في هذا الفيديو ، سنحلل مجموعة كاملة من المعادلات الخطية التي تم حلها باستخدام نفس الخوارزمية - ولهذا السبب يطلق عليها الأبسط.

بادئ ذي بدء ، دعنا نحدد: ما هي المعادلة الخطية وأي منها يجب أن يسمى الأبسط؟

المعادلة الخطية هي المعادلة التي يوجد فيها متغير واحد فقط ، وفي الدرجة الأولى فقط.

أبسط معادلة تعني البناء:

يتم تقليل جميع المعادلات الخطية الأخرى إلى أبسط المعادلات باستخدام الخوارزمية:

1. الأقواس المفتوحة ، إن وجدت ؛
2. انقل المصطلحات التي تحتوي على متغير إلى جانب واحد من علامة التساوي ، والمصطلحات التي لا تحتوي على متغير إلى الجانب الآخر ؛
3. أحضر الشروط المتشابهة إلى يسار ويمين علامة التساوي ؛
4. اقسم المعادلة الناتجة على معامل المتغير $ x $.

بالطبع ، هذه الخوارزمية لا تساعد دائمًا. الحقيقة هي أنه في بعض الأحيان ، بعد كل هذه المكائد ، يتضح أن معامل المتغير $ x $ يساوي صفرًا. في هذه الحالة ، هناك خياران ممكنان:

1. المعادلة ليس لها حلول على الإطلاق. على سبيل المثال ، عندما تحصل على شيء مثل $ 0 \ cdot x = 8 $ ، أي على اليسار صفر ، وعلى اليمين رقم غير صفري. في الفيديو أدناه ، سنلقي نظرة على عدة أسباب تجعل هذا الموقف ممكنًا.
2. الحل هو كل الأرقام. الحالة الوحيدة التي يكون فيها ذلك ممكنًا هي عندما يتم تقليل المعادلة إلى البناء $ 0 \ cdot x = 0 $. من المنطقي تمامًا أنه بغض النظر عن قيمة $ x $ التي نعوضها ، ستظل النتيجة "صفر يساوي صفرًا" ، أي المساواة العددية الصحيحة.

والآن دعونا نرى كيف يعمل كل شيء على مثال المشاكل الحقيقية.

أمثلة على حل المعادلات

اليوم نتعامل مع المعادلات الخطية ، وأبسطها فقط. بشكل عام ، المعادلة الخطية تعني أي مساواة تحتوي على متغير واحد بالضبط ، وتنتقل فقط إلى الدرجة الأولى.

يتم حل هذه الإنشاءات بنفس الطريقة تقريبًا:

1. بادئ ذي بدء ، تحتاج إلى فتح الأقواس ، إن وجدت (كما في مثالنا الأخير) ؛
2. ثم أحضر ما شابه
3. أخيرًا ، اعزل المتغير ، أي كل ما يرتبط بالمتغير - المصطلحات التي يحتوي عليها - ينتقل إلى جانب ، وكل ما يبقى بدونه ينتقل إلى الجانب الآخر.

بعد ذلك ، كقاعدة عامة ، تحتاج إلى إحضار متشابه في كل جانب من جوانب المساواة الناتجة ، وبعد ذلك يبقى فقط القسمة على المعامل عند "x" ، وسنحصل على الإجابة النهائية.

من الناحية النظرية ، يبدو هذا لطيفًا وبسيطًا ، ولكن من الناحية العملية ، يمكن حتى لطلاب المدارس الثانوية ذوي الخبرة ارتكاب أخطاء هجومية في معادلات خطية بسيطة إلى حد ما. عادة ، يتم ارتكاب الأخطاء إما عند فتح الأقواس ، أو عند حساب "الإيجابيات" و "السلبيات".

بالإضافة إلى ذلك ، يحدث أن المعادلة الخطية ليس لها حلول على الإطلاق ، أو أن الحل هو خط الأعداد بالكامل ، أي أي رقم. سنقوم بتحليل هذه التفاصيل الدقيقة في درس اليوم. لكننا سنبدأ ، كما فهمت بالفعل ، بأبسط المهام.

مخطط لحل المعادلات الخطية البسيطة

بادئ ذي بدء ، اسمحوا لي مرة أخرى أن أكتب المخطط بأكمله لحل أبسط المعادلات الخطية:

1. قم بتوسيع الأقواس ، إن وجدت.
2. المتغيرات المنعزلة ، أي يتم نقل كل ما يحتوي على "x" إلى جانب ، وبدون "x" - إلى الجانب الآخر.
3. نقدم شروط مماثلة.
4. نقسم كل شيء على المعامل عند "x".

