الموضوع: حساب مساحة الشكل المسطح باستخدام تكامل محدد

المهام: تعلم التعريف والصيغ لإيجاد منطقة شبه منحرف منحني الأضلاع ؛

النظر في حالات مختلفة لإيجاد منطقة شبه منحرف منحني الأضلاع ؛

كن قادرًا على حساب مساحة شبه منحرف منحني الأضلاع.

يخطط:

منحني الشكل شبه منحرف.

صيغ لحساب مساحة شبه منحرف منحني الأضلاع.

منحني الشكل شبه منحرفيسمى الشكل ، وهو مقيد بالرسم البياني لوظيفة مستمرة غير سالبة f (x) على الفاصل الزمني ، ومقاطع الخط x = a و x = b ، وكذلك جزء من المحور x بين النقاط a وب.

صور شبه منحنية الخطوط:

الآن دعنا ننتقل إلى الخيارات الممكنة لموقع الأشكال ، مساحة التي يجب حسابها على مستوى الإحداثيات.

أولاً سيكون هناك أبسط خيار (الصورة الأولى) ، المعتاد منحني الأضلاع شبه منحرف، كما في التعريف. ليست هناك حاجة لاختراع أي شيء هنا ، فقط خذ التكامل من أقبل بمن الوظيفة و (خ). نجد التكامل - سنعرف مساحة هذا شبه المنحرف.


في ثانيا الخيار ، لن يقتصر رقمنا على المحور السيني ، ولكن بدالة أخرى ز (س). لذلك ، للعثور على المنطقة CEFD، علينا أولاً إيجاد المساحة AEFB(باستخدام تكامل و (خ)) ، ثم ابحث عن المنطقة ACDB(باستخدام تكامل ز (س)). والمساحة المطلوبة من الشكل CEFD، سيكون الفرق بين المنطقتين الأولى والثانية من شبه المنحرف المنحني الخطي. نظرًا لأن حدود التكامل هي نفسها هنا ، يمكن كتابة كل هذا تحت تكامل واحد (انظر الصيغ أسفل الشكل) كل هذا يتوقف على مدى تعقيد الوظائف ، وفي هذه الحالة سيكون من الأسهل العثور على التكامل.



ثالث يشبه إلى حد كبير الأول ، ولكن فقط شبه منحرف لدينا يتم وضعه ، وليس فوق المحور السينيوتحتها. لذلك ، هنا يجب أن نأخذ نفس التكامل ، فقط بعلامة ناقص ، لأن قيمة التكامل ستكون سالبة ، وقيمة المنطقة يجب أن تكون موجبة. إذا بدلا من وظيفة و (خ)تأخذ وظيفة -f (س)، فسيكون الرسم البياني الخاص به هو نفسه معروضًا بشكل متماثل ببساطة بالنسبة إلى المحور x.


و الرابعخيار عندما يكون جزء من الشكل أعلى المحور السيني والجزء السفلي منه. لذلك ، يجب علينا أولًا إيجاد مساحة الشكل AEFB، كما في الإصدار الأول ، ثم مساحة الشكل ا ب ت ثكما في الخيار الثالث ثم قم بإضافتها. نتيجة لذلك ، نحصل على مساحة الشكل DEFC. نظرًا لأن حدود التكامل هي نفسها هنا ، يمكن كتابة كل هذا تحت تكامل واحد (انظر الصيغ أسفل الشكل) كل هذا يتوقف على مدى تعقيد الوظائف ، وفي هذه الحالة سيكون من الأسهل العثور على التكامل.

