إنه يسمى اللوغاريتم. خصائص اللوغاريتمات وأمثلة على حلولها

التعبيرات اللوغاريتمية ، حل الأمثلة. في هذه المقالة ، سننظر في المشكلات المتعلقة بحل اللوغاريتمات. تثير المهام مسألة إيجاد قيمة التعبير. وتجدر الإشارة إلى أن مفهوم اللوغاريتم يستخدم في العديد من المهام ومن المهم للغاية فهم معناه. بالنسبة إلى الاستخدام ، يتم استخدام اللوغاريتم عند حل المعادلات ، في المهام التطبيقية، وكذلك في المهام المتعلقة بدراسة الوظائف.

فيما يلي أمثلة لفهم معنى اللوغاريتم:

الهوية اللوغاريتمية الأساسية:

خصائص اللوغاريتمات التي يجب أن تتذكرها دائمًا:

* لوغاريتم المنتج يساوي المجموعلوغاريتمات العوامل.

* * *

* لوغاريتم حاصل القسمة (الكسر) يساوي الفرق في لوغاريتمات العوامل.

* * *

* لوغاريتم الدرجة يساوي المنتجالأس لوغاريتم قاعدته.

* * *

* الانتقال إلى قاعدة جديدة

* * *

المزيد من الخصائص:

* * *

ترتبط اللوغاريتمات الحاسوبية ارتباطًا وثيقًا باستخدام خصائص الأسس.

نسرد بعضًا منهم:

جوهر الملكية المعطاةهو أنه عند نقل البسط إلى المقام والعكس بالعكس ، تتغير علامة الأس إلى العكس. فمثلا:

نتيجة هذه الخاصية:

* * *

عند رفع قوة إلى قوة ، تظل القاعدة كما هي ، لكن الأسس تتضاعف.

* * *

كما ترى ، فإن مفهوم اللوغاريتم ذاته بسيط. الشيء الرئيسي هو ما هو مطلوب ممارسة جيدةمما يعطي مهارة معينة. من المؤكد أن معرفة الصيغ إلزامية. إذا لم تتشكل المهارة في تحويل اللوغاريتمات الأولية ، فعند الحل مهام بسيطةمن السهل أن نخطئ.

تمرن على حل أبسط الأمثلة من دورة الرياضيات أولاً ، ثم انتقل إلى أمثلة أكثر تعقيدًا. في المستقبل ، سأوضح بالتأكيد كيف يتم حل اللوغاريتمات "القبيحة" ، ولن يكون هناك مثل هذه اللوغاريتمات في الامتحان ، لكنها ذات أهمية ، فلا تفوتها!

هذا كل شئ! كل التوفيق لك!

مع خالص التقدير ، الكسندر كروتسكيخ

ملاحظة: سأكون ممتنًا إذا تحدثت عن الموقع في الشبكات الاجتماعية.

مشتق من تعريفه. وهكذا فإن لوغاريتم العدد ببسبب أيُعرّف بأنه الأس الذي يجب رفع الرقم إليه أللحصول على الرقم ب(اللوغاريتم موجود فقط للأرقام الموجبة).

من هذه الصيغة يتبع ذلك الحساب س = سجل أ ب، يعادل حل المعادلة الفأس = ب.فمثلا، سجل 2 8 = 3لان 8 = 2 3 . صياغة اللوغاريتم يجعل من الممكن تبرير ذلك إذا ب = أ ج، ثم لوغاريتم الرقم ببسبب أيساوي مع. من الواضح أيضًا أن موضوع اللوغاريتم يرتبط ارتباطًا وثيقًا بموضوع قوة الرقم.

باستخدام اللوغاريتمات ، كما هو الحال مع أي أرقام ، يمكنك القيام بذلك عمليات الجمع والطرحوتحويل بكل طريقة ممكنة. ولكن في ضوء حقيقة أن اللوغاريتمات ليست أرقامًا عادية تمامًا ، فإن قواعدها الخاصة تنطبق هنا ، والتي تسمى الخصائص الأساسية.

جمع وطرح اللوغاريتمات.

لنأخذ لوغاريتمين نفس الأسباب: سجل xو تسجيل ذ. ثم قم بإزالته من الممكن إجراء عمليات الجمع والطرح:

سجل أ س + سجل أ ص = سجل أ (س ص) ؛

سجل أ س - سجل أ ص = سجل أ (س: ص).

تسجيل أ(x 1 . x 2 . x 3 ... س ك) = سجل x 1 + سجل x 2 + سجل x 3 + ... + سجل أ س ك.

