبكتيريا ببساطة لا معنى له.

• ln (رقم سالب) = غير محدد

تعني كلمة "غير محدد" أنه لا يوجد وقت لانتظار الحصول على قيمة سالبة.

الضرب اللوغاريتمي هو مجرد فرحان

كم من الوقت سيستغرق النمو أربع مرات؟ بالطبع يمكنك أن تأخذ ln (4). لكن الأمر سهل للغاية ، سنذهب في الاتجاه الآخر.

يمكنك التفكير في المضاعفة الرباعية على أنها مضاعفة (تتطلب ln (2) وحدة زمنية) ثم مضاعفة مرة أخرى (تتطلب وحدات زمنية أخرى (2)):

• الوقت اللازم لنمو 4x = ln (4) = وقت مضاعفة ثم مضاعفة مرة أخرى = ln (2) + ln (2)

مثير للإعجاب. يمكن اعتبار أي معدل نمو ، على سبيل المثال 20 ، على أنه يتضاعف فورًا بعد زيادة بمقدار 10 أضعاف. أو النمو 4 مرات ثم 5 مرات. أو ثلاثة أضعاف ثم زيادة 6.666 مرة. انظر النمط؟

• ln (a * b) = ln (a) + ln (b)

لوغاريتم A في B هو log (A) + log (B). هذه العلاقة منطقية على الفور إذا كنت تعمل من حيث النمو.

إذا كنت مهتمًا بالنمو بمقدار 30 ضعفًا ، فيمكنك إما انتظار ln (30) دفعة واحدة ، أو الانتظار حتى يتضاعف ln (3) ثلاث مرات ، ثم يتضاعف ln آخر (10) في عشرة. النتيجة النهائية هي نفسها ، لذلك بالطبع يجب أن يظل الوقت ثابتًا (ويبقى).

ماذا عن الانقسام؟ على وجه الخصوص ، يعني ln (5/3): كم من الوقت يستغرق النمو 5 مرات ثم الحصول على ثلث ذلك؟

عظيم ، العامل 5 هو ln (5). النمو بمعدل 1/3 مرات سيستغرق -ln (3) وحدات زمنية. لذا،

• ln (5/3) = ln (5) - ln (3)

هذا يعني: دعها تنمو 5 مرات ، ثم "عد بالزمن إلى الوراء" إلى النقطة التي بقي فيها ثلث هذا المبلغ فقط ، بحيث تحصل على نمو 5/3. بشكل عام ، اتضح

• ln (a / b) = ln (a) - ln (b)

آمل أن يكون الحساب الغريب للوغاريتمات يبدو منطقيًا بالنسبة لك: مضاعفة معدلات النمو تصبح إضافة وحدات من وقت النمو ، والقسمة تصبح طرح وحدات زمنية. لا تحفظ القواعد ، حاول أن تفهمها.

استخدام اللوغاريتم الطبيعي للنمو التعسفي

حسنًا ، بالطبع - أنت تقول - كل شيء جيد إذا كان النمو 100٪ ، ولكن ماذا عن نسبة 5٪ التي أحصل عليها؟

لا مشكلة. "الوقت" الذي نحسبه باستخدام ln () هو في الواقع مزيج من معدل الفائدة والوقت ، وهو نفس X من معادلة e x. لقد اخترنا للتو تعيين النسبة المئوية للبساطة على 100٪ ، لكننا أحرار في استخدام أي رقم.

لنفترض أننا نريد تحقيق نمو بمقدار 30 ضعفًا: نأخذ ln (30) ونحصل على 3.4 وهذا يعني:

• ه س = الارتفاع
• هـ 3.4 = 30

من الواضح أن هذه المعادلة تعني أن "العائد بنسبة 100٪ على مدى 3.4 سنوات يؤدي إلى 30 مرة." يمكننا كتابة هذه المعادلة على النحو التالي:

• ه س = معدل البريد * الوقت
• 100٪ * 3.4 سنوات = 30

يمكننا تغيير قيم "المعدل" و "الوقت" ، طالما بقي المعدل * الوقت 3.4. على سبيل المثال ، إذا كنا مهتمين بتحقيق نمو بمقدار 30 ضعفًا ، فكم من الوقت سيتعين علينا الانتظار بمعدل فائدة 5٪؟

• تسجيل (30) = 3.4
• المعدل * الوقت = 3.4
• 0.05 * الوقت = 3.4
• الوقت = 3.4 / 0.05 = 68 سنة

أنا السبب في ذلك: "ln (30) = 3.4 ، لذلك عند النمو بنسبة 100٪ ، سيستغرق الأمر 3.4 سنوات. إذا ضاعفت معدل النمو ، فإن الوقت اللازم ينخفض ​​إلى النصف."