أسئلة للفحص الذاتي:

ما هو الشكل الذي يسمى شبه منحرف منحني الأضلاع؟

كيفية إيجاد مساحة شبه منحرف منحني الأضلاع؟

واضح لا يتجزأ. كيفية حساب مساحة الشكل

ننتقل الآن إلى النظر في تطبيقات حساب التفاضل والتكامل. في هذا الدرس ، سنقوم بتحليل المهمة النموذجية والأكثر شيوعًا. كيفية استخدام تكامل محدد لحساب مساحة الشكل المستوي. أخيرًا ، أولئك الذين يبحثون عن معنى في الرياضيات العليا - ربما يجدونها. أنت لا تعرف أبدا. في الحياة الواقعية ، سيتعين عليك تقريب كوخ صيفي بوظائف أولية وإيجاد مساحته باستخدام جزء تكامل معين.

لإتقان المادة بنجاح ، يجب عليك:

1) فهم التكامل غير المحدد على الأقل عند المستوى المتوسط. وبالتالي ، يجب على الدمى قراءة الدرس أولاً لا.

2) أن تكون قادرًا على تطبيق صيغة نيوتن-لايبنيز وحساب التكامل المحدد. يمكنك إقامة علاقات ودية دافئة مع تكاملات معينة على الصفحة واضح لا يتجزأ. أمثلة الحل.

في الواقع ، من أجل العثور على مساحة الشكل ، لا تحتاج إلى الكثير من المعرفة بالتكامل غير المحدد والمؤكد. تتضمن مهمة "حساب المساحة باستخدام تكامل محدد" دائمًا إنشاء رسم، لذلك ستكون معرفتك ومهاراتك في الرسم مسألة أكثر صلة. في هذا الصدد ، من المفيد تحديث ذاكرة الرسوم البيانية للوظائف الأولية الرئيسية ، وكحد أدنى ، لتكون قادرًا على بناء خط مستقيم ، وقطع مكافئ ، وقطع زائد. يمكن القيام بذلك (يحتاجه الكثيرون) بمساعدة المواد المنهجية ومقال عن التحولات الهندسية للرسوم البيانية.

في الواقع ، الجميع على دراية بمشكلة إيجاد المنطقة باستخدام جزء متكامل محدد منذ المدرسة ، وسنتقدم قليلاً في المناهج الدراسية. قد لا توجد هذه المقالة على الإطلاق ، ولكن الحقيقة هي أن المشكلة تحدث في 99 حالة من أصل 100 ، عندما يعذب الطالب من قبل برج مكروه بحماس يتقن دورة في الرياضيات العليا.

يتم تقديم مواد هذه الورشة ببساطة ، بالتفصيل وبأقل قدر من النظرية.

لنبدأ مع شبه منحرف منحني الأضلاع.

منحني الشكل شبه منحرفيسمى الشكل المسطح الذي يحده المحور ، والخطوط المستقيمة ، والرسم البياني لوظيفة متصلة على مقطع لا يغير علامة على هذا الفاصل. دع هذا الرقم يقع ليس أقلالإحداثي السيني:

ثم مساحة شبه منحرف منحني الخطي تساوي عدديًا تكاملًا معينًا. أي تكامل محدد (موجود) له معنى هندسي جيد جدًا. في الدرس واضح لا يتجزأ. أمثلة الحلقلت أن العدد المحدد هو العدد. والآن حان الوقت لذكر حقيقة أخرى مفيدة. من وجهة نظر الهندسة ، التكامل المحدد هو المنطقة.

هذا هو، التكامل المحدد (إن وجد) يتوافق هندسيًا مع مساحة شكل ما. على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك التكامل المحدد. يُحدد التكامل المنحنى على المستوى الموجود فوق المحور (أولئك الذين يرغبون في إكمال الرسم) ، والتكامل المحدد نفسه يساوي عدديًا مساحة شبه المنحني المقابل.

مثال 1

هذا بيان مهمة نموذجي. أول وأهم لحظة في القرار هي بناء الرسم. علاوة على ذلك ، يجب بناء الرسم حقا.

