تاريخ المعادلات التربيعية. المعادلات في بابل القديمة

من تاريخ ظهور المعادلات التربيعية

نشأ الجبر فيما يتعلق بحل مشاكل مختلفة باستخدام المعادلات. عادة في المشاكل هو مطلوب للعثور على واحد أو عدة مجاهيل ، مع معرفة نتائج بعض الإجراءات التي يتم تنفيذها على الكميات المرغوبة والمحددة. يتم تقليل هذه المشكلات إلى حل واحد أو نظام من عدة معادلات ، لإيجاد المعادلات المرغوبة بمساعدة العمليات الجبرية على كميات معينة. يدرس الجبر الخصائص العامة للإجراءات على الكميات.

عُرفت بعض التقنيات الجبرية لحل المعادلات الخطية والتربيعية منذ 4000 عام في بابل القديمة.

المعادلات التربيعية في بابل القديمة

كانت الحاجة إلى حل المعادلات ليس فقط من الدرجة الأولى ، ولكن أيضًا من الدرجة الثانية في العصور القديمة بسبب الحاجة إلى حل المشكلات المتعلقة بإيجاد مناطق الأرض وأعمال الحفر ذات الطبيعة العسكرية ، وكذلك تطوير علم الفلك و الرياضيات نفسها. عرف البابليون كيفية حل المعادلات التربيعية حوالي عام 2000 قبل الميلاد. بتطبيق تدوين جبري حديث ، يمكننا القول أنه في نصوصهم المسمارية توجد ، بالإضافة إلى النصوص غير المكتملة ، على سبيل المثال ، معادلات تربيعية كاملة:

https://pandia.ru/text/78/002/images/image002_15.gif "width =" 93 "height =" 41 src = ">

تتطابق قاعدة حل هذه المعادلات ، المنصوص عليها في النصوص البابلية ، بشكل أساسي مع القاعدة الحديثة ، لكن من غير المعروف كيف جاء البابليون إلى هذه القاعدة. تقريبًا كل النصوص المسمارية التي تم العثور عليها حتى الآن لا تقدم سوى مشاكل تتعلق بالحلول المذكورة في شكل وصفات ، مع عدم وجود إشارة إلى كيفية العثور عليها. على الرغم من ارتفاع مستوى تطور علم الجبر في بابل ، إلا أن النصوص المسمارية تفتقر إلى مفهوم الرقم السالب والطرق العامة لحل المعادلات التربيعية.

لا يحتوي حساب Diophantus 'الحسابي على عرض منهجي للجبر ، ولكنه يحتوي على سلسلة منهجية من المسائل ، مصحوبة بتفسيرات ويتم حلها عن طريق وضع معادلات بدرجات مختلفة.

عند تجميع المعادلات ، يختار Diophantus بمهارة المجهول لتبسيط الحل.

هنا ، على سبيل المثال ، هي إحدى مهامه.

المهمة 2. "ابحث عن رقمين ، مع العلم أن مجموعهما 20 وحاصل ضربهما 96."

يجادل Diophantus على النحو التالي: يترتب على حالة المشكلة أن الأرقام المرغوبة ليست متساوية ، لأنه إذا كانت متساوية ، فإن منتجها لن يساوي 96 ، بل 100. وهكذا ، سيكون أحدهما أكثر من نصف مجموعهم ، أي .10 + س. الآخر أصغر ، أي 10 - س. الفرق بينهما هو 2x. ومن هنا جاءت المعادلة:

(10 + س) (10-س) = 96 ،

ومن ثم فإن x = 2. أحد الأرقام المرغوبة هو 12 ، والآخر هو 8. الحل x = - 2 لـ Diophantus غير موجود ، لأن الرياضيات اليونانية كانت تعرف الأعداد الموجبة فقط.

إذا حللنا هذه المشكلة باختيار أحد الأعداد المجهولة على أنه المجهول ، فيمكننا الوصول إلى حل المعادلة:

من الواضح أن Diophantus يبسط الحل باختيار نصف فرق الأرقام المرغوبة على أنها غير معروفة ؛ تمكن من تقليل المشكلة إلى حل معادلة تربيعية غير مكتملة.

المعادلات التربيعية في الهند

تم العثور بالفعل على مشاكل المعادلات التربيعية في الأطروحة الفلكية Aryabhattam ، التي جمعتها في 499 عالم الرياضيات والفلك الهندي أرياباتا. حدد عالم هندي آخر ، Brahmagupta (القرن السابع) ، القاعدة العامة لحل المعادلات التربيعية التي تم تقليصها إلى شكل أساسي واحد:

الفأس 2 + ب س = ج ، أ>

في المعادلة (1) يمكن أن تكون المعاملات سالبة. يتطابق حكم براهماغوبتا بشكل أساسي مع حكمنا.

في الهند ، كانت المسابقات العامة في حل المشكلات الصعبة شائعة. في أحد الكتب الهندية القديمة ، قيل ما يلي عن مثل هذه المسابقات: "عندما تشرق الشمس على النجوم بتألقها ، فإن الشخص المتعلم سوف يتفوق على المجد في الاجتماعات العامة ، ويقترح ويحل المسائل الجبرية." غالبًا ما كانت المهمات ترتدي الشكل الشعري.

إليكم إحدى مشكلات عالم الرياضيات الهندي الشهير في القرن الثاني عشر. باسكارا.

يشير حل Bhaskara إلى أن المؤلف كان على دراية بالقيمة الثنائية لجذور المعادلات التربيعية.

المعادلة المقابلة للمشكلة 3 هي:

https://pandia.ru/text/78/002/images/image004_11.gif "width =" 12 "height =" 26 src = "> x2 - 64x = - 768

ولإكمال الجانب الأيسر من هذه المعادلة للمربع ، يضيف 322 إلى كلا الجانبين ، ثم يحصل على:

x2 - b4x + 322 = -768 + 1024 ،

(س - 32) 2 = 256 ،

س 1 = 16 ، س 2 = 48.

معادلات الخوارزمي التربيعية

تعطي أطروحة الخوارزمي الجبرية تصنيفًا للمعادلات الخطية والتربيعية. يسرد المؤلف 6 أنواع من المعادلات ، معربًا عنها على النحو التالي:

1) "المربعات تساوي الجذور" ، أي ax2 = bx.

2) "المربعات تساوي الرقم" ، أي ax2 = c.

3) "الجذور تساوي العدد" أي فأس \ u003d ج.

4) "المربعات والأرقام تساوي الجذور" ، أي ax2 + c = bx.

5) "المربعات والجذور تساوي العدد" ، أي ax2 + bx = c.

6) "الجذور والأرقام تساوي المربعات" ، أي bx + c == ax2.

بالنسبة للخوارزمي ، الذي تجنب استخدام الأعداد السالبة ، فإن مصطلحات كل من هذه المعادلات هي عمليات الجمع ، وليس الطرح. في هذه الحالة ، من الواضح أن المعادلات التي ليس لها حلول إيجابية لا تؤخذ في الاعتبار. يحدد المؤلف طرق حل هذه المعادلات باستخدام طريقتي الجبر والمقبلة. قراره ، بالطبع ، لا يتوافق تمامًا مع قرارنا. ناهيك عن حقيقة أنها بلاغية بحتة ، وتجدر الإشارة ، على سبيل المثال ، إلى أنه عند حل معادلة تربيعية غير مكتملة من النوع الأول ، فإن الخوارزمي ، مثل جميع علماء الرياضيات قبل القرن السابع عشر ، لا يأخذ في الاعتبار الصفر. ربما لأنه في مهام عملية محددة ، لا يهم. عند حل المعادلات التربيعية الكاملة ، يضع الخوارزمي قواعد حلها باستخدام أمثلة عددية معينة ، ثم البراهين الهندسية.

لنأخذ مثالا.

المسألة 4. "المربع والرقم 21 يساوي 10 جذور. أوجد الجذر "(جذر المعادلة x2 + 21 \ u003d 10x ضمني).

الحل: قسّم عدد الجذور إلى النصف ، تحصل على 5 ، اضرب 5 في نفسه ، اطرح 21 من الناتج ، يتبقى 4. خذ جذر 4 ، تحصل على 2. اطرح 2 من 5 ، تحصل على 3 ، هذا سيكون الجذر المطلوب. أو أضف 2 إلى 5 ، ما يعطينا 7 ، فهذا أيضًا جذر.

