تعريف الحركة المنحنية والصيغ. ملخص الدرس "الحركة المستقيمة والمنحنية

سيركز هذا الموضوع على نوع أكثر تعقيدًا من الحركة - منحني الأضلاع. ما مدى سهولة التخمين الخط المنحني هو الحركة التي يكون مسارها عبارة عن خط منحني. وبما أن هذه الحركة أكثر تعقيدًا من الخط المستقيم ، فلم تعد هناك كميات مادية كافية لوصفها في الفصل السابق.

بالنسبة للوصف الرياضي للحركة المنحنية ، توجد مجموعتان من الكميات: الخطية والزاوية.

القيم الخطية.

1. متحرك. في القسم 1.1 ، لم نحدد الفرق بين المفهوم

الشكل 1.3 المسارات (المسافات) ومفهوم الإزاحة ،

لأنه في حركة مستقيمة هذه

الاختلافات لا تلعب دورا أساسيا ، و

يتم الإشارة إلى هذه القيم بنفس الحرف

عواء س. ولكن عند التعامل مع الحركة المنحنية ،

هذه المسألة تحتاج إلى توضيح. إذن ما هو الطريق

(أو مسافة)؟ - هذا هو طول المسار

حركة. هذا هو ، إذا قمت بتتبع المسار

حركة الجسم وقياسها (بالأمتار ، الكيلومترات ، إلخ) ، ستحصل على قيمة تسمى المسار (أو المسافة) س(انظر الشكل 1.3). وبالتالي ، فإن المسار هو قيمة عددية لا تتميز إلا برقم.

الشكل 1.4 والإزاحة هي أقصر مسافة بين

نقطة بداية المسار ونقطة نهاية المسار. ولأن

الحركة لها اتجاه صارم من البداية

الطريق إلى نهايتها ، إذن فهي كمية متجهة

ويتميّز ليس فقط بقيمة عددية ، ولكن أيضًا

الاتجاه (الشكل 1.3). من السهل تخمين ذلك إذا

يتحرك الجسم على طول مسار مغلق ، ثم إلى

في اللحظة التي يعود فيها إلى موضعه الأولي ، فإن الإزاحة ستكون مساوية للصفر (انظر الشكل 1.4).

2 . سرعة الخط. في القسم 1.1 ، قدمنا تعريفًا لهذه الكمية ، وهي لا تزال صالحة ، على الرغم من أننا لم نحدد في ذلك الوقت أن هذه السرعة خطية. ما هو اتجاه متجه السرعة الخطية؟ دعنا ننتقل إلى الشكل 1.5. هنا جزء

المسار المنحني للجسم. أي خط منحني هو اتصال بين أقواس الدوائر المختلفة. يوضح الشكل 1.5 اثنين منهم فقط: دائرة (O 1 ، r 1) ودائرة (O 2 ، r 2). في لحظة مرور الجسم على طول قوس هذه الدائرة ، يصبح مركزها مركزًا مؤقتًا للدوران بنصف قطر يساوي نصف قطر هذه الدائرة.

المتجه المرسوم من مركز الدوران إلى النقطة التي يوجد بها الجسم حاليًا يسمى متجه نصف القطر.في الشكل 1.5 ، يتم تمثيل متجهات نصف القطر بالمتجهات و. يوضح هذا الشكل أيضًا متجهات السرعة الخطية: يتم دائمًا توجيه متجه السرعة الخطية بشكل عرضي إلى المسار في اتجاه الحركة. لذلك ، فإن الزاوية بين المتجه ومتجه نصف القطر المرسوم إلى نقطة معينة من المسار هي دائمًا 90 درجة. إذا كان الجسم يتحرك بسرعة خطية ثابتة ، فلن تتغير وحدة المتجه ، بينما يتغير اتجاهها طوال الوقت اعتمادًا على شكل المسار. في الحالة الموضحة في الشكل 1.5 ، تتم الحركة بسرعة خطية متغيرة ، وبالتالي تتغير وحدة المتجه. ولكن ، نظرًا لأن اتجاه المتجه يتغير دائمًا أثناء الحركة المنحنية ، فإن النتيجة المهمة جدًا تأتي من هذا:

دائمًا ما يكون للحركة المنحنية تسارع! (حتى لو تم تنفيذ الحركة بسرعة خطية ثابتة). علاوة على ذلك ، فإن التسارع المعني في هذه الحالة ، في ما يلي سوف نسميه التسارع الخطي.

