حاصل الضرب النقطي للناقلات

نواصل التعامل مع النواقل. في الدرس الأول ناقلات للدمىلقد درسنا مفهوم المتجه والإجراءات ذات المتجهات وإحداثيات المتجهات وأبسط المشاكل مع المتجهات. إذا أتيت إلى هذه الصفحة لأول مرة من محرك بحث ، فإنني أوصي بشدة بقراءة المقالة التمهيدية أعلاه ، لأنه من أجل استيعاب المادة ، يجب أن يتم إرشادك في المصطلحات والترميز الذي أستخدمه ، ولديك معرفة أساسية بالمتجهات وتكون قادرة على حل المشاكل الأولية. هذا الدرس هو استمرار منطقي للموضوع ، وفيه سأحلل بالتفصيل المهام النموذجية التي تستخدم المنتج القياسي للمتجهات. هذه وظيفة مهمة جدا.. حاول ألا تتخطى الأمثلة ، فهي تأتي مع مكافأة مفيدة - ستساعدك هذه الممارسة على دمج المادة المغطاة و "الحصول على يدك" في حل المشكلات الشائعة في الهندسة التحليلية.

إضافة المتجهات ، وضرب متجه برقم…. سيكون من السذاجة الاعتقاد بأن علماء الرياضيات لم يأتوا بشيء آخر. بالإضافة إلى الإجراءات التي تم النظر فيها بالفعل ، هناك عدد من العمليات الأخرى ذات النواقل ، وهي: حاصل الضرب النقطي للناقلات, عبر المنتج من النواقلو منتج مختلط من النواقل. المنتج القياسي للناقلات مألوف لنا من المدرسة ، والمنتجان الآخران مرتبطان تقليديًا بمسار الرياضيات العليا. الموضوعات بسيطة ، وخوارزمية حل العديد من المشكلات مقولبة ومفهومة. الشيء الوحيد. هناك قدر لا بأس به من المعلومات ، لذلك من غير المرغوب فيه محاولة إتقان كل شيء وحله مرة واحدة. هذا ينطبق بشكل خاص على الدمى ، صدقوني ، المؤلف لا يريد مطلقًا أن يشعر وكأنه تشيكاتيلو من الرياضيات. حسنًا ، ليس من الرياضيات ، بالطبع ، إما =) يمكن للطلاب الأكثر استعدادًا استخدام المواد بشكل انتقائي ، بمعنى معين ، "لاكتساب" المعرفة المفقودة ، لأنني سأكون كونت دراكولا غير ضار =)

أخيرًا ، لنفتح الباب قليلاً ونلقي نظرة على ما يحدث عندما يلتقي متجهان مع بعضهما البعض….

تعريف المنتج العددي للناقلات.
خصائص المنتج العددي. المهام النموذجية

مفهوم المنتج النقطي

أولا الزاوية بين النواقل. أعتقد أن الجميع يفهم بشكل حدسي الزاوية بين المتجهات ، ولكن فقط في حالة ، أكثر من ذلك بقليل. ضع في اعتبارك ناقلات حرة غير صفرية وملفات. إذا قمنا بتأجيل هذه النواقل من نقطة اعتباطية ، فسنحصل على صورة قدمها الكثيرون بالفعل ذهنيًا:

أعترف ، هنا وصفت الوضع فقط على مستوى التفاهم. إذا كنت بحاجة إلى تعريف صارم للزاوية بين المتجهات ، فيرجى الرجوع إلى الكتاب المدرسي ، ولكن بالنسبة للمهام العملية ، فنحن ، من حيث المبدأ ، لسنا بحاجة إليها. هنا أيضًا وأكثر ، سأتجاهل أحيانًا صفر نواقل نظرًا لأهميتها العملية المنخفضة. لقد قمت بالحجز خصيصًا لزوار الموقع المتقدمين ، والذين يمكنهم أن يوبخوني لعدم اكتمال بعض العبارات التالية نظريًا.

يمكن أن تأخذ قيمًا من 0 إلى 180 درجة (من 0 إلى راديان) ضمناً. من الناحية التحليلية ، تمت كتابة هذه الحقيقة على أنها عدم مساواة مزدوجة: أو (بالتقدير الدائري).

في الأدبيات ، غالبًا ما يتم حذف رمز الزاوية وكتابته ببساطة.

تعريف:الناتج العددي لمتجهين هو رقم يساوي حاصل ضرب أطوال هذه المتجهات وجيب الزاوية بينهما:

الآن هذا تعريف صارم جدًا.

نحن نركز على المعلومات الأساسية:

تعيين:يتم الإشارة إلى المنتج القياسي بواسطة أو ببساطة.

نتيجة العملية هي NUMBER: اضرب المتجه بمتجه للحصول على رقم. في الواقع ، إذا كانت أطوال المتجهات أرقامًا ، فإن جيب تمام الزاوية هو رقم ، ثم ناتجها سيكون أيضًا رقمًا.

فقط بعض الأمثلة على الإحماء:

مثال 1

المحلول:نستخدم الصيغة . في هذه الحالة:

إجابه:

يمكن العثور على قيم جيب التمام في الجدول المثلثي. أوصي بطباعته - ستكون مطلوبة في جميع أقسام البرج تقريبًا وستكون مطلوبة عدة مرات.

