التعريف الكلاسيكي لنظرية الاحتمالات. الاحتمال الكلاسيكي وخصائصه

يُفهم احتمال وقوع حدث ما على أنه بعض الخصائص العددية لإمكانية حدوث هذا الحدث. هناك عدة طرق لتحديد الاحتمال.

احتمالية وقوع حدث لكنهي نسبة عدد النتائج المواتية لهذا الحدث إلى العدد الإجمالي لجميع النتائج الأولية غير المتوافقة الممكنة والمتساوية التي تشكل مجموعة كاملة. لذا فإن احتمال وقوع حدث لكنيتم تحديده من خلال الصيغة

أين مهو عدد النتائج الأولية المفضلة لكن, ن- عدد جميع النتائج الأولية الممكنة للاختبار.

مثال 3.1.في تجربة رمي النرد ، عدد كل النتائج نتبلغ من العمر 6 سنوات وكلها ممكنة بالتساوي. دع الحدث لكنيعني ظهور رقم زوجي. ثم بالنسبة لهذا الحدث ، ستكون النتائج الإيجابية هي ظهور الأرقام 2 ، 4 ، 6. عددهم هو 3. لذلك ، احتمال وقوع الحدث لكنمساوي ل

مثال 3.2.ما هو احتمال أن الأرقام في عدد مكون من رقمين تم اختياره عشوائيًا هي نفسها؟

الأرقام المكونة من رقمين هي أرقام من 10 إلى 99 ، هناك 90 رقمًا في المجموع. 9 أرقام لها نفس الأرقام (هذه هي الأرقام 11 ، 22 ، ... ، 99). منذ في هذه الحالة م=9, ن= 90 إذن

أين لكن- حدث "رقم بنفس الأرقام".

مثال 3.3.هناك 7 أجزاء قياسية في الكثير من 10 أجزاء. أوجد احتمال وجود 4 أجزاء قياسية من بين ستة أجزاء تم اختيارها عشوائيًا.

العدد الإجمالي للنتائج الأولية المحتملة للاختبار يساوي عدد الطرق التي يمكن من خلالها استخلاص 6 أجزاء من 10 ، أي عدد التوليفات المكونة من 10 عناصر من 6 عناصر. حدد عدد النتائج التي تفضل الحدث الذي يهمنا لكن(من بين الأجزاء الستة المأخوذة ، 4 تعتبر قياسية). يمكن أخذ أربعة أجزاء قياسية من سبعة أجزاء قياسية بطرق ؛ في الوقت نفسه ، يجب أن تكون الأجزاء المتبقية 6-4 = 2 غير قياسية ، ولكن يمكنك أن تأخذ جزأين غير قياسيين من 10-7 = 3 أجزاء غير قياسية بطرق مختلفة. لذلك ، فإن عدد النتائج الإيجابية هو.

ثم الاحتمال المطلوب يساوي

الخصائص التالية تتبع من تعريف الاحتمالية:

1. احتمال وقوع حدث معين يساوي واحدًا.

في الواقع ، إذا كان الحدث موثوقًا به ، فإن كل نتيجة أولية للاختبار تفضل الحدث. في هذه الحالة م = ن ، وبالتالي

2. احتمال وقوع حدث مستحيل هو صفر.

في الواقع ، إذا كان الحدث مستحيلًا ، فلن تكون أي من النتائج الأولية للمحاكمة في صالح الحدث. في هذه الحالة فهذا يعني

3. احتمال وقوع حدث عشوائي هو رقم موجب بين صفر وواحد.

في الواقع ، يفضل جزء فقط من العدد الإجمالي للنتائج الأولية للاختبار حدثًا عشوائيًا. في هذه الحالة< م< n, يعني 0 < m/n < 1 ، أي 0< ف (أ) < 1. Итак, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству

يعتمد بناء نظرية احتمالية كاملة منطقيًا على التعريف البديهي للحدث العشوائي واحتمالية حدوثه. في نظام البديهيات الذي اقترحه أ.ن.كولموغوروف ، تعتبر المفاهيم غير المحددة حدثًا واحتمالية أولية. فيما يلي البديهيات التي تحدد الاحتمال:

1. كل حدث لكنتعيين رقم حقيقي غير سالب ف (أ). هذا الرقم يسمى احتمالية الحدث. لكن.

2. احتمال وقوع حدث معين يساوي واحدًا.

3. إن احتمال حدوث حدث واحد على الأقل من الأحداث غير المتوافقة الزوجية يساوي مجموع احتمالات هذه الأحداث.

بناءً على هذه البديهيات ، تُشتق خصائص الاحتمالات والعلاقات بينها كنظريات.

أسئلة للفحص الذاتي

1. ما اسم الخاصية العددية لاحتمال وقوع حدث؟

2. ما يسمى احتمال وقوع حدث؟

3. ما هو احتمال وقوع حدث معين؟

4. ما هو احتمال وقوع حدث مستحيل؟

5. ما هي حدود احتمال وقوع حدث عشوائي؟

6. ما هي حدود احتمال وقوع أي حدث؟

7. ما يسمى تعريف الاحتمالية الكلاسيكية؟

مؤسسة البلدية التعليمية

صالة الألعاب الرياضية رقم 6

حول موضوع "التعريف الكلاسيكي للاحتمال".

أكمله طالب من الصف الثامن "ب"

الكسندرا كليمانتوفا.

مدرس الرياضيات: Videnkina V. A.

فورونيج ، 2008

تستخدم العديد من الألعاب النرد. النرد له 6 وجوه ، كل وجه له عدد مختلف من النقاط - من 1 إلى 6. يرمي اللاعب النرد وينظر في عدد النقاط الموجودة على الوجه المتساقط (على الوجه الموجود في الأعلى). في كثير من الأحيان ، يتم استبدال النقاط الموجودة على حافة القالب بالرقم المقابل ثم يتحدثون عن لفة من 1 أو 2 أو 6. يمكن اعتبار إلقاء النرد تجربة وتجربة واختبار والنتيجة التي تم الحصول عليها هي نتيجة الاختبار أو حدث ابتدائي. يهتم الناس بتخمين بداية حدث ما ، والتنبؤ بنتائجه. ما هي التوقعات التي يمكنهم القيام بها عند رمي النرد؟ على سبيل المثال ، هذه:

1) الحدث أ - يسقط الرقم 1 أو 2 أو 3 أو 4 أو 5 أو 6 ؛

2) الحدث B - يسقط الرقم 7 أو 8 أو 9 ؛

3) حدث ج - يقع الرقم 1.

الحدث أ ، المتوقع في الحالة الأولى ، سيأتي بالتأكيد. بشكل عام ، يتم استدعاء الحدث الذي من المؤكد حدوثه في تجربة معينة حدث معين .

الحدث B ، المتوقع في الحالة الثانية ، لن يحدث أبدًا ، إنه ببساطة مستحيل. بشكل عام ، يتم استدعاء الحدث الذي لا يمكن أن يحدث في تجربة معينة حدث مستحيل .