أطروحة الخوارزمي هي أول كتاب وصل إلينا ، حيث يتم تقديم تصنيف المعادلات التربيعية بشكل منهجي وتقديم الصيغ لحلها.

المعادلات التربيعية في أوروباثاني عشر- السابع عشرفي.

تم وصف أشكال حل المعادلات التربيعية على نموذج الخوارزمي في أوروبا لأول مرة في "كتاب العداد" ، الذي كتب عام 1202. عالم الرياضيات الإيطالي ليونارد فيبوناتشي. طور المؤلف بشكل مستقل بعض الأمثلة الجبرية الجديدة لحل المشكلات وكان أول من اقترب من إدخال الأرقام السالبة في أوروبا.

ساهم هذا الكتاب في انتشار المعرفة الجبرية ليس فقط في إيطاليا ، ولكن أيضًا في ألمانيا وفرنسا ودول أوروبية أخرى. تم نقل العديد من المهام من هذا الكتاب إلى جميع الكتب المدرسية الأوروبية تقريبًا في القرنين الرابع عشر والسابع عشر. تمت صياغة القاعدة العامة لحل المعادلات التربيعية إلى شكل أساسي واحد x2 + bx = c مع جميع التوليفات الممكنة من العلامات والمعاملات b ، c ، وقد تمت صياغتها في أوروبا عام 1544 بواسطة M. Stiefel.

لدى Vieta اشتقاق عام لصيغة حل المعادلة التربيعية ، لكن فييتا أدركت الجذور الإيجابية فقط. كان علماء الرياضيات الإيطاليون تارتاليا وكاردانو وبومبيلي من بين الأوائل في القرن السادس عشر. تأخذ في الاعتبار ، بالإضافة إلى الجذور الإيجابية والسلبية. فقط في القرن السابع عشر. بفضل أعمال جيرارد وديكارت ونيوتن وعلماء آخرين ، تتخذ طريقة حل المعادلات التربيعية شكلاً حديثًا ..

ترتبط أصول الأساليب الجبرية لحل المشكلات العملية بعلم العالم القديم. كما هو معروف من تاريخ الرياضيات ، فإن جزءًا كبيرًا من المشكلات ذات الطبيعة الرياضية ، التي تم حلها بواسطة أجهزة الكمبيوتر المصرية والسومرية والبابلية (القرنان السادس والعشرون قبل الميلاد) ، كان لها طبيعة محسوبة. ومع ذلك ، حتى ذلك الحين ، من وقت لآخر ، ظهرت مشاكل حيث تم تحديد القيمة المرغوبة للكمية من خلال بعض الشروط غير المباشرة ، مما يتطلب ، من وجهة نظرنا الحديثة ، صياغة معادلة أو نظام معادلات. في البداية ، تم استخدام الطرق الحسابية لحل مثل هذه المشاكل. في وقت لاحق ، بدأت بدايات التمثيلات الجبرية في التكون. على سبيل المثال ، استطاعت الآلات الحاسبة البابلية حل مسائل تم اختزالها ، من وجهة نظر التصنيف الحديث ، إلى معادلات من الدرجة الثانية. تم إنشاء طريقة لحل مشاكل النص ، والتي استخدمت فيما بعد كأساس لإبراز المكون الجبري ودراسته المستقلة.

تم إجراء هذه الدراسة بالفعل في حقبة أخرى ، أولاً من قبل علماء الرياضيات العرب (القرنين السادس والعاشر الميلادي) ، الذين حددوا الإجراءات المميزة التي تم من خلالها اختزال المعادلات إلى شكل قياسي ، واختزال المصطلحات المماثلة ، ونقل المصطلحات من جزء واحد من معادلة لأخرى مع علامة التغيير. ثم قام علماء الرياضيات الأوروبيون في عصر النهضة ، نتيجة بحث طويل ، بإنشاء لغة الجبر الحديثة ، واستخدام الحروف ، وإدخال الرموز للعمليات الحسابية ، والأقواس ، إلخ. في مطلع القرن السادس عشر- القرن السابع عشر. الجبر كجزء محدد من الرياضيات ، والذي له موضوعه وطريقته ومجالات تطبيقه ، قد تم تشكيله بالفعل. تمثّل تطويرها الإضافي ، حتى وقتنا هذا ، في تحسين الأساليب ، وتوسيع نطاق التطبيقات ، وتوضيح المفاهيم وعلاقاتها بمفاهيم فروع الرياضيات الأخرى.

لذلك ، في ضوء أهمية واتساع المادة المرتبطة بمفهوم المعادلة ، ترتبط دراستها في المنهجية الحديثة للرياضيات بثلاثة مجالات رئيسية لحدوثها وعملها.

لحل أي معادلة من الدرجة الثانية ، عليك أن تعرف:

صيغة إيجاد المميز ؛

صيغة إيجاد جذور المعادلة التربيعية ؛

· خوارزميات لحل المعادلات من هذا النوع.

حل المعادلات التربيعية غير المكتملة ؛

حل المعادلات التربيعية الكاملة ؛

حل المعادلات التربيعية المعطاة ؛

البحث عن الأخطاء في المعادلات المحلولة وتصحيحها ؛

قم بفحص.

يتكون حل كل معادلة من جزأين رئيسيين:

تحويل هذه المعادلة إلى أبسطها ؛

حل المعادلات وفقًا للقواعد أو الصيغ أو الخوارزميات المعروفة.

يتم تعميم طرق نشاط الطلاب في حل المعادلات التربيعية بشكل تدريجي. يمكن تمييز المراحل التالية عند دراسة موضوع "المعادلات التربيعية":

المرحلة الأولى - "حل المعادلات التربيعية غير المكتملة".

المرحلة الثانية - "حل المعادلات التربيعية الكاملة".

المرحلة الثالثة - "حل المعادلات التربيعية المختصرة".

في المرحلة الأولى ، يتم النظر في المعادلات التربيعية غير المكتملة. منذ أن تعلم علماء الرياضيات في البداية حل المعادلات التربيعية غير المكتملة ، لأنهم لم يضطروا ، كما يقولون ، إلى ابتكار أي شيء. هذه معادلات من الشكل: ax2 = 0 ، ax2 + c = 0 ، حيث c ≠ 0 ، ax2 + bx = 0 ، حيث b ≠ 0. ضع في اعتبارك حل العديد من هذه المعادلات:

1. إذا كان ax2 = 0. تم حل المعادلات من هذا النوع وفقًا للخوارزمية:

1) ابحث عن x2 ؛

2) ابحث عن x.

على سبيل المثال ، 5 × 2 = 0. بقسمة كلا طرفي المعادلة على 5 ، يتضح أن: x2 = 0 ، ومن ثم x = 0.

2. إذا كان ax2 + c = 0 ، c ≠ 0 يتم حل المعادلات من هذا النوع وفقًا للخوارزمية:

1) نقل الشروط إلى الجانب الأيمن ؛

2) أوجد جميع الأرقام التي تساوي مربعاتها الرقم c.

على سبيل المثال ، x2 - 5 = 0 ، هذه المعادلة تعادل المعادلة x2 = 5. لذلك ، تحتاج إلى إيجاد جميع الأرقام التي تكون مربعاتها مساوية للرقم 5..gif "width =" 16 "height =" 19 "> .. gif" width = "16" height = "19 src ="> وليس له جذور أخرى.

3. إذا كانت а2 + bх = 0 ، ب 0. يتم حل المعادلات من هذا النوع وفقًا للخوارزمية:

1) انقل العامل المشترك من الأقواس ؛

2) ابحث عن x1، x2.

على سبيل المثال ، x2 - 3x \ u003d 0. دعونا نعيد كتابة المعادلة x2 - 3x \ u003d 0 بالصيغة x (x - 3) \ u003d 0. من الواضح أن هذه المعادلة لها جذور x1 \ u003d 0 ، x2 \ u003d 3. إنها ليس له جذور أخرى ، لأنه إذا استبدل أي رقم بخلاف الصفر و 3 بدلاً من x ، فعندئذٍ على الجانب الأيسر من المعادلة x (x - 3) \ u003d 0 تحصل على رقم لا يساوي الصفر.