عند بناء مخطط ، أوصي بالترتيب التالي: أولمن الأفضل إنشاء جميع الخطوط (إن وجدت) وفقط بعد، بعدما- القطع المكافئ ، القطوع الزائدة ، الرسوم البيانية للوظائف الأخرى. تعد الرسوم البيانية الوظيفية أكثر ربحية للبناء نقطة بنقطة، مع تقنية البناء النقطي يمكن العثور عليها في المادة المرجعية الرسوم البيانية وخصائص الوظائف الابتدائية. هناك يمكنك أيضًا العثور على مادة مفيدة جدًا فيما يتعلق بالدرس - كيفية بناء القطع المكافئ بسرعة.

في هذه المشكلة ، قد يبدو الحل هكذا.
لنقم برسم (لاحظ أن المعادلة تحدد المحور):

لن أفقس شبه منحني منحني الأضلاع ، فمن الواضح ما هي المنطقة التي نتحدث عنها هنا. يستمر الحل على هذا النحو:

على المقطع ، يقع الرسم البياني للوظيفة على المحور، لهذا:

إجابه:

من لديه صعوبة في حساب التكامل المحدد وتطبيق صيغة نيوتن-لايبنيز راجع المحاضرة واضح لا يتجزأ. أمثلة الحل.

بعد اكتمال المهمة ، من المفيد دائمًا إلقاء نظرة على الرسم ومعرفة ما إذا كانت الإجابة حقيقية. في هذه الحالة ، "بالعين" نحسب عدد الخلايا في الرسم - حسنًا ، ستتم كتابة حوالي 9 ، ويبدو أن هذا صحيح. من الواضح تمامًا أنه إذا كان لدينا ، على سبيل المثال ، الإجابة: 20 وحدة مربعة ، فمن الواضح أنه تم ارتكاب خطأ في مكان ما - من الواضح أن 20 خلية لا تتناسب مع الشكل المعني ، على الأكثر دزينة. إذا كانت الإجابة سلبية ، فقد تم حل المهمة أيضًا بشكل غير صحيح.

مثال 2

احسب مساحة الشكل المحدد بالخطوط والمحور

هذا مثال على "افعل ذلك بنفسك". الحل الكامل والإجابة في نهاية الدرس.

ماذا تفعل إذا كان شبه منحرف منحني الأضلاع تحت المحور؟

مثال 3

احسب مساحة الشكل المحدد بخطوط وقم بتنسيق المحاور.

المحلول: لنرسم:

إذا كان شبه منحرف منحني الأضلاع يقع تحت المحور(أو على الأقل ليس أعلىمحور معين) ، فيمكن العثور على مساحته بالصيغة:
في هذه الحالة:

انتباه! لا تخلط بين نوعي المهام:

1) إذا طُلب منك حل تكامل محدد فقط دون أي معنى هندسي ، فيمكن أن يكون سالبًا.

2) إذا طُلب منك إيجاد مساحة الشكل باستخدام تكامل محدد ، فإن المنطقة تكون دائمًا موجبة! هذا هو السبب في ظهور علامة الطرح في الصيغة التي تم النظر فيها للتو.

من الناحية العملية ، غالبًا ما يكون الشكل موجودًا في كل من المستويات النصفية العلوية والسفلية ، وبالتالي ، من أبسط مشاكل المدرسة ، ننتقل إلى أمثلة أكثر وضوحًا.

مثال 4

أوجد مساحة الشكل المسطح الذي تحده خطوط.

المحلول: تحتاج أولاً إلى إكمال الرسم. بشكل عام ، عند إنشاء رسم في مشاكل المنطقة ، فإننا نهتم أكثر بنقاط تقاطع الخطوط. لنجد نقاط تقاطع القطع المكافئ والخط. ويمكن أن يتم ذلك بطريقتين. الطريقة الأولى تحليلية. نحل المعادلة:

ومن ثم ، فإن الحد الأدنى للتكامل هو الحد الأعلى للتكامل.
من الأفضل عدم استخدام هذه الطريقة إن أمكن..