من نظريات حاصل القسمة اللوغاريتميةيمكن الحصول على خاصية أخرى للوغاريتم. ومن المعروف أن السجل أ 1 = 0 ، لذلك ،

سجل أ 1 /ب= سجل أ 1 - سجل أ ب= -log أ ب.

إذن هناك مساواة:

سجل أ 1 / ب = - سجل أ ب.

لوغاريتمات لرقمين متبادلينعلى نفس الأساس سوف تختلف عن بعضها البعض فقط في تسجيل الدخول. لذا:

السجل 3 9 = - السجل 3 1/9 ؛ سجل 5 1/125 = -log 5125.

1.1 تحديد درجة الأس الصحيح

س 1 = س
س 2 = س * س
X 3 = X * X * X
…
X N \ u003d X * X * ... * X - N مرات

1.2 درجة الصفر.

بحكم التعريف ، من المعتاد افتراض أن القوة الصفرية لأي رقم تساوي 1:

1.3 درجة سلبية.

X-N = 1 / XN

1.4 الأس الكسري ، الجذر.

X 1 / N = جذر X.

على سبيل المثال: X 1/2 = √X.

1.5 صيغة جمع القوى.

X (N + M) = X N * X M

1.6 صيغة لطرح الدرجات.

X (NM) = X N / X M

1.7 صيغة مضاعفة القدرة.

XN * M = (XN) م

1.8 صيغة رفع الكسر إلى أس.

(X / Y) N = XN / YN

2. عدد ه.

قيمة الرقم e تساوي الحد التالي:

E = lim (1 + 1 / N) ، مثل N → ∞.

بدقة 17 رقمًا ، يكون الرقم e هو 2.71828182845904512.

3. مساواة أويلر.

تتعلق هذه المساواة باللعب بخمسة أرقام دور خاصفي الرياضيات: 0 ، 1 ، رقم e ، رقم pi ، وحدة تخيلية.

E (i * pi) + 1 = 0

4. الدالة الأسية exp (x)

إكسب (س) = ه س

5. مشتق من الدالة الأسية

للدالة الأسية خاصية رائعة: مشتق الدالة يساوي الدالة الأسية نفسها:

(exp (x)) "= exp (x)

6. لوغاريتم.

6.1 تعريف دالة اللوغاريتم

إذا كانت x = b y ، فإن اللوغاريتم هو الدالة

Y = Logb (x).

يوضح اللوغاريتم إلى أي درجة يلزم رفع رقم - أساس اللوغاريتم (ب) للحصول على رقم معين (X). يتم تعريف دالة اللوغاريتم لـ X أكبر من الصفر.

على سبيل المثال: سجل 10 (100) = 2.

6.2 اللوغاريتم العشري

هذا هو اللوغاريتم للأساس 10:

ص = سجل 10 (س).

السجل المشار إليه (x): السجل (x) = السجل 10 (x).

مثال على استخدام اللوغاريتم العشري هو الديسيبل.

6.3 ديسيبل

يتم تمييز العنصر على صفحة منفصلة ديسيبل

6.4. اللوغاريتم الثنائي

هذا هو اللوغاريتم الأساسي 2:

Y = Log2 (x).

يُرمز إليها بـ Lg (x): Lg (x) = Log 2 (X)

6.5. اللوغاريتم الطبيعي

هذا هو اللوغاريتم للقاعدة e:

ص = تسجيل الدخول (س).

يُرمز إليها بـ Ln (x): Ln (x) = Log e (X)
اللوغاريتم الطبيعي - وظيفة عكسيةإلى الدالة الأسية exp (X).

6.6. نقاط مميزة

لوجا (1) = 0
سجل أ (أ) = 1

6.7 صيغة لوغاريتم المنتج

السجل أ (س * ص) = السجل أ (س) + السجل أ (ص)

6.8 صيغة لوغاريتم حاصل القسمة

السجل أ (س / ص) = السجل أ (س) - السجل أ (ص)

6.9 صيغة لوغاريتم القوة

سجل أ (س ص) = ص * سجل أ (س)

6.10. صيغة للتحويل إلى لوغاريتم ذو أساس مختلف

السجل ب (خ) = (السجل أ (خ)) / السجل أ (ب)

مثال:

السجل 2 (8) = السجل 10 (8) / السجل 10 (2) =
0.903089986991943552 / 0.301029995663981184 = 3

7. الصيغ مفيدة في الحياة

غالبًا ما توجد مشكلات في تحويل الحجم إلى مساحة أو طول و مشكلة عكسية- تحويل المنطقة إلى حجم. على سبيل المثال ، تُباع الألواح في شكل مكعبات (بالمتر المكعب) ، ونحتاج إلى حساب مساحة الجدار التي يمكن تغليفها بالألواح الموجودة في حجم معين ، راجع حساب الألواح ، وعدد الألواح الموجودة في المكعب. أو ، أبعاد الجدار معروفة ، من الضروري حساب عدد الطوب ، انظر حساب الطوب.