لذلك ، توضح هذه الأمثلة كيفية حل المعادلات التربيعية غير المكتملة:

1) إذا كانت المعادلة على الشكل ax2 = 0 ، فإن لها جذر واحد x = 0 ؛

2) إذا كانت المعادلة على شكل ax2 + bx = 0 ، فسيتم استخدام طريقة التحليل: x (ax + b) = 0 ؛ لذلك إما x = 0 أو ax + b = 0..gif "width =" 16 "height =" 41 "> في حالة -< 0, уравнение х2 = - не имеет корней (значит, не имеет корней и исходное уравнение ах2 + с = 0). В случае, когда - >0 ، أي - = م ، حيث م> 0 ، فإن المعادلة س 2 = م لها جذرين

https://pandia.ru/text/78/002/images/image010_9.gif "width =" 29 "height =" 24 src = ">. gif" width = "29" height = "24 src =">، (في هذه الحالة ، يُسمح بالتدوين الأقصر =.

لذلك يمكن أن يكون للمعادلة التربيعية غير المكتملة جذران ، جذر واحد ، بدون جذور.

في المرحلة الثانية ، يتم الانتقال إلى حل المعادلة التربيعية الكاملة. هذه معادلات من الشكل ax2 + bx + c = 0 ، حيث أ ، ب ، ج معطاة أرقام ، أ ≠ 0 ، س هي المجهول.

يمكن تحويل أي معادلة تربيعية كاملة إلى النموذج ، من أجل تحديد عدد جذور المعادلة التربيعية وإيجاد هذه الجذور. يتم النظر في الحالات التالية لحل المعادلات التربيعية الكاملة: د< 0, D = 0, D > 0.

1. إذا د< 0, то квадратное уравнение ах2 + bx + c = 0 не имеет действительных корней.

على سبيل المثال ، 2x2 + 4x + 7 = 0. الحل هنا أ = 2 ، ب = 4 ، ج = 7.

D \ u003d b2 - 4ac = 42-4 * 2 * 7 \ u003d 16-56 \ u003d - 40.

منذ د< 0, то данное квадратное уравнение не имеет корней.

2. إذا كانت D \ u003d 0 ، فإن المعادلة التربيعية ax2 + bx + c \ u003d 0 لها جذر واحد ، والذي تم العثور عليه بواسطة الصيغة.

على سبيل المثال ، 4x - 20x + 25 = 0. الحل: أ = 4 ، ب = - 20 ، ج = 25.

د \ u003d b2 - 4ac \ u003d (-20) 2-4 * 4 * 25 \ u003d 400-400 \ u003d 0.

بما أن D = 0 ، فإن هذه المعادلة لها جذر واحد. تم العثور على هذا الجذر باستخدام الصيغة ..gif "width =" 100 "height =" 45 ">. gif" width = "445" height = "45 src =">.

تم تجميع خوارزمية لحل معادلة النموذج ax2 + bx + c = 0.

1. احسب المميز D باستخدام الصيغة D = b2 - 4ac.

2. إذا د< 0, то квадратное уравнение ах2 + bx + c = 0 не имеет корней.

3. إذا كانت D = 0 ، فإن المعادلة التربيعية لها جذر واحد يتم إيجاده بواسطة الصيغة

4..gif "العرض =" 101 "الارتفاع =" 45 ">.

هذه الخوارزمية عالمية ، وهي قابلة للتطبيق على كل من المعادلات التربيعية غير المكتملة والكاملة. ومع ذلك ، لا يتم عادةً حل المعادلات التربيعية غير المكتملة بواسطة هذه الخوارزمية.

علماء الرياضيات أناس عمليون واقتصاديون ، لذا فهم يستخدمون الصيغة: https://pandia.ru/text/78/002/images/image022_5.gif "width =" 155 "height =" 53 ">. [4)

2..gif "width =" 96 "height =" 49 src = "> لها نفس علامة D..gif" width = "89" height = "49"> ثم المعادلة (3) لها جذران ؛

2) إذا كان للمعادلة جذران متطابقان ؛

3) إذا لم يكن للمعادلة جذور.

نقطة مهمة في دراسة المعادلات التربيعية هي النظر في نظرية فييتا ، التي تنص على وجود علاقة بين الجذور ومعاملات المعادلة التربيعية المختصرة.

نظرية فييتا. مجموع جذور المعادلة التربيعية المعطاة يساوي المعامل الثاني ، مأخوذًا بعلامة معاكسة ، وحاصل ضرب الجذور يساوي المصطلح المجاني.

بمعنى آخر ، إذا كانت x1 و x2 هي جذور المعادلة x2 + px + q = 0 ، إذن

تسمى هذه الصيغ بصيغ فييتا تكريما لعالم الرياضيات الفرنسي F. Vieta () ، الذي قدم نظامًا للرموز الجبرية ، طور أسس الجبر الأولي. كان من أوائل الذين بدأوا في تعيين الأرقام بالأحرف ، مما طور بشكل كبير نظرية المعادلات.

على سبيل المثال ، المعادلة أعلاه x2 - 7x +10 \ u003d 0 لها جذور 2 و 5. مجموع الجذور هو 7 ، والمنتج هو 10. يمكن ملاحظة أن مجموع الجذور يساوي المعامل الثاني ، مأخوذ بعلامة معاكسة ، وحاصل ضرب الجذور يساوي المصطلح الحر.

هناك أيضًا نظرية معاكسة لنظرية فييتا.

نظرية معكوسة لنظرية فييتا. إذا كانت الصيغ (5) صالحة للأرقام x1 ، x2 ، p ، q ، إذن x1 و x2 هي جذور المعادلة x2 + px + q = 0.

غالبًا ما تستخدم نظرية فييتا ونظريتها العكسية في حل المشكلات المختلفة.

فمثلا. لنكتب المعادلة التربيعية الآتية ، وجذورها هي العددين 1 و -3.

وفقًا لصيغ فييتا

- ص = س 1 + س 2 = - 2 ،

لذلك ، فإن المعادلة المرغوبة لها الشكل x2 + 2x - 3 = 0.

يرتبط تعقيد إتقان نظرية فييتا بعدة ظروف. بادئ ذي بدء ، من الضروري مراعاة الفرق بين النظريات المباشرة والعكسية. في نظرية فييتا المباشرة ، يتم إعطاء معادلة تربيعية وجذورها ؛ يوجد في المعكوس رقمان فقط ، وتظهر المعادلة التربيعية في ختام النظرية. غالبًا ما يرتكب الطلاب خطأ إثبات تفكيرهم بإشارة غير صحيحة إلى نظرية فيتا المباشرة أو المعكوسة.

على سبيل المثال ، عند العثور على جذور المعادلة التربيعية عن طريق التحديد ، تحتاج إلى الرجوع إلى نظرية فيتا المعكوسة ، وليس إلى النظرية المباشرة ، كما يفعل الطلاب غالبًا. لتوسيع نظريات فييتا لتشمل حالة المميز الصفري ، علينا أن نتفق على أن المعادلة التربيعية في هذه الحالة لها جذران متساويان. تتجلى ملاءمة مثل هذه الاتفاقية في تحليل المربع ثلاثي الحدود إلى عوامل.

الصفحة الرئيسية> تقرير

المدرسة الثانوية مذكرة التفاهم التي سميت على اسم أبطال الاتحاد السوفيتي
سوتنيكوفا أ. و Shepeleva N.G.S Uritskoe

تقرير عن الموضوع:

"تاريخ الظهور

المعادلات التربيعية"

أُعدت بواسطة:إيزوتوفا جوليا
أمبليفا إلينا ،
شيبليف نيكولاي ،

دياتشينكو يوري.

يا رياضيات. لقرون ، أنت مغطى بالمجد ،

نجم كل النجوم الدنيوية.

أنت ملكة مهيبة

لا عجب في تعميد غاوس.

صارم ، منطقي ، مهيب ،

نحيلة في الرحلة ، مثل السهم ،

مجدك الأبدي

على مر العصور ، نالت الخلود.

نحمد العقل البشري

أعمال يديه السحرية ،

أمل هذا العصر

ملكة كل العلوم الأرضية.

نريد أن نخبرك اليوم

تاريخ الحدوث

ما يجب أن يعرفه كل طالب

تاريخ المعادلات التربيعية.

إقليدس في القرن الثالث قبل الميلاد. ه. في "مبادئه" المكرس للجبر الهندسي الكتاب الثاني بأكمله ، والذي يحتوي على جميع المواد اللازمة لحل المعادلات التربيعية.