3 . تسارع خطي. دعني أذكرك أن التسارع يحدث عندما تتغير السرعة. وفقًا لذلك ، يظهر التسارع الخطي في حالة حدوث تغيير في السرعة الخطية. ويمكن للسرعة الخطية أثناء الحركة المنحنية أن تغير كلا من النمط والاتجاه. وهكذا ، فإن التسارع الخطي الكامل يتحلل إلى مكونين ، أحدهما يؤثر على اتجاه المتجه ، والثاني يؤثر على معامله. ضع في اعتبارك هذه التسارع (الشكل 1.6). في هذا الشكل

أرز. 1.6

يظهر جسم يتحرك على طول مسار دائري مع مركز الدوران عند النقطة O.

يسمى التسارع الذي يغير اتجاه المتجه عادي ويشار إليه. يطلق عليه عادي لأنه موجه عموديًا (بشكل طبيعي) على الظل ، أي على طول نصف القطر إلى مركز المنعطف . ويسمى أيضًا بالتسارع المركزي.

يسمى التسارع الذي يغير معامل المتجه تماسي ويشار إليه. إنه يقع على الظل ويمكن توجيهه نحو اتجاه المتجه وعكسه. :

إذا كانت سرعة الخط الزيادات ، ثم> 0 ونواقلها مشفرة الاتجاه ؛

إذا كانت سرعة الخط ينخفض ، إذن< 0 и их вектора противоположно

توجه.

وبالتالي ، فإن هذين التسارعين يشكلان دائمًا زاوية قائمة (90 درجة) مع بعضهما البعض وهما مكونان من إجمالي التسارع الخطي ، أي إجمالي التسارع الخطي هو مجموع متجه للتسارع العادي والماسي:

ألاحظ أننا في هذه الحالة نتحدث عن مجموع المتجهات ، لكننا لا نتحدث بأي حال عن المجموع القياسي. للعثور على القيمة العددية ، مع العلم ، ومن الضروري استخدام نظرية فيثاغورس (مربع وتر المثلث يساوي عدديًا مجموع مربعات أرجل هذا المثلث):

(1.8).

هذا يعني:

(1.9).

ما هي الصيغ لحساب والنظر في وقت لاحق قليلا.

القيم الزاويّة.

1 . زاوية الدوران φ . في الحركة المنحنية ، لا ينتقل الجسم فقط في بعض المسارات ويقوم ببعض الحركة ، بل يدور أيضًا من خلال زاوية معينة (انظر الشكل 1.7 (أ)). لذلك ، لوصف مثل هذه الحركة ، يتم إدخال كمية تسمى زاوية الدوران ، ويُشار إليها بالحرف اليوناني φ (اقرأ "فاي"). في نظام SI ، تُقاس زاوية الدوران بوحدات الراديان (يُشار إليها بـ "rad"). دعني أذكرك أن دورة كاملة واحدة تساوي 2π راديان ، وأن العدد π ثابت: π ≈ 3.14. في التين. يوضح الشكل 1.7 (أ) مسار الجسم على طول دائرة نصف قطرها ص مع المركز عند النقطة O. زاوية الدوران نفسها هي الزاوية بين متجهات نصف قطر الجسم في بعض اللحظات الزمنية.

2 . السرعة الزاوية ω – هذه قيمة توضح كيف تتغير زاوية الدوران لكل وحدة زمنية. (ω - حرف يوناني ، اقرأ "أوميغا".) في التين. يوضح الشكل 1.7 (ب) موضع نقطة مادة تتحرك على طول مسار دائري مع مركز عند النقطة O ، على فترات زمنية Δt . إذا كانت الزوايا التي يدور من خلالها الجسم خلال هذه الفواصل الزمنية هي نفسها ، فإن السرعة الزاوية ثابتة ، ويمكن اعتبار هذه الحركة موحدة. وإذا كانت زوايا الدوران مختلفة ، فإن الحركة غير متساوية. وبما أن السرعة الزاوية تشير إلى عدد الراديان

انقلب الجسم في ثانية واحدة ، ثم وحدة قياسه هي راديان في الثانية

(يُشار إليها بـ " راد / ثانية »).