• 100٪ في 3.4 سنوات = 1.0 * 3.4 = 3.4
• 200٪ في 1.7 سنة = 2.0 * 1.7 = 3.4
• 50٪ في 6.8 سنوات = 0.5 * 6.8 = 3.4
• 5٪ على مدى 68 سنة = .05 * 68 = 3.4.

إنه رائع ، أليس كذلك؟ يمكن استخدام اللوغاريتم الطبيعي مع أي معدل فائدة ووقت ، طالما أن منتجهم يظل ثابتًا. يمكنك نقل قيم المتغيرات بقدر ما تريد.

مثال سيء: القاعدة الثانية والسبعين

القاعدة الثانية والسبعين هي تقنية رياضية تسمح لك بتقدير الوقت الذي ستستغرقه أموالك لمضاعفة. الآن سنشتقها (نعم!) ، وعلاوة على ذلك ، سنحاول فهم جوهرها.

ما هي المدة التي تستغرقها لمضاعفة أموالك بمعدل 100٪ يزداد كل عام؟

Op-pa. استخدمنا اللوغاريتم الطبيعي لحالة النمو المستمر والآن تتحدث عن الاستحقاق السنوي؟ ألن تصبح هذه الصيغة غير مناسبة لمثل هذه الحالة؟ نعم ، سوف يحدث ذلك ، ولكن بالنسبة لمعدلات الفائدة الحقيقية مثل 5٪ أو 6٪ أو حتى 15٪ ، سيكون الفرق بين التعقيد السنوي والنمو المطرد صغيرًا. لذا فإن التقدير التقريبي يعمل ، آه ، تقريبًا ، لذلك سوف نتظاهر بأن لدينا تراكمًا مستمرًا تمامًا.

الآن السؤال بسيط: ما مدى السرعة التي يمكنك مضاعفة النمو فيها بنسبة 100٪؟ ln (2) = 0.693. يستغرق 0.693 وحدة زمنية (سنوات في حالتنا) لمضاعفة الكمية مع نمو مستمر بنسبة 100٪.

إذن ، ماذا لو لم يكن معدل الفائدة 100٪ ، لكن لنقل 5٪ أو 10٪؟

بسهولة! نظرًا لأن السعر * الوقت = 0.693 ، سنضاعف المبلغ:

• المعدل * الوقت = 0.693
• الوقت = 0.693 / المعدل

لذلك إذا كان النمو 10٪ ، فسوف يستغرق الأمر 0.693 / 0.10 = 6.93 سنة ليتضاعف.

لتبسيط العمليات الحسابية ، دعنا نضرب كلا الجزأين في 100 ، ثم يمكننا أن نقول "10" وليس "0.10":

• وقت المضاعفة = 69.3 / رهان ، حيث يتم التعبير عن الرهان كنسبة مئوية.

حان الوقت الآن للمضاعفة بنسبة 5٪ ، 69.3 / 5 = 13.86 سنة. ومع ذلك ، فإن 69.3 ليس هو العائد الأكثر ملاءمة. دعنا نختار رقم قريب ، 72 ، والذي يمكن بسهولة القسمة على 2 ، 3 ، 4 ، 6 ، 8 وأرقام أخرى.

• مضاعفة الوقت = 72 / رهان

وهي قاعدة اثنتين وسبعين. كل شيء مغطى.

إذا كنت بحاجة إلى إيجاد الوقت لثلاثة أضعاف ، يمكنك استخدام ln (3) ~ 109.8 والحصول على

• وقت مضاعفة ثلاث مرات = 110 / رهان

وهي قاعدة أخرى مفيدة. تنطبق "قاعدة 72" على النمو في أسعار الفائدة ، والنمو السكاني ، ومزارع البكتيريا ، وأي شيء ينمو باطراد.