هل سيحدث الحدث "ج" المتوقع في الحالة الثالثة أم لا؟ لسنا قادرين على الإجابة على هذا السؤال بيقين تام ، لأن 1 قد يسقط أو لا يسقط. يتم استدعاء الحدث الذي قد يحدث أو لا يحدث في تجربة معينة حدث عشوائي .

بالتفكير في بداية حدث معين ، فإننا على الأرجح لن نستخدم كلمة "ربما". على سبيل المثال ، إذا كان اليوم هو الأربعاء ، فغدًا هو الخميس ، فهذا حدث معين. يوم الأربعاء لن نقول: "غدا على الأرجح الخميس" ، سنقول بإيجاز وبوضوح: "غدا الخميس". صحيح ، إذا كنا عرضة للعبارات الجميلة ، فيمكننا أن نقول هذا: "مع احتمال مائة بالمائة أقول إن غدًا هو الخميس". على العكس من ذلك ، إذا كان اليوم هو الأربعاء ، فإن قدوم غد الجمعة هو حدث مستحيل. في تقييم هذا الحدث يوم الأربعاء ، يمكننا أن نقول هذا: "أنا متأكد من أن الغد ليس يوم الجمعة." أو مثل هذا: "إنه أمر لا يصدق أن يكون غدًا يوم الجمعة". حسنًا ، إذا كنا عرضة للعبارات الجميلة ، فيمكننا أن نقول هذا: "احتمال أن يكون غدًا يوم الجمعة هو صفر". لذا ، فإن حدثًا معينًا هو حدث يحدث في ظل ظروف معينة. مع يقين 100٪(أي قادم في 10 حالات من أصل 10 ، في 100 حالة من أصل 100 ، وما إلى ذلك). الحدث المستحيل هو حدث لا يحدث أبدًا في ظل ظروف معينة ، حدث مع احتمال صفر .

لكن ، لسوء الحظ (وربما لحسن الحظ) ، ليس كل شيء في الحياة واضحًا وواضحًا: سيكون دائمًا (حدثًا معينًا) ، ولن يحدث هذا أبدًا (حدث مستحيل). في أغلب الأحيان ، نواجه أحداثًا عشوائية ، بعضها أكثر احتمالا ، والبعض الآخر أقل احتمالا. عادة ما يستخدم الناس الكلمات "أكثر احتمالا" أو "أقل احتمالا" ، كما يقولون ، لمجرد نزوة ، بالاعتماد على ما يسمى بالفطرة السليمة. لكن في كثير من الأحيان يتبين أن مثل هذه التقديرات غير كافية ، حيث من المهم معرفة ذلك كم الثمنفي المائة على الأرجح حدثًا عشوائيًا أو كم مرةحدث عشوائي واحد هو أكثر احتمالا من الآخر. بعبارة أخرى ، نحن بحاجة إلى الدقة كميالخصائص ، يجب أن تكون قادرًا على توصيف الاحتمال برقم.

لقد اتخذنا بالفعل الخطوات الأولى في هذا الاتجاه. قلنا أن احتمالية حدوث حدث معين تتميز بأنها مئة بالمئة، واحتمال وقوع حدث مستحيل هو صفر. بالنظر إلى أن 100٪ تساوي 1 ، فقد اتفق الناس على ما يلي:

1) يعتبر احتمال حدوث حدث معين مساويًا لـ 1;

2) يعتبر احتمال وقوع حدث مستحيل مساوياً لـ 0.

كيف تحسب احتمال وقوع حدث عشوائي؟ بعد كل شيء ، لقد حدث ذلك مصادفة، مما يعني أنه لا يخضع للقوانين والخوارزميات والصيغ. اتضح أن بعض القوانين تعمل في عالم العشوائية ، مما يسمح لك بحساب الاحتمالات. هذا هو فرع الرياضيات الذي يسمى - نظرية الاحتمالات .

الرياضيات تتعامل مع نموذجبعض ظاهرة الواقع من حولنا. من بين جميع النماذج المستخدمة في نظرية الاحتمالات ، سنقتصر على الأبسط.

مخطط الاحتمالية الكلاسيكية

لإيجاد احتمالية وقوع حدث "أ" أثناء بعض التجارب ، يجب على المرء:

1) ابحث عن الرقم N لجميع النتائج المحتملة لهذه التجربة ؛

2) قبول الافتراض القائل بأن جميع هذه النتائج متساوية في الاحتمال (ممكنة بنفس القدر) ؛

3) ابحث عن الرقم N (A) لنتائج التجربة التي وقع فيها الحدث A ؛

4) العثور على ملف خاص ; سيكون مساويًا لاحتمال الحدث A.

من المعتاد تعيين احتمالية حدث A كـ P (A). تفسير هذا التعيين بسيط للغاية: كلمة "احتمال" بالفرنسية هي احتمالا، باللغة الإنجليزية- احتمالايستخدم التعيين الحرف الأول من الكلمة.

باستخدام هذا الترميز ، يمكن إيجاد احتمال حدث A وفقًا للمخطط الكلاسيكي باستخدام الصيغة

ف (أ) =.

غالبًا ما يتم التعبير عن جميع نقاط المخطط الاحتمالي الكلاسيكي المحدد بعبارة واحدة طويلة إلى حد ما.

التعريف الكلاسيكي للاحتمال

احتمال وقوع حدث "أ" أثناء اختبار معين هو نسبة عدد النتائج ، نتيجة وقوع الحدث "أ" ، إلى العدد الإجمالي لجميع النتائج الممكنة المتساوية لهذا الاختبار.

مثال 1. أوجد الاحتمال أنه برمية واحدة من النرد: أ) 4 ؛ ب) 5 ؛ ج) عدد زوجي من النقاط ؛ د) عدد النقاط أكبر من 4 ؛ ه) عدد النقاط ليس من مضاعفات الثلاثة.

المحلول. في المجموع ، هناك N = 6 نتائج محتملة: إسقاط وجه مكعب بعدد من النقاط يساوي 1 أو 2 أو 3 أو 4 أو 5 أو 6. نعتقد أن أيًا منها لا يتمتع بأي مزايا على الآخرين ، أي أننا نقبل افتراض تشابه هذه النتائج.

أ) بالضبط في إحدى النتائج ، سيحدث الحدث الذي يهمنا A - فقدان الرقم 4. وبالتالي ، N (A) \ u003d 1 و

ص ( أ )= =.

ب) الحل والجواب هما نفسهما في الفقرة السابقة.

ج) سيحدث الحدث "ب" الذي يهمنا بالضبط في ثلاث حالات عندما يكون عدد النقاط 2 أو 4 أو 6. ومن ثم ،

ن ( ب ) = 3 و ص ( ب )==.

د) سيحدث الحدث C الذي يهمنا بالضبط في حالتين عندما يكون عدد النقاط 5 أو 6. وبالتالي ،

ن ( ج ) = 2 و P (C) =.