إقليدس (Eνκλειδηζ) ، عالم رياضيات يوناني قديم ، مؤلف أول رسالة نظرية في الرياضيات وصلت إلينا

المعلومات حول إقليدس نادرة للغاية. لا يمكن الاعتماد إلا على أن نشاطه العلمي حدث في الإسكندرية في القرن الثالث قبل الميلاد. ه. إقليدس هو أول عالم رياضيات في مدرسة الإسكندرية. يحتوي عمله الرئيسي "البدايات" (في الشكل اللاتيني - "العناصر") على عرض تقديمي للقياسات والقياس الفراغي وعدد من القضايا في نظرية الأعداد ؛ لخص فيه التطور السابق للرياضيات اليونانية ووضع الأساس لمزيد من تطوير الرياضيات. مالك الحزين - عالم رياضيات ومهندس يوناني لأول مرة في اليونان في القرن الأول الميلادي. يعطي طريقة جبرية بحتة لحل المعادلة التربيعية.

مالك الحزين الاسكندريه؛ قوى. ن. هـ ، ميكانيكي وعالم رياضيات يوناني. وقت حياته غير مؤكد ، ومن المعروف فقط أنه اقتبس من أرخميدس (الذي توفي عام 212 قبل الميلاد) ، وهو نفسه نقله بابوس (300 م). في الوقت الحاضر ، الرأي السائد هو أنه عاش في القرن الأول. ن. ه. درس الهندسة والميكانيكا والهيدروستاتيك والبصريات. اخترع النموذج الأولي للمحرك البخاري وأدوات التسوية الدقيقة. أشهر الآلات الآلية كانت المسارح الأوتوماتيكية والنوافير وغيرها.وصف G. المزواة ، بالاعتماد على قوانين الإحصائيات والحركية ، وقدم وصفًا للرافعة ، والكتلة ، والمروحة ، والمركبات العسكرية. في علم البصريات ، صاغ قوانين انعكاس الضوء في الرياضيات - طرق قياس أهم الأشكال الهندسية. أعمال G. الرئيسية هي Ietrica ، و Pneumatics ، و Autopoietics ، و Mechanics (بالفرنسية ؛ تم حفظ العمل بالكامل باللغة العربية) ، Catoptics (علم المرايا ؛ تم حفظه فقط في الترجمة اللاتينية) ، إلخ. إنجازات أسلافه: إقليدس ، أرخميدس ، ستراتو لامبساكوس. أسلوبه بسيط وواضح ، رغم أنه في بعض الأحيان مقتضب للغاية أو غير منظم. نشأ الاهتمام في كتابات ج. في القرن الثالث. ن. ه. علق الطلاب اليونانيون ثم البيزنطيون والعربيون على أعماله وترجموها.

ديوفانتوس- قام عالم يوناني في القرن الثالث الميلادي ، دون اللجوء إلى الهندسة ، بحل بعض المعادلات التربيعية بطريقة جبرية بحتة ، وتمت كتابة المعادلة نفسها وحلها في شكل رمزي

"سأخبرك كيف قام عالم الرياضيات اليوناني ديوفانتوس بتأليف وحل المعادلات التربيعية. وهنا على سبيل المثال من مهامه:"أوجد رقمين مع العلم أن مجموعهما 20 وحاصل ضربهما 96."

1. من حالة المشكلة يترتب على ذلك أن الأرقام المرغوبة ليست متساوية ، لأن إذا كانتا متساويتين ، فلن يكون ناتجهما 96 بل 100.

2. هكذا. واحد منهم سيكون أكثر من نصف مجموعهم ، أي. 10 + س ، والآخر أقل ، أي 10 - س.

3. الفرق بينهما هو 2x.

4. ومن هنا جاءت المعادلة (10 + س) * (10 - س) = 96

100 - س 2 = 96 × 2-4 = 0

5. الإجابة س = 2. أحد الأرقام المرغوبة هو 12 ،
أخرى - 8. الحل x = - 2 لـ Diophantus غير موجود ، لأن عرفت الرياضيات اليونانية الأرقام الموجبة فقط ". عرف Diophantus كيفية حل المعادلات المعقدة للغاية ، واستخدم تسميات الحروف للمجهول ، وقدم رمزًا خاصًا للحساب ، واستخدم اختصارات الكلمات. بهاسكاري - عقارية- عالم رياضيات هندي في القرن الثاني عشر الميلادي. اكتشف طريقة عامة لحل المعادلات التربيعية.

دعنا نحلل إحدى مشاكل علماء الرياضيات الهنود ، على سبيل المثال ، مشكلة بهاسكارا:

"قطيع من القرود يستمتع بوقته: ثُمن العدد الإجمالي في مربع مرح في الغابة ، بينما يصرخ الاثنا عشر الباقي في أعلى التل. قل لي ، كم عدد القردة هناك؟ "

وتعليقًا على المشكلة ، أود أن أقول إن المعادلة (x / 8) 2 + 12 = x تتوافق مع المشكلة. يكتب Bhaskara كـ x 2 - 64x \ u003d - 768. بإضافة مربع 32 إلى كلا الجزأين ، ستأخذ المعادلة الشكل:

× 2 - 64 × + 32 2 = - 768 + 1024

(س - 32) 2 = 256

بعد استخراج الجذر التربيعي ، نحصل على: x - 32 = 16.

"في هذه الحالة ، كما يقول بهاسكارا ، تكون الوحدات السالبة للجزء الأول بحيث تكون وحدات الجزء الثاني أقل منها ، وبالتالي يمكن اعتبار الأخير موجبًا وسالبًا ، ونحصل على القيمة المزدوجة للمجهول : 48 و 16. "

يجب أن نستنتج أن حل Bhaskara يشير إلى أنه كان على علم بالقيمة الثنائية لجذور المعادلات التربيعية.

يقترح حل مشكلة باسكارا الهندية القديمة:

"مربع خُمس القرود ، الذي تم تقليصه بمقدار ثلاثة ، مختبئًا في الكهف ، تسلق أحد القرود شجرة ، وكان مرئيًا. كم عدد القرود هناك؟ وتجدر الإشارة إلى أن هذه المشكلة تم حلها أوليًا ، واختزلها إلى معادلة تربيعية.

الخورزمي - عالم عربي كتب كتاب الإصلاح والمعارضة عام 825 م. كان أول كتاب في الجبر في العالم. كما قدم ستة أنواع من المعادلات التربيعية ولكل من المعادلات الست التي صاغها في صيغة لفظية قاعدة خاصة لحلها. في الرسالة ، يسرد خورزمي ستة أنواع من المعادلات ، معبراً عنها على النحو التالي:

1. "المربعات تساوي الجذور" ، أي الفأس 2 = بوصة.

2. "المربعات تساوي العدد" ، أي الفأس 2 = ق.

3. "الجذور تساوي العدد" ، أي آه = ق.

4. "المربعات والأرقام تساوي الجذور" ، أي فأس 2 + ج \ u003d بوصة.

5. "المربعات والجذور تساوي العدد" ، أي الفأس 2 + في = s.

6. "الجذور والأرقام تساوي المربعات" ، أي في + c \ u003d ah 2.

لنحلل مشكلة الخوارزمي التي تختزل في حل معادلة تربيعية. "مربع ورقم يساوي الجذور." على سبيل المثال ، مربع واحد والرقم 21 يساوي 10 جذور لنفس المربع ، أي السؤال هو ، مما يتكون المربع ، والذي بعد إضافة 21 إليه ، يصبح مساويًا لـ 10 جذور لنفس المربع؟

و باستخدام الصيغة الرابعة للخوارزمي ، يجب على الطلاب كتابة: x 2 + 21 = 10x

فرانسوا فيت - عالم رياضيات فرنسي ، صاغ وأثبت النظرية حول مجموع وحاصل جذر المعادلة التربيعية المعطاة.

الفن الذي أقدمه جديدًا ، أو على الأقل تعرض للتلف بسبب تأثير البرابرة الذين رأيتهم مناسبًا لمنحه مظهرًا جديدًا تمامًا.