ماذا بعد؟

آمل أن يكون اللوغاريتم الطبيعي الآن منطقيًا بالنسبة لك - فهو يوضح الوقت الذي يستغرقه أي رقم لينمو بشكل كبير. أعتقد أنه يسمى طبيعيًا لأن e مقياس عالمي للنمو ، لذلك يمكن اعتبار ln طريقة عالمية لتحديد المدة التي يستغرقها النمو.

في كل مرة ترى فيها ln (x) ، تذكر "الوقت الذي يستغرقه النمو x مرة". في مقال قادم ، سأصف e و ln بالتزامن ، بحيث تملأ الرائحة الجديدة للرياضيات الهواء.

تكملة: اللوغاريتم الطبيعي لـ e

اختبار سريع: كم سيكون حجم ln (e)؟

• سيقول روبوت الرياضيات: نظرًا لتعريفهما على أنهما معكوس بعضهما البعض ، فمن الواضح أن ln (e) = 1.
• شخص متفهم: ln (e) هو عدد مرات النمو "e" مرات (حوالي 2.718). ومع ذلك ، فإن الرقم e نفسه هو مقياس للنمو بمعامل 1 ، لذا ln (e) = 1.

فكر بوضوح.

9 سبتمبر 2013

اللوغاريتم الطبيعي

رسم بياني لدالة اللوغاريتم الطبيعي. تقترب الوظيفة ببطء من اللانهاية الموجبة مثل xويقترب بسرعة من اللانهاية السلبية عندما xيميل إلى 0 ("ببطء" و "سريعًا" مقارنة بأي وظيفة طاقة x).

اللوغاريتم الطبيعيهو اللوغاريتم الأساسي ، أين ههو ثابت غير منطقي يساوي تقريبًا 2.718281828. عادةً ما يُشار إلى اللوغاريتم الطبيعي على أنه ln ( x)، سجل ه (x) أو في بعض الأحيان فقط سجل ( x) إذا كانت القاعدة هضمني.

اللوغاريتم الطبيعي لرقم x(مكتوب كـ تسجيل (x)) هو الأس الذي تريد رفع الرقم إليه ه، ليحصل x. فمثلا، ln (7،389 ...)يساوي 2 لأن ه 2 =7,389... . اللوغاريتم الطبيعي للرقم نفسه ه (ln (ه)) يساوي 1 لأن ه 1 = ه، واللوغاريتم الطبيعي 1 ( تسجيل (1)) تساوي 0 لأن ه 0 = 1.

يمكن تعريف اللوغاريتم الطبيعي لأي عدد حقيقي موجب أكمنطقة تحت المنحنى ذ = 1/xمن 1 الى أ. أدت بساطة هذا التعريف ، الذي يتوافق مع العديد من الصيغ الأخرى التي تستخدم اللوغاريتم الطبيعي ، إلى تسمية "طبيعي". يمكن توسيع هذا التعريف ليشمل الأعداد المركبة ، والتي سيتم مناقشتها أدناه.

إذا اعتبرنا اللوغاريتم الطبيعي دالة حقيقية لمتغير حقيقي ، فإن الدالة العكسية للدالة الأسية هي التي تؤدي إلى المتطابقات:

مثل كل اللوغاريتمات ، فإن اللوغاريتم الطبيعي خرائط الضرب إلى الإضافة:

وبالتالي ، فإن الوظيفة اللوغاريتمية هي تماثل لمجموعة الأعداد الحقيقية الموجبة فيما يتعلق بالضرب بمجموعة الأعداد الحقيقية عن طريق الجمع ، والتي يمكن تمثيلها كدالة:

يمكن تعريف اللوغاريتم لأي أساس موجب بخلاف 1 وليس فقط ه، لكن اللوغاريتمات للقواعد الأخرى تختلف عن اللوغاريتم الطبيعي فقط بعامل ثابت ، وعادة ما يتم تعريفها من حيث اللوغاريتم الطبيعي. اللوغاريتمات مفيدة في حل المعادلات التي يوجد فيها المجهول كأس. على سبيل المثال ، يتم استخدام اللوغاريتمات لإيجاد ثابت الانحلال لنصف عمر معروف ، أو لإيجاد وقت الاضمحلال في حل مشاكل النشاط الإشعاعي. يلعبون دورًا مهمًا في العديد من مجالات الرياضيات والعلوم التطبيقية ، ويستخدمون في مجال التمويل لحل العديد من المشكلات ، بما في ذلك إيجاد الفائدة المركبة.