بالطبع ، لا يعمل هذا المخطط دائمًا ، فهو يحتوي على بعض التفاصيل الدقيقة والحيل ، والآن سنتعرف عليها.

حل أمثلة حقيقية لمعادلات خطية بسيطة

مهمة 1

في الخطوة الأولى ، نحن مطالبون بفتح الأقواس. لكنهم ليسوا في هذا المثال ، لذلك نتخطى هذه الخطوة. في الخطوة الثانية ، علينا عزل المتغيرات. يرجى ملاحظة ما يلي: نحن نتحدث فقط عن المصطلحات الفردية. دعنا نكتب:

نعطي مصطلحات متشابهة على اليسار واليمين ، ولكن تم القيام بذلك بالفعل هنا. لذلك ننتقل إلى الخطوة الرابعة: قسمة عامل:

\ [\ frac (6x) (6) = - \ frac (72) (6) \]

هنا حصلنا على الجواب.

المهمة رقم 2

في هذه المهمة ، يمكننا ملاحظة الأقواس ، لذلك دعونا نوسعها:

على كل من اليسار واليمين ، نرى نفس البنية تقريبًا ، لكن دعنا نتصرف وفقًا للخوارزمية ، أي متغيرات العزل:

فيما يلي بعض مثل:

في أي جذور يعمل هذا؟ الجواب: لأي. لذلك ، يمكننا كتابة أن $ x $ هو أي رقم.

المهمة رقم 3

المعادلة الخطية الثالثة هي بالفعل أكثر إثارة للاهتمام:

\ [\ يسار (6-x \ يمين) + \ يسار (12 + x \ يمين) - \ يسار (3-2x \ يمين) = 15 \]

يوجد العديد من الأقواس هنا ، لكن لم يتم ضربهم بأي شيء ، بل لديهم فقط إشارات مختلفة أمامهم. دعنا نقسمهم:

نقوم بالخطوة الثانية التي نعرفها بالفعل:

\ [- س + س + 2 س = 15-6-12 + 3 \]

دعنا نحسب:

نقوم بالخطوة الأخيرة - نقسم كل شيء على المعامل عند "x":

\ [\ frac (2x) (x) = \ frac (0) (2) \]

أشياء يجب تذكرها عند حل المعادلات الخطية

إذا تجاهلنا المهام البسيطة جدًا ، فأود أن أقول ما يلي:

• كما قلت أعلاه ، ليس لكل معادلة خطية حل - في بعض الأحيان ببساطة لا توجد جذور ؛
• حتى لو كانت هناك جذور ، فإن الصفر يمكن أن يدخل بينها - فلا حرج في ذلك.

الصفر هو نفس الرقم مثل الباقي ، فلا يجب أن تميزه بطريقة ما أو تفترض أنك إذا حصلت على صفر ، فهذا يعني أنك فعلت شيئًا خاطئًا.

ميزة أخرى تتعلق بتوسيع الأقواس. يرجى ملاحظة: عندما يكون هناك "ناقص" أمامهم ، نقوم بإزالته ، ولكن بين قوسين نغير العلامات إلى عكس. وبعد ذلك يمكننا فتحه وفقًا للخوارزميات القياسية: سنحصل على ما رأيناه في الحسابات أعلاه.

سيساعدك فهم هذه الحقيقة البسيطة على تجنب ارتكاب أخطاء غبية ومؤلمة في المدرسة الثانوية ، عندما يكون القيام بمثل هذه الإجراءات أمرًا مفروغًا منه.

حل المعادلات الخطية المعقدة

دعنا ننتقل إلى معادلات أكثر تعقيدًا. الآن ستصبح الإنشاءات أكثر تعقيدًا وستظهر وظيفة تربيعية عند إجراء تحويلات مختلفة. ومع ذلك ، لا ينبغي أن تخاف من هذا ، لأنه إذا قمنا ، وفقًا لنية المؤلف ، بحل معادلة خطية ، فعندئذ في عملية التحويل ، سيتم بالضرورة تقليل جميع المونوميرات التي تحتوي على دالة تربيعية.

مثال 1

من الواضح أن الخطوة الأولى هي فتح الأقواس. لنفعل هذا بعناية شديدة:

لنأخذ الآن الخصوصية:

\ [- س + 6 ((س) ^ (2)) - 6 ((س) ^ (2)) + س = -12 \]

فيما يلي بعض مثل:

من الواضح أن هذه المعادلة ليس لها حلول ، لذلك نكتب في الإجابة على النحو التالي:

\[\تشكيلة \]

أو لا جذور.