فرانسوا فيت

ومع ذلك ، وُلد فرانسوا (1540-13.12. 1603) في بلدة فونتيني لو كومت في مقاطعة بواتو ، بالقرب من قلعة لاروشيل الشهيرة. بعد حصوله على شهادة في القانون ، من سن التاسعة عشرة ، عمل بنجاح كمحام في مدينته الأم. كمحامية ، تمتعت فيت بالاحترام والمكانة بين السكان. كان شخصًا متعلمًا على نطاق واسع. كان يعرف علم الفلك والرياضيات وكرس كل وقت فراغه لهذه العلوم.

كان شغف فييتا الرئيسي هو الرياضيات. درس بعمق أعمال كلاسيكيات أرخميدس وديوفانتوس ، أسلاف كاردانو وبومبيلي وستيفين وغيرهم. لم يكن فييتا معجبًا بهم فحسب ، بل رأى عيبًا كبيرًا فيها ، وهو صعوبة الفهم بسبب الرمزية اللفظية: تم تسجيل جميع الإجراءات والعلامات تقريبًا بالكلمات ، ولم يكن هناك أي تلميح لتلك القواعد المريحة شبه التلقائية التي نستخدمها الآن . كان من المستحيل التدوين ، وبالتالي البدء في شكل عام ، أو مقارنات جبرية أو أي تعبيرات جبرية أخرى. تم حل كل نوع من المعادلات ذات المعاملات العددية وفقًا لقاعدة خاصة. لذلك ، كان من الضروري إثبات وجود مثل هذه الإجراءات العامة على جميع الأرقام التي لا تعتمد على هذه الأرقام نفسها. أثبت فيت وأتباعه أنه لا يهم ما إذا كان الرقم المعني هو عدد الأشياء أو طول المقطع. الشيء الرئيسي هو أنه من الممكن إجراء عمليات جبرية بهذه الأرقام ، ونتيجة لذلك ، مرة أخرى الحصول على أرقام من نفس النوع. ومن ثم يمكن الإشارة إليها ببعض العلامات المجردة. فعل فييت ذلك بالضبط. لم يقدم حساب التفاضل والتكامل الخاص به فحسب ، بل قام باكتشاف جديد جوهريًا ، وحدد لنفسه هدفًا ألا وهو دراسة الأعداد وليس دراسة الأفعال عليها. سمحت طريقة الكتابة هذه لفييتا بإجراء اكتشافات مهمة في دراسة الخصائص العامة للمعادلات الجبرية. ليس من قبيل المصادفة أن يُطلق على فييتا لقب "أب" الجبر ، مؤسس رموز الحروف.

موارد المعلومات:

http :// سوم. fio. en/ مصادر/ كاربوهينا/2003/12/ مكتمل%20 الشغل/ حفلة موسيقية/ فهرس1. هتم