من وجهة نظر رياضية بحتة ، المنتج القياسي بلا أبعاد ، أي أن النتيجة ، في هذه الحالة ، هي مجرد رقم وهذا كل شيء. من وجهة نظر مشاكل الفيزياء ، يكون للمنتج القياسي دائمًا معنى ماديًا معينًا ، أي بعد النتيجة ، يجب الإشارة إلى وحدة مادية أو أخرى. يمكن العثور على المثال الأساسي لحساب عمل القوة في أي كتاب مدرسي (الصيغة هي بالضبط حاصل الضرب النقطي). يتم قياس عمل القوة بالجول ، لذلك ستتم كتابة الإجابة بشكل محدد تمامًا ، على سبيل المثال ،.

مثال 2

ابحث عما إذا كان ، والزاوية بين المتجهات.

هذا مثال للقرار الذاتي ، الجواب في نهاية الدرس.

الزاوية بين المتجهات وقيمة المنتج النقطي

في المثال 1 ، تبين أن المنتج القياسي موجب ، وفي المثال 2 ، تبين أنه سلبي. دعنا نتعرف على ما تعتمد عليه علامة المنتج القياسي. لنلقِ نظرة على صيغتنا: . أطوال المتجهات غير الصفرية تكون دائمًا موجبة: لذلك يمكن أن تعتمد الإشارة فقط على قيمة جيب التمام.

ملحوظة: لفهم المعلومات الواردة أدناه بشكل أفضل ، من الأفضل دراسة الرسم البياني لجيب التمام في الدليل الرسوم البيانية وخصائص الوظيفة. انظر كيف يتصرف جيب التمام على القطعة.

كما لوحظ بالفعل ، يمكن أن تختلف الزاوية بين المتجهات في الداخل ، والحالات التالية ممكنة:

1) إذا ركنبين النواقل حار: (من 0 إلى 90 درجة) ، إذن ، و سيكون المنتج النقطي إيجابيًا شارك في الإخراج، فإن الزاوية بينهما تعتبر صفرًا ، ويكون الناتج القياسي أيضًا موجبًا. منذ ذلك الحين ، يتم تبسيط الصيغة:.

2) إذا ركنبين النواقل غبي: (من 90 إلى 180 درجة) ، إذن و بالمقابل حاصل الضرب النقطي سلبي:. حالة خاصة: إذا كانت النواقل موجهة بشكل معاكسثم تعتبر الزاوية بينهما نشر: (180 درجة). المنتج القياسي سلبي أيضًا ، منذ ذلك الحين

العبارات المعاكسة صحيحة أيضًا:

1) إذا كانت الزاوية بين هذه المتجهات حادة. بدلاً من ذلك ، تكون النواقل ذات اتجاه مشفر.

2) إذا كانت الزاوية بين هذين المتجهين منفرجة. بدلا من ذلك ، يتم توجيه المتجهات بشكل معاكس.

لكن الحالة الثالثة ذات أهمية خاصة:

3) إذا ركنبين النواقل مستقيم: (90 درجة) ثم و حاصل الضرب النقطي يساوي صفرًا:. والعكس صحيح أيضًا: إذا ، إذن. تم صياغة بيان الاتفاق على النحو التالي: يكون الناتج القياسي لمتجهين صفرًا فقط إذا كانت المتجهات المعطاة متعامدة. تدوين رياضي قصير:

! ملحوظة : كرر أسس المنطق الرياضي: عادةً ما تتم قراءة رمز النتيجة المنطقية على الوجهين "إذا وفقط عندها" ، "إذا وفقط إذا". كما ترى ، يتم توجيه الأسهم في كلا الاتجاهين - "من هذا يتبع هذا ، والعكس صحيح - من هذا يتبع هذا". بالمناسبة ، ما هو الاختلاف عن رمز المتابعة أحادي الاتجاه؟ مطالبات أيقونة هذا فقطأن "من هذا يتبع هذا" ، وليس حقيقة أن العكس هو الصحيح. على سبيل المثال: ، ولكن ليس كل حيوان هو النمر ، لذلك لا يمكن استخدام الرمز في هذه الحالة. في نفس الوقت ، بدلا من الأيقونة يستطيعاستخدام رمز من جانب واحد. على سبيل المثال ، أثناء حل المشكلة ، اكتشفنا أننا استنتجنا أن المتجهات متعامدة: - سيكون هذا السجل صحيحًا ، بل وسيكون أكثر ملاءمة من .

الحالة الثالثة ذات أهمية عملية كبيرة.، لأنه يسمح لك بالتحقق مما إذا كانت المتجهات متعامدة أم لا. سنحل هذه المشكلة في القسم الثاني من الدرس.

خصائص المنتج النقطي

دعنا نعود إلى الحالة عند اثنين من النواقل شارك في الإخراج. في هذه الحالة ، الزاوية بينهما صفر ، وتأخذ صيغة المنتج العددية الشكل:.

ماذا يحدث إذا تم ضرب المتجه بنفسه؟ من الواضح أن المتجه موجه بشكل مشترك مع نفسه ، لذلك نستخدم الصيغة المبسطة أعلاه:

الرقم يسمى مربع عدديمتجه ، ويشار إليها باسم.

في هذا الطريق، المربع القياسي للمتجه يساوي مربع طول المتجه المحدد:

من هذه المساواة ، يمكنك الحصول على صيغة لحساب طول المتجه:

بينما يبدو الأمر غامضًا ، إلا أن مهام الدرس ستضع كل شيء في مكانه. لحل المشاكل ، نحتاج أيضًا خصائص المنتج نقطة.