هـ) من بين الأرقام الستة المحتملة المرسومة ، فإن أربعة (1 ، 2 ، 4 ، 5) ليست من مضاعفات الثلاثة ، والرقمان المتبقيان (3 و 6) يقبلان القسمة على ثلاثة. هذا يعني أن الحدث الذي يثير اهتمامنا يحدث بالضبط في أربعة من أصل ستة محتمل ومحتمل بالتساوي فيما بينهم ومحتمل بنفس القدر فيما بينهم من نتائج التجربة. لذلك ، الجواب

. ؛ ب) ؛ في) ؛ ز) ؛ ه).

قد يختلف نرد اللعب الحقيقي عن النرد المثالي (النموذج) ، لذلك ، لوصف سلوكه ، يلزم وجود نموذج أكثر دقة وتفصيلاً ، مع مراعاة مزايا وجه واحد على الآخر ، واحتمال وجود مغناطيس ، إلخ. لكن "الشيطان يكمن في التفاصيل" ، والمزيد من الدقة يؤدي إلى مزيد من التعقيد ، ويصبح الحصول على إجابة مشكلة. نحن نقتصر على التفكير في أبسط نموذج احتمالي ، حيث تكون جميع النتائج المحتملة محتملة بشكل متساوٍ.

ملاحظة 1. لنفكر في مثال آخر. تم طرح السؤال: "ما هو احتمال الحصول على ثلاثة على لفة واحدة من النرد؟" أجاب الطالب على هذا النحو: "الاحتمال 0.5". وأوضح إجابته: "الثلاثة إما يسقطون أو لا يسقطون. هذا يعني أن هناك نتيجتين في المجموع ، وفي حدث واحد بالضبط يقع الحدث الذي يهمنا. وفقًا للمخطط الاحتمالي الكلاسيكي ، نحصل على الإجابة 0.5. هل هناك خطأ في هذا المنطق؟ للوهلة الأولى ، لا. ومع ذلك ، لا يزال هناك ، وفي لحظة أساسية. نعم ، في الواقع ، سوف يسقط الثلاثي أو لا يسقط ، أي مع مثل هذا التعريف لنتيجة الرمية ، N = 2. صحيح أيضًا أن N (A) = 1 وبالطبع هذا صحيح

= 0.5 ، أي ثلاث نقاط من المخطط الاحتمالي تؤخذ في الاعتبار ، لكن استيفاء النقطة 2) مشكوك فيه. بالطبع ، من وجهة نظر قانونية بحتة ، لدينا الحق في الاعتقاد بأن خسارة ثلاثية من المرجح أن تفشل. ولكن هل يمكننا التفكير في ذلك دون انتهاك افتراضاتنا الطبيعية حول "تشابه" الوجوه؟ بالطبع لا! نحن هنا نتعامل مع الاستدلال الصحيح ضمن نموذج ما. فقط هذا النموذج نفسه "خاطئ" ، ولا يتوافق مع الظاهرة الحقيقية.

ملاحظة 2. عند مناقشة الاحتمالية ، لا تغفل عن الظرف المهم التالي. إذا قلنا أنه عند دحرجة حجر نرد ، فإن احتمال الحصول على نقطة واحدة هو

، هذا لا يعني على الإطلاق أنه من خلال دحرجة القالب 6 مرات ستحصل على نقطة واحدة بالضبط مرة واحدة ، عن طريق دحرجة القالب 12 مرة ستحصل على نقطة واحدة مرتين بالضبط ، عن طريق دحرجة القالب 18 مرة ستحصل على نقطة واحدة بالضبط ثلاث مرات ، إلخ. الكلمة ربما لها طابع تخميني. نحن نفترض أن هذا من المحتمل أن يحدث. ربما إذا دحرجنا النرد 600 مرة ، فستظهر نقطة واحدة 100 مرة ، أو حوالي 100 مرة.

نظرية موجزة

لإجراء مقارنة كمية للأحداث وفقًا لدرجة احتمالية حدوثها ، يتم تقديم مقياس رقمي يسمى احتمالية وقوع حدث. احتمال وقوع حدث عشوائييسمى الرقم ، وهو تعبير عن مقياس للإمكانية الموضوعية لوقوع حدث ما.

القيم التي تحدد مدى أهمية الأسباب الموضوعية للاعتماد على وقوع حدث ما تتميز باحتمالية وقوع الحدث. يجب التأكيد على أن الاحتمالية هي كمية موضوعية توجد بشكل مستقل عن المُعرف وهي مشروطة بمجموع الشروط التي تساهم في حدوث حدث.

التفسيرات التي قدمناها لمفهوم الاحتمال ليست تعريفًا رياضيًا ، لأنها لا تحدد هذا المفهوم كميًا. هناك عدة تعريفات لاحتمالية وقوع حدث عشوائي ، والتي تستخدم على نطاق واسع في حل مشاكل معينة (كلاسيكية ، بديهية ، إحصائية ، إلخ).

التعريف الكلاسيكي لاحتمال وقوع حدثيقلل هذا المفهوم إلى مفهوم أكثر بدائية للأحداث المتساوية في الاحتمال ، والذي لم يعد خاضعًا للتعريف ويفترض أنه واضح بشكل حدسي. على سبيل المثال ، إذا كان النرد مكعبًا متجانسًا ، فإن تداعيات أي من وجوه هذا المكعب ستكون أحداثًا محتملة بنفس القدر.

دع حدثًا معينًا ينقسم إلى حالات محتملة متساوية ، مجموعها يعطي الحدث. أي أن الحالات التي ينفصل فيها ، تسمى مواتية للحدث ، لأن ظهور إحداها يضمن الهجوم.

سيتم الإشارة إلى احتمال وقوع حدث بالرمز.

يساوي احتمال وقوع حدث ما نسبة عدد الحالات المواتية له ، من إجمالي عدد الحالات الفريدة والمتساوية الممكنة وغير المتوافقة ، إلى العدد ، أي

هذا هو التعريف الكلاسيكي للاحتمال. وبالتالي ، للعثور على احتمال وقوع حدث ، من الضروري ، بعد النظر في النتائج المختلفة للاختبار ، العثور على مجموعة من الحالات الوحيدة الممكنة والمتساوية الممكنة وغير المتوافقة ، وحساب العدد الإجمالي n ، وعدد الحالات m التي فضل هذا الحدث ، ثم قم بإجراء الحساب وفقًا للصيغة أعلاه.

يسمى احتمال حدث مساوٍ لنسبة عدد نتائج التجربة المواتية للحدث إلى العدد الإجمالي لنتائج التجربة الاحتمال الكلاسيكيحدث عشوائي.

خصائص الاحتمال التالية تتبع من التعريف:

الخاصية 1. احتمال وقوع حدث معين يساوي واحد.

الخاصية 2. احتمال وقوع حدث مستحيل هو صفر.

الخاصية 3. احتمال وقوع حدث عشوائي هو رقم موجب بين صفر وواحد.

الخاصية 4. احتمال وقوع الأحداث التي تشكل مجموعة كاملة يساوي واحد.

الخاصية 5. يتم تحديد احتمال وقوع الحدث المعاكس بنفس طريقة احتمالية وقوع الحدث A.

