أي متجه يسمى الوحدة. المتجهات: التعريف والمفاهيم الأساسية

يعتبر هذا المفهوم كمتجه في جميع العلوم الطبيعية تقريبًا ، ويمكن أن يكون له معاني مختلفة تمامًا ، لذلك من المستحيل إعطاء تعريف لا لبس فيه للمتجه لجميع المجالات. لكن دعونا نحاول معرفة ذلك. إذن ، المتجه - ما هو؟

مفهوم المتجه في الهندسة الكلاسيكية

المتجه في الهندسة هو مقطع يُشار إليه في أي نقطة من نقاطه هي البداية والنهاية. وهذا يعني ، ببساطة ، أن المقطع الموجه يسمى المتجه.

وفقًا لذلك ، يُشار إلى المتجه (ما تمت مناقشته أعلاه) ، بالإضافة إلى مقطع ، أي حرفين كبيرتين من الأبجدية اللاتينية مع إضافة خط أو سهم يشير إلى اليمين في الأعلى. يمكن أيضًا توقيعه بحرف صغير (صغير) من الأبجدية اللاتينية مع شرطة أو سهم. يشير السهم دائمًا إلى اليمين ولا يتغير اعتمادًا على موضع المتجه.

لذلك فإن المتجه له اتجاه وطول.

يحتوي تعيين المتجه أيضًا على اتجاهه. يتم التعبير عن هذا كما هو موضح في الشكل أدناه.

يؤدي تغيير الاتجاه إلى عكس قيمة المتجه.

طول المتجه هو طول المقطع الذي يتكون منه. يتم تعيينه كوحدة نمطية من ناقل. هذا هو مبين في الشكل أدناه.

وفقًا لذلك ، الصفر متجه طوله يساوي صفرًا. ويترتب على ذلك أن متجه الصفر هو نقطة ، علاوة على ذلك ، فإن نقطتي البداية والنهاية تتطابقان فيه.

طول المتجه دائمًا قيمة غير سالبة. بمعنى آخر ، إذا كان هناك مقطع ، فمن الضروري أن يكون له طول معين أو نقطة ، ويكون طوله صفرًا.

مفهوم النقطة أساسي وليس له تعريف.

إضافة المتجه

هناك صيغ وقواعد خاصة للناقلات التي يمكن استخدامها لأداء الجمع.

حكم المثلث. لإضافة متجهات وفقًا لهذه القاعدة ، يكفي دمج نهاية المتجه الأول وبداية الثاني ، باستخدام الترجمة المتوازية ، وربطهما. سيكون المتجه الثالث الناتج مساويًا لإضافة المتجهين الآخرين.

حكم متوازي الأضلاع. للإضافة وفقًا لهذه القاعدة ، تحتاج إلى رسم كلا المتجهين من نقطة واحدة ، ثم رسم متجه آخر من نهاية كل منهما. أي ، سيتم رسم الثاني من الأول ، والأول من الثاني. نتيجة لذلك ، سيتم الحصول على نقطة تقاطع جديدة وسيتم تشكيل متوازي أضلاع. إذا قمنا بدمج نقطة التقاطع لبدايات ونهايات المتجهات ، فإن المتجه الناتج سيكون نتيجة الإضافة.

وبالمثل ، من الممكن إجراء عملية الطرح.

فرق المتجه

على غرار إضافة المتجهات ، من الممكن إجراء عملية طرحها. يعتمد على المبدأ الموضح في الشكل أدناه.

أي أنه يكفي تمثيل المتجه ليتم طرحه كمتجه معاكس له ، ولحسابه وفقًا لمبادئ الجمع.

أيضًا ، أي متجه غير صفري يمكن ضربه بأي رقم k ، وهذا سيغير طوله بمقدار k مرة.

بالإضافة إلى ذلك ، هناك صيغ متجه أخرى (على سبيل المثال ، للتعبير عن طول المتجه من حيث إحداثياته).

موقع النواقل

من المؤكد أن الكثيرين قد صادفوا مثل هذا المفهوم مثل المتجه الخطي. ما هي العلاقة الخطية المتداخلة؟

العلاقة الخطية المتداخلة للمتجهات تعادل التوازي للخطوط المستقيمة. إذا كان متجهان يقعان على خطوط متوازية مع بعضهما البعض ، أو على نفس الخط ، فإن هذه المتجهات تسمى خطية متداخلة.

اتجاه. بالنسبة لبعضها البعض ، يمكن توجيه المتجهات الخطية بشكل مشترك أو توجيهها بشكل معاكس ، ويتم تحديد ذلك من خلال اتجاه المتجهات. وفقًا لذلك ، إذا تم توجيه متجه مع متجه آخر ، فسيتم توجيه المتجه المقابل له بشكل معاكس.

يوضح الشكل الأول متجهين موجهين بشكل معاكس وواحد ثالث غير متصل بهما.

بعد تقديم الخصائص المذكورة أعلاه ، من الممكن أيضًا تحديد نواقل متساوية - وهي نواقل يتم توجيهها في نفس الاتجاه ولها نفس طول الأجزاء التي تشكلت منها.

في العديد من العلوم ، يتم أيضًا استخدام مفهوم متجه نصف القطر. يصف هذا المتجه موضع نقطة واحدة من المستوى بالنسبة إلى نقطة ثابتة أخرى (غالبًا ما يكون هذا هو الأصل).

النواقل في الفيزياء

لنفترض أنه عند حل المشكلة ، نشأ شرط: يتحرك الجسم بسرعة 3 م / ث. هذا يعني أن الجسم يتحرك في اتجاه معين في خط مستقيم واحد ، وبالتالي فإن هذا المتغير سيكون كمية متجهة. لحلها ، من المهم معرفة كل من القيمة والاتجاه ، لأنه بناءً على الاعتبار ، يمكن أن تكون السرعة إما 3 م / ث أو -3 م / ث.

بشكل عام ، يتم استخدام المتجه في الفيزياء للإشارة إلى اتجاه القوة المؤثرة على الجسم ، ولتحديد النتيجة.

عندما يتم الإشارة إلى هذه القوى في الشكل ، يتم الإشارة إليها بأسهم مع علامة متجه فوقها. من الناحية الكلاسيكية ، لا يقل طول السهم أهمية ، وبمساعدته ، يشيرون إلى القوة الأقوى ، لكن هذه الخاصية ثانوية ، فلا يجب الاعتماد عليها.

المتجهات في الجبر الخطي وحساب التفاضل والتكامل

تسمى عناصر المسافات الخطية أيضًا بالمتجهات ، ولكنها في هذه الحالة عبارة عن نظام مرتب من الأرقام يصف بعض العناصر. لذلك ، لم يعد الاتجاه في هذه الحالة مهمًا. يختلف تعريف المتجه في الهندسة الكلاسيكية والتحليل الرياضي اختلافًا كبيرًا.

إسقاط متجه

المتجه المتوقع - ما هو؟

في كثير من الأحيان ، لإجراء حساب صحيح ومريح ، من الضروري تحليل متجه يقع في مساحة ثنائية أو ثلاثية الأبعاد على طول محاور الإحداثيات. هذه العملية ضرورية ، على سبيل المثال ، في الميكانيكا عند حساب القوى المؤثرة على الجسم. يتم استخدام المتجه في الفيزياء في كثير من الأحيان.

لإجراء الإسقاط ، يكفي خفض الخطوط العمودية من بداية ونهاية المتجه إلى كل محور من محاور الإحداثيات ، وستطلق على المقاطع التي تم الحصول عليها عليها إسقاط المتجه على المحور.

لحساب طول الإسقاط ، يكفي ضرب طوله الأولي في دالة مثلثية معينة ، والتي يتم الحصول عليها عن طريق حل مشكلة صغيرة. في الواقع ، يوجد مثلث قائم الزاوية يكون فيه الوتر هو المتجه الأصلي ، وإحدى الأرجل هي الإسقاط ، والساق الأخرى هي الساق العمودية الساقطة.

أخيرًا ، وضعت يدي على موضوع واسع طال انتظاره الهندسة التحليلية. أولا ، قليلا عن هذا القسم من الرياضيات العليا…. من المؤكد أنك تذكرت الآن دورة الهندسة المدرسية مع العديد من النظريات ، وإثباتاتها ، ورسوماتها ، وما إلى ذلك. ما تخفيه ، موضوع غير محبوب وغامض في كثير من الأحيان لنسبة كبيرة من الطلاب. قد تبدو الهندسة التحليلية ، بشكل غريب بما فيه الكفاية ، أكثر إثارة للاهتمام ويمكن الوصول إليها. ماذا تعني صفة "تحليلي"؟ يتبادر إلى الذهن على الفور منعطفان رياضيان مختومان: "طريقة الرسم للحل" و "الطريقة التحليلية للحل". طريقة الرسم، بالطبع ، يرتبط ببناء الرسوم البيانية والرسومات. تحليلينفس طريقةيتضمن حل المشكلة في الغالبمن خلال العمليات الجبرية. في هذا الصدد ، فإن الخوارزمية الخاصة بحل جميع مشاكل الهندسة التحليلية تقريبًا بسيطة وشفافة ، وغالبًا ما تكون كافية لتطبيق الصيغ اللازمة بدقة - والإجابة جاهزة! لا ، بالطبع ، لن يتم الاستغناء عن الرسومات على الإطلاق ، بالإضافة إلى ذلك ، من أجل فهم أفضل للمواد ، سأحاول أن أجلبها أكثر من الحاجة.

لا تدعي الدورة المفتوحة للدروس في الهندسة أنها اكتمال نظري ، فهي تركز على حل المشكلات العملية. سأدرج في محاضراتي فقط ما هو مهم من وجهة نظري عمليًا. إذا كنت بحاجة إلى مرجع أكثر اكتمالاً في أي قسم فرعي ، فإنني أوصي بالأدبيات التالية التي يمكن الوصول إليها تمامًا:

1) شيء مألوف لعدة أجيال بدون مزحة: كتاب مدرسي في الهندسة، المؤلفون - إل. أتاناسيان وشركاه. لقد صمدت شماعات غرفة خلع الملابس في المدرسة بالفعل في إعادة إصدار 20 (!) ، والتي ، بالطبع ، ليست الحد الأقصى.