أرز. 1.7

أ). ب). Δt

Δt

ا φ ا Δt

3 . التسارع الزاوي ε هي قيمة توضح كيفية تغيرها لكل وحدة زمنية. ومنذ ذلك الحين العجلة الزاوية ε يظهر عندما تتغير السرعة الزاوية ω ، ثم يمكننا أن نستنتج أن التسارع الزاوي يحدث فقط في حالة الحركة المنحنية غير المنتظمة. وحدة التسارع الزاوي هي " راد / ثانية 2 "(راديان في الثانية تربيع).

وبالتالي ، يمكن استكمال الجدول 1.1 بثلاث قيم أخرى:

الجدول 1.2

№	الكمية المادية	تحديد الكمية	تعيين الكمية	وحدة
1.	طريق	هي المسافة التي يقطعها الجسم أثناء حركته	س	م (متر)
2.	سرعة	هي المسافة التي يقطعها الجسم في وحدة زمنية (على سبيل المثال ثانية واحدة)	υ	م / ث (متر في الثانية)
3.	التسريع	هي المقدار الذي تتغير به سرعة الجسم لكل وحدة زمنية	أ	م / ث 2 (متر في الثانية تربيع)
4.	زمن		ر	ث (ثانية)
5.	زاوية الدوران	هي الزاوية التي يدور من خلالها الجسم في حركة منحنية الخطوط	φ	راديان (راديان)
6.	السرعة الزاوية	هي الزاوية التي يدور بها الجسم لكل وحدة زمنية (على سبيل المثال ، في ثانية واحدة).	ω	راديان / ث (راديان في الثانية)
7.	التسارع الزاوي	هي المقدار الذي تتغير به السرعة الزاوية لكل وحدة زمنية	ε	راديان / ثانية 2 (راديان لكل ثانية تربيعية)

الآن يمكنك الانتقال مباشرة إلى دراسة جميع أنواع الحركة المنحنية ، وهناك ثلاثة منها فقط.

بمساعدة هذا الدرس ، ستتمكن من دراسة موضوع "الحركة المستقيمة والمنحنية. حركة جسم في دائرة بسرعة نمطية ثابتة. أولاً ، نصنف الحركة المستقيمة والمنحنية من خلال النظر في كيفية ارتباط متجه السرعة والقوة المطبقة على الجسم في هذه الأنواع من الحركة. بعد ذلك ، نعتبر حالة خاصة عندما يتحرك الجسم على طول دائرة بسرعة نمطية ثابتة.

في الدرس السابق ، درسنا القضايا المتعلقة بقانون الجاذبية الكونية. يرتبط موضوع درس اليوم ارتباطًا وثيقًا بهذا القانون ، وسننتقل إلى الحركة المنتظمة لجسم في دائرة.

قلنا ذلك في وقت سابق حركة المرور -هذا تغيير في موضع الجسم في الفضاء بالنسبة للأجسام الأخرى بمرور الوقت. تتميز الحركة واتجاه الحركة بالسرعة ، من بين أمور أخرى. يرتبط التغيير في السرعة ونوع الحركة نفسها بفعل القوة. إذا أثرت قوة على جسم ما ، فإن الجسم يغير سرعته.

إذا تم توجيه القوة بالتوازي مع حركة الجسم ، فستكون هذه الحركة صريح(رسم بياني 1).

أرز. 1. الحركة المستقيمة

منحني الأضلاعستكون هناك مثل هذه الحركة عندما يتم توجيه سرعة الجسم والقوة المؤثرة على هذا الجسم بالنسبة لبعضهما البعض بزاوية معينة (الشكل 2). في هذه الحالة ، ستغير السرعة اتجاهها.