بالنسبة إلى المتجهات التعسفية وأي رقم ، فإن الخصائص التالية صحيحة:

1) - قابل للإزاحة أو تبادليقانون المنتجات العددية.

2) - التوزيع أو توزيعيقانون المنتجات العددية. ببساطة ، يمكنك فتح الأقواس.

3) - تركيبة أو ترابطيقانون المنتجات العددية. يمكن إخراج الثابت من الناتج القياسي.

في كثير من الأحيان ، ينظر الطلاب إلى جميع أنواع الخصائص (التي تحتاج أيضًا إلى إثبات!) على أنها قمامة غير ضرورية ، والتي تحتاج فقط إلى الحفظ والنسيان بأمان فور الامتحان. يبدو أن ما هو مهم هنا ، الجميع يعرف بالفعل من الصف الأول أن المنتج لا يتغير من تقليب العوامل:. يجب أن أحذرك ، في الرياضيات العليا بمثل هذا النهج ، من السهل إفساد الأشياء. لذلك ، على سبيل المثال ، الخاصية التبادلية غير صالحة لـ المصفوفات الجبرية. هذا ليس صحيحا ل عبر المنتج من النواقل. لذلك ، من الأفضل على الأقل الخوض في أي خصائص ستقابلها في سياق الرياضيات العليا لفهم ما يمكن وما لا يمكن فعله.

مثال 3

.

المحلول:أولاً ، دعنا نوضح الموقف بالمتجه. ما هو كل شيء؟ مجموع المتجهات وهو متجه محدد جيدًا ، يتم الإشارة إليه بواسطة. يمكن العثور على التفسير الهندسي للإجراءات ذات النواقل في المقالة ناقلات للدمى. نفس البقدونس مع المتجه هو مجموع المتجهات و.

لذلك ، وفقًا للشرط ، من الضروري العثور على المنتج القياسي. من الناحية النظرية ، تحتاج إلى تطبيق صيغة العمل ولكن المشكلة أننا لا نعرف أطوال المتجهات والزاوية بينهما. لكن في الحالة ، يتم إعطاء معلمات متشابهة للناقلات ، لذلك سنذهب في الاتجاه الآخر:

(1) نحن نستبدل تعبيرات المتجهات.

(2) نفتح الأقواس وفقًا لقاعدة مضاعفة كثيرات الحدود ، يمكن العثور على عبارة لسان مبتذلة في المقالة ارقام مركبةأو تكامل دالة كسرية عقلانية. لن أكرر نفسي =) بالمناسبة ، تسمح لنا خاصية التوزيع للمنتج القياسي بفتح الأقواس. لدينا الحق.

(3) في المصطلحين الأول والأخير ، نكتب بشكل مضغوط المربعات العددية للمتجهات: . في المصطلح الثاني ، نستخدم قابلية تبديل المنتج القياسي:.

(4) فيما يلي مصطلحات متشابهة:.

(5) في المصطلح الأول ، نستخدم صيغة المربع العددي ، والتي تم ذكرها منذ وقت ليس ببعيد. في الفصل الأخير ، على التوالي ، يعمل نفس الشيء:. يتم توسيع المصطلح الثاني وفقًا للصيغة القياسية .

(6) استبدل هذه الشروط ، ونفذ بدقة الحسابات النهائية.

إجابه:

توضح القيمة السالبة للمنتج النقطي حقيقة أن الزاوية بين المتجهين منفرجة.

المهمة نموذجية ، وإليك مثال لحل مستقل:

مثال 4

ابحث عن المنتج القياسي للمتجهات وإذا كان معروفًا ذلك .

الآن مهمة أخرى مشتركة ، فقط لصيغة طول المتجه الجديدة. ستتداخل التعيينات هنا قليلاً ، لذا من أجل الوضوح ، سأعيد كتابتها بحرف مختلف:

مثال 5

أوجد طول المتجه إذا .

المحلولسيكون على النحو التالي:

(1) نحن نوفر التعبير المتجه.

(2) نستخدم صيغة الطول: بينما لدينا تعبير عدد صحيح مثل المتجه "ve".

(3) نستخدم صيغة المدرسة لمربع المجموع. انتبه إلى كيفية عملها بشكل غريب هنا: - في الواقع ، هذا هو مربع الاختلاف ، وفي الواقع ، هو كذلك. يمكن لأولئك الذين يرغبون في إعادة ترتيب المتجهات في الأماكن: - اتضح نفس الشيء حتى إعادة ترتيب الشروط.

(4) ما يلي هو مألوف بالفعل من المشكلتين السابقتين.

إجابه:

بما أننا نتحدث عن الطول ، لا تنس الإشارة إلى البعد - "الوحدات".

مثال 6

أوجد طول المتجه إذا .

هذا مثال على "افعل ذلك بنفسك". الحل الكامل والإجابة في نهاية الدرس.

نستمر في إخراج الأشياء المفيدة من المنتج القياسي. لنلقِ نظرة على الصيغة مرة أخرى . وفقًا لقاعدة التناسب ، نعيد ضبط أطوال المتجهات إلى مقام الجانب الأيسر:

لنقم بتبديل الأجزاء:

ما معنى هذه الصيغة؟ إذا كان أطوال متجهين وحاصل ضربهما القياسي معروفين ، فيمكن عندئذٍ حساب جيب تمام الزاوية بين هذين المتجهين ، وبالتالي ، الزاوية نفسها.