2) الهندسة في مجلدين. المؤلفون إل. أتاناسيان ، بازيليف ف.. هذا هو الأدب للتعليم العالي ، سوف تحتاج المجلد الأول. قد تقع المهام التي تحدث بشكل غير متكرر خارج مجال رؤيتي ، وسيكون البرنامج التعليمي مفيدًا للغاية.

كلا الكتابين مجانيان للتنزيل عبر الإنترنت. بالإضافة إلى ذلك ، يمكنك استخدام الأرشيف الخاص بي مع الحلول الجاهزة ، والتي يمكن العثور عليها في الصفحة تنزيل أمثلة الرياضيات العليا.

من بين الأدوات ، أعرض التطوير الخاص بي مرة أخرى - حزمة البرامجفي الهندسة التحليلية ، مما يبسط الحياة بشكل كبير ويوفر الكثير من الوقت.

من المفترض أن القارئ على دراية بالمفاهيم والأشكال الهندسية الأساسية: النقطة ، الخط ، المستوى ، المثلث ، متوازي الأضلاع ، متوازي السطوح ، المكعب ، إلخ. يُنصح بتذكر بعض النظريات ، على الأقل نظرية فيثاغورس ، مرحبًا مكررات)

والآن سننظر بالتسلسل في: مفهوم المتجه ، الإجراءات ذات المتجهات ، إحداثيات المتجهات. كذلك أوصي بالقراءة أهم مقال حاصل الضرب النقطي للناقلات، إلى جانب المتجه والمنتج المختلط من النواقل. المهمة المحلية لن تكون زائدة عن الحاجة - تقسيم الجزء في هذا الصدد. بناءً على المعلومات الواردة أعلاه ، يمكنك ذلك معادلة الخط المستقيم في المستوىمع أبسط الأمثلة على الحلولالذي سيسمح تعلم كيفية حل المشاكل في الهندسة. المقالات التالية مفيدة أيضًا: معادلة مستوى في الفضاء, معادلات الخط المستقيم في الفراغ، المشاكل الأساسية على الخط والمستوى ، أقسام أخرى من الهندسة التحليلية. بطبيعة الحال ، سيتم النظر في المهام القياسية على طول الطريق.

مفهوم المتجه. ناقل حر

أولاً ، دعنا نكرر تعريف المدرسة للمتجه. المتجهاتصل توجهمقطع يشار إلى بدايته ونهايته:

في هذه الحالة ، تكون بداية المقطع هي النقطة ، ونهاية المقطع هي النقطة. يتم الإشارة إلى المتجه نفسه بواسطة. اتجاهضروري ، إذا قمت بإعادة ترتيب السهم إلى الطرف الآخر من المقطع ، فستحصل على متجه ، وهذا بالفعل ناقلات مختلفة تماما. من المريح تحديد مفهوم المتجه مع حركة الجسم المادي: يجب أن تعترف بأن دخول أبواب المعهد أو الخروج من أبواب المعهد أمران مختلفان تمامًا.

من الملائم النظر في النقاط الفردية للطائرة ، والفضاء كما يسمى ناقل صفر. مثل هذا المتجه له نفس النهاية والبداية.

!!! ملحوظة: هنا وأدناه ، يمكنك افتراض أن المتجهات تقع في نفس المستوى أو يمكنك افتراض أنها موجودة في الفضاء - جوهر المادة المقدمة صالح لكل من المستوى والفضاء.

التعيينات:لفت الكثيرون الانتباه على الفور إلى عصا بدون سهم في التسمية وقالوا إنهم وضعوا أيضًا سهمًا في الأعلى! هذا صحيح ، يمكنك الكتابة بسهم: ، لكن مقبول و سجل سأستخدمه لاحقًا. لماذا ا؟ على ما يبدو ، تطورت هذه العادة من اعتبارات عملية ، واتضح أن الرماة في المدرسة والجامعة متنوعون للغاية وأشعث. في الأدب التربوي ، في بعض الأحيان لا يهتمون بالكتابة المسمارية على الإطلاق ، لكنهم يسلطون الضوء على الحروف بالخط العريض: مما يعني ضمناً أن هذا ناقل.

كان هذا هو الأسلوب ، والآن عن طرق كتابة المتجهات:

1) يمكن كتابة المتجهات بحرفين لاتينيين كبيرين:
وهلم جرا. بينما الحرف الأول بالضرورةيشير إلى نقطة بداية المتجه ، والحرف الثاني يشير إلى نقطة نهاية المتجه.

2) النواقل مكتوبة أيضًا بأحرف لاتينية صغيرة:
على وجه الخصوص ، يمكن إعادة تصميم المتجه الخاص بنا للإيجاز بحرف لاتيني صغير.

طولأو وحدةيسمى المتجه غير الصفري طول المقطع. طول المتجه الصفري يساوي صفرًا. منطقيا.

يُشار إلى طول المتجه بعلامة modulo: ،

كيف نجد طول المتجه ، سنتعلم (أو نكرر ، لمن كيف) بعد ذلك بقليل.

كانت تلك معلومات أولية عن الناقل ، مألوفة لجميع أطفال المدارس. في الهندسة التحليلية ، ما يسمى ب ناقل حر.

إذا كان الأمر بسيطًا جدًا - يمكن رسم المتجه من أي نقطة:

اعتدنا أن نسمي هذه المتجهات متساوية (سيتم تقديم تعريف المتجهات المتساوية أدناه) ، ولكن من وجهة نظر رياضية بحتة ، هذا هو نفس المتجه أو ناقل حر. لماذا مجاني؟ لأنه أثناء حل المشكلات ، يمكنك "إرفاق" متجه واحد أو آخر بأي نقطة من المستوى أو المساحة التي تحتاجها. هذه ملكية رائعة جدا! تخيل متجهًا للطول والاتجاه التعسفيين - يمكن "استنساخه" بعدد لا حصر له من المرات وفي أي نقطة في الفضاء ، في الواقع ، يوجد في كل مكان. يوجد مثل هذا الطالب: كل محاضر في f ** u في المتجه. بعد كل شيء ، ليس مجرد قافية بارعة ، كل شيء صحيح رياضيًا - يمكن إرفاق ناقل هناك أيضًا. لكن لا تتسرع في الابتهاج ، فالطلاب أنفسهم يعانون في كثير من الأحيان =)

لذا، ناقل حر- هذا هو الكثير من مقاطع اتجاهية متطابقة. تعريف المدرسة للمتجه ، الوارد في بداية الفقرة: "يسمى الجزء الموجه المتجه ..." ، يعني محددمقطع موجه مأخوذ من مجموعة معينة مرتبطة بنقطة معينة في المستوى أو الفضاء.

تجدر الإشارة إلى أنه من وجهة نظر الفيزياء ، فإن مفهوم المتجه الحر غير صحيح بشكل عام ، ونقطة تطبيق المتجه مهمة. في الواقع ، فإن ضربة مباشرة من نفس القوة على الأنف أو على الجبهة كافية لتطوير نموذجي الغبي الذي يترتب عليه عواقب مختلفة. لكن، ليس حرتم العثور على النواقل أيضًا في سياق vyshmat (لا تذهب إلى هناك :)).

الإجراءات مع النواقل. العلاقة الخطية المتداخلة من النواقل

في دورة الهندسة المدرسية ، يتم النظر في عدد من الإجراءات والقواعد مع المتجهات: بالإضافة إلى قاعدة المثلث ، الجمع وفقًا لقاعدة متوازي الأضلاع ، قاعدة اختلاف المتجهات ، ضرب المتجه برقم ، الناتج القياسي للمتجهات ، إلخ.كبذرة ، نكرر قاعدتين لهما صلة خاصة بحل مشاكل الهندسة التحليلية.

حكم جمع المتجهات حسب قاعدة المثلثات

ضع في اعتبارك متجهين تعسفيين غير صفريين و:

مطلوب للعثور على مجموع هذه المتجهات. نظرًا لحقيقة أن جميع النواقل تعتبر مجانية ، فإننا نؤجل المتجه من نهايةالمتجه :

مجموع المتجهات هو المتجه. لفهم القاعدة بشكل أفضل ، يُنصح بوضع معنى مادي فيها: دع جسمًا ما يصنع مسارًا على طول المتجه ، ثم على طول المتجه. ثم يكون مجموع المتجهات هو متجه المسار الناتج بدءًا من نقطة المغادرة وينتهي عند نقطة الوصول. تمت صياغة قاعدة مماثلة لمجموع أي عدد من النواقل. كما يقولون ، يمكن للجسم أن يمضي في طريقه بشكل متعرج بقوة ، أو ربما على الطيار الآلي - على طول متجه المجموع الناتج.

بالمناسبة ، إذا تم تأجيل المتجه من بدايةمتجه ، ثم نحصل على المكافئ حكم متوازي الأضلاعإضافة نواقل.

أولاً ، حول العلاقة الخطية المتداخلة للمتجهات. يتم استدعاء المتجهين علاقة خطية متداخلةإذا كانت تقع على نفس الخط أو على خطوط متوازية. بشكل تقريبي ، نحن نتحدث عن نواقل متوازية. ولكن فيما يتعلق بها ، يتم دائمًا استخدام صفة "الخطية الخطية".

تخيل اثنين من النواقل الخطية. إذا كانت أسهم هذه المتجهات موجهة في نفس الاتجاه ، فسيتم استدعاء هذه المتجهات الاتجاه المشترك. إذا كانت الأسهم تبدو في اتجاهات مختلفة ، فستكون المتجهات موجهة بشكل معاكس.

التعيينات:تتم كتابة العلاقة الخطية المتداخلة للمتجهات باستخدام رمز التوازي المعتاد: ، بينما يكون التفصيل ممكنًا: (يتم توجيه المتجهات بشكل مشترك) أو (يتم توجيه المتجهات بشكل معاكس).

الشغلمتجه غير صفري برقم هو متجه طوله يساوي ، والمتجهات ويتم توجيهها بشكل مشترك نحوها وتوجيهها بشكل معاكس.