إن بناء الخطوط نقطة بنقطة أكثر ربحية وأسرع بكثير ، بينما يتم اكتشاف حدود التكامل كما لو كانت "من تلقاء نفسها". تتم مناقشة تقنية البناء نقطة بنقطة لمختلف المخططات بالتفصيل في المساعدة الرسوم البيانية وخصائص الوظائف الابتدائية. ومع ذلك ، لا يزال يتعين استخدام الطريقة التحليلية لإيجاد الحدود في بعض الأحيان إذا كان الرسم البياني ، على سبيل المثال ، كبيرًا بدرجة كافية ، أو لم يكشف البناء المترابط عن حدود التكامل (يمكن أن تكون كسرية أو غير منطقية). وسننظر أيضًا في مثل هذا المثال.

نعود إلى مهمتنا: من المنطقي أكثر أن نبني أولاً خطًا مستقيمًا وبعد ذلك فقط قطع مكافئ. لنرسم رسمًا:

أكرر أنه مع البناء النقطي ، غالبًا ما يتم اكتشاف حدود التكامل "تلقائيًا".

والآن صيغة العمل: إذا كان هناك بعض الوظائف المستمرة في الفترة الزمنية أكبر من أو يساوييمكن العثور على بعض الوظائف المستمرة ، ثم مساحة الشكل المقيدة بالرسوم البيانية لهذه الوظائف والخطوط المستقيمة ، بواسطة الصيغة:

هنا لم يعد من الضروري التفكير في مكان وجود الشكل - فوق المحور أو أسفل المحور ، وبصورة تقريبية ، يهم الرسم البياني أعلاه(نسبة إلى رسم بياني آخر) ، وأي واحد أدناه.

في المثال قيد النظر ، من الواضح أن القطع المكافئ يقع فوق الخط المستقيم ، وبالتالي من الضروري طرحه من

قد يبدو اكتمال الحل كما يلي:

الشكل المطلوب محدد بقطع مكافئ من أعلى وخط مستقيم من أسفل.
في المقطع ، وفقًا للصيغة المقابلة:

إجابه:

في الواقع ، الصيغة المدرسية لمنطقة شبه منحني منحني الشكل في نصف المستوى السفلي (انظر المثال البسيط رقم 3) هي حالة خاصة للصيغة . نظرًا لأن المحور معطى بالمعادلة ، ويقع الرسم البياني للوظيفة ليس أعلىالمحاور إذن

والآن بعض الأمثلة لحل مستقل

مثال 5

مثال 6

أوجد مساحة الشكل المحاطة بالخطوط.

أثناء حل المشكلات لحساب المساحة باستخدام تكامل معين ، يحدث أحيانًا حادث مضحك. تم الرسم بشكل صحيح ، والحسابات كانت صحيحة ، ولكن بسبب عدم الانتباه ... وجدت منطقة الرقم الخطأ، هكذا أخطأ خادمك المطيع عدة مرات. هذه حالة واقعية:

مثال 7

احسب مساحة الشكل المحدد بالخطوط ، ، ،.

المحلول: لنرسم أولاً:

... آه ، خرج الرسم هراء ، لكن كل شيء يبدو مقروءًا.

الشكل الذي نريد إيجاد مساحته مظلل باللون الأزرق.(انظر بعناية إلى الحالة - كيف أن الرقم محدود!). لكن من الناحية العملية ، بسبب عدم الانتباه ، غالبًا ما يحدث "خلل" ، تحتاج إلى العثور على منطقة الشكل المظللة باللون الأخضر!

هذا المثال مفيد أيضًا في أنه يتم حساب مساحة الشكل باستخدام تكاملين محددين. حقًا:

1) يوجد رسم بياني بخط مستقيم على المقطع فوق المحور ؛

2) على المقطع فوق المحور يوجد رسم بياني للقطع الزائد.

من الواضح تمامًا أنه يمكن (ويجب) إضافة المناطق ، لذلك:

إجابه:

دعنا ننتقل إلى مهمة أخرى ذات مغزى.