هل المنتج العددي رقم؟ رقم. هل أطوال المتجهات أرقام؟ أعداد. إذن ، الكسر هو أيضًا عدد. وإذا عرف جيب تمام الزاوية: ، ثم باستخدام الدالة العكسية ، من السهل العثور على الزاوية نفسها: .

مثال 7

أوجد الزاوية بين المتجهات وإذا كان معروفًا ذلك.

المحلول:نستخدم الصيغة:

في المرحلة الأخيرة من الحسابات ، تم استخدام تقنية - القضاء على اللاعقلانية في المقام. للتخلص من اللاعقلانية ، قمت بضرب البسط والمقام في.

حتى إذا ، ومن بعد:

يمكن العثور على قيم الدوال المثلثية العكسية من خلال الجدول المثلثي. على الرغم من أن هذا نادرًا ما يحدث. في مشاكل الهندسة التحليلية ، تظهر بعض الدببة الخرقاء في كثير من الأحيان ، ويجب إيجاد قيمة الزاوية تقريبًا باستخدام الآلة الحاسبة. في الواقع ، سنرى هذه الصورة مرارًا وتكرارًا.

إجابه:

مرة أخرى ، لا تنس تحديد البعد - الراديان والدرجات. شخصيًا ، من أجل "إزالة جميع الأسئلة" عن عمد ، أفضل الإشارة إلى كليهما (ما لم يكن مطلوبًا بالطبع تقديم الإجابة بالراديان فقط أو بالدرجات فقط).

الآن ستتمكن من التعامل مع مهمة أكثر صعوبة بمفردك:

المثال 7 *

معطى أطوال المتجهات ، والزاوية بينهما. أوجد الزاوية بين المتجهين.

المهمة ليست صعبة بقدر ما هي متعددة الاتجاهات.
دعنا نحلل خوارزمية الحل:

1) وفقًا للشرط ، يلزم إيجاد الزاوية بين المتجهات ، وبالتالي تحتاج إلى استخدام الصيغة .

2) نجد المنتج القياسي (انظر الأمثلة رقم 3 ، 4).

3) أوجد طول المتجه وطول المتجه (انظر الأمثلة رقم 5 ، 6).

4) تطابق نهاية الحل مع المثال رقم 7 - نعرف الرقم ، مما يعني أنه من السهل إيجاد الزاوية نفسها:

حل قصير والإجابة في نهاية الدرس.

القسم الثاني من الدرس مخصص لنفس المنتج النقطي. إحداثيات. سيكون الأمر أسهل مما كان عليه في الجزء الأول.

حاصل الضرب النقطي للناقلات ،
أعطيت بواسطة الإحداثيات على أساس متعامد

إجابه:

وغني عن القول ، أن التعامل مع الإحداثيات أكثر متعة.

المثال 14

أوجد المنتج العددي للمتجهات وإذا

هذا مثال على "افعل ذلك بنفسك". هنا يمكنك استخدام ترابطية العملية ، أي لا تحسب ، ولكن على الفور اخرج الثلاثي من الناتج العددي وضربه في النهاية. الحل والجواب في نهاية الدرس.

في نهاية الفقرة ، مثال استفزازي لحساب طول المتجه:

المثال 15

أوجد أطوال المتجهات ، إذا

المحلول:مرة أخرى ، تقترح طريقة المقطع السابق نفسها: ولكن هناك طريقة أخرى:

لنجد المتجه:

وطوله حسب الصيغة التافهة :

المنتج القياسي غير مناسب هنا على الإطلاق!

كيف يكون خارج العمل عند حساب طول المتجه:
قف. لماذا لا تستفيد من خاصية الطول الواضحة للمتجه؟ ماذا يمكن أن يقال عن طول المتجه؟ هذا المتجه أطول بخمس مرات من المتجه. الاتجاه معاكس ، لكن لا يهم ، لأننا نتحدث عن الطول. من الواضح أن طول المتجه يساوي المنتج وحدةعدد لكل متجه طول:
- علامة الوحدة "تأكل" العدد المحتمل ناقصًا.

في هذا الطريق:

إجابه:

صيغة جيب تمام الزاوية بين المتجهات المعطاة بالإحداثيات

الآن لدينا معلومات كاملة بحيث تكون الصيغة المشتقة مسبقًا لجيب تمام الزاوية بين المتجهات تعبر من حيث إحداثيات المتجهات:

جيب التمام للزاوية بين المتجهات المستويةو ، على أساس متعامد ، يتم التعبير عنها بالصيغة:
.

جيب التمام للزاوية بين متجهات الفراغ، معطى في الأساس المتعامد ، يتم التعبير عنها بالصيغة:

المثال 16

معطيات ثلاثة رؤوس لمثلث. أوجد (زاوية الرأس).

المحلول:حسب الشرط ، الرسم غير مطلوب ، ولكن لا يزال:

الزاوية المطلوبة محددة بقوس أخضر. نذكر على الفور تسمية المدرسة للزاوية: - اهتمام خاص بـ وسطالحرف - هذا هو رأس الزاوية التي نحتاجها. للإيجاز ، يمكن أيضًا كتابته ببساطة.