عدد التكرارات التي تفضل وقوع الحدث المعاكس. ومن ثم ، فإن احتمال وقوع الحدث المعاكس يساوي الفرق بين الوحدة واحتمال وقوع الحدث A:

من المزايا المهمة للتعريف الكلاسيكي لاحتمال وقوع حدث أنه بمساعدته ، يمكن تحديد احتمال وقوع حدث دون اللجوء إلى الخبرة ، ولكن على أساس التفكير المنطقي.

عندما يتم استيفاء مجموعة من الشروط ، سيحدث بالتأكيد حدث معين ، ولن يحدث المستحيل بالتأكيد. من بين الأحداث التي قد تحدث أو لا تحدث عند إنشاء مجموعة من الشروط ، يمكن الاعتماد على ظهور بعضها لأسباب أكثر ، على ظهور الآخرين دون سبب. إذا كان هناك ، على سبيل المثال ، عدد من الكرات البيضاء في الجرة أكثر من الكرات السوداء ، فهناك المزيد من الأسباب التي تدعو إلى الأمل في ظهور كرة بيضاء عند إخراجها من الجرة بشكل عشوائي أكثر من ظهور كرة سوداء.

مثال على حل المشكلة

مثال 1

علبة تحتوي على 8 كرات بيضاء و 4 سوداء و 7 كرات حمراء. يتم رسم 3 كرات بشكل عشوائي. أوجد احتمالات الأحداث التالية: - رسم كرة حمراء واحدة على الأقل ، - توجد كرتان على الأقل من نفس اللون ، - توجد كرة واحدة حمراء وكرة بيضاء على الأقل.

حل المشكلة

نجد العدد الإجمالي لنتائج الاختبار كعدد التركيبات المكونة من 19 عنصرًا (8 + 4 + 7) مكونة من 3 عناصر لكل منها:

أوجد احتمال وقوع حدث- سحب كرة حمراء واحدة على الأقل (1،2 أو 3 كرات حمراء)

الاحتمال المطلوب:

دع الحدث- هناك ما لا يقل عن 2 كرات من نفس اللون (2 أو 3 كرات بيضاء ، 2 أو 3 كرات سوداء و 2 أو 3 كرات حمراء)

عدد النتائج لصالح الحدث:

الاحتمال المطلوب:

دع الحدث- يوجد على الأقل كرة واحدة حمراء وأخرى بيضاء

(1 أحمر ، 1 أبيض ، 1 أسود أو 1 أحمر ، 2 أبيض أو 2 أحمر ، 1 أبيض)

عدد النتائج لصالح الحدث:

الاحتمال المطلوب:

إجابه:ف (أ) = 0.773 ؛ ف (ج) = 0.7688 ؛ الفوسفور (د) = 0.6068

مثال 2

رمي نردان. أوجد احتمال أن مجموع النقاط لا يقل عن 5.

المحلول

دع الحدث يكون مجموع النقاط لا يقل عن 5

دعنا نستخدم التعريف الكلاسيكي للاحتمال:

العدد الإجمالي لنتائج التجارب المحتملة

عدد المحاكمات التي تفضل الحدث الذي يهمنا

على الوجه المسقط للنرد الأول ، نقطة واحدة ، نقطتان ... ، يمكن أن تظهر ست نقاط. بالمثل ، ست نتائج ممكنة في لفة النرد الثانية. يمكن دمج كل نتيجة من نتائج النرد الأول مع كل نتيجة من نتائج النرد الثاني. وبالتالي ، فإن العدد الإجمالي للنتائج الأولية المحتملة للاختبار يساوي عدد المواضع مع التكرار (الاختيار مع مواضع من عنصرين من مجموعة الحجم 6):

أوجد احتمال وقوع حدث معاكس - مجموع النقاط أقل من 5

المجموعات التالية من النقاط المفقودة ستؤيد الحدث:

№

العظم الأول

العظم الثاني

1

1

1

2

1

2

3

2

1

4

3

1

5

1

3

يتم تقديم التعريف الهندسي للاحتمالية ويتم تقديم حل لمشكلة الاجتماع المعروفة.

نظرية الاحتمالات هي علم رياضي يدرس الأنماط في الظواهر العشوائية. يعود ظهور النظرية إلى منتصف القرن السابع عشر وترتبط بأسماء Huygens و Pascal و Fermat و J. Bernoulli.

النتائج غير القابلة للاختزال ، ... ، لبعض التجارب ستسمى الأحداث الأولية ، وكاملها

الفضاء (المحدود) للأحداث الأولية ، أو مساحة النتائج.

مثال 21. أ) عندما يتم رمي نرد ، تتكون مساحة الأحداث الأولية من ست نقاط:

ب) اقلب قطعة نقود مرتين على التوالي ، ثم

حيث G - "شعار النبالة" ، R - "شعرية" والعدد الإجمالي للنتائج

ج) نرمى قطعة نقود حتى ظهور "شعار النبالة" لأول مرة

في هذه الحالة يسمى الفضاء المنفصل للأحداث الأولية.

عادة ، لا يهتم المرء بالنتيجة المعينة التي تحدث نتيجة للاختبار ، ولكن فيما إذا كانت النتيجة تنتمي إلى مجموعة فرعية أو أخرى من جميع النتائج. كل تلك المجموعات الفرعية التي ، وفقًا لظروف التجربة ، يكون رد أحد النوعين ممكنًا: "النتيجة" أو "النتيجة" ، سنسميها الأحداث.

في المثال 21 ب) ، المجموعة = (ГГ، СР، РТ) هي حدث يتألف من حقيقة أن "شعار نبالة" واحد على الأقل يسقط. يتكون الحدث من ثلاث نتائج أولية للفضاء

يُطلق على مجموع حدثين حدثًا يتألف من تنفيذ حدث أو حدث.

منتج الأحداث هو حدث يتكون من التنفيذ المشترك لحدث وحدث.

إن عكس الحدث هو الحدث الذي يتكون من عدم الظهور وبالتالي يكمله من قبل.

المجموعة تسمى حدثًا معينًا ، المجموعة الفارغة تسمى حدثًا مستحيلًا.

إذا كان كل حدث مصحوبًا بوقوع ، فإنهم يكتبون ويقولون ما يسبقه أو يستتبعه.

ويقال أن الأحداث متكافئة إذا و.

تعريف. احتمال وقوع حدث هو رقم مساوٍ لنسبة عدد النتائج الأولية التي تشكل الحدث إلى عدد جميع النتائج الأولية

حالة الأحداث المتساوية الاحتمالية (تسمى "كلاسيكية" ، وبالتالي الاحتمال

تسمى "كلاسيك".

تسمى الأحداث الأولية (نتائج التجربة) المدرجة في الحدث "مواتية".

خصائص الاحتمال الكلاسيكي:

إذا (وكانت أحداث غير متوافقة).