قاعدة ضرب المتجه برقم أسهل في الفهم بالصورة:

نحن نفهم بمزيد من التفصيل:

1 الاتجاه. إذا كان المضاعف سالبًا ، فسيكون المتجه يغير الاتجاهعلى العكس.

2) الطول. إذا كان العامل موجودًا داخل أو ، فسيكون طول المتجه النقصان. إذن ، طول المتجه أقل بمرتين من طول المتجه. إذا كان مضاعف modulo أكبر من واحد ، فسيكون طول المتجه يزيدفي الوقت المناسب.

3) يرجى ملاحظة ذلك جميع النواقل على خط واحد، بينما يتم التعبير عن متجه من خلال متجه آخر ، على سبيل المثال ،. والعكس صحيح أيضا: إذا كان من الممكن التعبير عن متجه من حيث متجه آخر ، فإن هذه النواقل تكون بالضرورة على خط واحد. في هذا الطريق: إذا ضربنا متجهًا في رقم ، نحصل على خط مستقيم واحد(نسبة إلى الأصل) المتجه.

4) النواقل هي الاتجاهية. النواقل وكذلك الاتجاهية. أي متجه للمجموعة الأولى هو عكس أي متجه للمجموعة الثانية.

ما النواقل متساوية؟

متجهان متساويان إذا كانا اتجاهي مع نفس الطول. لاحظ أن الاتجاه المشترك يعني أن المتجهات مترابطة. سيكون التعريف غير دقيق (مكرر) إذا قلت: "متجهان متساويان إذا كانا متصلين ، ومشتركين في التوجيه ، ولهما نفس الطول."

من وجهة نظر مفهوم المتجه الحر ، المتجهات المتساوية هي نفس المتجه ، والتي تمت مناقشتها بالفعل في الفقرة السابقة.

إحداثيات المتجهات على المستوى وفي الفضاء

النقطة الأولى هي النظر في المتجهات على المستوى. ارسم نظام إحداثيات ديكارتية مستطيلة وضع جانباً من الأصل غير مرتبطةناقلات و:

ناقلات و متعامد. متعامد = عمودي. أوصي بالتعود ببطء على المصطلحات: بدلاً من التوازي والعمودي ، نستخدم الكلمات على التوالي علاقة خطية متداخلةو التعامد.

تعيين:تتم كتابة المتجهات المتعامدة بالعلامة العمودية المعتادة ، على سبيل المثال:.

يتم استدعاء النواقل المدروسة ناقلات تنسيقأو orts. تتشكل هذه النواقل أساسعلى السطح. ما هو الأساس ، كما أعتقد ، واضح بشكل حدسي للكثيرين ، ويمكن العثور على معلومات أكثر تفصيلاً في المقالة الاعتماد الخطي (غير) على النواقل. أساس المتجهبكلمات بسيطة ، يحدد أساس وأصل الإحداثيات النظام بأكمله - وهذا نوع من الأساس الذي تغلي عليه حياة هندسية كاملة وغنية.

في بعض الأحيان يتم استدعاء الأساس المركب متعامدأساس المستوى: "ortho" - نظرًا لأن متجهات الإحداثيات متعامدة ، فإن صفة "التطبيع" تعني الوحدة ، أي أطوال نواقل الأساس تساوي واحدًا.

تعيين:عادة ما يتم كتابة الأساس بين قوسين ، بداخلهما بترتيب صارميتم سرد ناقلات الأساس ، على سبيل المثال:. تنسيق النواقل ممنوعأماكن المبادلة.

أيناقلات الطائرة الطريقة الوحيدةمعبر عنه على النحو التالي:
، أين - أعداد، والتي تسمى إحداثيات ناقلاتعلى هذا الأساس. لكن التعبير نفسه اتصل ناقلات التحللأساس .

خدم العشاء:

لنبدأ بالحرف الأول من الأبجدية:. يوضح الرسم بوضوح أنه عند تحليل المتجه من حيث الأساس ، يتم استخدام العناصر التي تم النظر فيها للتو:
1) قاعدة ضرب المتجه برقم: و ؛
2) جمع المتجهات حسب قاعدة المثلث:.

الآن ضع المتجه جانبًا عقليًا من أي نقطة أخرى على المستوى. من الواضح تمامًا أن فساده "سوف يتبعه بلا هوادة". ها هي حرية المتجه - المتجه "يحمل كل شيء معك". هذه الخاصية ، بالطبع ، صحيحة لأي ناقل. من المضحك أن المتجهات الأساسية (المجانية) نفسها لا يجب وضعها جانباً من الأصل ، يمكن رسم أحدها ، على سبيل المثال ، في أسفل اليسار ، والآخر في أعلى اليمين ، ولن يتغير شيء من هذا! صحيح ، لست مضطرًا للقيام بذلك ، لأن المعلم سيُظهر أيضًا أصالة ويرسم لك "تمريرة" في مكان غير متوقع.

المتجهات ، توضح بالضبط القاعدة الخاصة بضرب المتجه برقم ، يتم توجيه المتجه بشكل مشترك مع متجه الأساس ، ويتم توجيه المتجه عكس متجه الأساس. بالنسبة لهذه المتجهات ، فإن أحد الإحداثيات يساوي صفرًا ، ويمكن كتابته بدقة على النحو التالي:


وبالمناسبة ، فإن النواقل الأساسية هي كما يلي: (في الواقع ، يتم التعبير عنها من خلال نفسها).

وأخيرًا: ،. بالمناسبة ، ما هو الطرح المتجه ، ولماذا لم أخبرك عن قاعدة الطرح؟ في مكان ما في الجبر الخطي ، لا أتذكر أين ، لاحظت أن الطرح حالة خاصة للجمع. لذلك ، توسعات المتجهات "de" و "e" مكتوبة بهدوء كمجموع: . أعد ترتيب المصطلحات في الأماكن واتبع الرسم إلى أي مدى تعمل الإضافة القديمة الجيدة للمتجهات وفقًا لقاعدة المثلث في هذه المواقف.

اعتبر تحلل النموذج تسمى أحيانًا تحلل المتجهات في النظام أو(أي في نظام نواقل الوحدة). لكن هذه ليست الطريقة الوحيدة لكتابة متجه ، فالخيار التالي شائع:

أو بعلامة يساوي:

يتم كتابة نواقل الأساس نفسها على النحو التالي: و

أي أن إحداثيات المتجه موضحة بين قوسين. في المهام العملية ، يتم استخدام جميع خيارات التسجيل الثلاثة.

كنت أشك في التحدث ، لكنني سأقول: لا يمكن إعادة ترتيب إحداثيات المتجهات. بدقة في المقام الأولاكتب الإحداثي الذي يتوافق مع متجه الوحدة ، بدقة في المركز الثانياكتب الإحداثي الذي يتوافق مع متجه الوحدة. في الواقع ، وهما متجهان مختلفان.

اكتشفنا الإحداثيات على الطائرة. الآن ضع في اعتبارك المتجهات في الفضاء ثلاثي الأبعاد ، كل شيء متماثل تقريبًا هنا! ستتم إضافة إحداثي واحد فقط. من الصعب إجراء رسومات ثلاثية الأبعاد ، لذلك سأقتصر على متجه واحد ، والذي من أجل البساطة سأؤجله من الأصل:

أي 3d ناقلات الفضاء الطريقة الوحيدةتوسع في قاعدة متعامدة:
، أين إحداثيات المتجه (الرقم) في الأساس المحدد.

مثال من الصورة: . دعونا نرى كيف تعمل قواعد العمل المتجه هنا. أولاً ، ضرب المتجه برقم: (سهم أحمر) ، (سهم أخضر) و (سهم أرجواني). ثانيًا ، فيما يلي مثال على إضافة عدة متجهات ، في هذه الحالة ثلاثة ، متجهات:. يبدأ متجه المجموع من نقطة البداية للانطلاق (بداية المتجه) وينتهي عند نقطة الوصول النهائية (نهاية المتجه).

جميع نواقل الفضاء ثلاثي الأبعاد ، بالطبع ، مجانية أيضًا ، حاول تأجيل المتجه عقليًا من أي نقطة أخرى ، وستفهم أن توسعها "يظل معها".

على غرار حالة الطائرة ، بالإضافة إلى الكتابة تُستخدم الإصدارات ذات الأقواس على نطاق واسع: إما.

إذا كان متجه إحداثي واحد (أو اثنين) مفقودًا في التوسع ، فسيتم وضع الأصفار بدلاً من ذلك. أمثلة:
ناقلات (بدقة ) - اكتب ؛
ناقلات (بدقة ) - اكتب ؛
ناقلات (بدقة ) - اكتب.

يتم كتابة ناقلات الأساس على النحو التالي:

هنا ، ربما ، هو كل الحد الأدنى من المعرفة النظرية اللازمة لحل مشاكل الهندسة التحليلية. ربما يكون هناك الكثير من المصطلحات والتعريفات ، لذا أوصي بالدمى لإعادة قراءة هذه المعلومات وفهمها مرة أخرى. وسيكون من المفيد لأي قارئ الرجوع إلى الدرس الأساسي من وقت لآخر لاستيعاب المادة بشكل أفضل. العلاقة الخطية المتداخلة ، التعامد ، الأساس المتعامد ، التحلل المتجه - غالبًا ما يتم استخدام هذه المفاهيم وغيرها في ما يلي. ألاحظ أن مواد الموقع لا تكفي لاجتياز اختبار نظري ، ندوة عن الهندسة ، لأنني أشفر بعناية جميع النظريات (إلى جانب عدم وجود أدلة) - على حساب الأسلوب العلمي للعرض ، بل ميزة إضافية لفهمك من الموضوع. للحصول على معلومات نظرية مفصلة ، أطلب منك أن تنحني للبروفيسور أتاناسيان.