المثال رقم 2

نقوم بنفس الخطوات. الخطوة الأولى:

لننقل كل شيء باستخدام متغير إلى اليسار ، وبدونه - إلى اليمين:

فيما يلي بعض مثل:

من الواضح أن هذه المعادلة الخطية ليس لها حل ، لذلك نكتبها على النحو التالي:

\ [\ varnothing \] ،

أو لا جذور.

الفروق الدقيقة في الحل

تم حل المعادلتين بالكامل. في مثال هذين التعبيرين ، تأكدنا مرة أخرى أنه حتى في أبسط المعادلات الخطية ، لا يمكن أن يكون كل شيء بهذه البساطة: يمكن أن يكون هناك واحد ، أو لا شيء ، أو عدد لا نهائي. في حالتنا هذه ، درسنا معادلتين ، في كلتا الحالتين ببساطة لا توجد جذور.

لكني أود أن ألفت انتباهك إلى حقيقة أخرى: كيفية التعامل مع الأقواس وكيفية توسيعها إذا كانت أمامها علامة ناقص. ضع في اعتبارك هذا التعبير:

قبل الفتح ، تحتاج إلى ضرب كل شيء في "x". يرجى ملاحظة: الضرب كل مصطلح على حدة. يوجد في الداخل حدان - على التوالي ، حدين ومضروب.

وفقط بعد اكتمال هذه التحولات التي تبدو أولية ، ولكنها مهمة جدًا وخطيرة ، يمكن فتح القوس من وجهة نظر أن هناك علامة ناقص بعده. نعم ، نعم: الآن فقط ، عندما تتم التحولات ، نتذكر أن هناك علامة ناقص أمام الأقواس ، مما يعني أن كل شيء أدناه يغير الإشارات فقط. في الوقت نفسه ، تختفي الأقواس نفسها ، والأهم من ذلك ، تختفي علامة "ناقص" الأمامية أيضًا.

نفعل الشيء نفسه مع المعادلة الثانية:

ليس من قبيل المصادفة أن أنتبه لهذه الحقائق الصغيرة التي تبدو غير مهمة. لأن حل المعادلات هو دائمًا سلسلة من التحولات الأولية ، حيث يؤدي عدم القدرة على أداء إجراءات بسيطة بوضوح وكفاءة إلى حقيقة أن طلاب المدارس الثانوية يأتون إلي ويتعلمون حل مثل هذه المعادلات البسيطة مرة أخرى.

بالطبع ، سيأتي اليوم الذي ستصقل فيه هذه المهارات إلى الأتمتة. لم تعد مضطرًا لإجراء العديد من التحولات في كل مرة ، بل ستكتب كل شيء في سطر واحد. لكن بينما تتعلم فقط ، تحتاج إلى كتابة كل إجراء على حدة.

حل المعادلات الخطية الأكثر تعقيدًا

ما سنحله الآن بالكاد يمكن أن يسمى أبسط مهمة ، لكن المعنى يظل كما هو.

مهمة 1

\ [\ يسار (7x + 1 \ يمين) \ يسار (3x-1 \ يمين) -21 ((x) ^ (2)) = 3 \]

لنضرب كل العناصر في الجزء الأول:

لنقم بالتراجع:

فيما يلي بعض مثل:

لنقم بالخطوة الأخيرة:

\ [\ frac (-4x) (4) = \ frac (4) (- 4) \]

ها هي إجابتنا النهائية. وعلى الرغم من حقيقة أنه في عملية الحل كان لدينا معاملات ذات دالة تربيعية ، إلا أنها تلغى بعضها بشكل متبادل ، مما يجعل المعادلة خطية تمامًا وليست مربعة.

المهمة رقم 2

\ [\ يسار (1-4x \ يمين) \ يسار (1-3x \ يمين) = 6x \ يسار (2x-1 \ يمين) \]

لنقم بالخطوة الأولى بعناية: اضرب كل عنصر في القوس الأول في كل عنصر في الثاني. في المجموع ، يجب الحصول على أربعة شروط جديدة بعد التحولات:

والآن قم بإجراء الضرب بعناية في كل حد:

لننقل المصطلحات مع "x" إلى اليسار ، وبدون - إلى اليمين:

\ [- 3x-4x + 12 ((x) ^ (2)) - 12 ((x) ^ (2)) + 6x = -1 \]

فيما يلي مصطلحات متشابهة:

لقد تلقينا إجابة نهائية.