مثال 22 (مشكلة Huygens). تحتوي الجرة على 2 كرات بيضاء و 4 كرات سوداء. يراهن أحد اللاعبين بآخر على أنه من بين الكرات الثلاث المسحوبة سيكون هناك واحدة بيضاء تمامًا. ما هي نسبة فرص المتنازعين؟

الحل 1 (تقليدي). في هذه الحالة يكون الاختبار = (سحب 3 كرات) ويكون الحدث لصالح أحد المتنازعين:

= (احصل على كرة بيضاء واحدة بالضبط).

نظرًا لأن الترتيب الذي يتم به سحب الكرات الثلاث ليس مهمًا ، إذن

يمكن الحصول على كرة بيضاء واحدة في الحالات ، واثنتان باللون الأسود - ثم وفقًا للقاعدة الأساسية للتوافقيات. ومن ثم أ من خلال خاصية الاحتمال الخامسة لذلك ،

الحل 2. لنصنع شجرة احتمالية للنتائج:

مثال 23. لنأخذ على سبيل المثال بنك أصبع تُترك فيه أربع عملات - ثلاثة من روبلين لكل منها. وواحد مقابل 5 روبل. نقوم باستخراج عملتين.

المحلول. أ) يمكن أن تؤدي عمليتا استخراج متتاليتان (مع عودة) إلى النتائج التالية:

ما هو احتمال كل من هذه النتائج؟

يوضح الجدول جميع الحالات الست عشرة الممكنة.

بالتالي،

الشجرة التالية تؤدي إلى نفس النتائج:

ب) يمكن أن تؤدي عمليتا قلع متتاليتان (بدون تكرار) إلى النتائج الثلاثة التالية:

يوضح الجدول جميع النتائج الممكنة:

بالتالي،

الشجرة المقابلة تؤدي إلى نفس النتائج:

مثال 24 (مشكلة دي مير). لعبتين "إرم" لخمسة انتصارات. تنتهي اللعبة عندما تفوز الأولى بأربع مباريات والثانية بثلاث. كيف يجب تقسيم الرهان الأولي في هذه الحالة؟

المحلول. اسمحوا الحدث = (الفوز بالجائزة من قبل اللاعب الأول). ثم شجرة العائد الاحتمالية للاعب الأول هي:

ومن ثم ، يجب إعطاء ثلاثة أجزاء من الرهان للاعب الأول وجزء إلى الثاني.

دعنا نظهر كفاءة حل المشكلات الاحتمالية بمساعدة الرسوم البيانية باستخدام المثال التالي ، والذي درسناه في القسم 1 (مثال 2).

مثال 25. هل الاختيار بمساعدة "العد" عادل؟

المحلول. لنقم بعمل شجرة احتمالية للنتائج:

وبالتالي ، عند لعب "العد" يكون من المربح أن تحتل المرتبة الثانية.

في الحل الأخير ، تم استخدام تفسيرات على الرسوم البيانية لنظريات الجمع وضرب الاحتمالات:

وعلى وجه الخصوص

إذا كانت و أحداث غير متوافقة

وإذا كانت أحداثًا مستقلة.

احتمالية ثابتة

التعريف الكلاسيكي ، عند النظر في المشاكل المعقدة ، يواجه صعوبات ذات طبيعة لا يمكن التغلب عليها. على وجه الخصوص ، في بعض الحالات قد لا يكون من الممكن تحديد الحالات المحتملة بنفس القدر. حتى في حالة العملة المعدنية ، كما هو معروف ، هناك احتمال غير محتمل بشكل متساوٍ لسقوط "الحافة" ، والذي لا يمكن تقديره من الاعتبارات النظرية (يمكن للمرء أن يقول فقط أنه غير مرجح وهذا الاعتبار عملي إلى حد ما ). لذلك ، في فجر تشكيل نظرية الاحتمال ، تم اقتراح تعريف بديل "تردد" للاحتمال. وبالتحديد ، رسميًا ، يمكن تعريف الاحتمال على أنه حد تواتر الملاحظات للحدث A ، بافتراض تجانس الملاحظات (أي تشابه جميع ظروف المراقبة) واستقلالها عن بعضها البعض:

أين هو عدد المشاهدات ، وعدد مرات حدوث الحدث.

على الرغم من حقيقة أن هذا التعريف يشير إلى طريقة لتقدير احتمال غير معروف - عن طريق عدد كبير من الملاحظات المتجانسة والمستقلة - إلا أن هذا التعريف يعكس محتوى مفهوم الاحتمال. على وجه التحديد ، إذا تم إسناد احتمال معين إلى حدث ما ، كمقياس موضوعي لإمكانية حدوثه ، فهذا يعني أنه في ظل ظروف ثابتة وتكرار متعدد ، يجب أن نحصل على تكرار حدوثه قريبًا من (كلما اقتربنا ، زادت الملاحظات). في الواقع ، هذا هو المعنى الأصلي لمفهوم الاحتمال. إنه يقوم على وجهة نظر موضوعية للظواهر الطبيعية. أدناه سننظر في ما يسمى بقوانين الأعداد الكبيرة ، والتي توفر أساسًا نظريًا (في إطار النهج البديهية الحديث المعروض أدناه) ، بما في ذلك تقدير تكرار الاحتمال.

مؤسسة البلدية التعليمية

صالة الألعاب الرياضية رقم 6

حول موضوع "التعريف الكلاسيكي للاحتمال".

أكمله طالب من الصف الثامن "ب"

الكسندرا كليمانتوفا.

مدرس الرياضيات: Videnkina V. A.

فورونيج ، 2008

تستخدم العديد من الألعاب النرد. النرد له 6 وجوه ، على كل وجه عدد مختلف من النقاط محدد - من 1 إلى 6. يرمي اللاعب النرد وينظر في عدد النقاط الموجودة على الوجه المتساقط (على الوجه الموجود في الأعلى). في كثير من الأحيان ، يتم استبدال النقاط الموجودة على حافة القالب بالرقم المقابل ثم يتحدثون عن لفة من 1 أو 2 أو 6. يمكن اعتبار إلقاء النرد تجربة وتجربة واختبار والنتيجة التي تم الحصول عليها هي نتيجة الاختبار أو حدث ابتدائي. يهتم الناس بتخمين بداية حدث ما ، والتنبؤ بنتائجه. ما هي التوقعات التي يمكنهم القيام بها عند رمي النرد؟ على سبيل المثال ، هذه:

1. الحدث أ - يسقط الرقم 1 أو 2 أو 3 أو 4 أو 5 أو 6 ؛
2. الحدث B - يقع الرقم 7 أو 8 أو 9 ؛
3. الحدث C - يقع الرقم 1.

الحدث أ ، المتوقع في الحالة الأولى ، سيأتي بالتأكيد. بشكل عام ، يتم استدعاء الحدث الذي من المؤكد حدوثه في تجربة معينة حدث معين.

الحدث B ، المتوقع في الحالة الثانية ، لن يحدث أبدًا ، إنه ببساطة مستحيل. بشكل عام ، يتم استدعاء الحدث الذي لا يمكن أن يحدث في تجربة معينة حدث مستحيل.