يتضح من الرسم أن زاوية المثلث تتطابق مع الزاوية بين المتجهات ، وبعبارة أخرى: .

من المستحسن معرفة كيفية إجراء التحليل عقليًا.

دعنا نجد المتجهات:

دعنا نحسب المنتج القياسي:

وأطوال المتجهات:

جيب التمام لزاوية:

هذا هو ترتيب المهمة الذي أوصي به للدمى. يمكن للقراء الأكثر تقدمًا كتابة الحسابات "في سطر واحد":

فيما يلي مثال على قيمة جيب التمام "السيئة". القيمة الناتجة ليست نهائية ، لذلك لا فائدة من التخلص من اللاعقلانية في المقام.

لنجد الزاوية:

إذا نظرت إلى الرسم ، فإن النتيجة معقولة تمامًا. للتحقق من الزاوية ، يمكن أيضًا قياسها بمنقلة. لا تتلف طلاء الشاشة =)

إجابه:

في الجواب لا تنسوا ذلك سئل عن زاوية المثلث(وليس حول الزاوية بين المتجهات) ، لا تنس الإشارة إلى الإجابة الدقيقة: والقيمة التقريبية للزاوية: وجدت مع آلة حاسبة.

يمكن لأولئك الذين استمتعوا بالعملية حساب الزوايا والتأكد من صحة المساواة القانونية

المثال 17

يُعطى المثلث في الفضاء بإحداثيات رءوسه. أوجد الزاوية بين الجانبين و

هذا مثال على "افعل ذلك بنفسك". الحل الكامل والإجابة في نهاية الدرس

سيتم تخصيص قسم أخير صغير للإسقاطات ، حيث يكون المنتج القياسي أيضًا "متورطًا":

إسقاط متجه على متجه. إسقاط متجه على محاور الإحداثيات.
جيب التمام الاتجاه المتجه

ضع في اعتبارك النواقل و:

نسقط المتجه على المتجه ، لذلك نحذف من بداية ونهاية المتجه عموديلكل متجه (خطوط منقطة خضراء). تخيل أن أشعة الضوء تسقط بشكل عمودي على متجه. ثم المقطع (الخط الأحمر) سيكون "ظل" المتجه. في هذه الحالة ، يكون إسقاط المتجه على متجه هو طول المقطع. وهذا يعني أن الإسقاط رقم.

يتم الإشارة إلى هذا الرقم كما يلي: يشير "المتجه الكبير" إلى متجه الذيمشروع ، "ناقل منخفض منخفض" يشير إلى المتجه على الوهو متوقّع.

الإدخال نفسه يقرأ مثل هذا: "إسقاط المتجه" a "على المتجه" be ".

ماذا يحدث إذا كان المتجه "be" "قصير جدًا"؟ نرسم خطًا مستقيمًا يحتوي على المتجه "be". وسيتم إسقاط المتجه "أ" بالفعل في اتجاه المتجه "يكون"، ببساطة - على خط مستقيم يحتوي على المتجه "be". سيحدث نفس الشيء إذا تم وضع المتجه "a" جانبًا في المملكة الثلاثين - فسيظل من السهل إسقاطه على الخط الذي يحتوي على المتجه "be".

إذا كانت الزاويةبين النواقل حار(كما في الصورة) إذن

إذا كانت النواقل متعامد، إذن (الإسقاط هو نقطة يُفترض أن تكون أبعادها صفرًا).

إذا كانت الزاويةبين النواقل غبي(في الشكل ، قم بإعادة ترتيب سهم المتجه عقليًا) ، ثم (بنفس الطول ، ولكن بعلامة ناقص).

ضع هذه النواقل جانبًا من نقطة واحدة:

من الواضح ، عند تحريك ناقل ، لا يتغير إسقاطه

الناتج القياسي للناقلات (يشار إليه فيما بعد في نص المشروع المشترك). أصدقائي الأعزاء! يتضمن اختبار الرياضيات مجموعة من المسائل لحل النواقل. لقد درسنا بالفعل بعض المشاكل. يمكنك رؤيتها في فئة "ناقلات". بشكل عام ، نظرية النواقل بسيطة ، الشيء الرئيسي هو دراستها باستمرار. الحسابات والإجراءات مع المتجهات في دورة الرياضيات المدرسية بسيطة ، والصيغ ليست معقدة. تفحص . في هذه المقالة ، سنقوم بتحليل المهام في المشروع المشترك للمتجهات (المدرجة في الامتحان). الآن "الانغماس" في النظرية:

ح لإيجاد إحداثيات متجه ، عليك أن تطرح من إحداثيات نهايتهالإحداثيات المقابلة من بدايتها

و كذلك:

* يتم تعريف طول المتجه (المعامل) على النحو التالي:

يجب حفظ هذه الصيغ !!!

دعنا نظهر الزاوية بين المتجهات:

من الواضح أنه يمكن أن يختلف من 0 إلى 180 0(أو بالتقدير الدائري من 0 إلى Pi).

يمكننا استخلاص بعض الاستنتاجات حول علامة المنتج القياسي. من الواضح أن أطوال النواقل موجبة. لذا فإن علامة المنتج العددي تعتمد على قيمة جيب التمام للزاوية بين المتجهات.

الحالات المحتملة:

1. إذا كانت الزاوية بين المتجهين حادة (من 0 0 إلى 90 0) ، فسيكون لجيب الزاوية قيمة موجبة.