المثال 8

احسب مساحة الشكل المحدد بالخطوط ،
دعنا نقدم المعادلات في شكل "مدرسة" ، ونقوم برسم نقطة بنقطة:

يتضح من الرسم أن الحد الأعلى لدينا هو "جيد":.
لكن ما هو الحد الأدنى؟ من الواضح أن هذا ليس عددًا صحيحًا ، لكن ماذا؟ يمكن ؟ ولكن أين هو الضمان أن الرسم مصنوع بدقة كاملة ، فقد يتضح ذلك. أو الجذر. ماذا لو لم نحصل على الرسم البياني بشكل صحيح على الإطلاق؟

في مثل هذه الحالات ، يتعين على المرء قضاء وقت إضافي وتحسين حدود التكامل بشكل تحليلي.

لنجد نقاط تقاطع الخط المستقيم والقطع المكافئ.
للقيام بذلك ، نحل المعادلة:


,

حقًا، .

الحل الإضافي تافه ، والشيء الرئيسي هو عدم الخلط بين البدائل والعلامات ، فالحسابات هنا ليست أسهل.

على الجزء ، وفقًا للصيغة المقابلة:

إجابه:

حسنًا ، في ختام الدرس ، سننظر في مهمتين أكثر صعوبة.

المثال 9

احسب مساحة الشكل المحدد بخطوط ،

المحلول: ارسم هذا الشكل في الرسم.

لعنة ، لقد نسيت أن أوقع على الجدول ، وأعيد الصورة ، آسف ، ليس hotz. ليس رسمًا ، باختصار ، اليوم هو اليوم =)

بالنسبة للبناء التفصيلي ، من الضروري معرفة مظهر الجيوب الأنفية (وبشكل عام من المفيد معرفة الرسوم البيانية لجميع الوظائف الابتدائية) ، بالإضافة إلى بعض قيم الجيب ، يمكن العثور عليها في الجدول المثلثي. في بعض الحالات (كما في هذه الحالة) ، يُسمح بإنشاء رسم تخطيطي ، حيث يجب عرض الرسوم البيانية وحدود التكامل من حيث المبدأ بشكل صحيح.

لا توجد مشاكل في حدود التكامل هنا ، فهي تنبع مباشرة من الشرط: - يتغير "x" من صفر إلى "pi". نتخذ قرارًا آخر:

في المقطع ، يقع الرسم البياني للوظيفة فوق المحور ، لذلك:

الشكل المحدد بالرسم البياني لوظيفة مستمرة غير سالبة $ f (x) $ على الفاصل $$ والخطوط $ y = 0 ، \ x = a $ و $ x = b $ يسمى شبه منحني منحني.

يتم حساب مساحة شبه المنحني المنحني المقابل بالصيغة:

$ S = \ int \ limits_ (a) ^ (b) (f (x) dx). $ (*)

مشاكل إيجاد مساحة شبه منحرف منحني الأضلاع سنقسمها بشروط إلى 4 دولارات. دعنا نفكر في كل نوع بمزيد من التفصيل.

النوع الأول: يتم إعطاء شبه منحرف منحني الأضلاع بشكل صريح.ثم قم على الفور بتطبيق الصيغة (*).

على سبيل المثال ، ابحث عن مساحة شبه منحنية منحنية الخطوط يحدها الرسم البياني للوظيفة $ y = 4- (x-2) ^ (2) $ والخطوط $ y = 0 ، \ x = 1 $ و $ x = 3 دولارات.

دعونا نرسم هذا شبه المنحني المنحني.

بتطبيق الصيغة (*) ، نجد مساحة هذا شبه المنحني المنحني الأضلاع.

$ S = \ int \ limits_ (1) ^ (3) (\ left (4- (x-2) ^ (2) \ right) dx) = \ int \ limits_ (1) ^ (3) (4dx) - \ int \ limits_ (1) ^ (3) ((x-2) ^ (2) dx) = 4x | _ (1) ^ (3) - \ left. \ frac ((x-2) ^ (3) ) (3) \ right | _ (1) ^ (3) = $

$ = 4 (3-1) - \ frac (1) (3) \ left ((3-2) ^ (3) - (1-2) ^ (3) \ right) = 4 \ cdot 2 - \ frac (1) (3) \ left ((1) ^ (3) - (- 1) ^ (3) \ right) = 8 - \ frac (1) (3) (1 + 1) = $

$ = 8- \ frac (2) (3) = 7 \ frac (1) (3) $ (الوحدة $ ^ (2) $).