هل سيحدث الحدث "ج" المتوقع في الحالة الثالثة أم لا؟ لسنا قادرين على الإجابة على هذا السؤال بيقين تام ، لأن 1 قد يسقط أو لا يسقط. يتم استدعاء الحدث الذي قد يحدث أو لا يحدث في تجربة معينة حدث عشوائي.

بالتفكير في بداية حدث معين ، فإننا على الأرجح لن نستخدم كلمة "ربما". على سبيل المثال ، إذا كان اليوم هو الأربعاء ، فغدًا هو الخميس ، فهذا حدث معين. يوم الأربعاء لن نقول: "غدا على الأرجح الخميس" ، سنقول بإيجاز وبوضوح: "غدا الخميس". صحيح ، إذا كنا عرضة للعبارات الجميلة ، فيمكننا أن نقول هذا: "مع احتمال مائة بالمائة أقول إن غدًا هو الخميس". على العكس من ذلك ، إذا كان اليوم هو الأربعاء ، فإن قدوم الغد هو يوم الجمعة - وهو حدث مستحيل. في تقييم هذا الحدث يوم الأربعاء ، يمكننا أن نقول هذا: "أنا متأكد من أن الغد ليس يوم الجمعة." أو مثل هذا: "إنه أمر لا يصدق أن يكون غدًا يوم الجمعة". حسنًا ، إذا كنا عرضة للعبارات الجميلة ، فيمكننا أن نقول هذا: "احتمال أن يكون غدًا يوم الجمعة هو صفر". لذا ، فإن حدثًا معينًا هو حدث يحدث في ظل ظروف معينة. مع يقين 100٪(أي قادم في 10 حالات من أصل 10 ، في 100 حالة من أصل 100 ، وما إلى ذلك). الحدث المستحيل هو حدث لا يحدث أبدًا في ظل ظروف معينة ، حدث مع احتمال صفر.

لكن ، لسوء الحظ (وربما لحسن الحظ) ، ليس كل شيء في الحياة واضحًا وواضحًا: سيكون دائمًا (حدثًا معينًا) ، ولن يحدث هذا أبدًا (حدث مستحيل). في أغلب الأحيان ، نواجه أحداثًا عشوائية ، بعضها أكثر احتمالا ، والبعض الآخر أقل احتمالا. عادة ما يستخدم الناس الكلمات "أكثر احتمالا" أو "أقل احتمالا" ، كما يقولون ، لمجرد نزوة ، بالاعتماد على ما يسمى بالفطرة السليمة. لكن في كثير من الأحيان يتبين أن مثل هذه التقديرات غير كافية ، حيث من المهم معرفة ذلك كم الثمنفي المائة على الأرجح حدثًا عشوائيًا أو كم مرةحدث عشوائي واحد هو أكثر احتمالا من الآخر. بعبارة أخرى ، نحن بحاجة إلى الدقة كميالخصائص ، يجب أن تكون قادرًا على توصيف الاحتمال برقم.

لقد اتخذنا بالفعل الخطوات الأولى في هذا الاتجاه. قلنا أن احتمالية حدوث حدث معين تتميز بأنها مئة بالمئة، واحتمال وقوع حدث مستحيل مثل صفر. بالنظر إلى أن 100٪ تساوي 1 ، فقد اتفق الناس على ما يلي:

1. يعتبر احتمال حدوث حدث معين مساويًا لـ 1;
2. يعتبر احتمال وقوع حدث مستحيل مساوياً لـ 0.

كيف تحسب احتمال وقوع حدث عشوائي؟ بعد كل شيء ، لقد حدث ذلك مصادفة، مما يعني أنه لا يخضع للقوانين والخوارزميات والصيغ. اتضح أن بعض القوانين تعمل في عالم العشوائية ، مما يسمح لك بحساب الاحتمالات. هذا هو فرع الرياضيات الذي يسمى- نظرية الاحتمالات.

الرياضيات تتعامل مع نموذجبعض ظاهرة الواقع من حولنا. من بين جميع النماذج المستخدمة في نظرية الاحتمالات ، سنقتصر على الأبسط.

مخطط الاحتمالية الكلاسيكية

لإيجاد احتمالية وقوع حدث "أ" أثناء بعض التجارب ، يجب على المرء:

1) ابحث عن الرقم N لجميع النتائج المحتملة لهذه التجربة ؛

2) قبول الافتراض القائل بأن جميع هذه النتائج متساوية في الاحتمال (ممكنة بنفس القدر) ؛

3) ابحث عن الرقم N (A) لنتائج التجربة التي وقع فيها الحدث A ؛

4) العثور على ملف خاص ; سيكون مساويًا لاحتمال الحدث A.

من المعتاد تعيين احتمالية حدث A كـ P (A). تفسير هذا التعيين بسيط للغاية: كلمة "احتمال" بالفرنسية هي احتمالا، باللغة الإنجليزية- احتمالايستخدم التعيين الحرف الأول من الكلمة.

باستخدام هذا الترميز ، يمكن إيجاد احتمال حدث A وفقًا للمخطط الكلاسيكي باستخدام الصيغة

ف (أ) =.

غالبًا ما يتم التعبير عن جميع نقاط المخطط الاحتمالي الكلاسيكي المحدد بعبارة واحدة طويلة إلى حد ما.

التعريف الكلاسيكي للاحتمال

احتمال وقوع حدث "أ" أثناء اختبار معين هو نسبة عدد النتائج ، نتيجة وقوع الحدث "أ" ، إلى العدد الإجمالي لجميع النتائج الممكنة المتساوية لهذا الاختبار.

مثال 1. أوجد الاحتمال أنه برمية واحدة من النرد: أ) 4 ؛ ب) 5 ؛ ج) عدد زوجي من النقاط ؛ د) عدد النقاط أكبر من 4 ؛ ه) عدد النقاط ليس من مضاعفات الثلاثة.

المحلول. في المجموع ، هناك N = 6 نتائج محتملة: إسقاط وجه مكعب بعدد من النقاط يساوي 1 أو 2 أو 3 أو 4 أو 5 أو 6. نعتقد أن أيًا منها لا يتمتع بأي مزايا على الآخرين ، أي أننا نقبل افتراض تشابه هذه النتائج.

أ) بالضبط في إحدى النتائج ، سيحدث الحدث الذي يهمنا A - فقدان الرقم 4. وبالتالي ، N (A) \ u003d 1 و

ص(أ)= =.

ب) الحل والجواب هما نفسهما في الفقرة السابقة.

ج) سيحدث الحدث "ب" الذي يهمنا بالضبط في ثلاث حالات عندما يكون عدد النقاط 2 أو 4 أو 6. ومن ثم ،

ن(ب) = 3 وص(ب)==.

د) سيحدث الحدث C الذي يهمنا بالضبط في حالتين عندما يكون عدد النقاط 5 أو 6. وبالتالي ،

ن(ج) = 2 و P (C) =.