http :// الصفحات. مارسو. en/ iac/ المدرسة/ س4/ صفحة74. لغة البرمجة

من تاريخ المعادلات التربيعية المؤلف: طالب من الدرجة 9 "أ" رادشينكو سفيتلانا المشرف: Alabugina I.A. مدرس الرياضيات MBOU "المدرسة الثانوية رقم 5 في Guryevsk" في منطقة Kemerovo منطقة موضوع العرض التقديمي: الرياضيات تم إعدادها لمساعدة المعلم إجمالي 20 شريحة المحتويات مقدمة ............................................................................... ........................... 3 …………………………… ……… ... 5 معادلات الخوارزمي التربيعية …………………………………………… .. 6 كيف قام Diophantus بتجميع وحل المعادلات التربيعية …… ………………… ..... 7 المعادلات التربيعية في أوروبا Xll - XVll القرنين ……………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. 10 منهجية لدراسة التربيعية المعادلات ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………… .. 10 10 طرق لحل المعادلات التربيعية …………………………………… .12 خوارزمية لحل المعادلات التربيعية غير المكتملة ………… …… ………… 13 خوارزمية لحل المعادلة التربيعية الكاملة …………………………… .. 14 حل المشكلات التطبيقية ……………………………………………………………… ………………………………… .16 5. الاستنتاج. ……………………………………………………………………………………… 18 1. 2. 6. قائمة الأدبيات المستخدمة ……………………………… ……… ……………… .19 2 مقدمة إن التفكير في ذلك اليوم المؤسف أو تلك الساعة التي لم تتعلم فيها شيئًا جديدًا ، لم يضيف شيئًا إلى تعليمك. معادلات جان آموس كومينيوس 3 التربيعية هي الأساس الذي يقوم عليه صرح الجبر المهيب. تستخدم على نطاق واسع في حل المعادلات والتفاوتات المثلثية والأسية واللوغاريتمية وغير المنطقية والمتجاوزة. تحتل المعادلات التربيعية في المقرر الدراسي للجبر مكانة رائدة. يخصص الكثير من الوقت المدرسي في الرياضيات لدراستها. في الأساس ، تخدم المعادلات التربيعية أغراضًا عملية محددة. معظم المشاكل المتعلقة بالأشكال المكانية والعلاقات الكمية للعالم الحقيقي تنبع من حل أنواع مختلفة من المعادلات ، بما في ذلك المعادلات التربيعية. من خلال إتقان طرق حلها ، يجد الناس إجابات لأسئلة مختلفة من العلوم والتكنولوجيا. من تاريخ ظهور المعادلات التربيعية بابل القديمة: بالفعل حوالي 2000 سنة قبل الميلاد ، عرف البابليون كيفية حل المعادلات التربيعية. كانت طرق حل المعادلات التربيعية الكاملة وغير المكتملة معروفة. على سبيل المثال ، في مدينة بابل القديمة ، تم حل المعادلات التربيعية التالية: تم حل 4 مشاكل هندية بمساعدة المعادلات التربيعية في أطروحة علم الفلك "أرياباتيام" ، التي كتبها عالم الفلك وعالم الرياضيات الهندي أرياباتا في عام 499 بعد الميلاد. وضع عالم هندي آخر ، Brahmagupta ، قاعدة عامة لحل معادلة تربيعية مختزلة إلى شكل متعارف عليه: ax2 + bx = c ؛ علاوة على ذلك ، كان من المفترض أن جميع المعاملات فيه ، باستثناء "أ" ، يمكن أن تكون سالبة. تتطابق القاعدة التي صاغها العالم بشكل أساسي مع القاعدة الحديثة. 5 معادلات الخوارزمي التربيعية: تعطي أطروحة الخوارزمي الجبرية تصنيفًا للمعادلات الخطية والتربيعية. يسرد المؤلف 6 أنواع من المعادلات ، معربًا عنها على النحو التالي: "المربعات تساوي الجذور" ، أي ax2 = bx .؛ "المربعات تساوي الرقم" ، أي ax2 = c ؛ "الجذور تساوي الرقم" ، أي فأس \ u003d ج ؛ المربعات والأرقام تساوي الجذور ، أي الفأس 2 + ج = ب س ؛ "المربعات والجذور تساوي الرقم" ، أي ax2 + bx = c ؛ "الجذور والأرقام تساوي المربعات" ، أي bx + c = ax2. 6 كيف جمع ديوفانتوس وحل المعادلات التربيعية: كان ديوفانتوس الإسكندري من أكثر علماء الرياضيات اليونانيين غرابة. حتى الآن ، لم يتم توضيح سنة ولادة ولا تاريخ وفاة ديوفانتوس ؛ يعتقد أنه عاش في القرن الثالث. ميلادي من بين أعمال ديوفانتوس ، أهمها الحساب ، حيث لم يتبق منها سوى 13 كتابًا حتى يومنا هذا. لا يحتوي "الحساب" لديوفانتوس على عرض منهجي للجبر ، ولكنه يحتوي على عدد من المشكلات مصحوبة بتفسيرات وحلها تجميع معادلات بدرجات مختلفة. عند تجميع المعادلات ، يختار Diophantus بمهارة المجهول لتبسيط الحل. 7 المعادلات التربيعية في أوروبا القرنين الثاني عشر والسابع عشر: طور عالم الرياضيات الإيطالي ليونارد فيبوناتشي بشكل مستقل بعض الأمثلة الجبرية الجديدة لحل المشكلات وكان الأول في أوروبا الذي يقترب من إدخال الأرقام السالبة. تمت صياغة القاعدة العامة لحل المعادلات التربيعية إلى شكل أساسي واحد x2 + bx = c مع جميع التوليفات الممكنة من العلامات والمعاملات b ، c ، وقد تمت صياغتها في أوروبا عام 1544 بواسطة Michael Stiefel. 8 قدم فرانسوا فييت عالم الرياضيات الفرنسي F. Viet (1540-1603) ، نظامًا للرموز الجبرية ، وطور أسس الجبر الأولي. كان من أوائل الذين بدأوا في تعيين الأرقام بالأحرف ، مما طور بشكل كبير نظرية المعادلات. لدى Vieta اشتقاق عام لصيغة حل المعادلة التربيعية ، لكن فييتا أدركت الجذور الإيجابية فقط. 9 المعادلات التربيعية اليوم القدرة على حل المعادلات التربيعية بمثابة أساس لحل المعادلات الأخرى وأنظمتها. يبدأ تعلم حل المعادلات بأبسط أنواعها ، ويتسبب البرنامج في التراكم التدريجي لكل من أنواعها و "صندوق" التحولات المتطابقة والمعادلة ، والتي يمكنك من خلالها إحضار معادلة عشوائية إلى أبسطها. يجب أيضًا بناء عملية تشكيل طرق معممة لحل المعادلات في مسار الجبر المدرسي في هذا الاتجاه. في دورة الرياضيات بالمدرسة الثانوية ، يواجه الطلاب فئات جديدة من المعادلات أو الأنظمة أو دراسة متعمقة للمعادلات المعروفة بالفعل. يتميز هذا الموضوع بعمق كبير في العرض وثراء الروابط التي أقيمت بمساعدته في التعلم ، والصلاحية المنطقية للعرض التقديمي. لذلك ، فإنها تحتل مكانة استثنائية في خط المعادلات وعدم المساواة. نقطة مهمة في دراسة المعادلات التربيعية هي النظر في نظرية فييتا ، التي تنص على وجود علاقة بين الجذور ومعاملات المعادلة التربيعية المختصرة. يرتبط تعقيد إتقان نظرية فييتا بعدة ظروف. بادئ ذي بدء ، من الضروري مراعاة الفرق بين النظريات المباشرة والعكسية. 11 10 طرق لحل المعادلات التربيعية: تحليل الجانب الأيسر من المعادلة. طريقة اختيار المربع الكامل. حل المعادلات التربيعية بالصيغة. حل المعادلات باستخدام نظرية فييتا. حل المعادلات بطريقة "نقل" خصائص معاملات المعادلة التربيعية. الحل الرسومي لمعادلة تربيعية. حل المعادلات التربيعية بالبوصلة والمسطحة. 12 حل المعادلات التربيعية باستخدام الرسم البياني. طريقة هندسية لحل المعادلات التربيعية. خوارزمية لحل المعادلات التربيعية غير المكتملة 1) إذا كانت المعادلة لها الشكل ax2 = 0 ، فإن لها جذرًا واحدًا x = 0 ؛ 2) إذا كانت المعادلة على شكل ax2 + bx = 0 ، فسيتم استخدام طريقة التحليل: x (ax + b) = 0 ؛ لذلك إما x = 0 أو ax + b = 0. نتيجة لذلك ، يتم الحصول على جذر: x1 = 0؛ x2 \ u003d 3) إذا كانت المعادلة لها الشكل ax2 + c \ u003d 0 ، يتم تحويلها إلى الشكل ax2 \ u003d - c ثم x2. = في الحالة عندما -< 0, уравнение х2 =- не имеет корней (значит, не имеет корней и исходное уравнение ах2 + с = 0). В случае, когда - >0 ، أي - \ u003d م ، حيث م> 0 ، المعادلة س 2 \ u003d م لها جذرين ، وبالتالي يمكن أن تحتوي المعادلة التربيعية غير المكتملة على جذرين ، جذر واحد ، بدون جذر. 13 خوارزمية لحل المعادلة التربيعية الكاملة. هذه معادلات على شكل ax2 + bx + c = 0 ، حيث يتم إعطاء أرقام أ ، ب ، ج ، و ≠ 0 ، س هي المجهول. يمكن تحويل أي معادلة تربيعية كاملة إلى الصورة لتحديد عدد جذور المعادلة التربيعية وإيجاد هذه الجذور. يتم النظر في الحالات التالية لحل المعادلات التربيعية الكاملة: د< 0, D = 0, D >0. 1. إذا د< 0, то квадратное уравнение ах2 + bx + c = 0 не имеет действительных корней. Так как D = 0, то данное уравнение имеет один корень. Этот корень находится по формуле. 3. Если D > 0 ، ثم المعادلة التربيعية ax2 + bx + c = 0 لها جذرين ، تم العثور عليهما بواسطة الصيغ:؛ 14 حل المعادلات التربيعية المختصرة F. نظرية فييتا: مجموع جذور المعادلة التربيعية المختزلة يساوي المعامل الثاني ، مأخوذًا بعلامة معاكسة ، وحاصل ضرب الجذور يساوي الحد الحر. بمعنى آخر ، إذا كانت x1 و x2 هي جذور المعادلة x2 + px + q = 0 ، فإن x1 + x2 = - p ، x1 x2 = q. (*) نظرية العكس إلى نظرية فييتا: إذا كانت الصيغ (*) صالحة للأرقام x1 ، x2 ، p ، q ، إذن x1 و x2 هي جذور المعادلة x2 + px + q = 0. 15 تطبيقات عملية لـ المعادلات التربيعية لحل مسائل بهاسكار التطبيقية (1114-1185) - أكبر عالم رياضيات وفلك هندي في القرن الثاني عشر. ترأس المرصد الفلكي في اوجين. كتب باسكارا أطروحة "Siddhanta-shiromani" ("تاج التدريس") ، المكونة من أربعة أجزاء: "Lilavati" مخصص للحساب ، "Bizhdaganita" - في الجبر ، "Goladhaya" - في المجال ، "Granhaganita" - لنظرية حركات الكواكب. تلقى Bhaskara الجذور السلبية للمعادلات ، على الرغم من أنه شك في أهميتها. يمتلك أحد أقدم مشاريع الحركة الدائمة. 16 إحدى مشاكل عالم الرياضيات الهندي الشهير في القرن الثاني عشر. Bhaskara: يشير حل Bhaskara إلى أن المؤلف كان على دراية بالقيمة الثنائية لجذور المعادلات التربيعية. 17 الخاتمة لقد قطع تطور علم حل المعادلات التربيعية مسارًا طويلًا وشائكًا. فقط بعد أعمال Stiefel و Vieta و Tartaglia و Cardano و Bombelli و Girard و Descartes ، اتخذ نيوتن علم حل المعادلات التربيعية شكلاً حديثًا. لا تكمن قيمة المعادلات التربيعية في دقة وإيجاز حل المشكلات ، على الرغم من أهمية هذا الأمر. لا يقل أهمية عن حقيقة أنه نتيجة لاستخدام المعادلات التربيعية في حل المشكلات ، غالبًا ما يتم اكتشاف تفاصيل جديدة ، ويمكن إجراء تعميمات مثيرة للاهتمام وإجراء تحسينات ، والتي يتم دفعها من خلال تحليل الصيغ والعلاقات التي تم الحصول عليها. أثناء دراسة الأدبيات ومصادر الإنترنت المتعلقة بتاريخ تطور المعادلات التربيعية ، سألت نفسي: "ما الذي دفع العلماء الذين عاشوا في مثل هذا الوقت الصعب إلى العلم ، حتى تحت تهديد الموت؟" من المحتمل ، أولاً وقبل كل شيء ، أن فضول العقل البشري هو مفتاح تطور العلم. أسئلة حول جوهر العالم ، حول مكانة الإنسان في هذا العالم تطارد في جميع الأوقات الأشخاص الفضوليين والعقلاء. لقد سعى الناس جاهدين لفهم أنفسهم ومكانهم في العالم في جميع الأوقات. انظر إلى نفسك أيضًا ، ربما يعاني فضولك الطبيعي ، لأنك استسلمت للحياة اليومية ، والكسل؟ مصير العديد من العلماء - 18 أمثلة لمتابعة. ليست كل الأسماء معروفة وشائعة. فكر: ما أنا للأشخاص من حولي؟ لكن الأهم هو كيف أشعر تجاه نفسي ، هل أستحق الاحترام؟ فكر في الأمر ... المراجع 1. Zvavich L.I. "Algebra Grade 8" ، M. ، 2002. 2. Savin Yu.P. "قاموس موسوعي لعالم رياضيات شاب" ، M. ، 1985. 3. Yu.N. Makarychev "Algebra grade 8"، M، 2012. 4. https://ru.wikipedia.org rudn.ru/nfpk/matemat/ 05 / main_1.htm 6. http://rudocs.exdat.com/docs/index-14235.html 7. http://podelise.ru/docs/40825/index-2427. html 19 شكرًا لك على اهتمامك 20

من تاريخ المعادلات التربيعية.