الفروق الدقيقة في الحل

أهم ملاحظة حول هاتين المعادلتين هي: بمجرد أن نبدأ في ضرب الأقواس التي يوجد فيها أكثر من حد ، يتم ذلك وفقًا للقاعدة التالية: نأخذ المصطلح الأول من الأول ونضرب مع كل عنصر من الثاني ثم نأخذ العنصر الثاني من الأول ونضرب بالمثل مع كل عنصر من العنصر الثاني. نتيجة لذلك ، نحصل على أربعة حدود.

على المجموع الجبري

مع المثال الأخير ، أود أن أذكر الطلاب ما هو المجموع الجبري. في الرياضيات الكلاسيكية ، نعني بـ1-7 دولارات بناءًا بسيطًا: نطرح سبعة من واحد. في الجبر ، نعني بهذا ما يلي: إلى الرقم "واحد" نضيف عددًا آخر ، وهو "ناقص سبعة". يختلف هذا المجموع الجبري عن المجموع الحسابي المعتاد.

بمجرد إجراء جميع التحويلات ، كل إضافة وضرب ، تبدأ في رؤية هياكل مشابهة لتلك الموضحة أعلاه ، لن تواجه أي مشاكل في الجبر عند العمل مع كثيرات الحدود والمعادلات.

في الختام ، دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة الأخرى التي ستكون أكثر تعقيدًا من تلك التي نظرنا إليها للتو ، ومن أجل حلها ، سيتعين علينا توسيع الخوارزمية القياسية لدينا بشكل طفيف.

حل المعادلات بكسر

لحل مثل هذه المهام ، يجب إضافة خطوة أخرى إلى الخوارزمية الخاصة بنا. لكن أولاً ، سوف أذكر الخوارزمية الخاصة بنا:

1. أقواس مفتوحة.
2. متغيرات منفصلة.
3. إحضار ما شابه.
4. اقسم على عامل.

للأسف ، هذه الخوارزمية الرائعة ، بكل كفاءتها ، ليست مناسبة تمامًا عندما يكون لدينا كسور أمامنا. وفي ما سنراه أدناه ، لدينا كسر على اليسار وعلى اليمين في كلا المعادلتين.

كيف تعمل في هذه الحالة؟ نعم ، الأمر بسيط للغاية! للقيام بذلك ، تحتاج إلى إضافة خطوة أخرى إلى الخوارزمية ، والتي يمكن إجراؤها قبل الإجراء الأول وبعده ، أي التخلص من الكسور. وبالتالي ، ستكون الخوارزمية على النحو التالي:

1. تخلص من الكسور.
2. أقواس مفتوحة.
3. متغيرات منفصلة.
4. إحضار ما شابه.
5. اقسم على عامل.

ماذا يعني "التخلص من الكسور"؟ ولماذا من الممكن القيام بذلك بعد الخطوة القياسية الأولى وقبلها؟ في الواقع ، في حالتنا جميع الكسور عددية من حيث المقام ، أي في كل مكان يكون المقام مجرد رقم. لذلك ، إذا ضربنا كلا الجزأين من المعادلة في هذا العدد ، فسوف نتخلص من الكسور.

مثال 1

\ [\ frac (\ left (2x + 1 \ right) \ left (2x-3 \ right)) (4) = ((x) ^ (2)) - 1 \]

دعنا نتخلص من الكسور في هذه المعادلة:

\ [\ frac (\ left (2x + 1 \ right) \ left (2x-3 \ right) \ cdot 4) (4) = \ left (((x) ^ (2)) - 1 \ right) \ cdot 4 \]

يرجى ملاحظة: كل شيء مضروب في "أربعة" مرة واحدة ، أي فقط لأن لديك قوسين لا يعني أنه عليك ضرب كل منهما في "أربعة". دعنا نكتب:

\ [\ يسار (2x + 1 \ يمين) \ يسار (2x-3 \ يمين) = \ يسار (((x) ^ (2)) - 1 \ يمين) \ cdot 4 \]

لنفتحه الآن:

نقوم بعزل المتغير:

نقوم بتخفيض المصطلحات المماثلة:

\ [- 4x = -1 \ يسار | : \ يسار (-4 \ يمين) \ يمين. \]

\ [\ frac (-4x) (- 4) = \ frac (-1) (- 4) \]

لقد تلقينا الحل النهائي ، ننتقل إلى المعادلة الثانية.

المثال رقم 2

\ [\ frac (\ left (1-x \ right) \ left (1 + 5x \ right)) (5) + ((x) ^ (2)) = 1 \]

هنا نقوم بنفس الإجراءات:

\ [\ frac (\ left (1-x \ right) \ left (1 + 5x \ right) \ cdot 5) (5) + ((x) ^ (2)) \ cdot 5 = 5 \]

\ [\ frac (4x) (4) = \ frac (4) (4) \]

تم حل المشكلة.