هـ) من بين الأرقام الستة المحتملة المرسومة ، فإن أربعة (1 ، 2 ، 4 ، 5) ليست من مضاعفات الثلاثة ، والرقمان المتبقيان (3 و 6) يقبلان القسمة على ثلاثة. هذا يعني أن الحدث الذي يثير اهتمامنا يحدث بالضبط في أربعة من أصل ستة محتمل ومحتمل بالتساوي فيما بينهم ومحتمل بنفس القدر فيما بينهم من نتائج التجربة. إذن الجواب.

الجواب: أ) ؛ ب) ؛ في) ؛ ز) ؛ ه).

قد يختلف نرد اللعب الحقيقي عن النرد المثالي (النموذج) ، لذلك ، لوصف سلوكه ، يلزم وجود نموذج أكثر دقة وتفصيلاً ، مع مراعاة مزايا وجه واحد على الآخر ، واحتمال وجود مغناطيس ، إلخ. لكن "الشيطان يكمن في التفاصيل" ، والمزيد من الدقة يؤدي إلى مزيد من التعقيد ، ويصبح الحصول على إجابة مشكلة. نحن نقتصر على التفكير في أبسط نموذج احتمالي ، حيث تكون جميع النتائج المحتملة محتملة بشكل متساوٍ.

ملاحظة 1. لنفكر في مثال آخر. تم طرح السؤال: "ما هو احتمال الحصول على ثلاثة على لفة واحدة من النرد؟" أجاب الطالب على هذا النحو: "الاحتمال 0.5". وأوضح إجابته: "الثلاثة إما يسقطون أو لا يسقطون. هذا يعني أن هناك نتيجتين في المجموع ، وفي حدث واحد بالضبط يقع الحدث الذي يهمنا. وفقًا للمخطط الاحتمالي الكلاسيكي ، نحصل على الإجابة 0.5. هل هناك خطأ في هذا المنطق؟ للوهلة الأولى ، لا. ومع ذلك ، لا يزال هناك ، وفي لحظة أساسية. نعم ، في الواقع ، سوف يسقط الثلاثي أو لا يسقط ، أي مع مثل هذا التعريف لنتيجة الرمية ، N = 2. صحيح أيضًا أن N (A) = 1 ، وبالطبع ، صحيح أن = 0 ، 5 ، أي ثلاث نقاط من المخطط الاحتمالي تؤخذ في الاعتبار ، لكن استيفاء النقطة 2) أمر مشكوك فيه. بالطبع ، من وجهة نظر قانونية بحتة ، لدينا الحق في الاعتقاد بأن خسارة ثلاثية من المرجح أن تفشل. ولكن هل يمكننا التفكير في ذلك دون انتهاك افتراضاتنا الطبيعية حول "تشابه" الوجوه؟ بالطبع لا! نحن هنا نتعامل مع الاستدلال الصحيح ضمن نموذج ما. فقط هذا النموذج نفسه "خاطئ" ، ولا يتوافق مع الظاهرة الحقيقية.

ملاحظة 2. عند مناقشة الاحتمالية ، لا تغفل عن الظرف المهم التالي. إذا قلنا أنه عند إلقاء النرد ، فإن احتمال الحصول على نقطة واحدة يساوي ، هذا لا يعني على الإطلاق أنه من خلال دحرجة النرد 6 مرات ، ستحصل على نقطة واحدة بالضبط مرة واحدة ، عن طريق رمي النرد 12 مرة ، ستحصل تحصل على نقطة واحدة مرتين بالضبط ، من خلال دحرجة النرد 18 مرة ، تحصل على نقطة واحدة ثلاث مرات بالضبط ، وهكذا. نحن نفترض أن هذا من المحتمل أن يحدث. ربما إذا دحرجنا النرد 600 مرة ، فستظهر نقطة واحدة 100 مرة ، أو حوالي 100 مرة.

نشأت نظرية الاحتمالات في القرن السابع عشر عند تحليل ألعاب المقامرة المختلفة. ليس من المستغرب إذن أن تكون الأمثلة الأولى ذات طبيعة مرحة. من أمثلة النرد ، دعنا ننتقل إلى الرسم العشوائي لأوراق اللعب من سطح السفينة.

مثال 2. من مجموعة من 36 بطاقة ، يتم سحب 3 بطاقات بشكل عشوائي في نفس الوقت. ما هو احتمال عدم وجود ملكة البستوني بينهم؟

المحلول. لدينا مجموعة من 36 عنصرًا. نختار ثلاثة عناصر ، ترتيبها غير مهم. وبالتالي ، من الممكن الحصول على نتائج N = C. سوف نتصرف وفقًا للمخطط الاحتمالي الكلاسيكي ، أي سنفترض أن كل هذه النتائج متساوية في الاحتمال.

يبقى حساب الاحتمال المطلوب وفقًا للتعريف الكلاسيكي:

وما هو احتمال وجود ملكة البستوني من بين الأوراق الثلاث المختارة؟ ليس من الصعب حساب عدد كل هذه النتائج ، ما عليك سوى أن تطرح من جميع النتائج N كل تلك النتائج التي لا توجد فيها ملكة البستوني ، أي طرح الرقم N (A) الموجود في المثال 3. ثم يجب تقسيم هذا الاختلاف N - N (A) وفقًا للمخطط الاحتمالي الكلاسيكي على N. وهذا ما نحصل عليه:

نرى أن هناك علاقة معينة بين احتمالية الحدثين. إذا كان الحدث A يتكون من غياب ملكة البستوني ، وكان الحدث B هو وجودها بين البطاقات الثلاثة المختارة ، إذن

الفوسفور (ب) = 1 - ف (أ) ،

ل (أ) + ف (ب) = 1.

لسوء الحظ ، في المساواة P (A) + P (B) = 1 لا توجد معلومات حول العلاقة بين الأحداث A و B ؛ علينا أن نضع هذا الارتباط في الاعتبار. سيكون من الأنسب إعطاء الحدث B اسمًا وتسمية مقدمًا ، مما يشير بوضوح إلى ارتباطه بـ A.

التعريف 1. الحدث باتصل عكس الحدث أوتدل على B = Ā إذا حدث الحدث B إذا وفقط إذا لم يحدث الحدث A.

تينظرية 1. لإيجاد احتمال الحدث المعاكس ، اطرح احتمال الحدث نفسه من الوحدة: Р (Ā) = 1 - Р (А). في الواقع،

في الممارسة العملية ، يقومون بحساب ما هو أسهل للعثور عليه: إما P (A) أو P (Ā). بعد ذلك ، يستخدمون الصيغة من النظرية ويجدون ، على التوالي ، إما P (Ā) = 1-P (A) ، أو P (A) = 1-P (Ā).

غالبًا ما تستخدم طريقة حل مشكلة معينة عن طريق "تعداد الحالات" ، عندما يتم تقسيم ظروف المشكلة إلى حالات متنافية ، يتم النظر في كل منها على حدة. على سبيل المثال ، "إذا ذهبت إلى اليمين ، فسوف تفقد خيلك ، وإذا ذهبت مباشرة ، فسوف تحل مشكلة وفقًا لنظرية الاحتمالات ، إذا ذهبت إلى اليسار ...". أو عند رسم الدالة y = │x + 1│ - │2x - 5│ ، ضع في اعتبارك حالات x

مثال 3. من بين 50 نقطة ، هناك 17 مظللة باللون الأزرق و 13 باللون البرتقالي. أوجد احتمال تظليل النقطة المختارة عشوائيًا.