2. إذا كانت الزاوية بين المتجهين منفرجة (من 90 0 إلى 180 0) ، فسيكون لجيب الزاوية قيمة سالبة.

* عند درجة الصفر ، أي عندما يكون للمتجهات نفس الاتجاه ، فإن جيب التمام يساوي واحدًا ، وبالتالي ستكون النتيجة موجبة.

عند 180 درجة ، أي عندما يكون للمتجهات اتجاهات متعاكسة ، فإن جيب التمام يساوي ناقص واحد ،وستكون النتيجة سلبية.

الآن النقطة المهمة!

عند 90 o ، أي عندما تكون المتجهات متعامدة مع بعضها البعض ، يكون جيب التمام صفراً ، وبالتالي يكون المشروع المشترك صفرًا. تُستخدم هذه الحقيقة (النتيجة ، الاستنتاج) في حل العديد من المشكلات حيث نتحدث عن الترتيب المتبادل للمتجهات ، بما في ذلك المشكلات المدرجة في بنك المهام المفتوح في الرياضيات.

نصيغ البيان: الناتج القياسي يساوي صفرًا إذا وفقط إذا كانت المتجهات المعطاة تقع على خطوط متعامدة.

لذلك ، فإن صيغ متجهات SP هي:

إذا كانت إحداثيات المتجهات أو إحداثيات نقاط بدايتها ونهاياتها معروفة ، فيمكننا دائمًا إيجاد الزاوية بين المتجهات:

ضع في اعتبارك المهام:

27724 أوجد حاصل الضرب الداخلي للمتجهين أ وب.

يمكننا إيجاد الناتج القياسي للمتجهات باستخدام إحدى الصيغتين:

الزاوية بين المتجهين غير معروفة ، لكن يمكننا بسهولة إيجاد إحداثيات المتجهات ثم استخدام الصيغة الأولى. نظرًا لأن بدايات كلا المتجهين تتطابق مع الأصل ، فإن إحداثيات هذه المتجهات تساوي إحداثيات نهاياتها ، أي

كيفية العثور على إحداثيات المتجه موصوفة في.

نحسب:

الجواب: 40

ابحث عن إحداثيات المتجهات واستخدم الصيغة:

للعثور على إحداثيات المتجه ، من الضروري طرح الإحداثيات المقابلة لبدايته من إحداثيات نهاية المتجه ، مما يعني

نحسب المنتج القياسي:

الجواب: 40

أوجد الزاوية بين المتجهين أ وب. أعط إجابتك بالدرجات.

دع إحداثيات المتجهات لها الشكل:

لإيجاد الزاوية بين المتجهات ، نستخدم صيغة المنتج القياسي للمتجهات:

جيب التمام للزاوية بين المتجهات:

بالتالي:

إحداثيات هذه المتجهات هي:

دعنا نعوضهم بالصيغة:

الزاوية بين المتجهين 45 درجة.

الجواب: 45

وهكذا ، يُحسب طول المتجه على أنه الجذر التربيعي لمجموع مربعات إحداثياته
. وبالمثل ، يتم حساب طول متجه الأبعاد n
. إذا تذكرنا أن كل إحداثي للمتجه هو الفرق بين إحداثيات النهاية والبداية ، فسنحصل على صيغة طول المقطع ، أي المسافة الإقليدية بين النقاط.

منتج عدديمتجهان على مستوى ما هو حاصل ضرب أطوال هذه المتجهات وجيب تمام الزاوية بينهما:
. يمكن إثبات أن الناتج القياسي لمتجهين = (x 1، x 2) و = (y 1، y 2) يساوي مجموع حاصل ضرب الإحداثيات المقابلة لهذه المتجهات:
\ u003d x 1 * y 1 + x 2 * y 2.

في الفضاء ذي البعد n ، يتم تعريف حاصل الضرب القياسي للمتجهات X = (x 1، x 2، ...، x n) و Y = (y 1، y 2، ...، y n) على أنه مجموع حاصل الضرب من إحداثيات كل منهما: X * Y \ u003d x 1 * y 1 + x 2 * y 2 + ... + x n * y n.

تشبه عملية ضرب المتجهات مع بعضها البعض ضرب مصفوفة الصف في مصفوفة العمود. نؤكد أن النتيجة ستكون رقمًا وليس متجهًا.

المنتج العددي للناقلات له الخصائص التالية (البديهيات):

1) الخاصية التبادلية: X * Y = Y * X.

2) خاصية التوزيع فيما يتعلق بالإضافة: X (Y + Z) = X * Y + X * Z.

3) لأي رقم حقيقي 
.

4)
، إذا لم يكن X متجهًا صفريًا ؛
إذا كان X متجهًا صفريًا.

يُطلق على الفضاء المتجه الخطي الذي يُعطى فيه المنتج القياسي للمتجهات التي ترضي البديهيات الأربعة المقابلة المتجه الخطي الإقليديالفضاء.

من السهل ملاحظة أنه عند ضرب أي متجه في نفسه ، نحصل على مربع طوله. لذا فالأمر مختلف الطوليمكن تعريف المتجه على أنه الجذر التربيعي لمربعه القياسي :.

طول المتجه له الخصائص التالية:

1) | X | = 0Х = 0 ؛

2) | X | = |  | * | X | ، حيث  رقم حقيقي ؛

3) | X * Y |  | X | * | Y | ( عدم المساواة Cauchy-Bunyakovsky);

4) | س + ص |  | س | + | ص | ( عدم المساواة المثلث).