يُسمح باستخدام مواد الموقع بشرط تعيين ارتباط نشط للمصدر.

تعليمات

اكتب المعطى تعبير لوغاريتمي. إذا كان التعبير يستخدم لوغاريتم 10 ، فسيتم اختصار ترميزه ويبدو كالتالي: lg b is اللوغاريتم العشري. إذا كان اللوغاريتم يحتوي على الرقم e كأساس ، فسيتم كتابة التعبير: ln b - اللوغاريتم الطبيعي. من المفهوم أن نتيجة أي هي القوة التي يجب رفع الرقم الأساسي إليها للحصول على الرقم ب.

عند إيجاد مجموع وظيفتين ، تحتاج فقط إلى التفريق بينهما واحدة تلو الأخرى ، وإضافة النتائج: (u + v) "= u" + v "؛

عند إيجاد مشتق ناتج وظيفتين ، من الضروري ضرب مشتق الوظيفة الأولى في الثانية وإضافة مشتق الوظيفة الثانية ، مضروبًا في الوظيفة الأولى: (u * v) "= u" * v + v "* u ؛

من أجل إيجاد مشتق حاصل قسمة وظيفتين ، من الضروري ، من حاصل ضرب مشتق المقسوم مضروبًا في دالة المقسوم عليه ، طرح منتج مشتق المقسوم عليه مضروبًا في دالة المقسوم عليه ، ثم قسمة كل هذا من خلال تربيع دالة المقسوم عليه. (u / v) "= (u" * v-v "* u) / v ^ 2 ؛

إذا أعطيت دالة معقدة ، فمن الضروري ضرب مشتق الدالة الداخلية ومشتق الدالة الخارجية. دع y = u (v (x)) ، ثم y "(x) = y" (u) * v "(x).

باستخدام ما تم الحصول عليه أعلاه ، يمكنك التفريق بين أي وظيفة تقريبًا. لذلك دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة:

ص = س ^ 4 ، ص "= 4 * س ^ (4-1) = 4 * س ^ 3 ؛

y = 2 * x ^ 3 * (e ^ x-x ^ 2 + 6)، y "= 2 * (3 * x ^ 2 * (e ^ x-x ^ 2 + 6) + x ^ 3 * (e ^ x-2 * خ)) ؛
هناك أيضًا مهام لحساب المشتق عند نقطة ما. دع الدالة y = e ^ (x ^ 2 + 6x + 5) معطاة ، تحتاج إلى إيجاد قيمة الوظيفة عند النقطة x = 1.
1) أوجد مشتق الوظيفة: y "= e ^ (x ^ 2-6x + 5) * (2 * x +6).

2) احسب قيمة الوظيفة في نقطة معينةص "(1) = 8 * ه ^ 0 = 8

فيديوهات ذات علاقة

نصيحة مفيدة

تعلم جدول المشتقات الأولية. سيوفر هذا الكثير من الوقت.

مصادر:

• مشتق ثابت

إذن ما هو مختلف الأشعة تحت الحمراء معادلة عقلانيةمن عقلاني؟ إذا كان المتغير المجهول تحت العلامة الجذر التربيعي، ثم تعتبر المعادلة غير منطقية.

تعليمات

الطريقة الرئيسية لحل هذه المعادلات هي طريقة رفع كلا الجانبين المعادلاتفي مربع. لكن. هذا طبيعي ، الخطوة الأولى هي التخلص من اللافتة. من الناحية الفنية ، هذه الطريقة ليست صعبة ، لكنها في بعض الأحيان يمكن أن تؤدي إلى مشاكل. على سبيل المثال ، المعادلة v (2x-5) = v (4x-7). من خلال تربيع كلا الجانبين ، تحصل على 2x-5 = 4x-7. مثل هذه المعادلة ليس من الصعب حلها ؛ س = 1. لكن لن يتم إعطاء الرقم 1 المعادلات. لماذا ا؟ عوّض بالوحدة في المعادلة بدلاً من قيمة x ، وسيحتوي الجانبان الأيمن والأيسر على تعابير لا معنى لها ، أي. هذه القيمة غير صالحة لجذر تربيعي. لذلك 1 هو جذر دخيل ، وبالتالي معادلة معينةليس له جذور.