المحلول. في المجموع ، 30 نقطة من أصل 50 مظللة ، وبالتالي فإن الاحتمال هو = 0.6.

الجواب: 0.6.

ومع ذلك ، دعونا نلقي نظرة فاحصة على هذا المثال البسيط. دع الحدث أ أن النقطة المحددة زرقاء ، والحدث ب أن النقطة المحددة برتقالية. حسب الاصطلاح ، لا يمكن أن يحدث الحدثان "أ" و "ب" في نفس الوقت.

نشير بالحرف C إلى الحدث الذي يهمنا. يحدث الحدث C في حالة حدوثه وفقط في حالة حدوثه واحد على الأقل من الأحداث A أو B. من الواضح أن N (C) = N (A) + N (B).

دعونا نقسم كلا جانبي هذه المساواة على N ، عدد جميع النتائج المحتملة للتجربة المعينة ؛ نحن نحصل

لقد حللنا موقفًا مهمًا ومتكرر الحدوث باستخدام مثال بسيط. هناك اسم خاص لها.

التعريف 2. يتم استدعاء الأحداث A و B غير متوافقإذا لم تحدث في نفس الوقت.

نظرية 2. إن احتمال حدوث حدث واحد على الأقل من حدثين غير متوافقين يساوي مجموع احتمالاتهما.

عند ترجمة هذه النظرية إلى لغة رياضية ، يصبح من الضروري بطريقة ما تسمية وتعيين حدث يتكون من حدوث واحد على الأقل من الحدثين المعينين A و B. هذا الحدث يسمى مجموع الأحداث A و B ويتم الإشارة إليه بواسطة أ + ب.

إذا كان A و B غير متوافقين ، فإن P (A + B) = P (A) + P (B).

في الواقع،

يمكن توضيح عدم توافق الأحداث A و B بشكل ملائم. إذا كانت جميع نتائج التجربة عبارة عن مجموعة من النقاط في الشكل ، فإن الحدثين A و B هما بعضهما مجموعات فرعية من مجموعة معينة. عدم توافق A و B يعني أن هاتين المجموعتين الفرعيتين لا تتقاطعان. مثال نموذجي للأحداث غير المتوافقة هو أي حدث A والحدث المعاكس Ā.

بالطبع ، هذه النظرية صحيحة لثلاثة وأربعة وأي عدد محدود من الأحداث غير المتوافقة الزوجية. إن احتمال مجموع أي عدد من الأحداث غير المتوافقة الزوجية يساوي مجموع احتمالات هذه الأحداث.هذا البيان المهم يتوافق تمامًا مع طريقة حل المشكلات عن طريق "تعداد الحالات".

بين الأحداث التي تحدث نتيجة لبعض التجارب ، وبين احتمالات هذه الأحداث ، قد يكون هناك بعض العلاقات والتبعيات والصلات وما إلى ذلك. على سبيل المثال ، يمكن "إضافة" الأحداث ، واحتمال مجموع غير المتوافق الأحداث تساوي مجموع احتمالاتها.

في الختام ، نناقش السؤال الأساسي التالي: هل من الممكن يثبت، أن احتمال الحصول على "ذيول" في رمية واحدة لعملة واحدة يساوي

الجواب بالنفي. بشكل عام ، السؤال نفسه غير صحيح ، والمعنى الدقيق لكلمة "إثبات" غير واضح. بعد كل شيء ، نحن دائمًا نثبت شيئًا ما في إطار البعض عارضات ازياء، حيث القواعد والقوانين والبديهيات والصيغ والنظريات وما إلى ذلك معروفة بالفعل. إذا كنا نتحدث عن عملة وهمية "مثالية" ، فهذا هو السبب في اعتبارها مثالية لأنها ، حسب التعريف، فإن احتمال الحصول على رؤوس يساوي احتمال الحصول على صورة. ومن حيث المبدأ ، يمكننا النظر في نموذج يكون فيه احتمال سقوط "ذيول" أكبر بمرتين من احتمال سقوط "نسور" أو أقل بثلاث مرات ، إلخ. ثم يطرح السؤال: لأي سبب نختار من نماذج مختلفة محتملة لقلب العملة يكون فيها احتمال كلا نتيجتي القرعة متساويين؟

الإجابة المباشرة تمامًا هي: "لكن الأمر أسهل وأكثر وضوحًا وطبيعية بالنسبة لنا!" لكن هناك المزيد من الحجج الموضوعية أيضًا. يأتون من الممارسة. تقدم الغالبية العظمى من الكتب المدرسية حول نظرية الاحتمالات أمثلة على عالم الطبيعة الفرنسي ج.بوفون (القرن الثامن عشر) وعالم الرياضيات والإحصاء الإنجليزي سي.بيرسون (أواخر القرن التاسع عشر) ، الذي رمى قطعة نقود 4040 و 24000 مرة ، على التوالي ، وأحصيا عدد "الرؤوس" الساقطة "أو" ذيول ". سقطت "ذيولهم" ، على التوالي ، 1992 و 11998 مرة. إذا كنت تعول تردد القطرة"ذيول" ، ثم تحصل على = = 0.493069 ... لبوفون و = 0.4995 لبيرسون. ينشأ بشكل طبيعي افتراضأنه مع زيادة غير محدودة في عدد رميات العملة ، فإن تكرار سقوط "ذيول" ، وكذلك تكرار سقوط "النسور" ، سيقترب أكثر فأكثر من 0.5. هذا الافتراض ، بناءً على البيانات العملية ، هو الأساس لاختيار نموذج بنتائج قابلة للتوازن.

الآن يمكننا تلخيص. المفهوم الأساسي هو احتمال وقوع حدث عشوائي، والتي يتم حسابها في إطار أبسط نموذج - مخطط احتمالي كلاسيكي. المفهوم مهم من الناحية النظرية والعملية. حدث معاكسوالصيغة Р (Ā) = 1 - Р (А) لإيجاد احتمالية حدوث مثل هذا الحدث.

أخيرًا ، التقينا أحداث غير متوافقةومع الصيغ.

الفوسفور (أ + ب) \ u003d ف (أ) + ف (ب) ،

الفوسفور (A + B + C) \ u003d P (A) + P (B) + P (C) ،

السماح لإيجاد الاحتمالات كمياتمثل هذه الأحداث.

فهرس

1. الأحداث. الاحتمالات. معالجة البيانات الإحصائية: إضافة. فقرات لمسار الجبر 7-9 خلايا. المؤسسات التعليمية / A.G Mordkovich، P. V. Semenov. - 4th ed. - M: Mnemozina، 2006. - 112 p: ill.

2. يو. ن. ماكاريشيف ، إن جي مينديوك "الجبر. عناصر الإحصاء ونظرية الاحتمالات. - موسكو ، التنوير ، 2006.