أ) المعادلات التربيعية في بابل القديمة

الحاجة إلى حل المعادلات ليس فقط من الدرجة الأولى ، ولكن أيضًا من الدرجة الثانية ، التي تعود إلى العصور القديمة ، كان سببها الحاجة إلى حل المشكلات المتعلقة بإيجاد مناطق من الأرض وأعمال ترابية ذات طبيعة عسكرية ، فضلاً عن التطوير. علم الفلك والرياضيات نفسها. كانت المعادلات التربيعية قادرة على حل حوالي 2000 قبل الميلاد. البابليون. بتطبيق تدوين جبري حديث ، يمكننا القول أنه في نصوصهم المسمارية توجد ، بالإضافة إلى النصوص غير المكتملة ، على سبيل المثال ، معادلات تربيعية كاملة:

× 2 + س \ u003d ، × 2 - س \ u003d 14

على الرغم من ارتفاع مستوى تطور علم الجبر في بابل ، إلا أن النصوص المسمارية تفتقر إلى مفهوم الرقم السالب والطرق العامة لحل المعادلات التربيعية.

لا يحتوي حساب Diophantus 'الحسابي على عرض منظم للجبر ، ولكنه يحتوي على سلسلة منهجية من المسائل ، مصحوبة بتفسيرات ويتم حلها عن طريق تجميع المعادلات بدرجات مختلفة.

عند تجميع المعادلات ، يختار Diophantus بمهارة المجهول لتبسيط الحل.

هنا ، على سبيل المثال ، هي إحدى مهامه.

المهمة 2. "ابحث عن رقمين ، مع العلم أن مجموعهما 20 وحاصل ضربهما 96."

يجادل Diophantus على النحو التالي: ينتج عن حالة المشكلة أن الأرقام المرغوبة ليست متساوية ، لأنه إذا كانت متساوية ، فلن يكون ناتجها 96 ، بل 100. وهكذا ، سيكون أحدهم أكثر من نصف المجموع ، أي 10 + س. الآخر أصغر ، أي 10 - س. الفرق بينهما هو 2x. ومن هنا جاءت المعادلة:

(10 + س) (10-س) = 96 ،

أو

100 - س 2 = 96.

إذا حللنا هذه المشكلة باختيار أحد الأعداد المجهولة باعتباره مجهولًا ، فيمكننا الوصول إلى حل المعادلة:

من الواضح أن Diophantus يبسط الحل باختيار نصف فرق الأرقام المرغوبة على أنها غير معروفة ؛ تمكن من تقليل المشكلة إلى حل معادلة تربيعية غير مكتملة.
ب) المعادلات التربيعية في الهند.

تم العثور بالفعل على مشاكل المعادلات التربيعية في المسالك الفلكية "Aryabhattayam" ، التي جمعت في 499 من قبل عالم الرياضيات والفلك الهندي Aryabahatta. حدد عالم هندي آخر ، Brahmagupta (القرن السابع) ، القاعدة العامة لحل المعادلات التربيعية التي تم تقليصها إلى شكل أساسي واحد.

أوه 2 + بس = ج ، أ > 0

في المعادلة ، المعاملات ، ما عدا أيمكن أن تكون سالبة. يتطابق حكم براهماغوبتا بشكل أساسي مع حكمنا.

إليكم إحدى مشكلات عالم الرياضيات الهندي الشهير في القرن الثاني عشر. باسكارا.

المهمة 3.

يشير حل Bhaskara إلى أن المؤلف كان على دراية بالقيمة الثنائية لجذور المعادلات التربيعية.

المعادلة المقابلة للمشكلة 3 هي:

يكتب باسكارا تحت ستار:

× 2 - 64 × = - 768

ولإكمال الجانب الأيسر من هذه المعادلة للمربع ، نضيف 32 2 لكلا الجانبين ، ثم نحصل على:

× 2 - b4x + 32 2 = -768 + 1024 ،

(س - 32) 2 = 256 ،

× 1 = 16 ، × 2 = 48.

ج) معادلات الخوارزمي التربيعية

"المربعات تساوي الجذور" ، أي ax 2 = bx.
"المربعات تساوي الرقم" ، أي ax 2 = c.
"الجذور تساوي الرقم" ، أي ax = c.
"المربعات والأرقام تساوي الجذور" ، أي ax 2 + c \ u003d bx.
"المربعات والجذور تساوي الرقم" ، أي ax 2 + bx \ u003d c.
"الجذور والأرقام تساوي المربعات" ، أي bx + c == ax 2.

بالنسبة للخوارزمي ، الذي تجنب استخدام الأعداد السالبة ، فإن مصطلحات كل من هذه المعادلات هي عمليات الجمع ، وليس الطرح. في هذه الحالة ، من الواضح أن المعادلات التي ليس لها حلول إيجابية لا تؤخذ في الاعتبار. حدد المؤلف طرق حل هذه المعادلات باستخدام طرق الجبر والمقبلة. قراره ، بالطبع ، لا يتوافق تمامًا مع قرارنا. ناهيك عن حقيقة أنها بلاغية بحتة ، وتجدر الإشارة ، على سبيل المثال ، إلى أنه عند حل معادلة تربيعية غير مكتملة من النوع الأول ، فإن الخوارزمي ، مثل جميع علماء الرياضيات قبل القرن السابع عشر ، لا يأخذ في الاعتبار الصفر. ربما لأنه في مهام عملية محددة ، لا يهم. عند حل المعادلات التربيعية الكاملة ، يضع الخوارزمي قواعد حلها باستخدام أمثلة عددية معينة ، ثم البراهين الهندسية.

لنأخذ مثالا.

المسألة 4. "المربع والرقم 21 يساوي 10 جذور. أوجد الجذر "(أي جذر المعادلة x 2 + 21 \ u003d 10x).

د) المعادلات التربيعية في أوروبا القرنين الثالث عشر والسابع عشر.

تم وضع صيغ حل المعادلات التربيعية على نموذج الخوارزمي في أوروبا لأول مرة في "كتاب العداد" ، الذي كتبه عالم الرياضيات الإيطالي ليوناردو فيبوناتشي عام 1202. يتميز هذا العمل الضخم ، الذي يعكس تأثير الرياضيات من كل من بلاد الإسلام واليونان القديمة ، بالاكتمال والوضوح في العرض. طور المؤلف بشكل مستقل بعض الأمثلة الجبرية الجديدة لحل المشكلات وكان أول من اقترب من إدخال الأرقام السالبة في أوروبا. ساهم كتابه في انتشار المعرفة الجبرية ليس فقط في إيطاليا ، ولكن أيضًا في ألمانيا وفرنسا ودول أوروبية أخرى. تم تمرير العديد من المهام من كتاب العداد إلى جميع الكتب المدرسية الأوروبية تقريبًا في القرنين السادس عشر والسابع عشر. وجزئيا الثامن عشر.

قاعدة عامة لحل المعادلات التربيعية مختزلة إلى صيغة واحدة أساسية

س 2 + ب س \ u003d ج ،

لجميع المجموعات الممكنة لعلامات المعاملات ب، معتمت صياغته في أوروبا فقط في عام 1544 بواسطة M. Stiefel.

لدى Vieta اشتقاق عام لصيغة حل المعادلة التربيعية ، ومع ذلك ، أدرك Vieta الجذور الإيجابية فقط. كان علماء الرياضيات الإيطاليون تارتاليا وكاردانو وبومبيلي من بين الأوائل في القرن السادس عشر. ضع في اعتبارك ، بالإضافة إلى الجذور الإيجابية والسلبية. فقط في القرن السابع عشر. بفضل أعمال جيرارد وديكارت ونيوتن وعلماء آخرين ، تتخذ طريقة حل المعادلات التربيعية شكلاً حديثًا.