الآن دعنا ننتقل إلى الجزء العملي:

أبسط مشاكل الهندسة التحليلية.
الإجراءات مع المتجهات في الإحداثيات

المهام التي سيتم النظر فيها ، من المستحسن للغاية معرفة كيفية حلها بشكل كامل تلقائيًا ، والصيغ حفظ، لا تتذكرها حتى عن قصد ، سوف يتذكرونها بأنفسهم =) هذا مهم جدًا ، نظرًا لأن المشكلات الأخرى في الهندسة التحليلية تستند إلى أبسط الأمثلة الأولية ، وسيكون من المزعج قضاء وقت إضافي في أكل البيادق. لا تحتاج إلى ربط الأزرار العلوية على قميصك ، فأشياء كثيرة مألوفة لك من المدرسة.

سيتبع عرض المادة مسارًا متوازيًا - سواء بالنسبة للطائرة أو في الفضاء. لسبب أن جميع الصيغ ... سترى بنفسك.

كيف تجد متجهًا معطى نقطتين؟

إذا تم إعطاء نقطتين من المستوى ، فسيكون للمتجه الإحداثيات التالية:

إذا تم إعطاء نقطتين في الفضاء ، فسيكون للمتجه الإحداثيات التالية:

هذا هو، من إحداثيات نهاية المتجهتحتاج إلى طرح الإحداثيات المقابلة بداية ناقلات.

ممارسه الرياضه:لنفس النقاط ، اكتب الصيغ لإيجاد إحداثيات المتجه. الصيغ في نهاية الدرس.

مثال 1

نظرا نقطتين في الطائرة و. ابحث عن إحداثيات المتجهات

المحلول:وفقًا للصيغة المقابلة:

بدلاً من ذلك ، يمكن استخدام الترميز التالي:

سوف يقرر Aesthetes مثل هذا:

أنا شخصياً معتاد على الإصدار الأول من السجل.

إجابه:

وفقًا للشرط ، لم يكن مطلوبًا بناء رسم (وهو أمر نموذجي لمشاكل الهندسة التحليلية) ، ولكن من أجل شرح بعض النقاط للدمى ، لن أكون كسولًا جدًا:

يجب أن يفهم الفرق بين إحداثيات النقطة وإحداثيات المتجهات:

إحداثيات النقطةهي الإحداثيات المعتادة في نظام إحداثيات مستطيل. أعتقد أن الجميع يعرف كيفية رسم النقاط على مستوى الإحداثيات منذ الصف 5-6. كل نقطة لها مكان محدد على متن الطائرة ، ولا يمكن نقلها إلى أي مكان.

إحداثيات نفس المتجههو توسعها فيما يتعلق بالأساس ، في هذه الحالة. أي متجه مجاني ، لذلك ، إذا لزم الأمر ، يمكننا بسهولة تأجيله من نقطة أخرى في المستوى. من المثير للاهتمام ، بالنسبة للمتجهات ، لا يمكنك بناء محاور على الإطلاق ، نظام إحداثيات مستطيل ، فأنت تحتاج فقط إلى أساس ، في هذه الحالة ، أساس متعامد للطائرة.

يبدو أن سجلات إحداثيات النقاط وإحداثيات المتجهات متشابهة: و و الإحساس بالإحداثياتإطلاقا مختلف، ويجب أن تدرك جيدًا هذا الاختلاف. هذا الاختلاف ، بالطبع ، ينطبق أيضًا على الفضاء.

سيداتي وسادتي نملأ أيدينا:

مثال 2

أ) إعطاء نقاط و. البحث عن ناقلات و.
ب) يتم إعطاء النقاط و . البحث عن ناقلات و.
ج) نقاط معينة و. البحث عن ناقلات و.
د) يتم إعطاء النقاط. البحث عن نواقل .

ربما يكفي. هذه أمثلة على قرار مستقل ، حاول عدم إهمالها ، فسوف تؤتي ثمارها ؛-). الرسومات غير مطلوبة. الحلول والأجوبة في نهاية الدرس.

ما هو المهم في حل مشاكل الهندسة التحليلية؟من المهم توخي الحذر الشديد لتجنب الخطأ البارع "اثنان زائد اثنان يساوي صفرًا". أعتذر مقدمًا إذا ارتكبت خطأ =)

كيف تجد طول القطعة؟

الطول ، كما لوحظ بالفعل ، يشار إليه بعلامة المقياس.

إذا تم إعطاء نقطتين من المستوى ، فيمكن حساب طول المقطع بواسطة الصيغة

إذا تم إعطاء نقطتين في الفراغ ، فيمكن حساب طول المقطع بواسطة الصيغة

ملحوظة: ستبقى الصيغ صحيحة إذا تم تبديل الإحداثيات المقابلة: ولكن الخيار الأول هو معيار أكثر

مثال 3

المحلول:وفقًا للصيغة المقابلة:

إجابه:

من أجل الوضوح ، سأقوم برسم

القطعة المستقيمة - إنه ليس ناقل، ولا يمكنك نقله إلى أي مكان بالطبع. بالإضافة إلى ذلك ، إذا أكملت الرسم على مقياس: 1 وحدة. \ u003d 1 سم (خليتان رباعيتان) ، ثم يمكن التحقق من الإجابة باستخدام مسطرة عادية عن طريق قياس طول المقطع مباشرة.

نعم ، الحل قصير ، لكن هناك نقطتان مهمتان فيهما أود توضيحهما:

أولاً ، في الإجابة حددنا البعد: "الوحدات". لا تذكر الحالة ما هو ، مليمترات ، سم ، أمتار ، أو كيلومترات. لذلك ، فإن الصيغة العامة ستكون حلاً مختصًا رياضيًا: "وحدات" - يُشار إليها باختصار "وحدات".

ثانيًا ، دعنا نكرر المادة المدرسية ، والتي تفيد ليس فقط في المشكلة المدروسة:

انتبه على خدعة فنية مهمة – إخراج المضاعف من تحت الجذر. كنتيجة للحسابات ، حصلنا على النتيجة والأسلوب الرياضي الجيد يتضمن إخراج المضاعف من تحت الجذر (إن أمكن). تبدو العملية هكذا بمزيد من التفصيل: . بطبيعة الحال ، فإن ترك الإجابة في النموذج لن يكون خطأ - لكنه بالتأكيد خطأ وحجة قوية للتلاعب من جانب المعلم.

فيما يلي بعض الحالات الشائعة الأخرى:

غالبًا ما يتم الحصول على عدد كبير بدرجة كافية من الجذر ، على سبيل المثال. كيف تكون في مثل هذه الحالات؟ في الآلة الحاسبة ، نتحقق مما إذا كان الرقم قابلاً للقسمة على 4 :. نعم ، انقسم تمامًا ، وبالتالي: . أو ربما يمكن قسمة الرقم على 4 مرة أخرى؟ . في هذا الطريق: . الرقم الأخير من الرقم فردي ، لذا من الواضح أن القسمة على 4 للمرة الثالثة غير ممكنة. يحاول القسمة على تسعة:. نتيجة ل:
مستعد.

استنتاج:إذا حصلنا تحت الجذر على رقم غير قابل للاستخراج تمامًا ، فإننا نحاول إخراج العامل من تحت الجذر - على الآلة الحاسبة نتحقق مما إذا كان الرقم قابلاً للقسمة على: 4 ، 9 ، 16 ، 25 ، 36 ، 49 ، إلخ.

في سياق حل المشكلات المختلفة ، غالبًا ما يتم العثور على الجذور ، حاول دائمًا استخراج العوامل من تحت الجذر لتجنب انخفاض الدرجات والمشكلات غير الضرورية عند الانتهاء من الحلول وفقًا لملاحظة المعلم.

دعنا نكرر تربيع الجذور والقوى الأخرى في نفس الوقت:

يمكن العثور على قواعد الإجراءات ذات الدرجات في شكل عام في كتاب مدرسي عن الجبر ، لكنني أعتقد أن كل شيء أو كل شيء تقريبًا واضح بالفعل من الأمثلة المقدمة.

مهمة لحل مستقل مع جزء في الفضاء:

مثال 4

نقاط معينة و. أوجد طول المقطع.

الحل والجواب في نهاية الدرس.

كيف تجد طول المتجه؟

إذا تم إعطاء متجه مستوي ، فسيتم حساب طوله بواسطة الصيغة.

إذا تم إعطاء متجه الفضاء ، فسيتم حساب طوله بواسطة الصيغة .

المتجه
في الفيزياء والرياضيات ، المتجه هو كمية تتميز بقيمتها العددية واتجاهها. في الفيزياء ، هناك العديد من الكميات المهمة التي هي نواقل ، مثل القوة ، والموضع ، والسرعة ، والتسارع ، والعزم ، والزخم ، والمجالات الكهربائية والمغناطيسية. يمكن مقارنتها بكميات أخرى ، مثل الكتلة والحجم والضغط ودرجة الحرارة والكثافة ، والتي يمكن وصفها برقم عادي ، وتسمى "الحجميات". يستخدم تدوين المتجه عند التعامل مع كميات لا يمكن تحديدها بالكامل باستخدام أرقام عادية. على سبيل المثال ، نريد وصف موضع كائن بالنسبة إلى نقطة معينة. يمكننا معرفة عدد الكيلومترات من نقطة إلى كائن ، لكن لا يمكننا تحديد موقعه بالكامل حتى نعرف الاتجاه الذي يقع فيه. وبالتالي ، فإن موقع الجسم يتميز بقيمة عددية (المسافة بالكيلومترات) والاتجاه. بيانياً ، يتم تصوير المتجهات على أنها مقاطع موجهة لخط مستقيم بطول معين ، كما في الشكل. 1. على سبيل المثال ، من أجل تمثيل قوة مقدارها خمسة كيلوغرامات بيانيًا ، عليك رسم خط مستقيم بطول خمس وحدات في اتجاه القوة. يشير السهم إلى أن القوة تعمل من أ إلى ب ؛ إذا كانت القوة مؤثرة من B إلى A ، فسنكتب أو للراحة ، يتم الإشارة إلى المتجهات عادةً بأحرف كبيرة كبيرة (A ، B ، C ، وما إلى ذلك) ؛ المتجهات A و -A لها قيم عددية متساوية ، ولكن في الاتجاه المعاكس. تسمى القيمة العددية للمتجه A بالمعامل أو الطول ويُشار إليها بالرمز A أو | A |. هذه الكمية ، بالطبع ، عددية. المتجه الذي تتطابق بدايته ونهايته يسمى متجهًا فارغًا ويشار إليه بـ O.