يتم تحديد الزاوية  بين المتجهات في الفضاء ذي الأبعاد n بناءً على مفهوم المنتج القياسي. في الواقع ، إذا
، ومن بعد
. هذا الكسر ليس أكبر من واحد (وفقًا لتفاوت Cauchy-Bunyakovsky) ، لذلك من هنا يمكنك أن تجد .

يتم استدعاء المتجهين متعامدأو عموديإذا كان حاصل الضرب النقطي يساوي صفرًا. ويترتب على تعريف المنتج النقطي أن المتجه الصفري متعامد مع أي متجه. إذا كان كلا المتجهين المتعامدين غير صفريين ، إذن بالضرورة cos = 0 ، أي =  / 2 = 90 o.

النظر في الشكل 7.4 مرة أخرى. يمكن أن نرى من الشكل أن جيب التمام للزاوية  لميل المتجه إلى المحور الأفقي يمكن حسابه على النحو التالي
، وجيب الزاوية  لميل المتجه إلى المحور الرأسي كما
. تسمى هذه الأرقام جيب التمام الاتجاه. من السهل أن نرى أن مجموع مربعات اتجاه جيب التمام يساوي دائمًا واحدًا: cos 2  + cos 2  = 1. وبالمثل ، يمكننا تقديم مفهوم جيب التمام للاتجاه للمساحات ذات الأبعاد الأعلى.

أساس مساحة النواقل

بالنسبة للناقلات ، يمكن للمرء تحديد المفاهيم تركيبة خطية,الاعتماد الخطيو استقلالمشابه لكيفية تقديم هذه المفاهيم لصفوف المصفوفة. من الصحيح أيضًا أنه إذا كانت النواقل تعتمد خطيًا ، فيمكن التعبير عن واحد منها على الأقل خطيًا من حيث الآخرين (أي أنها مزيج خطي منهم). العبارة العكسية صحيحة أيضًا: إذا كان أحد المتجهات عبارة عن مجموعة خطية من المتجهات الأخرى ، فإن كل هذه المتجهات في المجموع تعتمد خطيًا.

لاحظ أنه إذا كان من بين المتجهات a l ، a 2 ، ... a m هناك متجه صفري ، فإن هذه المجموعة من المتجهات تعتمد بالضرورة خطيًا. في الواقع ، نحصل على  l a l +  2 a 2 + ... + m a m = 0 ، على سبيل المثال ، إذا كنا نساوي المعامل  j بمتجه صفري إلى واحد ، وجميع المعاملات الأخرى تساوي صفرًا. في هذه الحالة ، لن تكون كل المعاملات مساوية للصفر ( j ≠ 0).

بالإضافة إلى ذلك ، إذا كانت بعض المتجهات من مجموعة المتجهات تعتمد خطيًا ، فإن كل هذه المتجهات تعتمد خطيًا. في الواقع ، إذا أعطت بعض المتجهات متجهًا صفريًا في توليفة خطية مع معاملات لا تساوي صفرًا في نفس الوقت ، فيمكن إضافة المتجهات المتبقية ، مضروبة في معاملات صفرية ، إلى مجموع حاصل الضرب هذا ، وسيظل متجهًا صفريًا.

كيفية تحديد ما إذا كانت النواقل تعتمد خطيًا؟

على سبيل المثال ، لنأخذ ثلاثة متجهات: أ 1 = (1 ، 0 ، 1 ، 5) ، 2 = (2 ، 1 ، 3 ، -2) و 3 = (3 ، 1 ، 4 ، 3). لنصنع منها مصفوفة ، تكون فيها أعمدة:

ثم سيتم تقليل مسألة الاعتماد الخطي لتحديد رتبة هذه المصفوفة. إذا اتضح أنها تساوي ثلاثة ، فإن الأعمدة الثلاثة تكون مستقلة خطيًا ، وإذا اتضح أنها أقل ، فسيشير هذا إلى اعتماد خطي للمتجهات.

نظرًا لأن المرتبة 2 ، فإن المتجهات تعتمد خطيًا.

لاحظ أن حل المشكلة يمكن أيضًا أن يبدأ بحجج تستند إلى تعريف الاستقلال الخطي. أي ، قم بتكوين معادلة متجه  ل أ ل + 2 أ 2 +  3 أ 3 = 0 ، والتي ستأخذ الشكل ل * (1 ، 0 ، 1 ، 5) +  2 * (2 ، 1 ، 3 ، - 2) +  3 * (3 ، 1 ، 4 ، 3) = (0 ، 0 ، 0 ، 0). ثم نحصل على نظام المعادلات:

سيتم تقليل حل هذا النظام بطريقة Gauss إلى الحصول على نفس مصفوفة الخطوة ، فقط سيكون لها عمود واحد آخر - أعضاء خالية. ستكون جميعها مساوية للصفر ، لأن التحويلات الخطية للأصفار لا يمكن أن تؤدي إلى نتيجة مختلفة. سيأخذ نظام المعادلات المحول الشكل:

سيكون حل هذا النظام هو (-s ؛ -s ؛ s) ، حيث s هو رقم تعسفي ؛ على سبيل المثال ، (-1 ؛ -1 ؛ 1). هذا يعني أنه إذا أخذنا  l \ u003d -1 ؛  2 \ u003d -1 و  3 \ u003d 1 ، ثم  l a l +  2 a 2 +  3 a 3 \ u003d 0 ، أي النواقل في الواقع تعتمد خطيًا.