قصة

أول ذكر للوغاريتم الطبيعي قام به نيكولاس مركاتور في عمله لوغاريتموتكنيا، نُشر عام 1668 ، على الرغم من أن مدرس الرياضيات جون سبايدل قام بتجميع جدول من اللوغاريتمات الطبيعية في عام 1619. في السابق ، كان يُطلق عليه اللوغاريتم الزائدي لأنه يتوافق مع المنطقة الواقعة أسفل القطع الزائد. يطلق عليه أحيانًا لوغاريتم نابير ، على الرغم من أن المعنى الأصلي لهذا المصطلح كان مختلفًا إلى حد ما.

اتفاقيات التدوين

عادةً ما يُرمز إلى اللوغاريتم الطبيعي بواسطة "ln ( x) "، اللوغاريتم الأساسي 10 حتى" lg ( x) "، ومن المعتاد الإشارة صراحة إلى أسباب أخرى بالرمز" السجل ".

في العديد من الأوراق البحثية حول الرياضيات المنفصلة وعلم التحكم الآلي وعلوم الكمبيوتر ، يستخدم المؤلفون عبارة "السجل ( x) "للوغاريتمات إلى الأساس 2 ، ولكن هذه الاتفاقية غير مقبولة عالميًا وتتطلب توضيحًا ، إما في قائمة الرموز المستخدمة أو (في حالة عدم وجود مثل هذه القائمة) بواسطة حاشية سفلية أو تعليق على الاستخدام الأول.

عادة ما يتم حذف الأقواس حول وسيطة اللوغاريتمات (إذا لم يؤد ذلك إلى قراءة خاطئة للصيغة) ، وعند رفع اللوغاريتم إلى قوة ، يُنسب الأس مباشرة إلى علامة اللوغاريتم: ln 2 ln 3 4 x 5 = [ ln ( 3 )] 2 .

النظام الأنجلو أمريكي

عادةً ما يستخدم علماء الرياضيات والإحصائيون وبعض المهندسين إما "السجل ( x) "أو" ln ( x) "، وللإشارة إلى اللوغاريتم إلى الأساس 10 -" log 10 ( x)».

يكتب دائمًا بعض المهندسين وعلماء الأحياء وغيرهم من المتخصصين "ln ( x) "(أو أحيانًا" تسجيل البريد ( x) ") عندما يقصدون اللوغاريتم الطبيعي والترميز" log ( x) "تعني السجل 10 ( x).

سجل ههو اللوغاريتم "الطبيعي" لأنه يحدث تلقائيًا ويظهر كثيرًا في الرياضيات. على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك مشكلة مشتق دالة لوغاريتمية:

إذا كانت القاعدة بيساوي ه، فإن المشتق هو ببساطة 1 / x، وعندما x= 1 هذا المشتق يساوي 1. مبرر آخر للأساس هاللوغاريتم هو الأكثر طبيعية ، وهو أنه يمكن تعريفه بكل بساطة من حيث تكامل بسيط أو سلسلة تايلور ، والتي لا يمكن قولها عن اللوغاريتمات الأخرى.

لا ترتبط أدلة الطبيعة الأخرى بالرقم. لذلك ، على سبيل المثال ، هناك العديد من السلاسل البسيطة ذات اللوغاريتمات الطبيعية. دعاهم بيترو مينجولي ونيكولاس مركاتور اللوغاريتم الطبيعيعدة عقود حتى طور نيوتن ولايبنيز حساب التفاضل والتكامل التفاضلي.

تعريف

رسميا ln ( أ) على أنها المنطقة الواقعة تحت منحنى الرسم البياني 1 / xمن 1 الى أ، أي كجزء لا يتجزأ:

إنه بالفعل لوغاريتم لأنه يفي بالخاصية الأساسية للوغاريتم:

يمكن إثبات ذلك بافتراض ما يلي:

قيمة عددية

لحساب القيمة العددية للوغاريتم الطبيعي لرقم ما ، يمكنك استخدام امتداده في سلسلة تايلور بالشكل:

للحصول على أفضل معدل تقارب ، يمكنك استخدام الهوية التالية:

بشرط ذ = (x−1)/(x+1) و x > 0.