هذا ، في الواقع ، هو كل ما أردت أن أقوله اليوم.

النقاط الرئيسية

النتائج الرئيسية هي كما يلي:

• تعرف على الخوارزمية لحل المعادلات الخطية.
• القدرة على فتح الأقواس.
• لا تقلق إذا كان لديك وظائف تربيعية في مكان ما ، على الأرجح ، في عملية مزيد من التحولات ، سيتم تقليلها.
• جذور المعادلات الخطية ، حتى أبسطها ، تتكون من ثلاثة أنواع: جذر واحد ، خط الأعداد بالكامل جذر ، لا توجد جذور على الإطلاق.

آمل أن يساعدك هذا الدرس في إتقان موضوع بسيط ولكنه مهم جدًا لفهم الرياضيات بشكل أكبر. إذا كان هناك شيء غير واضح ، فانتقل إلى الموقع ، وحل الأمثلة المقدمة هناك. ابق على اتصال ، هناك العديد من الأشياء المثيرة للاهتمام في انتظارك!

استخدام المعادلات منتشر في حياتنا. يتم استخدامها في العديد من العمليات الحسابية ، وبناء الهياكل وحتى الرياضة. استخدم الإنسان المعادلات منذ العصور القديمة ومنذ ذلك الحين ازداد استخدامها فقط. معادلات القوة أو الأسية تسمى المعادلات التي تكون فيها المتغيرات في قوى ، والأساس عبارة عن رقم. على سبيل المثال:

ينخفض ​​حل المعادلة الأسية إلى خطوتين بسيطتين إلى حد ما:

1. من الضروري التحقق مما إذا كانت قواعد المعادلة على اليمين واليسار متطابقة. إذا لم تكن الأسس هي نفسها ، فإننا نبحث عن خيارات لحل هذا المثال.

2. بعد أن تصبح القواعد كما هي ، نقوم بمساواة الدرجات وحل المعادلة الجديدة الناتجة.

لنفترض أننا حصلنا على معادلة أسية بالشكل التالي:

يجدر البدء في حل هذه المعادلة بتحليل القاعدة. الأساسيان مختلفان - 2 و 4 ، وللحل نحتاج إلى أن يكونا متطابقين ، لذلك نقوم بتحويل 4 وفقًا للصيغة التالية - \ [(a ^ n) ^ m = a ^ (nm): \]

أضف إلى المعادلة الأصلية:

دعونا نخرج الأقواس \

يعبر \

نظرًا لأن الدرجات متشابهة ، فإننا نتجاهلها:

إجابه: \

أين يمكنني حل معادلة أسية عبر الإنترنت باستخدام محلل؟

يمكنك حل المعادلة على موقعنا https: // site. سيسمح لك برنامج الحل المجاني عبر الإنترنت بحل معادلة عبر الإنترنت لأي تعقيد في ثوانٍ. كل ما عليك فعله هو فقط إدخال بياناتك في الحل. يمكنك أيضًا مشاهدة تعليمات الفيديو ومعرفة كيفية حل المعادلة على موقعنا. وإذا كانت لديك أي أسئلة ، فيمكنك طرحها في مجموعة فكونتاكتي http://vk.com/pocketteacher. انضم إلى مجموعتنا ، يسعدنا دائمًا مساعدتك.

في مرحلة التحضير للاختبار النهائي ، يحتاج طلاب المدارس الثانوية إلى تحسين معرفتهم حول موضوع "المعادلات الأسية". تشير تجربة السنوات الماضية إلى أن مثل هذه المهام تسبب بعض الصعوبات لأطفال المدارس. لذلك ، يحتاج طلاب المدارس الثانوية ، بغض النظر عن مستوى إعدادهم ، إلى إتقان النظرية بعناية وحفظ الصيغ وفهم مبدأ حل هذه المعادلات. بعد تعلم كيفية التعامل مع هذا النوع من المهام ، سيتمكن الخريجون من الاعتماد على درجات عالية عند اجتياز اختبار الرياضيات.

استعد للاختبار مع شكولكوفو!

عند تكرار المواد التي تمت تغطيتها ، يواجه العديد من الطلاب مشكلة إيجاد الصيغ اللازمة لحل المعادلات. الكتاب المدرسي ليس دائمًا في متناول اليد ، واختيار المعلومات الضرورية حول موضوع ما على الإنترنت يستغرق وقتًا طويلاً.