لذلك ، يتم حل المعادلة غير المنطقية باستخدام طريقة تربيع كلا الجزأين. وبعد حل المعادلة ، من الضروري قطعها جذور دخيلة. للقيام بذلك ، استبدل الجذور الموجودة في المعادلة الأصلية.

فكر في واحدة أخرى.
2x + vx-3 = 0
بالطبع ، يمكن حل هذه المعادلة باستخدام نفس المعادلة السابقة. مركبات النقل المعادلاتالتي ليس لها جذر تربيعي ، الجانب الأيمنثم استخدم طريقة التربيع. حل المعادلة المنطقية والجذور الناتجة. لكن أخرى أكثر أناقة. أدخل متغيرًا جديدًا ؛ ع = ذ. وفقًا لذلك ، ستحصل على معادلة مثل 2y2 + y-3 = 0. هذا هو المعتاد معادلة من الدرجة الثانية. ابحث عن جذوره ؛ y1 = 1 و y2 = -3 / 2. بعد ذلك ، حل اثنين المعادلاتع = 1 ؛ vx \ u003d -3 / 2. المعادلة الثانية ليس لها جذور ، من الأولى نجد أن x = 1. لا تنسى الحاجة لفحص الجذور.

حل الهويات سهل للغاية. هذا يتطلب القيام به تحولات متطابقةحتى يتم الوصول إلى الهدف. وهكذا ، بمساعدة بسيطة عمليات حسابيةسيتم حل المهمة.

سوف تحتاج

• - ورق؛
• - قلم.

تعليمات

أبسط هذه التحويلات هي المضاعفات الجبرية المختصرة (مثل مربع المجموع (الفرق) ، فرق المربعات ، المجموع (الفرق) ، مكعب المجموع (الفرق)). بالإضافة إلى ذلك ، هناك الكثير الصيغ المثلثية، والتي هي في الأساس نفس الهويات.

في الواقع ، مربع مجموع حدين يساوي مربع أول زائد منتج مزدوجمن الأول إلى الثاني بالإضافة إلى مربع الثاني ، أي (أ + ب) ^ 2 = (أ + ب) (أ + ب) = أ ^ 2 + أب + با + ب ^ 2 = أ ^ 2 + 2ab + ب ^ 2.

بسّط كلاهما

المبادئ العامة للحل

كرر الكتاب المدرسي التحليل الرياضيأو رياضيات أعلى، وهو جزء لا يتجزأ. كما تعلم ، الحل لا يتجزأهناك دالة يعطي مشتقها التكامل و. هذه الوظيفةيسمى بدائي. وفقًا لهذا المبدأ ، يتم بناء التكاملات الأساسية.
حدد من خلال شكل التكامل وأي تكاملات الجدول تناسبها هذه القضية. ليس من الممكن دائمًا تحديد ذلك على الفور. في كثير من الأحيان ، يصبح الشكل الجدولي ملحوظًا فقط بعد عدة تحولات لتبسيط التكامل.

طريقة الاستبدال المتغير

إذا كان التكامل هو دالة مثلثية، الذي تكون وسيطته متعددة الحدود ، ثم حاول استخدام طريقة استبدال المتغير. للقيام بذلك ، استبدل كثير الحدود في وسيطة التكامل مع بعض المتغيرات الجديدة. بناءً على النسبة بين المتغير الجديد والقديم ، حدد حدود التكامل الجديدة. من خلال اشتقاق هذا التعبير ، أوجد فرقًا جديدًا في. وهكذا سوف تتلقى النوع الجديدالأول لا يتجزأ أو قريب أو حتى مطابق لأي جدول جدولي.

حل التكاملات من النوع الثاني

إذا كان التكامل جزءًا لا يتجزأ من النوع الثاني ، وهو الشكل المتجه للمتكامل ، فستحتاج إلى استخدام القواعد للانتقال من هذه التكاملات إلى التكاملات العددية. إحدى هذه القواعد هي نسبة Ostrogradsky-Gauss. هذا القانونيسمح لك بالانتقال من تدفق الدوار إلى البعض وظيفة ناقلاتإلى التكامل الثلاثي على تباعد حقل المتجه المحدد.