أرز. 2. منحني الحركة

لذلك ، في الحركة المستقيمةيتم توجيه متجه السرعة في نفس اتجاه القوة المؤثرة على الجسم. لكن حركة منحنيةهي حركة عندما يكون متجه السرعة والقوة المؤثرة على الجسم في زاوية ما مع بعضهما البعض.

ضع في اعتبارك حالة خاصة من الحركة المنحنية ، عندما يتحرك الجسم في دائرة بسرعة ثابتة في القيمة المطلقة. عندما يتحرك جسم في دائرة بسرعة ثابتة ، يتغير اتجاه السرعة فقط. يبقى Modulo ثابتًا ، لكن اتجاه السرعة يتغير. مثل هذا التغيير في السرعة يؤدي إلى وجود تسارع في الجسم يسمى دائري.

أرز. 6. الحركة على طول مسار منحني

إذا كان مسار حركة الجسم عبارة عن منحنى ، فيمكن تمثيله كمجموعة من الحركات على طول أقواس الدوائر ، كما هو موضح في الشكل. 6.

على التين. يوضح 7 كيف يتغير اتجاه متجه السرعة. يتم توجيه السرعة خلال هذه الحركة بشكل عرضي إلى الدائرة على طول القوس الذي يتحرك فيه الجسم. وبالتالي ، فإن اتجاهها يتغير باستمرار. حتى إذا ظلت سرعة المودولو ثابتة ، فإن التغيير في السرعة يؤدي إلى تسارع:

في هذه الحالة التسريعسيتم توجيهه نحو مركز الدائرة. هذا هو سبب تسميته بالجاذبية المركزية.

لماذا يتم توجيه عجلة الجاذبية نحو المركز؟

تذكر أنه إذا كان الجسم يتحرك على طول مسار منحني ، فإن سرعته عرضية. السرعة هي كمية متجهة. المتجه له قيمة عددية واتجاه. تغير السرعة التي يتحرك بها الجسم اتجاهه باستمرار. أي أن الفرق في السرعات عند نقاط زمنية مختلفة لن يساوي الصفر () ، على عكس الحركة المنتظمة المستقيمة.

لذلك ، لدينا تغيير في السرعة خلال فترة زمنية معينة. العلاقة هي التسارع. نخلص إلى استنتاج مفاده أنه حتى لو لم تتغير السرعة في القيمة المطلقة ، فإن الجسم الذي يؤدي حركة منتظمة في دائرة له تسارع.

إلى أين يتم توجيه هذا التسارع؟ النظر في الشكل. 3. بعض الجسم يتحرك بشكل منحني (على شكل قوس). سرعة الجسم عند النقطتين 1 و 2 مماسية. يتحرك الجسم بشكل موحد ، أي أن وحدات السرعات متساوية: لكن اتجاهات السرعات لا تتطابق.

أرز. 3. حركة الجسم في دائرة

اطرح السرعة من واحصل على المتجه. للقيام بذلك ، تحتاج إلى توصيل بدايات كلا المتجهين. بالتوازي ، نحرك المتجه إلى بداية المتجه. نحن نبني إلى مثلث. سيكون الضلع الثالث من المثلث هو متجه فرق السرعة (الشكل 4).

أرز. 4. متجه فرق السرعة

يتم توجيه المتجه نحو الدائرة.

ضع في اعتبارك مثلث مكون من متجهات السرعة ومتجه الفرق (الشكل 5).

أرز. 5. مثلث يتكون من متجهات السرعة

هذا المثلث متساوي الساقين (وحدات السرعة متساوية). إذن ، زوايا القاعدة متساوية. لنكتب معادلة مجموع زوايا المثلث:

اكتشف أين يتم توجيه العجلة إلى نقطة معينة من المسار. للقيام بذلك ، نبدأ في تقريب النقطة 2 من النقطة 1. بمثل هذا الاجتهاد غير المحدود ، ستميل الزاوية إلى 0 ، والزاوية - إلى. الزاوية بين متجه تغير السرعة ومتجه السرعة نفسه. يتم توجيه السرعة بشكل عرضي ، ويتم توجيه متجه تغير السرعة نحو مركز الدائرة. هذا يعني أن العجلة موجهة أيضًا نحو مركز الدائرة. هذا هو سبب استدعاء هذا التسارع دائري.