يطلق على متجهين متساويين (أو مجانيين) إذا كانت معاملهما واتجاهاتهما هي نفسها. ومع ذلك ، في الميكانيكا والفيزياء ، يجب استخدام هذا التعريف بحذر ، لأن قوتين متساويتين تنطبقان على نقاط مختلفة من الجسم ستؤديان عمومًا إلى نتائج مختلفة. في هذا الصدد ، يتم تقسيم المتجهات إلى "مرتبطة" أو "منزلقة" ، على النحو التالي: المتجهات المرتبطة لها نقاط تطبيق ثابتة. على سبيل المثال ، يشير متجه نصف القطر إلى موضع نقطة نسبة إلى أصل ثابت. تعتبر النواقل ذات الصلة متساوية إذا لم يكن لديها نفس الوحدات والتوجيهات فحسب ، ولكن لديها أيضًا نقطة مشتركة للتطبيق. المتجهات المنزلقة هي نواقل متساوية تقع على نفس الخط المستقيم.
إضافة نواقل.تأتي فكرة إضافة المتجه من حقيقة أنه يمكننا إيجاد متجه واحد له نفس تأثير متجهين آخرين معًا. إذا أردنا ، من أجل الوصول إلى نقطة ما ، السير أولاً A كيلومترًا في اتجاه واحد ثم B كيلومترًا في الاتجاه الآخر ، فيمكننا الوصول إلى نقطة النهاية عن طريق السير C كيلومترًا في الاتجاه الثالث (الشكل 2). بهذا المعنى ، يمكن للمرء أن يقول ذلك

أ + ب = ج.
يسمى المتجه C "متجه النتيجة" لـ A و B ويعطى من خلال البناء الموضح في الشكل ؛ يتم بناء متوازي الأضلاع على المتجهين A و B كما هو الحال على الجانبين ، و C هو قطري يربط بين بداية A ونهاية B. من الشكل. 2 يمكن ملاحظة أن إضافة المتجهات "تبادلية" ، أي A + B = B + A. وبالمثل ، يمكنك إضافة عدة نواقل عن طريق توصيلها في سلسلة في "سلسلة متصلة" ، كما هو موضح في الشكل. 3 لثلاثة نواقل D و E و F. من التين. 3 يظهر ذلك أيضا

(D + E) + F = D + (E + F) ، أي إضافة نواقل هي ترابطية. يمكن جمع أي عدد من المتجهات ، ولا يتعين على المتجهات أن تقع في نفس المستوى. يتم تمثيل نواقل الطرح كإضافة إلى متجه سالب. على سبيل المثال ، A - B = A + (-B) ، حيث ، كما تم تعريفه مسبقًا ، -B عبارة عن متجه يساوي B في القيمة المطلقة ولكنه عكس الاتجاه. يمكن الآن استخدام قاعدة الإضافة هذه كمعيار حقيقي للتحقق مما إذا كانت بعض الكمية متجهًا أم لا. تخضع الحركات عادة لشروط هذه القاعدة ؛ يمكن قول الشيء نفسه عن السرعات ؛ تتراكم القوات بنفس الطريقة التي يمكن رؤيتها من "مثلث القوى". ومع ذلك ، فإن بعض الكميات التي تحتوي على قيم واتجاهات عددية لا تخضع لهذه القاعدة ، وبالتالي لا يمكن اعتبارها متجهات. مثال على ذلك هو الدورات المحدودة.
ضرب متجه بعدد قياسي.حاصل الضرب mA أو Am ، حيث m (m # 0) عبارة عن متجه عددي و A متجه غير صفري ، يتم تعريفه على أنه متجه آخر أطول بمقدار m مرة من A وله نفس الاتجاه مثل A إذا كان m موجبًا ، و العكس إذا كانت m سالبة ، كما هو موضح في الشكل. 4 ، حيث m هي 2 و -1 / 2 على التوالي. بالإضافة إلى ذلك ، 1A = A ، أي عند ضرب المتجه في 1 ، لا يتغير المتجه. القيمة -1A عبارة عن متجه يساوي طوله A ولكنه معاكس في الاتجاه ، وعادة ما يتم كتابته كـ -A. إذا كان A متجهًا صفريًا و (أو) m = 0 ، فإن mA يكون متجهًا صفريًا. الضرب توزيعي ، أي

يمكننا إضافة أي عدد من المتجهات ، ولا يؤثر ترتيب المصطلحات على النتيجة. والعكس صحيح أيضًا: أي ناقل يتحلل إلى "مكونين" أو أكثر ، أي إلى متجهين أو أكثر ، عند إضافتهما معًا ، سيعطي المتجه الأصلي نتيجة لذلك. على سبيل المثال ، في الشكل. 2 و A و B هي مكونات C. يتم تبسيط العديد من العمليات الحسابية ذات المتجهات إذا تحلل المتجه إلى ثلاثة مكونات في ثلاثة اتجاهات متعامدة بشكل متبادل. دعونا نختار نظام الإحداثيات الديكارتية الصحيح مع المحاور Ox و Oy و Oz كما هو موضح في الشكل. 5. من خلال نظام الإحداثيات الأيمن ، فإننا نعني أنه يمكن وضع محاور x و y و z حيث يمكن وضع الإبهام والفهرس والأصابع الوسطى لليد اليمنى ، على التوالي. من نظام إحداثيات صحيح ، من الممكن دائمًا الحصول على نظام إحداثيات صحيح آخر من خلال الدوران المناسب. على التين. يوضح الشكل 5 تحلل المتجه A إلى ثلاثة مكونات ويضافون إلى المتجه A ، منذ ذلك الحين

بالتالي،

يمكن للمرء أيضًا أن يضيف ويحصل أولاً ثم يضيف إلى إسقاطات المتجه A على محاور الإحداثيات الثلاثة ، المشار إليها بـ Ax و Ay و Az تسمى "المكونات العددية" للمتجه A:

حيث a و b و g هي الزوايا بين محاور الإحداثيات الثلاثة. نقدم الآن ثلاثة متجهات طول وحدة i و j و k (orths) لها نفس اتجاه محاور x و y و z المقابلة. ثم ، إذا تم ضرب Ax في i ، فإن المنتج الناتج يكون متجهًا يساوي و

متجهان متساويان إذا وفقط إذا كانت المكونات العددية المقابلة لها متساوية. وبالتالي ، A = B إذا وفقط إذا كان Ax = Bx ، Ay = By ، Az = Bz. يمكن إضافة متجهين بإضافة مكوناتهما:

بالإضافة إلى ذلك ، وفقًا لنظرية فيثاغورس:

وظائف خطية. يُطلق على التعبير aA + bB ، حيث يكون a و b عدديين ، دالة خطية للمتجهين A و B. هذا متجه في نفس المستوى مثل A و B ؛ إذا لم تكن A و B متوازيتين ، فعندما يتغير a و b ، يتحرك المتجه aA + bB فوق المستوى بأكمله (الشكل 6). إذا كانت A و B و C لا تقع جميعها في نفس المستوى ، فإن المتجه aA + bB + cC (يتغير a و b و c) يتحرك في جميع أنحاء الفضاء. افترض أن A و B و C هي متجهات الوحدة i و j و k. يقع المتجه ai على المحور السيني ؛ يمكن أن يتحرك المتجه ai + bj على طول المستوى xy بأكمله ؛ يمكن أن يتحرك المتجه ai + bj + ck في جميع أنحاء الفضاء.

يمكن للمرء أن يختار أربعة متجهات متعامدة بشكل متبادل i و j و k و l وتعريف متجه رباعي الأبعاد على أنه الكمية A = Axi + Ayj + Azk + Awl
بطول

ويمكن للمرء أن يستمر حتى خمسة أو ستة أو أي عدد من الأبعاد. على الرغم من أنه من المستحيل تمثيل مثل هذا المتجه بصريًا ، فلا توجد صعوبات رياضية هنا. غالبًا ما يكون هذا الترميز مفيدًا ؛ على سبيل المثال ، يتم وصف حالة الجسيم المتحرك بواسطة ناقل سداسي الأبعاد P (x ، y ، z ، px ، py ، pz) ، ومكوناته هي موضعه في الفضاء (x ، y ، z) والزخم (px ، الحمر ، pz). يسمى هذا الفضاء "فضاء الطور" ؛ إذا أخذنا في الاعتبار جسيمين ، فإن فضاء الطور يكون 12 بعدًا ، إذا كان ثلاثة ، ثم 18 ، وهكذا. يمكن زيادة عدد الأبعاد إلى أجل غير مسمى ؛ ومع ذلك ، فإن الكميات التي سنتعامل معها تتصرف بنفس الطريقة التي نتعامل معها في بقية هذه المقالة ، وهي ناقلات ثلاثية الأبعاد.
ضرب متجهين.تم الحصول على قاعدة إضافة المتجه من خلال دراسة سلوك الكميات الممثلة بالمتجهات. لا يوجد سبب واضح لعدم إمكانية مضاعفة متجهين بطريقة ما ، ولكن هذا الضرب سيكون منطقيًا فقط إذا أمكن إثبات أنه سليم رياضيًا ؛ بالإضافة إلى ذلك ، من المستحسن أن يكون للمنتج معنى مادي معين. هناك طريقتان لضرب المتجهات التي تلبي هذه الشروط. نتيجة أحدهما هو العدد القياسي ، يسمى هذا المنتج "المنتج القياسي" أو "المنتج الداخلي" لمتجهين ويتم كتابته ACHB أو (A ، B). نتيجة عملية ضرب أخرى هي متجه يسمى "الضرب المتقاطع" أو "الضرب الخارجي" ويتم كتابته A * B أو []. المنتجات النقطية لها معنى فيزيائي لأبعاد واحدة أو ثنائية أو ثلاثة أبعاد ، بينما يتم تعريف المنتجات المتجهة فقط لثلاثة أبعاد.
منتجات عددي.إذا تحركت النقطة التي يتم تطبيقها عليها مسافة r ، تحت تأثير بعض القوة F ، فإن العمل المنجز يكون مساويًا لمنتج r والمكون F في الاتجاه r. هذا المكون يساوي F cos bF ، rc ، حيث bF ، rc هي الزاوية بين F و r ، أي العمل المنجز = Fr cos bF، rc. هذا مثال على التبرير المادي للمنتج القياسي المحدد لأي متجهين A ، B عن طريق الصيغة
A * B = AB cos bA، Bs.
نظرًا لأن جميع الكميات الموجودة على الجانب الأيمن من المعادلة هي كميات ، إذن A * B = B * A ؛ لذلك ، يكون الضرب القياسي تبادليًا. الضرب القياسي له أيضًا خاصية التوزيع: أ * (ب + ج) = أ * ب + أ * ج. إذا كان المتجهان A و B متعامدين ، فإن cos bA و Bc يساوي صفرًا ، وبالتالي A * B = 0 ، حتى لو لم يكن A و B مساويًا للصفر. هذا هو السبب في أننا لا نستطيع القسمة على المتجه. لنفترض أننا قسمنا طرفي المعادلة A * B = A * C على A. وهذا سيعطي B = C ، وإذا كان من الممكن إجراء القسمة ، فستكون هذه المساواة هي النتيجة الوحيدة الممكنة. ومع ذلك ، إذا أعدنا كتابة المعادلة A * B = A * C كـ A * (B - C) = 0 وتذكرنا أن (B - C) متجه ، فمن الواضح أن (B - C) ليس بالضرورة صفرًا وبالتالي ، يجب ألا يكون B مساويًا لـ C. تظهر هذه النتائج المتضاربة أن تقسيم المتجهات مستحيل. يعطي الناتج القياسي طريقة أخرى لكتابة القيمة العددية (المعامل) للمتجه: A * A = AA * cos 0 ° = A2 ؛
لهذا