استبدال حدود التكامل

بعد إيجاد المشتق العكسي ، من الضروري استبدال حدود التكامل. أدخل القيمة أولاً الحد الأعلىفي التعبير عن المشتق العكسي. سوف تتلقى بعض الرقم. بعد ذلك ، اطرح من الرقم الناتج رقمًا آخر ، الحد الأدنى الناتج إلى المشتق العكسي. إذا كان أحد حدود التكامل هو اللانهاية ، فاستبدل به دالة عكسيةمن الضروري الذهاب إلى الحد والعثور على ما يميل التعبير إليه.
إذا كان التكامل ثنائي الأبعاد أو ثلاثي الأبعاد ، فسيتعين عليك تمثيل الحدود الهندسية للتكامل من أجل فهم كيفية حساب التكامل. في الواقع ، في حالة التكامل ثلاثي الأبعاد ، على سبيل المثال ، يمكن أن تكون حدود التكامل مستويات كاملة تحدد الحجم المراد تكامله.

لوغاريتم رقم ن بسبب أ يسمى الأس X ، التي تحتاج إلى رفعها أ للحصول على الرقم ن

بشرط
,
,

ويترتب على تعريف اللوغاريتم أن
، بمعنى آخر.
- هذه المساواة هي الهوية اللوغاريتمية الأساسية.

تسمى اللوغاريتمات للأساس 10 اللوغاريتمات العشرية. بدلاً من
اكتب
.

اللوغاريتمات الأساسية ه تسمى طبيعية وتدل
.

الخصائص الأساسية للوغاريتمات.

لوغاريتم الوحدة لأي أساس هو صفر

لوغاريتم المنتج يساوي مجموع لوغاريتمات العوامل.

3) لوغاريتم حاصل القسمة يساوي فرق اللوغاريتمات

عامل
يسمى معامل الانتقال من اللوغاريتمات في القاعدة أ للوغاريتمات في القاعدة ب .

باستخدام الخصائص 2-5 ، من الممكن غالبًا تقليل لوغاريتم تعبير معقد إلى نتيجة عمليات حسابية بسيطة على اللوغاريتمات.

فمثلا،

تسمى هذه التحولات في اللوغاريتمات اللوغاريتمات. تسمى التحويلات المتبادلة للوغاريتمات التقوية.

الفصل 2. عناصر الرياضيات العليا.

1. الحدود

حد الوظيفة
هو رقم منتهي أ إذا ، عند الكفاح xx 0 لكل محدد سلفا
، يوجد رقم
ذلك في أقرب وقت
، ومن بعد
.

تختلف الوظيفة التي لها حد بمقدار متناهٍ في الصغر:
، حيث - b.m.w. ، أي
.

مثال. ضع في اعتبارك الوظيفة
.

عند الكفاح
، وظيفة ذ يذهب إلى الصفر:

1.1 النظريات الأساسية حول الحدود.

حد قيمة ثابتةيساوي هذا الثابت

.

حد المجموع (الفرق) عدد محدودالوظائف تساوي مجموع (فرق) حدود هذه الوظائف.

حد منتج لعدد محدود من الوظائف يساوي حاصل ضرب حدود هذه الوظائف.

حد خارج قسمة وظيفتين يساوي حاصل قسمة حدود هاتين الدالتين إذا كان حد المقام لا يساوي صفرًا.

حدود ملحوظة

,
، أين

1.2 أمثلة على حساب الحد

ومع ذلك ، لم يتم حساب كل الحدود بهذه البساطة. في كثير من الأحيان ، يتم تقليل حساب الحد إلى الكشف عن نوع عدم اليقين: أو .

.

2. مشتق من وظيفة

دعونا لدينا وظيفة
، مستمر في الجزء
.

جدال حاد حصلت على بعض التعزيز
. ثم ستتم زيادة الوظيفة
.

قيمة الوسيطة يتوافق مع قيمة الوظيفة
.

قيمة الوسيطة
يتوافق مع قيمة الوظيفة.

بالتالي، .

دعونا نجد حد هذه العلاقة في
. إذا كان هذا الحد موجودًا ، فسيتم تسميته بمشتق الوظيفة المحددة.

تعريف 3 مشتق لدالة معينة
بالحجة يسمى حد نسبة زيادة الدالة إلى زيادة الوسيطة ، عندما تميل زيادة الوسيطة بشكل تعسفي إلى الصفر.

مشتق وظيفي
يمكن الإشارة إليها على النحو التالي:

; ; ; .