كيف تجد تسارع الجاذبية؟

ضع في اعتبارك المسار الذي يتحرك على طوله الجسم. في هذه الحالة ، هذا قوس لدائرة (الشكل 8).

أرز. 8. حركة الجسم في دائرة

يوضح الشكل مثلثين: مثلث مكون من السرعات ، ومثلث مكون من نصف القطر ومتجه الإزاحة. إذا كانت النقطتان 1 و 2 قريبتين جدًا ، فسيكون متجه الإزاحة هو نفسه متجه المسار. كلا المثلثين متساوي الساقين مع نفس زوايا الرأس. إذن ، المثلثات متشابهة. هذا يعني أن الأضلاع المتناظرة في المثلثات متساوية في النسبة:

الإزاحة تساوي حاصل ضرب السرعة والوقت:. باستبدال هذه الصيغة ، يمكنك الحصول على التعبير التالي لتسريع الجاذبية:

السرعة الزاويةيُشار إليه بالحرف اليوناني أوميغا (ω) ، وهو يشير إلى الزاوية التي يدور فيها الجسم لكل وحدة زمنية (الشكل 9). هذا هو حجم القوس ، بالدرجات ، الذي يجتازه الجسم في وقت ما.

أرز. 9. السرعة الزاوية

لاحظ أنه في حالة دوران جسم صلب ، فإن السرعة الزاوية لأي نقطة على هذا الجسم ستكون قيمة ثابتة. النقطة أقرب إلى مركز الدوران أو أبعد - لا يهم ، أي أنها لا تعتمد على نصف القطر.

ستكون وحدة القياس في هذه الحالة إما درجة في الثانية () أو راديان في الثانية (). غالبًا لا تتم كتابة كلمة "راديان" ، ولكنها مكتوبة ببساطة. على سبيل المثال ، لنجد السرعة الزاوية للأرض. تقوم الأرض بدوران كامل في ساعة واحدة ، وفي هذه الحالة يمكننا القول أن السرعة الزاوية تساوي:

انتبه أيضًا إلى العلاقة بين السرعات الزاوية والخطية:

السرعة الخطية تتناسب طرديا مع نصف القطر. كلما زاد نصف القطر ، زادت السرعة الخطية. وبالتالي ، بالابتعاد عن مركز الدوران ، نزيد سرعتنا الخطية.

وتجدر الإشارة إلى أن الحركة في دائرة بسرعة ثابتة هي حالة خاصة للحركة. ومع ذلك ، يمكن أن تكون الحركة الدائرية غير متساوية أيضًا. يمكن أن تتغير السرعة ليس فقط في الاتجاه وتبقى كما هي في القيمة المطلقة ، ولكن أيضًا تتغير في قيمتها ، أي بالإضافة إلى تغيير الاتجاه ، هناك أيضًا تغيير في وحدة السرعة. في هذه الحالة ، نتحدث عن ما يسمى بالحركة الدائرية المتسارعة.

ما هو الراديان؟

هناك وحدتان لقياس الزوايا: الدرجات والراديان. في الفيزياء ، كقاعدة عامة ، يكون قياس الراديان للزاوية هو القياس الرئيسي.

لنقم ببناء زاوية مركزية تعتمد على قوس طوله.

يتم تعميم مفاهيم السرعة والتسارع بشكل طبيعي على حالة حركة نقطة مادية على طول مسار منحني. يتم تحديد موضع النقطة المتحركة على المسار بواسطة متجه نصف القطر ص مرسومة إلى هذه النقطة من نقطة ثابتة ا، على سبيل المثال ، الأصل (الشكل 1.2). اسمحوا في هذه اللحظة رالنقطة المادية في الموضع ممع متجه نصف القطر ص = ص (ر). بعد وقت قصير د ر، سوف ينتقل إلى هذا المنصب م 1مع دائرة نصف قطرها - متجه ص 1 = ص (ر+ د ر). نصف القطر - سيتلقى متجه نقطة مادية زيادة يحددها الاختلاف الهندسي د ص = ص 1 - ص . متوسط السرعة بمرور الوقتد ريسمى الكمية

متوسط اتجاه السرعة الخامس تزوج اعواد الكبريتمع اتجاه المتجه د ص .