النوع الثاني: منحني منحني شبه منحرف معطى ضمنيًا.في هذه الحالة ، الخطوط المستقيمة $ x = a ، \ x = b $ عادة غير محددة أو محددة جزئيًا. في هذه الحالة ، تحتاج إلى إيجاد نقاط تقاطع الدالتين $ y = f (x) $ و $ y = 0 $. ستكون هذه النقاط هي النقاط $ a $ و $ b $.

على سبيل المثال ، أوجد مساحة الشكل المحدد برسوم بيانية للوظائف $ y = 1-x ^ (2) $ و $ y = 0 $.

لنجد نقاط التقاطع. للقيام بذلك ، نقوم بمساواة الأجزاء الصحيحة من الوظائف.

لذا فإن $ a = -1 $ و $ b = 1 $. دعونا نرسم هذا شبه المنحني المنحني.

أوجد مساحة هذا شبه المنحني المنحني الأضلاع.

$ S = \ int \ limits _ (- 1) ^ (1) (\ left (1-x ^ (2) \ right) dx) = \ int \ limits _ (- 1) ^ (1) (1dx) - \ int \ limits _ (- 1) ^ (1) (x ^ (2) dx) = x | _ (- 1) ^ (1) - \ left. \ frac (x ^ (3)) (3) \ right | _ (-1) ^ (1) = دولار

$ = (1 - (- 1)) - \ frac (1) (3) \ left (1 ^ (3) - (- 1) ^ (3) \ right) = 2 - \ frac (1) (3) \ يسار (1 + 1 \ يمين) = 2 - \ frac (2) (3) = 1 \ frac (1) (3) $ (وحدة $ ^ (2) $).

النوع الثالث: مساحة الشكل يحدها تقاطع وظيفتين مستمرتين غير سالبين.لن يكون هذا الشكل شبه منحني منحني الأضلاع ، مما يعني أنه باستخدام الصيغة (*) لا يمكنك حساب مساحته. كيف تكون؟اتضح أن مساحة هذا الشكل يمكن إيجادها على أنها الفرق بين مناطق شبه المنحنيات المنحنية التي تحدها الوظيفة العليا و $ y = 0 $ ($ S_ (uf) $) والدالة السفلية و $ y = 0 $ ($ S_ (lf) $) ، حيث يتم لعب دور $ x = a ، \ x = b $ بواسطة إحداثيات $ x $ لنقاط تقاطع هذه الوظائف ، أي

$ S = S_ (uf) -S_ (lf) $. (**)

أهم شيء عند حساب هذه المناطق هو عدم "تفويت" اختيار الوظائف العلوية والسفلية.

على سبيل المثال ، أوجد مساحة الشكل المحدد بالدالتين $ y = x ^ (2) $ و $ y = x + 6 $.

لنجد نقاط تقاطع هذه الرسوم البيانية:

وفقًا لنظرية فييتا ،

$ x_ (1) = - 2، \ x_ (2) = 3. $

أي ، $ a = -2 ، \ b = 3 $. لنرسم شكلاً:

لذا فإن الوظيفة العلوية هي $ y = x + 6 $ والدالة السفلية $ y = x ^ (2) $. بعد ذلك ، ابحث عن $ S_ (uf) $ و $ S_ (lf) $ باستخدام الصيغة (*).

$ S_ (uf) = \ int \ limits _ (- 2) ^ (3) ((x + 6) dx) = \ int \ limits _ (- 2) ^ (3) (xdx) + \ int \ limits _ (- 2 ) ^ (3) (6dx) = \ left. \ frac (x ^ (2)) (2) \ right | _ (- 2) ^ (3) + 6x | _ (- 2) ^ (3) = 32 ، 5 دولارات (الوحدة $ ^ (2) $).