لـ ln ( x)، أين x> 1 ، كلما كانت القيمة أقرب xإلى 1 ، كلما كان معدل التقارب أسرع. يمكن استخدام الهويات المرتبطة باللوغاريتم لتحقيق الهدف:

تم استخدام هذه الأساليب حتى قبل ظهور الآلات الحاسبة ، حيث تم استخدام جداول رقمية وإجراء معالجات مماثلة لتلك المذكورة أعلاه.

دقة عالية

لحساب اللوغاريتم الطبيعي بالعديد من الأرقام الدقيقة ، فإن سلسلة تايلور ليست فعالة لأن تقاربها بطيء. البديل هو استخدام طريقة نيوتن للانعكاس إلى دالة أسية ، تتقارب سلسلتها بشكل أسرع.

الصيغة:

أين ميشير إلى الوسط الحسابي الهندسي لـ 1 و 4 / s ، و

ماختار ذلك صيتم تحقيق علامات الدقة. (في معظم الحالات ، تكون قيمة 8 لـ m كافية.) في الواقع ، إذا تم استخدام هذه الطريقة ، فيمكن تطبيق انعكاس نيوتن للوغاريتم الطبيعي لحساب الدالة الأسية بكفاءة. (يمكن حساب الثوابت ln 2 و pi مسبقًا بالدقة المرغوبة باستخدام أي من السلاسل المتقاربة المعروفة.)

التعقيد الحسابي

التعقيد الحسابي للوغاريتمات الطبيعية (باستخدام الوسط الحسابي الهندسي) هو O ( م(ن) ln ن). هنا نهو عدد أرقام الدقة التي سيتم من أجلها تقييم اللوغاريتم الطبيعي ، و م(ن) هو التعقيد الحسابي لضرب اثنين ن-الأرقام.

الكسور المستمرة

على الرغم من عدم وجود كسور متواصلة بسيطة لتمثيل اللوغاريتم ، يمكن استخدام العديد من الكسور المستمرة المعممة ، بما في ذلك:

اللوغاريتمات المعقدة

يمكن تمديد الدالة الأسية إلى دالة تعطي رقمًا مركبًا من النموذج ه xلأي رقم مركب تعسفي x، أثناء استخدام سلسلة لانهائية مع مركب x. يمكن عكس هذه الوظيفة الأسية لتشكيل لوغاريتم معقد يحتوي على معظم خصائص اللوغاريتمات العادية. ومع ذلك ، هناك نوعان من الصعوبات: لا يوجد x، لأي منهم ه x= 0 ، واتضح أن ه 2بي = 1 = ه 0. بما أن خاصية الضرب صالحة لوظيفة أسية معقدة ، إذن ه ض = ه ض+2npiلجميع معقدة ضوكامل ن.

لا يمكن تعريف اللوغاريتم على المستوى المعقد بأكمله ، وحتى مع ذلك فهو متعدد القيم - يمكن استبدال أي لوغاريتم معقد بلوغاريتم "مكافئ" عن طريق إضافة أي عدد صحيح مضاعف 2 بي. لا يمكن تحديد قيمة اللوغاريتم المركب إلا على شريحة من المستوى المركب. على سبيل المثال ln أنا = 1/2 بيأو 5/2 بيأو −3/2 بي، وما إلى ذلك ، وعلى الرغم من ذلك أنا 4 = 1.4 سجل أنايمكن تعريفه على أنه 2 بي، أو 10 بيأو -6 بي، وهلم جرا.

أنظر أيضا

• جون نابير - مخترع اللوغاريتمات

ملحوظات

1. الرياضيات للكيمياء الفيزيائية. - الثالث. - المطبعة الأكاديمية ، 2005. - ص 9 - ISBN 0-125-08347-5، مقتطف من الصفحة 9
2. J J O "Connor و EF Robertsonالرقم هـ. أرشيف MacTutor تاريخ الرياضيات (سبتمبر 2001). مؤرشف
3. كاجوري فلوريانتاريخ الرياضيات ، الطبعة الخامسة. - مكتبة AMS ، 1991. - ص 152. - ردمك 0821821024
4. فلاشمان ، مارتنتقدير التكاملات باستخدام كثيرات الحدود. مؤرشفة من الأصلي في 12 فبراير 2012.