يمكن أيضًا كتابة المنتج القياسي بطريقة أخرى. للقيام بذلك ، تذكر ما يلي: A = Ax i + Ayj + Azk. لاحظ أن

ثم،

نظرًا لأن المعادلة الأخيرة تحتوي على x و y و z كرموز ، يبدو أن المعادلة تعتمد على نظام الإحداثيات المحدد المختار. ومع ذلك ، ليس هذا هو الحال ، كما يتضح من التعريف ، والذي لا يعتمد على محاور الإحداثيات المختارة.
عمل فني متجه.المتجه أو المنتج الخارجي للمتجهات هو متجه يكون معامله مساويًا لمنتج معاملاتهم وجيب الزاوية المتعامدة مع المتجهات الأصلية ويشكلون معهم المثلث الأيمن. يتم تقديم هذا المنتج بسهولة أكبر من خلال النظر في العلاقة بين السرعة والسرعة الزاوية. الأول هو ناقل. سوف نظهر الآن أنه يمكن أيضًا تفسير الأخير على أنه ناقل. يتم تحديد السرعة الزاوية لجسم دوار على النحو التالي: اختر أي نقطة على الجسم وارسم عموديًا من هذه النقطة على محور الدوران. إذن السرعة الزاوية للجسم هي عدد الراديان التي يدور حولها هذا الخط لكل وحدة زمنية. إذا كانت السرعة الزاوية متجهًا ، فيجب أن يكون لها قيمة عددية واتجاه. يتم التعبير عن القيمة العددية بالراديان في الثانية ، ويمكن اختيار الاتجاه على طول محور الدوران ، ويمكن تحديده عن طريق توجيه المتجه في الاتجاه الذي يتحرك فيه المسمار الأيمن عند الدوران مع الجسم. ضع في اعتبارك دوران جسم حول محور ثابت. إذا قمنا بتثبيت هذا المحور داخل حلقة ، والتي يتم تثبيتها بدورها على محور تم إدخاله داخل حلقة أخرى ، فيمكننا إعطاء دوران للجسم داخل الحلقة الأولى بسرعة زاوية w1 ثم جعل الحلقة الداخلية (والجسم) تدور مع السرعة الزاوية w2. يوضح الشكل 7 جوهر الأمر ؛ تظهر الأسهم الدائرية اتجاه الدوران. هذا الجسم عبارة عن كرة صلبة مركزها O ونصف قطرها r.

أرز. 7. A Sphere WITH CENTER O ، يدور بسرعة زاوية w1 داخل الحلقة BC ، والتي بدورها تدور داخل الحلقة DE بسرعة زاوية w2. يدور الكرة بسرعة زاوية مساوية لمجموع السرعات الزاوية وتكون جميع النقاط على الخط POP "في حالة راحة فورية.

لنجعل هذا الجسم حركة تساوي مجموع سرعتين زاويتين مختلفتين. يصعب تصور هذه الحركة ، لكن من الواضح تمامًا أن الجسم لم يعد يدور حول محور ثابت. ومع ذلك ، لا يزال بإمكانك القول أنه يدور. لإظهار ذلك ، دعنا نختار نقطة P على سطح الجسم ، والتي تقع في الوقت الحالي على دائرة كبيرة تربط بين نقطتين يتقاطع عندها محورين مع سطح الكرة. دعونا نسقط الخطوط العمودية من P على المحور. تصبح هذه الخطوط العمودية نصف قطر PJ و PK للدائرتين PQRS و PTUW ، على التوالي. لنرسم خطًا POPў يمر عبر مركز الكرة. الآن النقطة P ، في اللحظة المحددة من الوقت ، تتحرك في نفس الوقت على طول الدوائر التي تلامس النقطة P. بالنسبة لفاصل زمني صغير Dt ، يتحرك P إلى مسافة

هذه المسافة هي صفر إذا

في هذه الحالة ، تكون النقطة P في حالة سكون لحظي ، وبالمثل جميع النقاط على الخط POP. محور دوران الكرة ، تمامًا كما تدور عجلة تدور على الطريق في كل لحظة حول أدنى مستوى لها نقطة. ، يتحرك في الوقت المناسب Dt إلى مسافة

على دائرة نصف قطرها r sin w1. بحكم التعريف ، السرعة الزاوية

من هذه الصيغة والعلاقة (1) نحصل عليها

بمعنى آخر ، إذا قمت بتدوين قيمة عددية واخترت اتجاه السرعة الزاوية كما هو موضح أعلاه ، فإن هذه الكميات تضاف كمتجهات ويمكن اعتبارها كذلك. الآن يمكنك إدخال الضرب المتقاطع ؛ ضع في اعتبارك جسمًا يدور بسرعة زاوية w. نختار أي نقطة P على الجسم وأي أصل O والتي تقع على محور الدوران. لنفترض أن r متجهًا موجهًا من O إلى P. تتحرك النقطة P على طول دائرة بسرعة V = w r sin (w ، r). متجه السرعة V مماس للدائرة ويشير في الاتجاه الموضح في الشكل. ثمانية.

تعطي هذه المعادلة اعتمادًا على السرعة V لنقطة ما على مجموعة متجهين w و r. نستخدم هذه العلاقة لتحديد نوع جديد من المنتجات ونكتب: V = w * r. نظرًا لأن نتيجة هذا الضرب عبارة عن ناقل ، فإن هذا المنتج يسمى منتج متجه. لأي متجهين A و B ، إذا كان A * B = C ، فإن C = AB sin bA ، Bc ، واتجاه المتجه C يكون متعامدًا على المستوى المار عبر A و B ونقاط في نفسهما الاتجاه باعتباره اتجاه حركة البرغي dextrorotatory إذا كان موازيًا لـ C ويدور من A إلى B. وبعبارة أخرى ، يمكننا القول أن A و B و C ، بهذا الترتيب ، تشكل المجموعة الصحيحة من محاور الإحداثيات. المنتج المتجه مضاد للتبديل ؛ المتجه B * A له نفس المعامل مثل A * B ، لكنه موجه في الاتجاه المعاكس: A * B = -B * A. هذا المنتج توزيعي ، لكنه ليس ترابطي ؛ يمكن إثبات ذلك

لنرى كيف تتم كتابة حاصل الضرب المتجه من حيث المكونات ومتجهات الوحدة. بادئ ذي بدء ، لأي متجه A ، A * A = AA sin 0 = 0.
لذلك ، في حالة متجهات الوحدة ، i * i = j * j = k * k = 0 و i * j = k ، j * k = i ، k * i = j. ثم،

يمكن أيضًا كتابة هذه المساواة كعامل محدد:

إذا كانت A * B = 0 ، فإما أن A أو B تساوي 0 ، أو A و B على خط واحد. وهكذا ، كما هو الحال مع حاصل الضرب النقطي ، فإن القسمة على المتجه غير ممكنة. قيمة A * B تساوي مساحة متوازي الأضلاع مع الجانبين A و B. من السهل رؤية هذا ، حيث أن B sin bA و Bc هو ارتفاعه و A هو قاعدته. هناك العديد من الكميات الفيزيائية الأخرى التي تعتبر منتجات متجهية. يظهر أحد أهم منتجات المتجهات في نظرية الكهرومغناطيسية ويسمى متجه Poynting P. يتم تعريف هذا المتجه على النحو التالي: P = E * H ، حيث E و H هما متجهات المجال الكهربائي والمغناطيسي ، على التوالي. يمكن اعتبار المتجه P على أنه تدفق طاقة معين بالواط لكل متر مربع في أي نقطة. فيما يلي بعض الأمثلة الأخرى: تُعرَّف لحظة القوة F (عزم الدوران) بالنسبة إلى الأصل ، والتي تعمل على نقطة يكون نصف قطرها متجه r ، على أنها r * F ؛ جسيم يقع عند النقطة r ، مع كتلته m والسرعة V ، له زخم زاوي mr * V بالنسبة إلى الأصل ؛ القوة المؤثرة على جسيم يحمل شحنة كهربائية q خلال مجال مغناطيسي B بسرعة V تساوي qV * B.
أعمال ثلاثية.من ثلاثة نواقل ، يمكننا تشكيل المنتجات الثلاثية التالية: المتجه (A * B) * C ؛ ناقلات (أ * ب) * ج ؛ سلمي (أ * ب) * ج. النوع الأول هو حاصل ضرب المتجه C و A * B القياسي ؛ لقد تحدثنا بالفعل عن مثل هذه الأعمال. النوع الثاني يسمى المنتج المتقاطع المزدوج ؛ المتجه A * B عمودي على المستوى حيث يقع A و B ، وبالتالي (A * B) * C هو متجه يقع في المستوي A و B وعمودي على C. لذلك ، بشكل عام ، (A * B) * C لا تساوي A * (B * C). من خلال كتابة A و B و C من حيث إحداثياتها x و y و z (المكونات) وضربها ، يمكننا إظهار أن A * (B * C) = B * (A * C) - C * (A * ب). النوع الثالث من المنتجات الذي يحدث في الحسابات الشبكية في فيزياء الحالة الصلبة يساوي عدديًا حجم متوازي السطوح مع الحواف A و B و C. بما أن (A * B) * C = A * (B * C) ، فإن العلامات يمكن تبادل المضاعفات العددية والمتجهات ، وغالبًا ما تتم كتابة حاصل الضرب بالشكل (أ ب ج). هذا المنتج يساوي المحدد