التعريف 4 - تسمى عملية إيجاد مشتق دالة التفاضل.

2.1. المعنى الميكانيكي للمشتق.

ضع في اعتبارك الحركة المستقيمة لجسم صلب أو نقطة مادية.

دعنا في وقت ما نقطة متحركة
كان على مسافة من نقطة البداية
.

بعد فترة من الزمن
تحركت مسافة
. موقف سلوك =- متوسط ​​السرعةنقطة مادية
. دعونا نجد حد هذه النسبة ، مع الأخذ في الاعتبار ذلك
.

ومن هنا التعريف سرعة لحظيةيتم تقليل حركة نقطة مادية لإيجاد مشتق المسار فيما يتعلق بالوقت.

2.2. قيمة هندسيةالمشتق

افترض أن لدينا وظيفة محددة بيانياً
.

أرز. 1. المعنى الهندسي للمشتق

اذا كان
ثم النقطة
، سوف تتحرك على طول المنحنى ، تقترب من النقطة
.

بالتالي
، بمعنى آخر. قيمة المشتق بالنظر إلى قيمة الوسيطة يساوي عدديًا ظل الزاوية المتكونة من الظل عند نقطة معينة مع الاتجاه الإيجابي للمحور
.

2.3 جدول معادلات التفاضل الأساسية.

وظيفة الطاقة

دالة أسية

دالة لوغاريتمية

دالة مثلثية

دالة مثلثية عكسية

2.4 قواعد التمايز.

مشتق من

مشتق مجموع (فرق) الوظائف

مشتق من حاصل ضرب وظيفتين

مشتق حاصل قسمة وظيفتين

2.5 مشتق من وظيفة معقدة.

دع الوظيفة
بحيث يمكن تمثيلها على أنها

و
حيث المتغير هي حجة وسيطة ، إذن

مشتق دالة معقدة يساوي حاصل ضرب مشتق الدالة المعينة فيما يتعلق بالحجة الوسيطة بمشتق الوسيطة فيما يتعلق بـ x.

مثال 1.

مثال 2.

3. وظيفة التفاضل.

يجب ألا يكون هناك
، قابلة للتفاضل في بعض الفواصل الزمنية
دعها تذهب في هذه الوظيفة لها مشتق

,

ثم يمكنك الكتابة

(1),

أين - كمية متناهية الصغر ،

لأنه في

ضرب جميع شروط المساواة (1) في
نملك:

أين
- م. أعلى ترتيب.

قيمة
يسمى تفاضل الوظيفة
والمشار إليها

.

3.1. القيمة الهندسية للتفاضل.

دع الوظيفة
.

الصورة 2. المعنى الهندسي للتفاضل.

.

من الواضح ، تفاضل الوظيفة
تساوي الزيادة في إحداثيات الظل عند نقطة معينة.

3.2 المشتقات والتفاضلات من أوامر مختلفة.

إذا كان هناك
، ومن بعد
يسمى المشتق الأول.

مشتق المشتق الأول يسمى مشتق من الدرجة الثانية ويتم كتابته
.

مشتق من الترتيب n للدالة
يسمى مشتق من (n-1) وهو مكتوب:

.

يسمى تفاضل تفاضل دالة ما التفاضل الثاني أو تفاضل الرتبة الثانية.

.

.

3.3 حل المشكلات البيولوجية باستخدام التفاضل.

مهمة 1. أظهرت الدراسات أن نمو مستعمرة الكائنات الحية الدقيقة يخضع للقانون
، أين ن - عدد الكائنات الحية الدقيقة (بالآلاف) ، ر - الوقت (أيام).

ب) هل سيزداد عدد سكان المستعمرة أم سينخفض ​​خلال هذه الفترة؟

إجابه. سوف تنمو المستعمرة في الحجم.

المهمة 2. يتم اختبار المياه في البحيرة بشكل دوري للتحكم في محتوى البكتيريا المسببة للأمراض. خلال ر بعد أيام من الاختبار ، يتم تحديد تركيز البكتيريا حسب النسبة

.

متى يأتي الحد الأدنى من تركيز البكتيريا في البحيرة ويمكن السباحة فيها؟

الحل A تصل الدالة القصوى أو الصغرى عندما يكون مشتقها صفرًا.

,

لنحدد الحد الأقصى أو الحد الأدنى في 6 أيام. للقيام بذلك ، نأخذ المشتق الثاني.

الجواب: بعد 6 أيام سيكون هناك حد أدنى لتركيز البكتيريا.