ترتبط أصول الأساليب الجبرية لحل المشكلات العملية بعلم العالم القديم. كما هو معروف من تاريخ الرياضيات ، فإن جزءًا مهمًا من المشكلات ذات الطبيعة الرياضية ، التي تم حلها بواسطة أجهزة الكمبيوتر المصرية والسومرية والبابلية (القرنان السادس والعشرون قبل الميلاد) ، كان لها طابع محسوب. ومع ذلك ، حتى ذلك الحين ، من وقت لآخر ، تنشأ مشاكل حيث يتم تحديد القيمة المرغوبة للكمية من خلال بعض الشروط غير المباشرة ، والتي تتطلب ، من وجهة نظرنا الحديثة ، صياغة معادلة أو نظام معادلات. في البداية ، تم استخدام الطرق الحسابية لحل مثل هذه المشاكل. في وقت لاحق ، بدأت بدايات التمثيلات الجبرية في التكون. على سبيل المثال ، استطاعت الآلات الحاسبة البابلية حل مسائل تم اختزالها ، من وجهة نظر التصنيف الحديث ، إلى معادلات من الدرجة الثانية. تم إنشاء طريقة لحل مشاكل النص ، والتي استخدمت فيما بعد كأساس لإبراز المكون الجبري ودراسته المستقلة.

تم إجراء هذه الدراسة بالفعل في حقبة أخرى ، أولاً من قبل علماء الرياضيات العرب (القرنين السادس والعاشر الميلادي) ، الذين حددوا الإجراءات المميزة التي تم من خلالها اختزال المعادلات إلى شكل قياسي ، واختزال المصطلحات المماثلة ، ونقل المصطلحات من جزء واحد من معادلة لأخرى مع علامة التغيير. ثم قام علماء الرياضيات الأوروبيون في عصر النهضة ، نتيجة بحث طويل ، بإنشاء لغة الجبر الحديثة ، واستخدام الحروف ، وإدخال الرموز للعمليات الحسابية ، والأقواس ، إلخ. في مطلع القرن السادس عشر- القرن السابع عشر. الجبر كجزء محدد من الرياضيات ، له موضوعه وطريقته ومجالات تطبيقه ، قد تم تشكيله بالفعل. تمثّل تطويرها الإضافي ، حتى وقتنا هذا ، في تحسين الأساليب ، وتوسيع نطاق التطبيقات ، وتوضيح المفاهيم وعلاقاتها بمفاهيم فروع الرياضيات الأخرى.

تاريخ تطوير حلول المعادلات التربيعية

أرسطو

دي مندليف

ابحث عن جوانب حقل له شكل مستطيل إذا كانت مساحته 12 ، أ

لنفكر في هذه المشكلة.

لنفترض أن x هو طول الحقل ، ثم يكون عرضه ،
هي منطقتها.
لنصنع معادلة تربيعية:
تعطي البردية قاعدة لقراره: "قسّم 12 على".
12: .
لذا، .
"طول الحقل 4" - مذكور في البردية.

معادلة تربيعية مخفضة
أين توجد أي أرقام حقيقية.

في إحدى المهام البابلية ، كان مطلوبًا أيضًا تحديد طول حقل مستطيل (دعنا نشير إليه) وعرضه ().

عند إضافة طول وعرضين لحقل مستطيل ، تحصل على 14 ، ومساحة الحقل 24. ابحث عن جوانبها.

لنقم بعمل نظام معادلات:

من هنا نحصل على معادلة من الدرجة الثانية.

لحلها ، نضيف عددًا معينًا إلى التعبير ،

للحصول على مربع كامل:

بالتالي، .

بشكل عام ، المعادلة التربيعية

له جذور:

ديوفانت
عالم رياضيات يوناني قديم عاش على الأرجح في القرن الثالث قبل الميلاد. ه. مؤلف كتاب "الحساب" - كتاب مخصص لحل المعادلات الجبرية.
في الوقت الحاضر ، عادة ما تُفهم "معادلات ديوفانتين" على أنها معادلات ذات معاملات عدد صحيح ، يجب إيجاد حلول لها بين الأعداد الصحيحة. كان Diophantus أيضًا من أوائل الذين طوروا تدوينًا رياضيًا.

"أوجد رقمين مع العلم أن مجموعهما 20 وحاصل ضربهما 96."

سيكون أحد الأرقام أكثر من نصف مجموعهم ، أي 10+ ، والآخر أقل ، أي 10-.

ومن هنا جاءت المعادلة () () = 96

إليكم إحدى مشاكل المشاهير

عالم الرياضيات الهندي من القرن الثاني عشر باسكارا:

قطيع فريسكي من القرود

الأكل الجيد والاستمتاع.

مربعهم الجزء الثامن

يلهون في المرج.

واثنا عشر في الكروم ...

بدأوا في القفز ، معلقين ...

كم عدد القردة

أخبرني ، في هذا القطيع؟

يشير حل باسكارا إلى أنه كان على دراية بالقيمة الثنائية لجذور المعادلات التربيعية.
الحل المقابل للمعادلة

يكتب Bhaskara في النموذج ، ولإكمال الجانب الأيسر من هذه المعادلة إلى مربع ، نضيف 32 2 إلى كلا الجانبين ، وبذلك نحصل على

"الجبر" - الاستعادة - الخورزمي دعا إلى عملية الاستبعاد من كلا الجزأين من معادلة الأعضاء السلبيين عن طريق إضافة أعضاء متساوين ، ولكن معارضة في التوقيع.

"المكبالة" - المعارضة - التخفيض في أجزاء معادلة الأعضاء أنفسهم.

حكم الجبر

عند حل المعادلة

إذا كان في الجزء الأول ،

لا يهم ماذا

قابل العضو السلبي ،

نحن على كلا الجزئين

نعطي عضوا متساويا ،

فقط بإشارة أخرى ،

وسنجد نتيجة إيجابية.

1) المربعات تساوي الجذور ، أي ؛

2) المربعات تساوي عددًا ، أي ؛

3) الجذور تساوي العدد ، أي ؛

4) المربعات والأرقام تساوي الجذور ، أي ؛

5) المربعات والجذور تساوي عددًا ، أي ؛

6) الجذور والأرقام تساوي المربعات أي.

مهمة . المربع والرقم 21 يساوي 10 جذور. ابحث عن جذر.

المحلول. اقسم عدد الجذور إلى النصف - تحصل على 5 ، اضرب 5 في نفسه ،

اطرح 21 من حاصل الضرب ، واترك 4.

خذ الجذر التربيعي لـ 4 لتحصل على 2.

اطرح 2 من 5 - تحصل على 3 ، سيكون هذا هو الجذر المطلوب. أو أضف إلى الرقم 5 ، وهو ما يعطينا 7 ، فهذا أيضًا جذر.

وُلِد فيبوناتشي في مركز التجارة الإيطالي في بيزا ، ويفترض أنه في سبعينيات القرن الحادي عشر. . في عام 1192 تم تعيينه لتمثيل مستعمرة بيزان التجارية في شمال إفريقيا. بناءً على طلب والده ، انتقل إلى الجزائر ودرس الرياضيات هناك. في عام 1200 ، عاد ليوناردو إلى بيزا وبدأ في كتابة أول أعماله ، كتاب العداد. [ . وفقًا لمؤرخ الرياضيات أ.ب. يوشكيفيتش يرتفع كتاب العداد بحدة فوق الأدب الحسابي والجبر الأوروبي في القرنين الثاني عشر والرابع عشر من خلال تنوع وقوة الأساليب وثراء المشكلات ودليل العرض ... استمد علماء الرياضيات اللاحقون منه على نطاق واسع مشاكل و طرق حلها ».

دعنا نرسم الدالة

الرسم البياني عبارة عن قطع مكافئ تتجه فروعه لأعلى منذ ذلك الحين

2) إحداثيات رأس القطع المكافئ

تحدث دبليو سوير :

"غالبًا ما يكون أكثر فائدة لطالب الجبر أن يحل المشكلة نفسها بثلاث طرق مختلفة بدلاً من حل ثلاث أو أربع مسائل مختلفة. من خلال حل مشكلة واحدة بطرق مختلفة ، من الممكن معرفة أيها أقصر وأكثر كفاءة عن طريق المقارنة. هذه هي الطريقة التي تصنع بها التجربة ".

"المدينة وحدة من يختلفون"

أرسطو

"الرقم الذي يتم التعبير عنه بعلامة عشرية سيقرأه ألماني وروسي وعربي ويانكي بنفس الطريقة"