لاحظ أن (A B C) = 0 إذا كانت المتجهات الثلاثة تقع في نفس المستوى أو إذا كانت A = 0 أو (و) B = 0 أو (و) C = 0.
تمايز المتجهات
افترض أن المتجه U دالة لمتغير عددي واحد t. على سبيل المثال ، يمكن أن يكون U هو متجه نصف القطر المرسوم من الأصل إلى النقطة المتحركة ، ويمكن أن يكون t هو الوقت. دعونا نتغير بمقدار صغير Dt ، والذي سيغير U بواسطة DU. هذا هو مبين في الشكل. 9. النسبة DU / Dt هي متجه موجه في نفس اتجاه DU. يمكننا تحديد مشتق U بالنسبة إلى t كـ

بشرط وجود مثل هذا الحد. من ناحية أخرى ، يمكن للمرء أن يمثل U كمجموع للمكونات على طول المحاور الثلاثة والكتابة

إذا كان U هو متجه نصف القطر r ، فإن dr / dt هي سرعة النقطة ، معبرًا عنها كدالة للوقت. التفريق فيما يتعلق بالوقت مرة أخرى ، نحصل على التسارع. افترض أن النقطة تتحرك على طول المنحنى الموضح في الشكل. 10. دعونا تكون المسافة التي قطعتها النقطة على طول المنحنى. خلال فترة زمنية صغيرة Dt ، ستقطع النقطة المسافة Ds على طول المنحنى ؛ سيتغير موضع متجه نصف القطر إلى Dr. ومن ثم فإن Dr / Ds هو ناقل موجه مثل Dr. إضافي

ناقل الدكتور - تغيير نصف القطر.

هو متجه وحدة مماس للمنحنى. يمكن ملاحظة ذلك من حقيقة أنه عندما تقترب النقطة Q من النقطة P ، يقترب PQ من الظل ويقترب Dr من Ds. الصيغ الخاصة بتمييز منتج ما تشبه الصيغ الخاصة بتمييز منتج وظائف عددية ؛ ومع ذلك ، نظرًا لأن حاصل الضرب الاتجاهي مضاد للتبديل ، يجب الحفاظ على ترتيب الضرب. لهذا،

وهكذا ، نرى أنه إذا كان المتجه دالة لمتغير قياسي واحد ، فيمكننا تمثيل المشتق بنفس الطريقة كما في حالة الدالة العددية.
الحقول المتجهة والحجمية. الانحدار.في الفيزياء ، غالبًا ما يتعين على المرء أن يتعامل مع الكميات المتجهة أو العددية التي تتغير من نقطة إلى أخرى في منطقة معينة. تسمى هذه المناطق "الحقول". على سبيل المثال ، يمكن أن يكون العدد القياسي هو درجة الحرارة أو الضغط ؛ يمكن أن يكون المتجه هو سرعة مائع متحرك أو المجال الكهروستاتيكي لنظام الشحنات. إذا اخترنا بعض أنظمة الإحداثيات ، فإن أي نقطة P (x ، y ، z) في منطقة معينة تتوافق مع بعض متجه نصف القطر r (= xi + yj + zk) وأيضًا قيمة كمية المتجه U (r) أو العددية و (ص) المرتبطة بها. لنفترض أن U و f معرفان بشكل فريد في المجال ؛ أولئك. تتوافق كل نقطة مع قيمة واحدة وقيمة واحدة فقط U أو f ، على الرغم من أن النقاط المختلفة قد يكون لها بالطبع قيم مختلفة. لنفترض أننا نريد وصف المعدل الذي يتغير عنده U و f أثناء تحركنا في هذه المنطقة. المشتقات الجزئية البسيطة ، مثل dU / dx و df / dy ، لا تناسبنا ، لأنها تعتمد على محاور إحداثيات مختارة على وجه التحديد. ومع ذلك ، من الممكن تقديم عامل تفاضل متجه مستقل عن اختيار محاور الإحداثيات ؛ هذا العامل يسمى "التدرج". دعونا نتعامل مع المجال القياسي f. أولاً ، كمثال ، ضع في اعتبارك خريطة محيطية لمنطقة من بلد ما. في هذه الحالة ، f هو الارتفاع فوق مستوى سطح البحر ؛ تربط خطوط الكنتور النقاط بنفس قيمة f. عند التحرك على طول أي من هذه الخطوط ، لا تتغير f ؛ إذا تحركنا عموديًا على هذه الخطوط ، فسيكون معدل تغير f هو الحد الأقصى. يمكننا ربط كل نقطة بمتجه يشير إلى مقدار واتجاه التغيير الأقصى في السرعة f ؛ تظهر هذه الخريطة وبعض هذه النواقل في الشكل. 11. إذا فعلنا هذا لكل نقطة في الحقل ، فسنحصل على حقل متجه مرتبط بالحقل القياسي f. هذا هو حقل المتجه المسمى "التدرج اللوني" f ، والذي تتم كتابته كـ grad f أو Cf (يُطلق على الرمز C أيضًا اسم "nabla").

في حالة الأبعاد الثلاثة ، تصبح الخطوط الكنتورية أسطحًا. يؤدي التحول الصغير Dr (= iDx + jDy + kDz) إلى تغيير في f ، والتي تتم كتابتها كـ

حيث تشير النقاط إلى شروط ترتيب أعلى. يمكن كتابة هذا التعبير كمنتج نقطي

قسّم الجانبين الأيمن والأيسر من هذه المساواة على Ds ، ودع Ds تميل إلى الصفر ؛ ومن بعد

حيث dr / ds هو متجه الوحدة في الاتجاه المختار. التعبير الموجود بين قوسين هو متجه بناءً على النقطة المحددة. لذا فإن df / ds لها قيمة قصوى عندما يشير dr / ds في نفس الاتجاه ، يكون التعبير بين قوسين هو التدرج اللوني. في هذا الطريق،

- متجه يساوي المقدار ويتوافق في الاتجاه مع أقصى معدل لتغير f بالنسبة للإحداثيات. غالبًا ما تتم كتابة التدرج اللوني f كـ

هذا يعني أن العامل C موجود من تلقاء نفسه. في كثير من الحالات ، يتصرف مثل المتجه وهو في الواقع "عامل تفاضل متجه" - أحد أهم العوامل التفاضلية في الفيزياء. على الرغم من حقيقة أن C تحتوي على متجهات الوحدة i و j و k ، إلا أن معناها المادي لا يعتمد على نظام الإحداثيات المختار. ما العلاقة بين Cf و f؟ بادئ ذي بدء ، افترض أن f تحدد الإمكانات في أي وقت. لأي إزاحة صغيرة دكتور ، ستتغير قيمة f بمقدار

إذا كانت q كمية (على سبيل المثال ، كتلة ، شحنة) نقلها Dr ، فإن الشغل المنجز عند تحريك q بواسطة Dr يساوي

بما أن الدكتور هو الإزاحة ، فإن qСf هي القوة ؛ -Cf هو التوتر (القوة لكل وحدة مقدار) المرتبط بـ f. على سبيل المثال ، لنفترض أن U هي الإمكانات الكهروستاتيكية ؛ ثم E هي شدة المجال الكهربائي ، معطاة بالصيغة E = -CU. لنفترض أن U تم إنشاؤه بواسطة شحنة كهربائية نقطية من q coulombs موضوعة في الأصل. تعطى الصيغة قيمة U عند النقطة P (x، y، z) مع متجه نصف القطر r

حيث e0 هو ثابت العزل الكهربائي للمساحة الخالية. لهذا

من هنا يتبع ذلك أن E يعمل في الاتجاه r وأن حجمه يساوي q / (4pe0r3). من خلال معرفة الحقل القياسي ، يمكن تحديد حقل المتجه المرتبط. العكس ممكن أيضا. من وجهة نظر المعالجة الرياضية ، فإن الحقول العددية أسهل في التشغيل من الحقول المتجهة ، حيث يتم تقديمها من خلال وظيفة واحدة من الإحداثيات ، بينما يتطلب حقل المتجه ثلاث وظائف مقابلة لمكونات المتجه في ثلاثة اتجاهات. وبالتالي ، فإن السؤال الذي يطرح نفسه: بالنظر إلى حقل متجه ، هل يمكننا كتابة الحقل القياسي المرتبط به؟
الاختلاف والدوار.لقد رأينا نتيجة تأثير C على دالة عددية. ماذا يحدث إذا تم تطبيق C على متجه؟ هناك احتمالان: دع U (x ، y ، z) يكون متجهًا ؛ عندئذٍ يمكننا تكوين حاصل الضرب العرضي والنقطي على النحو التالي:

أول هذه التعبيرات هو عدد قياسي يسمى divergence لـ U (يُشار إليه divU) ؛ والثاني هو ناقل يسمى الدوار U (يُشار إليه باسم rotU). تستخدم هذه الوظائف التفاضلية ، الاختلاف والتجعيد ، على نطاق واسع في الفيزياء الرياضية. تخيل أن U عبارة عن متجه وأنه ومشتقاته الأولى متصلة في بعض المجالات. لنفترض أن P نقطة في هذه المنطقة محاطة بسطح صغير مغلق S يحيط بالحجم DV. لنفترض أن n متجه وحدة عموديًا على هذا السطح عند كل نقطة (يغير n اتجاهه أثناء تحركه حول السطح ، ولكن دائمًا ما يكون طول الوحدة) ؛ دع ن يشير إلى الخارج. دعونا نظهر ذلك