متوسط الحد الأقصى للسرعة عند D ر® 0 ، أي مشتق نصف القطر - المتجه ص بالوقت

(1.9)

اتصل حقيقيأو فوريسرعة النقطة المادية. المتجه الخامس توجه بشكل عرضيإلى مسار النقطة المتحركة.

التسريع أ يسمى متجهًا يساوي المشتق الأول لمتجه السرعة الخامس أو المشتق الثاني من نصف القطر - المتجه ص بالوقت:

(1.10)

(1.11)

لاحظ القياس الشكلي التالي بين السرعة والتسارع. من نقطة ثابتة تعسفية O 1 سنرسم متجه السرعة الخامس نقطة متحركة في جميع الأوقات الممكنة (الشكل 1.3).

نهاية المتجه الخامس اتصل نقطة السرعة. موضع نقاط السرعة هو منحنى يسمى hodograph السرعة.عندما تصف نقطة مادية مسارًا ، تتحرك نقطة السرعة المقابلة لها على طول hodograph.

أرز. 1.2 يختلف عن الشكل. 1.3 فقط بالتعيينات. نصف القطر - متجه ص يحل محله متجه السرعة الخامس ، نقطة المادة - إلى نقطة السرعة ، المسار - إلى hodograph. العمليات الحسابية على ناقل ص عند إيجاد السرعة وفوق المتجه الخامس عند إيجاد التسارع متطابق تمامًا.

سرعة الخامس موجهة على طول مسار ظل. لهذا التسريعأ سيتم توجيهه بشكل عرضي إلى hodograph السرعة.يمكن قول ذلك التسارع هو سرعة حركة النقطة عالية السرعة على طول hodograph. بالتالي،

اعتمادًا على شكل المسار ، تنقسم الحركة إلى مستقيمة وخطوط منحنية. في العالم الحقيقي ، غالبًا ما نتعامل مع الحركة المنحنية ، عندما يكون المسار عبارة عن خط منحني. ومن الأمثلة على هذه الحركة مسار جسم مُلقى بزاوية مع الأفق ، وحركة الأرض حول الشمس ، وحركة الكواكب ، ونهاية عقرب الساعة على القرص ، وما إلى ذلك.

الشكل 1. المسار والإزاحة في حركة منحنية

تعريف

الحركة المنحنية هي حركة يكون مسارها خطًا منحنيًا (على سبيل المثال ، دائرة ، قطع ناقص ، قطع زائد ، قطع مكافئ). عند التحرك على طول مسار منحني ، يتم توجيه متجه الإزاحة $ \ overrightarrow (s) $ على طول الوتر (الشكل 1) ، و l طول المسار. يتم توجيه السرعة اللحظية للجسم (أي سرعة الجسم عند نقطة معينة في المسار) بشكل عرضي عند تلك النقطة في المسار حيث يقع الجسم المتحرك حاليًا (الشكل 2).

الشكل 2. السرعة اللحظية أثناء الحركة المنحنية

ومع ذلك ، فإن النهج التالي أكثر ملاءمة. يمكنك تخيل هذه الحركة على أنها مزيج من عدة حركات على طول أقواس الدوائر (انظر الشكل 4.). سيكون هناك عدد أقل من هذه الأقسام مقارنة بالحالة السابقة ، بالإضافة إلى أن الحركة على طول الدائرة هي نفسها منحنية.

الشكل 4. تقسيم حركة منحنية إلى حركات على طول أقواس الدوائر

استنتاج

من أجل وصف الحركة المنحنية ، يجب أن يتعلم المرء أن يصف الحركة على طول الدائرة ، ثم يمثل الحركة التعسفية كمجموعة من الحركات على طول أقواس الدوائر.

تتمثل مهمة دراسة الحركة المنحنية لنقطة مادية في تجميع معادلة حركية تصف هذه الحركة وتسمح ، وفقًا لشروط أولية معينة ، بتحديد جميع خصائص هذه الحركة.