الخصائص الرئيسية للوغاريتم الطبيعي ، الرسم البياني ، مجال التعريف ، مجموعة القيم ، الصيغ الأساسية ، المشتق ، التكامل ، التوسع في سلسلة القوة وتمثيل الوظيفة ln x عن طريق الأعداد المركبة.

تعريف

اللوغاريتم الطبيعيهي الوظيفة y = ln x، معكوس الأس ، x \ u003d e y ، وهو لوغاريتم أساس الرقم e: ln x = تسجيل الدخول x.

يستخدم اللوغاريتم الطبيعي على نطاق واسع في الرياضيات لأن مشتقه له أبسط أشكال: (ln x) ′ = 1 / x.

على أساس تعريفات، أساس اللوغاريتم الطبيعي هو الرقم ه:
ه ≅ 2.718281828459045 ...;
.

رسم بياني للدالة y = ln x.

رسم بياني للوغاريتم الطبيعي (الدوال y = ln x) من الرسم البياني للأس عن طريق انعكاس مرآة حول الخط المستقيم y = x.

يتم تعريف اللوغاريتم الطبيعي للقيم الموجبة لـ x. إنه يزيد بشكل رتيب في مجال تعريفه.

كما x → 0 حد اللوغاريتم الطبيعي هو سالب اللانهاية (- ∞).

مثل x → + ∞ ، فإن حد اللوغاريتم الطبيعي هو زائد اللانهاية (+ ∞). بالنسبة إلى x الكبيرة ، يزيد اللوغاريتم ببطء نسبيًا. أي دالة قوة x a ذات الأس الموجب a تنمو بشكل أسرع من اللوغاريتم.

خصائص اللوغاريتم الطبيعي

مجال التعريف ، مجموعة القيم ، القيم القصوى ، الزيادة ، النقصان

اللوغاريتم الطبيعي هو دالة متزايدة بشكل رتيب ، لذلك ليس له قيمة قصوى. يتم عرض الخصائص الرئيسية للوغاريتم الطبيعي في الجدول.

قيم ln x

سجل 1 = 0

الصيغ الأساسية للوغاريتمات الطبيعية

الصيغ الناشئة عن تعريف الدالة العكسية:

الخاصية الرئيسية للوغاريتمات وعواقبها

صيغة الاستبدال الأساسية

يمكن التعبير عن أي لوغاريتم من حيث اللوغاريتمات الطبيعية باستخدام صيغة التغيير الأساسي:

يتم تقديم البراهين على هذه الصيغ في قسم "اللوغاريتم".

وظيفة عكسية

مقلوب اللوغاريتم الطبيعي هو الأس.

اذا ثم

اذا ثم .

المشتق ln x

مشتق من اللوغاريتم الطبيعي:
.
مشتق من اللوغاريتم الطبيعي للوضع x:
.
مشتق من الترتيب التاسع:
.
اشتقاق الصيغ>>>

متكامل

يتم حساب التكامل عن طريق التكامل بالأجزاء:
.
لذا،

التعبيرات من حيث الأعداد المركبة

ضع في اعتبارك دالة لمتغير معقد z:
.
دعونا نعبر عن المتغير المركب ضعبر الوحدة صوالحجة φ :
.
باستخدام خصائص اللوغاريتم ، لدينا:
.
أو
.
لم يتم تعريف الحجة φ بشكل فريد. إذا وضعنا
، حيث n هي عدد صحيح ،
ثم سيكون نفس الرقم لن مختلفة.

لذلك ، فإن اللوغاريتم الطبيعي ، كدالة لمتغير معقد ، ليس دالة ذات قيمة واحدة.

توسيع سلسلة الطاقة

ل ، يتم التوسع:

مراجع:
في. برونشتاين ، ك. Semendyaev ، كتيب الرياضيات للمهندسين وطلاب مؤسسات التعليم العالي ، لان ، 2009.