تدعو البوابة التعليمية Shkolkovo الطلاب لاستخدام قاعدة المعرفة الخاصة بنا. نحن نطبق طريقة جديدة تمامًا للتحضير للاختبار النهائي. من خلال الدراسة على موقعنا ، ستتمكن من تحديد الفجوات المعرفية والاهتمام بدقة بتلك المهام التي تسبب أكبر الصعوبات.

قام معلمو "شكولكوفو" بجمع وتنظيم وتقديم جميع المواد اللازمة لاجتياز الامتحان بنجاح في أبسط أشكال وأسهل طريقة للوصول إليها.

يتم تقديم التعريفات والصيغ الرئيسية في قسم "المرجع النظري".

لاستيعاب المواد بشكل أفضل ، نوصيك بممارسة المهام. راجع بعناية أمثلة المعادلات الأسية مع الحلول المقدمة في هذه الصفحة لفهم خوارزمية الحساب. بعد ذلك ، تابع المهام في قسم "الكتالوجات". يمكنك البدء بأسهل المهام أو الانتقال مباشرة إلى حل المعادلات الأسية المعقدة مع العديد من المجاهيل أو. يتم استكمال وتحديث قاعدة بيانات التمارين على موقعنا باستمرار.

يمكن إضافة تلك الأمثلة مع المؤشرات التي سببت لك صعوبات إلى "المفضلة". حتى تتمكن من العثور عليها بسرعة ومناقشة الحل مع المعلم.

لاجتياز الامتحان بنجاح ، ادرس على بوابة شكولكوفو كل يوم!

سنقوم بتحليل نوعين من أنظمة حل المعادلات:

1. حل النظام بطريقة الاستبدال.
2. حل النظام عن طريق الجمع (الطرح) لكل مصطلح من معادلات النظام.

من أجل حل نظام المعادلات طريقة الاستبدالتحتاج إلى اتباع خوارزمية بسيطة:
1. نحن نعبر. من أي معادلة ، نعبر عن متغير واحد.
2. البديل. نعوض في معادلة أخرى بدلاً من المتغير المعبر عنه ، القيمة الناتجة.
3. نحل المعادلة الناتجة بمتغير واحد. نجد حلا للنظام.

لتحل النظام عن طريق الجمع مصطلحًا تلو الآخر (الطرح)يحتاج:
1. حدد متغيرًا سنقوم بعمل نفس المعاملات له.
2. نجمع أو نطرح المعادلات ، ونتيجة لذلك نحصل على معادلة بمتغير واحد.
3. نحل المعادلة الخطية الناتجة. نجد حلا للنظام.

حل النظام هو نقاط تقاطع الرسوم البيانية للدالة.

دعونا نفكر بالتفصيل في حل الأنظمة باستخدام الأمثلة.

مثال 1:

لنحل بطريقة التعويض

حل جملة المعادلات بطريقة التعويض

2 س + 5 ص = 1 (1 معادلة)
x-10y = 3 (المعادلة الثانية)

1. صريح
يمكن ملاحظة أنه في المعادلة الثانية يوجد متغير x بمعامل 1 ، ومن ثم اتضح أنه من الأسهل التعبير عن المتغير x من المعادلة الثانية.
س = 3 + 10 ص

2. بعد التعبير ، نعوض بـ 3 + 10y في المعادلة الأولى بدلاً من المتغير x.
2 (3 + 10 ص) + 5 ص = 1

3. نحل المعادلة الناتجة بمتغير واحد.
2 (3 + 10y) + 5y = 1 (بين قوسين مفتوحين)
6 + 20 ص + 5 ص = 1
25 ص = 1-6
25 ص = -5 |: (25)
ص = -5: 25
ص = -0.2

حل نظام المعادلة هو نقطتا تقاطع الرسوم البيانية ، لذلك علينا إيجاد س وص ، لأن نقطة التقاطع تتكون من س وص. لنجد س ، في الفقرة الأولى التي عوضنا فيها عن ص.
س = 3 + 10 ص
س = 3 + 10 * (- 0.2) = 1

من المعتاد كتابة النقاط في المقام الأول ، نكتب المتغير x ، وفي المرتبة الثانية نكتب المتغير y.
الجواب: (1 ؛ -0.2)

المثال الثاني:

دعنا نحل عن طريق الجمع كل حد على حدة (الطرح).