هنا يشير S إلى أن هذه التكاملات مأخوذة على السطح بأكمله ، da هو عنصر من سطح S. من أجل البساطة ، سنختار الشكل المناسب لـ S في شكل متوازي خط صغير (كما هو موضح في الشكل 12) مع الجوانب Dx و Dy و Dz ؛ النقطة P هي مركز خط الموازي. نحسب التكامل من المعادلة (4) أولاً على وجه واحد من خط الموازي. للوجه الأمامي n = i (متجه الوحدة موازٍ لمحور x) ؛ دا = DyDz. المساهمة في التكامل من الوجه الأمامي تساوي

على الوجه الآخر n = -i ؛ هذا الوجه يساهم في التكامل

باستخدام نظرية تايلور ، نحصل على المساهمة الإجمالية من الوجهين

لاحظ أن DxDyDz = DV. وبالمثل ، يمكن حساب المساهمة من زوجين آخرين من الوجوه. التكامل الكامل يساوي

وإذا قمنا بتعيين DV (r) 0 ، فستختفي شروط الترتيب الأعلى. وفقًا للصيغة (2) ، فإن التعبير الموجود بين قوسين هو divU ، مما يثبت المساواة (4). يمكن إثبات المساواة (5) بنفس الطريقة. دعنا نستخدم التين. 12 ؛ عندئذٍ ستكون المساهمة من الوجه الأمامي للتكامل مساوية لـ

وباستخدام نظرية تايلور ، نحصل على أن المساهمة الإجمالية للتكامل من وجهين لها الشكل

أولئك. هذان المصطلحان من التعبير عن rotU في المعادلة (3). سيتم الحصول على الشروط الأربعة الأخرى بعد الأخذ في الاعتبار مساهمات الوجوه الأربعة الأخرى. ماذا تعني هذه النسب في الواقع؟ النظر في المساواة (4). لنفترض أن U هي السرعة (لسائل ، على سبيل المثال). ثم nЧU da = Un da ​​، حيث Un هو المكون الطبيعي للمتجه U للسطح. لذلك ، Un da ​​هو حجم السائل الذي يتدفق عبر da لكل وحدة زمنية ، وهو حجم السائل الذي يتدفق عبر S لكل وحدة زمنية. بالتالي،

معدل تمدد وحدة الحجم حول النقطة P. حيث يحصل الاختلاف على اسمه ؛ يوضح المعدل الذي يتم فيه تمدد المائع من (أي ينحرف عن) P. لشرح المعنى المادي للعضو الدوار U ، ضع في اعتبارك سطحًا آخر متكاملًا على حجم أسطواني صغير بارتفاع h حول P ؛ يمكن توجيه الأسطح المتوازية المستوية في أي اتجاه نختاره. لنفترض أن k متجه الوحدة عموديًا على كل سطح ، واجعل مساحة كل سطح DA ؛ ثم الحجم الإجمالي DV = hDA (الشكل 13). اعتبر الآن التكامل

المنتج Integrand هو المنتج القياسي الثلاثي المذكور سابقًا. سيكون هذا المنتج صفرًا على الأسطح المستوية حيث k و n متوازيان. على سطح منحن

حيث ds هو عنصر المنحنى كما هو موضح في الشكل. 13. بمقارنة هذه المساواة مع العلاقة (5) ، نحصل على ذلك

ما زلنا نفترض أن U هي السرعة. ما هو متوسط ​​السرعة الزاوية للسائل حول k في هذه الحالة؟ من الواضح أن

إذا كانت DA لا تساوي 0. يكون هذا التعبير بحد أقصى عندما تشير k و rotU في نفس الاتجاه ؛ هذا يعني أن rotU عبارة عن متجه يساوي ضعف السرعة الزاوية للسائل عند النقطة P. إذا كان السائل يدور حول P ، فإن rotU هي # 0 وستدور متجهات U حول P. ومن هنا جاء اسم الدوار. نظرية الاختلاف (نظرية أوستروجرادسكي-غاوس) هي تعميم للصيغة (4) للأحجام المحدودة. تذكر أنه بالنسبة لبعض الحجم V يحده سطح مغلق S ،

المتجه هو كائن رياضي يتميز بالاتجاه والحجم. في الهندسة ، المتجه هو قطعة مستقيمة في مستوى أو في الفضاء ، له اتجاه وطول خاص به.

تدوين المتجه

لتحديد متجه ، يتم استخدام حرف صغير واحد أو حرفين كبيرين ، والتي تتوافق مع بداية ونهاية المتجه ، بينما يتم عرض شرطة أفقية فوق الأحرف. يشير الحرف الأول إلى بداية المتجه ، ويشير الحرف الثاني إلى النهاية (انظر الشكل 1). يُظهر العرض الرسومي للمتجه سهمًا يشير إلى اتجاهه.

ما إحداثيات متجه على المستوى وفي الفضاء؟

إحداثيات المتجه هي معاملات التركيبة الخطية الوحيدة الممكنة من المتجهات الأساسية في نظام الإحداثيات المحدد. يبدو الأمر معقدًا ، لكنه في الواقع بسيط للغاية. لنأخذ مثالا.

لنفترض أننا بحاجة إلى إيجاد إحداثيات المتجه أ. دعنا نضعه في نظام إحداثيات ثلاثي الأبعاد (انظر الشكل 2) وننفذ إسقاطات للمتجه على كل محور. سيتم كتابة المتجه a في هذه الحالة على النحو التالي: a = a x i + a y j + a z k ، حيث i ، j ، k هي متجهات أساسية ، a x ، a y ، a z هي المعاملات التي تحدد إحداثيات المتجه a. سيطلق على التعبير نفسه تركيبة خطية. على المستوى (في نظام الإحداثيات المستطيل) ، تتكون التركيبة الخطية من قاعدتين ومعاملات.

العلاقات المتجهية

في نظرية المتجهات ، يوجد مصطلح مثل نسبة المتجهات. يحدد هذا المفهوم موقع المتجهات بالنسبة لبعضها البعض على المستوى وفي الفضاء. أشهر الحالات الخاصة لعلاقات المتجهات هي:

• علاقة خطية متداخلة.
• الاتجاه المشترك
• الانتماء.
• المساواة.

نواقل خطية تقع على نفس الخط المستقيم أو موازية لبعضها البعض ، متجهات الاتجاه لها نفس الاتجاه ، متجهات متحدة المستوى تقع في نفس المستوى أو في المستويات المتوازية ، المتجهات المتساوية لها نفس الاتجاه والطول.

المتجه هو جزء موجه من خط مستقيم في الفضاء الإقليدي ، حيث يُطلق على أحد الطرفين (النقطة أ) بداية المتجه ، ويسمى الطرف الآخر (النقطة ب) بنهاية المتجه (الشكل 1) . يتم الإشارة إلى النواقل:

إذا كانت بداية ونهاية المتجه هي نفسها ، فسيتم استدعاء المتجه ناقل صفروالمشار إليها 0 .

مثال. دع بداية المتجه في الفضاء ثنائي الأبعاد لها إحداثيات أ(12،6) ، ونهاية المتجه هي الإحداثيات ب(12.6). ثم يكون المتجه متجهًا فارغًا.

طول قطع ABاتصل وحدة (طويل, القاعدة) المتجه ويتم الإشارة إليه بواسطة | أ|. يسمى متجه طوله يساوي واحدًا حتى النصر. بالإضافة إلى المعامل ، يتميز المتجه بالاتجاه: المتجه له اتجاه من أإلى ب. المتجه يسمى المتجه ، عكسالمتجه .

يتم استدعاء المتجهين علاقة خطية متداخلةإذا كانت تقع على نفس الخط أو على خطوط متوازية. في التين. 3 نواقل حمراء متداخلة منذ ذلك الحين أنها تقع على نفس الخط المستقيم ، والمتجهات الزرقاء متداخلة ، لأن تقع على خطوط متوازية. يتم استدعاء متجهين خطيين موجه بالتساويإذا كانت نهاياتهم تقع على نفس الجانب من الخط الذي ينضم إلى بداياتهم. يتم استدعاء متجهين خطيين اتجاهين متعاكسينإذا كانت نهاياتهم تقع على جانبي الخط الذي ينضم إلى بداياتهم. إذا كان هناك متجهان خطيان يقعان على نفس الخط ، فيتم استدعاؤهما بالتساوي بالتوجيه إذا كان أحد الأشعة التي شكلها ناقل واحد يحتوي بالكامل على الشعاع الذي شكله المتجه الآخر. خلاف ذلك ، يتم استدعاء المتجهات الموجهة بشكل معاكس. في الشكل 3 ، المتجهات الزرقاء في نفس الاتجاه والمتجهات الحمراء في الاتجاه المعاكس.

يتم استدعاء المتجهين مساوإذا كانت لديهم وحدات متساوية ويتم توجيههم بشكل متساوٍ. في الشكل 2 ، المتجهات متساوية لأن معاملها متساوية ولها نفس الاتجاه.

يتم استدعاء النواقل متحد المستوىإذا كانوا مستلقين على نفس المستوى أو على مستوى موازٍ.

في نفي فضاء متجه الأبعاد ، ضع في اعتبارك مجموعة جميع المتجهات التي تتطابق نقطة بدايتها مع الأصل. ثم يمكن كتابة المتجه بالشكل التالي:

(1)

أين x 1 ، x 2 ، ... ، x nإحداثيات نقطة نهاية متجه x.

المتجه المكتوب في الشكل (1) يسمى ناقلات التوالي، والمتجه مكتوب كـ

(2)

اتصل ناقلات العمود.

رقم ناتصل البعد (مرتب) المتجه. اذا كان ثم يسمى المتجه ناقل صفر(لأن نقطة البداية للمتجه ). متجهان xو ذمتساوية إذا وفقط إذا كانت العناصر المقابلة لها متساوية.