$ S_ (lf) = \ int \ limits _ (- 2) ^ (3) (x ^ (2) dx) = \ left. \ frac (x ^ (3)) (3) \ right | _ (- 2) ^ (3) = \ frac (35) (3) $ (الوحدة $ ^ (2) $).

تم العثور على بديل في (**) واحصل على:

$ S = 32،5- \ frac (35) (3) = \ frac (125) (6) $ (الوحدة $ ^ (2) $).

النوع الرابع: مساحة الشكل المقيدة بوظيفة (وظائف) لا تفي بشرط عدم السلبية.للعثور على مساحة مثل هذا الشكل ، يجب أن تكون متماثلًا حول محور $ Ox $ ( بعبارات أخرى،ضع "سلبيات" أمام الوظائف) اعرض المنطقة ، وباستخدام الطرق الموضحة في الأنواع من الأول إلى الثالث ، ابحث عن منطقة المنطقة المعروضة. ستكون هذه المنطقة هي المنطقة المطلوبة. أولاً ، قد تضطر إلى إيجاد نقاط تقاطع الرسوم البيانية للوظائف.

على سبيل المثال ، أوجد مساحة الشكل المحدد برسوم بيانية للوظائف $ y = x ^ (2) -1 $ و $ y = 0 $.

لنجد نقاط تقاطع الرسوم البيانية للوظائف:

أولئك. $ a = -1 $ و $ b = 1 $. لنرسم المنطقة.

دعنا نعرض المنطقة بشكل متماثل:

$ y = 0 \ Rightarrow \ y = -0 = 0 $

$ y = x ^ (2) -1 \ Rightarrow \ y = - (x ^ (2) -1) = 1-x ^ (2) $.

تحصل على شبه منحرف منحني الخطوط يحده الرسم البياني للوظيفة $ y = 1-x ^ (2) $ و $ y = 0 $. هذه مشكلة إيجاد شبه منحرف منحني الأضلاع من النوع الثاني. لقد حللناها بالفعل. كانت الإجابة: $ S = 1 \ frac (1) (3) $ (Units $ ^ (2) $). لذلك ، فإن مساحة شبه المنحني المطلوب تساوي:

$ S = 1 \ frac (1) (3) $ (الوحدة $ ^ (2) $).