حل نظام المعادلات بطريقة الجمع

3 س -2 ص = 1 (1 معادلة)
2x-3y = -10 (المعادلة الثانية)

1. حدد متغيرًا ، دعنا نقول إننا نختار x. في المعادلة الأولى ، المتغير x له معامل 3 ، في المعادلة الثانية - 2. نحن بحاجة إلى جعل المعاملتين متماثلتين ، لذلك لدينا الحق في ضرب المعادلات أو القسمة على أي رقم. نضرب المعادلة الأولى في 2 ، والثانية في 3 ونحصل على معامل إجمالي قدره 6.

3 س -2 ص = 1 | * 2
6 س -4 ص = 2

2x-3y = -10 | * 3
6 س -9 ص = -30

2. من المعادلة الأولى ، اطرح الثانية للتخلص من المتغير x حل المعادلة الخطية.
__6x-4y = 2

5 ص = 32 | :خمسة
ص = 6.4

3. ابحث عن x. نعوض بالموجد y في أي من المعادلات ، لنقل في المعادلة الأولى.
3 س -2 ص = 1
3 × 2 * 6.4 = 1
3 س -12.8 = 1
3 س = 1 + 12.8
3 س = 13.8 |: 3
س = 4.6

ستكون نقطة التقاطع س = 4.6 ؛ ص = 6.4
الجواب: (4.6 ؛ 6.4)

هل تريد التحضير للامتحانات مجانا؟ مدرس على الإنترنت مجاني. لا تمزح.

المعادلات

كيف تحل المعادلات؟

في هذا القسم ، سوف نتذكر (أو ندرس - كما يحب أي شخص) أكثر المعادلات الأولية. إذن ما هي المعادلة؟ عند الحديث عن المصطلحات البشرية ، هذا نوع من التعبير الرياضي ، حيث توجد علامة يساوي ومجهول. الذي عادة ما يشار إليه بالحرف "X". حل المعادلةهو إيجاد قيم x التي عند الاستبدال بها أصليالتعبير ، سيعطينا الهوية الصحيحة. دعني أذكرك أن الهوية تعبير لا يثير الشكوك حتى بالنسبة لشخص غير مثقل بالمعرفة الرياضية. مثل 2 = 2 ، 0 = 0 ، أب = أب ، إلخ. إذن كيف تحل المعادلات؟دعونا نفهم ذلك.

هناك كل أنواع المعادلات (لقد فوجئت ، أليس كذلك؟). لكن كل تنوعها اللامتناهي يمكن تقسيمه إلى أربعة أنواع فقط.

4. آخر.)

كل ما تبقى ، بالطبع ، الأهم من ذلك كله ، نعم ...) وهذا يشمل التكعيبي ، والأسي ، واللوغاريتمي ، والمثلثي ، وجميع أنواع أخرى. سنعمل عن كثب معهم في الأقسام ذات الصلة.

يجب أن أقول على الفور أنه في بعض الأحيان تكون معادلات الأنواع الثلاثة الأولى محطمة للغاية بحيث لا يمكنك التعرف عليها ... لا شيء. سوف نتعلم كيف نريحهم.

ولماذا نحتاج إلى هذه الأنواع الأربعة؟ ثم ماذا المعادلات الخطيةبطريقة واحدة ميدانالآخرين عقلاني كسري - الثالث ،أ راحةلم تحل على الإطلاق! حسنًا ، ليس الأمر أنهم لم يقرروا على الإطلاق ، لقد أساءت للرياضيات عبثًا.) إنه فقط لأن لديهم تقنياتهم وأساليبهم الخاصة.

لكن لأي (أكرر - ل أي!) المعادلات هي أساس موثوق وخالي من المشاكل لحلها. يعمل في كل مكان ودائما. هذه القاعدة - تبدو مخيفة ، لكن الشيء بسيط للغاية. وجدا (للغاية!)الأهمية.

في الواقع ، يتكون حل المعادلة من نفس هذه التحولات. بنسبة 99٪. أجب على السؤال: " كيف تحل المعادلات؟"الأكاذيب ، فقط في هذه التحولات. هل التلميح واضح؟)

تحويلات الهوية في المعادلات.

في أي معادلاتللعثور على المجهول ، من الضروري تحويل وتبسيط المثال الأصلي. علاوة على ذلك ، بحيث عند تغيير المظهر جوهر المعادلة لم يتغير.تسمى هذه التحولات تطابقأو ما يعادلها.

لاحظ أن هذه التحولات فقط للمعادلات.في الرياضيات ، لا تزال هناك تحولات متطابقة التعبيرات.هذا موضوع آخر.

الآن سنكرر كل شيء أساسي تحولات متطابقة من المعادلات.