من المثال الذي تم حله ، يتضح أنه إذا أخذنا عدد المتجهات أكثر من أبعاد الفضاء ، فستكون بالضرورة مرتبطة خطيًا. في الواقع ، إذا أخذنا خمسة متجهات في هذا المثال ، فسنحصل على مصفوفة 4 × 5 ، لا يمكن أن تكون رتبتها أكبر من أربعة. أولئك. لا يزال الحد الأقصى لعدد الأعمدة المستقلة خطيًا لا يزيد عن أربعة. قد يكون متجهان أو ثلاثة أو أربعة أبعاد مستقلة خطيًا ، لكن خمسة أو أكثر قد لا تكون كذلك. وبالتالي ، لا يمكن أن يكون أكثر من متجهين مستقلين خطيًا في المستوى. أي ثلاثة ناقلات في الفضاء ثنائي الأبعاد تعتمد خطيًا. في الفضاء ثلاثي الأبعاد ، فإن أي أربعة نواقل (أو أكثر) دائمًا ما تكون مرتبطة خطيًا. إلخ.

لهذا البعديمكن تعريف المسافات على أنها الحد الأقصى لعدد المتجهات المستقلة خطيًا التي يمكن أن تكون فيها.

تسمى مجموعة n المتجهات المستقلة خطيًا للفضاء ذي الأبعاد n أساسهذه المساحة.

نظرية. يمكن تمثيل كل متجه فضاء خطي كمجموعة خطية من المتجهات الأساسية ، علاوة على ذلك بطريقة فريدة.

دليل - إثبات. لنفترض أن المتجهات e l و e 2 و ... نظرًا لأنه ، مع المتجه X ، سيصبح عدد المتجهات (n + 1) ، فإن هذه المتجهات (n + 1) ستكون مرتبطة خطيًا ، أي هناك أرقام ل ،  2 ، ... ،  ن ،  لا تساوي صفرًا في نفس الوقت ، هكذا

 l e l +  2 e 2 + ... + n e n + Х = 0

في هذه الحالة ، 0 ، لأن وإلا فسنحصل على l e l +  2 e 2 + ... + n e n = 0 ، حيث لا تكون كل المعاملات l،  2، ...،  n تساوي صفرًا. هذا يعني أن نواقل الأساس ستكون معتمدة خطيًا. لذلك ، يمكننا تقسيم طرفي المعادلة الأولى إلى :

( l / ) e l + (2 / ) e 2 + ... + ( n / ) e n + Х = 0

X \ u003d - ( l / ) e l - ( 2 / ) e 2 -...- ( n / ) e n

X \ u003d x l e l + x 2 e 2 + ... + x n e n ،

حيث x j = - ( j / ) ،
.

دعونا الآن نثبت أن مثل هذا التمثيل كمزيج خطي فريد من نوعه. افترض العكس ، أي أن هناك تمثيل آخر:

X \ u003d y l e l + y 2 e 2 + ... + y n e n

اطرح منه مصطلحًا بمصطلح التعبير الذي تم الحصول عليه سابقًا:

0 \ u003d (y l - x 1) e l + (y 2 - x 2) e 2 + ... + (y n - x n) e n

نظرًا لأن المتجهات الأساسية مستقلة خطيًا ، نحصل على (y j - x j) = 0 ،
، أي y j = x j. لذا فإن التعبير هو نفسه. لقد تم إثبات النظرية.

التعبير X \ u003d x l e l + x 2 e 2 + ... + x n e n يسمى تقسيمالمتجه X وفقًا للأساس e l ، e 2 ، ... e n ، والأرقام x l ، x 2 ، ... x n - إحداثياتالمتجه x فيما يتعلق بهذا الأساس ، أو في هذا الأساس.

يمكن إثبات أنه إذا كانت النواقل غير الصفرية للفضاء الإقليدي ذي البعد n متعامدة في الزوج ، فإنها تشكل أساسًا. في الواقع ، دعونا نضرب طرفي المعادلة l e l + 2 e 2 + ... + n e n = 0 بأي متجه e i. نحصل على  l (e l * e i) +  2 (e 2 * e i) + ... +  n (e n * e i) = 0   i (e i * e i) = 0   i = 0 لـ i .

المتجهات e l ، e 2 ، ... e n لشكل الفضاء الإقليدي ذي الأبعاد n أساس متعامد، إذا كانت هذه النواقل متعامدة زوجيًا وكان معيار كل منها يساوي واحدًا ، أي إذا كان e i * e j = 0 لـ i ≠ ji | e i | = 1 لـ i.

نظرية (بدون دليل). كل مساحة إقليدية ذات أبعاد n لها أساس متعامد.

مثال على الأساس المتعامد هو نظام n من متجهات الوحدة e i ، حيث يكون المكون i يساوي واحدًا ، والمكونات المتبقية تساوي صفرًا. كل متجه من هذا القبيل يسمى ort. على سبيل المثال ، تشكل المتجهات (1 ، 0 ، 0) ، (0 ، 1 ، 0) و (0 ، 0 ، 1) أساس الفضاء ثلاثي الأبعاد.