ضع في اعتبارك شبه منحني منحني الخطي يحده محور الثور ، ومنحنى y \ u003d f (x) وخطين مستقيمين: x \ u003d a و x \ u003d b (الشكل 85). خذ قيمة عشوائية لـ x (فقط ليس a وليس b). دعونا نعطيها زيادة h = dx ونفكر في شريط يحده خطوط مستقيمة AB و CD ومحور Ox وبقوس BD الذي ينتمي إلى المنحنى قيد الدراسة. سيطلق على هذا الشريط اسم الشريط الأولي. تختلف مساحة الشريط الأولي عن مساحة المستطيل ACQB بمثلث منحني الخط BQD ، ومساحة الأخير أقل من مساحة المستطيل BQDM بجوانب BQ = = h = dx) QD = Ay ومساحة تساوي hAy = Ay dx. مع انخفاض الضلع h ، يتناقص الجانب Du أيضًا ، وبالتزامن مع h ، يميل إلى الصفر. لذلك ، فإن مساحة BQDM هي متناهية الصغر من الدرجة الثانية. مساحة الشريط الأولي هي زيادة المساحة ، ومساحة المستطيل ACQB ، التي تساوي AB-AC == / (x) dx> هي تفاضل المساحة. لذلك ، نجد المساحة نفسها من خلال تكامل تفاضلها. ضمن حدود الشكل قيد النظر ، المتغير المستقل l: يتغير من a إلى b ، وبالتالي فإن المساحة المطلوبة 5 ستكون مساوية لـ 5 = \ f (x) dx. (I) مثال 1. احسب المنطقة التي يحدها القطع المكافئ y - 1 -x * ، والخطوط المستقيمة X \ u003d - Fj- ، x \ u003d 1 والمحور O * (الشكل 86). في التين. 87. التين. 86. 1 هنا f (x) = 1 - l؟ ، حدود التكامل a = - و t = 1 ، وبالتالي 3) | _ 2 3V 2 / J 3 24 24 * مثال 2. احسب المنطقة التي يحدها الجيب الجيبي y = sinXy ومحور الثور والخط المستقيم (الشكل 87). بتطبيق الصيغة (I) ، نحصل على L 2 S = J sinxdx = [-cos x] Q = 0 - (- 1) = lf مع محور الثور (على سبيل المثال ، بين الأصل والنقطة التي بها حدود الإحداثية i). لاحظ أنه من الاعتبارات الهندسية فمن الواضح أن هذه المنطقة ستكون ضعف مساحة المثال السابق. ومع ذلك ، لنقم بالحسابات: i 5 = | s \ nxdx \ u003d [- cosx) * - - cos i- (- cos 0) \ u003d 1 + 1 \ u003d 2. o في الواقع ، تبين أن افتراضنا عادل. مثال 4. احسب المساحة التي يحدها الجيوب الأنفية والمحور ^ الثور في فترة واحدة (الشكل 88). تشير الأحكام الأولية على شكل ras إلى أن المنطقة ستصبح أكبر أربع مرات من الرقم 2. ومع ذلك ، بعد إجراء الحسابات ، نحصل على "i G ، * i S - \ sin x dx \ u003d [- cos x ] 0 = = - cos 2n - (-cos 0) \ u003d - 1 + 1 \ u003d 0. هذه النتيجة تتطلب توضيحًا. لتوضيح جوهر الأمر ، نحسب أيضًا المنطقة التي يحدها نفس الجيوب الأنفية y \ u003d sin l: ومحور الثور يتراوح من l إلى 2n. بتطبيق الصيغة (I) ، نحصل عليها وهكذا ، نرى أن هذه المنطقة تبين أنها سلبية. بمقارنتها مع المساحة المحسوبة في المثال 3 ، نجد أن قيمها المطلقة هي نفسها ، لكن العلامات مختلفة. إذا طبقنا الخاصية V (انظر الفصل الحادي عشر ، الفقرة 4) ، فإننا نحصل عليها بالصدفة. دائمًا ما يتم الحصول على المساحة الواقعة أسفل المحور x ، بشرط أن يتغير المتغير المستقل من اليسار إلى اليمين ، عن طريق الحساب باستخدام التكاملات السالبة. في هذه الدورة ، سننظر دائمًا في المناطق غير الموقعة. لذلك ، ستكون الإجابة في المثال الذي تم تحليله للتو كما يلي: المساحة المطلوبة تساوي 2 + | -2 | = 4. مثال 5. دعونا نحسب مساحة BAB الموضحة في الشكل. 89. هذه المنطقة محدودة بمحور الثور ، القطع المكافئ y = - xr والخط المستقيم y - = -x + \. منطقة شبه منحنية منحنية الخطوط تتكون المنطقة المرغوبة OAB من جزأين: OAM و MAB. نظرًا لأن النقطة A هي نقطة تقاطع القطع المكافئ والخط المستقيم ، فسنجد إحداثياتها من خلال حل نظام المعادلات 3 2 Y \ u003d mx. (نحتاج فقط لإيجاد حدود النقطة أ). حل النظام نجد ل ؛ = ~. لذلك ، يجب حساب المنطقة في أجزاء ، أول رر. OAM ، ثم رر. MAV: .... G 3 2، 3 G xP 3 1/2 Y 2. QAM- ^ x = [إستبدال:

] =

ومن ثم ، فإن التكامل غير الصحيح يتقارب وقيمته تساوي.