أساسي لأنه يمكن تطبيقها على أيالمعادلات - الخطية ، التربيعية ، الكسرية ، المثلثية ، الأسية ، اللوغاريتمية ، إلخ. إلخ.

أول تحول متطابق: يمكن إضافة طرفي أي معادلة (مطروح) أي(لكن نفس الشيء!) رقم أو تعبير (بما في ذلك تعبير مجهول!). جوهر المعادلة لا يتغير.

بالمناسبة ، لقد استخدمت هذا التحول باستمرار ، كنت تعتقد فقط أنك تقوم بنقل بعض المصطلحات من جزء من المعادلة إلى جزء آخر مع تغيير علامة. يكتب:

الأمر مألوف ، ننقل الشيطان إلى اليمين ، ونحصل على:

في الواقع أنت تم استبعاده او تم اخذهمن كلا طرفي المعادلة. النتيجة هي نفسها:

x + 2 - 2 = 3 - 2

إن نقل المصطلحات إلى اليسار واليمين مع تغيير العلامة هو ببساطة نسخة مختصرة من أول تحويل مماثل. ولماذا نحتاج إلى مثل هذه المعرفة العميقة؟ - أنت تسأل. لا شيء في المعادلات. حركها في سبيل الله. فقط لا تنسى تغيير العلامة. لكن في حالات عدم المساواة ، يمكن أن تؤدي عادة التحويل إلى طريق مسدود ....

التحول الثاني للهوية: يمكن ضرب (قسمة) كلا طرفي المعادلة في نفس الشيء غير صفريةرقم أو تعبير. يظهر هنا قيد مفهوم: من الغباء الضرب في الصفر ، لكن من المستحيل القسمة على الإطلاق. هذا هو التحول الذي تستخدمه عندما تقرر شيئًا رائعًا مثل

من المفهوم ، X= 2. لكن كيف وجدتها؟ اختيار؟ أو أضاءت للتو؟ لكي لا تلتقط البصيرة وتنتظرها ، عليك أن تفهم أنك فقط اقسم طرفي المعادلةبمقدار 5. عند قسمة الجانب الأيسر (5x) ، تم تقليل الخمسة ، تاركًا X نقية. وهو ما نحتاجه. وعند قسمة الجانب الأيمن من (10) على خمسة ، اتضح ، بالطبع ، أنه شيطان.

هذا كل شئ.

إنه أمر مضحك ، لكن هذين التحولين المتطابقين (اثنان فقط!) هما أساس الحل كل معادلات الرياضيات.كيف! من المنطقي أن ننظر إلى أمثلة على ماذا وكيف ، أليس كذلك؟)

أمثلة على تحويلات متطابقة من المعادلات. المشاكل الرئيسية.

دعنا نبدء ب أولتحول متطابق. تحرك من اليسار إلى اليمين.

مثال للصغار.)

لنفترض أننا بحاجة إلى حل المعادلة التالية:

3-2x = 5-3x

دعونا نتذكر التعويذة: "مع X - إلى اليسار ، بدون X - إلى اليمين!"هذه التعويذة هي تعليمات لتطبيق أول تحويل للهوية.) ما هو التعبير الذي يحتوي على x على اليمين؟ 3x؟ الجواب خاطئ! على يميننا - 3x! ناقصثلاثة x! لذلك ، عند الانتقال إلى اليسار ، ستتغير العلامة إلى زائد. يحصل:

3-2 س + 3 س = 5

لذلك ، تم وضع علامات X معًا. لنقم بالأعداد. ثلاثة على اليسار. ما علامة؟ الجواب "بلا" غير مقبول!) أمام الثلاثية ، في الواقع ، لا شيء مرسوم. وهذا يعني أن أمام الثلاثي هو زائد.لذلك وافق علماء الرياضيات. لا شيء مكتوب ، لذلك زائد.لذلك ، سيتم نقل الثلاثي إلى الجانب الأيمن مع ناقص.نحن نحصل:

-2 س + 3 س = 5-3

هناك مساحات فارغة متبقية. على اليسار - أعط متشابهة ، على اليمين - عد. الجواب فوري:

في هذا المثال ، كان تحويل واحد مماثل كافيًا. الثانية لم تكن هناك حاجة. حسنًا ، حسنًا.)

مثال للشيوخ.)

إذا أعجبك هذا الموقع ...

بالمناسبة ، لديّ موقعان أكثر تشويقًا لك).

يمكنك التدرب على حل الأمثلة ومعرفة مستواك. الاختبار مع التحقق الفوري. التعلم - باهتمام!)

يمكنك التعرف على الوظائف والمشتقات.